Семинар № 7
Полиноми от втора и по-висока степен. Разлагане на
полиноми със схемата на Хорнер
Полином
Полином (многочлен) се нарича рационален израз, който е сбор от едночлени.
Полином се записва в общ вид като:
⋯
Едночлен се нарича рационален израз, който е произведение от константи и
променливи. Променливите могат да са повдигнати на цяла положителна степен, т.е. x,
x2 , x3 , …
3
Примери:
5
– полином. В него едночлени са
;3
; 5;
; .
Степен на едночлен
Сборът от степенните показатели на променливите, участващите в едночлена, наричаме
степен на този едночлен.
Примери: 3
е от 4-та степен;
5
е от 4+2=6-та степен, ако а и с са променливи!
Ако а е константа, а с е променлива, то степента на едночлена е 2-ра!
Степен на полином
Най-високата от степените на членовете в даден полином се нарича степен на
полинома.
3
Примери:
3
5
5
е от 5-та степен.
е от 7-ма степен.
Основна теорема на алгебрата
Даден полином от n – та степен има точно n корена.
Нормален вид на полином
Един полином е приведен в нормален вид, ако степените на променливата са подредени
в низходящ ред и е максимално опростен.
Семинар № 7 – Полиноми. Схема на Хорнер
-1
-
http://www.lcpe.uni-sofia.bg/shares/km/BasicMathChem/
Пример:
3.2
преобразуван до
. .
7
9
3 не е в нормален вид, за да бъде трябва да бъде
7.
Константите, умножаващи променливите, се наричат коефициенти пред съответните
9
7. – има коефициенти: 1, 1, 9, 7.
степени. Пример:
Схема на Хорнер
Схемата на Хорнер служи за откриването на рационалните корени на даден полином.
Схемата на Хорнер се представя във вид на таблица.
На първия ред на таблицата се поставят коефициентите от нормалния вид на полинома.
След това се определя свободният член на полинома
и неговите делители.
Те се записват в първата колона – това са възможните цели корени на полинома.
За да определим възможните рационални корени на полинома определяме делителите
на старшия коефициент
. След това те се записват като знаменател за всеки от
възможните цели корени.
⋯
Нека полиномът е:
…
Ако полученото накрая
на полинома.
0, то
е корен на полинома. Ако
0, то
не е корен
Задача 1: Приведете в нормален вид полиномите и определете тяхната степен.
а
. . . .
б 2
3
в
1и
- определете стойността за
0,5
Решение:
а
. . . .
.
.
Степента на едночлена е 3
б 2
4
5
1
6
1
1
8
18
3
Степента на едночлена е 6
в
2
4
5
Семинар № 7 – Полиноми. Схема на Хорнер
-2
-
http://www.lcpe.uni-sofia.bg/shares/km/BasicMathChem/
Степента на полинома е 3
2
1и
.
При
0,5 ⇒
5.
1 .
.
0,2
Задача 3: Разложете полиномите със схемата на Хорнер. Запишете полинома във вид
на произведение от множители.
а
16
2
15
2
б 2
7
8
в 3
4
4
4
4
2
15
2
3
0
0
3
0
Решение:
а
16
2
16
2
15
0
0 – нормален вид на полинома
Коефициентите са:
-
пред 4
пред 3
пред 2
пред 1
пред 0
1 – старши коефициент
2
16
2
15 – свободен член
та степен
та степен
ра степен
ва степен
ва степен
Делителите на свободния член (числата, на които можем да разделим свободния член
без остатък) са: 1; 3; 5; 15.
Старшият коефициент
1 ⇒ негови делители са
1.
Схемата на Хорнер е:
1
1
1
2
1.1
2
-16
3
1.3
16
-2
13
1.
13
15
2
15
1.
15
15
-1
3
-3
5
-5
15
-15
Семинар № 7 – Полиноми. Схема на Хорнер
-3
-
http://www.lcpe.uni-sofia.bg/shares/km/BasicMathChem/
0
⇒ 1 е корен на уравнението
2
16
2
15
⇒
1
3
⇒ сега трябва да търсим разлагането на
3
1.1
1
3
13
15
13
3
4
1.4
1
1.1 3 2
-1
3
-3
5
-5
⇒ 1 е корен на уравнението
1
3
15
15, неговите делители вече определихме ⇒
Свободният член е
1
13
13
13
15
9
1.2
1.
13
15
15
1
1.
1
⇒ сега трябва да търсим разлагането на
9
15
2
2
15
24
15
0
0
15
15
Ще използваме формулата за квадратно уравнение:
2
,
⇒
б 2
7
16
8
3
2
15
√4
2
60
2 8
2
3
5
2
1
1
3
0
Свободният член на уравнението е 3. Негови делители са 1;
Старшият коефициент е 2. Негови делители са 1;
7
0
5
3.
2.
⇒ Възможните рационални корени на уравнението са 1;
2
5
3;
;
.
8
1
2
1.2
7
5
1.
0
-1
3
2
2
1.2
3.2
7
7
9
1
1. 9
0
3. 1
0
5
3
5
1.
8
3
9
3
1.9 8
1
3. 3
8
1
1.3
3
1.3 3
3. 1
6
6
3
0
0
0
⇒ 3 е корен на уравнението
⇒ 2
7
8
3
Семинар № 7 – Полиноми. Схема на Хорнер
3 2
3
-4
-
1
http://www.lcpe.uni-sofia.bg/shares/km/BasicMathChem/
1
2
2
1.2
1
2
2
2
2
1.2
3.2
3.2
1
.2
2
1
.2
2
1
1
1
5
1
0
2
⇒
3
1
1.1
3
7
1
2
1
3
2
1. 3
3.5
3. 7
1
.0
2
1
. 2
2
3
3
1.
6
18
3
1
.
2
3
3
1
1. 6
3.12
3.18
12
3
2
2
1
1
1
3
1
1
.
2
2
3
0
5
0
35 0
55 0
5
0
2
1
0
е корен на уравнението
⇒
3 2
3
1
3
2
1
√1
2
,
⇒ 2
в 3
4
3
4
7
4
4
4
3
Възможни корени:
1;
3
4
3
2
-2
4
0
2;
4;
;
3
3
3
3
4
1
7
-5
5
8
4
-5
7
-17
-4
Семинар № 7 – Полиноми. Схема на Хорнер
√5
2
1
3
1
1
√5
2
√5
2
;
-4
3
-5
3
3
3
3
1
2
0
4
4
2
1
2
3
4
7
1
4
1 3
2
3
3
3
3
1
-1
2
-2
4
-4
8
4
2
3
6
8
4
4
10
-4
1 3
-5
9
5
8
26
-2
1
2 3
5
33
73
2
3
3
-5
5
-4
6
0
0
8
4
-4
48
0
5
5
2
-2
130
-294
7
9
-
http://www.lcpe.uni-sofia.bg/shares/km/BasicMathChem/
1
-6
7
3
-3
3
2 3
3
5
2
1
0 има
4
5
2
0
1
3
2
3
2
3
3
3
1
3
3
4
1
2
3
1
4
3
3
0 ⇒ не може да бъде разложено повече ⇒
4
4
3
1
2
2
3
1
Задачи за домашна работа:
Задача 1: Приведете в нормален вид полиномите и определете тяхната степен:
а
6
7
б 2
4
3
5
в 2,8
г
9
10
7
9
д
3
определете стойността на израза за
3;
0,3;
0,25
Задача 2: Разложете полиномите с помощта на схемата на Хорнер:
а
2
б 3
в
г 8
д
4
5
5
5
3
5
5
6
5
2
13
8
12
3
1
Семинар № 7 – Полиноми. Схема на Хорнер
-6
-
http://www.lcpe.uni-sofia.bg/shares/km/BasicMathChem/