Angel_Intermediate_SE
13/11/2007
13:13
Page 1
ANGEL
Introducción al álgebra
Introducción al álgebra
Allen R.
ANGEL
ISBN 978-970-26-1492-0
®
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Laureate International Universities
00 ANGIA-FM-SE bueno
21/11/2007
Capítulo 4
14:43
Page i
Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistema
consistente
Sistema
inconsistente
2
Regla de Cramer:
Sistema
dependiente
1
1
Dado un sistema de ecuaciones de la forma
c
2 1
c2
a1 x + b1 y = c1
entonces x =
a2 x + b2 y = c2
a1
2
a2
2
1
2
Una solución
Ninguna solución
b1
2
b2
b1
2
b2
2
a1 c1
2
a2 c2
2
a1 b1
2
a2 b2
yy =
Un número infinito
de soluciones
Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse: (a) de manera gráfica, (b) por el método de sustitución, (c) por el método de suma o de
eliminación, (d) mediante matrices, o (e) mediante determinantes.
2
a1 b1
2 = a1 b2 - a2 b1
a2 b2
Capítulo 5
Polinomios y funciones polinomiales
Producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos
(también llamado diferencia de dos cuadrados):
Método PIES para multiplicar dos binomios:
S
(a+b)(a-b)=a2-b2
P
P
I
E
S
(a+b)(c+d)=a c+b c+a d+b d
Trinomios cuadrados perfectos:
a2+2ab+b2=(a+b)2,
I
E
a2-2ab+b2=(a-b)2
Suma de dos cubos:
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
Teorema de Pitágoras:
cateto2+cateto2=hipotenusa2 o a2+b2=c2
Cuadrado de un binomio:
c
Diferencia de dos cubos:
b
a
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
Capítulo 6
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
Forma general de una ecuación cuadrática:
ax2+bx+c=0, a 0
Propiedad del factor cero: Si a b=0, entonces a=0 o b=0, o
ambos son iguales a 0.
Expresiones racionales y ecuaciones
Para multiplicar expresiones racionales:
1. Factorice todos los numeradores y denominadores.
Figuras semejantes: Los ángulos correspondientes son iguales y
los lados correspondientes son proporcionales.
2. Divida entre los factores comunes que tenga.
3. Multiplique los numeradores y multiplique los denominadores.
A
4. Cuando sea posible, simplifique la respuesta.
A'
Para dividir expresiones racionales:
Invierta el divisor y luego multiplique la expresión racional resultante.
B
C
B'
C'
Figuras semejantes
Para sumar o restar expresiones racionales:
1. Escriba cada fracción con un denominador común.
c
a
= entonces ad=bc
b
d
2. Sume o reste los numeradores, manteniendo el denominador
común.
Proporción: Si
3. Cuando sea posible, factorice el numerador y simplifique la fracción.
Variación: directa, y = kx; inversa, y =
k
; conjunta, y=kxz
x
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21/11/2007
Capítulo 7
14:43
Page ii
Raíces, radicales y números complejos
Un radical está simplificado cuando todo lo siguiente es
verdadero:
n
Si n es par y a 0: 2 a = b si bn=a
n
Si n es impar: 2 a = b si b =a
n
Reglas de los radicales
1. Ningún radicando tiene factores que sean potencias perfectas.
2 am = A 2 a B
n
2a 2 = ∑a∑
n
m
= a mn, a 0
n
n
n
2 a 1 b = 1 ab, a 0, b 0
2a 2 = a , a 0
n
1a
n
2 an = a , a 0
n
2b
=
a
n
, a 0, b 7 0
Bb
2. Ningún radicando tiene fracciones.
3. Ningún denominador tiene radicales.
Números complejos: Números de la forma a+bi.
Potencias de i: i = 1–1, i2 = –1, i3 = –i, i4 = 1
n
2 a = a 1n , a 0
Capítulo 8
Funciones cuadráticas
Propiedad de la raíz cuadrada:
Si x2 = a, donde a es un número real, entonces x = ; 1a .
Una ecuación cuadrática puede resolverse mediante factorización, completando el cuadrado, o mediante la fórmula cuadrática.
Fórmula cuadrática: x =
–b ; 2b 2 - 4ac
2a
Discriminante: b2-4ac
Si b2-4ac>0, entonces la ecuación tiene dos raíces reales diferentes.
Si b2-4ac=0, entonces la ecuación tiene una sola raíz real.
Si b2-4ac<0, entonces la ecuación no tiene raíces reales.
Parábolas:
Para f(x) = ax 2 + bx + c, el vértice de la parábola es
b 4ac - b 2
b
b
a– ,
b o a– , fa– b b.
2a
4a
2a
2a
Para f(x) = a(x - h) 2 + k, el vértice de la parábola es (h, k).
Si f(x) = ax 2 + bx + c, a 7 0 , la función tendrá un valor mínimo de
4ac - b 2
b
en x = – .
4a
2a
Si f(x) = ax 2 + bx + c, a 6 0 , la función tendrá un valor máximo de
4ac - b 2
b
en x = – .
4a
2a
00 ANGIA-FM-SE bueno
21/11/2007
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Page iii
Introducción al álgebra
Allen R. Angel
Monroe Community College
Álgebra intermedia
ISBN 978-970-26-0499-0
Con la colaboración de
Richard Semmler
Dennis C. Runde
Northern Virginia
Community College
Manatee Community
College
Agradecimiento especial por la adaptación de esta obra:
Lic. Karim Martínez Cerrato
Coordinadora del departamento Físico-Matemático
Universidad Tecnológica Centroamericana
00 ANGIA-FM-SE bueno
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Datos de catalogación bibliográfica
ANGEL, ALLEN R.
Introducción al álgebra
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008
ISBN: 978-970-26-1492-0
Área: Matemáticas
Formato: 20 × 25.5 cm
Páginas: 624
Authorized adaptation from the English language edition entitled Intermediate algebra for college students, 6th edition
by Allen R. Angel, Copyright © 2004, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Inc. All rights
reserved. ISBN 0 13 140059 2
Adaptación autorizada de la edición en idioma inglés titulada Elementary Intermediate algebra for college students,
6a edición por Allen R. Angel, Copyright © 2004, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice
Hall, Inc.
Todos los derechos reservados
Editor: María Elena Zahar Arellano
e-mail: maria.zahar@pearson.com
Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos
PRIMERA EDICIÓN, 2008
D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500-5° Piso
Industrial Atoto
53519 Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031
Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o
transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico,
mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por
escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización
del editor o de sus representantes.
ISBN 10: 970-26-1492-9
ISBN 13: 978-970-26-1492-0
Impreso en México. Printed in Mexico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08
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Estimados estudiantes y docentes de UNITEC:
Me da mucho gusto saludarles y poner en sus manos este libro de texto que es parte
de un innovador proyecto dirigido a Ustedes.
La Universidad Tecnológica Centroamericana está comprometida desde 1987, año de
su fundación, con la calidad y la excelencia académica al punto de ser un estilo de vida
en permanente mejora, que les involucra a Ustedes y también a los recursos y
metodologías de enseñanza y aprendizaje propios de las diversas carreras profesionales que ofrecemos.
A inicios de los 90’s UNITEC incorporó el modelo educativo centrado en el estudiante y apoyado en tecnologías de vanguardia para dar respuesta a los retos que el
mundo global plantea, a tal punto que actualmente esta Universidad forma profesionales y ciudadanos en Honduras que sean capaces de desenvolverse competitiva y
exitosamente en los escenarios del mundo globalizado.
La alianza estratégica que hemos emprendido con el Grupo Editorial Pearson es
garante de la calidad que encontrarán, no sólo en los contenidos temáticos de los
libros de texto con estándares internacionales, sino también en su diseño didáctico
y a la incorporación de los recursos que permitirán el trabajo autónomo y personalizado vía web, tan característico del estilo de aprendizaje en la sociedad del siglo XXI.
Este esfuerzo complementa la sistemática profesionalización de los docentes
mediante el Sistema de Excelencia en la Enseñanza, conocido como Programa
SENECA, que les posibilita el perfeccionamiento de su práctica, convirtiéndose en el
sello de la docencia en UNITEC.
Auguro condiciones muy favorables donde el aprendizaje será inevitable, no solo
durante sus años de formación profesional sino durante toda su existencia: Que les
persiga el deseo por avanzar, por descubrir nuevas cosas, por ampliar el conocimiento
acerca de lo que somos y a dónde vamos, pero sobre todo ayudando a construir el
camino que elegimos ¡Que cosechen muchos éxitos y satisfacciones!
Fraternalmente
Román Valladares
Rector de UNITEC
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Page vi
Contenido
1
División de polinomios, teoría de ecuaciones,
fracciones parciales y teoría de conjuntos
1.1
1.2
1.3
1.4
2
1
Nociones básicas de la teoría de conjuntos
2
Método para resolver desigualdades cuadráticas,
desigualdades polinómicas de grado superior o
desigualdades racionales
13
Ecuaciones polinómicas de grado superior
18
Descomposición de expresiones racionales en fracciones
parciales
32
Ecuaciones y desigualdades
42
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Resolución de ecuaciones lineales 43
Resolución de problemas y uso de fórmulas 55
Aplicaciones del álgebra 66
Problemas adicionales de aplicación 80
Resolución de desigualdades lineales 91
Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores
absolutos 105
Resumen del capítulo 116
Ejercicios de repaso del capítulo 117
Examen de práctica del capítulo 120
Examen de repaso acumulativo 121
3
Gráficas y funciones
123
3.1
Gráficas 124
3.2
Funciones 139
3.3
Funciones lineales: gráficas y aplicaciones 155
3.4
La forma pendiente intersección de una ecuación lineal 167
3.5
La forma punto pendiente de una ecuación lineal 181
3.6
Álgebra de funciones 191
3.7
Graficación de desigualdades lineales 200
Resumen del capítulo 204
Ejercicios de repaso del capítulo 205
Examen de práctica del capítulo 209
Examen de repaso acumulativo 210
vi
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Page vii
Contenido • vii
4
Sistemas de ecuaciones y desigualdades
212
4.1
Resolución de sistemas de ecuaciones con dos
variables 213
4.2
Resolución de sistemas de ecuaciones con tres
variables 225
4.3
Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones
y resolución de problemas 232
4.4
Resolución de sistemas de ecuaciones por medio
de matrices 246
4.5
Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de
determinantes y la regla de Cramer 255
4.6
Resolución de sistemas de desigualdades lineales 263
Resumen del capítulo 268
Ejercicios de repaso del capítulo 270
Examen de práctica del capítulo 272
Examen de repaso acumulativo 273
5
Polinomios y funciones polinomiales
275
5.1
5.2
5.3
5.4
Suma y resta de polinomios 276
Multiplicación de polinomios 287
División de polinomios y división sintética 297
Factorización del factor común de los términos
de un polinomio y factorización por agrupación 308
5.5
Factorización de trinomios 316
5.6
Fórmulas especiales de factorización 327
5.7
Repaso general de factorización 335
5.8
Ecuaciones polinomiales 340
Resumen del capítulo 353
Ejercicios de repaso del capítulo 354
Examen de práctica del capítulo 359
Examen de repaso acumulativo 360
6
Expresiones racionales y ecuaciones
6.1
361
Dominios de funciones racionales y multiplicación y división
de expresiones racionales 362
6.2
Suma y resta de expresiones racionales 372
6.3
Fracciones complejas 384
6.4
Resolución de ecuaciones racionales 390
6.5
Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución
de problemas 403
6.6
Variación 414
Resumen del capítulo 423
Ejercicios de repaso del capítulo 424
Examen de práctica del capítulo 427
Examen de repaso acumulativo 428
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Page viii
viii • Contenido
7
Raíces, radicales y números complejos
7.1
Raíces y radicales 431
7.2
Exponentes racionales 440
7.3
Simplificación de radicales 449
7.4
Suma, resta y multiplicación de radicales
7.5
División de radicales 464
7.6
Resolución de ecuaciones con radicales
7.7
Números complejos 485
Resumen del capítulo 494
Ejercicios de repaso del capítulo 495
Examen de práctica del capítulo 499
Examen de repaso acumulativo 500
8
Funciones cuadráticas
430
457
473
501
8.1
Resolución de ecuaciones cuadráticas completando
el cuadrado 502
8.2
Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante
la fórmula cuadrática 512
8.3
Ecuaciones cuadráticas: aplicaciones y resolución
de problemas 525
8.4
Planteamiento de ecuaciones en forma cuadrática 535
8.5
Graficación de funciones cuadráticas 542
8.6
Desigualdades cuadráticas y de otros tipos con
una variable 561
Resumen del capítulo 572
Ejercicios de repaso del capítulo 572
Examen de práctica del capítulo 576
Examen de repaso acumulativo 577
Respuestas
R1
Créditos de las fotografías
C1
Capítulo 1
División de polinomios, teoría
de ecuaciones, fracciones
parciales y teoría de conjuntos
Agradecemos la colaboración a la profesora:
T E M Banegas
A R I O
Alexandra
de Guardado
1
Teoría de conjuntos
Por la elaboración de este capítulo
2
Desigualdades
cuadráticas y no
cuadráticas
3
Ecuaciones polinómicas
de grado mayor que dos
4
Ecuaciones Racionales en
fracciones parciales
I N T R O D U C C I Ó N
En esta unidad usted estudiará las desigualdades cuadráticas y no
cuadráticas con una variable, la división sintética, las ecuaciones
polinómicas de grado mayor que dos, dentro de este tema se abordarán
los teoremas del residuo, factor, raíces racionales y raíces complejas, las
expresiones racionales en fracciones parciales; técnica que se utiliza en
cursos posteriores de matemáticas y, por último, veremos la teoría de
conjuntos con sus operaciones.
O B J E T I V O S
E S P E C Í F I C O S
1. Dividir polinomios y aplicar división sintética al dividir entre
binomios lineales.
2. Identificar los términos primitivos y definir conceptos afines a los
términos primitivos de la teoría de conjuntos.
3. Caracterizar conjuntos por extensión y comprensión e identificar las
diferentes relaciones entre conjuntos.
1
2 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
4. Resolver operaciones entre conjuntos y representar los resultados en
diagramas de Venn.
5. Resolver desigualdades cuadráticas y no cuadráticas.
6. Resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos.
7. Descomponer las expresiones racionales en fracciones parciales.
1.1 NOCIONES BÁSICAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es parte fundamental de las matemáticas teóricas
y aplicadas en todas sus especialidades. Esta teoría está constituida por
términos primitivos, definiciones, axiomas o postulados.
Notación son los símbolos que se utilizan para describir conceptos y
operaciones matemáticas. Es importante porque se usa en las relaciones
y en las distintas operaciones de conjuntos.
Los términos primitivos son aquellos términos básicos que se usan en
la teoría de conjuntos e involucran el término elemento; si nos referimos
a elemento, involucramos al término conjunto. Y, por ende, existe entre
ellos una relación denominada Relación de pertenencia. Por lo tanto,
conjunto, elemento y relación de pertenencia se identifica como término
primitivo. A continuación se presenta la definición de conjunto y
elemento.
Conjunto: La idea intuitiva que tenemos de este término es de una
agrupación de objetos o elementos, colección o familia. Todos estos
calificativos se utilizan para hablar de lo mismo.
La idea más clara y comprensible de conjunto es de una colección de
objetos, fácilmente identificables y estos objetos son perfectamente
distinguibles unos de otros.
Elemento: Se le denomina así a cada objeto que forma parte del
conjunto.
Ejemplo: Un conjunto simple es el conjunto de las vocales, los elementos
de este conjunto son: {a, e, i, o, u} .
Sección 1.1 • Nociones básicas de la teoría de conjuntos • 3
A continuación se presenta una serie de notas o tips, con la finalidad de
darle recomendaciones especiales sobre el tema para que su aprendizaje
sea mucho más fácil y duradero:
a) La notación de conjunto hace uso de letras mayúsculas del
abecedario por ejemplo A, B, C…, etc.
b) Si los elementos de un conjunto son letras, entonces éstas se
usarán en minúsculas para establecer la diferencia con la notación
de conjunto.
c) Específicamente en este curso se trabaja con números y letras
como elementos.
d) El concepto de Relación de pertenencia. Esta relación se establece
entre los elementos y el conjunto, por ejemplo las letras (a, e, i)
pertenecen al conjunto de las vocales.
e) El símbolo para denotar pertenencia es y su negación es . Un
objeto x pertenece a un conjunto A, si x es un elemento de A, y se
denota así: x A. (Se lee x pertenece a A). Si x no es elemento de
A se denota así: x A. (Se lee x no pertenece a A).
Caracterización de Conjuntos:
Después de estudiar los términos primitivos y subtemas, ahora usted
continuará con la caracterización de conjunto.
Cuando se habla de la caracterización de conjuntos se hace referencia a
la forma de cómo se pueden expresar conjuntos y ésta puede ser: por
comprensión y por extensión.
Nota:
Tome en cuenta las siguientes observaciones al momento de estudiar la
caracterización de conjuntos:
a) El símbolo para representar un conjunto por comprensión o extensión
son las llaves { }; éste denota agrupación.
4 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
b) La o las características de un conjunto simbólicamente son expresadas
en singular, tenga uno o más elementos el conjunto.
c) Cada elemento es separado por comas para poderlos distinguir unos
de otros.
d) Un objeto x pertenecerá a un conjunto determinado, solo si x satisface
la propiedad que caracteriza a los elementos de dicho conjunto.
Por Comprensión: Consiste en describir con palabras y/o símbolos, las
características comunes de los elementos de un conjunto. Simbólicamente se hace anteponiendo x/x (se lee equis tal que equis).
Ejemplo 1.1.1
A: El conjunto de las vocales.
Por comprensión se escribe: A = {x/x es una vocal}.
B: El conjunto de los dígitos.
Por comprensión se escribe: B = { x/x es dígito}.
C: El conjunto de los ríos de Honduras.
Por comprensión se escribe: C = { x/x es un río de Honduras}.
Por extensión: Consiste en enumerar (si es posible) los elementos de
un conjunto dado por comprensión.
Ejemplo 1.1.2
Por comprensión
Por extensión
A = {x/x es una vocal fuerte}
A = {a, e, o}
B = {x/x es un país de C. A.}
B = {Honduras, Nicaragua,
Guatemala}
C = {x/x es un número primo par}
C = {2}
Sección 1.1 • Nociones básicas de la teoría de conjuntos • 5
Tipos de Conjuntos:
1) Conjunto finito: es aquel cuyos elementos pueden ser contados.
2) Conjunto infinito: es aquel cuyos elementos no se pueden
contar.
3) Conjunto unitario: es aquel que tiene un solo elemento.
4) Conjunto vacío: es aquel que carece de elemento.
5) Conjunto universo: se denota por U; este conjunto se establece por deducción o por determinación, el universo contiene
todos los conjuntos de determinado tema.
6) Conjunto potencia: es aquel cuyos elementos pueden ser
contados.
Relación entre conjuntos:
1) Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales si tienen
exactamente los mismos elementos, se denota por A = B.
Ejemplo 1.1.3
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {x/x es un digito impar}
A = B; aunque B esté escrito por comprensión y A por extensión,
ambos poseen los mismos elementos. B por extensión es: B = {1, 3,
5, 7, 9}
Nota:
Si uno de los elementos de A no pertenece a B o viceversa, entonces A es
distinto de B o A no es igual a B y se denota por A B.
6 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
Ejemplo 1.1.4
Sea
A = { a, b, c, d, e }
B = { i , u, } b, c, d }
A B, a, e, o, B y los elementos b, c, d A.
2) Subconjunto o relación de inclusión
Diremos que el conjunto A es subconjunto del conjunto B, denotado por
A B, si cada elemento de A es un elemento de B. Equivalentemente
diremos que B es súper conjunto de A, denotado por A B.
Ejemplo 1.1.5
B = {0, 1, 2, 3, }
A = {1, 3,}
A B ya que todos los elemento de A son elementos del conjunto B.
B es el súper conjunto de A, simbólicamente A B.
Notas:
a) Podemos observar que la relación que existe entre el conjunto A
y B es una relación de inclusión pues todo el conjunto A está
contenido o incluido en B.
Ilustración gráfica
Sección 1.1 • Nociones básicas de la teoría de conjuntos • 7
b) Con la definición de subconjuntos, la igualdad de conjuntos
puede ser redefinida así :
Sean A y B dos conjuntos, diremos A = B, si A B y B A. Cumpliéndose
de esta manera las siguientes propiedades:
Sea A, B y C conjuntos, entonces:
A B
Reflexiva
Si A B y B A, entonces A = B
Antisimétrica
Si A B y B C, entonces A C
Transitiva
3) Relación secante o conjuntos superpuestos:
Se establece entre conjuntos que presentan algunos elementos en
común; no existiendo el súper conjunto; A B, A B, B A.
Ejemplo 1.1.6
Sea:
A = {2, 3, 7, 10}
B = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}
A B, A B, B A.
Ilustración gráfica
4) Relación ajena o conjuntos disjuntos:
Se presenta entre conjuntos que no tienen elementos en común, ningún
elemento del conjunto A pertenece a B y viceversa.
8 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
Ejemplo 1.1.7
Sea:
A = {0, 1, 2}
B = {5, 7, 9}
A y B son ajenos o distintos.
Operaciones con conjuntos
Las principales operaciones con conjuntos son:
a) La unión
b) La intersección
c) La diferencia
d) El complemento
La unión de dos conjuntos A y B, da como resultado un nuevo conjunto,
C que posee los elementos de A y de B. La unión de dos conjuntos se denota
así, A B .
Ejemplo 1.1.8
Dados los conjuntos A = {1, 5, 9, 11} y B = {2, 4, 6, 8, 10} , encontrar A B .
A B = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11} , como puede observar la unión de los dos
conjuntos es un nuevo conjunto que tiene los elementos de ambos
conjuntos.
Podría pasar que un elemento esté en ambos conjuntos, al hacer la unión
de los dos conjuntos, entonces se pone una sola vez ese elemento, veamos
un ejemplo.
Si C = {a, b, c, d, e, f } y D = {a, e, i, o, u} , encuentre C D :
C D = {a, b, c, d, e, f , i, o, u}
Sección 1.1 • Nociones básicas de la teoría de conjuntos • 9
Como puede observar la a y la e están en ambos conjuntos pero al hacer la
unión solamente se escriben una vez.
La intersección de dos conjuntos A y B, da como resultado un nuevo
conjunto, C que posee los elementos que tienen en común ambos conjuntos.
La intersección se denota así, A B .
Ejemplo 1.1.9
Dados los conjuntos F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y G = {1, 3, 5, 10, 12} ; encuentre F B . Observe que los elementos que son comunes a ambos conjuntos
son 1, 3 y 5 así que la respuesta es F G = {1, 3, 5}
La diferencia de dos conjuntos A y B, da como resultado un nuevo
conjunto, C que posee los elementos de A, pero quitando de A
los
elementos que son comunes entre A y B. La diferencia se denota así, A-B.
Ejemplo 1.1.10
Dados los conjuntos K = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} y L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ;
encuentre, K–L.
Observe que los elementos en común de estos dos conjuntos son: 2, 4, 6, 8
Estos elementos ya no aparecen cuando realizamos la diferencia de K–L:
K L = {10, 12, 14, 16, 18}
Es importante que observe que se trabaja en base al primer conjunto y solo
quitamos los elementos comunes a ambos conjuntos, quedando los elementos restantes del primero.
Realicemos la operación al inverso o sea L–K:
L K = {1, 3, 5, 7}
Es evidente que en general A B B A , para dos conjuntos cualesquiera A y
B.
10 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
El complemento de un conjunto A:
Es un nuevo conjunto que tiene todos los elementos que le hacen falta a A
para ser igual al universo. El complemento de A se denota así: Ac
Ejemplo 1.1.11
Dado el conjunto universo U = {a, e, i, o, u} y el conjunto A = {e, u} ; encuentre Ac
A c = {a, i, o} , estos elementos son los elementos que le hacen falta a A para
ser igual al universo.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
A continuación, resuelva los siguientes ejercicios:
1. Dé tres ejemplos de caracterización de conjuntos por extensión. Puede
emplear cualquier tipo de elementos, siempre y cuando tome en cuenta
las observaciones que se le han descrito anteriormente.
2. Dé tres ejemplos de caracterización de conjuntos por comprensión.
Puede emplear cualquier tipo de elementos, siempre y cuando tome en
cuenta las observaciones que se le han descrito anteriormente.
Sección 1.1 • Nociones básicas de la teoría de conjuntos • 11
AUTOEVALUACIÓN
Resuelva los siguientes problemas:
1) Encuentre la unión de los siguientes conjuntos:
A= (1, 2, 5, 6, 9, 11), B= (2, 4, 6, 8)
2) Encuentre A–B
3) Encuentre la intersección de A y B
4) Si el conjunto universo es U = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y
D = (1,3,5,6,8); determine el complemento de D.
5) Usando los conjuntos A, B, D y U
Determine: a) U–A b) A–U c) A–D
12 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
Glosario
• Complemento de un conjunto: Son los elementos que le hacen falta
para ser igual al universo.
• Intersección de dos conjuntos: Son los elementos comunes a los
dos conjuntos.
• Resta de dos conjuntos: A = (1, 5, 7, 9), B = (5, 7, 10), A-B =
(1, 9) como puede observar al conjunto se le quitan los elementos 5, 7
que son comunes.
• Unión de dos conjuntos: Es el conjunto que resulta de unir todos los
elementos de los dos conjuntos.
Respuestas:
1) (1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11)
2) (1, 5, 9, 11)
3) (2, 6)
4) (2, 4, 7, 9)
5) a) (3, 4, 7, 8, 9)
b) (11)
c) (2, 9, 11)
Sección 1.2 • Método para resolver desigualdades cuadráticas,... • 13
1.2 MÉTODO PARA RESOLVER DESIGUALDADES CUADRÁTICAS,
DESIGUALDADES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR O
DESIGUALDADES RACIONALES
Al resolver desigualdades a través de la tabla que explicaremos a
continuación, estamos usando las operaciones de unión e intersección de
conjuntos de una forma resumida.
PASO 1: Realice las operaciones algebraicas, de tal manera que la
expresión algebraica tenga 0 en el lado derecho de la desigualdad.
PASO 2: Encuentre las raíces del numerador.
PASO 3: Encuentre las raíces del denominador, si lo hay. Estos son
valores prohibidos de la fracción algebraica.
PASO 4: Ordene las raíces y los valores prohibidos en orden creciente en
la parte superior de la tabla. Distinga entre las raíces y los valores
prohibidos (si los hay). Coloque cada factor en rectas horizontales.
PASO 5: Estudie el signo de cada factor por columna. Multiplique los
signos de la tabla por columna.
PASO 6: En la ultima línea de la tabla, busque el signo correspondiente,
según la desigualdad original.
f(x) > 0
o
f(x) 0
>
+
f(x) < 0
o
f(x) 0
>
–
y exprese el conjunto solución como un intervalo. Represéntelo en la
recta numérica.
Ejemplo 1.2.1
Resuelva la desigualdad: 5x + 19x 4
PASO 1: Realice las operaciones algebraicas, de tal manera que la
expresión algebraica tenga 0 en el lado derecho de la desigualdad.
5x + 19x 4
5x + 19x - 4 0
(5x – 1) (x + 4) 0
14 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
PASO 2: Encuentre las raíces del numerador.
(5x – 1) (x + 4) = 0
5x – 1 = 0
x+4=0
o
x = 1/5
x = -4
R= {1/5, -4}
PASO 3: Encuentre las raíces del denominador, si lo hay. Éstos son
valores prohibidos de la fracción algebraica.
No aplica
PASO 4: Ordene las raíces y los valores prohibidos en orden creciente en
la parte superior de la tabla. Distinga entre las raíces y los valores
prohibidos (si los hay). Coloque
cada factor en rectas horizontales.
-
-4
1/5
5x – 1
+
0
x+4
0
(5x-1)(x+4)
PASO 5: Estudie el signo de cada factor por columna. Multiplique los
signos de la tabla por columna.
-
-4
1/5
5x –1
-
-
x+4
-
0 +
(5x – 1)(x + 4)
+
0
-
0
+
+
+
0
+
Sección 1.2 • Método para resolver desigualdades cuadráticas,... • 15
PASO 6: En la ultima línea de la tabla, busque el signo correspondiente,
según la desigualdad original.
f(x) > 0
o
f(x) < 0
o
f(x) 0
f(x) 0
>
+
>
-
y exprese el conjunto solución como un intervalo. Represéntelo en la
recta numérica.
En esta ocasión tenemos f(x) 0. Buscamos el signo - .
S = {x| -4 < x < 1/5}
S = ]-4, 1/5[
-4
1/5
Ejemplo 1.2.2
0
2x
4 – 7x -2x
Resuelva la desigualdad
PASO 1: Realice las operaciones algebraicas, de tal manera que la
expresión algebraica tenga 0 en el lado derecho de la desigualdad.
PASO 2: Encuentre las raíces del numerador.
2x = 0
x=0
PASO 3: Encuentre las raíces del denominador, si lo hay. Éstos son
valores prohibidos de la fracción algebraica.
4 – 7x - 2x = 0
(x + 4) (1 – 2x) = 0
x = -4
o
x = 1/2
R = {-4, }
PASO 4: Ordene las raíces y los valores prohibidos en orden creciente en
la parte superior de la tabla. Distinga entre las raíces y los valores
prohibidos (si los hay). Coloque cada factor en rectas horizontales.
16 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
-
-4
0
2x
1/2
+
0
1 – 2x
x+4
(x+4)(1-2x)
0
PASO 5: Estudie el signo de cada factor por columna. Multiplique los
signos de la tabla por columna.
-
-4
0
2x
+
+
1 – 2x
+
+
x+4
-
+
-
+
(1-2x)(x+4)
1/2
0
+
+
+
+
-
+
+
+
-
0
PASO 6: En la ultima línea de la tabla, busque el signo correspondiente,
según la desigualdad original.
f(x) > 0
o
f(x) < 0
o
f(x) 0
f(x) 0
>
+
>
-
y exprese el conjunto solución como un intervalo. Represéntelo en
la recta numérica.
En este ejemplo, tenemos 0. Buscamos el + y el 0.
S = {x| -4 < x < }
S = ]-4,[.
-4
1/5
Observe que en el ejemplo anterior, aunque se tiene 0, no
podemos incluir a –4 y a en el conjunto solución, porque son valores
prohibidos.
Sección 1.2 • Método para resolver desigualdades cuadráticas,... • 17
También, al decir, que se estudia el signo de los factores, esto significa,
que se sustituye x por un valor en el interior del intervalo limitado por la
columna y se observa el signo. Por ejemplo, x tiene siempre signo
positivo, aunque pase por cero, porque para x=–2, (–2)=4 y para x=3,
3=9 y ambos resultados son positivos. Para 1–2x, si sustituimos por un
número menor que , por ejemplo, para x=–1, 1–2(–1) = 3 es positivo,
pero si sustituimos por x=4, 1–2(4) = –7, y este resultado es negativo.
De ahí, los signos colocados en la tabla de signos.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Resuelva los siguientes ejercicios:
a)
2x
> 0
4 – 7x -2x
b)
2x
< 0
4 – 7x -2x
c)
2x
< 0
4 – 7x -2x
Solución: a) S = ]-4, 0[ U ]0, [
b) S = ]-, -4[ U {0} U ], + [
c) S = ]-, -4[ U ], + [
18 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
1.3 ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR
Definición 1.3.1
Existe ecuación de la forma:
anxn + an-1xn-1 + .........+ a1x + a0 = 0
donde los ai, i = 1,2,....,n..... son números reales y n es un número
positivo, los cuales reciben el nombre de ecuaciones polinómicas de
grado superior.
Aprenderemos en esta sección varios teoremas que son muy útiles en la
resolución de este tipo de ecuaciones polinómicas.
Teorema 1.3.1
Si f(x) y g(x) son funciones polinómicas, g(x) 0, entonces existen
funciones polinómicas únicas q(x) y r(x) tales que
f(x) = g(x) q(x) + r(x)
donde el grado r(x) < grado g(x).
F(x) se llama dividendo, g(x) el divisor, q(x) el cociente y r(x) el
residuo.
Ejemplo 1.3.2
Divida 3x4 – 8x2 + 4 entre 2x2 + x -1
3/2 x2 -3/4 x – 23/8
2x2 + x –1 3x4 + 0 x3
–
8 x2 + 0x
+
4
-3 x4 – 3/2x3 + 3/2 x2
- 3/2x3 – 13/2 x2
3/2x3 + x2
-x
- 23/4x2 - x
23/4x2 + 23/8 x – 23/8
17/8 x + 9/8
Por lo tanto, por el Teorema 1.3.1
f(x) =
4
2
3x – 8x + 4 = (3/2 x
g(x)
2
•
q(x)
2
r(x)
-3/4 x – 23/8)( 2x + x –1) + 17/8 x + 9/8
Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 19
Asumamos que g(x) = x – a. Por el Teorema 1.3.1, obtenemos que
f(x) = (x – a) q(x) + r
ya que el grado de r(x) tiene que ser de grado menor que x – a.
Ahora, dividamos el polinomio p(x) = 3x3 + 5x –8 entre el polinomio
Lineal s(x) = x+3, usando división sintética.
3
3
0
5
-8
-9
27
-96
-9
32
-104
-3
Y al dividir estos polinomios, podemos expresar la respuesta de la forma:
p(x) = 3x3 + 5x –8 = (3x2 - 9x + 32)(x+3) + (-104)
Si queremos encontrar p(–3) sustituimos en x el valor de –3
p(-3) = 3(-3)2 –9(-3) + 32)(-3 + 3) + (-104)
p(-3) = 86(0) + (-104)
p(-3) = -104 = r
Expresándolo en forma general,
p(x) = (x – a) q(x) + r
p(a) = (a – a) q(a) + r
p(a) = r
Lo anterior se denomina el Teorema del residuo.
Teorema 1.3.2
Si un polinomio p(x) se divide entre x – a, el residuo, r, es igual a p(a).
La división sintética sólo se puede utilizar para dividir un polinomio de
grado n, entre uno lineal.
Ejemplo 1.3.3
Usando división sintética, dado p(x) = 2x3 + 3x2 - x –5, encuentre p(-1).
20 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
Solución:
2
2
3
-1
-5
-2
-1
2
1
-2
-3
-1
Por lo tanto, usando el Teorema del Residuo, obtenemos que p(-1) = -3.
De la misma manera, podemos encontrar el residuo de una división,
usando el Teorema del Residuo.
Ejemplo 1.3.4
Usando sustitución, encuentre el residuo de dividir
p(x) = 2x3 + 3x2 - x -5 entre x + 1.
Solución:
p(-1) = 2(-1)3 + 3(-1)2 – (-1) –5
= -2 + 3 + 1 –5
= -3
Por lo tanto, el residuo de dividir p(x) entre x + 1 es r = -1.
De la misma manera, si x – a es un factor de p(x), entonces existe un
q(x) tal que
p(x) = (x – a) q(x)
p(x) = (x – a) q(x) + 0
que significa que si p(x) se divide entre x – a, entonces el residuo es 0.
Por lo tanto, podemos hablar del Teorema del Factor.
Teorema 1.3.3
Un polinomio p(x) tiene factor x – a, si y sólo si p(a) = 0.
O sea que una manera de demostrar si x – a es un factor, es
sustituyendo directamente x = a en el polinomio. Si el resultado es cero,
automáticamente sabemos que es un factor.
Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 21
También, si tenemos que p(a) = 0 o que x – a es un factor del polinomio
p(x), entonces decimos que x = a es una raíz del polinomio.
Ejemplo 1.3.5
Demuestre que x – 2 es un factor de p(x) = x3 + 5x2 – 2x - 24
usando el Teorema del Factor. Luego factorice completamente.
Solución:
p(x) = x3 + 5x2 – 2x - 24
p(2) = 23 + 5(2)2 – 2(2) - 24
= 8 + 20 –4 –24
=0
Ya que x – 2 es factor de p(x), entonces el grado del polinomio disminuye
a una cuadrática, usando división sintética.
1
1
5
-2
-24
2
14
24
7
12
0
2
Por lo tanto,
p(x) = x3 + 5x2 – 2x - 24
= (x – 2) (x2 + 7x + 12)
= (x - 2) (x + 3) (x + 4)
factorizando x2 + 7x + 12
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Resuelva ahora los siguientes ejercicios:
I. Use división sintética y el Teorema del Residuo para encontrar
1) p(5) dado p(x) = 2x3 – 12x2 – x + 30
2) p(-4) dado p(x) = x4 – 10x2 + 25x - 2
22 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
3) p(1/3) dado p(x) = 6x3 + 4x2 – 5x -4
4) p(2) dado p(x) = 2x4 – 4x3 – 9x2 – 8x + 14
5) p(-i) dado p(x) = x3 + 3x2 – 2x + 1
II. Determine si el segundo polinomio q(x) es factor del primero, sin
dividir ni usar división sintética:
1) p(x) = x18 - 1,
q(x) = x – 1
2) p(x) = 3x3 – 7x2 - 8x + 2,
7
6
q(x) = x + 1
2
3) p(x) = 7x – 2x + x + 2x + 5,
7
4) p(x) = x + 1,
q(x) = x + 1
5) p(x) = x6 + 1,
q(x) = x + i
q(x) = x - 1
III. Use división sintética para hallar un valor de k de tal manera que p(x)
sea divisible por q(x)
1) p(x) = x4 + x3 + 3x2 + kx - 4,
2) p(x) = kx4 + 2x2 + 9k ,
q(x) = x – 1
q(x) = x – 1
3) p(x) = x3 + kx2 – 2kx + 4,
q(x) = x + 2
Solución:
I. 1) –25
2) –6
3) –5
4) 0
5) –2 +3i
II. 1) sí
2) sí
3) no
4) sí
5) sí
III. 1) k=-1
2) k=-1/5 3) k=1/2
EL TEOREMA DE LA RAÍZ RACIONAL Y SUS APLICACIONES
Podemos ahora aplicar el Teorema del Factor y del Residuo,
conjuntamente con el Teorema de Raíces Racionales para resolver
ecuaciones polinómicas de grado superior.
Recuerde que: Resolver una ecuación significa encontrar los números
reales x con los que la ecuación dada resulta verdadera; a dichos
números se les llaman soluciones o raíces de la ecuación.
Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 23
Pero antes, es necesario dar el Teorema de las n-raíces, que nos ayudara
a expresar las ecuaciones como producto de factores lineales.
TEOREMA 1.3.4
Todo polinomio p(x) de grado n > 1 con coeficientes reales o complejos se
puede expresar como el producto de n factores lineales.
Ejemplo 1.3.6
Dada la ecuación:
x3 + 5x2 - 2x - 24 = 0
y en base al ejemplo 1.3.4 y al Teorema de las n-raíces, tenemos que
(x - 2) (x + 3) (x + 4) = 0
y como consecuencia de la Propiedad del Producto Nulo (si a • b = 0,
entonces a = 0 ó b = 0), tenemos que
x–2=0
x=0
ó
x+3=0
x = -3
ó
x+4=0
x = -4
y decimos que {2, -3, -4} es el conjunto de raíces de la ecuación.
Las n raíces mencionadas en el Teorema de las n-raíces no son
necesariamente distintas. Cuando ocurren varias veces, digamos, m
veces, decimos que es una raíz de multiplicidad m.
Ejemplo 1.3.7
(x - 2)3 (x + 1)2 = 0 tiene la raíz x = 2 con multiplicidad 3 y x= -1 con
multiplicidad 2.
Ejemplo 1.3.8
Dado que las raíces de una ecuación son x = 1, x = 3 con multiplicidad 2
y
24 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
x = -2 con multiplicidad 3, encuentre la ecuación de menor grado que
satisface estas condiciones.
Solución:
Primeramente, expresaremos la ecuación como un producto de factores
lineales, es decir,
(x – 1) (x – 3)2 (x + 2)3 = 0
Desarrollando los binomios,
(x – 1) (x2 - 6x + 9) (x3 + 6x2 -+ 12x + 8) = 0
Ahora, multiplicando los polinomios, obtenemos
x6 – x5 - 15 x4 + 5x3 + 70x2 + 12x – 72 = 0
Por lo tanto, concluimos que si queremos resolver una ecuación
polinómica de grado superior, es indispensable factorizar primero con la
ayuda de los teoremas vistos anteriormente.
Sin embargo, la pregunta es, ¿cómo escoger los números para desarrollar
la división sintética y obtener un residuo 0, y así concluir que x – a es
factor del polinomio? El Teorema de la Raíz Racional nos ayuda en este
sentido.
TEOREMA 1.3.5
Sea p(x) = anxn +
an-1xn-1
+ .........+ a1x +
a0 = 0,
an 0), un
polinomio de grado n, con coeficientes enteros. Si p/q es una raíz racional
de p(x) = 0, donde p/q está en la mínima expresión, entonces p es factor
de a0 y q es factor de an.
Resolvamos ahora una ecuación polinómica de grado superior, haciendo
uso del Teorema de Raíz Racional.
Ejemplo 1.3.9
Dada la ecuación polinómica
3x4 – 13x3 + 7x2 – 13x + 4 = 0
encuentre la solución.
Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 25
Solución:
Los factores de 4 son: P = {+ 1, + 2, + 4}.
Los factores de 3 son: Q = {+ 1, + 3}.
Por lo tanto, dividiendo cada elemento del conjunto P por cada elemento
del conjunto Q, obtenemos que el conjunto de posibles raíces es
R = P/Q = {+ 1, + 2, + 4, + 1/3, + 2/3, + 4/3}.
Ahora no nos queda más que empezar a probar con cada elemento, hasta
encontrar un residuo 0.
3
-13
7
-13
4
6
-14
-14
-54
2
3
-7
-7
-27
-50
3
-13
7
-13
4
3
-10
-3
- 16
3
-10
-3
-16
-12
3
-13
7
-13
4
1
- 4
1
-4
-12
3
-12
3
1
1/3
-+
Observemos que el residuo es cero al dividir entre x – 1/3, Por lo tanto,
p(x) = (3x3 - 12x2 + 3x – 12) (x – 1/3)
Hemos reducido un polinomio de grado 4 a grado 3.
Podemos seguir probando con las posibles raíces, descartando las que ya
se usaron. Sin embargo, podemos factorizar por agrupamiento.
3x3 - 12x2 + 3x – 12 = (3x3 - 12x2 )+ (3x – 12)
= 3x2 (x – 4) + 3(x – 4)
= (x – 4) (3x2 + 3)
= 3(x – 4) (x2 + 1)
26 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
La cuadrática x2 + 1 no es factorizable y no tiene raíces reales. Usando la
fórmula cuadrática, llegamos a las raíces complejas + i. Finalmente,
3x4 – 13x3 + 7x2 – 13x + 4 = 0
3( x – 1/3)(x – 4) (x – i) (x + i) = 0
Por lo tanto, de
x – 1/3 = 0
x = 1/3
o
x–4=0
o
x= 4
El conjunto solución es {1/3, 4, i, –i}
A veces necesitamos probar con varias posibles raíces racionales, antes
de lograr obtener un 0 en el residuo, y así poder factorizar el polinomio.
Sin embargo, a veces existen situaciones en las cuales es posible
descartar algunas automáticamente.
1.- Cuando dividimos por una posible raíz racional positiva a y los
coeficientes del cociente y del residuo resultan todos números positivos,
cualquier posible raíz racional b, tal que b > a, no puede ser raíz.
2.- Cuando dividimos por una posible raíz racional negativa a y los signos
de los coeficientes del cociente y del residuo se alternan, entonces
ninguna posible raíz negativa, b, b < a, puede ser raíz.
Ejemplo 1.3.10
Dada la ecuación polinómica
4x3 - 16x2 + 11x + 10 = 0
encuentre las soluciones.
Solución:
Los factores de 4 son: P = {+ 1, + 2, + 5, + 10}.
Los factores de 4 son: Q = {+ 1, + 2, + 4}.
El conjunto de posibles raíces racionales es
R = P/Q = {+ 1, + 1/2, + , + 2, + 5, + 5/2 , + 5/4, + 10}
Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 27
Al dividir por a = -1
4
4
-16
11
10
-4
20
- 31
-20
31
- 21
-1
observamos que los coeficientes del cociente y del residuo alternan de
signo. Por lo tanto, ni –2 ni -5 ni –10 pueden ser raíces, ya que todas son
menores que –1. Se pueden descartar.
De la misma forma, al dividir entre a = 5
4
-16
11
10
20
20
155
4
31
4
5
165
observamos que tanto el cociente como el residuo son positivos, y por lo
tanto, 10 no puede ser raíz, ya que 10 es mayor que 5. Se puede
descartar.
En efecto, si resuelve la ecuación, observara que en efecto, las raíces son
–1/2, 2 y 5/2.
Otros teoremas muy útiles para resolver ecuaciones el Teorema de las
Raíces Irracionales o Complejas, que nos garantizan que si conocemos
una de ellas, podemos definir otra rápidamente.
TEOREMA 1.3.6
Las raíces complejas de polinomios con coeficientes reales se presentan
en pares conjugados.
Ejemplo 1.3.11
Dada la ecuación
x4 + 7x2 – 8 = 0
28 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
sabiendo que –2i
2 es una raíz, encuentre las demás.
Solución:
Usando división sintética, reducimos la ecuación a grado 3 y luego a
grado 2.
1
1
0
7
0
-8
–2i 2
-8
2i 2
8
–2i 2
-1
2i 2
0
–2i 2
Por el Teorema de las Raíces Complejas, podemos determinar que 2i 2
también es raíz.
1 –2i 2
-1
2i 2
1
0
2i 2
0 -2i 2
-1
2i 2
0
Usando división sintética, hemos reducido la ecuación polinómica de
grado 4 a grado 2.
x2
-1 =0
(x – 1) (x + 1) = 0
x–1=0
o
x+1=0
x=1
x = -1
El conjunto solución es S = {2i 2, -2i 2, 1, -1}
También podemos aplicar la teoría de ecuaciones a problemas de la vida
diaria. A continuación se desarrollará un ejemplo.
Ejemplo 1.3.12
Suponga que el costo por producir x unidades de una calculadora es
c(x) = 17x2 + 100
mientras que el ingreso recibido por la venta de x unidades es
r(x) = x3 + 80x.
Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 29
¿Para que valor(es) de x el costo será igual al ingreso?
Solución:
Si deseamos saber el (los) valor(es) de x en el (los) cual(es) el costo es
igual al ingreso, igualamos
17x2 + 100 = x3 + 80x.
Para resolver esta ecuación, ésta debe estar igualada a cero,
x3 - 17x2 + 80x - 100 = 0
i
(ordenando términos)
P = {+ 1, + 2, + 4, + 5, + 10, + 20, + 25, + 50, + 100}
Q = {+ 1}
R = P/Q = {+ 1, + 2, + 4, + 5, + 10, + 20, + 25, + 50, + 100}
Usando división sintética,
1
1
-17
80
-100
10
-70
100
-7
10
0
10
Por lo tanto,
(x – 10) (x2 – 7x + 10) = 0
(x – 10) (x – 2) (x –5) = 0
Los valores de x para los cuales el costo es igual al ingreso son
x = 10
o x=2
o
x=5
Es decir, cuando se venden 2 o 5 o 10 unidades, el costo de producirlos
es igual al ingreso recibido.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Aplique los teoremas estudiados al desarrollar los ejercicios. Resuelva
ahora los siguientes ejercicios:
30 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
I. Encuentre una ecuación de grado mínimo que tenga como raíces los
números indicados:
1) {-2, 1,3,4}
2) {0, i2, 3, - 3}
3) {1 + 5, 1 - 5, -1, -1}
4) {-1, 2i (raíz doble), -2i (raíz doble)}
II. Halle todas las soluciones de las ecuaciones dadas.
1) x3 - x2 - 10x - 8 = 0
2) 2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0
3) x4 + 3x3 - 30x2 – 6x + 56 = 0
4) 4x5 + 12x4 – 41x3 - 99x2 + 10x + 24 = 0
5) x3 + 3x2 - 4x + 6 = 0
6) 2x5 + 3x2 + 7 = 0
III. Resuelva los siguientes problemas.
1) Se elaborará una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón cuyas
dimensiones son 20 x 30 pulgadas, cortando cuadrados, de área x2, en
cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Demuestre que es
posible hacer dos cajas que tengan volumen de 1000 pulgadas cúbicas.
¿Cuál de las dos cajas tiene la menor área superficial?
1) Un meteorólogo encuentra que la temperatura T (°F) en cierto día
frío de invierno está dada por
T = 0.05t(t -12)(t -245) para 0< t < 24,
En donde t es el tiempo en horas y t = 0 corresponde a las 6:00 a.m.
¿A qué hora(s) del día la temperatura fue de 32 °F?
Sección 1.3 • Ecuaciones polinómicas de grado superior • 31
2) Un triángulo rectángulo tiene un área de 30 pies cuadrados y su
hipotenusa es 1 pie más larga que uno de los otros lados. Halle las
dimensiones del triángulo.
Respuestas:
I.
1) x4 – 6x3 + 3x2 + 26x - 24 = 0
2) x5 - 7x3 - 18x = 0
3) x4 - 7x3 - 10x - 4 = 0
4) x5 + x4 + 8x3 + 8x2 + 16x + 16 = 0
II.
1) {-1, -2, 4}
2) {2, -3, 5/2}
3) {4, -7, 2, -2}
4) {3, -4, -2, -1/2, 1/2}
5) no tiene raíces racionales
6) no tiene raíces racionales
III.
1) x = 5 o x = 2
La caja que corresponde a x = 5 tiene menor área superficial.
2) t = 4
(10:00 a.m.) y t = 6.20 (12:12 p.m.)
3) Los lados son de 5 pies y 12 pies.
32 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
1.4 DESCOMPOSICIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES EN
FRACCIONES PARCIALES
Repase la factorización. Discuta y analice los cuatro casos.
En la asignatura de Matemática Nivelatoria, se aprendió como operar
con expresiones racionales, en especial, a sumar y restar expresiones.
1
. -
x–1
2 . +
x
1
. =
x+1
2
.
x (x – 1) (x + 1)
Sin embargo, habrá algunas circunstancias en las cuales nos conviene
hacer el proceso inverso. Este proceso se llama descomposición de
expresiones racionales en fracciones parciales.
7x + 17 =
(x+3)2
7
. -
x+3
4
.
(x+3)2
Para poder llevar a cabo esta descomposición, es necesario que el
grado del numerador sea menor que el grado del denominador. Si no lo
es, necesita dividir primero, antes de poder descomponer la expresión
racional.
Se estudiarán cuatro casos:
Caso 1: Factores lineales distintos y no repetidos en el denominador.
Caso 2: Factores lineales repetidos en el denominador.
Caso 3: Factores cuadráticos distintos no factorizables en R en el
denominador.
Caso 4: Factores cuadráticos repetidos no factorizable en R en el
denominador.
Tome en cuenta que al descomponer las fracciones algebraicas
en fracciones parciales, es necesario no alterar el denominador
original. Si de alguna manera lo hace, no logrará encontrar los
valores buscados.
Sección 1.4 • Descomposición de expresiones racionales en fracciones parciales • 33
Caso 1: Factores lineales distintos y no repetido en el denominador:
Consideremos a P(x), donde Q(x) =(b1x – a1)(b2x – a2)...(bnx – an).
Q(x)
Escribiremos a
P(x) =
A . +
B . + ……. +
C
.
Q(x)
b1x – a1
b2x – a2
bnx – an
donde A, B, ….,C son las constantes a determinar.
Ejemplo 1.4.1
Descomponga en fracciones parciales la siguiente expresión:
x- 1
.
x3 - x2 - 2x
Solución:
x-1
=
x3 - x2 - 2x
=
x+1
.=
x (x – 2)(x + 1)
A . +
x
B
.+
x-2
C.
x+1
A(x-2)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x –2) .
x (x – 2)(x + 1)
Observe que siempre se trabaja con el denominador original. No debe
cambiarlo de ninguna forma.
Obtenemos:
x – 1 = A(x-2)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x –2)
Sustituyamos x = 0 en (*) y resulta que
-1 = -2 A
A=
Sustituyendo x = 2 en (*)
1 = 6B
B = 1/ 6
(*)
34 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
Y para x = -1 en (*)
-2 = 3C
C = -2/3
Expresando la fracción algebraica en fracciones parciales:
x-1
=
x3 - x2 - 2x
x+1
.=
x (x – 2)(x + 1)
1/2 . +
x
1/6 . +
x-2
-2/3 .
x+1
Caso 2: Factores lineales repetidos en el denominador:
Supongamos que el factor (bx – a) se repite p veces en el
denominador. Escribiremos a
P(x) =
A
.+
B
. + ……. +
C
.
Q(x)
b1x – a1
(b1x – a1 )2
(b1x – a1)p
Ejemplo 1.4.2
Descomponga en fracciones parciales la siguiente expresión racional:
x3 – 1
.
x (x – 2)3
2
Solución:
x3 – 1 . =
x (x – 2)3
2
A .+
x
B . +
x2
C . +
(x – 2)3
D . +
(x – 2)2
E .
x–2
= A(x – 2)3+ Bx(x – 2)3 + Cx2 + Dx2(x – 2) + Ex2(x – 2)2
x2 (x – 2)3
Comparando numeradores:
x3 – 1 = A(x – 2)3+ Bx(x – 2)3 + Cx2 + Dx2(x – 2) + Ex2(x – 2)2
Desarrollando los binomios y agrupando términos semejantes:
x3 – 1 = (B+E)x4+ (A-6B+D-4E)x3 + (-6A+12B+C-2D+4E)x2 +
+ (12A-8B)x – 8ª
Observe que a x3 – 1 lo podemos completar y expresar de la siguiente
forma:
x3 – 1 = 0x4 + 1x3 + 0x2 + 0x - 1
Sección 1.4 • Descomposición de expresiones racionales en fracciones parciales • 35
Igualando coeficientes:
B
A–
+E=0
6B
+ D – 4E = 1
-6A + 12B + C –2D + 4E = 0
-8A
= -1
Resolviendo, obtenemos
A = 1/8, B = 3/16, C = 7/4, D = 5/4, E= -3/16
Sustituyendo,
x3 – 1 . = 1/8 . + 3/16 . +
x (x – 2)3
x
x2
2
7/4 . + 5/4 . + -3/16 .
(x – 2)3
(x – 2)2
x–2
Caso 3: Factores cuadráticos distintos no factorizables en R en el
denominador:
Al factor cuadrático no factorizable en R ax2 + bx + c le corresponde
Ax + B
.
ax + bx + c
2
Ejemplo 1.4.3
Descomponga en fracciones parciales la siguiente expresión racional:
x2 – 2x – 3
.
(x-1)(x2 + 2x +2)
Solución:
x2 – 2x – 3
.=
Ax + B . +
(x-1)(x2 + 2x +2)
x2 + 2x +2
C .
x–1
x2 – 2x – 3
. = (Ax + B)(x –1) + C(x2 + 2x +2)
2
(x-1)(x + 2x +2)
(x-1)(x2 + 2x +2)
Igualando numeradores.
x2 – 2x – 3 = (Ax + B)(x –1) + C(x2 + 2x +2)
36 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
Desarrollando binomios y agrupando términos semejantes:
x2 – 2x – 3 = (A + C) x2 + (B – A+ 2C)x + 2C – B
Igualando los coeficientes término a término:
A
+ C=1
-A + B + 2C = -2
- B + 2C = -3
Resolviendo para A, B y C obtenemos:
A = 9/5,
B = 7/5,
C = -4/5
Sustituyendo:
.=
x2 – 2x – 3
(x-1)(x2 + 2x +2)
9/5x + 7/5 . +
x2 + 2x +2
-4/5 .
x–1
Caso 4: Factores cuadráticos repetidos no factorizables en R en el
denominador:
Si ax2 + bx + c es un factor cuadrático de Q(x) que se repite p veces,
entonces correspondiente a este factor (ax2 + bx + c)p tenemos la
suma de las siguientes fracciones parciales:
P(x) =
Q(x)
Ax + B
ax2 + bx + c
+
Cx + D
+ ………+
Ex + F
.
(ax2 + bx + c)2
(ax2 + bx + c)p
Ejemplo 1.4.4
Descomponga en fracciones parciales la siguiente expresión racional:
x–2
.
x (x2 - 4x + 5)2
Solución:
x–2
.= A.+
Bx + C
. +
2
2
2
x (x - 4x + 5)
x
(x - 4x + 5)
2
x–2
. =
x (x - 4x + 5)2
2
Dx + E .
x - 4x + 5
2
A(x2-4x+5)2 + x(Bx+C) + x(x2-4x+5)2(Dx+E)
x (x2 - 4x + 5)2
Sección 1.4 • Descomposición de expresiones racionales en fracciones parciales • 37
Igualando coeficientes término a término
A+
+ D
-8A
= 0
+ 4D + E = 0
16A +
B+
-40A
+ 5D - 4E = 0
+C
25A
+ 5E = 1
= -2
Resolviendo el sistema:
A = -2/25,
B= 2/5,
C = -3/5,
D = 2/25,
E=-8/25
Sustituyendo:
x–2
= -2/25 + 2/5x – 3/5
x (x2 - 4x + 5)2
x
(x2 - 4x + 5)2
+ 2/25x – 8/25 .
x2 - 4x + 5
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
A continuación, resuelva los siguientes ejercicios:
Descomponga
las
siguientes
parciales:
1)
5x2 + 20x + 6 .
x3 + 2x2 + x
2)
8x3 + 13x
(x2 + 2)2
3)
3x + 4 .
x3 - 2x - 4
4)
2x + 1 .
x2 + 2x – 3
5)
5x + 6 .
x2 + 3x + 2
6)
5x - 1 .
x2 – 1
.
fracciones
algebraicas
en
fracciones
38 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
7)
3x - 1 .
x2 - x – 6
8)
1
.
x2 + x
9)
6x - 1 .
x3 ( 2x – 1)
10)
4x
.
(x2 + 1) (x2 + 2x + 3)
.
x2
(x + 4)2
11)
2
12)
x+3 .
x4 + 9x2
13)
x
.
(x - 3)2
14)
6x2 - 3x + 1 .
(4x + 1) (x2 + 1)
Respuestas:
1. 6 . - 1 . +
9
.
x
x+1
(x + 1)2
2.
8x . 3x .
x2 + 2
(x2 + 2)2
3.
1 .x+1 .
x–2
x2 + 2x + 2
4.
5/4 . + .
x+3
x–1
5.
1
.+
4 .
x+1
x–1
6.
3
.+
x+1
7.
8/5
x–3
.+
8.
1 .x
1 .
x+1
2 .
x–1
7/5 .
x+2
Sección 1.4 • Descomposición de expresiones racionales en fracciones parciales • 39
9.
-16 . +
x
4 . +
x2
1 .+.
x3
16 .
2x – 1
10.
x+1 .(x2 + 1)
x+3
.
(x2 + 2x + 3)
11.
1
. x2 + 4
4
.
(x2 + 4)2
12. 1/9 . +
x
-1/9x – 1/3 .
x2 + 9
3x .
1 .x-3
(x - 3)2
13.
14.
1/3 . +
x2
2
.+
(4x + 1)
x-1 .
x2 + 1
AUTOEVALUACIÓN
Efectúe la autoevaluación antes de la sesión presencial:
1. Al completar la división sintética
1
3
-5
7
2
el residuo resulta
a) 0
b) –7
c) 21
d) 17
2. ¿Cuál de los siguientes conjuntos representa las raíces posibles de
2x3 - 8x2 + 7x – 10 = 0?
a) {+ 1, + 2, + 5, + 10}
c) {+ 2, + 10}
b) {+ 1, + 1/2, + 2, + 5/2, + 5, + 10}
d) {+ 1, + 2, + 10}
3. Si x + 1 es factor de f(x) = x3 - 2kx2 + x – 7, entonces
a) k = 0
b) k = 9/2
c) k = -5/2
d) k = -9/2
40 • Capítulo 1 • División de polinomios, teoría de ecuaciones, fracciones...
4. Si f(x) = 36x98 - 40x25 + 18x14 - 3x7 + 40x4 + 5x2 - x + 2 se divide
por x – 1, el residuo es
a) 0
b) 2
c) 57
d) 135
5. Si x3 - k2x + 4 se divide por x – 1 y el residuo es 4, entonces
a) k = +1
b) k = + 5
c) k= + 3
d) k = 0
6. El conjunto solución de la ecuación polinómica:
x4 + 7x3 + 13x2 - 3x – 18 = 0
a) {-3, -2, 1}
b) {3,2,-1}
A . +
B .+
x-3
x+2
c) 2
d) 0
2x2 – 4x – 8 . en las fracciones parciales
(x2 - x)(x2 + 4)
8. Si se descompone
a) –2x + 4
C . , entonces A =
x-1
b) 1
A. +
B .+
x
x-1
d) no tiene raíces
6x2 + x- 37 . en las fracciones parciales
(x - 3)(x+2)(x-1)
7. Si se descompone
a) –2
c) {-3, 2, -1}
Cx + D , entonces Cx + D =
x2 + 4
b) 2x + 4
9. Si se descompone
c) 2x – 4
x2
.
(x + 1)2
d) –2x – 4
en las fracciones parciales
2
en
Ax + B +
x2 + 1
a) 1
Cx + D , entonces B =
(x2 + 1)2
b) –1
c) 0
d) 2
Sección 1.4 • Descomposición de expresiones racionales en fracciones parciales • 41
10. Si se descompone
entonces
x2 + 2x + 4 . en las fracciones parciales
(x + 1)3
A . +
B .+
x+1
(x + 1)2
a) 3
b) –1
C
, entonces C =
(x + 1)3
c) 0
d) –3
Respuestas:
1. d
2. b
3. d
4. c
7. d
8. b
9. c
10. a
5. a
6. a
Capítulo 2
Ecuaciones y desigualdades
2.1 Resolución de ecuaciones
lineales
2.2 Resolución de problemas y
uso de fórmulas
2.3 Aplicaciones del álgebra
2.4 Problemas adicionales de
aplicación
2.5 Resolución de desigualdades lineales
2.6 Resolución de ecuaciones
y desigualdades con valores absolutos
Resumen del capítulo
Ejercicios de repaso del
capítulo
Examen de práctica del
capítulo
Examen de repaso
acumulativo
E
n el caso de casi todas las personas, la compra de una casa es la transacción comercial más importante que realizan en sus vidas. Después de negociar el precio de la casa, por lo general,
es preciso elegir un plan de crédito hipotecario. ¿Cómo hacerlo? Cuando de escoger un plan de
crédito se trata, ¿se busca el que no incluye un costo por la solicitud, el que exige menos requisitos, el que ofrece la tasa de interés más baja, o el que regala boletos de avión gratis? ¿Hay que pensar en algo más? En la página 73 se comparan los costos de dos créditos hipotecarios, mediante
ecuaciones que describen el costo de cada uno, de tal manera que se pueda determinar en qué
mes los costos en que se incurre por cada uno son iguales. Al hacer este tipo de cálculos comprenderemos que, cuando se selecciona un plan hipotecario, un factor clave a considerar es durante cuánto tiempo tendremos la casa.
42
Sección 2.1 • Resolución de ecuaciones lineales • 43
Avance de
la lección
E
n este capítulo enfocaremos nuestra atención a la resolución de ecuaciones y desigualdades lineales, y a la utilización de ecuaciones, fórmulas y desigualdades
lineales para resolver problemas de la vida real. Después de revisar el procedimiento
a realizar para resolver ecuaciones (en la sección 2.1), se presenta una útil técnica de
resolución de problemas (en la sección 2.2). Utilizaremos esta técnica a lo largo de las
secciones 2.2, 2.3 y 2.4, así como en el resto de este libro. En la sección 2.5 hablaremos
de las ecuaciones y desigualdades que incluyen valor absoluto. A lo largo del capítulo, nos daremos cuenta del poder del álgebra como una herramienta para la resolución
de problemas en una gran variedad de áreas, incluyendo bienes raíces, química, negocios, banca, física y finanzas personales.
2.1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
1
1
Identificar las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
2
Reducir términos semejantes.
3
Resolver ecuaciones lineales.
4
Resolver ecuaciones con fracciones.
5
Identificar ecuaciones condicionales, ecuaciones inconsistentes e identidades.
6
Entender los conceptos para resolver ecuaciones.
Identificar las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva
En álgebra elemental usted aprendió a resolver ecuaciones lineales. En esta sección repasaremos brevemente el procedimiento. No obstante, antes de hacerlo es necesario
conocer tres útiles propiedades de la igualdad: la propiedad reflexiva, la propiedad
simétrica y la propiedad transitiva.
Propiedades de la igualdad
Para todos los números reales a, b y c:
1. a = a.
Propiedad reflexiva
2. Si a = b, entonces b = a.
Propiedad simétrica
3. Si a = b y b = c, entonces a = c. Propiedad transitiva
Ejemplos de la propiedad reflexiva
7 = 7
x + 3 = x + 3
Ejemplos de la propiedad simétrica
Si x = 3, entonces 3 = x.
Si y = x + 4, entonces x + 4 = y.
Ejemplos de la propiedad transitiva
Si x = a y a = 4y, entonces x = 4y.
Si a + b = c y c = 4r, entonces a + b = 4r.
En este libro utilizaremos con frecuencia estas propiedades, sin referirnos a ellas por
su nombre.
44 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
2
Reducir términos semejantes
Cuando una expresión algebraica consta de varias partes, las partes que se suman o restan son los términos de la expresión. La expresión 3x2 6x 2, que puede escribirse
3x2 (6x) (2), tiene tres términos; 3x2, 6x y 2. La expresión
6x2 - 31x + y2 - 4 +
tiene cuatro términos: 6x2, 3(x y), 4 y
x + 2
5
x + 2
.
5
Expresión
Términos
1 2
x - 3x - 7
2
1 2
x,
2
- 5x3 + 3x2y - 2
-5x3,
41x + 32 + 2x + 51x - 22 + 1
41x + 32, 2x, 51x - 22, 1
-3x,
3x2 y,
-7
-2
La parte numérica del término que precede a la variable, es su coeficiente numérico o, simplemente, su coeficiente. En el término 6x2, el 6 es el coeficiente numérico.
Cuando el coeficiente es 1 o 1, por lo general omitimos el número. Por ejemplo, x significa 1x, x2y significa 1x2y, y (x y) significa 1(x y).
Observe que
Término
Coeficiente numérico
5k
7
5
7
-41x + 22
-4
x - 2
3
1
3
-1x + y2
-1
1
x - 2
significa 1x - 22 y (x y) significa 1(x y).
3
3
Cuando un término consta de un solo número, a éste por lo general se le llama
constante. Por ejemplo, en la expresión x2 4, el 4 es una constante.
El grado de un término con exponentes enteros no negativos es la suma de los
exponentes de la variable del término. Por ejemplo, 3x2 es un término de segundo
grado y 4x es un término de primer grado (4x significa 4x1). El número 3 puede escribirse como 3x0, así que el número 3 (y cualquier otra constante diferente de
cero) tiene grado cero. Cuando un término tiene el exponente 0, se dice que el término no tiene grado. El término 4xy5 es un término de sexto grado, ya que la suma de los
exponentes es 1 5, o 6. El término 6x3y5 es un término de octavo grado, puesto que
3 5 8.
Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables con los
mismos exponentes. Por ejemplo, 3x y 5x son términos semejantes, 2x2 y 3x2 son términos semejantes, al igual que 3x2y y 2x2y. Los términos que no reúnen esta condición reciben el nombre de términos no semejantes. Todas las constantes se consideran
términos semejantes.
Simplificar una expresión significa reducir (o combinar) todos los términos
semejantes en la expresión. Para reducir términos semejantes, podemos aplicar la propiedad distributiva.
Sección 2.1 • Resolución de ecuaciones lineales • 45
Ejemplos de reducción de términos semejantes
5 x - 2 x = 15 - 22 x = 3x
3 x2 - 5 x2 = 13 - 52 x2 = - 2x2
-7 x2y + 3 x2y = 1- 7 + 32 x2y = - 4x2y
41x - y2 - 1x - y2 = 41x - y2 - 11x - y2 = 14 - 121x - y2 = 31x - y2
Al simplificar expresiones, podemos reordenar los términos aplicando las propiedades conmutativa y asociativa.
EJEMPLO 1
Simplifique. Si una expresión no puede simplificarse, dígalo.
a) -2x + 5 + 3x - 7
Solución
b) 7x2 - 2x 2 + 3x + 4
c) 2x - 3y + 5x - 6y + 3
2x + 3x(')'*
+ 5 - 7 Coloque juntos los términos semejantes.
a) -2x + 5 + 3x - 7 = (')'*
x
-2
Esta expresión se simplifica y resulta x 2.
b) 7x2 - 2x 2 + 3x + 4 = 5x 2 + 3x + 4
c) 2x - 3y + 5x - 6y + 3 = 2x + 5x - 3y - 6y + 3 Coloque juntos los términos
semejantes.
= 7x - 9y + 3
EJEMPLO 2
Solución
✺
Simplifique - 21a + 72 - 3 - 31a - 12 + 54.
-21a + 72 - 3-31a - 12 + 54 = - 21a + 72 - 13-31a - 12 + 54
= - 2a - 14 - 13- 3a + 3 + 54
Propiedad distributiva.
= - 2a - 14 - 13- 3a + 84
Propiedad distributiva.
= - 2a - 14 + 3a - 8
Reducimos los términos semejantes. ✺
= a - 22
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 55
3
Reducimos los términos semejantes.
Resolver ecuaciones lineales
Una ecuación es una proposición matemática de igualdad. Las ecuaciones deben
contener un signo de igual y una expresión matemática a cada lado del mismo.
Ejemplos de ecuaciones
x + 4 = -7
2x2 - 4 = - 3x + 5
Los números que hacen que una ecuación sea una proposición verdadera, se llaman soluciones o raíces de la ecuación. El conjunto solución de una ecuación es el
conjunto de números reales que hacen que la ecuación sea verdadera.
Ecuación
Solución
Conjunto solución
2x + 3 = 9
3
536
Cuando dos o más ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, se dice que
son ecuaciones equivalentes. Por lo general las ecuaciones se resuelven iniciando con
la ecuación dada y produciendo una serie de ecuaciones equivalentes más simples.
46 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Ejemplo de ecuaciones equivalentes
Ecuaciones
Conjunto solución
2x + 3 = 9
2x = 6
x = 3
536
536
536
En esta sección explicaremos cómo resolver ecuaciones lineales con una variable.
Una ecuación lineal es aquella que puede escribirse en la forma ax b c, a Z 0.
Para resolver ecuaciones, aplicamos las propiedades de suma y multiplicación de
la igualdad para aislar la variable en un lado del signo igual.
Propiedad de suma de la igualdad
Si a b, entonces a c b c para cualesquiera a, b, y c.
La propiedad de suma de la igualdad establece que podemos sumar el mismo
número en ambos lados de una ecuación sin alterar la solución de la ecuación original.
Como la resta se define en los mismos términos que una suma, la propiedad de suma de la igualdad también nos permite restar el mismo número en ambos lados de
una ecuación.
Propiedad de multiplicación de la igualdad
Si a b, entonces a c b c para cualesquiera a, b, y c.
La propiedad de multiplicación de la igualdad establece que podemos multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo número sin alterar la solución. Como
la división se define en los mismos términos que la multiplicación, la propiedad de multiplicación de la igualdad también nos permite dividir ambos lados de una ecuación entre el mismo número distinto de cero.
Para resolver una ecuación, muchas veces se tiene que aplicar una combinación
de propiedades a fin de aislar la variable. Nuestra meta es tener la variable completamente sola en un lado de la ecuación (esto es, despejarla o aislarla). A continuación se
explica un procedimiento general para resolver ecuaciones lineales.
Para resolver ecuaciones lineales
1. Elimine las fracciones. Si la ecuación contiene fracciones, elimínelas multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador.
2. Simplifique cada lado por separado. Simplifique cada lado de la ecuación tanto
como sea posible. Utilice la propiedad distributiva para eliminar paréntesis y reduzca los términos semejantes cuando sea necesario.
3. Aísle el término variable en un lado. Utilice la propiedad de la suma para dejar
todos los términos que contienen a la variable en un lado de la ecuación, y todos
los términos constantes en el otro lado. Para hacer esto puede ser necesario aplicar varias veces la propiedad de la suma.
4. Despeje la variable. Aplique la propiedad de la multiplicación para obtener una
ecuación que tenga sólo la variable (con un coeficiente de 1) en un lado.
5. Compruebe. Verifique la solución resultante del paso 4, sustituyendo con ella la
variable en la ecuación original.
Sección 2.1 • Resolución de ecuaciones lineales • 47
EJEMPLO 3
Resuelva la ecuación 2x 4 9.
Solución
2x + 4 = 9
2x + 4 - 4 = 9 - 4
2x = 5
Reste 4 en ambos lados.
1
2x
5
Divida ambos lados entre 2.
=
2
2
1
x =
Verifique:
5
2
2x + 4 = 9
5
?
2a b + 4 = 9
2
?
5 + 4 = 9
9 = 9
Como el valor satisface la ecuación, la solución es
Solución correcta.
✺
5
2.
Siempre que una ecuación contenga términos semejantes del mismo lado del
signo igual, redúzcalos antes de aplicar las propiedades de suma
EJEMPLO 4
Solución
Resuelva la ecuación 2b 5 3b 10.
-2b + 5 = 3b - 10
- 2b + 2b + 5 = 3b + 2b - 10
Sume 2b en ambos lados.
5 = 5b - 10
5 + 10 = 5b - 10 + 10
Sume 10 en ambos lados.
15 = 5b
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 63
15
5b
=
5
5
Divida ambos lados entre 5.
✺
3 = b
El ejemplo 5 incluye números decimales. Para resolver este problema, siga el
procedimiento que se explicó antes.
EJEMPLO 5
Solución
Resuelva la ecuación 4(x – 3.1) 2.1(x – 4) 3.5x.
41x - 3.12 = 2.11x - 42 + 3.5x
41x2 - 413.12 = 2.11x2 - 2.1142 + 3.5x
Propiedad distributiva.
4x - 12.4 = 2.1x - 8.4 + 3.5x
4x - 12.4 = 5.6x - 8.4
4x - 12.4 + 8.4 = 5.6x - 8.4 + 8.4
Reduzca los términos semejantes.
Sume 8.4 en ambos lados.
48 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
4x - 4.0
4x - 4x - 4.0
-4.0
- 4.0
1.6
-2.5
= 5.6x
= 5.6x - 4x
= 1.6x
1.6x
=
1.6
= x
Reste 4x en ambos lados.
Divida ambos lados entre 1.6.
✺
La solución es 2.5.
Para ahorrar espacio, en este libro no se mostrará siempre la comprobación de
las respuestas, pero usted sí debe verificarlas todas. Cuando la ecuación contenga números decimales, puede utilizar una calculadora para resolver y verificar la ecuación
más rápido.
Cómo utilizar su calculadora
Comprobación de soluciones por sustitución
Las soluciones de las ecuaciones pueden comprobarse por medio de una calculadora. Para verificar, sustituya la
variable de ambos lados de la ecuación con su resultado para ver si obtiene el mismo valor (algunas veces puede
haber una pequeña diferencia en los últimos dígitos). La pantalla de la calculadora graficadora de la figura 2.1
muestra ambos lados de la ecuación dada en el ejemplo 5, con un resultado de 22.4 cuando x se sustituye con 2.5.
Por lo tanto, la solución 2.5 satisface la ecuación.
41x - 3.12 = 2.11x - 42 + 3.5x
41-2.5 - 3.12 = 2.11-2.5 - 42 + 3.51- 2.52
— Valor del lado izquierdo
de la ecuación.
Ejercicios
Utilice su calculadora para determinar si el número
dado es la solución de la ecuación.
1. 5.21x - 3.12 = 2.31x - 5.22; 1.4
2. -2.314 - x2 = 3.51x - 6.12; 10.125
— Valor del lado derecho
de la ecuación.
FIGURA 2.1
A continuación resolveremos un ejemplo que contiene paréntesis anidados.
EJEMPLO 6
Solución
Resuelva la ecuación 7c - 15 = - 2361c - 32 - 412 - c24.
7c - 15 = - 2361c - 32 - 412 - c24
7c - 15 = - 236c - 18 - 8 + 4c4
Propiedad distributiva.
7c - 15 = - 2310c - 264
Reducción de términos semejantes.
7c - 15 = - 20c + 52
Propiedad distributiva.
7c + 20c - 15 = - 20c + 20c + 52
Sume 20c en ambos lados.
27c - 15 = 52
27c - 15 + 15 = 52 + 15
Sume 15 en ambos lados.
27c = 67
27c
67
=
27
27
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 91
c =
67
27
Divida ambos lados entre 27.
✺
Sección 2.1 • Resolución de ecuaciones lineales • 49
Observe que las soluciones a los ejemplos 5 y 6 no son números enteros. No debe esperar que las soluciones a las ecuaciones sean siempre números enteros.
Al resolver ecuaciones, omitiremos algunos pasos intermedios. En seguida se
ilustra cómo puede acortarse el procedimiento.
Solución
a)
b)
4
Solución abreviada
x + 4 = 6
x + 4 - 4 = 6 - 4 — Haga este paso
mentalmente.
x = 2
a) x + 4 = 6
x = 2
3x = 6
3x
6
=
— Haga este paso mentalmente.
3
3
x = 2
b)
3x = 6
x = 2
Resolver ecuaciones con fracciones
Cuando una ecuación tiene fracciones, empezamos multiplicando ambos lados de la
ecuación por el mínimo común denominador. El mínimo común denominador (MCD)
de un conjunto de denominadores (también llamado mínimo común múltiplo, MCM),
es el número más pequeño que divide a cada uno de los denominadores sin obtener
residuo (residuo 0). Por ejemplo, si los denominadores de dos fracciones son 5 y 6, entonces el mínimo común denominador es 30, ya que 30 es el número más pequeño que
dividen 5 y 6 de manera exacta, es decir, sin residuo.
Cuando se multiplican ambos lados de la ecuación por el MCD, en realidad se
está multiplicando cada término de la ecuación por el mínimo común denominador.
Después de realizar este paso, la ecuación no debe tener fracciones.
EJEMPLO 7
Solución
Resuelva la ecuación 5 -
2x
= - 9.
3
El mínimo común denominador es 3. Multiplique ambos lados de la ecuación por 3 y
después aplique la propiedad distributiva en el lado izquierdo. Este procedimiento eliminará todas las fracciones de la ecuación.
2x
= -9
3
5 3 a5 3152 - 3 a
1
2x
b = 3 1-92
3
Multiplique ambos lados por 3.
2x
b = - 27
3
Propiedad distributiva.
1
15 - 2x = - 27
15 - 15 - 2x = - 27 - 15
Reste 15 en ambos lados.
-2x = - 42
-2x
-42
=
-2
-2
x = 21
Divida ambos lados entre 2.
✺
50 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
EJEMPLO 8
Solución
Resuelva la ecuación
1
1
1x + 42 = x.
2
3
Empiece multiplicando ambos lados de la ecuación por 6, el mínimo común denominador de 2 y 3.
1
6 c 1x + 42 d
2
31x + 42
3x + 12
3x - 2x + 12
x + 12
x + 12 - 12
x
1
= 6 a xb
3
= 2x
= 2x
= 2x - 2x
= 0
= 0 - 12
= - 12
Multiplique ambos lados por 6.
Simplifique.
Propiedad distributiva.
Reste 2x en ambos lados.
Reste 12 en ambos lados.
✺
En la sección 6.4 estudiaremos más a fondo las ecuaciones que contienen fracciones.
SUGERENCIA
La ecuación del ejemplo 8 también puede escribirse como
x + 4
x
= .
2
3
¿Puede explicar por qué?
Cómo utilizar su calculadora graficadora
Las ecuaciones con una variable pueden resolverse por medio de una calculadora graficadora. En la sección
3.3 analizamos cómo hacerlo. Si lo desea, puede revisar ese material ahora.
5
Identificar ecuaciones condicionales, ecuaciones inconsistentes e identidades
Todas las ecuaciones que se han analizado hasta el momento han sido verdaderas sólo para un valor de la variable. Este tipo de ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones condicionales. Algunas ecuaciones nunca son verdaderas y no tienen solución; a
éstas se les denomina ecuaciones inconsistentes. Otras ecuaciones, llamadas identidades, tienen un número infinito de soluciones. La tabla 2.1 resume estos tipos de ecuaciones lineales y su correspondiente número de soluciones.
TABLA 2.1
Tipo de ecuación lineal
Solución
Ecuación condicional
Una
Ecuación inconsistente
Ninguna (conjunto solución: ¤)
Identidad
Número infinito (conjunto solución El conjunto solución de una ecuación condicional se presenta entre llaves. Por
ejemplo, el conjunto solución del ejemplo 8 es {12} El conjunto solución de una
ecuación inconsistente es el conjunto vacío o nulo, representado por { } o ¤. El conjunto solución de una identidad es el conjunto de los números reales, y se representa
como .
EJEMPLO 9
Determine si la ecuación 5(d 7) 4d 3 3(3d 10) 2 es una ecuación condicional, una ecuación inconsistente o una identidad. Dé el conjunto solución para la
ecuación.
Sección 2.1 • Resolución de ecuaciones lineales • 51
Solución
51d - 72 + 4d + 3 = 313d - 102 - 2
5d - 35 + 4d + 3 = 9d - 30 - 2
9d - 32 = 9d - 32
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 121
EJEMPLO 10
Solución
Propiedad distributiva.
Reduzca los términos semejantes.
Como obtenemos la misma expresión en ambos lados de la ecuación, podemos concluir
que es una identidad. En otras palabras, esta ecuación es verdadera para todos los números reales y, por lo tanto, su conjunto solución es .
✺
Determine si 2(3x 1) 6x 3 es una ecuación condicional, una ecuación inconsistente o una identidad. Proporcione el conjunto solución para la ecuación.
213x + 12 = 6x + 3
6x + 2 = 6x + 3
6x - 6x + 2 = 6x - 6x + 3
Propiedad distributiva.
Reste 6x en ambos lados.
2 = 3
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 115
6
Como 2 3 la proposición nunca será verdadera; por lo tanto, esta ecuación es inconsistente y su conjunto solución es ¤.
✺
Entender los conceptos para resolver ecuaciones
Los números o variables que aparecen en las ecuaciones no afectan los procedimientos que se utilizan para resolverlas. En el ejemplo siguiente, que no contiene letras ni
números, resolveremos la ecuación utilizando los conceptos y procedimientos que se
han presentado.
EJEMPLO 11
En la ecuación siguiente, suponga que } representa la variable cuyo valor queremos
averiguar, y que los demás símbolos representan números reales diferentes de cero. Resuelva la ecuación para }.
n} + ^ = #
Solución
Para conocer el valor de } , es necesario aislar }. Para ello utilizaremos las propiedades de la suma y la multiplicación.
n} + ^ = #
n} + ^ - ^ = # - ^
Reste ^ en ambos lados.
n} = # - ^
n}
# - ^
=
n
n
# - ^
} =
n
Por lo que la solución es } =
# - ^
.
n
Divida ambos lados entre n.
✺
Considere la ecuación 5x 7 12. Si hacemos que 5 = n, x = }, 7 = ^, y
12 #, la ecuación tiene la misma forma que la del ejemplo 11. Por lo tanto, la solución será semejante.
52 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Ecuación
Solución
n} + ^ = #
} =
5x + 7 = 12
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 139
x =
# - ^
n
12 - 7
5
= = 1
5
5
Si usted resuelve la ecuación 5x 7 12, verá que su solución es 1. Por lo tanto, el procedimiento utilizado para resolver una ecuación no depende de los números o variables dadas en la ecuación.
Conjunto de ejercicios 2.1
Ejercicios conceptuales
1. ¿Qué son los términos de una ecuación?
2. Determine el coeficiente de cada término.
a) x 2y 5
b) - a 3b7
c) -
a - 7b
5
3. Determine el coeficiente de cada término.
x + y
4
a)
b) - 1x + 32
c) -
31x + 22
5
4. ¿Cómo se determina el grado de un término?
5. a) ¿Qué son los términos semejantes?
9. Establezca la propiedad de suma de la igualdad.
10. Establezca la propiedad de multiplicación de la igualdad.
11. a) ¿Cuántas soluciones tiene una identidad?
b) Si una ecuación lineal es una identidad, ¿cuál es su conjunto solución?
12. a) ¿Que es una ecuación inconsistente?
b) ¿Cuál es el conjunto solución de una ecuación inconsistente?
13. a) Explique con sus propias palabras los pasos necesarios
para resolver la ecuación
5x - 21x - 42 = 21x - 22
b) ¿Los términos 3x y 3x2 son semejantes? Explique.
6. ¿Qué es una ecuación?
7. ¿La solución de la ecuación 2x 3 x 5 es 4? Explique.
8. ¿El conjunto solución para la ecuación x 1 2x – 7 es
{8}? Explique.
b) Resuelva la ecuación anterior.
14. a) Explique con sus propias palabras los pasos necesarios
para resolver la ecuación
2
1
1
= x 6
3
8
b) Resuelva la ecuación anterior.
Problemas de aplicación
Diga el nombre de cada propiedad.
15. Si x 13, entonces 13 x.
16. Si x 2 3, entonces 3 x 2.
17. Si b c y c 7, entonces b 7.
18. Si x 1 a y a 2y, entonces x 1 2y.
19. a + c = a + c
20. Si x 4, entonces x 3 4 3.
21. Si x 8, entonces x 8 8 8.
22. Si 2x 4, entonces 3(2x) 3(4).
1
1
23. Si 5x 4, entonces 15x2 = 142.
5
5
24. Si x 2 4, entonces x 2 2 4 2.
25. Si
t
t
1
5
1
5
+
= , entonces 12 a + b = 12 a b .
4
3
6
4
3
6
26. Si x 3 x y y x y z, entonces x 3 z.
Indique el grado de cada término.
27. 5c3
28. - 6x 2
29. 3xy
30.
1 4
xy
2
Sección 2.1 • Resolución de ecuaciones lineales • 53
31. 6
32. -3
5 6
36. x y
35. 5a b c
34. 18x 2y 3
33. -5x
4 6
2 4
38. -2x 4y 7z8
37. 3x y z
Simplifique cada expresión. Si una expresión no puede simplificarse, indíquelo.
39. 7r + 3b - 11x + 12y
40. 3x 2 + 4x + 5
41. 5x 2 - 3x + 2x - 5
42. 11a - 12b - 4c + 5a
43. 10.6c2 - 2.3c + 5.9c - 1.9c2
44. 7y + 3x - 7 + 4x - 2y
45. w 3 + w 2 - w + 1
46. b + b2 - 4b + b2 + 3b
47. 6pq - 7pq + p + q
48. 7x 3y 2 + 11y 3x 2
49. 12 a
51. 3a x +
d
1
+ b - d
6
4
1
1
b - x + 5
2
3
50. 4.3 - 3.2x - 21x - 22
52. 6n + 0.61n - 32 - 51n + 0.72
53. 4 - 3613x + 22 - x4 + 4
54. 31x + y2 - 41x + y2 - 3
55. 4x - 33x - 15x - 4y24 + y
57. 5b - 573213b - 22 - 14b + 924 - 26
2
59. -532rs - 31r + 2s24 - 212r - s26
56. - 233x - 12y - 12 - 5x4 + y
58. 2533a - 12b - 5a24 - 312a - b26
60. p2q + 4pq - 3- 1pq + 4p2q2 + pq4
Resuelva cada ecuación.
61. 5a - 1 = 14
62. 2x + 3 + x = 9
63. 5x - 9 = 31x - 22
64. 5s - 3 = 2s + 6
65. 4x - 8 = - 412x - 32 + 4
66. 8w + 7 = - 3w - 4
67. - 61z - 12 = - 51z + 22
68. 71x - 12 = 41x + 22
69. -31t - 52 = 21t - 52
70. 412x - 42 = - 21x + 32
71. 3x + 41x - 22 = 4x - 5
72. 61q - 32 = - 41q + 22
73. 2 - 1x + 52 = 4x - 8
74. 4x - 213x - 72 = 2x - 6
75. p - 1p + 42 = 41p - 12 + 2p
76. 8x + 21x - 42 = 8x + 10
77. -31y - 12 + 2y = 41y - 32
78. 5r - 13 - 6r = 31r + 52 - 16
79. 6 - 1n + 32 = 3n + 5 - 2n
80. 8 - 312x - 42 = 5 + 3x - 4x
81. 412x - 22 - 31x + 72 = - 4
82. - 213w + 62 - 14w - 32 = 21
83. -413 - 4x2 - 21x - 12 = 12x
84. -412z - 62 = - 31z - 42 + z
85. 51a + 32 - a = -14a - 62 + 1
86. 312x - 42 + 31x + 12 = 9
87. 51x - 22 - 14x = x - 5
88. 336 - 1h + 224 - 6 = 41- h + 72
90. - z - 6z + 3 = 4 - 36 - z - 13 - 2z24
92. 3531x - 22 + 4x4 - 1x - 326 = 4 - 1x - 122
94. - 316 - 4x2 = 4 - 55x - 36x - 14x - 13x + 22246
89. 233x - 14x - 624 = 51x - 62
91. 452 - 331c + 12 - 21c + 1246 = - 2c
93. - 541d + 32 - 533d - 212d + 724 -86 = -10d - 6
Resuelva cada ecuación. Si su respuesta no es un entero, déjela como una fracción.
s
= - 16
4
3
7
t + t = 39
99.
4
8
3
102. x - 2 = 1x + 42
4
95.
96.
4x - 2
5x + 3
1
= -6
= 2
16x - 102 = 7
97.
98.
3
4
2
1
1
3
1x - 22 = 12x + 62
100.
101. 4 - x = 7
4
3
4
1
4
5
7
1
5
2
= x = m +
m 103.
104.
2
5
4
6
12
8
3
Resuelva cada ecuación. Redondee las respuestas al centésimo más cercano.
105. 0.4n + 4.7 = 5.1n
107. 4.7x - 3.61x - 12 = 4.9
106. 0.21x - 302 = 1.6x
108. 6.1p - 4.513 - 2p2 = 15.7
54 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
109. 51z + 3.412 = - 7.8912z - 42 - 5.67
110. 0.0512000 + 2x2 = 0.0412500 - 6x2
111. 0.61500 - 2.4x2 = 3.612x - 40002
112. 0.42x - x = 5.11x + 32
113. 100017.34q + 14.782 = 10013.91 - 4.21q2
114. 0.6114x - 80002 = - 0.4120x + 12,0002 + 20.6x
Determine el conjunto solución para cada ejercicio. Luego indique si la ecuación es condicional, inconsistente o una identidad.
115. 31y + 32 - 412y - 72 = - 5y + 2
116. 4x + 12 - 8x = - 61x - 22 + 2x
117. 412x - 32 + 5 = - 61x - 42 + 12x - 31
118. - 51c + 32 + 41c - 22 = 21c + 22
121. 61x - 12 = - 312 - x2 + 3x
122. 61z + 52 - 51z + 22 = - 31z + 12 + 41z - 52
119. - 1- b + 72 - 61b + 32 = - 51b + 52
123. - 51d - 42 + 3d - 5 = 31d + 1 - 2d2 + d
120. -34 - 1x - 224 = 2x - 2 - x
124. 412 - 3x2 = - 36x - 18 - 6x24
Resolución de problemas
125. Bebés dormilones El doctor Richard Ferber, un pediatra
experto en problemas del sueño, ha desarrollado un método* para ayudar a los niños, de 6 meses de edad en adelante, a dormir toda la noche. Conocido como “Ferberizing”,
este método consiste en que los padres deben esperar intervalos de tiempo cada vez más grandes antes de entrar
a la habitación del niño para consolar su llanto durante la
noche. El tiempo sugerido de espera depende de cuántas
noches se ha utilizado el método, y puede determinarse
por medio de la ecuación
W = 5n + 5
en donde W es el tiempo de espera en minutos y n es el número de noches. Por ejemplo, la primera noche es n 1,
la segunda noche es n 2, etcétera.
a) ¿Cuánto deben esperar los padres la primera noche?
b) ¿Cuánto deben esperar la cuarta noche?
c) ¿En qué noche los padres deben esperar 30 minutos?
d) ¿En qué noche deben esperar 40 minutos?
sucesivamente. Si la densidad de población continúa en
aumento a la tasa actual,
a) determine la densidad poblacional de Estados Unidos
en 2005.
b) ¿en que año la densidad poblacional de Estados Unidos llegará a 100 personas por milla cuadrada?
127. Participación de mercado de los fabricantes de automóviles Desde 1993, los fabricantes estadounidenses de automóviles han ido perdiendo parte del mercado ante sus
competidores de Asia y Europa. Del total de automóviles vendidos en Estados Unidos, el porcentaje que corresponde a los autos de fabricación doméstica puede estimarse
usando la ecuación
M = - 1.26x + 75.34
en donde M es el porcentaje de automóviles de fabricación doméstica del total vendido en Estados Unidos, y x es
el número de años desde 1993. Utilice x 1 para 1994,
x 2 para 1995, etcétera.
126. Densidad poblacional La densidad poblacional de Estados Unidos ha aumentado de manera constante desde
1990, y puede estimarse por medio de la ecuación
P = 0.81t + 70.4
en donde P es la densidad poblacional, es decir, el número de personas por milla cuadrada, y t es el número de años
desde 1990. Utilice t 1 para 1991, t 2 para 1992, y así
a) ¿Qué porcentaje del total de automóviles vendidos en
Estados Unidos corresponde a autos de fabricación doméstica en 2003?
b) ¿En qué año el porcentaje de autos de fabricación
doméstica será de 58.96% sobre el total de ventas en
Estados Unidos?
*Antes de utilizar este método, los padres deben consultar a un médico pediatra.
Sección 2.2 • Resolución de problemas y uso de fórmulas • 55
128. Pensiones Las pensiones son seguros de vida que garantizan pagos futuros. Una de sus variantes, denominada pensión variable, es una cuenta de retiro que permite invertir
en un fondo mutualista y diferir el pago de impuestos hasta que se realicen los retiros en el futuro. El número de
personas que opta por este tipo de pensiones ha aumentado de manera constante en los años recientes, y su número puede calcularse mediante la ecuación
S = 10x + 20
en donde S representa la venta total de pensiones variables (en miles de millones de dólares), y x es el número
de años desde 1991. Utilice x 1 para 1992, x 2 para
1993, etcétera.
a) Determine la venta total de pensiones variables en 2001.
b) ¿En qué año la venta de este tipo de pensión alcanzará los 140 mil millones de dólares?
129. Población de Jamestown La población del municipio de
Jamestown, en Wisconsin, ha estado creciendo paulatinamente desde 1996. La población puede calcularse usando
la ecuación
P = 7x + 2170
en donde P es la población del municipio de Jamestown y x
es el número de años desde 1996. Utilice x 1 para 1997,
x 2 para 1998, y así sucesivamente.
a) ¿Cuál fue la población en 2003?
b) Si continúa la misma tasa de crecimiento, ¿en qué año
la población llegará a 2240 habitantes?
130. Considere la ecuación x 4. Proporcione tres ecuaciones
equivalentes. Explique por qué son equivalentes.
131. Considere la ecuación 2x 5. Proporcione tres ecuaciones
equivalentes. Explique por qué son equivalentes.
132. Invente una ecuación que sea una identidad. Explique cómo creó la ecuación.
133. Invente una ecuación que sea inconsistente. Explique cómo creó la ecuación.
134. Cree una ecuación con tres términos a la izquierda del signo igual y dos términos a la derecha, y que sea equivalente a la ecuación 3x 1 x 5.
135. Cree una ecuación con dos términos a la izquierda del signo igual y tres términos a la derecha, y que sea equivalente a la ecuación 12 x + 3 = 6.
136. En la ecuación –3(x 2) 5x 12 n, ¿qué número real
debe ser n para que la solución sea 6? Explique cómo determinó su respuesta.
137. En la ecuación 2(x 5) n 4x – 8, ¿qué número real
debe ser n para que la solución sea 2? Explique cómo
determinó su respuesta.
138. En la ecuación n6 + x4 = 2, ¿qué número real debe ser n
para que la solución sea x 2? Explique cómo determinó su respuesta.
Resuelva cada ecuación para el símbolo dado. Suponga que el símbolo que despeja representa la variable, y que todos los demás
símbolos representan números reales diferentes de cero. Vea el ejemplo 11.
139. De ❋^ - n = } despeje ^.
140. De ^1} + n2 = despeje ^.
141. De } n + ^ = despeje }.
142. De ^1} + n2 = despeje n.
Ejercicios de repaso acumulativo
143. a) Explique con sus propias palabras cómo se determina el valor absoluto de un número.
b) Escriba la definición de valor absoluto.
Evalúe.
144. a) -32
3 - 64
145. 1
146. a - b
3
4
b) 1- 322
3
2.2 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y USO DE FÓRMULAS
1
Usar el procedimiento para resolución de problemas.
2
Despejar una variable en una ecuación o fórmula.
56 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
1
Usar el procedimiento para resolución de problemas
Una de las principales razones para estudiar matemáticas, es que las podemos utilizar
para resolver problemas de la vida diaria. Para resolver de forma matemática casi todos los problemas de aplicación de la vida real, es necesario que podamos expresarlos
mediante símbolos matemáticos en expresiones o ecuaciones; al hacerlo, estamos creado un modelo matemático de la situación.
En esta sección se presenta un procedimiento para resolución de problemas y se
analizan fórmulas. Una fórmula es una ecuación o modelo matemático de una situación
de la vida real. A lo largo del libro resolveremos problemas y, para hacerlo, determinaremos una ecuación o fórmula que represente o modele la situación del mundo real.
A continuación se indica un procedimiento general de cinco pasos para resolver
problemas, desarrollado por George Polya y presentado en su libro How to Solve it
(Cómo resolverlo). Siguiendo este procedimiento general, es posible enfrentar cualquier problema.
George Polya
Guía para la resolución de problemas
1. Entienda el problema
•
Lea el problema cuidadosamente al menos dos veces. En la primera lectura,
hágase una idea general del problema. En la segunda, determine a) exactamente qué se le está pidiendo, y b) qué información proporciona el problema.
•
De ser posible, haga un bosquejo que ilustre el problema. Identifique la información proporcionada.
•
Liste la información en una tabla, si cree que hacerlo le ayudará a resolver el
problema.
2. Traduzca el problema a lenguaje matemático.
•
•
Por lo general, esto quiere decir expresar el problema en forma algebraica.
En ocasiones esto incluye la selección de una fórmula específica a utilizar; en
otras, usted tendrá que crear su propia ecuación. Incluso, podría ser necesario
verificar otras fuentes de información para encontrar la fórmula apropiada que
se debe utilizar.
3. Realice los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema.
4. Compruebe la respuesta obtenida en el paso 3.
•
Pregúntese: “¿esta respuesta tiene sentido?, ¿es razonable?”. Si la respuesta no
es razonable, vuelva a verificar el método que utilizó para resolver el problema
y compruebe sus cálculos.
•
De ser posible, verifique la solución en el problema original.
5. Responda la pregunta. Asegúrese de haber respondido la pregunta realizada. Establezca las respuestas con claridad.
Los siguientes ejemplos muestran cómo aplicar estas instrucciones para la resolución de problemas. En algunos ejemplos se indicarán claramente los cinco pasos para ilustrar el procedimiento. Sin embargo, en otros quizá no sea posible o
necesario.
Como se indica en el paso 2 de la guía para la resolución de problemas —traduzca el problema a lenguaje matemático—, algunas veces es necesario encontrar y usar una
fórmula; en esta sección se muestra cómo hacerlo. En la sección 2.3 explicaremos
cómo construir ecuaciones para resolver problemas de la vida real.
EJEMPLO 1
Préstamo personal Sofía Gutiérrez le hace un préstamo a su hermano, Saúl. El monto del préstamo es de $5000, con un interés simple de 6% anual, y Saúl tendrá que devolverlo 3 años después.
Sección 2.2 • Resolución de problemas y uso de fórmulas • 57
a) ¿Qué interés le pagará Saúl a Sofía transcurridos los 3 años?
b) Cuando Saúl pague el préstamo 3 años después, ¿cuánto dinero, en total, deberá pagarle a Sofía?
Solución
a) Entienda el problema Cuando una persona obtiene un préstamo con interés
simple, deberá pagar tanto el interés como el capital (es decir, el monto original que
se le prestó) en una fecha determinada. Por ejemplo, si un préstamo con interés simple tiene una vigencia de 3 años, transcurrido ese tiempo tendrá que pagarse el capital más el interés. En el problema se nos dice que el interés simple tiene una tasa de
6%, y que la vigencia del préstamo es de 3 años.
Traduzca Muchos libros de matemáticas financieras y de inversiones incluyen la
fórmula de interés simple:
interés capital tasa tiempo o i prt
Esta fórmula puede usarse para determinar el interés simple, i. En la fórmula, p es el
capital, r es la tasa de interés simple (siempre se cambia a forma decimal cuando se usa
en la fórmula) y t es el tiempo. El tiempo y la tasa deben representarse en las mismas
unidades. Por ejemplo, si la tasa es de 6% por año, entonces el tiempo debe representarse en años. En este problema, p $5000, r 0.06 y t 3. El valor del interés simple, i, se obtiene sustituyendo estos valores en la fórmula.
Realice los cálculos
i = prt
= 500010.062132
= 900
La respuesta parece razonable, ya que indica que Saúl pagará $900
por utilizar los $5000 de Sofía durante 3 años.
Compruebe
Responda
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 67
EJEMPLO 2
a) Saúl le pagará a Sofía $900 de interés simple.
b) Transcurridos 3 años, Saúl debe pagar el capital que le prestaron, $5000, más el interés determinado en la parte a), $900. (El capital más el interés que se debe se denomina monto adeudado, A). Por lo tanto, cuando Saúl salde su deuda, deberá pagarle
$5900 a Sofía.
✺
Finanzas personales Catalina Carmona recibe un reembolso de impuestos por $1425,
e invierte este dinero para ayudar a pagar el primer semestre de la universidad de su
hermano. Catalina invierte el dinero en un certificado de depósito que le ofrece una
tasa de interés anual de 3% compuesto de forma mensual durante 18 meses.
a) ¿Cuánto valdrá el certificado de depósito después de 18 meses?
b) ¿Cuánto ganará Catalina por concepto de intereses durante los 18 meses?
Solución
a) Entienda el problema Antes de nada, debe comprender qué es el interés compuesto. Este concepto significa que el inversor obtiene un interés sobre inversión en
el primer periodo; en el periodo siguiente, obtiene el interés sobre su inversión, más el
interés sobre el interés que se pagó en el primer periodo. Este proceso se repite en cada periodo. Como puede ver, en muchas situaciones de la vida real, y en muchas que
podrían presentársele en su trabajo, es necesario hacer cierta investigación para responder las preguntas que se nos plantean.
Según se plantea en el problema, se hizo una inversión de $1425 por 18 meses y
con una tasa de interés de 3% compuesto mensual.
58 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Traduzca Si busca en un libro de matemáticas financieras o le pregunta a una persona relacionada con las finanzas, averiguará que la fórmula del interés compuesto es:
A = pa1 +
r nt
b
n
Las instituciones financieras utilizan la fórmula del interés compuesto para calcular la cantidad acumulada (o el saldo), A, de las cuentas de ahorros y otras inversiones que devengan interés compuesto. En la fórmula, p representa el capital (o inversión inicial), r
representa la tasa de interés (escrita en forma decimal), n representa el número de periodos por año que se paga el interés, y t representa el tiempo medido en años. En este
problema, p $1425, r 0.03, t 1.5 (18 meses es igual a 1.5 años) y, como el interés se
paga cada mes, n 12. Sustituya estos valores en la fórmula y haga los cálculos.
r nt
b
n
0.03 1211.52
= 1425a1 +
b
12
= 142511 + 0.0025218
A = pa1 +
Realice los cálculos
= 142511.0025218
= 142511.045969122
Obtenido con una calculadora.
= 1490.51
Redondeado al centavo más cercano.
La respuesta, $1490.51, es razonable, ya que es una cantidad superior a la que Catalina invirtió al principio.
Compruebe
El certificado de depósito de Catherine tendrá un valor de $1490.51
transcurridos 18 meses.
Responda
b) Entienda el problema El monto total que se obtiene por concepto de intereses
será la diferencia entre el monto original invertido y el valor del certificado de depósito transcurridos los 18 meses.
Traduzca
Realice
los cálculos
interés = a
monto invertido
valor del certificado de
b - a
b
originalmente
depósito después de 18 meses
1490.51 1425 65.51
Compruebe El monto de los intereses es razonable, y el cálculo puede verificarse fácilmente.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 77
Responda
El interés ganado en el periodo de 18 meses será de $65.51.
✺
Muchas veces, las fórmulas incluyen subíndices, que son números (u otras variables) colocados debajo y a la derecha de las variables; su función es ayudar a clarificarlas. Por ejemplo, si una fórmula contiene dos velocidades, la velocidad inicial y la
velocidad final, estas velocidades pueden representarse como V0 y Vf, respectivamente. Los subíndices se leen usando la palabra “sub”. Por ejemplo, Vf se lee “V sub f” y x2
se lee “x sub 2”. La fórmula utilizada en el ejemplo 3 tiene subíndices.
EJEMPLO 3
Comparación de inversiones Mariana Gómez percibe ingresos por un monto gravable con un impuesto federal de 27%. Mariana está tratando de decidir si debe
invertir en bonos municipales libres de impuestos (que pagan una tasa de interés de
2.24%), o en certificados de depósito gravables con una tasa de 3.70%.
a) Determine la tasa de interés gravable equivalente a 2.24% libre de impuestos
para Mariana.
b) Si ambas inversiones tuvieran vigencia por el mismo periodo, ¿cuál le proporcionaría a Mariana el mayor rendimiento sobre su inversión?
Sección 2.2 • Resolución de problemas y uso de fórmulas • 59
Solución
a) Entienda el problema Los intereses que recibimos por ciertas inversiones, como
los bonos municipales, no son gravables. Esto significa que no tenemos que pagar
impuestos federales sobre el interés que recibimos. Los intereses devengados por otras
inversiones como las cuentas de ahorro o los certificados de depósito, sí son gravables.
Pagar impuestos sobre el interés, provoca una reducción en el monto que en realidad
deberíamos recibir por nuestra inversión. De acuerdo con el problema, necesitamos determinar la tasa de interés gravable que es equivalente a una tasa de 2.24% libre de impuestos para Mariana (o para cualquier persona que perciba ingresos gravables con una
tasa fiscal de 27%).
Una fórmula que ofrecen muchos libros de finanzas y algunas publicaciones gubernamentales para comparar tasas de interés gravables y libres de impuestos es
Traduzca
Tf = Ta11 - F2
en donde Tf es la tasa libre de impuestos, Td es la tasa gravable y F es el rango de ingresos gravables con impuestos federales. Para determinar la tasa gravable, Ta, sustituimos los valores apropiados en la fórmula y despejamos Ta.
Tf = Ta11 - F2
0.0224 = Ta11 - 0.272
Realice los cálculos
0.0224 = Ta10.732
0.0224
= Ta
0.73
0.0307 L Ta
Compruebe
Redondee a cuatro decimales.
La respuesta parece razonable, ya que es mayor a 2.24%, tal como
se esperaba.
Responda La tasa de impuestos gravable equivalente para Mariana es de alrededor de 3.07%; esto significa que después de pagar impuestos, una inversión gravable
que produzca alrededor de 3.07% le daría a Mariana aproximadamente la misma tasa de interés que una inversión libre de impuestos de 2.24%.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 83
2
b) Se nos pidió determinar qué inversión proporcionaría a Mariana el mayor rendimiento sobre su inversión. Podemos comparar la tasa gravable equivalente a los bonos
municipales, con la tasa de interés gravable de los certificados de depósito. La tasa más
alta proporcionará a Mariana el mayor rendimiento sobre su inversión.
Como vimos en la parte a), la tasa gravable equivalente a los bonos municipales es
de 3.07%. La tasa sujeta a impuestos de los certificados de depósito es de 3.70%. Por lo
tanto, el certificado de depósito, que paga 3.70%, dará a Mariana un mayor rendimiento
sobre su inversión que el bono municipal libre de impuestos, que paga 2.24%.
✺
Despejar una variable en una ecuación o fórmula
Hay muchas situaciones en las que usted podría tener una ecuación o fórmula con una
variable despejada, pero tener la necesidad de despejar otra. En el ejemplo 3, suponga que queremos determinar la tasa gravable equivalente, Ta, para muchas tasas de interés libres de impuestos y muchos rangos de ingresos. Podríamos resolver cada
problema de forma individual, como ya lo hicimos. Sin embargo, sería mucho más rápido despejar Ta en la fórmula Tf Ta(1 F) y luego sustituir los valores apropiados
en la fórmula. Haremos esto en el ejemplo 8.
Comenzaremos resolviendo ecuaciones para la variable y. Necesitaremos hacer
esto en el capítulo 3, cuando estudiemos graficación. Como las fórmulas son ecuaciones,
60 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
para despejar una variable en ellas se usa el mismo procedimiento que para despejarla en una ecuación.
Cuando se le dé una ecuación (o fórmula) con una variable despejada y usted
quiera despejar otra diferente, trate cada variable de la ecuación, excepto la que quiere despejar, como si fuesen constantes. Después, aísle la variable que quiere despejar
utilizando los mismos procedimientos que se utilizan para resolver ecuaciones.
EJEMPLO 4
Solución
Despeje y en la ecuación 5x 8y 16.
Despejaremos la variable y aislando el término que contiene a y en el lado izquierdo
de la ecuación
5x - 8y = 16
5x - 5x - 8y = - 5x + 16
Reste 5x en ambos lados.
-8y = - 5x + 16
-8y
-5x + 16
=
-8
-8
- 5x + 16
y =
-8
y =
y =
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 29
EJEMPLO 5
Solución
Divida ambos lados entre 8.
- 11-5x + 162
Multiplique por –1 el numerador y el
denominador.
-11- 82
5x - 16
8
o y =
Despeje y en la ecuación 2y - 3 =
5
x - 2
8
✺
1
1x + 3y2.
2
Como la ecuación contiene una fracción, empezamos por multiplicar ambos lados por
el mínimo común denominador, 2. Luego aislamos la variable y agrupando todos los
términos que la contienen en un lado de la ecuación, y los demás términos en el otro
lado.
1
1x + 3y2
2
1
2 12y - 32 = 2 c 1x + 3y2 d
2
4y - 6 = x + 3y
2y - 3 =
4y - 3y - 6 = x + 3y - 3y
Multiplique ambos lados por el MCD, 2.
Propiedad distributiva.
Reste 3y en ambos lados.
y - 6 = x
y - 6 + 6 = x + 6
y = x + 6
Sume 6 en ambos lados.
✺
Ahora despejemos una variable en una fórmula. Recuerde: nuestro objetivo es
aislar la variable que queremos despejar. Para ello usamos el mismo procedimiento
general empleado en los ejemplos 4 y 5.
EJEMPLO 6
Solución
La fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo es P 2l 2w, en donde l es
el largo y w es el ancho del rectángulo (vea la figura 2.2). Despeje w en esta fórmula.
Ya que vamos a despejar la variable w, debemos aislarla en un lado de la ecuación.
Sección 2.2 • Resolución de problemas y uso de fórmulas • 61
Rectángulo
w
l
FIGURA 2.2
EJEMPLO 7
Solución
Trapecio
b1
h
b2
FIGURA 2.3
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 57
P = 2l + 2w
P - 2l = 2l - 2l + 2w Reste 2l en ambos lados.
P - 2l = 2w
P - 2l
2w
=
Divida ambos lados entre 2.
2
2
P - 2l
= w
2
P - 2l
P
2l
P
=
- l.
Así, w =
ow =
2
2
2
2
✺
La fórmula para determinar el área de un trapecio es A = 12 h1b1 + b22, en donde h
es la altura y b1 y b2 son las longitudes de las bases inferior y superior del trapecio, respectivamente (vea la figura 2.3). Despeje b2 en esta fórmula.
Empezamos multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCD, 2, para eliminar
las fracciones.
1
h1b1 + b22
2
1
2 # A = 2 c h1b1 + b22 d
2
2A = h1b1 + b22
h1b1 + b22
2A
=
h
h
2A
= b1 + b2
h
A =
2A
- b1 = b1 - b1 + b2
h
2A
- b1 = b2
h
Multiplique ambos lados por 2.
Divida ambos lados entre h.
Reste b1 en ambos lados.
✺
EJEMPLO 8
En el ejemplo 3 se presentó la fórmula Tf Ta(1 F).
a) Despeje Ta en esta fórmula.
b) Juan y Dolores Cuevas perciben ingresos por un monto gravable con 35%. ¿Cuál
es el rendimiento gravable equivalente a 3% del rendimiento libre de impuestos?
Solución
a) Deseamos despejar Ta en esta fórmula. Por lo tanto, trataremos a todas las demás
variables de la ecuación como si fueran constantes. Como la variable Ta se multiplica
por (1 F), para aislarla dividimos ambos lados de la ecuación entre 1 F.
Tf = Ta11 - F2
Ta1 1 - F 2
=
1 - F
1 - F
Tf
Tf
= Ta or Ta =
1 - F
1 - F
Tf
Divida ambos lados entre 1 F.
b) Sustituya los valores apropiados en la fórmula resultante en la parte a).
Ta =
Tf
1 - F
0.03
0.03
Ta =
=
L 0.046
1 - 0.35
0.65
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 63
Así, el rendimiento gravable equivalente sería de alrededor de 4.6%.
✺
62 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Conjunto de ejercicios 2.2
Ejercicios conceptuales
1. ¿Qué es una fórmula?
2. ¿Qué es un modelo matemático?
3. Describa el procedimiento de cinco pasos que utilizaremos para la resolución de problemas.
4. Para despejar una variable en una fórmula, necesitamos
aislarla. Explique qué significa esto.
5. En la ecuación 16 2l 2(3) y la fórmula P 2l 2w,
pejar l en la fórmula que el que usó para despejar l en
la ecuación?
d) En la fórmula de la parte b) en que despejó l, sustituya P por 16 y w por 3; luego determine el valor de l.
¿Cómo se compara el resultado con la respuesta que
dio en la parte a)? Explique por qué.
6. a) ¿Qué son los subíndices?
a) despeje l de la ecuación.
b) ¿Cómo se lee x0?
b) despeje l de la formula.
c) ¿Cómo se lee vf?
c) ¿Fue diferente el procedimiento que utilizó para des-
Problemas de aplicación
Evalúe las siguientes fórmulas para los valores dados. Utilice la tecla p de su calculadora cuando sea necesario. Redondee las respuestas al centésimo más cercano.
7. E IR, cuando I 1.2, R 100 (fórmula conocida como
Ley de Ohm, utilizada en electrónica y electricidad).
8. C 2pr cuando r 12 (fórmula para determinar la circunferencia de un círculo).
9. R R1 R2, cuando R1 100, R2 200 (fórmula utilizada en electrónica y electricidad).
1
bh cuando b 7, h 6 (fórmula para determinar
2
el área de un triángulo).
10. A =
11. A pr2 cuando r 8 (fórmula para determinar el área de
un círculo).
T1 P2
cuando T 1 = 250, T 2 = 500, P2 = 300
T2
(fórmula química que relaciona la temperatura y la presión
de gases).
12. P 1 =
x1 + x2 + x3
cuando x 1 = 40, x 2 = 120, x3 = 80
3
(fórmula para determinar el promedio de tres números).
13. x =
1
h1b 1 + b 22 cuando h = 10, b 1 = 20, b 2 = 30
2
(fórmula para determinar el área de un trapecio).
14. A =
15. A P Prt cuando P 200, r 0.05, t 2 (fórmula bancaria para calcular el saldo total de una cuenta después de
agregar el interés).
16. E a1p1 a2p2 cuando a1 10, p1 0.2, a2 100, p2 0.3 (fórmula estadística para determinar el valor esperado
de un evento).
y2 - y1
cuando y2 4, y1 3, x2 2, x1 6
x2 - x1
(fórmula para calcular la pendiente de una línea recta; estudiaremos esta fórmula en el capítulo 3).
17. m =
m1 m2
cuando G 0.5 m1 100, m2 200, r 4
r2
(fórmula de física que proporciona la fuerza de atracción
entre dos masas separadas por una distancia, r).
18. F = G
R1 R2
cuando R1 = 100, R2 = 200 (fórmula de
R1 + R2
electrónica para determinar la resistencia total en un circuito paralelo que tiene dos resistores
19. R T =
20. d = 21x2 - x122 + 1y2 - y122 cuando x2 5, x1 3,
y2 6, y1 3 (fórmula
para determinar la distancia entre dos puntos sobre una línea recta.
- b + 2b2 - 4ac
cuando a 2, b 5, c 12
2a
(de la fórmula cuadrática; analizaremos la fórmula cuadrática en el capítulo 8).
21. x =
22. x =
-b - 2b2 - 4ac
cuando a 2, b 5, c 12
2a
(de la fórmula cuadrática).
r nt
b cuando p 100, r 0.06, n 1, t 3
n
(fórmula para calcular el interés compuesto; vea el ejemplo 2).
x - m
24. z =
cuando x = 80, m = 70, s = 15, n = 25
s
23. A = p a 1 +
1n
(fórmula estadística para determinar la desviación estándar, o calificación z, de una media muestral, x)
Sección 2.2 • Resolución de problemas y uso de fórmulas • 63
Despeje y en cada ecuación (vea los ejemplos 4 y 5).
25. 3x + y = 5
26. 7x + 3y = 9
27. x - 4y = 13
28. -3x + 5y = 25
29. 6x - 2y = 16
30. 6x = 7y + 23
31.
3
x - y = 1
4
33. 31x - 22 + 3y = 6x
35. y + 1 = -
4
1x - 92
3
y
x
= 1
4
6
2
34. y - 4 = 1x + 62
3
1
4
1x + 3y2 = 12x - 12
36.
5
7
32.
Despeje la variable indicada en cada ecuación (vea los ejemplos 6 a 8).
37. d = rt, para t
38. C = pd, para d
39. i = prt, para t
40. A = lw, para l
41. P = 2l + 2w, para l
42. P = 2l + 2w, para w
43. V = lwh, para h
44. A =
45. V = pr 2h, para h
46. Ax + By = C, para y
47. V =
1
lwh, para l
3
1
bh, para b
2
48. A = P + Prt, para r
49. y = mx + b, para m
50. IR + Ir = E, para R
51. y - y1 = m1x - x12, para m
52. z =
x - m
, para m
s
T1 P2
P1 =
, para T2
T2
1
A = h1b1 + b22, para h
2
n
S = 1f + l2 para n
2
5
C = 1F - 322, para F
9
km1 m2
F =
, para m1
d2
53. z =
54.
55.
56.
57.
59.
61.
63.
58.
60.
62.
64.
x - m
, para s
s
kx
, para z
y =
z
mv2
F =
, para m
r
x1 + x2 + x3
, para n
A =
n
n
S = 1f + l2, para l
2
9
F = C + 32, para C
5
1
A = h1b1 + b22, para b1
2
Resolución de problemas
En los ejercicios 65 a 88, redondee su respuesta a dos decimales cuando sea necesario.
65. Tipo de cambio a) De acuerdo con el sitio Web Universal
Converter, el 23 de enero de 2002, 1 dólar estadouniden-
se podía cambiarse por 9.15 pesos mexicanos. Escriba una
fórmula para convertir dólares (d) a pesos (p).
64 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
b) Escriba una fórmula para convertir pesos a dólares.
c) Explique cómo determinó sus respuestas a las partes
a) y b).
66. Velocidad del Titanic Los barcos miden en nudos la velocidad a que se mueven. Por ejemplo, cuando el Titanic
chocó con el iceberg, su velocidad era de casi 20.5 nudos.
Un nudo equivale a 1 milla náutica por hora. Una milla
náutica equivale aproximadamente a 6076 pies. Cuando
la velocidad se mide en millas por hora, una milla equivale a 5280 pies.
Resuelva los ejercicios 71 a 76.
71. Área de una diana George Young, campeón de tiro con
dardos en el estado de Michigan, practica en una diana
con círculos concéntricos, como la que se muestra en la figura.
25
50
100
a) Determine una fórmula para convertir nudos (n) en
millas por hora (m).
b) Explique cómo determinó esta fórmula.
c) Determine la velocidad, en millas por hora, a la que
viajaba el Titanic cuando chocó con el iceberg.
2 pulg.
6 pulg.
10 pulg.
a) Determine el área del círculo marcado con 100.
b) Determine el área total de la diana.
72. Corral infantil Alicia Cortés está planeando construir un
corral rectangular para que su hija juegue.Tiene 38 pies de
madera para construirlo. Si el largo del corral será de 11
pies, ¿cuál será el ancho?
73. Concreto para estacionamiento Braulio Ledesma utilizará concreto para hacer un estacionamiento en su casa. El
espacio para fabricarlo tiene 15 pies de largo por 10 pies
de ancho y 6 pulgadas de profundidad.
a) Determine, en pies cúbicos, el volumen de concreto que
necesitará.
En los ejercicios 67 a 70, utilice la fórmula para calcular el interés simple i prt. Vea el ejemplo 1.
67. Préstamo personal David Jiménez le prestó a su colega,
Mauricio Prado, $550 por 4 años a una tasa de interés simple de 7% anual. Determine el interés simple que debe
pagar Mauricio a David cuando le pague el préstamo al
término de los 4 años.
68. Determine la tasa de interés Jerónimo Hernández pidió
prestados $250 por dos años a su unión de crédito. El interés simple que pagó fue de $26.45. ¿Cuál fue la tasa de
interés simple que le cobraron?
69. Determine la duración de un préstamo Jacqueline Beltrán le prestó a su hermana Daniela $20,000 a una tasa de
interés simple de 3.75% anual. Al final del periodo del
préstamo, Daniela le pagó a Jacqueline los $20,000 originales más $4875 de interés. Determine el tiempo que duró el préstamo.
70. Un certificado de depósito Fernando Sáenz recibió $2000
como pago por una conferencia que ofreció en un seminario de planeación financiera. Fernando invirtió el dinero en
un certificado de depósito durante 2 años. Cuando lo cobró, recibió $2166. ¿Cuál fue la tasa de interés simple que
recibió por este certificado de depósito?
b) Si 1 yarda cúbica 27 pies cúbicos, ¿cuántas yardas
cúbicas de concreto son necesarias?
c) Si el concreto cuesta $35 por yarda cúbica, ¿cuál es el
costo del concreto necesario? El concreto debe comprarse en yardas cúbicas completas.
74. Área de un helipuerto Un helipuerto de Monterrey, Nuevo León, tiene dos círculos concéntricos, como se muestra
en la figura.
30 pies
50 pies
Determine el área del círculo exterior de la figura.
75. Recipientes para helado La compañía de helados de Rodrigo y Patricia vende helados en dos recipientes, un bote cilíndrico y una caja rectangular como los que se muestran
en la siguiente ilustración. ¿A cuál recipiente le cabe más
helado y cuál es la diferencia de volúmenes entre ambos?
Sección 2.2 • Resolución de problemas y uso de fórmulas • 65
Para resolver los ejercicios 81 a 84, consulte el ejemplo 3.
6.25 pulg.
3.5 pulg.
5 pulg.
5 pulg.
7 pulg.
76. Capacidad de una cubeta Belén Poltorak tiene una cubeta en la que desea diluir detergente. Las dimensiones de la
cubeta se muestran en la figura.
81. Tasa gravable equivalente María Pérez es una estudiante que percibe ingresos por un monto gravable con 15% de
impuestos federales. Ella está considerando invertir $1500
en un bono de un fondo mutualista libre de impuestos que
paga 3.5% de interés simple. Determine la tasa gravable
equivalente a 3.5% de tasa libre de impuestos.
82. Comparación de inversiones Laura Girón obtiene ingresos por un monto gravable con 38.6% de impuestos federales, y está tratando de decidir si debe invertir su dinero
en un bono municipal libre de impuestos que paga 3% de
interés simple, o en un certificado de depósito gravable
que paga 3.5% de interés simple. ¿Cuál inversión le da un
mayor rendimiento?
83. Inversión familiar Carlos Menéndez percibe ingresos por
un monto gravable con 38.6% de impuestos federales, y
su hijo, Antonio, obtiene un monto gravable con 27%. Cada uno de ellos está considerando invertir su dinero en un
fondo mutualista libre de impuestos que produce 4.6% de
interés simple.
a) Determine la tasa gravable equivalente a una tasa libre
de impuestos de 4.6% para Carlos.
b) Determine la tasa gravable equivalente a una tasa libre
de impuestos de 4.6% para Antonio
a) Determine la capacidad de la cubeta en pulgadas cúbicas.
b) Si 231 pulgadas cúbicas 1 galón, ¿cuál es la capacidad
de la cubeta en galones?
c) Si las instrucciones de la botella de detergente indican
que se debe agregar 1 onza por galón de agua, ¿cuánto detergente debe agregar Belén a la cubeta llena de
agua?
Para resolver los ejercicios 77 a 80, consulte el ejemplo 2.
77. Cuenta de ahorros Beatriz Retana invirtió $10,000 en una
cuenta de ahorro que paga 6% de interés compuesto cada trimestre. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta de ahorros al cabo de 2 años?
78. Capitalización mensual Isabel Montes invirtió $8500 en
una cuenta de ahorro que paga 6.5% de interés compuesto cada mes. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta al cabo
de 4 años?
79. Certificado de depósito Demetrio Sánchez invierte $4390
en un certificado de depósito que paga 4.1% de interés
compuesto cada semestre. ¿Cuánto valdrá el certificado
después de 36 meses?
80. Comparación de cuentas Nadia Cisneros tiene $1500 para invertir durante un año, y tiene que decidir entre abrir
una cuenta en una unión de crédito que paga 4.5% de interés simple anual, y una cuenta bancaria que paga 4% de
interés compuesto cada trimestre. Determine cuál cuenta
pagaría más interés y por cuánto.
84. Comparación de inversiones Marissa Fernández está pensando invertir $9200 en una cuenta gravable que da 6.75%,
o en una cuenta libre de impuestos que produce 5.5%. Si
Marissa obtiene ingresos por un monto gravable con 27%
de impuestos, ¿qué inversión le dará el mayor rendimiento?
Los ejercicios 85 a 88 presentan diversas situaciones. Resuélvalos.
85. Pérdida de peso Un nutriólogo le explica a Josefina Torres
que, para perder peso, es necesario quemar más calorías de
las que se consumen. Por ejemplo, Josefina, una mujer
de 56 que pesa 132 libras, mantendrá más o menos el mismo peso con una dieta diaria de 2400 calorías y haciendo
ejercicio normal. Si quema más de 2400 calorías diariamente, perderá una cantidad de libras que puede calcularse mediante el modelo matemático w 0.02c, en donde w
es la pérdida de peso semanal y c es el número de calorías
quemadas por día, por arriba de 2400.
a) Determine cuántas libras perderá Josefina si hace ejercicio y quema 2600 calorías por día.
b) ¿Cuántas calorías debería quemar Josefina en un día
para perder 2 libras en una semana?
66 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
86. Prueba de esfuerzo Cuando un médico realiza una prueba de esfuerzo en un paciente, sabe que, cuando su ritmo
cardiaco llegue a cierto punto, deberá interrumpirla. El
máximo ritmo cardiaco permitido, m, en latidos por minuto, puede calcularse mediante la ecuación m 0.875x 190, en donde x representa la edad del paciente de 1 a 99
años. Usando este modelo matemático, determine
a) el ritmo cardiaco máximo permitido para un persona
de 50 años.
b) la edad de una persona cuyo ritmo cardiaco máximo
permitido es de 160 latidos por minuto.
87. Saldo de una cartera de inversión Algunos especialistas en
finanzas recomiendan la siguiente regla a los inversionistas. De su inversión total, el porcentaje de acciones debe
ser igual a 100 menos su edad; el resto debe ser colocado
en bonos o mantenerse en efectivo.
b) Utilizando la regla mencionada, determine el porcentaje en acciones que debe poseer una persona de 60
años.
88. Índice de masa muscular El índice de masa muscular es
una método estándar para calcular el peso corporal de una
persona respecto de su estatura. Para determinar su índice de masa corporal (IMC) usando medidas métricas, divida su peso (en kilogramos) entre su estatura (en metros)
elevada al cuadrado. Una forma abreviada para calcular el
IMC usando libras y pulgadas, consiste en multiplicar por
705 su peso (en libras) y luego dividir el resultado entre el
cuadrado de su altura (en pulgadas).
a) Cree una fórmula para determinar el IMC de una persona usando kilogramos y metros.
b) Cree una fórmula para determinar el IMC de una persona cuando el peso está dado en libras y la altura en
pulgadas.
a) Construya modelos matemáticos para calcular qué porcentaje debe conservarse en acciones (utilice S para representar el porcentaje de acciones y a para representar
la edad de la persona).
c) Determine su IMC.
Reto
89. En la ecuación r =
s>t
t>u
despeje a) s, b) u.
Ejercicios de repaso acumulativo
90. Evalúe - 232 + 42 + ƒ 3 - 4 ƒ - 52.
91. Evalúe
7 + 9 , 123 + 4 , 42
ƒ 3 - 7 ƒ + 252 - 32
.
[2.1]
92. Evalúe a3 3a2b 3ab2 b3 cuando a 2, b 3.
1
1
1
= 1 - t.
93. Resuelva la ecuación t +
4
2
8
2.3 APLICACIONES DEL ÁLGEBRA
1
1
Traducir una proposición verbal a una expresión algebraica o a
una ecuación.
2
Utilizar el procedimiento para resolución de problemas.
Traducir una proposición verbal a una expresión algebraica o a una ecuación
En las siguientes secciones se presentarán algunos de los muchos usos del álgebra en
situaciones de la vida real. Cuando sea posible, incluiremos otras aplicaciones relevantes a lo largo del texto.
Quizá la parte más difícil al resolver un problema verbal, consiste en transformarlo en una ecuación. Éste es el paso 2 del procedimiento para resolución de problemas
que se presentó en la sección 2.2. Antes de representar los problemas como ecuaciones, daremos algunos ejemplos de frases representadas como expresiones algebraicas.
Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 67
Frase
Expresión algebraica
x + 4
un número incrementado en 4
dos veces un número
2x
5 menos que un número
x - 5
un octavo de un número
1
x
x o
8
8
2 más 3 veces un número
3x + 2
6x - 4
31x + 52
4 menos 6 veces un número
3 veces la suma de un número y 5
Aquí utilizamos la variable x en las expresiones algebraicas, pero hubiéramos podido
utilizar cualquier otra para representar una cantidad desconocida.
EJEMPLO 1
Exprese cada frase como una expresión algebraica.
a) El radio, r, disminuido en 2 centímetros.
b) 5 menos que dos veces la distancia, d.
c) 7 veces un número, n, incrementado en 4.
Solución
SUGERENCIA
CONSEJO PARA
ESTUDIAR
EJEMPLO 2
a) r - 2
✺
c) 7n + 4
Es importante que se prepare cuidadosamente para estudiar el resto del capítulo; asegúrese de leer el texto y los ejemplos con cuidado. Asista a clase todos los días y, sobre
todo, realice todos los ejercicios que se le asignen.
Conforme lea los ejemplos del resto del capítulo, piense cómo se ampliarían
para dar respuesta a problemas similares. Como muestra, en el ejemplo 1 a) establecimos que el radio, r, disminuido en 2 centímetros, podía representarse como r 2. Puede generalizar esto y aplicarlo en otros problemas similares; por ejemplo un peso, w,
disminuido en 15 libras, puede representarse como w 15.
Escriba cada una de las siguientes frases como expresión algebraica:
a)
b)
c)
d)
Solución
b) 2d - 5
el costo de comprar x camisas a $4 cada una
la distancia recorrida en t horas a 55 millas por hora
el número de centavos en n monedas de cinco centavos
una comisión de 8% en una venta por x dólares.
a) Podemos razonar así: una camisa costaría 1(4) dólares, dos camisas, 2(4) dólares,
tres camisas, 3(4) dólares, cuatro camisas, 4(4) dólares, y así sucesivamente. Continuando con esta idea, podemos ver que x camisas costarían x(4) o 4x dólares. Podemos aplicar el mismo razonamiento para resolver cada una de las otras partes.
b) 55t
c) 5n
d) 0.08x (8% se escribe como 0.08 en forma decimal)
SUGERENCIA
✺
Cuando se nos pide determinar un porcentaje, significa que debemos calcularlo respecto de alguna cantidad. Por lo tanto, cuando se menciona un porcentaje, siempre se multiplica por un número o una variable. En los siguientes ejemplos utilizamos la variable
c, pero podríamos utilizar cualquier otra letra para representarla.
(continúa en la página siguiente)
68 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Frase
Cómo se escribe
6% de un número
0.06c
el costo de un objeto incrementado en 7% de impuestos
c + 0.07c
el costo de un artículo disminuido en 25%
c - 0.25c
A veces, en un problema se pueden presentar dos números relacionados entre sí.
Con frecuencia representamos uno de ellos con una variable y el otro con una expresión que contiene a esa variable. Por lo general representamos con la variable la descripción menos complicada, y escribimos la expresión más compleja en términos de la
variable. En los siguientes ejemplos utilizamos x para representar la variable.
Primer
número
Segundo
número
La edad actual de Daniel y la edad de Daniel
dentro de 6 años
x
x + 6
un número es 4 veces el otro
un número es 5 menos que el otro
un número y el número incrementado en 7%
un número y el número disminuido en 10%
la suma de dos números es 10
una tabla de 6 pies cortada en dos partes
$10,000 compartidos por dos personas
x
x
x
x
x
x
x
4x
x - 5
x + 0.07x
x - 0.10x
10 - x
6 - x
10,000 - x
Frase
Los últimos tres ejemplos tal vez no resulten muy claros. Analicemos “la suma
de dos números es 10”. Cuando sumamos x y 10 x obtenemos x (10 x) 10.
Cuando una tabla de 6 pies se corta en dos partes, éstas serán x y 6 x. Por ejemplo,
si una parte mide 2 pies, la otra debe medir 6 2 4 pies.
SUGERENCIA
Suponga que lee el siguiente enunciado en un problema de aplicación: “Una cuerda de
12 pies se corta en dos trozos”. Probablemente sabe que debe usar x (o alguna otra variable) para representar la longitud del primer trozo de la cuerda, pero quizá no le resulte tan claro si debe utilizar x 12 o 12 x para representar la longitud del segundo. Para
decidirlo, podría ser útil que utilizara números específicos para establecer un patrón. En
este ejemplo, podría utilizar un patrón similar al que se muestra a continuación.
Si el primer trozo mide . . .
entonces el segundo trozo mide. . .
2 pies
10 pies 12 pies 2 pies
5 pies
7 pies 12 pies 5 pies
Con base en este patrón, es claro que si el primer trozo mide x pies, entonces el segundo trozo mide 12 x pies.
EJEMPLO 3
Para cada una de las siguientes relaciones, elija una variable que represente una cantidad, y exprese la segunda cantidad en términos de la primera.
a)
b)
c)
d)
e)
La velocidad del segundo tren es 1.2 veces la velocidad del primero.
David y su hermano comparten $90.
Tomás requiere tres horas más que Roberta para terminar la tarea.
Hilda tiene $4 más que el doble de dinero que Héctor.
El largo de un rectángulo mide 2 unidades menos que 3 veces su ancho.
Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 69
Solución
a) La velocidad del primer tren, s; la velocidad del segundo tren, 1.2s
b) La cantidad que tiene David, x; la cantidad que tiene su hermano, 90 x.
c) Roberta, t; Tomás, t 3
d) Héctor, x; Hilda, 2x 4
✺
e) Ancho, x; largo, 3x 2
La palabra es en un problema verbal, con frecuencia significa es igual a y se representa mediante un signo de igual, .
Proposición verbal
4 menos que 3 veces un número es 5
3x - 4 = 5
un número disminuido en 4 es 3 más
que dos veces el número
x - 4 = 2x + 3
el producto de dos enteros consecutivos es 20
x1x + 12 = 20
un número incrementado en 15% es 90
x + 0.15x = 90
un número disminuido en 12% es 38
x - 0.12x = 38
la suma de un número y el número incrementado
en 4% es 204
el costo por rentar una videograbadora
durante x días a $15 por día es $120
2
Ecuación algebraica
x + 1x + 0.04x2 = 204
15x = 120
Utilizar el procedimiento para resolución de problemas
Existen muchos tipos de problemas verbales, pero el procedimiento general para resolución de problemas que se presentó en la sección 2.2 puede utilizarse para resolverlos
todos. A continuación se mencionarán nuevamente los cinco pasos del procedimiento, para que pueda consultarlo con facilidad. Hemos incluido información adicional
después del paso 2, ya que en esta sección haremos hincapié en la traducción de problemas verbales a ecuaciones.
Procedimiento para resolución de problemas de aplicación
1. Entienda el problema. Identifique la cantidad o cantidades que se le pide determinar.
2. Traduzca el problema a lenguaje matemático (exprese el problema como una
ecuación).
a) Elija una variable para representar una cantidad, y escriba exactamente lo que
representa. Represente cualquier otra cantidad a determinar en términos de
esta variable.
b) Utilizando la información del paso a), escriba una ecuación que represente al
problema verbal.
3. Realice los cálculos matemáticos (resuelva la ecuación).
4. Compruebe la respuesta (utilice el planteamiento original del problema).
5. Responda la pregunta planteada.
Algunas veces combinaremos los pasos u omitiremos algunos, debido a la limitación de espacio. Aun si no mostramos la comprobación del resultado de un proble-
70 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
ma, usted siempre debe verificarlo para asegurarse de que su respuesta es razonable
y de que tiene sentido.
EJEMPLO 4
Planes para llamadas de larga distancia El plan de pago de la compañía telefónica Mejores Tiempos requiere que el cliente pague una cuota mensual base de $4.75, y luego
7 centavos por minuto de cualquier llamada de larga distancia realizada. El plan de la
empresa Valor del Tiempo no exige un pago mensual, pero el cliente paga 9 centavos
por minuto por cualquier llamada de larga distancia que realice.
Pablo Jáuregui está pensando contratar uno de estos planes. Determine el número de minutos que él necesitaría dedicar a llamadas de larga distancia para que
el costo de los dos planes fuesen iguales.
Solución
Entienda el problema El problema plantea que hay dos planes posibles: uno no exige el pago de una cuota mensual y el otro sí. Se nos pide determinar el
número de minutos de llamadas de larga distancia que daría por resultado que ambos planes tuvieran el mismo costo total. Para resolver el problema, primero estableceremos
un mismo costo para los dos planes, y luego calcularemos el número de minutos.
Sea n número de minutos en llamadas de larga distancia
entonces 0.07 n costo de n minutos a 7 centavos por minuto
y 0.09 n costo de n minutos a 9 centavos por minuto
Traduzca
costo del plan Mejores Tiempos costo del plan Valor del Tiempo
cuota mensual costo de la llamada costo total de la llamada
4.75 0.07n 0.09n
4.75 + 0.07n = 0.09n
Realice los cálculos
4.75 = 0.02n
0.02n
4.75
=
0.02
0.02
237.5 = n
Compruebe El número de minutos que resulta es razonable, y los cálculos pueden verificarse fácilmente.
Responda Si se utilizaran alrededor de 238 minutos por mes, ambos planes tendrían
casi
el mismo costo total.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15
✺
EJEMPLO 5
Gastos en salud El Centro para el Control y Prevención de Enfermedades (CCPE)
es un organismo gubernamental cuya tarea es proteger la salud y seguridad de la población estadounidense. En 2002, el CCPE tuvo un presupuesto de $4.093 mil millones,
cantidad que incluye un incremento de 22.5% respecto del presupuesto de 2000, pero
una disminución de 2.6% respecto del presupuesto de 2001.
a) Determine el presupuesto del CCPE en 2000.
b) Determine el presupuesto del CCPE en 2001.
Solución
a) Entienda el problema Necesitamos determinar el presupuesto que tuvo el CCPE
en 2000. Para resolver el problema usaremos el dato de que el presupuesto se incrementó en 22.5% entre 2000 y 2002, y que el presupuesto de 2002 fue de $4.093 mil millones.
Sea x al presupuesto del CCPE en 2000
Traduzca
entonces 0.225x incremento del presupuesto entre 2000 y 2002
presupuesto del
aumento
presupuesincrease del
in the
budget
presupuesto del
CDC
CDC
¢ 2000
CCPE
enbudget
2000 ≤ + ¢ to
entre
2000
2002 ≤ = ¢ 2002
CCPE
enbudget
2002 ≤
from
2000
toy2002
x
+
0.225x
=
4.093
Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 71
x + 0.225x = 4.093
1.225x = 4.093
x L 3.341
Realice los cálculos
Compruebe y responda El número obtenido es menor que el presupuesto de
2002, tal como se esperaba. El presupuesto de 2002 fue aproximadamente de $3.341 mil
millones.
b) Entienda el problema Debemos determinar cuál fue el presupuesto del CCPE
en 2001; se nos indicó que el presupuesto disminuyó 2.6% entre 2001 y 2002. Traduciremos esta información en una ecuación, usando un enfoque similar al de la parte a).
Traduzca
Sea x presupuesto del CCPE en 2001
entonces 0.026x disminución del presupuesto del CCPE entre 2001 y 2002
presupuesto del
disminución
del
presudecrease
in the
budget
from 2001 to 2002
presupuesto del
CDC
DCD
¢ 2001
CCPE
en budget
2001 ≤ - ¢puesto entre 2001 y 2002 ≤ = ¢ 2002
CCPE
en budet
2002 ≤
x
-
Realice los cálculos
0.026x
=
x - 0.026x = 4.093
0.974x = 4.093
x L 4.202
4.093
El número obtenido es mayor que el presupuesto de
2002, tal como se esperaba. Por lo tanto, el presupuesto del CCPE en 2001 fue de $4.202
mil millones.
✺
Compruebe y responda
Matemáticas en acción
Apollo 13
“Houston, tenemos un problema.” Estas palabras, pronunciadas por el astronauta Jim Lovell (interpretado por
Tom Hanks) en la película Apollo 13, marcaron el inicio
de una larga cadena de problemas a los que se enfrentó la
tripulación de una nave espacial dañada durante su viaje
con destino a la Luna. El “problema” al que se refiere
Lovell es una explosión que cambió la misión original,
aterrizar en la Luna, por la de lograr que los astronautas
EJEMPLO 6
regresaran a salvo a la Tierra. Utilizando algunas actividades excepcionales para la resolución de problemas, la tripulación y el equipo de Control de Misión (en Houston)
fueron capaces de vencer los increíbles obstáculos que
implicaba regresar el Apollo 13 seguro a la Tierra. A lo
largo de esta película, el espectador es testigo de la resolución de muchos problemas matemáticos. En una de las
escenas, se nos muestra a un equipo completo de ingenieros tratando de resolver una y otra vez una ecuación con
la ayuda de reglas de cálculo. En otra, se puede ver a los
astronautas haciendo cálculos a mano, encerrados en una
aeronave sin oxígeno. Aunque los cálculos matemáticos
que debieron realizar los astronautas reales están fuera
del alcance de este libro, el enfoque sistemático que se utilizó para resolver tan peligrosa situación podría haberse
inspirado en las páginas del libro de George Polya, How
to Solve it (vea la página 56). Ojalá que sus estudios de
matemáticas encontraran inspiración en otro famoso diálogo de la película: cuando los ingenieros inician la fase
final de su misión reorganizada, el controlador de vuelo de
la NASA, Gene Kranz (interpretado por Ed Harris) grita, “¡Fallar no es una opción!”.
Compras en el área de Tampa Bay En enero de 2001, había 36 importantes tiendas
departamentales en el área de Tampa Bay. Había el mismo número de tiendas Sears
que de Burdines. Había una más de Dillars que de Sears, y había una más de JC
Penney que de Sears. El número de las tiendas Montgomery Wards era nueve menos
que el doble de tiendas Sears. Había seis menos de Saks que de Sears. ¿Cuántas de
cada una de estas tiendas departamentales había?
72 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Solución
Entienda el problema Se nos pide determinar el número de tiendas Sears, Burdines, Dillards, JC Penney, Montgomery Wards y Saks. Observe que el número de las demás tiendas se da en términos del número de tiendas Sears. Por lo tanto, elegiremos
como nuestra variable desconocida el número de tiendas Sears, y representaremos el
número de las otras tiendas en términos de esta variable. También observe que el total
de tiendas suma 36.
Traduzca
Sea n número de tiendas Sears
entonces n número de tiendas Burdines
y n 1 número de tiendas Dillards
y n 1 número de tiendas JC Penney
y 2n 9 número de tiendas Montgomery Wards
y n 6 número de tiendas Saks
número
número
número
número
número
número
number de
of
number
number
numberde
numberde
numberde
a de Searsb + a Burdines b + a Dillards b + a JC Penney b + a Montgomery Wards b + a de Saks b = 36
Montgonery Wards
of Saks
of Sears
of Burdines
of Dillards
of JC Penney
n
+
n
+
1n + 12
+
1n + 12
+
12n - 92
+ 1n - 62 = 36
Realice los cálculos n + n + n + 1 + n + 1 + 2n - 9 + n - 6 = 36
7n - 13 = 36
7n = 49
n = 7
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 27
EJEMPLO 7
Solución
Compruebe y responda Había 7 tiendas Sears y 7 tiendas Burdines. Había n 1, o 7 1, u 8 tiendas Dillards. Había n 1, o 7 1, u 8 tiendas JC Penney. Había 2n 9, o 2(7) 9, o 5 tiendas Montgomery Wards. Había n 6, o 7 6, o 1 tienda Saks. Si
sumamos los números de cada una de las seis cadenas de tiendas, obtenemos 7 7 8 8 5 1 36 tiendas. Por lo tanto, la respuesta es correcta.
✺
Reino Mágico Damián Velásquez llevó a su familia a visitar el Reino Mágico en Walt
Disney World. Se hospedaron una noche en el hotel Holiday Inn de Kissimmee. Cuando hicieron la reservación, les cotizaron un precio de $95 por noche más impuestos.
Cuando pagaron, su cuenta total fue de $110.85, cantidad que incluía el impuesto por
la habitación y un cargo de $3.50 por un chocolate (tomado de la nevera de la habitación). Determine cuál fue la tasa del impuesto que les cobraron por la habitación.
La cuenta total que pagó Damián, incluye el precio del hospedaje, el impuesto por la habitación y los $3.50 que costó el chocolate. El impuesto
por la habitación se determina multiplicando el costo de hospedaje por la tasa del impuesto de la habitación. Se nos pide determinar la tasa de impuesto de la habitación.
Entienda el problema
Traduzca
Sea t tasa de impuesto de la habitación
entonces 0.01t impuesto de la habitación como decimal
costo del hospedaje impuesto por la habitación chocolate total
95 95(0.01t) 3.50 110.85
Realice los cálculos
95 + 0.95t + 3.50 = 110.85
0.95t + 98.50 = 110.85
0.95t = 12.35
t = 13
Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 73
Compruebe y responda Si sustituye t por 13 en la ecuación, verá que las respuesAHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23
tas son correctas. La tasa de impuesto por la habitación es 13%.
✺
EJEMPLO 8
Préstamo hipotecario Lilia Páez comprará su primera casa, para lo cual piensa pedir un préstamo hipotecario por $60,000. Citicorp, uno de los bancos que está considerando, cobra una tasa de interés de 6.50% sin puntos por un préstamo a 30 años. (Un
punto es un cobro único de 1% sobre el monto total de la hipoteca). Los pagos mensuales del préstamo, en el caso de Citicorp, serían de $379.24. Citicorp también cobra
una cuota de $200 por la solicitud. El Banco de América cobra una tasa de interés de
6.00% con 2 puntos por un préstamo a 30 años. Los pagos mensuales del Banco de
América serían de $359.73, y el costo de los puntos que Lilia tendría que pagar al momento de obtener el préstamo es 0.02($60,000) $1200. El Banco de América no cobra por la solicitud.
a) ¿Cuánto tiempo tomaría para que los pagos totales de la hipoteca de Citicorp fueran iguales a los pagos totales de la hipoteca del Banco de América?
b) Si Lilia planea conservar su casa durante 20 años, ¿cuál hipoteca resultaría en un
costo total menor?
Solución
a) Entienda el problema Citicorp cobra una tasa de interés más alta y una pequeña
cuota por la solicitud, pero no cobra puntos. El Banco de América cobra una tasa menor
y no cobra por la solicitud, pero cobra 2 puntos. Necesitamos determinar el número de meses que se requieren para que los pagos totales de los dos préstamos sean iguales.
Sea x número de meses
Traduzca
entonces 379.24x costo de pagos de la hipoteca por x meses con Citicorp
y 359.73x costo de pagos de la hipoteca por x meses con
el Banco de América
costo total con Citicorp
pagos de la hipoteca +
379.24x
+
Realice los cálculos
= costo total con Banco de América
costo de la solicitud = pagos de la hipoteca + puntos
200
359.73x
=
+ 1200
379.24x + 200 = 359.73x + 1200
379.24x = 359.73x + 1000
19.51x = 1000
x L 51.26
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 3
y
x
FIGURA 2.4
Responda El costo de ambas hipotecas sería el mismo aproximadamente a los
51.26 meses, es decir, transcurridos casi 4.3 años.
b) El costo total sería el mismo después de casi 4.3 años; antes de los 4.3 años, el costo del préstamo del Banco de América sería mayor, debido al cobro inicial de $1200
por los puntos. Sin embargo, después de 4.3 años el costo del Banco de América sería
menor, ya que el pago mensual es menor. Si calculamos el costo total del préstamo de
Citicorp durante 20 años (240 pagos mensuales), obtenemos $91,217.60. Si calculamos el costo total del préstamo del Banco de América durante 20 años, obtenemos
$87,535.20. Por lo tanto, Lilia ahorrará $3682 en un periodo de 20 años si pide el préstamo al Banco de América.
✺
Ahora veamos dos ejemplos que incluyen ángulos. En el ejemplo 9 utilizamos ángulos
complementarios, es decir, ángulos cuya suma da por resultado 90° (vea la figura 2.4).
En la figura 2.4, el ángulo x (representado por x2 y el ángulo y (y 1y2) son
complementarios, ya que su suma da por resultado 90°.
74 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
EJEMPLO 9
Ángulos complementarios Si el ángulo A y el ángulo B son complementarios, y el
ángulo B es 42° mayor que el ángulo A, determine las medidas de los ángulos A y B.
Solución
Entienda el problema La suma de las medidas de los dos ángulos debe dar por resultado 90°, ya que son ángulos complementarios. Usaremos este dato para plantear una
ecuación. Como el ángulo B está descrito en términos del ángulo A, representaremos
con x la medida del ángulo A.
Sea x medida del ángulo A
Traduzca
entonces x 42 medida del ángulo B
medida del ángulo A medida del ángulo B 90°
x
x 42
90
2x + 42 = 90
Realice los cálculos
2x = 48
x = 24
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 1
y
x
FIGURA 2.5
Compruebe y responda Como x 24, la medida del ángulo A es 24°. La medida
del ángulo B x 42 66, por lo que el ángulo B mide 66°. Observe que el ángulo
B es 42° mayor que el ángulo A, y la suma de las medidas de ambos ángulos da por resultado 90° (24° 66° 90°).
✺
En el ejemplo 10 utilizamos ángulos suplementarios, es decir, dos ángulos cuya suma
da por resultado 180° (vea la figura 2.5).
En la figura 2.5, los ángulos x y y son ángulos suplementarios, ya que la suma de
sus medidas da por resultado 180°.
EJEMPLO 10
Ángulos suplementarios Si los ángulos C y D son suplementarios, y la medida del
ángulo C es 6° mayor que el doble de la medida del ángulo D, determine las medidas
de los ángulos C y D.
Solución
Entienda el problema La suma de las medidas de los dos ángulos debe dar por resultado 180°, ya que son suplementarios. Como el ángulo C se describe en términos del
ángulo D, representaremos con x la medida del ángulo D.
Traduzca Sea x medida del ángulo D
entonces 2x 6 medida del ángulo C
medida del ángulo C medida del ángulo D 180°
2x 6
Realice los cálculos
x 180
3x + 6 = 180
3x = 174
x = 58
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 3
Compruebe y responda Como x 58, la medida del ángulo D es 58°. La medida del ángulo C 2x 6 2(58) 6 122; por lo tanto, la medida del ángulo
C 122°. Observe que la medida del ángulo C es 6° mayor que el doble de la medida del ángulo D, y que la suma de las medidas de los ángulos da por resultado
180° (122° 58° 180°).
✺
Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 75
SUGERENCIA
CONSEJO PARA
ESTUDIAR
A continuación se listan algunas sugerencias, por si usted tiene dificultades con los
problemas de aplicación.
1. Profesor - Haga una cita para ver a su profesor. Asegúrese de haber leído el material del libro y de haber intentado resolver todos los problemas de tarea. Acuda a la cita con su instructor, llevando preguntas específicas.
2. Asesoría - Si su escuela ofrece asesoría gratuita, aprovéchela.
3. Grupo de estudio - Forme un grupo de estudio con sus compañeros de clase. Intercambie números telefónicos y direcciones de correo electrónico. Podrían ayudarse unos a otros.
4. Sitio Web - Si dispone de una computadora, visite el sitio Web de Pearson Educación y Allen Angel en pearsoneducacion.net/angel y estudie el material relacionado con este capítulo. Encontrará más ejemplos y ejercicios resueltos.
¡Es importante que usted siga esforzándose! Recuerde, conforme más practique, mejor
será en la resolución de problemas de aplicación.
Conjunto de ejercicios 2.3
Problemas de aplicación y resolución de problemas
En los ejercicios 1 a 45, plantee una ecuación que pueda usarse para resolver cada problema y determine su solución.
1. Ángulos complementarios Los ángulos A y B son ángulos complementarios. Determine las medidas de los ángulos A y B si el ángulo A es cuatro veces el tamaño del
ángulo B. Vea el ejemplo 9.
2. Ángulos complementarios Los ángulos C y D son complementarios. Determine las medidas de los ángulos C y D, si
el ángulo D es 15° menor que el doble del ángulo C.
3. Ángulos suplementarios Los ángulos A y B son suplementarios. Determine las medidas de los ángulos A y B,
si el ángulo B es 4 veces el tamaño del ángulo A. Vea el
ejemplo 10.
4. Ángulos suplementarios Los ángulos A y B son suplementarios. Determine las medidas de cada ángulo, si el ángulo A es 30° mayor que el ángulo B.
5. Ángulos en un triángulo La suma de las medidas de los
ángulos de un triángulo da por resultado 180°. Determine
las medidas de los tres ángulos, si un ángulo es 20° mayor
que el ángulo más pequeño y el tercer ángulo es el doble
del ángulo más pequeño.
6. Ángulos en un triángulo Determine las medidas de los
tres ángulos de un triángulo si un ángulo es el doble del ángulo más pequeño y el tercer ángulo es 60° mayor que el
ángulo más pequeño.
7. Sociedad de Honor Thomas Penna es miembro de Phi
Alpha Theta, una sociedad de honor de la historia esta-
dounidense. Uno de los beneficios de ser miembro, consiste en obtener 25% de descuento en todas las suscripciones a revistas de historia. Thomas usó este descuento
para pedir una suscripción anual a la revista American
Heritage, y pagó $24. ¿Cuál era el costo normal de la suscripción?
8. Traje nuevo Carlos Castro comprará un traje nuevo. En
Trajes a la medida, el precio de un traje con un descuento de 25% es $187.50. Determine el precio normal del
traje.
9. Pase de autobús Cecilia Sosa compró un pase con valor de
$45, que le da derecho a viajar en autobús tantas veces como quiera durante un mes. Sin el pase, cada viaje cuesta
$1.80. ¿Cuántos viajes por mes tendría que realizar Cecilia para que el costo total sin el pase fuera igual al valor del
pase.
10. Costo de lavandería Miguel Sanabria gasta $12.50 cada
semana en lavar y secar su ropa en la lavandería de la esquina. Si una lavadora y una secadora cuestan un total
de $940, ¿cuántas semanas serían necesarias para que el
costo de la lavandería fuera igual al costo de la lavadora
y la secadora? (No tome en cuenta el costo de la energía
eléctrica.)
11. Renta de un camión El costo de rentar un camión es de
$35 diarios más $0.20 por milla. Si Antonia Reyes sólo tiene $80, ¿qué tan lejos puede llegar en 1 día?
76 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
12. Peaje en el puente George Washington Al ir a Nueva York
por el puente George Washington, los automovilistas deben pagar un peaje (no se paga peaje para regresar a Nueva Jersey) de $6 en efectivo, de $4 (en horas de menor
tránsito) usando el sistema de pase EZ. El sistema de pase EZ es un plan prepagado por el que también se exige
un pago único de $10. ¿Cuántos viajes a Nueva York necesitaría hacer una persona (en horas de menor tránsito)
para que el gasto total con el pase EZ fuera igual al gasto
por peaje sin el uso del pase EZ?
$400, ¿cuál fue el costo total de los alimentos y bebidas
que sirvió?
17. Fondos mutualistas El 4 de febrero de 2002, los fondos
mutualistas que ofrecían los mayores rendimientos anuales fueron los de Wasatch Micro Cap (WMC) y los de Schroeder Ultra Investor (SUI). Los activos de WMC fueron
alrededor de 2.7 veces los activos de SUI. Si la suma de
los activos de estos dos fondos mutualistas daba por resultado aproximadamente $636.4 millones, determine los
activos (en dólares) de WMC y de SUI.
18. Fondos de retiro Ricardo Roldán realiza contribuciones
por $5000 anuales a su fondo de retiro. Una parte de sus
contribuciones se invierte en acciones, y la otra se suma al
fondo global. La parte que se invierte en acciones es de
$250 menos que el doble de la parte que se suma al fondo
global. ¿Con cuánto contribuye a cada fondo?
13. Impuesto al consumidor La tasa de impuesto al consumidor es de 4.225%. ¿Cuál es el monto real (sin impuesto) que Álvaro y Sandra López pagarán por un escritorio
para computadora, si su costo, incluyendo el impuesto al
consumidor, es $650?
14. Derecho de paso El señor y la señora Ordóñez viven en
un desarrollo turístico de una isla que se comunica con tierra firme a través de un puente. El derecho de paso por el
puente cuesta $2.50 por automóvil si se va a la isla, pero es
gratuito al salir de ella. Los residentes de la isla pueden
comprar un pase mensual con valor de $20, que les permite cruzar el puente por sólo $0.50 cada vez. ¿Cuántas
veces al mes deberían los Ordóñez ir de tierra firme a la
isla para que el costo del pase mensual sea igual al costo
de peaje regular?
15. Juego de golf Andrés Pinzón desea unirse al Club Miraflores para jugar golf. Para hacerlo tiene dos opciones: la
primera es una membresía por la que pagaría $1775 al año;
además le cobrarían una cuota de $50 por el green y una
cuota de $25 por el carrito de golf cada vez que juegue.
Otra membresía cuesta $2425 por año; con ésta Andrés
sólo pagaría $25 por el carrito de golf cuando juegue.
¿Cuántas veces por año necesitaría jugar para que las dos
opciones costaran lo mismo?
16. Sueldo de mesera Rafaela Fuentes trabaja como mesera en
banquetes; tiene un sueldo de $2.63 por hora más 15% del
costo total de los alimentos y bebidas que sirve durante el
banquete. Si durante un servicio de 5 horas, Rafaela ganó
19. Presupuesto de la NASA En 2002, el presupuesto de la
NASA fue de alrededor de $14.51 mil millones. 99.8% de
ese presupuesto se destinó a dos categorías: los Vuelos Espaciales Humanos (VEH), que incluye todas las misiones
espaciales y operaciones en estaciones espaciales, y la Tecnología en Ciencia y Aeronáutica (TCA), que incluye todas las investigaciones realizadas por la NASA en Estados
Unidos. Si la NASA gastó $0.10 mil millones más en VEH
que en TCA, determine cuánto se gastó en VEH y cuánto
en TCA. Redondee su respuesta a dos decimales.
20. Polen Hay 57 fuentes principales de polen en Estados Unidos; éstas fuentes se clasifican en pastos, malezas y árboles.
Si el número de malezas es 5 menos que el doble del número de pastos, y el número de árboles es 2 más que el doble del número de pastos, determine el número de pastos,
malezas y árboles que son fuentes principales de polen.
Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 77
21. Huesos y acero De acuerdo con la revista Health, la
presión que puede soportar un hueso (medida en libras
por pulgada cuadrada) es 6000 libras más que 3 veces
la cantidad que puede soportar el acero. Si la diferencia entre la cantidad de presión que pueden soportar
un hueso y el acero es de 18,000 libras por pulgada cuadrada, determine la presión que pueden soportar el acero y el hueso.
22. Sistema antiasalto En la compra e instalación de un sistema antiasalto LoJack, Paula Sandoval puede ahorrar
15% del precio de su seguro automotriz. Comprar e instalar el sistema LoJack cuesta $743.65. Si el costo anual del
seguro de Paula antes de la instalación del sistema LoJack
es $849.44, ¿en cuántos años el sistema LoJack se pagaría
a sí mismo?
27. Medallas olímpicas En los Juegos Olímpicos de Verano
de 2000, Estados Unidos, Rusia, China, Australia y Alemania ganaron un total de 359 medallas. Estados Unidos
ganó 19 menos medallas que el doble de las que obtuvo
Australia; Rusia ganó 28 medallas menos que el doble de
las que consiguió Australia; China ganó 1 medalla más
que las que ganó Australia; Alemania ganó un medalla
menos que Australia. Determine el número de medallas
que ganaron Estados Unidos, Rusia, China, Australia y
Alemania en esa justa olímpica.
23. Orden de comida Después de que Carolina Pardo consiguió mesa en un restaurante, se dio cuenta de que sólo tenía $20.00. Si debe pagar 7% de impuesto al consumo y
desea dejar 15% de propina sobre el costo total (alimentos más impuesto), ¿cuál es el precio máximo del consumo
que puede ordenar?
24. Plan de pago El club de tenis Valle del Sol ofrece a sus
miembros dos planes de pago. El plan 1 consta de un pago mensual de $25 más $10 por hora de renta de la cancha. El plan 2 no exige pagos mensuales, pero la hora de
renta de la cancha es de $18.50. ¿Cuántas horas tendría
que jugar al mes la señora Larios para que le convenga
el plan 1?
25. Impuestos a la gasolina en Europa En septiembre de
2000, los europeos protestaron por el precio de la gasolina y pidieron a sus gobiernos que redujeran los altos impuestos sobre ese combustible. En el Reino Unido, los
consumidores pagaban $4.29 por galón (en dólares). Este
precio representaba 68% más que el precio de la gasolina
sin impuestos.
28. Aumento del salario mínimo Entre 1980 y 2002, en
Estados Unidos el salario mínimo por hora se ha incrementado alrededor de 66.13%, hasta alcanzar un total
de $5.15 por hora. ¿Cuál era el salario mínimo por hora
en 1980?
29. Alquiler mensual El alquiler promedio mensual de un
apartamento de dos recámaras en San José, California, aumentó casi 13.3% entre 2001 y 2002. Si el alquiler promedio mensual en 2002 era de $1199, determine cuál era el
alquiler promedio mensual en 2001.
30. Comparación de hipotecas La familia Sánchez va a comprar una nueva casa, y están pensando en solicitar un crédito hipotecario de $70,000, pagadero a 30 años. Para ello
pueden elegir entre dos bancos diferentes. El Banco Madison cobra 9.0% con 0 puntos, y el Banco Nacional cobra 8.5% con 2 puntos, más $200 por gastos de operación,
mientras que el Banco Madison no cobra ninguna cuota
por ese concepto. Los pagos mensuales con el Banco Madison serían de $563.50, y con el Banco Nacional serían de
$538.30.
a) ¿Después de cuántos meses los pagos totales para los
dos bancos serían los mismos?
b) Si el plan de los Sánchez es mantener su casa por 30
años, ¿cuál plan hipotecario les saldría a más bajo costo? (Vea el ejemplo 8.)
a) Determine el precio de la gasolina sin impuestos.
b) Determine el monto de impuesto que se paga por cada galón de gasolina.
26. Impuestos de hospedaje En sus vacaciones en Costa Rica, a la familia Méndez le cotizaron el precio de una habitación en $85 por noche más impuesto. Si después de
permanecer una noche su cuenta ascendió a $97.41, ¿cuál
fue la tasa de impuestos?
31. Refinanciamiento hipotecario Luis Uribe quiere refinanciar su préstamo hipotecario para que le cobren una tasa de interés más baja. La tasa de interés de su hipoteca
es de 11.875%; en la actualidad hace pagos mensuales
de $510 por capital e intereses, y le faltan 20 años para
liquidar la hipoteca. Ya que han bajado las tasas de interés, Hipotecas Nacionales le ofrece refinanciar la hipoteca con una tasa de 9.5%, con lo cual pagaría $420.50 al
78 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
mes por capital e intereses durante 20 años. Sin embargo,
para obtener ese préstamo, el precio de contratación sería de $2500.
sea 3 pies mayor que su ancho. Encuentre el largo y ancho
del corral si Ernesto sólo dispone de 22 pies de madera
para formar el armazón. Utilice la fórmula P 2l 2w.
a) ¿Cuántos meses después de la refinanciación gastaría
Luis la misma cantidad con su nueva hipoteca más el
precio de contratación, que lo que gastaría con su hipoteca original?
38. Dimensiones de una cerca César Campanella, un arquitecto que diseña jardines, desea dividir un terreno en dos
áreas iguales mediante una cerca, como se ilustra en la siguiente figura. Si ambas áreas son cuadradas y la longitud
total de la cerca utilizada es de 91 metros, determine las dimensiones de cada cuadro.
b) Si planea pasar los próximos 20 años en esa casa, ¿ahorraría dinero al refinanciar?
32. Comidas para seminarios Ana Torres, una planificadora
financiera, promueve comidas para seminarios. Debe pagar de su propio bolsillo las comidas de los asistentes. Para su próxima comida, eligió un restaurante en donde
caben 40 personas y le cobran $9.50 por cubierto. Si gana
12% de comisión por ventas, ¿cuánto debe vender a estas
40 personas
a) para no perder ni ganar;
b) para obtener una ganancia de $500?
33. Perímetro de un triángulo Julián está desarrollando un juego que contiene un tablero triangular. El perímetro del tablero es de 36 pulgadas. Determine la longitud de los tres
lados del triángulo si uno es 3 pulgadas mayor que el lado
más pequeño y el tercer lado es 3 pulgadas menor que el
doble de la longitud del lado más pequeño.
39. Dimensiones de un estante José Murray desea construir
un estante con cuatro repisas (incluyendo la parte superior) como se muestra en la figura siguiente. El ancho del
estante será 3 veces mayor que su altura. Si José cuenta
sólo con 30 pies de madera para construir el estante, ¿qué
dimensiones tendrá éste?
40. Dimensiones de una cerca Demetrio Larios tiene un terreno junto al río, y quiere dividirlo en tres áreas rectangulares, como se ilustra en la siguiente figura. Cada
rectángulo tendrá las mismas dimensiones, y el largo de
cada rectángulo será 1 metro mayor que su ancho (a lo
largo del río). Determine el largo y ancho de cada rectángulo si la cantidad total de cerca utilizada es de 114 metros.
34. Jardín triangular El perímetro de un jardín triangular es
de 60 pies. Determine la longitud de los tres lados, si uno
es 4 pies mayor que el doble de la longitud del lado más pequeño y el tercer lado es 4 pies menor que 3 veces la longitud del lado más pequeño.
35. Ángulos de un triángulo Una pieza de papel de 8.5 por 11
pulgadas se corta desde esquinas opuestas para formar un
triángulo. Uno de sus ángulos mide 12° más que el ángulo más pequeño. El tercer ángulo mide 27° menos que el
triple del ángulo más pequeño. Si la suma de los ángulos
interiores de un triángulo mide 180°, determine las medidas de los tres ángulos.
36. Barandal de escalera Un barandal de escalera tiene un diseño con forma de triángulos. Uno de sus ángulos mide
20° menos que el doble del ángulo menor. El tercer ángulo mide 25° más que el doble del ángulo menor. Determine las medidas de los tres ángulos.
37. Corralito Ernesto Olguín planea construir un corral rectangular para que jueguen sus hijos. Desea que su largo
41. Ofertas Durante la primera semana de ofertas por liquidación, el almacén de Samuel reduce todos sus precios en
10%. En la segunda semana de ofertas, Samuel reduce 5
dólares más al precio de todos sus artículos. Si Silvia Gómez compró una calculadora por $49 durante la segunda
semana de oferta, determine su precio original.
42. División de una granja La granja de Minerva Bonilla está dividida en tres regiones. El área de una región es dos
veces más larga que el área de la región más pequeña, y el
área de la tercera región es 4 acres menor que el triple del
área de la región más pequeña. Si el total de acres de la
granja es de 512, determine el área de cada una de las tres
regiones.
Sección 2.3 • Aplicaciones del álgebra • 79
43. Comparación de venta de juguetes Joel Morales quiere
comprar una cocina de juguete para su sobrina, y sabe que
el almacén Niños Felices y la cadena Tiendas de Descuento ofrecen este artículo al mismo precio. El 26 de diciembre, Niños Felices ofrece la cocina con 37% de descuento
sobre el precio original, y Tiendas de Descuento la vende
con $50 de ahorro. Después de visitar ambas tiendas, Joel
descubre que el precio que ofrecen sigue siendo igual.
a) Determine el precio original de la cocina.
b) Determine el precio de la cocina, con el descuento incluido.
44. Venta de pinturas El artista plástico Pablo Basurto vende
cada una de sus pinturas por $500. La galería en donde
expone su trabajo le cobra $1350 al mes, más una comisión de 10% sobre las ventas. ¿Cuántas pinturas debe vender Pablo al mes para no ganar ni perder dinero?
45. Bombillas eléctricas El costo de las bombillas incandescentes con duración de 9750 horas es de $9.75. El costo de
la energía eléctrica necesaria para que las bombillas funcionen durante ese periodo es de $73. El costo de una bombilla fluorescente equivalente que dura aproximadamente
9750 horas es de $20. Utilizando una bombilla fluorescente en vez de una incandescente durante 9750 horas, el ahorro total (el precio de la bombilla más el costo de la energía
eléctrica) es de $46.75. ¿Cuál es el costo de la energía eléctrica utilizando la bombilla fluorescente durante este
periodo?
de 15%. Si la cuenta total, incluido 15% de propina, es de
$184.60, ¿cuánto pagará cada familia?
47. Plantas y animales En el mundo existen aproximadamente 1,500,000 especies, clasificadas en categorías como
plantas, animales e insectos. Los insectos, a su vez, se dividen en escarabajos e insectos que no son escarabajos.
Existen aproximadamente 100,000 especies de plantas más
que de animales. Existen 290,000 más insectos que no son
escarabajos que animales. El número de escarabajos es
140,000 menos que dos veces el número de animales. Encuentre el número de animales, plantas, insectos que no
son escarabajos y escarabajos.
48. La mejor calificación Para calcular el promedio de un
conjunto de calificaciones, sumamos las notas, y dividimos
el resultado entre el número de calificaciones. En sus primeros exámenes de álgebra, las calificaciones de Pamela
Chacón fueron 87, 93, 97 y 96.
a) Escriba una ecuación que pueda usarse para determinar la calificación que necesita obtener Pamela en su
quinto examen para lograr un promedio de 90.
b) Explique cómo determinó su ecuación.
c) Resuelva la ecuación y determine la calificación.
49. Promedio en examen de física Las calificaciones que obtuvo Felipe Enríquez en cinco exámenes de física fueron:
70, 83, 97, 84 y 74.
a) Si el examen final contara el doble que los demás, ¿qué
calificación necesita obtener Felipe en él para lograr
un promedio de 80?
b) Si la calificación más alta que se puede obtener en el
examen final es 100, ¿es posible para Felipe lograr un
promedio de 90? Explique.
50. a) Cree su propio problema verbal que incluya porcentajes, y represéntelo como una ecuación.
46. Costo de cena Los cinco miembros de la familia Narváez
van a cenar con tres miembros de la familia Luján. Antes
5
de la cena, deciden que los Narváez pagarán 8 de la cuenta
3
(sin la propina) y los Luján pagarán 8 más toda la propina
b) Resuelva la ecuación y responda el problema.
51. a) Plantee verbalmente un problema realista que involucre dinero. Represéntelo como una ecuación.
b) Resuelva la ecuación y responda el problema.
Reto
52. Mercado de dinero El lunes, Sonia Maldonado compró
acciones en un fondo del mercado de dinero. El martes, el
valor de las acciones subió 5%, y el miércoles cayó 5%.
¿Cuánto pagó Sonia el lunes por las acciones, si las vendió
el jueves por $59.85?
53. Renta de un camión La agencia Alquiler de Camiones,
S.A. cobra $28 por día más $0.15 por milla. Si Denise Téllez rentó un pequeño camión por tres días y el cobro total
fue de $121.68, incluyendo 4% de impuesto, ¿cuántas millas
condujo?
80 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Actividad en equipo
Analice y responda en equipo el ejercicio 54.
54. a) Cada miembro del equipo seleccione un número. Luego multiplíquelo por 2, sume 33, reste 13, divida entre
2 y reste el número con que inició. Registre cada respuesta.
b) Ahora comparen las respuestas. Si no obtuvieron la misma respuesta, verifiquen cada uno el trabajo del otro.
c) Expliquen en equipo por qué este procedimiento tiene como resultado una respuesta de 10 para cualquier
número real n seleccionado.
Ejercicios de repaso acumulativo
Resuelva.
55. 2 + ` -
3
`
5
56. - 6.4 - 1 -3.72
57. ` -
5
` , ƒ -2 ƒ
8
58. 5 - ƒ -3 ƒ - ƒ 7 ƒ
59. Simplifique 12x 4y - 62 .
-3
2.4 PROBLEMAS ADICIONALES DE APLICACIÓN
1
Resolver problemas de movimiento
2
Resolver problemas de mezclas
En esta sección analizaremos dos tipos adicionales de problemas de aplicación: problemas de movimiento y de mezcla. Los hemos colocado en la misma sección, porque se
resuelven utilizando procedimientos similares.
1
Resolver problemas de movimiento
Una fórmula con muchas aplicaciones útiles es
cantidad velocidad tiempo
La “cantidad” en esta fórmula puede ser una medida de muchas cantidades diferentes, dependiendo de la tasa de cambio (o velocidad). Por ejemplo, si la tasa se mide en distancia por unidad de tiempo, la cantidad será la distancia. Si la tasa se mide
en volumen por unidad de tiempo, la cantidad será volumen, etcétera.
Cuando aplique esta fórmula, asegúrese de que las unidades son consistentes.
Por ejemplo, cuando hablamos acerca de una copiadora, si la velocidad está dada en
copias por minuto, el tiempo debe estar dado en minutos. Los problemas que pueden
resolverse con esta fórmula se denominan problemas de movimiento, ya que incluyen
movimiento, a una tasa constante, durante cierto periodo.
Una enfermera que aplica a su paciente un suero vía intravenosa puede utilizar
esta fórmula para determinar la tasa de goteo del fluido que está siendo inyectado.
Una compañía de perforación de pozos petroleros o de agua puede emplear esta fórmula para determinar la cantidad de tiempo necesaria para alcanzar su meta.
Cuando la fórmula de movimiento se utiliza para calcular distancia, la palabra
cantidad se reemplaza con el término distancia, y la fórmula se denomina fórmula de
distancia.
Sección 2.4 • Problemas adicionales de aplicación • 81
La fórmula de distancia es
distancia velocidad · tiempo
o d = rt
Cuando un problema de movimiento tiene dos velocidades diferentes, con frecuencia es útil poner la información en una tabla para analizar mejor la situación.
EJEMPLO 1
34.5 mph
20.2 mph
100 millas
FIGURA 2.6
Solución
Barcos en el mar El portaviones USS John F Kennedy y el submarino nuclear USS
Memphis partieron al mismo tiempo de la estación naval Puget Sound, y se dirigieron
al mismo destino en el océano Índico. El portaviones viaja a su velocidad máxima, 34.5
millas por hora, y el submarino se mueve sumergido a su velocidad máxima, 20.2 millas por hora. Estos vehículos mantienen la velocidad durante cierto tiempo, hasta que
se encuentran a 100 millas de distancia uno del otro; en ese momento, reciben nuevas
instrucciones de la base naval. ¿Cuánto tiempo pasará para que el portaviones y el
submarino estén separados 100 millas? (Vea la figura 2.6)
Entienda el problema Deseamos determinar cuánto tiempo pasa hasta que ambos
vehículos están separados por una distancia de 100 millas. Para resolver este problema, usaremos la fórmula de distancia, d vt. Cuando presentamos el procedimiento
para resolver problemas, indicamos que, a veces, colocar la información en una tabla
puede ayudarnos a comprender el problema, y eso es lo que haremos a continuación.
Sea t tiempo.
Traduzca
Velocidad
Tiempo
Distancia
Portaviones
34.5
t
34.5t
Submarino
20.2
t
20.2t
Los vehículos están separados por una distancia de 100 millas. Por lo
tanto,
distancia del portaviones distancia del submarino 100
34.5t - 20.2t = 100
Realice los cálculos
14.3t = 100
t L 6.99
Escuela
Casa
Pedro
4 mph
Juan
6 mph
Juan llega a casa
1/2 hora antes que Pedro
FIGURA 2.7
El portaviones y el submarino estarán separados entre sí por una distancia de 100 millas cuando hayan transcurrido alrededor de 7 horas.
✺
Responda
EJEMPLO 2
Corriendo a casa Para estar en forma para la próxima carrera de la temporada, Juan y Pedro Santiago corren a casa después de la escuela. Juan
corre a una velocidad de 6 mph y Pedro corre a 4 mph. Cuando salen de la misma es1
cuela al mismo tiempo, Juan llega a casa 2 hora antes que Pedro. Vea la figura 2.7.
a) ¿Cuánto tiempo le toma a Pedro llegar a casa?
b) ¿A qué distancia viven Juan y Pedro de la escuela?
82 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Solución
a) Entienda el problema Ambos niños correrán la misma distancia; sin embargo,
como Juan corre más rápido que Pedro, el tiempo de Juan será menor que el de Pedro
1
por 2 hora.
sea t tiempo de Pedro para llegar a casa
entonces t -
1
= Tiempo de Juan para llegar a casa
2
Corredor
Pedro
Juan
Velocidad
Tiempo
Distancia
4
t
4t
6
t -
1
2
6At -
1
2
B
Traduzca Cuando los niños llegan a casa, ambos han corrido la misma distancia
desde la escuela. De modo que
distancia de Pedro = distancia de Juan
1
4t = 6at - b
2
Realice los cálculos
4t = 6t - 3
- 2t = - 3
3
t =
2
Pedro llegará a casa en 1.5 horas.
b) La distancia puede determinarse usando la velocidad y el tiempo de Pedro o de
Juan. Multiplicaremos la velocidad de Pedro por el tiempo de Pedro para determinar
la distancia.
Responda
3
12
d = rt = 4a b =
= 6 millas
2
2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 9
Por lo tanto, Juan y Pedro viven a 6 millas de su escuela.
✺
En el ejemplo 2, ¿cambiaría la respuesta si representáramos con t el tiempo que
corre Juan, en lugar del tiempo que corre Pedro? Inténtelo y determine la respuesta.
EJEMPLO 3
Producción de jugo Una máquina llena botellas con jugo y las sella. La máquina puede trabajar a dos velocidades diferentes; a la velocidad más rápida, la máquina llena y
sella 600 botellas más por hora que a la velocidad más lenta. La máquina trabaja a la
velocidad más lenta durante 4.8 horas, y luego a la velocidad más rápida durante 3.2
horas. Durante estas 8 horas se llenó y selló un total de 25,920 botellas. Determine la
tasa de ambas velocidades.
Solución Entienda el problema Este problema menciona un número de
botellas, es decir, una cantidad, en lugar de una distancia; sin embargo, utilizaremos un
método similar al que ya conocemos para resolverlo: la fórmula cantidad velocidad tiempo. Se nos ha dicho que la máquina puede trabajar a dos velocidades diferentes, y se nos pidió que determináramos esas dos velocidades. Usaremos el dato de
que la cantidad de botellas llenadas a la velocidad más lenta más la cantidad de botellas llenadas a la velocidad más rápida es igual a la cantidad total de botellas llenadas.
sea r = velocidad más lenta
entonces r + 600 = velocidad más rápida
Sección 2.4 • Problemas adicionales de aplicación • 83
Velocidad
Tiempo
r
4.8
4.8r
r + 600
3.2
3.21r + 6002
Velocidad más lenta
Velocidad más rápida
Cantidad
Traduzca
cantidad de botellas llenadas a la velocidad másamount
lenta filled
cantidad
de botellas
a la velocidad
más rápida
at slower
ratellenadas
+ amount
filled at faster
rate = 25,920
4.8r
4.8r
+
Carry
Out
Realice
los cálculos
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11
2
3.21r + 6002
=
4.8r + 3.2r + 1920 =
8r + 1920 =
8r =
r =
25,920
25,920
25,920
24,000
3000
Responda A la velocidad más lenta se llenan 3000 botellas por hora. La velocidad
más rápida es r 600 o 3000 600 3600 botellas por hora.
✺
Resolver problemas de mezclas
Cualquier problema en donde dos o más cantidades se combinan para producir una
cantidad diferente, o en donde una cantidad simple se divide en dos o más cantidades
diferentes, puede considerarse un problema de mezcla. Igual que cuando trabajamos
con problemas de movimiento, usaremos tablas para ayudar a organizar la información.
Los ejemplos 4 y 5 son problemas de mezcla que incluyen dinero.
EJEMPLO 4
Dos inversiones Bernardo Sepúlveda vendió su bote en $15,000, y le prestó una parte de ese dinero a su amiga Elena Cárdenas. El préstamo fue por 1 año, con una tasa
de interés simple de 4.5%. Bernardo invirtió el resto del dinero en una cuenta de ahorro que producía 3.75% de interés simple. Un año más tarde, mientras calculaba sus impuestos, Bernardo determinó que había ganado un total de $637.50 por las dos
inversiones, pero no podía recordar cuánto dinero le había prestado a Elena. Determine la cantidad que Bernardo le prestó a Elena.
Solución
Entienda el problema y traduzca Para resolver este problema usaremos la fórmula para calcular el interés simple: interés capital tasa tiempo. Sabemos que
parte de la inversión produjo 4.5% y el resto 3.75% de interés simple; se nos pide determinar la cantidad que Bernardo prestó a Elena.
sea p cantidad prestada a Elena a 4.5%
entonces 15,000 p cantidad invertida a 3.75%
Observe que la suma de las dos cantidades es igual a la cantidad total invertida, $15,000.
Determinaremos cuánto se le prestó a Elena con la ayuda de una tabla.
Inversión
Capital
Tasa
Tiempo
Interés
Préstamo a Elena
p
0.045
1
0.045p
Cuenta de ahorro
15,000 - p
0.0375
1
0.0375115,000 - p2
Como el interés total producido es igual a $637.50, escribimos:
interés del préstamo a 4.5% + interés de la cuenta a 3.75% =
0.0375115,000 - p2
0.045p
+
=
interés total
637.50
84 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Realice los cálculos
0.045p + 0.0375115,000 - p2
0.045p + 562.50 - 0.0375p
0.0075p + 562.50
0.0075p
p
=
=
=
=
=
637.50
637.50
637.50
75
10,000
Responda Por lo tanto, el préstamo fue de $10,000, y $15,000 p o $15,000 $10,000 $5000 fue lo que Bernardo invirtió en la cuenta de ahorro.
✺
EJEMPLO 5
Solución
Comida rápida Mateo tiene un puesto de comida rápida; en él, vende cada hamburguesa a $2.00, y cada salchicha a $2.25. Si la venta total del día fue de $585.50 y se vendieron 278 productos, ¿cuántos de cada uno se vendieron?
Entienda el problema y traduzca
Se nos pide determinar el número de ham-
burguesas y de salchichas vendidas.
sea x número de hamburguesas vendidas
entonces 278 x número de salchichas vendidas
Producto
Costo del producto Número de productos
Venta total
Hamburguesas
2.00
x
2.00x
Salchichas
2.25
278 - x
2.251278 - x2
venta total de hamburguesas venta total de salchichas venta total
2.00x
+
2.251278 - x2
= 585.50
Realice los cálculos
Responda
2.00x + 625.50 - 2.25x = 585.50
-0.25x + 625.50 = 585.50
-0.25x = - 40
- 40
x =
= 160
-0.25
Por lo tanto, se vendieron 160 hamburguesas y 278 160 118 sal-
✺
chichas.
En el ejemplo 5 podríamos haber multiplicado ambos lados de la ecuación por
100 para eliminar los números decimales, y luego resolver la ecuación.
El ejemplo 6 es un problema de mezcla que incluye la mezcla de dos soluciones.
EJEMPLO 6
Solución
Mezcla de medicamentos Javier Reynosa, un químico, tiene dos soluciones de citrato de litio, con concentraciones de 6% y 15%, y desea obtener 0.5 litros de una solución de citrato de litio con concentración de 8%. ¿Qué cantidad de cada solución debe
utilizar en la mezcla?
Entienda el problema y traduzca
Se nos pide determinar la cantidad de cada so-
lución necesaria para la mezcla.
sea x número de litros de solución al 6%
entonces 0.5 x número de litros de solución al 15%
La cantidad de citrato de litio en una solución se determina multiplicando el porcentaje
de citrato de litio en la solución por el volumen de la misma. Haremos un bosquejo gráfico del problema (vea la figura 2.8), y luego organizaremos los datos en una tabla.
Sección 2.4 • Problemas adicionales de aplicación • 85
Solución 1
Número de litros
FIGURA 2.8
x
Porcentaje de concentración
Solución 2
0.5 x
6%
Mezcla
0.5
15%
8%
Solución
Concentración
de la solución
1
0.06
x
0.06x
2
0.15
0.5 - x
0.1510.5 - x2
Mezcla
0.08
0.5
0.0810.52
cantidad de
£ citrato de litio en ≥ +
la solución al 6%
0.06x
+
Realice los cálculos
Número
de litros
Cantidad de citrato
de litio
cantidad de
cantidad de citrato de litio
£ citrato de litio en ≥ = ¢
≤
en la mezcla
la solución al 15%
0.1510.5 - x2
=
0.06x + 0.1510.5 - x2
0.06x + 0.075 - 0.15x
0.075 - 0.09x
-0.09x
=
=
=
=
0.0810.52
0.0810.52
0.04
0.04
- 0.035
redondeo
x =
-0.035
= 0.39 £ al centésimo ≥
-0.09
más cercano
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21
Jaime debe mezclar 0.39 litros de la solución con concentración de 6% y 0.5 x o
0.5 0.39 0.11 litros de la solución con concentración de 15% para obtener 0.5 litros
de una solución con concentración de 8%.
✺
Conjunto de ejercicios 2.4
Problemas de aplicación y resolución de problemas
En los ejercicios 1 a 14, escriba una ecuación que pueda usarse para resolver el problema de movimiento. Resuelva la ecuación y responda las preguntas.
1. Una excursión a las Montañas Rocallosas Dos amigos,
Fausto Cabañas y Rita Maldonado, van de excursión a las
Montañas Rocallosas; durante el paseo, llegan hasta el
lago del Oso y se sorprenden al ver su tamaño, así que deciden determinar cuánto mide. Fausto sabe que camina a
5 mph, y Rita sabe que lo hace a 4.5 mph. Si comenzaron
a caminar al mismo tiempo en direcciones opuestas alre-
dedor del lago y se encontraron después de 1.2 horas, ¿cuál
es el diámetro del lago?
2. Ondas de choque de un terremoto Un terremoto ocurre en
un desierto de California. Las ondas de choque viajan alejándose en una trayectoria circular, similar a cuando se
lanza una piedra a un lago. Si la ondaP (una clase de onda de choque) viaja a 2.4 millas por segundo, ¿cuánto tar-
86 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
daría la onda en tener un diámetro de 60 millas? (Vea la
figura.)
organiza cada año una carrera de bicicletas. Lina Mora
viaja al doble de la velocidad de Francisco Parra; Lina y
Francisco empiezan la carrera al mismo tiempo; después
de 3 horas, Lina está 18 millas adelante de Francisco.
a) ¿Cuál es la velocidad de Francisco?
b) ¿Cuál es la velocidad de Lina?
60 millas
3. Vuelo en globo En Albuquerque, Nuevo México, se celebra todos los años un festival de globos aerostáticos, en
el que la gente puede pasear en ellos. Suponga que parte de la familia Díaz viaja en un globo y el resto en otro
globo. Como los globos vuelan a diferentes alturas y llevan diferentes pesos, uno viaja a 16 millas por hora y el
otro a 14 millas por hora en la misma dirección. ¿En
cuántas horas estarán a 4 millas de distancia uno del
otro?
8. Snooty, el manatí En un museo del sur de Florida, un manatí llamado Snooty vive en un tanque con capacidad para 60,000 galones de agua. Una vez al año limpian el
tanque y cambian el agua. El tanque cuenta con dos válvulas que tienen la misma velocidad de flujo. Para llenarlo, la primera válvula se abre durante 17 horas, y la segunda
durante 7 horas. Determine, en galones por hora, la velocidad de llenado de las 2 válvulas.
9. Paseo por el cañón Marcia Cepeda desciende por el cañón Bryce, acampa una noche en el fondo, y escala para salir de él al día siguiente. En el descenso, su velocidad
promedia 3.6 millas por hora, y en su viaje de regreso promedia 1.2 millas por hora. Si dedicó un total de 16 horas
al descenso y al ascenso, determine
a) ¿cuánto tiempo necesitó para llegar al fondo del cañón?
4. Trenes Un tren de pasajeros parte de Norfolk, Virginia,
1.2 horas después que parte un tren de carga. El tren de
pasajeros viaja 18 millas por hora más rápido que el de
carga, y ambos transitan en vías paralelas. Los trenes viajan en la misma dirección, y estarán en el mismo punto 3
horas después de la salida del tren de pasajeros. Calcule la
velocidad de cada tren.
b) ¿cuál fue la distancia total que recorrió?
5. Maizal Roberto Nieto y Armando Preciado están cosechando maíz de un campo que mide 1.5 millas de largo.
Roberto empieza a cosechar a una velocidad de 0.15 millas por hora. Armando empieza del lado opuesto al de
Roberto y cosecha a 0.10 millas por hora. Si los dos empiezan al mismo tiempo y continúan trabajando a esas velocidades, ¿en cuánto tiempo se encontrarán?
6. Fotocopias Para sacar un gran número de copias, Sandra Gil utiliza dos fotocopiadoras. Una puede producir
35 copias por minuto; la otra saca 40 copias por minuto.
Si Sandra empieza a sacar copias al mismo tiempo en
ambas máquinas, ¿cuánto tiempo se necesitará para que
las dos fotocopiadoras produzcan un total de 1050
copias?
7. Carrera de beneficencia Un club femenino trata de obtener dinero para una casa de beneficencia; para ello,
10. Olvido Nicolás Ruiz empieza una larga caminata a 4 mph;
45 minutos después, Guadalupe, su esposa, se da cuenta
Sección 2.4 • Problemas adicionales de aplicación • 87
de que olvidó su cartera. Entonces, sube a su bicicleta y va
a buscarlo a una velocidad de 24 mph.
a) ¿Cuánto tiempo necesitará Guadalupe para alcanzar
a Nicolás?
b) ¿Qué tan lejos de su casa se encontrarán Guadalupe y
Nicolás?
11. Empacado de espagueti Dos máquinas de distinto tamaña empacan espagueti. La máquina más pequeña puede
empacar 400 cajas por hora, y la máquina más grande puede empacar 600 cajas por hora. Si la máquina más grande
comienza a trabajar 2 horas antes que la más pequeña,
¿cuánto tiempo después de que empiece a funcionar esta
última se habrán empacado 15,000 cajas de espagueti?
12. Carreras de caracoles Como proyecto de ciencias en su
clase de preescolar, la profesora Graciela Farías organiza
una carrera de caracoles. El primer caracol se llama Veloz, y se mueve a 5 pies por hora. El segundo caracol, Lucecita, se mueve a 4.5 pulgadas por hora. Si los caracoles
siguen un camino recto y Veloz termina la carrera 0.25 horas antes que Lucecita,
a) determine el tiempo que necesitó Lucecita para terminar
la carrera.
b) determine el tiempo que necesitó Veloz para terminar la
carrera.
c) ¿qué distancia recorrieron los dos caracoles?
13. Viaje al aeropuerto Lidia Marín se dirige al aeropuerto,
conduciendo su automóvil a una velocidad de 35 millas
por hora; 15 minutos después de su salida, sus padres se
dan cuenta de que olvidó sus boletos, así que tratan de alcanzarla en un automóvil que va a 50 millas por hora.
¿Cuánto tiempo se tardarán en alcanzar a Lidia?
14. Alcance de la señal Un equipo de radiocomunicación tiene
un alcance de aproximadamente 2 millas.Alicia Robledo y
Delia García llevan sus radios cuando inician una caminata en direcciones opuestas a lo largo de un sendero natural.
Si Alicia camina a una velocidad de 3.5 mph y Delia lo hace
a una velocidad de 4.5 mph, ¿cuánto tiempo pasará hasta
que ya no puedan comunicarse con sus radios?
En los ejercicios 15 a 28, plantee una ecuación que pueda usarse
para resolver problemas de mezcla. Resuelva cada ecuación y responda las preguntas.
15. Dos inversiones Vicente Sanabria invirtió $30,000 en dos
cuentas diferentes; una paga 3% y la otra 4.1% de interés
simple anual. Si Vicente ganó un total de $1091.73 por las
dos inversiones, ¿cuánto invirtió en cada cuenta?
18. Mezcla de nueces Jacinto Pedraza es propietario de una
tienda de semillas; en ella, vende las almendras a $6 por libra, y las nueces a $5.20 por libra. Cierto día, recibe un pedido especial de un cliente que quiere comprar 30 libras de
una mezcla de almendras y nueces, pero no quiere pagar
más que $165. Jacinto utilizó el álgebra para determinar
la cantidad de cada semilla, tomando en cuenta que sólo
puede utilizar una cantidad de almendras tal, que el valor
total de la mezcla no exceda $165. Determine cuántas libras de almendras y de nueces mezcló Jacinto.
19. Inversión de una herencia Bartolomé Velasco heredó
$250,000, y desea invertirlos en acciones de las empresas
Johnson & Johnson y AOL Time Warner. Bartolomé desea comprar el doble de acciones de AOL que de acciones
de Johnson & Johnson. El 11 de febrero de 2002, el precio de las acciones de Johnson & Johnson era de $56.88
cada una, y el de las acciones de AOL era de $27.36 cada una.
a) Si Bartolomé desea comprar acciones en bloques
de 100, ¿cuántas acciones de cada compañía puede
comprar?
b) ¿Cuánto dinero le quedaría después de realizar la
compra?
20. Solución de ácido acético César León, un maestro de química, necesita una solución de ácido acético con concentración de 10% para su próxima clase. Cuando revisa el
almacén, se da cuenta de que sólo tiene 16 onzas de una
solución de ácido acético con concentración de 25%. No
hay suficiente tiempo para solicitar más, de modo que decide hacer una solución de ácido acético con concentración
de 10% agregando agua a la solución de que dispone.
Como sabe álgebra, hace cálculos para determinar cuánta
agua debe agregar. Haga lo mismo y cálcule cuánta agua
debe agregar César a la solución con concentración de 25%
para reducirla a una solución con concentración de 10%.
16. Dos inversiones Teresa Solórzano invirtió $10,000 durante un año, una parte a 7% y otra a 6.25%. Si ganó un total
de $656.50 por concepto de intereses, ¿cuánto invirtió a
cada tasa?
21. Solución de vinagre Por lo común, el vinagre blanco des-
17. Mezcla de café Juana Gaytán es propietaria de la cafetería La Tacita. En ella, ofrece muchas variedades de café, incluyendo un mezcla llamada Kona que vende a $6.20 por
libra, y otra de Amaretto que vende a $5.80 por libra. Juana descubrió que, si mezcla ambas variedades, obtiene un
nuevo sabor que se vende muy bien. Si utiliza 18 libras de
Amaretto en la mezcla y desea vender el nuevo sabor a
$6.10 por libra, ¿cuántas libras del café Kona debe mezclar
con el café Amaretto?
tilado que se vende en los supermercados tiene un nivel de
acidez de 5%. Para preparar un platillo, la chef Julia Palacios marina carne de ternera durante toda la noche, en un
vinagre especial, destilado al 8%, que ella creó. Para lograr su solución al 8%, Julia mezcla una solución normal
de vinagre al 5% con otra al 12% que compra en un almacén especializado. ¿Cuántas onzas de vinagre al 12%
debe agregar a 40 onzas de vinagre al 5% para obtener
una solución de vinagre al 8%?
88 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
22. Solución de peróxido de hidrógeno Arturo Godínez trabaja como ingeniero químico para la compañía Peróxido, S. A., y tiene 2500 galones de solución de peróxido de
hidrógeno de clase comercial, con 60% de peróxido de hidrógeno puro. ¿Cuánta agua destilada (que tiene 0% de
peróxido de hidrógeno) necesitará agregar a esa solución
para crear una nueva mezcla con 25% de peróxido de hidrógeno puro?
23. Salsa de rábanos Angélica Garduño tiene una receta para la que requiere una salsa de rábanos con 45% de rábanos puros. En la tienda encuentra una salsa de rábanos
que tiene 30% de rábanos puros, y otra con 80%. ¿Cuántas cucharadas de cada una de estas salsas debe mezclar
Angélica para obtener 4 cucharadas de salsa de rábano
con 45% de rábanos puros?
24. Mezcla de semillas El vivero Siempre Verde vende dos
tipos de semillas de césped a granel. La semilla de baja calidad tiene una tasa de germinación de 76%, pero se desconoce la tasa de germinación de la semilla de alta calidad.
Doce libras de la semilla de alta calidad se mezclan con
16 libras de la semilla de baja calidad. Si un análisis posterior de la mezcla revela que la tasa de germinación de la
mezcla fue de 82%, ¿cuál es la tasa de germinación de
la semilla de alta calidad?
25. Solución ácida Un químico tiene dos soluciones de ácido
sulfúrico. Una tiene una concentración de 20%, pero la etiqueta que indica la concentración de la otra está perdida.
Cierto día, se hace una mezcla con 200 ml de la solución
con concentración de 20% y 100 ml de la solución con la
concentración desconocida. Después de un análisis, se determinó que la mezcla tiene una concentración de 25%. Determine la concentración de la solución sin etiqueta.
26. Estrategia fiscal Algunos estados permiten que cada cónyuge presente su declaración de impuestos estatales de
manera individual aunque den cuenta de sus ingresos en
conjunto. Por lo regular, ésta es una ventaja para los contribuyentes cuando marido y mujer trabajan, ya que deberán una menor cantidad de impuestos (o tendrán
derecho a una devolución mayor) cuando los ingresos gravables de ambos cónyuges sean iguales.
El año pasado, el ingreso gravable del señor Junco
fue de $28,200, y el de la señora de Junco fue de $32,450. La
deducción total de impuestos de los Junco fueron de $6400.
Esta deducción puede dividirse entre el señor y la señora
Junco como ellos deseen. ¿Cómo deben dividir los $6400
entre ellos para que tengan el mismo ingreso gravable?
gasolina, y tiene 150 galones de gasolina con 87 octanos.
¿Cuántos galones de gasolina con 97 octanos debe mezclar
con la gasolina de 87 octanos para obtener gasolina con
89 octanos?
Vea ejercicio 27
En los ejercicios 29 a 46, escriba una ecuación que pueda usarse
para resolver problemas de mezcla o de movimiento. Resuelva
cada ecuación y responda las preguntas.
29. Ruta 66 La famosa Ruta 66, una carretera de Estados Unidos, comunica a Chicago con Los Ángeles y tiene una extensión de 2448 millas. Judy Kasabian sale de Chicago y conduce
a una velocidad promedio de 45 mph por la Ruta 66 hacia
Los Ángeles. Al mismo tiempo, Kamilia Nemri sale de Los
Ángeles y conduce por la Ruta 66 a una velocidad de 50 mph
con dirección a Chicago. Si Judy y Kamilia mantienen estas
velocidades promedio, ¿cuánto tardarán en encontrarse?
30. Reunión en un restaurante Mateo Coria y Simón Cerdeña
viven a 225 millas uno del otro. Ellos se reúnen con frecuencia para comer en un restaurante que está entre ambos puntos. Partiendo al mismo tiempo de sus respectivas
casas, Mateo necesita 1 hora y 45 minutos para llegar al
restaurante, y Simón tarda 1 hora y 15 minutos en llegar.
Si cada uno de ellos maneja a la misma velocidad,
a) determine sus velocidades.
b) ¿a qué distancia de la casa de Simón está el restaurante?
31. Bombas de agua Gregorio Álvarez necesita vaciar su alberca de 15,000 galones, de modo que pide ayuda al departamento de bomberos. El jefe del escuadrón accede a
prestarle dos bombas para desaguar la alberca. Una bomba saca 10 galones de agua por minuto y la otra 20 galones
por minuto. Si las bombas comienzan a trabajar al mismo
tiempo y permanecen encendidas hasta que la alberca está vacía, ¿cuánto tiempo tarda en vaciarse la alberca?
27. Mezcla de semilla de girasol El vivero Alameda vende
dos tipos de semilla de girasol; la semilla rayada cuesta
$1.20 por libra, mientras que la semilla de girasol de aceite negro cuesta $1.60 por libra. ¿Cuántas libras de cada
una debe utilizar el vivero para obtener una mezcla de 20
libras que se venda a $30?
28. Niveles de octano El nivel de octano de una gasolina indica el porcentaje de octano puro que contiene. Por ejemplo, casi todas las gasolinas comunes tienen un nivel de
octano de 87, lo que significa que está compuesta por 87%
de octano (y 13% de algún otro combustible, como pentano). Orlando Troncoso es propietario de una estación de
32. Dos inversiones Jesús Carrión invirtió $8000 durante un
año, una parte a 6% y otra a 10% de interés simple. ¿Cuánto invirtió en cada cuenta, si recibió la misma cantidad de
intereses por cada una?
Sección 2.4 • Problemas adicionales de aplicación • 89
33. Solución anticongelante ¿Cuántos cuartos de galón de anticongelante puro debe agregar Doris Quezada a 10 cuartos de una solución de anticongelante con concentración de
20% para obtener una solución con concentración de 50%?
34. Viaje a Hawai Un avión voló de Chicago a Los Ángeles
a una velocidad promedio de 500 millas por hora. Después
continuó su trayecto sobre el océano Pacífico hacia Hawai
a una velocidad promedio de 550 millas por hora. Si el viaje completo cubrió 5200 millas y el vuelo sobre el océano
es el doble del vuelo sobre tierra, ¿cuánto tiempo duró el
viaje completo?
35. Reabastecimiento de un jet Un jet de la fuerza aérea realizará un largo vuelo, así que necesitará reabastecerse de combustible en pleno vuelo sobre el océano Pacífico. Un avión de
reabastecimiento que transporta combustible puede viajar
mucho más lejos, pero vuela a una velocidad menor. El avión
de reabastecimiento y el jet saldrán de la misma base, pero
el primero partirá 2 horas antes que el jet. Éste volará a 800
mph y el otro volará a 520 millas por hora.
a) ¿Cuánto tiempo después del despegue del jet se encontrarán los aviones?
b) ¿A qué distancia de la base tendrá lugar el reabastecimiento?
36. Dos empleos Anselmo Ramírez tiene dos empleos de medio tiempo. En uno le pagan $7.00 por hora, y en el otro
$7.75 por hora. La semana pasada Anselmo ganó un total
de $190.25 y trabajó un total de 26 horas. ¿Cuántas horas dedicó a cada empleo?
37. Venta de pinturas Leonardo Casillas, un artista, vende pinturas de todo tamaño en una galería de Madrid. Las pinturas más pequeñas tienen un precio de $60, y las grandes
valen $180.Al final de la semana, Leonardo determinó que
el monto total por la venta de 12 pinturas fue $1200. Determine el número de pinturas pequeñas y grandes que vendió.
38. Viaje de trabajo José Luis Guerra vive a 28 millas de su
trabajo. Debido a irregularidades en el camino, él debe
manejar los primeros 20 minutos a una velocidad 14 mph
más lenta que en el resto del trayecto. Si el viaje completo le toma 35 minutos, determine la velocidad de José Luis
en cada parte de su trayecto.
39. Solución de alcohol Heriberto Sosa tiene una solución
de alcohol metílico con concentración de 80%, y desea obtener un galón de solución para el limpiaparabrisas de su
auto, mezclando su solución de alcohol metílico con agua.
Si 128 onzas, o un galón, de fluido para el limpiaparabrisas debe contener 6% de alcohol metílico, ¿qué proporción de la solución con concentración de 80% y cuánta
agua debe mezclar?
40. Podadora de jardines Sergio Rivera utiliza una tractor
para arreglar su jardín. Utilizándola para podar parte de
su jardín en segunda velocidad y otra parte en tercera velocidad, tardó 2 horas en terminar y el odómetro de su
tractor muestra que cubrió 13.8 millas mientras cortaba el
pasto. Si promedió 4.2 millas por hora en segunda velocidad y 7.8 millas por hora en tercera velocidad, ¿cuánto tardó en cada velocidad?
41. Pastel de carne Silvana Garza hace un pastel de carne
combinando trozos de carne de solomillo con carne de
cordero. El solomillo contiene 1.2 gramos de grasa por onza y el cordero contiene 0.3 gramos de grasa por onza. Si
Silvana quiere que su mezcla de 64 onzas sólo tenga 0.8
gramos de grasa por onza, determine cuánto solomillo y
cuánto cordero debe usar.
42. Mezcla de leche El restaurante Buen Provecho tiene 400
cuartos de galón de leche entera que contiene 5% de crema. ¿Cuántos cuartos de galón de leche baja en grasa con
1.5% de crema deben agregarse para producir leche que
contenga 2% de crema?
43. Comparación de transporte Emilio Silva puede ir en su
bicicleta al trabajo, y tarda 3/4 hora en el trayecto. Si utiliza su automóvil, el viaje dura 1/6 hora. Si Emilio conduce su automóvil a un promedio de 14 millas por hora más
rápido que la velocidad que alcanza con su bicicleta, determine la distancia que recorre al trabajo.
44. Máquina envasadora Una antigua máquina que dobla y
sella cajas para leche puede producir 50 cajas por minuto.
Una máquina nueva puede producir 70 cajas por minuto. La
máquina antigua ha fabricado 200 cajas de cartón cuando
se enciende la máquina nueva. Si ambas máquinas continúan trabajando, ¿cuánto tiempo después de comenzar a
trabajar la máquina nueva producirá la misma cantidad
de cajas que la máquina antigua?
45. Salinidad del océano La salinidad (contenido de sal) del
océano Atlántico promedia 37 partes por millar. Si se colocan al sol 64 onzas de agua, ¿cuántas onzas de agua pura se tendrían que evaporar para que la salinidad del
líquido restante se elevara a 45 partes por millar? (Sólo el
agua se evapora; la sal queda sedimentada.)
46. Dos cohetes Dos cohetes se lanzan al espacio desde el
centro espacial Kennedy; el primero, lanzado a mediodía,
viajará a 8000 millas por hora; el segundo será lanzado
poco tiempo después y viajará a 9500 millas por hora.
90 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
¿a qué hora debe lanzarse el segundo cohete si ambas naves
deben reunirse a una distancia de 38,000 millas de la Tierra.
a) Explique cómo encontró la solución para este problema.
b) Determine la solución del problema.
47. a) Invente su propio problema de movimiento que pueda representarse como una ecuación.
b) Escriba la ecuación que representa a su problema.
c) Resuelva la ecuación y luego determine la respuesta a
su problema.
48. a) Invente su propio problema de mezclas que pueda representarse como una ecuación.
b) Escriba la ecuación que represente su problema.
c) Resuelva la ecuación y luego determine la respuesta a
su problema.
Reto
49. Distancia a Calais El Eurotúnel (túnel submarino que
comunica Folkestone, Inglaterra, con Calais, Francia) tiene
31 millas de longitud. Una persona puede abordar el tren
bala en París, viajar sin parar a través del Eurotúnel y llegar
a Londres en 3 horas. El tren bala recorre la distancia entre
París y Calais en un promedio de 130 millas por hora; después reduce su velocidad a un promedio de 90 millas por
hora a lo largo del trayecto de 31 millas del Eurotúnel. Cuando sale del Eurotúnel, cubre el trayecto de 68 millas entre
Folkestone y Londres a un promedio de 45 millas por hora,
debido a que transita por vías obsoletas. Con esta información, determine la distancia que hay entre París y Calais.
50. Automóviles de carreras Dos automóviles, A y B, participan en una carrera de 500 vueltas; cada vuelta cubre una
distancia de 1 milla. El automóvil que va adelante, A, promedia 125 millas por hora cuando llega a la mitad de la
carrera; el automóvil B está exactamente 6.2 vueltas detrás.
B
A
a) Determine la velocidad promedio del automóvil B.
b) Cuando el automóvil A llega a la mitad de la carrera,
¿qué tan lejos de él, en segundos, está el automóvil B?
51. Solución anticongelante El radiador de un automóvil tiene
una capacidad de 16 cuartos de galón. En este momento
está lleno con una solución anticongelante con concentración de 20%. ¿Cuántos cuartos deben drenarse y reemplazarse con anticongelante puro para hacer que el radiador
contenga una solución anticongelante con concentración
de 50%?
Ejercicios de repaso acumulativo
52. Exprese el cociente en notación científica.
2.7 * 1015
4.5 * 104
Resuelva
[2.1]
53. 0.6x + 0.22 = 0.41x - 2.32
54.
1
2
x + 3 = x +
9
5
[2.2] 55. Despeje y en la ecuación
para y.
3
2
1x - 22 = 12x + 3y2
5
7
[2.3] 56. Renta de un camión La agencia de renta de camiones Transportes, S. A. cobra $30 por día más $0.14
por milla recorrida. Por su parte, la agencia Camiones, S. A. cobra $16 por día más $0.24 por milla recorrida. ¿Qué distancia debería conducir en 1 día
para que el precio de Transportes, S. A. sea igual al
de Camiones, S. A.?
Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 91
2.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES LINEALES
1
1
Resolver desigualdades.
2
Representar soluciones gráficamente en la recta numérica, notación de intervalo y conjuntos solución.
3
Resolver desigualdades compuestas que incluyan “y”.
4
Resolver desigualdades compuestas que incluyan “o”.
Resolver desigualdades
Los símbolos de desigualdad se presentan a continuación.*
Símbolos de desigualdad
7
es mayor que
Ú
es mayor o igual que
6
es menor que
…
es menor o igual que
Una expresión matemática con uno o más de estos símbolos es una desigualdad.
La dirección del símbolo de desigualdad a veces se denomina orden o sentido de la desigualdad.
Ejemplos de desigualdades con una variable
2x + 3 … 5
4x 7 3x - 5
1.5 … - 2.3x + 4.5
1
x + 3 Ú 0
2
Para resolver una desigualdad, debemos aislar la variable en un lado del símbolo de desigualdad. Para aislar la variable, utilizamos las mismas técnicas básicas utilizadas para resolver ecuaciones.
Propiedades utilizadas para resolver desigualdades
1. Si a 7 b, entonces a + c 7 b + c.
2. Si a 7 b, entonces a - c 7 b - c.
3. Si a 7 b, y c 7 0, entonces ac 7 bc.
4. Si a 7 b, y c 7 0, entonces
b
a
7 .
c
c
5. Si a 7 b, y c 6 0, entonces ac 6 bc.
a
b
6. Si a 7 b, y c 6 0, entonces 6 .
c
c
Las primeras dos propiedades establecen que podemos sumar o restar el mismo
número en ambos lados de una desigualdad. La tercera y cuarta propiedades establecen
* Z , es distinto de, también es una desigualdad; Z significa 6 o 7. Así, 2 Z 3 significa 2 6 3 o 2 7 3.
92 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
que ambos lados de una desigualdad pueden multiplicarse o dividirse por cualquier número real positivo. Las dos últimas propiedades indican que cuando ambos lados de
una desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo, la dirección de la desigualdad se invierte.
Ejemplo de multiplicación
por un número negativo
Ejemplo de división entre
un número negativo
4 7 -2
10 Ú -4
-4
10
…
-2
-2
-5 … 2
- 1 142 6 -1 1- 22
-4 6 2
SUGERENCIA
No olvide invertir la dirección del símbolo de desigualdad cuando multiplique o divida ambos lados de la desigualdad por un número negativo.
Dirección del símbolo de
la desigualdad
Desigualdad
7
-3
-
EJEMPLO 1
Solución
-3
x
1- 22 a - b 6 1- 22 152
2
x
7 5
2
Resuelva la desigualdad 5t - 7 Ú - 22.
5t - 7 Ú - 22
5t - 7 + 7 Ú - 22 + 7
5t Ú - 15
5t
- 15
Ú
5
5
t Ú -3
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17
6
-3x
- 3x 6 6
Sume 7 en ambos lados.
Divida ambos lados entre 5.
El conjunto solución es 5t ƒt Ú - 36. Cualquier número real mayor que o igual a 3 satisface la desigualdad.
✺
2 Representar soluciones gráficamente en la recta numérica,
notación de intervalo y conjuntos solución
La solución de una desigualdad puede representarse gráficamente sobre una recta numérica, o escribirse como un conjunto solución. La solución también puede escribirse
en notación de intervalo, como se ilustra a continuación. Casi todos los profesores tienen preferencia por alguna de estas formas para indicar la solución de una
desigualdad.
Recuerde que en la recta numérica, un círculo relleno indica que el punto extremo es
parte de la solución, y un círculo vacío indica que el punto extremo no es parte de la solución. En notación de intervalos se utilizan los corchetes, [ ], para indicar que los puntos extremos son parte de la solución, y los paréntesis, ( ), para indicar que los puntos extremos
no son parte de la solución. El símbolo q, que se lee “infinito”, indica que el conjunto solución continúa indefinidamente. Cada vez que se utilice el símbolo q en notación de intervalo, debemos usar un paréntesis del lado correspondiente de esta notación de intervalo.
Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 93
Solución de
desigualdad
Conjunto
solución indicado
en la recta numérica
x 7 a
a
x Ú a
a
1a, q 2
3a, q 2
x 6 a
a
x … a
a
1- q , a2
1- q , a4
a 6 x 6 b
a
b
a … x … b
a
b
a 6 x … b
a
b
a … x 6 b
a
b
x Ú 5
x 6 3
2 6 x … 6
-6 … x … - 1
1
0
1
2
1a, b2
3a, b4
1a, b4
3a, b2
4
5
6
7
8
9 10 11
6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
3 2 1
3
4
5
6
7
8
9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
0
3
Conjunto
solución representado
en notación de intervalo
1
2
35, q 2
1- q , 32
12, 64
3-6, -14
En el siguiente ejemplo resolveremos una desigualdad que tiene fracciones.
EJEMPLO 2
Resuelva la siguiente desigualdad y dé la solución tanto en la recta numérica como en
notación de intervalo.
1
1
2z
z - 6
+ 2
4
2
3
Solución
Podemos eliminar las fracciones de una desigualdad al multiplicar ambos lados de la
desigualdad por el mínimo común denominador, MCD, de las fracciones. En este
caso multiplicamos ambos lados de la desigualdad por 12. Luego resolvemos la desigualdad resultante, tal como hicimos en el ejemplo anterior.
1
2z
1
+ 2
z - 6
4
2
3
1
1
2z
12 a z - b 6 12 a
+ 2b
4
2
3
3z - 6 6 8z + 24
3z - 8z - 6 6 8z - 8z + 24
- 5z - 6 6 24
- 5z - 6 + 6 6 24 + 6
- 5z 6 30
- 5z
30
7
-5
-5
z 7 -6
Multiplique ambos
lados por el MCD, 12.
Propiedad distributiva.
Reste 8z en ambos lados.
Sume 6 en ambos lados.
Divida ambos lados entre 5
y cambie la dirección del
símbolo de desigualdad.
94 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Recta numérica
8 7 6 5 4 3 2 1
0
1
2
Notación de intervalo
3
1-6, q 2
4
El conjunto solución es 5z ƒz 7 - 66.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 25
✺
En el ejemplo 2 ilustramos la solución en la recta numérica, en notación de intervalo y como un conjunto solución. Su profesor le puede indicar cuál forma prefiere.
EJEMPLO 3
Resuelva la desigualdad 213p - 42 + 9 … 81p + 12 - 21p - 32.
Solución
213p - 42 + 9 … 81p + 12 - 21p - 32
6p - 8 + 9 … 8p + 8 - 2p + 6
6p + 1 … 6p + 14
6p - 6p + 1 … 6p - 6p + 14
1 … 14
Como 1 siempre es menor que o igual a 14, la desigualdad es verdadera para todos los
números reales. Cuando una desigualdad es verdadera para todos los números reales,
el conjunto solución es el conjunto de todos los números reales, . El conjunto solución
para este ejemplo, también puede indicarse en la recta numérica o en notación de intervalo.
6 5 4 3 2 1
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23
0
1
2
3
4
5
6
o
1- q , q 2
✺
Si en el ejemplo 3 hubiera resultado la expresión 1 14, la desigualdad nunca
sería verdadera, ya que 1 nunca es mayor que o igual a 14. Cuando una desigualdad nunca es verdadera, no tiene solución; su conjunto solución es el conjunto vacío o conjunto
nulo, ¤ o { }. En la recta numérica, el conjunto vacío se representa como
.
0
SUGERENCIA
Por lo general, cuando se escribe la solución de una desigualdad, la variable se coloca
a la izquierda. Por ejemplo, cuando resolvemos una desigualdad, si obtenemos 5 y,
escribiríamos la solución como y 5.
Por ejemplo,
EJEMPLO 4
6
x
significa a x
6 (el símbolo de desigualdad apunta a 6 en ambos casos)
3
x
significa a x
3 (el símbolo de desigualdad apunta a x en ambos casos)
a
x
significa a x
a (el símbolo de desigualdad apunta a a en ambos casos)
a
x
significa a x
a (el símbolo de desigualdad apunta a x en ambos casos)
Transporte aéreo Un pequeño avión monomotor puede transportar un peso máximo
de 1500 libras. Milagros Pruneda, la piloto, tiene que transportar cajas que pesan 80.4
libras cada una.
a) Plantee una desigualdad que pueda usarse para determinar el número máximo de
cajas que Milagros puede transportar de forma segura en su aeroplano, tomando en
cuenta que ella pesa 125 libras.
b) Determine el número máximo de cajas que Milagros puede transportar.
Solución
a) Entienda el problema y traduzca
Sea n número de cajas.
peso de Milagros + peso de n cajas … 1500
125
80.4n
1500
Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 95
125 + 80.4n … 1500
80.4n … 1375
n … 17.1
b) Realice los cálculos
Por lo tanto, Milagros puede transportar hasta 17 cajas en cada viaje.
Responda
EJEMPLO 5
✺
Boliche En el boliche Bolarama, el alquiler de zapatos para boliche cuesta $2.50, y cada línea vale $4.00.
a) Escriba una desigualdad que pueda usarse para determinar el número máximo de
líneas que Ricardo Zurbarán puede jugar si sólo tiene $20.
b) Determine el número máximo de líneas que puede jugar Ricardo.
Solución
a) Entienda el problema y traduzca
Sea g número de líneas jugadas
entonces 4.00g costo de jugar g líneas
costo del alquiler de zapatos costo de jugar g líneas dinero que tiene Ricardo
2.50
b) Realice los cálculos
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65
EJEMPLO 6
Solución
4.00g
2.50 + 4.00g
4.00g
4.00g
4.00
g
20
… 20
… 17.50
17.50
…
4.00
… 4.375
Responda y compruebe Como Ricardo no puede jugar sólo parte de una línea, el
número máximo de juegos que puede permitirse es 4. Si Ricardo jugara 5 líneas, su
cuenta sería de $2.50 5($4.00) $22.50, cantidad superior a los $20 que tiene. ✺
Utilidad Para que un negocio logre una utilidad, su ingreso, R, debe ser mayor que
los costos en que incurre, C. Esto es, se obtendrá una utilidad cuando R C (el punto
de equilibrio de un negocio es cuando R C). Una empresa que fabrica naipes tiene
una ecuación de costo semanal de C 1525 1.7x, y una ecuación de ingresos semanales de R 4.2x, en donde x es el número de mazos de naipes fabricados y vendidos
en una semana. ¿Cuántos mazos de naipes deben fabricarse y venderse en una semana para que la empresa tenga una utilidad?
Entienda el problema y traduzca La empresa tendrá una utilidad cuando R
Realice los cálculos
C, o
4.2x 7 1525 + 1.7x
2.5x 7 1525
1525
x 7
2.5
x 7 610
Responda La empresa tendrá una utilidad cuando fabrique y venda más de 610 maAHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69
EJEMPLO 7
zos de naipes en una semana.
✺
Tablas de impuestos Gracias a una ley aprobada en 2001, la tasa fiscal que pagan casi todos los estadounidenses se redujo.
a) Escriba, en notación de intervalo, las cantidades de ingresos gravables que conforman cada uno de los cinco rangos de impuestos listados en la siguiente tabla, esto es,
los rangos de 15%, 27.5%, 30.5%, 35.5% y 39.1%.
96 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
LISTA Y1 Utilice si su estado civil es Casado
por bienes mancomunados o viudo(a)
Si la cantidad en la
forma 1040, línea 39,
es: mayor que—
Pero no
mayor que—
Escriba la forma 1040,
línea 40
de la cantidad
por encima de—
$0
$45,200
15%
$0
45,200
109,250
$6,780.00 + 27.5%
45,200
109,250
166,500
24,393.75 + 30.5%
109,250
166,500
297,350
41,855.00 + 35.5%
166,500
88,306.75 + 39.1%
297,350
297,350
b) Determine el impuesto que debe pagar una pareja casada por bienes mancomunados, si sus ingresos gravables son de $36,000.
c) Determine el impuesto que debe pagar una pareja casada por bienes mancomunados, si sus ingresos gravables son de $136,000.
Solución
a) Las palabras “Pero no mayor que” significa “menor que o igual a”. Los ingresos
gravables que conforman los cinco son:
10, 45,2004 para el rango de 15%
145,200, 109,2504 para el rango de 27.5%
1109,250, 166,5004 para el rango de 30.5%
1166,500, 297,3504 para el rango de 35.5%
1297,350, q 2 para el rango de 39.1%
b) El impuesto que debe pagar una pareja casada por bienes mancomunados con un
ingreso gravable de $36,000 es 15% de $36,000. Por lo tanto,
impuesto = 0.15136,0002 = $5400
El impuesto a pagar es de $5400.
c) Un ingreso gravable de $136,000 coloca a la pareja en el rango de impuestos de
30.5%. El impuesto es de $24,393.75 30.5% del ingreso gravable mayor a $109,250.
El ingreso mayor a $109,250 es $136,000 $109,250 $26,750. Por lo tanto,
impuesto = 24,393.75 + 0.305126,7502 = 24,393.75 + 8158.75 = 32,552.50
✺
El impuesto a pagar es de $32,552.50.
3
Resolver desigualdades compuestas que incluyan “y”
Una desigualdad compuesta está formada por dos desigualdades ligadas con la palabra y o la palabra o. En ocasiones la palabra y está implícita, aunque no esté escrita.
Ejemplos de desigualdades compuestas
3 6 x y
x + 4 7 3 o
4x - 6 Ú - 3 y
x 6 5
2x - 3 6 6
x - 6 6 5
Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 97
En esta parte analizaremos las desigualdades compuestas que utilizan o implican
la palabra y. La solución de una desigualdad compuesta que utiliza la palabra y son todos
los números que hacen ambas partes de la desigualdad verdaderas. Por ejemplo, en
3 6 x y
x 6 5
¿cuáles números satisfacen ambas desigualdades? Los números que satisfacen ambas
desigualdades pueden determinarse con facilidad si representamos gráficamente la solución de cada desigualdad en una recta numérica (vea la figura 2.9). Ahora observe
que los números que satisfacen ambas desigualdades son los números entre 3 y 5. El
conjunto solución es {x|3 x 5}.
3
x (o x
x
FIGURA 2.9
Solución: 3
x
3)
5
5
3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Recuerde que la intersección de dos conjuntos es el conjunto de elementos
comunes a ambos. Para determinar el conjunto solución de una desigualdad que contenga la palabra y tome la intersección de los conjuntos solución de las dos desigualdades.
EJEMPLO 8
Solución
Resuelva x 2 5 y 2x 4
2.
Comience por resolver cada desigualdad por separado.
x + 2 … 5
y
2x - 4 7 - 2
x … 3
2x 7 2
x 7 1
Ahora tome la intersección de los conjuntos {x|x 3} y {x|x 1}.Cuando encontramos
{x|x 3} ¨ {x|x 1}, determinamos los valores de x comunes a ambos conjuntos. La
figura 2.10 ilustra que el conjunto solución es {x|1 x 3}. En notación de intervalo,
la solución es (1, 3].
x
x
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 57
FIGURA 2.10
Solución: 1
x
3
1
3
3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
✺
A veces es posible escribir en una forma más corta las desigualdades compuestas que
utilizan la palabra y. Por ejemplo, podemos escribir 3 x y x 5 como 3 x 5. La
palabra y no aparece cuando la desigualdad se escribe de esta manera, pero está
implícita. La desigualdad compuesta 1 x 5 y x 5 7 puede escribirse como
1 x 5 7.
EJEMPLO 9
Solución
Resuelva 1
1
x 5 7.
x 5 7, significa 1
x 5 y x 5 7. Resuelva cada desigualdad por separado.
1 6 x + 5
-4 6 x
y
x + 5 … 7
x … 2
98 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Recuerde que 4 x significa x 4. La figura 2.11 ilustra que el conjunto solución
es {x|4 x 2}. En notación de intervalo, la solución es (4, 2].
4
4)
x (o x
x
FIGURA 2.11
Solución: 4
x
2
2
6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
✺
La desigualdad del ejemplo 9, 1 x 5 7, puede resolverse de otra forma. Podemos seguir utilizando las propiedades analizadas anteriormente para resolver desigualdades compuestas. Sin embargo, cuando trabajamos con tales desigualdades, lo que hagamos
para una parte lo debemos hacer para las tres partes. En el ejemplo 9 podríamos restar 5
de las tres partes para aislar la variable de enmedio y resolver la desigualdad.
1 6 x + 5 … 7
1 - 5 6 x + 5 - 5 … 7 - 5
-4 6 x … 2
Observe que ésta es la misma solución que obtuvimos en el ejemplo 9.
EJEMPLO 10
Solución
Resuelva la desigualdad 3 2x 7
8.
Queremos aislar la variable x. Comenzamos por sumar 7 a las tres partes de la desigualdad.
-3 … 2x - 7 6 8
- 3 + 7 … 2x - 7 + 7 6 8 + 7
4 … 2x 6 15
Ahora divida las tres partes de la desigualdad entre 2.
2x
4
…
2
15
6
2
2
15
2 … x 6
2
La solución también puede ilustrarse en una recta numérica, escribirse en notación de
intervalo, o presentarse como un conjunto solución. A continuación mostramos cada
forma.
15
2
2
3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
La respuesta en notación de intervalo es c2,
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35
EJEMPLO 11
Solución
ex ` 2 … x 6
7
8
9
15
b. El conjunto solución es
2
15
f.
2
✺
Resuelva la desigualdad -2 6
4 - 3x
6 8.
5
Multiplique las tres partes por 5 para eliminar el denominador.
4 - 3x
6 8
5
4 - 3x
-2 152 6 5 a
b 6 8 152
5
-2 6
Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 99
-10 6 4 - 3x 6 40
-10 - 4 6 4 - 4 - 3x 6 40 - 4
-14 6 - 3x 6 36
Ahora divida las tres partes de la desigualdad entre 3. Recuerde que cuando multiplicamos o dividimos una desigualdad por un número negativo, la dirección del símbolo de desigualdad se invierte.
-14
36
-3x
7
7
-3
-3
-3
14
7 x 7 - 12
3
Aunque 143 7 x 7 - 12 es correcto, por lo general escribimos desigualdades compuestas con el valor más pequeño a la izquierda. Por lo tanto, rescribiremos la solución
como
-12 6 x 6
14
3
La solución también puede ilustrarse en la recta numérica, escribirse en notación de
intervalo, o presentarse como un conjunto solución.
14
3
12
16 14 12 10 8
6
4
2
La solución en notación de intervalo es
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43
SUGERENCIA
Ex ƒ - 12 6 x 6 F .
0
2
4
6
8
A - 12, 143 B . El conjunto solución es
✺
14
3
Debe tener cuidado al escribir la solución de una desigualdad compuesta. En el ejemplo 11, podemos cambiar la solución de
14
7 x 7 - 12 a
3
-12 6 x 6
14
3
Esto es correcto, ya que ambas expresiones indican que x es mayor que 12 y menor que
Observe que el símbolo de la desigualdad en ambos casos apunta al número menor.
En el ejemplo 11, si hubiéramos escrito la respuesta 143 6 x 6 - 12, habríamos
dado una solución incorrecta. Recuerde que la desigualdad 143 6 x 6 - 12 significa
que 143 6 x y x 6 - 12. No existe un número que sea al mismo tiempo mayor que 143 y
menor que 12. Además, si examinamos la desigualdad 143 6 x 6 - 12, nos daremos
cuenta de que parece como si dijéramos que 12 es un número mayor que 143 , lo que
obviamente es incorrecto.
También sería incorrecto escribir la respuesta como
14
3 .
-12 6 x 7
EJEMPLO 12
Solución
14
3
o
14
3
6 x 7 - 12
Cálculo de calificaciones En un curso de anatomía y fisiología, una calificación promedio mayor que o igual a 80 y menor que 90 tiene como resultado una nota de B. Moisés
Landeros recibió calificaciones de 85, 90, 68 y 70 en sus primeros exámenes. Para que
Moisés reciba una nota final de B en el curso, ¿entre cuáles dos calificaciones debe estar su quinto (y último) examen?
Sea x calificación de Moisés en el último examen.
80 promedio de los cinco exámenes
90
85 + 90 + 68 + 70 + x
6 90
80 …
5
100 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
313 + x
6 90
5
400 … 313 + x 6 450
400 - 313 … 313 - 313 + x 6 450 - 313
87 … x 6 137
80 …
Moisés necesitaría una calificación mínima de 87 en su último examen para obtener una
nota final de B. Si la calificación más alta que se puede alcanzar en el examen es 100,
¿Moisés podría obtener una nota final de A (promedio de 90 o más)? Explique. ✺
4
Resolver desigualdades compuestas que incluyan “o”
La solución de una desigualdad compuesta que utiliza la palabra o, son todos los números que hacen verdadera cualquiera de las desigualdades. Por ejemplo, en la desigualdad compuesta
x 7 3 o x 6 5
¿cuáles números satisfacen la desigualdad compuesta? Representemos gráficamente
la solución de cada desigualdad mediante la recta numérica (vea la figura 2.12). Observe que todo número real satisface al menos una de las dos desigualdades. Por lo
tanto, el conjunto solución de la desigualdad compuesta es el conjunto de todos los
números reales, .
x
x
FIGURA 2.12
3
5
Solución: 6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
Recuerde que, la unión de dos conjuntos es el conjunto de elementos que pertenecen a cualquiera de ellos. Para determinar el conjunto solución de la desigualdad
que contenga la palabra o, tome la unión de los conjuntos solución de las dos desigualdades que conforman la desigualdad compuesta.
EJEMPLO 13
Solución
Resuelva x 3 1 o 4x 3
5.
Resuelva cada desigualdad por separado.
x + 3 … - 1 or
x … -4
-4x + 3 6 - 5
-4x 6 - 8
x 7 2
Ahora represente gráficamente cada solución en rectas numéricas y después determine la unión (vea la figura 2.13). La unión es x 4 o x 2.
4
x
x
FIGURA 2.13
Solución: x
4 o x
2
2
7 6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
7 6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
7 6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
El conjunto solución es {x|x 4} ´{x|x 2}, que podemos escribir como {x|x 4
2}. En notación de intervalo, la solución es (q,4] ´ (2, q).
✺
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 59 o x
Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 101
Con frecuencia encontramos desigualdades en nuestra vida diaria. Por ejemplo,
en una carretera la velocidad mínima puede ser de 45 millas por hora, y la máxima de
65 millas por hora; un restaurante puede ostentar un letrero en donde se establezca que
su capacidad máxima es de 300 personas, y la velocidad mínima de despegue de un
aeroplano puede ser de 125 millas por hora.
SUGERENCIA
Existen varias formas de escribir la solución de un problema de desigualdad. Asegúrese de indicar la solución en la forma solicitada por su profesor. A continuación proporcionamos ejemplos de varias formas.
Recta
numérica
Desigualdad
Notación de
intervalo
f
5
x 6
3
-4 6 x …
6 5 4 3 2 1
5
3
0
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
f
4
6 5 4 3 2 1
0
1
2
Conjunto
solución
5
a - q, b
3
ex ` x 6
5
a - 4, d
3
e x ` -4 6 x …
5
f
3
5
f
3
Conjunto de ejercicios 2.5
Ejercicios conceptuales
1.
Al resolver una desigualdad, ¿cuándo es necesario cambiar la dirección del símbolo de la desigualdad?
2. Explique la diferencia entre x 7 y x 7.
3. a) Al indicar la solución de un problema en una recta numérica, ¿cuándo se utilizan círculos vacíos?
b) ¿Cuándo se utilizan círculos llenos?
c) Proporcione un ejemplo de una desigualdad cuya solución en una recta numérica contendría un círculo vacío.
d) Proporcione un ejemplo de una desigualdad cuya solución en una recta numérica contendría un círculo lleno.
4. ¿Qué es una desigualdad compuesta? Dé un ejemplo.
5. ¿Qué significa la desigualdad a
x
b?
6. Explique por qué {x|5 x 3} no es un conjunto solución
aceptable para una desigualdad.
Problemas de aplicación
Exprese cada desigualdad a) utilizando una recta numérica, b) en notación de intervalo, y c) como un conjunto solución (utilice la
notación de construcción de conjuntos)
8. x 7
7. x 7 - 2
9. w … p
11. -3 6 q …
5
2
10. - 2 6 x 6 3
3
4
13. -7 6 x … - 4
12. x Ú 14. -2
6
5
7
2
… k 6 -1
8
3
Resuelva cada desigualdad y represente gráficamente la solución en la recta numérica.
15. x - 7 7 - 4
16. 2x + 3 7 4
17. 3 - x 6 - 4
18. 9b - 5 … 5b + 7
19. 4.7x - 5.48 Ú 11.44
20. 1.4x + 2.2 6 2.6x - 0.2
102 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
21. 41x - 22 … 4x - 8
22. 15.3 7 31a - 1.42
23. 5b - 6 Ú 31b + 32 + 2b
24. - 71d + 22 6 - 9d + 21d - 42
25.
y
2
+
… 4
3
5
26. 2y - 6y + 10 … 21-2y + 32
Resuelva cada desigualdad y dé la solución en notación de intervalo.
4x
6 6
3
v - 5
- v Ú - 31v - 12
29.
3
t
4t
- t + 2 … + 3
31.
3
3
27. 4 +
33. - 3x + 1 6 331x + 22 - 2x4 - 1
28. 4 - 3x 6 7 + 2x + 4
5
7
h
6 + h
2
6
8
512 - x2
31x - 22
7
32.
5
3
30.
34. 43x - 13x - 224 7 31x + 22 - 6
Resuelva cada desigualdad y dé la solución en notación de intervalo.
35. - 2 … q + 3 6 4
36. -7 6 p - 5 … - 5
37. - 15 … - 3z … 12
38. -16 6 5 - 3n … 10
39. 4 … 2x - 4 6 7
40. -12 6 3x - 5 … - 4
41. 14 … 2 - 3g 6 20
42.
1
6 3x + 4 6 6
2
44.
-x - 5
3
6
6 6
5
3
Resuelva cada desigualdad y proporcione el conjunto solución.
43. 5 …
3x + 1
6 11
2
45. 6 … - 312x - 42 6 12
47. 0 …
31u - 42
7
… 1
4 - 3x
2
6
2
3
31x - 22
… 0
48. -15 6
5
46. - 6 6
Resuelva cada desigualdad e indique el conjunto solución.
49. c … 2 y c 7 - 3
51. x 6 2 y x 7 4
53. x + 1 6 3 y x + 1 7 - 4
50. d 7 0 o d … 5
52. w … - 1 o w 7 5
54. 5x - 3 … 7 o -x + 3 6 - 5
Resuelva cada desigualdad e indique la solución en notación de intervalo.
55. 2s + 3 6 7 o - 3s + 4 … - 17
56.
57. 4x + 5 Ú 5 y 3x - 4 … 2
58.
59. 4 - x 6 - 2 o 3x - 1 6 - 1
60.
61. 2k + 5 7 - 1 y 7 - 3k … 7
62.
2a + 3 7 7 y - 3a + 4 … - 17
5x - 3 7 10 y 5 - 3x 6 - 3
-x + 3 6 0 o 2x - 5 Ú 3
2q - 7 … - 3 o 2 - 3q 6 11
Resolución de problemas
63. Servicio de mensajería Para poder enviar un paquete por
mensajería, es necesario que la suma de su largo más su circunferencia no sea mayor de 130 pulgadas.
a) Plantee una desigualdad que exprese esta información;
utilice l para representar el largo y g para la circunferencia.
b) Un servicio de mensajería definió el término circunferencia como el doble del ancho más el doble del grosor.
Escriba una desigualdad que use las variables largo, l,
ancho, w, y el grosor, d, para indicar las dimensiones
permitidas para los paquetes que pueden enviarse por
mensajería.
Sección 2.5 • Resolución de desigualdades lineales • 103
c) Si el largo de un paquete es de 40 pulgadas y su ancho
es de 20.5 pulgadas, determine el grosor máximo que
puede tener.
64. Equipaje Desde el 8 de octubre de 2001, muchas aerolíneas han limitado el tamaño del equipaje que los pasajeros pueden llevar consigo en los vuelos que se realizan en
territorio estadounidense. La longitud, l, más el ancho, w,
más el grosor, d, del equipaje que puede acompañar al pasajero no debe exceder 45 pulgadas.
a) Escriba una desigualdad que describa esta restricción;
utilice las letras l, w y d como se describió antes.
b) Si el equipaje de Héctor Zúñiga mide 26 pulgadas de
largo y 12 de ancho, ¿cuál es el grosor máximo que
puede tener para que pueda llevarlo consigo en el
avión?
En los ejercicios 65 a 79, plantee una desigualdad que pueda
usarse para resolver cada problema. Resuélvala y determine el
valor solicitado.
71. Correo de primera clase El 1 de julio de 2002, el costo por
enviar un paquete por correo de primera clase era de $0.37
por la primera onza y $0.23 por cada onza adicional. ¿Cuál
es el peso máximo que debe tener un paquete para poderlo enviar por primera clase gastando solamente $10.00?
72. Correo de primera clase prepagado Una empresa puede
enviar piezas de correo que pesen hasta una onza usando
el correo prepagado de primera clase. La compañía debe
adquirir primero un permiso que cuesta $150 y tiene
vigencia de un año, y luego pagar $0.275 por cada pieza
enviada. Sin el permiso, enviar cada pieza costaría $0.37.
Determine el número mínimo de piezas de correo que esta empresa tendría que enviar para que valiera la pena utilizar este servicio postal.
73. Comparación de planes de pago Linda Ochoa aceptó hace poco un puesto como vendedora, en donde le ofrecieron elegir entre dos planes de pago. El plan 1 es un salario
de $300 por semana más una comisión de 10% sobre las
ventas. El plan 2 es un salario de $400 por semana más 8%
de comisión sobre las ventas. ¿Cuánto tendría que vender
semanalmente Linda para ganar más con el plan 1?
65. Límite de peso Néstor Pedroza, un conserje, debe trasladar varias cajas con libros del primero al quinto piso. El letrero del elevador dice “Peso máximo: 800 libras”. Si cada
caja de libros pesa 70 libras, calcule el número de cajas que
Néstor puede subir al elevador.
66. Límite en un elevador Si el conserje del ejercicio 65, que
pesa 170 libras, debe subir al elevador junto con las cajas
de libros, calcule el número máximo de cajas que puede
subir al elevador.
67. Larga distancia Una compañía telefónica que ofrece servicio de larga distancia, cobra a sus clientes $0.99 por los
primeros 20 minutos y luego $0.07 por cada minuto (o fracción) posterior. Si Patricia Lanz es una de sus clientes,
¿cuánto tiempo puede hablar por $5.00?
68. Estacionamiento Un estacionamiento del centro de la
ciudad cobra $1.25 por la primera hora y $0.75 por cada
hora o fracción adicional. ¿Cuál es el tiempo máximo que
alguien puede estacionar su auto ahí si no desea pagar más
de $3.75?
69. Utilidad de un libro Miriam Landeta piensa escribir y
74. Empleo para estudiantes Si quiere seguir recibiendo una
beca universitaria, Norma Díaz no puede ganar más de
$2000 durante las 8 semanas que dura el verano. En este
momento ella gana $90 a la semana como asistente doméstica; además, está pensando trabajar por la tarde en
un restaurante de comida rápida, en donde ganaría $6.25
por hora. ¿Cuántas horas por semana puede trabajar como
máximo en el restaurante sin arriesgar su beca?
75. Calificación para aprobar Para aprobar un curso, María
Matute necesita obtener un promedio de 60 o más. Si sus
calificaciones son 65, 72, 90, 47 y 62, determine la calificación mínima que María debe obtener en su sexto y último
examen para aprobar el curso.
76. Calificación mínima Para recibir una A en un curso, Raymundo Rentería debe obtener un promedio de 90 o más
en cinco exámenes. Si las primeras cuatro calificaciones
de Raymundo son 90, 87, 96 y 79, ¿cuál es la calificación mínima que debe obtener en el quinto examen para lograr
una A?
publicar su propio libro. Para calcular sus ingresos, Miriam
desarrolló la ecuación R 6.42x y, para determinar sus
costos, la ecuación C 10,025 1.09x, en donde x es el número de libros que vende. Determine el número mínimo
de libros que debe vender para obtener una ganancia.Vea
el ejemplo 6.
77. Calificación promedio Las calificaciones de Camila Andrade en sus primeros cuatro exámenes son 87, 92, 70 y 75.
Un promedio mayor que o igual a 80 y menor que 90 le daría una nota final de B. ¿Cuál es el rango de calificaciones
que debe obtener Camila en su quinto y último examen
para lograr una calificación final de B? Suponga que la calificación máxima es 100.
70. Utilidades de una tintorería Patricio Suárez va a inaugurar una tintorería. Para calcular sus costos, desarrolló la
ecuación C 8000 0.08x y, para calcular sus ingresos,
la ecuación R 1.85x, en donde x es el número de prendas lavadas en un año. Determine el número mínimo de
prendas que se deben lavar en un año para que Patricio
obtenga una ganancia.
78. Aire limpio Para que el aire se considere “limpio”, tres
contaminantes deben tener una concentración promedio
menor que 3.2 partes por millón (ppm). Si los primeros
dos contaminantes tienen una concentración de 2.7 y 3.42
ppm, ¿en qué rango de valores debe estar la concentración del tercer contaminante para que el aire se considere limpio?
104 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
79. Acidez del agua Gabriel Ángel quiere verificar la acidez
del agua en una alberca; ésta se considera normal cuando
el promedio de tres lecturas diarias de pH es mayor que 7.2
y menor que 7.8. Si las dos primeras lecturas del pH son de
7.48 y 7.15, encuentre el rango de valores de pH que debe
tener la tercera lectura para que resulte un nivel de acidez normal.
a) ¿En qué años, entre 1991 y 2000, los vehículos Porsche
vendidos en todo el mundo fueron menos de 20,000, y
los vendidos en Estados Unidos fueron menos de
10,000? Explique cómo determinó su respuesta.
b) ¿En qué años, entre 1991 y 2000, se vendieron más de
30,000 vehículos Porsche en todo el mundo o los vendidos en Estados Unidos fueron más de 20,000? Explique cómo determinó su respuesta.
83. Comparación de deudas Fannie Mae y Freddie Mac son
compañías auspiciadas por el gobierno estadounidense,
con el propósito de prestar dinero a la gente que desea
comprar bienes inmuebles. Debido a las bajas tasas de
interés y al aumento del poder adquisitivo, desde 1995
la deuda de Fannie Mae y Freddie Mac ha aumentado
de manera abrupta.Al mismo tiempo, la deuda pública de
Estados Unidos ha disminuido bruscamente. La siguiente
gráfica muestra las deudas proyectadas de Fannie Mae y
Freddie Mac, así como la deuda pública estimada para los
años 2001 a 2005.
Rebasando al Tío Sam
a) $78,221.
b) $301,233.
81. Impuesto sobre la renta Consulte el ejemplo 7, página
119. José y Mildred Batista presentan un ingreso mancomunado en su declaración de impuestos. Determine el
impuesto sobre la renta de 2001 que deben pagar José y
Mildred si su ingreso gravable es
Deuda pública de EE.UU.
4
$2.76 billones
3
$3.6 billones
2
$419 miles de
1
millones
1995
Fannie Mae/
Freddie Mac
$2.21 billones
2000
2005
Año
Nota: Las cifras de 2001-2005 son estimadas (Departamento del Tesoro)
y proyectadas (Fannie Mae/Freddie Mac).
Fuente: Subcomité de Servicios Financieros para Vivienda en Mercados
de Capitales.
a) $128,479.
b) $175,248.
82. Ventas de Porsche Desde mediados de los años noventa,
las ventas de automóviles Porsche han tenido un rápido
incremento. La siguiente gráfica ilustra el número de vehículos Porsche vendidos (en miles) entre 1991 y 2000.
Ventas de Porsche
Vehículos vendidos (miles)
Según se estima, la deuda de Fannie Mae y Freddie Mac
sobrepasará la deuda pública de Estados Unidos en 2005.
Deuda (en billones de dólares)
80. Impuesto sobre la renta Consulte el ejemplo 7, página
119. Manuel y María González presentan un ingreso mancomunado en su declaración de impuestos. Determine el
impuesto de 2001 que deben pagar Manuel y María si su
ingreso gravable es
60
En todo el mundo
50
a) ¿Durante qué años, entre 1995 y 2005, se estima que la
deuda de Fannie Mae/Freddie Mac es menor de $1 billón y la deuda pública está por encima de los $3 billones? Explique cómo determinó su respuesta.
b) ¿Durante qué años, entre 1995 y 2005, se estima que la
deuda de Fannie Mae/Freddie Mac es superior a $1 billón o la deuda pública está por debajo de $3 billones?
Explique cómo determinó su respuesta.
40
84. Si a b, ¿a2 siempre será mayor que b2? Explique y proporcione un ejemplo que respalde su respuesta.
30
20
En Estados
Unidos
10
0
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Año
Fuente: Revistra Fortune, 19 de febrero de 2001.
85. Póliza de seguros Una póliza de seguro para gastos médicos tiene un deducible de $100; por las cantidades superiores a ese monto, la aseguradora paga 80% del total de
gastos médicos, c. El cliente paga el 20% restante, pero si
sus gastos superan los $500, la aseguradora paga el 100%.
Podemos describir esta póliza como sigue:
Sección 2.6 • Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos • 105
La aseguradora paga
0,
0.801c - 1002,
c - 500,
si c … $100
si $100 6 c … $2100
si c 7 $2100
Explique por qué este conjunto de desigualdades describe el plan de pago de la aseguradora.
86. Explique por qué no puede despejarse x en la desigualdad a bx c d, a menos que se proporcione información adicional
Reto
87. Calificaciones calculadas Las primeras cinco calificaciones de Rubén Aguirre en un curso de historia europea fueron 82, 90, 74, 76 y 68. El examen final del curso cuenta
una tercera parte del promedio final. Un promedio final
mayor que o igual a 80 y menor que 90 daría como resul-
tado una nota final de B. ¿Cuál es el rango de calificaciones que debe obtener Rubén en el último examen para lograr una calificación final de B? Suponga que la calificación
máxima posible es 100.
En los ejercicios 88 a 90, a) explique cómo resolver cada desigualdad, y b) resuelva y proporcione la solución en notación de intervalo.
90. x + 3 6 x + 1 6 2x
88. x 6 3x - 10 6 2x
89. x 6 2x + 3 6 2x + 5
Ejercicios de repaso acumulativo
91. Para A {1, 2, 6, 8, 9} y B {1, 3, 4, 5, 8}, determine
a) A ´ B.
b) A ¨ B.
29
5
f , liste los ele92. Para A = e - 3, 4, , 17 , 0, 2
80
mentos que son
a)
b)
c)
d)
números para contar.
enteros no negativos.
números racionales.
números reales.
Indique el nombre de cada propiedad.
93. 13x + 62 + 4y = 3x + 16 + 4y2
94. 3x + y = y + 3x
[2.2] 95. Despeje V en la fórmula R L (V D)r.
2.6 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES
CON VALORES ABSOLUTOS
1
1
Entender la interpretación geométrica del valor absoluto.
2
Resolver ecuaciones de la forma |x| a, a
3
Resolver desigualdades de la forma |x|
4
Resolver desigualdades de la forma |x|
5
Resolver desigualdades de la forma |x|
6
Resolver desigualdades de la forma |x|
7
Resolver ecuaciones de la forma |x| |y|.
0.
a, a
a, a
a o |x|
0 o |x|
0.
0.
a, cuando a
0.
0.
Entender la interpretación geométrica del valor absoluto
El valor absoluto de un número puede considerarse como su distancia (sin signo) respecto del número 0 en la recta numérica. El valor absoluto de 3, escrito |3|, es 3, ya que
106 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
está a 3 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica. De igual manera, el
valor absoluto de 3, escrito |3|, también es 3, ya que está a 3 unidades de distancia
respecto del 0 en la recta numérica.
En |x| 3, ¿qué valores de x hacen verdadera esta ecuación? Sabemos que
|3| 3 y |3| 3. Las soluciones de |x| 3 son 3 y 3. Cuando resolvemos la ecuación |x| 3, queremos encontrar los valores que están exactamente a una distancia de
3 unidades respecto del 0 en la recta numérica (vea la figura 2.14a).
x 3
3 unidades
3
2
1
x 3
menor que menor que
3 uni3 unidades
dades
3 unidades
0
(a)
1
2
3
3
2
1
0
1
2
x
3
mayor que
3 unidades
3
3
mayor que
3 unidades
2
1
(b)
0
1
2
3
(c)
FIGURA 2.14
Ahora considere la desigualdad |x| 3. Para resolver esta desigualdad, necesitamos
determinar el conjunto de valores cuya distancia respecto del 0 es menor que 3 unidades
en la recta numérica. Éstos son los valores de x entre 3 y 3 (vea la figura 2.14b).
Para resolver la desigualdad |x| 3, necesitamos determinar el conjunto de valores cuya distancia respecto del 0 es mayor que 3 unidades en la recta numérica.
Éstos son los valores que son menores que 3 o mayores que 3 (vea la figura 2.14c).
En esta sección resolveremos ecuaciones y desigualdades como las siguientes:
ƒ 2x - 1 ƒ = 5
ƒ 2x - 1 ƒ … 5
ƒ 2x - 1 ƒ 7 5
La interpretación geométrica de |2x 1| 5 es similar a |x| 3. Cuando resolvemos
|2x 1| 5, estamos determinando el conjunto de valores para los que 2x 1 está
exactamente a 5 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica.
La interpretación geométrica de |2x 1| 5 es similar a la interpretación geométrica de |x| 3. Cuando resolvemos |2x 1| 5, estamos determinando el conjunto de valores para los que 2x 1 es menor que o igual a 5 unidades de distancia respecto
del 0 en la recta numérica.
La interpretacion geométrica de ƒ 2x - 1 ƒ 7 5 es similar a la de ƒ x ƒ 7 3. Cuando resolvemos ƒ 2x - 1 ƒ 7 5, estamos determinando el conjunto de valores para los
que 2x - 1 es mayor que 5 unidades de distancia respecto de 0 en la recta númerica.
En el resto de esta sección resolveremos ecuaciones y desigualdades con valor absoluto de manera algebraica. Primero resolveremos ecuaciones con valor absoluto, y después desigualdades con valor absoluto. Terminaremos la sección
resolviendo ecuaciones con valores absolutos en ambos lados de la ecuación, por
ejemplo, |x 3| |2x 5|.
2
Resolver ecuaciones con la forma |x| a, a
0
Cuando resolvemos una ecuación con la forma |x| a, a 0, estamos determinando
los valores que están exactamente a a unidades de distancia respecto del 0 en la recta
numérica. Podemos utilizar el siguiente procedimiento para resolver este tipo de problemas.
Para resolver ecuaciones de la forma |x| 5 a
Si |x| a y a
0, entonces x a o x a.
Sección 2.6 • Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos • 107
EJEMPLO 1
Solución
EJEMPLO 2
Solución
Resuelva cada ecuación
a) ƒ x ƒ = 7
b) ƒ x ƒ = 0
c) ƒ x ƒ = - 7
a) Al usar el procedimiento, obtenemos x 7 o x 7. El conjunto solución es {7, 7}.
b) El único número real cuyo valor absoluto es igual a cero es 0. Así, el conjunto solución para |x| 0 es {0}.
c) El valor absoluto de un número nunca es negativo, así que no existen soluciones para
esta ecuación. El conjunto solución es ¤.
✺
Resuelva la ecuación |2w 1| 5.
A primera vista, esta ecuación no responde a la forma |x| a; sin embargo, si hacemos que 2w 1 sea x y 5 sea a, entonces veremos que la ecuación sí tiene esa forma.
Estamos buscando los valores de w tales que 2w 1 esté exactamente a 5 unidades
de distancia respecto del 0 en la recta numérica. Así, la cantidad 2w 1 debe ser igual
a 5 o 5.
2w - 1 = 5 o
2w = 6
w = 3
2w - 1 = - 5
2w = - 4
w = -2
Compruebe
w = 3
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21
ƒ 2w - 1 ƒ
ƒ 2132 - 1 ƒ
ƒ6 - 1ƒ
ƒ5ƒ
=
?
=
?
=
?
=
5 =
5
w = -2
ƒ 2w - 1 ƒ
ƒ21-22 - 1ƒ
5
5
ƒ -4 - 1 ƒ
5
ƒ -5 ƒ
5 Verdadero
5
=
?
=
?
=
?
=
=
5
5
5
5
5 Verdadero
Cada una de las soluciones 3 y 2 en 2w – 1, dan como resultado una distancia de 5 unidades respecto del 0 en la recta numérica. El conjunto solución es {2, 3}.
✺
Considere la ecuación |2w 1| 3 2. El primer paso para resolverla es aislar
el término con el valor absoluto. Hacemos esto sumando 3 en ambos lados de la ecuación; esto resulta en la ecuación que resolvimos en el ejemplo 2.
3
Resolver desigualdades con la forma |x|
a, a
0
Ahora enfoquemos nuestra atención en las desigualdades con la forma |x| a. Considere |x| 3. Esta desigualdad representa al conjunto de valores que están a menos de
3 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica (vea la figura 2.14b). El conjunto solución es {x|3 x 3}. El conjunto solución de una desigualdad con la forma |x| a es el conjunto de valores que están a menos o igual distancia que a unidades
respecto del 0 en la recta numérica.
Podemos utilizar el mismo proceso de razonamiento para resolver problemas
más complicados, como se muestra en el ejemplo 3.
EJEMPLO 3
Solución
Resuelva la desigualdad |2x 3|
5.
La solución de esta desigualdad será el conjunto de valores tales que la distancia entre 2x 3 y 0 en la recta numérica sea menor que 5 unidades (vea la figura 2.15). Utilizando la figura 2.15, podemos ver que 5 2x 3 5.
2x 3
FIGURA 2.15
6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
108 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Resolviendo, obtenemos
-5 6 2x - 3 6 5
-2 6 2x 6 8
-1 6 x 6 4
El conjunto solución es {x|1 x 4}. Cuando x es cualquier número entre 1 y 4,
la expresión 2x 3 representará un número que está a menos de 5 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica (es decir, un número entre 5 y 5).
✺
Para resolver desigualdades con la forma |x|
to siguiente.
a, podemos utilizar el procedimien-
Para resolver desigualdades de la forma |x|
Si |x|
EJEMPLO 4
Solución
0, entonces a
aya
x
a
a.
Resuelva la desigualdad |3x 4| 5 y represente gráficamente la solución en la recta numérica.
Como esta desigualdad tiene la forma |x| a, escribimos
-5 … 3x - 4 … 5
-1 … 3x … 9
-
1
… x … 3
3
a
6 5 4 3 2 1
3
0
1
2
3
4
5
6
1
Cualquier valor de x mayor o igual que - 3 y menor o igual que 3 da como resultado que
3x 4 esté a 5 unidades o menos de distancia respecto del 0 en la recta numérica. ✺
EJEMPLO 5
Solución
Resuelva la desigualdad |5.3 2x| 8.1
en la recta numérica.
9.4, y represente gráficamente la solución
Primero aísle el valor absoluto sumando 8.1 en ambos lados de la desigualdad. Después
resuelva como en los ejemplos anteriores.
ƒ 5.3 - 2x ƒ - 8.1 6 9.4
ƒ 5.3 - 2x ƒ 6 17.5
-17.5 6 5.3 - 2x 6 17.5
-22.8 6 - 2x 6 12.2
- 22.8
-2x
12.2
7
7
-2
-2
-2
11.4 7 x 7 - 6.1 o
-6.1 6 x 6 11.4
6.1
7 6 5 4 3 2 1
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 37
El conjunto solución es {x|6.1
tervalo es (6.1, 11.4).
11.4
0
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
11.4}. El conjunto solución en notación de in-
✺
Sección 2.6 • Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos • 109
4
Resolver desigualdades con la forma |x|
a, a
0
Ahora veamos las desigualdades con la forma |x| a. Considere |x| 3. Esta desigualdad representa el conjunto de valores que están a más de 3 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica (vea la figura 2.14c). El conjunto solución es
{x|x 3 o x 3}. El conjunto solución para |x| a es el conjunto de valores que
están a más distancia que a unidades respecto del 0 en la recta numérica.
EJEMPLO 6
Solución
Resuelva la desigualdad |2x 3|
ta numérica.
5 y represente gráficamente la solución en la rec-
La solución para |2x 3| 5 es el conjunto de valores tales que la distancia entre 2x 3
y 0 en la recta numérica será mayor que 5. La cantidad 2x 3 debe ser menor que 5 o
mayor que 5 (vea la figura 2.16).
2x 3
FIGURA 2.16
2x 3
8 7 6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Como 2x 3 debe ser menor que 5 o mayor que 5, establecemos y resolvemos la siguiente desigualdad compuesta:
2x - 3 6 - 5 or 2x - 3 7 5
2x 6 - 2
2x 7 8
x 6 -1
x 7 4
5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
El conjunto solución para |2x 3| 5 es {x|x 1 o x 4}. Cuando x es cualquier
número menor que 1 o mayor que 4, la expresión 2x 3 representará un número que
está a más de 5 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica (es decir, un
número menor que 5 o mayor que 5).
✺
Para resolver desigualdades con la forma |x|
to siguiente.
Para resolver desigualdades con la forma |x|
a
a o x
a.
Si |x|
EJEMPLO 7
Solución
a, podemos usar el procedimien-
aya
0, entonces x
Resuelva la desigualdad |2x 1 | 7 y represente gráficamente la solución en la recta
numérica.
Como esta desigualdad tiene la forma |x| a, utilizamos el procedimiento que se
planteó antes.
2x - 1 … - 7 or 2x - 1 Ú 7
2x … - 6
2x Ú 8
x … -3
x Ú 4
6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
Cualquier valor de x menor o igual que 3, o mayor o igual que 4, daría como resultado que 2x 1 represente un número mayor o igual que 7 unidades de distancia respecto del 0 en la recta numérica. El conjunto solución es {x|x 3 o x 4}. En notación
de intervalo, la solución es (q , 3] ´ [4, q).
✺
EJEMPLO 8
Resuelva la desigualdad `
recta numérica.
3x - 4
` Ú 9 y represente gráficamente la solución en la
2
110 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Solución
Como la desigualdad tiene la forma |x| a, escribimos
3x - 4
… -9 o
2
3x - 4
Ú 9
2
Ahora multiplique ambos lados de cada desigualdad por el mínimo común denominador, 2. Después, resuelva cada desigualdad.
2a
3x - 4
b … -9 # 2
2
3x - 4 … - 18
3x … - 14
14
x … 3
SUGERENCIA
3x - 4
b Ú 9#2
2
3x - 4 Ú 18
3x Ú 22
22
x Ú
3
22
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
✺
9 10
A continuación se ofrece alguna información general acerca de las ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. Para números reales a, b y c, en donde a 0 y c 0:
Forma de la ecuación
o desigualdad
La solución será:
ƒ ax + b ƒ = c
Dos números distintos, p y q.
ƒ ax + b ƒ 6 c
El conjunto de números entre
dos números, p x q
ƒ ax + b ƒ 7 c
5
2a
14
3
7 6 5 4 3 2 1
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 53
o
Solución en
la recta numérica:
El conjunto de números menores
que un número o mayores que un
segundo número, x p o x q
Resolver desigualdades con la forma |x|
a o |x|
a, cuando a
p
q
p
q
p
q
0
Hemos resuelto desigualdades con la forma |x| a en donde a 0. Ahora analicemos
lo que sucede en una desigualdad con valor absoluto cuando a 0. Considere la desigualdad |x| 3; como |x| siempre tendrá un valor mayor que o igual a 0 para cualquier número real x, esta desigualdad nunca puede ser verdadera, así que la solución
es el conjunto vacío, ¤. Siempre que tengamos una desigualdad con valor absoluto de
este tipo, la solución será el conjunto vacío.
EJEMPLO 9
Solución
Resuelva la desigualdad |3x 8| 3
2.
Comience restando 3 en ambos lados de la desigualdad.
ƒ 3x - 8 ƒ + 3 6 2
ƒ 3x - 8 ƒ 6 - 1
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41
Como |3x 8| siempre será mayor que o igual a 0 para cualquier número real x, esta desigualdad nunca puede ser verdadera. Por lo tanto, la solución es el conjunto vacío, ¤. ✺
Ahora considere la desigualdad |x| 3. Como |x| siempre tendrá un valor mayor que o igual a 0 para cualquier número real x, esta desigualdad siempre será verdadera.
Sección 2.6 • Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos • 111
Como todo valor de x hará de esta desigualdad una proposición verdadera, la
solución es el conjunto de todos los números reales, . Siempre que tengamos una
desigualdad con valor absoluto de este tipo, la solución será el conjunto de todos los
números reales, .
EJEMPLO 10
Solución
Resuelva la desigualdad |2x 3| 4 7.
Comience por restar 4 en ambos lados de la desigualdad.
ƒ 2x + 3 ƒ + 4 Ú - 7
ƒ 2x + 3 ƒ Ú - 11
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 59
6
Como |2x 3| siempre será mayor que o igual a 0 para cualquier número real x, esta
desigualdad es verdadera para todos los números reales; por lo que la solución es el conjunto de todos los números reales, .
✺
Resolver desigualdades con la forma |x|
0 o |x|
0
Ahora analicemos las desigualdades en las que uno de sus lados es 0. El único valor que
satisface la ecuación |x 5| 0 es 5, ya que 5 hace que la expresión dentro del valor
absoluto sea 0. Ahora considere |x 5| 0. Como el valor absoluto nunca es negativo, esta desigualdad es cierta sólo cuando x 5. La desigualdad |x 5| 0 no tiene solución. ¿Puede explicar por qué? ¿Cuál es la solución de |x 5| 0? Como
cualquier valor de x dará como resultado que el valor absoluto sea mayor que o igual
a 0, la solución es el conjunto de todos los números reales, R. ¿Cuál es la solución
para |x 5| 0? La solución es todos los números reales excepto 5. ¿Puede explicar
por qué el 5 se excluye de la solución?
EJEMPLO 11
Solución
Resuelva cada desigualdad. a) |x 3|
0
b) |3x 4| 0.
a) La desigualdad será verdadera para todo valor de x excepto 3. El conjunto solución es {x|x 3 o x 3}.
b) Determine el número con el que el valor absoluto es igual a 0, haciendo que la
expresión dentro del valor absoluto sea igual a 0 y despejando x.
3x - 4 = 0
3x = 4
4
x =
3
La desigualdad será cierta sólo cuando x = 43 . El conjunto solución es
7
E 43 F .
✺
Resolver ecuaciones con la forma |x| |y|
Analicemos ahora las ecuaciones en las que hay un valor absoluto en cada lado. Para
resolver ecuaciones con la forma |x| |y|, utilice el procedimiento siguiente.
Para resolver ecuaciones con la forma |x| |y|
Si |x| |y| , entonces x y o x y.
Cuando resolvamos una ecuación con una expresión de valor absoluto a cada lado
del signo igual, las dos expresiones deben tener el mismo valor absoluto. Por lo tanto,
las expresiones deben ser iguales entre sí o ser opuestas entre sí.
112 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
EJEMPLO 12
Solución
Resuelva la ecuación |z 3| |2z 7|.
Si hacemos que z 3 sea x y 2z 7 sea y, esta ecuación tiene la forma |x| |y|. Utilizando el procedimiento indicado anteriormente, obtenemos las dos ecuaciones
z + 3 = 2z - 7
o
Ahora resuelva cada ecuación.
z + 3 = - 12z - 72
- 12z - 72
- 2z + 7
7
4
4
z =
3
z + 3 = 2z - 7 o z + 3 =
3 = z - 7
z + 3 =
10 = z
3z + 3 =
3z =
Compruebe
z = 10
ƒ z + 3 ƒ = ƒ 2z - 7 ƒ
z =
?
ƒ 10 + 3 ƒ = ƒ 21102 - 7 ƒ
4
3
ƒ z + 3 ƒ = ƒ 2z - 7 ƒ
`
4
4
?
+ 3 ` = ` 2a b - 7 `
3
3
?
ƒ 13 ƒ = ƒ 20 - 7 ƒ
?
ƒ 13 ƒ = ƒ 13 ƒ
`
13 ? 8
21
` = ` `
3
3
3
`
13 ?
13
` = ``
3
3
13
13
=
3
3
13 = 13 Verdadero
El conjunto solución es E 10, 43 F .
EJEMPLO 13
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 63
Resuelva la ecuación |4x 7| |6 4x|.
4x - 7 = 6 - 4x o
8x - 7 = 6
8x = 13
13
x =
8
Verdadero
✺
4x - 7 = - 16 - 4x2
4x - 7 = - 6 + 4x
Falso
-7 = -6
Como la ecuación 4x 7 (6 4x) tiene como resultado una proposición falsa, la
ecuación con valor absoluto tiene una única solución. Una verificación mostrará que
el conjunto solución es E 138 F .
✺
Resumen de los procedimientos para resolver
ecuaciones y desigualdades con valor absoluto
Para a
0,
Si |x| a, entonces x a o x a.
Si |x|
a, entonces a
Si |x|
a, entonces x
Si |x| |y|, entonces
x
a.
a o x
a.
x y o x y.
Sección 2.6 • Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos • 113
Conjunto de ejercicios 2.6
Ejercicios conceptuales
1. ¿Cómo se resuelven las ecuaciones con la forma |x| a,
a 0?
2. Determine el conjunto solución para cada una de las siguientes ecuaciones, y explique cómo lo hizo.
a) ƒ x ƒ = - 2
b) ƒ x ƒ = 0
c) ƒ x ƒ = 2
3. ¿Cómo se resuelven las desigualdades de la forma |x| a,
a 0?
4. ¿Cómo podemos comprobar si 7 es una solución para
|2x 3| 11? ¿7 es una solución?
5. ¿Cómo se resuelven las desigualdades de la forma |x| a,
a 0?
6. ¿Cuál es la solución de |x| 0? Explique su respuesta.
7. ¿Cuál es la solución de |x| 0? Explique su respuesta.
8. Suponga que m y n (m n) son dos soluciones distintas
para la ecuación |ax b| c. Indique las soluciones para
cada desigualdad, usando símbolos de desigualdad y la recta numérica. (Vea la Sugerencia de la página 110.)
a) ƒ ax + b ƒ 6 c
b) ƒ ax + b ƒ 7 c
a) ƒ ax + b ƒ = k
b) ƒ ax + b ƒ 6 k
c) ƒ ax + b ƒ 7 k
12. Relacione cada una de las siguientes ecuaciones o desigualdades con valor absoluto con la gráfica de su conjunto solución correspondiente.
a) ƒ x ƒ = 4 A.
b) ƒ x ƒ 6 4
c) ƒ x ƒ 7 4
d) ƒ x ƒ Ú 4
e) ƒ x ƒ … 4
b) k = 0
c) k 7 0
11. ¿Cuántas soluciones tendrán las siguientes ecuaciones o
desigualdades, si a 0 y k 0?
D.
E.
1
2
3
4
5
6
6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
o x Ú 56
a) ƒ x ƒ = 5 A. 5xƒx … - 5 or
c) ƒ x ƒ 7 5
d) ƒ x ƒ … 5
e) ƒ x ƒ Ú 5
a) k 6 0
C.
0
13. Relacione cada una de las siguientes ecuaciones o desigualdades con valor absoluto con su conjunto solución
correspondiente.
b) ƒ x ƒ 6 5
9. Explique cómo resolver una ecuación de la forma |x| |y|.
10. ¿Cuántas soluciones tendrá |ax b| k, a 0, si
B.
6 5 4 3 2 1
B. 5xƒ -5 6 x 6 56
C. 5xƒ -5 … x … 56
D. 5- 5, 56
E. 5xƒ x 6 - 5 or
o x 7 56
14. Suponga que |x| |y| y x 0 y y 0.
a) ¿Cuál de las siguientes expresiones debe ser verdadera? x y, x y, o x y.
b) Dé un ejemplo que apoye su respuesta a la parte a)
Problemas de aplicación
Determine el conjunto solución para cada ecuación.
15.
ƒaƒ = 2
16.
ƒ b ƒ = 13
18.
ƒxƒ = 0
19.
ƒdƒ = -
21. ƒ x + 5 ƒ = 7
22.
ƒ3 + yƒ =
25.
ƒ 5 - 3x ƒ =
24.
ƒ 4.7 - 1.6z ƒ = 14.3
27. `
x - 3
` = 5
4
5x - 3
` + 2 = 6
30. `
2
28. `
33.
ƒ w ƒ 6 11
ƒq + 5ƒ … 8
3
5
1
2
3z + 5
` - 3 = 6
6
Determine el conjunto solución para cada desigualdad.
31.
3
4
32. ƒ p ƒ … 7
34. ƒ 7 - x ƒ 6 5
1
2
17.
ƒcƒ =
20.
ƒl + 4ƒ = 6
23.
ƒ 4.5q + 22.5 ƒ = 0
26.
ƒ 31y + 42 ƒ = 12
29. `
x - 3
` + 4 = 4
4
114 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
35. ƒ 5b - 15 ƒ 6 10
37. ƒ 2x + 3 ƒ - 5 … 10
39. ƒ 3x - 7 ƒ + 5 6 11
41.
ƒ 2x - 6 ƒ + 5 … 2
43. ` j + 3 ` 6 6
1
2
3
7
k
45. ` - ` 6
4
8
16
ƒx - 3ƒ - 2 6 3
ƒ 4 - 3x ƒ - 4 6 11
40. ƒ 2x - 3 ƒ 6 - 4
36.
38.
42. `
5
2x - 1
` …
3
3
x - 3
` - 4 … -2
44. `
2
46.
ƒ 2x + 3 ƒ 6 0
Determine el conjunto solución para cada desigualdad.
47.
ƒyƒ 7 7
49. ƒx + 4ƒ 7 5
51.
ƒ 7 - 3b ƒ 7 5
52. `
6 + 2z
` 7 2
3
53. `
54.
ƒ 2x - 1 ƒ - 4 Ú 8
55.
56.
ƒ 3.7d + 6.9 ƒ - 2.1 7 - 5.4
57.
59.
61.
2h - 5
` 7 1
3
ƒ 0.1x - 0.4 ƒ + 0.4 7 0.6
x
` + 4` Ú 5
2
ƒ 7w + 3 ƒ - 6 Ú - 6
ƒ 4 - 2x ƒ 7 0
ƒaƒ Ú 9
50. ƒ 2b - 7 ƒ 7 3
48.
58. ` 4 -
3x
` Ú 9
5
60. ƒ 3 - 2x ƒ Ú 0
62. ƒ 4c - 16 ƒ 7 0
Determine el conjunto solución para cada ecuación.
63. ƒ 3p - 5 ƒ = ƒ 2p + 10 ƒ
65. ƒ 6x ƒ = ƒ 3x - 9 ƒ
2r
5
r
+ ` = ` - 3`
67. `
3
6
2
3
3m
`
69. ` - m + 8 ` = ` 7 4
4
66.
ƒ 6n + 3 ƒ = ƒ 4n - 13 ƒ
ƒ 5t - 10 ƒ = ƒ 10 - 5t ƒ
68.
ƒ 3x - 5 ƒ = ƒ 3x + 5 ƒ
64.
70. ` r + 2 ` = ` r - 3 `
3
2
1
2
Determine el conjunto solución para cada ecuación o desigualdad.
71.
73.
75.
77.
ƒhƒ = 1
ƒq + 6ƒ 7 2
ƒ 2w - 7 ƒ … 9
ƒ 5a - 1 ƒ = 9
79. ƒ 5 + 2x ƒ 7 0
81. ƒ 4 + 3x ƒ … 9
83. ƒ 3n + 8 ƒ - 4 = - 10
72.
74.
76.
78.
85. `
86. `
w + 4
` - 1 6 3
3
3x - 2
` + 5 Ú 5
87. `
4
1
89. ƒ 2x - 8 ƒ = ` x + 3 `
2
5
91. ƒ 2 - 3x ƒ = ` 4 - x `
3
ƒyƒ … 5
ƒ 9d + 7 ƒ … - 1
ƒ 2z - 7 ƒ + 5 7 8
ƒ 2x - 4 ƒ + 2 = 10
80. ƒ 7 - 3b ƒ = ƒ 5b + 15 ƒ
82. ƒ 2.4x + 4 ƒ + 4.9 7 1.9
84. ƒ 4 - 2x ƒ - 5 = 5
5t - 10
5
` 7
6
3
2x - 4
` = 12
88. `
5
1
2
90. ` y + 3 ` = ` y - 1 `
3
3
-2u + 3
` … 5
92. `
7
Sección 2.6 • Resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos • 115
Resolución de problemas
b) ¿Entre qué distancias verticales (o profundidades), medidas respecto del nivel del mar, puede moverse el submarino?
93. Grosor del vidrio Ciertos tipos de vidrio tienen, idealmente, un grosor de 0.089 pulgada. Sin embargo, debido a las
limitaciones en el proceso de fabricación, se permite que
el grosor varíe en 0.004 pulgada respecto del grosor ideal.
Si t representa el grosor real del vidrio, entonces el rango
de grosor permitido puede representarse por medio de la
desigualdad |t 0.089| 0.004. Fuente: www.ppg.com
a) Resuelva esta desigualdad para t (utilice la notación
de intervalo).
b) ¿Cuál es el menor grosor permitido para el vidrio?
c) ¿Cuál es el mayor grosor permitido para el vidrio?
94. Garantía de calidad El grosor de cierto tipo de madera laminada está garantizado en 85 de pulgada con una tolerancia de hasta 561 de pulgada. Si t representa el grosor real de
la madera laminada, entonces el rango permitido puede
representarse por medio de la desigualdad ƒ t - 58 ƒ … 561 .
Fuente: www.sticktrade.com
a) Resuelva esta desigualdad para t (utilice la notación
de intervalo).
b) ¿Cuál es el menor grosor permitido para la madera laminada?
c) ¿Cuál es el mayor grosor permitido para la madera laminada?
160 pies
28 pies
28 pies
96. Rebote de resorte Un resorte sujeto al techo describe un
movimiento de rebote hacia arriba y hacia abajo, de modo que su distancia, d, respecto del piso satisface la desigualdad |d 4| 12 pie (vea la figura).
a) Resuelva esta desigualdad para d. Escriba su respuesta en notación de intervalo.
b) ¿Entre qué distancias, medidas respecto del piso, rebota el resorte?
95. Exploración submarina Un submarino está 160 pies por
debajo del nivel del mar. Arriba y a los lados del mismo
hay una formación rocosa, así que no debe modificar su
profundidad en más de 28 pies. La profundidad a que se
encuentra respecto del nivel del mar, d, puede describirse
por medio de la desigualdad |d 160| 28.
a) Resuelva la desigualdad para d. Escriba su respuesta
en notación de intervalo.
q pies
q pies
4 pies
En los ejercicios 97 a 100, determine una ecuación o una desigualdad con conjunto solución indicado.
97.
98.
99.
100.
5- 5, 56
5xƒ -5 6 x 6 56
5xƒx … - 5 o x Ú 56
5xƒ - 5 … x … 56
101. ¿Para qué valor de x será verdadera la desigualdad
|ax b| 0? Explique.
102. ¿Para qué valor de x no será verdadera la desigualdad
|ax b| 0? Explique.
104. a) Explique cómo determinar la solución para la desigualdad |ax b| c. (Suponga que a 0 y c 0.)
b) Resuelva esta desigualdad para x.
105. a) Explique cómo determinar la solución para la desigualdad |ax b| c. (Suponga que a 0 y c 0.)
b) Resuelva esta desigualdad para x.
106. a) ¿Cuál es el primer paso para resolver la desigualdad
2|3x 5| 6?
b) Resuelva esta desigualdad y proporcione la solución
en notación de intervalo.
103. a) Explique cómo determinar la solución para la ecuación |ax b| c. (Suponga que c 0 y a 0.)
b) Resuelva esta ecuación para x.
Determine qué valores de x harán verdadera cada ecuación. Explique su respuesta.
107.
108.
ƒx - 3ƒ = ƒ3 - xƒ
ƒx - 3ƒ = - ƒx - 3ƒ
109.
110.
ƒxƒ = x
ƒx + 2ƒ = x + 2
116 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Resuelva. Explique cómo determinó su respuesta.
111.
ƒ x + 1 ƒ = 2x - 1
112.
ƒ 3x + 1 ƒ = x - 3
113.
ƒ x - 2 ƒ = - 1x - 22
Reto
Resuelva considerando los signos posibles para x.
114.
ƒxƒ + x = 6
115. x + ƒ - x ƒ = 6
116.
ƒxƒ - x = 6
117. x - ƒ x ƒ = 6
Actividad en equipo
Analice y responda el ejercicio 118 en equipo.
118. Considere la ecuación |x y| |y x|.
b) Determinen en equipo para qué valores de x y y es verdadera la ecuación. Expliquen su respuesta.
a) Cada miembro del equipo seleccione un valor para x y
uno para y, y determine si la ecuación se cumple. Repita con otros dos valores para x y y.
c) Ahora consideren |x y| |y x|. ¿Bajo qué condiciones será verdadera esta ecuación?
Ejercicios de repaso acumulativo
Evalúe.
119.
1
1
2 1 2
+ , a b
3
4
5 3
gresa, promediando esta vez 1.6 millas por hora. Si
el tiempo total de su recorrido es 1.5 horas, ¿cuál es
el ancho del lago?
120. 41x + 3y2 - 5xy cuando x = 1, y = 3
[2.4] 121. Natación Raúl Sánchez cruza a nado un lago, promediando 2 millas por hora. Luego da vuelta y re-
RESUMEN
[2.5] 122. Determine el conjunto solución para la desigualdad
3(x 2) 4(x 3) 2.
DEL CAPÍTULO
Términos y frases importantes
2.1
Coeficiente (o coeficiente
numérico)
Ecuación condicional
Constante
Contradicción
Grado de un término
Ecuación
Ecuaciones equivalentes
Identidad
Mínimo común
denominador (MCD)
HECHOS
Mínimo común múltiplo
(MCM)
Términos semejantes
Ecuaciones lineales con
una variable
Simplificar una expresión
Conjunto solución
Soluciones de una ecuación
Términos
Términos no semejantes
2.2
2.4
Fórmula
Modelo matemático
Fórmula de interés simple
Subíndices
Fórmula de la distancia
Problema de mezcla
Problema de movimiento
2.5
2.3
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Y; intersección
Desigualdad compuesta
Desigualdad
O; unión
Orden (o sentido) de una
desigualdad
IMPORTANTES
Propiedades de la igualdad
Propiedad reflexiva: a a.
Propiedad de simetría: si a b, entonces b a.
Propiedad transitiva; si a b y b c, entonces a c.
(continúa en la página siguiente)
Ejercicios de repaso del capítulo • 117
Propiedad de suma (o aditiva) a b, entonces a c b c.
Propiedad de multiplicación (o multiplicativa) de la igualdad: si a b, entonces ac bc; c
0
Para resolver ecuaciones lineales
1.
Elimine las fracciones.
2.
Simplifique cada lado de forma separada.
3.
Aísle el término con la variable en un lado.
4.
Despeje la variable.
5.
Compruebe.
Procedimiento para la resolución de problemas
1.
Entienda el problema.
2.
Traduzca el problema a lenguaje matemático.
3.
Realice los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema.
4.
Compruebe la respuesta obtenida en el paso 3.
5.
Responda la pregunta.
Fórmula de distancia
Fórmula de interés simple
distancia velocidad tiempo
o d vt.
interés capital tasa tiempo
o i prt
Propiedades usadas para resolver desigualdades
1.
Si a
b, entonces a c
2.
Si a
b, entonces a c
3.
Si a
byc
b c.
b c.
0 entonces ac
Valor absoluto para a
bc.
a, entonces a
x
Si a
byc
0, entonces
5.
Si a
byc
0, entonces ac
byc
a
b
0, entonces 6 .
c
c
6.
Si a
0
Si |x| a, entonces x a o x a.
Si |x|
b
a
7 .
c
c
4.
Si |x|
a, entonces x
a o x
a.
Si |x| |y|, entonces x y o x y.
a.
Ejercicios de repaso del capítulo
[2.1] Indique el grado de cada término.
1. 23a 3b5
3. -4xyz5
2. 6x
Simplifique cada expresión. Si una expresión no puede simplificarse, especifíquelo.
4. a1a + 32 - 41a - 12
5. x 2 + 2xy + 6x 2 - 4
6. b2 + b - 7
7. 23 - 1x - y2 + 3x4 - 5y + 6
Resuelva cada ecuación. Si una ecuación no tiene solución, especifíquelo.
8. 51c + 42 - 2c = - 1c - 42
9. 31x + 22 - 6 = 41x - 52
10. 3 +
x
5
=
2
6
bc.
118 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
11.
1
1
13t + 42 = 14t + 12
2
3
12. 2 a
14. 21x - 62 = 5 - 52x - 341x - 32 - 546
x
1
- 4b = 3ax + b
2
3
13. 3x - 4 = 6x + 4 - 3x
[2.2] Evalúe cada fórmula para los valores dados.
15. m =
17. h =
y2 - y1
x2 - x1
cuando y 2 = 5, y 1 = - 2, x 2 = - 8, x 1 = 6
1 2
at + v 0 t + h 0 cuando a = - 32, v 0 = 0, h 0 = 80, t = 1
2
16. x =
18. z =
- b + 2b2 - 4ac
cuando a = 8, b = 10, c = - 3
2a
x - m
cuando x = 60, m = 64, s = 5, n = 25
s
1n
Despeje la variable indicada en cada ecuación.
19. E = IR, para R
20. A = pr2 h, para h
21. P = 2l + 2w, para w
22. A =
23. y = mx + b, para m
24. 2x - 3y = 5, para y
25. R T = R 1 + R 2 + R 3 , para R 2
26. S =
1
bh, para h
2
3a + b
, para a
2
27. K = 21d + l2, para l
[2.3] En los ejercicios 28 a 32, escriba una ecuación que pueda utilizarse para resolver cada problema. Resuelva el problema y verifique su respuesta.
28. Venta de calendarios El 1 de febrero, un almacén pone a
la venta todos los calendarios con 75% de descuento sobre
el precio original. Si María Cristina Solís aprovecha la oferta para comprar un calendario por $5.50, ¿cuál era el precio original del calendario?
29. Aumento poblacional La población de un pequeño pueblo se incrementa a razón de 350 personas por año. Si la
población actual es de 4750, ¿en cuánto tiempo el poblado alcanzará 5800 habitantes?
30. Comisión El salario de Damián Alcocer es de $300 por semana más 6% de comisión por las ventas que realice. ¿Cuánto debe vender Damián para ganar $650 en una semana?
31. Comparación de precios En el aeropuerto de la ciudad de
Kansas, una empresa ofrece el alquiler de un Ford Focus
por $24.99 diarios con millaje ilimitado. El costo por alquilar el mismo automóvil en otra compañía es de $19.99
diarios más $0.10 por milla. Si Andrea Ojeda necesita alquilar un automóvil durante 3 días, determine el número
de millas que necesitaría conducir para que el costo del
alquiler sea igual en ambas compañías
32. Venta En una venta por liquidación, los muebles se venden
con 40% de descuento sobre su precio normal.Además, a los
artículos con etiqueta verde se les descuentan $20 adicionales. Si Eduardo Brambila adquirió un artículo con etiqueta
verde y pagó $120, determine cuál era su precio normal.
[2.4] En los ejercicios 33 a 37, resuelva los problemas de movimiento y de mezcla.
33. Inversión en bonos Cuando Gonzalo Brizuela recibió un
bono en el trabajo, invirtió parte del dinero en una cuenta del mercado de valores que produce 3.5% de interés
simple, y el resto en un certificado de depósito que produce 4.0% de interés simple. Si la cantidad total de interés
que el señor Brizuela ganó durante el año fue de $187.15,
determine el monto total invertido en cada cuenta.
34. Soluciones de fertilizante Enrique Castillo tiene soluciones de fertilizante líquido que contienen 20% y 60% de
nitrógeno. ¿Cuántos galones de cada una de estas soluciones debe mezclar Enrique para obtener 250 galones de
una solución que contenga 30% de nitrógeno?
35. Dos trenes Dos trenes parten de Portland, Oregón, al mismo tiempo y en direcciones opuestas. Un tren viaja a 60
millas por hora y el otro a 90 millas por hora. ¿En cuántas
horas estarán a 400 millas de distancia uno del otro?
36. Transbordadores espaciales El transbordador espacial 2
despega 0.5 hora después de que despega el transbordador
espacial 1. Si el transbordador 2 viaja 300 millas por hora
más rápido que el transbordador 1 y lo rebasa exactamente 5 horas después de haber despegado, determine
a) la velocidad del transbordador espacial 1.
b) la distancia que hay entre el lugar de lanzamiento y
el punto en donde el transbordador 2 rebasa al transbordador 1.
Ejercicios de repaso del capítulo • 119
de solución al 6% para que la mezcla tenga 12% de solución de tinte azul?
44. Dos inversiones Luis Saldaña invierte $12,000 en dos
cuentas de ahorro. Una cuenta paga 10% de interés simple,
y la otra 6% de interés simple. Si en un año Luis gana el mismo interés en cada cuenta. ¿cuánto invirtió a cada tasa?
45. Centro de salud El gimnasio Deltoides tiene dos planes de
membresía. Con el primer plan se pagan $40 al mes más un
cargo de $1.00 por visita. El segundo plan exige $25 mensuales más un pago de $4.00 por visita. ¿Cuántas visitas al
mes debe hacer Eric Mendoza para que le convenga el primer plan?
37. Mezcla de café El señor Santiago Negrete, propietario de
un café gourmet, vende dos tipos de café, uno a $6.00 la libra y el otro a $6.80 la libra. ¿Cuántas libras de cada tipo
de café debe mezclar para producir 40 libras de café que
pueda vender a $6.50 la libra?
46. Trenes en Alaska Dos trenes parten de Anchorage al mismo tiempo, en vías paralelas, viajando en direcciones
opuestas. El tren más rápido viaja 10 millas por hora más
rápido que el más lento. Determine la velocidad de cada
tren, si entre ambos hay una distancia de 270 millas después de 3 horas.
[2.3, 2.4] Resuelva.
38. Venta de electrónicos El precio de un teléfono inalámbrico se redujo en 20%. Si el precio de venta actual es de
$24, determine el precio original.
39. Trote Nidia Reyes trota cierta distancia; luego da vuelta y
camina de regreso hasta su punto de partida. Mientras trota,
su velocidad promedia 7.2 millas por hora; al caminar, su
velocidad promedia 2.4 millas por hora. Si el tiempo total
que emplea en su recorrido es de 4 horas, determine
a) el tiempo total que trotó, y
b) la distancia total que recorrió.
40. Medidas de ángulos Determine las medidas de tres ángulos de un triángulo si uno de ellos mide 25° más que el
ángulo más pequeño, y el otro ángulo mide 5° menos que
el doble del ángulo más pequeño.
41. Alberca Dos mangueras se utilizan para llenar una alberca. La manguera con mayor diámetro suministra 1.5 veces más agua que la de menor diámetro. La manguera más
grande se abre 2 horas antes que la manguera más pequeña. Si después de 5 horas de haber abierto la primera hay
3150 galones de agua en la alberca, determine la velocidad de flujo de cada manguera.
42. Ángulos complementarios Un ángulo complementario
tiene una medida que es 15° menos que el doble de la medida del otro ángulo. Determine las medidas de los dos ángulos.
43. Tinte azul Un fabricante de telas tiene dos soluciones de
tinte azul, ambas hechas con el mismo concentrado. Una
solución tiene 6% de tinte azul y la otra tiene 20%. ¿Cuántas onzas de la solución al 20% debe mezclar con 10 onzas
[2.5] Resuelva cada desigualdad y responda las preguntas.
Represente gráficamente las soluciones en una recta numérica.
47. 3z + 7 … 13
48. 5 - 2w 7 - 7
49. 2x + 4 7 9
50. 16 … 4x - 5
51.
4x + 3
7 -3
5
52. 21x - 32 7 3x + 4
53. -41x - 22 Ú 6x + 8 - 10x
54.
x
3
x
+ 7 x + 1
2
4
2
120 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
Escriba una desigualdad que pueda usarse para resolver cada problema. Resuelva las desigualdades y responda las preguntas.
55. Límite de peso Una canoa puede transportar de manera
segura un total de 500 libras. Si Joel Bañuelos pesa 180 libras, ¿cuál es el número máximo de cajas con 40 libras de
alimento que puede transportar de manera segura en su
canoa?
56. Caseta telefónica Javier Cabrera, un operador telefónico,
le informa a un cliente que el cargo por realizar una llamada a Omaha, Nebraska, es de $4.50 por los primeros 3 mi-
nutos y 95 centavos por cada minuto o fracción de minuto adicional. ¿Cuánto tiempo puede hablar el cliente si tiene $8.65?
57. Gimnasio Un gimnasio garantiza a sus clientes la pérdida
de peso por un mínimo de 3 libras la primera semana y 1.5
libras cada semana adicional. Determine el tiempo máximo necesario para perder 27 libras.
58. Calificaciones Las primeras cuatro calificaciones de Jazmín Alatorre son 94, 73, 72 y 80. Si para recibir una nota
final de B, es necesario que alcance un promedio final mayor que o igual a 80 y menor que 90, ¿qué rango de calificaciones debe obtener Jazmín en el quinto y último
examen para recibir una B en el curso? Suponga que la
calificación máxima que puede obtener es 100.
Resuelva cada desigualdad. Escriba la solución en notación de intervalo.
59. 1 6 x - 4 6 7
60. 7 6 p + 10 … 15
62. - 12 6 6 - 3x 6 - 2
63. - 1 6
61. 3 6 2x - 4 6 8
5
2
11
x +
…
9
3
9
64. - 8 6
4 - 2x
6 0
3
Determine el conjunto solución para cada desigualdad compuesta.
65. h … 2 y 7h - 4 7 - 25
66. 2x - 1 7 5 o 3x - 2 … 7
67. 4x - 5 6 11 y - 3x - 4 Ú 8
68.
7 - 2g
3
… -5 o
3 - g
8
7 1
[2.5, 2.6] Determine el conjunto solución para cada ecuación o desigualdad.
69. ƒ a ƒ = 2
70. ƒ x ƒ 6 3
71. ƒ x ƒ Ú 4
72. ƒ l + 5 ƒ = 11
73. ƒ x - 2 ƒ Ú 5
74. ƒ 4 - 2x ƒ = 5
75. ƒ - 2q + 9 ƒ 6 7
76. `
77. `
78. ƒ 4d - 1 ƒ = ƒ 6d + 9 ƒ
79. ƒ 2x - 3 ƒ + 4 Ú - 10
2x - 3
` = 1
5
x - 4
` 6 6
3
Resuelva cada desigualdad. Proporcione la solución en notación de intervalo.
80. ƒ 3c + 8 ƒ - 5 … 2
82. - 6 …
3 - 2x
6 5
4
84. x - 3 … 4 o 2x - 5 7 9
81. 3 6 2x - 5 … 9
83. 2p - 5 6 7 y 9 - 3p … 12
85. - 10 6 31x - 42 … 12
Examen de práctica del capítulo
1. Diga cuál es el grado del término 4a2bc4.
Simplifique
En los ejercicios 4 a 8, resuelva las ecuaciones.
4. 71d + 22 = 312d - 42
2. 2p - 3q + 2pq - 6p1q - 32 - 4p
3. 7q - 5233 - 41q + 724 + 5q6 - 6
5.
2
8
r
+
=
6
3
9
Examen de repaso acumulativo • 121
6. - 21x + 32 = 4533x - 13x + 724 + 26
7. 7x - 612x - 42 = 3 - 15x - 62
8. -
1
1
14x - 62 = 13 - 6x2 + 2
2
3
9. Determine el valor de Sn para los valores dados.
Sn =
a111 - rn2
1 - r
10. Despeje b en c =
1
, a 1 = 3, r = , n = 3
3
a - 3b
.
2
11. Despeje b2 en A =
1
h1b 1 + b 22.
2
En los ejercicios 12 a 16, escriba una ecuación que pueda usarse
para resolver cada problema. Resuelva las ecuaciones y responda las preguntas planteadas.
15. Solución salina ¿Cuántos litros de solución salina con concentración de 12% deben añadirse a 10 litros de solución
salina con concentración de 25% para obtener una solución con concentración de 20%?
16. Dos inversiones Juana Blanco tiene $12,000 para invertir,
así que coloca parte de su dinero en una cuenta de ahorros
que paga 8% de interés simple y el resto en una cuenta de
ahorros que paga el 7% de interés simple. Si el total de intereses de las dos cuentas al final de un año es de $910,
determine cuánto dinero invirtió Juana en cada cuenta.
Resuelva cada desigualdad y represente gráficamente las soluciones en una recta numérica.
17. 312q + 42 6 51q - 12 + 7
18.
12. Para jugar al golf Determine el costo de un equipo de
palos de golf, sin impuestos, si su costo total incluyendo
7% de impuestos es $668.75.
6 - 2x
Ú - 12
5
Resuelva cada desigualdad y escriba la solución en notación de
intervalo.
19. x - 3 … 4 y 2x - 4 7 5
20. 1 …
2u - 5
6 7
3
Determine el conjunto solución para las siguientes ecuaciones.
13. Membresía El precio a pagar para ser miembro de un gimnasio es de $240 por año más $2 por visita (para el lavado
de toallas y la compra de artículos de tocador). Si Leopoldo López desea gastar un total de $400 al año en el
gimnasio, ¿cuántas visitas puede hacer?
14. Paseo en bicicleta Gabriel Fonseca y Roberto Fernández
inician un paseo en bicicleta en el mismo punto, pero en direcciones opuestas. La velocidad de Gabriel es de 15 millas
por hora, y la de Roberto es de 20 millas por hora. ¿En cuántas horas habrá una distancia de 147 millas entre los dos?
21.
ƒ 2b + 5 ƒ = 9
22.
ƒ 2x - 3 ƒ = ` x - 10 `
1
2
Determine el conjunto solución para las siguientes desigualdades.
23.
24.
ƒ 4z + 12 ƒ = 0
ƒ 2x - 3 ƒ + 1 7 6
25. `
2x - 3
1
` …
4
2
Examen de repaso acumulativo
Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde
se analiza el material correspondiente se indica después de cada
respuesta.
1. Si A = 51, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 156 y
B = 52, 3, 5, 7, 11,136, determine
a) A ´ B.
a) 4x + y = y + 4x
b) 12x2y = 21xy2
c) 21x + 32 = 2x + 6
Resuelva.
3. - 42 + 1 - 622 , 123 - 22
4. a 2 b 3 + ab 2 - 3b cuando a = - 1 y b = - 2
b) A ¨ B.
2. Indique el nombre de cada propiedad.
2
5.
8 - 1
3 27 # 3 , 9
ƒ - 5 ƒ - 35 - 112 , 4242
122 • Capítulo 2 • Ecuaciones y desigualdades
En los ejercicios 6 y 7, simplifique
6. 12x 4y 32
7. a
15. Resuelva la desigualdad - 4 6
-2
3m2n - 4
b
m-3n2
5x - 2
6 2 y propor3
cione la respuesta:
2
a) en una recta numérica,
b) como un conjunto solución, y
8. Comparación de territorios Rhode Island tiene un área
territorial de aproximadamente 1.045 103 millas cuadradas.Alaska tiene un área territorial de casi 5.704 105 millas cuadradas. ¿Cuántas veces es más grande el área
territorial de Alaska que la de Rhode Island?
En los ejercicios 9 a 11, resuelva las ecuaciones.
9. - 31y + 72 = 21- 2y - 82
10. 1.21x - 32 = 2.4x - 4.98
2m
1
4
- = m
11.
3
6
9
12. Explique la diferencia entre una ecuación lineal condicional, una identidad y una ecuación inconsistente. Proporcione un ejemplo de cada una.
- b + 2b2 - 4ac
13. Evalúe la fórmula x =
para a 3, b 2a
8 y c 3.
14. Despeje x de la fórmula y – y1 m(x x1).
c) en notación de intervalo.
En los ejercicios 16 y 17, determine el conjunto solución.
16. ƒ 3h - 1 ƒ = 8
17. ƒ 2x - 4 ƒ - 6 Ú 18
18. Serie de beisbol Una semana después de la serie mundial,
una tienda de artículos deportivos marca el precio de todos sus mercancías relacionadas con el béisbol con un descuento de 40%. Si Martín Garduño compra un bate de
béisbol en $21, ¿cuál era el precio original del bate?
19. Dos automóviles Dos autos parten de Caldwell, Nueva
Jersey, al mismo tiempo viajando en direcciones opuestas.
El auto que viaja hacia el norte se mueve 10 millas por hora más rápido que el auto que viaja hacia el sur. Si entre los
dos autos hay 270 millas de distancia después de 3 horas,
determine la velocidad de cada uno.
20. Mezcla de nueces Mónica Quintero, propietaria de La Casa de las Nueces, tiene castañas que cuestan $6.50 por libra y cacahuates que cuestan $2.50 la libra. Si desea
producir 40 libras de una mezcla de castañas y cacahuates
para venderlas a $4.00 cada una, ¿cuántas libras de castañas y cuántas de cacahuates debe mezclar?
Respuestas al examen de repaso acumulativo
1. a) {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} b) {3, 5, 7, 11, 13} 2. a) propiedad conmutativa de la adición; b) propiedad asociativa de
1
9m10
la multiplicación; c) propiedad distributiva 3. 15 4. 6 5. 7 6.
7. 12 8.≠545.8 veces; 9. 5 [Sec. 2.1, Obj. 3]
8 6
n
4x y
3
10. 1.15; [Sec. 2.1, Obj. 3] 11. ; [Sec. 2.1, Obj. 4] 12. La ecuación lineal condicional es verdadera sólo para un valor,
4
una ecuación lineal que es una identidad siempre es verdadera, una ecuación lineal inconsistente nunca es verdadera;
y - y1 + mx1
; [Sec. 2.2, Obj. 2] 15. a)
[Sec. 2.1, Obj. 5] 13. 3; [Sec. 2.2, Obj. 1] 14. x =
m
8
–2
8
b) e x ` - 2 6 x 6 f
5
5
8
7
c) a -2, b ; [Sec. 2.5, Obj. 3] 16. e - , 3 f ; [Sec. 2.6, Obj. 2]
5
3
17. {x|x 10 o x 14}; [Sec. 2.6, Obj. 4] 18. $35; [Sec. 2.3, Obj. 2] 19. 40 millas por hora, 50 millas por hora;
[Sec. 2.4, Obj. 2] 20. Castañas: 15 libras; cacahuates: 25 libras.
Capítulo 3
Gráficas y funciones
3.1 Gráficas
3.2 Funciones
3.3 Funciones lineales: gráficas
y aplicaciones
3.4 La forma pendiente
intersección de una
ecuación lineal
3.5 La forma punto pendiente
de una ecuación lineal
3.6 Álgebra de funciones
3.7 Graficación de
desigualdades lineales
Resumen del capítulo
Ejercicios de repaso
del capítulo
Examen de práctica
del capítulo
Examen de repaso
acumulativo
P
ara muchas personas, ser propietarias de su propio negocio constituye una gran oportunidad de
progreso. Si su negocio va bien, sus esfuerzos podrían verse recompensados con generosidad.
Sin embargo, las empresas nuevas enfrentan permanentemente el riesgo de desaparecer, muchas
veces debido a que sus propietarios no saben cómo calcular apropiadamente sus ganancias. En la
página 161 usamos una función para determinar cuál debe ser el salario del propietario de una
tienda de juguetes. Siguiendo este ejemplo, en los ejercicios de las páginas 165 y 166, utilizamos algunas otras funciones para solucionar otras situaciones de la vida real.
123
124 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Avance de
la lección
U
no de los principales objetivos de este libro, es ayudarle a comprender cómo
graficar y a trabajar con funciones. La graficación es un elemento clave en éste
y en muchos otros cursos de matemáticas. Por ello, aquí analizaremos la graficación y
utilizaremos lo aprendido para crear modelos a partir de los datos de la vida real que
aparecen todos los días en periódicos y revistas. Las funciones están estrechamente
relacionadas con la graficación, y la graficación de funciones es un elemento primordial en muchos cursos de matemáticas; utilizaremos la información de ambos temas en
el resto del libro.Además, hablaremos de graficación de ecuaciones lineales y no lineales, y de desigualdades lineales; revisaremos cada uno de estos temas en capítulos
posteriores.
3.1 GRÁFICAS
1
1
Localizar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas.
2
Trazar gráficas por medio de puntos.
3
Graficar ecuaciones no lineales.
4
Usar una calculadora graficadora.
5
Interpretar gráficas.
Localizar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas.
Muchas relaciones algebraicas son más fáciles de entender con la ayuda de una representación visual. Las gráficas son, precisamente, representaciones visuales que muestran la relación entre dos o más variables en una ecuación. Antes de aprender cómo
trazar una gráfica, es preciso conocer el sistema de coordenadas cartesianas.
El sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular), llamado así en honor del
matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650), consiste en el trazo de dos
ejes (o rectas numéricas), perpendiculares uno respecto del otro, sobre un plano (vea
la figura 3.1). Observe cómo la intersección de los dos ejes determina la formación de
cuatro cuadrantes, señalados con numerales romanos: I, II, III y IV.
y
6
Segundo
cuadrante
II
René Descartes
5
Primer
cuadrante
I
4
3
2
Origen
1
6 5 4 3 2 1
1
1
2
3
4
5
6
x
2
Tercer
cuadrante
III
FIGURA 3.1
3
4
5
Cuarto
cuadrante
IV
6
El eje horizontal se denomina eje x. El eje vertical se denomina eje y. El punto
de intersección de los dos ejes se llama origen. Del origen y hacia la derecha, los
números crecen; del origen hacia la izquierda, los números decrecen. Del origen hacia
arriba, los números crecen; del origen hacia abajo, los números disminuyen. Observe que
el eje x y el eje y son simplemente rectas numéricas, una horizontal y la otra vertical.
Sección 3.1 • Gráficas • 125
Un par ordenado (x, y) se utiliza para señalar las dos coordenadas de un punto.
Si, por ejemplo, la coordenada x de un punto es 2 y su coordenada y es 3, el par ordenado que representa ese punto es (2, 3). La coordenada x siempre es la primera que
se indica en el par ordenado. Para trazar un punto, encuentre la coordenada x en el eje
x y la coordenada y en el eje y; luego imagine que una recta vertical sale de la coordenada x siguiendo una trayectoria paralela al eje y, y que una recta horizontal sale de
la coordenada y siguiendo una trayectoria paralela al eje x. El punto se coloca en donde se intersectan las dos rectas imaginarias.
Por ejemplo, el punto correspondiente al par ordenado (2,3) aparece en la figura 3.2. Con frecuencia, abreviamos la frase “el punto correspondiente al par ordenado
(2, 3)” como “el punto (2, 3)”. Por ejemplo, si escribimos “el punto (1, 5)”, nos referimos al par ordenado (1, 5). En la figura 3.3 aparecen los pares ordenados A en
(2, 3), B en (0, 2), C en (4, 1) y D en (4, 0).
y
y
5
5
4
(2, 3)
3
4
A
3
2
2
1
5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
x
5 4 3 2 1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
FIGURA 3.2
EJEMPLO 1
Solución
1
D
1
B
1
2
3
4
5
x
C
FIGURA 3.3
Localice cada uno de los siguientes puntos en el mismo plano.
a) A11, 42
b) B14, 12
c) C10, 22
d) D1 -3, 02
e) E1-3, -12
f) F12, -42
Vea la figura 3.4. Observe que el punto (1, 4) es diferente del punto (4, 1). Fíjese también
en que, cuando la coordenada x es 0, como en la parte c), el punto está sobre el eje y.
Cuando la coordenada y es 0, como en la parte d), el punto está sobre el eje x.
y
5
A(1, 4)
4
3
2
D(3, 0)
B(4, 1)
1
5 4 3 2 1
1
E(3, 1)
C(0, 2)
1
2
3
4
5
x
2
3
4
5
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 7
2
FIGURA 3.4
F(2, 4)
✺
Trazar gráficas por medio de puntos
En el capítulo 2 resolvimos ecuaciones con una variable. En éste analizaremos ecuaciones con dos variables. Si una ecuación tiene dos variables, sus soluciones son pares
de números.
126 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
EJEMPLO 2
Determine si los siguientes pares ordenados son soluciones de la ecuación y 2x 3.
b) a , -2b
a) 11, -12
1
2
c) 13, 42
Solución
d) 1-1, -52
Sustituimos por x el primer número del par ordenado, y por y el segundo. Si al hacerlo obtenemos una afirmación verdadera, el par ordenado es una solución para la ecuación. Si la sustitución da por resultado una afirmación falsa, el par ordenado no es una
solución de la ecuación.
a)
y
-1
-1
-1
=
?
=
?
=
=
2x - 3
2112 - 3
2 - 3
-1
b)
?
Verdadero
c) y = 2x - 3
-2 = 1 - 3
-2 = - 2
d)
?
4 = 2132 - 3
?
4 = 6 - 3
4 = 3
y = 2x - 3
1
?
-2 = 2a b - 3
2
Falso
Por lo tanto, los pares ordenados 11, - 12,
y
-5
-5
-5
=
?
=
?
=
?
=
Verdadero
2x - 3
21-12 - 3
-2 - 3
Verdadero
-5
A 12 , - 2 B y 1 - 1, - 52 son soluciones para la
ecuación y 2x 3; el par ordenado (3, 4) no es una solución.
✺
La ecuación del ejemplo 2 tiene muchas otras soluciones; de hecho, una infinidad
de soluciones. Un método que puede utilizarse para determinar soluciones de una
ecuación como y 2x 3, consiste en sustituir valores para x y determinar los valores correspondientes de y. Por ejemplo, para determinar la solución para la ecuación
y 2x 3 cuando x 0, sustituimos x por 0 y despejamos a y.
y = 2x - 3
y = 2102 - 3
y = 0 - 3
y = -3
Así, otra solución para la ecuación es (0, 3).
Una gráfica es una representación visual del conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Algunas veces, cuando trazamos una gráfica, listamos en
una tabla algunos puntos que satisfacen la ecuación, luego los localizamos y después
dibujamos una línea que pase por esos puntos para obtener la gráfica. En la figura 3.5
se muestra tanto la tabla en donde se listan algunos de los puntos que satisfacen la
ecuación y 2x 3, como la gráfica resultante. Observe que la ecuación y 2x 3
tiene un número infinito de soluciones, y que la recta trazada en la gráfica continúa de
manera indefinida en ambas direcciones (como indican las flechas).
En la figura 3.5, los cuatro puntos conforman una línea recta. Cuando esto ocurre, se dice que los puntos son colineales, y la gráfica resultante se denomina lineal, ya
que es una línea recta. Cualquier ecuación cuyas soluciones graficadas den lugar a una
línea recta, se denomina ecuación lineal (la ecuación y 2x 3 es un ejemplo); a este tipo de ecuaciones también se les denomina ecuaciones de primer grado, ya que el
exponente más grande que aparece en cualquier variable es 1. En los ejemplos 3 y 4
graficaremos ecuaciones lineales.
Sección 3.1 • Gráficas • 127
y
5
4
3
x
y
-1
-5
0
-3
1
2
-2
1
-1
SUGERENCIA
CONSEJO PARA
ESTUDIAR
EJEMPLO 3
Solución
2
(x, y)
1 -1, -52
10, -32
y 2x 3
1
5 4 3 2 1
1
1
2
3
4
x
5
2
A -2 B
3
1
2,
11, -12
5
FIGURA 3.5
En este capítulo, y en varios de los siguientes, graficaremos puntos y trazaremos gráficas
usando el sistema de coordenadas cartesianas. Algunas veces los estudiantes tienen problemas para trazar gráficas precisas. Las siguientes son algunas sugerencias para mejorar la calidad de sus gráficas.
1. Cuando haga su tarea, utilice papel cuadriculado para dibujar sus gráficas. Esto le ayudará a mantener una escala consistente en ellas. Pregunte a su profesor si puede utilizar
este tipo de papel también en sus exámenes.
2. Utilice una regla para trazar los ejes y las rectas; de esta manera se verán mucho mejor y serán más precisos.
3. Si no utiliza papel cuadriculado, emplee la graduación de una regla para que la escala
de sus ejes sea consistente. Es imposible obtener una gráfica precisa cuando los ejes están marcados con una escala desigual.
4. Utilice un lápiz en lugar de bolígrafo, ya que, si comete errores al trazar sus gráficas,
podrá corregirlos más rápido con una goma en lugar de tener que volver a empezar.
5. Necesitará de práctica para mejorar sus habilidades en la creación de gráficas. Trabaje todos los problemas que se le asignen. Para verificar sus gráficas de los ejercicios
con número par, puede usar una calculadora graficadora.
Grafique y = x.
Primero determinamos los pares ordenados que son soluciones para los valores seleccionados de x y los valores correspondientes de y. Para x seleccionaremos 0, algunos
valores positivos y algunos valores negativos. También seleccionaremos números cercanos a 0, de modo que los pares ordenados se ajusten en los ejes. La gráfica resultante
se ilustra en la figura 3.6.
y
x
y
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
1. Seleccionar valores para x.
(x, y)
1- 2, -22
1 -1, -12
10, 02
11, 12
12, 22
5
4
3
2
1
5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
yx
1 2 3 4 5
x
FIGURA 3.6
2. Calcular y.
3. Pares ordenados.
4. Determinar los puntos y trazar la gráfica.
✺
128 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
EJEMPLO 4
Solución
1
3
Grafique y = - x + 1.
Seleccionaremos algunos valores para x, determinaremos los valores correspondientes de y, y luego haremos la gráfica. Cuando elijamos valores para x, seleccionaremos
algunos valores positivos, algunos valores negativos y 0. La gráfica resultante se ilustra en la figura 3.7. (Para ahorrar espacio, en las tablas no siempre listaremos una columna para los pares ordenados.)
y
6
5
4
3
2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35
x
y
1
-6
3
6 5 4 3 2 1
1
-3
2
2
0
1
3
0
5
6
-1
6
y a x 1
1
2
3
4
5
6
x
3
4
FIGURA 3.7
1. Seleccionar valores para x.
2. Calcular y.
3. Determinar los puntos y trazar la gráfica.
✺
En el ejemplo 4, observe que para los valores de x seleccionamos múltiplos de
3, de tal manera que no tuviéramos que trabajar con fracciones.
Si nos piden graficar una ecuación en la que no se ha despejado la y, tal como
x 3y 3, nuestro primer paso será hacerlo. Por ejemplo, si despejamos a y de x 3y 3 utilizando el procedimiento estudiado en la sección 2.2, obtenemos
x + 3y = 3
3y = - x + 3
y =
-x + 3
3
y =
-x
3
1
+ = - x + 1
3
3
3
Reste x en ambos lados.
Divida ambos lados entre 3.
La ecuación resultante, y = - 13 x + 1, es la misma que graficamos en el ejemplo 4.
Por lo tanto, la gráfica de x 3y 3 también está ilustrada en la figura 3.7.
3
Graficar ecuaciones no lineales
Hay muchas ecuaciones cuyas gráficas no son líneas rectas; este tipo de ecuaciones se
denomina ecuaciones no lineales. Para graficarlas determinando puntos se sigue el
mismo procedimiento empleado para graficar ecuaciones lineales. Sin embargo, como
las gráficas resultantes no son líneas rectas, podríamos necesitar más puntos para
trazarlas.
Sección 3.1 • Gráficas • 129
EJEMPLO 5
Solución
Grafique y = x 2 - 4.
Seleccionamos algunos valores para x y determinamos los valores correspondientes de
y. Luego determinamos esos puntos y los unimos por medio de una curva suave. Cuando sustituimos valores para x y evaluamos el lado derecho de la ecuación, seguimos el
orden de las operaciones que se mencionó en la sección 1.4. Por ejemplo, si x 3, entonces y (3)2 4 9 4 5. La gráfica resultante se muestra en la figura 3.8.
y
6
5
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41
EJEMPLO 6
Solución
x
y
4
-3
5
2
-2
0
1
-1
-3
6 5 4 3 2 1
1
0
-4
2
1
-3
2
0
3
5
y x2 4
1
2
3
4
5
6
x
3
4
5
6
FIGURA 3.8
Si sustituimos x por 4, y sería igual a 12. Cuando x 5, y 21. Observe que esta gráfica crece de manera consistente alejándose del origen.
✺
Grafique y =
1
.
x
Iniciamos por seleccionar valores para x y determinar los valores correspondientes de
y. Luego determinamos los puntos y trazamos la gráfica. Observe que si sustituimos x
1
1
por 0, obtenemos y = 0 . Como 0 es un número indefinido, no podemos utilizar el 0
como primer coordenada. El punto x 0 no existirá en la gráfica. Determinaremos
puntos a la izquierda de x 0 y puntos a la derecha de x 0, de forma separada.
Seleccione puntos cercanos a 0 para ver qué le sucede a la gráfica cuando x es cer1
1
cana a x 0. Por ejemplo, observe que cuando x = - 2 , y = - 1>2 = - 2. Esta gráfica
tiene dos ramas, una a la izquierda y otra a la derecha del eje y, como se muestra en la
figura 3.9.
x
y
-3
- 13
-2
- 12
-1
-1
1
2
-2
-
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 51
3
1
2
2
1
1
2
1
2
1
3
3
y
5
4
y
3
2
1
x
1
5 4
1
1
1
2
3
4
5
x
4
5
FIGURA 3.9
✺
130 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
En la gráfica resultante del ejemplo 6, observe que para los valores de x más lejanos de 0 hacia la derecha, o más lejanos de 0 hacia la izquierda, la curva se aproxima
al eje x, pero no lo toca. Por ejemplo, cuando x 1000, y 0.001, y cuando x 1000,
y 0.001. ¿Puede explicar por qué y nunca puede tener un valor de 0?
EJEMPLO 7
Solución
CÓMO EVITAR
ERRORES COMUNES
Grafique y = ƒ x ƒ .
Recuerde que |x| se lee “valor absoluto de x”. Para graficar esta ecuación con valor
absoluto, seleccionamos algunos valores para x y determinamos los valores correspondientes para y. Por ejemplo, si x 4, entonces y |4| 4. Luego determinamos los
puntos y trazamos la gráfica.
Observe que esta gráfica tiene forma de V, como se muestra en la figura 3.10.
x
y
-4
4
-3
3
-2
2
3
-1
1
2
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
y
5
4
y x
1
5 4 3 2 1
1
1
2
3
4
x
5
2
3
4
5
FIGURA 3.10
✺
Cuando grafican ecuaciones lineales, muchos estudiantes no determinan los puntos suficientes para obtener una imagen real de la gráfica. Por ejemplo, cuando se grafica y =
1
muchos
x
estudiantes sólo consideran valores enteros para x. A continuación se muestra una tabla de
valores para esta ecuación, y dos gráficas que contienen los puntos indicados en la tabla.
x
-3
-2
y
1
3
1
2
-
-
-1
-1
Correcta
3
1
1
2
1
3
y
4
4
1
y
x
3
2
3
2
1
1
1
2
Incorrecta
y
4
1
y
1
1
2
3
4
x
4
1
1
1
2
3
1
x
4
x
2
3
4
FIGURA 3.11
4
FIGURA 3.12
(continúa en la siguiente página)
Sección 3.1 • Gráficas • 131
Si usted selecciona y traza valores fraccionarios de x cercanos a 0, como se hizo en el
ejemplo 6, obtendrá la gráfica de la figura 3.11. La gráfica de la figura 3.12 es incorrecta, ya
que la ecuación no está definida cuando x es 0 y, por lo tanto, la curva no puede cruzar el eje
y. Siempre que trace una gráfica que contenga una variable en el denominador, seleccione para
ella valores muy cercanos a aquel que hace el denominador igual a 0, y observe qué sucede.
Por ejemplo, al graficar y =
1
debe utilizar valores de x cercanos a 3, tales como 2.9 y
x - 3
3.1 o 2.99 y 3.01, y ver qué valores para y obtiene.
Asimismo, cuando grafique ecuaciones no lineales, es recomendable que tome en cuenta
valores positivos y valores negativos. Por ejemplo, si sólo utiliza valores positivos de x cuando
grafica y |x|, la curva sería una línea recta que pasa por el origen, en lugar de la curva en
forma de V que se mostró en la figura 3.10.
4
Use una calculadora graficadora
Si una ecuación es compleja, determinar los pares ordenados de puntos puede llevar
algún tiempo. En esta sección presentamos un procedimiento general que puede usarse para graficar ecuaciones por medio de una calculadora graficadora.
Uno de los principales usos de las calculadoras graficadoras consiste en graficar ecuaciones. En ellas, la pantalla rectangular en donde se muestran las gráficas
recibe el nombre de ventana de graficación. La figura 3.13 muestra la ventana de graficación de una calculadora TI83 Plus con alguna información; la figura 3.14 ilustra su
significado.
Ymax
Xmin
Xscl
Yscl
Xmax
Ymin
FIGURA 3.13
10, 10, 1, 10, 10, 1
FIGURA 3.15
FIGURA 3.14
En la pantalla estándar de la calculadora, el eje x va desde 10 (el valor mínimo
de x, Xmin) hasta 10 (el valor máximo de x, Xmax) en una escala de 1. Por lo tanto,
cada marca de división representa 1 unidad (Xscl 1). El eje y va desde 10 (el valor mínimo de y, Ymin) hasta 10 (el valor máximo de y, Ymax) en una escala de 1
(Yscl 1).
Como la ventana es rectangular, la distancia entre las marcas de división son mayores en el eje horizontal que en el eje vertical.
Al graficar, con frecuencia usted necesitará cambiar los valores de esta ventana.
Lea el manual de su calculadora graficadora para aprender cómo hacerlo. En la
TI83 Plus, se tiene que presionar la tecla WINDOW para cambiar los parámetros.
Como la graficadora no muestra los valores de x y y en la ventana, ocasionalmente listaremos un conjunto de valores debajo de la pantalla. La figura 3.15 muestra
1
la ventana de una calculadora TI83 Plus con la ecuación y = - 2 x + 4 graficada. Debajo de la ventana se muestran seis números que representan, en orden: Xmin, Xmax,
Xscl, Ymin, Ymax y Yscl, es decir, la escala en los ejes x y y, respectivamente. Cuando
mostremos la ventana estándar de la calculadora, por lo general estos valores no se ilustrarán debajo de la pantalla.
1
Para graficar la ecuación y = - 2 x + 4 en la TI83 Plus, presione
Y = 1-2 1 1 , 2 2 X, T, ™, n + 4
132 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Luego, cuando presione GRAPH , la ecuación será graficada. La tecla X, T, ™, n puede usarse para introducir cualquiera de los símbolos con que está etiquetada. En
este libro, esta tecla siempre se usará para introducir la variable x.
Casi todas las calculadoras graficadoras ofrecen una característica TRACE (rastreo) que le permite investigar puntos individuales después de que se mostró la gráfica. Para tener acceso a esta característica, muchas veces lo único que hay que hacer es
presionar la tecla TRACE . Después de hacerlo, puede mover el cursor a lo largo de
la línea presionando las teclas de flecha. Cuando el cursor se mueve a lo largo de la línea, los valores de x y y cambian de acuerdo con su posición. La figura 3.16 muestra
FIGURA 3.16
la gráfica de la figura 3.15, después que se presionó la tecla TRACE y el cursor se
movió hacia la derecha utilizando la tecla de flecha.
Muchas calculadoras graficadoras también proporcionan una característica
TABLE (tabla), con la cual es posible desplegar una tabla de pares ordenados para
cualquier función introducida. En la TI83 Plus, la característica TABLE comparte la
tecla GRAPH , así que, para obtener una tabla, hay que presionar 2 nd GRAPH .
1
FIGURA 3.17
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 93
5
La figura 3.17 muestra una tabla de valores para la ecuación y = - 2 x + 4. Para
desplazarse hacia arriba y hacia abajo de la tabla, utilice las teclas de flecha.
Con la tecla TBLSET (cuya función consiste en modificar los parámetros de la
característica TABLE), usted puede controlar los valores de x que aparezcan en la tabla.
Por ejemplo, si quiere que la tabla muestre los valores de x en décimos, puede determinarlo mediante TBLSET.
Esta sección brinda solamente una breve introducción a la graficación de ecuaciones, a la característica TRACE y a la característica TABLE de las calculadoras graficadoras. Usted debe leer el manual de su calculadora para aprender a utilizar todas
las funciones de estas características.
Interpretar gráficas
Diariamente vemos muchos tipos diferentes de gráficas en periódicos, revistas, televisión, etcétera. Incluso en este mismo libro se presentan diversas clases de gráficas. En
vista de que poder trazar e interpretar gráficas es una habilidad muy importante, la estudiaremos con mayor profundidad en la sección 3.2. Por lo pronto, en el ejemplo 8 usted debe entender e interpretar las gráficas para responder la pregunta.
Para visitar a su madre en Montevideo, Uruguay, Juan Hernández abordó un avión de
Aerolíneas Argentinas. El avión estuvo en la puerta de salida durante 20 minutos,
avanzó por la pista de salida y despegó; después, voló a casi 600 millas por hora durante más o menos 2 horas. Luego redujo su velocidad a 300 millas por hora y voló
en círculos alrededor del aeropuerto de Montevideo durante casi 15 minutos antes de
aterrizar. Una vez en tierra el avión avanzó hacia la puerta de salida y se detuvo. ¿Cuál
de las siguientes gráficas (figuras 3.18a a 3.18d) ilustra mejor esta situación?
700
Velocidad (mph)
Velocidad (mph)
EJEMPLO 8
600
500
400
300
200
100
0
600
500
400
300
200
100
0
0
FIGURA 3.18 (La figura continúa en la página siguiente).
700
50
100
150
200
Tiempo (minutos)
(a)
250
0
50
100
150
200
Tiempo (minutos)
(b)
250
700
Velocidad (mph)
Velocidad (mph)
Sección 3.1 • Gráficas • 133
600
500
400
300
200
100
0
700
600
500
400
300
200
100
0
0
50
100
150
200
250
0
FIGURA 3.18
Solución
100
50
Tiempo (minutos)
(c)
150
200
250
Tiempo (minutos)
(d)
La gráfica que representa mejor la situación descrita es (c), misma que se reproduce
con anotaciones en la figura 3.19. La gráfica muestra la velocidad en relación con el
tiempo (éste se representa en el eje horizontal). Mientras el avión espera su salida durante 20 minutos, su velocidad es de 0 millas por hora (la recta horizontal en 0 durante 20 minutos); después, el avión despegó y su velocidad aumentó hasta 600 millas
por hora (la recta casi vertical que va de 0 a 600 mph); luego el avión voló durante
2 horas a más o menos 600 millas por hora (la recta horizontal próxima a las 600 mph);
más tarde, desciende a 300 millas por hora (la recta casi vertical que va de 600 mph a
300 mph); a continuación el avión da vueltas en círculo a más o menos 300 millas por
hora durante 15 minutos (la recta horizontal próxima a las 300 mph); entonces, el avión
aterrizó (lo cual se representa mediante la recta casi vertical que va de aproximadamente 300 mph a casi 20 mph), avanzó hacia la puerta de salida (la recta horizontal próxima a las 20 mph); por último, la aeronave se detuvo (la recta casi vertical que
cae hasta 0 mph).
El avión despega y aumenta
su velocidad hasta 600 mph
Velocidad (mph)
El avión vuela
a 600 mph
El avión disminuye su
velocidad hasta 300 mph
El avión vuela en
círculos a 300 mph
700
600
El avión inicia
su aterrizaje
500
400
El avión se detiene
300
200
100
0
0
50
100
150
200
250
Tiempo (minutos)
FIGURA 3.19
El avión está detenido
El avión se dirige a la puerta
✺
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 81
Conjunto de ejercicios 3.1
Ejercicios conceptuales
1. a) ¿Cómo es la gráfica de cualquier ecuación lineal?
b) ¿Cuántos puntos son necesarios para graficar una ecuación lineal? Explique.
2. ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal con dos
variables?
3. ¿Qué podemos concluir cuando un conjunto de puntos es
colineal?
4. Cuando se grafica la ecuación y =
se puede sustituir a x? Explique.
1
, ¿con qué valor no
x
134 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Problemas de aplicación
Liste los pares ordenados que corresponden a los puntos indicados.
5.
6.
y
4
3
D
E
G
2
F
A
1
B
8 7 6 5 4 3 2 1
1
2
D
y
1
2
3
4
x
10
A
F
7. Grafique los siguientes puntos en un solo plano.
B
10 8 6 4 2
5
2
10
15
C
4
15
5
G
3
20
20
4
6
x
8 10 12 14
C
E
8. Grafique los puntos siguientes en un solo plano.
A14, 22 B1 -6, 22 C10, -12 D1 -2, 02
A1- 4, -22 B13, 22 C12, -32 D1-3, 32
Determine en qué cuadrante está cada punto.
9. 13, 52
10. 1 - 3, 12
13. 1-35, 182
14. 1 - 24, - 82
11. 14, -22
15. 1-6, - 192
12. 136, 412
16. 18, - 1202
Determine si el par ordenado es una solución para la ecuación dada.
17. 12, 212; y = 2x - 5
19. 1- 4, - 22; y = ƒ x ƒ + 2
21. 1 -2, 52;
23. 12, 12;
18. 11, 12; 2x + 3y = 6
20. 11, 12; y = x 2 + x - 1
-a2 + 2b2 = - 2
25. a ,
1 3
b;
2 2
1 5
b; y = ƒ x - 3 ƒ
2 2
24. 1 -10, - 22; ƒ p ƒ - 3 ƒ q ƒ = 4
11
b; 2n2 + 3m = 2
26. a -3,
2
22. a ,
s = 2r2 - r - 5
2x2 + 4x - y = 0
Grafique cada ecuación.
1
x
2
- 3x - 5
1
- x - 3
2
- x2
- ƒxƒ
1
x
3
- 2x + 2
1
- x + 4
3
- x2 + 4
ƒxƒ - 2
1
x
30. y = -
27. y = x
28. y = 3x
29. y =
31. y = 2x + 4
32. y = x + 2
33. y =
1
35. y = x - 1
2
39. y = x 2
43. y = ƒ x ƒ + 1
1
36. y = - x + 2
3
2
40. y = x - 4
44. y = ƒ x ƒ + 2
41. y =
45. y =
47. y = x 3
48. y = - x 3
49. y = x 3 + 1
50. y =
52. x 2 = 1 + y
53. x = ƒ y ƒ
54. x = y 2
51. y = -
1
x
37. y =
34. y =
38. y =
42. y =
46. y =
En los ejercicios 55 a 62, utilice una calculadora para obtener al menos ocho puntos que sean soluciones para cada ecuación. Luego
grafique la ecuación trazando los puntos.
55. y = x 3 - x 2 - x + 1
56. y = - x 3 + x 2 + x - 1
57. y =
1
x + 1
58. y =
59. y = 1x
60. y = 1x + 4
61. y =
1
x2
62. y =
1
+ 1
x
ƒ x2 ƒ
2
Sección 3.1 • Gráficas • 135
Resolución de problemas
1 1
b
3 12
x2
? Explique.
x + 1
1
3
64. ¿El punto representado por el par ordenado a - , - b
2
5
está en la gráfica de la ecuación y =
2
está en la gráfica de la ecuación y = x + 1 ? Explique.
x2 - 1
65. a) Trace los puntos A(2, 7), B(2, 3), C(6, 3), y luego trace
AB, AC, y BC. ( AB representa el segmento de recta
de A a B.)
b) Determine el área de la figura.
66. a) Trace los puntos A(4, 5), B(2, 5), C(2, 3) y
D(4, 3); después, trace AB, BC, CD, y DA.
b) Determine el área de la figura.
67. Ventas de computadoras personales La siguiente gráfica
muestra las ventas de computadoras personales en todo
el mundo entre 1999 y 2003 (en millones).
Ventas de computadoras personales
en todo el mundo
Computadoras (millones)
200
Área total de cultivos modificados genéticamente
Área (millones de hectáreas)
63. ¿El punto representado por el par ordenado a ,
50
Total
40
30
Países
industrializados
Naciones en vías
de desarrollo
20
10
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Año
Fuente: www.isaaa.org
a) Calcule el área que las naciones en vías de desarrollo
dedicaron a los cultivos modificados genéticamente en
1999.
b) Calcule el área que los países industrializados dedicaron a los cultivos modificados genéticamente en 1999.
c) ¿En qué años, entre 1995 y 2000, el área total dedicada a cultivos modificados genéticamente fue menor a
20 millones de hectáreas?
d) ¿En qué años, entre 1995 y 2000 el área total dedicada
a cultivos modificados genéticamente fue mayor a 35
millones de hectáreas?
160
120
En la sección 3.4 analizaremos muchos de los conceptos que se
presentan en los ejercicios 69 a 76.
80
40
’99 ’00 ’01 ’02 ’03
0
Año
Fuente: International Data Corporation.
a) Calcule las ventas de computadoras en todo el mundo
en 1999.
b) Calcule las ventas de computadoras en todo el mundo
en 2003.
c) ¿En qué años las ventas de computadoras en todo el
mundo excedieron 140 millones de unidades?
d) ¿El aumento en la venta de computadoras en todo el
mundo entre 1999 y 2003 parece casi lineal? Explique.
68. Cultivos modificados genéticamente En todo el mundo, la
producción de cultivos modificados genéticamente —
tanto en naciones en vías de desarrollo como en países industrializados— está creciendo con rapidez. La siguiente
gráfica muestra el área del terreno dedicado a este tipo de
cultivos en las naciones en vías de desarrollo, en los países
industrializados, y en todo el mundo entre 1995 y 2000. El
área está dada en millones de hectáreas; según el sistema
métrico, cada hectárea equivale más o menos a 2.741 acres.
69. Grafique y x 1, y x 3 y y x 1 en el mismo
plano.
a) ¿Qué nota respecto de las ecuaciones y los valores en
donde las gráficas intersectan al eje y?
b) ¿Todas las gráficas que resultan de estas ecuaciones parecen tener la misma inclinación (o pendiente)?
1
1
1
x, y = x + 3, y y = x - 4 en el
2
2
2
70. Grafique y =
mismo plano.
a) ¿Qué nota respecto de las ecuaciones y los valores en
donde las gráficas intersectan al eje y?
b) ¿Todas las gráficas que resultan de estas ecuaciones parecen tener la misma inclinación (o pendiente)?
71. Grafique y 2x. Determine la razón de cambio de y respecto de x; esto es, ¿en cuántas unidades cambia y en comparación con cada unidad que cambia x?
72. Grafique y 3x. Determine la razón de cambio de y respecto de x.
73. Grafique y 3x 2. Determine la razón de cambio de y
respecto de x.
1
74. Grafique y = 2 x. Determine la razón de cambio de y respecto de x.
136 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
75. El par ordenado (3, 6) representa un punto en la gráfica de una ecuación lineal. Si en la gráfica y aumenta 4 unidades por cada unidad que aumenta x, determine otras
dos soluciones para la ecuación.
76. El par ordenado (1, 4) representa un punto en la gráfica de una ecuación lineal. Si en la gráfica y aumenta 3 unidades por cada unidad que aumenta x, determine otras
dos soluciones para la ecuación.
Relacione cada uno de los ejercicios 77 a 80 con la gráfica correspondiente de altura respecto del nivel del mar, identificadas con los
incisos a) a d).
77. María Andrade caminó durante cinco minutos a nivel del
suelo; luego, escaló una colina durante 5 minutos; después
caminó una vez más a nivel del suelo durante cinco minutos; durante los siguientes cinco minutos, escaló una colina
inclinada y, finalmente, los siguientes 10 minutos descendió de manera uniforme hasta alcanzar la altura a la que
había iniciado su recorrido.
300
80. Jaime Canales comenzó su caminata ascendiendo una colina durante cinco minutos; los siguientes 10 minutos descendió una colina hasta llegar a la misma elevación a la
que inició el recorrido; los siguientes 10 minutos caminó a
nivel del suelo; por último, descendió la colina en una caminata de cinco minutos.
Elevación (pies)
Elevación (pies)
78. Danilo Guzmán caminó a nivel del suelo durante cinco
minutos; después descendió una colina empinada durante 10 minutos; los siguientes cinco minutos caminó nuevamente a nivel del suelo; luego siguió caminando por cinco
minutos hasta volver a la altura en donde inició su recorrido; los últimos cinco minutos caminó una vez más a nivel
del suelo.
79. Nancy González inició su caminata ascendiendo por una
colina empinada durante cinco minutos; los siguientes cinco minutos caminó descendiendo una colina empinada
hasta llegar a una elevación menor a la que tenía el punto en donde inició su recorrido; los siguientes 10 minutos
caminó a nivel del suelo; luego ascendió una colina un poco
inclinada durante 10 minutos; en ese momento alcanzó la
misma elevación a la que inició su recorrido.
250
200
150
100
50
0
300
250
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
25
30
Tiempo (minutos)
(c)
300
Elevación (pies)
Elevación (pies)
Tiempo (minutos)
(a)
250
200
150
100
50
0
300
250
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
Tiempo (minutos)
Tiempo (minutos)
(b)
(d)
Relacione cada uno de los ejercicios 81 a 84 con la gráfica correspondiente de velocidad contra tiempo, entre las identificadas con los
incisos a) a d) en la página 137.
81. Para llegar hasta su trabajo, Cleotilde Manzano caminó durante tres minutos, esperó el tren durante cinco minutos, viajó en él durante 15 minutos, y caminó durante 7 minutos más.
82. Para llegar hasta su trabajo, Timoteo Pérez condujo entre
un pesado tránsito (que lo obligaba a avanzar y parar repetidamente) durante cinco minutos; luego manejó en una
autopista durante 20 minutos, y finalmente volvió a circular entre tránsito pesado durante cinco minutos.
83. Para llegar hasta su trabajo, Silvia Gámez manejó por una
carretera rural durante 10 minutos; después condujo por
una autopista durante doce minutos, y luego entre el tránsito pesado durante ocho minutos.
84. Para llegar hasta su trabajo, Brenda Pinzón condujo su bicicleta colina arriba durante 10 minutos, después colina
abajo durante 15 minutos, y luego en una calle plana durante cinco minutos.
70
Velocidad (mph)
Velocidad (mph)
Sección 3.1 • Gráficas • 137
60
50
40
30
20
10
0
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
Tiempo desde que salió (minutos)
Tiempo desde que salió (minutos)
(a)
(c)
70
Velocidad (mph)
Velocidad (mph)
70
60
50
40
30
20
10
70
60
50
40
30
20
10
0
0
0
5
10
15
20
25
0
30
5
10
15
20
25
30
Tiempo desde que salió (minutos)
Tiempo desde que salió (minutos)
(b)
(d)
Relacione cada uno de los ejercicios 85 a 88 con la gráfica correspondiente de velocidad contra tiempo, entre las identificadas con los
incisos a) a d).
85. Cristina Maldonado realizó durante cinco minutos una
caminata de calentamiento, trotó durante 20 minutos, y
después caminó otra vez durante cinco minutos hasta disminuir su ritmo cardiaco.
5
Velocidad (mph)
Velocidad (mph)
86. Ana Domínguez decidió pasear en bicicleta, y la condujo
a una velocidad constante durante 30 minutos.
87. Miguel Orduña dio un paseo a pie por su vecindario durante 30 minutos; durante el trayecto, se detuvo brevemente en siete ocasiones para levantar basura.
88. Ricardo Dávalos caminó por su vecindario y se detuvo
tres veces para platicar con sus vecinos; estuvo fuera de su
casa durante 30 minutos.
4
3
2
1
5
4
3
2
1
0
0
0
5
10
15
20
25
0
30
5
5
Velocidad (mph)
Velocidad (mph)
10
15
20
25
30
25
30
Tiempo (minutos)
(c)
Tiempo (minutos)
(a)
4
3
2
1
5
4
3
2
1
0
0
0
5
10
15
20
Tiempo (minutos)
(b)
25
30
0
5
10
15
20
Tiempo (minutos)
(d)
138 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Relacione cada uno de los ejercicios 89 a 92 con la gráfica correspondiente de distancia contra tiempo, entre las identificadas con los incisos
a) a d). Recuerde que en el capítulo 2 se dijo que distancia velocidad tiempo. Las distancias seleccionadas se indican en las gráficas.
89. El tren A viajó a una velocidad de 40 mph durante una
hora, luego durante dos horas a 80 mph, y luego a 60 mph
durante tres horas.
90. El tren C viajó a una velocidad de 80 mph durante dos horas, luego permaneció parado en una estación durante una
hora, y después viajó a 40 mph durante tres horas.
91. El tren B viajó una velocidad de 20 mph durante dos horas, luego a 60 mph durante tres horas, y después a 80 mph
durante una hora.
92. El tren D viajó a 30 mph durante una hora, después a
65 mph durante dos horas, y luego a 30 mph durante tres
horas.
280
300
250
200
160
150
160
100
350
300
200
100
50
0
2
3
4
5
160
150
0
1
250
250
50
0
6
30
0
1
2
3
4
5
Tiempo (horas)
Tiempo (horas)
(a)
(c)
400
Distancia (millas)
Distancia (millas)
400
350
350
300
250
200
200
150
100
50
6
400
380
Distancia (millas)
Distancia (millas)
400
350
300
300
250
220
200
150
100
50
40
0
40
0
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
Tiempo (horas)
Tiempo (horas)
(b)
(d)
6
Utilice una calculadora graficadora para graficar cada función. Asegúrese de seleccionar valores que muestren la curvatura de la gráfica en la ventana. Luego, si su calculadora puede mostrar tablas, despliegue una tabla de valores de x, en unidades de 0 a 6.
93. y = 2x - 3
96. y = - x 2 + 16
1
x + 2
3
3
97. y = x - 2x + 4
95. y = x 2 - 2x - 8
94. y =
98. y = 2x 3 - 6x 2 - 1
Reto
Grafique cada ecuación.
99. y = ƒ x - 2 ƒ
100. x = y 2 + 2
Actividad en equipo
Analice y resuelva en equipo los ejercicios 101 y 102.
101. a) Miembro uno del equipo: en una gráfica trace los puntos ( 2, 4) y (6, 8). Determine el punto medio del segmento de línea que conecta estos puntos.
Miembro dos del equipo: siga las instrucciones anteriores para los puntos (3, 2) y (5, 6).
Miembro tres del equipo: siga las instrucciones anteriores para los puntos (4, 1) y (2, 4).
b) Determinen en equipo una fórmula para localizar el
punto medio de un segmento de línea que conecta
los puntos (x1, y1) y (x2, y2).
102. Tres puntos que conforman los vértices de un paralelogramo son: A(3, 5), B(8, 5) y C(1, 3).
a) De forma individual, determinen un cuarto punto, D,
que complete el paralelogramo.
b) De forma individual, calculen el área de su paralelogramo.
c) Comparen sus respuestas. ¿Todos obtuvieron la misma
respuesta? De no ser así, ¿por qué?
d) ¿Se puede usar más de un punto para completar el paralelogramo? De ser así, indiquen los puntos y determinen el área de cada uno de los paralelogramos.
Sección 3.2 • Funciones • 139
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.2] 103. Evalúe
- b + 2b2 - 4ac
para a = 2, b = 7,
2a
durante un día para que el costo de renta fuera igual
con ambas compañías?
y c = - 15.
[2.3] 104. Renta de un camión La agencia Renta de Camiones cobra una cuota diaria de $60 más $0.10 por milla. La agencia Automóviles Nacionales cobra una
cuota diaria de $50 más $0.24 por milla por el mismo camión. ¿Qué distancia tendría que conducir
[2.5] 105. Resuelva la desigualdad -4 …
4 - 3x
6 5. Es
2
criba la solución en notación de construcción de
conjuntos.
[2.6] 106. Determine el conjunto solución para la desigualdad
|3x 2| 5.
3.2 FUNCIONES
1
1
Entender las relaciones.
2
Reconocer funciones.
3
Utilizar la prueba de la recta vertical.
4
Entender la notación de funciones.
5
Aplicaciones de funciones en la vida diaria.
Entender las relaciones
En la vida diaria, con frecuencia descubrimos relaciones entre dos cantidades. Por
ejemplo, la cantidad que usted gasta al comprar naranjas está relacionada con el número de naranjas que le entregan a cambio; la velocidad a la que viaja un bote de vela está relacionada con la velocidad del viento; y el impuesto que usted paga está
relacionado con los ingresos que obtiene.
Suponga que las naranjas cuestan 30 centavos cada una. Entonces, una naranja
cuesta 30 centavos, dos naranjas cuestan 60 centavos, tres naranjas cuestan 90 centavos,
y así sucesivamente. Podemos organizar esta información, o relación, como un conjunto
de pares ordenados, listando primero el número de naranjas y luego su costo en centavos. En este caso, los pares ordenados serían (1, 30), (2, 60), (3, 90), etcétera. Una ecuación que representa esta situación es c 30n, en donde c es el costo en centavos, y n es
el número de naranjas. Como el costo depende del número de naranjas, decimos que el
costo es la variable dependiente y el número de naranjas es la variable independiente.
Ahora pensemos en la ecuación y 2x 3. En ella, el valor obtenido para y depende del valor seleccionado para x. Por lo tanto, x es la variable independiente y y es la
variable dependiente. Observe que, a diferencia del caso de las naranjas, en este ejemplo
no existe una relación física entre x y y. La variable x es la variable independiente y y es
la variable dependiente simplemente a consecuencia del lugar que ocupan en la ecuación.
Para una ecuación con las variables x y y, si el valor de y depende del valor de x, entonces y es la variable dependiente y x es la variable independiente. Ya que las cantidades relacionadas pueden representarse como pares ordenados, el concepto de relación
puede definirse como sigue.
DEFINICIÓN
2
Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados.
Reconocer funciones
A continuación analizaremos el concepto de función, uno de los más importantes en
matemáticas. Una función es un tipo especial de relación en el que a cada elemento de
un conjunto (llamado dominio) le corresponde exactamente un elemento de un segundo
conjunto (llamado rango).
140 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Volvamos al ejemplo de las naranjas que cuestan 30 centavos cada una. Podemos
ilustrar el número de naranjas y su costo por medio de la figura 3.20.
Número de
naranjas, n
Correspondencia
c 30n
Costo de naranjas, c
(centavos)
30
1
60
2
90
3
120
4
150
FIGURA 3.20
…
…
5
Observe que cada cifra del conjunto Número de naranjas corresponde a (o tiene
relación con) exactamente un número en el conjunto Costo de naranjas. Por consiguiente, esta correspondencia es una función. El conjunto conformado por los números de naranjas, {1, 2, 3, 4, 5, . . .}, se denomina dominio. El conjunto conformado por
los costos en centavos, {30, 60, 90, 120, 150, . . .}, se denomina rango. En general, el
conjunto de valores para la variable independiente es el dominio, y el de valores para
la variable dependiente es el rango (vea la figura 3.21).
Correspondencia
Dominio
Rango
FIGURA 3.21
EJEMPLO 1
Determine si cada una de las siguientes correspondencias es una función.
a) 1
1
b) mariquita
c) Español
2
4
grillo
insecto
3
9
jilguero
ave
España
México
Inglés
Irlanda
halcón
Solución
a) Para que una correspondencia sea una función, cada elemento del dominio debe corresponder exactamente a un elemento del rango. Aquí el dominio es {1, 2, 3} y el rango es {1, 4, 9}. Como cada elemento del dominio corresponde exactamente a un
elemento del rango, esta correspondencia es una función.
b) Aquí el dominio es {mariquita, grillo, jilguero, halcón} y el rango es {insecto, ave}.
Aunque el dominio tiene cuatro elementos y el rango tiene dos, cada elemento del
dominio corresponde exactamente a un elemento del rango. Por lo tanto, esta correspondencia es una función.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17
c) Aquí el dominio es {idioma español, idioma inglés} y el rango es {España, México,
Irlanda}. Observe que idioma español corresponde tanto a España como a México. En
este caso, uno de los elementos del dominio corresponde a dos elementos del rango (es
decir, no hay una correspondencia exacta uno a uno). En consecuencia, esta correspondencia es una relación, pero no una función.
✺
A continuación definiremos de manera formal el concepto de función.
DEFINICIÓN
Una función es una correspondencia entre un primer conjunto de elementos
(dominio), y un segundo conjunto de elementos (rango), de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del rango.
Sección 3.2 • Funciones • 141
EJEMPLO 2
¿Cuáles de las siguientes relaciones es una función?
a) 511, 42, 12, 32, 13, 52, 1-1, 3210, 626
b) 51 -1, 3214, 22, 13, 12, 12, 62, 13, 526
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23
a) El dominio es el conjunto de las primeras coordenadas en el conjunto de pares ordenados, {1, 2, 3, 1, 0}, y el rango es el conjunto de segundas coordenadas, {4, 3, 5, 6}.
Observe que cuando listamos el rango sólo incluimos el número 3 una vez, aunque aparece en (2, 3) y (1, 3). Al examinar el conjunto de pares ordenados, vemos que cada
número del dominio corresponde exactamente a un número del rango. Por ejemplo, el
1 del dominio corresponde solamente al 4 del rango, y así sucesivamente. Ningún valor
de x corresponde a más de un valor de y. Por lo tanto, esta relación es una función.
b) El dominio es {1, 4, 3, 2} y el rango es {3, 2, 1, 6, 5}. Observe que el 3 aparece como
la primera coordenada de dos pares ordenados, aunque está listado sólo una vez en el
conjunto de elementos que representa el dominio. Como los pares ordenados (3, 1) y
(3, 5) tienen la misma primera coordenada y una segunda coordenada diferente, no
todos los valores del dominio corresponden exactamente a un valor del rango. Por lo
tanto, esta relación no es una función.
✺
El ejemplo 2 conduce a una definición alternativa de función.
DEFINICIÓN
Una función es un conjunto de pares ordenados, en donde no se repite una primera
coordenada.
Si la segunda coordenada en un conjunto de pares ordenados se repite, el conjunto todavía puede ser una función, como en el ejemplo 2 a). Sin embargo, si dos o más
pares ordenados tienen la misma primera coordenada, como en el ejemplo 2 b), el conjunto no es una función.
3
Utilizar la prueba de la recta vertical
La gráfica de una función o relación es la gráfica de su conjunto de pares ordenados.
Los dos conjuntos de pares ordenados del ejemplo 2 se grafican en las figuras 3.22a y
3.22b. Observe que, en la función de la figura 3.22a, no es posible trazar una recta vertical que intersecte dos puntos de la curva. Esto es normal, ya que, en una función, cada valor de x debe corresponder exactamente a un valor de y. En la figura 3.22b
podemos trazar una recta vertical que intersecte dos puntos de la curva (3, 1) y (3, 5).
Esto demuestra que no todos los valores de x corresponden exactamente a un valor de
y; por lo tanto, la gráfica no representa una función.
Este método para determinar si una gráfica representa una función se denomina
prueba de la recta vertical.
Sí es una función
y
y
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
3 2 1
1
FIGURA 3.22
No es una función
1
2
3
4
5
x
(a) Primer conjunto de pares ordenados
3 2 1
1
1
2
4
5
x
(b) Segundo conjunto de pares ordenados
142 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Prueba de la recta vertical
Si en cualquier parte de la gráfica es posible trazar una recta vertical que intersecte a más de
un punto de la curva, la gráfica no representa una función. Si no es posible trazar una recta
vertical que intersecte a más de un punto de la curva, la gráfica representa una función.
Utilizaremos la prueba de la recta vertical para demostrar que la figura 3.23b representa una función, mientras que las figuras 3.23a y 3.23c no.
No es una función
Sí es una función
y
No es una función
y
y
x
FIGURA 3.23
EJEMPLO 3
x
(a)
x
(b)
(c)
Utilice la prueba de la recta vertical para determinar si las gráficas siguientes representan funciones. También determine el dominio y el rango de cada función o relación.
y
y
4
4
3
3
2
1
4 3 2 1
1
1
1
2
3
4
x
4 3 2 1
1
1
2
3
4
x
2
3
3
4
4
FIGURA 3.24
Solución
FIGURA 3.25
a) No es posible trazar una recta vertical que intersecte más de un punto de la curva
de la figura 3.24. Por lo tanto, ésta es la gráfica de una función. Como la curva se extiende de manera indefinida en ambas direcciones, cada valor de x estará incluido en
el dominio. El dominio es el conjunto de los números reales.
Dominio:
1- q, q2
o
El rango también es el conjunto de los números reales, ya que todos los valores de y
están incluidos en la gráfica.
Rango:
o
1- q, q2
b) Como sí se puede trazar una recta vertical que intersecte más de un punto de la
curva en la figura 3.25, ésta no es la gráfica de una función. El dominio de esta relación
es el conjunto de valores mayores que o iguales a 3.
Dominio: 5x ƒ x Ú - 36
o
3 - 3, q 2
El rango es el conjunto de valores de y, que puede ser cualquier número real.
Rango:
o
1- q, q2
✺
Sección 3.2 • Funciones • 143
EJEMPLO 4
En la gráfica que se muestra en la figura 3.26,
a) ¿qué elemento del rango forma el par de 4 en el dominio?
b) ¿qué elementos del dominio forman el par de 2 en el rango?
y
c) ¿cuál es el dominio de la función?
3
d) ¿cuál es el rango de la función?
2
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
2
Solución a) El rango es el conjunto de valores de y. El valor de y que tiene como
par el valor de x 4 es 3.
b) El dominio es el conjunto de valores de x. Los valores de x que tienen como par el
valor de y igual 2 son 2 y 6.
3
c) El dominio es el conjunto de valores de x, del 0 al 7. Por lo tanto, el dominio es
FIGURA 3.26
5xƒ0 … x … 76 o 30, 74
d) El rango es el conjunto de valores y, de 2 a 3. Así, el rango es
5yƒ -2 … y … 36 o 3-2, 34
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33
EJEMPLO 5
✺
La figura 3.27 ilustra una gráfica de velocidad contra tiempo de un hombre que salió
a caminar y trotar. Escriba una historia que describa el paseo de este hombre y que
corresponda a esta función.
Velocidad (mph)
El hombre sale a caminar y trotar
6
5
4
3
2
1
0
0
FIGURA 3.27
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65
4
5
10
15
20
25
30
Tiempo (minutos)
El eje horizontal es el tiempo y el eje vertical es la velocidad. Cuando la curva es horizontal, significa que la persona está trasladándose a la
velocidad constante indicada en el eje vertical. Las rectas casi verticales que aumentan
con el tiempo (o que tienen una pendiente positiva, como se estudiará más adelante),
indican un aumento en la velocidad, mientras que las rectas casi verticales que disminuyen con el tiempo (o que tienen pendiente negativa), indican una disminución en la
velocidad.
Entienda el problema
Responda Ésta es una posible interpretación de la gráfica. El hombre camina durante más o menos cinco minutos a una velocidad de casi dos millas por hora; después,
el hombre aumenta su velocidad hasta casi cuatro millas por hora, y camina o trota a
esa velocidad durante más o menos 10 minutos; luego disminuye su velocidad hasta detenerse, y después descansa durante cinco minutos; finalmente, el hombre aumenta su
velocidad hasta casi cinco millas por hora, y trota a esa velocidad durante más o menos
10 minutos.
✺
Entender la notación de funciones
En la sección 3.1 graficamos varias ecuaciones, tal como se resume en la tabla 3. 1. Si
examina cada ecuación de la tabla, verá que todas ellas son funciones, ya que sus gráficas pasan la prueba de la recta vertical.
144 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
TABLA 3.1 Ejemplo
Sección 3.1
ejemplo
Ecuación graficada
¿La gráfica representa
una función?
Gráfica
y
3
y = x
Sí
x
y
4
1
y = - x + 1
3
Sí
x
y
5
x
y = x2 - 4
Sí
y
6
y =
1
x
Sí
x
y
7
y = ƒxƒ
Sí
x
y
7
6
5
4
3
2
1
5 4 3 2 1
1
2
3
FIGURA 3.28
y 3x 2
or
f (x) 3x 2
1 2 3 4 5
x
Como la gráfica de cada una de estas ecuaciones representa una función, podemos referirnos a ellas como funciones. Cuando nos referimos a un ecuación en las variables x y y como una función, significa que la gráfica de la ecuación satisface el criterio
para ser función. Esto es, cada valor de x corresponde exactamente a un valor de y, y
la gráfica de la ecuación pasa la prueba de la recta vertical.
No todas las ecuaciones son funciones. Sin embargo, todas las ecuaciones que
estudiaremos a partir de aquí serán funciones.
Analicemos la ecuación y 3x 2. Al aplicar la prueba de la recta vertical a
su gráfica (figura 3.28), podemos ver que ésta representa una función. Cuando una
ecuación en las variables x y y es una función, con frecuencia la escribimos utilizando
notación de funciones, o f(x), expresión que se lee “f de x”. Como la ecuación y 3x 2 es una función, y el valor de y depende del valor de x, decimos que y es una
función de x. Cuando se nos da una ecuación lineal en las variables x y y, en la que y
está despejada, podemos escribir la ecuación en notación de funciones como f(x) 3x
2. La notación f(x) representa la variable dependiente y no significa f por x. Además
de f pueden usarse otras letras para indicar funciones. Por ejemplo, g(x) y h(x) también
representan funciones de x, y en la sección 5.1 utilizaremos P(x) para representar
funciones polinomiales.
Sección 3.2 • Funciones • 145
Las funciones escritas en notación de funciones también son ecuaciones, ya que
contienen un signo de igual. Podemos referirnos a y 3x 2 ya sea como una ecuación
o como una función. De manera análoga, podemos referirnos a f(x) 3x 2 como
una función o como una ecuación.
Si y es una función de x, la notación f(5), que se lee “f de 5”, hace referencia al
valor de y cuando x es 5. Para evaluar una función para un valor específico de x, sustituya x con ese valor en la función. Por ejemplo, si f(x) 3x 2, entonces f(5) se determina como sigue:
f1x2 = 3x + 2
f152 = 3152 + 2 = 17
Por lo tanto, cuando x es 5, y es 17. El par ordenado (5, 17) aparecería en la gráfica de
y 3x 2.
SUGERENCIA
EJEMPLO 6
Las ecuaciones lineales en las que y no está despejada, pueden escribirse usando notación
de funciones, despejando y en la ecuación, y luego reemplazando y con f(x). Por ejemplo,
la ecuación 9x 3y 6 se convierte en y 3x 2, cuando se despeja y. Por lo tanto,
podemos escribir f(x) 3x 2.
Si f1x2 = - 4x 2 + 3x - 2, determine
a) f122
Solución
b) f1-12
c) f1a2
2
a) f1x2 = - 4x + 3x - 2
f122 = - 41222 + 3122 - 2 = - 4142 + 6 - 2 = - 16 + 6 - 2 = - 12
b) f1-12 = - 41-122 + 31- 12 - 2 = - 4112 - 3 - 2 = - 4 - 3 - 2 = - 9
c) Para evaluar la función en a, reemplazamos cada x de la función con una a.
f1x2 = - 4x2 + 3x - 2
f1a2 = - 4a2 + 3a - 2
EJEMPLO 7
✺
Determine cada valor indicado de la función.
a) g1 - 22 para g1t2 =
1
t + 5
b) h152 para h1s2 = 2 ƒ s - 6 ƒ
c) j1 - 32 para j1r2 = 16 - r
Solución
En cada parte, sustituya el valor indicado en la función y resuélvala.
a) g1 - 22 =
1
1
=
-2 + 5
3
b) h152 = 2 ƒ 5 - 6 ƒ = 2 ƒ - 1 ƒ = 2112 = 2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45
5
c) j1 - 32 = 26 - 1 - 32 = 16 + 3 = 19 = 3
✺
Aplicaciones de funciones en la vida diaria
Muchas de las aplicaciones que se estudiaron en el capítulo 2 eran funciones. Sin embargo, no habíamos definido el concepto en ese momento.A continuación analizaremos
algunas aplicaciones adicionales de funciones.
EJEMPLO 8
El torneo Masters de golf En abril de cada año se celebra el torneo Masters de
golf. La gráfica de la figura 3.29 muestra los puntos del nivel de audiencia que tuvo este
146 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Audiencia del torneo de golf
Puntos de nivel de audiencia
16
14.1
14
12
13.3
10
10.0
8
6
7.0
4
2
0
1980
1985
1990
1995
2000
Año
FIGURA 3.29
Fuente: NTI, Nielsen.
torneo en televisión entre 1980 y 2001. Un punto de nivel de audiencia representa 1%
de los hogares que cuentan con televisión. Por ejemplo, si un programa de televisión
recibe una puntuación de 14.1, significa que 14.1% de los hogares con televisión sintonizaron ese programa.
a) Explique por qué la gráfica en la figura 3.29 representa una función.
b) Determine el nivel de audiencia que tuvo este torneo en 1993.
c) Determine el porcentaje de aumento de audiencia entre 1993 y 1997.
d) Determine el porcentaje de disminución de audiencia entre 1997 y 2000.
Tiger Woods*
Solución
a) Esta gráfica representa una función, porque cada año corresponde a un número específico de puntos de nivel de audiencia. Observe que la gráfica pasa la prueba de la
recta vertical.
b) En 1993, el torneo tuvo más o menos siete puntos de nivel de audiencia. Si llamamos a la función f, entonces f(1993) 7.
c) Seguiremos nuestro procedimiento para responder esta pregunta
Se nos pidió que determináramos el porcentaje de aumento de audiencia entre 1993 y 1997. Para hacerlo, usamos la fórmula
Entienda el problema y traduzca
porcentaje de cambio
=
(aumento o disminución)
a
cantidad en el
cantidad en el
b-a
último periodo
periodo anterior b
cantidad en el periodo anterior
El último periodo es 1997, y el periodo anterior es 1993. Al sustituir los valores correspondientes, obtenemos
porcentaje de cambio =
Realice los cálculos
=
14.1 - 7.0
7.0
7.1
L 1.0143 L 101.4%
7.0
Nuestros cálculos parecen correctos. Entre 1993 y
1997 hubo aproximadamente 101.4% de aumento en el nivel de audiencia para el
torneo.
Compruebe y responda
*Debe hacerse notar que el altísimo nivel de audiencia de 1997 se debió, principalmente, a que Tiger
Woods ganó el evento.
Sección 3.2 • Funciones • 147
d) Para determinar el porcentaje de disminución de audiencia entre 1997 y 2000, seguimos el mismo procedimiento que en la parte c).
porcentaje de cambio
=
(aumento o disminución)
aumento en el
aumento en el
a último periodo b - aperiodo anterior b
aumento en el periodo anterior
- 4.1
10.0 - 14.1
=
L - 0.291 L - 29.1%
14.1
14.1
El signo negativo que precede a 29.1% indica una disminución porcentual. Por lo tanto,
hubo una disminución de aproximadamente 29.1% en los puntos del nivel de audiencia
para el torneo Masters entre 1997 y 2000.
✺
=
EJEMPLO 9
Inmigración En la actualidad, el número de extranjeros naturalizados que habitan en
Estados Unidos es el más alto de todos los tiempos. En 1890 la población de extranjeros naturalizados que habitaba en Estados Unidos era de nueve millones de personas;
en 1910 era de 14 millones; en 1930 era de 14 millones; en 1950 era de 10 millones; en
1970 era de 10 millones; en 1990 era de 20 millones; en 2000 era de 28 millones de personas, y se pronostica que en 2005 será de 31 millones de personas.
a) Represente esta información en una gráfica.
b) Por medio de su gráfica, explique por qué este conjunto de puntos representa una
función.
c) Por medio de su gráfica, calcule el número de extranjeros naturalizados que vivían
en Estados Unidos en 2003.
Número de extranjeros naturalizados en
Estados Unidos
Número de extranjeros naturalizados en
Estados Unidos
35
Población (millones)
Población (millones)
35
30
25
20
15
10
5
0
1890
1910
1930
1950
1970
Año
Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos.
FIGURA 3.30
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 75
30
25
20
15
10
5
0
1890
1990
1910
2005
1930
1950
1970
Año
1990
2005
Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos.
FIGURA 3.31
a) El conjunto de puntos se muestra en la figura 3.30. Colocamos el año en el eje horizontal y el número de extranjeros naturalizados que habitan en Estados Unidos, en
millones de personas, en el eje vertical.
b) Como cada año corresponde exactamente a un número de extranjeros naturalizados, este conjunto de puntos representa una función. Observe que esta gráfica pasa la
prueba de la recta vertical.
c) Podemos conectar los puntos con segmentos de línea recta, como se muestra en la
figura 3.31. Después, a partir de la gráfica es posible calcular que en 2003 había aproximadamente 30 millones de extranjeros naturalizados en Estados Unidos. Si llamamos
f a la función, entonces f(2003) 30.
✺
En la sección 2.2 aprendimos a usar fórmulas. Pensemos por ejemplo en la fórmula para considerar el área del círculo, A = pr 2. En la fórmula, p es una constante
con un valor aproximado de 3.14. Para cada valor específico del radio, r, corresponde
exactamente un área, A. Por lo tanto, el área del círculo es una función de su radio. En
consecuencia, podemos escribir
A1r2 = pr 2
Con frecuencia, las fórmulas se escriben usando notación de funciones como ésta.
148 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
EJEMPLO 10
La temperatura Celsius, C, es una función de la temperatura Fahrenheit, F.
C1F2 =
5
1F - 322
9
Determine la temperatura Celsius que corresponde a 50°F.
Solución
Necesitamos determinar C(50). Lo haremos por medio de sustitución.
5
1F - 322
9
5
C1502 = 150 - 322
9
C1F2 =
=
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 55
5
1182 = 10
9
Por lo tanto, 50°F 10°C.
En el ejemplo 10, F es la variable independiente y C es la variable dependiente.
9
Si despejáramos F en la función, obtendríamos F1C2 = 5 C + 32. En esta fórmula, C
es la variable independiente y F es la variable dependiente.
✺
Conjunto de ejercicios 3.2
Ejercicios conceptuales
1. ¿Qué es una función?
9. Considere la función y =
2. ¿Qué es una relación?
el rango? Explique
3. ¿Todas las funciones son también relaciones? Explique.
4. ¿Todas las relaciones son también funciones? Explique.
5. Explique cómo usar la prueba de la recta vertical para determinar si la relación es una función.
6. ¿Qué es el dominio de una función?
1
, ¿cuál es el dominio y cuál es
x
10. ¿Cuáles son el dominio y el rango de una función con la
forma f(x) ax b, a 0? Explique su respuesta.
11. Considere la función del valor absoluto y |x|, ¿cuál es el
dominio y cuál es el rango? Explique
12. ¿Qué es una variable dependiente?
7. ¿Qué es el rango de una función?
8. ¿Cuál es el dominio y cuál es el rango de la función f(x)
2x 1? Explique su respuesta.
13. ¿Qué es una variable independiente?
14. ¿Cómo se lee “f(x)”?
Problemas de aplicación
En los ejercicios 15 a 20, a) determine si la relación ilustrada es una función; b) indique cuál es el dominio y cuál es el rango de cada
función o relación.
15.
el doble de un número
3
6
5
10
10
20
17. número de descendientes
16. Sobrenombres
Roberto
Beto
Rober
Margarita
Marga
Rogelio
1
Carlos
2
Andrea
Margo
18. un número al cuadrado
19. costo de una estampilla
4
16
1990
20
5
25
2001
34
6
36
2002
37
20. valor absoluto
3
0
Sección 3.2 • Funciones • 149
En los ejercicios 21 a 28, a) determine cuáles de las siguientes relaciones también son funciones; b) indique cuál es el dominio y cuál
es el rango de cada relación o función.
21. 511, 42, 12, 22, 13, 52, 14, 32, 15, 126
22. 511, 12, 14, 22, 19, 32, 11, -12, 14, - 22, 19, - 326
23. 513, - 12, 15, 02, 11, 22, 14, 42, 12, 22, 17, 526
24. 51 -1, 12, 10, -32, 13, 42, 14, 52, 1- 2, - 226
25. 511, 42, 12, 52, 13, 62, 12, 22, 11, 126
26. 516, 32, 1 - 3, 42, 10, 32, 15, 22, 13, 52, 12, 526
27. 510, 32, 11, 32, 12, 22, 11, - 12, 12, - 726
28. 513, 52, 12, 52, 11, 52, 10, 52, 1- 1, 526
En los ejercicios 29 a 40, a) determine si la gráfica ilustrada representa una función; b) indique cuál es el dominio y cuál es el rango de
cada función no relación; c) calcule el valor o valores de x en donde y 2.
29.
30.
y
y
4
4
3
3
2
1
1
4
31.
2 1
1
1
2
3
4
x
4 3 2 1
1
2
2
3
3
4
4
32.
y
1
2
3
4
x
1
2
3
4
x
1
2
3
4
x
1
2
3
4
x
y
4
4
3
3
2
1
1
4 3 2 1
1
1
3
4
x
4 3 2 1
1
2
33.
3
3
4
4
y
4
4
3
3
2
2
1
1
4 3 2 1
1
35.
34.
y
1
2
3
4
x
4 3
1
1
2
2
3
3
4
4
36.
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
4 3 2 1
1
1
2
3
4
x
4 3 2 1
1
2
2
3
3
4
4
150 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
37.
38.
y
4
3
3
2
2
1
1
4 3 2 1
1
39.
y
4
1
2
3
4
x
4 3 2 1
1
2
2
3
3
4
4
40.
y
1
4
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
x
3
4
x
10
x
y
4
4 3 2 1
1
2
20 15 10 51
5
2
3
3
4
4
Evalúe cada función en los valores indicados.
41. f1x2 = - 2x + 5; determine
42. f1a2 =
1
a + 2; determine
3
43. h1x2 = x 2 - x - 6; determine
a) f122.
a) f102.
a) h102.
b) f1 -32.
b) f1 -62.
b) h1- 12.
44. g1x2 = - 2x 2 + x + 2; determine
a) g122.
b) g a b.
1
2
47. h1z2 = ƒ 5 - 2z ƒ ; determine
45. r1t2 = - t3 - 2t2 + t + 4; determine
46. g1t2 = 4 - 5t + 16t2 - 2t3; determine
a) r112.
a) g102.
b) r1 - 22.
b) g132.
48. q1x2 = - 2 ƒ x + 3 ƒ - 3; determine
49. s1t2 = 1t + 2; determine
a) h162.
a) q102.
a) s1-22.
b) h a b .
b) q1-42.
b) s172.
5
2
50. f1t2 = 15 - 2t; determine
51. g1x2 =
x3 - 2
; determine
x - 2
52. h1x2 =
x2 + 4x
; determine
x + 6
a) f1 -22.
a) g102.
a) h1- 32.
b) f122.
b) g122.
b) ha b.
2
5
Sección 3.2 • Funciones • 151
Resolución de problemas
53. Área de un rectángulo La fórmula para determinar el área
de un rectángulo es A lw. Si la longitud de un rectángulo es de 6 pies, entonces el área es una función de su ancho,
A(w) 6w. Determine el área cuando el ancho es
a) 2 pies.
b) 4.5 pies.
54. Interés simple La fórmula para calcular el interés simple
generado durante un 1 año es i pr, en donde p es el capital invertido y r es la tasa de interés simple. Si se invierten $1000, el interés simple generado en un año es una
función de la tasa de interés simple, i(r) 1000r. Determine el interés simple generado en un año si la tasa de
interés es
a) 3%.
b) 4.25%.
55. Área de un círculo La fórmula para determinar el área
de un círculo es A πr2. El área es una función del radio.
a) Escriba esta función en notación de funciones.
b) Determine el área cuando el radio mide 10 yardas.
56. Perímetro de un cuadrado La fórmula para determinar
el perímetro de un cuadrado es P 4s, en donde s representa la longitud de cualquiera de los lados del cuadrado.
a) Escriba esta función en notación de funciones.
b) Determine el perímetro de un cuadrado cuyos lados
miden 3 metros de longitud cada uno.
57. Temperatura La fórmula para convertir temperaturas en
grados Fahrenheit a temperatura en grados Celsius es
5
C = 1F - 322. La temperatura Celsius es una función de
9
la temperatura Fahrenheit.
a) Escriba esta función en notación de funciones.
b) Determine la temperatura Celsius que corresponde a
40°F.
a) 50 km> h
b) 25 km> h
61. Aire acondicionado Cuando un aparato de aire acondicionado se enciende al máximo en una habitación que está a 80°, la temperatura, T, de la habitación después de A
minutos, puede calcularse por medio de la función T(A) 0.02A2 0.34A 80, 0 A 15.
a) Calcule la temperatura de la habitación cuatro minutos
después de que se encendió el aparato de aire acondicionado.
b) Calcule la temperatura de la habitación 12 minutos
después de que se encendió el aparato de aire acondicionado.
62. Accidentes Durante un mes, el número de accidentes, n, en
que intervienen conductores de x años de edad, puede calcularse por medio de la función n(x) 2x2 150x 4000.
Determine el número aproximado de accidentes en que,
durante un mes, intervienen conductores de
a) 18 años.
b) 25 años.
63. Naranjas El número total de naranjas, T, en una pirámide cuadrada cuya base es de n por n naranjas, está dada por
medio de la función
T1n2 =
1 3
1
1
n + n2 + n
3
2
6
Determine el número total de naranjas, si la base es de
58. Volumen de un cilindro La fórmula para determinar el
volumen de un cilindro circular recto es V pr2h. Si la altura, h, es de tres pies, entonces el volumen es una función
del radio, r.
a) Escriba esta fórmula en notación de funciones, teniendo
en cuenta que la altura del cilindro es de tres pies.
b) Determine el volumen si el radio del cilindro es de dos
pies.
59. Temperatura en un sauna La temperatura de un sauna
(T) en grados Celsius, n minutos después de haberlo encendido, está dada por la función T(n) 0.03n2 1.5n
14. Determine la temperatura del sauna después de
a) 3 minutos.
b) 12 minutos.
60. Distancia para detenerse La distancia en metros, d, necesaria para que un automóvil que viaja a v km/h se detenga,
está dado por la función d(v) 0.18v 0.01v 2. Determine
la distancia necesaria para que el auto se detenga si viaja
a las velocidades siguientes:
a) 6 por 6 naranjas.
b) 8 por 8 naranjas.
64. Concierto de rock Si el costo de un boleto para asistir a un
concierto de rock se aumenta a x dólares, el aumento estimado en el ingreso, R, en miles de dólares está dado por medio
de la función R(x) 24 5x x2, x 8. Determine el aumento en los ingresos, si el costo del boleto se aumenta en
a) $1.
b) $4.
152 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Revise el ejemplo 5 antes de resolver los ejercicios 65 a 70.
65. Frecuencia cardiaca La siguiente gráfica muestra el ritmo
66. Nivel de agua La siguiente gráfica muestra el nivel de
agua en un momento dado durante una inundación. Escriba una historia que pueda representarse con esta gráfica.
3.0
130
120
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
2.5
Pies de agua
Frecuencia cardiaca
(pulsaciones por minuto)
cardiaco de una persona mientras está haciendo ejercicio. Escriba una historia que pueda representarse con esta gráfica.
2.0
1.5
1.0
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
1
0
35
2
3
60
50
40
30
20
10
0
5
10
15
20
25
30
70
60
50
40
30
20
10
0
10
15
20
25
Tiempo (minutos)
7
8
9
10
1.5
1.0
0.5
0
0
10
5
15
30
20
25
30
35
40
Tiempo (minutos)
70. Distancia recorrida La siguiente gráfica muestra la distancia recorrida por una persona en un automóvil durante
cierto tiempo. Escriba una historia que pueda representarse con esta gráfica.
Distancia (millas)
Velocidad (mph)
69. Velocidad de un automóvil La siguiente gráfica muestra
la velocidad de un automóvil a lo largo de cierto tiempo.
Escriba una historia que pueda representarse con esta
gráfica.
5
6
2.0
Tiempo (minutos)
0
5
68. Nivel de agua en una tina La siguiente gráfica muestra el nivel de agua en una tina a lo largo de un periodo.
Escriba una historia que pueda representarse con esta
gráfica.
Nivel de agua (pies)
Elevación sobre el nivel
del mar (pies)
67. Altura sobre el nivel del mar La siguiente gráfica muestra
la altura sobre el nivel del mar a lo largo de un periodo,
cuando un hombre sale de su casa y va a caminar. Escriba
una historia que pueda representarse con esta gráfica.
0
4
Tiempo (horas)
Tiempo (minutos)
350
310
300
250
200
150
150
150
100
30
50
0
0
1
2
3
4
5
Tiempo (horas)
6
Sección 3.2 • Funciones • 153
71. Ventas de computadoras La siguiente gráfica muestra la
cantidad de dinero que las empresas estadounidenses gastaron en la compra de computadoras y equipo relacionado entre 1995 y 2000.
Gasto en computadoras
y equipo relacionado
Aumento en el déficit comercial estadounidense
120
115
La importación de productos chinos a Estados Unidos ha aumentado súbitamente, mientras que la importación de productos
estadounidenses a China lo ha hecho a un ritmo mucho más lento:
100
120
80
Miles de millones
de dólares
Miles de millones de dólares
73. Déficit comercial La siguiente gráfica muestra que la importación de productos chinos a Estados Unidos ha aumentado con rapidez, mientras que la importación de
productos estadounidenses a China se ha elevado a una
velocidad mucho más lenta.
80
60
40
20
80
60
40
Importaciones de China
20
0
0
1995 ’96 ’97 ’98 ’99 ’00
Año
100 Importaciones de Estados Unidos
1990
1995
2000
Año
Fuente: Newsweek, 26 de abril de 2001.
Fuente: Fortune, 18 de diciembre de 2000.
b) En esta gráfica,¿cuál es la variable independiente?
c) Si f representa la función, determine f(2000).
d) Determine el porcentaje de aumento en la cantidad que
las empresas estadounidenses gastaron en la compra de
computadoras y equipo relacionado entre 1997 y 2000.
72. Exportación de computadoras La siguiente gráfica muestra la cantidad de dinero que Estados Unidos recibió por
concepto de exportación de computadoras y equipo relacionado, entre 1995 y 2000.
Exportación de computadoras
y equipo relacionado
Miles de millones de dólares
120
100
86
80
60
60
40
20
0
1995 ’96 ’97 ’98 ’99 ’00
Año
Fuente: Fortune, 18 de diciembre de 2000.
a) ¿Esta gráfica representa una función? Explique.
b) ¿Cuál es la variable independiente en esta gráfica?
a) ¿La gráfica de importaciones de productos chinos a
Estados Unidos representa una función? Explique.
b) ¿La gráfica de importaciones de productos estadounidenses a China representa una función? Explique.
c) ¿La gráfica de importaciones de productos chinos a Estados Unidos parece más o menos lineal? Explique.
d) ¿La gráfica de importaciones de productos estadounidenses a China parece más o menos lineal? Explique.
e) Si f representa la función de importaciones de productos chinos a Estados Unidos y si t es el año, determine
t si f(t) $80 mil millones.
f) Si g representa la función de importaciones de productos estadounidenses a China y si t es el año, determine
t si g(t) $18 mil millones.
74. Agencias de viaje en línea La cantidad total de reservaciones para viajar (en miles de millones de dólares) que se
realizan en Estados Unidos a través de Internet se muestra en la siguiente gráfica de barras.
Las reservaciones en línea han crecido rápido
Miles de millones de dólares
a) ¿Esta gráfica representa una función? Explique.
35
31
30
23
25
20
14
15
10
7
5
1999
2000
2001
2002*
0
Reservaciones en línea en Estados Unidos
Fuente: Business Week, 11 de junio de 2001.
* Estimación
c) Si g representa la función, determine g(2000).
a) Trace una gráfica de líneas que muestre esta información.
d) Determine el porcentaje de aumento en la exportación
de computadoras y equipo relacionado entre 1998 y 2000.
b) ¿La gráfica que trazó en la parte a) parece más o menos lineal? Explique.
154 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
c) Suponiendo que esta tendencia continúa, calcule con
base en la gráfica que trazó qué monto alcanzarán las reservaciones realizadas a través de Internet en el año 2003.
d) ¿La gráfica de barras representa una función?
e) ¿La gráfica de líneas que trazó en la parte a) representa una función?
75. Publicidad en el Súper Tazón El precio promedio de un
mensaje comercial de 30 segundos transmitido por televisión durante el Súper Tazón ha aumentado con el paso de los
años. En la siguiente tabla se proporciona el costo aproximado de un comercial de 30 segundos en distintos años,
entre 1981 y 2001.
Año
Costo (miles de dólares)
1981
280
1985
500
1989
740
1993
970
1997
1300
2001
2300
a) Trace una gráfica de líneas que muestre esta información.
b) ¿La gráfica parece más o menos lineal? Explique.
c) Con base en la gráfica, calcule el costo de un comercial de 30 segundos en el año 2000.
76. Gasto familiar El promedio anual del gasto familiar es
una función del ingreso familiar promedio anual. El gasto
promedio puede calcularse por medio de la función
f1i2 = 0.6i + 5000 $3500 … i … $50,000
en donde f(i) es el gasto familiar promedio e i es el ingreso familiar promedio.
a) Trace una gráfica que muestre la relación entre el ingreso familiar promedio y el gasto familiar promedio.
b) Calcule el gasto familiar promedio para una familia
con un ingreso promedio de $30,000.
77. Oferta y demanda El precio de las mercancías (por ejemplo, del maíz), se determina por medio de la oferta y la demanda. Si se produce demasiado maíz, la oferta será mayor
que la demanda y el precio disminuirá; si no se produce
suficiente maíz, la demanda será mayor que la oferta y el
precio aumentará. Por lo tanto, el precio del maíz es una
función del número de búshels (medida inglesa de capacidad que se utiliza para granos) de maíz producidos. El
precio de un búshel de maíz puede estimarse por medio de
la función
f1Q2 = - 0.00004Q + 4.25, 10,000 … Q … 60,000
en donde f(Q) es el precio de un búshel de maíz y Q es el
número anual de búshels de maíz producidos.
a) Trace una gráfica que muestre la relación entre el número de búshels de maíz producidos y el precio por
búshel.
b) Calcule el costo de un búshel de maíz, si se producen
40,000 búshels de maíz en un año dado.
Actividad en equipo
En muchas situaciones de la vida real, para representar un problema puede ser necesario utilizar más de una función. Con frecuencia
esto ocurre en aquellas situaciones en que intervienen dos o más tasas diferentes. Por ejemplo, cuando hablamos del tema fiscal, sabemos que hay diferentes tasas de impuestos. Cuando se utilizan dos o más funciones para representar un problema, la función se denomina función definida por partes. A continuación se dan dos ejemplos de funciones definidas por partes, incluyendo sus gráficas.
f1x2 = b
- x + 2,
2x - 10,
0 … x 6 4
4 … x 6 8
f1x2 = b
-2 … x 6 2
2 … x 6 4
2x - 1,
x - 2,
y
y
6
3
5
2
4
1
3
3 2 1
1
2
1
2
3
4
5
x
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
3
x
4
2
5
Grafiquen en equipo las siguientes funciones definidas por partes.
78. f1x2 = b
x + 3,
7 - x,
-1 … x 6 2
2 … x 6 4
79. g1x2 = b
2x + 3,
- 3x + 1,
-3 6 x 6 0
0 … x 6 2
Sección 3.3 • Funciones lineales: gráficas y aplicaciones • 155
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.1]
80. Resuelva la ecuación 3x - 2 =
1
13x - 32.
3
3
1
1x - 32 7 13 - x2 e
5
4
indique la solución a) en la recta numérica; b) en
notación de intervalos, y c) en notación de construcción de conjuntos.
x - 4
[2.6] 83. Resuelva la ecuación `
` + 2 = 4.
3
[2.5] 82. Resuelva la desigualdad
[2.2] 81. Despeje p2 de la siguiente fórmula.
E = a1 p1 + a2 p2 + a3 p3
3.3 FUNCIONES LINEALES: GRÁFICAS Y APLICACIONES
1
1
Graficar funciones lineales.
2
Graficar funciones lineales usando las intersecciones.
3
Graficar ecuaciones con la forma x = a y y = b.
4
Analizar aplicaciones de funciones.
5
Resolver de manera gráfica ecuaciones lineales con una variable.
Graficar funciones lineales
En la sección 3.1 graficamos ecuaciones lineales. Para graficar la ecuación lineal y 2x
4, podemos construir una tabla de valores, determinar los puntos y trazar la gráfica,
como se muestra en la figura 3.32. Observe que está gráfica representa una función, ya
que pasa la prueba de la recta vertical.
y
x
y
-2
0
5
0
4
4
1
6
6
y 2x 4
2
1
6 5 4 3 2 1
1
1
2
3
4
5
6
x
2
3
4
5
FIGURA 3.32
6
Utilizando la notación de funciones, podemos escribir la ecuación que se graficó en la figura 3.32 como f(x) 2x 4. Éste es un ejemplo de una función lineal, es
decir, una función con la forma f(x) ax b. Al graficar cualquier función lineal, se
obtiene una línea recta. El dominio de todas las funciones lineales es el conjunto de números reales para los que la función es un número real; por lo tanto, el dominio de
cualquier función lineal es el conjunto de todos los números reales, : al sustituir x
con cualquier número real en una función lineal, resultará que f(x) es un número real.
Estudiaremos con más profundidad el tema dominios de funciones en la sección 3.6.
Para graficar una función lineal, tratamos a f(x) como si fuera y y seguimos el
mismo procedimiento utilizado para graficar ecuaciones lineales.
156 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
EJEMPLO 1
Solución
Grafique f1x2 =
1
x - 1.
2
Construimos una tabla de valores sustituyendo valores para x y determinando los
valores correspondientes de f(x) (o y). Luego determinamos los puntos y trazamos la
gráfica, como se ilustra en la figura 3.33.
y
x
f(x)
5
-2
-2
4
0
-1
2
2
0
1
3
5 4 3 2 1
1
f (x) qx 1
1
2
3
4
5
x
2
3
4
5
FIGURA 3.33
✺
Observe que el eje vertical de la figura 3.33 también puede denominarse f(x),
en lugar de y, aunque en este libro continuaremos llamándolo y.
2
Graficar funciones lineales usando las intersecciones
Las ecuaciones lineales no siempre tienen la forma y ax b. La ecuación 2x 3y 6 es un ejemplo de un ecuación lineal con una forma general.
DEFINICIÓN
La forma general de una ecuación lineal es
ax + by = c
en donde a, b y c son números reales, y a y b son distintos de cero.
Ejemplos de ecuaciones lineales en la forma general
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13
2x + 3y = 4
-x + 5y = - 2
Algunas veces, cuando una ecuación está dada en la forma general, puede ser
más fácil trazar la gráfica usando las intersecciones con el eje x y con el eje y. Examine
los dos puntos en la gráfica que se muestra en la figura 3.32. Observe que la gráfica
cruza el eje x en el punto (2, 0). Por lo tanto, (2, 0) se denomina intercepción x o
intersección con el eje x. En ocasiones decimos que la intersección con el eje x está en
2, la coordenada x del par ordenado.
La gráfica cruza el eje y en el punto (0, 4). Por consiguiente, (0, 4) se denomina
intercepción y o intersección con el eje y. En ocasiones decimos que la intersección con
el eje y está en 4, la coordenada y del par ordenado.
A continuación se explica cómo las intersecciones con el eje x y con el eje y pueden determinarse de manera algebraica.
Para determinar las intersecciones con el eje x y con el eje y
Para determinar la intersección con el eje y, determine x 0 y despeje y.
Para determinar la intersección con el eje x, determine y 0 y despeje x.
Sección 3.3 • Funciones lineales: gráficas y aplicaciones • 157
Para graficar una ecuación lineal utilizando las intersecciones del eje x y el eje
y, primero encontramos las intercepciones y trazamos los puntos, para después dibujar una línea recta que pase por ellos. Debe ser muy cuidadoso cuando grafique ecuaciones lineales por medio de las intersecciones. Si traza erróneamente alguno de sus
puntos, su gráfica será incorrecta.
EJEMPLO 2
Solución
Grafique la ecuación 5x 10y 20 trazando las intersecciones del eje x y del eje y.
Para localizar la intersección del eje y (el punto en donde la gráfica cruza el eje y),
determine x 0 y despeje y.
5x
5102
0
20
2
=
=
=
=
=
10y - 20
10y - 20
10y - 20
10y
y
La gráfica cruza el eje y en y 2. El par ordenado que representa la intersección y
es (0, 2).
Para localizar la intersección del eje x (el punto en donde la gráfica cruza el eje
x), determine y 0 y despeje x.
5x
5x
5x
x
=
=
=
=
10y - 20
10102 - 20
- 20
-4
La gráfica cruza el eje x en x 4. El par ordenado que representa la intersección del eje x es (4, 0). Ahora trace las intercepciones y dibuje la gráfica (vea la
figura 3.34).
y
5
5x 10y 20
4
3
2
(4, 0)
(0, 2)
1
4 3 2 1
1
1
2
3
4
5
x
2
3
4
5
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23
EJEMPLO 3
Solución
✺
FIGURA 3.34
Grafique f1x2 = -
1
x - 1 por medio de las intersecciones del eje x y del eje y.
3
Trate a f(x) como si fuera y. Para localizar la intersección del eje y, determine x 0 y
despeje f(x).
1
f1x2 = - x - 1
3
f1x2 = La intersección del eje y es (0, 1).
1
102 - 1 = - 1
3
158 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Para determinar la intersección del eje x, determine f(x) 0 y despeje x.
1
f1x2 = - x - 1
3
1
0 = - x - 1
3
1
3102 = 3a - x - 1b
3
Multiplique ambos lados por 3.
0 = -x - 3
Propiedad distributiva.
x = -3
Sume x en ambos lados.
La intersección del eje x es (3, 0). La gráfica se muestra en la figura 3.35.
y
5
4
3
2
(3, 0)
1
5 4 3 2 1
1
(0, 1)
2
3
4
5
x
2
3
4
f (x) ax 1
5
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17
✺
FIGURA 3.35
Las gráficas de la forma ax by 0 pasan por el origen y tienen la misma intersección en los ejes x y y, (0, 0). Para graficar tales ecuaciones podemos usar la intersección como un punto, sustituir valores para x y determinar los valores correspondientes
de y para obtener otros puntos en la gráfica.
EJEMPLO 4
Solución
Grafique 6x 4y 0.
Si sustituimos x 0, encontramos que y 0. Por lo tanto, la gráfica pasa a través del
origen. Seleccionaremos x 2 y x 2, y sustituimos estos valores en la ecuación, uno
a la vez, para determinar otros dos puntos en la gráfica.
Sea x = - 2.
Sea x = 2.
-6x + 4y = 0
- 6x + 4y = 0
-61 -22 + 4y = 0
-6122 + 4y = 0
12 + 4y = 0
-12 + 4y = 0
4y = - 12
4y = 12
y = -3
y = 3
pares ordenados: 1- 2, -32
12, 32
Hemos encontrado otros dos puntos en la gráfica: (2, 3) y (2, 3). La gráfica
de 6x 4y 0 se muestra en la figura 3.36.
Sección 3.3 • Funciones lineales: gráficas y aplicaciones • 159
y
6x 4y 0
5
4
3
(2, 3)
2
1
5 4 3 2 1
1
(2, 3)
1
2
3
4
5
x
2
3
4
5
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35
✺
FIGURA 3.36
Cómo utilizar su calculadora graficadora
En ocasiones puede ser difícil calcular con precisión las intersecciones de una gráfica. Cuando esto ocurra,
puede utilizar una calculadora graficadora; a continuación se muestra cómo.
EJEMPLO Determine las intersecciones de los ejes x y y de la gráfica de y 1.3(x 3.2).
Solución
Presione la tecla Y= y luego asigne el valor 1.3(x 3.2) a y. Luego presione la tecla GRAPH
para graficar la función y1 1.3(x 3.2), como se muestra en la figura 3.37a.
Puede ser difícil determinar las intersecciones a partir de la gráfica. Una manera de lograrlo consiste en utilizar la característica TRACE, que fue analizada en la sección 3.1. La figura 3.37b muestra la pantalla de una TI83
Plus después de presionar la tecla TRACE Observe que la intersección del eje y está en 4.16.
FIGURA 3.37a
FIGURA 3.37b
Algunas calculadoras graficadoras son capaces de determinar las intersecciones del eje x de una función,
con tal sólo presionar unas cuantas teclas. Un cero (o raíz) de una función es un valor de x tal que f(x) 0. Un
cero (o raíz) de una función, es la coordenada x de la intersección del eje x de la gráfica de la función. Lea el
manual de su calculadora para aprender cómo determinar los ceros o raíces de una función. En la TI83 Plus se
nd
TRACE para obtener el menú CALC (calcular). Luego hay que seleccionar
deben presionar las teclas 2
la opción 2, zero, entonces, la calculadora mostrará
Left bound?
En este momento, se debe mover el cursor a lo largo de la curva hasta que esté a la izquierda del cero, y
presionar ENTER . Ahora la calculadora mostrará
Right bound?
En ese momento hay que mover el cursor a lo largo de la curva hasta que esté
a la derecha del cero, y presionar ENTER . Ahora la calculadora mostrará
Guess?
Se deberá presionar ENTER por tercera vez para que aparezca el cero en
la parte inferior de la pantalla, como se muestra en la figura 3.38. Así, la intersección
del eje x de la función está en 3.2. Para practicar la localización de intersecciones
en su calculadora, resuelva los ejercicios 69 a 72.
FIGURA 3.38
160 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
3
Graficar ecuaciones con la forma x = a y y = b
Los ejemplos 5 y 6 ilustran cómo se grafican las ecuaciones con la forma x a y y b, en donde a y b son constantes.
EJEMPLO 5
Solución
y
5
4
1 2 3 4 5
x
2
3
4
5
Cualquier ecuación con la forma y b o f(x) b, en donde b representa una constante, es una función constante.
y
5 4 3
EJEMPLO 6 Grafique la ecuación x 2.
Solución Esta ecuación puede escribirse como x 2 0y. Por lo tanto, para
5
4
3
2
1
1
1
2
3
4
5
cada valor seleccionado de y, x tendrá un valor de 2 (figura 3.40).
1 2 3 4 5
x
FIGURA 3.40
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41
4
Observe que la gráfica de y 3 es una función, ya que pasa la prueba de la recta vertical. Para cada valor seleccionado de x, el valor de y, o valor de la función, es 3.
Éste es un ejemplo de una función constante. Podemos escribir
f1x2 = 3
FIGURA 3.39
x 2
Esta ecuación puede escribirse como y 3 0x. Así, para cualquier valor seleccionado
de x, y es 3. La gráfica de y 3 se ilustra en la figura 3.39.
✺
La graficación de cualquier ecuación con la forma y b siempre dará por resultado una
línea horizontal para cualquier número real b.
y3
2
1
5 4 3 2 1
1
Grafique la ecuación y 3.
✺
La graficación de cualquier ecuación con la forma x a dará siempre por resultado una recta vertical para cualquier número real a.
Observe que la gráfica de x 2 no representa una función, ya que no pasa la
prueba de la recta vertical. Para x 2 hay más de un valor de y. De hecho, cuando
x 2, hay un número infinito de valores para y.
Analizar aplicaciones de funciones
Con frecuencia las gráficas se utilizan para mostrar la relación entre variables. No es
indispensable que los ejes de una gráfica se etiqueten siempre como x y y; puede designárseles con cualquier variable, como en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 7
Utilidades La utilidad anual, p, de una tienda de neumáticos puede calcularse por
medio de la función p(n) 20n 30,000, en donde n es el número de neumáticos vendidos por año.
a) Trace una gráfica de la utilidad en relación con la venta de hasta 6000 neumáticos.
b) Calcule el número de neumáticos que deben venderse para que la compañía no
pierda ni gane (punto de equilibrio).
c) Calcule el número de neumáticos vendidos si la compañía tiene un utilidad de $40,000.
Solución
a) Entienda el problema La utilidad, p, es una función del número de neumáticos vendidos, n. Por lo tanto, el eje horizontal será Número de neumáticos vendidos
(la variable independiente), y el eje vertical será Utilidad (la variable dependiente).
Como el número mínimo de neumáticos que pueden venderse es 0, no es necesario listar valores negativos en el eje horizontal. Por consiguiente, el eje horizontal irá de 0 a
6000 neumáticos.
Sección 3.3 • Funciones lineales: gráficas y aplicaciones • 161
Graficaremos esta ecuación determinando y trazando las intersecciones.
Para localizar la intersección p, determinaremos
n 0 y despejaremos p(n).
Traduzca y realice los cálculos
p1n2 = 20n - 30,000
p1n2 = 20102 - 30,000 = - 30,000
p
p(n) 20n 30,000
Utilidad (miles de dólares)
90
Por lo tanto, la intersección p es (0, 30,000).
Para localizar la intersección n, determinamos p(n) 0 y despejamos n.
80
p1n2
0
30,000
1500
70
60
50
40
Utilidad $40,000
30
20
=
=
=
=
20n - 30,000
20n - 30,000
20n
n
Por lo tanto, la intersección n es (1500, 0).
10
0
1
10
20
2
3
4
5
6
n
Punto de equilibrio
30
40
Número de neumáticos
vendidos (miles)
Responda
Ahora utilizaremos las intersecciones p y n para trazar la gráfica (vea
la figura 3.41).
b) El punto de equilibrio es el número de neumáticos que la empresa debe vender
para no tener ganancias ni pérdidas. En la gráfica, este punto se da en donde la gráfica intersecta al eje n, en este caso, en donde la utilidad, p, es 0. Para alcanzar el punto
de equilibrio deben venderse aproximadamente 1500 neumáticos.
c) Para tener una utilidad de $40,000, deben venderse aproximadamente 3500 neumáticos, tal como ilustra la línea punteada en la gráfica de la figura 3.41.
✺
FIGURA 3.41
Algunas veces es difícil obtener una respuesta exacta a partir de una gráfica. En
el ejemplo 7, para determinar el número exacto de neumáticos que se debe vender para
alcanzar el punto de equilibrio, sustituya p(n) por 0 en la función p(n) 20n 30,000
y despeje n. Para determinar el número exacto de neumáticos que se debe vender para
obtener una utilidad de $40,000, sustituya p(n) por 40,000 y despeje n.
EJEMPLO 8
a) Escriba una función que exprese su salario mensual, m, en relación con las ventas
de la tienda, s.
s
m
0
200
b) Trace una gráfica de su salario mensual para ventas de $20,000 y superiores.
10,000
1200
20,000
2200
c) Si en abril las ventas de la tienda fueron de $15,000, ¿cuál será el salario de Andrés
en ese mes?
Solución
m
Salario mensual
Ventas en una juguetería Andrés Fernández es propietario de una juguetería, y se
ha fijado un salario mensual de $200 más 10% de las ventas.
m(s) 200 0.10s
$2500
$2000
$1500
$1000
$500
0
s
0
5
10
15
20
Ventas (miles de dólares)
FIGURA 3.42
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 53
a) El salario mensual de Andrés es una función de las ventas. Su salario mensual, m,
es de $200 más 10% de las ventas, s. En decimales, 10% de s es 0.10s. Así que la función
para determinar el salario de Andrés es
m1s2 = 200 + 0.10s
b) Como el salario mensual es una función de las ventas, Ventas estará representado
en el eje horizontal y Salario mensual estará representado en el eje vertical. Dado que
las ventas no pueden ser negativas, el salario mensual tampoco. Por lo tanto, ambos ejes
tomarán en cuenta sólo números positivos. Para trazar esta gráfica comenzaremos por
determinar los puntos. Seleccionaremos valores para s, determinaremos los valores
correspondientes de m, y luego trazaremos la gráfica. Para s podemos seleccionar valores entre $0 y $20,000 (vea la figura 3.42).
c) Al interpretar cuidadosamente nuestra gráfica, podemos calcular que, cuando las
ventas de la tienda son de $15,000, el salario mensual de Andrés es de más o menos
$1700.
✺
162 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Matemáticas en acción
Contaminación atmosférica
La relación entre la contaminación y el aumento de enfermedades respiratorias y cardiopulmonares se ha hecho más evidente en los últimos años. La gente que vive
en áreas urbanas con altos niveles de contaminación
tienen un mayor riesgo de muerte que aquellas que viven en ciudades con menos contaminación. Los contaminantes relacionados más directamente con el
aumento de la incidencia de enfermedades y muertes
incluyen el ozono, partículas suspendidas, monóxido de
carbono, dióxido de azufre, compuestos orgánicos volátiles y óxidos de nitrógeno.
Las partículas —materia suspendida en el aire—
con los rangos más bajos en diámetro (10 micras o
5
menos) se denominan partículas finas, y son capaces de
pasar a través del sistema de filtración natural de la nariz y de la garganta, llegando a penetrar profundamente en los pulmones y causando serios daños. En el este
de Estados Unidos, el porcentaje más grande de partículas finas son los aerosoles de sulfato que provienen del
dióxido de azufre producido por la combustión de carbono y petróleo. Los aerosoles de nitrato, que constituyen alrededor de una tercera parte de las partículas
finas en la atmósfera de Los Ángeles, provienen de las
emisiones de vehículos automotrices.
Un estudio realizado durante 16 años por investigadores de la universidad de Harvard en seis ciudades,
llevó un registro de la salud de más de 8,000 personas. Los resultados, publicados en 1993, mostraron una
relación casi lineal entre las concentraciones de partículas y el aumento de las tasas de mortalidad; incluso niveles relativamente bajos de contaminación por partículas
finas tuvieron un efecto medible en la salud.
Las investigaciones que correlacionan las enfermedades y la mortalidad con factores causales como la
contaminación atmosférica en todas sus formas, brindan información de gran importancia para el público y
para los legisladores, cuando se formulan leyes para limitar las emisiones de los automóviles y de la industria. Una gráfica que muestre una línea recta, en esencia
está relacionando miles de muertes con toneladas de
partículas en el aire, enviando un mensaje muy difícil de ignorar.
Resolver de manera gráfica ecuaciones lineales con una variable
En una sección anterior analizamos la graficación de f(x) 2x 4. En la figura 3.43
se ilustran las gráficas de f(x) y de g(x) 0. Observe que, en las dos gráficas, la recta
intersecta el punto (2, 0). Podemos obtener la coordenada x del par ordenado resolviendo la ecuación f(x) g(x). Recuerde que tanto f(x) como g(x) representan a y,
y despejando x de esta ecuación obtendremos el valor de x en donde las y son iguales.
f1x2
$'%'&
2x + 4
2x
x
= g1x2
$%&
= 0
= -4
= -2
Observe que obtenemos 2, la coordenada x del par ordenado en el punto de intersección.
Ahora localicemos la coordenada x del punto en donde las gráficas de f(x) 2x 4 y g(x) 2 se intersectan. Primero resolvemos la ecuación f(x) g(x).
f1x2
$'%'&
2x + 4
2x
x
= g1x2
$%&
= 2
= -2
= -1
Sección 3.3 • Funciones lineales: gráficas y aplicaciones • 163
y
y
6
6
5
f(x) 2x 4
5
4
g(x) 2
2
g(x) 0
1
6 5 4 3 2 1
1
1
2
3
4
5
6
x
6 5 4 3 2 1
1
2
3
3
1
2
3
4
5
6
x
FIGURA 3.44
La coordenada x del punto de intersección de las dos gráficas es 1, como se muestra en la figura 3.44. Observe que f(1) 2(1) 4 2.
En general, si se nos da una ecuación en una variable, podemos considerar cada
lado de la ecuación como una función separada. Para obtener la solución, podemos
graficar las dos funciones. La coordenada x del punto de intersección será la solución
de la ecuación.
y
24
20
16
12
8
f (x) 3x 2 4
4 2
4
1
2
FIGURA 3.43
f (x) 2x 4
4
2
4
6
8 10
x
g(x) 4x 4
FIGURA 3.45
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65
EJEMPLO 9
Determine gráficamente la solución de la ecuación 3x 2 4x 4.
Sea f(x) 3x 2 y g(x) 4x 4. La gráfica de estas funciones se
ilustra en la figura 3.45. La coordenada x del punto de intersección es 6. Por lo tanto,
la solución de la ecuación es 6. Compruébela.
✺
Solución
Cómo utilizar su calculadora graficadora
En el ejemplo 9 resolvimos una ecuación en una variable por medio de la graficación de dos funciones. En
el siguiente ejemplo se explica cómo determinar el punto de intersección de dos funciones en una calculadora graficadora.
1
EJEMPLO Utilice una calculadora graficadora para determinar la solución de 21x + 32 = x + 4.
2
1
Solución Asigne el valor 2(x 3) a Y1 y el valor x + 4 a Y2 para obtener
2
Y1 = 21x + 32
1
Y2 = x + 4
2
Ahora presione la tecla GRAPH para graficar las funciones. La gráfica de las
funciones se muestra en la figura 3.46.
Examinando la gráfica, ¿puede determinar la coordenada x del punto de intersección? ¿Es 1, 1.5 o algún otro valor? Podemos determinar el punto de intersección de varias maneras. Una de ellas consiste en utilizar las características TRACE y
ZOOM de su calculadora. La figura 3.47 muestra la ventana de una TI83 Plus después de utilizar la característica TRACE y mover el cursor hasta un punto muy cercano al punto de intersección. (Para cambiar de una función a otra puede presionar
las teclas de flecha hacia arriba y hacia abajo.)
FIGURA 3.46
FIGURA 3.47
(continúa en la página siguiente)
164 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
En la parte inferior de la pantalla de la figura 3.47, vemos las coordenadas x y y junto al cursor. Para obtener
una vista más cercana alrededor del área del cursor, podemos realizar un acercamiento (zoom in) por medio de la
tecla ZOOM . Después de hacerlo puede acercar más el cursor al punto de intersección para obtener una mejor
lectura (vea la figura 3.48). Puede hacer esto una y otra vez hasta lograr tanta precisión como necesite para su respuesta. De acuerdo con la figura 3.48, aparentemente la coordenada x de la intersección está más o menos en
1.33.
Utilizando ciertas teclas, las calculadoras graficadoras también pueden mostrar la intersección de dos gráficas . Depende de su calculadora qué teclas deberá presionar; lea el manual para saberlo. Por lo general este procedimiento es el más rápido y fácil para determinar el punto de intersección de dos gráficas.
FIGURA 3.48
FIGURA 3.49
En la TI83 Plus, seleccione la opción 5:INTERSECT del menú CALC para determinar la intersección.
Una vez que haya seleccionado la característica INTERSECT, la calculadora mostrará
First curve?
En ese momento, mueva el cursor a lo largo de la primera línea hasta que esté cerca del punto de intersección.
Luego presione la tecla ENTER . Ahora la calculadora mostrará
Second curve?
El cursor aparecerá entonces en la segunda línea. Si el cursor no está cerca del punto de intersección, muévalo a
lo largo de esta línea hasta colocarlo ahí. Ahora presione ENTER . A continuación la calculadora mostrará
Guess?
Presione ENTER otra vez; el punto de intersección aparecerá en la pantalla.
La figura 3.49 muestra la ventana después de que se ha realizado este procedimiento. Vemos que la coordenada
1
1
x del punto de intersección es 1.333. . . o -1 3, y que la coordenada y del punto de intersección es 3.333. . . o 3 3 .
Para practicar el uso de una calculadora graficadora en la resolución de ecuaciones en una variable, resuelva los ejercicios 65 a 68.
Conjunto de ejercicios 3.3
Ejercicios conceptuales
1. ¿Cuál es la forma general de un ecuación lineal?
2. Si le dan una ecuación lineal en forma general y desea
escribirla por medio de notación de funciones, ¿cómo lo
haría?
3. Explique cómo localizar las intersecciones de los ejes x y
y en la gráfica de una ecuación.
4. ¿Qué términos utiliza una calculadora graficadora para indicar la intersección del eje x?
5. ¿Cómo es la gráfica que se obtiene de x a para cualquier
número real a?
6. ¿Cómo es la gráfica que se obtiene de y b para cualquier número real b?
7. ¿Cómo es la gráfica que se obtiene de f(x) b para cualquier número real b?
8. ¿La gráfica de x a es una función? Explique.
9. Explique cómo resolver gráficamente una ecuación en una
variable.
10. Explique cómo resolver gráficamente la ecuación 2(x 1)
3x 5.
Sección 3.3 • Funciones lineales: gráficas y aplicaciones • 165
Problemas de aplicación
Escriba cada ecuación en la forma general.
11. y = - 2x + 4
12. 2x = 3y - 6
13. 31x - 22 = 41y - 52
14.
1
y = 21x - 32 + 4
3
Grafique cada ecuación por medio de las intersecciones de los ejes x y y.
15. y = - 2x + 4
16. y = x - 5
19. 2y = 4x + 6
20. x + 2y = 4
23. 15x + 30y = 60
24. 0.2x - 0.3y = 1.2
27. 120x - 360y = 720
28. 125 = 25x - 25y
17. f1x2 = 2x + 3
4
x = y - 3
21.
3
25. 0.25x + 0.50y = 1.00
1
1
x + y = 12
29.
3
4
18. f1x2 = - 6x + 5
1
x + 2y = 4
2
26. -1.6y = 0.4x + 9.6
1
1
x + y = -1
30.
6
2
22.
Grafique cada ecuación.
31. y = - 2x
35. 2x + 4y = 0
1
x
2
36. - 6x + 3y = 0
32. y =
1
x
3
37. 4x - 6y = 0
33. f1x2 =
34. g1x2 = 4x
38. 15x + 5y = 0
Grafique cada ecuación.
39. y = 4
40. x = 4
43. y = - 1.5
44. f1x2 = - 3
47. x = 0
48. x = - 3.25
41. x = - 4
5
45. x =
2
42. y = - 4
46. g1x2 = 0
Resolución de problemas
49. Distancia Por medio de la fórmula de distancia
distancia velocidad tiempo, o d rt
trace una gráfica de distancia contra tiempo para una velocidad constante de 30 millas por hora.
50. Interés simple Por medio de la fórmula interés simple
interés capital tasa tiempo, o i prt
trace una gráfica de interés contra tiempo para un capital
de $500 y una tasa de 3%.
51. Utilidades La utilidad de un fabricante de bicicletas puede
calcularse por medio de la función p(x) 60x 80,000, en
donde x es el número de bicicletas producidas y vendidas.
a) Trace una gráfica de utilidad contra el número de bicicletas vendidas (hasta 5000).
b) Calcule el número de bicicletas que deben venderse
para que la compañía alcance el punto de equilibrio.
c) Calcule el número de bicicletas que deben venderse
para que la compañía tenga una utilidad de $150,000.
52. Costo de operación de un taxi El costo semanal de operación del taxi de Raúl López es de $75 más 15 centavos
por milla.
a) Escriba una función que exprese el costo semanal de
Raúl, c, en términos del número de millas, m.
b) Trace una gráfica que ilustre el costo semanal contra
el número de millas, hasta 200, recorridas por semana.
c) Si durante una semana Raúl conduce el taxi 150 millas,
¿cuál sería su costo?
d) ¿Cuántas millas tendría que conducir Raúl para que
su costo semanal fuese de $147?
53. Salario más comisión El salario semanal de Jimena Olguín
es de $500 más 15% de comisión sobre sus ventas semanales.
a) Escriba una función que exprese el salario semanal de
Jimena, s, en términos de sus ventas semanales, x.
b) Trace una gráfica del salario semanal de Jimena contra
sus ventas semanales (hasta $5000).
c) ¿Cuál es el salario semanal de Jimena si sus ventas son
de $2500?
d) Si en una semana Jimena recibe $1025 de salario, ¿de
cuánto fueron sus ventas?
54. Salario más comisión Luisa Pineda, una agente de bienes
raíces, gana $150 por semana más 1% de comisión sobre
la venta de cada propiedad.
a) Escriba una función que exprese su salario semanal, s,
en términos de las ventas, x.
166 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
b) Trace una gráfica de su salario contra sus ventas semanales (hasta de $100,000).
c) Si Luisa vende cada semana una propiedad con valor
de $80,000, ¿cuál será su salario semanal?
1600
1200
Dólares
55. Peso La siguiente gráfica muestra el peso, en kilogramos,
de un grupo de niñas (de hasta 36 meses de edad) contra
su estatura, en centímetros. La línea más gruesa representa
el peso promedio de todas las niñas de la estatura dada, y
las líneas más delgadas representan los límites superior e
inferior del rango normal.
Crecimiento exponencial
($1000 invertidos a 7%
de interés anual)
800
Crecimiento lineal
($10 cada año
en su alcancía)
400
Crecimiento físico de un grupo de niñas (desde recién
nacidas hasta los 36 meses de edad)
0
0
10
20
20
18
16
Peso (kilogramos)
30
40
50
60
Años
14
12
10
8
6
4
2
0
45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
Estatura (centímetros)
Fuente: Centro Nacional de Estadísticas de Salud de Estados Unidos.
a) Explique por qué la línea gruesa representa una
función.
b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente?
Si un niño guarda en su alcancía $10 cada año, sus ahorros
crecerán linealmente, como muestra la línea inferior. Si,
al cumplir diez años el niño invierte $100 en una cuenta con
un interés compuesto de 7% anual, sus ahorros crecerán
de manera exponencial.
a) Explique por qué ambas gráficas representan funciones.
b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente?
c) Por medio de la curva de crecimiento lineal, determine cuánto tiempo necesitaría el niño para ahorrar $600.
d) Por medio de la curva de crecimiento exponencial, la
cual inicia en el año 10, determine ¿cuánto tiempo después de abrir la cuenta los ahorros del niño llegarían
a $600?
e) A partir del año 20 ¿cuánto tiempo pasaría para que el
dinero se duplicara si creciera a una tasa lineal?
f) A partir del año 20 ¿cuánto tiempo pasaría para que el
dinero se duplicara si creciera a una tasa exponencial?
57. ¿Cuándo, si sucede, las intersecciones de los ejes x y y de
una gráfica serán iguales? Explique.
c) ¿La gráfica del peso contra la estatura es más o menos
lineal?
58. Escriba dos funciones lineales cuyas intersecciones de los
ejes x y y sean (0, 0).
d) ¿Cuál es el peso, en kilogramos, de la niña promedio
con una estatura de 85 centímetros?
59. Escriba una función cuya gráfica no tenga intersección del
eje x, pero sí intersección del eje y en (0, 4).
e) ¿Cuál es la altura, en centímetros, de la niña promedio
con un peso de 7 kilogramos?
60. Escriba una ecuación cuya gráfica no tenga intersección
del eje y, pero sí intersección del eje x en 2.
f) ¿Qué rango de peso se considera normal para una niña de 95 centímetros de estatura?
61. Si las intersecciones de los ejes x y y de una función lineal
están en 1 y 3, respectivamente, ¿cuáles serán las nuevas intersecciones de los ejes x y y si la gráfica se mueve (o
traslada) tres unidades hacia arriba?
g) ¿Qué le sucede al rango normal conforme aumenta
la estatura? ¿Esto es lo esperaba que sucediera? Explique.
56. Interés compuesto La siguiente gráfica ilustra el efecto
del interés compuesto.
62. Si las intersecciones de los ejes x y y de una función lineal
son 1 y 3, respectivamente, ¿cuáles serán las nuevas intersecciones de los ejes x y y, si la gráfica se mueve (o traslada) cuatro unidades hacia abajo?
En los ejercicios 63 y 64 se dan dos pares ordenados que son las intersecciones de los ejes x y y de una gráfica. a) Trace los puntos y
dibuje una línea para unirlos. b) Determine el cambio en y, o cambio vertical, entre las intersecciones. c) Determine el cambio en x, o
cambio horizontal, entre las intersecciones. d) Determine la razón del cambio vertical al cambio horizontal entre estos dos puntos.
¿Sabe lo que representa esta razón? (Estudiaremos esto con más detalle en la sección 3.4.)
63. 10, 22 y 1 -4, 02
64. 13, 52 y 1- 1, -12
Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 167
Despeje x en cada ecuación como se hizo en el ejemplo 9. Si cuenta con ella, utilice una calculadora graficadora; de lo contrario trace
la gráfica usted mismo.
65. 3x + 2 = 2x + 3
66. -21x - 22 = 31x + 62 + 1
67. 0.31x + 52 = - 0.61x + 22
68. 2x +
1
1
= 5x 4
2
Con ayuda de su calculadora graficadora, localice las intersecciones de los ejes x y y de la gráfica de cada ecuación.
69. y = 21x + 3.22
70. 5x - 2y = 7
71. -4x - 3.2y = 8
72. y =
3
1
x 5
2
Ejercicios de repaso acumulativo
73. Evalúe 452 - 3311 - 42 - 546 - 2.
[2.1] 74. Resuelva
1
y - 3y = 61y + 22.
3
[2.6] En los ejercicios 75 a 77 a) explique el procedimiento para despejar x en cada ecuación o desigualdad (suponga que b 0), y
b) resuelva la ecuación o desigualdad.
75.
77.
ƒx - aƒ = b
ƒx - aƒ 7 b
ƒx - aƒ 6 b
76.
78. Resuelva la ecuación ƒ x - 4 ƒ = ƒ 2x - 2 ƒ .
3.4 LA FORMA PENDIENTE INTERSECCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL
1
2
3
4
5
6
1
Entender la traslación de gráficas.
Determinar la pendiente de una recta.
Reconocer la pendiente como una razón de cambio.
Escribir ecuaciones lineales en la forma pendiente intersección.
Graficar ecuaciones lineales por medio de la pendiente y la
intersección del eje y.
Usar la forma pendiente–intersección para construir modelos a
partir de gráficas.
Entender la traslación de gráficas
En esta sección estudiaremos la traslación de gráficas, el concepto de pendiente, y la
forma pendiente intersección de una ecuación lineal.
Considere estas tres ecuaciones
y = 2x + 3
y = 2x
y = 2x - 3
La gráfica de cada una de estas ecuaciones aparece en la figura 3.50.
y 2x
y
6
3 unidades
hacia arriba
5
4
3
3 unidades
hacia abajo
1
6 5 4 3 2 1
y 2x 3
2
3
5
6
FIGURA 3.50
1
2
3
4
y 2x 3
5
6
x
168 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
¿Cuáles son las intersecciones del eje y de y 2x 3, y 2x (o y 2x 0), y
y 2x 3? Las intersecciones del eje y están en (0, 3), (0, 0) y (0, 3), respectivamente. Observe que la gráfica de y 2x 3 es también la gráfica de y 2x desplazada, o
trasladada, 3 unidades hacia arriba, y que y 2x 3 es la gráfica de y 2x trasladada 3 unidades hacia abajo. Las tres rectas son paralelas; esto es, no se intersectan sin
importar cuánto se extiendan.
A partir de esta información, ¿podría conjeturar cuál es la intersección del eje y de
y 2x 4? ¿Y la intersección del eje y de y = 2x - 53 ? Si respondió (0, 4) y A 0, - 53 B ,
respectivamente, es correcto. En efecto, la gráfica de una ecuación con la forma y 2x
b, tendrá una intersección del eje y en (0, b).
Ahora considere las gráficas de las ecuaciones y = - 13 x + 4, y = - 13 x y y 1
- 3 x - 2, mismas que se muestran en la figura 3.51. Las intersecciones del eje y de las
tres rectas son (0, 4), (0, 0) y (0, 2), respectivamente. La gráfica de y = - 13 x + b
tendrá una intersección del eje y en (0, b).
y
y ax 4
7
6
5
4
y ax
3
2
1
7 6 5
3 2 1
1
y ax 2
1
3
4
5
x
2
3
4
5
FIGURA 3.51
Al observar las ecuaciones anteriores, sus gráficas e intersecciones del eje y,
¿podría determinar la intersección del eje y de la gráfica que se obtiene de y mx b, en donde m y b son números reales? Si su respuesta es (0, b), contestó correctamente. En general, la gráfica de y mx b, en donde m y b son números reales, tiene una
intersección del eje y en (0, b).
Si observamos las gráficas de la figura 3.50, nos daremos cuenta de que la pendiente (o inclinación) de las tres parece igual, y lo mismo ocurre con la pendiente de
las gráficas de la figura 3.51, aunque de manera diferente.
Si consideramos la ecuación y mx b, en donde la b determina la intersección
del eje y de la recta, podemos concluir que la m es responsable de la pendiente (o inclinación) de la recta.
2
Determinar la pendiente de una recta
Ahora hablemos acerca de la pendiente. La pendiente de una recta es la razón del
cambio vertical (o elevación) respecto del cambio horizontal (o desplazamiento) entre
cualesquiera dos puntos de la recta. Considere la gráfica que se obtiene de y 2x (la
recta central entre las que aparecen en la figura 3.50, y que se repite en la figura 3.52a).
Dos puntos en esta línea son (1, 2) y (3, 6). Determinemos la pendiente de la recta a
partir de estos puntos. Si dibujamos una línea paralela al eje x de tal manera que pase
por el punto (1, 2), y una línea paralela al eje y que pase por el punto (3, 6), ambas se intersectarán en el punto (3, 2), tal como muestran las líneas punteadas en la figura 3.52b.
Con la gráfica de la figura 3.52b podemos determinar la pendiente de la recta. El
cambio vertical (a lo largo del eje y) es 6 2, o 4 unidades. El cambio horizontal (a lo
largo del eje x) es 3 1, o 2 unidades.
pendiente =
cambio vertical
4
=
= 2
cambio horizontal
2
Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 169
y
7
6
y
7
(3, 6)
5
6
5
y 2x
4
y
y 2x
7
1 a la derecha
5 2 arriba
4
3
2
1
2
1
2
3
(3, 2)
Cambio horizontal, 3 1 2
x
1 2 3 4 5 6
1
4
5
x
6
2 1
(a)
FIGURA 3.52
1
2
(1, 2)
1
2 1
Cambio vertical,
624
3
2
6
(3, 6)
(1, 2)
4
3
2 1
y 2x
3
4
5
6
x
FIGURA 3.53
(b)
Por lo tanto, la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3, 6) y (1, 2) es 2. Al examinar la recta que conecta estos dos puntos, podemos ver que por cada 2 unidades que
la gráfica se desplaza hacia arriba en el eje y, se mueve 1 unidad hacia la derecha en el
eje x (vea la figura 3.53).
Hemos determinado que la pendiente de la gráfica que se obtiene de y 2x es
2. Si calculáramos la pendiente de las otras dos rectas de la figura 3.50, veríamos que
las gráficas que se obtienen de y 2x 3 y y 2x 3 también tienen una pendiente
de 2.
¿Puede conjeturar cuál es la pendiente de las gráficas de las ecuaciones y 3x
2, y 3x y y 3x 2? La pendiente de las tres rectas es 3. En general, la pendiente de una ecuación con la forma y mx b es m.*
Ahora determinemos el procedimiento para encontrar la pendiente de una recta
que pasa por los dos puntos (x1, y1) y (x2, y2). Observe la figura 3.54. Podemos determinar el cambio vertical restando y1 de y2, y el cambio horizontal restando x1 de x2.
y
Punto 2 (x2, y2)
y2
y1
(x2, y1)
x1
FIGURA 3.54
DEFINICIÓN
Cambio vertical, y2 y1
Punto 1
(x1, y1)
x2
x
Cambio horizontal, x2 x1
La pendiente de una recta que pasa por los puntos distintos (x1 y1)y (x2, y2) es
pendiente =
cambio en y (cambio vertical)
cambio en x (cambio horizontal)
=
y2 - y1
x2 - x1
siempre y cuando x1 x2.
Al determinar la pendiente de una recta, no importa cuáles sean los dos puntos
que elijamos, ni a cuál de ellos denominemos (x1, y1) o (x2, y2). Como se mencionó
antes, la letra m se utiliza para representar la pendiente de una recta. La letra griega
mayúscula delta, , se utiliza para representar las palabras “el cambio en”.
*La letra m se usa tradicionalmente para representar la pendiente. Se cree que m proviene de la palabra francesa monter, que significa escalar.
170 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Así, en ocasiones la pendiente se indica como
y
5
4
3
2
1
m =
5 4 3 2 1
1
1 2 3 4 5
x
2
3
4
5
¢y
y2 - y1
=
x2 - x1
¢x
EJEMPLO 1
Determine la pendiente de la recta de la figura 3.55.
Solución Dos puntos de la recta son (2, 3) y (1, 4). Sea (x2, y2) (2, 3) y
(x1,y1) (1, 4). Entonces
m =
FIGURA 3.55
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35
3 - 1- 42
y2 - y1
3 + 4
7
=
=
= x2 - x1
-2 - 1
-3
3
La pendiente de la recta es - 73 . Observe que si hubiéramos determinado (x1, y1) (2, 3) y (x2, y2) (1, 4), la pendiente seguiría siendo - 73 . Compruébelo.
✺
Una recta que se eleva de izquierda a derecha (figura 3.56a) tiene una pendiente
positiva. Una recta que no se eleva ni desciende de izquierda a derecha (figura 3.56b)
tiene pendiente cero. Una recta que desciende de izquierda a derecha (figura 3.56c) tiene una pendiente negativa.
Pendiente positiva
Pendiente negativa
Pendiente cero
y
y
4
4
3
3
y
4
2
2
1
1
1
4 3 2 1
1
1
2
3
4
x
4 3 2 1
1
2
2
3
3
4
4
1
2
3
4
x
4 3 2 1
1
1
2
3
4
x
2
3
4
Pendiente indefinida
(a)
y
6
5
2
FIGURA 3.56
x3
(3, 2)
1
2 1
1
(c)
(3, 5)
4
3
(b)
1
2
4
5
6
x
Considere la gráfica que se obtiene de x 3 (figura 3.57). ¿Cuál es su pendiente?
La gráfica es una recta vertical que pasa por los puntos (3, 2) y (3, 5). Sea (3, 5) el punto
correspondiente a (x2, y2) y sea (3, 2) el punto correspondiente a (x1, y1). Entonces, la
pendiente de la recta es
2
m =
FIGURA 3.57
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19
SUGERENCIA
y2 - y1
5 - 2
3
=
=
x2 - x1
3 - 3
0
Como no tiene sentido dividir entre 0, decimos que la pendiente de esta recta es indefinida. La pendiente de cualquier recta vertical es indefinida.
Cuando se pide a los estudiantes que determinen la pendiente de una recta horizontal o
vertical, con frecuencia responden de manera incorrecta. En el primer caso, su respuesta
debería ser “la pendiente es 0”. Si usted responde “no tiene pendiente”, su profesor podría
considerar que su contestación es incorrecta, ya que esa frase puede tener varias interpretaciones. Cuando se le pida determinar la pendiente de una recta vertical, su respuesta debe
ser “la pendiente es indefinida”. Nuevamente, si usted utiliza la frase “no tiene pendiente”, su
profesor podría interpretarla en otro sentido y calificar su respuesta como incorrecta.
Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 171
3
Reconocer la pendiente como una razón de cambio
En ocasiones es útil describir la pendiente como una razón de cambio. Considere una
5
pendiente de 3 . Esto significa que el valor de y aumenta 5 unidades por cada aumento
de 3 unidades en x. De forma equivalente, podemos decir que el valor de y aumen5
ta 3 unidades, o 1.6 unidades por cada aumento de 1 unidad en x. Cuando establecemos el cambio en y en relación con el cambio en unidades en x, estamos determinando
la pendiente como una razón de cambio. Esto puede ser de utilidad cuando analizamos
situaciones de la vida real o al crear modelos matemáticos.
EJEMPLO 2
Deuda pública La siguiente tabla de valores y la gráfica correspondiente (figura 3.58)
ilustran la deuda interna de Estados Unidos en miles de millones de dólares, entre
1910 y 2002.
Año
Deuda interna de Estados Unidos
(miles de millones de dólares)
1910
1.1
1930
16.1
1950
256.1
1970
370.1
1990
3323.3
2002
5957.2
Fuente: Departamento del Tesoro de Estados Unidos,
Oficina de Deuda Interna.
Deuda pública (mil millones de dólares)
Deuda interna de Estados Unidos
(miles de millones de dólares)
6000
5500
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
1910 1930 1950 1970 1990 2010
Año
FIGURA 3.58
a) Determine la pendiente de los segmentos de recta entre 1910 y 1930, y entre 1970
y 2002.
b) Compare las dos pendientes determinadas en la parte a) y explique qué significa esto en términos de la deuda interna de Estados Unidos.
Solución
a) Entienda el problema Para determinar la pendiente entre cualesquiera par de
años, calcule la razón del cambio en la deuda en relación al cambio en los años.
Pendiente de 1910 a 1930
m =
16.1 - 1.1
15
=
= 0.75
1930 - 1910
20
La deuda pública de Estados Unidos aumentó a razón de $0.75 miles de millones por
año entre 1910 y 1930.
Pendiente de 1990 a 2002
m =
5957.2 - 3323.3
2633.9
=
L 219.49
2002 - 1990
12
La deuda pública de Estados Unidos aumentó a razón de más o menos $219.49 miles
de millones por año entre 1990 y 2002.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 67
b) La pendiente mide una razón de cambio. Al comparar las pendientes de los dos periodos, se observa un incremento mucho mayor en la razón de cambio promedio de la
deuda interna entre 1990 y 2002 que entre 1910 y 1930. La pendiente del segmento de
recta de 1990 a 2002 es mayor que la pendiente de cualquier otro segmento de recta
de la gráfica. Esto indica que la deuda interna creció entre 1990 y 2002 en una razón
mayor que en cualquier otro de los periodos ilustrados.
✺
172 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
4
Escribir ecuaciones lineales en la forma pendiente intersección
Ya hemos mostrado que para una ecuación con la forma y mx b, m representa la
pendiente y b la intersección del eje y. Por esta razón, se dice que las ecuaciones lineales escritas en la forma y mx b están en la forma pendiente intersección (o forma
pendiente ordenada al origen).
DEFINICIÓN
La forma pendiente intersección de una ecuación lineal es
y = mx + b
en donde m es la pendiente de la recta y (0, b) es la intersección del eje y de la recta.
Ejemplos de ecuaciones en forma pendiente intersección
y =
y = 3x - 6
1
3
x +
2
2
La intersección del eje y es (0, b)
Pendiente
y = mx + b
Ecuación
Pendiente
y = 3x - 6
1
3
y = x +
2
2
3
Intersección del eje y
10, - 62
3
a0, b
2
1
2
Para escribir una ecuación en la forma pendiente intersección, despeje y en la ecuación.
EJEMPLO 3
Solución
Determine la pendiente y la intersección del eje y de la ecuación 5x 2y 6.
Escriba la ecuación en la forma pendiente intersección, despejando y.
- 5x + 2y = 6
2y = 5x + 6
5x + 6
2
6
5x
+
y =
2
2
y =
y =
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45
5
x + 3
2
5
La pendiente es ; la intersección del eje y es (0, 3).
2
✺
5 Graficar ecuaciones lineales por medio de la pendiente
y la intersección del eje y
Una razón para estudiar la forma pendiente intersección de una recta es que puede ser
útil al trazar la gráfica de una ecuación lineal, como se ilustra en el ejemplo 4.
Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 173
EJEMPLO 4
Solución
Grafique 2y 4x 6 por medio de la pendiente y la intersección del eje y.
Empiece por despejar y para obtener la ecuación en la forma pendiente intersección.
y
2y + 4x = 6
2y = - 4x + 6
y = - 2x + 3
5
3
2y 4x 6
2
1
3 2 1
1
2
3
4
5
x
2
3
FIGURA 3.59
y
En el ejemplo 4 elegimos movernos hacia abajo y a la derecha para obtener el
segundo y tercer puntos. También podríamos haber decidido movernos hacia arriba y
hacia la izquierda para lograrlo.
6
5
4
3
2
1
EJEMPLO 5
3 2 1
1
1 2 3 4 5 6 7
2
3
4
f(x) dx 3
x
FIGURA 3.60
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 51
Grafique f1x2 =
sección del eje y.
4
x - 3 por medio de la pendiente y la inter3
Solución
Ya que f(x) es lo mismo que y, esta función está en la forma pendiente intersección. La intersección del eje y es (0, 3), y la pendiente es 4/3. Coloque en
el eje y un punto en 3. Luego, como la pendiente es positiva, obtendrá el segundo y
tercer puntos moviéndose cuatro unidades hacia arriba y tres unidades hacia la derecha; la gráfica resultante se muestra en la figura 3.60.
✺
Usar la forma pendiente–intersección para construir modelos a partir de gráficas
Con frecuencia podemos utilizar la forma pendiente intersección de una ecuación lineal
para determinar una función que represente (o modele) una situación de la vida real.
El ejemplo 6 muestra cómo.
EJEMPLO 6
Periódicos Observe la gráfica de la figura 3.61, la cual muestra la disminución del número de adultos estadounidenses que leen el periódico todos los días. Observe que la
gráfica es casi lineal.
a) Escriba una función lineal cuya gráfica sea semejante a la que se muestra.
b) Suponiendo que esta tendencia continúa, calcule el porcentaje de adultos que leerán
diariamente un periódico en 2005; utilice la función determinada en la parte a).
Porcentaje de adultos estadounidenses que leen diariamente un periódico
80
Porcentaje (%)
6
La pendiente es 2, y la intersección del eje y es (0, 3). En el eje y coloque un punto
en 3 (figura 3.59). Luego utilice la pendiente para obtener un segundo punto. La pendiente es negativa; por lo tanto, la gráfica debe descender conforme va de izquierda a
derecha. Como la pendiente es 2, la razón del cambio vertical respecto del cambio
2
horizontal debe ser de 2 a 1 (recuerde, 2 significa 1 ). Por lo tanto, si comenzamos en y
3 y nos movemos dos unidades hacia abajo y una unidad hacia la derecha, obtendremos un segundo punto en la gráfica.
Continúe este proceso, moviéndose 2 unidades hacia abajo y 1 unidad a la derecha
para obtener un tercer punto.Ahora trace una recta que pase por los tres puntos.
✺
70
PROYECTADO
60
50
40
1965
’70
’75
’80
’85
’90
’95
2000
Año
FIGURA 3.61
Fuente: NAA Market & Business Analysis; proyecciones de la revista Newsweek.
’05
’10
’15
174 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Solución
a) Para facilitar el trabajo con los números, seleccionaremos 1965 como año de referencia.
Entonces podemos reemplazar 1965 con 0, 1966 con 1, 1967 con 2, y así sucesivamente;
de acuerdo con ello, 2001 sería 36 (vea la figura 3.62).
Porcentaje de adultos estadounidenses que leen diariamente un periódico
Porcentaje (%)
80
70
PROYECTADO
60
50
40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Número de años desde 1965
FIGURA 3.62
Fuente: NA Market & Business Analysis; proyecciones de la revista Newsweek.
Si denominamos al eje vertical y y al eje horizontal x, entonces la intersección del
eje y es 80. El par ordenado que representa la intersección del eje y es (0, 80). Aparentemente en 2001 alrededor de 57% de la población estadounidense adulta leía diariamente un periódico. Seleccionemos (36, 57) como un segundo punto en la gráfica que
trazamos en la figura 3.62. Designamos (36, 57) como (x2, y2) y (0, 80) como (x1, y1).
pendiente =
cambio en porcentaje
cambio en año
=
y2 - y1
23
57 - 80
=
= L - 0.64
x2 - x1
36 - 0
36
Como la pendiente es aproximadamente 0.64 y la intersección del eje y es (0, 80),
la ecuación de la línea recta es y 0.64x 80. En notación de funciones, esta ecuación es f(x) 0.64x 80. Para usar esta función recuerde que x 0 representa a
1965, x 1 representa a 1966, etcétera. Observe que f(x), el porcentaje, es una función
de x, el número de años a partir de 1965.
b) Para determinar el porcentaje aproximado de lectores de diarios que habrá en 2005,
y como 2005 1965 40, sustituimos x por 40 en la función.
f1x2 = - 0.64x + 80
f1402 = - 0.641402 + 80
= - 25.6 + 80
= 54.4
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 71
Por lo tanto, si la tendencia actual continúa, alrededor de 54% de los adultos estadounidenses leerán el periódico todos los días en 2005 (figura 3.62).
✺
Conjunto de ejercicios 3.4
Ejercicios conceptuales
1. Explique cómo determinar la pendiente de una línea a
partir de su gráfica.
2. Explique qué significa que la pendiente de una recta sea
negativa.
3. Explique qué significa que la pendiente de una recta sea
positiva.
4. ¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal? Explique.
5. ¿Por qué la pendiente de una recta vertical es indefinida?
6. a) Por medio de la fórmula para calcular la pendiente,
y2 - y1
m =
, determine la pendiente de la recta forx2 - x1
mada a partir de los puntos (3, 4) y (4, 6). Utilice (3, 4)
como (x1, y1).
b) Calcule la pendiente nuevamente, pero esta vez utilice
(4, 6) como (x1, y1).
c) Al determinar la pendiente por medio de la fórmula,
¿su respuesta será la misma sin importar cuál de los
puntos designe como (x1, y1)? Explique.
Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 175
7. Explique cómo se escribe en forma pendiente intersección
una ecuación dada en forma general.
8. En la ecuación y mx b, ¿qué representa m? ¿Qué representa b?
9. a) ¿Qué significa trasladar una gráfica tres unidades hacia
abajo?
b) Si la intersección del eje y de una gráfica es (0, 3) y
la gráfica se traslada tres unidades hacia abajo, ¿cuál
será la nueva intersección del eje y?
10. a) ¿Qué significa trasladar una gráfica cuatro unidades
hacia arriba?
b) Si la intersección del eje y de una gráfica es (0, 2) y la
recta se traslada cuatro unidades hacia arriba, ¿cuál será la nueva intersección del eje y?
11. ¿Qué significa que la pendiente esté dada como una razón
de cambio?
12. Explique cómo graficar una ecuación lineal por medio de
su pendiente y su intersección del eje y.
Problemas de aplicación
Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados. Si la pendiente de la recta es indefinida, indíquelo.
13. 12, 52 y 10, 92
14. 12, 32 y 15, 42
19. 14, 22 y 14, -12
20. 18, -42 y 1-1, -22
16. 1 -3, 52 y 15, - 32
22. 12, 32 y 1 -5, 32
15. 15, 22 y 11, 42
17. 1 -3, 52 y 12, 02
18. 12, 32 y 12, -32
23. 1 - 2, 32 y 17, - 32
24. 12, - 42 y 1-5, - 32
21. 1- 3, 42 y 1-1, 42
Despeje la variable dada si la recta que pasa por los dos puntos indicados tiene la pendiente que se señala.
25. 13, 22 y 14, b2, m = 1
26. 1 - 4, 32 y 1- 2, b2, m = - 3
29. 1x, 22 y 13, -42, m = 2
30. 1- 2, - 32 y 1x, 42, m =
27. 15, 32 y 11, k2, m =
28. 15, d2 y 19, 22, m = - 4
1
2
3
31. 12, -22 y 1r, -12, m = -
1
2
1
2
32. 1- 4, -12 y 1x, 22, m = -
3
5
Determine la pendiente de la recta en cada una de las gráficas. Si la pendiente de la recta es indefinida, indíquelo. Luego escriba una
ecuación de la recta dada.
33.
34.
y
y
4
3
2
1
4 3 2 1
1
4
3
2
1
1 2 3 4
x
4 3 2 1
1
2
3
4
35.
36.
y
x
1 2 3 4
x
y
4
3
4
3
1
1
1
1
2
3
4
1 2 3 4
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7
x
4 3
1
1
2
3
4
176 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
37.
38.
y
y
4
3
2
1
4
3
2
1
4 3
1
1
2
3
4
39.
1 2 3 4
4 3 2 1
1
x
40.
1 2
4
x
10
20
x
y
4
3
2
1
4
2
1
1 2 3 4
4 3 2 1
1
x
2
3
4
2
3
4
41.
x
3
4
y
4 3 2 1
1
1 2 3 4
42.
y
y
20
10
10
20
10
10
20
x
10
10
10
20
20
Escriba cada ecuación en la forma pendiente intersección (si no está dada en esa forma). Determine la pendiente y la intersección del
eje y; utilícelas para trazar la gráfica de la ecuación lineal.
43. y = - x + 2
46. -2x = 3y + 6
44. - 3x + y = 6
47. - 50x + 20y = 40
45. 5x + 15y = 30
48. 60x = - 30y + 60
Utilice la pendiente y la intersección del eje y para graficar cada función.
50. g1x2 =
49. f1x2 = - 2x + 1
2
x - 4
3
3
51. h1x2 = - x + 2
4
52. h1x2 = -
2
x + 4
5
Resolución de problemas
53. Dada la ecuación y mx b, para los valores de m y b señalados, relacione las partes a) a d) con las gráficas apropiadas entre las numeradas del 1 al 4.
a) m 7 0, b 6 0
b) m 6 0, b 6 0
c) m 6 0, b 7 0
d) m 7 0, b 7 0
1.
2.
3.
4.
y
x
y
x
y
x
y
x
Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 177
54. Dada la ecuación y mx b, para los valores de m y b señalados, relacione las partes a) a d) con las gráficas apropiadas entre
las numeradas del 1 al 4.
c) m es indefinida,
d) m es indefinida,
a) m = 0, b 7 0
b) m = 0, b 6 0
intersección del eje x
intersección del eje x 0
1.
2.
y
x
y
4
3
2
1
1
3
4
5
6
2
3
4
5
6
x
(0, 5)
60. En la siguiente gráfica, la recta superior (en rojo) es una
traslación de la recta inferior.
a) Determine la ecuación de la recta inferior.
b) Utilice la ecuación de la recta inferior para determinar
la ecuación de la recta superior.
y
5
(0, r)
3
2
1
6 5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
x
4.
y
y
x
x
55. En la siguiente sección estudiaremos las rectas paralelas.
Con base en lo que ha leído en esta sección, explique cómo podría determinar (sin graficar) que las rectas de dos
ecuaciones son paralelas.
56. ¿Cómo podría determinar si dos rectas son paralelas?
4
57. Si un punto de la gráfica es (6, 3) y su pendiente es 3 , determine la intersección del eje y.
58. Si un punto de la gráfica es (6, 1) y su pendiente es m = 23 ,
determine la intersección del eje y.
59. En la siguiente gráfica, la recta de la derecha es una traslación de la recta de la izquierda.
a) Determine la ecuación de la recta de la izquierda.
b) Utilice la ecuación de la recta de la izquierda para determinar la ecuación de la recta de la derecha.
6 5 4 3 2 1
3.
y
x
61. La recta que se obtiene al graficar y x 1 se traslada tres
unidades hacia arriba. Determine
a) la pendiente de la gráfica trasladada.
b) la intersección del eje y de la gráfica trasladada.
c) la ecuación de la gráfica trasladada.
62. La recta que resulta al graficar y = - 32 x + 3 se traslada
cuatro unidades hacia abajo. Determine
a) la pendiente de la gráfica trasladada.
b) la intersección del eje y de la gráfica trasladada.
c) la ecuación de la gráfica trasladada.
63. La recta que resulta al graficar 3x 2y 6 se traslada
cuatro unidades hacia abajo. Determine la ecuación de la
gráfica trasladada.
64. La recta que resulta al graficar 3x 5y 10 se traslada
dos unidades hacia arriba. Determine la ecuación de la
gráfica trasladada.
65. Si una línea pasa por los puntos (6, 4) y (4, 2), determine
el cambio de y respecto del cambio de una unidad en x.
66. Si una línea pasa por los puntos (3, 4) y (5, 2), determine el cambio de y respecto del cambio de una unidad en x.
67. Gastos de Amtrak La compañía de transporte estadounidense National Railroad and Passenger Corporation, mejor
conocida como Amtrak, continúa enfrentando problemas
económicos. Desde 1985, sus gastos han crecido mucho
más rápido que sus ingresos. En la siguiente tabla se listan
los gastos, en millones de dólares, en que incurrió Amtrak
en años seleccionados.
Año
Gastos de Amtrak
(en millones de dólares)
1985
$1600
1990
$2012
1995
$2257
2000
$2876
Fuente: Amtrak, año fiscal 2000
(Informe Anual).
a) Trace estos puntos en una gráfica.
b) Conecte estos puntos utilizando segmentos de recta.
178 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
c) Determine la pendiente de cada uno de los tres segmentos de recta.
d) ¿En qué periodo tuvo lugar la razón de cambio promedio más grande? Explique.
68. Computadoras veloces Cada año las computadoras se
vuelven más rápidas y poderosas. En la siguiente tabla se registra la velocidad, en miles de millones de operaciones por
segundo, de las llamadas “súper computadoras” en años
seleccionados.
70. Umbral de pobreza El gobierno estadounidense define el
umbral de pobreza en relación al ingreso familiar anual
necesario para gozar lo que la sociedad define como estándar de vida mínimo aceptable. La siguiente gráfica de barras
muestra el umbral de pobreza para una familia de cuatro
integrantes entre 1995 y 2000.
Umbral de pobreza en Estados Unidos para una familia
de cuatro integrantes
Año
Operaciones por segundo
(miles de millones)
1994
143
1996
303
1997
1070
2001
7226
Ingreso familiar anual
19,000
17,603
18,000
17,000
16,000
15,569
15,000
14,000
13,000
0
Fuente: Departamento de energía de
Estados Unidos.
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Año
Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos.
a) Trace estos puntos en una gráfica.
b) Conecte los puntos utilizando segmentos de rectas.
c) Determine la pendiente de cada uno de los tres segmentos de recta.
d) ¿En qué periodo la razón de cambio promedio fue más
grande? Explique.
69. Ritmo cardiaco La siguiente gráfica de barras muestra el
ritmo cardiaco máximo recomendado bajo presión, en latidos por minuto, para hombres de diferentes edades. Las
barras están conectadas por medio de una línea recta.
a) Utilice la línea recta para determinar una función que
pueda usarse para calcular el ritmo cardiaco máximo
recomendado, h, para 0 x 50, en donde x es la edad
a partir de los 20 años.
b) Usando la función de la parte a), determine el ritmo
cardiaco máximo recomendado para un hombre de 34
años de edad.
200
c) Suponiendo que esta tendencia continúa, determine el
umbral de pobreza para una familia de cuatro integrantes en el año 2005.
d) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿en qué año
el umbral de pobreza para una familia de cuatro integrantes será de $20,000?
71. Debajo del umbral de pobreza El umbral de pobreza se
definió en el ejercicio 70. La siguiente gráfica muestra el
número de estadounidenses, en millones, que se encuentran debajo del umbral de pobreza entre 1996 y 2000.
190
200
180
Personas debajo del umbral de pobreza
170
180
160
160
150
140
120
100
80
60
40
40
35
30
36.5
31.1
25
20
20
0
b) Utilizando la función de la parte a), determine el umbral de pobreza en 1997. Compare su respuesta con la
gráfica para ver si corresponden.
Número de personas
(millones)
Ritmo cardiaco máximo recomendado
(latidos por minuto)
Ritmo cardiaco vs. edad
a) Determine una función lineal que pueda usarse para
calcular el umbral de pobreza de una familia de cuatro integrantes, P, entre 1995 y 2000. Sea t el número
de años desde 1995. (En otras palabras, 1995 corresponde a t 0, 1996 corresponde a t 1, y así sucesivamente).
20
30
40
50
Edad
Fuente: Sociedad Estadounidense de Geriatría.
60
70
1996
1997
1998
1999
Año
Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos.
2000
Sección 3.4 • La forma pendiente intersección de una ecuación lineal • 179
a) Con 1996 como año de referencia, determine una función lineal que pueda usarse para estimar el número
de personas, N, debajo del umbral de pobreza entre
1996 y 2000. En la función, t representa el número de
años desde 1996.
b) Utilizando la función de la parte a), estime el número
de personas que estaban debajo del umbral de pobreza
en 1998. Compare su respuesta con la gráfica para ver
si corresponden.
c) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿cuántas personas estarán debajo del nivel de pobreza en 2005?
d) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿en qué año
habrá 25 millones de personas debajo del nivel de pobreza?
72. Poder adquisitivo del dólar El poder adquisitivo del dólar se mide comparando el precio actual de ciertos artículos con los precios de esos mismos artículos en 1982. A
partir de la gráfica siguiente, verá que el poder adquisitivo del dólar ha descendido de manera constante entre
1990 y 2000. Esto significa que cada año el dólar tiene menos valor.
1.0
Dólares
b) Utilice la función de la parte a) para calcular el número de hospitales que había en Estados Unidos en 1995.
c) Si esta tendencia continúa, calcule el número de hospitales que habrá en Estados Unidos en 2005.
d) Si esta tendencia continúa, ¿en qué año el número de
hospitales será de 5,000 en Estados Unidos?
74. Disminución del tétanos Debido principalmente a amplias
campañas de vacunación, la incidencia del tétanos ha disminuido rápidamente en Estados Unidos. Esta disminución
ha sido casi lineal desde 1990. En 1990 hubo 64 casos reportados; en 2000, 26. Sea C el número de casos de tétanos
en Estados Unidos y t el número de años desde 1990. Fuente: Centros de Control y Prevención de Enfermedades.
a) Determine una función lineal C(t) que se ajuste a estos
datos.
b) Utilice la función de la parte a) para calcular el número de casos reportados en 1998.
c) Si esta tendencia continúa, calcule el número de casos
de tétanos que se reportarán en 2005.
d) Si esta tendencia continúa, determine en qué año se
habrá erradicado esta enfermedad en Estados Unidos.
Poder adquisitivo del dólar
0.8
a) Determine una función lineal n(t) que se ajuste a estos
datos.
0.766
0.581
0.6
0.4
75. Precios en bienes raíces El precio de las casas de tipo medio en Estados Unidos se ha elevado de forma lineal desde 1995. El precio en 1995 era de $110,500, mientras que
en 2000 era de $139,000. Sea P el precio de las casas de tipo
medio y t el número de años desde 1995. Fuente: Asociación Nacional de Vendedores de Bienes Raíces.
a) Determine una función P(t) que se ajuste a los datos.
0.2
0
b) Utilice la función de la parte a) para estimar el precio
de las casas de tipo medio en 1997.
1990
1992
1994
1996
1998
2000
Año
Fuente: Oficina de Análisis Económico de Estados Unidos.
c) Si esta tendencia continúa, estime el precio de venta
de las casas de tipo medio en 2010.
d) Si esta tendencia continúa, ¿en qué año el precio de las
casas de tipo medio será de $200,000?
a) Con 1990 como año de referencia, determine una función lineal que pueda usarse para calcular el poder adquisitivo, P, entre 1990 y 2000. Haga que t represente el
número de años desde 1990 en la función.
b) Utilizando la función de la parte a), estime el poder
adquisitivo del dólar en 1994. Compare su respuesta
con la gráfica para ver si corresponde.
c) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿cuál será el
poder adquisitivo del dólar en 2006?
d) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿cuándo tendrá el dólar un poder adquisitivo de $0.45?
73. Hospitales estadounidenses El número de hospitales en
Estados Unidos, ha disminuido de manera casi lineal desde 1975. En 1975 había 7,156 hospitales. En 2000 había
5,890. Sea n el número de hospitales en Estados Unidos y t
el número de años desde 1975. (Haga que t 0 corresponda a 1975 y t 25 corresponda a 2000). Fuente: Asociación Estadounidense de Hospitales.
76. Seguridad Social El número de trabajadores por beneficiario de seguridad social ha disminuido de manera casi
lineal en Estados Unidos desde 1970. En 1970 había 3.7
trabajadores por beneficiario, y se cree que en 2050 habrá
2.0 trabajadores por beneficiario. Sea W los trabajadores
por beneficiario de seguridad social y t el número de años
desde 1970.
a) Determine la función W(t) que se ajuste a los datos.
b) Calcule el número de trabajadores por beneficiario que
habrá en 2020.
180 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Suponga que intenta graficar las ecuaciones que se muestran y que obtiene las pantallas que se muestran. Explique cómo sabe que
cometió un error al introducir cada ecuación. En cada gráfica se utilizó la ventana estándar.
77. y = 3x + 6
78. y = - 2x - 4
79. y =
1
x + 4
2
80. y = - 4x - 1
Reto
81. En la siguiente fotografía se muestra la construcción conocida como El Castillo o Templo de Kukulcán en Chichén
Itzá, México. Cada lado del edificio tiene una escalera de 91
escalones. Éstos son muy estrechos y empinados, por lo que
subir a la cima del edificio resulta difícil. La distancia vertical
total de los 91 escalones es de 1292.2 pulgadas. Si se dibujara una línea recta que conectara los bordes de los escalones,
el valor absoluto de la pendiente de la recta sería 2.21875.
Determine la altura y el ancho promedio de un escalón.
82. Una recta tangente es una línea recta que toca a una curva en un solo punto (si se prolonga, la recta tangente puede cruzar la curva en un punto diferente). La figura 3.63
muestra tres rectas tangentes a la curva en los puntos a,
b, y c. Observe que la recta tangente del punto a tiene
una pendiente positiva, la recta tangente del punto b tiene una pendiente de 0 y la recta tangente del punto c tiene
una pendiente negativa. Ahora considere la curva que se
muestra en la figura 3.64. Imagine que se dibujan rectas
tangentes en todos los puntos de la curva, excepto en los
extremos a y e. ¿Cuál de esas líneas tangentes tendrían
una pendiente positiva, cuál una pendiente de 0 y cuál una
pendiente negativa?
a
b
a
c
b
c
d
FIGURA 3.64
FIGURA 3.63
Actividad en equipo
a) Miembro uno del equipo: determine el periodo de un
año en el que un automóvil se deprecia más. Calcule el
porcentaje de depreciación durante ese periodo de
acuerdo con la gráfica.
b) Miembro 2 del equipo: determine entre qué años la depreciación parece lineal o casi lineal.
c) Miembro 3 del equipo: determine entre qué par de años
la depreciación es la más baja.
d) Calculen en equipo la pendiente del segmento de recta del año 0 al año 1. Expliquen qué significa esto en
términos de la razón de cambio.
Curva típica de depreciación
Porcentaje del precio de compra inicial
83. La siguiente gráfica, tomada de una publicación estadounidense llamada Consumer Reports, muestra la depreciación de un automóvil común. El precio de compra inicial
se representa como 100%.
Precio de compra
inicial
100
75
Liquidación
de préstamo o
arrendamiento
50
Valor
25
0
1
2
3
4
Años
5
6
7
e
Sección 3.5 • La forma punto pendiente de una ecuación lineal • 181
Ejercicios de repaso acumulativo
84. Resuelva
- 62 - 16 , 2 , ƒ - 4 ƒ
5
- 3#2
- 4 , 2
Resuelva cada ecuación.
[2.1]
1
2
3
x + = 1x - 22
4
5
3
85.
86. 2.6x - 1- 1.4x + 3.42 = 6.2
2
.
[2.4] 87. Trenes Dos trenes parten de Chicago, Illinois, viajando en la misma dirección a lo largo de vías paralelas.
El primer tren sale tres horas antes que el segundo,
y su velocidad es de 15 millas por hora más rápido
que el segundo. Determine la velocidad de cada
tren, si tres horas después de que el segundo tren sale de Chicago entre ambos trenes hay una distancia
de 270 millas.
[2.6] 88. Resuelva
a) ƒ 2x + 1 ƒ 7 3,
b) ƒ 2x + 1 ƒ 6 3.
3.5 LA FORMA PUNTO PENDIENTE DE UNA ECUACIÓN LINEAL
1
1
Entender la forma punto pendiente de una ecuación lineal.
2
Utilizar la forma punto pendiente para construir modelos a
partir de gráficas.
3
Reconocer rectas paralelas y perpendiculares.
Entender la forma punto pendiente de una ecuación lineal
En la sección anterior aprendimos a utilizar la forma pendiente intersección para determinar la ecuación de una recta cuando se conocen su pendiente y su intersección del
eje y. En esta sección aprendemos a usar la forma punto pendiente para determinar la
ecuación de una recta cuando se conocen su pendiente y uno de sus puntos. La forma
punto pendiente puede desarrollarse a partir de la expresión para la pendiente entre
cualesquiera dos puntos (x, y) y (x1, y1) de la recta, como se muestra en la figura 3.65.
y
(x, y)
y
y y1
y1
x x1
(x, y1)
(x1, y1)
x1
x
x
m =
y - y1
x - x1
Multiplicando ambos lados de la ecuación por x x1, obtenemos
FIGURA 3.65
y - y1 = m1x - x12
DEFINICIÓN
La forma punto pendiente de una ecuación lineal es
y - y1 = m1x - x12
en donde m es la pendiente de la recta y (x1, y1) es un punto en la recta.
EJEMPLO 1
Escriba, en la forma pendiente intersección, la ecuación de la recta que pasa por el
punto (1, 4) y que tiene una pendiente de 2.
Solución
Ya que se nos dio la pendiente de la recta y un punto en ella, podemos escribir la ecuación en la forma punto pendiente. Entonces podremos despejar y de la ecuación para
escribirla en la forma pendiente intercepción. La pendiente, m, es 2. El punto en la
recta, (x1, y1), es (1, 4). Sustituya m por 2, x1 por 1 y y1 por 4 en la forma punto pendiente.
182 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
y - y1
y - 4
y - 4
y
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 5
=
=
=
=
m1x - x12
- 21x - 12
- 2x + 2
- 2x + 6
Forma punto pendiente.
Forma pendiente intercepción.
La gráfica resultante de y 2x 6 tiene una pendiente de 2 y pasa por el punto
(1, 4).
✺
En el ejemplo 1 usamos la forma punto pendiente para obtener la ecuación de
una recta cuando se nos ha dado uno de sus puntos y su pendiente. La forma punto pendiente también puede usarse para encontrar la ecuación de una recta cuando se nos dan
dos de sus puntos. En el ejemplo 2 mostramos cómo hacerlo.
EJEMPLO 2
Escriba, en la forma pendiente intersección, la ecuación de la recta que pasa por los
puntos (2, 3) y (1, 4).
Solución
Aunque no se nos dio la pendiente de la recta, podemos usar los dos puntos para determinarla, y después proceder como se hizo en el ejemplo 1. Determinemos que (2,
3) sea (x1, y1) y (1, 4) sea (x2, y2).
m =
y
7
6
5
4
3
2
1
3 2 1
1
La pendiente, m, es 1. Ahora debemos elegir uno de los dos puntos dados para utilizarlo como (x1, y1) en la forma punto pendiente de la ecuación; seleccionaremos (2, 3)
para ese propósito. Sustituya m por 1, x1 por 2 y y1 por 3 en la forma punto pendiente.
y - y1 = m1x - x12
(1, 4)
(2, 3)
y - 3 = - 11x - 22
y x 5
1 2 3 4 5 6 7
x
y - 3 = -x + 2
y = -x + 5
2
3
FIGURA 3.66
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11
2
y2 - y1
4 - 3
1
=
=
= -1
x2 - x1
1 - 2
-1
La gráfica de y x 5 se muestra en la figura 3.66. Observe que la intersección
del eje y de esta recta está en 5, la pendiente es 1, y la recta pasa por los puntos
(2, 3) y ( 1, 4).
También podríamos haber seleccionado el punto (1, 4) para sustituir en la forma punto pendiente. De haberlo hecho habríamos obtenido de cualquier manera la
ecuación y x 5.Verifíquelo.
✺
Utilizar la forma punto pendiente para construir modelos a partir de gráficas
Ahora veamos una aplicación en donde se utiliza la forma punto pendiente para determinar una función que nos permita modelar una situación dada.
EJEMPLO 3
Quema de calorías Los especialistas en acondicionamiento físico recomiendan a quienes desean quemar calorías y perder peso, que hagan ejercicio consistentemente durante largos periodos. El número de calorías que se queman al conducir una bicicleta
durante una hora, es una función lineal de la velocidad a la que se realiza el ejercicio.
En promedio, una persona que conduce a 12 millas por hora quemará alrededor de 564
calorías en una hora, y si conduce a 18 mph quemará más o menos 846 calorías en el
mismo tiempo. Esta información se muestra en la siguiente gráfica (figura 3.67).
a) Determine una función lineal que pueda utilizarse para calcular el número de calorías, C, que se queman en una hora cuando se conduce una bicicleta a r mph, para
6 r 24.
Sección 3.5 • La forma punto pendiente de una ecuación lineal • 183
Calorías que se queman al conducir una bicicleta
Calorías quemadas
por hora
C
1200
1000
846
800
564
600
400
200
0
0
3
6
9
12
15
18
21
24
r
Millas por hora
FIGURA 3.67
Fuente: Asociación Cardiaca de Estados Unidos.
b) Utilice la función determinada en la parte a) para calcular el número de calorías que
se queman en una hora cuando se conduce una bicicleta a 20 mph.
c) Utilice la función determinada en la parte a) para calcular la velocidad a la que se
tiene que conducir una bicicleta para quemar 1000 calorías en una hora.
Solución
a) Entienda el problema y traduzca En este ejemplo, en lugar de utilizar las
variables x y y como en los ejemplos 1 y 2, empleamos las variables r (para velocidad)
y C (para calorías). Sin importar las variables que se utilicen, el procedimiento para determinar la ecuación de la recta es el mismo. Para determinar la función necesaria,
usaremos los puntos (12, 564) y (18, 846) y procederemos como en el ejemplo 2.
Primero calcularemos la pendiente y después utilizaremos la forma punto pendiente para determinar la ecuación de la recta.
Realice los cálculos
m =
=
C2 - C1
r2 - r1
846 - 564
282
=
= 47
18 - 12
6
Ahora escribimos la ecuación por medio de la forma punto pendiente. Seleccionaremos el punto (12, 564) para (r1, C1).
C - C1
C - 564
C - 564
C
=
=
=
=
m1r - r12
471r - 122
47r - 564
47r
Forma punto pendiente.
Forma pendiente intersección.
Responda Como el número de calorías quemadas, C, es una función de la velocidad, r, la función que buscamos es
C1r2 = 47r
b) Para calcular el número de calorías que se queman en una hora mientras se conduce a 20 mph, sustituimos r por 20 en la función.
C1r2 = 47r
C1202 = 471202 = 940
Por lo tanto, cuando se conduce a 20 millas por hora durante una hora, se queman
940 calorías.
184 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
c) Para calcular la velocidad a la que debe conducirse una bicicleta para quemar 1000
calorías en una hora, sustituimos C(r) por 1000 en la función.
C1r2 = 47r
1000 = 47r
1000
= r
47
r L 21.28
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 53
Por lo tanto, para quemar 1000 calorías en una hora es necesario conducir la bicicleta
a más o menos 21.28 mph.
✺
En el ejemplo 3, la función que se obtuvo fue C(r) 47r. La línea resultante al graficar
esta función tiene una pendiente de 47 y una intersección del eje y en (0, 0). Si la recta
de gráfica que se muestra en la figura 3.67 se prolongase hacia la izquierda, intersectaría el origen. Esto tiene sentido, ya que si se condujera la bicicleta a una velocidad
de cero millas por hora, se quemarían cero calorías en una hora.
3
Reconocer rectas paralelas y perpendiculares
En la figura 3.68 se ilustran dos rectas paralelas.
Rectas paralelas
y
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.
l1
x
l2
Todas las rectas verticales son paralelas aunque sus pendientes sean indefinidas.
En la figura 3.69 se ilustran rectas perpendiculares. Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan entre sí en ángulos rectos (es decir, de 90°).
Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son recíprocos de signo contrario.
FIGURA 3.68
Rectas perpendiculares
El recíproco de signo contrario de cualquier número a distinto de cero es
y
l1
-1
o
a
1
-1
1
- . Por ejemplo, el recíproco negativo de 2 es
o - . El producto de cualquier núa
2
2
mero distinto de cero multiplicado por su recíproco negativo es 1.
x
1
aa- b = - 1
a
l2
Observe que cualquier recta vertical es perpendicular a cualquier recta horizontal, aun cuando no se pueda aplicar la regla del recíproco negativo, debido a que
es imposible dividir entre cero.
FIGURA 3.69
EJEMPLO 4
Solución
Dos puntos de la recta l1 son (6, 3) y ( 2, 3). Dos puntos de la recta l2 son (0, 2) y (6,
2). Determine si l1 y l2 son rectas paralelas o perpendiculares.
Determine las pendientes de l1 y l2.
m1 =
3 - 1- 32
6 - 2
=
6
3
=
4
2
m2 =
2 - 1-22
0 - 6
=
2
4
= -6
3
Como sus pendientes son diferentes, l1 y l2 no son paralelas. Para ver si son perpendiculares, necesitamos determinar si sus pendientes son recíprocos negativos.
Sección 3.5 • La forma punto pendiente de una ecuación lineal • 185
Si m1m2 1, las pendientes son recíprocos de signo contrario y, por lo tanto, las
rectas son perpendiculares.
m1 m2 =
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15
3
2
a- b = - 1
2
3
Como el producto de las pendientes es igual a 1, las rectas son perpendiculares.
✺
EJEMPLO 5
Considere la ecuación 2x 4y 8. Determine la ecuación de la recta que tiene una
intersección del eje y de 5 y es a) paralela a la recta dada y b) perpendicular a la recta dada.
Solución
a) Si conocemos la pendiente de una recta y su intersección del eje y, podemos utilizar
la forma pendiente intersección, y mx b, para escribir la ecuación. Empezaremos
por despejar y de la ecuación dada.
2x + 4y = 8
4y = - 2x + 8
-2x + 8
y =
4
1
y = - x + 2
2
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Por lo tanto, la pendiente
1
1
de la recta paralela a la línea dada debe ser - 2. Como su pendiente es - 2 y su intersección y es 5, su ecuación debe ser
1
y = - x + 5
2
Las gráficas resultantes de 2x 4y 8 y y = - 12 x + 5 se muestran en la figura 3.70.
y
7
y 2x 5
6
5
y qx 5
3
2
1
4 3 2 1
1
2
3
1
2
3
4
6
7
8
9 10 11 12
x
2x 4y 8
FIGURA 3.70
b) Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son recíprocos negativos.
Sabemos que la pendiente de la recta dada es - 12 . Por lo tanto, la pendiente de la recta
perpendicular debe ser - 1> A - 12 B o 2. La recta perpendicular a la línea dada tiene una
intersección del eje y de 5. Así, la ecuación es
y = 2x + 5
En la figura 3.70 se muestra también la gráfica resultante de y 2x 5.
✺
186 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
EJEMPLO 6
Considere la ecuación 5y = - 10x + 7.
a) Determine la ecuación de la recta que pasa por A 4, 3 B , y que es perpendicular a la
1
recta que resulta al graficar la ecuación dada. Escriba la ecuación en la forma general.
b) Escriba la ecuación que determinó en la parte a) por medio de la notación de funciones.
Solución
a) Determine la pendiente de la recta dada despejando y de la ecuación.
5y = - 10x + 7
y =
-10x + 7
5
y = - 2x +
7
5
Como la pendiente de la recta dada es 2, la pendiente de una recta perpendicular a
1
ella debe ser el recíproco negativo de 2, que es 2 . La recta que buscamos debe pasar
1
por el punto A 4, 3 B . Por medio de la forma punto pendiente, obtenemos
y - y1 = m1x - x12
y -
1
1
= 1x - 42
3
2
Forma punto pendiente.
Ahora multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador,
6, para eliminar las fracciones.
6ay -
y
4
3
2
1
6y - 2 = 31x - 42
3x 6y 10
(4, a)
2 1
1
3
3
4
6y - 2 = 3x - 12
5
6
x
Después escribimos la ecuación en la forma general.
-3x + 6y - 2 = - 12
5y 10x 7
4
1
1
b = 6c 1x - 42 d
3
2
-3x + 6y = - 10
FIGURA 3.71
Forma general.
Observe que 3x 6y 10 también es una respuesta aceptable (vea la figura 3.71).
b) Para escribir la ecuación utilizando la notación de funciones, despejamos y de la
ecuación determinada en la parte a), y luego la reemplazamos por f(x).
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 39
SUGERENCIA
Dejaremos que usted demuestre que la función es f1x2 =
1
5
x - .
2
3
✺
En la siguiente tabla se resumen las tres formas en que se puede presentar una ecuación
lineal, de acuerdo con lo que hemos estudiado, y se menciona cuándo puede ser útil cada
una de ellas.
Forma general:
Útil cuando se quieren determinar las intersecciones de una
gráfica
ax + by = c
La usaremos en el capítulo 4, Sistemas de ecuaciones y desigualdades
(continúa en la página siguiente)
Sección 3.5 • La forma punto pendiente de una ecuación lineal • 187
Forma pendiente
intersección:
Se emplea para determinar la pendiente y la intersección del
eje y de una recta
y = mx + b
Se utiliza para determinar la ecuación de una recta a partir de
su pendiente y su intersección del eje y
Se usa para determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares
Se utiliza para graficar una ecuación lineal
Forma punto pendiente:
Se emplea para determinar la ecuación de una recta a partir
de su pendiente y de uno de sus puntos
y - y1 = m1x - x12
Se utiliza para determinar la ecuación de una recta a partir de
dos de sus puntos
Conjunto de ejercicios 3.5
Ejercicios conceptuales
1. Indique la forma punto pendiente de una ecuación lineal.
2. ¿Cómo se puede determinar si dos rectas son paralelas?
3. ¿Cómo se puede determinar si dos rectas son perpendiculares?
4. ¿Por qué no puede utilizarse la prueba del recíproco negativo para determinar si una recta vertical es perpendicular
a una recta horizontal?
Problemas de aplicación
Utilice la forma punto pendiente para determinar la ecuación de una recta con las propiedades dadas. Luego escriba la ecuación en
la forma pendiente intersección.
5. Pendiente 2, pasa por (1 , 1)
6. Pendiente 1, pasa por (2 , 3)
1
7. Pendiente - , pasa por (4, 1)
2
7
8. Pendiente - , pasa por (8, 2)
8
1
9. Pendiente , pasa por (1, 5)
2
2
10. Pendiente - , pasa por (1, 2)
3
11. Pasa por (4, 6) y (4, 6).
12. Pasa por (4, 2) y (1, 9).
13. Pasa por (4, 3) y (6, 2).
14. Pasa por (4, 3) y (1, 2).
Se dan dos puntos de l1 y dos puntos de l2. Determine si l1 es paralela a l2, si l1 es perpendicular a l2, o si ninguna de estas condiciones se
cumple.
15. l1 : 12, 02 y 10, 22; l2 : 15, 02 y 10, 52
16. l1 : 13, 22 y 1- 1, 52; l2 : 15, -12 y 19, -42
19. l1 : 13, 22 y 1 -1, - 22; l2 : 12, 02 y 13, - 12
20. l1 : 10, 22 y 16, -22; l2 : 14, 02 y 16, 32
17. l1 : 11, 12 y 15, 72; l2 : 1- 1, - 12 y 11, 42
18. l1 : 1- 3, 42 y 14, -32; l2 : 1- 5, -62 y 16, -52
Determine si las dos ecuaciones representan líneas paralelas, perpendiculares, o ninguna de ellas.
1
x + 1
5
y = - 5x + 2
21. y =
25. 4x + 2y = 6
- x + 4y = 4
22. 2x + 3y = 6
2
y = - x + 5
3
26. 6x + 2y = 8
4x - 9 = - y
23. 4x + 2y = 8
8x = 4 - 4y
1
x - 6
2
-3y = 6x + 9
27. y =
24. 2x - y = 4
2x + 4y = 8
28. 2y - 6 = - 5x
5
y = - x - 2
2
188 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
1
x + 3
2
- 2x + 4y = 8
29. y =
30. - 4x + 6y = 12
2x - 3y = 6
31. x - 3y = - 9
y = 3x + 6
32.
1
3
x - y = 1
2
4
3
2
x + y = -1
5
5
Determine la ecuación de una recta con las propiedades dadas. Escriba la ecuación en la forma indicada.
33. Pasa por (2, 5) y es paralela a la gráfica de y 2x 4 (forma pendiente intersección).
34. Pasa por (3, 2) y es paralela a la gráfica de 4x 2y 6
(forma pendiente intersección).
35. Pasa por (3, 5) y es paralela a la gráfica de 2x 5y 7
(forma general).
36. Pasa por (1, 3) y es perpendicular a la gráfica de y 2x
1 (forma general).
37. Con intersección del eje x en (3, 0) e intersección del eje
y en (0, 5) (forma pendiente intersección).
38. Pasa por (2, 1) y es perpendicular a la gráfica de
39. Pasa por (5, 1) y es perpendicular a la gráfica de
y =
1
x + 1 (notación de funciones).
3
40. Pasa por (3, 4) y es perpendicular a la recta con intersección del eje x en (2, 0) e intersección del eje y en (0, 2)
(forma general).
41. Pasa por (6, 2) y es perpendicular a la recta con intersección del eje x en (2, 0) e intersección del eje y en (0, 3)
(forma pendiente intersección).
42. Pasa por el punto (2, 1) y es paralela a la recta que pasa por
los puntos (3, 5) y (2, 3) (notación de funciones).
1
f1x2 = - x + 1 (notación de funciones).
5
Resolución de problemas
43. Rutina en una caminadora El número de calorías que se
queman en una hora de ejercicio en una caminadora es una
función de la velocidad que se emplea. Una persona promedio que se ejercita en una caminadora (con una inclinación de 0°) a una velocidad de 2.5 millas por hora, quemará
alrededor de 210 calorías.A 6 millas por hora, esta persona
quemará más o menos 370 calorías. Sea C las calorías que
se queman en una hora y s la velocidad de la caminadora.
a) Determine una función lineal C(s) que se ajuste a los
datos.
b) Calcule las calorías que quema una persona promedio
ejercitándose 1 hora en la caminadora a una velocidad
de 5 millas por hora.
44. Caminadora inclinada El número de calorías que se queman por hora al hacer ejercicio en una caminadora a velocidad constante, es una función de la inclinación de la
misma. A 4 mph por hora y con una inclinación de 5°, una
persona promedio quemará 525 calorías; a 4 mph y con
una inclinación de 15°, la misma persona quemará 880 calorías. Sea C las calorías quemadas y d los grados de inclinación de la caminadora.
a) Determine una función lineal C(d) que se ajuste a los
datos.
b) Calcule el número de calorías que quema una persona
promedio al ejercitarse durante una hora en una caminadora a 4 millas por hora y con una inclinación de 7°.
45. Demanda de reproductores de DVD La demanda de un
producto se refiere al número de ejemplares de ese producto que el público está dispuesto a comprar a un precio
dado. Suponga que la demanda, d, de reproductores de
DVD vendidos en un mes es una función lineal del precio, p, para $150 p $400. Si el precio es $200, entonces
se venderán 50 aparatos de DVD por mes. Si el precio es
$300, sólo se venderán 30.
a) Usando los pares ordenados de la forma (p, d), escriba una ecuación en que la demanda, d, sea una función
del precio, p.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la demanda cuando el precio de los reproductores de DVD es $260.
c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el precio de los reproductores de DVD si su demanda es 45.
46. Demanda de comida rápida El gerente de mercadotecnia
de un restaurante de comida rápida determina que la demanda, d, de una nueva ensalada de pollo es una función lineal
de su precio, p, para $0.80 p $4.00. Si el precio es $1.00,
entonces cada mes se venderán 530 ensaladas de pollo; si el
precio es $2.00, sólo se venderán 400 ensaladas al mes.
a) Usando los pares ordenados de la forma (p, d), escriba una ecuación en que la demanda, d, sea una función
del precio, p.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la demanda cuando el precio de las ensaladas de
pollo es $1.50.
c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el precio de las ensaladas de pollo si su demanda
es 205.
47. Oferta de yoyos La oferta de un producto se refiere al
número de ejemplares de ese producto que un vendedor
está dispuesto a vender a un precio dado. La empresa que
fabrica un nuevo tipo de yoyo para niños determina
que el número de yoyos que está dispuesta a proveer, s,
Sección 3.5 • La forma punto pendiente de una ecuación lineal • 189
a) Usando los pares ordenados de la forma (p, s), escriba
una ecuación en donde la oferta, s, sea una función del
precio, p.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la oferta cuando el precio de una carriola es de
$206.00.
c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el precio a pagar si la oferta es de 35 carritos.
49. Gasto de gasolina La cantidad de millas por galón de gasolina, m, que puede recorrer un automóvil, es una función lineal de la velocidad, s, a la que éste se conduce, para
40 s 90. Si el automóvil se conduce a 45 mph, el rendimiento de la gasolina es de 40 millas por galón. Si el automóvil se conduce a 90 mph, el rendimiento de la gasolina
es de 25 millas por galón.
Fuente: htp://physics.nadn.navy.mil/physics/faculty/
schneider/buick.htm
a) Utilice esta información para escribir el rendimiento,
en millas por galón de gasolina, m, como una función
de la velocidad, s del automóvil.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el rendimiento, en millas por galón, del automóvil conducido a una velocidad de 60 mph.
c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la velocidad a la cual se debe conducir el automóvil para obtener un rendimiento de 30 millas por
galón de gasolina.
50. Gasto de gasolina La cantidad de millas por galón de gasolina, m, de otro automóvil es una función lineal de la velocidad, s, a la que éste se conduce, para 40 s 90. Si este
automóvil se conduce a 45 mph, su rendimiento es de 50
millas por galón; si el automóvil se conduce a 90 mph, su
rendimiento es de 20 millas por galón.
a) Utilice esta información para escribir el rendimiento
de este automóvil, en millas por galón de gasolina, m,
como una función de la velocidad, s.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el rendimiento, en millas por galón de gasolina, si el automóvil se conduce a una velocidad de
60 mph.
c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la velocidad a la que debe conducirse este automóvil para obtener un rendimiento de 30 millas por
galón de gasolina.
51. Salario oficial El pago mensual que recibe un oficial del
ejército, es una función lineal de los años que ha dedicado al servicio. Un oficial con diez años de servicio recibe
$3477 al mes, mientras que otro con 20 años de servicio
recibe $4168 al mes.
a) Utilice estos datos para escribir el pago mensual, p, como una función de los años de servicio, s.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el salario mensual que recibe un oficial con 18
años de servicio.
c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el número de años de servicio necesarios para
que un oficial gane un salario mensual de $4000.
52. Salario magisterial El salario anual de un profesor universitario es una función lineal del número de años que se
ha dedicado a la docencia. Un profesor con nueve años de
experiencia recibe $26,350; un profesor con 15 años de experiencia recibe $31,687.
a) Utilice estos datos para escribir el salario anual, s, de un
profesor, como una función del número de años de experiencia como docente, n.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el salario anual de un profesor con diez años de
experiencia.
c) Por medio de la función resultante de la parte a), calcule el número de años de experiencia que debe tener
un profesor para ganar un salario anual de $30,000.
53. Esperanza de sobrevida Cómo puede verse en la siguiente gráfica, la esperanza de sobrevida de una persona, en
número de años, y, es casi una función lineal. La esperanza de sobrevida es una función de la edad actual, a, de la
persona, para 30 a 80. Por ejemplo, con base en la gráfica vemos que una persona de 50 años tiene un esperanza de sobrevida de 36.0 años más.
Esperanza de sobrevida
y
Años adicionales
es una función lineal de su precio de venta p, para $2.00
p $4.00. Si un yoyo se vende a $2.00, entonces se
pondrán a la venta 130 al mes; si se venden a $4.00, entonces se pondrán a la venta 320 al mes.
a) Usando los pares ordenados de la forma (p, s), escriba
una ecuación en donde la oferta, s, sea una función del
precio, p.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la oferta cuando el precio de los yoyos es de
$2.80 cada uno.
c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el precio a pagar si la oferta es de 225 yo-yos.
48. Oferta de carriolas El fabricante de carreolas para bebé
determina que la oferta, s, es una función lineal de su precio de venta, p, para $200 p $300. Si una carreola se
vende a $210.00, entonces se pondrán a la venta 20 al mes.
Si una carreola se vende a $230.00, entonces se pondrán a
la venta 30 al mes.
60
50
36.0
40
30
18.7
20
10
0
30
40
50
60
Edad actual
Fuente: TIAA/CREF.
70
80
a
190 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Valor de un violín Gesù
Percentiles de estatura y peso por edad
V
20
15
10.5
10
5
0
3.5
261
275
290
a
Edad del violín (años)
Fuente: Machold Rare Violins, LTD.
Peso
Valor proyectado (millones)
Niños: 0 a 36 meses
Estatura
c) Por medio de la función resultante de la parte a), calcule la edad actual de una persona que tiene un esperanza
de sobrevida de 25 años.
54. Los violines Gesù Los violines Gesù fabricados a mano alrededor de 1735 por el italiano Giuseppe Antonio Guarneri, son extremadamente raros y valiosos. La siguiente
gráfica muestra que el valor proyectado, v, de un violín
Gesù, es una función lineal de su antigüedad en años, a,
para 261 a 290.
cm
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
8
7
6
5
4
3
kg
95°
(18, 87)
50°
5°
95°
(18, 14)
50°
5°
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
(36, 102) cm
100
95
90
(36, 17.4) 18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
kg
30
33
Estatura
b) Por medio de la función resultante de la parte a), calcule la esperanza de sobrevida de una persona que actualmente tiene 37 años de edad.
55. Peso El siguiente diagrama muestra la altura y peso de
un grupo de niños varones desde el nacimiento hasta los
36 meses de edad, en percentiles. En general, las gráficas
que lo integran no son resultado de funciones lineales; sin
embargo, ciertas partes de ellas pueden calcularse mediante una función lineal. Por ejemplo, la gráfica que representa el percentil 95 del peso de los niños (la línea superior
de la sección Peso,) entre 18 y 36 meses de edad, es más o
menos lineal.
Peso
a) A partir de los dos puntos indicados en la gráfica, determine la función y(a) que puede usarse para obtener la
gráfica.
36
Edad (meses)
a) Determine la función v(a) representada por esta línea.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el valor proyectado de un violín Gesù con 280
años de antigüedad.
c) Por medio de la función resultante de la parte a), determine la edad de un violín Gesù con un valor proyectado de $15 millones.
Fuente: Centro Nacional para Estadísticas de Salud
a) Utilice los puntos que se muestran en la gráfica del percentil 95 para escribir el peso, w, como una función lineal
de la edad, a, para niños entre 18 y 36 meses.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), calcule el peso de un niño de 22 meses que forma parte del
percentil 95 de peso. Compare su respuesta con la gráfica para ver si corresponden.
56. Estatura El diagrama del ejercicio 55 muestra que la
gráfica del percentil 95 de estaturas (la línea superior)
de los niños en edad de 18 a 36 meses, es más o menos
lineal.
a) Utilice los puntos que se muestran en la gráfica del percentil 95 para escribir la estatura, l, como una función
lineal de la edad, a, para niños entre 18 y 36 meses.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), calcule la estatura de un niño de 21 meses que forma parte
del percentil 95. Compare su respuesta con la gráfica
para ver si corresponden.
Guarneri del
Gesù, “Sainton”,
1741.
Sección 3.6 • Álgebra de funciones • 191
Actividad en equipo
57. La siguiente gráfica muestra el crecimiento de la circunferencia de la cabeza de un grupo de niñas. La línea central
representa la circunferencia promedio de la cabeza de
todas las niñas para la edad dada, mientras que las líneas
inferior y superior representan los límites respecto del
rango normal. Analice y responda en equipo las siguientes
preguntas.
g) Esta gráfica es casi lineal. Determine una ecuación o
función que pueda usarse para calcular la línea central
entre (2, 48) y (18, 55).
Circunferencia de la cabeza
58
a) Explique por qué la gráfica de la circunferencia promedio de la cabeza representa una función.
c) ¿Cuál es el dominio de la gráfica de la circunferencia
promedio de la cabeza? ¿Cuál es el rango?
Centímetros
b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente?
56
d) ¿Cuál es el intervalo considerado como normal para
niñas de 18 años?
52
50
48
46
e) En esta gráfica, ¿la circunferencia de la cabeza es una
función de la edad, o la edad es una función de la circunferencia de la cabeza? Explique su respuesta.
f) Calcule la circunferencia promedio de la cabeza de las
niñas a los 10 y a los 14 años.
54
44
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Edad (años)
Fuente: Centro Nacional para Estadísticas de Salud de Estados Unidos
Ejercicios de repaso acumulativo
b) ¿Qué es una función?
[2.5] 58. Resuelva la desigualdad 4 - 12 x 7 2x + 3 e indique la solución en notación de intervalos.
59. Cuando ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo, ¿qué debe
hacer?
c) Dibuje una gráfica que represente una relación
pero que no sea una función.
61. Determine el dominio del rango de la función
{(4, 3), (5, 2), (3, 2) (6, 1)}.
[3.2] 60. a) ¿Qué es una relación?
3.6 ÁLGEBRA DE FUNCIONES
1
1
Determinar la suma, diferencia, producto y cociente de las
funciones.
2
Representar gráficamente la suma de funciones.
Determinar la suma, diferencia, producto y cociente de las funciones
A continuación analizaremos algunas formas en las que se pueden combinar las funciones. Si determinamos que f(x) x 2 y g(x) x2 2x, podemos encontrar f(5)
y g(5) como sigue.
f1x2 = x + 2
f152 = 5 + 2 = 7
Si sumamos f(x) g(x), obtenemos
g1x2 = x2 + 2x
g152 = 52 + 2152 = 35
f1x2 + g1x2 = 1x + 22 + 1x2 + 2x2
= x2 + 3x + 2
192 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Esta nueva función, conformada por la suma de f(x) y g(x), se designa como (f g)
(x). Por lo tanto, podemos escribir
1f + g21x2 = x2 + 3x + 2
Determinamos (f g)(5) como sigue.
1f + g2152 = 52 + 3152 + 2
= 25 + 15 + 2 = 42
Observe que
f152 + g152 = 1f + g2152
7 + 35 = 42
Verdadero
De hecho, para cualquier número real con que sustituya x, encontraremos que
f1x2 + g1x2 = 1f + g21x2
Existe una notación similar para la resta, la multiplicación y la división de funciones.
Operaciones sobre funciones
Si f(x) representa una función, g(x) representa una segunda función y x está en el dominio
de ambas, entonces pueden realizarse las siguientes operaciones sobre funciones.
Suma de funciones: (f g)(x) f(x) g(x)
Diferencia de funciones: (f g)(x) f(x) g(x)
Producto de funciones: (f g)(x) f(x) g(x)
Cociente de funciones: 1f>g21x2 =
EJEMPLO 1
g1x2
, siempre que g(x) 0.
Si f(x) x2 x 6 y g(x) x 2, determine
a) 1f + g21x2
b) 1f - g21x2
c) 1g - f21x2
Solución
f1x2
d) ¿Cuándo 1f - g21x2 = 1g - f21x2?
Para responder las partes de a) a c), realizamos las operaciones indicadas.
a) 1f + g21x2 = f1x2 + g1x2
= 1x2 + x - 62 + 1x - 22
= x2 + x - 6 + x - 2
= x2 + 2x - 8
b) 1f - g21x2 = f1x2 - g1x2
= 1x2 + x - 62 - 1x - 22
= x2 + x - 6 - x + 2
= x2 - 4
c) 1g - f21x2 = g1x2 - f1x2
= 1x - 22 - 1x2 + x - 62
= x - 2 - x2 - x + 6
= - x2 + 4
d) Al comparar las respuestas de las partes b) y c), vemos que
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11
EJEMPLO 2
1f - g21x2 Z 1g - f21x2
Si f(x) x2 4 y g(x) x 2, determine
a) 1f - g2162
b) 1f # g2142
c) 1f>g2182
✺
Sección 3.6 • Álgebra de funciones • 193
Solución
a) 1f - g21x2 = f1x2 - g1x2
= 1x2 - 42 - 1x - 22
= x2 - x - 2
1f - g2162 = 62 - 6 - 2
= 36 - 6 - 2
= 28
También podríamos haber encontrado la solución como sigue:
f1x2 = x2 - 4
f162 = 62 - 4 = 32
g1x2 = x - 2
g162 = 6 - 2 = 4
1f - g2162 = f162 - g162
= 32 - 4 = 28
b) Encontraremos (f g)(4) utilizando el hecho de que
2
1f # g2142 = f142 # g142
f1x2 = x - 4
f142 = 42 - 4 = 12
g1x2 = x - 2
g142 = 4 - 2 = 2
Así f(4) g(4) 12 2 24. Por lo tanto, (f g)(4) 24. También podríamos haber
encontrado (f g)(4) multiplicando f(x) g(x) y sustituyendo luego 4 en el producto.
Analizaremos cómo hacer esto en la sección 5.2.
c) Determinaremos (f/g)(8) por medio del hecho de que
2
1f>g2182 = f182>g182
f1x2 = x - 4
f182 = 82 - 4 = 60
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 31
g1x2 = x - 2
g182 = 8 - 2 = 6
Entonces f(8)/g(8) 60/6 10. Por lo tanto, (f/g)(8) 10.También podríamos haber
encontrado (f/g)(8) dividiendo f(x)/g(x) y sustituyendo luego 8 en el cociente.
Analizaremos cómo hacer esto en el capítulo 5.
✺
Observe que hemos incluido la frase “y x está en el dominio de ambas funciones”
en el cuadro Operaciones sobre funciones de la página 192. Como se mencionó anteriormente, el dominio de una función es el conjunto de valores que pueden ser usados por
la variable independiente. Por ejemplo, el dominio de la función f(x) 2x2 6x 5
es todos los números reales, ya que cuando x es cualquier número real, f(x) también
será un número real. El dominio de g1x2 =
1
es todos los números reales excepto
x - 3
3, ya que cuando x es cualquier número real excepto 3, la función g(x) es un número
1
real. Cuando x es 3, la función no es un número real, ya que 0 es indefinido. Estudiaremos el dominio de funciones con mayor detalle en la sección 6.1.
2
Representar gráficamente la suma de funciones
Ahora explicaremos cómo podemos representar gráficamente la suma, la diferencia,
el producto o el cociente de dos funciones. La figura 3.72 en la página 194, muestra
dos funciones, f(x) y g(x).
Para graficar la suma de f(x) y g(x), o (f g)(x), utilizamos (f g)(x) f(x)
g(x). La siguiente tabla proporciona los valores enteros de x desde 2 hasta 4, los
valores de f(2) a f(4) y los valores de g(2) a g(4). Estos valores se tomaron directamente de la figura 3.72. Los valores de (f g)(2) a (f g)(4) se determinaron sumando los valores de f(x) y g(x). La gráfica de (f g)(x) f(x) g(x) se ilustra como
línea discontinua en la figura 3.73.
194 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
y
y
5
5
4
4
(f g)(x)
g(x)
g(x)
3
2
1
1
2
3
4
5
x
3
1
2
1
1
2
3
4
5
x
1
2
2
f(x)
3
f (x)
3
FIGURA 3.73
FIGURA 3.72
( f g)(x)
x
f (x)
-2
1
-3 + 1 = -2
-1
-3
0
1
0 + 1 = 1
0
3
1
3 + 1 = 4
1
3
-2
2
3
0
3
-2
0
-2 + 0 = -2
4
-3
3
-3 + 3 = 0
g(x)
3 + 1- 22 = 1
3 + 0 = 3
Podríamos graficar la diferencia, el producto o el cociente de dos funciones usando una técnica similar. Por ejemplo, para graficar la función producto (f g)(x), podríamos evaluar (f g)(2) como sigue:
1f # g21 -22 = f1-22 # g1-22
= 1- 32112 = - 3
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43
EJEMPLO 3
Así, la gráfica de (f g)(x) tendría un par ordenado en (2, 3). Otros pares ordenados se determinarían siguiendo el mismo procedimiento.
En periódicos y revistas encontramos con frecuencia gráficas que muestran la
suma de dos funciones; este tipo de gráficas por lo general se ilustra de dos formas. En
el ejemplo 3 se muestra una de ellas, y la otra en el ejemplo 4.
Cuentas en fondos mutualistas El número de cuentas en fondos mutualistas se ha
elevado de manera importante desde 1980. La siguiente gráfica muestra las cuentas
en tres categorías de fondos mutualistas, y el total de estas tres categorías para años seleccionados entre 1980 y 2000.
a) ¿Cómo se determina la gráfica del número total de cuentas, T, a partir de las gráficas
de las cuentas en acciones, S, en bonos/híbridos, B, y en mercado de valores, M?
b) ¿En qué periodo de cinco años aumentó más el número de cuentas en acciones?
c) Si y representa el año, describa qué representa la función (B M)(y).
Solución
a) En la figura 3.74, las gráficas para cuentas en acciones, bonos/híbridos y mercado de
valores se muestran de forma separada en los mismos ejes. La gráfica para el total
de estas cuentas se obtiene sumando el número de cuentas en acciones, bonos/híbridos y en mercado de valores. Por ejemplo, en 1995 había alrededor de 70 millones
de cuentas en acciones, casi 30 millones de cuentas en bonos/híbridos y alrededor de
Sección 3.6 • Álgebra de funciones • 195
Número de cuentas (millones)
Cuentas en fondos mutualistas
250
Total (T )
200
Acciones (S )
150
100
Mercado de valores (M )
50
Bonos/híbridos (B )
0
1980
1985
1990
2000
1995
Año
FIGURA 3.74
Fuente: Instituto de Compañías de Inversión de Estados Unidos.
25 millones de cuentas en mercado de valores. La suma de estos números es igual a
125 millones, que es el número total de cuentas que se muestra en la gráfica para 1995.
Otros puntos en la gráfica del total de cuentas se determinan de la misma manera.
b) De 1980 a 1985 y de 1985 a 1990, el aumento del número de cuentas en acciones fue
mucho menor que 50 millones. De 1990 a 1995 el aumento en el número de cuentas en
acciones fue de más o menos 50 millones. Entre 1995 y 2000 el aumento fue mucho mayor que 50 millones. Por lo tanto, el aumento más grande en el número de cuentas de
acciones tuvo lugar de 1995 a 2000.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 57
c) Si y representa el año, entonces B(y) representa el número de cuentas en bonos/
híbridos y M(y) representa el número de cuentas en mercado de valores en el año y. La
función (B M)(y) es igual a B(y) M(y). Por consiguiente, (B M)(y) se refiere
a la suma del número de cuentas en bonos/híbridos y el número de cuentas en mercado de valores en el año y.
✺
En el ejemplo 4 también se muestra la suma de funciones; esta vez, las categorías “se apilan” una encima de la otra.
Uso del gas natural La gráfica de la figura 3.75 muestra el uso de gas natural en
Estados Unidos, de acuerdo con tres categorías: residencial/comercial, industrial
y servicio público/transporte para años seleccionados entre 1950 y 2000. La cantidad
de gas natural que se emplea en cada categoría es una función del año. La cantidad total de gas natural que se utiliza, indicada por la línea superior, también es una función
del año.
Uso del gas natural en Estados Unidos
40
Pies cúbicos (billones)
EJEMPLO 4
30
Servicio público/transporte
20
Industrial
10
Residencial/comercial
0
1950
1960
1970
1980
1990
Año
FIGURA 3.75
Fuente: Departamento de Energía de Estados Unidos.
2000
196 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
a) Calcule la cantidad de gas natural destinado al uso residencial/comercial en 2000.
b) Calcule la cantidad de gas natural destinado al uso industrial en 2000.
c) Calcule la cantidad de gas natural destinado al uso en servicio público/transporte
en 2000.
d) Calcule la cantidad total de gas natural utilizado en 2000.
Solución
a) Al leer la gráfica, vemos que la cantidad de gas natural destinado al uso residencial
en 2000 (indicada por el área inferior de la gráfica) fue de más o menos 8 billones de
pies cúbicos.
b) La siguiente área de la gráfica representa la cantidad de gas natural destinado al uso
industrial. En 2000, esta área inicia en 8 billones y termina aproximadamente en 19 billones. La diferencia entre estos dos valores, 19 billones8 billones, es 11 billones. Por
lo tanto, más o menos 11 billones de pies cúbicos de gas natural fueron destinados al
uso industrial en 2000.
c) La siguiente área de la gráfica representa la cantidad de gas natural destinada al servicio público/transporte. En 2000, esta área inicia en 19 billones y termina en aproximadamente 39 billones. La diferencia entre estos dos valores, 39 billones19 billones,
es 20 billones. Por lo tanto, alrededor de 20 billones de pies cúbicos de gas natural se
destinaron al uso de servicio público/transporte en 2000.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 59
d) En 2000, la cantidad total de gas natural utilizado en Estados Unidos fue de casi 39
billones de pies cúbicos. Esto puede interpretarse directamente a partir de la gráfica.
Observe también que 39 billones es el resultado de sumar las cantidades determinadas
en las partes a), b) y c).
✺
En el ejemplo 4, la cantidad total de gas natural utilizado en cualquier año es la
suma del gas natural destinado a las tres categorías. Por ejemplo, si sumamos las respuestas obtenidas en las partes a), b) y c), obtenemos 8 11 20 39. Así, en 2000
se utilizaron alrededor de 39 billones de pies cúbicos de gas natural. La línea superior
de la gráfica muestra la cantidad total de gas natural usado.
Cómo utilizar su calculadora graficadora
Las calculadoras graficadoras pueden graficar las sumas, diferencias, productos y cocientes de las funciones. Una manera de lograrlo es introducir las funciones de forma individual. Luego, siguiendo las instrucciones
que vienen con su calculadora, puede sumarlas, restarlas, multiplicarlas o dividirlas. Por ejemplo, la pantalla de
la figura 3.76 muestra una TI83 Plus preparada para graficar Y1 x 3, Y2 2x 4, y la suma de las funciones,
Y3 Y1 Y2. Para obtener Y3 Y1 Y2 en la TI83 Plus, presione la tecla VARS . Luego mueva el cursor a
YVARS y seleccione 1: Function. Ahora presione: Function. Ahora presione:
presione
1 para introducir Y1; luego
, presione VARS y vaya a YVARS para seleccionar 1:Function. Por último, presione 2 para
introducir Y2. La figura 3.77 muestra las gráficas de las dos funciones y la gráfica de la suma de las funciones.
Y1 Y2
Y1
Y2
FIGURA 3.76
FIGURA 3.77
Sección 3.6 • Álgebra de funciones • 197
Conjunto de ejercicios 3.6
Ejercicios conceptuales
1. Para todos los valores de x, ¿f(x) g(x) (f g)(x)?
2. Para todos los valores de x, ¿f(x) g(x) (f g)(x)?
3. ¿Qué restricción se impone a la propiedad f(x)/g(x) (f/g)(x)? Explique.
4. Para todos los valores de x, ¿(f g)(x) (g f)(x)?
Explique y proporcione un ejemplo que apoye su respuesta.
5. Para todos los valores de x, ¿(f g)(x) (g f)(x)? Explique y proporcione un ejemplo que apoye su respuesta.
6. Si f(2) 9 y g(2) 3, determine
a) 1f + g2122
b) 1f - g2122
c)
d)
1f # g2122
1f>g2122
7. Si f1- 22 = - 3 y g1 -22 = 5, determine
a) 1f + g21 -22
b)
c)
d)
1f # g21 - 22
1f - g21 -22
1f>g21 -22
8. Si f172 = 6 y g172 = 0, determine
a) 1f + g2172
c)
b) 1f - g2172
1f # g2172
d) 1f>g2172
Problemas de aplicación
Para cada par de funciones, determine a) (f g)(x), b) (f g)(a) y c) (f g)(2).
9. f1x2 = x + 1, g1x2 = x 2 + x
10. f1x2 = x 2 - x - 2, g1x2 = x 2 + 1
11. f1x2 = - 3x 2 + x - 4, g1x2 = x 3 + 3x2
12. f1x2 = 4x 3 + 2x 2 - x - 1, g1x2 = x 3 - x 2 + 2x + 3
13. f1x2 = 4x 3 - 3x 2 - x, g1x2 = 3x 2 + 4
14. f1x2 = 3x 2 - x + 4, g1x2 = 6 - 4x 2
Sea f(x) x2 4 y g(x) 5x 3. Determine:
15. f132 + g132
16. f172 + g172
17. f1-22 - g1-22
18. fa b - g a b
19. f132 # g132
20. f1- 42 # g1- 42
22. f1 -22>g1 - 22
23. g1 -32 - f1- 32
25. g102>f102
26. f122>g122
1
4
21.
f A 35 B
1
4
g A 35 B
24. g162 # f162
Sea f(x) 2x2 x y g(x) x 6. Determine:
27. 1f + g21x2
28. 1f + g21a2
29. 1f + g2102
30. 1f + g21 - 12
31. 1f - g21 - 32
32. 1f - g2112
36. 1f>g2162
37. 1g>f2152
38. 1g - f2132
33. 1f # g2102
34. 1f # g21 - 52
39. 1g - f21x2
35. 1f>g21 - 12
40. 1g - f21r2
Resolución de problemas
y
Por medio de la gráfica, determine el valor de:
41. 1f + g2102
43. 1f # g2122
45. 1g - f21 - 12
47. 1g>f2142
42. 1f - g2102
44. 1f>g2142
46. 1g + f21 -32
48. 1g # f21 -32
4
g
3
f
2
1
3 2 1
1
2
1
2
3
4
5
x
198 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Por medio de la gráfica siguiente, determine el valor de:
b) ¿Durante qué periodo de diez años la cantidad de electricidad generada a partir de fuentes nucleares aumentó más?
y
c) ¿Cuál de las cuatro categorías indicadas aumentó menos de 1960 a 2000?
g
2
1
1
2
2
3
4
5
f
3
49. 1f + g2132
50. 1f - g2132
51. 1f # g2112
52. 1g - f2122
53. 1f>g2142
54. 1g>f2152
55. 1g>f2122
56. 1g # f2102
57. Gastos en salud La siguiente gráfica muestra los gastos
de salud en instituciones privadas y públicas en Estados
Unidos, así como el total para años seleccionados entre
1970 y 2000.
4000
3500
3000
Total
2500
2000
Fósiles
1500
Nuclear
1000
Otras
500
0
1960
1970
1980
1990
2000
Año
Fuente: Departamento de Energía de Estados Unidos.
59. Beneficiarios de seguridad social La siguiente gráfica
Gasto en salud en Estados Unidos
muestra el número de beneficiarios de seguridad social
con derecho a tratamiento hospitalario en dos categorías:
discapacidad por invalidez y discapacidad por vejez, para
años entre 1980 y 2000.
1400
1200
Total
1000
Beneficiarios de seguridad social
800
Instituciones
privadas
600
10,000
400
Instituciones
públicas
200
0
1970
Tratamiento hospitalario
1980
1990
2000
Año
Fuente: Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos.
a) ¿Cómo se determinó la gráfica para los gastos totales
a partir de las rectas de los gastos en instituciones privadas e instituciones públicas?
b) ¿Durante qué periodo de 10 años el monto total de
gastos en salud aumentó menos?
c) ¿Durante qué periodo de 10 años el monto total de
gastos en salud aumentó más?
58. Fuentes de electricidad La siguiente gráfica muestra las
fuentes de la electricidad generada en Estados Unidos para años seleccionados entre 1960 y 2000.
a) ¿Cómo se determinó la gráfica de la electricidad total
generada a partir de las gráficas de la electricidad generada utilizando fuentes fósiles, nucleares y otras?
Beneficiarios (en miles)
Gastos (en miles de millones)
Kilowatt-horas (en miles de millones)
3 2 1
1
Fuentes de electricidad
x
Discapacidad por invalidez
8000
6000
Discapacidad por vejez
4000
2000
0
1980
1985
1990
1995
2000
Año
Fuente: Administración Financiera de Seguridad Social, División de Presupuesto.
a) Calcule el número de personas con derecho a tratamiento hospitalario en la categoría discapacidad por
vejez en 2000.
b) Calcule el número de personas con derecho a tratamiento hospitalario en la categoría discapacidad por
invalidez en 2000.
c) Calcule el número total de personas con derecho a tratamiento hospitalario en 2000.
Sección 3.6 • Álgebra de funciones • 199
60. Asistencia alimentaria La gráfica de la derecha muestra el
número de participantes en los programas de asistencia alimentaria, clasificada de acuerdo con estas categorías: vales
para alimentos, programas escolares (incluyendo almuerzo, desayuno y programas de alimentación en guarderías
infantiles) y mujeresrecién nacidosniños (MRN).
Programas de asistencia alimentaria
Participantes (en millones)
80
a) Calcule el número de participantes en el programa de
vales para alimentos en 2000.
b) Calcule el número de participantes en los programas
escolares en 2000.
c) Calcule el número de participantes en los programas
MRN en 2000.
MRN
60
Programas escolares
40
20
Vales de alimentos
0
1970
d) Calcule el número total de todos los programas de asistencia de alimentación en 2000.
1980
1990
2000
Año
Fuente: Departamento de Agricultura de Estados Unidos.
Para los ejercicios 61 a 66, sean f y g dos funciones graficadas en los mismos ejes.
61. Si, en a, (f g)(a) 0, ¿qué condición deben cumplir f(a)
y g(a)?
62. Si, en a, (f g)(a) 0, ¿qué condición deben cumplir f(a)
y g(a)?
63. Si, en a, (f g)(a) 0, ¿qué condición deben cumplir f(a)
y g(a)?
64. Si, en a, (f g)(a) 0, ¿qué condición deben cumplir f(a)
y g(a)?
65. Si, en a, (f/g)(a) 0, ¿qué condición deben cumplir f(a)
y g(a)?
66. Si, en a, (f g)(a) 0, ¿qué condición deben cumplir f(a)
y g(a)?
Grafique las siguientes funciones en su calculadora graficadora.
67.
y1 = 2x + 3
y2 = - x + 4
y3 = y1 + y2
68.
y1 = x - 3
69.
y1 = x
70.
y2 = 2x
y2 = x + 5
y3 = y1 - y2
y3 = y1 # y2
y1 = 2x2 - 4
y2 = x
y3 = y1>y2
Actividad en equipo
Tendencia durante 10 años en calificaciones
de pruebas de aptitud
Calificación
71. Calificaciones La siguiente gráfica muestra las calificaciones promedio que obtuvo un grupo de estudiantes en las
pruebas de aptitud en matemáticas y en habilidades verbales para los años 1992 a 2002. Suponga que f representa las calificaciones en matemáticas y g las calificaciones
en habilidades verbales, y que t representa el año.Tracen en
equipo una gráfica que represente (f g)(t).
525
520
515
510
505
500
495
490
516
Matemáticas
501
Habilidades verbales
504
500
1992
1994
1996
1998
Año
Fuente: USA Today, 28 de agosto de 2002.
2000
2002
200 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Ejercicios de repaso acumulativo
72.
73.
[2.2] 74.
[2.3] 75.
Evalúe (3)3.
Exprese 1,630,000 en notación científica.
1
Despeje h en A = 2 bh.
Lavadora El precio de una lavadora, incluyendo
6% de impuesto, es de $477. Determine su precio
sin tomar en cuenta el impuesto.
[3.1]
76. Grafique y = ƒ x ƒ -2.
[3.3] 77. Grafique 3x - 4y = 12.
3.7 GRAFICACIÓN DE DESIGUALDADES LINEALES
1
1
Representar gráficamente desigualdades lineales con dos
variables.
Representar gráficamente desigualdades lineales con dos variables
Una desigualdad lineal resulta cuando, en una ecuación lineal, el signo de igual se
reemplaza con un signo de desigualdad.
Ejemplos de desigualdades lineales con dos variables
2x + 3y 7 2
-x - 2y … 3
3y 6 4x - 6
5x Ú 2y - 3
Una recta divide un plano en tres regiones: la recta misma y los dos semiplanos
uno a cada uno de sus lados. En este caso, la recta se denomina frontera. Al graficar la
ecuación lineal 2x 3y 6, la recta resultante, llamada recta frontera, divide el plano
en el conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad 2x 3y 6 y el conjunto de
puntos que satisfacen la desigualdad 2x 3y 6. Como la desigualdad 2x 3y 6
significa 2x 3y 6 o 2x 3y 6, la desigualdad 2x 3y 6 contiene a la recta frontera. Lo mismo ocurre con la desigualdad 2x 3y 6. La gráfica de las desigualdades
2x 3y 6 y 2x 3y 6 no contiene la recta frontera. A continuación analizaremos
cómo graficar desigualdades lineales.
Para representar gráficamente una desigualdad lineal con
dos variables
1. Reemplace el símbolo de desigualdad con un signo igual.
2. Trace la gráfica de la ecuación en el paso 1. Si la desigualdad original contiene un símbolo o , trace la gráfica utilizando una línea sólida. Si la desigualdad original contiene
un símbolo o , trace la gráfica utilizando una línea punteada o discontinua.
3. Seleccione un punto que no esté sobre la línea y determine si éste es una solución de la
desigualdad original. Si el punto seleccionado es una solución, sombree el área de la
gráfica que esté del lado de la línea que contiene este punto. Si el punto seleccionado
no satisface la desigualdad, sombree el área de la gráfica que esté del lado de la línea
que no contiene este punto.
En el paso 3 decidimos cuál conjunto de puntos cumple con la desigualdad dada.
Sección 3.7 • Graficación de desigualdades lineales • 201
EJEMPLO 1
Solución
y
5
4
3
2
1
3 2 1
1
1 2 3 4 5 6 7
Grafique la desigualdad y 6
Primero graficamos la ecuación y = 23 x - 3. Como la desigualdad original contiene un
signo menor que, , utilizamos una línea punteada al trazar la gráfica (vea la figura
3.78). La línea punteada indica que los puntos de esta línea no son soluciones de la
desigualdad y 6 23 x - 3. Seleccione un punto que no esté en la línea y determine si
éste satisface la desigualdad. Muchas veces lo más sencillo es utilizar como referencia
el punto origen, (0, 0).
Punto de prueba (0, 0)
2
y 6 x - 3
3
? 2
0 6 102 - 3
3
?
0 6 0 - 3
Falso
0 6 -3
x
2
3
4
5
FIGURA 3.78
y
5
4
3
2
1
Como 0 no es menor que 3, el punto (0, 0) no satisface la desigualdad. La solución
serán todos los puntos del lado de la línea opuesto al punto (0, 0). Sombree esta área
(figura 3.79). Cada punto que esté en el área sombreada satisface la desigualdad dada. Comprobemos con los puntos A, B y C.
(0, 0)
3 2 1
1
2
3
4
5
2
x - 3.
3
A
1 2 3 4 5 6 7
Punto A
x
B
C
y
FIGURA 3.79
0
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15
EJEMPLO 2
Solución
y
5
4
3
2
1
5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
FIGURA 3.80
(3, 1)
2 3 4 5
x
0
0
16, 02
2
6 x - 3
3
? 2
6 162 - 3
3
?
6 4 - 3
6 1 Verdadero
Punto B
y
-3
-3
-3
Grafique la desigualdad y Ú -
13, -32
2
6 x - 3
3
? 2
6 132 - 3
3
?
6 2 - 3
6 - 1 Verdadero
Punto C
y
-4
-4
-4
10, - 42
2
6 x - 3
3
? 2
6 102 - 3
3
?
6 0 - 3
6 - 3 Verdadero
✺
1
x.
2
Primero graficamos la ecuación y = - 12 x. Como la desigualdad es , utilizamos una
línea sólida para indicar que los puntos de la línea son soluciones de la desigualdad (figura 3.80). Como el punto (0, 0) está sobre la línea, no podemos utilizarlo como referencia para determinar la solución; en su lugar, elegimos el punto (3, 1) de manera
arbitraria.
Punto de prueba (3, 1)
1
y Ú - x
2
?
1
1 Ú - 132
2
3
1 Ú Verdadero
2
202 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Como el punto (3, 1) satisface la desigualdad, todo punto que esté en el mismo
1
lado de la línea que (3, 1) también satisfará la desigualdad y Ú - 2 x. Sombree esta
área como se indica. Todo punto que se encuentre en el área sombreada, así como todo punto sobre la recta, satisface la desigualdad.
✺
EJEMPLO 3
6.
Primero graficamos la ecuación 3x 2y 6. Como la desigualdad es
, utilizamos una línea punteada para trazar la gráfica (vea la figura 3.81). Al sustituir
el punto de prueba (0, 0) en la desigualdad, obtenemos una afirmación falsa.
Solución
y
5
4
3
1
Grafique la desigualdad 3x 2y
Punto de prueba (0, 0)
3x - 2y 6 - 6
?
3102 - 2102 6 -6
0 6 - 6 Falso
(0, 0)
5 4 3 2 1
1
1 2 3 4 5
x
2
3
4
5
FIGURA 3.81
Por lo tanto, la solución es la parte del plano que no contiene al origen.
✺
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23
Cómo utilizar su calculadora gráfica
Las calculadoras graficadoras también pueden mostrar gráficas de desigualdades. El procedimiento para
lograrlo varía según el modelo. En la figura 3.82 se muestra la gráfica de y 2x 3. Lea el manual de su calculadora graficadora para aprender cómo mostrar gráficas de desigualdades.
FIGURA 3.82
Conjunto de ejercicios 3.7
Ejercicios conceptuales
1. Cuando se grafica una desigualdad que contiene o ,
¿por qué los puntos de la línea no son soluciones de la
desigualdad?
2. Cuando se grafica una desigualdad que contiene o ,
¿por qué los puntos de la línea sí son soluciones de la desigualdad?
3. Cuando se grafica una desigualdad lineal, ¿cuándo no puede utilizarse el punto (0, 0) como un punto de prueba?
4. Cuando se grafica una desigualdad lineal con la forma y ax b, en donde a y b son números reales, ¿la solución siempre estará por arriba de la recta? Explique.
Problemas de aplicación
Grafique cada desigualdad.
9. y Ú -
3
4
1
10. y 6 x
2
6. x Ú
5. x 7 1
1
x
2
13. y 7 2x - 1
14. y … - x + 2
7. y 6 - 2
8. y 6 x
11. y 6 2x + 1
12. y Ú 3x - 1
1
x - 3
2
16. y 6 3x + 5
15. y Ú
Sección 3.7 • Graficación de desigualdades lineales • 203
17. 2x - 3y Ú 12
18. 2x + 3y 7 6
19. y … - 3x + 5
21. 2x + y 6 4
22. 3x - 4y … 12
23. 10 Ú 5x - 2y
2
x + 3
3
24. -x - 2y 7 4
20. y …
Resolución de problemas
25. Seguro de vida La tarifa mensual por un seguro de vida de
$100,000 para mujeres aumenta de forma casi lineal para
las edades de 35 a 50. La tarifa para una mujer de 35 años de
edad es de $10.15 al mes, y para una mujer de 50 años es
de $16.45 al mes. Fuente: R.K. Reynolds Insurance Service.
a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos.
b) Marque el área de la gráfica en donde la tarifa es menor o igual a $15 al mes.
c) Calcule la edad a la que la tarifa excede, por primera
vez, $15 al mes.
26. Índice de Precios al Consumidor El Índice de Precios al
Consumidor (IPC) es una medida de la inflación. Desde
1990, el IPC ha crecido de manera casi lineal. El IPC en
1990 fue de 130.7, y en 2000 el IPC fue de 172.2. Fuente:
Oficina de Censos de Estados Unidos.
a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos.
b) Marque el área de la gráfica en donde el IPC es mayor
que o igual a 150.
c) Calcule el primer año en el que el IPC fue mayor que
o igual a 150.
27. Remuneración por hora La remuneración por hora es el
monto anual total de los gastos requeridos para emplear
a un individuo, dividido entre el número de horas al año
que éste trabaja. En Estados Unidos, la remuneración promedio por hora para todos los empleados ha aumentado
de manera más o menos lineal desde 1975. En ese año, la remuneración promedio por hora era de $6.36; en 2000, la
remuneración promedio por hora era de $19.86. Fuente:
Oficina de Estadísticas Laborales de Estados Unidos.
a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos.
b) Marque el área de la gráfica en donde la remuneración
promedio por hora es mayor que o igual a $10 por hora.
c) Calcule el primer año en que la remuneración promedio por hora excedió los $10 por hora.
28. Tierras de cultivo en California La cantidad de terreno
de cultivo en California ha disminuido de manera casi lineal desde 1980. En ese año, California tenía alrededor de
34 millones de acres de tierras de cultivo; en 2000 eran 28
millones de acres. Fuente: Departamento de Agricultura
de Estados Unidos.
a) Trace una gráfica que se ajuste a estos datos.
b) Marque el área de la gráfica en donde la cantidad de
tierras de cultivo es menor que o igual a 30 millones
de acres.
c) Calcule el primer año en que la cantidad de tierras de
cultivo fue menor que o igual a 30 millones de acres.
29. a) Grafique f(x) 2x 4.
b) Marque el área de la gráfica acotada por f(x), x 2,
x 4 y el eje x.
30. a) Grafique g(x) x 4.
b) Marque el área de la gráfica acotada por g(x), x 1
y los ejes x y y.
Reto
Grafique cada desigualdad.
31. y 6 ƒ x ƒ
32. y Ú x 2
33. y 6 x 2 - 4
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.1]
34. Resuelva la ecuación 4 -
[2.2]
35. Si C = xq + Z
5x
= - 6.
3
s
, determine C cuando x
q = 80,
1n
Z = 1.96, s = 3, y n = 25.
[2.3] 36. Ofertas musicales Una tienda de discos está a punto de cerrar sus puertas para siempre. La primera semana, el precio de todos los artículos se ha reducido
en 10%; la segunda semana se da un descuento adicional de $2. Si durante la segunda semana Antonio
Sánchez compra un CD por $12.15, determine el
precio original del CD.
[3.2] 37. f(x) x2 3; determine f(1).
[3.3] 38. Escriba una ecuación de la línea que pasa por el
punto (6, 2) y es perpendicular a la línea cuya
ecuación es 2x y 4.
[3.4] 39. Determine la pendiente de la recta que pasa por
(4, 7) y (2, 1).
204 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
RESUMEN
DEL CAPÍTULO
Términos y frases importantes
3.1
Sistema de coordenadas
cartesianas
Puntos colineales
Coordenadas
Ecuación de primer grado
Gráfica
Calculadora graficadora
Ecuación lineal
Punto medio
Ecuación no lineal
Par ordenado
Origen
Cuadrante
Sistema rectangular de
coordenadas
Característica TABLE
Característica TRACE
Ventana de una calculadora graficadora
HECHOS
3.3
Eje x
Eje y
3.2
Variable dependiente
Dominio
Función
Notación de funciones
Gráfica de una función o
de una relación
Variable independiente
Función definida por partes
Rango
Relación
Oferta y demanda
Prueba de la recta vertical
y es una función de x
Recta tangente
Gráfica trasladada
Pendiente cero
Función constante
Función lineal
Raíz
Forma general de una
ecuación lineal
Intersección del eje x
Intersección del eje y
Cero o raíz
Característica ZOOM
3.5
Recíproco negativo
Recta perpendicular
Forma punto pendiente
de una ecuación lineal
3.6
3.4
Diferencia de funciones
Producto de funciones
Cociente de funciones
Suma de funciones
Pendiente negativa
Rectas paralelas
Pendiente positiva
Razón de cambio
Pendiente de una recta
Forma pendiente intersección de una ecuación lineal
3.7
Desigualdad lineal
IMPORTANTES
Pendiente de una recta
¢y
y2 - y1
=
x2 - x1
¢x
m =
Formas de una ecuación lineal
Forma general: ax by c
Forma pendiente intersección: y mx b
Forma punto pendiente: y y1 m(x x1)
Para determinar la intersección del eje x, determine y 0 y despeje y en la ecuación.
Para determinar la intersección y, determine x 0 y despeje x en la ecuación.
Para escribir una ecuación en la forma pendiente intersección, despeje y en la ecuación.
Pendiente positiva
Pendiente cero
Pendiente negativa
Pendiente indefinida
y
y
y
y
4
4
4
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
4 3 2 1
1
1
2
3
4
x
4 3 2 1
1
1
2
3
4
x
4 3 2 1
1
1
2
3
4
x
4 3 2 1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
1
3
4
x
(continúa en la página siguiente)
Ejercicios de repaso del capítulo • 205
Operaciones sobre funciones
Suma de funciones: (f g)(x) f(x) g(x)
Diferencia de funciones: (f g)(x) f(x) g(x)
Producto de funciones: (f g)(x) f(x) g(x)
f1x2
Cociente de funciones: 1f>g21x2 =
, g1x2 Z 0
g1x2
Ejercicios de repaso del capítulo
[3.1]
1. Trace los pares ordenados en los mismos ejes.
a) A 15, 32
b) B 10, 42
c) Ca 5,
1
b
2
d) D1- 4, 32
e) E1- 6, - 12
f) F1- 2, 02
Grafique cada ecuación.
1
x
2
7. y = x 2 - 1
2. y =
3. y = - 2x - 1
8. y = ƒ x ƒ
1
x + 3
2
9. y = ƒ x ƒ - 1
4. y =
5. y = -
3
x + 1
2
10. y = x 3
6. y = x 2
11. y = x 3 + 4
[3.2] 12. Defina qué es una función.
13. ¿Toda relación es una función? ¿Toda función es una relación? Explique.
Determine si las siguientes relaciones son funciones; explique sus respuestas.
14. a
1
b
2
c
3
15. 512, 52, 13, -42, 15, 112, 16, - 12, 12, -526
En los ejercicios 16 a 19, a) determine si las gráficas representan funciones; b) determine el dominio y el rango de cada una.
16.
17.
y
y
4
4
3
3
2
2
1
4 3 2 1
1
18.
1
2
3
4
x
4 3 2 1
2
2
3
3
4
4
19.
y
4
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
x
2
3
4
x
1
2
3
4
x
y
4
4 3 2 1
1
1
4
2 1
1
2
2
3
3
4
4
206 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Velocidad (mph)
20. Si f1x2 = - x 2 + 3x - 5, determine
a) f122 y b) f1h2.
21. Si g1t2 = 2t3 - 3t2 + 1, determine
a) g1 - 12 y b) g1a2.
22. Velocidad de un automóvil Jaime González transita a
bordo de un automóvil. La siguiente gráfica muestra la velocidad del automóvil como una función del tiempo. Idee
una historia que corresponda a esta gráfica.
23. Huerto El número de canastas de manzanas, N, que producen x árboles en un pequeño huerto (x 100), está dado
por la función N(x) 40x 0.2x2. ¿Cuántas canastas de
manzanas producen
a) 20 árboles?
b) 50 árboles?
24. Pelota en descenso Si una pelota se deja caer desde lo alto
de un edificio de 100 pies, su altura respecto del suelo, h,
en cualquier tiempo, t, puede determinarse por medio de
la función h(t) 16t2 100, 0 t 2.5. Determine la
altura de la pelota
70
60
50
a) 1 segundo después de dejarla caer.
40
30
b) 2 segundos después de dejarla caer.
20
10
0
5
0
10
15
20
25
30
Tiempo (minutos)
[3.3] Grafique cada ecuación usando intersecciones.
25. 3x - 4y = 6
26.
1
2
x = y + 20
3
4
Grafique cada ecuación o función.
b) Calcule el número de rosquillas que deben venderse
para que la compañía alcance el punto de equilibrio
(es decir, que no gane ni pierda).
c) Calcule el número de rosquillas vendidas si la compañía tiene una ganancia de $20,000.
30. Interés Trace una gráfica que ilustre el interés sobre un
préstamo de $12,000 por un periodo de un año para diferentes tasas de interés hasta de 20%. Utilice la fórmula interés
capital tasa tiempo.
27. f1x2 = 4
28. x = - 2
29. Compañía de rosquillas La utilidad al año, p, de una compañía que se dedica a producir rosquillas puede calcularse
por medio de la función p(x) 0.1x 5000, en donde x
es el número de rosquillas que se venden al año.
a) Trace una gráfica de utilidades contra rosquillas vendidas hasta 250,000.
[3.4] Determine la pendiente y la intersección del eje y de la gráfica representada por cada ecuación.
31. y =
1
x - 3
2
34. 3x + 4y = 10
32. f1x2 = - 2x + 1
33. 3x + 5y = 12
35. x = - 2
36. f1x2 = 6
Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados.
37. 12, 52, 1- 2, 72
38. 1- 2, 3214, 12
Determine la pendiente de cada recta. Si la pendiente es indefinida, indíquelo. Luego escriba la ecuación de la recta.
39.
40.
y
4
4
3
2
1
2
1
4 3 2 1
1
2
3
4
41.
y
1 2 3 4
x
4 3 2 1
1
2
3
4
y
4
3
2
1
1
3 4
x
3 2 1
1
2
3
4
1 2 3 4
x
Ejercicios de repaso del capítulo • 207
Año
Número de casos de fiebre tifoidea reportados
1970
346
1980
510
1990
552
2000
317
45. Seguridad social La siguiente gráfica muestra el número
de beneficiarios de seguridad social desde 1980, y proyectados hasta 2070. Utilice la forma pendiente intersección
para determinar la función n(t) (representada por la línea
recta punteada) que puede usarse para representar estos
datos.
Beneficiarios de seguridad social
100
Beneficiarios (millones)
42. Si la gráfica que se obtiene de y 2x 3 se traslada 4
unidades hacia abajo, determine
a) la pendiente de la gráfica trasladada.
a) la intersección del eje y de la gráfica trasladada.
a) la ecuación de la gráfica trasladada.
43. Si un punto de una gráfica es (6, 8) y su pendiente es
4
3 , determine la intersección del eje y de la gráfica.
44. Fiebre tifoidea La siguiente tabla muestra el número de
casos reportados de fiebre tifoidea en Estados Unidos para años seleccionados entre 1970 y 2000.
a) Determine cada punto y trace los segmentos de recta
entre ellos.
b) Calcule la pendiente de los segmentos de recta.
c) ¿Durante qué periodo de diez años el número de casos
reportados de fiebre tifoidea aumentó más?
98.2
80
60
35.6
40
0
1980
2000
2020
2040
2060
Año
Fuente: Departamento de Salud y Servicios Humanos de
Estados Unidos.
[3.5] Determine si las dos rectas dadas son paralelas, perpendiculares, o ninguna de ellas.
46. 2x - 3y = 10
2
y = x - 4
3
47. 2x - 3y = 9
-3x - 2y = 6
48. 4x - 2y = 10
-2x + 4y = - 8
Determine la ecuación de la recta con las propiedades indicadas. Escriba sus respuestas en la forma pendiente intersección.
1
Pendiente , pasa por (4, 5).
2
51. Pasa por (0, 4) y es paralela a la recta que se obtiene al
2
graficar y = - x + 1
3
50. Pasa por (3, 1) y ( (2, 4).
53. Pasa por (3, 1) y es perpendicular a la recta cuya ecua3
ción es y = x + 5
5
54. Pasa por (4, 2) y es perpendicular a la recta cuya ecuación
es 4x 2y 8.
49.
52. Pasa por (2, 3) y es paralela a la recta cuya ecuación es 5x
2y 7.
Se dan dos puntos en l1 y dos puntos en l2. Determine si l1 es paralela a l2, si l1 es perpendicular a l2, o ninguna de ellas.
55. l1 : 14, 32 y 10, - 32; l2 : 11, - 12 y 12, -22
56. l1 : 13, 22 y 12, 32; l2 : 14, 12 y 11, 42
59. Tarifas de seguros Las tarifas mensuales por un seguro
de vida de $100,000 para hombres aumenta de manera casi lineal de los 35 a los 50 años de edad. La tarifa para un
hombre de 35 años es de $10.76 al mes, y la tarifa para
un hombre de 50 años es de $19.91 al mes. Sea r la tarifa
y a la edad de un hombre entre 35 y 50 años edad.
a) Determine una función lineal r(a) que se ajuste a estos
datos.
b) Utilizando la función resultante de la parte a), calcule
la tarifa mensual para un hombre de 42 años de edad.
60. Quema de calorías El número de calorías que se queman
al practicar natación durante una hora, cuando se nada a
una velocidad entre 20 y 50 yardas por minuto, es una función lineal de la velocidad del nadador. Una persona que
nada a 30 yardas por minuto quemará alrededor de 489
calorías en una hora, mientras que nadando a 50 yardas
por minuto quemará más o menos 525 calorías en una hora. Esta información se muestra en la siguiente gráfica.
57. l1 : 14, 02 y 11, 32; l2 : 15, 22 y16, 32
58. l1 : 1- 3, 52 y 12, 32; l2 : 1- 4, -22 y 1-1, 22
208 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
Calorías quemadas
Calorías que se queman al nadar
600
525
489
400
200
0
10
20
30
40
50
Yardas por minuto
Fuente: Health Magazine, sitio Web www.health.com
a) Determine una función lineal que pueda usarse para
calcular el número de calorías, C, que se queman en una
hora cuando una persona nada a y yardas por minuto.
b) Utilice la función obtenida en la parte a), para determinar el número de calorías que se queman en una
hora cuando una persona nada a 40 yardas por minuto.
c) Utilice la función obtenida en la parte a), para determinar la velocidad a la que una persona necesita nadar
para quemar 600 calorías en una hora.
a) Calcule el número de periódicos matutinos que había
en 1960.
b) Calcule el número de periódicos matutinos que había
en 2000.
c) Calcule el número de periódicos vespertinos que había
en 1960.
d) Calcule el número de periódicos vespertinos que había
en 2000.
e) Calcule el número total de periódicos que había en
1960.
f) Calcule el número total de periódicos que había en
2000.
70. Registros de vehículos automotores La siguiente gráfica
muestra el número de automóviles registrados en todo el
mundo, el número de camiones y autobuses registrados en
todo el mundo, y el número total de vehículos automotores registrados en todo el mundo, para años seleccionados
entre 1970 y 2000. Sea c el número de automóviles registrados y t el número de camiones y autobuses registrados.
Con base en estos datos, calcule:
a) c120002
b) t120002
[3.6] Dadas f(x) x2 3x 4 y g(x) 2x 5, determine:
61. 1f + g21x2
62. 1f + g2132
c) 1c + t2120002
Registros de vehículos automotores en el mundo
63. 1g - f21x2
64. 1g - f21 -12
800
66. 1f # g2152
67. 1f>g2112
68. 1f>g2122
69. Periódicos La siguiente gráfica muestra el número de periódicos que han circulado en Estados Unidos para años
seleccionados entre 1960 y 2000.
Periódicos en Estados Unidos
600
Automóviles
400
Camiones
y autobuses
200
0
1970
1980
1990
Año
Fuente: Departamento de Energía de Estados Unidos.
2000
Número de diarios
Registros (millones)
Total
65. 1f # g21 -12
1500
Matutinos
Vespertinos
1000
[3.7] Grafique cada desigualdad.
500
0
1960
1970
1980
1990
2000
71. y Ú - 3
72. x 6 4
73. y … 4x - 3
74. y 6
Año
Fuente: Asociación Estadounidense de Periódicos.
1
x - 2
3
2000
Examen de práctica del capítulo • 209
Examen de práctica del capítulo
1.
2.
3.
4.
Grafique y
Grafique y
Grafique y
Grafique y
=
=
=
=
- 2x + 1.
1x.
x2 - 4.
ƒxƒ.
5. Defina qué es una función.
6. ¿El siguiente conjunto de pares ordenados es una función?
Explique su respuesta.
513, 12, 1 -2, 62, 14, 62, 15, 22, 16, 326
En los ejercicios 7 y 8, determine si las gráficas representan funciones. Proporcione el dominio y el rango de cada relación o función.
7.
8.
y
y
5
4
4
3
3
1
2
1
4 3
1
1
1
2
3
4
x
4 3 2 1
1
2
3
3
4
1
2
3
4
x
9. Si f1x2 = 3x 2 - 6x + 2, determine f1 - 22.
En los ejercicios 10 y 11, grafique la ecuación usando las intersecciones de los ejes x y y.
10. -10x + 5y = 20
y
x
= 1
5
4
12. Grafique f1x2 = - 3.
11.
18. Proyección de la población de Estados Unidos Determine la función representada por la recta en la gráfica, que
pueda utilizarse para calcular la población que se estima habrá en Estados Unidos, p, entre 2000 y 2050. Sea
2000 el año de referencia, de modo que 2000 está representado por t 0.
Proyecciones de población en Estados Unidos para 2000-2050
13. Grafique x = 4.
15. Determine la pendiente y la intersección del eje y de la
recta que se obtiene al graficar la ecuación 4x 3y 9.
16. Determine la ecuación, en la forma pendiente intersección, de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (3, 4).
17. Determine la ecuación, en la forma pendiente intersección,
de la recta que pasa por el punto (5, 3) y que es perpen1
dicular a la recta que se obtiene al graficar y = x + 1.
2
393.931
400
Población (millones)
14. Gráfica de utilidad La utilidad anual, p, que le reportó
cierto libro a una compañía editorial, puede calcularse por
medio de la función p(x) 10.2x 50,000, en donde x es
el número de libros impresos y vendidos.
a) Trace una gráfica de utilidad contra libros vendidos
(hasta 30,000 libros).
b) Utilice la función p(x) para calcular el número de libros
que deben venderse para que la compañía alcance el
punto de equilibrio.
c) Utilice la función p(x) para calcular el número de libros
que la compañía debe vender para obtener una utilidad
de $100,000.
350
300
274.634
250
200
150
100
50
0
2000
2010
2020
2030
2040
2050
Año
Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos.
19. Determine si las rectas que resultan al graficar estas dos
ecuaciones son paralelas, perpendiculares, o ninguna de
ellas. Explique su respuesta.
2x - 3y = 6
4x + 8 = 6y
20. Enfermedad cardiaca Aunque el índice de muertes a consecuencia de enfermedades cardiacas es más alto en Estados
Unidos que en muchos otros países, éste ha disminuido de
210 • Capítulo 3 • Gráficas y funciones
manera casi lineal desde más o menos 1970. La siguiente
gráfica de barras indica el número de muertes provocadas
por enfermedades cardiacas, por cada 100,000 decesos, en
años seleccionados desde 1970.
a) Sea r el número de muertes provocadas por enfermedades cardiacas por cada 100,000 decesos, y sea t los
años desde 1970. Escriba una función lineal r(t) que
represente esta información.
b) Por medio de la función resultante de la parte a), determine el índice de muertes provocadas por enfermedades cardiacas en 1995.
c) Suponiendo que esta tendencia continúa, determine la
tasa de muertes provocadas por enfermedades cardiacas en 2010.
21. 1f + g2132
22. 1f>g21 -12
23. f1a2
24. Uso del papel La siguiente gráfica muestra el uso del papel en Estados Unidos en 1995 y el uso del papel proyectado de 1995 a 2015.
a) Calcule el número total de toneladas de papel que se
usará en 2010.
b) Calcule el número de toneladas de papel que usarán
las empresas en 2010.
c) Calcule el número de toneladas de papel que se usará
en 2010 en referencias, medios de comunicación impresos y uso en el hogar.
Uso del papel
400
362
300
266
200
100
1970
1980
1990
Toneladas de papel (millones)
Muertes por enfermedad cardiaca
(por cada 100,000 decesos)
Índice de muertes por enfermedades cardiacas
En los ejercicios 21 a 23, si f(x) 2x2 x y g(x) x 5,
determine:
50
40
30
20
Referencia, medios de comunicación
impresos y uso en el hogar
10
0
1995
Empresas: uso en promoción,
papelería y almacenamiento
2000
Año
Fuente: Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos.
2005
2010
2015
Año
2000
Fuente: CAP Ventures.
25. Grafique y
3x 2.
Examen de repaso acumulativo
Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen
al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el
material correspondiente se indican después de cada respuesta.
1. Para A {1, 3, 5, 7, 9} y B {2, 3, 5, 7, 11, 13}, determine:
a) A ¨ B.
b) A ´ B.
2. Considere el conjunto E - 6, - 4, 13 , 0, 13 , 4.67, 372 , - 12 F
Liste los elementos del conjunto que son
a) números naturales.
b) números reales.
3. Evalúe 2 {3[6 4(62 4)]}.
Simplifique.
4. ¢
5. ¢
4x2
≤
y -3
4xy3
Origen del dinero
(1576 millones)
Subvenciones
federales
14.2%
Cobro por
servicios 15.6%
2
2x4y -2
a) ¿Cuánto dinero se obtuvo a partir de impuestos prediales?
b) ¿Cuánto dinero se obtuvo a partir de subvenciones
federales?
c) ¿Cuánto más se obtuvo a partir de impuestos estatales que a partir de subvenciones estatales?
Otras fuentes 5.2%
Impuesto
predial
30.7%
3
≤
6. Ingresos municipales En 2001, el monto total de los ingresos disponibles en cierto municipio fue de $1.576 109.
La siguiente gráfica muestra un desglose de las fuentes de
ese dinero.
Otros impuestos
locales 5.0%
Impuestos estatales
compartidos 10.3%
Subvenciones
estatales 9.4%
Impuesto
sobre la
renta 9.6%
Fuente: Departamento de Finanzas municipales de la ciudad de Baltimore.
Respuestas al examen de repaso acumulativo • 211
En los ejercicios 7 y 8, resuelva las ecuaciones.
7. 21x + 42 - 5 = - 33x - 12x + 124
8.
17. a) Determine si la siguiente gráfica representa una función.
b) Determine el dominio y el rango de la gráfica.
4
x
= 10
5
3
y
4
9. Simplifique 5x {4 [2(x 4)] 5}.
3
2
1
10. Despeje b1 de A = h1b 1 + b 22.
2
1
4 3 2 1
1
11. Soluciones de peróxido de hidrógeno ¿Cuántos galones de
solución de peróxido de hidrógeno con una concentración
de 15% deben mezclarse con 10 galones de una solución
del mismo compuesto con concentración de 4% para obtener una solución con concentración de 10%?
12. Resuelva la desigualdad 3(x 4)
13. Resuelva la desigualdad 4
2
3
4
x
2
3
4
18. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (5, 3) y (4, 1).
6(2x 3).
3x 7
1
8.
19. Determine si las rectas que resultan al graficar las siguientes ecuaciones son paralelas, perpendiculares, o ninguna
de ellas.
14. Determine el conjunto solución de |3x 5| |2x 10|.
15. Determine el conjunto solución de |2x 1| 3.
2x - 5y = 6
5x - 2y = 9
3
16. Grafique y = - x - 4.
2
20. Si f(x) x2 3x 2 y g(x) 4x 6, determine (f g)(x).
Respuestas al examen de repaso acumulativo
1
37
x9
2. a) Ninguno b) -6, -4, , 0, 13, 4.67, , - 12 3. 92 4. 16x4y6 5. 15
3
2
8y
6. a) $4.83832 * 108 o $483,832,000 b) $2.23792 * 108 o $223,792,000 c) $1.4184 * 107 o $14,184,000
2A
138
; [Sec. 2.1, Obj. 4] 9. 7x - 7; [Sec. 2.1, Obj. 2] 10. b1 =
- b2; [Sec. 2.2, Obj. 2]
7. 0; [Sec. 2.1, Obj. 3] 8. 5
h
10
11. 12 gal; [Sec. 2.4, Obj. 2] 12. x 7 - ; [Sec. 2.5, Obj. 1] 13. 1 6 x 6 5; [Sec. 2.5, Obj. 3] 14. 5 -15, 16; [Sec. 2.6, Obj. 7]
3
y
15. 5xƒ -1 … x … 26; [Sec. 2.6, Obj. 3] 16.
[Sec. 3.1, Obj. 2]
1. a) 53, 5, 76 b) 51, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 136
2
2
–6 –4
x
3
y=– –
x-4
2
–4
–6
4
17. a) No es una función b) Dominio: 5x ƒ x … 26; rango: ; [Sec. 3.2, Obj. 3] 18. - ; [Sec. 3.4, Obj. 2]
9
19. Ninguna; [Sec. 3.5, Obj. 3] 20. x 2 + 7x - 8; [Sec. 3.6, Obj. 1]
Capítulo 4
Sistemas de ecuaciones
y desigualdades
4.1 Resolución de sistemas
de ecuaciones con dos
variables
4.2 Resolución de sistemas
de ecuaciones con tres
variables
4.3 Sistemas de ecuaciones
lineales: aplicaciones y
resolución de problemas
4.4 Resolución de sistemas de
ecuaciones por medio
de matrices
4.5 Resolución de sistemas de
ecuaciones por medio
de determinantes y la
regla de Cramer
4.6 Resolución de sistemas de
desigualdades lineales
Resumen del capítulo
Ejercicios de repaso del
capítulo
Examen de práctica
del capítulo
Examen de repaso
acumulativo
L
os empresarios se esfuerzan para que sus compañías funcionen a toda su capacidad, maximizando
la utilidad de sus recursos. Las matemáticas pueden usarse para determinar la forma más efectiva de distribuir esos recursos. En las páginas 238 a 240, resolveremos un sistema de ecuaciones
relacionado con la construcción de botes inflables. Posteriormente, en los ejercicios que inician en
la página 241, se presentan problemas similares a partir de situaciones en las industrias de producción
de muebles, alimento para animales y metalurgia, entre otros productos. El campo de las matemáticas que analiza este tipo de problemas, se denomina investigación de operaciones.
212
Section 4.1 • Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables • 213
Avance de
la lección
E
n este capítulo resolveremos sistemas de ecuaciones lineales mediante los métodos de graficación, sustitución, suma, matrices y determinantes y la regla de
Cramer. También resolveremos sistemas de desigualdades lineales. A lo largo de este
capítulo, en especial en la sección 4.3, se plantean muchas aplicaciones de estos
temas en la vida real, además de otras cuestiones esenciales que las empresas emplean para analizar las relaciones entre las variables involucradas en su operación
cotidiana.
4.1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES
1
Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante graficación.
2
Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante sustitución.
3
Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método
de la suma.
Con frecuencia es necesario determinar una solución común a dos o más ecuaciones
lineales. A este conjunto de ecuaciones se le denomina sistema de ecuaciones lineales
(o ecuaciones lineales simultáneas). Por ejemplo,
112 y = x + 5
r
122 y = 2x + 4
Sistema de ecuaciones lineales.
La solución de un sistema de ecuaciones es un par ordenado (o pares ordenados) que
satisface todas las ecuaciones del sistema. La única solución del sistema del ejemplo
anterior es (1, 6).
Verificación en la ecuación (1)
Verificación en la ecuación (2)
11, 62
11, 62
y = x + 5
y = 2x + 4
?
= + 5
6 = 6
= 21 2 + 4
6 = 6
?
Verdadero
Verdadero
El par ordenado (1, 6) satisface ambas ecuaciones y es, por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones.
Un sistema de ecuaciones puede estar conformado por más de dos ecuaciones. Si
un sistema consta de tres ecuaciones con tres variables, como x, y y z, la solución será una
terna ordenada de la forma (x, y, z). Para que la terna ordenada (x, y, z) sea una solución
del sistema, debe satisfacer las tres ecuaciones que lo constituyen. Los sistemas con tres
ecuaciones y tres variables se estudian en la sección 4.2. Los sistemas de ecuaciones pueden tener más de tres variables, pero en este libro no analizaremos este tipo de sistemas.
1
Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante graficación
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables mediante la graficación, debemos graficar ambas ecuaciones del sistema en los mismos ejes. La solución
del sistema será el par o pares ordenados comunes a ambas rectas, o el punto de intersección de las rectas del sistema.
Cuando graficamos dos rectas pueden presentarse tres posibilidades, como se
ilustra en la figura 4.1. En la figura 4.1a, las rectas 1 y 2 se intersecan exactamente en
un punto; por lo tanto, este sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución. Éste
es un ejemplo de un sistema de ecuaciones consistente. Un sistema de ecuaciones consistente es aquel que tiene solución.
214 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Las rectas 1 y 2 de la figura 4.1b son diferentes pero paralelas. Las rectas no se
intersecan, así que este sistema de ecuaciones no tiene solución. Éste es un ejemplo de
un sistema de ecuaciones inconsistente. Un sistema de ecuaciones inconsistente es aquel
que no tiene solución.
En la figura 4.1c, las rectas 1 y 2 son, en realidad, la misma. En este caso, todo punto de la recta satisface ambas ecuaciones y es una solución del sistema de ecuaciones.
Este sistema tiene un número infinito de soluciones. Éste es un ejemplo de un sistema
de ecuaciones dependiente. En un sistema de ecuaciones lineales dependiente, ambas
ecuaciones representan la misma recta. Un sistema de ecuaciones dependiente es aquel
que tiene un número infinito de soluciones. Observe que un sistema dependiente también es un sistema consistente, ya que tiene solución.
Exactamente 1 solución
(las rectas se intersecan)
Número infinito
de soluciones
(la misma recta)
Sin solución
(rectas paralelas)
y
y
y
Recta 2
Recta 1
Recta 1
Solución
x
Recta 2
Recta 1
x
x
Recta 2
FIGURA 4.1
Consistente
Inconsistente
(a)
(b)
Dependiente
(c)
Podemos determinar si un sistema de ecuaciones lineales es consistente, inconsistente o dependiente escribiendo cada ecuación en forma pendiente intersección (o
forma ordenada al origen) y comparando las pendientes y las intersecciones del eje y
de sus rectas; si las pendientes de las rectas son diferentes (figura 4.1a), el sistema es
consistente. Si las pendientes son las mismas pero sus intersecciones del eje y son diferentes (figura 4.1b), el sistema es inconsistente; si las dos pendientes y las intersecciones del eje y son las mismas (figura 4.1c), el sistema es dependiente.
EJEMPLO 1
Sin graficar las ecuaciones, determine si el siguiente sistema de ecuaciones es consistente, inconsistente o dependiente.
3x - 4y = 8
-6x + 8y = - 16
Solución
Escriba cada ecuación en la forma pendiente intersección.
3x - 4y = 8
-4y = - 3x + 8
3
y = x - 2
4
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19
-6x + 8y = - 16
8y = 6x - 16
3
y = x - 2
4
Como ambas ecuaciones tienen la misma pendiente, 34 , y la misma intersección y (0, 2),
las ecuaciones representan a la misma recta. Por lo tanto, el sistema es dependiente y
tiene un número infinito de soluciones.
✺
Sección 4.1 • Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables • 215
EJEMPLO 2
Resuelva gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.
y = x + 2
y = -x + 4
y
5
4
3
2
1
5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
yx2
(1, 3)
1 2 3 4 5
x
Solución Grafique ambas ecuaciones en los mismos ejes (figura 4.2). La solución
es el punto en que se intersecan las dos rectas (1, 3).
✺
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 25
El sistema de ecuaciones del ejemplo 2 podría representarse en notación de
funciones como
f1x2 = x + 2
g1x2 = - x + 4
y x 4
FIGURA 4.2
Cómo utilizar su calculadora graficadora
En el recuadro Cómo utilizar su calculadora graficadora de la página 163, sección 3.3, analizamos el uso de
una calculadora graficadora para determinar la intersección de dos gráficas. Ahora utilizaremos esa información
para resolver un sistema de ecuaciones.
EJEMPLO Utilice su calculadora graficadora para resolver el sistema de ecuaciones. Redondee la solución al
centésimo más cercano.
-2.6x - 5.2y = - 15.3
Solución
- 8.6x + 3.7y = - 12.5
Primero despeje y de cada ecuación.
-2.6x - 5.2y = - 15.3
-2.6x = 5.2y - 15.3
- 8.6x + 3.7y = - 12.5
3.7y = 8.6x - 12.5
-2.6x + 15.3 = 5.2y
-2.6x + 15.3
= y
5.2
Ahora, determine y1 =
y =
8.6x - 12.5
3.7
- 2.6x + 15.3
8.6x - 12.5
y y2 =
. Las gráficas de y1 y y2 se ilustran en la figura 4.3.
5.2
3.7
y1
FIGURA 4.3
y2
FIGURA 4.4
Redondeando al centésimo más cercano, en la figura 4.4 se muestra que la intersección de las dos gráficas ocurre
en (2.24, 1.82).
Utilice su calculadora graficadora para determinar la solución de cada sistema. Redondee sus respuestas al centésimo más cercano.
1. 2x + 3y = 8
2. 5x - 6y = 9
- 3x + 4y = - 5
3. 3.4x - 5.6y = 10.2
5.8x + 1.4y = - 33.6
4. -2.3x + 7.9y = 88.3
-3x + 5y = 8
-5.3x - 2.7y = - 16.5
216 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
2
Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante sustitución
Con frecuencia resulta difícil determinar una solución exacta para un sistema de
ecuaciones mediante graficación. Incluso puede ocurrir que una calculadora graficadora no proporcione una respuesta exacta. Cuando se requiere una respuesta exacta,
el sistema debe resolverse de manera algebraica, ya sea por el método de sustitución
o por el de suma (o de eliminación) de ecuaciones. Analizaremos primero el método
de sustitución.
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución
1. Despeje una variable en cualquier ecuación. (De ser posible, despeje una variable con
un coeficiente numérico igual a 1 para no trabajar con fracciones).
2. Sustituya la variable en la otra ecuación, con la expresión determinada en el paso 1.
Con esto obtendrá una ecuación con una sola variable.
3. Resuelva la ecuación obtenida en el paso 2 para determinar el valor de esta variable.
4. Sustituya la variable en la ecuación del paso 1, con el valor determinado en el paso 3.
Resuelva la ecuación para determinar la variable restante.
5. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.
EJEMPLO 3
Resuelva el sistema de ecuaciones mediante sustitución.
y = 3x - 13
y = - 4x + 1
Solución
Como en ambas ecuaciones y ya está despejada, podemos sustituir esa variable por
3x 13 en la segunda ecuación, para después despejar la variable restante, x.
3x - 13
7x - 13
7x
x
=
=
=
=
- 4x + 1
1
14
2
Ahora determinamos y sustituyendo x 2 en cualquiera de las ecuaciones originales.
Utilicemos la primera ecuación.
y = 3x - 13
y = 3122 - 13
y = 6 - 13 = - 7
Si verifica, comprobará que la solución del sistema de ecuaciones es (2, 7).
EJEMPLO 4
✺
Resuelva por sustitución el siguiente sistema de ecuaciones.
2x + y = 11
x + 3y = 18
Solución
Comience por despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones. Puede
elegir cualquiera de ellas; sin embargo, si despeja una variable con coeficiente numérico 1, puede evitar trabajar con fracciones. En este sistema, el término y en 2x y 11
y el término x en x 3y 18 tienen coeficiente numérico 1.
Despejemos y en 2x y 11.
2x + y = 11
y = - 2x + 11
Sección 4.1 • Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables • 217
Ahora sustituyamos y por 2x 11 en la otra ecuación, x 3y 18, y despejemos la
variable restante, x.
x + 3y = 18
$'%'&
x + 31-2x + 112
x - 6x + 33
- 5x + 33
-5x
x
=
=
=
=
=
18
18
18
- 15
3
Sustituya -2x + 11 por y.
Por último, sustituimos x 3 en la ecuación y 2x 11 y despejamos y.
y = - 2x + 11
y = -2132 + 11 = 5
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41
La solución es el par ordenado (3, 5). Compruébelo.
✺
Si, al resolver un sistema de ecuaciones ya sea por sustitución o por el método
de la suma, se llega a una ecuación falsa como 5 6 o 0 3, significa que el sistema
es inconsistente y no tiene solución. Si se obtiene una ecuación que siempre es verdadera, como 6 6 o 0 0, significa que el sistema es dependiente y tiene un número
infinito de soluciones.
SUGERENCIA
3
Es frecuente que los estudiantes obtengan bien el valor de una de las variables y se olviden
de obtener el valor de la otra. Recuerde que una solución debe contener un valor numérico
para cada variable del sistema.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de la suma
Un tercer método para resolver un sistema de ecuaciones, y con frecuencia el más
sencillo, es el método de la suma (o de eliminación). El objetivo de este procedimiento consiste en obtener dos ecuaciones cuya suma dé por resultado una ecuación
con una sola variable. Tenga en mente que su meta inmediata es obtener una ecuación con una sola incógnita.
EJEMPLO 5
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones con el método de la suma.
2x + 5y = - 1
3x - 5y = 11
Solución
Observe que una ecuación incluye 5y y la otra 5y. Sumando las ecuaciones, podemos eliminar la variable y y obtener una ecuación con una sola incógnita, x.
2x + 5y = - 1
3x - 5y = 11
5x
= 10
Ahora despejamos la variable que queda, x.
5x
10
=
5
5
x = 2
218 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Por último, despejamos y sustituyendo x por 2 en cualquiera de las ecuaciones originales.
2x + 5y =
2122 + 5y =
4 + 5y =
5y =
y =
-1
-1
-1
-5
-1
✺
Si verifica, comprobará que la solución es (2, 1).
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el
método de la suma (o eliminación)
1. En caso necesario, reescriba cada ecuación en la forma general, es decir, de modo que
los términos con variables queden al lado izquierdo del signo igual y la constante al
lado derecho.
2. Si es necesario, multiplique una o ambas ecuaciones por una constante (o constantes)
para que, al sumarlas, el resultado contenga sólo una variable.
3. Sume los lados respectivos de las ecuaciones. Con esto obtendrá una sola ecuación con
una variable.
4. Despeje la variable en la ecuación obtenida en el paso 3.
5. Sustituya la variable en cualquiera de las ecuaciones originales con el valor determinado en el paso 4. Resuelva esa ecuación para determinar el valor de la variable
restante.
6. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.
En el paso 2 del procedimiento, se indica que puede ser necesario multiplicar
ambos lados de una ecuación por una constante. Para evitar confusión, numeraremos
nuestras ecuaciones mediante paréntesis, como (ec. 1) o (ec. 2).
En el ejemplo 6, resolveremos el mismo sistema resuelto en el ejemplo 4, pero
esta vez usaremos el método de la suma.
EJEMPLO 6
Solución
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.
2x + y = 11
(ec. 1)
x + 3y = 18
(ec. 2)
El objetivo del proceso de suma es obtener dos ecuaciones cuya suma dé por resultado una ecuación con una sola variable. Para eliminar la variable x, multiplicaremos la
(ec. 2) por 2 y sumaremos las dos ecuaciones.
2x + y =
11 (ec. 1)
- 2x - 6y = - 36 (ec. 2)
Multiplicada por 2.
Ahora sumamos,
2x + y
-2x - 6y
-5y
y
= 11
= - 36
= - 25
=
5
Ahora despejamos x, sustituyendo y por 5 en cualquiera de las ecuaciones originales.
Sección 4.1 • Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables • 219
2x + y
2x + 5
2x
x
11
11
6
3
=
=
=
=
Sustituir y por 5.
La solución es (3, 5). Observe que podríamos haber eliminado la variable y multiplicando la (ec. 1) por 3 y después sumando.
✺
A veces cada ecuación debe multiplicarse por números diferentes para eliminar
una de las variables. El ejemplo 7 ilustra este procedimiento.
EJEMPLO 7
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.
4x + 3y =
Solución
7
(ec. 1)
3x - 7y = - 3
(ec. 2)
La variable x puede eliminarse multiplicando la (ec. 1) por 3, y la (ec. 2) por 4.
-12x - 9y = - 21
(ec. 1)
Multiplicada por 3.
12x - 28y = - 12
(ec. 2)
Multiplicada por 4.
-37y = - 33
Suma de las ecuaciones.
33
37
y =
Ahora podemos determinar x sustituyendo y por 33
37 en una de las ecuaciones originales, y despejando x. Si usted lo intenta verá que, aunque es posible hacerlo, esto no es
fácil. Un método más sencillo para obtener el valor de x consiste en regresar a las ecuaciones originales y eliminar la variable y.
28x + 21y = 49
(ec. 1)
Multiplicada por 7.
9x - 21y = - 9
(ec. 2)
Multiplicada por 3.
37x
= 40
x =
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 67
La solución es A 37 , 37 B .
Suma de las ecuaciones.
40
37
40 33
✺
En el ejemplo 7 podría obtenerse la misma solución multiplicando la (ec. 1) por 3
y la (ec. 2) por –4, para después sumarlas. Inténtelo para comprobarlo.
EJEMPLO 8
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.
0.2x + 0.1y = 1.1 (ec. 1)
y
x
+
= 1
18
6
Solución
(ec. 2)
Cuando un sistema de ecuaciones incluye fracciones o números decimales, en general
es mejor eliminarlos. En la (ec. 1), si multiplicamos por 10 ambos lados de la ecuación,
obtenemos
10 10.2x2 + 10 10.1y2 = 10 11.12
2x + y = 11
(ec. 3)
220 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
En la (ec. 2), si multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador, 18, obtenemos
18 a
y
x
b + 18 a b = 18 112
18
6
x + 3y = 18
(ec. 4)
Ahora, el sistema de ecuaciones se ha simplificado a
2x + y = 11
x + 3y = 18
(ec. 3)
(ec. 4)
Éste es el mismo sistema de ecuaciones que se resolvió en el ejemplo 6. Por lo tanto,
la solución es (3, 5), la mismo que se obtuvo en el ejemplo 6.
✺
EJEMPLO 9
Solución
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el método de la suma.
x - 3y = 4
-2x + 6y = 1
(ec. 1)
2x - 6y = 8
(ec. 1)
- 2x + 6y = 1
(ec. 2)
(ec. 2)
0 = 9
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 59
EJEMPLO 10
Multiplicada por 2.
Falso
Como 0 9 es una proposición falsa, este sistema no tiene solución. El sistema es inconsistente y las gráficas de estas ecuaciones son rectas paralelas.
✺
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.
1
y = 2
2
y = 2x - 4
x -
Solución
Primero alineamos los términos x y y del lado izquierdo de la ecuación.
1
y = 2 (ec. 1)
2
2x - y = 4 (ec. 2)
x -
Ahora procedemos como en los ejemplos anteriores.
-2x + y = - 4
2x - y = 4
0 = 0
(ec. 1)
Multiplicada por 2.
(ec. 2)
Verdadero
Como 0 0 es una proposición verdadera, el sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones. Ambas ecuaciones representan la misma recta. Observe que
si multiplica ambos lados de la (ec. 1) por 2, obtendrá la (ec. 2).
✺
Hemos ilustrado tres métodos que pueden utilizarse para resolver un sistema de
ecuaciones lineales: graficación, sustitución y suma. ¿Qué método debe utilizar cuando
le pidan resolver un sistema de ecuaciones? Cuando necesite una solución exacta, la
graficación no es el método apropiado. De los dos métodos algebraicos, el de la suma
puede ser el más sencillo de utilizar si no hay coeficientes numéricos 1 en el sistema.
Si al menos una de las ecuaciones tiene un coeficiente igual a 1, puede utilizar cualquier
método. En la sección 4.4 se presentará un cuarto método con matrices, y en la sección
4.5, un quinto método, con determinantes.
Sección 4.1 • Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables • 221
Conjunto de ejercicios 4.1
Ejercicios conceptuales
7. Explique cómo se puede determinar, sin graficar ni resolver, si un sistema de dos ecuaciones lineales es consistente, inconsistente o dependiente.
1. ¿Cuál es una solución para un sistema de ecuaciones lineales?
2. ¿Cómo se denomina la solución para un sistema de ecuaciones lineales con tres variables?
8. ¿Cuál es el objetivo del método de la suma cuando se resuelve un sistema de ecuaciones lineales?
3. ¿Qué es un sistema de ecuaciones dependiente?
9. ¿Cómo puede saberse si un sistema lineal es dependiente
mediante el método de la suma?
4. ¿Qué es un sistema de ecuaciones inconsistente?
5. ¿Qué es un sistema de ecuaciones consistente?
6. Explique cómo determinar de manera gráfica la solución
de un sistema de ecuaciones.
10. ¿Cómo puede saberse si un sistema lineal es inconsistente mediante el método de la suma?
Problemas de aplicación
Determine cuáles, si los hay, de los pares ordenados o ternas ordenadas satisfacen el sistema de ecuaciones lineales.
11. y = 2x + 4
13. x + y = 25
12. 3x - 5y = 12
y = 2x - 1
a) 10, 42
b) 13, 102
0.25x + 0.45y = 7.50
3
y = x - 3
4
a) 14, 02
b) 18, 32
x
7
3
3
5x - 35 = 15y
a) 15, 202
b) 118.75, 6.252
16. 4x + y - 3z = 1
15. x + 2y - z = - 5
14. y =
2x - 2y + 6z = 11
-6x + 3y + 12z = - 4
a) 12, - 1, - 22
1
b) a , 2, 1b
2
2x - y + 2z = 8
3x + 3y + 4z = 5
a) 11, 3, - 22
b) 11, - 2, 22
a) 11, - 22
b) 14, -12
Escriba cada ecuación en forma pendiente intersección. Sin graficar las ecuaciones, determine si el sistema de ecuaciones es consistente, inconsistente o dependiente. También indique si el sistema tiene exactamente una solución, no tiene solución o tiene un número
infinito de soluciones.
17. - 6x + 3y = 1
4y + 12 = - 6x
21. 3x - 3y = 9
2x - 2y = - 4
1
y = 5
2
2x - y = 7
y
x
+
= 1
3
4
4x + 3y = 12
18. x -
19.
22. 2x = 3y + 4
23. y =
6x - 9y = 12
1
3
x +
2
2
3x - 2y = -
20.
y
x
+
= 1
3
4
4x - y = 12
24. x - y = 3
1
2
1
x - 2y = - 6
2
Determine gráficamente la solución de cada sistema de ecuaciones. Indique si el sistema es inconsistente o dependiente.
25. y = x + 5
26. y = 2x + 4
y = -x + 3
y = - 3x - 6
29. 2x + 3y = 6
30. y = - 2x - 1
4x = - 6y + 12
33. y = - 5x + 5
y = 2x - 2
x + 2y = 4
34. 4x - y = 9
x - 3y = 16
27. y = 4x - 1
2y = 8x + 6
31. x + 3y = 4
x = 1
35. 2x - y = - 4
2y = 4x - 6
28. x + y = 1
3x - y = - 5
32. 2x - 5y = 10
y =
2
x - 2
5
1
x - 1
3
3y = 4x - 18
36. y = -
222 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Determine por sustitución la solución de cada sistema de ecuaciones.
37. x + 3y = - 1
y = x + 1
41. a + 3b = 5
2a - b = 3
1
b = 2
2
b = 2a - 4
45. a -
49. 5x - 4y = - 7
x -
3
y = -2
5
38. 3x - 2y = - 7
39. x = 2y + 3
y = 2x - 3
42. 6s + 3t = 4
1
x = 0
2
x + 4y - 1 = 0
m +
y =
51.
1
n = 4
2
44. x = 0.5y + 1.7
10x - y = 1
2
x - 1
3
2x - 3y = 5
47. 5x - 2y = - 7
1
2
y = - x 3
3
50. m + 2n = 4
x = y
43. y +
1
s = t
2
46. x + 3y = - 2
40. y = 3x - 14
y = x
48. y =
5
x + 1
2
1
1
x - y = 2
2
3
2
1
x + y = 6
4
3
52.
1
1
x + y = 13
2
3
1
1
x + y = 5
5
8
Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.
53. x + y = 7
54. - x + y = 4
x - y = -3
56. 2x - 5y = 6
55. 4x - 3y = 1
x - 2y = 6
5x + 3y = - 10
58. 4r - 3s = 2
57. 10m - 2n = 6
2r + s = 6
- 5m + n = - 3
- 4x + 10y = - 1
59. 2c - 5d = 1
-4c + 10d = 6
60. 2v - 3w = 8
61. 3p - 2q = 1
3v - 6w = 1
2p + 5q = 7
62. 5a - 10b = 15
63. 5s - 3t = 7
a = 2b + 3
65. 2x - y = 8
69. 0.2x + 0.5y = 1.6
1
1
x = 4 - y
3
4
3x = 4y
70. 0.15x - 0.40y = 0.65
- 0.3x + 0.4y = - 0.1
72. - 0.25x + 0.10y = 1.05
- 1.5m - 0.3n = - 6.0
74.
67. 3x - 4y = 5
2x = 5y - 3
2x = - 5y - 1
2x - 3y = 4
71. 2.1m - 0.6n = 8.4
-5x + 3y = 7
66. 3x + 4y = 2
3x + y = 6
68. 4x + 5y = 3
64. 2x - 7y = 3
t = s + 1
0.60x + 0.25y = - 1.1
73.
- 0.40x - 0.625y = - 0.675
75.
1
1
x + y = 4
5
2
2
8
x - y =
3
3
76.
1
1
x - y = 1
2
3
1
1
2
x - y =
4
9
3
1
2
x - 4 = y
3
2
1
x - 3y =
3
Resolución de problemas
77. a) Escriba un sistema de ecuaciones que sea más fácil de
resolver por sustitución.
b) Explique por qué la sustitución sería el método más
fácil de usar.
c) Resuelva el sistema por sustitución.
78. a) Escriba un sistema de ecuaciones que sea más fácil de
resolver por el método de la suma.
b) Explique por qué el método de suma sería el más fácil
de usar.
c) Resuelva el sistema por el método de suma.
Sección 4.1 • Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables • 223
79. Edad de los recién casados De acuerdo con información
censal, los hombres y las mujeres esperan cada vez más
para casarse. La siguiente gráfica muestra la edad promedio a la que hombres y mujeres contraen matrimonio por
primera vez.
Edad
2x - 6y = - 13
a) ¿Cuántas soluciones más tiene el sistema? Explique.
Hombres
25
b) Determine la pendiente de la recta que pasa por los
puntos (4, 3) y (6, 11). Determine una ecuación de
la recta que contenga esos puntos, y luego establezca la
intersección del eje y.
20
Mujeres
15
-x + 3y = 5
83. Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales incluye
los pares ordenados (4, 3) y (6, 11).
Edad promedio en el primer matrimonio
30
82. Explique, basándose sólo en la observación, cómo puede
decir que este sistema es inconsistente.
10
c) ¿Esta recta representa una función?
5
0
1960
1970
1980
1990
2000
Año
84. Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales incluye
los pares ordenados (5, 1) y (5, 4).
a) ¿Cuántas soluciones más tiene el sistema? Explique.
La edad promedio a la que las mujeres contraen matrimonio por primera vez, puede calcularse mediante la función
W(t) 0.12t 20.3, y la edad promedio a la que los hombres lo hacen puede calcularse por medio de la función
M(t) 0.1t 22.8, en donde t es años desde 1960. Si esta
tendencia continúa, determine el año en que la edad promedio a la que hombres y mujeres contraerán matrimonio
por primera vez será la misma.
80. Periódicos La siguiente gráfica muestra que el número
de periódicos vespertinos editados en Estados Unidos
ha disminuido de forma casi lineal desde 1980, mientras
que el número de periódicos matutinos ha aumentado
casi linealmente.
b) Determine la pendiente de la recta que pasa por los
puntos (5, 1) y (5, 4). Obtenga una ecuación de
la recta que contiene esos puntos. ¿Esta gráfica tiene
una intersección del eje y? Explique.
c) ¿Esta recta representa una función?
85. Construya un sistema de ecuaciones dependiente. Explique
cómo creó su sistema.
86. Construya un sistema de ecuaciones inconsistente. Explique
cómo creó su sistema.
Número de periódicos
Periódicos
1400
En los ejercicios 87 y 88, a) cree un sistema de ecuaciones lineales con la solución indicada, y b) explique cómo determinó
su solución.
Vespertinos
1200
1000
87. (2, 5).
800
88. (3, 4).
600
Matutinos
400
89. La solución para el siguiente sistema de ecuaciones es
(2, 3). Determine A y B.
200
0
1980
Ax + 4y = - 8
1990
2000
Año
El número de periódicos vespertinos, E(t), puede calcularse mediante la función E(t) 33.05t 1388, y el
número de periódicos matutinos por medio de la función
M(t) 18.95t 387, en donde t representa el número de
años desde 1980. Con base en estas funciones, determine
en qué año el número de periódicos vespertinos era igual
al número de periódicos matutinos.
81. Explique, basándose sólo en la observación, cómo puede
decir que este sistema es dependiente.
2x + 3y = 1
4x + 6y = 2
3x - By = 21
90. La solución para el siguiente sistema de ecuaciones es
(5, 3). Determine A y B.
3x + Ay = - 3
Bx - 2y = - 16
91. Si (2, 6) y (1, 6) son dos soluciones de f(x) mx b,
determine m y b.
92. Si (3, 5) y (2, 10) son dos soluciones de f(x) mx b,
determine m y b.
93. Suponga que usted grafica un sistema de dos ecuaciones
lineales en su calculadora graficadora, pero sólo se ve una
recta en la ventana. ¿Cuáles son dos posibles explicaciones
para esto?
224 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
94. Suponga que usted grafica un sistema de ecuaciones lineales en su calculadora graficadora y obtiene lo siguiente.
a) Observando la ventana, ¿puede usted asegurar que este
sistema es inconsistente? Explique.
b) ¿Qué puede hacer en su calculadora graficadora para
determinar si el sistema es inconsistente?
Reto
Resuelva cada sistema de ecuaciones.
95.
y + 4
x + 2
= 4
2
3
x + y
x - y
1
=
+
2
2
3
96.
Resuelva cada sistema de ecuaciones. (Pista:
97.
9
5x
+ 3y = + y
2
2
1
1
x - y = 6x + 12
4
2
1
3
1
= 3 # = 3x si x = ).
a
a
a
4
3
+
= -1
a
b
1
6
+
= 2
a
b
98.
1
6
+
= -1
x
y
2
3
= -3
x
y
Despejando x y y, determine la solución para cada sistema de ecuaciones. En todas las ecuaciones a 0 y b 0. La solución incluirá
las literales a, b, o ambas.
99. 4ax + 3y = 19
100. ax = 2 - by
- ax + y = 4
-ax + 2by - 1 = 0
Actividad en equipo
Analice y responda en equipo el ejercicio 101.
101. Tendencia La siguiente gráfica apareció en las revistas
médicas Journal of the American Medical Association y
Scientific American. La línea inferior indica la tendencia a
largo plazo de las muertes provocadas por armas de fuego,
y la línea superior la tendencia a largo plazo de las muertes
provocadas por accidentes automovilísticos. Las líneas
delgadas negras indican la tendencia a corto plazo en ambas situaciones.
b) Analice la tendencia a largo plazo de las muertes provocadas por armas de fuego.
c) Compare las tendencias a corto y largo plazo de las
muertes provocadas por accidentes automovilísticos.
d) Compare las tendencias a corto y largo plazo de las
muertes provocadas por armas de fuego.
e) Utilice las tendencias a largo plazo para calcular el momento en que el número de muertes provocadas por
armas de fuego será igual al número de muertes provocadas por accidentes automovilísticos.
Tendencias de mortalidad
Muertes anuales
(por cada 100,000 personas)
a) Analice la tendencia a largo plazo de las muertes provocadas por accidentes automovilísticos.
30
f) Repita la parte e) utilizando las tendencias a corto plazo.
25
g) Determine una función, M(t), que pueda usarse para
calcular el número de muertes provocadas por accidentes automovilísticos (a largo plazo) en un universo de
100,000 personas, entre 1965 y 2010.
20
15
10
Por arma de fuego
Por accidentes automovilísticos
5
0
1970
1980
1990
Año
2000
2010
h) Determine una función, F(t), que pueda usarse para
calcular el número de muertes provocadas por armas
de fuego (a largo plazo) en un universo de 100,000 personas, entre 1965 y 2010.
i) Resuelva los sistemas de ecuaciones determinados en
las partes g) y h). ¿La solución coincide con la solución
de la parte e)? Si no, explique por qué.
Sección 4.2 • Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables • 225
Ejercicios de repaso acumulativo
102. Explique la dif erencia entre un número racional y
uno irracional.
103. a) ¿Todos los números racionales son números
reales?
b) ¿Todos los números irracionales son números
reales?
[2.1] 104. Resuelva la ecuación
3
1
1x - 72 = 12x + 12.
2
4
[2.2] 106. Evalúe A = p a 1 +
r t
b , cuando p 500, r 0.08,
n
n 2 y t 1.
[3.5] 107. ¿La relación {(3, 4), (7, 2), (4, 5), (5, 0), (3, 2)}
es una función? Explique su respuesta.
[3.6] 108. Sea f(x) x 3 y g(x) x2 9. Determine
(f/g)(3).
[2.2] 105. Encuentre todos los números tales que |x 4| |4 x|.
4.2 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES VARIABLES
1
1
Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables.
2
Aprender a interpretar geométricamente un sistema de ecuaciones con tres variables.
3
Reconocer sistemas inconsistentes y dependientes.
Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables
La ecuación 2x 3y 4z 8 es un ejemplo de una ecuación lineal con tres variables. La
solución de este tipo de ecuaciones lineales es una terna ordenada de la forma (x, y, z).
Una solución para la ecuación dada es (1, 2, 3). Compruébelo.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables, podemos usar los
métodos de sustitución o de la suma que analizamos en la sección 4.1.
EJEMPLO 1
Resuelva el siguiente sistema por sustitución.
x = -3
3x + 4y = 7
-2x - 3y + 5z = 19
Solución
Como sabemos que x 3, sustituimos x por –3 en la ecuación 3x 4y 7, y despejamos y.
3x + 4y = 7
31-32 + 4y = 7
-9 + 4y = 7
4y = 16
y = 4
Ahora sustituimos x 3 y y 4 en la última ecuación, y despejamos z.
-2x - 3y
-21-32 - 3142
6 - 12
-6
+
+
+
+
5z
5z
5z
5z
5z
z
=
=
=
=
=
=
19
19
19
19
25
5
226 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Comprobación
x 3, y 4, z 5. La solución debe verificarse en las tres ecua-
ciones originales.
x = -3
-3 = -3
Verdadero
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 3
3x + 4y = 7
?
31 -32 + 4142 = 7
7 = 7 Verdadero
-2x - 3y + 5z = 19
?
-21-32 - 3142 + 5152 = 19
19 = 19 Verdadero
La solución es la terna ordenada (3, 4, 5). Recuerde que la terna ordenada lista primero el valor x, después el valor y y por último el valor z.
✺
No todos los sistemas lineales con tres variables pueden resolverse por sustitución de forma tan directa como en el ejemplo 1. Cuando un sistema de tercer orden no
puede resolverse fácilmente por sustitución, podemos encontrar la solución utilizando el método de la suma, como se ilustra en el ejemplo 2.
EJEMPLO 2
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de la suma.
3x + 2y + z =
Solución
4
(ec. 1)
2x - 3y + 2z = -7
x + 4y - z = 10
(ec. 2)
(ec. 3)
Para resolver este sistema de ecuaciones, debemos obtener primero dos ecuaciones
con las mismas dos variables. Esto se hace eligiendo dos ecuaciones y utilizando el método de la suma para eliminar una de las variables. Por ejemplo, sumando la (ec. 1) y
la (ec. 3) eliminamos la variable z. Después utilizamos un par diferente de ecuaciones
[ya sea (ec. 1) y (ec. 2) o (ec. 2) y (ec. 3)] y empleamos el método de la suma para eliminar la misma variable que fue eliminada con anterioridad. Si multiplicamos (ec. 1)
por 2 y la sumamos a (ec. 2), la variable z será eliminada nuevamente. Entonces tendremos dos ecuaciones con sólo dos incógnitas. Comencemos por sumar (ec. 1) y (ec. 3).
3x + 2y + z = 4
x + 4y - z = 10
4x + 6y
= 14
(ec. 1)
(ec. 3)
Suma de las ecuaciones, (ec. 4).
Utilicemos ahora un conjunto diferente de ecuaciones y eliminemos de nuevo la
variable z.
-6x - 4y - 2z = - 8
(ec. 1) Multiplicada por 2.
2x - 3y + 2z = - 7
(ec. 2)
- 4x - 7y
= - 15 Suma de las ecuaciones, (ec. 5).
Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, (ec. 4) y (ec. 5). Si
sumamos estas dos ecuaciones, eliminaremos la variable x.
4x + 6y
-4x - 7y
-y
y
= 14
= - 15
= -1
=
1
(ec. 4)
(ec. 5)
Suma de las ecuaciones.
Luego sustituimos y 1 en cualquiera de las dos ecuaciones con sólo dos variables
[(ec. 4) o (ec. 5)] y despejamos x.
4x + 6y
4x + 6112
4x + 6
4x
x
=
=
=
=
=
14
14
14
8
2
(ec. 4)
Sustituya y por 1 en la (ec. 4).
Sección 4.2 • Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables • 227
Por último, sustituimos x 2 y y 1 en cualquiera de las ecuaciones originales, y despejamos z.
3x + 2y + z =
4
(ec. 1)
3122 + 2112 + z =
4
Sustituya x por 2 y
y por 1 en (ec. 1).
6 + 2 + z =
4
8 + z =
4
z = -4
La solución es la terna ordenada (2, 1, 4). Compruebe esta solución en las tres ecuaciones originales.
✺
En el ejemplo 2 elegimos eliminar primero la variable z utilizando las ecuaciones (ec. 1) y (ec. 3), y después las ecuaciones (ec. 1) y (ec. 2). Podríamos haber
optado por eliminar primero la variable x o la variable y. Por ejemplo, podríamos
haber eliminado la variable x multiplicando (ec. 3) por 2 y después sumándola a
(ec. 2). También podríamos eliminar la variable x multiplicando (ec. 3) por 3 y
después sumándola a (ec. 1). Resuelva el sistema del ejemplo 2 eliminando primero
la variable x.
EJEMPLO 3
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.
2x - 3y + 2z = -1 (ec. 1)
x + 2y
x
Solución
= 14 (ec. 2)
- 3z = - 5 (ec. 3)
La tercera ecuación no incluye la variable y. Por lo tanto, trabajaremos para obtener
otra ecuación que tampoco la contenga. Para hacerlo, utilizaremos (ec. 1) y (ec. 2).
4x - 6y + 4z = - 2 (ec. 1) Multiplicada por 2.
3x + 6y
7x
= 42 (ec. 2) Multiplicada por 3.
+ 4z = 40 Suma de las ecuaciones (ec. 4).
Ahora tenemos dos ecuaciones que incluyen sólo las variables x y z.
7x + 4z = 40
(ec. 4)
x - 3z = - 5
(ec. 3)
Eliminemos la variable x.
7x + 4z = 40 (ec. 4)
-7x + 21z = 35 (ec. 3) Multiplicada por 7.
25z = 75 Suma de las ecuaciones.
z = 3
Ahora despejemos x utilizando una de las ecuaciones que incluyen sólo las variables
x y z. Sustituimos z por 3 en (ec. 3).
x - 3z = - 5
x - 3132 = -5
x - 9 = -5
x =
4
(ec. 3)
Sustituya z por 3 en (ec. 3).
228 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Por último, despejamos y utilizando cualquiera de las ecuaciones originales que incluyen
la variable y.
x + 2y = 14
4 + 2y = 14
2y = 10
(ec. 2)
Sustituya x por 4 en la (ec. 2).
y = 5
La solución es la terna ordenada (4, 5, 3).
Comprobación
(ec. 1)
2x - 3y + 2z = - 1
?
2142 - 3152 + 2132 = -1
?
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11
SUGERENCIA
(ec. 2)
x + 2y = 14
?
4 + 2152 = 14
?
(ec. 3)
x - 3z = - 5
?
4 - 3132 = -5
?
8 - 15 + 6 = -1
4 + 10 = 14
4 - 9 = -5
-1 = -1
14 = 14
-5 = - 5
Verdadero
Verdadero
Verdadero
✺
Si una de las ecuaciones de un sistema contiene fracciones, elimínelas multiplicando cada
término de la ecuación por el mínimo común denominador. Después continúe resolviendo
el sistema. Por ejemplo, si una ecuación del sistema es 34 x - 58 y + z = 12 , multiplique ambos lados de la ecuación por 8 para obtener la ecuación equivalente, 6x 5y 8z 4.
2 Aprender a interpretar geométricamente un sistema de ecuaciones
con tres variables
z
3
(4, 5, 3)
4
x
FIGURA 4.5
3
5
y
Cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales con dos variables, podemos determinar gráficamente su solución utilizando el sistema de coordenadas cartesianas. Una
ecuación lineal con tres variables, x, y y z, puede graficarse en un sistema de coordenadas con tres ejes perpendiculares entre sí (vea la figura 4,5).
Un punto trazado en este sistema de tres dimensiones aparecería como un punto en el espacio. Si graficáramos una ecuación como x 2y 3z 4, encontraríamos
que su gráfica sería un plano, y no una recta. En el ejemplo 3 indicamos que la solución era la terna ordenada (4, 5, 3). Esto significa que los tres planos, uno por cada una
de las ecuaciones dadas, se intersecan en el punto (4, 5, 3). La figura 4.5 muestra la localización de este punto de intersección de los tres planos. La gráfica del ejercicio 39
ilustra tres planos que se intersecan en un punto.
Reconocer sistemas inconsistentes y dependientes
En la sección 4.1 analizamos los sistemas de ecuaciones inconsistentes y dependientes.
Los sistemas de ecuaciones lineales con tres variables también pueden ser inconsistentes o dependientes.Al resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, si
se obtiene una proposición falsa como 3 0, significa que el sistema es inconsistente
y no tiene solución. Esto significa que los planos no son concurrentes, es decir, no existe
punto en que coincidan los tres planos, por lo que no se pueden intersecar. (Vea los
ejercicios 37 y 38).
Al resolver un sistema lineal con tres variables, si se obtiene una proposición verdadera, 0 0, significa que el sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones. Esto puede suceder cuando las tres ecuaciones representan al mismo plano o
cuando la intersección de los planos es una recta, como en la gráfica del ejercicio 40. Los
ejemplos 4 y 5 ilustran un sistema inconsistente y uno dependiente, respectivamente.
Sección 4.2 • Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables • 229
EJEMPLO 4
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.
-3x + 5y + z = - 3 (ec. 1)
6x - 10y - 2z =
1 (ec. 2)
7x - 4y + 11z = - 6 (ec. 3)
Solución
Comenzaremos por eliminar la variable x de (ec. 1) y de (ec. 2).
-6x + 10y + 2z = - 6 (ec. 1) Multiplicada por 2.
6x - 10y - 2z =
1 (ec. 2)
0 = -5
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 31
EJEMPLO 5
Falso
Como hemos obtenido la proposición falsa 0 5, este sistema es inconsistente y no
tiene solución.
✺
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.
x - y + z = 1 (ec. 1)
x + 2y - z = 1 (ec. 2)
x - 4y + 3z = 1 (ec. 3)
Solución
Comenzaremos eliminando la variable x de (ec. 1) y de (ec. 2), para después hacerlo de
(ec. 1) y de (ec. 3).
-x + y - z = - 1 (ec. 1) Multiplicada por 1.
x + 2y - z =
3y - 2z =
x - y + z =
1 (ec. 2)
0 Suma de las ecuaciones (ec. 4).
1 (ec. 1)
- x + 4y - 3z = - 1 (ec. 3) Multiplicada por 1.
3y - 2z =
0 Suma de las ecuaciones (ec. 5).
Ahora eliminamos la variable y utilizando (ec. 4) y (ec. 5).
-3y + 2z = 0 (ec. 4)
Multiplicada por 1.
3y - 2z = 0 (ec. 5)
0 = 0
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33
Verdadero
Como obtuvimos la proposición verdadera 0 0, este sistema es dependiente y tiene
un número infinito de soluciones.
Recuerde que en la sección 4.1 se mencionó que los sistemas de ecuaciones
dependientes también son consistentes, ya que tienen una solución.
✺
Conjunto de ejercicios 4.2
Ejercicios conceptuales
1. ¿Cuál será la gráfica de una ecuación como 3x 4y 2z 1?
2. Suponga que la solución para un sistema de ecuaciones
lineales con tres variables es (1, 3, 5). Geométricamente,
¿qué significa esto?
230 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Problemas de aplicación
Resuelva por sustitución.
3. x = 1
2x - y = 4
- 3x + 2y - 2z = 1
4. - x + 3y - 5z = 7
6. 2x - 5y = 12
7. x + 2y = 6
5. 5x - 6z = - 17
3x - 4y + 5z = - 1
2z = - 6
2y - z = 4
z = 2
8. x - y + 5z = - 4
3y = 9
x + 2z = 12
3x - 2z = 6
4z = 2
10. 2x + y - 8 = 0
11. 2y + 4z = 6
x + y + 2z = 0
2x + y + z = 4
- 3y = - 9
2x - 3y + 4z = 8
Resuelva utilizando el método de la suma.
9. x - 2y = - 3
3x + 2y = 7
2x - 4y + z = - 6
3x - 4z = - 3
2x - 3z = 1
12. x - y + 2z = 1
13. 3p + 2q = 11
y - 4z = 2
- 2x + 2y - 5z = 2
15. p + q + r = 4
2t - 2u = 2
-s + 6u = - 2
16. x - 2y + 3z = - 7
p - 2q - r = 1
2p - q - 2r = - 1
19. r - 2s + t = 2
x - 3y - 4z = 2
x + y + 2z = - 1
22. x - 2y + 2z = 3
20. 3a - 3b + 4c = - 1
a - 2b + 2c = 2
2a - 2b - c = 3
23. -x + 3y + z = 0
-2x + 4y - z = 0
3x - y + 2z = 0
2x - 3y + 2z = 5
x + y + z = -1
3a + 4b + c = - 4
5a - 2b - 3c = 5
1
1
x + y
4
2
1
1
x + y 2
3
1
1
x - y +
2
2
24. x + y + z = 0
25. -
-x - y + z = 0
-x + y + z = 0
-2
1
3
=
2x + y - 2z = - 1
4x - y - 3z = 0
2r + 2s - t = - 2
2r - s - 2t = 1
21. 2a + 2b - c = 2
27. x -
17. 2x - 2y + 3z = 5
2x - y - z = 7
- x + 3y + 2z = - 8
18. 2x - y - 2z = 3
2
2
y - z =
3
3
2
2
x + y - z =
3
3
1
1
- x + y - z
4
4
14. -4s + 3t = 16
4q - r = 6
2p + 2r = 2
3
4
28.
-
1
z = -2
2
1
z = 2
4
1
z = 1
4
1
1
x + y + z = 3
4
2
17
1
1
x + y + z =
3
4
6
1
1
5
1
- x + y - z = 4
3
2
6
26.
2
1
1
x + y - z =
3
3
3
5
1
x + y + z =
2
2
1
1
1
3
x - y + z =
4
4
4
2
29. 0.2x + 0.3y + 0.3z = 1.1
0.4x - 0.2y + 0.1z = 0.4
-0.1x - 0.1y + 0.3z = 0.4
30. 0.3x - 0.4y + 0.2z = 1.6
-0.1x - 0.2y + 0.3z = 0.9
- 0.2x - 0.1y - 0.3z = - 1.2
Determine si los siguientes sistemas son inconsistentes, dependientes, o ninguna de estas posibilidades.
31. 2x + y + 2z = 1
x - 2y - z = 0
3x - y + z = 2
32. 5a - 4b + 2c = 5
34. 2p - 4q + 6r = 8
35. x + 3y + 2z = 6
-p + 2q - 3r = 6
3p + 4q + 5r = 8
-5a + 4b - 2c = - 5
- 7a - 4b + c = 7
x - 2y - z = 8
- 3x - 9y - 6z = - 4
33. x - 4y - 3z = - 1
2x - 10y - 7z = 5
- 3x + 12y + 9z = 3
36. 2x - 2y + 4z = 2
- 3x + y = - 9
2x - y + z = 5
Sección 4.2 • Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables • 231
Resolución de problemas
Una ecuación con tres variables, x y y z, representa un plano. Considere un sistema de ecuaciones de tres ecuaciones con tres variables. Responda las siguientes preguntas.
37. Si los tres planos son paralelos entre sí, como se ilustra en
la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común los tres planos? ¿El sistema es consistente o inconsistente? Explique
su respuesta.
40. Si los tres planos muestran una disposición como la que se
ilustra en la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común?
¿El sistema es dependiente? Explique su respuesta.
I
I
II
III
III
II
38. Si dos de los planos son paralelos entre sí y el tercer plano interseca cada uno de los otros dos planos, ¿cuántos
puntos tendrán en común los tres planos? ¿El sistema es
consistente o inconsistente? Explique su respuesta.
41. ¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales con tres
variables tenga exactamente
I
a) cero soluciones,
II
b) una solución,
c) dos soluciones? Explique su respuesta.
III
42. En un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, si
las gráficas de dos ecuaciones son planos paralelos, ¿es posible que el sistema sea
a) consistente,
39. Si los tres planos muestran una disposición como la que se
ilustra en la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común?
¿El sistema es consistente o inconsistente? Explique su
respuesta.
II
III
I
b) dependiente,
c) inconsistente? Explique su respuesta.
43. Tres soluciones para la ecuación Ax By Cz 1 son
(1, 2, 1), (1, 1, 2) y (1, 2, 2). Determine los valores de
A, B y C, y escriba la ecuación utilizando los valores numéricos encontrados.
44. Tres soluciones para la ecuación Ax By Cz 14 son
(3, 1, 2), (2, 2, 1) y (5, 3, 24). Determine los valores de
A, B y C, y escriba la ecuación utilizando los valores numéricos encontrados.
Escriba un sistema de ecuaciones lineales con tres variables que tenga la solución dada. Explique cómo determinó su respuesta.
45. (3, 1, 6).
46. (2, 5, 3).
47. a) Determine los valores de a, b y c tales que los puntos
(1, 1), (1, 5) y (3, 11) pertenezcan a la gráfica de
y ax2 bx c.
48. a) Determine los valores de a, b y c tales que los puntos (1, 7), (2, 5) y (3, 5) pertenezcan a la gráfica de
y ax2 bx c.
b) Determine la ecuación cuadrática cuya gráfica pasa por
los tres puntos indicados. Explique cómo determinó
su respuesta.
b) Determine la ecuación cuadrática cuya gráfica pasa
a través de los tres puntos indicados. Explique cómo
determinó su respuesta.
232 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Reto
Determine la solución para los siguientes sistemas de ecuaciones.
49. 3p + 4q = 11
50. 3a + 2b - c = 0
2p + r + s = 9
q - s = -2
p + 2q - r = 2
2a + 2c + d = 5
a + 2b - d = - 2
2a - b + c + d = 2
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.2] 51. Esquí a campo traviesa Margarita Suárez empieza
a esquiar a 3 millas por hora. Diez minutos después,
A 16 hora B , su esposo, David, comienza a esquiar por
el mismo camino a cinco 5 por hora.
a) ¿Cuánto tiempo después de que David comienza
a esquiar alcanzará a Margarita?
b) ¿A qué distancia desde el punto inicial se encontrarán?
[2.6] Determine cada conjunto solución.
52. ` 4 -
2x
` 7 5
3
53. `
3x - 4
` - 1 6 5
2
54. ` 2x -
1
` = -5
2
4.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: APLICACIONES Y RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
1
1
Utilizar sistemas de ecuaciones para resolver problemas de
aplicación.
2
Utilizar sistemas lineales con tres variables para resolver
problemas de aplicación.
Utilizar sistemas de ecuaciones para resolver problemas de aplicación
Mujeres y hombres en
la fuerza de trabajo
(Porcentaje de población en
la fuerza de trabajo civil)
Muchos de los problemas de aplicación que se resolvieron en capítulos anteriores usando una sola variable pueden resolverse usando dos variables. En seguida se presentan
algunos ejemplos que muestran cómo pueden describirse los problemas de aplicación
mediante sistemas de ecuaciones.
100
Porcentaje
80
Hombres
60
Mujeres
40
20
0
EJEMPLO 1
Cambios en la fuerza de trabajo La gráfica de la figura 4.6 indica que, en Estados Unidos, el porcentaje de hombres en la fuerza de trabajo está disminuyendo de manera constante, mientras que el porcentaje de mujeres está
aumentando gradualmente. La función m(t) 0.25t 85.4, en donde t años desde
1955, puede usarse para calcular el porcentaje de hombres que participa en la fuerza
de trabajo, y la función w(t) 0.52t 35.7 puede usarse para calcular el porcentaje de
mujeres. Si esta tendencia continúa, determine en qué año el porcentaje de mujeres que
participa en la fuerza de trabajo será igual al porcentaje de hombres.
’60 ’70 ’80 ’90 ’00
Año
Fuente: Departamento de Trabajo de
Estados Unidos.
FIGURA 4.6
Solución
Entienda el problema y traduzca Considere las dos funciones
dadas anteriormente como el sistema de ecuaciones. Para determinar en qué año el
porcentaje de mujeres será igual al porcentaje de hombres, podemos establecer las dos
funciones de tal manera que sean iguales, y despejar el tiempo, t.
Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 233
Realice los cálculos porcentaje de mujeres = porcentaje de hombres
0.52t + 35.7 = - 0.25t + 85.4
0.77t = 49.7
t L 64.5
Por lo tanto, el porcentaje de mujeres que participa en la fuerza de trabajo será igual al porcentaje de hombres aproximadamente 64.5 años a partir de 1955.
Como 1955 64.5 2019.5, el porcentaje será igual en el año 2019.
✺
Responda
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 37
EJEMPLO 2
Velocidad de una canoa La familia Vázquez viaja en canoa por un río, a una velocidad promedio de 4.75 millas por hora cuando reman con la corriente a favor, y 2.25
millas por hora cuando lo hacen a contracorriente. Determine la velocidad de la canoa
con la corriente a su favor, y la velocidad de la corriente.
Solución
Entienda el problema Cuando los Vázquez viajan con la corriente
a su favor, la velocidad de la canoa es igual a su velocidad más la velocidad de la corriente. Cuando viajan a contracorriente, la velocidad de la canoa es igual a su velocidad menos la velocidad de la corriente.
Traduzca
Sea s velocidad de la canoa con la corriente a favor
c velocidad de la corriente
El sistema de ecuaciones es:
velocidad de la canoa viajando con la corriente a favor:
velocidad de la canoa viajando a contracorriente:
s c 4.75
s c 2.25
Usaremos el método de la suma, analizado en la sección 4.1,
para resolver este sistema de ecuaciones.
Realice los cálculos
s + c = 4.75
s - c = 2.25
2s
= 7
s = 3.5
La velocidad de la canoa con la corriente a favor es de 3.5 millas por hora. Ahora
determinaremos la velocidad de la corriente.
s + c = 4.75
3.5 + c = 4.75
c = 1.25
La corriente tiene una velocidad de 1.25 millas por hora, y la velocidad
de la canoa con la corriente a favor es de 3.5 millas por hora.
✺
Responda
EJEMPLO 3
Salario Yamil Bermúdez, un vendedor de electrónicos, recibe un salario semanal más
una comisión porcentual sobre sus ventas. Una semana en que vendió mercancía
por $3000, su paga total fue de $850; la semana siguiente, en que vendió mercancía por
$4000, su pago total fue de $1000. Determine cuál es su salario semanal y cuál su porcentaje de comisión.
Solución
Entienda el problema El pago de Yamil consiste de su salario semanal más la
comisión. Se nos da información acerca de dos semanas específicas que podemos usar
para determinar su salario semanal y su porcentaje de comisión.
Traduzca
sea s su salario semanal
r su porcentaje de comisión
234 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
En la semana 1, su comisión sobre $3000 es 3000r, y en la semana 2, su comisión sobre
$4000 es 4000r. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es
salario + comisión = pago
Primera semana s + 3000r = 850
r
Segunda semana s + 4000r = 1000
-s - 3000r = - 850
s + 4000r = 1000
1000r = 150
Realice los cálculos
Sistema de ecuaciones.
Primera semana multiplicada por 1.
Segunda semana.
Suma de ecuaciones.
150
r =
1000
r = 0.15
La comisión de Yamil es de 15% sobre sus ventas. Ahora determinaremos su salario
semanal, sustituyendo r por 0.15 en cualquiera de las ecuaciones.
s + 3000r = 850
s + 300010.152 = 850
Sustituya r por 0.15 en la
ecuación de la primera semana.
s + 450 = 850
s = 400
Responda El salario semanal de Yamil es de $400, y su porcentaje de comisión so-
EJEMPLO 4
✺
bre ventas es de 15%.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11
Paseo en caballo Benjamín Aceves sale de su rancho montando su caballo a 5 millas
por hora. Media hora más tarde, José Domínguez sale del mismo rancho y se dirige por
la misma ruta montando su caballo a ocho millas por hora.
a) ¿Cuánto tiempo tardará José en alcanzar a Benjamín?
b) Cuando José alcance a Benjamín, ¿a que distancia del rancho estarán?
Solución a) Entienda el problema Cuando José alcance a Benjamín, ambos
habrán recorrido la misma distancia, aunque José la habrá cubierto en 12 hora menos, ya
que él salió 12 hora después que Benjamín. Usaremos la fórmula distancia velocidad tiempo, para resolver este problema.
Traduzca
sea b = tiempo del recorrido de Benjamín
j = tiempo del recorrido de José
Construiremos una tabla para organizar la información.
Velocidad Tiempo Distancia
Benjamín
5
b
5b
José
8
j
8j
Tanto Benjamín como José recorrieron la misma distancia, así que escribimos
distancia de Benjamín = distancia de José
5b = 8j
Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 235
Nuestra segunda ecuación proviene del hecho que José ha viajado 12 hora menos que
Benjamín. Por lo tanto, j = b - 12 . Así, nuestro sistema de ecuaciones es:
5b = 8j
j = b -
1
2
Resolvemos este sistema de ecuaciones usando el método de
la sustitución. Como j = b - 12 , sustituimos j por b - 12 en la primera ecuación y despejamos b.
Realice los cálculos
5b = 8j
1
b
2
5b = 8b - 4
- 3b = - 4
-4
1
b =
= 1
-3
3
5b = 8ab -
Por consiguiente, el tiempo que Benjamín ha estado viajando es 113 horas. Para obtener
el tiempo que José ha viajado, restaremos 12 hora del tiempo de Benjamín.
j = b -
1
2
1
1
3
2
4
1
8
3
5
j = - = - =
3
2
6
6
6
j = 1
José alcanzará a Benjamín 56 de una hora (o 50 minutos) después de que
el primero haya salido del rancho.
b) Puede utilizar ya sea la distancia recorrida por Benjamín o la recorrida por José
para determinar la distancia recorrida desde el rancho. Utilizaremos la distancia recorrida por José.
Responda
5
8 5
20
2
d = 8j = 8a b = # =
= 6
6
1 6
3
3
2
Así, José alcanzará a Benjamín cuando estén a 6 3 millas del rancho.
EJEMPLO 5
Solución
✺
Mezcla de soluciones La ingeniera química Alicia Hernández desea crear un nuevo
limpiador para el hogar con una concentración de 30% de fosfato trisódico (TSP).
Para obtener 6 litros de dicho limpiador,Alicia necesita mezclar una solución con concentración de 16% de TSP con otra cuya concentración es de 72%. ¿Cuántos litros
de cada una de estas soluciones necesita mezclar?
Para resolver este problema partiremos del hecho de que
la cantidad de TSP en una solución se determina multiplicando el porcentaje de concentración de la solución por el número de litros (el volumen) de la misma. Alicia
necesita mezclar dos soluciones, con concentración de 16% y 72%, respectivamente,
para obtener 6 litros de una solución con una concentración de 30%.
Entienda el problema
Traduzca
sea x = número de litros de la solución de 16%
y = número de litros de la solución de 72%
Dibujaremos un diagrama (figura 4.7) y después haremos una tabla que nos ayude a
analizar el problema.
236 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
16%
Solución
Volumen
FIGURA 4.7
x
72%
Solución
Mezcla
y
Concentración 16%
72%
Solución
Concentración de solución
6
30%
Número de litros
Cantidad de TSP
solución de 16%
0.16
x
0.16x
solución de 72%
0.72
y
0.72y
Mezcla
0.30
6
0.30162
Como la suma de los volúmenes de la solución de 16% y la solución de 72% da por resultado 6 litros, nuestra primera ecuación es
x + y = 6
Deducimos la segunda ecuación a partir del hecho de que ambas soluciones se mezclan.
a
cantidad de TSP
cantidad de TSP
cantidad de TSP
b = a
b
b + a
en la solución de 16%
en la solución de 72%
en la mezcla
0.16x
+
0.72y
=
0.30162
Por lo que, el sistema de ecuaciones es
x + y = 6
0.16x + 0.72y = 0.30162
Al despejar y en x y 6, obtenemos y = - x + 6. Al sustituir y por x 6 en la segunda ecuación, obtenemos
Realice los cálculos
0.16x + 0.72y
0.16x + 0.721-x + 62
0.16x - 0.72x + 4.32
-0.56x + 4.32
-0.56x
= 0.30162
= 0.30162
= 1.8
= 1.8
= - 2.52
x =
-2.52
= 4.5
-0.56
Por lo tanto, Alicia debe utilizar 4.5 litros de la solución con concentración de 16%.
Como las dos soluciones deben sumar 6 litros, hay que utilizar 6 4.5 o 1.5 litros de
la solución con concentración de 72%.
✺
En el ejemplo 5, la ecuación 0.16x 0.72y 0.30(6) podría simplificarse multiplicando ambos lados de la ecuación por 100. Esto daría por resultado la ecuación 16x
72y 30(6) o 16x 72y 180. Entonces, el sistema de ecuaciones sería x y 6
Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 237
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13
y 16x 72y 180. Si resuelve este sistema, deberá obtener la misma solución. Compruébelo.
2 Utilizar sistemas lineales con tres variables para resolver problemas
de aplicación
Ahora veamos algunas aplicaciones que implican el uso de ecuaciones con tres variables.
EJEMPLO 6
Solución
Préstamos bancarios La juguetería Diversión para chicos debe pedir un préstamo
de $25,000 para pagar una ampliación. En vista de que no puede obtener todo ese
dinero de un solo banco, pedirá tres préstamos a igual número de bancos diferentes.
El primero cobra 8% de interés. En el segundo banco pedirá un préstamo de $2000 más
que la mitad de la cantidad solicitada al primer banco. La tasa de interés del segundo
banco es de 10%. El resto de los $25,000 se obtendrá mediante un préstamo de un tercer banco que cobra 9% de interés. El interés anual total que paga Diversión para chicos por el préstamo de los tres bancos es de $2220. ¿Cuánto dinero pidió prestado esta
juguetería a cada tasa?
Nos piden determinar cuánto se pide prestado a cada una
de las tres tasas de interés. Por lo tanto, este problema tendrá tres variables, una para
cada monto que se pidió prestado. En vista de lo anterior, tendremos que determinar
tres ecuaciones para nuestro sistema de ecuaciones.
Entienda el problema
sea x = cantidad prestada por el primer banco
y = cantidad prestada por el segundo banco
z = cantidad prestada por el tercer banco
Traduzca
Como la cantidad total prestada es de $25,000, sabemos que
x + y + z = 25,000
La cantidad total prestada es $25,000.
En el segundo banco, Diversión para chicos pidió prestado $2000 más que la mitad del
dinero solicitado al primer banco. Por lo tanto, la segunda ecuación es
y =
1
x + 2000 El segundo préstamo, y, es $2000 más que 21 del primero, x.
2
Para obtener nuestra última ecuación, partimos del hecho de que el monto total que
cobran los tres bancos por concepto de interés es de $2220. El porcentaje de interés de
cada banco se determina multiplicando la tasa de interés por la cantidad prestada.
0.08x + 0.10y + 0.09z = 2220
El pago total por interés es $2220.
Así, nuestro sistema de ecuaciones es
x + y + z = 25,000
y =
(1)
1
x + 2000
2
(2)
0.08x + 0.10y + 0.09z = 2220
(3)
Ambos lados de la ecuación (2) pueden multiplicarse por 2 para eliminar las fracciones.
1
2 1y2 = 2 a x + 2000b
2
2y = x + 4000
-x + 2y = 4000
Propiedad distributiva.
Restar x en ambos lados.
238 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Podemos eliminar los decimales de la ecuación (3) multiplicando ambos lados de la
ecuación por 100, para obtener
8x + 10y + 9z = 222,000
Nuestro sistema de ecuaciones simplificado es, entonces
x +
y + z = 25,000
- x + 2y
(ec. 1)
= 4000
(ec. 2)
8x + 10y + 9z = 222,000 (ec. 3)
Realice los cálculos Existen varias formas de resolver este sistema. Utilicemos
(ec. 1) y (ec. 3) para eliminar la variable z.
-9x - 9y - 9z = - 225,000 (ec. 1) Multiplicada por 9.
8x + 10y + 9z =
-x +
y
222,000 (ec. 3)
- 3000 Suma de las ecuaciones (ec. 4).
=
Ahora usamos (ec. 2) y (ec. 4) para eliminar la variable x y despejar y.
x - 2y = - 4000 (ec. 2)
Multiplicada por 1.
-x + y = - 3000 (ec. 4)
- y = - 7000 Suma de las ecuaciones.
y =
7000
Ahora que conocemos el valor de y, podemos despejar x.
- x + 2y = 4000
(ec. 2)
-x + 2170002 = 4000
Sustituya y por 7000 en (ec. 2).
-x + 14,000 = 4000
-x = - 10,000
x =
10,000
Por último, despejamos z.
x + y + z = 25,000 (ec. 1)
10,000 + 7000 + z = 25,000
17,000 + z = 25,000
z =
8000
La juguetería Diversión para chicos pidió prestados $10,000 a 8%, $7000
a 10% y $8000 a 9% de interés.
✺
Responda
EJEMPLO 7
Botes inflables Cierta empresa tiene una pequeña planta que fabrica tres tipos de
botes inflables: para una, dos y cuatro personas. La fabricación de cada bote requiere
de tres departamentos: corte, ensamblaje y empaque. Los departamentos de corte, ensamblaje y empaque pueden utilizar un total de 380, 330 y 120 horaspersona por semana, respectivamente. El tiempo que cada departamento requiere para fabricar un
Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 239
bote aparece en la siguiente tabla. Determine cuántos botes de cada tipo deben producirse por semana para que la planta opere a toda su capacidad.
Tiempo (personahora)
Departamento
Solución
Bote para
una persona
Bote para
dos personas
Bote para
cuatro personas
Corte
0.6
1.0
1.5
Ensamblaje
0.6
0.9
1.2
Empaque
0.2
0.3
0.5
Entienda el problema Nos dicen que se fabrican tres tipos de botes diferentes, y
nos piden determinar la cantidad que se produce de cada uno. Como este problema incluye tres cantidades por determinar, el sistema tendrá tres ecuaciones con tres
variables.
Traduzca
Usaremos la información proporcionada en la tabla.
sea x = el número de botes para una persona
y = número de botes para dos personas
z = número de botes para cuatro personas
El número total de horas que se requiere para cortar los tres tipos de botes debe ser
igual a 380 horaspersona.
0.6x + 1.0y + 1.5z = 380
El número total de horas que se requiere para ensamblar debe ser igual a 330 horaspersona.
0.6x + 0.9y + 1.2z = 330
El número total de horas que se requiere para empacar debe ser igual a 120 horas
persona.
0.2x + 0.3y + 0.5z = 120
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es
0.6x + 1.0y + 1.5z = 380
0.6x + 0.9y + 1.2z = 330
0.2x + 0.3y + 0.5z = 120
Al multiplicar cada ecuación del sistema por 10, se eliminan los números decimales y
se obtiene un sistema de ecuaciones simplificado.
6x + 10y + 15z = 3800 (ec. 1)
6x + 9y + 12z = 3300 (ec. 2)
2x + 3y + 5z = 1200 (ec. 3)
Realice los cálculos Primero eliminaremos la variable x utilizando (ec. 1) y (ec. 2),
y después (ec. 1) y (ec. 3).
6x + 10y + 15z =
3800
-6x - 9y - 12z = - 3300
y + 3z =
500
(ec. 1)
(ec. 2) Multiplicada por 1.
Suma de las ecuaciones, (ec. 4).
240 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
6x + 10y + 15z =
3800 (ec. 1)
-6x - 9y - 15z = - 3600 (ec. 3) Multipliccada por 3.
y
=
200 Suma de las ecuaciones (ec. 5).
Observe que al sumar las dos últimas ecuaciones, las variables x y z se eliminaron simultáneamente. Ahora que conocemos el valor de y, podemos despejar z.
y + 3z = 500 (ec. 4)
200 + 3z = 500
Sustituya y por 200.
3z = 300
z = 100
Por último, determinamos x.
6x + 10y + 15z = 3800
(ec. 1)
6x + 1012002 + 1511002 = 3800
6x + 2000 + 1500 = 3800
6x + 3500 = 3800
6x = 300
x = 50
La planta debe producir 50 botes para una persona, 200 botes para dos
personas y 100 botes para cuatro personas por semana.
✺
Responda
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 51
Matemáticas en acción
¡Zap! ¡Ping! ¡Bang! ¡Mate!
Aunque pueden parecer muy serias, las matemáticas
tienen mucho que ver con una divertida actividad que
disfrutan millones de personas en todo el mundo, los
videojuegos. Cuando usted apunta su arma de rayos
mortales hacia el mutante que intenta destruir su estación de energía neutrónica interestelar, el éxito o fracaso depende de un gran número de ecuaciones inmersas
en miles de líneas de código de programación que controlan la acción.
Un grupo de ecuaciones puede determinar el movimiento del mutante, que consiste de desplazamientos
básicos, determinados por variables como el tiempo, la
proximidad de otros objetos y la puntuación actual.
De manera similar, la trayectoria que sigue el rayo mortal es controlada por ecuaciones cuyas variables
dependen de la posición del arma, de si usted ha comprado energía láser adicional, y de si el mutante ha levantado un escudo deflector con energía solar.
En fin...
Al final todo depende de ecuaciones expresadas
como algoritmos de computadora.
Algunas ecuaciones pueden resolverse de manera simultánea, como un grupo, en sistemas de ecuaciones;
otras pueden resolverse en rápida sucesión a partir de
valores calculados que pasan de una ecuación a la siguiente. Cientos de miles de cálculos dan por resultado
la posición de los objetos que vemos en la pantalla de
video que funciona, a su vez, como un plano de coordenadas cartesianas. Cuando los números determinan que
el mutante y el rayo mortal que usted dispara ocupen
las mismas coordenadas en el mismo instante,¡adiós
mutante!
Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 241
Conjunto de ejercicios 4.3
Problemas de aplicación y resolución de problemas
1. Parques temáticos Los dos parques temáticos más visitados en Estados Unidos en 2001 fueron el Reino Mágico de
Walt Disney, en Florida, y Disneylandia, en California. El
número total de visitantes a estos parques fue de 27.1 millones de personas. Al Reino Mágico acudieron 2.5 millones de personas más que a Disneylandia. ¿Cuántas
personas visitaron cada uno de estos parques en 2001?
Fuente: www.saferparkz.org
5. Ángulos complementarios Los ángulos complementarios
son aquellos cuya suma da por resultado 90°. (Vea la sección
2.3.) Si la medida del más grande de los dos ángulos complementarios es 15° más que dos veces la medida del ángulo más pequeño, determine las medidas de los dos ángulos.
6. Ángulos complementarios La diferencia entre las medidas de dos ángulos complementarios es de 58°. Determine las medidas de los dos ángulos.
7. Ángulos suplementarios Los ángulos suplementarios son
aquellos cuya suma da por resultado 180°. (Vea la sección
2.3.) Determine las medidas de dos ángulos suplementarios, si uno de ellos mide 28° menos que el triple del otro.
8. Ángulos suplementarios Determine las medidas de dos
ángulos suplementarios, si uno de ellos mide tres veces y
media más que el otro.
2. Espectadores de televisión por cable En la semana que finalizó el 23 de marzo de 2002, dos de los programas de televisión por cable más populares fueron The Osbournes y
Bob Esponja. Casi 150,000 personas más vieron The Osbournes que Bob Esponja. El número total de televidentes para ambos programas fue de 5,842,000. ¿Cuántas
personas vieron cada uno de estos programas esa semana? Fuente: www.tv.zap2it.com
9. Velocidad al remar Durante sus sesiones de entrenamiento, un equipo de remo alcanzó un promedio de 15.6 millas
por hora con la corriente a su favor, y de 8.8 millas por hora con la corriente en contra. Determine la velocidad de remo del equipo con la corriente a su favor, y la velocidad de
la corriente.
3. Contenido de grasa Un nutriólogo determinó que una orden grande de papas fritas tiene más grasa que una hamburguesa de un cuarto de libra (quarterpound). Las
papas fritas tienen cuatro gramos más que tres veces la
cantidad de grasa de la hamburguesa. La diferencia en cantidad de grasa entre las papas fritas y la hamburguesa es
de 46 gramos. Determine el contenido de grasa de la hamburguesa y de las papas fritas.
4. Gastos en el béisbol El llamado Índice del Costo por Aficionado (ICF, por sus siglas en inglés) es una medida para calcular los gastos en que incurren los aficionados del béisbol al
acudir a los partidos de sus equipos favoritos. En general, incluye: el costo de 4 boletos promedio, dos cervezas pequeñas, 4 refrescos pequeños, 4 hot dogs, estacionamiento, dos
programas y dos gorras. En 2001, el equipo de las ligas mayores con el ICF más bajo fueron los Expos de Montreal, y
el equipo con el ICF más alto fueron los Medias Rojas de
Boston. El ICF de los Medias Rojas fue de $25.92 menos
que tres veces el ICF de los Expos. La diferencia entre el ICF
de los Medias Rojas y el ICF de los Expos fue de $134.24.
Determine el ICF de los Medias Rojas y el ICF de los Expos.
10. Velocidad de vuelo Un aeroplano voló a un promedio de
121 millas por hora con el viento a favor, y a 87 millas por
hora con el viento en contra. Determine la velocidad del
aeroplano sin viento y la velocidad del viento.
11. Salario más comisión Ricardo Téllez, representante de
una empresa que alquila equipo para oficina, gana un salario semanal más una comisión sobre sus ventas. Una
semana, su salario total fue de $660, incluyendo su comisión sobre la venta de $4000. La siguiente semana, su salario total fue de $740, incluyendo su comisión sobre la
venta de $6000. Determine el salario semanal de Ricardo
y su porcentaje sobre las ventas.
12. Alquiler de un camión Una agencia de alquiler de camiones cobra una cuota diaria más un costo por millas recorridas. A Julia le cobraron $85 por dos días y 100 millas
recorridas, y a Cristina $165 por tres días y 400 millas.
¿Cuál es la cuota diaria que cobra la agencia, y cuál es el
costo por cada milla?
242 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
13. Aceite de lavanda Paulina Rivas, una masajista, necesita
tres onzas de una solución de aceite de lavanda con concentración de 20%, pero sólo tiene soluciones de 5% y
30%. ¿Cuántas onzas de cada una debe mezclar para obtener la solución deseada?
14. Soluciones de fertilizantes Damián Gómez necesita aplicar una solución líquida de nitrógeno con concentración de
10% a su jardín de rosas, pero sólo tiene una solución con
concentración de 4% y otra de 20%. ¿Qué cantidad de cada una de ellas debe mezclar para obtener 10 galones de
solución con concentración de 10%?
15. Eliminador de maleza Un líquido para eliminación de
maleza consiste de 18% de glifosfato, un ingrediente activo (y 82% de ingredientes inactivos). A este líquido se
le agregará agua, y la mezcla se aplicará sobre la maleza. Si la mezcla final contendrá 0.9% de ingrediente activo, ¿qué cantidad del líquido original y qué cantidad
de agua deben mezclarse para producir 200 galones del
líquido final?
16. Fertilizante para césped Un fertilizante para césped contiene 22% de nitrógeno. Otro contiene 4% de nitrógeno.
Miguel Soto, propietario de un vivero, desea mezclar estos
dos fertilizantes para producir 400 libras de una mezcla
con concentración de 10% de nitrógeno para abonar el
césped. ¿Cuánto de cada fertilizante debe mezclar?
20. Carne de búfalo La Casa del Búfalo vende órdenes tamaño regular y tamaño gigante de carne de búfalo. La orden regular cuesta $5.99 y la orden gigante $8.99. El sábado
se vendieron 134 órdenes por un total de $1024.66. ¿Cuántas órdenes de tamaño regular y cuántas de tamaño gigante se vendieron?
21. Cuentas de ahorro El señor y la señora Allende invierten
un total de $10,000 en dos cuentas de ahorro. Una cuenta
paga 5% de interés y la otra 6%. Determine el monto colocado en cada cuenta, si por las dos se recibe un total de
$540 por concepto de intereses después de un año. Utilice la fórmula interés capital tasa tiempo.
22. Inversiones Luis Ordoñez invirtió $30,000 en dos partes,
una a 9% y otra a 5%. Si hubiera invertido el monto total
a 6.5%, su interés total sería el mismo que la suma de los
intereses recibidos por las dos cuentas. ¿Cuánto invirtió a
cada tasa de interés?
23. Leche Berta Silva trabaja en una planta productora de leche, y desea mezclar leche entera, que tiene 3.25% de grasa, y leche descremada, que no tiene grasa, para obtener
260 galones de leche que contenga 2% de grasa. ¿Cuántos
galones de leche entera y cuántos de leche descremada
debe mezclar para obtener el tipo de leche que desea?
17. Alpiste El alpiste cuesta $0.59 por libra y la semilla de girasol cuesta $0.89 por libra. La tienda de mascotas de Ángela Leinenbachs desea producir 40 libras de una mezcla
de alpiste y semillas de girasol que se venda a $0.76 por libra. ¿Cuántas libras de cada tipo de semilla debe usar?
24. Repostería Una receta para pastel requiere 2 tazas (16
onzas) de crema ligera que tiene 20% de grasa de leche.
Con frecuencia es difícil encontrar crema con estas características en el supermercado, ya que casi siempre sólo tienen crema pesada, con 36% de grasa de leche, o crema
media, con 10.5% de grasa de leche. ¿Qué cantidades de
cada una de estas cremas se deben mezclar para obtener
el tipo de crema que requiere la receta?
18. Café Juan Bañuelos tiene una tienda de abarrotes y desea
mezclar 30 libras de café que tenga un costo total de $170.
Para obtenerlas, Juan mezcla un café que cuesta $5.20 por
libra, con otro que cuesta $6.30 por libra. ¿Cuántas libras
de cada café debe utilizar?
25. Aves hambrientas Las maestras de un jardín de niños desean comprar 20 libras de alpiste para atraer a las aves
hasta el patio de su escuela. Para atraer tantas aves como
sea posible, los maestras desean comprar dos variedades de
alpiste, una que cuesta $1.79 la libra y otra de $1.19 la libra. Si las maestras quieren gastar $28 en alpiste, ¿cuántas
libras de cada tipo deben comprar?
19. Ligas menores Los boletos de admisión para el juego de
estrellas de las ligas menores cuestan $4.00 para los adultos y $1.50 para los niños. Se vendieron 225 boletos, por
los que se recaudaron $500. ¿Cuántos boletos para adulto
y cuántos boletos para niño se vendieron?
26. Jugo Una empresa vende jugo de manzana a 8.3 centavos la onza, y jugo de frambuesa a 9.3 centavos la onza.
La empresa desea vender botes de ocho onzas de jugo de
manzanaframbuesa a 8.7 centavos la onza. ¿Cuántas onzas de cada jugo debe mezclar?
Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 243
27. Recorrido en automóvil Dos automóviles inician su recorrido en el mismo punto, pero viajan en direcciones
opuestas. Un automóvil viaja a 5 millas por hora más rápido que el otro. Después de cuatro horas, entre ambos
automóviles hay una distancia de 420 millas. Determine la
velocidad de cada automóvil.
28. Construcción de un camino Manuel Sandoval conduce
su automóvil a lo largo de una ruta de 430 millas. Debido
a que están construyendo un camino y al tránsito pesado,
durante la primera parte de su viaje Manuel conduce a
una velocidad promedio de 50 millas por hora. Durante el
resto del trayecto conduce a una velocidad promedio de 70
millas por hora. Si el recorrido total tomó siete horas,
¿cuántas horas condujo a cada velocidad?
para la pintura. ¿Cuántas sillas de cada modelo pueden
fabricarse?
Modelo
Tiempo de ensamblaje Tiempo de pintura
Modelo A
1 hora
0.5 hora
Modelo B
3.2 hora
0.4 hora
33. Aleación de latón En peso, una aleación de latón consta
de 70% de cobre y 30% de zinc. Otra aleación es 40% de
cobre y 60% de zinc. ¿Cuántos gramos de cada una de
estas aleaciones se necesita combinar para obtener 300
gramos de una aleación de latón que tenga 60% de cobre
y 40% de zinc?
34. Aleación de plata La plata sterling tiene 92.5% de plata
pura. ¿Cuántos gramos de plata pura (100%) y cuántos
gramos de plata sterling deben mezclarse para obtener 250
gramos de una aleación de plata de 94%?
30. Ejercicio Para su rutina de ejercicios, Rita Sánchez conduce una bicicleta durante hora y media y luego trota durante
hora y media. Rita conduce la bicicleta a una velocidad que
es cuatro veces la velocidad a la que trota. Si la distancia total que cubre Rita es de 12.5 millas, determine la velocidad
a la que conduce la bicicleta y la velocidad a la que trota.
31. Dieta para animales En un experimento, se ha impuesto
una dieta estricta a un grupo de animales. Cada uno de
ellos recibe, entre otros nutrientes, 20 gramos de proteína
y 6 gramos de carbohidratos. El científico a cargo del experimento sólo tiene dos mezclas de alimento, cada una
con la composición que se detalla en la siguiente tabla.
¿Cuántos gramos de cada mezcla debe usar para obtener
la dieta correcta para cada animal?
Mezcla
Proteína (%)
Carbohidratos (%)
Mezcla A
10
6
Mezcla B
20
2
32. Fabricación de sillas Una compañía fabrica dos modelos
de sillas. La información acerca del tiempo que se requiere para fabricar cada modelo se indica en la siguiente
tabla. En un día específico, la compañía asignó 46.4
horaspersona para el ensamblaje y 8.8 horaspersona
36. Caminar y correr Gerardo Jáuregui se ejercita todos los
días, caminando a 3 millas por hora y luego corriendo a 5
millas por hora. Si tarda 0.9 horas en recorrer un total de
3.5 millas, ¿cuánto tiempo corre?
37. Devolución de impuestos La siguiente gráfica muestra el
porcentaje de impuestos federales que se devolvió a los
estadounidenses por medios electrónicos o mediante cheque entre 1996 y 2001. Si t representa el número de años
desde 1996, el porcentaje de impuestos que se devolvieron por medios electrónicos puede calcularse con la función E(t) 3.62t 12.6, y el porcentaje de impuestos que
se devolvieron mediante cheque puede calcularse con la
función P(t) 3.62t 87.4. Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿en qué año el porcentaje de devolución
por medios electrónicos será igual al porcentaje de devolución mediante cheque?
Medios de devolución de impuestos federales
Porcentaje de todos los
impuestos devueltos
29. Conferencistas Las representantes de ventas Sabrina
Dávila y Diana Mendoza asistieron a una conferencia fuera de sus respectivas ciudades de residencia. Después de la
conferencia, Sabrina regresa a su casa conduciendo a una
velocidad promedio de 65 millas por hora, mientras que
Diana lo hace a una velocidad promedio de 50 millas
por hora. Si la suma de sus tiempos de recorrido es igual
a 11.4 horas, y si la suma de las distancias recorridas es
igual a 690 millas, determine el tiempo que cada una de
ellas necesitó para llegar a casa.
35. Conductores intrépidos Tomás Álvarez y Melissa Acino
empiezan a manejar al mismo tiempo en diferentes automóviles, pero en la misma dirección. Cuando Melissa
había recorrido una distancia de 150 millas, el trayecto de
Tomás sólo había sido de 120 millas. Si Melissa condujo a
un promedio de 15 millas por hora más rápido que Tomás,
determine la velocidad promedio de cada automóvil.
100
Devolución mediante cheque
80
60
40
Devolución por medios electrónicos
20
0
1996
1997
1998
1999
Año
Fuente: Servicio de Ingresos Internos.
2000
2001
244 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
38. Doctorado El número de hombres que recibieron doctorado, M, en miles, en Estados Unidos, puede calcularse por
medio de la función M(t) 0.86t 27.1, en donde t es
el número de años desde 1999. El número de mujeres que
recibieron el mismo grado, W, en miles, puede determinarse mediante la función W(t) 0.43t 17.5. Determine en
qué año recibirán el grado de doctor el mismo número de
mujeres que de hombres.
a) Sea C el costo mensual total y t el número de minutos
de uso. Escriba un sistema de ecuaciones en el que
las ecuaciones representen estos planes de pago por
llamadas telefónicas de larga distancia.
b) Grafique este sistema de ecuaciones para valores de t
de 0 a 180 minutos.
c) Con base en la gráfica, calcule el número de minutos
necesarios para que el costo de ambos planes sea igual.
d) Resuelva el sistema de manera algebraica. Si su respuesta no coincide con la que dio en la parte c), explica por qué.
40. Costo de fotocopias Un centro de fotocopiado ofrece dos
planes de pago.
Plan 1: $0.10 por copia.
Plan 2: una cuota anual de $120 más 4 centavos por copia.
a) Represente esta información como un sistema de ecuaciones.
b) Grafique el sistema de ecuaciones hasta 4000 copias.
39. Planes de larga distancia Un plan de pago por llamadas telefónicas de larga distancia incluye una cuota mensual de $8.95 más 5 centavos por minuto de uso. Otro
plan incluye un costo mensual de $5.95 más 7 centavos
por minuto.
c) Con base en la gráfica, calcule el número del copias
que se tendría que hacer en un año para que los dos
planes tuvieran el mismo costo total.
d) Resuelva el sistema de manera algebraica.
En los ejercicios 41 a 52, a) exprese el problema como un sistema lineal con tres variables, y b) resuelva el problema.
41. Volumen de correo Una familia estadounidense promedio
recibe 24 piezas de correo cada semana. El número de estados de cuenta es de 2 piezas menos que el doble del número de piezas de correo personal. El número de anuncios
es de 2 piezas más que cinco veces el número de piezas de
correo personal. ¿Cuántas piezas de correo personal, estados de cuenta y anuncios recibe cada semana la familia
promedio? Fuente: Arthur D. Little, Inc.
tely
dia
me
SPE
CIA
L OF
FER
n im
ope
10,000.0
00 MILL
ION DO
LLARS
WINNER
42. Personal de submarino En un submarino trabajan 141
hombres. El número de contramaestres (enlistados) es cuatro veces más que el número de oficiales comisionados. El
resto de la tripulación está constituido por tres hombres
menos que ocho veces el número de oficiales comisionados.
Determine el número de oficiales comisionados, de contramaestres y del resto de la tripulación del submarino.
43. Zona minera Los países que tienen el mayor número
de zonas mineras son, en orden descendente: Irán, Angola e Irak. Se calcula que el número total de zonas mineras en estos tres países es de 41 millones. En Irán hay
aproximadamente 14 millones menos que tres veces las
que hay en Irak. EnAngola hay alrededor de 5 millones
menos que el doble de las que hay en Irak. Determine el
número estimado de zonas mineras que hay en Irak,
Angola e Irán.
44. Boletos de concierto Hay tres clases de boletos para asistir a un concierto de rock: luneta, piso principal y palco.
Los boletos más caros, los de luneta, son dos veces más caros que los boletos de palco. Los boletos de palco cuestan
$10 menos que los boletos del piso principal y $30 menos
que los boletos de luneta. Determine el precio de cada tipo de boleto.
45. Triángulo La suma de los ángulos de un triángulo es igual
a 180°. El ángulo más pequeño del triángulo mide 23 de lo
que mide el segundo ángulo. El ángulo más grande mide
30° menos que tres veces lo que mide el segundo ángulo.
Determine cuánto mide cada ángulo.
Sección 4.3 • Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas • 245
46. Otro triángulo El ángulo más grande de un triángulo mide 10° menos que tres veces lo que mide el segundo ángulo. El ángulo más pequeño es igual a la diferencia entre lo
que mide el ángulo más grande y el doble de lo que mide
el segundo ángulo. Determine cuánto miden los tres ángulos del triángulo.
47. Inversiones María Maldonado recibió un cheque de
$10,000 y decidió dividir el dinero (no equitativamente)
en tres cuentas de inversión diferentes. Colocó parte de
su dinero en una cuenta de ahorros que paga 3% de interés; la segunda cantidad, que fue el doble del primer monto, fue colocada en un certificado de depósito que paga
5% de interés. María invirtió el resto en un fondo del mercado de valores que paga 6% de interés. Si el interés total
que recibió María en un periodo de un año, fue de $525.00,
¿cuánto invirtió en cada cuenta?
48. Bonos Mauricio Cortés, un abogado, dividió su bono de
Navidad en tres inversiones diferentes. Con parte del dinero compró un bono municipal que paga 5.5% de interés
simple; después, invirtió el doble del monto del dinero que
pagó por el bono municipal en un certificado de depósito
que paga 4.5% de interés simple. Mauricio colocó el resto del dinero en una cuenta del mercado de valores que paga 3.75% de interés simple. Si el interés total que recibió
Mauricio por un año fue de $692.50, ¿cuánto invirtió en
cada cuenta?
49. Peróxido de hidrógeno Tres soluciones de peróxido de hidrógeno con concentraciones de 10%, 12% y 20%, respectivamente, se mezclaron para obtener ocho litros de una
solución con concentración de 13%. ¿Cuántos litros de cada una se mezclaron, si el volumen de la solución de 20%
debía ser de dos litros menos que el volumen de la solución
de 10%?
50. Ácido sulfúrico Tres soluciones de ácido sulfúrico con
concentraciones de 8%, 10% y 20%, respectivamente, se
mezclan para obtener 100 ml de una solución con concentración de 12%. Si el volumen de ácido de la solución de
8% es igual a la mitad del volumen de ácido proveniente
de las otras dos soluciones, ¿qué cantidad de cada solución se necesita?
51. Fabricación de muebles Una fábrica de muebles produce tres tipos de mecedora: el modelo para niños, el modelo estándar y el modelo ejecutivo. La fabricación de cada
mecedora consta de tres etapas: corte, construcción y acabado. El tiempo que se dedica a cada etapa de la fabricación de las mecedoras se indica en la siguiente tabla.
Durante una semana específica, la fábrica dispone de un
máximo de 154 horas para corte, 94 horas para construcción y 76 horas para acabado. Determine cuántas mecedoras de cada tipo deben producirse para que la fábrica
opere a su máxima capacidad.
Etapa
Para niños
Estándar
Ejecutiva
Cortes
5 horas
4 horas
7 horas
Construcción
3 horas
2 horas
5 horas
Acabado
2 horas
2 horas
4 horas
52. Fabricación de bicicletas Una compañía de bicicletas
produce tres modelos de bicicletas: Dakar, Komodo y
Aragón. La fabricación de cada bicicleta consta de tres
etapas: soldadura, pintura y ensamblaje. El tiempo que se
dedica a cada etapa de fabricación se indica en la siguiente tabla. Durante una semana específica, la compañía dispone de un máximo de 133 horas para soldadura, 78 horas
para pintura y 96 horas para ensamblaje. Determine cuántas bicicletas de cada tipo deben producirse para que la
compañía opere a su máxima capacidad.
Etapa
Soldadura
Pintura
Ensamblaje
Dakar
Komodo
Aragón
2
3
4
1
2
2.5
1.5
2
3
53. Flujo de corriente En electrónica es necesario analizar el
flujo de corriente a través de las redes de un circuito. En
tres redes (A, B y C) de un circuito, las relaciones son las
siguientes:
IA + IB +
IC = 0
- 8IB + 10IC = 0
4IA - 8IB
= 6
en donde IA, IB e IC representan la corriente en las redes
A, B y C, respectivamente. Determine la corriente en cada red del circuito.
54. Fuerzas en una viga En física se analizan con frecuencia
las fuerzas que actúan sobre un objeto. Para tres fuerzas,
F1, F2 y F3, que actúan sobre una viga, se obtuvieron las
ecuaciones siguientes.
3F1 + F2 - F3 = 2
F1 - 2F2 + F3 = 0
4F1 - F2 + F3 = 3
Determine las tres fuerzas.
246 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Actividad en equipo
Analicen y respondan en equipo el ejercicio 55.
Velocidad
55. Dos automóviles Un sistema no lineal de ecuaciones es
aquel que contiene al menos una ecuación que no es lineal. La gráfica muestra un sistema no lineal de ecuaciones. Las curvas representan velocidad contra tiempo para
dos automóviles.
a) ¿Las dos curvas son funciones? Expliquen.
b) Analicen el significado de esta gráfica.
c) En el momento t 0.5 h, ¿cuál de los automóviles está
viajando a mayor velocidad? Expliquen su respuesta.
d) Supongan que los dos automóviles inician en la misma
posición y viajan en la misma dirección. ¿Cuál automóvil, A o B, viaja más lejos en una hora? Expliquen
su respuesta.
Automóvil A
Automóvil B
t0
t1
Tiempo (horas)
Ejercicios de repaso acumulativo
1
2
1
58. Explique cómo determinar si una gráfica representa una función.
59. Escriba una ecuación para la recta que pasa por los
puntos (6, 4) y (2, 8).
56. Evalúe 2 x + 5 xy + 8 y cuando x = - 2, y = 5.
57. Resuelva 4 2[(x 5) 2x] (x 6).
4.4 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR MEDIO DE MATRICES
1
1
Escribir una matriz aumentada.
2
Resolver sistemas de ecuaciones lineales.
3
Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables.
4
Reconocer sistemas inconsistentes y sistemas dependientes.
Escribir una matriz aumentada
Una matriz es un arreglo rectangular de números dentro de corchetes. Ejemplos de
matrices son
B
4
9
6
R
-2
B
5
-1
7
3
2
R
4
Los números dentro de los corchetes se denominan elementos de la matriz.
La matriz de la izquierda contiene 2 filas y 2 columnas; por lo tanto, se le llama
matriz de 2 por 2 (2 2). La matriz de la derecha contiene 2 filas y 3 columnas; por lo
tanto, es una matriz de 2 por 3 (2 3). Al escribir las dimensiones de una matriz, siempre se indican primero las filas y luego las columnas de que consta. Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.Así, la matriz de la izquierda es una
matriz cuadrada.
En esta sección utilizaremos matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, primero hay que escribir cada ecuación en la forma ax by c. El
Sección 4.4 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices • 247
siguiente paso consiste en escribir la matriz aumentada, es decir, una matriz conformada por dos matrices pequeñas separadas por una barra vertical. Los números a la
izquierda de la línea vertical son los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones, y los números a la derecha son las constantes. Para el sistema de ecuaciones
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
la matriz aumentada se escribe
B
a1
a2
b1
c
` 1R
b2 c2
A continuación tenemos un sistema de ecuaciones y su matriz aumentada.
Sistema de ecuaciones
Matriz aumentada
1
y = 4
2
1
- 3x - 5y = 2
-1
-x +
D
-3
1
2 4
-5
4
1
2
T
Observe que la barra vertical de la matriz aumentada separa los coeficientes numéricos de las constantes. Como la matriz es sólo una forma abreviada de escribir el sistema de ecuaciones, podemos resolver un sistema lineal utilizando matrices de una
manera similar a como lo hacemos mediante el método de la suma.
2
Resolver sistemas de ecuaciones lineales
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales mediante matrices, reescribimos la
matriz aumentada en forma triangular,
B
1
0
a p
` R
1 q
en donde a, p y q son constantes. A partir de este tipo de matriz aumentada podemos escribir un sistema de ecuaciones equivalente. Esta matriz representa al sistema lineal
1x + ay = p
0x + 1y = q
o
x + ay = p
y = q
Por ejemplo,
B
1
0
3 4
` R
1 2
representa
x + 3y = 4
y = 2
Observe que el sistema del lado derecho puede resolverse fácilmente por sustitución.
Su solución es (2, 2).
Para reescribir la matriz aumentada en forma triangular, utilizamos transformaciones de fila, mismas que pueden realizarse mediante tres procedimientos.
248 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Procedimientos para la transformación de filas
1. Todos los números de una fila pueden multiplicarse por (o dividirse entre) cualquier
número real distinto de cero. (Esto es lo mismo que multiplicar ambos lados de una
ecuación por un número real distinto de cero).
2. Todos los números de una fila pueden multiplicarse por cualquier número real distinto
de cero. Los productos resultantes pueden sumarse a los números correspondientes en
cualquier otra fila. (Esto es equivalente a eliminar una variable del sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma).
3. Dos filas de una matriz pueden intercambiarse. (Esto es lo mismo que intercambiar
dos ecuaciones en el sistema de ecuaciones).
Por lo general, al cambiar un elemento de la matriz aumentada por 1 se utiliza
el primero de los procedimientos descritos, y al cambiar uno de los elementos por 0 utilizamos el segundo procedimiento. Se trabaja por columnas, comenzando por la de la
izquierda; en otras palabras, inicie con la primera fila de la primera columna.
EJEMPLO 1
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando matrices.
2x - 3y = 10
2x + 2y = 5
Solución
Primero escribimos la matriz aumentada.
B
2
2
-3 10
R
`
2
5
Nuestro objetivo es obtener una matriz de la forma B
1
0
a p
` R . Para ello, comenza1 q
mos por utilizar el procedimiento 1 de las transformaciones de fila para cambiar el 2
en la primera fila de la primera columna por 1. Para hacerlo, multiplicamos la primera fila de números por 21 . (Abreviamos esta multiplicación como 12 R 1 y colocamos la
expresión a la derecha de la matriz, en la misma fila en donde se realizó la operación.
Esto puede ayudarle a seguir el procedimiento con más claridad).
B
2 A 12 B
2
- 3 A 12 B
10 A 12 B
R
`
2
5
1
2 R1
Con esto se obtiene
B
1
2
- 32 5
` R
2 5
El paso siguiente es obtener 0 en la segunda fila de la primera columna, donde por
el momento se encuentra un 2. Lo haremos multiplicando por –2 los números de la
primera fila, y sumamos los productos a los números de la segunda fila. (Esto se abrevia -2R1 + R2).
Los números de la primera fila, multiplicados por 2 son
11-22
3
- 1-22 51-22
2
Ahora sumamos estos productos a sus números respectivos de la segunda fila. Con esto obtenemos
- 32
1
C
2 + 11- 22
2 +
A - 32 B 1-22
3
5
5 + 51- 22
S
-2R1 + R2
Sección 4.4 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices • 249
Ahora tenemos
B
- 32
5
R
`
5
-5
1
0
Para obtener 1 en la segunda fila de la segunda columna, multiplicamos la segunda fi1
la de números por5 .
B
- 32
5
R
`
5 A 15 B
-5 A 15 B
1
0 A 15 B
B
1
5 R2
- 32
5
R
`
1
-1
1
0
La matriz se encuentra ahora en la forma que buscábamos. El sistema de ecuaciones
triangular equivalente es
x -
3
y = 5
2
y = -1
Ahora podemos despejar x mediante sustitución.
x -
3
y = 5
2
3
x - 1-12 = 5
2
3
x + = 5
2
7
x =
2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19
3
Compruebe que la solución del sistema es
A 72 , -1 B .
✺
Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables
Ahora utilizaremos las matrices para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con
tres variables. Usaremos el mismo procedimiento de transformaciones de filas que empleamos para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales. Nuestro objetivo es obtener una matriz aumentada en forma triangular
1
C0
0
a b p
1 c 3 qS
0 1
r
donde a, b, c, p, q y r son constantes. Esta matriz representa el siguiente sistema de
ecuaciones.
1x + ay + bz = p
0x + 1y + cz = q
0x + 0y + 1z = r
x + ay + bz = p
y + cz = q
o
z = r
Al construir una matriz aumentada, trabaje por columnas, comenzando por la del
extremo izquierdo y finalizando con la del extremo derecho. Siempre termine las operaciones en una columna antes de pasar a la siguiente. En cada columna, primero ob-
250 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
tenga 1 en la posición indicada, y después obtenga los ceros. El ejemplo 2 ilustra este
procedimiento.
SUGERENCIA
CONSEJO PARA
ESTUDIAR
Al usar matrices, tenga cuidado de mantener todos los números alineados de forma apropiada en filas y columnas. Un pequeño error al copiar números de una matriz a otra
provocará que nuestro intento de resolver un sistema de ecuaciones sea incorrecto.
x - 3y + z = 3
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones, 4x + 2y - 5z = 20 , cuando se representa
- 5x - y - 4z = 13
de manera correcta con la matriz aumentada, C
1
4
-5
-3
2
-1
1
3
- 5 3 20 S , da lugar a la
-4
13
solución (1, 2, 4). Sin embargo, una matriz que parece muy similar, C
conduce a la terna ordenada incorrecta a -
EJEMPLO 2
25
130
206
,,b.
53
53
53
1
4
-5
-3
-1
2
1
3
- 5 3 20 S ,
-4
13
Utilice matrices para resolver el siguiente sistema de ecuaciones
x - 2y + 3z = - 7
2x - y - z = 7
- x + 3y + 2z = - 8
Solución
Primero escriba la matriz aumentada.
1
C 2
-1
-2
-1
3
3
-7
3
-1
7S
2
-8
1
Después utilice las transformaciones de filas para cambiar la primera columna a 0.
0
Como el número de la primera fila de la primera columna ya es 1, trabajaremos con el
número 2 de la segunda fila, primera columna. Multiplique los números de la primera
fila por 2 y sume los productos a los números respectivos de la segunda fila, con lo
que cambiará el 2 por 0. Ahora la matriz es
1
C 0
-1
-2
3
3
3 -7
-7 3 21 S -2R1 + R2
2 -8
Continúe hacia abajo en la primera columna y cambie el número 1 de la tercera fila por 0. Multiplique los números de la primera fila por 1, y sume los productos a la
tercera fila para obtener
1
C0
0
-2
3
1
3
-7
-7 3 21 S
5 -15
1R1 + R3
Ahora trabajaremos con la segunda columna. Queremos cambiar los números de esa
ta columna a la forma 1, donde a representa un número. Como hay un 1 en la tercera
0
Sección 4.4 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices • 251
fila de la segunda columna, y queremos un 1 en la segunda fila de la segunda columna, intercambiamos la primera y segunda filas de la matriz. Esto da
1
C0
0
-2
1
3
3
-7
5 3 -15 S
-7
21
Intercambiar R1 y R2.
Continuando el trabajo hacia abajo en la segunda columna, ahora cambiaremos el número 3 de la tercera fila por 0, multiplicando los números de la segunda fila por 3 y
sumando los productos a la tercera fila. Esto da por resultado
1
C0
0
-2
1
0
3
-7
5 3 -15 S -3R2 + R3
-22
66
Ahora trabajaremos con la tercera columna. Queremos cambiar los números de
b
esta columna a la forma c , donde b y c representan números. Debemos cambiar el
1
número 22 de la tercera fila por 1. Podemos lograrlo multiplicando los números de
1
la tercera fila por - 22 . Esto da como resultado
1 -2 3
-7
C 0 1 5 3 - 15 S
0 0 1
- 3 - 221 R3
Ahora esta matriz tiene la forma deseada. A partir de ella obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
x - 2y + 3z = - 7
y + 5z = - 15
z = -3
La tercera ecuación nos da el valor de z en la solución.Ahora podemos despejar y, sustituyendo z por –3 en la segunda ecuación.
y + 5z = - 15
y + 51-32 = -15
y - 15 = - 15
y =
0
Ahora despejamos x, sustituyendo y por 0 y z por –3 en la primera ecuación.
x - 2y + 3z = - 7
x - 2102 + 31-32 = -7
x - 0 - 9 = -7
x - 9 = -7
x =
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33
2
La solución es (2, 0, 3). Compruébelo sustituyendo los valores apropiados en cada una
de las ecuaciones originales.
✺
252 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
4
Reconocer sistemas inconsistentes y sistemas dependientes
Al resolver un sistema de dos ecuaciones, si usted obtiene una matriz aumentada en
la que todos los números de una fila al lado de la barra vertical son ceros, pero no hay
ceros que les correspondan en el otro lado, significa que el sistema es inconsistente y
no tiene solución. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones con el que se obtiene la siguiente matriz aumentada es un sistema inconsistente.
B
1 2 5
` R
0 0 4
— Sistema inconsistente.
La segunda fila de la matriz representa la ecuación
0x + 0y = 4
que nunca es verdadera.
Si obtiene una matriz con ceros en toda una fila, el sistema de ecuaciones es dependiente. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones que produce la siguiente matriz aumentada es un sistema dependiente.
B
-3 -2
R
`
0
0
1
0
— Sistema dependiente.
La segunda fila de la matriz representa la ecuación
0x + 0y = 0
que siempre es verdadera.
Los sistemas de ecuaciones con tres ecuaciones cumplen reglas similares.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 27
1
C0
0
1
C0
0
2
0
1
3
0
4
4
5
3
0 -1 S
-2
3
-1
2
0 3 0S
1 -3
— Sistema inconsistente.
— Sistema dependiente.
Cómo utilizar su calculadora graficadora
Muchas calculadoras graficadoras pueden trabajar con matrices y realizar operaciones en las filas. Por
consiguiente, estas calculadoras graficadoras pueden utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones mediante
matrices.
Lea el manual de instrucciones que viene con su calculadora graficadora para ver si puede manipular matrices. Si es así, aprenda a utilizarla para resolver sistemas de ecuaciones mediante matrices.
Conjunto de ejercicios 4.4
Ejercicios conceptuales
1. ¿Qué es una matriz cuadrada?
2. Explique cómo construir una matriz aumentada.
3. Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un
sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el siguiente paso para
completar el procedimiento? Explique.
B
1
0
3 6
` R
-1 4
Sección 4.4 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices • 253
4. Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un
sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el siguiente paso para
completar el procedimiento? Explique su respuesta.
1
C0
2
3 7
-1
3
-1 5
3S
4 6
8
1
C0
0
5. Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el siguiente paso para completar el procedimiento? Explique su respuesta.
1
C0
0
6. Si usted obtiene esta matriz aumentada al resolver un sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el siguiente paso para completar el procedimiento? Explique su respuesta.
4
5
1
-7
7
3
2
-1 S
4
2
3
1
0
-2
1
3
2
-3 S
4
-12
7. Al resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices, si dos filas son idénticas, ¿el sistema será consistente, dependiente o inconsistente?
8. Al resolver un sistema de ecuaciones mediante matrices,
¿cómo se sabe si el sistema es
a) dependiente,
b) inconsistente?
Problemas de aplicación
Realice cada una de las transformaciones de fila indicadas y escriba la nueva matriz.
9. B
5
3
- 15
-10
R Multiplique por 15 los números de la primera fila.
`
-4
1
10. B
1
0
8
3
R Multiplique por
`
4
-3
4
7
2
1 1
1 5
12. C 0 6
0 1
11. C 3
13. B
1
2
los números de la segunda fila.
2
-1
1 3 -5 S Intercambie las filas 1 y 3.
3
-8
7
2
- 1 3 5 S Intercambie las filas 2 y 3.
3
-4
3 12
` R Multiplique por 3 los números de la primera fila, y sume los productos a la segunda fila.
8 -6
1
-3
14. B 1
1
4
5
6
R Multiplique los números del primer renglón por - 12 y sume los productos al segundo renglón.
`
10
-4
1
15. C 5
6
1
0 8
4
3
- 2 S Multiplique por 5 los números de la primera fila, y sume los productos a la segunda fila.
2 2
0
-3 1
1
C
0
16.
0
2
1
0
-1 6
1
5 3 0 S Multiplique por los números de la tercera fila.
2
2 4
Resuelva cada sistema utilizando matrices.
17. x + 3y = 3
-x + y = -3
20. 3x - 6y = 15
2x - y = 4
23. 2x - 5y = - 6
- 4x + 10y = 12
18. x + 2y = 5
3x - y = 1
21. 5a - 10b = - 10
2a + b = 1
24. -2m - 4n = 7
3m + 6n = - 11
19. x + 3y = 4
-4x - y = 6
22. 3s - 2t = 1
-2s + 4t = - 6
25. 12x + 10y = - 14
4x - 3y = - 11
254 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
26. 4r + 2s = - 10
28. 6x - 3y = 9
27. - 3x + 6y = 5
2x - 4y = 8
- 2r + s = - 7
29. 9x - 8y = 4
30. 2x - 3y = 3
- 3x + 4y = - 1
-2x + y = - 3
31. 10m = 8n + 15
- 3x + 9y = - 3
32. 8x = 9y + 4
24x + 6y = 1
16n = - 15m - 2
Resuelva cada sistema utilizando matrices.
33. x - 3y + 2z = 5
2x + 5y - 4z = - 3
-3x + y - 2z = - 11
34. a - 3b + 4c = 13
36. 4a + 3c = - 12
37. x - 2y + 4z = 5
35. x + 2y = 5
4a + b + c = - 4
- 2a - 3b - 5c = - 2
a + 2b = - 1
7b - 4c = 7
y - z = -1
2x - 3z = 0
38. 3x - 5y + 2z = 8
-x - y - z = - 3
3x - 2y + 4z = 10
-3x + 4y - 2z = - 8
4x + 5y - 4z = - 3
41. 4p - q + r = 4
40. x + 2y + 3z = 1
39. 2x - 5y + z = 1
- 6p + 3q - 2r = - 5
2p + 5q - r = 7
4x + 5y + 6z = - 3
7x + 8y + 9z = 0
3x - 5y + z = 2
- 4x + 10y - 2z = - 2
42. - 4r + 3s - 6t = 14
43. 2x - 4y + 3z = - 12
4r + 2s - 2t = - 3
2r - 5s - 8t = - 23
3x - y + 2z = - 3
- 4x + 8y - 6z = 10
45. 5x - 3y + 4z = 22
44. 3x - 2y + z = - 1
12x - 10y - 3z = 2
-9x + 8y - 4z = 5
46. 9x - 4y + 5z = - 2
-x - 15y + 10z = - 15
- 3x + 9y - 12z = - 6
- 9x + 5y - 10z = - 1
9x + 3y + 10z = 1
Resolución de problemas
47. Al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante
matrices, si se intercambian dos filas de la matriz, ¿cambiará la solución del sistema? Explique.
48. ¿Puede decir si un sistema de tres ecuaciones con tres variables es consistente, dependiente o inconsistente sin resolverlo? Explique.
Resuelva los ejercicios 49 a 51 mediante matrices.
49. Ángulos de un tejado En una sección triangular de un tejado, el ángulo más grande es 55° mayor que el ángulo más
pequeño que es 20° mayor que el ángulo restante. Determine la medida de cada ángulo.
z
x
y
51. Plátanos Sesenta y cinco por ciento de la producción
mundial de plátano es controlada por las empresas Chiquita, Dole y Del Monte (todas de Estados Unidos).
Chiquita, la empresa más grande, controla 12% más de la
producción que Del Monte. Dole, la segunda empresa en
tamaño, controla 3% menos que el doble del porcentaje
que controla Del Monte. Determine los porcentajes que
corresponden a cada sector del círculo de la gráfica que se
muestra.
Producción mundial de plátanos
50. Ángulo recto Un ángulo recto se divide en tres ángulos
más pequeños. El más grande de los tres ángulos mide el
doble del más pequeño. El tercer ángulo mide 10° más que
el ángulo más pequeño. Determine la medida de cada
ángulo.
Otras
Dole
Del Monte
z
y
x
Chiquita
Sección 4.5 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de determinantes… • 255
52. Navegadores Web La siguiente gráfica muestra que en
2002, Microsoft y Netscape controlaron la mayor parte del
mercado de navegadores Web. Microsoft controló alrededor de 49% más mercado que Netscape, y Netscape controló alrededor de ocho veces la cantidad que controlaban
todos los demás productores de este tipo de programas.
Determine el porcentaje que corresponde a cada sector
de la gráfica que se muestra.
Distribución del mercado de navegadores Web
Otras
Netscape
Microsoft
Fuente: www.webreview.com
Ejercicios de repaso acumulativo
53. A {1, 2, 4, 6, 9}; B {3, 4, 5, 6, 10}. Determine
a) A ´ B;
b) A ¨ B.
[2.5] 54. Indique la desigualdad 2 x 4
a) en una recta numérica,
b) como un conjunto solución, y
c) en notación de intervalo.
[3.2] 55. ¿Qué representa una gráfica?
[3.4] 56. 56. Si f(x) 2x2 4x 6, determine f(5).
4.5 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR MEDIO DE
DETERMINANTES Y LA REGLA DE CRAMER
1
1
Evaluar un determinante de una matriz 2 2.
2
Utilizar la regla de Cramer.
3
Evaluar un determinante de una matriz 3 3.
4
Utilizar la regla de Cramer con sistemas de tres variables.
Evaluar un determinante de una matriz 2 2
Hemos estudiado varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: graficación, sustitución, el método de la suma (o eliminación) y matrices. Los sistemas de
ecuaciones lineales también pueden resolverse mediante determinantes.
Todas las matrices cuadradas tienen un número asociado que se conoce como su
determinante. En el caso de una matriz de 2 2, el determinante se define como sigue.
DEFINICIÓN
El determinante de una matriz de 2 2 B
a
a1 b1
R se denota por ` 1
a2
a2 b2
evalúa como
`
EJEMPLO 1
b1
` = a1 b2 - a2 b1
b2
Evalúe cada determinante.
`
a)
Solución
a1
a2
2
3
-1
`
5
b)
`
-2
-1
a) a 1 = 2, a 2 = 3, b1 = - 1, b2 = 5
`
2
3
-1
` = 2152 - 1321- 12 = 10 + 3 = 13
5
3
`
4
b1
` y se
b2
256 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 7
2
b)
`
-2
-1
3
` = 1-22142 - 1- 12132 = - 8 + 3 = - 5
4
✺
Utilizar la regla de Cramer
Si comenzamos con las ecuaciones
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
podemos utilizar el método de la suma para mostrar que
x =
c1 b2 - c2 b1
a1 b2 - a2 b1
y y =
a1 c2 - a2 c1
a1 b2 - a2 b1
(vea el problema 61 de la sección Reto). Observe que los denominadores de x y y son
ambos a1b2 a2b1. A continuación está el determinante, D, que produce este denominador.
D = `
a1 b1
` = a1 b2 - a2 b1
a2 b2
Los numeradores de x y y son diferentes. A continuación se encuentran dos determinantes, Dx y Dy con los que se obtienen los numeradores de x y y.
Dx = `
c1
c2
b1
` = c1 b2 - c2 b1
b2
Dy = `
a 1 c1
` = a1 c2 - a2 c1
a 2 c2
Los determinantes D, Dx y Dy se utilizan en la regla de Cramer, que se puede emplear
para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Regla de Cramer para sistemas de ecuaciones lineales
Para un sistema de ecuaciones lineales con la forma
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
x =
SUGERENCIA
`
c1
c2
a
` 1
a2
b1
`
b2
b1
`
b2
=
Dx
D
y
y =
`
a1
a2
c1
`
c2
a b
` 1 1`
a2 b2
Dy
=
D
, D Z 0
Los elementos del determinante D son los coeficientes numéricos de los términos x y y en
las dos ecuaciones dadas, listados en el mismo orden en que aparecen dentro de las ecuaciones. Para obtener el determinante Dx a partir del determinante D, reemplace los coeficientes de los términos de x (los valores de la primera columna) con las constantes de las
dos ecuaciones dadas. Para obtener el determinante Dy a partir del determinante D, reemplace los coeficientes de los términos de y (los valores de la segunda columna) con las constantes de las dos ecuaciones dadas.
Sección 4.5 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de determinantes… • 257
EJEMPLO 2
Utilice la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema.
3x + 5y = 7
4x - y = - 6
Solución
Ambas ecuaciones están en la forma deseada, ax by c. Con a, b y c nos referimos a 3x 5y 7 como la ecuación 1, y 4x y 6 como la ecuación 2 (en los subíndices).
a1
p
b1
p
c1
p
3x + 5y = 7
4x - 1y = - 6
q
a2
q
b2
q
c2
Ahora determinamos D, Dx y Dy.
D = `
a1 b1
3
` = `
a2 b2
4
Dx = `
c1
c2
Dy = `
a1 c1
3
` = `
a2 c2
4
b1
7
` = `
b2
-6
5
` = 31- 12 - 4152 = - 3 - 20 = - 23
-1
5
` = 71- 12 - 1- 62152 = - 7 + 30 = 23
-1
7
` = 31- 62 - 4172 = - 18 - 28 = - 46
-6
Ahora encontramos los valores de x y de y.
Dx
23
=
= -1
D
-23
Dy
-46
y =
=
= 2
D
-23
x =
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15
Así, la solución es x 1, y 2, o el par ordenado (1, 2). Compruebe que este par
ordenado satisface ambas ecuaciones.
✺
Cuando el determinante D 0, la regla de Cramer no se puede aplicar, ya que
la división entre cero es indefinida. Entonces deberá utilizar un método diferente para resolver el sistema, o evaluar Dx y Dy para determinar si el sistema es dependiente
o inconsistente.
Si D 0, Dx 0, Dy 0, entonces el sistema es dependiente.
Si D 0, y Dx 0 o Dy 0, entonces el sistema es inconsistente.
3
Evaluar un determinante de una matriz 3 3
Para el determinante
a1
3 a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2 3
c3
el determinante menor de a1 se encuentra tachando los elementos de la misma fila y
la misma columna donde aparece el elemento a1. Los demás elementos forman el de-
258 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
terminante menor de a1. Los determinantes menores de los demás elementos se localizan de manera similar.
a1 b1
3 a2 b2
a3 b3
c1
c2 3
c3
`
b2 c2
`
b3 c3
Determinante menor de a1.
a1 b1
3 a2 b2
a3 b3
c1
c2 3
c3
`
b1 c1
`
b3 c3
Determinante menor de a2.
a1 b1
3 a2 b2
a3 b3
c1
c2 3
c3
`
b1 c1
`
b2 c2
Determinante menor de a3.
Para evaluar los determinantes de una matriz de 3 3, utilizamos los determinantes menores. En el siguiente recuadro se muestra cómo evaluarlos por el desarrollo
de menores de la primera columna.
Desarrollo de los determinantes mediante los menores
de la primera columna
Determinante Determinante Determinante
menor
menor
menor
de a2
de a3
de a1
p
p
p
a1
3 a2
a3
4
EJEMPLO 3
Evalúe 3 3
1
-2
5
-3
b1 c1
b c
b
b2 c2 3 = a1 ` 2 2 ` - a2 ` 1
b3 c3
b3
b3 c3
c1
b c
` + a3 ` 1 1 `
c3
b2 c2
6
0 3 utilizando el desarrollo del determinante mediante los meno-1
res de la primera columna.
Solución
Seguiremos el procedimiento indicado en el cuadro.
4
33
1
-2
5
-3
6
5
03 = 4`
-3
-1
0
-2
` - 3`
-1
-3
6
-2
` + 1`
-1
5
6
`
0
= 4351-12 - 1- 3204 - 331 - 221 -12 - 1- 3264 + 131 -220 - 51624
= 41-5 + 02 - 312 + 182 + 110 - 302
= 41-52 - 31202 + 11-302
= - 20 - 60 - 30
= - 110
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13
El determinante tiene un valor de 110.
✺
Sección 4.5 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de determinantes… • 259
4
Utilizar la regla de Cramer con sistemas de tres variables
La regla de Cramer puede aplicarse también a los sistemas de ecuaciones con tres variables como sigue.
Regla de Cramer para un sistema de ecuaciones
con tres variables
Para evaluar el sistema
a 1 x + b1 y + c1 z = d1
a 2 x + b2 y + c2 z = d2
a 3 x + b3 y + c3 z = d3
con
a1
D = 3 a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2 3
c3
d1
Dx = 3 d2
d3
b1 c1
b2 c2 3
b3 c3
a1
Dy = 3 a2
a3
d1
d2
d3
c1
c2 3
c3
a1
Dz = 3 a2
a3
b1
b2
b3
d1
d2 3
d3
entonces
x =
Dx
D
y =
Dy
D
z =
Dz
D
,
D Z 0
Observe que los denominadores de las expresiones para x, y y z son todos el mismo determinante, D. Las constantes d reemplazan a las a, los coeficientes numéricos
de los términos x en Dx; a las b, los coeficientes numéricos de los términos y en Dy, y
a las c, los coeficientes numéricos de los términos z en Dz.
EJEMPLO 4
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando determinantes.
3x - 2y - z = - 6
2x + 3y - 2z =
1
x - 4y + z = - 3
Solución
a1 = 3
a2 = 2
a3 = 1
b1 = - 2
b2 = 3
b3 = - 4
c1 = - 1
c2 = - 2
c3 = 1
d1 = - 6
d2 = 1
d3 = - 3
Utilizaremos el desarrollo de los determinantes menores de la primera columna para
evaluar D, Dx, Dy y Dz.
3
3
D = 2
1
-2
3
-4
-1
3
-2 3 = 3 `
-4
1
-2
-2
` - 2`
1
-4
= 31-52 - 21-62 + 1172
= - 15 + 12 + 7 = 4
-1
-2
` + 1`
1
3
-1
`
-2
260 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
-6
3
Dx =
1
-3
-2
3
-4
-1
3
-2 3 = - 6 `
-4
1
-2
-2
` - 1`
1
-4
-1
-2
` + 1- 32 `
1
3
-1
`
-2
= - 61-52 - 11-62 - 3172
= 30 + 6 - 21 = 15
3
3
Dy = 2
1
-6
1
-3
-1
1
-2 3 = 3 `
-3
1
-2
-6
` - 2`
1
-3
-1
-6
` + 1`
1
1
-1
`
-2
-6
-2
` + 1`
-3
3
-6
`
1
= 31-52 - 21-92 + 11132
= - 15 + 18 + 13 = 16
3
Dz = 3 2
1
-2
3
-4
-6
3
13 = 3`
-4
-3
1
-2
` - 2`
-3
-4
= 31- 52 - 21-182 + 11162
= - 15 + 36 + 16 = 37
Encontramos que D 4, Dx 15, Dy 16 y Dz 37. Por lo tanto,
x =
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33
Dx
15
=
D
4
y =
Dy
D
16
= 4
4
=
z =
Dz
D
=
37
4
A 154 , 4, 374 B .Observe que la terna ordenada lista a x, y y z en
La solución del sistema es
este orden.
✺
Cuando tenemos un sistema de ecuaciones con tres variables en donde una o
más ecuaciones no tienen una variable, insertamos la variable con el coeficiente 0.
Así,
2x - 3y + 2z = - 1
2x - 3y + 2z = - 1
x + 2y
= 14 se escribe x + 2y + 0z = 14
x
- 3z = - 5
x + 0y - 3z = - 5
SUGERENCIA
Al evaluar los determinantes, si cualesquiera dos filas (o columnas) son idénticas, excepto
por signos opuestos, el determinante tiene un valor de 0. Por ejemplo,
`
5
32
5
5
5
-2
` =0 y
-2
-3 4
6 53 = 0 y
-3 4
`
5
-5
5
3 -5
6
-2
` =0
2
-3
3
8
4
-4 3 = 0
2
Como en el caso de los determinantes de una matriz de 2 2, cuando el determinante
D 0, no se puede utilizar la regla de Cramer, ya que la división entre cero es indefinida. Entonces, hay que utilizar un método distinto para resolver el sistema, o evaluar
Dx, Dy y Dz para determinar si el sistema es dependiente o inconsistente.
Si D 0, Dx 0, Dy 0 o Dz 0, entonces el sistema es dependiente.
Si D 0, Dx 0, Dy 0 o Dz 0, entonces el sistema es inconsistente.
Sección 4.5 • Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de determinantes… • 261
Cómo utilizar su calculadora graficadora
En la sección 4.4 mencionamos que algunas calculadoras graficadoras pueden manejar matrices. Estas
calculadoras también pueden evaluar determinantes de matrices cuadradas. Lea el manual de su calculadora graficadora para saber si ésta puede evaluar determinantes. Si es así, aprenda cómo hacerlo.
Conjunto de ejercicios 4.5
Ejercicios conceptuales
1. Explique cómo evaluar un determinante de 2 2.
2. Explique cómo evaluar un determinante de 3 3, mediante el desarrollo de menores de la primera columna.
3. Explique cómo se puede saber si un sistema de tres ecuaciones lineales es inconsistente usando determinantes.
4. Explique cómo se puede saber si un sistema de tres ecuaciones lineales es dependiente usando determinantes.
5. Al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer, se determina que D 4, Dx 8
y Dy 2. ¿Cuál es la solución para este sistema?
6. Al resolver un sistema de tres ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer, se determina que D 2, Dx 6,
Dy 10 y Dz 2. ¿Cuál es la solución para este sistema?
Problemas de aplicación
Evalúe cada determinante.
7.
`
11. 3
2
1
3
0
-1
3
`
5
8.
2
5
4
0
33
2
`
5
`
-1
3
-1
4
12. 3 0
2
1
0
2
1
33
7
`2
1
9.
2
2
13. 3 1
-4
3
`
-4
3
-3
5
`
5
-1
- 23
`
0
14. 3
5
3
-5
-8 6
0 43
-2 1
10.
1
-6 3
9
Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando determinantes.
15. x + 3y = 1
-2x - 3y = 4
16. 2x + 4y = - 2
19. 5p - 7q = - 21
20. 6x + 3y = - 4
- 4p + 3q = 22
9x + 5y = - 6
-2x = y + 4
24. 9x + 6y = - 3
25. 3r = - 4s - 6
6x + 4y = - 2
3s = - 5r + 1
23. x + 5y = 3
2x + 10y = 6
27. 5x - 5y = 3
x - y = -2
28. 2x - 5y = - 3
18. 2r + 3s = - 2
17. x - 2y = - 1
- 5x - 2y = 13
3r + 5s = - 2
x + 3y = 9
22. 4x = 3y + 5
21. 4x = - 5y - 2
8x - 2 = - 2y
26. x = y - 1
3y = 2x + 8
29. 6.3x - 4.5y = - 9.9
- 4x + 10y = 1
-9.1x + 3.2y = - 2.2
30. - 1.1x + 8.3y = 36.5
3.5x + 1.6y = - 4.1
Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando determinantes.
31. x + y + z = 2
-3y + 4z = 11
- 3x + 4y - 2z = - 11
34. 2x + 8y + 3z = 1
6x - 9y = 5
- 3y + z = 2
32. 2x + 3y = 4
3x + 7y - 4z = - 3
x - y + 2z = 9
35. x + 4y - 3z = - 6
2x - 8y + 5z = 12
3x + 4y - 2z = - 3
33. 3x - 5y - 4z = - 4
4x + 2y = 1
6y - 4z = - 11
36. 2x + y - 2z = 4
2x + 2y - 4z = 1
6x + 8y - 4z = 1
262 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
38. 2x + y - 2 = 0
37. a - b + 2c = 3
a - b + c = 1
2a + b + 2c = 2
41. 1.1x + 2.3y - 4.0z = - 9.2
40. 4x - 2y + 6z = 2
- 6x + 3y - 9z = - 3
2x - 7y + 11z = - 5
42. 4.6y - 2.1z = 24.3
- 5.6x + 1.8y = - 5.8
2.8x - 4.7y - 3.1z = 7.0
-2.3x + 4.6z = 6.9
- 8.2y - 7.5z = - 6.8
1
y - 3z = 5
2
- 3x + 2y + 2z = 1
1
4x - y - 7z = 4
4
44. x - 2y + z = 2
43. -6x + 3y - 9z = - 8
45. 2x +
4x - 6y + 2z = 1
2x - 3y + z = 0
5x + 2y - 3z = 1
2x - y + 3z = - 5
46.
39. a + 2b + c = 1
3x + 2y + z = 3
x - 3y - 5z = 5
a - b + c = 1
2a + b + 2c = 2
1
1
x - y + 3z = - 3
4
2
2x - 3y + 2z = - 1
1
1
1
x + y - z = 1
6
3
3
47. 0.2x - 0.1y - 0.3z = - 0.1
48. 0.6u - 0.4v + 0.5w = 3.1
0.2x - 0.1y + 0.1z = - 0.9
0.1x + 0.2y - 0.4z = 1.7
0.5u + 0.2v + 0.2w = 1.3
0.1u + 0.1v + 0.1w = 0.2
Resolución de problemas
49. Dado un determinante de la forma `
b1
` , ¿cómo camb2
a1
a2
biará el valor del determinante si se intercambian entre sí
las a y se intercambian entre sí las b, `
a2
a1
b2
` ? Explique
b1
su respuesta.
a b1
50. Dado un determinante de la forma ` 1
` , ¿cómo cama2 b2
biará el valor del determinante si las a son intercambiab a1
das con las b, ` 1
` ? Explique su respuesta.
b2 a2
51. Si las dos filas de un determinante de 2 2 son iguales,
¿cuál es el valor del determinante?
52. Si todos los elementos de una fila o de una columna de un
determinante de 2 2 son 0, ¿cuál es el valor del determinante?
53. Si todos los elementos de una fila o de una columna de un
determinante 3 3 son 0, ¿cuál es el valor del determinante?
54. Dado un determinante de 3 3, si todos los elementos de
una fila se multiplican por 1, ¿cambiará el valor del determinante? Explique.
55. Dado un determinante de 3 3, si la primera y segunda filas se intercambian, ¿cambiará el valor del determinante?
Explique.
56. En un determinante de 3 3, si cualesquiera dos filas son
iguales, ¿puede hacer una generalización acerca del valor
del determinante?
Determine el valor de la letra dada.
57.
`
4
-2
6
` = 32
y
58.
`
b - 2
b + 3
-4
` = 14
-6
4
59. 3 3
4
7
-1
1
y
2 3 = - 35
5
60. 3
3
0
-1
x
5
4
-2
- 6 3 = - 31
-7
Reto
61. Utilice el método de la suma para resolver el siguiente sistema para a) x, y b) y.
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.5] 62. Resuelva la desigualdad 31x - 22 6 45 1x - 42 e indique la solución en notación de intervalo.
Grafique 3x 4y 8, mediante el método indicado.
[3.2] 63. Por medio del trazo de puntos.
64. Utilizando las intersecciones de los ejes x y y.
[3.3] 65. Utilizando la pendiente y la intersección del eje y.
Sección 4.6 • Resolución de sistemas de desigualdades lineales • 263
4.6 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES
1
1
Resolver sistemas de desigualdades lineales.
2
Resolver problemas de programación lineal.
3
Resolver sistemas de desigualdades lineales con valor absoluto.
Resolver sistemas de desigualdades lineales
En la sección 3.7 se explicó cómo graficar desigualdades lineales con dos variables. En
la sección 4.1 aprendimos a resolver gráficamente sistemas de ecuaciones. En esta sección analizaremos cómo resolver gráficamente sistemas de desigualdades lineales.
Para resolver un sistema de desigualdades lineales
Grafique todas las desigualdades del sistema en los mismo ejes. La solución es el conjunto
de puntos cuyas coordenadas satisfacen todas las desigualdades del sistema.
EJEMPLO 1
Determine la solución del sistema de desigualdades.
1
y 6 - x + 2
2
x - y … 4
Solución
1
Primero grafique la desigualdad y 6 - 2 x + 2 (vea la figura 4.8).Ahora, en los mismos
ejes, grafique la desigualdad x y ≤ 4 (vea la figura 4.9). La solución es el conjunto de
puntos comunes a las gráficas de ambas desigualdades. Ésta es la parte de la gráfica que
tiene ambos sombreados. La línea punteada no es parte de la solución, pero la parte
de la línea sólida que satisface ambas desigualdades sí lo es.
y
y
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
FIGURA 4.8
EJEMPLO 2
1 2 3 4 5
y qx 2
x
5 4 3 2 1
1
Solución
2
3
4
5
xy
4
1 2 3 4 5
x
y q x 2
FIGURA 4.9
✺
Determine la solución del sistema de desigualdades.
3x - y 6 6
2x + 2y Ú 5
Solución
Grafique 3x y 6 (vea la figura 4.10). Grafique 2x 2y ≥ 5 en los mismos ejes (figura 4.11). La solución es la parte de la gráfica con ambos sombreados y la parte de la
línea sólida que satisface ambas desigualdades.
264 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
3x y 6
y
y
3
2
1
3
2
1
5 4 3 2 1
1
1 2 3 4 5
x
5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
6
7
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 7
EJEMPLO 3
3x y Solución
2x 2y
1 2 3 4 5
5
x
2
3
6
4
5
6
7
FIGURA 4.11
FIGURA 4.10
✺
Determine la solución del sistema de desigualdades.
y 7 -1
x … 4
Solución
La solución se ilustra en la figura 4.12.
y
Solución
5
4
3
2
1
3 2 1
2
3
4
5
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15
2
y
1 2 3
x
1
5 6 7
x
4
FIGURA 4.12
✺
Resolver problemas de programación lineal
Existe un proceso matemático llamado programación lineal, en el que, con frecuencia,
hay que graficar más de dos desigualdades lineales en los mismos ejes. Estas desigualdades se llaman restricciones. Los siguientes dos ejemplos ilustran cómo determinar la
solución de un sistema de más de dos desigualdades.
EJEMPLO 4
Determine la solución del siguiente sistema de desigualdades.
x Ú 0
y Ú 0
2x + 3y … 12
2x + y … 8
Solución
Las primeras dos desigualdades, x ≥ 0 y y ≥ 0, indican que la solución debe estar en el
primer cuadrante, ya que es el único en donde x y y son positivas. La figura 4.13 ilustra las gráficas de las cuatro desigualdades.
Sección 4.6 • Resolución de sistemas de desigualdades lineales • 265
y
y
y
8
8
8
8
7
7
7
7
6
6
6
6
5
5
5
5
4
4
4
4
0
x
0
y
y
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
2 1
1
1
2
3
4
5
6
x
2 1
1
2
1
2
3
4
5
6
x
2
2 1
1
2
1
x
1
2
3
4
5
2x 3y
2 1
1
6
2
12
1
2
3
2x y
4
5
6
x
8
FIGURA 4.13
y
8
La figura 4.14 ilustra las gráficas en los mismos ejes y la solución del sistema de
desigualdades. Observe que todos los puntos que están en el área sombreada y todos
los puntos sobre las rectas que forman la región poligonal forman parte de la
respuesta.
✺
7
6
5
4
3
(3, 2)
2
EJEMPLO 5
Determine la solución del siguiente sistema de desigualdades.
1
2 1
1
1
2
3
4
5
6
x
y
x
8x + 8y
4x + 12y
x
2
FIGURA 4.14
Solución
Ú
Ú
…
…
…
0
0
15
160
180
Las primeras dos desigualdades indican que la solución debe estar en el primer cuadrante. La tercera desigualdad indica que x debe ser un valor menor o igual que 15. La
figura 4.15a muestra las gráficas de las tres últimas restricciones. La figura 4.15b indica la solución del sistema de desigualdades.
y
y
30
30
x 15
20
20
4x 12y 180
10
Solución
10
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 29
10
20
30
40
x
10
20
30
40
x
8x 8y 160
FIGURA 4.15
(a)
(b)
✺
3
Resolver sistemas de desigualdades lineales con valor absoluto
Ahora graficaremos sistemas de desigualdades lineales con valor absoluto en el sistema de coordenadas cartesianas. Antes de dar algunos ejemplos, recordemos las reglas
para las desigualdades con valor absoluto que aprendimos en la sección 2.6. Recuerde que
Si |x| a y a
Si |x| a y a
0, entonces a x a.
0, entonces x a o x a.
266 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
EJEMPLO 6
Solución
Grafique |x| 3 en el sistema de coordenadas cartesianas.
y
Tomando en cuenta las reglas de valor absoluto, sabemos que |x| 3 significa 3 x 3. Trazamos líneas punteadas verticales que pasen por 3 y 3, y
sombreamos el área entre las dos (figura 4.16).
5
4
3
2
1
5 4
2 1
1
x 3
1 2
4 5
x
2
3
4
5
FIGURA 4.16
✺
EJEMPLO 7
Solución
Grafique |y 1|
3 en el sistema de coordenadas cartesianas.
Tomando en cuenta las reglas de valor absoluto, sabemos que |y 1| 3 significa que y 1 3 o y
1 3. Primero resolvemos cada desigualdad.
y + 1 6 -3
y 6 -4
o
y
5
4
3
y + 1 7 3
y 7 2
Ahora graficamos ambas desigualdades y consideramos la unión de las dos gráficas. La solución es el
área sombreada de la figura 4.17.
1
5 4 3 2 1
1
1 2 3 4 5
x
2
3
5
FIGURA 4.17
✺
EJEMPLO 8
Grafique el sistema de desigualdades.
ƒxƒ 6 3
ƒy + 1ƒ 7 3
Solución
y
Graficamos ambas desigualdades en los mismos ejes.
Por lo tanto, combinamos la gráfica del ejemplo 6
con la del ejemplo 7 (vea la figura 4.18). Los puntos
comunes a ambas desigualdades forman la solución
del sistema.
Solución
5
4
3
1
5 4
2 1
1
1 2
4 5
x
2
3
5
FIGURA 4.18
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41
Solución
✺
Conjunto de ejercicios 4.6
Ejercicios conceptuales
1. Explique cómo determinar gráficamente la solución para
un sistema de desigualdades lineales.
2. Si en un sistema de dos desigualdades, una contiene y la
otra ≥, ¿el punto de intersección de las dos rectas frontera de las desigualdades está en el conjunto solución? Explique.
3. Si en un sistema de dos desigualdades, una contiene ≤ y la
otra ≥, ¿el punto de intersección de las dos rectas fronte-
ra de las desigualdades está en el conjunto solución? Explique.
4. Si en un sistema de dos desigualdades, una contiene y la
otra , ¿el punto de intersección de las dos rectas frontera de las desigualdades está en el conjunto solución? Explique.
Sección 4.6 • Resolución de sistemas de desigualdades lineales • 267
Problemas de aplicación
Determine la solución de cada sistema de desigualdades.
5. 2x - y 6 4
6. y … - 2x + 1
y Ú -x + 2
9. y 6 x
y 7 - 3x
10. - 2x + 3y 6 - 5
y Ú 3x + 2
13. -4x + 5y 6 20
2
x + 1
3
y 7 -4
14. y Ú -
18. 3x + 2y 7 8
y … - 4x + 7
22.
6x Ú 2y + 8
8. y Ú 2x - 5
y 7 - 3x + 5
12. - 4x + 3y Ú - 4
y 7 - 3x + 3
15. x … 4
y Ú -2
16. x Ú 0
19. -2x 7 y + 4
20. y … 3x - 2
1
-x 6 y - 1
2
1
y 6 x + 1
3
x - 5y 6 5
3x - y 7 3
21. y 6 3x - 4
11. - 3x + 2y Ú - 5
3x - 8y 7 4
x Ú -3
17. 5x + 2y 7 10
7. y 6 3x - 2
y … - 2x + 3
x - 3y 6 6
1
1
x + y Ú 2
2
2
2x - 3y … - 6
Determine la solución de cada sistema de desigualdades. Utilice el método analizado en los ejemplos 4 y 5.
23. x Ú 0
24. x Ú 0
y Ú 0
2x + 3y … 6
4x + y … 4
27. x Ú 0
28. x Ú 0
y Ú 0
3x + 2y … 18
2x + 4y … 20
31. x Ú 0
25. x Ú 0
y Ú 0
2x + 3y … 8
4x + 2y … 8
y Ú 0
5x + 4y … 16
x + 6y … 18
26. x Ú 0
y Ú 0
x + y … 6
7x + 4y … 28
29. x
y
x
x
x
Ú
Ú
…
+
+
0
0
4
y … 6
2y … 8
y Ú 0
3x + y … 9
2x + 5y … 10
30. x Ú 0
y Ú 0
x … 4
2x + 3y … 18
4x + 2y … 20
32. x Ú 0
y Ú 0
x … 15
40x + 25y … 1000
5x + 30y … 900
y Ú
x …
30x
10x
0
15
+ 25y … 750
+ 40y … 800
Determine la solución de cada sistema de desigualdades.
33.
ƒxƒ 7 1
y 6 x
34.
ƒxƒ 7 2
ƒyƒ … 4
35.
ƒxƒ Ú 1
ƒyƒ Ú 2
36.
ƒxƒ 6 2
ƒyƒ Ú 3
37.
ƒyƒ 7 2
y … x + 3
38.
ƒxƒ 7 1
y … 3x + 2
39.
ƒyƒ 6 4
y Ú - 2x + 2
40.
ƒx - 2ƒ … 3
x - y 7 2
42.
ƒx - 2ƒ 7 1
43.
ƒx - 3ƒ … 4
ƒy + 2ƒ … 1
41. ƒ x + 2 ƒ 6 3
ƒyƒ 7 4
y 7 -2
44.
ƒx + 1ƒ … 2
ƒy - 3ƒ … 1
Resolución de problemas
45. ¿Es posible que un sistema de desigualdades lineales no
tenga solución? Explique. Construya un ejemplo para apoyar su respuesta.
46. ¿Es posible que un sistema de dos desigualdades lineales
tenga exactamente una solución? Explique. Si contesta sí,
construya un ejemplo para apoyar su respuesta.
268 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sin graficar, determine el número de soluciones para cada uno de los siguientes sistemas de desigualdades. Explique sus respuestas.
47. 2x + y 6 6
48. 3x - y … 4
49. 5x - 2y … 3
2x + y 7 6
3x - y 7 4
5x - 2y Ú 3
50. 2x - y 6 7
51. 5x - 3y 7 5
52. x + y … 0
3x - y 6 4
5x - 3y 7 6
x - y Ú 0
Reto
Determine la solución para cada sistema de desigualdades.
53. y Ú x 2
54. y 6 4 - x 2
y … 4
55. y 6 ƒ x ƒ
y 7 -5
56. y Ú ƒ x - 2 ƒ
y 6 4
y … - ƒx - 2ƒ
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.2] 57. En física, una fórmula para palancas es f1 d1 + f2 d2 = f3 d3 . Despeje f2 de esta fórmula.
[3.2] Establezca el dominio y rango de cada función.
58. 514, 32, 15, - 22, 1- 1, 22, 10, -526
60.
y
2
59. f1x2 = 3 x - 4
2
2
4
2
RESUMEN
x
(2, 1)
DEL CAPÍTULO
Términos y frases importantes
4.1
Método de la suma (o
eliminación)
Sistema de ecuaciones
consistente
Sistema de ecuaciones
dependiente
Sistema de ecuaciones
inconsistente
Terna ordenada
Solución de un sistema
de ecuaciones
Sustitución
Sistema de ecuaciones
lineales
4.2
Interpretación geométrica
de un sistema de
ecuaciones lineales
con tres variables
4.4
4.6
Matriz aumentada
Elementos
Matriz
Transformación de filas
Matriz cuadrada
Forma triangular
Restricciones
Programación lineal
Sistema de desigualdades
lineales
Sistema de desigualdades
lineales con valor
absoluto
4.5
4.3
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Regla de Cramer
Determinante
Desarrollo del determinante por menores
Determinante menor
(continúa en la página siguiente)
Resumen del capítulo • 269
HECHOS
IMPORTANTES
Matrices aumentadas
La matriz B
1
0
1
La matriz C 0
0
a
p
x + a = p
` R representa al sistema
1
q
y = q
a
1
0
b
p
x + ay + bz = p
c 3 q S representa al sistema
y + cz = q
1
r
z = r
`
Valor de un determinante de segundo orden
b1
` = a1 b2 - a2 b1
b2
a1
a2
Regla de Cramer:
a1 x + b1 y = c1
Para un sistema con la forma:
a2 x + b2 y = c2
x =
`
b1
`
b2
c1
c2
a
` 1
a2
b1
`
b2
=
Dx
D
y
y =
`
a1
a2
a
` 1
a2
c1
`
c2
Dy
=
b1
`
b2
D
,
D Z 0
Valor de un determinante de tercer orden
Determinante Determinante Determinante
menor
menor
menor
de a2
de a3
de a1
p
a1
3 a2
a3
p
b1 c1
b c
b
b2 c2 3 = a1 ` 2 2 ` - a2 ` 1
b3 c3
b3
b3 c3
p
c1
b
` + a3 ` 1
c3
b2
c1
`
c2
Regla de Cramer:
Para un sistema con la forma
a1 x + b1 y + c1 z = d1
a2 x + b2 y + c2 z = d2
a 3 x + b3 y + c3 z = d3
d1
3 d2
x =
d3
b1 c1
b2 c2 3
b3 c3
a1
3 a2
=
a1
3 a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2 3
c3
Dx
,
D
y =
a3
d1
d2
d3
c1
c2 3
c3
Dy
=
a1
3 a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2 3
c3
D
,
z =
a1 b1
3 a2 b2
a3 b3
d1
d2 3
d3
Dz
=
a1
3 a2
a3
b1 c1
b2 c2 3
b3 c3
D
,
D Z 0
270 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Ejercicios de repaso del capítulo
[4.1] Escriba cada ecuación en la forma pendiente intersección. Sin graficar ni resolver, determine si el sistema de ecuaciones lineales es consistente, inconsistente o dependiente. También indique si el sistema tiene exactamente una solución, ninguna solución o un
número infinito de soluciones.
1. 2x - 3y = - 1
2. 2x - 5y = 8
- 4x + 6y = 1
3x + 4y = 9
1
x + 4
2
x + 2y = 8
4. 6x = 4y - 8
3. y =
4x = 6y + 8
Determine gráficamente la solución de cada sistema de ecuaciones. Si el sistema es inconsistente o dependiente, indíquelo.
5. y = x + 3
y = 2x + 5
6. x = - 2
7. 2x + 2y = 8
y = 3
8. 2y = 2x - 6
2x - y = - 4
1
1
3
x - y =
2
2
2
Determine la solución de cada sistema de ecuaciones mediante sustitución.
9. y = - 4x + 2
y = 3x - 12
10. 4x - 3y = - 1
12. 3x + y = 17
11. a = 2b - 8
y = - 3x - 4
2b - 5a = 0
1
3
x - y = 1
2
4
Determine la solución de cada sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.
13. x - 2y = 5
2x + 2y = 4
16. 0.4x - 0.3y = 1.8
- 0.7x + 0.5y = - 3.1
2
9
y =
5
5
3
x - y = -2
2
19. x +
14. - 2x - y = 5
2x + 2y = 6
17. 4r - 3s = 8
2r + 5s = 8
20. 2x + 2y = 8
y = 4x - 3
22. 2x - 5y = 12
23. 2x + y = 4
4
x - y = -2
3
1
x + y = 2
2
15. 2a + 3b = 7
a - 2b = - 7
18. - 2m + 3n = 15
3m + 3n = 10
3
5
x +
4
2
5
7
x + y =
4
2
21. y = -
24. 2x = 4y + 5
2y = x - 6
[4.2] Determine la solución de cada sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución o el de la suma.
25. x - 2y - 4z = 13
26. 2a + b - 2c = 5
3y + 2z = - 2
5z = - 20
3b + 4c = 1
3c = - 6
28. - x - 4y + 2z = 1
2x + 2y + z = 0
- 3x - 2y - 5z = 5
31. x - y + 3z = 1
-x + 2y - 2z = 1
x - 3y + z = 2
29. 3y - 2z = - 4
3x - 5z = - 7
2x + y = 6
32. -2x + 2y - 3z = 6
4x - y + 2z = - 2
2x + y - z = 4
27. x + 2y + 3z = 3
- 2x - 3y - z = 5
4x + 2y + 5z = - 8
30. 3a + 2b - 5c = 19
2a - 3b + 3c = - 15
5a - 4b - 2c = - 2
Ejercicios de repaso del capítulo • 271
[4.3] Exprese cada problema como un sistema de ecuaciones lineales y utilice el método de su elección para determinar la solución.
33. Edades Jorge Valdés es 10 años mayor que su sobrina Jennifer. Si la suma de sus edades es 66, determine la edad de
Jorge y la edad de Jennifer.
34. Velocidad del viento Un avión puede viajar a 560 millas
por hora con el viento a favor y a 480 millas por hora con
el viento en contra. Determine la velocidad del viento y
la velocidad del avión sin viento.
Porcentaje de concentración
35. Mezcla de soluciones Jaime Cervantes tiene dos soluciones ácidas con las características que se muestran en la siguiente figura. ¿Qué cantidad de cada una debe mezclar
para obtener 6 litros de una solución de ácido con concentración de 40%?
70
60
50%
50
40
30
20
20%
36. Fútbol La admisión a un partido de fútbol cuesta $15 por
adulto y $11 por niño. Si se vendió un total de 650 boletos
por un monto de $8790, determine cuántos boletos para
niños y cuántos boletos para adultos se vendieron.
37. Regresó al espacio John Glenn fue el primer astronauta
estadounidense en dar la vuelta a la Tierra. Muchos años
después de esta hazaña, Glenn regresó al espacio. Esta vez
tenía cinco años menos que el doble de su edad cuando
hizo el primer viaje. La suma de la edad que tenía en
cada ocasión es 118. Determine qué edad tenía en cada
uno de sus viajes.
38. Cuenta de ahorros Marcia Torres tiene un total de $40,000
invertidos en tres cuentas de ahorro diferentes. Parte del
dinero está invertido en una cuenta que otorga 7% de interés; en la segunda cuenta tiene $5,000 menos que en la
primera, y recibe 5% de interés; la tercera cuenta le da 3%
de interés. Si el monto total que recibe Marcia al año por
concepto de interés es de $2300, determine cuánto dinero
tiene invertido en cada cuenta.
10
Solución
A
Solución
B
[4.4] Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando matrices.
39. x + 5y = 1
42. 2x - y - z = 5
41. y = 2x - 4
40. 2x - 3y = 3
4x = 2y + 8
2x + 4y = 10
- 2x - 8y = - 6
44. x + y + z = 3
43. 3a - b + c = 2
3x + 2y = 1
y - 3z = - 10
2a - 3b + 4c = 4
a + 2b - 3c = - 6
x + 2y + 3z = - 2
3x - 2y + z = 2
[4.5] Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando determinantes.
45. 7x - 8y = - 10
48. p + q + r = 5
47. 4m + 3n = 2
46. x + 4y = 5
- 5x + 4y = 2
7m - 2n = - 11
-2x - 2y = 2
50. y + 3z = 4
49. - 2a + 3b - 4c = - 7
- x - y + 2z = 0
x + 2y + z = 1
a + b + c = 4
-2a - 3b + 4c = 3
2p + q - r = - 5
- p + 2q - 3r = - 4
[4.6] Determine gráficamente la solución de cada sistema de desigualdades.
51. -x + 3y 7 6
2x - y … 2
52. 5x - 2y … 10
53. y 7 2x + 3
54. x 7 - 2y + 4
1
3
y 6 - x 2
2
y 6 -x + 4
3x + 2y 7 6
Determine la solución de cada sistema de desigualdades.
55. x Ú 0
y Ú 0
x + y … 6
4x + y … 8
56. x Ú 0
y Ú 0
2x + y … 6
4x + 5y … 20
57.
ƒxƒ … 3
ƒyƒ 7 2
58.
ƒxƒ 7 4
ƒy - 2ƒ … 3
272 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Examen de práctica del capítulo
1. Defina a) un sistema de ecuaciones consistente, b) un sistema de ecuaciones dependiente, y c) un sistema de ecuaciones inconsistente.
Determine, sin resolverlo, si cada sistema de ecuaciones es consistente, inconsistente o dependiente. Establezca si el sistema tiene exactamente una solución, ninguna solución, o un número infinito de soluciones.
2. 5x + 2y = 4
4. 5x - 4y = 6
3. 5x + 3y = 9
5x = 3y - 7
-10x + 8y = - 10
10
2y = - x + 6
3
Resuelva cada sistema de ecuaciones mediante el método indicado.
5. y = 3x - 2
6. y = - x + 6
7. y = - 3x + 4
8. 2a + 4b = 2
y = - 2x + 8
y = 2x + 3
y = 5x - 4
5a + b = - 13
gráficamente
gráficamente
por sustitución
por sustitución
9. 4x + 3y = 10
10. 0.3x = 0.2y + 0.4
6x + y = 1
- 1.2x + 0.8y = - 1.6
por suma
por suma
11.
3
a + b = 6
2
5
a - b = -4
2
12. x + y + z = 2
- 2x - y + z = 1
x - 2y - z = 1
por suma
por suma
13. Escriba la matriz aumentada para el siguiente sistema de
ecuaciones.
- 2x + 3y + 7z = 5
3x - 2y + z = - 2
x - 6y + 5z = - 13
14. Considere la siguiente matriz aumentada.
6
C4
2
-2 4
4
3 5 3 6S
-1 4
-3
Muestre los resultados obtenidos al multiplicar los elementos de la tercera fila por 2 y sumando los productos
a sus elementos correspondientes en la segunda fila.
Resuelva cada sistema de ecuaciones mediante matrices.
15. x - 3y = 7
3x + 5y = 7
16. x - 2y + z = 7
-2x - y - z = - 7
3x - 2y + 2z = 15
Evalúe cada determinante.
17.
`
3
4
-1
`
-2
8
18. 3 3
6
2
0
-3
-1
53
4
Resuelva cada sistema de ecuaciones mediante determinantes y la regla de Cramer.
19. 4x + 3y = - 6
- 2x + 5y = 16
20. 2r - 4s + 3t = - 1
-3r + 5s - 4t = 0
-2r + s - 3t = - 2
Utilice el método de su elección para determinar la solución de cada problema.
21. Cacahuates y almendras Roberto Romero vende almendras a $7 la libra, y cacahuates a $5.50 la libra. ¿Qué cantidad de cada semilla debe utilizar para obtener 20 libras
de una mezcla que se venda a $6.00 la libra?
Examen de repaso acumulativo • 273
22. Mezcla de soluciones Teresa Muñoz, una química, tiene
soluciones con concentración de 6% y 15% de ácido sulfúrico. ¿Qué cantidad de cada solución debe mezclar para obtener 10 litros de una solución con concentración de
9%?
23. Suma de números La suma de tres números da por resultado 25. El número más grande es tres veces el número
más pequeño, y el tercer número es uno más que el doble
del número más pequeño. Determine los tres números.
Determine la solución para cada sistema de desigualdades.
24. 3x + 2y 6 9
ƒxƒ 7 3
ƒyƒ … 1
25.
- 2x + 5y … 10
Examen de repaso acumulativo
Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indican después de cada respuesta.
1. Evalúe 16 , b 4 B 3 + a
5 + 10 2
b R - 32 r .
5
13. Determine cuáles de las gráficas siguientes representan
funciones. Explique.
2. Considere el siguiente conjunto de números.
1
e , - 4, 9, 0, 13, - 4.63, 1 f
2
Indique los elementos del conjunto que sean
a) números naturales;
b) números racionales;
c) números reales.
3. Escriba los siguientes números de menor a mayor.
3 5
- 1, ƒ - 4 ƒ , , , - ƒ - 8 ƒ , ƒ - 10 ƒ
4 8
a)
b)
y
y
2
2
2
2
x
2
2
14. Si f1x2 =
2
x
2
2
x
2
x + 3
, determine a) f1- 42 b) f1h2 y
x2 - 9
c) f132
Resuelva cada sistema de ecuaciones.
15. 3x + y = 6
Resuelva.
y = 2x + 1
4. - 33 - 21x - 424 = 31x - 62
16. 2p + 3q = 11
5.
5
2
x - = 2
3
6
17. x - 2y = 0
6.
ƒ 2x - 3 ƒ - 4 = 5
7. Despeje x de la fórmula M =
1
1a + x2 por x
2
8. Determine el conjunto solución de la desigualdad.
0 6
2 -2
9. Simplifique ¢
c)
y
2
3x y
y3
3x - 2
… 8
4
-2
≤ .
10. Grafique 2y 3x 8
11. Escriba en forma pendiente intersección la ecuación de la
recta paralela a la recta 2x 3y 8 y que pasa por el punto (2, 3).
12. Grafique la desigualdad 6x 3y 12.
- 3p - 5q = - 16
2x + z = 7
y - 2z = - 5
18. Ángulos de un triángulo Si el ángulo mayor de un triángulo mide nueve veces lo que el ángulo menor, y el ángulo mediano mide 70° más que el más pequeño, determine
la medida de los tres ángulos.
19. Caminar y trotar Dolores Castro camina a una velocidad
de 4 millas por hora, y Judit Páez trota a 6 millas por hora.
Dolores comienza a caminar 12 hora antes de que Judit
comienza a trotar. Si Judit trota siguiendo la misma ruta
que Dolores, ¿en cuánto tiempo Judit alcanzará a Dolores?
20. Concierto de rock Las entradas a un concierto de rock tienen dos precios diferentes. Las más caras se venden a $20
y las más baratas a $16. Si se vende un total de 1000 boletos
por un monto de $18,400, ¿cuántas entradas de cada tipo
se vendieron?
274 • Capítulo 4 • Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Respuestas al examen de repaso acumulativo
1
1
5 3
, - 4, 9, 0, - 4.63, 1 c) , - 4, 9, 0, 13, - 4.63, 1 3. - ƒ -8 ƒ , - 1, , , ƒ -4 ƒ , ƒ -10 ƒ 4. 7; [Sec. 2.1, Obj. 3]
2
2
8 4
17
2
34
f ; [Sec. 2.5, Obj. 3]
5. ; [Sec. 2.1, Obj. 4] 6. 6, - 3; [Sec. 2.6, Obj. 2] 7. x = 2M - a; [Sec. 2.2, Obj. 2] 8. e x ` 6 x …
4
3
3
10
y
2
5
9. 4 10.
; [Sec. 3.3, Obj. 2] 11. y = x + ; [Sec. 3.5, Obj. 3] 12.
;
y
y
3
3
9x
1. 1 2. a) 9, 1 b)
4
4
2
2
–4 –2
–2
–4
4
x
–4 –2
–2
2y=3x-8
4
x
–4
[Sec. 3.7, Obj. 1] 13. a) función b) función c) no es función; [Sec. 3.2, Obj. 3] 14. a) c) indefinido; [Sec. 3.2, Obj. 4] 15. 11, 32; [Sec. 4.1, Obj. 2]
2
1
7
b)
h + 3
h2 - 9
16. 17, -12; [Sec. 4.1, Ob. 3] 17. 12, 1, 32; [Sec. 4.2, Obj. 1]
18. 10°, 80°, 90°; [Sec. 2.3, Obj. 2] 19. 1 hora; [Sec. 2.4, Obj. 1]
20. 600 a $20, 400 a $16; [Sec. 4.3, Obj. 1]
Capítulo 5
Polinomios y funciones
polinomiales
5.1 Suma y resta de polinomios
5.2 Multiplicación de polinomios
5.3 División de polinomios y
división sintética
5.4 Factorización del factor
común de los términos de un
polinomio y factorización por
agrupación
5.5 Factorización de trinomios
5.6 Fórmulas especiales de
factorización
5.7 Repaso general de
factorización
5.8 Ecuaciones polinomiales
Resumen del capítulo
Ejercicios de repaso del
capítulo
Examen de práctica del
capítulo
Examen de repaso
acumulativo
I
nternet está cambiando la forma en que se realizan las reservaciones de viaje y la compra de
boletos para avión. A fin de satisfacer las necesidades de sus clientes en un ambiente de rápida
expansión, las agencias de viajes utilizan modelos matemáticos para predecir el número de clientes
que solicitarán sus servicios a través de Internet. En la página 278 evaluamos una función polinomial que predice el monto de los ingresos anuales que puede obtener una agencia de viajes por sus
transacciones en línea. Conforme aumenta ese monto, el tipo de empleados que requiere la agencia también se modifica. ¿Cuáles cree que serían las cualidades que las agencias de viajes buscan
al contratar nuevos empleados?
275
276 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Avance de
la lección
E
n este capítulo estudiaremos los polinomios, las funciones polinomiales y la
factorización. En las primeras secciones sumaremos, restaremos, multiplicaremos
y dividiremos polinomios y funciones polinomiales. Puesto que la graficación es una
parte muy importante de este curso, es recomendable que se asegure de entender las
gráficas de funciones polinomiales.
Después de analizar los polinomios, enfocaremos nuestra atención en la factorización. Para resolver los problemas de muchos de los capítulos siguientes, será necesario que usted haya comprendido bien el tema de factorización. En la sección 5.8 se
explica cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización, y se muestra
cómo resolver problemas de aplicación a partir de ella. Ponga particular atención a cómo
utilizar la factorización para determinar las intersecciones del eje x de las funciones cuadráticas. Más adelante volveremos a hablar de este tema.
5.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
1
1
Determinar el grado de un polinomio.
2
Evaluar funciones polinomiales.
3
Entender las gráficas de funciones polinomiales.
4
Suma y resta de polinomios.
Determinar el grado de un polinomio
Recuerde que, según se explicó en el capítulo 2, las partes que se suman o restan en una
expresión matemática se denominan términos. El grado de un término con exponentes enteros no negativos es la suma de los exponentes de las variables, si las hay. Las
constantes distintas de cero tienen grado 0, y al término 0 no se le asigna grado.
Un polinomio es una suma finita de términos en la que todas las variables tienen
exponentes enteros no negativos, y en donde los denominadores no incluyen variables. La expresión 3x2 2x 6 es un ejemplo de un polinomio con una variable, x. La
expresión x2y 2x 3 es un ejemplo de un polinomio con dos variables, x y y. Las ex
1
presiones x1/2 y 1o x -12 no son polinomiales, ya que los exponentes de las variables no
x
1
son enteros, ni no negativos. La expresión
no es un polinomio, ya que el denox - 1
minador incluye una variable.
El término principal de un polinomio es el término de grado más alto. El coeficiente principal es el coeficiente del término principal.
EJEMPLO 1
Indique el número de términos, el grado, el término principal y el coeficiente principal de cada polinomio.
b) 2x 2y 4 - 6xy 3 + 3xy 2z4
a) 2x 5 - 3x 2 + 6x - 4
Solución
Organizaremos las respuestas en una tabla.
Polinomio
a) 2x5 - 3x2 + 6x - 4
b) 2x2y4 - 6xy3 + 3xy2z4
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 29
Número de
términos
Grado
del polinomio
4
3
5 (de 2x5)
7 (de 3xy2z4)
Término Coeficiente
principal
principal
2x5
2 4
3xy z
2
3
✺
Sección 5.1 • Suma y resta de polinomios • 277
Los polinomios se clasifican de acuerdo con el número de términos de que constan, tal como se indica en la siguiente tabla.
Tipo de polinomio
Descripción
Ejemplos
2
2
Monomio
Un polinomio con un término
4x , 6x y, 3, -2xyz5, 7
Binomio
Un polinomio con dos términos
x2 + 1, 2x2 - y, 6x3 - 5y2
Trinomio
Un polinomio con tres términos
x3 + 6x - 4, x2y - 6x + y2
A los polinomios que constan de más de tres términos no se les da un nombre
específico, ya que el prefijo poli significa muchos. Se considera que un polinomio es
lineal si es de grado 0 o 1; cuando el polinomio tiene una variable se le denomina cuadrático si es de grado 2, y cúbico si es de grado 3.
Tipo de polinomio
Ejemplos
Lineal
Cuadrático
Cúbico
2x - 4, 5
3x + x - 6, 4x2 - 6
-4x3 + 3x2 + 5, 2x3 + 6x
2
2x3 4x2 6x 3 y 4x2 3xy 5y2 son ejemplos de polinomios en orden descendente de la variable x, ya que los exponentes de la variable x descienden (o van decreciendo) al recorrer los términos de izquierda a derecha. Por lo general, los polinomios
se escriben en orden descendente respecto de alguna variable.
EJEMPLO 2
Solución
2
Escriba cada uno de los siguientes polinomios en orden descendente de la variable x.
a) 5x + 4x 2 - 6
b) xy - 6x 2 + 3y 2
a) 5x + 4x 2 - 6 = 4x 2 + 5x - 6
b) xy - 6x2 + 3y 2 = - 6x 2 + xy + 3y 2
✺
Evaluar funciones polinomiales
La expresión 2x3 6x2 3 es un polinomio, y si escribimos P(x) 2x3 6x2 3,
tenemos una función polinomial. En una función polinomial, la expresión utilizada
para describir la función es un polinomio. Para evaluar una función polinomial se utiliza la sustitución, tal como se hizo para evaluar otras funciones en el capítulo 3.
EJEMPLO 3
Solución
Para la función polinomial P(x) 4x3 6x2 2x 8, determine
a) P(0)
b) P(3)
c) P1-22
a)
b)
P1x2 = 4x 3 - 6x2 - 2x + 8
P102 = 41023 - 61022 - 2102 + 8
= 0 - 0 - 0 + 8 = 8
P132 = 41323 - 61322 - 2132 + 8
= 41272 - 6192 - 6 + 8 = 56
c) P1 -22 = 41-223 - 61-222 - 21-22 + 8
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35
= 41-82 - 6142 + 4 + 8 = - 44
✺
Con frecuencia las empresas, los gobiernos y otras organizaciones necesitan llevar registros y hacer proyecciones de ventas, utilidades, cambios en la población, efectividad de nuevas drogas, etcétera. Para realizar estas tareas, muchas veces se utilizan
gráficas y funciones; el ejemplo 4 ilustra precisamente uno de esos casos.
278 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Dólares (miles de millones)
EJEMPLO 4
Ingresos de agencias de viajes La gráfica de barras de la figura 5.1 muestra el ingreso
que reciben las agencias de viajes estadounidenses por transacciones en línea (servicios a través de Internet), en miles de millones de dólares, entre 1996 y 2002. Una función
polinomial que puede usarse para calcular estos ingresos es R(t) 0.18t2 0.37t 0.28,
en donde t representa los años desde 1996, 0 t 6, y R es el ingreso en miles de
millones de dólares.
a) Por medio de la función, calcule el monto de los ingresos que recibieron las agencias de viajes en 1996, por transacciones en línea.
b) Mediante la función, calcule el monto de los ingresos por el mismo concepto en 2002.
8
6
4
Solución
a) Entienda el problema Primero necesitamos determinar con qué
valor sustituiremos a t en la función. Ya que t es los años desde 1996, el año 1996 corresponde a t 0. Así, para calcular el monto de los ingresos en 1996, evaluamos R(0).
2
0
Traduzca y realice los cálculos
1996 97 98 99 00 01 02
R1t2 = 0.18t2 + 0.37t + 0.28
R102 = 0.181022 + 0.37102 + 0.28
= 0 + 0 + 0.28
= 0.28
Año
Fuente: Asociación de la Industria de Turismo
de Estados Unidos.
FIGURA 5.1
Por lo tanto, el monto de los ingresos que recibieron
las agencias de viaje en 1996 es de más o menos $0.28 miles de millones (280 millones de dólares). La gráfica sustenta esta respuesta.
b) Entienda el problema Entre 1996 y 2002 hay 6 años de diferencia (2002 1996 6). Por lo tanto, para calcular el monto de los ingresos obtenidos en 2002,
evaluamos R(6).
Compruebe y responda
Traduzca y realice los cálculos
R1t2 = 0.18t2 + 0.37t + 0.28
R162 = 0.181622 + 0.37162 + 0.28
= 6.48 + 2.22 + 0.28
= 8.98
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 97
Compruebe y responda El monto de los ingresos fue de más o menos $8.98 miles
de millones, lo cual es consistente con la información correspondiente en la gráfica. ✺
3
Entender las gráficas de funciones polinomiales
Al graficar cualquier función polinomial se obtienen curvas suaves y continuas. En la
figura 5.2 se muestra la gráfica de una función polinomial cuadrática. Las gráficas de
todas las funciones polinomiales cuadráticas con un coeficiente principal positivo, tendrán la forma de la gráfica ilustrada en la figura 5.2.
y x 2 2x 8
y
8
y
y
6
6
10
4
8
2
6
4
Función
decreciente
Función
creciente
2
5 4 3 2 1
2
4
1
2
3
x
4 3 2 1
2
4
6
FIGURA 5.2
1
2
3
4
x
y x3 x 5
4
2
4 3 2 1
2
8
8
4
10
10
6
FIGURA 5.3
1
3
4
x
y x 3 6x 2
FIGURA 5.4
La gráfica de una función polinomial cúbica con un coeficiente principal positivo, puede tener la forma de las gráficas que se ilustran en las figuras 5.3 o 5.4.
Sección 5.1 • Suma y resta de polinomios • 279
Observe que siempre que su coeficiente principal sea positivo, la función polinomial
crecerá (o se moverá hacia arriba conforme aumente el valor de x, tal como muestra
la parte en negro de la curva) hacia la derecha para algún valor de x. Por ejemplo,
en la figura 5.2, la gráfica continúa creciendo hacia la derecha de x 1. En la figura 5.3, la gráfica crece de manera continua, y en la figura 5.4 lo hace hacia la derecha a partir del punto x 1.4.
Las funciones polinomiales con un coeficiente principal negativo decrecerán (o se
moverán hacia abajo conforme el valor de x aumente, tal como muestra la parte roja de
la curva) hacia la derecha de algún valor de x. En la figura 5.5 se muestra una función
polinomial cuadrática con coeficiente principal negativo; en las figuras 5.6 y 5.7 se ilustran funciones polinomiales cúbicas con coeficientes principales negativos. En la figura 5.5, la función cuadrática está decreciendo hacia la derecha de x 2, mientras que
en la figura 5.6, la función cúbica decrece de manera continua, y en la figura 5.7 la función cúbica disminuye hacia la derecha a partir del punto x 1.2, aproximadamente.
y
y
y
10
8
8
8
y x 2 4x 4
6
4
6
Función
creciente
2
Función
decreciente
4
1
2
3
4
6
x
6
y x 3 2
2
4 3 2 1
2
1
2
3
4
x
4 3 2
2
4
4
4
6
6
6
8
8
2
FIGURA 5.5
y x 3 4x 2
4
FIGURA 5.6
1
2
3
4
x
FIGURA 5.7
¿Por qué el coeficiente principal determina si una función crecerá o decrecerá hacia la derecha de algún valor de x? El coeficiente principal es el coeficiente del término con el exponente de la variable con el valor más alto. Conforme el valor de x
aumenta, este término terminará por dominar a todos los demás de la función. Por lo
tanto, si el coeficiente de este término es positivo, en algún momento la función comenzará a crecer a medida que el valor de x aumente. Si el coeficiente principal es negativo, en algún momento la función comenzará a decrecer a medida que el valor de x
disminuya. Esta información, junto con la verificación de la intersección del eje y de
la gráfica, puede ser útil para determinar si una gráfica es correcta o si está completa.
Lea el siguiente recuadro Cómo utilizar su calculadora graficadora, incluso si usted
no emplea una, y luego resuelva los ejercicios 93 a 96.
Cómo utilizar su calculadora graficadora
Siempre que grafique una función polinomial en su calculadora graficadora, asegúrese de que su pantalla
muestre todos los cambios de dirección en su gráfica. Por ejemplo, suponga que grafica y 0.1x3 2x2 5x 8
en su calculadora graficadora. Si emplea la ventana estándar, obtendrá la gráfica que se muestra en la figura 5.8.
Sin embargo, a partir de lo que acabamos de analizar debe darse cuenta de que, como el coeficiente principal (0.1) es positivo, la gráfica debe crecer hacia la derecha de algún valor de x. Esto no resulta claro en la gráfica de la figura 5.8, pero si usted ajusta su ventana para que aparezca como en la figura 5.9, logrará una mejor
visualización.Ahora es posible ver cómo crece la gráfica hacia la derecha más o menos a partir de x 12.Al graficar,
muchas veces determinar la intersección del eje y es útil para establecer qué valores se deben usar en un rango.
Recuerde que para determinar la intersección del eje y, establecemos x 0 y despejamos y. Por ejemplo, si se grafica y 4x3 6x2 x 180 la intersección del eje y estará en 180, es decir el punto (0, 180).
(continúa en la página siguiente)
280 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
y 0.1x 3 2x 2 5x 8
y 0.1x 3 2x 2 5x 8
FIGURA 5.8
[10, 30, 2, 100, 60, 10]
FIGURA 5.9
Ejercicios
Utilice su calculadora para graficar cada polinomio. Asegúrese que su ventana muestre todos los cambios de dirección de la gráfica.
1. y = 0.2x 3 + 5.1x 2 - 6.2x + 9.3
2. y = 4.1x 3 - 19.6x 2 + 5.4x - 60.2
4
Suma y resta de polinomios
Cuando determinamos sumas y diferencias de funciones en la sección 3.6, sumamos y
restamos polinomios, aunque en ese momento no los llamábamos así. Para sumar o
restar polinomios, primero quitamos los paréntesis (si los hay), y después reducimos
los términos semejantes.
EJEMPLO 5
Solución
Simplifique 14x 2 - 6x + 32 + 12x 2 + 5x - 12.
14x2 - 6x + 32 + 12x2 + 5x - 12
= 4x2 - 6x + 3 + 2x2 + 5x - 1
2
2
+)'
2x'*
- (''
6x +
5x'*
+ 3('
-)'
1'*
= 4x
(''
)'
'
=
EJEMPLO 6
Solución
SUGERENCIA
6x2
-x
+2
Eliminar paréntesis.
Reacomodar términos.
Reducir términos semejantes. ✺
Simplifique 13x 2y - 4xy + y2 + 1x 2y + 2xy + 3y - 22.
13x2y - 4xy + y2 + 1x2y + 2xy + 3y - 22
= 3x2y - 4xy + y + x2y + 2xy + 3y - 2
Eliminar paréntesis.
2
2
Reacomodar términos.
3x y + x y - 4xy + 2xy + y + 3y - 2
('')''* (''
')''
'* ('
')'
'*
=
4x2y
-2xy
+4y - 2
Reducir términos semejantes. ✺
Recuerde que x significa 1 x. Así (2x2 4x 6) significa 1(2x2 4x 6) y se aplica la propiedad distributiva. Cuando usted resta un polinomio de otro, los signos de cada término del polinomio que se resta deben cambiarse. Por ejemplo
x2 - 6x + 3 - 12x2 - 4x + 62 = x2 - 6x + 3 - 112x2 - 4x + 62
= x2 - 6x + 3 - 2x2 + 4x - 6
= - x2 - 2x - 3
EJEMPLO 7
Solución
Reste 1-x 2 - 2x + 32 de 1x 3 + 4x + 62.
=
=
=
=
1x3 + 4x + 62 - 1-x2 - 2x + 32
1x3 + 4x + 62 - 11-x2 - 2x + 32
x3 + 4x + 6 + x2 + 2x - 3
x3 + x2 + 4x + 2x + 6 - 3
x3 + x2 + 6x + 3
Insertar 1.
Propiedad distributiva.
Reacomodar los términos.
Reducir términos semejantes.
✺
Sección 5.1 • Suma y resta de polinomios • 281
EJEMPLO 8
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45
Simplifique x2 y - 4xy2 + 5 - 12x2 y - 3y2 + 42.
x2y - 4xy2 + 5 - 112x2y - 3y2 + 42
= x2y - 4xy2 + 5 - 2x2y + 3y2 - 4
= x2y - 2x2y - 4xy2 + 3y2 + 5 - 4
= - x2y - 4xy2 + 3y2 + 1
Insertar 1.
Propiedad distributiva.
Reacomodar los términos.
Reducir términos semejantes.
Observe que x2y y 4xy2 no son términos semejantes, ya que las variables tienen exponentes diferentes. Tampoco 4xy2 y 3y2 son términos semejantes, ya que 3y2 no incluye la variable x.
✺
EJEMPLO 9
Perímetro Encuentre una expresión para determinar el perímetro del cuadrilátero de
la figura 5.10.
Solución
El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de la figura. En el caso de un cuadrilátero, el perímetro es la suma de las longitudes de sus cuatro lados.
3x 2
x2 1
5x 3
x2 2x 3
FIGURA 5.10
Perímetro =
=
=
=
1x2 + 2x + 32 + 1x2 + 12 + 15x + 32 + 13x + 22 Suma de los lados.
Eliminar los paréntesis.
x2 + 2x + 3 + x2 + 1 + 5x + 3 + 3x + 2
2
2
Reacomodar términos.
x + x + 2x + 5x + 3x + 3 + 1 + 3 + 2
2x2 + 10x + 9
Reducir términos semejantes.
✺
El perímetro del cuadrilátero es 2x2 10x 9.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 79
Matemáticas en acción
Comercio entre Estados Unidos y China
Estados Unidos tiene muchos acuerdos comerciales con
países de todo el mundo. Los beneficios vendidos a
esos países se denominan exportaciones, mientras que los
beneficios traídos de esos países se llaman importaciones.
Estos acuerdos tienden a facilitar la importación entre las
naciones. El siguiente diagrama representa el comercio
entre China y Estados Unidos en el periodo 19902000.
Brecha comercial entre Estados Unidos y China
100
Dólares (miles de millones)
80
60
40
Importaciones
Importación
Estados Unidos-China
Importación
China-Estados Unidos
20
0
’90 ’91 ’92 ’93 ’94 ’95 ’96 ’97 ’98 ’99 ’00
–20
–40
Balanza comercial
–60
–80
Año
Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos, División de Comercio Exterior.
Las barras superiores muestran las importaciones de productos chinos a Estados Unidos, mientras
que las barras grises muestran las importaciones de pro-
ductos estadounidenses a China. Las barras inferiores
representan la diferencia entre ambas importaciones.
Los números negativos del lado izquierdo del diagrama
indican que las importaciones de China a Estados Unidos exceden a las importaciones de Estados Unidos a
China, creando lo que se denomina una balanza comercial negativa, o déficit comercial.
El aumento en la longitud de las barras inferiores
confirma lo que se ve claramente en la parte superior de
la gráfica: las importaciones de China a Estados Unidos tuvieron un alza vertiginosa en el periodo, mientras que las importaciones de Estados Unidos a China
aumentaron sólo ligeramente.
Las importaciones de productos chinos a Estados
Unidos, I(t), en miles de millones de dólares, pueden
calcularse mediante la función
I1t2 = 0.37t2 + 3.97t + 15.35
en donde t es el número de años desde 1990.
La balanza comercial, B(t), en miles de millones
de dólares, puede calcularse por medio de la función
B1t2 = - 10.386t2 + 3.07t + 8.382
en donde t es el número de años desde 1990.
El signo de menos al frente de la función cuadrática B(t) indica una balanza comercial negativa. Podemos
distribuir el signo de menos para expresar B(t) como
B1t2 = - 0.386t2 - 3.07t - 8.38
(continúa en la página siguiente)
282 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
La información comercial puede representarse
en una hoja de cálculo electrónica, con diagramas circulares (o de pastel) y cualesquiera otros tipos de formatos gráficos. Sin embargo, la captura de la información
relativa a las importaciones entre dos países abre un
camino de análisis más complejo, que las personas que
toman las decisiones al negociar acuerdos comerciales
deben tomar en cuenta. Si esto se hace de manera correcta, el resultado podría ser una balanza comercial
más equitativa entre Estados Unidos y China, o entre
cualesquiera otros países que mantengan un acuerdo
comercial.
Conjunto de ejercicios 5.1
Ejercicios conceptuales
1. ¿Qué son los términos de una expresión matemática?
2. ¿Cuál es el grado de una constante diferente de cero?
3. ¿Qué es un polinomio?
10. a) ¿Cuándo es cuadrático un polinomio?
b) Proporcione un ejemplo de un polinomio cuadrático.
11. a) ¿Cuándo es cúbico un polinomio?
4. ¿ Qué es el término principal de un polinomio?
b) Proporcione un ejemplo de un polinomio cúbico.
5. ¿ Qué es el coeficiente principal de un polinomio?
12. Cuando se resta un polinomio de otro, ¿qué les sucede a
los signos de todos los términos del polinomio que será
restado?
6. a) ¿Cómo se determina el grado de un término?
b) ¿Cuál es el grado de 6x4y3z?
7. a) ¿Cómo se determina el grado de un polinomio?
b) ¿Cuál es el grado de 4x4 6x3y4 z5?
8. ¿Qué significa que un polinomio esté en orden descendente en la variable x?
9. a) ¿Cuándo es lineal un polinomio?
b) Proporcione un ejemplo de un polinomio lineal.
13. Escriba un trinomio en x de grado cinco, en orden descendente de x que carezca de términos de cuarto, tercero y
segundo grados.
14. Escriba un polinomio en y de grado siete en orden descendente de y que carezca de términos de quinto, tercero
y segundo grados.
Problemas de aplicación
Determine si cada expresión es un polinomio. Si el polinomio tiene un nombre específico, por ejemplo, “monomio” o “binomio”,
indíquelo. Si la expresión no es un polinomio, explique por qué.
15. - 6
16. 2x -1
2
19. 5x -3
18. 5x - 6x + 9
21. 3x
1>2
+ 2xy
22. 2xy + 5y
17. 5y
20. 8x 2 - 2x + 8y 2
2
Escriba cada polinomio en orden descendente de la variable x. Si el polinomio ya está en orden descendente, indíquelo. Proporcione
el grado de cada polinomio.
23. - 5 + 4x - x 2
2
25. 9y + 3xy + 10x
27. - 2x 4 + 5x 2 - 4
24. 3x - 4 - x 2
2
26. - 2 + x - 8x 2 + 4x 3
28. 5xy 2 + 3x 2y - 6 - 2x 3
Sección 5.1 • Suma y resta de polinomios • 283
Indique a) el grado de cada polinomio y b) su coeficiente principal.
29. x4 + 3x6 - 2x - 10
31. 4x 2y 3 + 6xy 4 + 9xy 5
1
3
5
33. - m4n5p8 + m3p6 - n4p6q
3
5
9
30. -2x 4 + 6x 5 - x 7 + 5x 3
32. -a 4b3c2 + 7a 8b9c4 - 5a 7c20
34. -0.6x 2y 3z2 - 2.9xyz9 - 1.3x 8y 4
Evalúe cada función polinomial en el valor dado.
35. Determine P(2), si P(x) x2 6x 1.
1
37. Determine P a b , si P(x) 2x2 3x 6.
2
36. Determine P(1), si P(x) 4x2 6x 12.
38. Determine Pa b si P1x2 =
39. Determine P(0.4), si P(x) 0.2x3 1.6x2 2.3.
40. Determine P(1.2), si P(x) 1.6x3 4.6x2 0.1x.
1
3
1 3
x - x2 + 6.
2
Simplifique.
41. 1x 2 + 3x - 72 + 16x - 52
42. 15b2 - 4b + 72 - 12b2 - 3b - 52
45. 14y + 9y - 12 - 12y + 102
5
2
1
47. a - a + 8 b + a - a 2 - a - 1 b
9
3
4
49. 11.4x 2 + 1.6x - 8.32 - 14.9x 2 + 3.7x + 11.32
1
1
1
51. a - x 3 + x 2y + 8xy 2 b + a - x 3 - x 2y + xy 2 b
3
4
2
53. 13a - 6b + 5c2 - 1- 2a + 4b - 8c2
55. 13a 2b - 6ab + 5b22 - 14ab - 6b2 - 5a 2b2
57. 18r 2 - 5t2 + 2rt2 + 1 - 6rt + 2t2 - r 22
59. 6x 2 - 2x - 33x - 14x 2 - 924
61. 5w - 6w 2 - 313w - 2w 22 - 14w + w 224
46. 15n2 - 72 + 12n2 + 3n + 122
43. 1x - 8x + 22 - 15x + 92
2
2
2
63. Reste (4x 11) de (7x 3).
65. Sume 2x2 4x 12 y x2 2x.
44. 12x - 52 - 13x 2 - 4x + 162
48. 16y 2 - 9y + 42 - 1- 2y 2 - y - 82
50. 1-12.4x 2y - 6.2xy + 9.3y 22 - 1- 5.3x 2y + 1.6xy - 10.4y 22
52. a 54.
56.
58.
60.
62.
3 2
5
1
3
xy + b - a - xy2 + b
5
8
2
5
16r + 7s - t2 + 1 -2r - 2s - 5t2
13x2 - 5y2 - 2xy2 - 14x2 + 8y2 - 9xy2
1a2 - b2 + 5ab2 + 1 -3b2 - 2ab + a22
3xy2 - 2x - 3-14xy2 + 3x2 - 5xy4
-3- 15r2 - 3r2 - 12r - 3r22 - 2r24
64. Reste (x2 3x 5) de (4x2 6x 2).
66. Reste (5x2 6) de (2x2 4x 8).
67. Reste 0.2a 3.9a 26.4 de 4.2a 9.6a.
68. Sume 6x2 3xy y 2x2 4xy 3y.
69. Reste a 5x 2y +
70. Reste (6x2y 3xy) de (2x2y 12xy).
2
2
5
3
1
b de a - x2y + xy2 + b .
9
2
5
Simplifique. Suponga que todos los exponentes representan números naturales.
71. 13x 2r - 7x r + 12 + 12x 2r - 3x r + 22
72. 16x 2r - 5x r + 42 + 12x 2r + x r + 32
75. 17b
76. 1-3r 3a + r a - 62 - 1- 2r 3a - 5r 2a + 62
73. 1x 2s - 8x s + 62 - 12x 2s - 4x s - 92
4n
- 5b
2n
+ 12 - 13b
3n
- b 2
2n
74. 15a 2m - 6a m + 42 - 12a 2m + 72
Resolución de problemas
En los ejercicios 77 a 82, determine una expresión para el perímetro de cada figura. Véase el ejemplo 9.
77.
78.
Cuadrado
Rectángulo
x2 2x 5
x2 x 7
3x 11
284 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
79.
80.
Triángulo
8x 7
x2 x 13
81.
x2 3
x2 2x 5
x2 3x 1
4x 1
5x 1
84. ¿La suma de dos binomios siempre da por resultado un
binomio? Explique y proporcione un ejemplo que sustente su respuesta.
89. Altura Cuando un objeto se deja caer desde el edificio
Empire State (altura 1250 pies), la altura del objeto, h,
en pies, respecto del piso en el instante t, en segundos, después de que se ha soltado, puede determinarse mediante
h = P1t2 = - 16t2 + 1250
85. ¿La suma de dos polinomios cuadráticos siempre da por
resultado un polinomio cuadrático? Explique y proporcione un ejemplo que sustente su respuesta.
86. ¿La diferencia de dos polinomios cúbicos siempre da por
resultado un polinomio cúbico? Explique y proporcione
un ejemplo que sustente su respuesta.
87. Área El área de un círculo es una función de su radio, en
donde A(r) pr2. Determine el área de un círculo si su
radio mide 6 pulgadas. Utilice la tecla p de su calculadora.
x2 2x 3
Pentágono
regular
(todos los lados
de la misma
longitud)
x2 3x 1
83. ¿La suma de dos trinomios siempre da por resultado un
trinomio? Explique y proporcione un ejemplo que sustente su respuesta.
Cuadrilátero
x2 x 6
82.
x2 8
7x 9
Determine a qué distancia del piso se encuentra un objeto 6 segundos después de que se ha dejado caer.
90. Concurso de ortografía El número de maneras en que
puede seleccionarse a los ganadores del primero, segundo y tercer lugares en un concurso de ortografía entre n
participantes, está dado por P(n) n3 3n2 2n. Si hay
seis participantes, ¿de cuántas maneras pueden seleccionarse el primero, segundo y tercero lugares?
88. Globo El volumen de una esfera es una función de su radio, en donde V1r2 = 43 pr3. Determine el volumen de un
globo esférico cuando su radio mide 4 pulgadas.
Utilidad La utilidad de una compañía se determina restando sus costos de sus ingresos. En los ejercicios 91 y 92, R(x) representa el
ingreso de la compañía cuando se venden x artículos, y C(x) representa el costo de la compañía cuando se producen x artículos. a)
Determine una función de la utilidad P(x). b) Evalúe P(x), cuando x 100.
91.
R1x2 = 2x2 - 60x,
C1x2 = 8050 - 420x
92.
R1x2 = 5.5x2 - 80.3x
C1x2 = 1.2x2 + 16.3x + 12,040.6
Sección 5.1 • Suma y resta de polinomios • 285
En los ejercicios 93 a 96, determine cuáles de las gráficas a), b) o c) corresponde a la gráfica de la ecuación dada. Explique cómo
determinó su respuesta.
93. y = x 2 + 3x - 4
a)
y
b)
8
c)
y
2
2
4
y
2
x
2
4
2
4
4
x
2
x
4
2
2
2
4
x
94. y = x 3 + 2x 2 - 4
a)
y
b)
c)
y
y
2
2
4
2
x
8
2
2
6
x
2
2
4
4
4
2
6
6
8
8
95. y = - x 3 + 2x - 6
a)
10
10
4
c)
10
10
10
2
2
b)
10
10
10
10
10
10
10
2
96. y = x + 4x - 5
a)
10
10
b)
10
10
c)
10
10
10
10
10
10
97. Robo de automóviles El diagrama de la derecha, tomado
del New York Times del 1 de enero de 2002, muestra que
el número de robos de automóviles en la ciudad de Nueva York ha descendido desde 1993.
La función f(t) 1.55t2 22.03t 113.65, en donde t es el número de años desde 1993, 0 t 10, puede
usarse para estimar el número de robos de automóviles,
en miles.
a) Utilice esta función para estimar el número de robos de
automóviles en la ciudad de Nueva York en 2001.
b) Compare su respuesta de la parte a) con la gráfica de
barras. ¿La gráfica apoya su respuesta?
10
10
Robo de automóviles en Nueva York
120
Robos (en miles)
3
2
2
100
80
60
40
20
0
’93 ’94 ’95 ’96 ’97 ’98 ’99 ’00 ’01
Año
Fuente: Departamento de Policía de Nueva York.
286 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
98. Plano inclinado Una bola rueda hacia abajo por un plano inclinado. La distancia, d(t), en pies, que la bola ha recorrido está dada por la función
99. Inflación La inflación afecta el poder de compra. A consecuencia de la inflación, pagaremos más por los mismos
bienes en el futuro que lo que pagamos por ellos ahora. La
función C(t) 0.31t2 0.59t 9.61, en donde t es años
desde 1997, sirve para calcular cuánto costará en el futuro, en miles de dólares, lo que en 1997 se compraba con
$10,000. Esta función está basada en una tasa de inflación
anual de 6% y 0 t 25. Calcule el costo que tendrán en
2012 los bienes que en 1997 costaban $10,000.
d1t2 = 2.36t2
en donde t es el tiempo en segundos, 0 t 5.
Determine la distancia que la bola ha recorrido hacia abajo por el plano inclinado en
a) 1 segundo,
100. Escuelas sin drogas La función f(a) 2.32a2 76.85a 559.87 puede utilizarse para calcular el porcentaje de estudiantes que afirman que en su escuela hay tráfico de drogas. En esta función, a representa la edad del estudiante,
en donde 12 a 17. Utilice esta función para calcular el
porcentaje de estudiantes de 13 años que dicen que en sus
escuelas hay tráfico de drogas.
b) 3 segundos,
c) 5 segundos,
Si cuenta con una calculadora graficadora, responda los ejercicios 101 y 102 con ayuda de ella. Si no tiene calculadora graficadora,
dibuje la gráfica de la parte a) por medio del trazo de puntos. Luego responda las partes de b) a e).
101. a) Grafique
102. a) Grafique
y1 = x
3
3
y1 = x4
2
y2 = x4 - 6x2
y2 = x - 3x - 3
b) En ambas gráficas, para valores de x 3, ¿la función
crece o decrece conforme aumenta el valor de x?
b) En ambas gráficas, para valores de x 3, ¿la función
crece o decrece cuando aumenta el valor de x?
c) Cuando el término principal de una función polinomial es x3, el polinomio debe aumentar para x a,
en donde a es algún número real mayor que 0. Explique por qué.
d) En ambas gráficas, para valores de x 3, ¿la función
crece o decrece cuando disminuye el valor de x?
c) Cuando el término principal de una función polinomial es x4, el polinomio debe aumentar para x a, en
donde a es algún número real mayor que 0. Explique
por qué.
d) En ambas gráficas, para valores de x 3, ¿la función
crece o decrece cuando disminuye el valor de x?
e) Cuando el término principal de una función polinomial es x3, el polinomio debe disminuir para x a, en
donde a es algún número real menor que 0. Explique
por qué.
e) Cuando el término principal de una función polinomial es x4, el polinomio debe disminuir para x a, en
donde a es algún número real menor que 0. Explique
por qué.
Reto
Determine cuál de las gráficas, a), b) o c), corresponde a la ecuación dada. Explique cómo determinó su respuesta.
103. y = - x 4 + 3x 3 - 5
a)
b)
y
c)
y
y
4
2
6
2
2
2
2
4
x
2
2
2
2
2
2
x
4
6
x
Sección 5.2 • Multiplicación de polinomios • 287
104. y = 2x 4 + 9x 2 - 5
a)
b)
y
c)
y
y
4
4
2
2
2
3
3
2
x
x
2
2
x
4
4
6
6
Actividad en equipo
Analicen y respondan en equipo los ejercicios 105 y 106.
105. Si el término principal de una función polinomial es 3x3, ¿cuál de las siguientes podría ser la gráfica del polinomio? Expliquen.
Consideren lo que sucede cuando x tiene valores positivos grandes, y cuando x tiene valores negativos grandes.
a)
b)
c)
106. Si el término principal de un polinomio es 2x4, ¿cuál de las siguientes podría ser la gráfica del polinomio? Explique.
a)
b)
c)
Ejercicios de repaso acumulativo
50 cubetas en una hora. ¿Cuánto tiempo les tomará
a las dos máquinas producir un total de 540 cubetas?
[3.4] 110. Determine la pendiente de la recta que pasa por los
puntos (8, 4) y (1, 2).
[4.2] 111. Resuelva el sistema de ecuaciones.
4 81 .
107. Evalúe 1
[2.1] 108. Resuelva
1
4
1
= x - .
2
5
4
[2.4] 109. Máquinas de modelado Una vieja máquina de modelado puede producir 40 cubetas de plástico en
una hora. Una máquina más nueva puede fabricar
-4s + 3t = 16
2t - 2u = 2
- s + 6u = - 2
5.2 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
1
Multiplicar un monomio por un polinomio.
2
Multiplicar un binomio por un binomio.
3
Multiplicar un polinomio por un polinomio.
4
Determinar el cuadrado de un binomio.
5
Determinar el producto de la suma y diferencia de los mismos
dos términos (producto de binomios conjugados).
6
Determinar el producto de funciones polinomiales.
288 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
1
Multiplicar un monomio por un polinomio
En la sección 3.6 sumamos y restamos funciones, pero no multiplicamos funciones
polinomiales. Después de estudiar esta sección, usted será capaz de determinar el producto de funciones, esto es, (f g)(x).
Para multiplicar polinomios, hay que recordar que cada término de un polinomio
debe multiplicarse por cada término del otro. En otras palabras, se está multiplicando
un monomios por otro.
SUGERENCIA
CONSEJO PARA
ESTUDIAR
En este capítulo trabajaremos con exponentes. Las reglas de los exponentes que necesitará para resolver los problemas de este capítulo se presentan de nueva cuenta al lado
de cada ejemplo. A continuación explicaremos la regla del producto para exponentes, y
en la sección 5.3 se analizarán las reglas del cociente para exponentes y del exponente
cero.
Regla del producto para exponentes: am an amn.
En el ejemplo 1 mostramos cómo multiplicar monomios utilizando la regla del
producto para exponentes; al hacerlo, mencionamos la palabra factores. Recuerde que
cualesquiera expresiones que se multipliquen se denominan factores.
EJEMPLO 1
Solución
Multiplique.
a) 14x 2215x62
b) 13x2 y214x5 y32
c) 1 - 2a4 b721 - 3a8 b3c2
Se emplea la regla del producto para exponentes para multiplicar los factores.
a) 14x 2215x 62 = 4 # 5 # x 2 # x 6
= 20x
2+6
Eliminar paréntesis y reacomodar términos.
Regla del producto, x2 x6 x26.
= 20x8
b) 13x 2y214x 5y 32 = 3 # 4 # x 2 # x 5 # y # y 3
= 12x
2+5 1+3
y
Eliminar paréntesis y reacomodar términos.
Regla del producto.
7 4
= 12x y
c) 1 -2a 4b721 -3a 8b3c2 = 1-221-32a 4 # a 8 # b7 # b3 # c
= 6a 4 + 8b7 + 3c
Eliminar paréntesis y reacomodar términos.
Regla del producto.
12 10
= 6a b c
✺
En el ejemplo 1a), 4x2 y 5x6 son factores del producto 20x8. En el ejemplo 1b), 3x2y
y 4x5y3 son factores del producto 12x7y4.
Al multiplicar un monomio por un binomio, podemos utilizar la propiedad
distributiva. Al multiplicar un monomio por un polinomio (que tiene más de dos términos), podemos usar la forma desarrollada de la propiedad distributiva.
Propiedad distributiva, forma desarrollada
a1b + c + d + Á + n2 = ab + ac + ad + Á + an
Sección 5.2 • Multiplicación de polinomios • 289
EJEMPLO 2
Multiplique.
a) 3x 2 a x 3 - 5x 2b
1
6
Solución
b) 2xy13x 2y + 6xy 2 + 42
a) 3x2 a x3 - 5x2 b = 3x2 a x3 b - 3x215x22 =
1
6
1
6
c) 0.4x10.3x 3 + 0.7xy 2 - 0.2y 42
1 5
x - 15x4
2
b) 2xy13x2y + 6xy2 + 42 = 12xy213x2y2 + 12xy216xy22 + 12xy2142
= 6x3y2 + 12x2y3 + 8xy
c) 0.4x10.3x3 + 0.7xy2 - 0.2y42
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13
2
= 10.4x210.3x32 + 10.4x210.7xy22 - 10.4x210.2y42
= 0.12x4 + 0.28x2y2 - 0.08xy4
✺
Multiplicar un binomio por un binomio
En la multiplicación (a b)(c d), si consideramos a (a b) como un solo término
y utilizamos la propiedad distributiva, obtenemos
1a
+ b)
b21c + d2 = 1a
+ b)
b2c + 1a
+ b)
b2d
(a (a (a = ac + bc + ad + bd
Al multiplicar un binomio por un binomio, cada término del primer binomio debe multiplicarse por cada término del segundo binomio, para después sumar todos los
términos semejantes.
Los binomios pueden multiplicarse tanto vertical como horizontalmente.
EJEMPLO 3
Solución
Multiplique (3x 2)(x 5).
Multiplicaremos de manera vertical. Escriba los binomios de acuerdo con sus variables
en orden descendente, uno debajo del otro. No importa cuál de ellos se coloque en la
parte superior. Después multiplique cada término del binomio de la parte superior;
luego multiplique cada término del binomio de la parte superior por cada término de
abajo, como se muestra. Recuerde alinear los términos semejantes para poder sumarlos.
-5 13x + 22
x 13x + 22
3x
x
- 15x
3x2 + 2x
3x2 - 13x
+ 2
- 5
- 10 Multiplicar el binomio superior por -5.
Multiplicar el binomio superior por x.
- 10 Sumar los términos semejantes en columnas.
✺
En el ejemplo 3, los binomios 3x 2 y x 5 son factores del trinomio
3x2 13x 10.
El método PIES
Un método sencillo para multiplicar dos binomios es el denominado método PIES.
Para multiplicar dos binomios mediante este método, liste los binomios uno a continuación del otro. La palabra PIES indica que usted multiplica los Primeros términos, los
términos I nternos, los términos E xternos y los S egundos términos de los dos binomios. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 4, en donde multiplicamos los dos
binomios del ejemplo 3.
290 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
EJEMPLO 4
Multiplique (3x 2)(x 5) utilizando el método PIES.
Solución
S
P
13x + 221x - 52
I
E
P
I
E
S
13x21x2 + 1221x2 + 13x21-52 + 1221-52
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21
=
3x 2
+
2x
-
15x
-
10
= 3x2 - 13x - 10
✺
Realizamos la multiplicación siguiendo el orden PIES. Sin embargo, es posible
hacerlo siguiendo cualquier orden, siempre que cada término de un binomio se multiplique por cada término del otro. Utilizamos PIES en lugar de EISP o de cualquier
otro orden de letras, ya que éste es fácil de recordar.
3
Multiplicar un polinomio por un polinomio
Al multiplicar un trinomio por un binomio o un trinomio por un trinomio, cada término del primer polinomio debe ser multiplicado por cada término del segundo. Es útil
alinear los términos colocando cada polinomio en orden descendente, si no están dados de esa manera.
EJEMPLO 5
Solución
Multiplique x2 1 4x por 2x2 3.
Ya que el trinomio no está en orden descendente, rescríbalo como x2 4x 1.
Antes de multiplicar, coloque el polinomio más largo en la parte superior. Asegúrese de alinear los términos semejantes conforme multiplique, de modo que pueda
sumarlos con más facilidad.
-3 1x2 - 4x + 12
2x2 1x2 - 4x + 12
EJEMPLO 6
x2 - 4x
2x2
2
- 3x + 12x
4
3
2x - 8x + 2x2
2x4 - 8x3 - x2 + 12x
+ 1 El trinomio escrito en orden descendente.
- 3
- 3 Multiplique la expresión superior por 3.
Multiplique la expresión superior
. por 2x2.
- 3 Sume los términos semejantes en columnas.
✺
Multiplique 3x2 6xy 5y2 por x 3y.
Solución
3y 13x2 + 6xy - 5y22
x 13x2 + 6xy - 5y22
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 31
3x2 + 6xy
x
9x2y + 18xy2
3x3 + 6x2y - 5xy2
3x3 + 15x2y + 13xy2
- 5y2
+ 3y
- 15y3
Multiplique la expresión superior por 3y.
Multiplique la expresión superior por x.
- 15y3 Sume los términos semejantes en columnas.
✺
Sección 5.2 • Multiplicación de polinomios • 291
4
Determinar el cuadrado de un binomio
Ahora estudiaremos algunas fórmulas especiales. Con frecuencia necesitamos calcular
el cuadrado de un binomio, así que contamos con fórmulas especiales para hacerlo.
Cuadrado de un binomio
1a + b22 = a2 + 2ab + b2
1a - b22 = a2 - 2ab + b2
Si usted olvida las fórmulas, puede deducirlas fácilmente multiplicando (a b)(a b) y
(a b)(a b).
Los ejemplos 7 y 8 ilustran el uso de la fórmula para el cuadrado de un binomio.
EJEMPLO 7
Solución
Desarrolle. a) 13x + 522
b) 14x 2 - 3y2
2
a) 13x + 522 = 13x22 + 213x2152 + 1522
= 9x2 + 30x + 25
b) 14x2 - 3y22 = 14x222 - 214x2213y2 + 13y22
✺
= 16x4 - 24x2y + 9y2
El cuadrado de los binomios, como en el ejemplo 7, también se puede calcular
mediante el método PIES.
CÓMO EVITAR
ERRORES COMUNES
Siempre recuerde el término de enmedio al calcular el cuadrado de un binomio.
CORRECTO
1x + 22 =
=
2
1x - 32 =
=
2
EJEMPLO 8
Solución
1x
x2
1x
x2
+
+
-
221x
4x +
321x
6x +
INCORRECTO
+ 22
4
- 32
9
1x + 222 = x2 + 4
1x - 322 = x2 + 9
Desarrolle [x (y 1)]2.
Este problema parece más complicado que los ejemplos anteriores, pero se resuelve
de la misma forma que los otros cuadrados de binomios. Considere a x como el primer
término y a (y 1) como el segundo. Utilice dos veces la fórmula.
3x + 1y - 1242 = 1x22 + 21x21y - 12 + 1y - 122
= x2 + 12x21y - 12 + y2 - 2y + 1
= x2 + 2xy - 2x + y2 - 2y + 1
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 51
Ninguno de los seis términos son términos semejantes, por lo que no se pueden reducir. Observe que (y 1)2 también es el cuadrado de un binomio, y fue desarrollado
como tal.
✺
5 Determinar el producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos
(binomios conjugados)
A continuación multiplicaremos (x 6)(x 6) utilizando el método PIES.
1x + 621x - 62 = x2 - 6x + 6x - 162162 = x2 - 62
Observe que los productos externos e internos suman cero. Al examinar este ejemplo,
vemos que el producto de la suma y la diferencia de los mismos dos términos es la diferencia de los cuadrados de los dos términos.
292 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Producto de la suma y diferencia de los mismos dos
términos (binomios conjugados)
1a + b21a - b2 = a2 - b2
En otras palabras, para multiplicar dos binomios que sólo difieren en el signo
entre sus dos términos, reste el cuadrado del segundo término del cuadrado del primero. Observe que a2 b2 representa una diferencia de dos cuadrados.
EJEMPLO 9
Solución
a) a 3x +
Multiplique.
2
2
b a 3x - b
5
5
b) 10.2x + 0.3z2210.2x - 0.3z22
Cada uno es un producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos , es decir, son binomios conjugados. Por lo tanto,
a) a3x +
2
2
2 2
4
b a 3x - b = 13x22 - a b = 9x2 5
5
5
25
b) (0.2x 0.3z2) (0.2x 0.3z2) (0.2x)2 (0.3z2)2
= 0.04x2 - 0.09z4
EJEMPLO 10
Solución
EJEMPLO 11
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 55
EJEMPLO 12
x
4
Multiplique 15x + y 3215x - y 32.
15x + y3215x - y32 = 15x22 - 1y322 = 25x2 - y6
✺
✺
Multiplique [4x + 13y + 22][4x - 13y + 22].
Tratamos a 4x como el primer término y a 3y 2 como el segundo. En consecuencia,
obtenemos la suma y la diferencia de los mismos dos términos.
34x + 13y + 22434x - 13y + 224 = 14x22 - 13y + 222
= 16x2 - 19y2 + 12y + 42
= 16x2 - 9y2 - 12y - 4
✺
Área La figura 5.11 consiste de un cuadrado y dos rectángulos. Determine una expresión polinomial para calcular el área total de la figura.
Solución
x
Para determinar el área total, encuentre las áreas de las tres regiones y
luego súmelas.
Área del cuadrado x x x2
Área del rectángulo de la derecha x 4 4x
5
Área del rectángulo inferior x 5 5x
FIGURA 5.11
El área total es la suma de estas tres cantidades.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 85
6
✺
Área total x2 4x 5x x2 9x.
Determinar el producto de funciones polinomiales
Antes se mencionó que para funciones f(x) y g(x), (f g)(x) f(x) g(x). Ahora resolveremos un ejemplo que incluye multiplicación de funciones polinomiales.
EJEMPLO 13
Sea f(x) x 4 y g(x) x 2. Determine
a) f132 # g132
Solución
b) 1f # g21x2
c) 1f # g2132
a) f(x) y g(x) son funciones polinomiales, ya que las expresiones a la derecha de los
signos de igual son polinomios.
Sección 5.2 • Multiplicación de polinomios • 293
f1x2 = x + 4
f132 = 3 + 4 = 7
g1x2 = x - 2
g132 = 3 - 2 = 1
f132 # g132 = 7 # 1 = 7
b) De la sección 3.6, sabemos que
1f # g21x2 =
=
=
=
f1x2 # g1x2
1x + 421x - 22
x2 - 2x + 4x - 8
x2 + 2x - 8
c) Para evaluar (f g)(3), sustituimos cada x por 3 en (f g)(x).
1f # g21x2 = x 2 + 2x - 8
1f # g2132 = 32 + 2132 - 8
= 9 + 6 - 8 = 7
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 79
f (x) x 4
Observe que en la parte c) encontramos (f g)(3) 7, y en la parte a) f(3) g(3) 7.
Por lo tanto, (f g)(3) f(3) g(3), justo lo que esperábamos con base en lo analizado en la sección 3.6.
✺
En el ejemplo 13, encontramos que si f(x) x 4 y g(x) x 2, entonces
(f g)(x) x2 2x 8. Las gráficas de y f(x) x 4, y g(x) x 2 y y (f g)(x) x2 2x 8 se muestran en la figura 5.12. A partir de las gráficas vemos que
f(3) 7, g(3) 1 y (f g)(3) 7, tal como supusimos con base en el ejemplo 13. Todos los puntos de y x2 2x 8 pueden determinarse de la misma manera. Por ejemplo, f(4) 0 y g(4) 6. Como 0(6) 0, (f g)(4) 0. También f(2) 6 y
g(2) 0; por lo tanto, (f g)(2) 6 0 0. Observe en la figura 5.12 que al multiplicar dos funciones lineales, el producto es una función cuadrática.
(f g) x 2 2x 8
y
8
7
6
5
4
3
2
1
5 4 3 2 1
1
1
3
4
5
x
2
3
4
5
6
7
8
FIGURA 5.12
Conjunto de ejercicios 5.2
Ejercicios conceptuales
1. a) Explique cómo multiplicar dos binomios utilizando el
método PIES.
b) Elabore dos binomios y multiplíquelos utilizando el
método PIES.
c) Multiplique los mismos dos binomios utilizando el orden SIEP (segundos, internos, externos, primeros).
d) Compare los resultados de las partes b) y c). Si son diferentes, explique por qué.
2. a) Explique cómo multiplicar un monomio por un polinomio.
b) Multiplique 3x(4x2 6x 5) mediante su procedimiento de la parte a).
3. a) Explique cómo multiplicar un polinomio por un polinomio.
b) Utilizando su procedimiento de la parte a), multiplique 4 x por x2 6x 3.
4. a) Explique cómo desarrollar (2x 3)2 mediante la fórmula para el cuadrado de un binomio.
b) Mediante su procedimiento de la parte a), desarrolle
(2x 3)2.
294 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
5. a) ¿Qué se entiende por el producto de la suma y la diferencia de los mismos dos términos (producto de binomios conjugados)?
b) Proporcione ejemplo de un problema que sea producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos
(binomios conjugados).
c) ¿Cómo se multiplica el producto de la suma y la diferencia de los mismos dos términos (binomios conjugados)?
6. ¿El producto de dos binomios siempre da por resultado un
a) binomio?
b) ¿Trinomio? Explique.
7. ¿El producto de dos polinomios de primer grado siempre
será un polinomio de segundo grado?
8. a) Dadas f(x) y g(x), explique cómo determinaría
(f g)(x).
b) Si f(x) x 2 y g(x) x 2, determine (f g)(x).
d) Multiplique el ejemplo que dio en la parte b) mediante el procedimiento de la parte c).
Problemas de aplicación
Multiplique.
10. 1 -2xy 4213x 4y 62
9. 14xy216xy 42
11. a x 2y 5 b a x 5y 3z2 b
5
9
12. 2y 313y 2 + 2y - 62
1
5
13. -3x2y1 - 2x4y2 + 3xy3 + 42
15.
2
yz13x + 4y - 9y22
3
14. 3x 412xy 2 + 5x 7 - 6y2
16.
17. 0.312x 2 - 5x + 7y2
19. 0.3a 5b419.5a 6b - 4.6a 4b3 + 1.2ab52
1 2
x y14x5y2 + 3x - 6y22
2
18. 0.810.2a + 0.9b - 1.3c2
20. 4.6m2n11.3m4n2 - 2.6m3n3 + 5.9n42
Multiplique los siguientes binomios.
21. 14x - 6213x - 52
23. 14 - x213 + 2x 2
22. 12x - 1215x + 72
24. 15x + y216x - y2
2
25. a x + 2yb a 2x -
1
2
26. a a +
1
yb
3
1
3
27. 10.3a + 5b212a - 0.7b2
1
1
b b a a - bb
4
2
28. 14.6r - 5.8s210.2r - 2.3s2
Multiplique los siguientes polinomios.
29. 1x 2 + 3x + 121x - 22
31. 1a - 3b212a - ab + 2b 2
33. 1x 3 - x 2 + 3x + 721x + 12
35. 15x 3 + 4x 2 - 6x + 221x + 52
37. 13m2 - 2m + 421m2 - 3m - 52
39. 12x - 123
41. 15r 2 - rs + 2s 2212r 2 - s 22
2
2
30. 1x + 3212x 2 - x - 92
32. 17p - 321 - 2p2 - 4p + 12
34. 12x - 121x 3 + 3x 2 - 5x + 62
36. 1a 3 - 2a 2 + 5a - 6212a 2 - 5a - 22
38. 12a 2 - 6a + 3213a 2 - 5a - 22
40. 13x + y23
42. 14x 2 - 5xy + y 221x 2 - 2y 22
Multiplique mediante la fórmula para el cuadrado de un binomio o bien utilizando la del producto de la suma y diferencia de los
mismos dos términos (producto de binomios conjugados).
43. 1x + 221x + 22
44. 1y - 421y - 42
47. 14x - 3y22
48. 12a + 5b22
45. 12x - 3212x - 32
49. 15m2 + 2n215m2 - 2n2
51. 3y + 14 - 2x24
53. 35x + 12y + 3242
55. 3a + 1b + 2243a - 1b + 224
2
46. 13z + 5213z + 52
50. 15p2 + 6q 2215p2 + 6q 22
52. 31a + b2 + 942
54. 34 - 1p - 3q242
56. 32x + 1y + 52432x - 1y + 524
Sección 5.2 • Multiplicación de polinomios • 295
Multiplique.
58. 3a 2b2 a ab -
57. 2xy1x 2 + xy + 3y 22
59.
1
3
1 2
xy 14x2 + 3xy - 7y22
2
61. -
3 3 2
1
xy z a - xy2 z5 - 5xy + xz7 b
5
6
60. 62.
1 4
b b
9
1
3 2
2
x y a - xy4 + xy + 3b
5
3
9
2 2 4 3 3
1
x y a xy - x4y + 2xy3z5 b
3
5
4
63. 13a + 4217a - 62
64. 15p - 9q214p - 11q2
65. a8x +
66. a7a -
1
1
b a7a + b
6
6
67. 12x - 9y22
68. a 2x +
1 3
b
3
71. 12p - 3q213p2 + 4pq - 2q 22
72. 12m + n213m2 - mn + 2n22
1
1
b a 8x - b
4
4
69. 1x + 3212x 2 + 4x - 32
70. 15a + 421a 2 - a + 42
73. [13x + 22 + y][13x + 22 - y]
74. 3a + 13b + 4243a - 13b + 424
75. 1a + b21a - b21a - b 2
2
2
77. 1x - 4216 + x212x - 82
76. 12a + 3212a - 3214a2 + 92
78. 13x - 5215 - 2x213x + 82
Para las funciones dadas, determine a) (f g)(x) y b) (f g)(4).
79. f1x2 = x - 5, g1x2 = x + 4
80. f1x2 = 2x - 3, g1x2 = x - 6
81. f1x2 = 2x 2 + 6x - 4, g1x2 = 5x + 3
82. f1x2 = 4x 2 + 7, g1x2 = 2 - x
83. f1x2 = - x 2 + 3x, g1x2 = x 2 + 2
84. f1x2 = - x 2 + 2x + 7, g1x2 = x 2 - 1
Resolución de problemas
En los ejercicios 85 a 88, determine una expresión polinomial para calcular el área total de cada figura.
85.
x
3
86.
x
y
7
y
2
6
87.
y
88.
z
x
y
x
x
x
y
x
296 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
En los ejercicios 89 y 90, a) determine el área del rectángulo estableciendo el área de las cuatro secciones y sumando los resultados, y
b) multiplique los dos lados y compare el producto con su respuesta a la parte a).
89.
x
90.
5
x
x
x
3
5
6
Escriba una expresión polinomial para calcular el área de cada figura. Todos los ángulos son rectos.
91.
92.
6x
5x
6x
10 2x
En los ejercicios 93 y 94, a) escriba una expresión polinomial para calcular el área de la parte sombreada de la figura. b) El área de
la parte sombreada se indica arriba de cada figura. Determine el área de los rectángulos pequeño y grande.
93.
94.
Área de la región
sombreada = 67 pulgadas
cuadradas
x4
Área de la región
sombreada = 139 pulgadas
cuadradas
2x
2x 4
x
2x 1
3x 1
2x 3
3x 6
95. Escriba dos binomios cuyo producto sea x2 25. Explique
cómo determinó su respuesta.
b) Con ayuda de la figura, determine (a b)2 estableciendo el área de cada una de sus cuatro partes, y luego sumándolas.
96. Escriba dos binomios cuyo producto sea 4x2 9. Explique
cómo determinó su respuesta.
c) Simplifique (a b)2 multiplicando (a b)(a b).
97. Escriba dos binomios cuyo producto sea x2 12x 36.
Explique cómo determinó su respuesta.
d) Compare las respuestas de las partes b) y c), ¿cómo
son? Si no son iguales, explique por qué.
98. Escriba dos binomios cuyo producto sea 4y2 12y 9.
Explique cómo determinó su respuesta.
102. Volumen La expresión (a b)3 puede representarse con
la siguiente figura.
99. Considere la expresión a(x n)3. Escriba esta expresión
como producto de factores.
100. Considere la expresión P(1 r)4. Escriba esta expresión
como producto de factores.
a
101. Área La expresión (a b)2 puede representarse con la
siguiente figura.
b
a
a
b
b
b
a
a) Explique por qué esta figura representa (a b)3.
a
b
a) Explique por qué esta figura representa (a b)2.
b) Determine (a b)3 sumando el volumen de cada una
de las ocho partes de la figura.
c) Simplifique (a b)3 multiplicando.
d) Compare las respuestas de las partes b) y c), ¿cómo
son? Si no son iguales, explique por qué.
Sección 5.3 • División de polinomios y división sintética • 297
103. Interés compuesto La fórmula para calcular el interés
compuesto es
A = P a1 +
r nt
b
n
donde A es el monto, P es el capital invertido, r es la tasa
de interés anual, n es el número de veces que el interés se
paga cada año y t es el tiempo en años.
a) Simplifique esta fórmula para n 1.
b) Determine el valor de A, si P $1000, n 1, r 6%
y t 2 años.
104. Interés compuesto Utilice la fórmula indicada en el ejercicio 103 para determinar A, si P $4000, n 2, r 8%
y t 2 años.
105. Si f(x) x2 3x 5, determine f(a b) sustituyendo cada x de la fórmula por (a b).
106. Si f(x) 2x2 x 3, determine f(a b).
En los ejercicios 107 a 112, simplifique. Suponga que todas las variables representan números naturales.
107. 3x t15x 2t - 1 + 6x 3t2
108. 5kr + 214kr + 2 - 3kr - k2
111. 1y
112. 1a m + n2
109. 16x m - 5212x 2m - 32
110. 1x 3n - y 2n21x 2n + 2y 4n2
2
a-b a+b
m+n
En los ejercicios 113 y 114, realice la multiplicación polinomial.
113. 1x - 3y24
114. 12a - 4b24
115. a) Explique cómo puede verificarse por medio de una calculadora graficadora una multiplicación en una variable,
tal como (x2 2x 3)(x 2) x3 4x2 7x 6.
b) Compruebe la multiplicación indicada en la parte a)
con ayuda de su calculadora graficadora.
116. a) Con ayuda de su calculadora graficadora, muestre que
la multiplicación (x2 4x 5)(x 1) x3 6x2 5x 5.
b) Multiplique (x2 4x 5)(x 1).
c) Compruebe en su calculadora graficadora la respuesta que dio en la parte b).
Reto
Multiplique.
117. 31y + 12 - 1x + 2242
118. 31a - 22 - 1a + 1242
Ejercicios de repaso acumulativo
4
3
2
- a - b.
5
4
3
2r4s5 3
[1.5] 120. Simplifique ¢ 2 ≤ .
r
[2.5] 121. Resuelva la desigualdad 12 3x 5 4, e indique la solución en notación de intervalo.
[1.3] 119. Evalúe
[3.2] 122. Si g(x) x2 2x 3, determine ga b.
1
2
5.3 DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y DIVISIÓN SINTÉTICA
1
1
Dividir un polinomio entre un monomio.
2
Dividir un polinomio entre un binomio.
3
Dividir polinomios mediante la división sintética.
4
Utilizar el teorema del residuo.
Dividir un polinomio entre un monomio
En la división de polinomios, la división entre 0 no está permitida. Cuando se nos da
un problema de división con una variable en el denominador, siempre supondremos que
el denominador es diferente de 0.
298 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Para dividir un polinomio entre un monomio, partimos del hecho de que
A + B
A
B
=
+
C
C
C
Si el polinomio tiene más de dos términos, ampliamos este procedimiento.
Para dividir un polinomio entre un monomio
Divida cada término del polinomio entre el monomio.
Para dividir un polinomio entre un monomio, necesitamos utilizar dos de las reglas
de los exponentes: la regla del cociente para exponentes y la regla del exponente
cero. A continuación se indican ambas reglas, y luego se proporcionan ejemplos para
revisarlas.
Regla del cociente para exponentes:
Regla del exponente cero:
EJEMPLO 1
Solución
Divida a)
x7
x4
b)
5x3y5
2xy2
am
= am - n, a Z 0
an
a0 = 1, a Z 0
.
Utilizaremos la regla del cociente para dividir.
x7
= x7 - 4 Regla del cociente.
x4
= x3
5x3y5
5 # x3 # y5
=
b)
2 x y2
2xy2
5
= x3 - 1y5 - 2 Regla del cociente.
2
5x2y3
=
2
a)
EJEMPLO 2
Solución
Divida a)
p
4
p
4
✺
5 7
b)
8r s
.
3rs7
Utilizaremos la regla del cociente y la regla del exponente cero para dividir.
a)
b)
p4
p4
= p4 - 4
Regla del cociente.
= p0
= 1
Regla del exponente cero.
8r5s7
8 r5 s7
= # # 7
7
3 r s
3rs
8
= r5 - 1s7 - 7
Regla del cociente.
3
8
= r4s0
3
8
= r4112
Regla del exponente cero.
3
8
8r4
= r4 o
3
3
✺
Sección 5.3 • División de polinomios y división sintética • 299
8
3
En el ejemplo 2, tanto r 4 como
8 r4
son respuestas aceptables. Ahora estamos prepa3
rados para dividir un polinomio entre un monomio.
EJEMPLO 3
Divida
4x2 - 8x - 3
.
2x
4x2 - 8x - 3
4x2
8x
3
=
2x
2x
2x
2x
Solución
= 2x - 4 -
EJEMPLO 4
Divida
4y - 6x4y3 - 3x5y2 + 5x
2xy2
2xy
=
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17
2
6x4y3
4y
=
2
✺
.
4y - 6x4y3 - 3x5y2 + 5x
Solución
3
2x
2
2xy
-
2xy
2
3x5y2
-
2
2xy
+
2
3x4
5
- 3x3y +
xy
2
2y2
5x
2xy2
✺
Dividir un polinomio entre un binomio
Para dividir un polinomio entre un binomio se sigue un procedimiento muy semejante al que se usa para realizar una división larga. En un problema de división, la expresión que vamos a dividir se denomina dividendo, y la expresión que divide se llama
divisor.
EJEMPLO 5
Solución
Divida
x2 + 7x + 10
.
x + 2
Reescriba el problema de división como
x + 2 x2 + 7x + 10
Divida x2 (el primer término del dividendo x2 7x 10) entre x (el primer término
del divisor x 2).
x2
= x
x
Coloque el cociente, x, arriba del término del dividendo que incluye x.
x
x + 2 x2 + 7x + 10
Ahora multiplique x por x 2, tal como lo haría en una división larga, y coloque el producto debajo del dividendo, alineando los términos semejantes.
Por
x
x + 2 x2 + 7x + 10
Igual a
x2 + 2x
x1x + 22
300 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Ahora reste x2 2x de x2 7x.
x
x + 2 x + 7x + 10
-1x2 + 2x2
5x
2
Baje el término siguiente, 10.
x
x + 2 x2 + 7x + 10
x2 + 2x
5x + 10
Divida 5x entre x.
5x
= +5
x
Coloque 5 arriba de la constante del dividendo, y multiplique 5 por x 2. Por
último, reste.
Por
x
x + 2 x + 7x
x2 + 2x
5x
Igual a
5x
2
Por lo tanto,
+ 5
+ 10
+ 10
+ 10
0
51x + 22
residuo
x2 + 7x + 10
= x + 5. No hay residuo.
x + 2
✺
En el ejemplo 5 no hubo residuo. Así que x2 7x 10 (x 2)(x 5). Observe que x 2 y x 5 son factores de x2 7x 10. En un problema de división, si
no hay residuo, el divisor y el cociente son factores del dividendo.
Cuando la respuesta de un problema de división tenga residuo, escriba el residuo sobre el divisor y sume esta expresión al cociente. Por ejemplo, suponga que en el
ejemplo 5 tuviéramos un residuo de 4; la respuesta se escribiría x + 5 +
el residuo fuera 7, la respuesta se escribiría x + 5 +
se como x + 5 -
EJEMPLO 6
Solución
Divida
7
.
x + 2
4
. Si
x + 2
-7
, que puede reescribirx + 2
6x2 - 7x + 3
.
2x + 1
En este ejemplo restaremos mentalmente y no mostraremos el cambio de signo en las
restas.
Sección 5.3 • División de polinomios y división sintética • 301
3x
2x + 1 6x2 - 7x
6x2 + 3x
- 10x
- 10x
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 31
- 5
+ 3
— 3x12x + 12
+ 3
- 5 — - 512x + 12
8 — Residuo
8
6x2 - 7x + 3
= 3x - 5 +
.
Por lo tanto,
2x + 1
2x + 1
✺
Al dividir un polinomio entre un binomio, la respuesta puede verificarse multiplicando el divisor por el cociente, y luego sumando el residuo. El resultado debe
ser el polinomio con el que se empezó. Para comprobar el ejemplo 6, hacemos lo siguiente:
12x + 1213x - 52 + 8 = 6x2 - 10x + 3x - 5 + 8 = 6x2 - 7x + 3
Como obtuvimos el polinomio con el que empezamos, nuestra división es correcta.
Al dividir un polinomio entre un binomio, debe listarse primero el polinomio y
luego el binomio, en orden descendente. Si un término de cualquier grado no aparece, con frecuencia es útil incluir ese término con un coeficiente numérico de 0. Por
ejemplo, cuando tenemos (6x2 x3 4) (x 2), reescribimos el problema como
(x3 6x2 0x 4) (x 2) antes de iniciar la división.
EJEMPLO 7
Solución
Divida (4x2 12x 3x5 17) entre (2 x2).
Escriba el dividendo y el divisor en potencias descendentes de la variable x. Esto da
(3x5 4x2 12x 17) (x2 2). Si una potencia de x no aparece, sume esa potencia de x con un coeficiente de 0; luego divida.
3x3
+
2
5
4
3
2
x + 0x - 2 3x + 0x + 0x + 4x 3x5 + 0x4 - 6x3
6x3 + 4x2 6x3 + 0x2 4x2 +
4x2 +
6x + 4
12x - 17
12x
12x
0x - 17
0x - 8
- 9
3x3 1x2 + 0x - 2)
6x1x2 + 0x - 22
41x2 + 0x - 22
Residuo
Para obtener la respuesta, realizamos las divisiones
3x5
= 3x3
x2
6x3
= 6x
x2
4x2
= 4
x2
Los cocientes 3x3, 6x y 4 fueron colocados arriba de sus términos semejantes en el dividendo. La respuesta es 3x 3 + 6x + 4 AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45
9
. Verifique la respuesta usted misx2 - 2
mo, multiplicando el divisor por el cociente y sumando el residuo.
✺
302 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
3
Dividir polinomios mediante la división sintética
Cuando se divide un polinomio entre un binomio con la forma x a, el procedimiento se puede reducir mucho gracias a un método llamado división sintética. Considere los siguientes ejemplos. En el de la derecha sólo utilizamos los coeficientes
numéricos.
2x2
x - 3 2x - x2
2x3 - 6x2
5x2
5x2
3
+ 5x - 4
- 19x + 15
- 19x
- 15x
-4x + 15
-4x + 12
3
2
1 - 3 2 - 1
2 - 6
5
5
+ 5 - 4
- 19 + 15
- 19
- 15
-4 + 15
-4 + 12
3
Observe que las variables no desempeñan un papel en la determinación de los coeficientes numéricos del cociente. Este problema de división puede realizarse con mayor
rapidez y facilidad mediante la división sintética.
A continuación se explica cómo utilizar la división sintética. Analicemos nuevamente la división
2x3 - x2 - 19x + 15
x - 3
1. Escriba el dividendo en potencias descendentes de x. Luego liste los coeficientes
numéricos de cada término en el dividendo. Si falta el término de cualquier grado, sustitúyalo con 0 en la posición apropiada. En el problema anterior, los coeficientes numéricos del dividendo son
2
-1
-19
15
2. Al dividir entre un binomio con la forma x a, coloque a a la izquierda de la fila
de números que se obtuvo en el paso 1. En este problema, dividimos entre x 3;
por lo tanto, a 3, así que escribimos
3
2
-1
-19
15
3. Deje un espacio debajo de la fila de los coeficientes; luego trace una recta horizontal. Copie debajo de ésta el primer coeficiente de la izquierda, como sigue:
3
2
-1
-19
15
2
4. Multiplique 3 por el número que colocó debajo de la línea, 2, para obtener 6. Escriba el 6 debajo del siguiente coeficiente, 1. Luego sume 1 6 para obtener 5.
3
2
2
-1
6
5
-19
15
5. Multiplique 3 por el resultado de la suma anterior, 5, para obtener 15. Escriba 15
debajo de 19. Luego sume ambos números para obtener 4. Repita este procedimiento como se ilustra.
3
2
2
-1
6
5
-19
15
- 4
15
-12
3
Sección 5.3 • División de polinomios y división sintética • 303
Los primeros tres números de la última fila son los coeficientes numéricos del cociente, como se mostró en la división larga. El último número, 3, es el residuo que se
obtiene en la división larga. El cociente debe ser de un grado una unidad menor al del
dividendo, ya que estamos dividiendo entre x 3. El dividendo original era un polinomio de tercer grado; por lo tanto, el cociente debe ser un polinomio de segundo grado. Utilice los primeros tres números de la última fila como coeficientes de un
polinomio de segundo grado de x. Esto da por resultado 2x2 5x 4, que es el cociente. El último número, 3, es el residuo. Por lo tanto,
3
2x3 - x2 - 19x + 15
= 2x2 + 5x - 4 +
x - 3
x - 3
EJEMPLO 8
Utilice la división sintética para dividir
16 - x2 + x32 , 1x + 22
Solución
Primero liste los términos del dividendo en orden descendente de x.
1x3 - x2 + 62 , 1x + 22
Cómo no hay término de primer grado, ocupe su lugar con un 0 cuando liste los coeficientes numéricos. Ya que x 2 x (2), a 2.
-2 1
1
-1
-2
-3
0
6
6
6
-12
- 6
; Residuo
Como el dividendo es un polinomio de tercer grado, el cociente debe ser un polinomio
de segundo grado. La respuesta es x2 - 3x + 6 -
EJEMPLO 9
✺
Utilice división sintética para dividir.
13x4 + 11x3 - 20x2 + 7x + 352 , 1x + 52
-5 Solución
3
3
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 61
6
.
x + 2
11
-15
-4
-20
20
0
7
0
7
35
-35
0 ; Residuo
Como el dividendo es de cuarto grado, el cociente debe ser de tercer grado. El cociente es 3x3 4x2 0x 7, sin residuo. Esto puede simplificarse como 3x3 4x2 7. ✺
Ya que no hubo residuo en el ejemplo 9, x 5 y 3x3 4x 7 son factores de
3x 11x3 20x2 7x 35. Además, como ambos son factores,
4
1x + 5213x3 - 4x2 + 72 = 3x4 + 11x3 - 20x2 + 7x + 35
4
Utilizar el teorema del residuo
En el ejemplo 8, cuando dividimos x3 x2 6 entre x 2, encontramos que el residuo fue 6. Si escribimos x 2 como x (2) y evaluamos la función polinomial
P(x) x3 x2 6 en 2, obtenemos 6.
P1x2 = x 3 - x2 + 6
P1-22 = 1-223 - 1-222 + 6 = -8 - 4 + 6 = -6
¿Es una simple coincidencia que P(2), el valor de la función en 2, sea igual al residuo cuando la función P(x) se divide entre x (2)? La respuesta es no.
304 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Puede demostrarse que para cualquier función polinomial P(x), el valor de la función en a, P(a), tiene el mismo valor que el residuo cuando P(x) se divide entre x – a.
Para obtener el residuo cuando un polinomio P(x) se divide entre un polinomio
con la forma x a, podemos usar el teorema del residuo.
Teorema del residuo
Si el polinomio P(x) se divide entre x a, el residuo es igual a P(a).
EJEMPLO 10
Utilice el teorema del residuo para determinar el residuo cuando 3x4 6x3 2x 4
se divide entre x 4.
Solución
Primero escribimos el divisor x 4 en la forma x a. Como x 4 x (4), evaluamos P(4).
P1x2 = 3x 4 + 6x3 - 2x + 4
P1-42 = 31-424 + 61-423 - 21-42 + 4
= 312562 + 61-642 + 8 + 4
= 768 - 384 + 8 + 4 = 396
Así, cuando 3x4 6x3 2x 4 se divide entre x 4, el residuo es 396.
✺
Mediante la división sintética, mostraremos que la respuesta del ejemplo 10 es
correcta.
-4 3
6
0
-12 24
3 -6 24
-2
4
-96 392
-98 396
; Residuo
Si graficáramos el polinomio P(x) 3x4 6x3 2x 4, el valor de P(x), o y, en
x 4 sería 396.
EJEMPLO 11
Solución
Utilice el teorema del residuo para determinar si x 5 es un factor de 6x2 25x 25.
Sea P(x) 6x2 25x 25. Si P(5) 0, entonces el residuo de
(6x2 25x 25)/(x 5) es 0, y x 5 es un factor del polinomio. Si P(5)
un residuo y x 5 no es un factor.
0, existe
P1x2 = 6x 2 - 25x - 25
P152 = 61522 - 25152 - 25
= 61252 - 25152 - 25
= 150 - 125 - 25 = 0
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 79
Como P(5) 0, x 5 es un factor de 6x2 25x 25. Observe que
6x2 25x 25 (x 5)(6x 5).
✺
Conjunto de ejercicios 5.3
Ejercicios conceptuales
1. a) Explique cómo dividir un polinomio entre un monomio.
b) Utilizando el procedimiento que explicó en la parte a),
divida
5x4 - 6x3 - 4x2 - 12x + 7
.
3x
2. a) Explique cómo dividir un trinomio en x entre un binomio en x.
b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a),
divida 2x2 12 5x entre x 4.
Sección 5.3 • División de polinomios y división sintética • 305
3. Un trinomio dividido entre un binomio tiene un residuo de
0. ¿El cociente es un factor del trinomio? Explique.
7. a) Describa cómo se divide un polinomio entre (x a)
mediante la división sintética.
4. a) Explique cómo puede verificarse la respuesta cuando
se divide un polinomio entre un binomio.
b) Utilizando el procedimiento que indicó en la parte a),
divida x2 3x 4 entre x 5.
8. a) Establezca el teorema del residuo con sus propias palabras.
b) Utilice la explicación que dio en la parte a) para comprobar si la siguiente división es correcta.
8x2 + 2x - 15
= 2x + 3
4x - 5
c) Verifique si la siguiente división es correcta.
6x 2 - 23x + 14
8
= 2x - 5 3x - 4
3x - 4
5. Cuando se divide un polinomio entre un polinomio, ¿qué
hay que hacerle a los polinomios antes de comenzar?
6. Explique por qué
b) Mediante el procedimiento que indicó en la parte a),
determine cuál es el residuo cuando x2 6x 4 se divide entre x 1.
x 2 + 11x + 21
3
=x+9+
,
9. En el problema de división
x+2
x+2
2
¿x 9 es un factor de x 11x 21? Explique.
10. En el problema de división
x - 1
no es un polinomio.
x
¿x 7 es un factor de x2 3x 28? Explique.
Problemas de aplicación
Divida.
4x + 18
2
4x 2 + 2x
13.
2x
5y3 + 6y2 - 9y
15.
3y
5
4x - 6x4 + 12x3 - 8x2
17.
4x2
2 2
8x y - 10xy3 - 5y
11.
19.
2y2
9x y - 12x3y2 + 7y3
9x + 17
3
12x2 - 8x - 20
14.
4
18y5 + 12y2
12.
16.
18.
20.
2
21.
2xy2
3xyz + 6xyz2 - 9x3y5z7
23.
6xy
22.
24.
6y4
15x3y - 25xy3
5xy
4x13 + 12x9 - 7x7
4x6
a2b2c - 6abc2 + 5a3b5
2abc2
3
6abc - 5a2b3c4 + 8ab5c
3ab2c3
Divida por medio de la división larga.
25.
27.
29.
31.
33.
35.
37.
x2 + 3x + 2
x + 1
2x2 + 11x + 12
x + 4
6x2 + x - 2
2x - 1
x2 + 6x + 7
x + 1
2b2 + b - 9
b - 2
8x2 + 6x - 25
2x - 3
4x2 - 25
2x - 5
x2 - 3x - 28
= x - 7,
x + 4
26.
28.
30.
32.
34.
36.
38.
x2 + 2x - 15
x + 5
6x2 + 16x + 8
3x + 2
12x2 + 25x + 7
3x + 1
a 2 - a - 13
a + 3
2c2 + c - 1
2c + 5
8z2 - 18z - 9
4z + 1
16p2 - 9
4p + 3
306 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
39.
x3 + 3x2 + 5x + 4
x + 1
40.
- a3 - 6a2 + 2a - 3
a - 1
41.
9b3 - 3b2 - 3b + 4
3b + 2
42.
4y3 + 12y2 + 7y - 8
2y + 3
44. 14a 3 - 5a2 , 12a - 12
43. 12x 3 + 6x - 42 , 1x + 42
45.
3x5 + 4x2 - 12x - 8
x2 - 2
46.
47.
3x4 + 4x3 - 32x2 - 5x - 20
3x3 - 8x2 - 5
48.
49.
2c4 - 8c3 + 19c2 - 33c + 15
c2 - c + 5
50.
4b5 - 18b3 + 8b2 + 18b - 12
2b2 - 3
3a4 - 9a3 + 13a2 - 11a + 4
a2 - 2a + 1
5
2y + 2y4 - 3y3 - 15y2 + 18
2y2 - 3
Divida por medio de la división sintética.
51. 1x2 + 7x + 62 , 1x + 12
52. 1x 2 - 7x + 62 , 1x - 12
55. 1x - 11x + 282 , 1x - 42
56. 1x 2 + x - 722 , 1x + 92
53. 1x2 + 5x + 62 , 1x + 22
54. 1x 2 - 5x + 62 , 1x - 22
2
57. 1x2 + 5x - 122 , 1x - 32
58. 1x 2 - 2x - 372 , 1x + 52
59. 13x 2 - 7x - 102 , 1x - 42
60. 12b2 - 9b + 152 , 1b - 62
61. 14x3 - 3x2 + 2x2 , 1x - 12
62. 1z3 - 7z2 - 13z + 152 , 1z - 22
63. 13c3 + 7c2 - 4c + 182 , 1c + 32
64. 13y 4 - 25y 2 - 292 , 1y - 32
65. 1y 4 - 12 , 1y - 12
66. 1a 4 - 162 , 1a - 22
68.
z4 + 81
z + 3
x5 + x4 - 10
x + 1
70.
a7 - 2a6 + 19
a - 2
b5 + 4b4 - 12
b + 1
72.
z5 - 3z3 - 7z
z - 2
67.
x4 + 16
x + 4
69.
71.
73. 13x 3 + 2x 2 - 4x + 12 , a x -
74. 18x 3 - 6x 2 - 5x + 32 , ax +
1
b
3
75. 12x 4 - x 3 + 2x 2 - 3x + 12 , a x -
1
b
2
76. 19y 3 + 9y 2 - y + 22 , ay +
3
b
4
2
b
3
Determine el residuo de las siguientes divisiones mediante el teorema del residuo. Si el divisor es un factor del dividendo, indíquelo.
77. 14x 2 - 5x + 42 , 1x - 22
79. 1x - 2x + 4x - 82 , 1x - 22
3
78. 1- 2x2 + 3x - 22 , 1x + 32
2
81. 1 -2x 3 - 6x 2 + 2x - 42 , ax -
1
b
2
80. 1-3x 3 + 4x - 122 , 1x + 42
82. 1- 5x 3 - 62 , ax -
1
b
5
Resolución de problemas
83. Área El área de un rectángulo es 6x2 8x 8. Si su longitud es 2x 4, determine su ancho.
84. Área El área de un rectángulo es 15x2 29x 14. Si su
ancho es 5x 2, determine su longitud.
Sección 5.3 • División de polinomios y división sintética • 307
En los ejercicios 85 y 86, ¿cuántas veces es mayor el área o
volumen de la figura de la derecha que el de la figura de la
izquierda? Explique cómo determinó su respuesta.
85.
En los ejercicios 97 y 98, divida. Las respuestas contienen fracciones.
97.
2x2 + 2x - 2
2x - 3
98.
3x3 - 5
3x - 2
qx 4
x8
12x 24
99. Volumen El volumen de la siguiente caja es 2r3 4r2 2r.
Determine w en términos de r.
2x 4
86.
x1
4x 4
x
x2
r
w
3x 6
2x
2r 2
100. Volumen El volumen de la siguiente caja es 6a3 a2 2a.
Determine b en términos de a.
87. ¿Es posible dividir un binomio entre un monomio y obtener un monomio como cociente? Explique.
88. a) ¿La suma, diferencia y producto de dos polinomios es
siempre un polinomio?
a
b) ¿El cociente de dos polinomios es siempre un polinomio? Explique.
89. Explique cómo puede determinarse, mediante la división
sintética, si una expresión con la forma x a es un factor
de un polinomio en x.
b
101. Cuando un polinomio se divide entre x 3, el cociente es
x2 - 3x + 4 +
90. Dados P(x) ax bx c y un valor d tal que P(d) 0,
explique por qué d es una solución de la ecuación ax2 bx c 0.
2
91. Si
92. Si
93. Si
94. Si
= x + 5 +
x + 4
P1x2
2x - 3
2
5
. ¿Cuál es el polinomio? Ex2x - 3
= x - 3, determine P(x).
2x + 4
P1x2
es 2x 2 + 6x - 5 +
plique cómo determinó su respuesta.
P1x2
= 2x - 1 -
4
, determine P(x).
x + 4
2
En los ejercicios 103 y 104, divida. Suponga que todas las variables de los exponentes son números naturales.
103.
4xn + 1 + 2xn - 3xn - 1 - xn - 2
2xn
104.
3xn + 6xn - 1 - 2xn - 2
2xn - 1
7
, determine P(x).
2x - 3
2x - x y - 7xy + 2y
x - 2y
x3 + y3
96.
x + y
mo determinó su respuesta.
= x + 2, determine P(x).
x - 4
En los ejercicios 95 y 96, divida.
95.
2
. ¿Cuál es el polinomio? Explique cóx-3
102. Cuando un polinomio se divide entre 2x 3, el cociente
P1x2
3
3a 2
105. ¿Es x 1 factor de x100 x99 x1 1? Explique.
3
106. ¿Es x 1 factor de x100 x99 x1 1? Explique.
107. ¿Es x 1 factor de x99 x98 x1 1? Explique.
108. Divida 0.2x3 4x2 0.32x 0.64 entre x 0.4.
308 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
109. La división sintética puede utilizarse para dividir polinomios
entre binomios con la forma ax b, a 1. Para realizar
b
esta operación, divida ax b entre a para obtener x - .
a
b
Luego coloque a la izquierda de los coeficientes numéria
cos del polinomio. Resuelva el problema como se explicó
previamente. Después de sumar los valores numéricos debajo de la línea, divida todos ellos, excepto el residuo,
entre a. Después escriba el cociente del problema utilizando esos números.
a) Utilice este procedimiento para dividir 9x3 9x2 5x
12 entre 3x 5.
b) Explique por qué no dividimos el residuo entre a.
Ejercicios de repaso acumulativo
8.45 * 1025
y exprese la respuesta en no4.225 * 1015
tación científica.
110. Divida
[2.3] 111. Triángulo Determine los tres ángulos de un triángulo, si uno de ellos mide el doble del ángulo más
pequeño, y el tercero mide 60° más que el ángulo
más pequeño.
[2.6] 112. Determine el conjunto solución para
5x - 3
`
` + 3 = 7.
2
[3.6] 113. Sea f(x) x2 4 y g(x) 5x 3. Determine
f(6)g(6).
[5.1] 114. Sume (6r 5s – t) (3r – 2s – 5t).
5.4 FACTORIZACIÓN DEL FACTOR COMÚN DE LOS TÉRMINOS
DE UN POLINOMIO Y FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN
1
Determinar el máximo factor común.
2
Factorizar un monomio de un polinomio (factorizar el factor
común).
3
Factorizar un factor binomial común.
4
Factorizar por agrupación.
La factorización es la operación opuesta a la multiplicación. Factorizar una expresión
significa escribirla como un producto de otras expresiones. Por ejemplo, en la sección 5.2 aprendimos a realizar las siguientes multiplicaciones:
3x216x + 3y + 5x32 = 18x3 + 9x2y + 15x5
y
16x + 3y212x - 5y2 = 12x2 - 24xy - 15y2
En esta sección, aprenderemos a determinar los factores de una expresión dada. Por
ejemplo, aprenderemos cómo realizar cada una de las siguientes factorizaciones.
18x3 + 9x2y + 15x5 = 3x216x + 3y + 5x32
y
12x2 - 24xy - 15y2 = 16x + 3y212x - 5y2
1
Determinar el máximo factor común
Para factorizar un monomio de un polinomio, factorizamos al máximo factor común
(MFC)) de cada término del polinomio. El MFC es el producto de los factores comunes a todos los términos del polinomio. Por ejemplo, el MFC para 6x 15 es 3, ya que
Sección 5.4 • Factorización del factor común de los términos de un polinomio... • 309
3 es el número más grande que es factor tanto de 6x como de 15. Para factorizar, utilizamos la propiedad distributiva.
6x + 15 = 312x + 52
El 3 y el 2x 5 son factores del polinomio 6x 15.
Considere los términos x3, x4, x5 y x6. El MFC de estos términos es x3, ya que x3
es la potencia de x más alta que divide a los cuatro términos.
EJEMPLO 1
Determine el MFC de los siguientes términos.
a) y 12, y 4, y 9, y 7
Solución
b) x 3y 2, xy 4, x 4y 5
c) 6x 2y 3z, 9x 3y 4, 24x 2z5
a) Observe que y4 es la potencia de y más alta común a los cuatro términos. Por lo
tanto, el MFC es y4.
b) La potencia de x más alta común a los tres términos es x (o x1). La potencia de y
más alta común a los tres términos es y2. Así, el MFC de los tres términos es xy2.
c) El MFC es 3x2. Como y no aparece en 24x2z5, no es parte del MFC; como z no aparece en 9x3y4, no es parte del MFC.
✺
EJEMPLO 2
Determine el MFC de los siguientes términos.
61x - 322, 51x - 32, 181x - 324
Solución
2
Los tres números, 6, 5 y 18, no tienen factor común distinto de 1. La potencia más alta
de (x 3) común a los tres términos es (x 3). Así, el MFC de los tres términos es
(x 3).
✺
Factorizar un monomio de un polinomio
Cuando factorizamos un monomio de un polinomio, estamos factorizando el máximo
factor común. El primer paso en cualquier problema de factorización consiste en determinar y luego factorizar el MFC.
Para factorizar un monomio de un polinomio
1. Determine el máximo factor común de todos los términos del polinomio.
2. Escriba cada término como el producto del MFC y otro factor.
3. Use la propiedad distributiva para factorizar el MFC.
EJEMPLO 3
Solución
Factorice 15x4 5x3 20x2.
El MFC es 5x2. Escriba cada término como producto del MFC y otro producto. Luego factorice el MFC.
15x4 - 5x3 + 20x2 = 5x2 # 3x2 - 5x2 # x + 5x2
= 5x 213x2 - x + 42
#4
✺
Para comprobar el procedimiento de factorización, multiplique los factores mediante la propiedad distributiva. El producto debe ser la expresión con la que se inició. Por ejemplo, en el ejemplo 3
Comprobación
5x213x2 - x + 42 = 5x213x22 + 5x21-x2 + 5x2142
= 15x4 - 5x3 + 20x2
310 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
EJEMPLO 4
Solución
Factorice 20x3y3 6x2y4 – 12xy5.
El MFC es 2xy3. Escriba cada término como producto del MFC y otro producto. Luego
factorice el MFC.
20x3y3 + 6x2y4 - 12xy5 = 2xy3 # 10x2 + 2xy3 # 3xy - 2xy3 # 6y2
= 2xy3110x2 + 3xy - 6y22
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19
Comprobación
2xy3(10x2 3xy – 6y2) 20x3y3 6x2y4 – 12xy5
✺
Cuando el coeficiente principal de un polinomio es negativo, por lo general factorizamos un factor común con un coeficiente negativo. Esto da como resultado que el
polinomio restante tenga un coeficiente principal positivo.
EJEMPLO 5
Solución
EJEMPLO 6
Factorice a) –12a 18
b) –2b3 6b2 – 18b
Como los coeficientes principales en las partes a)) y b)) son negativos, factorizamos factores comunes con un coeficiente negativo.
a) -12a - 18 = - 612a + 32
Factorizar 6.
b) -2b3 + 6b2 - 18b = - 2b1b2 - 3b + 92
Factorizar 2b.
✺
Lanzamiento de una pelota Cuando se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 32 pies por segundo desde la parte más alta de un edificio de 160 pies de altura, su distancia, d, respecto del piso en cualquier instante t, puede determinarse
mediante la función d(t) 16t2 32t 160.
a) Determine la distancia de la pelota respecto del piso después de 3 segundos; es
decir, determine d(3).
b) Factorice el MFC del lado derecho de la función.
c) Evalúe d(3) en la forma factorizada.
d) Compare sus respuestas de las partes a) y c).
Solución
a) d1t2 = - 16t2 + 32t + 160
d132 = -161322 + 32132 + 160
= - 16192 + 96 + 160
= 112
Sustituya t por 3.
La distancia es 112 pies.
b) Factorice 16 de los tres términos a la derecha del signo igual.
d1t2 = - 161t2 - 2t - 102
c) d1t2 = - 161t2 - 2t - 102
d132 = -16332 - 2132 - 104
= - 1619 - 6 - 102
Sustituya t por 3.
= - 161- 72
= 112
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65
3
d) Las respuestas son iguales. Puede determinar los cálculos de la parte c) con mayor
facilidad que los cálculos de la parte a).
✺
Factorizar un factor binomial común
Algunas veces la factorización exige factorizar un binomio como el máximo factor común, como se ilustra en los ejemplos 7 a 9.
Sección 5.4 • Factorización del factor común de los términos de un polinomio... • 311
EJEMPLO 7
Solución
Factorice 3x(5x 2) 4(5x 2).
El MFC es (5x 2). Al factorizar el MFC se obtiene
3x 15x - 22 + 4 15x - 22 = 15x - 2213x + 42
✺
En el ejemplo 7, también podríamos haber colocado el factor común a la derecha para obtener
3x 15x - 22 + 4 15x - 22 = 13x + 4215x - 22
Las formas factorizadas (5x 2)(3x 4) y (3x 4)(5x 2) son equivalentes de
acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, y ambas son correctas. Por
lo general, cuando listamos la respuesta a un ejemplo o ejercicio, colocamos el término común que se ha factorizado a la izquierda.
EJEMPLO 8
Solución
Factorice 9(2x 5) 6(2x 5)2.
EL MFC es 3(2x 5). Reescriba cada término como producto del MFC y otro factor.
912x - 52 + 612x - 522 = 312x - 52 # 3 + 312x - 52 # 212x - 52
EJEMPLO 9
Solución
= 312x - 5233 + 212x - 524
Factorizar 3(2x 5).
= 312x - 5233 + 4x - 104
Propiedad distributiva.
= 312x - 5214x - 72
Simplificar.
Factorice (2x 5)(a b) (x 1)(a b).
El binomio a b es el MFC de los dos terrenos. Por lo tanto, lo factorizamos.
12x - 521a + b2 - 1x - 121a + b2 = 1a + b2312x - 52 - 1x - 124
= 1a + b212x - 5 - x + 12
= 1a + b21x - 42
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43
EJEMPLO 10
A 7x(2x 9)
A 3(2x 9)
4
Factorizar (a b).
Simplificar.
Factores.
✺
Área En la figura 5.13, el área del rectángulo grande es 7x(2x 9), y el área del rectángulo pequeño es 3(2x 9). Determine una expresión, en forma factorizada, para
calcular la diferencia entre las áreas de estos dos rectángulos.
Solución Para determinar la diferencia entre las áreas, reste el área del rectángulo pequeño del área del rectángulo grande.
7x12x + 92 - 312x + 92 Restar las áreas.
= 12x + 9217x - 32
FIGURA 5.13
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 59
✺
Factorizar (2x 9).
La diferencia de las áreas para los dos rectángulos es (2x 9)(7x 3).
✺
Factorizar por agrupación
Cuando un polinomio contiene cuatro términos, es posible factorizarlo por agrupación. Para factorizar por agrupación, quitamos los factores comunes de grupos de términos. Este procedimiento se ilustra en el siguiente ejemplo.
312 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
EJEMPLO 11
Solución
Factorice ax ay bx by.
No hay factor común (diferente de 1) para todos los términos. Sin embargo, a es común a los primeros dos términos, y b es común a los últimos dos. Factorice a de los primeros dos términos y b de los últimos.
a x a y b x b y a (x y) b (x y)
Ahora (x y) es común a ambos términos. Factorice (x y).
a 1x + y2 + b 1x + y2 = 1x + y21 a + b 2
Así, ax ay bx by (x y)(a b) o (a b)(x y).
✺
Para factorizar términos por agrupación
1. Acomode los cuatro términos en dos grupos de dos términos cada uno. Cada grupo debe tener un MFC.
2. Factorice el MFC de cada grupo de dos términos.
3. Si los dos términos formados en el paso 2 tienen un MFC, factorícelo.
EJEMPLO 12
Solución
Factorice por agrupación x3 5x2 2x 10.
No hay factores comunes a los cuatro términos. Sin embargo, x2 es común a los primeros dos términos, y 2 es común a los últimos dos.
x3 - 5x2 + 2x - 10 = x21x - 52 + 21x - 52
= 1x - 521x2 + 22
✺
En el ejemplo 12, (x2 2)(x 5) también es una respuesta aceptable. ¿Cambiaría
la respuesta del ejemplo 12 si intercambiamos el orden de 2x y 5x2? Intentémoslo en
el ejemplo 13.
EJEMPLO 13
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 51
Factorice x3 2x 5x2 10.
Factorice x de los primeros dos términos y 5 de los últimos dos.
x3 + 2x - 5x2 - 10 = x1x2 + 22 - 51x2 + 22
= 1x2 + 221x - 52
✺
Observe que obtuvimos resultados equivalentes en los ejemplos 12 y 13.
SUGERENCIA
Cuando utilizamos la agrupación para factorizar cuatro términos, si los términos primero y
tercero son positivos debemos factorizar una expresión positiva tanto de los primeros dos
términos como de los segundos dos términos para obtener un factor común para los dos términos restantes (vea el ejemplo 12). Si el primer término es positivo y el tercero es negativo, debemos factorizar una expresión positiva de los primeros dos términos y una expresión
negativa de los últimos dos términos para obtener un factor común para los dos términos
restantes (vea el ejemplo 13).
El primer paso para resolver cualquier problema de factorización consiste en
determinar si todos los términos tienen un factor común. Si es así, empiece por factorizar el factor común. Por ejemplo, para factorizar x4 5x3 2x2 10x, primero factorizamos x de cada término. Luego factorizamos los cuatro términos restantes por
agrupación, como se hizo en el ejemplo 12.
x4 - 5x3 + 2x2 - 10x = x1x3 - 5x2 + 2x - 102
= x1x - 521x2 + 22
Factorizar el MFC, x, de
los cuatro términos.
Factores del ejemplo 12.
Sección 5.4 • Factorización del factor común de los términos de un polinomio... • 313
Conjunto de ejercicios 5.4
Ejercicios conceptuales
1. ¿Cuál es el primer paso en cualquier problema de factorización?
5. a) Explique cómo factorizar por agrupación un polinomio de cuatro términos.
b) Factorice 6x3 2xy3 3x2y2 y5 mediante el procedimiento que indicó en la parte a).
6. ¿Cuál es el primer paso para factorizar x2 8x 15?
Explique su respuesta.
7. Determine el MFC de los siguientes términos:
2. ¿Qué es el máximo factor común de los términos de una
expresión?
3. a) Explique cómo determinar el máximo factor común de
los términos de un polinomio.
b) Mediante el procedimiento indicado en la parte a), determine el máximo factor común del polinomio
x4y 6, x3y5, xy6, x2y4
Explique cómo determinó su respuesta.
8. Determine el MFC de los siguientes términos:
6x2y5 - 2x3y + 12x9y3
c) Factorice el polinomio de la parte b).
121x - 423, 61x - 424, 31x - 425
4. Si uno de los términos de un polinomio es también el
MFC, ¿qué se escribe en lugar de ese término cuando se
factoriza el MFC? Explique.
Explique cómo determinó su respuesta.
Problemas de aplicación
Factorice el máximo factor común.
13. 12y 2 - 16y + 24
12. 6x 2 - 12x + 21
4
11. 2x 2 - 4x + 8
10. 15p + 25
9. 7n + 7
3
15. 9x - 3x + 11x
2
16. 45y
18. - 16c5 - 12c4 + 6c3
21. 80a 5b4c - 16a 4b2c2 + 8a 2c
12
+ 30y
10
14. 12x 3 - 8x 2 - 6x
17. -24a 7 + 9a 6 - 3a 2
19. 3x2y + 6x2y2 + 3xy
20. 24a 2b2 + 16ab4 + 64ab3
22. 36xy 2z3 + 36x 3y 2z + 9x 2yz
23. 9p4q 5r - 3p2q 2r 2 + 6pq 5r 3
25. -52p q - 16pq + 26r
26. -14y 3z5 - 28y 3z6 + 9xy 2z2
27. - 8x + 4
28. -20a - 10
29. - x 2 + 4x - 12
30. - y 5 - 6y 2 - 4
31. - 3r 2 - 6r + 9
32. -12t2 + 48t - 36
34. -5p6q 3 - 10p4q 4 + 25pq 7
35. -a 4b2c + 5a 3bc2 + a 2b
6
4
2 2
3
24. 24m + 8m - 4m n
3
Factorice un factor con un coeficiente negativo.
33. - 6r 4s 3 + 4r 2s 4 + 2rs 5
5 3
4
2
2 5
36. - 20x y z - 4x yz - 8x y
Factorice.
37. x1a + 32 + 11a + 32
38. y1b - 22 - 51b - 22
39. 3c1x - 42 + 21x - 42
40. 4d1y + 12 - 71y + 12
41. 1x - 2213x + 52 - 1x - 2215x - 42
43. 12a + 421a - 32 - 12a + 4212a - 12
2
45. x + 3x - 5x - 15
42. 1z + 421z + 32 + 1z - 121z + 32
2
44. 16b - 121b + 42 + 16b - 1212b + 52
46. a + 3a - 2a - 6
47. 8y 2 - 4y - 20y + 10
48. 18m2 + 30m + 9m + 15
49. ax + ay + bx + by
50. cx - cy - dx + dy
51. x3 - 3x2 + 4x - 12
52. 2z3 + 4z2 - 5z - 10
53. 10m2 - 12mn - 25mn + 30n2
54. 12x 2 + 9xy - 4xy - 3y 2
55. 5a 3 + 15a 2 - 10a - 30
56. 2r 4 - 2r 3 - 7r 2 + 7r
57. c5 - c4 + c3 - c2
58. b4 - b3 - b + b2
314 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Resolución de problemas
En los ejercicios 59 a 62, A representa una expresión para el
área de la figura. Determine una expresión, en forma factorizada,
para calcular la diferencia entre las áreas de las figuras geométricas. Vea el ejemplo 10.
59.
A 6x(2x 1)
A 5(2x 1)
66. Tiro en movimiento Cuando un basquetbolista lanza un
tiro mientras salta, la altura, h, en pies, del balón por
encima del piso en cualquier instante t, bajo ciertas
circunstancias, puede determinarse mediante la función
h(t) 16t2 20t 8.
a) Determine la altura del balón en el segundo 1.
b) Exprese la función con el lado derecho en forma factorizada.
60.
c) Evalúe h(1) utilizando la forma factorizada en la
parte b).
A 7x(3x 4)
A 2(3x 4)
61.
A 3x2 12x
A 2x 8
62.
A 6x2 2x
A 3x 1
En los ejercicios 63 y 64, V representa una expresión para el
volumen de la figura. Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de los
sólidos geométricos.
63.
67. Pista de patinaje El área de la pista de patinaje con extremos semicirculares que se muestra es A pr2 2rl.
r
V 9x(3x 2)
V 5(3x 2)
64.
V 18x 2 24x
V 3x 4
65. Bengala Cuando se dispara hacia arriba una bengala con
una velocidad de 128 pies por segundo, su altura, h, en pies,
respecto del piso a los t segundos, puede determinarse mediante la función h(t) 16t2 128t.
a) Determine la altura de la bengala tres segundos después de ser disparada.
b) Exprese la función con el lado derecho en forma factorizada.
c) Evalúe h(3) mediante la forma factorizada de la parte b).
r
l
a) Determine A cuando r 20 pies y l 40 pies.
b) Escriba el área, A, en forma factorizada.
c) Determine A cuando r 20 pies y l 40 pies; utilice
la forma factorizada que indicó en la parte b).
68. Área La fórmula para determinar el área de un trapecio
puede escribirse como A = 12 hb 1 + 12 hb 2 . Exprese esta
fórmula en forma factorizada.
69. Precio de automóviles Cuando salieron a la venta los automóviles modelo 2003, su precio de lista era superior en 6%
respecto del de los modelos 2002. Más tarde, el precio de
todos los automóviles 2003 se redujo en 6%. El precio
de venta puede representarse mediante (x 0.06x) 0.06
(x 0.06x), en donde x es el precio de lista del modelo 2002.
a) Factorice (x 0.06x) de cada término.
b) ¿El precio es mayor o menor que el precio del modelo 2002?
Sección 5.4 • Factorización del factor común de los términos de un polinomio... • 315
Lea el ejercicio 69 antes de resolver los ejercicios 70 a 72.
70. Precio de un vestido El precio de un vestido se reduce en
10%, y luego se le aplica un nuevo descuento de 10%.
a) Escriba una expresión para calcular el precio final del
vestido.
b) Compare el precio final con el precio normal del vestido; ¿cómo son? Utilice factorización para obtener su
respuesta.
71. Precio de una segadora El precio de una segadora aumentó 15%. Más tarde, en una venta especial, su precio se
redujo en 20%.
a) Escriba una expresión para calcular el precio final de
la segadora.
b) Compare el precio final con el precio normal; ¿cómo
son? Utilice factorización para obtener su respuesta.
72. Determinación de precio ¿En cuál de las siguientes partes, a) o b), el precio final será menor y por cuánto?
a) Disminuya el precio de un artículo en 6% y luego auméntelo en 8%.
b) Aumente el precio de un artículo en 6% y luego disminúyalo en 8%.
Factorice.
73. 5a13x - 225 + 413x - 224
75. 4x 21x - 323 - 6x1x - 322 + 41x - 32
77. ax 2 + 2ax - 3a + bx 2 + 2bx - 3b
74. 4p12r - 327 - 312r - 326
76. 121p + 2q24 - 401p + 2q23 + 121p + 2q22
78. 6a 2 - a 2c + 18a - 3ac + 6ab - abc
Factorice. Suponga que todas las variables de los exponentes representan números naturales.
79. x 6m - 2x 4m
81. 3x 4m - 2x 3m + x 2m
83. a rbr + crbr - a rd r - crd r
80. x 2mn + x 4mn
82. r y + 4 + r y + 3 + r y + 2
84. 6a kbk - 2a kck - 9bk + 3ck
85. a) ¿6x3 3x2 9x 3x(2x2 x 3)?
y graficamos cada función, ¿qué debería suceder? Explique.
b) En su calculadora graficadora, grafique y1 y y2 como se
dieron en la parte a).
c) ¿Obtuvo los resultados que esperaba?
d) Al verificar un procedimiento de factorización mediante esta técnica, ¿qué significa si las gráficas no se
intersecan? Explique.
88. Considere la factorización 2x4 6x3 8x2 2x2(x2 3x 4).
a) Introduzca
b) Si la factorización anterior es correcta, ¿cuál debe ser
el valor de 6x3 3x2 9x [3x(2x2 x 3)] para
cualquier valor de x? Explique.
c) Seleccione un valor para x y evalúe la expresión de la
parte b). ¿Obtuvo lo que esperaba? Si no, explique por
qué.
86. a) Determine si la siguiente factorización es correcta.
31x - 222 - 61x - 22 = 31x - 2231x - 22 - 24
= 31x - 221x - 42
b) Si la factorización anterior es correcta, ¿cuál debe ser
el valor de 3(x 2)2 6(x 2) [3(x 2)(x 4)]
para cualquier valor de x? Explique.
c) Seleccione un valor para x y evalúe la expresión de la
parte b). ¿Obtuvo lo que esperaba? Si no, explique por
qué.
87. Considere la factorización 8x3 16x2 4x 4x(2x2 4x
1).
a) Si determinamos
y1 = 8x3 - 16x2 - 4x
y2 = 4x12x2 - 4x - 12
y1 = 2x4 - 6x3 - 8x2
y2 = 2x21x2 - 3x - 42
en su calculadora.
b) Si utiliza la característica TABLE de su calculadora, al
comparar la tabla de valores para y1 con la tabla de valores para y2, ¿qué esperaría? Explique.
c) Utilice la característica TABLE para mostrar los valores de y1 y y2 para valores de x de 0 a 6.
d) ¿Obtuvo los resultados que esperaba?
e) Cuando comprueba un proceso de factorización mediante la característica TABLE, ¿qué significa que los
valores de y1 y y2 sean diferentes?
Ejercicios de repaso acumulativo
89. Evalúe
A ƒ 12 ƒ - ƒ - 13 ƒ B 2
- ƒ 13 ƒ
# ƒ - 25 ƒ
.
[2.1]
90. Resuelva 3(2x 4) 3(x 1) 9.
[3.1]
91. Grafique y x2 1.
[4.3] 92. Ejercicio Javier Bernal hace ejercicio todos los
días: camina a 3 mph y luego trota a 5 mph. Si tarda 0.9 horas en recorrer un total de 3.5 millas,
¿cuánto tiempo trota?
[5.2] 93. Multiplique (7a 3)(2a2 4a 1).
316 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
5.5 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS
1
1
Factorizar trinomios con la forma x2 bx c.
2
Factorizar un factor común.
3
Factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a
prueba y error.
1, mediante
4
Factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a
agrupación.
1 mediante
5
Factorizar trinomios mediante sustitución.
Factorizar trinomios con la forma x2 bx c
En esta sección aprenderemos a factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a
Trinomios
Coeficientes
3x2 + 2x - 5
1
- x2 - 4x + 3
2
a = 3, b = 2, c = - 5
1
a = - , b = - 4, c = 3
2
0.
Para factorizar trinomios con la forma x2 bx c (nota: a 1)
1. Determine dos números (o factores) cuyo producto sea c y cuya suma sea b.
2. Los factores del trinomio tendrán la forma
1x + . 21x + . 2
q
q
Un factor
Otro factor
determinado determinado
en el paso 1
en el paso 1
Si los números determinados en el paso 1 son, por ejemplo, 3 y 5, los factores se escribirían (x 3)(x 5). Este procedimiento se ilustra en los siguientes ejemplos.
EJEMPLO 1
Solución
Factorice x2 x 12.
a 1, b 1, c 12. Debemos determinar dos números cuyo producto sea c, que
es –12, y cuya suma es b, que es 1. Iniciamos listando los factores de 12 para encontrar un par cuya suma sea 1.
Factores de 12
1121 -122
1221 -62
1321 -42
1421 - 32
1621 - 22
11221 -12
Suma de factores
1 + 1- 122 = - 11
2
3
4
6
12
+
+
+
+
+
1- 62
1- 42
1- 32
1- 22
1- 12
=
=
=
=
=
-4
-1
1
4
11
Los números que estamos buscando son 3 y –4, ya que su producto es 12 y su suma
es 1. Ahora factorizamos el trinomio utilizando estos números.
Sección 5.5 • Factorización de trinomios • 317
x2 - x - 12 = 1x (+)*321x (-)*42
æ
Un factor
de 12
æ
Otro factor
de 12
✺
Observe que, en el ejemplo 1, listamos todos los factores de –12. Sin embargo, después de que se han encontrado dos factores cuyo producto es c y cuya suma es b, no
hay necesidad de listar los demás factores. Los factores se listaron para mostrar, por
ejemplo, que (2)(6) es un conjunto de factores diferente que (2)(6). Observe que
conforme el factor positivo aumenta, también lo hace la suma de los factores.
SUGERENCIA
Considere los factores (2)(6) y (2)(6) y sus sumas.
Factores
Suma de factores
21-62
2 + 1- 62 = - 4
- 2162
-2 + 6 = 4
Observe que si se cambia el signo de cada número del producto, el signo de la suma de los
factores se modifica. Podemos utilizar este hecho para determinar con más rapidez los factores que estamos buscando. Si al buscar una suma específica obtiene el opuesto de esa suma, cambie el signo de cada factor para obtener la suma que está buscando.
EJEMPLO 2
Solución
Factorice p2 7p 6.
Debemos determinar dos números cuyo producto sea 6 y cuya suma sea 7. Puesto que
la suma de dos números negativos es un número negativo, y el producto de dos números negativos es un número positivo, ambos números deben ser negativos. Los factores negativos de 6 son (1)(6) y (2)(3). Como se muestra a continuación, los
números que estamos buscando son 1 y 6.
Factores de 6
1-121 -62
1- 221 -32
Por lo tanto,
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23
SUGERENCIA
Suma de factores
-1 + 1- 62 = - 7
-2 + 1- 32 = - 5
p2 - 7p + 6 = 1p - 121p - 62
Como los factores pueden colocarse en cualquier orden, (p 6)(p 1) también es una
respuesta aceptable.
✺
Comprobación de la factorización
Las respuestas a problemas de factorización pueden verificarse multiplicando los factores que se obtuvieron. Si la factorización es correcta, usted obtendrá el polinomio con el
que inició. Para comprobar el ejemplo 2, multiplicaremos los factores utilizando el método PIES.
1p - 121p - 62 = p2 - 6p - p + 6 = p2 - 7p + 6
Como el producto de los factores es el trinomio con el que empezamos, nuestra factorización es correcta. No olvide verificar siempre su factorización.
El procedimiento utilizado para factorizar trinomios con la forma x2 bx c
puede utilizarse con otros trinomios, como en el siguiente ejemplo.
318 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
EJEMPLO 3
Solución
Factorice x2 2xy 15y2.
Debemos determinar dos números cuyo producto sea 15 y cuya suma sea 2. Los dos
números son 5 y 3.
Factores de 15
Suma de los factores
5 + 1-32 = 2
51-32
2
Como el último término del trinomio contiene a y , el segundo término de cada factor
debe contener a y.
Comprobación
2
x2 + 2xy - 15y2 = 1x + 5y21x - 3y2
1x + 5y21x - 3y2 = x2 - 3xy + 5xy - 15y2
= x2 + 2xy - 15y2
✺
Factorizar un factor común
El primer paso para factorizar cualquier trinomio consiste en determinar si los tres términos tienen un factor común. Si es así, factorice ese factor común y luego el polinomio restante.
EJEMPLO 4
Solución
Factorice 3x4 6x3 72x2.
El factor 3x2 es común a los tres términos del trinomio. Primero factorícelo.
3x4 - 6x3 - 72x2 = 3x21x2 - 2x - 242 Factorizar 3x2.
El término 3x2 que se factorizó es parte de la respuesta, pero ya no desempeña papel alguno en el procedimiento de factorización. Ahora continúe factorizando x2 2x 24.
Determine dos números cuyo producto sea 24 y cuya suma sea 2. Los números son
6 y 4.
3x21x2 - 2x - 242 = 3x21x - 621x + 42
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33
3
Por lo tanto, 3x4 6x3 72x2 3x2(x 6)(x 4).
Factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a
✺
1, mediante prueba y error
A continuación analizaremos algunos ejemplos de factorización de trinomios con la
forma
ax2 + bx + c, a Z 1
Se ilustrarán dos métodos para factorizar este tipo de trinomios. El primer método, llamado de prueba y error, implica ensayar diferentes combinaciones hasta encontrar la correcta. El segundo método hace uso de la factorización por agrupación, un
procedimiento que se presentó en la sección 5.4.
Analicemos primero el método de prueba y error para factorizar trinomios. En
ocasiones, a este procedimiento se le denomina el método PIES (o PIES inverso). Para
facilitar nuestra explicación, multiplicaremos (2x 3)(x 1) mediante el método PIES.
Producto de primeros términos
Producto de segundos
P
I
E S
12x + 321x + 12 = 2x1x2 + 31x2 + 2x112 + 3112 = 2x2 + 5x + 3
Suma de los productos de
los términos externos e internos
Sección 5.5 • Factorización de trinomios • 319
Por lo tanto, si usted factoriza el trinomio 2x2 5x 3, se dará cuenta de que el
producto de los primeros términos de los factores debe ser 2x2, el producto de los
segundos términos debe ser 3, y la suma de los productos de los términos externos e
internos debe ser 5x.
Para factorizar 2x2 5x 3, empezamos como se muestra aquí.
2x2 + 5x + 3 = 12x
21x
2El producto de los primeros términos es 2x2.
Ahora completamos los segundos términos utilizando enteros positivos cuyo producto sea 3. Sólo tomaremos en cuenta enteros positivos, ya que el producto de los últimos términos es positivo y la suma de los productos de los términos externos e internos
también lo es. Las dos posibilidades son
12x + 121x + 32 El producto del
r
12x + 321x + 12 último término es 3.
Para determinar cuál factorización es correcta, determinamos la suma de los productos de los términos externos e internos. Si alguna de las sumas da por resultado 5x,
el término central del trinomio, la factorización es correcta.
12x + 121x + 32 = 2x2 + 6x + x + 3 = 2x2 + 7x + 3 Término central incorrecto.
12x + 321x + 12 = 2x2 + 2x + 3x + 3 = 2x2 + 5x + 3 Término central correcto.
Por consiguiente, los factores de 2x2 5x 3 son 2x 3 y x 1. Así,
2x2 + 5x + 3 = 12x + 321x + 12
Observe que si hubiésemos empezado la factorización escribiendo
2x 2 + 5x + 3 = 1x
212x
2
también habríamos obtenido los factores correctos.
A continuación se indican algunas directrices para utilizar el método de prueba
y error de factorización de un trinomio, en donde a 1 y los tres términos carecen de
factores comunes.
Para factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a
mediante prueba y error
1,
1. Escriba todos los pares de factores del coeficiente del término cuadrático, a.
2. Escriba todos los pares de factores de la constante, c.
3. Intente diferentes combinaciones con estos factores hasta encontrar el término central
correcto, bx.
EJEMPLO 5
Solución
Factorice 3t2 13t 10.
Primero comprobamos si los tres términos carecen de factor común. Luego, determinamos que a es 3 y que los únicos factores de 3 son 1 y 3. Por consiguiente, escribimos
3t2 - 13t + 10 = 13t
21t
2
El número 10 tiene factores positivos y negativos. Sin embargo, ya que el producto de
los segundos términos debe ser positivo (10) y la suma de los productos de los términos exterior e interior debe ser negativa (13), los dos factores del 10 deben ser
negativos. (¿Por qué?) Los factores negativos de 10 son (1)(10) y (2)(5). A
continuación se ofrece una lista de los factores posibles. Buscamos los factores que
nos proporcionen el término central correcto, 13t.
320 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Factores posibles
Suma de productos de términos
externos e internos
13t - 121t - 102
-31t
13t - 1021t - 12
-13t — Término central
13t - 221t - 52
13t - 521t - 22
-17t
-11t
correcto.
Por lo tanto, 3t2 13t 10 (3t 10)(t 1).
✺
La siguiente sugerencia es muy importante. Estúdiela cuidadosamente.
SUGERENCIA
Factorización por prueba y error
Al factorizar un trinomio con la forma ax2 bx c, el signo del término constante, c, es muy
útil para determinar la solución. Si a 0, entonces:
1. Cuando el término constante, c, es positivo y el coeficiente numérico del término x, b,
es positivo, ambos factores numéricos serán positivos.
x2 + 7x + 12 = 1x + 321x + 42
q
q
q
q
Positivo Positivo Positivo Positivo
Ejemplo
2. Cuando c es positivo y b es negativo, ambos factores numéricos serán negativos.
x2 - 5x + 6 = 1x - 221x - 32
q
q
q
q
Negativo Positivo Negativo Negativo
Ejemplo
Siempre que la constante c sea positiva (como en los dos ejemplos anteriores) el signo
en ambos factores será igual que el signo del término x del trinomio.
3. Cuando c es negativo, uno de los factores numéricos será positivo y el otro será negativo.
x2 + x - 6 = 1x + 321x - 22
q
q
q
Negativo Positivo Negativo
Ejemplo
EJEMPLO 6
Solución
Factorice 8x2 8x 30.
Primero verificamos si los tres términos tienen un factor común. Observe que 2 puede factorizarse como tal.
8x2 + 8x - 30 = 214x2 + 4x - 152
Los factores de 4, el coeficiente principal, son 4 1 y 2 2. Por lo tanto, la factorización será de la forma (4x )(x ) o (2x )(2x ). No importa si inicia con el primer
conjunto de factores o con el segundo. Por lo general, iniciamos primero con factores de tamaño medio, por lo que comenzaremos con (2x )(2x ). Si al emplear estos
factores no se obtiene la respuesta, trabajaremos con el otro conjunto. Los factores
de 15 son (1)(15), (3)(5), (5)(3) y (15)(1). Necesitamos que el término
central sea 4x.
Sección 5.5 • Factorización de trinomios • 321
Factores posibles
Suma de productos de los
términos externos e internos
12x + 1212x - 152
12x + 3212x - 52
- 28x
- 4x
12x + 5212x - 32
4x
Como encontramos el conjunto de factores que proporcionan el término correcto para
x, podemos detenernos. Así,
✺
8x2 + 8x - 30 = 212x + 5212x - 32
En el ejemplo 6, si comparamos el segundo y tercer conjuntos de factores, vemos
que están constituidos por los mismos números, excepto por los signos de los segundos términos. Observe que cuando los signos del segundo término de cada factor se intercambian, la suma de los productos de los términos externos e internos también
cambia de signo.
Cómo utilizar su calculadora graficadora
La calculadora graficadora puede utilizarse para comprobar problemas de factorización. Para verificar la
factorización del ejemplo 6,
8x2 + 8x - 30 = 212x + 5212x - 32
determinamos y1 8x2 8x 30 y y2 2(2x 5)(2x 3). Luego utilizamos la característica TABLE para comparar resultados, como se muestra en la figura 5.14.
FIGURA 5.14
Como y1 y y2 tienen los mismos valores para cada valor de x, no se han cometido errores. Este procedimiento sólo puede indicarle si se han cometido equivocaciones, pero no si ha factorizado por completo. Por ejemplo, 8x2
8x 30 y (4x 10)(2x 3) darán el mismo conjunto de valores.
Ejercicios
Utilice su graficadora para determinar si cada trinomio se ha factorizado correctamente.
1. 30x 2 + 37x - 84 = 16x - 7215x + 122
2. 72x 2 + 20x - 35 = 19x - 5218x + 72
?
EJEMPLO 7
Solución
?
Factorice 6x2 11xy 10y2.
Los factores de 6 son 6 1 o 2 3. Por lo tanto, los factores del trinomio pueden ser de
21x
2 o 12x
213x
2. Comenzaremos con los factores
la forma 16x
de tamaño medio; escribimos
6x2 - 11xy - 10y2 = 12x
213x
2
Los factores de 10 son (1)(10), (1)(10), (2)(5) y (2)(5). Como hay ocho factores de 10, habrá ocho parejas de posibles factores por probar. ¿Puede enumerarlos? La factorización correcta es
6x2 - 11xy - 10y2 = 12x - 5y213x + 2y2
✺
322 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
En el ejemplo 7 fuimos afortunados de encontrar los factores correctos usando
la forma (2x )(3x ). Si no hubiésemos encontrado los factores correctos empleando esa forma, tendríamos que haber probado (6x )(x ).
Al factorizar un trinomio cuyo coeficiente principal es negativo, empezamos factorizando un número negativo. Por ejemplo,
-24x3 - 60x2 + 36x = - 12x12x2 + 5x - 32 Factorizar 12x.
= - 12x12x - 121x + 32
y
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 49
- 3x2 + 8x + 16 = - 113x2 - 8x - 162
= - 13x + 421x - 42
EJEMPLO 8
Área de una región sombreada Determine una expresión, en forma factorizada, para
calcular el área de la región sombreada en la figura 5.15.
Solución
Para calcular el área de la región sombreada, necesitamos restar el área del rectángulo pequeño del área del rectángulo grande. Recuerde que el área del rectángulo es
largo ancho.
1
x2
2
x3
Área del rectángulo grande = 1x + 321x + 22
= x2 + 2x + 3x + 6
= x2 + 5x + 6
Área del rectángulo pequeño = 122112 = 2
FIGURA 5.15
Área de la región sombreada =
=
=
=
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 89
4
Factorizar 1.
área grande - área pequeña
x2 + 5x + 6 - 2
x2 + 5x + 4
Simplificar.
Factorizar.
1x + 421x + 12
El área de la región sombreada es (x 4)(x 1).
Factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a
✺
1 mediante agrupación
Ahora estudiaremos el método por agrupación para factorizar trinomios con la forma
ax2 bx c, a 1.
Para factorizar trinomios con la forma ax2 bx c a
mediante agrupación
1
1. Determine dos números cuyo producto sea a c, y cuya suma sea b.
2. Rescriba el término central, bx, mediante los números determinados en el paso 1.
3. Factorice por agrupación.
EJEMPLO 9
Solución
Factorice 2x2 5x 12.
Vemos que a 2, b 5 y c 12. Debemos encontrar dos números cuyo producto sea a c o 2(12) 24, y cuya suma sea b, 5. Los dos números son 8 y 3, ya
que (8)(3) 24, y 8 3 5. Ahora reescriba el término central, 5x, utilizando 8x y 3x.
-5x '&
$'
'%'
2x2 - 5x - 12 = 2x2 - 8x + 3x - 12
Sección 5.5 • Factorización de trinomios • 323
Factorice por agrupación como se explicó en la sección 5.4; factorice 2x de los primeros dos términos, y 3 de los últimos dos.
2x2 - 5x - 12 = 2x1x - 42 + 31x - 42
= 1x - 4212x + 32
Factorizar (x 4).
✺
Observe que en el ejemplo 9 escribimos 5x como 8x 3x. Como se demuestra
en seguida, se tendrían los mismos factores si escribiéramos 5x como 3x 8x. Por lo
tanto, cuando se factoriza por agrupación no importa cuál factor se liste primero.A continuación factorizamos x de los primeros dos términos y 4 de los últimos dos.
-5x '&
$'
'%'
2x2 - 5x - 12 = 2x2 + 3x - 8x - 12
= x12x + 32 - 412x + 32
= 12x + 321x - 42
EJEMPLO 10
Solución
Factorice 12a2 19ab 5b2.
Debemos encontrar dos números cuyo producto sea (12)(5) 60, y cuya suma sea
19. Como el producto de los números es positivo y su suma es negativa, los dos números deben ser negativos. (¿Por qué?)
Los dos números son 15 y 4 ya que (15)(4) 60 y 15 (4) 19.
Ahora reescribimos el término central, 19ab, utilizando 15ab y 4ab. Luego factorizamos por agrupación.
-19ab
$''%''&
12a - 19ab + 5b = 12a - 15ab - 4ab + 5b2
= 3a14a - 5b2 - b14a - 5b2
= 14a - 5b213a - b2
2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 37
Factorizar (2x 3).
2
2
✺
Resuelva nuevamente el ejemplo 10, pero esta vez escribiendo 19ab como
4ab 15ab. Si lo hace de manera correcta, obtendrá los mismos factores.
Es importante que sepa que no todos los trinomios pueden factorizarse por los
métodos que se presentaron en esta sección. En las secciones 8.1 y 8.2 se explicarán algunos procedimientos para factorizar polinomios que no pueden factorizarse usando
sólo enteros (o sobre el conjunto de enteros). Un polinomio que no puede factorizarse (sobre un conjunto específico de números) se denomina polinomio primo.
EJEMPLO 11
Solución
5
Factorice 2x2 6x 5.
Cuando intente factorizar este polinomio, verá que no es posible hacerlo por los métodos de prueba y error o agrupación. Éste es un polinomio primo sobre el conjunto
de enteros.
✺
Factorizar trinomios mediante sustitución
En ocasiones un trinomio más complicado puede factorizarse sustituyendo una variable por otra. Los siguientes tres ejemplos ilustran la factorización mediante sustitución.
EJEMPLO 12
Solución
Factorice y4 y2 6.
Si podemos reescribir esta expresión en la forma ax2 bx c, será más fácil factorizarla. Como (y2)2 y4, si sustituimos y2 por x, el trinomio se convierte en
y4 - y2 - 6 = 1y22 - y2 - 6
= x2 - x - 6
2
Sustituir x por y2.
324 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Ahora factorice x2 x 6.
= 1x + 221x - 32
Finalmente, sustituya x con y2 para obtener
= 1y2 + 221y2 - 32
Sustituir y2 por x.
Así, y4 y2 6 (y2 2)(y2 3). Observe que y2 se sustituyó por x, y después x se
sustituyó nuevamente por y2.
✺
EJEMPLO 13
Solución
Factorice 3z4 17z2 28.
Sea x z2. Entonces el trinomio puede escribirse
3z4 - 17z2 - 28 = 31z22 - 17z2 - 28
= 3x2 - 17x - 28
= 13x + 421x - 72
2
Ahora sustituya x por z2.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69
EJEMPLO 14
Solución
= 13z2 + 421z2 - 72
Así, 3z 17z 28 (3z 4)(z 7).
4
2
2
2
Sustituir z2 por x.
Factorizar.
Sustituir x por z2.
✺
Factorice 2(x 5)2 5(x 5) 12.
Nuevamente usaremos una sustitución, como en los ejemplos 12 y 13. Al sustituir
a x 5 en la ecuación, obtenemos
21x + 522 - 51x + 52 - 12
= 2a2 - 5a - 12
Ahora factorice 2a 5a 12.
Sustituir (x 5) por a.
2
= 12a + 321a - 42
Por último, reemplace a con x 5 para obtener
= 321x + 52 + 3431x + 52 - 44
= 32x + 10 + 343x + 14
Sustituir a por (x 5).
= 12x + 1321x + 12
Así, 2(x 5) 5(x 5) 12 (2x 13)(x 1). Observe que x 5 se sustituyó
por a, y luego a por x 5.
✺
2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 73
En los ejemplos 12 y 13 usamos x en nuestra sustitución, mientras que en el ejemplo 14 utilizamos a. La letra seleccionada no afecta la respuesta final.
Conjunto de ejercicios 5.5
Ejercicios conceptuales
1. ¿Cuál debe ser siempre el primer paso para factorizar un
trinomio?
3. a) Explique paso a paso el procedimiento para factorizar
6x2 x 12.
2. En un examen, Luis González escribió la siguiente factorización, pero el profesor la consideró incompleta. Explique por qué.
b) Factorice 6x2 x 12 mediante el procedimiento que
explicó en la parte a).
15x2 - 21x - 18 = 15x + 3213x - 62.
4. a) Explique paso a paso el procedimiento para factorizar
8x2 26x 6.
Sección 5.5 • Factorización de trinomios • 325
b) Factorice 8x2 26x 6 mediante el procedimiento que
explicó en la parte a).
5. El polinomio 2x2 8x 6 (x 3)(2x 2), ¿se ha factorizado completamente? Si no es así, proporcione la
factorización completa. Explique.
6. El polinomio x3 3x2 10x (x2 2x)(x 5), ¿se ha
factorizado completamente? Si no es así, proporcione
la factorización completa. Explique.
7. El polinomio 3x3 6x2 24x x(x 4)(3x 6), ¿se ha
factorizado completamente? Si no es así, proporcione
la factorización completa. Explique.
8. El polinomio x4 11x3 30x2 x2(x 5)(x 6), ¿se ha
factorizado completamente? Si no es así, proporcione
la factorización completa. Explique.
Al factorizar un trinomio con la forma ax2 bx c, ¿cuál será el signo entre los términos de los factores binomiales, si:
9. a 7 0, b 7 0, y c 7 0
10. a 7 0, b 7 0, y c 6 0
11. a 7 0, b 6 0, y c 6 0
12. a 7 0, b 6 0, y c 7 0
Problemas de aplicación
Factorice de forma completa cada trinomio. Si el polinomio es primo, indíquelo.
13. x 2 + 7x + 12
15. b2 - 10b + 9
14. a 2 - 2a - 15
2
16. y - 9y + 20
2
18. z2 + 4z + 4
2
17. c - 12c + 36
2
19. y - 18y + 81
20. r + 22r + 121
21. x 2 - 34x + 64
22. x 2 + 11x - 210
23. x2 - 13x - 30
26. - x 2 - 15x - 56
29. m2 - 7mn + 10n2
24. p2 - 6p - 19
2
25. - a + 18a - 45
28. a 2 + 6ab + 8b2
2
2
32. b - 12bc - 45c
31. 4r + 12r - 16
3
2
38. - 3b2 - 14b + 5
37. 3x - 3x - 6
40. 30z2 - 71z + 35
41. 8b2 - 2b - 3
44. 5z2 - 11z + 6
2
43. 6c + 11c - 10
47. 4x 2 + 4xy + 9y 2
46. 6r 4 + 5r 3 - 4r 2
3 5
2
2 5
55. a b - a b - 12ab
3 2
33. x3 - 3x2 - 18x
36. 4w 2 + 13w + 3
39. 6c2 - 13c - 63
42. 4a 2 + 43a + 30
45. 16p2 - 16pq - 12q 2
48. 32x 2 - 22xy + 3y 2
51. 9y 2 - 104y - 48
54. x 5y - 3x 4y - 18x 3y
35. 5a - 8a + 3
2
49. 18a + 18ab - 8b
52. 8x 2 + 30xy - 27y 2
30. -3x 2 - 12x - 9
2
2
34. x + 14x + 33x
2
27. x 2 + xy + 6y 2
50. 6r 2 + 7rs + 8s 2
53. 100b2 - 90b + 20
5
2 3
58. 6p q - 24p q - 30pq
56. a 3b + 2a 2b - 35ab
4
61. 30x 2 - x - 20
64. 8b3c2 + 28b2c3 + 12bc4
57. 3b4c - 18b3c2 + 27b2c3
59. 8m n + 4m n - 24m n
60. 18x 2 + 9x - 20
62. 36x 2 - 23x - 8
63. 8x 4y 4 + 24x 3y 4 - 32x 2y 4
8 3
7 4
6 5
Factorice de forma completa cada trinomio.
65. x 4 + x 2 - 6
4
2
67. b + 9b + 20
4
2
69. 6a + 5a - 25
71. 41x + 122 + 81x + 12 + 3
73. 61a + 222 - 71a + 22 - 5
75. x 2y 2 + 9xy + 14
2 2
77. 2x y - 9xy - 11
79. 2y 15 - y2 - 7y15 - y2 + 515 - y2
2
81. 2p21p - 32 + 7p1p - 32 + 61p - 32
6
3
83. a - 7a - 30
85. x 1x + 32 + 3x1x + 32 + 21x + 32
2
87. 5a 5b2 - 8a 4b3 + 3a 3b4
66. y 4 + 7y 2 + 12
68. c4 - 8c2 + 12
70. 12x + 122 + 212x + 12 - 15
72. 12y + 322 - 12y + 32 - 6
74. 61p - 522 + 111p - 52 + 3
76. a 2b2 + 6ab - 27
78. 3b2c2 - bc - 2
80. 2y21y + 22 + 13y1y + 22 + 151y + 22
82. 3x 21x - 22 + 5x1x - 22 - 21x - 22
84. 2y6 - 9y 3 - 5
86. x 21x + 62 - x1x + 62 - 301x + 62
88. 2x 2y 6 + 3xy 5 - 9y 4
326 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Resolución de problemas
En los ejercicios 89 a 92, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de cada región sombreada.Vea el ejemplo 8.
89.
90.
2
2
x2
x2
1
3
x5
x4
91.
92.
1
1
x4
x3
3
2
x5
x5
93. Si los factores de un polinomio son (2x 3y) y (x 4y),
encuentre el polinomio. Explique cómo determinó su respuesta.
94. Si los factores de un polinomio son 3, (4x 5) y (2x 3),
encuentre el polinomio. Explique cómo determinó su respuesta.
95. Si sabemos que un factor del polinomio x2 3x 18 es x
3, ¿cómo podemos determinar el otro factor? Determine el otro factor.
96. Si sabemos que un factor del polinomio x2 xy 6y2 es
x 3y, ¿cómo podemos determinar el otro factor? Determine el otro factor.
97. a) De los siguientes trinomios, ¿cuál será más difícil de
factorizar por el método de prueba y error? Explique
su respuesta.
98. a) De los siguientes trinomios, ¿cuál será más difícil de
factorizar por el método de prueba y error? Explique
su respuesta.
48x2 + 26x - 35 o 35x2 - 808x + 69
b) Factorice ambos trinomios.
99. Determine todos los valores enteros de b para los que 2x2
bx 5 es factorizable.
100. Determine todos los valores enteros de b para los que 3x2
bx 7 es factorizable.
101. Si x2 bx 5 es factorizable, ¿cuáles son los únicos dos
valores posibles de b? Explique.
102. Si x2 bx c es factorizable y c es un número primo,
¿cuáles son los únicos dos factores posibles de b? Explique.
30x2 + 23x - 40 o 49x2 - 98x + 13
b) Factorice ambos trinomios.
Considere el trinomio ax2 bx c. Más adelante en el curso aprenderá que si la expresión b2 4ac, denominada el discriminante,
no es un cuadrado perfecto, el trinomio no puede factorizarse en el conjunto de enteros. Cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 16, 25, 49,
etcétera. La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es un número entero no negativo. En los ejercicios 103 a 106, a)) determine el valor de b2 4ac. b)) Si b2 4ac es un cuadrado perfecto, factorice el polinomio; si b2 4ac no es un cuadrado perfecto, indique que el
polinomio no puede factorizarse.
103. x 2 - 8x + 15
2
105. x - 4x + 6
107. Construya un trinomio factorizable con la forma x2 (c 1)x c, en donde c es un número real.
104. 6y 2 - 5y - 6
106. 3t2 - 6t + 2
108. Construya un trinomio factorizable con la forma x2 (c 1)x c, en donde c es un número real.
Factorice completamente. Suponga que las variables en los exponentes representan enteros positivos.
109. 4a 2n - 4a n - 15
110. a 21a + b2 - 2ab1a + b2 - 3b21a + b2
113. x 2n + 3x n - 10
114. 9r 4y + 3r 2y - 2
111. x 21x + y22 - 7xy1x + y22 + 12y 21x + y22
112. 3m21m - 2n2 - 4mn1m - 2n2 - 4n21m - 2n2
Sección 5.6 • Fórmulas especiales de factorización • 327
115. Considere x2 2x 8 (x 4)(x 2).
a) Explique cómo puede comprobar esta factorización
mediante gráficas en su calculadora graficadora.
b) Compruebe si la factorización es correcta siguiendo el
procedimiento que explicó en la parte a).
116. Considere 6x3 11x2 10x x(2x 5)(3x 2).
a) Explique cómo puede comprobar esta factorización
utilizando la característica TABLE de una calculadora
graficadora.
b) Compruebe si la factorización es correcta siguiendo el
procedimiento que explicó en la parte a).
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.2] 117. Resuelva F =
9
C + 32 para C.
5
3 -2
3
[4.5] 119. Evalúe el determinante 3 2
1 -4
[5.2] 120. Multiplique 31x + y2 + 542.
[5.3] 121. Factorice 2x3 4x2 5x 10.
[3.3] 118. Grafique y 3x 4.
-1
-2 3 .
1
5.6 FÓRMULAS ESPECIALES DE FACTORIZACIÓN
1
1
Factorizar la diferencia de dos cuadrados.
2
Factorizar trinomios cuadrados perfectos.
3
Factorizar la suma y la diferencia de dos cubos.
Factorizar la diferencia de dos cuadrados
En esta sección se presentan algunas fórmulas especiales para factorizar la diferencia
de dos cuadrados, trinomios cuadrados perfectos, y la suma y diferencia de dos cubos.
Le será de utilidad memorizar estas fórmulas.
La expresión x2 9 es un ejemplo de la diferencia de dos cuadrados.
x2 - 9 = 1x22 - 1322
Para factorizar la diferencia de dos cuadrados, es conveniente usar la fórmula para la diferencia de dos cuadrados, misma que se analizó en la sección 5.2 cuando hablamos del
producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos (binomios conjugados).
Diferencia de dos cuadrados
a2 - b2 = 1a + b21a - b2
EJEMPLO 1
Factorice las siguientes expresiones mediante la fórmula de la diferencia de dos cuadrados.
a) x 2 - 16
Solución
b) 25x 2 - 9y 2
Reescriba cada expresión como una diferencia de dos cuadrados. Luego utilice la fórmula.
a) x2 - 16 = 1x22 - 1422
= 1x + 421x - 42
b) 25x2 - 9y2 = 15x22 - 13y22
= 15x + 3y215x - 3y2
EJEMPLO 2
Factorice las siguientes diferencias de cuadrados.
a) x 6 - y 4
Solución
✺
b) 2z4 - 162x 6
Reescriba cada expresión como una diferencia de dos cuadrados. Luego utilice la
fórmula.
a) x6 - y4 = 1x32 - 1y22
2
2
= 1x3 + y221x3 - y22
328 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
b) 2z4 - 162x 6 = 21z4 - 81x 62
= 231z22 - 19x32 4
= 21z2 + 9x321z2 - 9x32
2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 17
EJEMPLO 3
Solución
2
✺
Factorice x 16y .
4
4
x4 - 16y4 = 1x22 - 14y22
= 1x2 + 4y221x2 - 4y22
2
2
Observe que (x2 4y2) también es una diferencia de dos cuadrados. Utilice la fórmula de la diferencia de dos cuadrados una segunda vez para obtener
= 1x2 + 4y2231x22 - 12y224
= 1x2 + 4y221x + 2y21x - 2y2
EJEMPLO 4
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 25
✺
Factorice (x 5)2 49 mediante la fórmula para la diferencia de dos cuadrados.
Primero expresamos (x 5)2 49 como una diferencia de dos cuadrados.
1x - 522 - 49 = 1x - 522 - 72
= 31x - 52 + 7431x - 52 - 74
= 1x + 221x - 122
✺
Observación: No es posible factorizar la suma de dos cuadrados con la forma a2 b2
en el conjunto de los números reales.
Por ejemplo, no es posible factorizar x2 4, ya que x2 4 x2 22, es una suma de dos cuadrados (y no una diferencia de cuadrados).
2
Factorizar trinomios cuadrados perfectos
En la sección 5.2, vimos que
1a + b22 = a2 + 2ab + b2
1a - b22 = a2 - 2ab + b2
Si invertimos los lados izquierdo y derecho de estas dos fórmulas, obtenemos dos
fórmulas especiales de factorización.
Trinomios cuadrados perfectos
a2 + 2ab + b2 = 1a + b22
a2 - 2ab + b2 = 1a - b22
Estos dos trinomios se denominan trinomios cuadrados perfectos, ya que cada uno es el cuadrado de un binomio. Para ser un trinomio cuadrado perfecto, el primero y el último términos debe ser el cuadrado de alguna expresión, y el término
central debe ser el doble del producto del primero y último términos. Cuando se le pida
factorizar un trinomio, determine si es un trinomio cuadrado perfecto antes de intentar factorizarlo mediante los procedimientos explicados en la sección 5.5. Si es un
trinomio cuadrado perfecto, puede factorizarlo mediante las fórmulas indicadas con
anterioridad.
Ejemplos de trinomios cuadrados perfectos
y2 + 6y + 9 o y2 + 21y2132 + 32
9a2b2 - 24ab + 16 o 13ab22 - 213ab2142 + 42
2
1r + s2 + 101r + s2 + 25 o 1r + s22 + 21r + s2152 + 52
Ahora factoricemos algunos trinomios cuadrados perfectos.
Sección 5.6 • Fórmulas especiales de factorización • 329
EJEMPLO 5
Solución
Factorice x2 8x 16.
Como el primero y último términos, x2 y 42, son cuadrados, este trinomio podría ser un
trinomio cuadrado perfecto. Para determinar si lo es, tome el doble del producto de x
y 4 para ver si obtiene 8x.
21x2142 = 8x
Como 8x es el término central, y como su signo es negativo, factorice como sigue:
x2 - 8x + 16 = 1x - 422
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 29
EJEMPLO 6
Solución
Factorice 9x4 12x2 4.
El primer término es un cuadrado, (3x2)2, lo mismo que el último término, 22. Como
2(3x2)(2) 12x2, factorizamos como sigue:
9x4 - 12x2 + 4 = 13x2 - 22
EJEMPLO 7
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 39
EJEMPLO 8
Solución
✺
2
✺
Factorice (a b)2 6(a b) 9.
El primer término, (a b)2, es un cuadrado. El último término, 9 o 32, también. El término central es 2(a b)(3) 6(a b). Por lo tanto, éste es un trinomio cuadrado perfecto. Así,
1a + b22 + 61a + b2 + 9 = 31a + b2 + 342 = 1a + b + 322
✺
Factorice x2 6x 9 y2.
Como x2 6x 9 es un trinomio cuadrado perfecto que puede expresarse como (x 3)2,
escribimos
1x - 322 - y2
Ahora (x 3)2 y2 es una diferencia de cuadrados; por lo tanto
1x - 322 - y2 = 31x - 32 + y431x - 32 - y4
= 1x - 3 + y21x - 3 - y2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45
Así, x2 6x 9 y2 (x 3 y)(x 3 y).
✺
El polinomio del ejemplo 8 tiene cuatro términos. En la sección 5.4 aprendimos
a factorizar por agrupación los polinomios con cuatro términos. Si analiza el ejemplo
8, verá que sin importar cuánto se trate, los cuatro términos no pueden acomodarse de
modo que tanto los primeros dos términos como los últimos dos tengan un factor común. Siempre que un polinomio con cuatro términos no pueda factorizarse por agrupación, intente reescribir tres de los términos como el cuadrado de un binomio, y luego
factorice mediante la fórmula de la diferencia de dos cuadrados.
EJEMPLO 9
Solución
Factorice 4a2 12ab 9b2 25.
Primero comprobamos que este polinomio de cuatro términos no puede factorizarse
por agrupación. Después, lo analizamos para determinar si tres de los términos que lo
conforman pueden expresarse como el cuadrado de un binomio. Ya que esto es posible, escribimos los tres términos como el cuadrado de un binomio. Para completar la
factorización, utilizamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados.
4a2 + 12ab + 9b2 - 25 = 12a + 3b22 - 52
= 312a + 3b2 + 54312a + 3b2 - 54
= 12a + 3b + 5212a + 3b - 52
✺
330 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
3
Factorizar la suma y la diferencia de dos cubos
Al principio de esta sección factorizamos la diferencia de dos cuadrados. Ahora factorizaremos la suma y la diferencia de dos cubos. Considere el producto de (a b)
(a2 ab b2).
a2 - ab + b2
a + b
2
a b - ab2 + b3
3
a - a2b + ab2
a3
+ b3
Así, a3 b3 (a b)(a2 ab b2). También mediante la multiplicación podemos
mostrar que a3 b3 (a b)(a2 ab b2). Las fórmulas para factorizar la suma y
la diferencia de dos cubos aparecen en los siguientes recuadros.
Suma de dos cubos
a3 + b3 = 1a + b21a2 - ab + b22
Diferencia de dos cubos
a3 - b3 = 1a - b21a2 + ab + b22
EJEMPLO 10
Solución
Factorice x3 64.
Reescriba x3 64 como una suma de dos cubos, x3 43. Determine que x corresponda a a y 4 a b. Luego factorice mediante la fórmula de la suma de dos cubos.
a 3 + b3 =
p p
x3 + 43 =
=
1a + b21a2 - a b + b22
p p p pp p
1x + 423x2 - x142 + 424
1x + 421x2 - 4x + 162
✺
Así, x3 64 (x 4)(x2 4x 16).
EJEMPLO 11
Solución
Factorice 27x3 8y6.
Primero observamos que 27x3 y 8y6 no tienen factores comunes distintos de 1. Como
podemos expresar a 27x3 y a 8y6 como cubos, podemos factorizar mediante la fórmula para la diferencia de dos cubos.
27x3 - 8y6 = 13x23 - 12y22
3
= 13x - 2y22313x22 + 13x212y22 + 12y22 4
2
= 13x - 2y2219x2 + 6xy2 + 4y42
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 57
EJEMPLO 12
Solución
Así, 27x3 8y6 (3x 2y2)(9x2 6xy2 4y4).
Factorice 8y3 64x6.
Primero factorice 8, que es común a los dos términos.
8y3 - 64x6 = 81y3 - 8x62
Ahora factorice y3 8x6 escribiéndolo como una diferencia de dos cubos.
✺
Sección 5.6 • Fórmulas especiales de factorización • 331
81y3 - 8x62 = 831y23 - 12x22 4
2
= 81y - 2x223y2 + y12x22 + 12x22 4
= 81y - 2x221y2 + 2x2y + 4x42
3
Así, 8y2 64x6 8(y 2x2)(y2 2x2y 4x4).
EJEMPLO 13
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 65
SUGERENCIA
✺
Factorice (x 2)3 125.
Escriba (x 2)3 125 como una suma de dos cubos; luego factorice utilizando la fórmula para la suma de dos cubos.
1x - 223 + 1523 = 31x - 22 + 5431x - 222 - 1x - 22152 + 15224
= 1x - 2 + 521x2 - 4x + 4 - 5x + 10 + 252
= 1x + 321x2 - 9x + 392
✺
El cuadrado de un binomio tiene un 2 como parte del término central del trinomio.
1a + b22 = a2 + 2ab + b2
1a - b22 = a2 - 2ab + b2
La suma o la diferencia de dos cubos tiene un factor similar al del trinomio en el cuadrado
del binomio. Sin embargo, el término central no incluye un 2.
a3 + b3 = 1a + b21a2 - ab + b22
a 3 - b3 = 1a - b21a2 + ab + b22
$'%'&
no es 2ab
EJEMPLO 14
Volumen Utilizando los cubos de la figura 5.16, determine una expresión, en forma
factorizada, para calcular la diferencia entre sus volúmenes.
4x
3
4x
FIGURA 5.16
Solución
4x
Cubo grande
3
3
Cubo pequeño
Para encontrar la diferencia entre los volúmenes, reste el volumen del cubo pequeño
del volumen del cubo grande.
Volumen del cubo grande (4x)3
Volumen del cubo pequeño 33
Diferencia entre los volúmenes (4x)3 – 33
Restar volúmenes.
(4x – 3)[(4x)2 (4x)3 32] Factorizar.
(4x – 3)(16x2 12x 9)
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 87
Simplificar.
La diferencia entre los volúmenes de los dos cubos es (4x 3)(16x2 12x 9).
✺
332 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Conjunto de ejercicios 5.6
Ejercicios conceptuales
1. a) Explique cómo factorizar la diferencia de dos cuadrados.
b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte
a), factorice x2 16.
2. Explique por qué una suma de dos cuadrados, a2 b2, no
puede factorizarse en el conjunto de los números reales.
3. Explique cómo se determina si un trinomio es un trinomio
cuadrado perfecto.
4. a) Explique cómo factorizar un trinomio cuadrado perfecto.
b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a),
factorice x2 12x 36.
5. Proporcione la fórmula para factorizar la suma de dos
cubos.
6. Proporcione la fórmula para factorizar la diferencia de dos
cubos.
7. El polinomio x2 14x 49 (x 7)(x 7), ¿está factorizado de manera correcta? Explique.
8. El polinomio x2 14x 49 (x 7)2, ¿está factorizado
de manera correcta? Explique.
9. El polinomio x2 81 (x 9)2, ¿está factorizado de manera correcta? Explique.
10. El polinomio x2 64 (x 8)(x 8), ¿está factorizado
de manera correcta? Explique.
Problemas de aplicación
Utilice la fórmula para la diferencia de dos cuadrados o la fórmula del trinomio cuadrado perfecto para factorizar cada polinomio.
11. x 2 - 81
14. 1 - 4x 2
12. x 2 - 25
15. 1 - 36b2
13. a 2 - 100
16. x 2 - 81y 2
17. 25 - 16y4
18. a 6 - 144b4
19.
21. x 2y 2 - 121c2
22. 4a 2c2 - 16x 2y 2
20.
23.
26.
29.
32.
35.
38.
41.
44.
47.
50.
1
- z2
49
0.04x2 - 0.09
144 - 1a + b22
x2 + 10x + 25
b2 - 18b + 81
0.81x2 - 0.36x + 0.04
b4 - 12b2 + 36
1y - 322 + 81y - 32 + 16
p2 + 2pq + q2 - 16r2
9 - 1c2 - 8c + 162
z6 - 14z3 + 49
24.
27.
30.
33.
36.
39.
42.
45.
48.
0.16p2 - 0.81q2
a2 - 13b + 22
49 - 14t + t2
4x2 - 20xy + 25y2
0.25x2 - 0.40x + 0.16
1x + y22 + 21x + y2 + 1
a4 - 2a2b2 + b4
25 - 1x2 + 4x + 42
14a - 3b22 - 12a + 5b22
1
- y2
25
25. 36 - 1x - 622
28. 12c + 322 - 9
31. 4 + 4a + a 2
34. 36p2q 2 + 12pq + 1
37. y 4 + 4y 2 + 4
40. 1a + 122 + 61a + 12 + 9
43. x 2 + 6x + 9 - y 2
46. 9a 2 - 12ab + 4b2 - 9
49. y 4 - 6y 2 + 9
Factorice mediante la fórmula para la suma o diferencia de dos cubos.
51. x 3 - 27
54. 8 - b3
57. 27y3 - 8x 3
60. x 6 + y 9
63. 1x + 123 + 1
66. 12x + y23 - 64
52.
55.
58.
61.
64.
67.
a3 + 125
p3 - 27a3
5x3 + 40y3
2b3 - 250c3
1a - 323 + 8
b3 - 1b + 323
64 - a3
w3 - 216
32a3 - 108b3
16x6 - 250y3
65. 1a - b23 - 27
68. 1m - n23 - 1m + n23
53.
56.
59.
62.
Factorice usando una de las fórmulas especiales para factorizar.
69. 121y 4 - 49x 2
72. 49 - 64x 2y 2
75. x 3 - 64
70. a 4 - 4b4
73. 25x 4 - 81y 6
76. 2a 2 - 24a + 72
71. 16y 2 - 81x 2
74. 1x + y22 - 16
77. 9x 2y 2 + 24xy + 16
Sección 5.6 • Fórmulas especiales de factorización • 333
78. a 4 + 12a 2 + 36
2
81. x - 2x + 1 - y
2
80. 8y 3 - 125x 6
79. a 4 + 2a 2b2 + b4
2
2
83. 1x + y23 + 1
2
82. 4r + 4rs + s - 9
85. 1m + n2 - 12m - n2
2
2
84. 9x - 6xy + y - 4
86. 1r + p23 + 1r - p23
2
Resolución de problemas
En los ejercicios 87 a 90, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de cada pareja de cubos. Vea el ejemplo 14.
88.
87.
3x
5y
4
2
3x
2
3x
5y
89.
4
5y
2
4
90.
6a
7p
2r
b
6a
7p
b
6a
2r
7p
b
2r
En los ejercicios 91 y 92, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la suma de los volúmenes de cada pareja
de cubos.
91.
92.
4x
8b
3a
4x
3a
4x
5c
8b
3a
5c
8b
5c
En los ejercicios 93 a 97, a) determine el área o volumen de la figura sombreada mediante la sustracción del área o volumen más pequeño del más grande. La fórmula para encontrar el área o volumen se indica debajo de cada figura. b) Escriba la expresión obtenida en la parte a) en forma factorizada. Parte del MFC de los ejercicios 94, 96 y 97 es p.
93.
94.
Cuadrados
95.
96.
97.
Sólido rectangular
Círculos
h
R
b
b
a
A s2
R
r
a
a
A pr2
Esfera
Cilindro
r
b
6a
b
R
r
a
V lwh
V pr2h
V dpr 3
334 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
98. Área y volumen Se hace un agujero circular en un cubo
de madera, tal como se muestra en la figura.
104. Área La fórmula para calcular el área de un círculo es
A pr2, donde r es el radio. Suponga que el área de un
círculo es la que se indica a continuación.
A(x) 9px2 12px 4p
x
r(x)
x
x
a) Escriba una expresión en forma factorizada, en términos de x, para calcular el área de la sección transversal
de la madera restante.
b) Escriba una expresión en forma factorizada, en términos de x, para calcular el volumen de la madera
restante.
99. Determine dos valores de b que hagan de 4x2 bx 9 un
trinomio cuadrado perfecto. Explique cómo determinó su
respuesta.
100. Determine dos valores de c que hagan de 16x2 cx 4 un
trinomio cuadrado perfecto. Explique cómo determinó su
respuesta.
101. Determine el valor de c que hace de 25x 20x c un
trinomio cuadrado perfecto. Explique cómo determinó su
respuesta.
105.
106.
107.
108.
109.
a) explique cómo determinar el radio, r(x),
b) determine r(x),
c) determine r(4).
Factorice x4 64 escribiendo la expresión como (x4 16x2 64) 16x2, que es una diferencia de dos cuadrados.
Factorice x4 4 sumando y restando 4x2. (Vea el ejercicio 105).
Si P(x) x2, utilice la diferencia de dos cuadrados para
simplificar P(a h) P(a).
Si P(x) x2, utilice la diferencia de dos cuadrados para
simplificar P(a 1) P(a).
Suma de áreas La figura muestra cómo completar el cuadrado. La suma de las áreas de las tres partes del cuadrado que están sombreadas en gris es
x2 + 4x + 4x o x2 + 8x
2
x
x
102. Determine el valor de d que hace de 49x2 42x d un trinomio cuadrado perfecto. Explique cómo determinó su
respuesta.
103. Área Una fórmula para calcular el área de un cuadrado es
A s2, donde s es la longitud de un lado. Suponga que el
área de un cuadrado es la que se indica a continuación.
A(x) 25x2 30x 9
s(x)
a) explique cómo determinar la longitud del lado x, s(x),
b) determine s(x),
4
4
a) Determine el área de la cuarta parte (en rojo) para
completar el cuadrado.
b) Determine la suma de las áreas de las cuatro partes del
cuadrado.
c) Este procedimiento ha dado como resultado un trinomio cuadrado perfecto en la parte b). Escriba el trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un
binomio.
110. Factorice (m n)3 (9 n)3.
c) determine s(2).
Factorice completamente.
111. 64x 4a - 9y 6a
113. a 2n - 16a n + 64
115. x 3n - 8
112. 16p8w - 49p6w
114. 144r 8k + 48r 4k + 4
116. 27x 3m + 64x 6m
En los ejercicios 117 y 118, utilice su calculadora graficadora para comprobar la factorización. Indique si la factorización es correcta
o no. Explique sus respuestas.
?
117. 2x 2 - 18 = 21x + 321x - 32
?
118. 8x 3 + 27 = 2x14x 2 + 5x + 92
Sección 5.7 • Repaso general de factorización • 335
Reto
119. La expresión x6 1 puede factorizarse usando la diferencia de dos cuadrados o la diferencia de dos cubos. Al
principio los factores no parecen ser los mismos, pero
con un poco de manipulación algebraica puede demostrarse que son iguales. Factorice x6 1 mediante a) la
diferencia de dos cuadrados, y b) la diferencia de dos cubos. c) Muestre que ambas respuestas son iguales, factorizando completamente las respuestas obtenidas en la
parte a). Luego multiplique los dos binomios por los dos
trinomios.
Actividad en equipo
Analice y responda en equipo el ejercicio 120.
120. Más adelante en el curso necesitaremos construir trinomios cuadrados perfectos. Examinen algunos trinomios
cuadrados perfectos con coeficiente principal 1.
a) Expliquen cómo están relacionados b y c, si el trinomio x2 bx c es un trinomio cuadrado perfecto.
b) Construyan un trinomio cuadrado perfecto, si los primeros dos términos son x2 6x.
c) Construyan un trinomio cuadrado perfecto, si los primeros dos términos son x2 10x.
d) Construyan un trinomio cuadrado perfecto, si los primeros dos términos son x2 14x.
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.1] 121. Simplifique 2[3x (2y 1) 5x] y.
[3.6] 122. Si f(x) x2 3x 4 y g(x) 2x 5, determine
(g f)(1).
[5.4] 124. Factorice el máximo factor común de 45y12 30y10.
125. Factorice 12x2 9xy 4xy 3y2.
[4.4] 123. Ángulos Un ángulo recto se divide en tres ángulos
más pequeños. El más grande de los tres mide el doble del más pequeño. El ángulo restante mide 10°
más que el ángulo más pequeño. Determine la medida de cada ángulo.
5.7 REPASO GENERAL DE FACTORIZACIÓN
1
1
Factorizar polinomios mediante una combinación de técnicas.
Factorizar polinomios mediante una combinación de técnicas
Hemos presentado varios métodos para factorizar. Ahora combinaremos problemas y
técnicas de las secciones anteriores.
Un procedimiento general para factorizar cualquier polinomios es el siguiente.
Para factorizar un polinomio
1. Determine si todos los términos del polinomio tienen un máximo factor común distinto de 1. Si es así, factorice el MFC.
2. Si el polinomio tiene dos términos, determine si es una diferencia de dos cuadrados o
una suma o diferencia de dos cubos. En cualquiera de estos casos, factorice utilizando
la fórmula adecuada.
(continúa en la página siguiente)
336 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
3. Si el polinomio tiene tres términos, determine si es un trinomio cuadrado perfecto. Si
lo es, factorícelo como corresponde. De lo contrario, factorice el trinomio utilizando
el método de prueba y error, por agrupación o por sustitución, como se explicó en la
sección 5.5.
4. Si el polinomio tiene más de tres términos, intente factorizarlo mediante agrupación. Si
eso no funciona, vea si tres de los términos son el cuadrado de un binomio.
5. Como paso final, examine el polinomio factorizado para ver si los factores enumerados tienen un factor común y se pueden factorizar más. Si encuentra un factor común,
factorícelo.
Los siguientes ejemplos ilustran cómo utilizar este procedimiento.
EJEMPLO 1
Solución
Factorice 3x4 48x2.
Primero verifique si existe un máximo factor común distinto de 1. Como 3x2 es común
a ambos términos, factorícelo.
3x4 - 48x2 = 3x21x2 - 162 = 3x21x + 421x - 42
Observe que x2 16 se factoriza como una diferencia de dos cuadrados.
EJEMPLO 2
Solución
✺
Factorice 3x2y2 24xy2 48y2.
Comience factorizando el MFC, 3y2, de cada término.
3x2y2 - 24xy2 + 48y2 = 3y21x2 - 8x + 162 = 3y21x - 422
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 27
EJEMPLO 3
Solución
Observe que x2 8x 16 es un trinomio cuadrado perfecto. Si no lo reconoce, también
podrá obtener la respuesta correcta factorizando el trinomio en (x 4)(x 4). ✺
Factorice 24x2 6xy 16xy 4y2.
Como siempre, comience por determinar si todos los términos del polinomio tienen un
factor común. En este ejemplo, el número 2 es común a todos los términos. Factorice
el 2; después factorice el polinomio de cuatro términos resultante mediante agrupación.
24x2 - 6xy + 16xy - 4y2 = 2112x2 - 3xy + 8xy - 2y22
= 233x14x - y2 + 2y14x - y24
= 214x - y213x + 2y2
EJEMPLO 4
Solución
Factorice 10a2b 15ab 20b.
10a2b - 15ab + 20b = 5b12a2 - 3a + 42
Como 2a2 3a 4 no puede factorizarse, concluimos aquí.
EJEMPLO 5
Solución
✺
Factorice 2x4y 54xy.
2x4y + 54xy = 2xy1x3 + 272
= 2xy1x + 321x2 - 3x + 92
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19 Observe que factorizamos x3 27 como una suma de dos cubos.
EJEMPLO 6
Solución
✺
Factorice 6x2 3x 6y2 9.
Primero factorizamos el 3 de los cuatro términos.
6x2 - 3x + 6y2 - 9 = 312x2 - x + 2y2 - 32
✺
Sección 5.7 • Repaso general de factorización • 337
Ahora veremos si podemos factorizar los cuatro términos dentro de los paréntesis mediante agrupación. Como puede ver, esto no es posible, así que analizaremos si podemos escribir tres de los términos como el cuadrado de un binomio. Sin importar cómo
los reordenemos, esto tampoco es posible. Concluimos que esta expresión no se puede factorizarse más. Por lo tanto,
6x 2 - 3x + 6y2 - 9 = 312x2 - x + 2y2 - 32
EJEMPLO 7
Solución
✺
Factorice 3x2 18x 27 3y2.
Factorizamos el 3 de los cuatro términos.
3x2 - 18x + 27 - 3y2 = 31x2 - 6x + 9 - y22
Ahora intentaremos factorizar por agrupación. Como los cuatro términos entre paréntesis no pueden factorizarse por este método, veamos si podemos escribir tres de
los términos como el cuadrado de un binomio. Ya que esto sí es posible, expresamos
x2 6x 9 como (x 3)2 y después utilizamos la fórmula para la diferencia de dos
cuadrados. Así,
3x2 - 18x + 27 - 3y2 = 331x - 322 - y24
= 331x - 3 + y21x - 3 - y24
= 31x - 3 + y21x - 3 - y2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43
SUGERENCIA
CONSEJO PARA
ESTUDIAR
✺
En esta sección hemos repasado todas las técnicas para la factorización de expresiones.
Si todavía tiene problemas para factorizar, vuelva a estudiar el material de las secciones 5.4 a 5.6.
Conjunto de ejercicios 5.7
Ejercicios conceptuales
1. Explique los procedimientos que pueden utilizarse para
factorizar un polinomio de a) dos términos, b) tres términos,
y c) cuatro términos.
2. ¿Cuál es el primer paso en el procedimiento de factorización?
Problemas de aplicación
Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios.
3. 3x 2 - 75
4. 3x 2 - 24x + 48
6. 6x 3y 2 + 10x 2y 3 + 8x 2y 2
2
5. 10s + 19s - 15
2
8. 4x 3 - 16x 2 - 48x
7. -8r + 26r - 15
9. 0.4x 2 - 0.036
10. 0.5x 2 - 0.08
12. 7x 2y 2z2 - 28x 2y 2
5
11. 6x - 54x
6
5
5
13. 3x - 3x + 12x - 12x
4
15. 5x 4y 2 + 20x 3y 2 + 15x 3y 2 + 60x 2y 2
4
2 2
17. x - x y
7 2
4 2
19. x y - x y
21. x 5 - 16x
23. 2x 6 + 16y 3
25. 21a + b22 - 50
27. 6x2 + 36xy + 54y2
29. 1x + 222 - 4
14. 2x 2y 2 + 6xy 2 - 10xy 2 - 30y 2
16. 6x 2 - 15x - 9
18. 6x 3 + 162
20. x 4 - 81
22. 12x 2y 2 + 33xy 2 - 9y 2
24. 8x 4 - 4x 3 - 4x 3 + 2x 2
26. 12x 3y 2 + 4x 2y 2 - 40xy 2
28. 3x 2 - 30x + 75
30. 4y 4 - 36x 6
338 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
31. 12a + b212a - 3b2 - 12a + b21a - b2
32. pq - 6q + pr - 6r
35. 45a 4 - 30a 3 + 5a 2
36. 1x + 122 - 1x + 12 - 6
33. 1y + 52 + 41y + 52 + 4
2
37. x 3 +
34. b4 + 2b2 + 1
1
64
1
27
38. 8y 3 -
40. 6y 3 + 14y 2 + 4y
39. 3x 3 + 2x 2 - 27x - 18
3
41. a b - 64ab
42. x 6 + y 6
3
43. 81 - 1x2 + 2xy + y22
44. x 2 - 2xy + y 2 - 49
45. 24x 2 - 34x + 12
46. 40x 2 + 52x - 12
48. 71a - b22 + 41a - b2 - 3
2
47. 16x + 34x - 15
50. 1x + 222 - 121x + 22 + 36
49. x 4 - 16
51. 5bc - 10cx - 7by + 14xy
52. 16y 4 - 9y 2
53. 3x 4 - x 2 - 4
54. x 2 + 16x + 64 - 100y 2
55. y 2 - 1x 2 - 12x + 362
56. 4a 3 + 32
2
57. 21y + 42 + 51y + 42 - 12
58. x 6 + 11x 3 + 30
59. a 2 + 12ab + 36b2 - 16c2
60. y - y 3
61. 6x 4y + 15x 3y - 9x 2y
62. 4x 2y 2 + 12xy + 9
4
2 2
63. x - 2x y + y
4
64. 6r 2s 2 + rs - 1
Resolución de problemas
Relacione cada ejercicio del 65 al 72 con las expresiones etiquetadas con los incisos del a) a h) a la derecha de ellos.
65. a 2 + b2
69. a 3 - b3
2
66. a + 2ab + b
2
2
70. a - 2ab + b
2
a) 1a + b21a 2 - ab + b22
e) no es factorizable
b) 1a - b22
f) 1a - b21a 2 + ab + b22
g) a 2 + ab + b2
67. a 3 + b3
71. un factor de a3 b3.
c) a 2 - ab + b2
68. a 2 - b2
72. un factor de a3 b3.
d) 1a + b22
h) 1a + b21a - b2
En los ejercicios 73 y 74, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el perímetro de cada figura.
73.
74.
5x 3
x2 3
7x 13
5x 12
x2 11
En los ejercicios 75 a 78, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada de cada figura.
76.
75.
x
77.
78.
4
x
3
3
y
3
x4
5
y
3
5
5
x
4
5
4
5
5
5
x5
x
5
Sección 5.7 • Repaso general de factorización • 339
En los ejercicios 79 y 80, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de cada
par de cubos.
79.
80.
5x
4x
2y
3
5x
4x
3
5x
2y
4x
3
2y
En los ejercicios 81 a 84, a) escriba una expresión para calcular el área sombreada de la figura, y b) escriba la expresión en forma factorizada.
81.
82.
b
b
a
a
ab
a
a
a
83.
84.
a
xy
a
x
y
x
y
b
2b
85.
b
Área de la superficie
a) Escriba una expresión para calcular el área de la superficie de los cuatro lados de la caja que se ilustra a
continuación (no tome en cuenta la tapa ni la base).
b) Escriba la expresión en forma factorizada.
86. Explique cómo puede utilizarse la fórmula de factorización de la diferencia de dos cubos para factorizar x3 27.
87. a) Explique cómo construir un trinomio cuadrado perfecto.
b) Construya un trinomio cuadrado perfecto y luego
muestre sus factores.
ab
b
a
Reto
En este capítulo sólo hemos trabajado con exponentes enteros; sin embargo, en una expresión también pueden factorizarse los exponentes fraccionarios. Las siguientes expresiones no son polinomios. a) En cada expresión factorice la variable con el exponente menor (o más negativo). (Los exponentes fraccionarios se analizarán en la sección 7.2). b) Factorice completamente.
88. x2 5x3 6x4, factorice x4.
89. x3 2x4 3x5, factorice x5.
90. x5/2 3x3/2 4x1/2, factorice x1/2.
91. 5x1/2 2x1/2 3x3/2, factorice x3/2.
340 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.1]
92. Resuelva 6(x 4) 4(3x 3) 6.
[2.6] 93. Determine el conjunto solución para `
6 + 2z
` 7 2.
3
[4.3] 94. Mezcla de cafés Juan Morales piensa abrir una tienda de abarrotes, y desea mezclar 30 libras de café
para vender a un costo total de $170. Por obtener la
mezcla, utilizará café que vende a $5.20 por libra y
café que vende a $6.30 por libra. ¿Cuántas libras de
cada café debe utilizar?
[5.2] 95. Multiplique (5x 4)(x2 x 4).
[5.4] 96. Factorice 2x3 4x2 5x 10.
5.8 ECUACIONES POLINOMIALES
1
Usar la propiedad del factor nulo para resolver ecuaciones.
2
Usar la factorización para resolver ecuaciones.
3
Usar la factorización para resolver problemas de aplicación.
4
Usar la factorización para determinar las intersecciones del eje
x de una función cuadrática.
Siempre que se establece que dos polinomios son iguales entre sí, tenemos una ecuación polinomial.
Ejemplos de ecuaciones polinomiales
x2 + 2x = x - 5
y3 + 3y - 2 = 0
4x4 + 2x2 = - 3x + 2
El grado de una ecuación polinomial es el mismo que el del término con mayor grado. Por
ejemplo, las tres ecuaciones anteriores tienen grados 2, 3 y 4, respectivamente. Con frecuencia, una ecuación de segundo grado con una variable se denomina ecuación cuadrática.
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas
3x2 + 6x - 4 = 0
5x = 2x2 - 4
1x + 421x - 32 = 0
Cualquier ecuación cuadrática puede escribirse en la forma general.
Forma general de una ecuación cuadrática
ax2 + bx + c = 0, a Z 0
donde a, b y c son números reales.
Antes de continuar, asegúrese de que puede convertir cada una de las tres ecuaciones cuadráticas dadas anteriormente a su forma general, con a 0.
1
Usar la propiedad del factor nulo para resolver ecuaciones
Para resolver ecuaciones utilizando factorización, empleamos la propiedad del factor nulo.
Propiedad del factor nulo
Para todos los números reales a y b, si a b 0, entonces a 0 o b 0, o bien a y b 0.
Sección 5.8 • Ecuaciones polinomiales • 341
La propiedad del factor nulo indica que, si el producto de dos factores es igual a cero,
uno o ambos factores deben ser cero.
EJEMPLO 1
Solución
Resuelva la ecuación (x 5)(x 2) 0.
Como el producto de los factores es igual a 0, según la propiedad del factor nulo, uno
o ambos factores deben ser iguales a cero. Igualamos cada factor a 0 y resolvemos
cada ecuación por separado.
x + 5 = 0
x = -5
o
x - 2 = 0
x = 2
Por lo tanto, si x es 5 o 2, el producto de los factores es 0.
x = -5
1x + 521x - 32 =
?
1 - 5 + 521 -5 - 32 =
?
01- 82 =
0 =
Compruebe
2
0
0
0
0
Verdadero
x = 2
1x + 521x - 22 =
?
12 + 5212 - 22 =
?
7102 =
0 =
0
0
0
0
Verdadero
✺
Usar la factorización para resolver ecuaciones
A continuación se indica un procedimiento que puede utilizarse para obtener la solución de una ecuación mediante factorización.
Para resolver una ecuación mediante factorización
EJEMPLO 2
Solución
1.
Utilice la propiedad de la suma para eliminar todos los términos de un lado
de la ecuación. Con esto se obtendrá un lado de la ecuación igual a 0.
2.
Sume los términos semejantes en la ecuación y después factorice.
3.
Iguale a cero cada factor que contenga una variable. Resuelva las
ecuaciones y determine las soluciones.
4.
Verifique las soluciones en la ecuación original.
Resuelva la ecuación 2x2 12x.
Primero igualamos a cero el lado derecho de la ecuación, restando 12x en ambos lados. Después factorizamos el lado izquierdo de la ecuación.
2x2 - 12x = 0
2x1x - 62 = 0
Ahora igualamos a cero cada factor y despejamos x.
2x = 0
x = 0
o x - 6 = 0
x = 6
Una verificación mostrará que los números 0 y 6 satisfacen la ecuación 2x2 12x.
CÓMO EVITAR
ERRORES COMUNES
✺
La propiedad del factor nulo sólo puede utilizarse cuando un lado de la ecuación es igual a 0.
CORRECTO
INCORRECTO
1x - 421x + 32 = 0
x - 4 = 0
o
x + 3 = 0
x = 4
x = -3
1x - 421x + 32 = 2
o
x + 3 = 2
x - 4 = 2
x = 6
x = -1
(continúa en la página siguiente)
342 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
En el procedimiento incorrecto, ilustrado a la derecha, no se puede utilizar la propiedad del
factor nulo, ya que el lado derecho de la ecuación no es igual a 0. El ejemplo 3 muestra cómo
resolver estos problemas correctamente.
EJEMPLO 3
Solución
Resuelva la ecuación (x 1)(3x 2) 4x.
Como el lado derecho de la ecuación no es igual a 0, no podemos utilizar aún la propiedad del factor nulo; en lugar de eso comenzamos por multiplicar los factores del lado izquierdo de la ecuación. Después restamos 4x en ambos lados para obtener 0 del
lado derecho. Luego factorizamos y resolvemos la ecuación.
1x - 1213x + 22 = 4x
3x2 - x - 2 = 4x
2
3x - 5x - 2 = 0
13x + 121x - 22 = 0
3x + 1 = 0
o
x - 2 = 0
Multiplicar los factores.
Hacer un lado igual a 0.
Factorizar el trinomio.
Propiedad del factor nulo.
x = 2 Resolver las ecuaciones.
3x = - 1
1
x = 3
1
Las soluciones son - 3 y 2. Compruebe estos valores en la ecuación original.
EJEMPLO 4
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 45
SUGERENCIA
✺
Resuelva la ecuación 3x2 2x 12 7x.
3x2 + 2x - 12 = - 7x
3x2 + 9x - 12 = 0
Haga un lado igual a 0.
Factorizar 3.
31x 2 + 3x - 42 = 0
Factorizar el trinomio.
31x + 421x - 12 = 0
x + 4 = 0
x - 1 = 0 Propiedad del factor nulo.
o
x = -4
x = 1 Despejar x.
Como el factor 3 no contiene una variable, no tenemos que igualarlo a cero. Sólo los
números 4 y 1 satisfacen la ecuación 3x2 2x 12 7x.
✺
Al resolver una ecuación cuyo término principal tiene un coeficiente negativo, por lo general lo convertimos en positivo multiplicando ambos lados de la ecuación por 1. Esto facilita el procedimiento de factorización, como se muestra en el siguiente ejemplo.
-x2 + 5x + 6 = 0
- 11 -x2 + 5x + 62 = - 1 # 0
x2 - 5x - 6 = 0
Ahora podemos resolver la ecuación x2 5x 6 0 factorizando.
1x - 621x + 12 = 0
x - 6 = 0
x = 6
o
x + 1 = 0
x = -1
Los números 6 y –1 satisfacen la ecuación original: x2 5x 6 0.
Todas las ecuaciones de los ejemplos 1 a 4 fueron ecuaciones cuadráticas que se
reescribieron en la forma ax2 bx c 0 y se resolvieron por factorización. Otros
Sección 5.8 • Ecuaciones polinomiales • 343
métodos que pueden usarse para resolver ecuaciones cuadráticas son: completar el
cuadrado y la fórmula cuadrática; analizaremos estos métodos en el capítulo 8.
La propiedad del factor nulo puede extenderse a tres o más factores, como se
muestra en el ejemplo 5.
EJEMPLO 5
Solución
Resuelva la ecuación 2p3 7p2 3p 0.
Primero factorizamos, y después igualamos a 0 cada factor que tenga p.
p = 0
2p3 + 7p2 + 3p = 0
Factorizar p.
p12p2 + 7p + 32 = 0
Factorizar el trinomio.
p12p + 121p + 32 = 0
o 2p + 1 = 0 o p + 3 = 0 Propiedad del factor nulo.
p = - 3 Despejar p.
2p = - 1
1
p = 2
✺
Los números 0, - 12 , y 3 son soluciones de la ecuación.
Observe que la ecuación del ejemplo 5 no es una ecuación cuadrática, ya que el exponente del término principal es 3, no 2. Ésta es una ecuación cúbica o de tercer grado.
EJEMPLO 6
En la función f(x) 2x2 13x 16, determine todos los valores de a para los que
f(a) 8.
Solución
Primero reescribimos la función como f(a) 2a2 – 13a – 16. Como f(a) 8, escribimos
2a2 - 13a - 16 = 8
Determine f(a) igual a 8.
2a2 - 13a - 24 = 0
Haga que un lado sea igual a 0.
12a + 321a - 82 = 0
Factorice el trinomio.
2a + 3 = 0
a - 8 = 0 Propiedad del factor nulo.
o
2a = - 3
a = 8 Despeje a.
3
a = 2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69
3
3
Si revisa estas respuestas, encontrará que f a - b = 8 y f182 = 8.
2
✺
Usar la factorización para resolver problemas de aplicación
Ahora veamos algunos problemas de aplicación para cuya solución se utiliza la factorización.
EJEMPLO 7
Solución
Triángulo Una gran tienda de campaña tendrá una entrada en forma triangular (vea
la figura 5.17).
Determine la base y la altura de la entrada, si la altura medirá 3 pies menos que
el doble de la base, y el área total de la entrada es de 27 pies cuadrados.
Entienda el problema
Haga un dibujo de la entrada e incluya la información in-
dicada (figura 5.18).
Área = 27 pies2
2x 3
FIGURA 5.17
FIGURA 5.18
x
344 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Traduzca
Para resolver el problema, usaremos la fórmula para calcular el área de
un triángulo.
1
1base21altura2
2
1
27 = 1x212x - 32
2
A =
Realice los cálculos
Sustituir la base, la altura
y el área con expresiones.
Multiplicar ambos lados
1
1x212x - 32 d
por 2 para eliminar frac2
ciones.
54 = x12x - 32
54 = 2x2 - 3x
Hacer que un lado sea igual a 0.
o 2x2 - 3x - 54 = 0
12x + 921x - 62 = 0
Factorizar el trinomio.
2x + 9 = 0
x - 6 = 0
Propiedad del factor nulo.
o
Despejar x.
2x = - 9
x = 6
9
x = 2
21272 = 2 c
Como las dimensiones de una figura geométrica no pueden ser negativas, podemos eliminar x = - 92 como una respuesta para nuestro problema. Por lo tanto,
Responda
base x 6 pies
altura 2x 3 2(6) 3 9 pies.
EJEMPLO 8
✺
Altura Un cañón se coloca en la cima de un risco cuya altura es de 288 pies sobre el
nivel de un lago que se encuentra junto a su base. Tras apuntar el cañón hacia arriba,
se dispara una bala con una velocidad de 112 pies por segundo. La altura, h, en pies, en
que se encuentra la bala de cañón respecto del nivel del lago en cualquier instante, t,
se determina mediante la función
h1t2 = - 16t2 + 112t + 288
Determine el tiempo que le toma a la bala de cañón golpear el agua después de haber
sido disparada.
Solución
Necesitamos hacer un dibujo para analizar mejor el problema (vea la figura 5.19). Cuando la bala golpea el agua, su altura respecto del lago
es de 0 pies.
Entienda el problema
Valor máximo de h(t)
288 pies
h(t) 16t2 112t 288
h(t) 0
FIGURA 5.19
Para resolver el problema necesitamos determinar el tiempo, t, cuando
h(t) 0. Para ello establecemos que la función indicada sea igual a cero y despejamos t.
Traduzca
-16t2 + 112t + 288
- 161t2 - 7t - 182
-161t + 221t - 92
t + 2 = 0
t o
t = -2
= 0
= 0
= 0
9 = 0
t = 9
Determinar h(t) 0.
Factorizar 16.
Factorizar el trinomio.
Propiedad del factor nulo.
Despejar t.
Sección 5.8 • Ecuaciones polinomiales • 345
Responda Como t es el número de segundos, 2 no es una respuesta posible. La
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 105
usa
ten
po
Hi
bala de cañón golpeará el agua 9 segundos después de haber sido disparada.
✺
Teorema de Pitágoras
Cateto
El siguiente problema de aplicación utiliza el teorema de Pitágoras. Los dos lados más
Ángulo cortos de un triángulo rectángulo (vea la figura 5.20) se denominan catetos, y el lado
recto
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. El teorema de Pitágoras expresa la rela-
Cateto
ción entre los catetos y la hipotenusa del triángulo.
FIGURA 5.20
Teorema de Pitágoras
El cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma
de los cuadrados de las longitudes de sus dos catetos; esto es
cateto2 cateto2 hipotenusa2
Si a y b representan las longitudes de los catetos, y c representa la longitud de la hipotenusa, entonces
c
b
a 2 + b2 = c 2
a
EJEMPLO 9
Alambre para un árbol Para ayudarle a crecer recto, Javier Andrade coloca un cable
tirante en un árbol. La localización de los puntos de donde se amarra el cable (una estaca sobre el suelo y la parte superior e inferior del árbol), se indica en la figura 5.21.
Determine la longitud del cable. Observe que la longitud del cable es la hipotenusa del
triángulo imaginario.
Solución
Para resolver este problema utilizamos el teorema de Pitágoras. De acuerdo con la figura, vemos que los catetos son x y x 1, y que la hipotenusa es x 2.
Entienda el problema
Traduzca
cateto2 cateto2 hipotenusa2
x + 1x + 12 = 1x + 22
2
x2
x1
x
FIGURA 5.21
2
Teorema de Pitágoras.
Sustituir expresiones
para los catetos y la
hipotenusa.
Realice los cálculos x 2 + x 2 + 2x + 1 = x 2 + 4x + 4
Elevar al cuadrado los
términos.
2x2 + 2x + 1 = x2 + 4x + 4 Simplificar.
Hacer que un lado sea igual a 0.
x2 - 2x - 3 = 0
1x - 321x + 12 = 0
Factorizar.
x + 1 = 0 Resolver.
x - 3 = 0 o
x = 3
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 99
2
x = -1
Responda Con base en la figura, sabemos que x no puede tener un valor negativo. Por lo tanto, la única respuesta posible es 3. La estaca está colocada a tres pies de
distancia respecto del árbol. En la parte superior, el cable se sujeta al árbol a x 1 o
4 pies de altura respecto del piso. La longitud del cable es igual a x 2 o 5 pies. ✺
Cómo utilizar su calculadora graficadora
Tanto los problemas de aplicación comentados en esta sección como el conjunto de ejercicios que sigue, se han
escrito de modo que las ecuaciones cuadráticas sean factorizables. En la vida real, las ecuaciones cuadráticas por
lo general no se pueden factorizar (en el conjunto de los números enteros), y necesitan resolverse de otras formas.
Analizaremos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas que no son factorizables en las secciones 8.1 y 8.2.
(continúa en la página siguiente)
346 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Puede determinar soluciones aproximadas a ecuaciones cuadráticas que no son factorizables por medio de
su calculadora graficadora. Considere el siguiente ejemplo de la vida real.
EJEMPLO Antenas de celulares En Estados Unidos, el número de antenas
repetidoras de señales de telefonía celular ha estado creciendo; entre 1996 y 2002, el
número de estas antenas, N, en miles, puede calcularse por medio de la función
N1t2 = - 1.45t2 + 21.88t + 25.44
en donde t es el número de años desde 1996. Determine el año en que el número de
antenas repetidoras llegó a 80,000.
Solución Entienda el problema y traduzca Para responder esta pregunta
necesitamos que la función N(t) sea igual a 80, y despejar t.
-1.45t2 + 21.88t + 25.44 = 80 Determinar N(t) 80.
No podemos resolver esta ecuación mediante factorización, pero sí utilizando
una calculadora graficadora. Para hacerlo, denominamos a un lado de la ecuación y1
y al otro y2.
y1 = - 1.45x2 + 21.88x + 25.44
y2 = 80
Realice los cálculos
Ahora grafique las dos funciones en su calculadora grafica-
dora y utilice las teclas TRACE y ZOOM u otras teclas (por ejemplo la tecla
CALC con la opción 5, intersect, en la TI83 Plus) para obtener su respuesta. La
[0, 6, 1, 0, 120, 30]
FIGURA 5.22
figura 5.22 ilustra la pantalla de una TI83 Plus, mostrando que la coordenada x de
la intersección de las ecuaciones está aproximadamente en x 3.1520.
Por consiguiente, en 1999 (3 años a partir de 1996) había casi 80,000 antenas repetidoras.
Responda
4 Utilizar la factorización para determinar las intersecciones del eje x
de una función cuadrática
Considere la gráfica de la figura 5.23.
En las intersecciones del eje x, el valor de la función, o y, es 0. Así, si deseamos determinar las intersecciones del eje x de una gráfica, podemos establecer la
función 0 y despejar x.
EJEMPLO 10
Determine las intersecciones del eje x de la gráfica que se obtiene al graficar y x2 2x 8.
Solución
En las intersecciones del eje x, y tiene un valor de 0. Por lo tanto, para determinar las
intersecciones del eje x escribimos
y
x2 - 2x - 8 = 0
y f (x)
1x - 421x + 22 = 0
x - 4 = 0
x
FIGURA 5.23
x = 4
o
x + 2 = 0
x = -2
Las soluciones de x2 2x 8 0, son 4 y 2. Las intersecciones del eje x de la gráfica que se obtiene de y x2 2x 8 son (2, 0) y (4, 0), como se ilustra en la figura 5.24.
Sección 5.8 • Ecuaciones polinomiales • 347
y
y x2 2x 8
3
2
intersección del eje x en –2
intersección del eje x en 4
1
6 5 4 3
1
1
1
2
3
5
6
x
2
3
4
5
FIGURA 5.24
8
9
✺
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 75
Si conocemos las intersecciones del eje x de una gráfica, podemos determinar la
ecuación de la gráfica. Lea el siguiente recuadro para aprender cómo hacerlo con ayuda de su calculadora graficadora.
Cómo utilizar su calculadora graficadora
En el ejemplo 10 vimos que la gráfica que se obtuvo de y x2 2x 8 tenía las intersecciones del eje x en
2 y 4. Si conocemos las intersecciones del eje x de una gráfica, podemos determinar ecuaciones cuyas gráficas sean
esas intersecciones. Por ejemplo,
Intersecciones
del eje x en
Factores
Ecuación
1x + 221x - 42
-2 y 4
y = 1x + 221x - 42
o y = x2 - 2x - 8
Tenga en cuenta que otras ecuaciones pueden tener gráficas con las mismas intersecciones del eje x. Por ejemplo,
la gráfica de y 2(x2 2x 8) o y 2x2 4x 16 da por resultado gráficas que también tienen intersecciones
del eje x en 4 y 2. De hecho, la gráfica de y a(x2 2x 8), para cualquier número real distinto de cero a, tendrá intercepciones del eje x en 4 y 2.
Considere la gráfica de la figura 5.25.
[10, 10, 1, 10, 20, 2]
FIGURA 5.25
FIGURA 5.26
Si suponemos que las intersecciones son valores enteros, las intersecciones del eje x están en 2 y 8. Por consiguiente,
Intersecciones
del eje x en
2y8
Factores
1x - 221x - 82
Ecuación
y = 1x - 221x - 82
o y = x2 - 10x + 16
Si cambiamos la ventana, vemos que la intersección del eje y de la gráfica está en 16 (vea la figura 5.26). Por lo tanto, y x2 10x 16 podría ser la ecuación que dio lugar a la gráfica. Si, por ejemplo, la intersección del eje y de
la gráfica estuviese en 32, entonces la ecuación de la gráfica podría ser y 2(x2 10x 16) o y 2x2 20x 32.
(continúa en la página siguiente)
348 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Ejercicios
Escriba una ecuación para cada gráfica que se ilustra. Suponga que todas las intersecciones del eje x tienen valores enteros y
que se muestra la ventana estándar.
1.
2.
3.
Conjunto de ejercicios 5.8
Ejercicios conceptuales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
¿Cómo se determina el grado de una función polinomial?
¿Qué es una ecuación cuadrática?
¿Cuál es la forma general de una ecuación cuadrática?
a) Explique la propiedad del factor nulo.
b) Resuelva la ecuación (3x 7)(2x 3) 0 por medio
de la propiedad del factor nulo.
a) Explique por qué la ecuación (x 3)(x 4) 2 no
puede resolverse escribiendo x 3 2 o x 4 2
b) Resuelva la ecuación (x 3)(x 4) 2.
Cuando se factoriza una constante de una ecuación, ¿por
qué no es necesario determinar que la constante sea igual
a 0 al resolver la ecuación?
a) Explique cómo resolver una ecuación polinomial mediante factorización.
b) Resuelva la ecuación x 20 12x2 mediante el
procedimiento explicado en la parte a).
a) ¿Cuál es el primer paso para resolver la ecuación x2
2x 35 0?
b) Resuelva la ecuación de la parte a).
9. a) ¿Cómo se denominan los lados más cortos de un triángulo rectángulo?
b) ¿Cómo se denomina al lado más largo de un triángulo
rectángulo?
10. Exprese el teorema de Pitágoras y explique su significado.
11. Si la gráfica de y x2 10x 16 tiene intersecciones del
eje x en 8 y 2, ¿cuál es la solución de la ecuación
x2 10x 16 0? Explique.
12. Si las soluciones para la ecuación 2x2 15x 18 0 son
3
2 y 6, ¿cuáles son las intersecciones del eje x de la gráfica
que se obtiene de y 2x2 15x 18? Explique.
13. ¿Es posible que una función cuadrática no tenga intersecciones del eje x? Explique.
14. ¿Es posible que una función cuadrática tenga sólo una intersección del eje x? Explique.
15. ¿Es posible que una función cuadrática tenga dos intersecciones del eje x? Explique.
16. ¿Es posible que una función cuadrática tenga tres intersecciones del eje x? Explique.
Problemas de aplicación
Resuelva.
17. x1x - 42 = 0
18. x1x + 22 = 0
19. 3x1x - 12 = 0
20. 5x1x + 62 = 0
21. 21x + 121x - 72 = 0
22. 31a - 521a + 22 = 0
23. x1x - 921x + 42 = 0
24. 2a1a + 321a + 82 = 0
26. 13x - 2217x - 12 = 0
29. x 2 + 5x = 0
2
25. 12x + 3214x + 52 = 0
28. 3y 2 = - 24y
27. 4x 2 = 12x
30. 2a 2 - 8a = 0
31. -x 2 + 6x = 0
32. - 3x - 9x = 0
33. 3x = 15x
34. 9a 2 = - 18a
35. x 2 - 6x + 5 = 0
36. a 2 + 6a + 5 = 0
37. x 2 + x - 12 = 0
2
2
38. b + b - 72 = 0
39. x + 8x + 16 = 0
40. c2 - 10c = - 25
41. x1x - 122 = - 20
42. b1b - 22 = 48
43. 2x 2 = - 14x - 12
44. 3a 2 = - a + 2
45. 3x2 - 6x - 72 = 0
46. 4a 2 + 36a + 80 = 0
3
2
47. x - 3x = 18x
2
3
2
48. x = - 19x + 42x
49. 12a 2 = 16a + 3
Sección 5.8 • Ecuaciones polinomiales • 349
50. 3b3 - 8b2 - 3b = 0
51. 4c3 + 4c2 - 48c = 0
2
52. 18z3 = 15z2 + 12z
53. x - 36 = 0
54. 6y = 16y
55. 4x 2 = 9
56. 49c2 = 25
57. 25x 3 - 16x = 0
58. 3x 4 - 48x 2 = 0
2
2
61. 1x + 422 - 16 = 0
2
60. - x + 16x = 63
59. - x = 2x - 99
62. 1x - 42 - 4 = 0
63. 12x + 52 - 9 = 0
2
2
66. 41a 2 - 32 = 6a + 41a + 32
65. 6a 2 - 12 - 4a = 19a - 32
68. 1a - 1213a + 22 = 4a
64. 1x + 122 - 3x = 7
67. 2b3 + 16b2 = - 30b
69. Para f(x) 3x2 7x 9, determine todos los valores de a para los que f(a) 7.
70. Para f(x) 4x2 11x, determine todos los valores de a para los que f(a) 6.
71. Para g(x) 10x2 31x 19, determine todos los valores de a para los que g(a) 4.
72. Para g(x) 6x2 x 3, determine todos los valores de a para los que g(a) 2.
73. Para r(x) x2 x, determine todos los valores de a para los que r(a) 30.
74. Para r(x) 10x2 19x 2, determine todos los valores de a para los que r(a) 4.
Utilice factorización para determinar las intersecciones del eje x de las gráficas de cada ecuación (vea el ejemplo 10).
75. y = x2 + 2x - 24
77. y = x 2 + 16x + 64
79. y = 6x 3 - 23x 2 + 20x
76. y = x 2 - 13x + 42
78. y = 15x 2 - 14x - 8
80. y = 12x 3 - 39x 2 + 30x
En los ejercicios 81 a 86, utilice el teorema de Pitágoras para determinar x.
81.
82.
x4
83.
x8
x3
x7
x
x 11
x 10
x2
x3
84.
85.
x1
x8
86.
x3
x 10
x7
x9
x9
x 12
x
Resolución de problemas
En los ejercicios 87 a 90, determine las intersecciones del eje x de cada gráfica; luego relacione la ecuación con la gráfica apropiada,
marcada con los incisos a) a d).
87. y = x 2 - 5x + 6
a)
88. y = x 2 - x - 6
b)
89. y = x 2 + 5x + 6
c)
90. y = x 2 + x - 6
d)
350 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Escriba una ecuación cuya gráfica tenga intersecciones del eje x
en los valores dados.
91. 2 y 5
103. Hortaliza Una hortaliza rectangular mide 20 pies por
30 pies. Además para cubrir el terreno con mantillo, se
quiere hacer un pasillo de ancho uniforme alrededor. Si
se tiene suficiente mantillo para cubrir un área de 936
pies cuadrados, ¿cuál debe ser el ancho del pasillo?
92. 3 y - 7
104. Jardín cuadrado Daniel Dávila tiene un jardín cuadrado,
a cuyo alrededor agrega un pasillo de 2 pies de ancho. Si
el área total del pasillo y el jardín es de 196 pies cuadrados,
determine las dimensiones del jardín.
93. 4 y - 1
94.
3
2
y6
5
95. - 6 y 2
96. - 0.4 y 2.6
105. Esculturas de agua En un edificio de Chicago, una fuen-
97. Mesa rectangular para café Una mesa para café es rectangular; si el largo de su área superficial mide 1 pie más
que el doble de su ancho, y el área superficial de la tabla
superior mide 10 pies cuadrados, determine su largo y
ancho.
98. Cobertizo rectangular El piso de un cobertizo tiene un
área de 54 pies cuadrados. Determine el largo y ancho, si
el largo mide tres pies menos que el doble de su ancho.
te de agua dispara pequeños chorros sobre un pasillo. Los
chorros de agua alcanzan una altura máxima, y luego caen
en un estanque al otro lado del pasillo. La altura respecto
del disparador, h, de un chorro de agua t segundos después de que sale puede determinarse mediante la función
h(t) 16t2 32t. Determine el tiempo que le toma al
chorro de agua regresar a la altura del disparador; esto es,
cuando h(t) 0.
99. Vela triangular La vela de un bote es triangular y su altura mide seis pies más que su base. Si el área de la vela es
80 pies cuadrados, determine su base y su altura.
100. Tienda triangular Una tienda de campaña triangular tiene una altura que mide 4 pies menos que su base. Si el área
de un lado es 70 pies cuadrados, determine la base y la altura de la tienda.
101. Marco de una pintura El marco de una pintura mide 28
cm por 23 cm. El área de la pintura es de 414 centímetros
cuadrados. Determine el ancho del marco.
x
x
23 cm
28 cm
102. Rectángulo Un jardín está rodeado por un pasillo de ancho uniforme. El jardín y el pasillo juntos cubren un área
de 320 pies cuadrados. Si el jardín mide 12 pies por 16 pies,
determine el ancho del pasillo.
12 pies
16 pies
106. Proyectil Un modelo de cohete será lanzado desde una
colina que se encuentra a 80 pies sobre el nivel del mar. El
lugar del lanzamiento está cercano al océano (nivel del
mar) y el cohete caerá en él. La distancia del cohete, s, por
encima del nivel del mar en cualquier instante, t, se determina mediante la ecuación s(t) 16t2 64t 80.
Determine el tiempo que le toma al cohete para caer en el
océano.
Sección 5.8 • Ecuaciones polinomiales • 351
107. Paseo en bicicleta Dos ciclistas, Andrés y Antonio, inician su paseo en el mismo punto. Andrés conduce hacia el
oeste y Antonio hacia el norte. En algún momento, se encuentran separados entre sí por una distancia de 13 millas.
Si Andrés recorrió 7 millas más que Antonio, determine la
distancia que recorrió cada uno de ellos.
113. Fabricación de una caja Para fabricar una caja de dos
pulgadas de altura se cortan piezas de 2 por 2 pulgadas de
un cartón cuadrado, y se doblan hacia arriba los lados.
2 pulgadas
108. Marco para pintura Augusto está haciendo un marco para
una pintura rectangular que le regalará a su mamá. La diagonal del marco es de 10 pulgadas. Determine las dimensiones del marco, si su longitud mide 2 pulgadas más que
su ancho.
109. Cables de una tienda de campaña Una tienda de campaña se estabiliza mediante cables. Un cable se sujeta al suelo a 12 pies de distancia de la tienda. La longitud del cable
utilizado mide 8 pies más que la altura a donde se sujeta
el otro extremo del cable. ¿Cuál es la longitud del cable?
x8
x
12
110. Bocinas En el punto donde se unen el techo y las paredes
en las esquinas de un cuarto rectangular se colocarán una
bocinas. Los cables irán pegados al techo y se conectarán
en el punto A, como se muestra en la figura. El ancho del
cuarto es de 12 pies, y la distancia entre una esquina y el
punto A es de 3 pies menos que el doble de la distancia
del punto A a la pared. Determine la longitud del cable
desde el punto A a una de las esquinas opuestas de la habitación (una de las líneas que se muestran en la figura).
2x 3
12
2 pulgadas
¿Cuál es el tamaño del cartón necesario para fabricar una
caja de 2 pulgadas de altura con un volumen de 162 pulgadas cúbicas?
114. Fabricación de una caja Una caja rectangular se formará cortando cuadrados de cada esquina de una pieza rectangular de hojalata y doblando hacia arriba los lados. La
caja tendrá 3 pulgadas de altura, el largo será el doble del
ancho, y el volumen será de 96 pulgadas cúbicas. Determine el largo y el ancho de la caja.
115. Cubo A un cubo sólido con dimensiones a3, se le quita un
sólido rectangular con dimensiones ab2.
a
b
b
a
a
a) Escriba una fórmula para determinar el volumen que
queda, V.
b) Factorice el lado derecho de la fórmula de la parte a).
x
A
c) Si el volumen es de 1620 pulgadas cúbicas y a es igual
a 12 pulgadas, determine b.
116. Hoja de una sierra circular Una sierra circular de acero tiene un agujero en su centro, como se muestra en la
figura.
111. Tienda de bicicletas Una tienda de bicicletas utiliza una
ecuación para calcular sus ingresos mensuales, R(x) 60x x2, y otra para determinar sus costos mensuales,
C(x) 7x 150, en donde x es el número de bicicletas
vendidas y x ≥ 10. Determine el número de bicicletas que
debe vender la tienda para alcanzar el punto de equilibrio
(no ganar ni perder); esto es, el punto en donde los ingresos son iguales a los costos.
112. Flores de seda Edith Rodríguez fabrica flores de seda y las
vende a diferentes tiendas. Edith tiene una ecuación para
calcular sus ingresos, R(x) 30x x2, y otra para determinar sus costos, C(x) 4x 25, en donde x es el número de
flores vendidas y x 5. Determine el número de flores que
debe vender Edith para alcanzar el punto de equilibrio.
R
r
a) Escriba una fórmula para calcular el área de la hoja.
b) Factorice el lado derecho de la fórmula de la parte a).
c) Determine A, si R 10 cm y r 3 cm.
352 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
117. Considere la gráfica siguiente de una función cuadrática.
a) ¿Cuántas intersecciones del eje x tiene la gráfica?
b) ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x2 4 0?
Explique su respuesta.
y
4
3
2
1
7 6
4 3
1
1
2
3
4
119. Considere la función cuadrática
P1x2 = ax 2 + bx + c, a 7 0.
x
1
a) Escriba una función cuadrática que tenga las intersecciones del eje x indicadas.
b) Escriba una ecuación cuadrática con una variable cuya
solución sea 2 y 5.
c) ¿Cuántas funciones cuadráticas diferentes pueden tener intersecciones del eje x de 2 y 5? Explique.
d) ¿Cuántas ecuaciones cuadráticas diferentes con una variable pueden tener soluciones de 2 y 5? Explique.
118. La gráfica de la ecuación y x2 4 se ilustra a continuación.
y
b) ¿Cuántas posibles soluciones reales puede tener la
ecuación ax2 bx c 0, a 0? Explique su respuesta a la parte b) utilizando los bosquejos de la parte a).
120. Distancia para detenerse La distancia, d en pies, para detener un automóvil común que viaja sobre pavimento seco puede calcularse mediante la función d(s) 0.034s2 0.56s 17.11, en donde s es la velocidad del automóvil antes de frenar y 60 s 80 millas por hora. Si un automóvil requiere de 190 pies para detenerse después de aplicar
los frenos, ¿qué tan rápido va el automóvil?
121. Distancia para detenerse La distancia, d en pies, para detener un automóvil común que viaja sobre pavimento mojado puede calcularse mediante la función d(s) 0.031s2
59.82s 2180.22, en donde s es la velocidad del automóvil antes de frenar y 60 s 80 millas por hora. Si un
automóvil requiere de 545 pies para detenerse después de
aplicar los frenos, ¿qué tan rápido va el automóvil?
8
6
4
2
4
a) La gráfica de este tipo de función puede no tener intersecciones del eje x, una intersección del eje x o dos intersecciones del eje x. Bosqueje cada una de estas
posibilidades.
2
2
x
4
2
Reto
Resuelva.
122. x 4 - 5x 2 + 4 = 0
124. x 6 - 9x 3 + 8 = 0
123. x 4 - 13x 2 = - 36
Actividad en equipo
En cursos más avanzados de matemáticas podría necesitar despejar y (se lee “y prima”) en una ecuación. Cuando esto ocurra, trate
a y como una variable diferente de y. De forma individual despeje y de cada ecuación. En equipo, compare sus respuestas y obtenga
las respuestas correctas.
125. xy¿ + yy¿ = 1
126. xy - xy¿ = 3y¿ + 2
127. 2xyy¿ - xy = x - 3y¿
Ejercicios de repaso acumulativo
128. Simplifique 14x -2 y 32 .
-2
[4.1] 130. Resuelva el sistema de ecuaciones
[2.5] 129. Resuelva la desigualdad y grafique la solución en
la recta numérica.
-1 6
413x - 22
3
… 5
3x + 4y = 2
2x = - 5y - 1
[5.2] 131. Si f(x) x2 3x y g(x) x2 2, determine
(f g)(4).
[5.7] 132. Factorice (x 1)2 (x 1) 6.
Resumen del capítulo • 353
RESUMEN
DEL CAPÍTULO
Términos y frases importantes
5.1
Suma de polinomios
Polinomio cúbico
Grado de un término
Orden descendente
Coeficiente principal
Término principal
Polinomio lineal
Polinomio
Función polinomial
Polinomio cuadrático
Resta de polinomios
Términos
5.2
Diferencia de dos
cuadrados
Forma desarrollada de la
propiedad distributiva
HECHOS
Factores de un trinomio
Método PIES
Multiplicación de polinomios
Cuadrado de un binomio
5.3
División de polinomios
Teorema del residuo
División sintética
5.5
5.8
Factorización por
agrupación
Factorización por ensayo
y error
Factorizar trinomios
Factorización mediante
sustitución
Polinomio primo
Ecuación cúbica
Grado de una ecuación
polinomial
Ecuaciones en forma
cuadrática
Hipotenusa de un
triángulo rectángulo
Cateto de un triángulo
rectángulo
Ecuación polinomial
Teorema de Pitágoras
Ecuación cuadrática
Solución para una
ecuación polinomial
Forma general de una
ecuación cuadrática
Intersecciones del eje x
de una gráfica
Propiedad del factor nulo
5.6
5.4
Factorizar un monomio
de un polinomio
Factorización por agrupación
Máximo factor común
Diferencia de dos cubos
Diferencia de dos
cuadrados
Trinomio cuadrado
perfecto
Fórmulas especiales para
factorizar
Suma de dos cubos
IMPORTANTES
Método PIES para multiplicar binomios
S
P
1a + b21c + d2
I
E
P — Multiplique los Primeros términos.
I — Multiplique los términos Internos.
E— Multiplique los términos Externos.
S— Multiplique los Segundos términos.
ac + ad + bc + bd
Fórmulas especiales para el producto
1a + b22 = a2 + 2ab + b2
v Cuadrado de un binomio.
1a - b22 = a2 - 2ab + b2
1a + b21a - b2 = a2 - b2 Producto de la suma y diferencia de los mismos dos términos (diferencia de dos cuadrados
o producto de binomios conjugados).
Teorema del residuo
Si el polinomio P(x) se divide entre x a, el residuo es igual a P(a).
Fórmulas especiales de factorización
a2
a2
a2
a3
a3
+
+
-
b2 = 1a + b21a - b2
2ab + b2 = 1a + b22
r
2ab + b2 = 1a - b22
b3 = 1a + b21a2 - ab + b22
b3 = 1a - b21a2 + ab + b22
Diferencia de dos cuadrados.
Trinomio cuadrado perfecto.
Suma de dos cubos.
Diferencia de dos cubos.
Nota: La suma de dos cuadrados, a b2, no puede factorizarse en el conjunto de los números reales.
2
(continúa en la página siguiente)
354 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Forma general de una ecuación cuadrática:
ax2 bx c 0, a
0.
Si a b 0, entonces a 0 o b 0, o ambos a y b 0.
Propiedad del factor nulo:
Teorema de Pitágoras:
cateto2 cateto2 hipotenusa2 o a2 b2 c2.
c
b
a
Ejercicios de repaso del capítulo
[5.1] Determine si cada expresión es un polinomio. Si la expresión es un polinomio, a) proporcione el nombre especial del polinomio, si lo tiene, b) escriba el polinomio en orden descendente de la variable x, y c) indique el grado del polinomio.
2. 5x + 4x 3 - 9
4. -3 - 10x 2y + 6xy 3 + 2x 4
1. 3x 2 + 2
3. 8x - x -1 + 6
Realice cada operación indicada.
5.
7.
9.
11.
1x2 - 5x + 62 + 12x + 32
12a - 3b - 22 - 1 - a + 5b - 82
13x2y + 6xy - 5y22 - 14y2 + 3xy2
6.
8.
10.
12.
Sume x2 3x 5 con 4x2 2 10x 9.
13. Determine P(2), si P(x) 2x2 3x 13.
17x2 + 2x - 52 - 12x2 - 9x - 12
14x3 - 4x 2 - 2x2 + 12x 3 + 4x2 - 7x + 102
1- 8ab + 2b2 - 3a2 + 1-b2 + 5ab + a2
Reste 3a2b 5ab de 7a2b ab.
14. Determine P(3), si P(x) x3 3x2 4x 9.
En los ejercicios 15 y 16, determine una expresión polinomial para calcular el perímetro de cada figura.
15.
16.
x2 x 7
x 1
x2 7
2
13x 8
9x 5
x x 19
2
x2 2x 3
En los ejercicios 17 y 18 de la página 355, utilizamos la siguiente gráfica, en donde se muestran los ingresos y egresos de la Administración de
Seguridad Social de Estados Unidos entre 1997 y 2025.
Ingresos y egresos de seguridad social
Dólares (miles de millones)
$2000
$1600
Ingresos
Egresos
$1200
$800
$400
0
97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 10 15 20 25
Año
Fuente: Administración de Seguridad Social de Estados Unidos.
Ejercicios de repaso del capítulo • 355
17. Ingresos en seguridad social La función R(t) 0.78t2 20.28t 385.0, en donde t representa los años desde 1997
y 0 t 28, sirve para calcular los ingresos aproximados
que genera la industria de la seguridad social en Estados Unidos, R(t), en miles de millones de dólares.
a) Mediante la función proporcionada, estime los ingresos
en 2010.
b) Compare su respuesta en la parte a) con la gráfica en
la página 354. ¿La gráfica apoya su respuesta?
18. Egresos en seguridad social La función G(t) 1.74t2 7.32t 383.91, en donde t representa años desde 1997 y
0 t 28, sirve para calcular los egresos de la industria
de seguridad social, G(t), en miles de millones de dólares.
a) Mediante la función proporcionada, estime los egresos
en 2010.
b) Compare su respuesta de la parte a) con la gráfica en
la página 354. ¿La gráfica apoya su respuesta?
[5.2] Multiplique.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
31.
33.
35.
2x13x2 - 7x + 52
13x - 5212x + 12
1x + 8y22
12xy - 1215x + 4y2
12a + 9b22
17x + 5y217x - 5y2
15xy + 6215xy - 62
31x + 3y2 + 242
13x2 + 4x - 6212x - 32
20.
22.
24.
26.
28.
30.
32.
34.
36.
- 3xy21x3 + xy4 - 6y52
15a + 92110a - 32
1a - 11b22
12pq - r213pq + 7r2
13x - 2y22
12a - 5b2212a + 5b22
19a2 - 2b2219a2 + 2b22
312p - q2 - 542
14x3 + 6x - 521x + 32
En los ejercicios 37 y 38, determine una expresión para calcular el área total de cada figura.
37.
x
38.
3
x
x
y
z
x
4
5
2
Para cada par de funciones, determine a) (f g)(x) y b) (f g)(3).
39. f1x2 = x + 2, g1x2 = x - 3
41. f1x2 = x 2 + x - 3, g1x2 = x - 2
40. f1x2 = 2x - 4, g1x2 = x 2 - 3
42. f1x2 = x 2 - 2, g1x2 = x 2 + 2
[5.3] Divida.
6x2 + 9x + 12
3
21y3 + 6y + 2
45.
3y
4x3y2 + 8x2y 3 + 12xy4
7a2 - 16a + 20
4
45pq - 25q2 - 10q
46.
5q
43.
44.
47.
48. 18x2 + 14x - 152 , 12x + 52
8xy3
4
49. 12x - 3x 3 + 4x 2 + 17x + 72 , 12x + 12
51. 1x 2 + x - 182 , 1x - 32
50. 14a 4 - 7a 2 - 5a + 42 , 12a - 12
52. 14x 3 + 12x 2 + x - 102 , 12x + 32
Utilice la división sintética para obtener el cociente de cada expresión.
53. 13x 3 - 2x 2 + 102 , 1x - 32
55. 1x 5 - 202 , 1x - 22
54. 12y 5 - 10y 3 + y - 12 , 1y + 12
56. 12x 3 + x 2 + 5x - 32 , ax -
1
b
2
Determine el residuo de cada división mediante el teorema del residuo. Si el divisor es un factor del dividendo, indíquelo.
57. 1x 2 - 4x + 112 , 1x - 32
59. 13x 3 - 62 , a x -
1
b
3
58. 12x 3 - 6x 2 + 3x2 , 1x + 42
60. 12x 4 - 6x 2 - 82 , 1x + 22
356 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
[5.4] En cada expresión, factorice el máximo factor común.
62. 15x 4 + 6x 3 - 12x 4y 3
64. 12xy 4z3 + 6x 2y 3z2 - 15x 3y 2z3
61. 4x 2 + 8x + 24
63. 10a 3b3 - 12a 2b6
Factorice por agrupación.
65. 5x 2 - xy + 20xy - 4y 2
67. 12x - 3212x + 12 - 12x - 321x - 82
66. 12a2 - 8ab + 15ab - 10b2
68. 7x13x - 52 + 313x - 522
En los ejercicios 69 y 70, A representa el área de la figura. Determine una expresión en forma factorizada, para calcular la diferencia
entre las áreas de las figuras geométricas.
70.
69.
A 13x(5x 2)
A 7(5x 2)
A 14x2 18x
A 7x 9
En los ejercicios 71 y 72, V representa el volumen de la figura. Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de las figuras geométricas.
71.
72.
V 9x(17x 3)
V 7(17x 3)
V 20x2 25x
V 8x 10
[5.5] Factorice cada trinomio.
73.
75.
77.
79.
81.
83.
85.
87.
x2 + 8x + 12
x2 - 4x - 21
-x2 + 12x + 45
2x3 + 13x2 + 6x
4a3 - 9a2 + 5a
x2 - 15xy - 54y2
x4 + 8x2 + 15
1x + 522 + 101x + 52 + 24
74.
76.
78.
80.
82.
84.
86.
88.
x2 + 2x - 15
x2 - 10x + 16
- x2 + 13x - 12
8x3 + 10x2 - 25x
12y4 + 61y3 + 5y2
6p2 - 19pq + 10q2
x4 + 2x2 - 63
1x - 222 - 1x - 22 - 20
En los ejercicios 89 y 90, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada en cada figura.
90.
89.
4
2
x2
3
4
x9
x8
[5.6] Utilice una fórmula especial de factorización para factorizar las siguientes expresiones.
91. x 2 - 49
92. x 2 - 100
93. x 4 - 16
94. x 4 - 81
2
95. 4a + 4a + 1
97. 1x + 22 - 9
2
96. 4y 2 - 12y + 9
98. 13y - 122 - 25
x4
Ejercicios de repaso del capítulo • 357
99. p4 + 16p2 + 64
2
100. b4 - 14b2 + 49
101. x + 8x + 16 - y
2
103. 9x + 6xy + y
2
102. a 2 + 6ab + 9b2 - 4c2
2
104. 36b2 - 60bc + 25c2
106. y 3 + 64
3
105. x - 27
107. 125x 3 - 1
108. 8a 3 - 27b3
109. 1x + 12 - 8
110. 1x - 223 - 27
3
3
111. y - 64z
112. 1a + 323 + 1
3
En los ejercicios 113 y 114, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada en cada figura.
113.
114.
b
b
b
3
3
b
b
x
b
a
b
b
x
a
115. Volumen Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de estos dos cubos.
116. Volumen Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el volumen de la región sombreada de
esta figura.
2x
y
2x
a
y
2x
c
c
y
4a
a
[5.4–5.7] Factorice completamente.
117.
119.
121.
123.
125.
127.
129.
131.
133.
x2y2 - 2xy2 - 15y2
3x3y4 + 18x2y 4 - 6x2y4 - 36xy4
2x 3y + 16y
6x3 - 21x2 - 12x
3x3 + 24y3
412x + 322 - 1212x + 32 + 5
1x - 12x2 - 1x - 12x - 21x - 12
6p2q2 - 5pq - 6
4y2 - 1x2 + 4x + 42
135. 6x 4y 4 + 9x 3y 4 - 27x 2y 4
3x3 - 18x2 + 24x
3y5 - 27y
5x4y + 20x3y + 20x2y
x2 + 10x + 25 - y2
x21x + 42 + 3x1x + 42 - 41x + 42
4x4 + 4x2 - 3
9ax - 3bx + 12ay - 4by
9x4 - 12x2 + 4
612a + 322 - 712a + 32 - 3
8 6
y
136. x 3 27
118.
120.
122.
124.
126.
128.
130.
132.
134.
Área En los ejercicios 137 a 142, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada
de cada figura.
137.
138.
6
x6
2
x5
3 2
y8
y7
358 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
139.
140.
b
b b
a
b
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
a
a
b
b
141.
a
b
a
142.
b
a
a
a 3b
a
a
b
b
b
[5.8] Resuelva..
143. 1x - 3214x + 12 = 0
146. 15x 2 + 20x = 0
2
144. 12x + 5213x + 72 = 0
145. 2x 2 = 4x
147. x 2 + 7x + 12 = 0
3
148. a 2 + a - 30 = 0
2
149. x = 8x - 7
150. c - 6c + 8c = 0
151. 12d 2 = 13d + 4
152. 20p2 - 6 = 7p
153. 5x2 = 20
154. x1x + 32 = 21x + 42 - 2
Utilice factorización para determinar las intersecciones del eje x de la gráfica de cada ecuación.
155. y = 2x 2 - 2x - 60
156. y = 20x 2 - 49x + 30
Escriba una ecuación cuya gráfica tenga las intersecciones del eje x en los valores dados.
157. - 3 y 6
158.
-
3
5
y 6
2
En los ejercicios 159 a 163, responda la pregunta.
159. Alfombra El área de una alfombra rectangular es de 99
pies cuadrados. Determine el largo y ancho de la alfombra,
si el largo es 2 pies mayor que el ancho.
160. Anuncio triangular La base de un anuncio triangular mide 3 pies más que el doble de la altura. Determine la base
y la altura, si el área del triángulo es 22 pies cuadrados.
161. Cuadrado Un cuadrado tiene un lado de 4 pulgadas mayor que el lado de un segundo cuadrado. Si el área del cuadrado más grande es de 49 pulgadas cuadradas, determine
la longitud de cada lado de ambos cuadrados.
162. Velocidad Un proyectil es lanzado hacia arriba, desde la
parte más alta de un edificio de 144 pies de altura, con una
velocidad de 128 pies por segundo. La distancia del proyectil respecto del suelo en cualquier instante t, en segundos,
está dada mediante la fórmula s(t) 16t2 128t 144.
Determine el tiempo que tarda el proyectil en estrellarse
contra el suelo.
163. Postes telefónicos Se sujetan dos cables tensados a un poste telefónico para ayudar a estabilizarlo. El cable se sujeta a x pies de la base del poste, sobre el suelo. La altura
del poste es x 31 y el largo del cable es x 32. Determine x.
x 31
x 32
x
Examen de práctica del capítulo • 359
Examen de práctica del capítulo
1. a) Proporcione el nombre específico del siguiente polinomio.
c) Indique el grado del polinomio.
d) ¿Cuál es el coeficiente principal del polinomio?
- 4x2 + 2x - 6x4
b) Escriba el polinomio en potencias descendentes de la
variable x.
Realice cada operación.
2. 17x 2y - 5y 2 + 2x2 - 13x 2y + 9y 2 - 6y2
3. 2x3y 21- 4x 5y + 10x 3y 2 - 6x2
6. 112x6 - 15x 2y + 212 , 3x 2
7. 12x 2 - 7x + 102 , 12x + 32
4. 12a - 3b215a + b2
8. Utilice la división sintética para obtener el cociente.
13x4 - 12x3 - 60x + 42 , 1x - 52
5. 12x 2 + 3xy - 6y 2212x + y2
9. Utilice el teorema del residuo para determinar el residuo
cuando 2x3 6x2 5x 4 se divide entre x 3.
Factorice completamente.
10. 12x 3y + 10x 2y 4 - 8xy 3
11. x 3 - 2x 2 - 3x
12. 2a 2 + 4ab + 3ab + 6b2
13. 2b4 + 5b2 - 18
15. 1x + 522 + 21x + 52 - 3
14. 41x - 322 + 201x - 32
3 6
16. 27p q - 8q
6
17. Si f(x) 3x 4 y g(x) x 5, determine a) (f g)(x) y b) (f g)(2).
En los ejercicios 18 y 19, determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada.
18.
19.
y
y
y
y
x7
2x
4
y
y
y
3
y
x8
2x
Resuelva.
20. 7x 2 + 25x - 12 = 0
21. x 3 + 3x 2 - 4x = 0
22. Utilice factorización para determinar las intersecciones
del eje x de la gráfica de la ecuación y 8x2 10x 3.
23. Determine una ecuación cuya gráfica tenga intersecciones del eje x en 2 y 6.
24. Área El área de un triángulo es de 28 metros cuadrados.
Si la base del triángulo es 2 metros mayor que 3 veces la
altura, determine la base y la altura del triángulo.
25. Béisbol Una pelota de béisbol es lanzada hacia arriba,
desde la parte más alta de un edificio de 448 pies de altura, con una velocidad inicial de 48 pies por segundo. La
distancia, s, de la pelota de béisbol respecto del suelo en
cualquier instante t, en segundos, está dada por la ecuación s(t) 16t2 48t 448. Determine el tiempo que
tarda la pelota de béisbol en golpear el suelo.
360 • Capítulo 5 • Polinomios y funciones polinomiales
Examen de repaso acumulativo
Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indican después de cada respuesta.
1. Determine A ´ B para A {2, 4, 6, 8} y B {3, 5, 6, 8}.
10. Promedio de calificaciones Las primeras cuatro calificaciones que obtuvo Luis Ruiz en sus exámenes son 68,
72, 90 y 86. ¿Qué rango de calificaciones de su quinto
examen producirá un promedio mayor o igual que 70 y
menor que 80?
11. ¿(4, 1) es una solución de la ecuación 3x 2y 9?
12. Escriba la ecuación 2 6x 3y en la forma general.
13. Determine la pendiente de la línea que pasa por los puntos (8, 4) y (1, 2).
2. Ilustre {x|x 5} en la recta de los números reales.
3. Divida `
3
` , 1 - 22.
8
4. Evalúe 1 - 323 - 22 - 1 - 222 + 17 - 722.
5. Simplifique a
3
2r4 s5
b .
r2
14. Si f(x) 2x3 4x2 x 16, determine f(4).
15. Grafique la desigualdad 2x y 6.
16. Resuelva el sistema de ecuaciones.
6. Resuelva 4(2x 2) 3(x 7) 4.
7. Resuelva k 2(d e) para e.
1
1
x + y = 4
5
2
2
8
x - y =
3
3
8. Terreno Un arquitecto desea cercar dos áreas iguales, como se ilustra en la figura. Si ambas áreas son cuadrados y
el largo total de la cerca utilizada es de 91 metros, determine las dimensiones de cada cuadrado.
17. Resuelva el sistema de ecuaciones.
x - 2y = 2
2x + 3y = 11
- y + 4z = 7
18. Evalúe el determinante.
9. Copias Cecilia Sánchez tiene un manuscrito y necesita
obtener 6 copias del mismo antes de enviárselo a un editor en Argentina. La primera copia cuesta 15 centavos por
página y cada copia adicional cuesta 5 centavos por página. Si el pago total es de $248, ¿cuántas páginas tiene el
manuscrito?
`
7
-2
19. Divida (2x3 9x 15)
20. Factorice 64x3 27y3.
3
`
1
(x 6).
Respuestas al examen de repaso acumulativo
1. A ´ B = 52, 3, 4, 5, 6, 86 2.
6. 5; [Sec. 2.1, Obj. 3] 7. e =
3. –5
3
16
4. -35 5. 8r6s15
k - 2d
; [Sec. 2.2, Obj. 2] 8. 13 metros por 13 metros; [Sec. 2.3, Obj. 2]
2
9. 620 páginas; [Sec. 2.3, Obj. 2] 10. 34 … x 6 84; [Sec. 2.5, Obj. 3] 11. No; [Sec. 3.1,Obj. 2]
2
12. 6x - 3y = 2; [Sec. 3.3, Obj. 2] 13. - ; [Sec. 3.4, Obj. 2] 14. -212; [Sec. 3.6, Obj. 1] 15.
9
[Sec. 3.7, Obj. 1] 16. 110 , 42; [Sec. 4.1, Obj. 3] 17. 14, 1, 22; [Sec. 4.2, Obj. 1]
393
; [Sec. 5.3, Obj. 2]
18. 13; [Sec. 4.5, Obj. 1] 19. 2x2 + 12x + 63 +
x - 6
20. 14x - 3y2116x 2 + 12xy + 9y22; [Sec. 5.6, Obj. 3]
y
2
–4 –2
–2
–4
–6
2
4
x
Capítulo 6
Expresiones racionales
y ecuaciones
6.1 Dominios de funciones
racionales y multiplicación y
división de expresiones
racionales
6.2 Suma y resta de expresiones
racionales
6.3 Fracciones complejas
6.4 Resolución de ecuaciones
racionales
6.5 Ecuaciones racionales:
aplicaciones y resolución de
problemas
6.6 Variación
Resumen del capítulo
Ejercicios de repaso del
capítulo
Examen de práctica del
capítulo
Examen de repaso
acumulativo
E
n ocasiones un problema parece más difícil de lo que es en realidad, a causa del contexto en
que se presenta. Cuando esto le suceda, intente escribir un problema similar usando un contexto que le sea más conocido. Por ejemplo, en la página 413 se pide determinar qué tan lejos está una estación espacial respecto de las oficinas generales de la NASA, por medio de una ecuación
basada en el tiempo que le toma a dos transbordadores, que viajan a velocidades diferentes, llegar
a la estación. Aunque los números específicos serán diferentes, el problema es el mismo que si se
le pidiera determinar la distancia que hay entre su colegio y su casa con base en el tiempo relativo
que necesitarían usted y sus padres para llegar a la escuela, si condujeran hacia ella por separado,
a diferentes velocidades.
361
362 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
Avance de
la lección
E
n este capítulo se explicará cómo sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones
racionales, es decir, expresiones que contienen fracciones. También se hablará de
cómo resolver ecuaciones con expresiones racionales. Las ecuaciones con expresiones
racionales también se conocen como ecuaciones racionales.
En la sección 6.1 se presentan las expresiones racionales, y se analizan los dominios de las expresiones y las funciones racionales. En los cursos más avanzados de
matemáticas se analizan las funciones racionales y su graficación con más detalle.
Para comprender a cabalidad las secciones 6.1 y 6.2, es necesario utilizar las técnicas de factorización que se presentaron en el capítulo 5.
En el capítulo 2 resolvimos algunas ecuaciones con fracciones. En la sección 6.4
presentaremos y resolveremos muchos tipos de ecuaciones con expresiones racionales.
En las secciones 6.4 y 6.5 se incluyen problemas de aplicación con ecuaciones que incluyen expresiones racionales.
Conocer el concepto de variación es importante en muchos cursos de ciencias y, por
supuesto, lo mismo ocurre en las matemáticas. Por ello, en la sección 6.6 se analizarán diversos tipos de variaciones, incluyendo la directa, la inversa, la conjunta y la combinada.
6.1 DOMINIOS DE FUNCIONES RACIONALES Y MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
DE EXPRESIONES RACIONALES
1
1
Determinar el dominio de funciones racionales.
2
Reducir expresiones racionales.
3
Multiplicar expresiones racionales.
4
Dividir expresiones racionales.
Determinar el dominio de funciones racionales
Para entender las expresiones racionales, es preciso comprender las técnicas de factorización que se analizaron en el capítulo 5. Una expresión racional es una expresión de
la forma p/q, donde p y q son polinomios y q 0.
Ejemplos de expresiones racionales
2
,
x
x + 3
,
x
x2 + 4x
,
x - 3
a
,
2
a - 4
t2 - 5t + 7
t3 + t2 - 3t
Observe que el denominador de una expresión racional no puede ser igual a 0,
x + 3
ya que la división entre 0 no está definida. En la expresión
, x no puede ser igual
x
x2 + 4x
a 0, ya que el denominador tendría un valor 0. En
x no puede ser igual a 3, ya
x - 3
que el denominador tendría un valor 0. ¿Qué valores de a no pueden utilizarse en la
a
expresión 2
. Si respondió 2 y 2, contestó correctamente.
a - 4
Al escribir una expresión racional con una variable en el denominador, siempre
suponemos que el valor o valores de la variable que hacen el denominador igual a
5
cero quedan excluidos. Por ejemplo, si escribimos
, suponemos x 3, aunque
x 3
esto no se indique de manera específica.
En la sección 5.1 estudiamos las funciones polinomiales; a continuación analizaremos las funciones racionales. Una función racional es aquella con la forma f(x) p/q
o y p/q, donde p y q son polinomios y q 0.
Sección 6.1 • Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones… • 363
Ejemplos de funciones racionales
f1x2 =
5
x
y =
x2 + 9
x + 3
T1a2 =
a + 1
a2 - 4
h1x2 =
7x - 3
2x + 1
El dominio de una función racional será el conjunto de valores que pueden utilizarse
x + 2
, el dopara reemplazar la variable. Por ejemplo, en la función racional f1x2 =
x - 3
minio será el conjunto de todos los números reales, excepto el 3, lo que se escribe
{x|x 3}. Si x fuera 3, el denominador sería 0, y la división entre 0 no está definida.
EJEMPLO 1
f
Para las funciones dadas f(x) y g(x), determine el dominio de a b 1x2.
g
a) f1x2 = x 2, g1x2 = x 2 - 4
b) f1x2 = x - 2, g1x2 = x 2 + 3x - 10
c) f1x2 = x, g1x2 = x 2 + 6
Solución
a) Como f(x) y g(x) son funciones polinomiales, el dominio de cada una es el conjunto de todos los números reales. Por lo tanto, el dominio del cociente de las funciones (f/g)(x) será el conjunto de todos los números reales para los que el
denominador del cociente sea diferente de 0. Con base en lo aprendido en la sección 3.6 sabemos que
f1x2
f
a b1x2 =
.
g
g1x2
Por lo tanto,
f
x2
a b1x2 = 2
g
x - 4
=
x2
1x + 221x - 22
Sustituir expresiones para
f(x) y g(x).
Factorizar el denominador.
Con base en esta forma factorizada, vemos que x no puede ser 2 ni 2. Así, el dominio está formado por todos los números reales excepto 2 y –2, y puede expresarse como {x|x 2 y x 2}.
b)
f1x2
f
a b1x2 =
g
g1x2
=
x - 2
x2 + 3x - 10
Sustituir expresiones para
f(x) y g(x).
=
x - 2
1x - 221x + 52
Factorizar el denominador.
Observe que x 2 en el numerador se cancelaría con x 2 en el denominador. Sin embargo, cuando determinamos el dominio del cociente de funciones, lo hacemos antes
de simplificar la expresión. Como el denominador no puede ser 0, x no puede tener valores de 2 ni de 5. El dominio es {x|x 2 y x 5}.
c)
f1x2
f
a b1x2 =
g
g1x2
=
x
x + 6
2
364 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21
Como ningún valor de x puede resultar en un denominador 0, el dominio está formado por todos los números reales y puede escribirse como {x|x es un número
real}.
✺
Cómo utilizar su calculadora graficadora
Si usted tiene una calculadora graficadora, sería recomendable que practicara en ella la graficación de algunas funciones racionales. Esto le dará una idea de la gran variedad de gráficas que pueden producir las funciones
racionales.
x2
Si graficara en su calculadora la expresión y = 2
del ejemplo 1a), la pantalla podría verse como la
x - 4
de la figura 6.1.
FIGURA 6.1
FIGURA 6.2
El dominio de esta función está formado por todos los números reales, excepto 2 y 2.
Observe lo que parecen ser líneas verticales en x 2 y x 2, los valores de x en donde la función no está
definida. Esta calculadora está en un modo llamado modo de conexión, lo cual significa que conectará todos los
puntos que grafique, pasando del punto con la coordenada x más pequeña al siguiente mayor. Justo a la izquierda
de 2, el valor de y es un número positivo grande, y justo a la derecha de 2, el valor de y es un número negativo
grande. La recta vertical es el intento de la calculadora para conectar estos dos puntos de x y y. Una situación
similar ocurre en x 2.
En algunas ocasiones es preferible que la calculadora esté en modo de puntos, de tal manera que muestre desconectados los puntos que se han calculado. Lea el manual que acompaña a su calculadora para aprender cómo
cambiar de modo de conexión a modo de puntos y viceversa. En la figura 6.2 se muestra la misma gráfica de la
figura 6.1, pero esta vez en una calculadora en modo de puntos.
2
Reducir expresiones racionales
Al resolver problemas que incluyen expresiones racionales, debemos asegurarnos de
escribir la respuesta en los términos mínimos. Una expresión racional está simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes, salvo el 1. La
fracción 69 no está simplificada, ya que 6 y 9 tienen como factor común el número 3.
Cuando se factoriza el número 3, la fracción simplificada es 23 .
1
2
6
3 #2
= # =
9
3 3
3
1
ab - b2
La expresión racional
no está simplificada, ya que el numerador y el denomi2b
nador tienen un factor, b. Para simplificar este expresión, factorice b en cada término
del numerador; luego, divida.
b 1a - b2
ab - b2
a - b
=
=
2b
2b
2
Sección 6.1 • Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones… • 365
Así,
ab - b2
a - b
se convierte en
cuando se simplifica.
2b
2
Para simplificar expresiones racionales
1. Factorice tanto como sea posible el numerador y el denominador.
2. Divida el denominador y el numerador entre los factores comunes.
EJEMPLO 2
Solución
Simplifique.
a)
x2 + 4x + 3
x + 3
b)
3x3 - 3x2
x3 - x
a) Factorice el numerador; luego divídalo entre el factor común.
1x + 32 1x + 12
x2 + 4x + 3
=
= x + 1
x + 3
x + 3
La expresión racional se simplifica a x 1.
b) Factorice el numerador y el denominador. Luego divida entre los factores comunes.
3x21x - 12
3x3 - 3x2
=
x3 - x
x1x2 - 12
3 x2 1x - 12
=
x 1x + 12 1x - 12
3x
=
x + 1
x
Factorizar x2 1.
3x
.
✺
x + 1
Cuando los términos de un numerador sólo difieren en el signo respecto de los
términos de un denominador, podemos factorizar 1 del numerador o bien del denominador. Cuando se factoriza –1 en un polinomio, los signos de todos los término del
polinomio cambian. Por ejemplo,
La expresión racional se simplifica a
- 2x + 3 = -112x - 32 = -12x - 32
6 - 5x = -11- 6 + 5x2 = - 15x - 62
-3x2 + 5x - 6 = -113x2 - 5x + 62 = - 13x2 - 5x + 62
EJEMPLO 3
Solución
Simplifique
27x3 - 8
.
2 - 3x
13x23 - 1223
27x3 - 8
=
2 - 3x
2 - 3x
=
=
=
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41
Escriba el numerador como una diferencia de dos cubos.
13x - 2219x2 + 6x + 42
2 - 3x
Factorice; recuerde que a3 b3 (a b)(a2 ab b2).
13x - 22 19x2 + 6x + 42 Factorice 1 del denominador y
-1 13x - 22
divida entre los factores comunes.
9x2 + 6x + 4
- 1
= - 19x2 + 6x + 42
o
- 9x2 - 6x - 4
✺
366 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
CÓMO EVITAR
ERRORES COMUNES
INCORRECTO
INCORRECTO
x
2
2
x + 6
x
x + 8
4
1
1
Recuerde que sólo se puede dividir entre factores comunes. Solamente cuando las expresiones están multiplicadas pueden factorizarse. Por lo tanto, ninguna de las expresiones
anteriores puede simplificarse.
3
CORRECTO
INCORRECTO
1x + 22 1x - 22
x2 - 4
=
x - 2
x - 2
= x + 2
x2 - 4
x - 2
x
2
1
1
Multiplicar expresiones racionales
Ahora que sabemos cómo simplificar una expresión racional, podemos analizar la multiplicación de expresiones racionales.
Para multiplicar expresiones racionales
Para multiplicar expresiones racionales, utilice la siguiente regla:
a#c
a#c
= # , b Z 0, d Z 0
b d
b d
Para multiplicar expresiones racionales, siga estos pasos:
1.
2.
3.
4.
Factorice tanto como sea posible todos los numeradores y los denominadores.
Divida entre los factores comunes.
Multiplique usando la regla anterior.
Cuando sea posible, simplifique la respuesta. (Este paso no es necesario si se realiza
correctamente el paso 2).
Si dividió entre todos los factores comunes en el paso 2, no podrá reducir la respuesta en el paso 4. Sin embargo, si olvidó un factor común en el paso 2, puede factorizarlo en el paso 4 para obtener una respuesta más simplificada.
EJEMPLO 4
Solución
Multiplique.
a)
a)
x - 5#
x2 - 2x
2
6x
x - 7x + 10
x - 5#
x2 - 2x
x - 5
=
2
6x
6x
x - 7x + 10
=
b)
1
6
#
b)
2x - 5 # x2 - 8x + 16
x - 4
5 - 2x
x 1x - 22
1x - 22 1x - 52
2x - 5 # x2 - 8x + 16
2x - 5 # 1x - 421x - 42
=
x - 4
5 - 2x
x - 4
5 - 2x
2x - 5 # 1x - 42 1x - 42
=
x - 4
-1 12x - 52
x - 4
-1
= - 1x - 42 o
Factorice; divida entre
los factores comunes.
Factorice.
Factorice 1 del
denominador; divida
entre los factores
comunes.
=
-x + 4 o 4 - x
✺
Sección 6.1 • Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones… • 367
EJEMPLO 5
Multiplique
x2 - y2
# x + 2y .
x + y 2x2 - xy - y2
x2 - y2
x + 2y
divida entre
# 2 x + 2y 2 = 1x + y2 1x - y2 #
x + y 2x - xy - y
x + y
12x + y2 1x - y2 los factores
Factorice:
Solución
comunes.
x + 2y
=
2x + y
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 55
EJEMPLO 6
Solución
Multiplique
✺
ab - ac + bd - cd # b2 + bc + bd + cd
.
ab + ac + bd + cd b2 + bd - bc - cd
Factorice los numeradores y denominadores mediante agrupación. Luego divida
entre los factores comunes.
ab - ac + bd - cd # b2 + bc + bd + cd
ab + ac + bd + cd b2 + bd - bc - cd
=
4
a1b - c2 + d1b - c2 b1b + c2 + d1b + c2
#
a1b + c2 + d1b + c2 b1b + d2 - c1b + d2
Propiedad distributiva.
=
Factorice completamente; divida
entre los factores comunes.
1b - c2 1a + d2
1b + c2 1a + d2
# 1b +
c2 1b + d2
= 1
1b + d2 1b - c2
✺
Dividir expresiones racionales
A continuación analizaremos la división de expresiones racionales.
Para dividir expresiones racionales
Para dividir expresiones racionales, utilice la siguiente regla:
a
c
a d
a#d
,
= # = # ,
b
d
b c
b c
b Z 0, c Z 0, d Z 0
Para dividir expresiones racionales, invertimos el divisor (la segunda fracción, o fracción inferior) y procedemos como cuando multiplicamos expresiones racionales.
EJEMPLO 7
Divida
12x4
3x5
.
,
25y
5y3
5
4
12x4
3x5
12 x 4 # 25 y
,
=
3
25y
5y
5 y23 3 x5
Solución
y
=
Invierta el divisor;
divida entre los
factores comunes.
x
4#5
20
=
2
yx
xy2
✺
En el ejemplo 7 todos los numeradores y denominadores fueron monomios.
Cuando los numeradores o denominadores son binomios o trinomios, los factorizamos, si es posible, para dividir entre factores comunes. Este procedimiento se ilustra en
el ejemplo 8.
EJEMPLO 8
Divida. a)
x2 - 25
x - 5
,
x + 4
x + 4
b)
12a2 - 22a + 8
3a2 + 2a - 8
,
3a
2a2 + 4a
368 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
Solución
x2 - 25
x - 5
x2 - 25 # x + 4
,
=
x + 4
x + 4
x + 4 x - 5
a)
1x + 52 1x - 52
x + 4
= x + 5
=
b)
+ 4
x - 5
Factorice; divida entre los factores
comunes.
=
12a2 - 22a + 8 # 2a2 + 4a
3a
3a2 + 2a - 8
Invierta el divisor.
=
216a2 - 11a + 42
# 2a1a + 22
3a
13a - 421a + 22
Factorice.
=
Solución
#x
12a2 - 22a + 8
3a2 + 2a - 8
,
3a
2a2 + 4a
=
EJEMPLO 9
Invierta el divisor.
Divida
2 13a - 42 12a - 12
# 2 a 1a + 22
3a
13a - 42 1a + 22
Factorice una vez más; divida entre los
factores comunes.
412a - 12
3
✺
x4 - y4
x2 + xy
, 2
.
x - y
x - 2xy + y2
x2 + xy
x4 - y4
, 2
x - y
x - 2xy + y2
=
x4 - y4 x2 - 2xy + y2
#
x - y
x2 + xy
Invierta el divisor.
1x2 + y221x2 - y22 1x - y21x - y2
#
x - y
x1x + y2
1x2 + y22 1x + y2 1x - y2 1x - y21x - y2
#
=
x - y
x 1x + y2
=
=
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69
SUGERENCIA
CONSEJO PARA
ESTUDIAR
Factorice.
Factorice una vez más; divida
entre los factores comunes.
1x2 + y221x - y22
x
✺
A lo largo de este capítulo necesitaremos factorizar polinomios. Es importante que usted
entienda las técnicas de factorización que se trataron en el capítulo 5. Si tiene dificultad al
factorizar, repase ahora ese tema.
Conjunto de ejercicios 6.1
Ejercicios conceptuales
2
1. a) ¿Qué es una expresión racional?
b) Proporcione su propio ejemplo de una expresión racional.
4. Explique por qué f1x2 =
1x
no es una expresión racional.
x + 1
3. a) ¿Qué es una función racional?
b) Proporcione su propio ejemplo de una función racional.
5. a) ¿Qué es el dominio de una función racional?
1x + 1
2. Explique por qué
b) ¿Cuál es el dominio de f1x2 =
no es una función
racional.
3
x 2 - 16
?
6. a) Explique cómo simplificar una expresión racional.
Sección 6.1 • Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones… • 369
8. a) Explique cómo multiplicar expresiones racionales.
b) Mediante el procedimiento indicado en la parte a)),
multiplique
b) Mediante el procedimiento que estableció en la parte a)),
simplifique
6x2 + 23x + 20
4x2 - 25
6a2 + a - 1 # 3a2 + 4a + 1
3a2 + 2a - 1 6a2 + 5a + 1
7. a) Explique cómo simplificar una expresión racional en
donde el numerador y el denominador sólo difieren en
el signo.
9. a) Explique cómo dividir expresiones racionales.
b) Mediante el procedimiento indicado en la parte a)), divida
1r + 222
r + 2
,
r2 + 9r + 18
r2 + 5r + 6
b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a)),
simplifique
x
10. Considere f1x2 = . ¿Será f(x) 1 para todos los valox
res de x? Explique.
3x2 - 2x - 8
- 3x2 + 2x + 8
Problemas de aplicación
Determine los valores que deben excluirse en las siguientes expresiones.
11.
4x
3x - 12
12.
x + 2
x2 - 64
13.
4
2x - 15x + 25
14.
15.
x - 3
x2 + 4
16.
-2
16 - r2
17.
x2 + 36
x2 - 36
18.
2
2
1x - 522
x2 - 36
x2 + 36
Determine el dominio de cada función.
p + 1
p - 2
20. f1z2 =
3
-8z + 4
21. y =
x - 3
x2 + 4x - 21
23. f1a2 =
3a2 - 6a + 4
2a2 + 3a - 2
24. f1x2 =
4 - 2x
x3 + 8x
26. h1x2 =
x3 - 64x
x2 + 100
27. m1a2 =
a2 + 49
a2 - 49
19. f1p2 =
22. y =
25. g1x2 =
x2 - x + 2
x2 + 1
28. k1b2 =
b2 - 49
b2 + 49
5
x2 + x - 6
Simplifique cada expresión racional.
29.
x - xy
x
30.
x2 - 2x
x
31.
32.
x2 + 3x
x2 - 2x
33.
x3 - x
x2 - 1
34.
35.
38.
41.
44.
47.
5r - 4
4 - 5r
4x2 - 16x4 + 6x5y
8x3y2
8x3 - 125y3
2x - 5y
12x - 521x + 42 - 12x - 521x + 12
312x - 52
a 3 - b3
a 2 - b2
4x2 - 9
2x2 - x - 3
37.
39.
a2 - 3a - 10
a2 + 5a + 6
40.
x1x - 32 + x1x - 42
2x - 7
43.
2
45.
a + 3a - ab - 3b
a2 - ab + 5a - 5b
48.
x2 + x - 6
x3 + 27
4x2y + 12xy + 18x3y 3
8xy2
2
36.
42.
5x2 - 10xy
15x
46.
p - 2p - 24
6 - p
y2 - 10yz + 24z2
y2 - 5yz + 4z2
1x + 521x - 32 + 1x + 521x - 22
21x + 52
xy - yw + xz - zw
xy + yw + xz + zw
370 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
Multiplique o divida como se indica. Simplifique todas las respuestas.
49.
2x # y3
3y 6
9x3
3
,
4
16y2
3 - r#r - 6
53.
r - 3 6 - r
p2 + 7p + 10
# 1
55.
p + 5
p + 2
51.
57.
r2 + 10r + 21
, 1r2 - 5r - 242
r + 7
x2 + 12x + 35
x2 + 3x - 28
,
2
x - 1
x + 4x - 5
a 2 - b2
a - b
, 2
61.
9a + 9b
a + 2a + 1
59.
2
2
3x - x - 4 # 2x - 5x - 12
4x2 + 5x + 1 6x2 + x - 12
2
x + 2 # 1x - 22
65. 3
x - 8 x2 + 4
63.
4
67.
x - y
8
x2 + y4
4
2
x - y
,
#
62.
x2 + 4xy + 4y2
6x3 - x2 - x #
64.
2x2 + x - 1 x3
x2 - y2
,
66. 2
x - 2xy + y2
1x - y 2
2
68.
x4
2
x2 + 3x - 10 # x2 - 3x
4x
x2 - 5x + 6
2
x + 3x - 18
58. 1x - 32 ,
x2
x + 1
3x + 3
, 2
60. 2
x - 17x + 30
x + 7x - 18
2x2 + 8xy + 8y2 2x2 + 7xy + 6y2
56.
4
2
x + 2
2x + 4x
,
2
6x + 14x + 4
3x2 + x
3
2
2
1a - b2 a - b
#
71.
a3 - b3 1a - b22
4x + y 10x2 - xy - 2y2
#
73.
5x + 2y 8x2 - 2xy - y2
ac - ad + bc - bd # pc + pd - qc - qd
75.
ac + ad + bc + bd pc - pd + qc - qd
69.
77.
16x2 # 5x3
y4 4y2
80m4 # 14x12y5
52.
49x5y 7 25m5
7a + 7b
a 2 - b2
,
54.
3
a - b
50.
x3 - 4x2 + x - 4 # 2x3 + 2x2 + x + 1
x4 - x3 + x2 - x 2x3 - 8x2 + x - 4
70.
72.
74.
76.
78.
2 2
2
4x2 + 14xy + 12y2
x2 - 1
- 2x2 + x
1x + y22
1x - y22
x + y2
3
x4 - y4
1x2 - y22
3
a2 - 2a + 1
8a - 1
,
4a2 + 2a + 1
1a - 122
2
2
r + 6r + 9
r - 9
, 2
r3 - 27
r + 3r + 9
2x3 - 7x2 + 3x # x2 + 3x
x2 + 2x - 3 1x - 322
3r2 + 17rs + 10s2
6r2 + rs - 2s2
,
6r2 + 13rs - 5s2
6r2 - 5rs + s2
2
2
2p + 2pq - pq - q3
p3 + p + p2 q + q
, 3
3
2
2
2
p + p + pq + q
p + p + p2 + 1
,
Resolución de problemas
79. Construya una expresión racional que no esté definida
en x 2 y x 3. Explique cómo determinó su respuesta.
80. Construya una expresión racional que no esté definida
en x 4 y x 2. Explique cómo determinó su respuesta.
1
. Explique por
x
qué esta función nunca puede ser igual a 0.
81. Considere la función racional f1x2 =
2
. Explique
x + 3
por qué esta función nunca puede ser igual a 0.
82. Considere la función racional g1x2 =
x - 4
. ¿Para
x2 - 4
cuáles valores de x, si los hay, esta función a) es igual a 0?
b) no está definida? Explique.
x - 2
84. Considere la función f1x2 = 2
. ¿Para cuáles valox - 81
res de x, si los hay, esta función a) es igual a 0; b) no está
definida? Explique.
85. Proporcione una función que no esté definida en x 3 y
x 1, y que tenga un valor de 0 en x 2. Explique cómo
determinó su respuesta.
86. Proporcione una función que no esté definida en x 4
y x 2, y que tenga un valor de 0 en x 5. Explique cómo determinó su respuesta.
83. Considere la función racional f1x2 =
Sección 6.1 • Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones… • 371
Determine el polinomio que debe colocarse en el área sombreada para obtener un enunciado verdadero. Explique cómo determinó
su respuesta.
1
=
x - 3
x2 + 2x - 15
y2 - y - 20
y + 4
=
89.
........ y + 1
87.
.........
88.
.....
90.
.........
3x + 4
= x - 3
6p2 + p - 15
=
2p - 1
2p - 3
Determine el polinomio que debe colocarse en el área sombreada para obtener un enunciado verdadero. Explique cómo determinó
su respuesta.
x2 - x - 12 # ........
= 1
x2 + 2x - 3 x2 - 2x - 8
2x2 - 9x + 9
x2 - 9
x + 3
93.
,
=
2
......... 2x - 1
2x + 3x - 2
x2 - 4 # 2x2 + x - 6
x - 2
=
1x + 222 ........ 2x + 5
31r - 12
4r2 - r - 18
4r3 - 9r2
94.
=
, 2
........ 6r - 9r + 3
r2
91.
92.
95. Considere el siguiente rectángulo. Su área es 3a2 7ab 2b2, y su longitud es 2a 4b. Determine su ancho, w, en
términos de a y b, dividiendo su área entre su longitud.
96. Considere el siguiente rectángulo. Su área es a2 2ab b2, y su longitud es 3a 3b. Determine su ancho, w, en términos de a y b, dividiendo su área entre su longitud.
w
w
3a 3b
2a 4b
97. Considere el siguiente triángulo. Si su área es a2 2ab 3b2
y su base es a 3b, determine su altura, h. Utilice la fórmula área 1_2 (base)(altura).
98. Considere el siguiente trapecio. Si su área es a2 2ab b2
determine su altura, h. Utilice la fórmula área 1_2 h(a b).
b
h
h
a 3b
a
Realice cada operación indicada.
99. ¢
6x2 + x - 15 # 6x2 - 7x - 3
2x2 - 3x - 14
,
≤
2
2x - 9x + 7
3x2 + 2x - 5
2x2 - x - 3
5x21x - 12 - 3x1x - 12 - 21x - 12
10x 1x - 12 + 9x1x - 12 + 21x - 12
1x - p2n
1x - p22n
,
103.
-2
x
x -4
101.
2
# 2x +
1
x + 3
100. ¢
2
2
2
a 2 - b2
# 2a - 2 7ab + 3b ≤ , 2 ab - 3b 2
2
2a - 3ab + b
a + ab
a + 2ab + b
2
102.
x213x - y2 - 5x13x - y2 - 2413x - y2 x - 1
#
x213x - y2 - 9x13x - y2 + 813x - y2 x + 3
104.
x -3
x -5
r ,
1a - b2
1a - b2r + 2
106.
m2x - mx - 2
m2x - 4
Simplifique.
105.
x5y + 3x4y
3x3y + x4y
En los ejercicios 107 a 110,
a)
b)
c)
d)
Determine el dominio de la función.
Grafique la función en modo de conexión.
¿La función crece, decrece o permanece igual conforme x se aproxima a 2, acercándose a 2 por el lado izquierdo?
¿La función crece, decrece o permanece igual conforme x se aproxima a 2, acercándose a 2 por el lado derecho?
107. f1x2 =
1
x - 2
108. f1x2 =
x
x - 2
109. f1x2 =
x2
x - 2
110. f1x2 =
x - 2
x - 2
372 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
111. Con base en la función racional f1x2 =
1
.
x
1
. Indique qué le sucede a
x
la función conforme x se aproxima a 0, tanto por la
izquierda como por la derecha.
c) Trace la gráfica de f1x2 =
a) Determine el dominio de la función.
b) Complete la siguiente tabla.
x
- 10
-1
d) ¿Esta gráfica puede tener un valor de 0? Explique su
respuesta.
- 0.5 - 0.1 - 0.01 0.01 0.1 0.5 1 10
y
Actividad en equipo
x2 - 4
.
x - 2
a) Determinen en equipo su dominio.
b) De manera individual cada miembro del equipo complete la siguiente tabla para la función.
112. Analicen la función racional f1x2 =
x
-2
-1
0 1 1.9 1.99 2.01 2.1 3 4
c) Comparen sus respuestas a la parte b), y pónganse de
acuerdo acerca de cuáles son los valores correctos
de la tabla.
d) Tracen en equipo la gráfica de f1x2 =
x2 - 4
. ¿La
x - 2
función está definida cuando x 2?
5 6
e) ¿Esta gráfica puede tener algún valor de 0? Si es así,
¿para qué valor o valores de a es f(a) 0?
y
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.2] 113.
Despeje y de 3(x 2) 3y 6x.
[2.5] 114. Resuelva 4 +
[3.2] 116. Sea f(x) |6 3x| 2. Determine f(1.3).
4x
6 6 y proporcione la respuesta
3
[4.1] 117. Resuelva el sistema de ecuaciones.
3x + 4y = 2
2x + 5y = - 1
en notación de intervalo.
[2.6] 115. Resuelva `
2x - 4
` = 12.
5
[5.6] 118. Factorice 9x2 6xy y2 4.
6.2 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES
1
1
Sumar y restar expresiones con un denominador común.
2
Determinar el mínimo común denominador (MCD).
3
Sumar y restar expresiones sin denominadores comunes.
4
Analizar aplicaciones de expresiones racionales.
Sumar y restar expresiones con un denominador común
Al sumar (o restar) dos expresiones racionales con un común denominador, sumamos
(o restamos) los numeradores y conservamos el denominador común.
Para sumar o restar expresiones racionales
Para sumar o restar expresiones racionales, utilice las siguientes reglas.
Suma
Resta
a
b
a + b
+
=
, c Z 0
c
c
c
b
a - b
a
=
, c Z 0
c
c
c
(continúa en la página siguiente)
Sección 6.2 • Suma y resta de expresiones racionales • 373
Para sumar o restar expresiones racionales con un denominador común:
1. Sume o reste los numeradores, tal como indican las reglas de la página anterior.
2. Si es posible, simplifique las expresiones.
EJEMPLO 1
Solución
Sume.
a)
3
x - 4
+
x + 2
x + 2
b)
x2 + 3x - 2
4x + 12
+
1x + 521x - 32
1x + 521x - 32
a) Como los denominadores son iguales, sumamos los numeradores y conservamos el
denominador común.
3 + 1x - 42
3
x - 4
+
=
x + 2
x + 2
x + 2
x - 1
=
x + 2
b)
Sumar numeradores.
x2 + 3x - 2 + 14x + 122 Sumar
x2 + 3x - 2
4x + 12
+
=
1x + 521x - 32
1x + 521x - 32
1x + 521x - 32
numeradores.
=
x2 + 7x + 10
1x + 521x - 32
=
1x + 52 1x + 22
1x + 52 1x - 32
=
x + 2
x - 3
Reducir términos
semejantes.
Factorizar; dividir
entre los factores
comunes.
✺
Al restar expresiones racionales, asegúrese de restar todo el numerador de la fracción. Lea con atención el recuadro Cómo evitar errores comunes.
CÓMO EVITAR
ERRORES COMUNES
En ocasiones, los estudiantes cometen el siguiente error. Estudie la información que se presenta para evitarlo.
¿Cómo simplificaría este problema?
4x
2x + 1
x - 2
x - 2
CORRECTO
4x - 12x + 12
4x
2x + 1
=
x - 2
x - 2
x - 2
=
4x - 2x - 1
x - 2
=
2x - 1
x - 2
INCORRECTO
4x
2x + 1
4x - 2x + 1
=
x - 2
x - 2
x - 2
=
2x + 1
x - 2
El procedimiento del lado derecho es incorrecto, ya que hay que restar todo el numerador,
2x 1, de 4x, y no sólo 2x. Observe que debe cambiar el signo de cada término del numerador de la fracción restada (no sólo el signo del primer término). Además, tenga en cuenta
que, de acuerdo con la propiedad distributiva, (2x 1) 2x 1.
374 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
EJEMPLO 2
Reste
a
a2 - 4a - 6
.
a - 6
a - 6
a - 1a2 - 4a - 62
a
a2 - 4a - 6
=
a - 6
a - 6
a - 6
2
a - a + 4a + 6
=
a - 6
2
- a + 5a + 6
=
a - 6
- 1a2 - 5a - 62
=
a - 6
- 1a - 62 1a + 12
=
a - 6
Solución
.
Reducir términos
semejantes.
Factorizar 1.
Factorizar; dividir
entre los factores
comunes.
= - 1a + 12 o -a - 1
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13
2
Restar numeradores.
✺
Determinar el mínimo común denominador (MCD)
Para sumar o restar dos fracciones numéricas con denominadores distintos, primero
debemos obtener un denominador común. Para obtener el denominador común, muchas
veces es necesario escribir los valores numéricos como productos de números primos.
Un número primo es un número mayor que 1 que sólo tiene dos divisores, él mismo y 1.
Algunos números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17. A continuación se muestra cómo los
números 36 y 48 se escriben como un producto de números primos:
36 = 2 # 2 # 3 # 3 = 2 2 # 32
48 = 2 # 2 # 2 # 2 # 3 = 2 4 # 3
Para determinar el mínimo común denominador de una expresión racional, también
podría ser necesario escribir coeficientes numéricos como productos de números primos.
Para determinar el mínimo común denominador (MCD) de
expresiones racionales
1. Escriba como producto de números primos cada coeficiente no primo (distinto de 1)
de los monomios del denominador.
2. Factorice cada denominador completamente. Cualquier factor que aparezca más de
una vez debe expresarse como potencia. Por ejemplo, (x 5)(x 5) debe expresarse
como (x 5)2.
3. Liste todos los factores diferentes (distintos de 1) que aparezcan en cualquiera de los
denominadores. Cuando el mismo factor aparezca en más de un denominador, escríbalo
con la mayor potencia.
4. El mínimo común denominador es el producto de todos los factores encontrados en el
paso 3.
EJEMPLO 3
Determine el MCD de cada expresión.
a)
Solución
3
2
- 2
5x
x
b)
1
5
+
18x3y
27x2y3
c)
2y
3
x
x +5
d)
7
3z
+
x21x + 12
x1x + 123
a) Los factores que aparecen en el denominador son 5 y x. Liste cada factor con su
máxima potencia. El MCD es el producto de estos factores.
Mayor potencia de x
MCD = 5 # x2 = 5x2
Sección 6.2 • Suma y resta de expresiones racionales • 375
b) Los coeficientes numéricos escritos como productos de números primos son 18 2 32 y 27 33. Los factores variables que aparecen son x y y. Utilizamos las máximas
potencias de los factores para obtener el MCD.
MCD 2 33 x3y3 54x3y3
c) Los factores son x y x 5. Observe que la x del segundo denominador, x 5, no
es un factor del denominador, ya que la operación es una suma y no una multiplicación.
MCD x(x 5)
d) Los factores son x y x 1. La mayor potencia de x es 2, y la mayor potencia de
x 1 es 3.
MCD x2(x 1)3
✺
En ocasiones es necesario factorizar todos los denominadores para obtener el MCD.
Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 4
Determine el MCD de cada expresión.
a)
Solución
3
7x
+ 2
2x - 4x
x - 4x + 4
2
b)
5x
6x2
- 2
x - x - 12
x - 7x + 12
2
a) Factorice ambos denominadores.
3
7x
3
7x
+ 2
=
+
2x1x - 22
2x2 - 4x
x - 4x + 4
1x - 222
Los factores son 2, x y x 2. Multiplique los factores elevados a la mayor potencia a la
que aparezca cada uno.
MCD = 2 # x # 1x - 222 = 2x1x - 222
b) Factorice ambos denominadores.
5x
6x2
5x
6x2
=
1x + 321x - 42
1x - 321x - 42
x2 - x - 12
x2 - 7x + 12
MCD = 1x + 321x - 421x - 32
Observe que aunque x 4 es un factor común a cada denominador, la máxima potencia
de ese factor que aparece en cada denominador es 1.
✺
3
Sumar y restar expresiones sin denominadores comunes
El procedimiento que se usa para sumar o restar expresiones racionales sin denominadores comunes, se explica a continuación.
Para sumar o restar expresiones racionales
con denominadores distintos
1. Determine el MCD.
2. Reescriba cada fracción como una fracción equivalente con el MCD. Esto se hace multiplicando el numerador y el denominador de cada fracción por los factores necesarios
para obtener el MCD.
3. Conserve el denominador en forma factorizada, pero desarrolle el numerador.
4. Sume o reste los numeradores, conservando el MCD.
5. Cuando sea posible reducir la fracción mediante factorización del numerador, hágalo.
376 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
EJEMPLO 5
Solución
Sume.
a)
2
7
+
x
y
b)
5
3
+
2
14ab3
4a
a) Primero determinamos el MCD.
MCD = xy
A continuación escribimos cada fracción con el MCD. Para esto, multiplicamos tanto
el numerador como el denominador de cada fracción por los factores necesarios para
obtener el MCD.
y
En este problema, la primera fracción debe multiplicarse por , y la seguny
x
da por .
x
y
2
7
+
=
x
y
y
#2
x
+
2y
7# x
7x
=
+
y x
xy
xy
Al multiplicar el numerador y el denominador por el mismo factor, en realidad estamos multiplicando por 1, lo cual no cambia el valor de la fracción, pero sí su apariencia. Así, la nueva fracción es equivalente a la fracción original.
Ahora sumamos los numeradores y dejamos solo al MCD.
2y + 7x
2y
7x
+
=
xy
xy
xy
Por lo tanto,
o
7x + 2y
xy
7x + 2y
2
7
+
=
.
x
y
xy
b) El MCD de 4 y 14 es 28. El MCD de las dos fracciones es 28a2b3. Debemos escribir
cada fracción con el denominador 28a2b3. Para esto, multiplicamos la fracción de la
izquierda por
7b3
2a
.
y la fracción de la derecha por
2a
7b3
5
3
7b3 # 5
3 # 2a
+
=
+
2
3
3
2
4a
14ab
7b 4a
14ab3 2a
=
35b3
6a
+
2 3
28a b
28a2b3
Multiplicar para
obtener el MCD.
Sumar numeradores.
3
=
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 39
EJEMPLO 6
Solución
Reste
35b + 6a
28a2b3
✺
x + 2
x + 5
.
x - 4
x + 4
El MCD es (x 4)(x 4). Escribimos cada fracción con el denominador
(x 4)(x 4).
x + 2
x + 5
x + 4#x + 2
x + 5#x - 4
=
x - 4
x + 4
x + 4 x - 4
x + 4 x - 4
=
1x + 521x - 42
1x + 421x + 22
1x + 421x - 42
1x + 421x - 42
=
x2 + 6x + 8
x2 + x - 20
1x + 421x - 42
1x + 421x - 42
Multiplicar para
obtener el MCD.
Multiplicar los binomios
en el numerador.
Sección 6.2 • Suma y resta de expresiones racionales • 377
x2 + 6x + 8 - 1x2 + x - 202
1x + 421x - 42
x2 + 6x + 8 - x2 - x + 20
=
1x + 421x - 42
5x + 28
=
1x + 421x - 42
=
EJEMPLO 7
Solución
Sume
Restar numeradores.
Reducir términos
semejantes.
✺
2
x + 5
+
.
x - 3
3 - x
Observe que cada denominador es el opuesto, o inverso aditivo, del otro. (Los términos de los denominadores sólo difieren en el signo). Cuando surge esta situación especial, podemos multiplicar el numerador y el denominador de cualquiera de las
fracciones por 1 para obtener el MCD.
2
x+5
2
- 1 # 1x + 52
+
=
+
x - 3
3 - x
x -3
-1 13 - x2
2
-x - 5
+
x - 3
x - 3
2 - x - 5
=
x - 3
-x - 3
=
x - 3
Multiplicar para
obtener el MCD.
=
Sumar denominadores.
Reducir términos
semejantes.
Ya que no hay factores comunes en el numerador y en el denominador,
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43
EJEMPLO 8
Solución
-x - 3
no
x - 3
puede simplificarse más.
✺
2x - 3
3x + 4
.
Reste 2
2x - 5x - 12
5x2 - 18x - 8
Factorice el denominador de cada expresión.
3x + 4
2x - 3
3x + 4
2x - 3
=
12x + 321x - 42
15x + 221x - 42
2x2 - 5x - 12
5x2 - 18x - 8
El MCD es 12x + 321x - 4215x + 22.
2x - 3
3x + 4
12x + 321x - 42
15x + 221x - 42
=
=
=
=
=
5x + 2 #
3x + 4
2x - 3
# 2x + 3
5x + 2 12x + 321x - 42
15x + 221x - 42 2x + 3
15x2 + 26x + 8
4x2 - 9
15x + 2212x + 321x - 42
15x + 2212x + 321x - 42
Multiplicar para
obtener el MCD.
Multiplicar los
numeradores.
15x2 + 26x + 8 - 14x2 - 92
15x + 2212x + 321x - 42
Restar los
numeradores.
11x2 + 26x + 17
15x + 2212x + 321x - 42
Reducir términos
semejantes.
15x2 + 26x + 8 - 4x2 + 9
15x + 2212x + 321x - 42
✺
378 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
EJEMPLO 9
Realice las operaciones indicadas.
x - 1
x + 1
x - 6
+ 2
x - 2
x + 2
x - 4
Solución
Primero factorizamos x2 4. El MCD de las tres fracciones es (x 2)(x 2).
x - 1
x + 1
x - 6
+ 2
x - 2
x + 2
x - 4
x - 1
x + 1
x - 6
=
+
x - 2
x + 2
1x + 221x - 22
=
=
=
=
=
=
=
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 67
x + 2#x - 1
x + 1#x - 2
x- 6
+
x + 2 x - 2
x + 2 x - 2
1x + 221x - 22
x2 + x - 2
x2 - x - 2
x-6
+
1x + 221x - 22
1x + 221x - 22
1x + 221x - 22
Multiplicar para
obtener el MCD.
Multiplicar numeradores.
x2 + x - 2 - 1x2 - x - 22 + 1x - 62
1x + 221x - 22
Restar y sumar
numeradores.
3x - 6
1x + 221x - 22
Reducir términos
semejantes.
x2 + x - 2 - x2 + x + 2 + x - 6
1x + 221x - 22
3 1x - 22
1x + 22 1x - 22
3
x + 2
Factorizar; dividir entre
factores comunes.
✺
Cómo utilizar su calculadora graficadora
En el ejemplo 9, encontramos que
x + 1
x - 6
x - 1
3
+ 2
=
x - 2
x + 2
x + 2
x - 4
Suponga que definimos
x - 1
x + 1
x - 6
+ 2
x - 2
x + 2
x - 4
3
y2 =
x + 2
y1 =
Si utilizamos la característica TABLE de su calculadora graficadora, ¿cómo son los valores de y1 y y2? La función y1 no está definida en x 2 y x 2. La función y2 no está definida en x 2. Para todos los valores de x
distintos de 2 y 2, los valores de y1 y y2 deben ser iguales, a menos que hayamos cometido algún error. La siguiente es una tabla de valores de y1 y y2, para valores de x de 3 a 3.
(continúa en la página siguiente)
Sección 6.2 • Suma y resta de expresiones racionales • 379
Las gráficas de y1 y y2 se muestran en las figuras 6.3 y 6.4, respectivamente. Ilustramos las gráficas en este formato (en lugar de la pantalla de una calculadora graficadora) para mostrar más detalles; por ejemplo, el círculo vacío de la gráfica de la figura 6.3 no es visible en una graficadora. Observe que la gráfica de y1 tiene un círculo vacío
en 2, ya que y1 no está definida en x 2. Como y2 sí está definida en ese punto, la gráfica de la figura 6.4 no incluye este círculo abierto. Ninguna de las dos funciones está definida en x 2.
y
y
6
6
5
5
4
4
3
3
x1
x1
x6
2
y1 x2
x2
x 4
1
5 4 3
1
1
1
2
3
4
5
6
x
1
1
2
3
3
4
4
5
5
6
6
CONSEJO PARA
ESTUDIAR
1
2
3
3
x2
4
5
6
x
FIGURA 6.4
FIGURA 6.3
4
5 4 3
2
SUGERENCIA
y2 1
Ahora que hemos analizado las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de
expresiones racionales, resumamos rápidamente los procedimientos.
Para sumar o restar expresiones racionales, obtenga el MCD. Exprese cada fracción con
el MCD. Luego sume o reste los numeradores y escriba el resultado sobre el MCD.
Para multiplicar expresiones racionales, factorice cada expresión completamente, divida
entre los factores comunes, multiplique los numeradores, y multiplique los denominadores.
Para dividir expresiones racionales, multiplique la primera fracción (la superior) por
el recíproco de la segunda fracción (la inferior). Luego factorice cada expresión por completo, divida entre los factores comunes, multiplique los numeradores, y multiplique los
denominadores.
Analizar aplicaciones de expresiones racionales
En la sección 6.5 se abordará el tema de las aplicaciones de expresiones racionales
pero, por el momento presentaremos una aplicación que implica la suma y resta de
expresiones o funciones racionales.
En economía se estudian conceptos como el ingreso, el costo y la utilidad. Si
R(x) es una función del ingreso y C(x) es una función del costo, entonces la función
de la utilidad, P(x), es
P(x) R(x) C(x)
en donde x es el número de artículos fabricados y vendidos por una compañía. Usaremos esta información en el ejemplo 10.
EJEMPLO 10
Botes de vela
semana.
Suponga que
Una compañía de botes de vela fabrica al menos seis botes cada
R1x2 =
6x - 7
x + 2
y
C1x2 =
4x - 13
x + 3
en donde x es el número de botes de vela vendidos. Determine la función de la
utilidad.
380 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
Solución
Para determinar la función de la utilidad, restamos la función del costo de la función del ingreso.
Entienda el problema y traduzca
P1x2 = R1x2 - C1x2
4x - 13
6x - 7
P1x2 =
x + 2
x + 3
El MCD es (x 2)(x 3).
Realice los
cálculos
x + 3 # 6x - 7
4x - 13 # x + 2
x + 3 x + 2
x + 3 x + 2
6x2 + 11x - 21
4x2 - 5x - 26
=
1x + 321x + 22
1x + 321x + 22
=
=
=
=
Responda
Multiplicar para
obtener el MCD.
Multiplicar los
numeradores.
16x2 + 11x - 212 - 14x2 - 5x - 262
1x + 321x + 22
Restar los
numeradores.
2x2 + 16x + 5
1x + 321x + 22
Reducir términos
semejantes.
6x2 + 11x - 21 - 4x2 + 5x + 26
1x + 321x + 22
La función de utilidad es P1x2 =
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 81
2x2 + 16x + 5
.
1x + 321x + 22
✺
Conjunto de ejercicios 6.2
Ejercicios conceptuales
1. a) ¿Qué es el mínimo común denominador de dos o más
expresiones racionales?
b) Explique cómo determinar el MCD.
c) Por medio del procedimiento que indicó en la parte
b), determine el MCD de
5
64x2 - 121
y
2. a) Explique cómo sumar o restar dos expresiones racionales.
x
4
+
siguiendo el procedix + 2
3x 2 - 4x - 20
miento que indicó en la parte a).
b) Sume
1
8x2 - 27x + 22
En los ejercicios 3 y 4, a) explique por qué la resta no es correcta, y b) realice la resta correcta.
x2 + x - 2
x2 - 4x - x2 + x - 2
x2 - 4x
Z
1x + 321x - 22
1x + 321x - 22
1x + 321x - 22
2
x - 5
x - 6x + 5
x - 5 - x2 - 6x + 5
Z
4.
1x + 421x - 32
1x + 421x - 32
1x + 421x - 32
3.
Problemas de aplicación
Sume o reste.
3x
5
+
x + 2
x + 2
10x
50
8.
x - 5
x - 5
2x - 5
5x - 6
+
11.
x - 2
x - 2
5.
3x
6
+
x + 2
x + 2
x
9
2
+
9.
x + 3
x + 3
x + 3
5x - 3
- 4x + 6
+ 2
12. 2
x + x - 6
x + x - 6
6.
2
7x
x - 5
x - 5
9
3
2x
+
10.
x + 3
x + 3
x + 3
7.
Sección 6.2 • Suma y resta de expresiones racionales • 381
- 4x + 19
x2 - 2
- 2
x + 6x - 7
x + 6x - 7
2r2 + 5r
3r2 + 15r
+
15. 3
r + 2r2 - 8r
r3 + 2r2 - 8r
2
3x - x
3x - 8
x2 - x + 27
+
17.
2
2
2x - x - 21
2x - x - 21
2x2 - x - 21
13.
2
x2 + xy + 7y2
- x2
+ 2
2
x + 5xy - 14y
x + 5xy - 14y2
3
2
x - 12x + 45x
x2 + 5x
16.
x1x - 82
x1x - 82
2
3x + 10
3x - 5
2x + 9x - 15
18.
2x2 - 13x + 20
2x2 - 13x + 20
2x2 - 13x + 20
14.
2
Determine el mínimo común denominador.
19.
22.
25.
28.
31.
33.
1
5
7
9
+
20.
2
2
3
9x
6x3
2a
3a
2
x
x + 3
7
2
+
23.
16x2y
3x3
3a4b2
2a3b5
r+8
4
4x
6
+
26.
1r - 721r + 32
r-7
x + 3
x + 2
x
x + 9
b2 + 3
b - 7
- 2
29. 4
18b
121b + 52
x 1x - 22
x 1x - 223
3x - 5
3
a - 2
+ 2
32.
6x2 + 13xy +
a2 - 5a - 24
a + 11a + 24
3
4
x + 2
x
+
34.
x2 + 3x - 4
4x2 + 5x - 9
4x2 + 25x + 36
2x2 - 7x + 3
-4
7
+
2 2
8x y
5x4y 5
x
1
24.
x + 1
x - 3
9z
27. 5z2 +
z - 4
x-7
x+2
+
30.
3
2
1x - 32 1x + 42
1x + 4241x - 52
3
+
6y2
3x2 + 5xy + 2y2
x - 3
x2 + 1
+
4x2 + 4x - 3
2x2 - 3x - 9
21.
Sume o reste.
35.
38.
41.
44.
47.
49.
51.
53.
55.
57.
59.
61.
63.
2
5
+
3r
r
7
3x
+
4y
6xy
8
3b
+
b - 2
2 - b
b
a + b
a - b
b
3
a + 1
+ 2
a + 2
a + 4a + 4
x
x + 3
+ 2
2
x + 2x - 8
x - 3x + 2
31x + 22
5x
- 2
x2 - 9x + 8
x - 6x - 16
x - 1
5 - 2
x + 3x - 10
3a - 4
3a + 6
+
4a + 1
4a2 + 9a + 2
x - y
x - 3y
+ 2
x2 - 4xy + 4y2
x - 4y2
2r
64
2r
+ 2
r - 4
r + 4
r - 16
1
-4
1
+
x + 3
x - 1
x2 + 2x - 3
1
3
+ 5
3x - 2
x - 4
6
3
+
2x
x2
5
1
+
39.
8x4y
5x2y 3
4x
+ 2
42.
3xy
x + 3
4x
+
45.
x - 4
x + 1
36.
1
7
12x
4x2
1
3
+
40.
4xy3
6x2y
a
a
43.
a - b
b - a
41x - 32
x
46. 2
x+3
x -9
4
2m + 1
- 2
m - 5
m - 3m - 10
x + 1
- x2 + 5x
+
2
x - 5
1x - 52
3
4
12p - 321p + 42 1p + 421p - 42
3x + 6
3x
+
2x - 3
2x2 + x - 6
9q + 2
7
+
2
2
3q + q - 4
3q - 2q - 8
x + 2y
y
- 2
x2 - xy - 2y2
x - 3xy + 2y2
p + 4
3
4
+
+ 2
p + 1
p - 1
p - 1
x + 1
3
2
+ 2
+
x - 4
x2 - 16
x + 8x + 16
3x + 2
7x2 + 24x + 28
x
+
3x + 4
x - 5
3x2 - 11x - 20
37.
48.
50.
52.
54.
56.
58.
60.
62.
64.
382 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
r + 2
1
+
4r - 5
8r + 2r - 15
4
x2 - x
3
+
5x + 6
x - 2
5x2 - 4x - 12
m
2m
+
6m2 + 13mn + 6n2
4m2 + 8mn + 3n2
5r - 2s
2r - s
2
2
2
25r - 4s
10r - rs - 2s2
2
- 6xy + 9y2
4x
2
2x + 3y
8x3 + 27y3
65. 3 67.
69.
71.
73.
66.
2
68.
70.
72.
74.
x
3
+ 1
x - 6
x - 10x + 24
4
1
3
+
+
x2 - 13x + 36
2x2 - 7x - 4
2x2 - 17x - 9
1x - y22
2
+ 2
x3 - y3
x + xy + y2
6
2
+
- 5
2
2r
- 1
12r - 12
3x2 + 2y2
4
4x - 5y
64x3 - 125y3
2
Resolución de problemas
75. Cuando dos expresiones racionales se suman o restan, ¿sus
numeradores deben factorizarse? Explique.
a) el dominio de f(x).
x-3
x-3
76. ¿Las expresiones
y son equivalentes?
5-x
x-5
Explique.
c) (f g)(x).
77. ¿Las expresiones
x - 8
8 - x
y
son equivalentes?
3 - x
x - 3
b) el dominio de g(x).
d) el dominio de (f g)(x).
80. Si f1x2 =
Explique.
y g1x2 =
x
, determine
x - 3
a) el dominio de f(x).
78. Si f(x) y g(x) son funciones racionales, ¿(f g)(x)
siempre será una función racional?
79. Si f1x2 =
x + 1
x2 - 9
b) el dominio de g(x).
c) (f g)(x).
x
x + 2
y g1x2 =
, determine
x - 3
x + 4
d) el dominio de (f g)(x).
En los ejercicios 81 a 84, determine la función de la utilidad, P(x). (Vea el ejemplo 10.)
4x - 5
2x - 7
y C1x2 =
x + 1
x + 2
8x - 3
5x - 8
83. R1x2 =
y C1x2 =
x + 2
x + 3
5x - 2
3x - 4
y C1x2 =
x + 2
x + 1
7x - 10
5x - 8
84. R1x2 =
y C1x2 =
x + 3
x + 4
81. R1x2 =
82. R1x2 =
En las siguientes figuras, las líneas punteadas de color rojo se denominan asíntotas. Las asíntotas no son parte de la gráfica pero se
utilizan para mostrar valores a los que ésta se aproxima, pero no toca. En los ejercicios 85 y 86, determine el dominio y el rango de
la función racional que se muestra.
85.
86.
y
y
6
3
5
4
2
3
2
6 5 4 3 2 1
1
1
1
3
4
5
x
6
3
2
1
3
1
3
4
2
5
6
En los ejercicios 87 a 90, utilice f1x2 =
87. (f g)(x).
3
x
2
x - 4
y g1x2 =
2
. para determinar lo siguiente.
x2 + x - 6
88. (f g)(x).
x
Sección 6.2 • Suma y resta de expresiones racionales • 383
89. (f g)(x).
91. Demuestre que
90. (f/g)(x).
a
c
ad + bc
+
=
.
b
d
bd
92. Demuestre que x -1 + y -1 =
x + y
xy
.
Observe los siguientes rectángulos. Determine a) su perímetro; b) su área.
93.
ab
a
94.
a 2b
b
a 2b
b
ab
a
Determine el polinomio que debe colocarse en el área sombreada para obtener un enunciado verdadero. Explique cómo determinó
su respuesta.
95.
-2x2 + 6x - 12
5x2 - 6
.......
=
x2 - x - 1
x2 - x - 1
x2 - x - 1
96.
1
r2 - 6
........
- 2
=
2
r - 2
r - 5r + 6
r - 5r + 6
Realice las operaciones indicadas.
97. a3 +
99. a
101. a
1
x + 3
ba
b
x + 3 x - 2
98. a
4
r - 2
3
ba
b
r + 1
r - 2 r + 10
2
5
b , 13a + 252
a - 5
a + 3
100. ¢
x2 + 4x - 5 # 2x + 3
2
≤ x + 2
2x2 + x - 3 x + 1
1
x + 5
- xb ,
x - 3
x - 3
102. ¢
1
x + 5
2x2 - 13x + 15
+
≤¢
≤
2
x + 5
x - 25
4x2 - 6x
103. El promedio ponderado de dos valores a y b está dado por
x
n - x
x
aa b + ba
b , en donde es el peso dado a a y
n
n
n
n - x
es el peso dado a b.
n
a) Exprese esta suma como una sola fracción.
b) En un examen a usted recibió una calificación de 60,
y en un examen b obtuvo 92. Si el examen a cuenta 25 de
su calificación final y el examen b cuenta 35 , determine
su promedio ponderado.
y -1
x2 + y2 + 1
x -1
.
104. Demuestre que a b + a b + 1xy2 -1 =
y
x
xy
En los ejercicios 105 y 106, realice la operación indicada.
105. 1a - b2-1 + 1a - b2-2
106. a
a - b -1
a + b -1
b - a
b
a
a
Utilice su calculadora graficadora para determinar si las siguientes sumas son correctas.
x - 3
+ 2
x + 4
x x-2
+
108.
x2 - 25 2x2
107.
2
x
x - 10x + 18
1x + 421x - 62
2x - 24
x-2
3x 2 - 4x - 4
1x + 521x - 5212x + 72
+ 17x + 35
Reto
109. Exprese cada suma como una sola fracción.
1
a) 1 +
x
1
1
+ 2
b) 1 +
x
x
1
1
1
1
+ 2 + 3 + 4
c) 1 +
x
x
x
x
d) 1 +
1
1
1
+ 2 + Á + n
x
x
x
110. Sea f1x2 =
1
. Determine f(a h) f(a).
x
111. Sea g1x2 =
1
. Determine g(a h) g(a).
x + 1
384 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.4] 112. Llenado de botellas Una máquina embotelladora
llena y tapa 80 botellas por minuto. Después, la máquina baja su velocidad a 60 botellas por minuto. Si
la suma de los dos periodos fue de 14 minutos y el
número de botellas llenadas y tapadas a alta velocidad fue el mismo que el número resultante a baja
velocidad, determine a) el tiempo que trabajó la
máquina a alta velocidad, y b) cuántas botellas llenó
y tapó durante los 14 minutos.
[2.6] 113. Resuelva x y proporcione la solución en notación
de conjuntos. | x 3 | 2 3.
[3.4] 114. Determine la pendiente de la recta que pasa por los
puntos (2, 3) y (7, 3).
[4.5] 115. Evalúe el determinante `
[5.3] 116. Divida
-1
5
3
`.
6
6x2 - 5x + 6
.
2x + 3
[5.8] 117. Resuelva 3p2 22p 7.
6.3 FRACCIONES COMPLEJAS
1
1
Reconocer fracciones complejas.
2
Simplificar fracciones complejas multiplicando por un
denominador común.
3
Simplificar fracciones complejas simplificando el numerador
y el denominador.
Reconocer fracciones complejas
Una fracción compleja es aquella que contiene una expresión fraccionaria en su
numerador, en su denominador, o en ambos.
Ejemplos de fracciones complejas
2
3
,
5
x + 1
x
,
3x
x
y
,
x + 1
a + b
a
,
a - b
b
1
x
1
3
+
x
x2
3 +
La expresión que se encuentra sobre la línea principal de la fracción es el numerador,
y la expresión que está debajo de ella es el denominador.
a + b
a
numerador de la fracción compleja
línea principal de la fracción
a - b
b
denominador de la fracción compleja
Sección 6.3 • Fracciones complejas • 385
A continuación se explicarán dos métodos que pueden utilizarse para simplificar las fracciones complejas, es decir, para escribirlas eliminando las fracciones de su
numerador y de su denominador.
2
Simplificar fracciones complejas multiplicando por un denominador común
El primer método implica la multiplicación del numerador y del denominador de la
fracción compleja por un denominador común.
Para simplificar una fracción compleja multiplicando
por un denominador común
1. Determine el mínimo común denominador de todas las fracciones que aparecen
en la fracción compleja. Éste es el MCD de la fracción compleja.
2. Multiplique el numerador y el denominador de la fracción compleja por el MCD
que se determinó en el paso 1.
3. Simplifique lo más posible.
MCD
En el paso 2, en realidad se multiplica la fracción compleja por MCD , lo cual es equivalente a multiplicarla por 1.
EJEMPLO 1
Solución
2
3
x
x2
.
Simplifique
x2
5
Los denominadores de la fracción compleja son x2, x y 5. Por lo tanto, el MCD de la fracción compleja es 5x2. Multiplicamos el numerador y el denominador por 5x2.
2
3
2
3
5x2 ¢ 2 - ≤
2
x
x
x
x
=
2
x2
2 x
5x
¢
≤
5
5
5 x2 ¢
x2
5 x2 ¢ ≤
5
3
b
.
Simplifique
3
b +
a
a +
EJEMPLO 2
y el denominador por 5x2.
x
2
3
- 5 x2 a b
2 ≤
x
x
=
=
Multiplicar el numerador
10 - 15x
x4
Propiedad distributiva.
Simplificar.
✺
386 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
Solución
Multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción compleja por su MCD, ab.
3
3
ab aa + b
b
b
=
3
3
b +
ab ab + b
a
a
a +
a 2b + 3a
ab2 + 3b
a 1ab + 32
a
=
=
b 1ab + 32
b
=
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 13
EJEMPLO 3
Solución
Simplifique
Multiplicar el numerador
y el denominador por ab.
Propiedad distributiva.
Factorizar y simplificar.
✺
a -1 + ab -2
.
ab -2 - a -2 b -1
Primero reescribimos cada expresión sin exponentes negativos.
a
1
+ 2
a
a -1 + ab-2
b
=
a
1
ab -2 - a -2b-1
- 2
b2
ab
a2b2 ¢
a
1
+ 2≤
a
b
=
a2b2 ¢
a
1
- 2 ≤
2
b
ab
a2 b2 a
Multiplicar el numerador
y el denominador por
a2b2, el MCD de la
fracción compleja.
1
a
b + a2 b2 ¢ 2 ≤
a
b
Propiedad distributiva.
=
b
a
1
a b ¢ 2 ≤ - a2 b2 ¢ 2 ≤
b
a b
2 2
=
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 37
ab2 + a3
a3 - b
✺
Aunque en el ejemplo 3 podríamos factorizar una a de ambos términos en el numerador de la respuesta, no seríamos capaces de simplificar más la respuesta dividiendo
entre los factores comunes. De modo que conservaremos la respuesta hasta ese punto.
3
Simplificar fracciones complejas simplificando el numerador y el denominador
Las fracciones complejas también pueden simplificarse como sigue:
Para simplificar una fracción compleja simplificando
el numerador y el denominador
1. Sume o reste, lo que sea necesario, para obtener una expresión racional en el numerador.
2. Sume o reste, lo que sea necesario, para obtener una expresión racional en el denominador.
3. Invierta el denominador de la fracción compleja y multiplique por el numerador de la
fracción compleja.
4. Simplifique lo más posible.
Sección 6.3 • Fracciones complejas • 387
El ejemplo 4 ilustra cómo puede simplificarse la fracción compleja del ejemplo 1
mediante este segundo método.
EJEMPLO 4
Solución
2
3
x
x2
.
Simplifique
x2
5
Restamos las fracciones del numerador para obtener una expresión racional en él.
El denominador común de las fracciones del numerador es x2.
2
3
3 x
2
- #
2
2
x
x x
x
x
=
x2
x2
5
5
2
3x
- 2
2
x
x
=
x2
5
2 - 3x
x2
=
x2
5
2 - 3x # 5
=
x2
x2
512 - 3x2
=
x4
10 - 15x
o
x4
Obtener el denominador
común en el numerador.
Invertir el denominador
y multiplicar.
Ésta es la misma respuesta que se obtuvo en el ejemplo 1.
SUGERENCIA
✺
Algunos estudiantes prefieren el segundo método cuando la fracción compleja consiste de
una sola fracción sobre una sola fracción, tal como
x + 3
18
x - 8
6
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 7
Para fracciones más complejas, muchos estudiantes optan por el primer método, ya que de
esta manera no tienen que sumar fracciones.
Conjunto de ejercicios 6.3
Ejercicios conceptuales
1. ¿Qué es una fracción compleja?
2. Hemos indicado dos procedimientos para trabajar con fracciones complejas. ¿Cuál procedimiento prefiere? ¿Por qué?
388 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
Problemas de aplicación
Simplifique
10x2y4
15a
b2
3.
b3
5
3z3
5xy
4.
1 5.
x2y
4
6.
2
x
x
y
3x
9z5
36x4
5y4z5
7
y
8.
x
1 +
y
x
y
9.
3 + x
y
4
2
+ 2
x
x
10.
1
2 +
x
1
2
+
a
2a
11.
a
a +
2
1
y
12.
1
2 y
y
x
y
x
13.
x + y
x
2
1
+ 2
m
m
15.
1
2 + 2
m
a
- 5
b
16.
-a
+ 5
b
4x + 8
3x2
17.
4x3
6
a2
- b
b
14. 2
b
- a
a
x2 - y2
x
18.
x + y
a
- 1
a + 1
19.
2a + 1
a - 1
1
x
4
x
20.
x + 4
1 +
x
21.
a
a
23.
a
a
a
a
24.
a
a
5
6
+
5 - x
x - 5
25.
2
3
+
x
x - 5
7.
9xy2
15z5
+
+
-
1
a - 1
+
1
a + 1
a - 1
1
1
a + 1
x +
4 -
+
+
2
a + 2
2
a - 2
a + 2
2
+
2
a - 2
x3
x
x + 1
2x + 1
x - 1
2
+ 2
x - 1
22.
2
- 2
x + 1
1 +
2
1
3
+ 2 +
m
m
- 1
m
26.
2
m - 1
2
2
+ 2
a - 3a + 2
a - a - 2
28.
2
2
+ 2
a2 - 1
a + 4a + 3
1
2
3
+
2
x
x - 2
x
27.
1
x
2
+ 2
x2 + x - 20
x 29.
2
+ 2
x2 + 3x - 10
x +
x -
2
3
6x + 8
3
2x - 24
2
1
+ 2
x2 + 5x + 4
x + 2x - 8
30.
1
2
+ 2
x2 - x - 2
x - 5x + 6
Simplifique
33. 1a -1 + b -12
-1
31. 3a -2 + b
32. 2a -2 + b -1
a -1 + 1
35. -1
b - 1
2a
+ a -1
b
36.
b
+ a -1
a
37.
a -1 + b-1
39.
1a + b2-1
3a -1 - b-1
40.
1a - b2-1
41. 2x -1 - 13y2-1
x -1 - y -1
x -1 + y -1
34.
a -1 + b-1
4
ab
x -2 +
38.
42.
3
x
3x -1 + x -2
4 1
+
x y
1x - y2-1
Sección 6.3 • Fracciones complejas • 389
43.
3
5
2
+
xy
y
x
44.
3x -1 - 4y -2
4m-1 + 3n-1 + 12mn2-1
5
9
+
m
n
Resolución de problemas
En los ejercicios 45 a 48 se da el área y el ancho de cada rectángulo. En cada caso, determine la longitud, l, mediante la división del
área, A, entre el ancho, w.
45.
46.
A
x2 12x 35
x3
w
x2 6x 5
x2 5x 6
x2 10x 16
x4
(x 1)
A
l
w
x2 11x 24
x2 3x 4
w
x2 11x 18
x2 x 6
l
47.
48.
x 11x 28
x5
(x 1)
A
2
w
x 8x 7
x2 4x 5
x2 17x 72
x3
(x 2)
2
A
l
l
49. Gato mecánico La eficiencia de un gato mecánico, E, está
dada por la fórmula
1
h
2
E =
h +
50. Resistores Si se conectan en paralelo dos resistores con
resistencia R1 y R2, podemos determinar su resistencia
combinada, RT, mediante la fórmula:
RT =
1
2
donde h está determinada por el paso de la rosca del gato
mecánico.
1
1
1
+
R1
R2
Simplifique el lado derecho de esta fórmula.
51. Resistores Si se conectan en paralelo tres resistores con
resistencia R1, R2 y R3, podemos determinar su resistencia
combinada mediante la fórmula:
RT =
Paso
1
1
1
1
+
+
R1
R2
R3
Simplifique el lado derecho de esta fórmula.
52. Óptica Una fórmula que se utiliza en el estudio de la óptica es
f = 1p-1 + q -12
Determine la eficiencia de un gato mecánico cuyo valor
de h es:
a)
2
3
b)
4
5
-1
donde p es la distancia del objeto respecto de una lente,
q es la distancia de la imagen respecto de la lente, y f es
la longitud focal de la lente. Exprese el lado derecho de la
fórmula sin exponentes negativos.
1
, determine f(f(a)).
x
2
54. If f1x2 =
, determine f(f(a)).
x + 2
53. Si f1x2 =
Reto
Para cada función, determine
55. f1x2 =
1
x
58. f1x2 =
4
x - 1
f1a + h2 - f1a2
h
.
7
x
1
59. f1x2 = 2
x
56. f1x2 =
1
x + 1
5
60. f1x2 = 2
x
57. f1x2 =
390 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
Simplifique.
1
61.
2a +
1
62.
1
x +
1
2a +
2a
1
63.
1
2 +
1
x +
x + 1
1
2 +
1
2
Ejercicios de repaso acumulativo
` - ` - a- b # ` - `
3
9
64. Evalúe
5
9
3
8
ƒ - 5 - 1 - 32 ƒ
.
-x - 5
3
6
6 6 y proporcione la solu5
3
ción en la notación de intervalos.
[2.5] 65. Resuelva
[3.5] 67. Determine si las dos rectas representadas por las
siguientes ecuaciones son paralelas, perpendiculares
o ninguna de éstas.
6x 2y 8
4x – 9 y
[2.6] 66. Resuelva |x 1| |2x 4|.
6.4 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES RACIONALES
1
1
Resolver ecuaciones racionales.
2
Verificar soluciones.
3
Resolver proporciones.
4
Resolver problemas que incluyen funciones racionales.
5
Resolver problemas de aplicación mediante expresiones
racionales.
6
Despejar una variable en una fórmula con expresiones racionales.
Resolver ecuaciones racionales
En las secciones 6.1 a 6.3 se presentaron técnicas para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones racionales. En esta sección analizaremos un método para resolver
ecuaciones racionales. Una ecuación racional es aquella que contiene al menos una
expresión racional.
Para resolver ecuaciones racionales
1. Determine el MCD de todas las expresiones racionales de la ecuación.
2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el MCD. Esto dará por resultado que
todos los términos de la ecuación queden multiplicados por el MCD.
3. Elimine los paréntesis existentes y reduzca los términos semejantes de cada lado
de la ecuación.
4. Resuelva la ecuación utilizando las propiedades analizadas en secciones anteriores.
5. Verifique la solución en la ecuación original.
En el paso 2 se multiplican ambos lados de la ecuación por el MCD para eliminar
fracciones. En algunos de los siguientes ejemplos no se mostrará la verificación para
ahorrar espacio.
Sección 6.4 • Resolución de ecuaciones racionales • 391
EJEMPLO 1
Solución
Resuelva
3x
1
x - 1
+
=
.
4
2
2
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, 4. Después utilizamos la propiedad distributiva, con la cual cada término de la ecuación quedará multiplicado por
el MCD.
4a
4a
3x
1
x - 1#
+ b =
4
4
2
2
3x
1
b + 4a b = 21x - 12
4
2
Multiplicar ambos lados por 4.
Propiedad distributiva.
3x + 2 = 2x - 2
x + 2 = -2
✺
x = -4
2
Verificar soluciones
Siempre que aparezca una variable en algún denominador, usted deberá verificar su
probable solución en la ecuación original. Si al hacerlo resulta que la solución probable da por resultado que un denominador sea igual a 0, ese valor no es solución de la
ecuación. Estos valores son las raíces extrañas o soluciones extrañas. Una raíz extraña
es un número que se obtiene al resolver una ecuación, pero que no es solución de la
ecuación original.
EJEMPLO 2
Solución
Resuelva 2 -
4
1
= .
x
3
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, 3x.
1
4
b = a b
x
3
3x a2 3x122 - 3 x a
#
3x Multiplicar ambos lados por 3x.
4
1
b = a b 3 x Propiedad distributiva.
x
3
6x - 12 = x
5x - 12 = 0
5x = 12
x =
2 -
Comprobar
2 -
12
5
1
4
=
x
3
4
? 1
=
112>52
3
2 -
Sustituir x por
12
.
5
20 ? 1
=
12
3
1
1
=
3
3
Verdadero
✺
392 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
EJEMPLO 3
Resuelva x +
6
= - 7.
x
x # ax +
Solución
x1x2 + x a
6
b = - 7 # x Multiplicar ambos lados por el MCD, x.
x
6
b
x
x2 + 6
x2 + 7x + 6
1x + 121x + 62
x + 1 = 0
o
x = -1
= - 7x
Propiedad distributiva.
= - 7x
= 0
= 0
x + 6 = 0
x = -6
Al comprobar 1 y 6 se mostrará que ambos números son soluciones para la
ecuación.
✺
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35
EJEMPLO 4
Resuelva
1
3x
2
+
=
.
x - 2
x + 2
x2 - 4
Factorice el denominador, x2 4, y luego determine el MCD.
Solución
3x
1
2
+
=
1x + 221x - 22
x - 2
x + 2
El MCD es (x 2)(x 2). Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, y
después utilizamos la propiedad distributiva. Este proceso eliminará las fracciones de
la ecuación.
1x + 221x - 22 # c
3x
1
+
d
1x + 221x - 22
x - 2
3x
1
1x + 22 1x - 22 #
+ 1x + 22 1x - 22 #
1x + 22 1x - 22
x - 2
3x + 1x + 22
4x + 2
2x + 2
2x
x
=
=
=
=
=
=
=
2 #
1x + 221x - 22
x + 2
2 #
1x + 22 1x - 22
x + 2
21x - 22
2x - 4
-4
-6
-3
Una verificación mostrará que 3 es la solución.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 39
EJEMPLO 5
Resuelva la ecuación
Solución
✺
3
22
2
=
.
2p + 1
p - 5
2p - 9p - 5
2
Factorizamos el denominador y después determinamos el MCD.
22
3
2
=
12p + 121p - 52
2p + 1
p - 5
Multiplique ambos lados de la ecuación por el MCD (2p 1)(p 5).
12p + 12 1p - 52
#
22
3
2
- 12p + 12 1p - 52 #
= 12p + 12 1p - 52 #
12p + 12 1p - 52
2p + 1
p - 5
22 - 31p - 52 = 212p + 12
Sección 6.4 • Resolución de ecuaciones racionales • 393
22 - 3p + 15
37 - 3p
35
5
=
=
=
=
4p + 2
4p + 2
7p
p
Al parecer, la solución es 5. Sin embargo, hay que verificarlo, ya que aparece una
variable en un denominador.
22
3
2
=
2p
+
1
p
- 5
2p - 9p - 5
Comprobar
2
22
3
2
?
=
2152 + 1
5 - 5
2152 - 9152 - 5
2
Indefinido ¡
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 43
Sustituir 5 por p.
3
2
22
=
— Indefinido
0
11
0
Como 5 hace que el denominador sea 0 y la división entre 0 no está definida, 5 es una solución extraña. Por lo tanto, debe escribir como respuesta “no existe solución”.
✺
En el ejemplo 5, la única posible solución es 5. Sin embargo, cuando p 5, el
denominador 2/(p 5) es 0. Por lo tanto, 5 no puede ser solución. En realidad no
teníamos que mostrar la comprobación completa, pero por claridad lo hicimos así en
este ejemplo.
SUGERENCIA
3
Recuerde: siempre que resuelva una ecuación en donde aparezca una variable en algún
denominador, debe verificar si la solución es o no una solución extraña. Si la solución da por
resultado algún denominador 0, entonces es una solución extraña y no es una verdadera
solución de la ecuación.
Resolver proporciones
Las proporciones son un tipo especial de ecuaciones racionales con la forma
Pueden resolverse por medio de multiplicación cruzada como sigue. Si
A
A
B
C B
(a)
C
B
A
C
B
A
D
(b)
FIGURA 6.5
C
D
a
c
= .
b
d
a
c
= , entonb
d
ces ad bc, b 0, d 0. Las proporciones también pueden resolverse multiplicando
ambos lados de la proporción por el mínimo común denominador. En los ejemplos 6
y 7 resolveremos proporciones multiplicando ambos lados por el MCD. Luego se le pedirá que determine las soluciones, si es posible, mediante la multiplicación cruzada. Cuando resuelva una proporción en donde el denominador de una o más razones contenga
una variable, deberá verificar la solución para asegurarse de que no es extraña.
Las proporciones se utilizan con frecuencia para trabajar con figuras semejantes.
Las figuras semejantes son aquellas cuyos ángulos correspondientes son iguales y
cuyos lados correspondientes son proporcionales. La figura 6.5 ilustra dos conjuntos de
figuras semejantes.
En la figura 6.5a, la razón de la longitud del lado AB respecto de la longitud del
lado BC es igual a la razón de la longitud del lado A’B’ respecto de la longitud del lado B’C’. Es decir,
AB
A¿ B¿
=
BC
B¿ C¿
Si en un par de figuras semejantes se desconoce la longitud de un lado, éste puede determinarse utilizando proporciones, como se ilustra en el ejemplo 6.
394 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
EJEMPLO 6
Triángulos semejantes Los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura 6.6 son figuras
semejantes. Determine la longitud de los lados AB y B’C’.
Solución
Podemos establecer una proporción y despejar x, para después determinar las longitudes.
A
AB
BC
x - 1
5
x
1
5x #
5
x1x - 12
x2 - x
x2 - x - 30
1x - 621x + 52
x - 6 = 0
o
x = 6
x1
B
5
C
A
6
B
x
C
FIGURA 6.6
=
A¿ B¿
B¿ C¿
=
6
x
6#
Multiplicar ambos
5x
lados por el MCD, 5x.
x
#
= 6 5
= 30
= 0
= 0
Factorizar el trinomio.
x + 5 = 0
x = -5
=
Como la longitud del lado de un triángulo no puede ser un número negativo, 5 no es
una respuesta posible. Al sustituir x por 6, vemos que la longitud del lado B’C’ es 6 y
la longitud del lado AB es 6 1 o 5.
AB
A¿ B¿
=
BC
B¿ C¿
Comprobar
5 ? 6
=
5
6
1 = 1
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 49
Verdadero
✺
La respuesta del ejemplo 6 también podría haberse obtenido mediante multiplicación cruzada. Trate de hacerlo.
EJEMPLO 7
Solución
Resuelva
x2
16
=
.
x - 4
x - 4
Esta ecuación es una proporción. La resolveremos multiplicando ambos lados de la
ecuación por el MCD, x 4.
x2
x - 4
x2
x2 - 16
1x + 421x - 42
o
x + 4 = 0
or
x = -4
1x - 42
Comprobar
x = -4
x
16
=
x - 4
x - 4
2
#
16 #
1x - 42
x - 4
= 16
= 0
= 0
x - 4 = 0
x = 4
=
x = 4
2
x
16
=
x - 4
x - 4
Factorizar la diferencia de dos cuadrados.
Sección 6.4 • Resolución de ecuaciones racionales • 395
1-422 ?
16
=
-4 - 4
-4 - 4
16 ? 16
=
-8
-8
-2 = - 2
42 ? 16
=
4 - 4
4 - 4
16 ? 16
=
0
0
— Indefinida
Verdadera
Como x 4, el denominador es 0, así que 4 no es solución de la ecuación, sino una raíz
extraña. La única solución de la ecuación es 4.
✺
En el ejemplo 7, ¿qué se obtendría si se comenzara con la multiplicación cruzada?
Resuélvalo así y observe.
4
Resolver problemas que incluyen funciones racionales
Ahora resolveremos un problema que implica una función racional.
EJEMPLO 8
Considere la función f1x2 = x -
2
. Determine todos los valores de a para los que
x
f(a) 1.
Solución
Como f1a2 = a -
2
, necesitamos encontrar todos los valores para los que
a
2
= 1, a Z 0. Empezaremos por multiplicar ambos lados de la ecuación por a,
a
el MCD.
a -
2
b = a#1
a
a2 - 2 = a
2
a - a - 2 = 0
1a - 221a + 12 = 0
a - 2 = 0
or
a + 1 = 0
o
a = -1
a = 2
a # aa -
2
x
2
f122 = 2 - = 2 - 1 = 1
2
2
f1- 12 = - 1 = -1 + 2 = 1
1-12
Comprobar f1x2 = x -
Para a 2, o a 1, f(a) 1.
y
En el ejemplo 8, usamos f1x2 = x f(x) 1
5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
FIGURA 6.7
2
3
4
f (x) x 5
2
x
x
2
La figura 6.7 muestra la gráfica de
x
2
. En este curso no tendremos que graficar funciones como ésta, pero
x
aquí se ilustra para reforzar la respuesta obtenida en el ejemplo 8.
Observe que la función está indefinida en x 0, y que cuando x 1 o x 2,
parece que f(x) 1. Esto es lo que esperamos con base en los resultados obtenidos en
el ejemplo 8.
El ejemplo 8 también podría haber sido resuelto por medio de una calculadora
2
graficadora, estableciendo y1 = x - y y2 1 y determinando la coordenada x de las
x
intersecciones de las dos rectas.
f1x2 = x -
2
✺
396 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
5
Resolver problemas de aplicación mediante expresiones racionales
Ahora veamos un problema de aplicación que involucra ecuaciones racionales.
EJEMPLO 9
Resistencia total En electrónica, la resistencia total RT, de los resistores conectados
en un circuito paralelo, se determina mediante la fórmula
1
1
1
1
1
=
+
+
+ Á +
RT
R1
R2
R3
Rn
donde R1, R2, R3,...Rn son las resistencias de los resistores individuales (medidos en
ohms, con el símbolo æ) del circuito. Determine la resistencia total si dos resistores, uno
de 100 ohms y el otro de 300 ohms, se conectan en un circuito paralelo.
Solución
Como sólo hay dos resistencias, utilizamos la fórmula
1
1
1
=
+
RT
R1
R2
R1
Sea R1 100 ohms y R2 300 ohms; entonces
1
1
1
=
+
RT
100
300
100
R3
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, 300RT.
300
300RT #
300 RT
#
1
1
1
= 300RT a
+
b
RT
100
300
3
1
1
1
= 300 RT a
b + 300 RT a
b
RT
100
300
300 = 3RT + RT
300 = 4RT
RT =
300
= 75
4
Así, la resistencia total del circuito paralelo es de 75 ohms. Tenga en cuenta que hay
menos resistencia cuando los resistores se conectan en paralelo que cuando están en
forma separada.
✺
6
Despejar una variable en una fórmula con expresiones racionales
En ocasiones se puede dar la necesidad de despejar una variable en una fórmula en
donde dicha variable aparece en más de un término. Cuando esto sucede, es posible despejar la variable mediante factorización. Para hacerlo agrupe en un lado de la ecuación
todos los términos que contienen a la variable que quiere despejar, y todos los demás
términos en el otro lado. Luego factorice la variable. Este proceso se ilustra en los
ejemplos 10 a 12.
EJEMPLO 10
1
1
1
+
= . donde p representa la
p
q
f
distancia a la que está un objeto respecto de una lente o espejo, q representa la distancia
de la imagen respecto de la lente o espejo, y f la longitud focal de la lente o espejo. En
el caso de las personas que utilizan anteojos, la distancia de la imagen es la distancia
que hay entre las lentes y su retina. Despeje f de esta fórmula.
Óptica Una fórmula que se utiliza en óptica es
Sección 6.4 • Resolución de ecuaciones racionales • 397
Solución
p
Nuestro objetivo es aislar la variable f. Comenzaremos por multiplicar ambos lados de
la ecuación por el mínimo común denominador, pqf, para eliminar fracciones.
1
1
1
+
=
p
q
f
1
1
1
pqf a + b = pqf a b Multiplicar ambos lados por el MCD, pqf.
p
q
f
q
p qfa
1
1
1
b + p q fa b = pq f a b Propiedad distributiva.
p
q
f
qf + pf = pq
f1q + p2 = pq
f 1q + p2
pq
=
q + p
q + p
pq
f =
q + p
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69
Simplificar.
Factorizar f.
Dividir ambos lados entre q p.
o f =
pq
p + q
✺
EJEMPLO 11
Banca Una fórmula que se utiliza en la banca es A P Prt, en donde A representa
la cantidad que debe pagarse al banco cuando se prestan P dólares a una tasa de interés
simple, r, durante el tiempo, t, en años. Despeje P de esta ecuación.
Solución
Como los dos términos que contienen la variable P están en el lado derecho de la
ecuación, factorizamos P en ambos términos.
A = P + Prt
P está en ambos términos.
A = P11 + rt2 Factorizar P.
A
=
1 + rt
P11 + rt2 Dividir ambos lados entre 1 rt
1 + rt
para aislar a P.
A
= P
1 + rt
Así, P =
EJEMPLO 12
A
.
1 + rt
✺
Física Una fórmula que se usa para calcular la fuerza de las palancas es d =
fl
.
f + w
Despeje f de esta fórmula.
Solución
Empezamos por multiplicar ambos lados de la fórmula por f w para eliminar
fracciones. Luego reescribimos la expresión con todos los términos que contienen f
a un lado del signo igual, y todos los términos que no incluyen dicha variable al otro
lado del signo igual.
fl
f + w
fl
d1f + w2 =
1f + w2
1f + w2
d =
d1f + w2 = fl
df + dw = fl
df - df + dw = fl - df
Multiplicar por f w para
eliminar fracciones.
Propiedad distributiva.
Aislar en el lado derecho
de la ecuación los términos
que contengan a f.
398 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
dw = fl - df
dw = f1l - d2
f 1l - d2
dw
=
l - d
l - d
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 79
CÓMO EVITAR
ERRORES COMUNES
Así, f =
Factorizar f.
Aislar f dividiendo ambos
lados entre l d.
dw
.
l - d
✺
Después de resolver ecuaciones, como se hizo en esta sección, algunos estudiantes olvidan
conservar su denominador común cuando suman o restan expresiones racionales. Recuerde:
multiplicamos ambos lados de una ecuación por el MCD para eliminar el denominador común. Si sumamos o restamos expresiones racionales, escribimos las fracciones con el MCD y
luego sumamos o restamos los numeradores, pero conservamos el denominador común.
Por ejemplo, considere el problema de suma
x
3
+
x + 7
x + 7
CORRECTO
INCORRECTO
x
3
x + 3
+
=
x + 7
x + 7
x + 7
3
x
3
x
+
= 1x + 72a
+
b
x + 7
x + 7
x + 7
x + 7
= x + 3
Matemáticas en acción
El efecto Doppler
Todos lo hemos percibido. El sonido de la sirena de una
ambulancia parece tener un tono más alto cuando el
vehículo se aproxima, y un tono más bajo cuando se
aleja. Este cambio es resultado de una variación del
sonido sobre la frecuencia de las ondas sonoras. Este
fenómeno, denominado efecto Doppler, puede representarse mediante la ecuación racional
fd = fo
v ; vo
v ; vs
donde fd es la frecuencia (percibida) del efecto Doppler, fo es la frecuencia original (real), v es la velocidad
del sonido, vo es la velocidad del observador, y vs es la
velocidad de la fuente. La elección del signo más () o
menos () se hace de acuerdo con la convención de
que si la fuente y el observador se están moviendo uno
hacia el otro, la frecuencia percibida es mayor que la
frecuencia real. Si la fuente y el observador se mueven
alejándose uno del otro, la frecuencia percibida es menor que la frecuencia real.
Esta fórmula (en diferentes formas) está presente en muchas tecnologías y dispositivos, algunos de los
cuales afectan nuestra vida diaria. Éste es un pequeño
listado de sus aplicaciones:
Radar de tránsito: Un dispositivo al que muchas
veces llamamos “pistola de radar”, envía una onda de
radio de una longitud de onda conocida. Cuando la onda
de radio rebota contra un auto en movimiento, se da una
variación en la longitud. Por medio de cálculos Doppler,
una computadora incluida en el dispositivo es capaz de
calcular la velocidad a la que viaja el automóvil.
Radar de clima: La precipitación de partículas como las gotas de lluvia o los copos de nieve, describe un
corrimiento de fase diferente cuando se mueve alejándose del radar, que cuando se aproxima a éste. Tomar
medidas Doppler de este fenómeno da por resultado
pronósticos más precisos y visualizaciones más vívidas,
tales como las que vemos en los informes climatológicos que transmiten por televisión.
Mediciones astronómicas: Los astrónomos utilizan corrimientos Doppler para calcular qué tan rápido
se mueven (o se alejan) hacia la Tierra las estrellas y
otros objetos astronómicos. Para lograrlo, miden las longitudes de onda de la luz que emiten esos objetos. Un
aumento en la longitud de onda indica que el objeto astronómico se está alejando de la Tierra, mientras que
una disminución significa que se está acercando a ella.
Sección 6.4 • Resolución de ecuaciones racionales • 399
Conjunto de ejercicios 6.4
Ejercicios conceptuales
1. ¿Qué es una raíz extraña?
b) Resuelva la ecuación.
2. ¿En qué circunstancias es necesario verificar las respuestas que dan por resultado raíces extrañas?
c) ¿Cuál es el primer paso para simplificar la expresión?
Explique qué efecto tendrá este primer paso sobre la
expresión.
3. Analice la ecuación
x
x
x
x
= 2 y la expresión + 2.
4
3
4
3
a) ¿Cuál es el primer paso para resolver la ecuación? Explique qué efecto tendrá el primer paso sobre la ecuación.
b) Resuelva la ecuación.
d) Simplifique la expresión.
5. ¿Qué son las figuras semejantes?
6. a) Explique con sus palabras cómo resolver una ecuación
racional.
3
1
4
siguiendo el
+
= 2
x - 4
x + 4
x - 16
procedimiento indicado en la parte a).
c) ¿Cuál es el primer paso para simplificar la expresión?
Explique qué efecto tendrá este primer paso sobre la
expresión.
d) Simplifique la expresión.
4. Considere la ecuación
b) Resuelva
7
x - 3
se obtuvo la respuesta x 3. ¿Esta respuesta es correcta?
Explique.
21x
8. Al resolver una ecuación que contenía el término 2
x - 16
se obtuvo la respuesta x 4. ¿Esta respuesta puede ser
correcta? Explique.
7. Al resolver una ecuación que contenía el término
x x
x x
- = 3 y la expresión - + 3.
2 3
2
3
a) ¿Cuál es el primer paso para resolver la ecuación?
Explique qué efecto tendrá el primer paso sobre la
ecuación.
Problemas de aplicación
Resuelva cada ecuación y compruebe su solución.
4x + 5
7
=
6
2
y
y
= 6 16.
10
5
7
= 1
x
10.
2
= 3
x
11.
10
= 2
b
13.
z + 2
1
=
4
12
14.
a + 2
a - 3
=
7
2
15.
6x + 7
2x + 9
=
5
3
17.
z 3z
5z
=3
4
12
18.
1
w
5
=
4
5
4
19.
3
- x = 2x
4
20.
1
5
2
+ =
y
2
2y
22.
x
x
1
=
2
6
6
23.
x-1
4
=
x-5 x-5
24.
3
c + 3
=
c + 1
2
26.
3
2
=
x + 1
x - 2
27.
2
5.6
=
-p - 6.2
p
28.
6.9
4.5
=
y - 3
y + 3
x - 3
x - 6
=
x + 1
x + 5
31. x -
4
1
= 3x
3
32. b -
3
19
=
x
x
35. x +
6
= -5
x
36.
9.
3
5
+
= 1
r
3r
5y - 2
15y - 2
=
25.
7
28
21.
29.
m + 1
m - 2
=
m + 10
m + 4
30.
33.
2x - 1
x
7.4
=
3
4
6
34. x +
37. 2 -
2b
5
=
2b
b + 1
38.
2
8
4
=
x - 3
x + 3
x2 - 9
y
2y - 16
2y - 3
+
=
43.
2y + 2
4y + 4
y + 1
41.
3z - 2
z + 2
= 4 z + 1
z - 1
12.
8
= -7
b
9x - 7
15
+
= 9
x
x + 2
1
1
-5
a
a
+
=
+
= 19
40. a w - 3 w + 3 w2 - 9
4
5
3
22
2
=
42.
w - 5
2w + 1
2w2 - 9w - 5
3
5
12x + 15
+
= 2
44.
x + 3
x + 4
x + 7x + 12
39.
400 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
1
1
4
+
= 2
x + 2
x - 2
x - 4
2
3
5
+ 2
= 2
47. 2
x + 4x + 3
x + x - 6
x - x - 2
45.
1
2
4r - 1
=
r - 2
r + 7
r + 5r - 14
1
4
2
- 2
= 2
48. 2
x + 2x - 8
x + 9x + 20
x + 3x - 10
46.
2
Determine la longitud de los dos lados desconocidos de cada par de figuras semejantes (es decir, la longitud de los lados
que incluyen a la variable x).
49.
50.
x2
5
6x
x1
14
6
4
51.
x
52.
8
2x 10
7x 1
x3
3
6
20
2x
Determine todos los valores para los que f(a) tiene el valor indicado en cada función racional.
53. f1x2 = 2x 56. f1x2 =
4
, f1a2 = - 2
x
6
6
+
, f1a2 = 6
x
2x
54. f1x2 =
x - 2
3
, f1a2 =
x + 5
5
55. f1x2 = 3x -
57. f1x2 =
x + 3
5
, f1a2 =
x + 5
7
58. f1x2 =
5
, f1a2 = -14
x
4
3
, f1a2 = 4
x
2x
Despeje la variable indicada en cada fórmula.
59.
V1
P2
=
, para P2 (química).
V2
P1
60. T a =
61.
V1
P2
=
, para V2 (química).
V2
P1
62. S =
63. m =
65. z =
, para y (pendiente).
x - x
, para x (estadística).
s
fl
64. m =
66. z =
, para f (fórmula de inversión).
a
, para r (matemáticas).
1 - r
y - y1
x - x1
, para x1 (pendiente).
x - x
, para s (estadística).
s
, para w (física).
68.
1
1
1
+
= , para p (óptica).
p
q
f
1
1
1
+
= , para q (óptica).
p
q
f
70.
1
1
1
=
+
, para RT (electrónica).
RT
R1
R2
67. d =
69.
y - y1
x - x1
Tf
1 - f
f + w
71. at2 - at1 + v 1 = v 2 , para a (física).
72. 2P 1 - 2P 2 - P 1 P c = P 2 P c , para Pc (economía).
73. an = a1 + nd - d, para d (matemáticas).
74. S n - S n r = a1 - a1 rn, para Sn (matemáticas).
75. F =
Gm 1 m 2
d2
, para G (física).
76.
P1 V1
P2 V2
=
, para T2 (física).
T1
T2
Sección 6.4 • Resolución de ecuaciones racionales • 401
77.
P1 V1
P2 V2
=
, para T1 (física).
T1
T2
78. A =
79.
S - S0
= t, para V0 (física).
V0 + gt
80.
1
h1a + b2, para h (matemáticas).
2
E
R + r
=
, para e (ingeniería).
e
r
Simplifique la expresión en a) y resuelva la ecuación en b).
2
3
+ 2
x - 2
x - 4
2
3
= 0
+ 2
b)
x - 2
x - 4
81. a)
b + 3
b + 4
15
- 2
b
b + 5
b + 5b
b + 3
b + 4
15
= 2
b)
b
b + 5
b + 5b
83. a)
82. a)
4
5
1
+
+
x - 3
2x - 6
2
b)
5
1
4
+
=
x - 3
2x - 6
2
84. a)
3
4x + 3
2
+
x
+
6
x
+
5
x + 11x + 30
b)
3
4x + 3
2
=
x + 6
x + 5
x + 11x + 30
2
2
Resolución de problemas
85. ¿Qué restricción debe agregarse al enunciado “Si ac bc,
entonces a b”? Explique.
x - 2
3
=
.
86. Considere
x - 5
x - 5
a) Resuelva la ecuación.
3
b) Si usted resta
de ambos lados de la ecuación,
x - 5
3
x - 2
= 0. Simplifique la diferencia
obtiene
x - 5
x - 5
del lado izquierdo de la ecuación y resuelva la ecuación.
c) Utilice la información obtenida en las partes a) y b)
para construir otra ecuación que no tenga solución.
87. A continuación se presentan dos gráficas. Una es la gráfica
x2 - 9
de f1x2 =
y la otra es la gráfica de g(x) x 3.
x-3
Determine cuál gráfica corresponde a f(x) y cuál a g(x).
Explique cómo determinó su respuesta.
a)
b)
y
6
4
4
89. Seguro Cuando el propietario de una casa compra una póliza de seguros para asegurar su propiedad por un monto
mínimo de 80% sobre su valor de reemplazo, la compañía
de seguros no reembolsará al propietario el total de su
pérdida. La siguiente fórmula se utiliza para determinar
cuánto pagará la compañía de seguros, I, cuando la propiedad está asegurada por menos de 80% sobre el valor de
reemplazo.
I =
AC
0.80R
En la fórmula, A es el monto asegurado, C es el costo
de reparar el área dañada y R es el valor de reemplazo de
la propiedad. (El uso de esta fórmula tiene ciertas excepciones).
a) Suponga que un incendio en la propiedad de Juana Beltrán causó daños con valor de $10,000. Si ella contrató
un seguro por $50,000 para una propiedad con valor
de reemplazo de $100,000, ¿cuánto pagaría la compañía de seguros por las reparaciones?
y
6
b) Resuelva esta ecuación para Tf.
c) Determine el rendimiento libre de impuestos equivalente a una inversión gravable de 5%.
b) Resuelva esta fórmula para R, el valor de reemplazo.
2
2
2
4
x
2
2
4
x
2
Tf
puede
1-f
usarse para determinar el rendimiento gravable equivalente, Ta, de una inversión libre de impuestos, Tf. En esta
fórmula, f es el rango de impuesto federal sobre los ingresos. Si una persona está en el rango de impuestos sobre
los ingresos de 26%.
88. Inversión libre de impuestos La fórmula T a =
a) Determine el rendimiento gravable equivalente a una
inversión libre de impuesto de 8%.
90. Velocidad promedio La velocidad promedio se define como un cambio en la distancia dividido entre el cambio en
el tiempo, o
v =
d2 - d1
t2 - t1
Esta fórmula puede usarse cuando un objeto a la distancia d1 en el instante t 1 viaja a la distancia d 2 en el instante t2.
a) Suponga que t1 2 horas, d1 118 millas, t2 9 horas
y d2 412 millas. Determine la velocidad promedio.
b) Resuelva la fórmula para t2.
402 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
91. Aceleración promedio La aceleración promedio se define como el cambio en la velocidad, dividido entre el cambio en el tiempo, o
a =
v2 - v1
t2 - t1
Esta fórmula puede usarse cuando un objeto a la velocidad v1 en el instante t1 acelera (o desacelera) a la velocidad v2 en el instante t2.
Consulte el ejemplo 9 para resolver los ejercicios 94 a 96.
94. Resistencia total ¿Cuál es la resistencia total de un
circuito si se conectan en paralelo resistores de 200 y
600 ohms?
95. Resistencia total ¿Cuál es la resistencia total de un circuito si se conectan en paralelo resistores de 300, 500 y
3000 ohms?
96. Resistencia total Tres resistores idénticos se conectan
en paralelo. ¿Cuál debe ser la resistencia de cada uno
si el circuito resultante tiene una resistencia total de
700 ohms?
Consulte el ejemplo 10 para resolver los ejercicios 97 y 98.
a) Suponga que v1 20 pies por minuto, t1 20 minutos, v2 60 pies por minuto y t2 22 minutos. Determine la aceleración promedio. Las unidades serán
pies/min2.
b) Resuelva la fórmula para t1.
92. Tasa de descuento La tasa de descuento, P, expresada como una fracción o decimal, puede determinarse por medio
de la fórmula
P = 1 -
R - D
R
97. Longitud focal En un proyector de películas o diapositivas, la película actúa como el objeto cuya imagen se proyecta sobre una pantalla. Si una lente con longitud focal de
100 mm (0.10 metros) se utiliza para proyectar una imagen sobre una pantalla ubicada a una distancia de 7.5 metros, ¿a qué distancia deben colocarse las lentes respecto
de la película?
Diapositiva
Lente
Pantalla
en donde R es el precio regular de un artículo y d es el
descuento (la cantidad que se ahorra respecto del precio
normal).
a) Determine la tasa de descuento en un bolso con un
precio normal de $39.99 que se vende en $30.99.
b) Resuelva la fórmula anterior para D.
c) Resuelva la fórmula anterior para R.
93. Economía Una fórmula para analizar el punto del equilibrio es
Q =
F + D
R - V
Esta fórmula se usa para determinar el número de unidades (o apartamentos), Q, que un inversionista debe alquilar en un edificio para alcanzar el punto de equilibrio (es
decir, no ganar ni perder). En la fórmula, F son los gastos
mensuales fijos de todo el edificio, D es el pago mensual
de las deudas del edificio, R es el alquiler por unidad y V
son los gastos variables por unidad.
Suponga que una persona está considerando invertir en un edificio con 50 unidades (o apartamentos). Cada
apartamento de dos habitaciones puede alquilarse en $500
al mes. Se estima que los gastos variables son de $200 al
mes por unidad, los gastos fijos son de $2500 al mes, y el pago mensual de la deuda es de $8000. ¿Cuántos apartamentos deben alquilarse para que el inversionista alcance el
punto de equilibrio?
98. Espejo cóncavo Un anillo de diamante se coloca a 20.0 cm
de un espejo cóncavo (curvado hacia adentro) cuya longitud focal es 15.0 cm. Determine la posición de la imagen
(o la distancia de la imagen).
99. Inversiones Algunas inversiones, como ciertos bonos municipales y fondos sobre bonos municipales, no sólo están
libres de impuestos federales, sino también de impuestos
municipales. Cuando se desea comparar una inversión gravable, Ta, con una inversión libre de impuesto federal,
estatal y municipal, Tf, se puede utilizar la fórmula
Ta =
Tf
1 - 3f + 1s + c211 - f24
En la fórmula, s es el rango de impuesto estatal a pagar, c
es el rango de impuestos municipales o locales a pagar, y
f es el rango de impuestos federales. Humberto Cortés
está a 4.6% el rango de impuesto estatal, a 3% el rango de
impuesto municipal, y en el rango de impuesto federal
de 33%, y está eligiendo entre invertir en un portafolio
bursátil libre de los tres impuestos, que produce 6.01%, y
un fondo bursátil gravable que produce 7.68%.
a) Tomando en cuenta su rango de impuestos, determine
el equivalente gravable a 6.01% de rendimiento libre
de impuestos.
Sección 6.5 • Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas • 403
b) ¿Por cuál inversión debe optar Humberto? Explique
su respuesta.
100. Periodo sinódico El periodo sinódico de Mercurio es el
tiempo que dicho planeta necesita para llevar una vuelta
de ventaja a la Tierra en sus órbitas alrededor del Sol. Si
los periodos orbitales (en días terrestres) de los dos planetas son Pm y Pe, se verá que Mercurio se mueve en promedio a 1/Pm de una revolución por día, mientras que la
Tierra se mueve al 1/Pe de una revolución por día detrás
de aquél. La ventaja diaria de Mercurio respecto de la Tierra es (1/Pm) (1/Pe) de una revolución, de modo que el
tiempo que tarda en aventajar a la Tierra en una revolución completa (periodo sinódico), s, puede determinarse
mediante la fórmula
Si Pe es 365 días y Pm es 88 días, determine el periodo sinódico en días terrestres.
1
88
de la órbita total
Día Día
0
1
1
365
de la órbita total
Tierra
Día 1
Mercurio
Sol
1
1
1
=
s
Pm
Pe
Reto
101. Construya una ecuación que no pueda tener a 4 ni a 2 como soluciones. Explique cómo determinó su respuesta.
102. Construya una ecuación que contenga la suma de dos expresiones racionales en la variable x, y cuya solución sea
el conjunto de número reales. Explique cómo determinó su
respuesta.
103. Construya una ecuación que contenga dos expresiones racionales en la variable x, y cuya solución sea el
conjunto de números reales excepto 0. Explique cómo
determinó su respuesta.
Actividad en equipo
104. Longitud focal Una lente con longitud focal de 80 mm se
utiliza para enfocar una imagen y fotografiarla con una
cámara. La distancia máxima permitida entre la lente y la
película plana es de 120 mm.
a) Miembro 1 del equipo: Determine qué tan lejos debe
estar la lente respecto de la película, si el objeto que
será fotografiado está a 10 metros de distancia.
b) Miembro 2 del equipo: Repita la parte a) para una distancia de 3 metros.
c) Miembro 3 del equipo: Repita la parte a) para una distancia de 1 metro.
d) Determinen de manera individual cuál es la distancia
más corta a la que debe estar un objeto para poder fotografiarlo claramente.
e) Compare sus respuestas para ver si parecen razonables
y consistentes.
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.5] 105. Resuelva la desigualdad 2
4 2x 6.
[3.4] 106. Determine la pendiente y la intersección del eje
y de la recta que resulta al graficar la ecuación
3(y 4) (x 2).
[5.1] 107. Simplifique 3x2y – 4xy 2y2 – (3xy 6y2 2x).
[5.8] 108. Jardinería Se colocará un pasillo de ancho uniforme alrededor de un jardín. El jardín y el pasillo juntos cubren un área de 320 pies cuadrados. Si el
jardín mide 12 por 16 pies, determine el ancho del
pasillo.
6.5 ECUACIONES RACIONALES: APLICACIONES Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1
Resolver problemas de trabajo.
2
Resolver problemas numéricos.
3
Resolver problemas de movimiento.
En la sección 6.4 se explicó cómo resolver algunos problemas de aplicación que contienen ecuaciones con expresiones racionales. En esta sección examinaremos algunas
aplicaciones más. En primer lugar analizaremos problemas de trabajo.
404 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
1
Resolver problemas de trabajo
Por problemas de trabajo nos referimos a aquellos que involucran a dos o más máquinas o personas que trabajan juntas para realizar alguna tarea. Para resolver este tipo
de problemas, partimos del hecho de que la parte del trabajo realizado por la persona
1 (o máquina 1) más la parte del trabajo realizado por la persona 2 (o máquina 2) es
igual a la cantidad de trabajo total realizado por ambas personas (o máquinas) o 1
(para 1 tarea completa terminada).
parte de la tarea hecha
parte de la tarea hecha
1
£ por la primera persona ≥ + £ por la segunda persona ≥ = £ (tarea completa ≥
o máquina
o máquina
terminada)
Para determinar la parte de la tarea realizada por cada persona o máquina, utilizamos
la fórmula
parte de la tarea concluida velocidad tiempo
Esta fórmula es muy similar a la fórmula cantidad velocidad • tiempo que analizamos en la sección 2.4.
Veamos ahora cómo determinar la velocidad. Si, por ejemplo, Juan puede realizar cierta tarea en 5 horas, podría concluir 51 tarea en 1 hora. De este modo, su velocidad es 15 de la tarea por hora. Si Roberto completa un trabajo en 6 horas, su velocidad
es 61 del trabajo por hora. De igual manera, si María realiza un trabajo en x minutos, su
velocidad es x1 del trabajo por minuto. En general, si una persona o máquina puede concluir una tarea en x unidades de tiempo, la velocidad es x1 .
EJEMPLO 1
Sembrando flores Susana y Gerardo Landeta trabajan en un jardín botánico, alrededor de cuyos terrenos se agregarán varios diseños florales. Susana, quien tiene más experiencia, puede plantar las flores y hacer el diseño en 3 horas. Gerardo necesita 5
horas de trabajo para realizar el mismo diseño. Si Susana y Gerardo trabajan juntos,
¿cuánto tardarán en realizar el diseño?
Solución
Entienda el problema Necesitamos cuánto tiempo necesitan Susana y Gerardo, trabajando juntos, para hacer el diseño floral. Sea x tiempo, en horas, en que Susana y
Gerardo hacen juntos el diseño floral. Construiremos una tabla para ayudarnos a determinar la parte de la tarea completada por cada persona.
Velocidad de
trabajo
Tiempo
trabajado
Parte de la
tarea realizada
Susana
1
3
x
x
3
Gerardo
1
5
x
x
5
Trabajador
Traduzca
a
parte del diseño floral hecho
parte del diseño floral hecho
b + a
b = 11diseño floral completo2
por Susana en x horas
por Gerardo en x horas
x
3
+
x
5
= 1
Realice los cálculos Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD, 15.
Luego despejamos x, el número de horas.
Sección 6.5 • Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas • 405
15 a
x
x
+ b
3
5
x
x
15a b + 15a b
3
5
5x + 3x
8x
= 15 # 1
Multiplicar por el MCD, 15.
= 15
Propiedad distributiva.
= 15
= 15
15
x =
8
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 11
1.88 horas (redondeado al
centésimo más cercano).
Responda Susana y Gerardo pueden hacer el diseño floral en más o menos 1.88 horas. Este tiempo es razonable, ya que es menor al que necesita cualquiera de las dos personas para hacer el diseño de manera individual.
✺
En ocasiones un problema puede incluir decimales, como se muestra en el siguiente
ejemplo.
EJEMPLO 2
Solución
Llenado de una bañera Recientemente, Mario y Guadalupe López se mudaron a
una casa con bañera, pero descubrieron que, al abrir el grifo para llenarla, el agua que
salía estaba turbia. Por lo tanto, decidieron dejarla correr hasta que saliera lo más clara posible; para ello, abren el grifo del agua fría y dejan abierto el desagüe de la bañera.
El grifo del agua fría puede llenar la bañera en 7.6 minutos, y el desagüe puede vaciarla
en 10.3 minutos. Si tanto el desagüe como el grifo de agua fría están abiertos, ¿cuánto
tiempo transcurre antes de que el agua llene la bañera y comience a derramarse?
Mientras el grifo llena la bañera, el desagüe la vacía, así el grifo
y el desagüe están trabajando uno en contra del otro. Sea x la cantidad de tiempo
necesaria para llenar la bañera.
Entienda el problema
Grifo llenando
la bañera
Desagüe vaciando
la bañera
Parte de la bañera
que se llena
o se vacía
Velocidad
de trabajo
Tiempo
trabajado
1
7.6
x
x
7.6
1
10.3
x
x
10.3
Traduzca Como el grifo y el desagüe están trabajando uno contra el otro, restamos
la parte de la bañera que se está vaciando de la parte de la bañera que se va llenando.
a
bañera completaparte de la bañera llenada
parte de la bañera vaciada
b
b - a
b = 1a
mente llena
en x minutos
en x minutos
x
7.6
x
10.3
-
= 1
Con ayuda de una calculadora, podemos determinar que el
MCD es (7.6)(10.3) 78.28. Ahora multiplicamos ambos lados de la ecuación por
78.28 para eliminar las fracciones.
Realice los cálculos
78.28 a
x
x
b = 78.28 112
7.6
10.3
10.3
7.6
x
x
78.28 a
b - 78.28 a
b = 78.28112
7.6
10.3
406 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
10.3x - 7.6x = 78.28
2.7x = 78.28
x L 28.99
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21
✺
La bañera se llenará en más o menos 29 minutos.
Responda
EJEMPLO 3
Trabajo en un viñedo Cristóbal Benítez y Manuel Cárdenas trabajan en un viñedo.
Cuando trabajan juntos, pueden revisar todas las plantas de un terreno determinado
en 24 minutos. Para hacer ese trabajo solo, Cristóbal necesita 36 minutos. ¿Cuánto tardará Manuel en revisar las plantas él solo?
Solución
Entienda el problema Sea x cantidad de tiempo que necesita Manuel para revisar las plantas él solo. Sabemos que cuando trabajan juntos, Manuel y Cristóbal pueden hacer ese trabajo en 24 minutos. Organicemos esta información en una tabla.
Trabajador
Velocidad
de trabajo
Tiempo
trabajado
Parte de las
plantas revisadas
Cristóbal
1
36
24
2
24
=
36
3
Manuel
1
x
24
24
x
Traduzca
a
terreno completo b
parte de las plantas
parte de las plantas
b + a
b = 1a
revisadas por Cristóbal
revisadas por Manuel
revisado
2
3
Realice los cálculos
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19
Responda
24
x
+
3x a
2
24
b = 3x # 1
+
x
3
2x + 72 = 3x
72 = x
= 1
Multiplicar ambos lados
por el MCD, 3x.
Manuel puede revisar las plantas, él solo, en 72 minutos.
✺
Observe que en el ejemplo 3 usamos 23 en lugar de 24
36 para indicar la parte de las
plantas revisada por Cristóbal. Utilice siempre fracciones simplificadas cuando plantee y resuelva ecuaciones.
2
Resolver problemas numéricos
Veamos ahora un problema numérico, en donde se debe encontrar un número relacionado con uno o más números.
EJEMPLO 4
Solución
Problema numérico Cuando el recíproco del triple de un número se resta de 5, el
resultado es el recíproco del doble del número. Determine de qué número se trata.
Sea x el número desconocido. Entonces 3x es el triple del
1
1
número, y
es el recíproco del triple del número. El doble del número es 2x, y
3x
2x
es el recíproco del doble del número.
Entienda el problema
Traduzca
5 -
1
1
=
3x
2x
Sección 6.5 • Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas • 407
Realice los cálculos
6x a5 -
1
b
3x
1
6x152 - 6xa b
3x
30x - 2
30x
=
=
=
x =
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 29
3
1
2x
1
6xa b
2x
3
5
5
1
=
30
6
= 6x #
Multiplicar por el MCD, 6x.
1
Verifique el resultado para comprobar que el número es 6 .
Responda
✺
Resolver problemas de movimiento
El último tipo de problema que veremos son los problemas de movimiento. Recuerde que estudiamos problemas de movimiento en la sección 2.4, en donde aprendimos
que distancia velocidad tiempo. En ocasiones es conveniente despejar el tiempo
cuando resolvemos este tipo de problemas
tiempo =
distancia
velocidad
EJEMPLO 5
Vuelo en aeroplano Martha Morales pilotea un monoplano marca Cessna. Cuando
hace su plan de vuelo, determina que hay un viento de 20 millas por hora moviéndose de este a oeste a la misma altura a la que volará. Si Martha viaja hacia el oeste (con
el viento a favor), puede recorrer 400 millas en el mismo tiempo en que podría recorrer 300 millas volando hacia el este (con el viento en contra). Suponiendo que, si
no hubiese viento, el monoplano volaría a la misma velocidad viajando hacia el este o
hacia el oeste, determine la velocidad a la que vuela con el viento en calma.
Solución
Entienda el problema Sea x velocidad del monoplano con el viento en calma.
Construyamos una tabla que nos ayude a responder la pregunta.
Viento (20mph)
Oeste
Este
Aeroplano
Volando con
el viento
a favor
400 millas
Volando con
el viento
en contra
300 millas
Distancia
Velocidad
Con el viento en contra
300
x - 20
Con el viento a favor
400
x + 20
Tiempo
300
x - 20
400
x + 20
Traduzca Como los tiempos son los mismos, planteamos y resolvemos la siguiente
ecuación:
400
300
=
x - 20
x + 20
Realice los cálculos
Responda
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 37
3001x + 202
300x + 6000
6000
14,000
140
=
=
=
=
=
4001x - 202
400x - 8000
100x - 8000
100x
x
Multiplicación cruzada.
La velocidad del monoplano con el viento en calma es de 140 millas
por hora.
✺
408 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
EJEMPLO 6
Paseo en bicicleta acuática Una pareja pasea en una bicicleta acuática. Cuando viajan en contra de la corriente (alejándose de la costa), promedian 2 millas por hora.
De regreso (acercándose a la costa), viajan con la corriente a favor y promedian 3
1
millas por hora. Si tardan 4 de hora más de ida que de vuelta a la costa, ¿qué tanto se
alejaron de la costa durante su paseo?
Solución
Entienda el problema En este problema, el tiempo de ida y de regreso no son igua1
les. La pareja necesitó 4 de hora más para alejarse de la costa que para el regreso.
1
Por lo tanto, para igualar los tiempos podemos sumar 4 de hora al tiempo que les tomó
1
el regreso (o restar 4 de hora del tiempo de ida). Sea x la distancia que les llevó alejarse de la costa.
NOW TRY EXERCISE 37
Bicicleta
Distancia
Velocidad
Viaje de ida
x
2
Viaje de regreso
x
3
Traduzca tiempo del viaje de regreso +
Realice los cálculos
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 49
EJEMPLO 7
Solución
Responda
Tiempo
x
2
x
3
1
de hora = tiempo del viaje de ida
4
x
1
+
3
4
x
1
12 a + b
3
4
1
x
12a b + 12a b
3
4
4x + 3
3
1.5
=
x
2
= 12 # x
x
= 12a b
2
= 6x
= 2x
= x
Multiplicar por el MCD, 12.
Propiedad distributiva.
Por lo tanto, la pareja se alejó 1.5 millas de la costa.
✺
De viaje Roberto Rodríguez vive en una ciudad y estudia en un poblado cercano. En
algunas carreteras, la velocidad límite es de 55 millas por hora, y en otras es de 65 millas por hora. La distancia total que recorre Roberto para llegar a su escuela es de 490
millas. Si a Roberto le toma 8 horas el recorrido, ¿cuánto tiempo maneja a 55 millas por
hora y cuánto a 65 millas por hora?
Sea x número de millas recorridas a 55 mph,
entonces 490 x número de millas recorridas a 65 mph
Entienda el problema y traduzca
Límite de velocidad
Distancia
Velocidad
55 mph
x
55
65 mph
490 - x
65
Como el recorrido total dura 8 horas, escribimos
x
490 - x
+
= 8
55
65
Tiempo
x
55
490 - x
65
Sección 6.5 • Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas • 409
El MCD de 55 y 65 es 715.
Realice los cálculos
715 a
715a
x
490 - x
+
b = 715 # 8
55
65
490 - x
x
b + 715a
b = 5720
55
65
13x + 111490 - x2 = 5720
13x + 5390 - 11x = 5720
2x + 5390 = 5720
2x = 330
x = 165
Responda
El número de millas recorridas a 55 mph es 165. Por lo tanto, el
tiempo recorrido a 55 mph es
490 - 165
325
=
= 5 horas.
65
65
165
= 3 horas, y el tiempo recorrido a 65 mph es
55
✺
En el ejemplo 7, observe que la respuesta a la pregunta no fue el valor obtenido
para x, ya que se refiere a distancia y lo que nos pidieron determinar fue el tiempo. Al
trabajar con problemas expresados con palabras, lea con atención y resuélvalos con mucho cuidado, asegurándose de responder la pregunta planteada.
Conjunto de ejercicios 6.5
Problemas de aplicación
1. Pintando una pared De manera individual, dos hermanos necesitan exactamente el mismo tiempo para pintar
una pared. Si hacen juntos el trabajo, el tiempo total que
1
1
necesitarán ¿será menor que 2 del tiempo, igual a 2 del
1
tiempo o mayor que 2 del tiempo que requieren de manera individual? Explique.
2. Tractores Dos tractores, uno grande y uno pequeño, trabajan juntos para nivelar un terreno. En la misma cantidad
de tiempo, el tractor grande nivela más tierra que el pequeño. Trabajando solo, ¿le tomará más o menos tiempo al
tractor pequeño realizar la labor que a los dos trabajando
juntos? Explique.
3. a) Trabajo en equipo Pedro y Pablo están planeando
hacer una tarea juntos. Pedro puede hacerla en siete
horas, y Pablo puede realizarla en 8 horas. Sea x el
tiempo que Pedro y Pablo hacen juntos la tarea. Complete la siguiente tabla.
Trabajador
Velocidad de
trabajo
Tiempo
Parte de la
trabajado tarea terminada
Pedro
x
Pablo
x
b) Analice los ejemplos que se explicaron en esta sección.
Luego escriba la ecuación que puede usarse para despejar x. (No la resuelva).
c) Si Pedro y Pablo trabajan en equipo, ¿les tomará más
o menos de siete horas terminar la tarea? Explique.
4. a) Trabajo en equipo Sofía y Teresa planean hacer una
tarea juntas. Sofía puede hacerla en 3.6 horas, y Teresa
puede realizarla en 5.2 horas. Sea x el tiempo en que
Sofía y Teresa realizan la tarea juntas. Complete la
siguiente tabla.
Trabajador
Velocidad de
trabajo
Tiempo
Parte de la
trabajado tarea terminada
Sofía
x
Teresa
x
b) Analice los ejemplos que se explicaron en esta sección.
Luego escriba la ecuación que puede usarse para despejar x. (No la resuelva).
c) Si Sofía y Teresa trabajan juntas, ¿les tomará más o menos de 3.6 horas completar la tarea? Explique.
410 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
Los ejercicios 5 a 26 se refieren a problemas de trabajo. Responda la pregunta que se hace en cada uno. Cuando sea necesario, redondee las respuestas al centésimo más cercano.
5. Escultura Un artista requiere dos meses para tallar una
escultura en madera, y otro necesita 6 meses para hacer
el mismo trabajo. Si ambos escultores trabajan juntos, ¿en
cuánto tiempo tallarán la escultura?
12. Pintura Una persona puede pintar la sala de una casa
en 6 horas, y otra puede hacer el mismo trabajo en 4.5
horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en pintar la sala si trabajan juntas?
13. Llenado de una alberca Una manguera de 12 pulgada de
diámetro puede llenar una alberca en 8 horas, mientras
que una manguera de 45 pulgada de diámetro puede hacerlo
en 5 horas. ¿Cuánto tiempo se necesitará para llenar la
alberca si se usan ambas mangueras?
6. Limpiaventanas Un trabajador puede lavar todas las
ventanas de un edificio en 3 horas, y otro puede hacer el
mismo trabajo en 4 horas. ¿Cuánto tardarán en lavar todas
las ventanas del edificio si trabajan juntos?
7. Servicio de limpieza Una persona puede lavar la alfombra
del piso principal de un edificio en 3 horas, y otra puede hacer el mismo trabajo en 6 horas. Si trabajan juntas, ¿cuánto
tiempo les tomará lavar la alfombra?
8. Impresión de cheques Una empresa tiene dos computadoras para imprimir los cheques de nómina de sus empleados; una lo hace en 3 horas, y la otra en 5 horas. ¿Cuánto
tiempo tardará la impresión de los cheques si ambas computadoras trabajan juntas?
9. Granja lechera En una pequeña granja lechera, un peón
puede ordeñar 10 vacas en 30 minutos, mientras que otro requiere 50 minutos para realizar la misma tarea. ¿Cuánto
tardarán ambos peones si ordeñan juntos las 10 vacas?
10. Jardinería Miguel utiliza una podadora manual para recortar el césped de un terreno en 5 horas. Por su parte,
Mauricio emplea una podadora eléctrica para realizar el
mismo trabajo en 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en podar el césped del terreno si trabajan juntos?
14. Tanque de leche En una planta lechera, una tanque de leche
puede llenarse en 6 horas usando la válvula de llenado.
Mediante una válvula de salida, el tanque puede vaciarse
en 8 horas. Si ambas válvulas se abren al mismo tiempo
¿cuánto tiempo tardará en llenarse el tanque?
15. Refinería Una refinería tiene grandes tanques para almacenar petróleo. Cada tanque tiene una válvula de entrada
y una válvula de salida. El tanque puede llenarse en 20
horas cuando la válvula de entrada está totalmente abierta y la válvula de salida está cerrada. Cuando la válvula de
salida está abierta completamente, el tanque puede vaciarse
en 25 horas, si la válvula de entrada está cerrada. Si se pone en operación un nuevo tanque y se abren completamente las dos válvulas, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse
el tanque?
16. Fabricantes de armarios Laura y Marcia son fabricantes
de muebles. Laura puede fabricar una alacena para cocina en 10 horas. Si Laura y Marcia trabajan juntas, pueden
fabricar la misma alacena en seis horas.¿Cuánto tiempo
tardará Marcia en fabricar la alacena?
17. Arqueología Dos arqueólogos están haciendo una excavación cerca del Foro romano. Trabajando juntos, estos
arqueólogos pueden revisar un terreno específico en 2.6
meses. De manera individual, uno de ellos puede realizar
el mismo trabajo en 3.9 meses. ¿Cuánto tiempo tardará el
otro en revisar el área completa él solo?
11. Arado de un campo Además de ser amigas, Sandra González y Andrea Ojeda son propietarias de unos ranchos
vecinos. Sandra puede arar su maizal en 4 horas, y Andrea
hace el mismo trabajo en 6 horas. Cierto día, Sandra está a punto de salir de viaje, así que tiene prisa por arar su
maizal; para lograrlo, le pide ayuda a Andrea. ¿Cuánto
tiempo necesitarán para arar el maizal si trabajan juntas?
18. Excavación de una zanja Arturo y Salomón trabajan
en una empresa de telefonía. Juntos tardan 2.7 horas en
cavar una zanja en donde se colocarán ciertos cables. Si
Arturo puede excavar la zanja en 3.2 horas, ¿cuánto tiempo
tardará Salomón en excavarla él solo?
Sección 6.5 • Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas • 411
19. Tanque de medusas Julián y Marcela trabajan en un
acuario. Julián tarda 50 minutos en limpiar los tanques
de las medusas, pero como Marcela está aprendiendo a
hacerlo, requiere más tiempo para realizar el mismo trabajo. Cuando trabajan juntos, pueden realizar la tarea en
30 minutos. ¿Cuánto tiempo necesita Marcela para hacer
la tarea ella sola?
22.
23.
24.
25.
20. Irrigación Un gran tanque se utiliza en una granja para
irrigar las cosechas. El tanque tiene dos tubos de entrada
y un tubo de salida. Los dos tubos de entrada pueden llenar el tanque en 8 y 12 horas, respectivamente. El tubo de
salida puede vaciar el tanque en 15 horas. Si el tanque está
vacío, ¿cuánto tardará en llenarse cuando las tres válvulas
están abiertas?
21. Llenado de una tina Cuando sólo está abierto el grifo
de agua fría, una tina se llena en 8 minutos. Cuando sólo está abierto el grifo de agua caliente, la tina se llena en 12
minutos. Cuando el desagüe de la tina está abierto, la tina
26.
se vacía completamente en 7 minutos. Si están abiertos los
dos grifos, el de agua caliente y el de agua fría, y también
lo está el desagüe, ¿cuánto tardará la tina en llenarse?
Instalación de ventanas Andrés, Francisco y Guillermo
son expertos en instalación de ventanas.Andrés puede instalar cinco ventanas en 10 horas. Francisco puede hacer
el mismo trabajo en 8 horas, y Guillermo puede hacerlo en
6 horas. Si los tres trabajan juntos, ¿cuánto tardarán en instalar las ventanas?
Bombeo de agua Después de una inundación, el departamento de bomberos de una ciudad utiliza tres bombas para
drenar agua de los sótanos inundados. Las tres bombas
pueden drenar toda el agua de un sótano inundado en 6
horas, 5 horas y 4 horas, respectivamente. Si las tres bombas
trabajan juntas, ¿cuánto tardarán en vaciar el sótano?
Plantar flores Julio y Augusto plantan petunias en su jardín de flores. Julio tarda el doble de tiempo que Augusto
en plantar las flores. Trabajando juntos pueden plantar las
flores en 10 horas. ¿Cuánto tardará Augusto en plantar
las flores él solo?
Techado de una casa Jaime Gómez requiere 15 horas
para poner un nuevo techo en una casa. De manera individual, su aprendiz, Cristina Campos, puede colocar el techo
de la casa en 20 horas. Después de trabajar solo en un techo durante 6 horas, Jaime interrumpe la labor; Cristina
la retoma y la completa. ¿Cuánto tiempo le tomará a Cristina completar el trabajo?
Llenado del tanque Dos tubos se usan para llenar un
tanque de petróleo. Cuando se utiliza sólo el tubo más
grande, el tanque se llena en 60 horas; cuando se utiliza
sólo el tubo más pequeño, el tanque se llena en 80 horas. Un
día, se abre el tubo más grande para empezar a llenar el
tanque; después de 20 horas, se cierra el tubo más grande
y se abre el más pequeño. ¿Cuánto tiempo más se necesitará para terminar de llenar el tanque?
Los ejercicios 27 a 36 incluyen problemas numéricos. Responda la pregunta que se hace en cada uno.
27. ¿Que número multiplicado por el numerador y sumado
4
al denominador de la fracción 3 da por resultado la frac5
ción 2 ?
28. ¿Que número sumado al numerador y multiplicado por
4
el denominador de la fracción 5 da por resultado la frac1
ción 15 ?
29. Un número es el doble de otro. La suma de sus recíprocos
3
es 4 . Determine ambos números.
30. La suma de los recíprocos de dos enteros consecutivos da
11
por resultado 30 . Determine los dos enteros.
31. La suma de los recíprocos de dos enteros pares consecu5
tivos es 12 . Determine los dos enteros.
32. Cuando un número se suma al numerador y al denomina7
5
dor de la fracción 9 , la fracción resultante es 6 . Determine
el número que se sumó.
33. Cuando el número 3 se suma al doble del recíproco de otro
31
número, el resultado es 10 . Determine el número.
34. El recíproco de 3 menos que un cierto número es el doble
del recíproco de 6 menos que el doble del número. Determine el o los números.
35. Si el triple de un número se suma al doble del recíproco del
número, el resultado es 5. Determine el o los números.
36. Si el triple del recíproco de un número se resta del doble
del recíproco del cuadrado del número, la diferencia es
1. Determine el o los números.
Los ejercicios 37 a 57 son problemas de movimiento. Responda la pregunta que se hace en cada uno. Cuando sea necesario, redondee las
respuestas al centésimo más cercano.
37. Canotaje Cuando Armando Suárez y su alumno, José
Torres, reman en canoa por aguas tranquilas, recorren 4
millas por hora. Cuando reman con la misma intensidad en
un río, les toma el mismo tiempo viajar 4.2 millas con la
corriente a favor que recorrer 3.5 millas río con la corriente
en contra. Determine la velocidad de la corriente del río.
412 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
38. Transporte por tren Luisa Rodríguez desea transportar
por tren uno de sus automóviles mientras conduce el
otro en la misma dirección. El tren recorre una distancia de 600 kilómetros en el mismo tiempo que Luisa recorre 400 kilómetros. Si la velocidad promedio del tren
es 40 kilómetros mayor que la velocidad del automóvil
que conduce Luisa, determine las velocidades del tren y
del automóvil.
39. Banda sinfín Una banda sinfín se utiliza para transportar
a los usuarios de un aeropuerto. La banda se mueve a una
velocidad de 2.0 pies por segundo. Utilizando la banda,
una persona recorre una distancia de 120 pies en el mismo
tiempo que le tomaría recorrer 52 pies caminando. ¿Qué
tan rápido camina esta persona?
Véase el ejercicio 43. La fotografía muestra a Allen Angel,
el autor de este libro.
44. Viaje en bote Rafael Prado inició un viaje en bote a las
8 a.m. El bote de Rafael puede viajar a 20 millas por hora
en aguas tranquilas. ¿Qué tan lejos río abajo puede ir
Rafael, si la corriente es de 5 millas por hora y él desea
ir y regresar en 4 horas?
45. Partido de fútbol americano En un partido de fútbol
americano, los Empacadores de Green Bay tienen el balón en la yarda 20 de su propio terreno. Brett Favre pasa el balón a Terry Glenn, quien lo atrapa y corre hacia
la zona de anotación. Suponga que el balón viajó a 14.7
yardas por segundo en el pase, y que una vez que lo atrapó, Terry corrió a 5.8 yardas por segundo hasta la zona
de anotación. Si la jugada completa, desde el momento
en que Brett soltó el balón hasta el momento en que
Terry llegó a la zona de anotación, duró 10.6 segundos,
¿qué tan lejos lanzó el balón Brett para que Terry lo atrapara? Suponga que toda la jugada se llevó a cabo en el
centro del campo.
40. Banda sinfín Una banda sinfín se mueve a una velocidad
de 1.8 pies por segundo. Una persona recorre 100 pies
sobre la banda sinfín, después da la vuelta sobre la misma
banda y recorre 40 pies a la misma velocidad en dirección
opuesta. Si el tiempo utilizado en el recorrido en cada dirección fue el mismo, determine la velocidad a la que camina
la persona.
41. Esquí Blanca y Román darán un paseo en esquí a campo traviesa. Román es un esquiador experto, capaz de recorrer 10 millas por hora, mientras que Blanca promedia
6 millas por hora. Si Blanca necesita 1/2 hora más que
Román para recorrer el mismo tramo, ¿cuál es la longitud
del camino?
42. Excursión Ruth y Javier Sosa salen a dar un paseo por el
campo. Ruth trota y Javier va en patines. Javier patina a 2.9
millas por hora más rápido de lo que Ruth trota. Cuando
Javier ha patinado 5.7 millas, Ruth ha trotado 3.4 millas.
Determine la velocidad de trote de Ruth.
43. Visita a un centro turístico Ángel condujo 60 millas hasta un centro turístico, y empleó el doble de tiempo en recorrerlo que lo que necesitó para llegar a él. El tiempo
total utilizado en conducir hasta el centro turístico y recorrerlo fue de 5 horas. Determine la velocidad promedio a la que condujo hacia el centro turístico.
Terry
Glenn
Recorrido
Zona
de anotación
Pase
Línea de yarda
80 yardas
Brett
Favre
Zona
de
anotación
46. Viaje Cierto día, Paulina Sierra recorrió en su automóvil
una distancia de 492 millas. Parte del viaje, Paulina condujo a una velocidad constante de 50 millas por hora, y en
otra manejó a una velocidad constante de 35 millas por
hora. Si el tiempo total del viaje fue de 11.13 horas, ¿qué
distancia recorrió Paulina a cada velocidad?
47. Trenes subterráneos En cierta ciudad dos trenes subterráneos, uno expreso y el otro normal, recorren una distancia
de 24.2 millas por vías paralelas. Suponga que ambos trenes inician su recorrido al mismo tiempo; cuando el tren
expreso llega al final de la ruta, el tren normal se encuentra a 7.8 millas de distancia. Si el tren expreso es más rápido que el normal en 5.2 millas promedio, determine las
velocidades de los dos trenes.
Sección 6.5 • Ecuaciones racionales: aplicaciones y resolución de problemas • 413
48. Equitación Cada mañana, Rolando Núñez monta su caballo, Belleza, y cabalga al trote una distancia de 5.4 millas;
luego, deja que Belleza camine a su propio ritmo 2.3 millas. La velocidad del caballo al trotar es 4.2 veces su velocidad al caminar. Si todo el paseo dura 1.5 horas, determine
la velocidad a la que camina Belleza.
total del viaje fue de dos horas. Determine la velocidad
promedio a la que voló el helicóptero en su recorrido
hacia el monte.
49. Viaje Un tren y un automóvil inician su recorrido hacia
un poblado al mismo tiempo y desde el mismo punto. En
promedio, el automóvil se mueve a una velocidad de 50
millas por hora, y el tren a 70 millas por hora. Si el tren
llega al poblado dos horas antes que el automóvil, determine a qué distancia está el poblado respecto del punto
de partida.
54. Veleros Dos veleros, el Serendipity y el Zerwilliker, inician su recorrido en el mismo punto y al mismo instante.
El Serendipity navega a un promedio de 5.2 millas por
hora, y el Zerwilliker lo hace a un promedio de 4.6 millas
por hora. Si el Serendipity llega a su destino 0.4 horas antes que el Zerwilliker, determine la distancia que hay entre
el punto en que iniciaron el recorrido y su destino final.
50. Viaje Un automóvil y un tren inician su recorrido hacia un
poblado al mismo tiempo y desde el mismo punto; su destino está a 390 millas de distancia. Si la velocidad del automóvil promedia el doble de la velocidad del tren y el
automóvil llega 6.5 horas antes que el tren, determine la
velocidad del automóvil y la velocidad del tren.
55. Puente colgante Un puente colgante tiene una longitud
de 450 pies. Felipe y Germán empiezan a cruzarlo a pie
al mismo tiempo. La velocidad de Germán fue 2 pies por
minuto más rápida que la de Felipe. Si Germán terminó
1
de cruzar el puente 2 2 minutos antes que Felipe, determine la velocidad promedio a la que lo cruzó Felipe en pies
por minuto.
51. Viaje Dos amigos recorren, cada uno por su lado, una distancia de 600 millas. Horacio viaja por autopista y llega a
su destino dos horas antes que Carla, quien tomó una ruta diferente. Si la velocidad promedio del automóvil de
Horacio fue 10 millas por hora más rápida que la del automóvil de Carla, determine la velocidad promedio a la
que viajó el automóvil de Horacio.
52. Carrera en velero Bucanero, el velero ganador de una
competencia, completó su recorrido de 30 millas 10 minutos
antes que el segundo lugar, Cuervo. Si la velocidad promedio de Bucanero fue de dos millas por hora más rápida
que la de Cuervo, determine la velocidad promedio del
velero ganador.
53. Viaje en helicóptero Bárbara Díaz viajó en helicóptero
hasta la cima del monte Cook, en Nueva Zelanda. El
recorrido fue de 60 kilómetros. Bárbara permaneció en la
1
cima del monte 2 hora, y después voló a la ciudad de Te
Anu, a 140 kilómetros de distancia. El helicóptero voló en
promedio 20 kilómetros por hora más rápido al ir a Te Anu
que durante el vuelo hacia la cima del monte. El tiempo
56. Vía de tren inclinada Un paseo por el monte Pilatos, cerca de Lucerna, Suiza, incluye un recorrido a lo largo de
una vía de tren inclinada que sube hacia la cima; después,
se pasa algún tiempo ahí, y luego se regresa por el lado
opuesto del monte, a bordo de un teleférico.
La distancia que se recorre hacia la cima del monte es de 7.5 kilómetros, y la distancia del descenso es de
8.7 kilómetros. La velocidad del teleférico es 1.2 veces la
velocidad del tren sobre la vía inclinada. Si una familia
permaneció en la cima del monte durante 3 horas, y el
tiempo total del paseo fue de 9 horas, determine la velocidad del recorrido por la vía inclinada.
57. Lanzamiento de cohetes Dos cohetes serán lanzados al
mismo tiempo desde el principal centro de operaciones de
la NASA en Houston, Texas, y se encontrarán en una estación espacial a muchas millas de distancia de la Tierra.
El primer cohete viaja a 20,000 millas por hora, y el segundo a 18,000 millas por hora. Si el primer cohete llegará a
la estación espacial 0.6 horas antes que el segundo, ¿qué
tan lejos se encuentra la estación espacial del centro de
operaciones de la NASA?
414 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
60. Construya su propio problema numérico y determine la
solución.
58. Construya su propio problema de aplicación y determine
la solución.
59. Construya su propio problema de movimiento y determine la solución.
Reto
61. Una oficial que pilotea una aeronave de patrullaje determina que un automóvil que está a una distancia de 10
millas está siendo conducido a una velocidad de 90 millas
por hora.
a) Si la aeronave viaja a 150 millas por hora, ¿cuántos minutos tardará en alcanzar al automóvil?
b) ¿Qué distancia recorrerá el automóvil antes de que la
aeronave le dé alcance?
c) Si la oficial desea alcanzar al automóvil en exactamente
8 minutos, ¿qué tan rápido debe volar la aeronave?
Ejercicios de repaso acumulativo
12x -1 y -22
-3
.
13x y 2
63. Exprese 5,260,000,000 en notación científica.
62. Simplifique
lumen de sus ventas totales. ¿Cuál debe ser su volumen de ventas en una semana para ganar $540?
-1 3 2
[2.3] 64. Salario semanal Samuel Santos recibe un salario
semanal de $240, más 12% de comisión sobre el vo-
[3.1]
65. Grafique y |x| 2.
[5.4] 66. Factorice 2a4 2a3 5a2 5a.
6.6 VARIACIÓN
1
Resolver problemas de variación directa.
2
Resolver problemas de variación inversa.
3
Resolver problemas de variación conjunta.
4
Resolver problemas de variación combinada.
En las secciones 6.4 y 6.5 analizamos muchas aplicaciones de ecuaciones que contienen expresiones racionales. En esta sección veremos algunas más.
1
Resolver problemas de variación directa
Muchas fórmulas científicas se expresan como variaciones. Una variación es una ecuación que relaciona una variable con una o más variables distintas, utilizando las operaciones de multiplicación y/o división. Esencialmente, existen tres tipos de problemas
de este tipo: de variación directa, de variación inversa y de variación conjunta.
En la variación directa, las dos variables relacionadas aumentan o disminuyen
juntas; esto es, conforme una aumenta la otra también, y a medida que una disminuye
la otra también lo hace.
Piense, por ejemplo, en un automóvil que viaja a 30 millas por hora; el automóvil recorre 30 millas en una hora, 60 millas en 2 horas y 90 millas en 3 horas. Observe
que al aumentar el tiempo, la distancia recorrida también aumenta.
La fórmula utilizada para calcular la distancia recorrida es
distancia = velocidad # tiempo
Como la velocidad es constante, 30 millas por hora, la fórmula puede escribirse como
d = 30t
Sección 6.6 • Variación • 415
Decimos que la distancia varía directamente respecto del tiempo, o que la distancia es
directamente proporcional al tiempo. Éste es un ejemplo de variación directa.
y
Variación directa
Si una variable y varía directamente respecto de una variable x, entonces
y = kx
y kx, k 0
x
donde k es la constante de proporcionalidad (o la constante de variación).
La gráfica de y kx, k 0, siempre da por resultado una recta que pasa por el
origen (vea la figura 6.8). La pendiente de la recta depende del valor de k: entre mayor sea el valor de k, mayor será la pendiente.
FIGURA 6.8
EJEMPLO 1
Círculo La circunferencia de un círculo, C, es directamente proporcional a (o varía
directamente respecto de) su radio, r. Escriba la ecuación de la circunferencia de un
círculo si la constante de proporcionalidad, k, es 2p.
C = kr 1C varía directamente respecto de r2
Solución
C = 2pr 1la constante de proporcionalidad es 2p2
EJEMPLO 2
✺
Administración de medicamentos La cantidad, a, de cierto medicamento que se administra a un paciente es directamente proporcional a la masa corporal del paciente,
m, en kilogramos.
a) Escriba esta variación como una ecuación.
b) Si se le dan 150 mg a un muchacho cuya masa corporal es de 30 kg, determine la
constante de proporcionalidad.
c) ¿Qué cantidad de este medicamento debe administrarse a un paciente cuya masa
corporal es de 62 kg?
Solución
a) Dijimos que ésta es una variación directa. Es decir, a mayor masa corporal del
paciente, mayor cantidad de medicamento tendrá que administrársele. Por lo tanto, planteamos una variación directa,
a = km
b) Entienda el problema y traduzca Para determinar el valor de la constante de
proporcionalidad, sustituimos los valores dados por la cantidad del medicamento y la
masa corporal del paciente. Después despejamos k.
a = km
150 = k1302
Realice los cálculos
Sustituir los valores dados.
5 = k
Así, k 5 mg. Se deben administrar 5 miligramos del medicamento por
cada kilogramo de masa corporal de un paciente.
Responda
c) Entienda el problema y traduzca Ahora que conocemos la constante de proporcionalidad, podemos usarla para determinar la cantidad de medicamento que se
debe administrar según la masa corporal de un paciente. Planteamos la variación y
sustituimos los valores para k y m.
a = km
a = 51622
Realice los cálculos
a = 310
Sustituir los valores dados.
416 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
Responda Así, a un paciente con una masa corporal de 62 kg, se le deben administrar 310 mg del medicamento.
✺
EJEMPLO 3
La variable y varía directamente respecto del cuadrado de z. Si y es 80 cuando z es 20,
determine y cuando z es 45.
Solución
Como y varía directamente respecto del cuadrado de z, comenzamos con la fórmula
y kz2. En vista de que no se indica cuál es la constante de proporcionalidad, primero
debemos determinar k con la información dada.
y
80
80
80
400
= kz2
= k12022
= 400k
400k
=
400
Sustituir los valores dados.
Despejar k.
0.2 = k
Ahora utilizamos k 0.2 para determinar y cuando z es 45.
y = kz2
y = 0.214522
y = 405
Sustituir los valores dados.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35 De este modo, cuando z es igual a 45, y es igual a 405.
2
✺
Resolver problemas de variación inversa
Un segundo tipo de variación es la variación inversa. Cuando dos cantidades varían
inversamente, significa que conforme una cantidad aumenta, la otra disminuye, y
viceversa.
Utilicemos una vez más la fórmula distancia velocidad tiempo para explicar
la variación inversa. Si despejamos el tiempo, obtenemos tiempo distancia/velocidad. Suponga que la distancia se determina en 120 millas; entonces
tiempo =
120
velocidad
A 120 millas por hora, sería necesaria 1 hora para recorrer la distancia; a 60 millas por
hora, serían necesarias 2 horas; a 30 millas por hora, serían necesarias 4 horas. Observe que cuando la velocidad (o rapidez) disminuye el tiempo aumenta, y viceversa.
La ecuación anterior puede escribirse como
t =
120
r
Esta ecuación es un ejemplo de variación inversa. El tiempo y la velocidad son inversamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es 120.
Variación inversa
Si una variable y varía inversamente respecto de una variable x, entonces
k
1o xy = k2
x
donde k es la constante de proporcionalidad.
y =
Sección 6.6 • Variación • 417
Dos cantidades varían inversamente, o son inversamente proporcionales, si una
de ellas aumenta a medida que la otra disminuye. La gráfica de y k/x, para k 0 y
x 0, tendrá la forma que se ilustra en la figura 6.9. La gráfica de una variación inversa no está definida en x 0, ya que 0 no está en el dominio de la función y k/x.
y
k
,
x
k 0, x 0
y
x
EJEMPLO 4 Hielo derretido El tiempo, t, que tarda en derretirse un bloque
de hielo cuando se le sumerge en agua es inversamente proporcional a la temperatura del agua, T.
a) Escriba esta variación como una ecuación.
FIGURA 6.9
b) Si un bloque de hielo tarda 15 minutos en derretirse cuando se le sumerge en agua
con una temperatura de 75°F, determine la constante de proporcionalidad.
c) Determine en cuánto tiempo se derretirá un bloque de hielo del mismo tamaño si
la temperatura del agua es de 90°F.
Solución
a) Entre más caliente esté el agua, más rápido se derretirá el hielo. La variación inversa es
t =
k
T
b) Entienda el problema y traduzca Para determinar la constante de proporcionalidad, sustituimos los valores para la temperatura y el tiempo y despejamos k.
t =
15 =
k
75
Sustituir los valores dados.
1125 = k
Realice los cálculos
Responda
k
T
La constante de proporcionalidad es 1125.
c) Entienda el problema y traduzca Ahora que conocemos la constante de proporcionalidad, podemos usarla para determinar en cuánto tiempo se derretirá un bloque de
hielo del mismo tamaño si se le sumerge en agua con una temperatura de 90°F. Para
ello, establecemos la proporción, sustituimos los valores para k y T, y despejamos t.
t =
k
T
t =
1125
90
Sustituir los valores dados.
t = 12.5
Realice los cálculos
Responda El bloque de hielo sumergido en el agua con temperatura de 90°F se
derretirá en 12.5 minutos.
✺
EJEMPLO 5
Iluminación La iluminación, I, que produce una fuente de luz varía inversamente
respecto del cuadrado de la distancia, d, a la que se esté de la fuente. Suponiendo que
la iluminación es de 75 unidades a una distancia de 6 metros, determine la ecuación
que expresa la relación entre iluminación y distancia.
Solución
Entienda el problema y traduzca Como la iluminación varía inversamente respecto del cuadrado de la distancia, la forma general de la ecuación es
I =
k
d2
1o Id2 = k2
418 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
Para determinar k, sustituimos los valores dados para I y d.
75 =
k
36
17521362 = k
2700 = k
75 =
Realice los cálculos
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 63
3
Responda
La fórmula es I =
k
62
Sustituir los valores dados.
Despejar k.
2700
.
d2
✺
Resolver problemas de variación conjunta
Una cantidad puede variar en relación al producto de dos o más cantidades distintas.
Este tipo de variación se llama variación conjunta.
Variación conjunta
Si y varía conjuntamente respecto de x y z, entonces
y = kxz
donde k es la constante de proporcionalidad.
EJEMPLO 6
Área de un triángulo El área, A, de un triángulo varía conjuntamente respecto de su
base b, y su altura h. Si el área de un triángulo mide 48 pulgadas cuadradas cuando
su base mide 12 pulgadas y su altura 8 pulgadas, determine el área de un triángulo cuya
base mide 15 pulgadas y cuya altura mide 40 pulgadas.
Solución
Entienda el problema y traduzca Primero escribimos la variación conjunta; después
sustituimos los valores conocidos y despejamos k.
A = kbh
48 = k1122182
48 = k1962
48
= k
96
1
k =
2
Realice los cálculos
Sustituir los valores dados.
Despejar k.
Ahora despejamos el área del triángulo dado.
A = kbh
1
= 11521402
2
= 300
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 67 Responda
Sustituir los valores dados.
El área del triángulo mide 300 pulgadas cuadradas.
Resumen de variaciones
Directa
y = kx
Inversa
y =
k
x
Conjunta
y = kxz
✺
Sección 6.6 • Variación • 419
4
Resolver problemas de variación combinada
En situaciones de la vida real, muchas veces una variable varía respecto de una combinación de variables. Los siguientes ejemplos ilustran el uso de las variaciones combinadas
EJEMPLO 7
Tienda de galletas Los propietarios de una tienda de galletas determinan que su
venta semanal, S, varía directamente respecto de su presupuesto de publicidad, A, e inversamente respecto del precio de las galletas, P. Cuando el presupuesto de publicidad
es de $400 y el precio de las galletas es de $1, se venden 6200 galletas.
a) Escriba una ecuación de variación que exprese a S en términos de A y P. Incluya
el valor de la constante.
b) Determine las ventas esperadas, si el presupuesto de publicidad es de $600 y el precio de las galletas es de $1.20.
Solución
a) Entienda el problema y traduzca
Comenzamos con la ecuación
S =
6200 =
Realice los cálculos
Responda
kA
P
k14002
1
6200 = 400k
15.5 = k
Sustituir los valores dados.
Despejar k.
Por lo tanto, la ecuación para calcular las ventas de galletas es S =
15.5A
.
P
b) Entienda el problema y traduzca Ahora que conocemos la ecuación de la variación combinada, podemos usarla para determinar las ventas según los valores dados.
S =
15.5A
P
15.516002
=
Realice los cálculos
Responda
EJEMPLO 8
1.20
Sustituir lo valores dados.
= 7750
La tienda puede vender 7750 galletas.
✺
Fuerza electrostática La fuerza electrostática, F, de repulsión entre dos cargas eléctricas positivas, es conjuntamente proporcional respecto de las dos cargas q1 y q2, e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, d, entre las dos cargas. Exprese
F, en términos de q1, q2 y d.
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 69
F =
kq1 q2
d2
✺
Conjunto de ejercicios 6.6
Ejercicios conceptuales
1. a) Explique qué significa cuando dos elementos varían en
proporción directa.
b) Proporcione su propio ejemplo de dos cantidades que
varíen directamente.
c) Escriba la variación directa para su ejemplo de la
parte b).
2. a) Explique qué significa cuando dos elementos varían en
proporción inversa.
b) Proporcione su propio ejemplo de dos cantidades que
varíen inversamente.
c) Escriba la variación inversa para su ejemplo de la
parte b).
420 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
3. ¿Qué se entiende por variación conjunta?
4. ¿Qué se entiende por variación combinada?
17
5. a) En la ecuación y =
, cuando x aumenta, ¿el valor
x
de y aumenta o disminuye?
b) ¿Éste es un ejemplo de variación directa o inversa?
Explique.
6. a) En la ecuación z 0.8x3, cuando x aumenta, ¿el valor
de z aumenta o disminuye?
b) ¿Éste es un ejemplo de variación directa o inversa?
Explique.
Utilice su intuición para determinar si la variación entre las cantidades indicadas es directa o inversa.
7. La velocidad y la distancia recorrida por un ciclista.
8. El número de páginas que puede leer una persona en un
periodo de dos horas, y su velocidad de lectura.
19. La abertura del obturador de una cámara fotográfica y la
cantidad de luz que llega a la película.
9. La velocidad de un atleta y el tiempo en que recorre una
distancia de 10 kilómetros.
10. El salario semanal de un empleado, y la cantidad de dinero que se le retiene por concepto de impuesto sobre los
ingresos.
11. El radio de un círculo y su área.
12. El lado de un cubo y su volumen.
13. El radio de un globo y su volumen.
14. El diámetro de un círculo y su circunferencia.
15. El diámetro de una manguera y el volumen de agua que
pasa por ella.
20. El desplazamiento de pulgadas cúbicas expresado en litros producido por una máquina y los caballos de fuerza
de la máquina.
21. La longitud de una tabla y la fuerza necesaria para romperla en el centro.
22. El número de calorías ingeridas y la cantidad de ejercicio
necesario para quemarlas.
16. El peso de un cohete y la distancia que recorre desde la
Tierra (debido a la gravedad terrestre).
23. La luz que ilumina un objeto y la distancia entre la luz y
el objeto.
17. El tiempo que tarda en deshacerse un cubo de hielo sumergido en agua y a la temperatura del agua.
24. El número de calorías que hay en una hamburguesa y el
tamaño de la hamburguesa.
18. La distancia entre dos ciudades en un mapa, y la distancia
real entre ambas.
Problemas de aplicación
En los ejercicios 25 a 32, a) escriba la variación, y b) determine la cantidad que se pide.
25. x varía directamente respecto de y. Determine x cuando
y 12 y k 6.
26. C varía directamente respecto del cuadrado de Z. Determine C cuando Z 9 y k = 34 .
27. y varía directamente respecto de R. Determine y cuando
R 180 y k 1.7
28. x varía inversamente respecto de y. Determine x cuando
y 25 y k 5.
29. R varía inversamente respecto de W. Determine R cuando W 160 y k 8.
30. L varía inversamente respecto del cuadrado de P. Determine L cuando P 4 y k 100.
31. A varía directamente respecto de B, e inversamente respecto de C. Determine A cuando B 12, C 4 y k 3.
32. A varía conjuntamente respecto de R1 y R2, e inversamente respecto del cuadrado de L. Determine A cuando
3
R1 120, R2 8, L 5 y k = 2 .
En los ejercicios 33 a 40, a) escriba la variación, y b) determine la cantidad indicada.
33. x varía directamente con y. Si x es 12 cuando y es 3, determine x cuando y es 5.
36. S varía inversamente con G. Si S es 12 cuando G es 0.4,
determine S cuando G es 5.
34. Z varía directamente con W. Si Z es 7 cuando W es 28, determine Z cuando W es 140.
37. C varía inversamente con J. Si C es 7 cuando J es 0.7, determine C cuando J es 12.
35. y varía directamente con el cuadrado de R. Si y es 5 cuando R 5, determine y cuando R es 10.
38. x varía inversamente con el cuadrado de P. Si x 4, cuando P es 5, determine x cuando P 2.
Sección 6.6 • Variación • 421
39. F varía conjuntamente con M1 y M2, e inversamente con d.
Si F es 20 cuando M1 5, M2 10 y d 0.2, determine F
cuando M1 10, M2 20 y d 0.4.
40. F varía conjuntamente con q1 y q2, e inversamente con el
cuadrado de d. Si F es 8 cuando q1 2, q2 8 y d 4, determine F cuando q1 28, q2 12 y d 2.
Resolución de problemas
41. Suponga que a varía directamente con b. Si b se duplica,
¿cómo afectará a a? Explique.
43. Suponga que y varía inversamente con x. Si x se duplica,
¿cómo afectará a y? Explique.
42. Suponga que a varía directamente con b2. Si b se duplica,
¿cómo afectará a a? Explique.
44. Suponga que y varía inversamente con a2. Si a se duplica,
¿cómo afectará a y? Explique.
En los ejercicios 45 a 50, utilice la fórmula F =
km 1 m 2
d2
.
45. Si m1 se duplica, ¿cómo afectará a F?
46. Si m1 se cuadruplica y d se duplica, ¿cómo afectará a F?
47. Si m1 se duplica, y m2 se divide entre dos, ¿cómo afectará a F?
48. Si d se divide entre dos, ¿cómo afectará a F?
49. Si m1 se divide entre dos, y m2 se cuadriplica, ¿cómo afectará a F?
50. Si m1 se duplica, m2 se cuadriplica y d se cuadriplica, ¿cómo
afectará a F?
En los ejercicios 51 y 52, determine si la variación es de la forma y kx o y =
51.
k
, y determine k.
x
52.
x
y
x
y
2
5
2
5
1
9
3
10
1
2
1
4
15
5
27
9
20
53. Utilidad La utilidad por la venta de lámparas es directamente proporcional al número de lámparas vendidas.
Cuando se venden 150 lámparas, la utilidad es de $2542.50.
Determine la utilidad cuando se venden 520 lámparas.
6
2
albañiles necesitan 8 horas para construir un muro, ¿cuánto tardarán 4 albañiles en realizar la misma tarea?
54. Utilidad La utilidad por la venta de estéreos es directamente proporcional al número de estéreos vendidos. Cuando
se venden 65 estéreos, la utilidad es de $4056. Determine
la utilidad cuando se venden 80 estéreos.
55. Antibiótico La dosis recomendada, d, de un medicamento antibiótico es directamente proporcional al peso de la
persona. Si a Raúl Martínez, quien pesa 132 libras, se le
administran 2376 miligramos, determine la dosis recomendada para Nicolás Fernández, quien pesa 172 libras.
56. Dólares y pesos La conversión de dólares estadounidenses a pesos mexicanos es una variación directa. Entre más
dólares convierta más pesos recibe. La semana pasada,
Carlos Manuel convirtió 275 dólares en 2433.75 pesos.
Ahora su tía le dio 400 dólares. Si el tipo de cambio sigue
siendo el mismo que cuando convirtió los 400 dólares,
¿cuántos pesos recibirá?
57. Construcción de un muro de ladrillos El tiempo, t, requerido para construir un muro de ladrillos varía inversamente con el número de personas, n, que trabajen en él. Si 5
58. Distancia Cuando un automóvil viaja a una velocidad
constante, la distancia recorrida, d, es directamente proporcional al tiempo, t. Si un automóvil recorre 130 millas
en 2.5 horas, ¿qué tan lejos viajará el mismo automóvil en
4 horas?
59. Presión y volumen El volumen de un gas, V, varía inversamente con su presión, P. Si el volumen, V, es de 800 centímetros cúbicos cuando la presión es de 200 milímetros
(mm) de mercurio, determine el volumen cuando la presión es de 25 mm de mercurio.
422 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
60. Ley de Hooke La ley de Hooke establece que la longitud
que un resorte se estira, S, varía directamente con la fuerza (o peso), F, que se le aplica. Si un resorte se estira 1.4
pulgadas cuando se aplica un peso de 20 libras, ¿cuánto se
estirará cuando se aplique un peso de 15 libras?
61. Carrera El tiempo, t, que necesita un corredor para cubrir
una distancia específica es inversamente proporcional a
su velocidad. Si Armando Reyes corre a un promedio de 6
millas por hora, terminará una carrera en 2.6 horas. ¿Cuánto tiempo necesitará Rubén Domínguez, quien corre a 5
millas por hora, para terminar la misma carrera?
62. Lanzamiento de una bola Cuando se lanza una bola en un
juego profesional de béisbol, el tiempo, t, que tarda en llegar al home varía inversamente con la velocidad, s, del lanzamiento.* Una bola lanzada a 90 millas por hora tarda
0.459 segundos en llegar al home. ¿Cuánto tardará una bola lanzada a 75 millas por hora en llegar al home?
gundos. Si la roca cae 4 pies en 1/2 segundos, ¿qué distancia caerá en 3 segundos?
67. Pago de hipoteca El pago mensual de una hipoteca, P, varía conjuntamente con la tasa de interés, r, y el monto de la
hipoteca, m. Si el pago mensual de la hipoteca sobre un
monto de $50,000 a 7% de tasa de interés es $332.50, determine el pago mensual sobre una hipoteca de $66,000 a 7%.
68. Peso de un objeto El peso, w, de un objeto en la atmósfera de la Tierra varía inversamente respecto del cuadrado
de la distancia, d, entre el objeto y el centro de la Tierra.
Una persona que pesa 140 libras se encuentra aproximadamente a 4000 millas de distancia del centro de la Tierra.
Determine el peso (o fuerza de atracción gravitacional)
de esta persona si estuviera a una distancia de 100 millas
sobre la superficie de la Tierra.
69. Alquiler de vídeos El alquiler semanal de videocintas, R,
en una tienda especializada varía directamente respecto de
su presupuesto de publicidad, A, e inversamente respecto
del precio diario de alquiler, P. Cuando el presupuesto de
publicidad es de $400 y el precio diario del alquiler es de $2,
la tienda alquila 4600 cintas por semana. ¿Cuántas cintas alquilaría por semana si aumentara su presupuesto de publicidad a $500 y subieran su precio de alquiler a $2.50?
70. Consumo de energía El consumo de energía, en watts, de
un aparato, W, varía conjuntamente respecto del cuadrado
de la corriente, I, y la resistencia, R. Si esta tasa es de 3 watts
cuando la corriente es de 0.1 amperes y la resistencia es de
100 ohms, determine el consumo de energía cuando la corriente es de 0.4 amperes y la resistencia es de 250 ohms.
63. Pelota de tenis Cuando un tenista sirve una pelota, el
tiempo que le toma a la pelota golpear el piso de la caja de
servicio es inversamente proporcional a la velocidad a la
que viaja. Si Andrés Gómez sirve a 122 millas por hora,
la pelota necesita 0.21 segundos para pegar en el piso.
¿Cuánto tardará la pelota en pegar en el piso, si Andrés sirve a 80 millas por hora?
64. Intensidad de la luz La intensidad, I, de la luz emitida por
una fuente de energía varía inversamente con el cuadrado
de la distancia, d, a la que está dicha fuente. Si la intensidad de la luz es de 20 pies-bujías a 15 pies, determine la intensidad de la luz a 10 pies.
65. Distancia para detenerse Suponga que la distancia que
una camioneta necesita para detenerse varía directamente con el cuadrado de su velocidad. Una camioneta que
viaja a 40 millas por hora puede detenerse en 60 pies. Si la
camioneta está viajando a 56 millas por hora, ¿qué distancia necesita para detenerse?
66. Rocas que caen Una roca se deja caer desde la parte alta
de un risco. La distancia que recorre al caer, en pies, es directamente proporcional al cuadrado del tiempo en se-
71. Resistencia eléctrica La resistencia eléctrica de un cable,
R, varía directamente respecto de su longitud, L, e inversamente respecto del área de su sección transversal, A. Si
la resistencia de un cable es de 0.2 ohms cuando la longitud es de 200 pies, y el área de su sección transversal mide 0.05 pulgadas cuadradas, determine la resistencia de un
cable cuya longitud mide 5000 pies, y el área de su sección
transversal mide 0.01 pulgadas cuadradas.
72.
Llamadas telefónicas El número de llamadas telefónicas entre dos ciudades durante un periodo dado, N, varía
directamente respecto del número de habitantes, p1 y p2,
de las dos ciudades, e inversamente respecto de la distancia, d, entre ellas. Si se realizan 100,000 llamadas entre dos
ciudades que se encuentran a una distancia de 300 millas,
y el número de habitantes de las ciudades es de 60,000 y
200,000, respectivamente, ¿cuántas llamadas se realizan
entre dos ciudades con poblaciones de 125,000 y 175,000
que se encuentran a 450 millas de distancia?
73. Cobro por consumo de agua En una región específica del
país, el monto de la factura por consumo de agua de un
cliente, W, es directamente proporcional a la temperatura
diaria promedio durante el mes, T, el área del jardín, A, y
la raíz cuadrada de F, el tamaño de la familia, e inversamente proporcional al número de pulgadas de lluvia, R.
En un mes, la temperatura promedio es 78°F, y el
número de pulgadas de lluvia es 5.6. Si una familia pro-
*Una bola se va deteniendo poco a poco a lo largo de su camino al home, debido a la resistencia al viento. Para un lanzamiento de 95 mph, la bola es alrededor de 8 mph más rápida cuando sale de la mano
del lanzador que cuando cruza el home.
Resumen del capítulo • 423
medio de cuatro integrantes tiene un jardín de 1000 pies
cuadrados y paga $68 por consumo de agua, calcule cuánto pagará en el mismo mes una familia de seis miembros,
cuyo jardín mide 1500 pies cuadrados.
76. Presión sobre un objeto La presión P, en libras por pulgadas cuadradas (psi), que se ejerce sobre un objeto a x
pies bajo el nivel del mar es de 14.70 psi más el producto
de una constante de proporcionalidad, k y el número de
pies, x, al que el objeto se encuentra por debajo del nivel
del mar (vea la figura). La cifra 14.70 representa el peso,
en libras, de la columna de aire (a partir del nivel del mar
y hasta la parte superior de la atmósfera) que está sobre
un área de 1 pulgada por 1 pulgada de agua de mar. El
producto kx representa el peso, en libras, de una columna
de agua de 1 pulgada por 1 pulgada por x pies.
a) Escriba una fórmula para calcular la presión que se
ejerce sobre un objeto que se encuentra a x pies por
debajo del nivel del mar.
74. Intensidad de iluminación En un artículo periodístico sobre fotografía se establece que: “Si un objeto se ilumina
mediante una fuente de luz puntual (un flash), la intensidad de la iluminación producida es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay entre la fuente
de luz y el objeto”.
Si usted quiere fotografiar un objeto que está a 4
pies de distancia del flash, y la iluminación en su objetivo
1
es 16 de la luz del flash, ¿cuál es la intensidad de iluminación sobre un objeto que está a 7 pies de distancia del
flash?
75. Fuerza de atracción Una de las leyes de Newton establece que la fuerza de atracción, F, entre dos masas, es directamente proporcional a las masas de los dos objetos, m1 y
m2, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, d, entre ambos objetos.
a) Escriba la fórmula que representa la ley de Newton.
b) ¿Qué le sucede a la fuerza de atracción si una masa se
duplica, la otra se triplica, y la distancia entre los objetos se divide entre dos?
b) Si el barómetro de un submarino que se ubica a 60 pies
de profundidad registra 40.5 psi, determine la constante k.
c) Si un submarino está construido para soportar una presión de 160 psi, ¿hasta qué profundidad puede descender?
Cuadrado de 1 pulgada por una pulgada
Esta columna
de aire pesa
14.70 libras.
x pies
Esta columna
de agua pesa
kx libras.
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.2] 77. Despeje h de la fórmula V =
4 2
pr h.
3
[3.6] 78. Sea f(x) x2 4 y g(x) 5x 3.
Determine f(4) g(4).
RESUMEN
[5.2] 79. Multiplique (7x 3)(2x2 4x 1).
[5.7]
80. Factorice (x 1)2 (x 1) 6.
DEL CAPÍTULO
Términos y frases importantes
6.1
Dominio
Expresión racional
Función racional
Simplificada (o reducida a
sus términos más simples)
6.2
Mínimo común denominador (MCD)
Número primo
6.3
Fracción compleja
Línea principal de la fracción
6.4
Soluciones o raíces
extrañas
Proporción
Ecuación racional
Figuras semejantes
6.5
Problemas de movimiento
Problemas numéricos
Problemas de trabajo
Constante de proporcionalidad
Variación directa
Variación inversa
Variación conjunta
Variación
6.6
Variaciones combinadas
(continúa en la página siguiente)
424 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
HECHOS
IMPORTANTES
Tipos de variación
Directa
Inversa
y = kx
y =
Conjunta
k
x
y = kxz
Ejercicios de repaso del capítulo
[6.1] Determine el valor o valores de la variable que debe excluirse en cada expresión racional.
1.
3
x - 5
2.
x
x + 2
3.
-2x
x2 + 9
Determine el dominio de cada función racional.
4. y =
5
1x + 122
5. f1x2 =
x + 6
x2
6. f1x2 =
x2 - 2
x + 3x - 10
2
Simplifique cada expresión.
7.
11.
x2 + xy
x + y
2x2 - 6x + 5x - 15
2x2 + 7x + 5
8.
x2 - 49
x + 7
9.
12.
a3 - 8b3
a2 - 4b2
13.
6 - 5x
5x - 6
27x3 - y3
2
9x - y
2
10.
x2 + 3x - 4
x2 + 2x - 8
14.
2x 2 + x - 6
x3 + 8
[6.2] Determine el mínimo común denominador de cada expresión.
7x - 2y
3x + 1
6x
3
+ 2
15.
16.
x + 2y
x + 1
x
x - 4y2
17.
3x - 2
19x - 5
+ 2
x2 + 2x - 35
x + 9x + 14
18.
61x + 32
4x
3
x + 1
1x + 222
x2 - 4
[6.1, 6.2] Realice la operación indicada.
15x 2y 3 6z3
# 3
3z
5xy
7
2
+ 2
22.
3x
x
19.
25.
3y
2
+
xy
5x2
28. 3 +
31.
x + 2 # x2 + 3x - 4
x - 1 x2 + 6x + 8
3
1
,
a + 5
a + 8a + 15
a2 - 2ab - 3b2
a - 3b
16x2y 4
2x2y 4
,
x4z10
xz5
2
4x - 11x + 4
x2 - 4x + 10
24.
x - 3
x - 3
x2 + 2x + 9
3x2 - 7x + 4
2
3x - 14x - 5
3x2 - 14x - 5
b + 1
b - 1
30.
a2 - b2 # a2 + 2ab + b2
a + b
a3 + a2b
32.
a - c
a + c
c
a
33.
x+1
4x2 + 8x - 5 #
2x + 5
4x2 - 4x + 1
35.
x2 - 3xy - 10y2 x + 2y
,
6x
12x2
36.
a + 1
3
+
2a
4a + 8
x + 4
3
x - 2
x2 - 4
39.
x + 1 # x2 + 2x - 15
x - 3 x2 + 7x + 6
42.
a2 + 5a + 6 # 3a + 6
a2 + 4a + 4 a4 + 3a3
29. 7 -
2
21.
27.
26.
a + 2
a + 1
34. 1a + b2 ,
x #7 - x
x - 7
4
4x - 4y y3
#
23.
8x
x2y
20.
37.
x - 4
3
x - 5
x + 5
38.
40.
1
1
- 2
2
x - x - 6
x - 4
41.
1x + 2y22
4x2 - 16y2
,
9
12
Ejercicios de repaso del capítulo • 425
43.
x + 5
x - 2
- 2
x - 15x + 50
x - 25
44.
x - 3
x + 2
+ 2
x - x - 6
x - 8x + 15
45.
2
6
1
+ 2
x + 3
x - 3
x - 9
46.
a - 4
3
10
- 2
a - 5
a + 5
a - 25
47.
x2 - 4x + 16
x3 + 64
,
2x + 12
2x2 - 32
48.
3a - 3b2
a 2 - b4
,
a2 + 2ab2 + b4
a2 + 3ab2 + 2b4
2
49. ¢
x2 - x - 56 # x2 + 4x - 21
3
≤+ 2
x2 + 14x + 49 x2 - 9x + 8
x + 8x - 9
51. Si f1x2 =
a)
b)
c)
d)
x + 1
x
, determine
y g1x2 =
x + 2
x + 4
2
50. ¢
x2 - 8x + 16 # 2x2 - 7x - 15
x2 - 9x + 20
≤ , 2
2
2
2x - x - 6 x - 2x - 24
x + 2x - 8
x + 4
x
, determine
y g1x2 =
x - 3
x2 - 9
el dominio de f(x).
el dominio de g(x).
(f g)(x).
el dominio de (f g)(x).
52. Si f1x2 =
a)
b)
c)
d)
el dominio de f(x).
el dominio de g(x).
(f g)(x).
el dominio de (f g)(x).
[6.3] Simplifique cada fracción compleja.
9a2b
2c
53.
6ab4
4c3
1
1
+
x
y
54.
x
+ y2
y
3
1
- 2
y
y
55.
1
5 + 2
y
a -1 + 2
56.
1
a -1 +
a
1
x
57.
1
1
x
x2
2
1
+ 2
x - 3x - 18
x - 2x - 15
58.
1
3
+ 2
x2 - 11x + 30
x - 9x + 20
x -2 +
2
En los ejercicios 59 y 60 se indica el área y el ancho de cada rectángulo. Determine la longitud, l, dividiendo el área, A, entre el
ancho, w.
59.
60.
A
x 5x 6
x4
2
w
x 8x 15
x2 5x 4
2
A
l
x2 10x 24
x5
w
x2 9x 18
x2 7x 10
l
[6.4] En los ejercicios 61 a 70, resuelva cada ecuación.
5
2
=
x
9
x
x
+
= 1.7
64.
4.8
2
2
4
x
+
=
67. 2
x + 3
x - 3
x - 9
x+1 x+2
2x 2 - 18
+
=
70.
x + 3 x - 4 x2 - x - 12
61.
71. Despeje b de
x
x - 4
=
1.5
4.5
1
3
2
+ =
65.
y
5
y
7
3
4
+
=
68. 2
x + 5
x - 5
x - 5
62.
1
1
1
+
= .
a
b
c
73. Resistores Tres resistores de 100, 200 y 600 ohms se conectan en paralelo. Determine la resistencia total del circuito.
1
1
1
1
Utilice la fórmula
=
+
+
.
RT
R1
R2
R3
3x + 4
2x - 8
=
5
3
2
3
-11
= 2
66.
x + 4
x - 4
x - 16
x+1
2x2 + x + 1
x-3
+
= 2
69.
x-2
x+3
x +x-6
63.
72. De la ecuación z =
x - x
despeje x.
s
74. Longitud focal ¿Cuál es la longitud focal, f, de un espejo
cóncavo, si la distancia respecto del objeto, p, es 6 centímetros
y la distancia respecto de la imagen, q, es 2 centímetros?
1
1
1
Utilice la fórmula +
= .
p
q
f
426 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
En los ejercicios 75 y 76, los triángulos de cada par son semejantes. Determine las longitudes de los lados desconocidos.
75. Triángulos
76.
2x
7
2x 1
4
x
2
2
x3
5
9
[6.5] En los ejercicios 77 a 82, responda la pregunta. Cuando sea necesario, redondee las respuestas al centésimo más cercano.
77. Recolección de frijol Samuel y Jerónimo trabajan en una
granja. Samuel puede recolectar una canasta de frijol en 40
minutos, mientras que Jerónimo puede hacer la misma tarea en 30 minutos. Si trabajan juntos, ¿en cuánto tiempo recolectarán una canasta de frijol?
78.
Jardín Margarita y Fernando quieren plantar un jardín
de flores. Juntos pueden hacerlo en 4.2 horas. Si Margarita puede plantar sola el mismo jardín en 6 horas, ¿cuánto
tiempo le tomará a Fernando hacerlo solo?
79. Fracciones ¿Qué número sumado al numerador y restado
al denominador de la fracción 111 da por resultado 12 ?
80. Fracciones Cuando el recíproco del doble de un número
se resta de 1, el resultado es el recíproco del triple del número. Determine el número.
81. Recorrido en bote El bote de motor de Gilberto puede
viajar a 15 millas por hora en aguas tranquilas. Viajando
con la corriente de un río, el bote puede viajar 20 millas en
el mismo tiempo que necesita para recorrer 10 millas
en contra de la corriente. Determine la velocidad de la
corriente.
82. Vuelo en un aeroplano Un pequeño aeroplano y un automóvil inician su recorrido hacia la misma ciudad, que está a 450 millas de distancia, desde la misma posición y al
mismo tiempo. La velocidad del aeroplano es el triple de
la velocidad del automóvil, así que llega a la ciudad 6 horas antes que el automóvil. Determine la velocidad del automóvil y del aeroplano.
[6.6] Determine cada cantidad solicitada.
83. x es directamente proporcional al cuadrado de y. Si x 45
cuando y 3, determine x cuando y 2.
84. W es directamente proporcional al cuadrado de L e inversamente proporcional a A. Si W 4 cuando L 2 y A
10, determine W cuando L 5 y A 20.
85. z es conjuntamente proporcional a x y y e inversamente
proporcional al cuadrado de r. Si z 12 cuando x 20,
y 8 y r 8, determine z cuando x 10, y 80 y r 3.
86. Cargo extra En sus facturas de electricidad, una compañía de energía eléctrica coloca un espacio para el cargo
extra, s; dicho cargo es directamente proporcional a la
cantidad de energía usada, e. Si el cargo extra es de $7.20
cuando se usan 3600 kilowatt-hora, ¿cuál es el cargo extra cuando se usan 4200?
87. Caída libre La distancia, d, que recorre un objeto durante una caída libre es directamente proporcional al cuadrado del tiempo, t. Si una persona cae 16 pies en 1
segundo, ¿qué distancia caerá en 10 segundos? No tome
en cuenta la resistencia del viento.
Véase el ejercicio 87.
88. Área El área, A, de un círculo varía directamente con el
cuadrado de su radio, r. Si el área es 78.5 cuando el radio
es 5, determine el área cuando el radio es 8.
89. Fusión de un cubo de hielo El tiempo, t, para que un cubo de hielo se derrita es inversamente proporcional a la
temperatura del agua en la que se le sumerge. Si un cubo
de hielo tarda 1.7 minutos en derretirse en agua con una
temperatura de 70°F, ¿cuánto tardará en derretirse un cubo de hielo del mismo tamaño en agua con una temperatura de 50°F?
Examen de práctica del capítulo • 427
Examen de práctica del capítulo
2. Determine el dominio de la función
x2 + 7
f1x2 =
2
2x + 7x - 4
1. Determine los valores que deben excluirse en la exprex + 4
sión 2
x + 3x - 28
Simplifique cada expresión.
3.
8x7y2 + 16x2y + 18x3y3
4.
2
2x y
x2 - 3xy - 10y2
x2 + 3xy + 2y2
En los ejercicios 5 a 14, realice la operación indicada.
5.
3xy4 2x2y4
6x2y
#
3
x5y7
6.
x2 - x - 56
x + 1
#
x2 - 7x - 8 x2 + 9x + 14
8.
x3 + y3
x2 - xy + y2
,
x + y
x2 + y2
7.
5a + 10b
a3 + a2b
, 2
2
2
a - 4b
a - 2ab
9.
2
3
+ 2
x + 1
x
10.
x
x - 1
- 2
2
x - 9
x - 2x - 3
11.
m
2m
+
12m2 + 4mn - 5n2
12m2 + 28mn + 15n2
12.
x + 1
3
+
4x2 - 4x + 1
2x2 + 5x - 3
13.
x2 + 2x + 4
x3 - 8
,
x2 + 5x - 14
x2 + 10x + 21
14. Si f1x2 =
x - 3
x
, determine a) (f g)(x).
y g1x2 =
x + 5
2x + 3
15. Si el área de un rectángulo es
b) el dominio de (f g)(x).
x 2 + 11x + 30
x 2 + 9x + 18
, determine su ancho.
y su longitud es
x + 2
x + 3
Simplifique.
a 2 - b2
ab
17.
a + b
b2
1
1
+
x
y
16.
1
1
x
y
3
4
- 2
x
x
18.
1
5 x
Resuelva cada ecuación.
19.
x
x
= -1
6
5
20.
6
x2
x
+
= 2
x - 8
x - 2
x - 10x + 16
21. Despeje C de A =
2b
.
C - d
22. Consumo de energía El consumo de energía, en watts, de
un aparato, W, varía conjuntamente respecto del cuadrado de la corriente, I, y la resistencia, R. Si esta tasa es de 10
watts cuando la corriente es de 1 ampere y la resistencia
es de 1000 ohms, determine el consumo de energía cuando la corriente es de 0.5 amperes y la resistencia es de 300
ohms.
23. R varía directamente con P e inversamente con el cuadrado de T. Si R 30 cuando P 40 y T 2, determine R
cuando P 50 y T 5.
428 • Capítulo 6 • Expresiones racionales y ecuaciones
24. Lavado de ventanas Pablo puede lavar las ventanas de
una casa en 10 horas. Su amiga, Nancy, puede hacer el mismo trabajo en 7 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán si lavan
juntos las ventanas de la casa?
25. Paseo Claudia y Mónica, dos patinadoras, comienzan su
recorrido por un camino al mismo tiempo. Claudia promedia 8 millas por hora, mientras que Mónica promedia 5
1
millas por hora. Si Mónica necesita 2 hora más que Claudia para llegar al final del camino, ¿cuál es la longitud del
camino?
Examen de repaso acumulativo
Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrectamente. Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indican después de
cada respuesta.
1. Ilustre el conjunto b x ` -
5
19
6 x …
r en la recta numé3
4
rica.
2. Evalúe - 3x 3 - 2x 2y +
1
1 2
xy cuando x 2 y y = .
2
2
3. Resuelva la ecuación 21x + 32 =
1
1x - 52
2
4. Aprendizaje a distancia Internet ha hecho posible la educación a distancia. El siguiente diagrama muestra los tipos de cursos que más se ofrecen en línea en 2003.
8. Interés simple Dolores Castro invirtió $5000 en un certificado de depósito por 1 año. Cuando redimió el certificado, recibió $5300; ¿cuál fue la tasa de interés simple?
9. Reunión para un día de campo Darío y Patricia hicieron
una cita para pasar un día de campo en un punto intermedio respecto de sus casas, para lo cual salieron, cada uno
por su lado, a las 8 a.m. Si Darío viaja a 60 millas por hora y Patricia a 50 millas por hora, y viven a 330 millas de
distancia uno de la otra, ¿en cuánto tiempo se encontrarán?
10. Resuelva `
3x + 5
` - 3 = 6.
3
11. Grafique y x2 2.
Negocios
20%
Otros
12. Sea f1x2 = 12x + 7 . Evalúe f(9).
Ciencias sociales
15%
Salud
13%
Educación
7%
Ciencias de la
computación
7%
Vocacional
10%
13. Determine la pendiente de la recta que pasa por (2, 4)
y (5, 3).
14. Determine una ecuación de la recta que pasa por A 12 , 3 B
y que es paralela a la recta que resulta al graficar 2x 3y
9 0. Escriba la ecuación en la forma general.
15. Resuelva el sistema de ecuaciones:
2x y 2
4x 3y 11
Fuente: Foro CEO e Investigación de datos de mercado.
a) ¿Qué porcentaje corresponde a la categoría “Otros”?
b) Si se ofrecieron aproximadamente 220,000 cursos a través de programas en línea, ¿cuántos correspondieron a
la categoría “Negocios”?
5. Evalúe 4x2 3y 5 cuando x 4 y y 2.
6. Simplifique ¢
3x 5 y 6
6x 4 y
7. Despeje m de F =
3
≤ .
7
mv2
.
r
16. Multiplique (3x2 4y)(3x2 4y).
17. Factorice 3x2 30x 75.
18. Grafique y |x| 2.
19. Sume
7
9x + 2
+
.
3x 2 + x - 4
3x 2 - 2x - 8
20. Resuelva
3y - 2
y + 1
= 4 -
y + 2
y - 1
.
Respuestas al examen de repaso acumulativo • 429
Respuestas al examen de repaso acumulativo
7
x3
2. - 27 34 3. ; [Sec. 2.1, Obj. 4] 4. a) 28% b) L44,000 5. 65 6. 3
3
8y
1.
5
19
4
–3
7. m =
11.
rF
; [Sec. 2.2, Obj. 2] 8. 6%; [Sec. 2.2, Obj. 1]
v2
; [Sec. 3.1, Obj. 3]
y
4
y=x2-2
2
–4 –2
–2
2
4
x
32 22
9. 11 A.M. [Sec. 2.4, Obj. 1] 10. E - 3 , 3 F ; [Sec. 2.6, Obj. 2]
1
12. 5; [Sec. 3.2, Obj. 4] 13. - 7 ; [Sec. 3.4, Obj. 2]
14. 2x + 3y = 10; [Sec. 3.5, Obj. 3] 15.
A 12 , 3 B ; [Sec. 4.1, Obj. 3]
16. 9x 2 - 16y2; [Sec. 5.2, Obj. 5] 17. 31x - 522; [Sec. 5.6, Obj. 2]
–4
18.
; [Sec. 3.1, Obj. 3]
y
4
2
–4 –2
–2
–4
y=|x|+2
2
4
x
19.
3x - 4
; [Sec. 6.2, Obj. 3] 20. 4; [Sec. 6.4, Obj. 2]
1x - 121x - 22
Capítulo 7
Raíces, radicales y números
complejos
7.1 Raíces y radicales
7.2 Exponentes racionales
7.3 Simplificación de radicales
7.4 Suma, resta y multiplicación
de radicales
7.5 División de radicales
7.6 Resolución de ecuaciones
con radicales
7.7 Números complejos
Resumen del capítulo
Ejercicios de repaso del
capítulo
Examen de práctica del
capítulo
Examen de repaso
acumulativo
M
uchas fórmulas científicas, incluyendo gran parte de aquellas que tienen que ver con situaciones de la vida real, incluyen expresiones con radicales. Por ejemplo, cuando un agente de
tránsito investiga las causas de un accidente automovilístico, puede calcular la velocidad a que circulaba el auto antes de frenar mediante una expresión radical. De igual manera, la velocidad que
alcanza un objeto en caída libre y la altura de las olas pueden determinarse por medio de fórmulas que contienen radicales. En la página 439, por ejemplo, determinaremos la velocidad del mazo de una grúa de percusión y la altura que alcanzan las olas durante una tormenta.
430
Sección 7.1 • Raíces y radicales • 431
Avance de
la lección
E
n este capítulo se explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones con
radicales; también se ofrece una introducción a los números imaginarios y a los
números complejos.
En la sección 7.1 graficaremos funciones con raíces cuadradas y cúbicas. En la sección 7.2 cambiaremos expresiones de forma radical a forma exponencial, y viceversa.
Las reglas de los exponentes se aplican también a los exponentes racionales. En las
secciones 7.3 y 7.4 estudiaremos la simplificación de radicales.
En la sección 7.5 se analiza la racionalización del denominador, una acción mediante la cual se eliminan los radicales del denominador; asegúrese de comprender
los tres requisitos para simplificar expresiones radicales, que se mencionan en esta
sección.
En la sección 7.6 se explica cómo resolver ecuaciones que contienen expresiones
radicales, procedimientos que se utilizarán de nuevo en el capítulo 8. En la sección 7.6
también se ilustran algunas aplicaciones de las ecuaciones radicales.
Finalmente, en la sección 7.7 hablaremos de los números imaginarios y complejos. Además de utilizarlos en el capítulo 8, estos números desempeñan un papel muy
importante en cursos de matemáticas de nivel superior.
7.1 RAÍCES Y RADICALES
1
Determinar raíces cuadradas.
2
Determinar raíces cúbicas.
3
Entender raíces pares e impares.
4
Evaluar radicales mediante el valor absoluto.
En este capítulo analizaremos el concepto de radicales. En la expresión 1x, el 1 es
el signo radical. La expresión que está dentro del signo radical recibe el nombre de
radicando.
Radical sign
1x
Radicand
La expresión completa, el signo radical y el radicando, se denomina expresión radical. La
expresión radical incluye también un índice, que indica su “raíz”. Las raíces cuadradas
tienen un índice de 2. Por lo general, el índice de las raíces cuadradas no se especifica
por escrito. Por lo tanto,
1x significa
1
1
2x
Determinar raíces cuadradas
Todos los números positivos tienen dos raíces cuadradas: una positiva o principal, y
una negativa. Para cualquier número positivo x, escribimos la raíz cuadrada positiva
como 1x, y la raíz cuadrada negativa como - 1x.
Número
25
10
DEFINICIÓN
Raíz cuadrada
principal o positiva
Raíz cuadrada
negativa
125
110
- 125
- 110
La raíz cuadrada principal de un número positivo a, escrita como 1a, es el número positivo b tal que b2 a.
432 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
Ejemplos
125 = 5
10.49 = 0.7
4
2
=
A9
3
ya que 52 = 5 # 5 = 25
ya que 10.722 = 10.7210.72 = 0.49
2
ya que a b = a b a b =
2
3
2
3
2
3
4
9
Recuerde que - 125 significa el opuesto de 125 . Como 125 = 5, - 125 = - 5.
En este libro, siempre que se haga referencia al concepto raíz cuadrada nos estaremos refiriendo a la raíz cuadrada principal o positiva. Así, si se le pide determinar
el valor de 125 , su respuesta debe ser 5.
Un número racional es aquel que puede representarse como un número decimal
finito o cuyos dígitos se repiten en series.. Si usted utiliza la tecla de raíz cuadrada de
una calculadora 1 , para determinar las soluciones de los tres ejemplos anteriores,
descubrirá que todos son números decimales finitos o con series de dígitos que se repiten. Por lo tanto, son números racionales. Muchos radicales, tal como 12 y 110 , no
son números racionales. Cuando se busca la solución de 12 y 110 en una calculadora, los resultados son números decimales que no son finitos y que no repiten series de
dígitos. Así, 12 y 110 son números irracionales.
Radical
Resultados en la calculadora
12
1.414213562
Decimales que no son finitos y que no
repiten series de dígitos.
110
3.16227766
Decimales que no son finitos y que no
repiten series de dígitos.
Ahora piense en la expresión radical 1-25. Como el cuadrado de cualquier
número real siempre será mayor que o igual a 0, no existe ningún número real tal que,
elevado al cuadrado, sea igual a 25. Por esta razón, 1-25 no es un número real. Como ningún número real elevado al cuadrado puede dar por resultado un número negativo, la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Si evalúa 1-25
en una calculadora, obtendrá un mensaje de error. Analizaremos las expresiones como 1-25 más adelante en este capítulo.
SUGERENCIA
Radical
Resultados en la calculadora
1-25
1-2
Error
Error
1-25 no es un número real.
1-2 no es un número real.
No confunda - 136 con 1-36. Ya que 136 = 6, - 136 = - 6. Sin embargo, 1-36 no
es un número real y, tal como se mencionó antes, la raíz cuadrada de un número negativo
no es un número real.
136 = 6
- 136 = - 6
1-36 no es un número real.
La función raíz cuadrada
Cuando representemos gráficamente funciones raíz cuadrada, es decir, funciones con
la forma f1x2 = 1x , debemos recordar siempre que el radicando, x, no puede ser
negativo. Así, en notación de intervalo el dominio de f1x2 = 1x es 5x ƒ x Ú 06, o
30, q 2. Para graficar f1x2 = 1x , podemos seleccionar algunos valores convenientes
de x y determinar los valores correspondientes de f(x) o y, para luego trazar los puntos determinados por los pares ordenados, como se muestra en la figura 7.1.
Sección 7.1 • Raíces y radicales • 433
y
x
y
0
0
1
1
4
2
6
L 2.4
3
9
4
f (x) x
3
2
1
2 1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
x
2
3
4
FIGURA 7.1
Como el valor de f(x) nunca puede ser negativo, el rango de f1x2 = 1x es {yœy 0}
o [0, q) en notación de intervalo.
Después de analizar la figura 7.1, ¿cree que pueda graficar g1x2 = - 1x ? La gráfica de g1x2 = - 1x sería similar a la gráfica de la figura 7.1, pero la gráfica resultante estaría debajo del eje x. ¿Puede explicar por qué? ¿Qué ocurriría al graficar la
expresión h1x2 = 1x - 4 ? Para graficarla sólo seleccionaríamos valores de x 4, ya
que el radicando no puede ser negativo. El dominio de h1x2 = 1x - 4 es {xœx 4}
o [4, q).
Para evaluar funciones con radicales, podría ser necesario utilizar una calculadora.
EJEMPLO 1
Determine el o los valores que se indican en cada función.
a) f1x2 = 112x + 4, f152
Solución
b) g1r2 = - 1-3r + 1, g1-52 y g172
a) f152 = 212152 + 4
Sustituir x por 5.
= 164
= 8
b) g1 -52 = - 2 - 31-52 + 1
Sustituir r por –5.
= - 116
= -4
g172 = - 2 -3172 + 1
Sustituir r por 7.
= - 1- 20
No es un número real.
Por lo tanto, g(7) no es un número real.
✺
2 Determinar raíces cúbicas
DEFINICIÓN
3 a, es el número b tal que b2 a.
La raíz cúbica de un número a, escrita 1
Ejemplos
1
38 = 2
1
3 - 27 = - 3
ya que 2 3 = 8
ya que 1-323 = - 27
Sólo existe una raíz cúbica para cada número real. La raíz cúbica de un número
positivo es positiva, y la raíz cúbica de un número negativo es negativa. La función
3 x, tiene a todos los números reales como dominio.
raíz cúbica, f1x2 = 1
434 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
EJEMPLO 2
Determine el o los valores que se indican en cada función.
3 10x + 34, f132
a) f1x2 = 1
Solución
a) f132 = 2
3 10132 + 34
3 12r - 20, g1-42 y g112
b) g1r2 = 1
Sustituir x por 3.
= 4
b) g1 -42 = 2
3 121-42 - 20
= 1
3 -68
L - 4.081655102
g112 = 2
3 12112 - 20
Sustituir r por 4.
Resultado con una calculadora.
Sustituir r por 1.
= 1
3 -8
= - 2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 71
✺
La función raíz cúbica
3 x. Para obtenerla sustituimos los vaEn la figura 7.2 se muestra la gráfica de y = 1
lores para x y determinamos los valores correspondientes de f(x) o y.
4
x
y
3
-2
-8
-1
-1
0
0
1
1
8
2
3
f (x) x
2
1
9 8 7 6 5 4 3 2 1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
2
3
4
FIGURA 7.2
Observe que tanto el dominio como el rango están compuestos por números
reales, . En el conjunto de ejercicios se le pedirá que grafique funciones raíz cúbica
en su calculadora graficadora.
3
Entender raíces pares e impares
Hasta el momento hemos analizado raíces cuadradas y cúbicas, pero las expresiones ra5 xy, (se lee “raíz quindicales pueden tener otros índices. Por ejemplo, en la expresión 1
ta de xy”), el índice es 5 y el radicando es xy.
Las expresiones radicales que tiene índices 2, 4, 6, . . . , o cualquier número entero par, reciben el nombre de raíces pares. Las raíces cuadradas son raíces pares, ya que
su índice es 2. Las expresiones radicales que tienen índices 3, 5, 7, . . ., o cualquier número entero impar, se denominan raíces impares.
Índices pares
n
La raíz n-ésima de a, 1a, en donde n es un índice par y a es un número real no negativo, es
un número real no negativo b tal que bn a.
Ejemplos de raíces pares
19 = 3
1
4 16 = 2
1
6 729 = 3
ya que 32 = 3 # 3 = 9
ya que 2 4 = 2 # 2 # 2 # 2 = 16
ya que 36 = 3 # 3 # 3 # 3 # 3 # 3 = 729
Sección 7.1 • Raíces y radicales • 435
Cualquier número real elevado a una potencia par, da por resultado un número real
no negativo. Así, cuando un radical tiene índice par, el radicando debe ser no negativo
para que el resultado sea un número real.
SUGERENCIA
4 16 es el
4 16 y 1
4 -16. El número - 1
Existe una diferencia importante entre - 1
4 16 = 2, - 1
4 16. Como 1
4 - 16 no es un nú4 16 = - 2. Sin embargo, 1
opuesto de 1
mero real, ya que ningún número real elevado a la cuarta potencia da por resultado 16.
-1
4 16 = - 11
4 162 = - 2
1
4 - 16 no es un número real.
Índices impares
n
La raíz n-ésima de a, 1a, en donde n es un índice impar y a es cualquier número real, es el
número real b tal que bn a.
Ejemplos de raíces impares
1
38 = 2
1
3 -8 = - 2
1
5 243 = 3
1
5 -243 = - 3
1
7 128 = 2
ya que 2 3 = 2 # 2 # 2 = 8
ya que 1-223 = 1- 221 - 221 - 22 = - 8
ya que 35 = 3 # 3 # 3 # 3 # 3 = 243
ya que 1-325 = 1- 321 - 321 - 321 -321 - 32 = - 243
ya que 2 7 = 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # 2 = 128
La raíz impar de un número positivo es un número positivo, y la raíz impar de un número negativo es un número negativo.
Es importante tener en cuenta que los radicales con índice par deben tener radicandos no negativos para que dé por resultado un número real. Un radical con un
índice impar será un número real con cualquier número real como radicando. Obsern
ve que 1 0 = 0, sin importar si n es un índice par o impar.
EJEMPLO 3
Indique si la expresión radical es o no un número real. Si el número es un número real,
determine su valor.
4 -81
a) 1
Solución
4 81
b) - 1
5 -32
d) - 1
5 -32
c) 1
a) No es un número real. Las raíces pares de números negativos no son números
reales.
4 81 = - 11
4 812 = - 132 = - 3
b) Número real, - 1
5 - 32 = - 2 ya que 1- 225 = - 32
c) Número real, 1
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 21
5 - 32 = - 1-22 = 2
d) Número real, - 1
✺
En la tabla 7.1 se resume la información acerca de las raíces pares e impares.
TABLA 7.1
n es par
n
n es impar
n
a 6 0
1a es un número real positivo. 1a es un número real positivo
n
n
1a es un número real negativo.
1a no es un número real.
a = 0
10 = 0
a 7 0
n
n
10 = 0
436 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
4
Evaluar radicales mediante el valor absoluto
Se podría pensar que 2a 2 = a, pero esto no necesariamente es cierto.A continuación
evaluamos 2a 2 para a 2 y a 2. Verá que cuando a = - 2, 2a 2 Z a.
a = 2:
a = - 2:
2a2 = 222 = 14 = 2
2a2 = 21 -222 = 14 = 2
Observe que 222 = 2.
Observe que 21 -222 Z - 2.
Al analizar éste y otros ejemplos, podemos concluir que 2a 2 siempre será un número real positivo para cualquier número real, a, distinto de cero. Recuerde que el valor
absoluto de cualquier número real a, o œaœ, es también un número real positivo para cualquier número real distinto de cero. Por lo tanto,
Para cualquier número real a,
2a2 = ƒ a ƒ
Esto indica que la raíz cuadrada principal de a2 es el valor absoluto de a.
EJEMPLO 4
Solución
Utilice el valor absoluto para evaluar.
EJEMPLO 5
Solución
Simplifique.
a) 292
c) 2112.822
b) 202
a) 292 = ƒ 9 ƒ = 9
b) 202 = ƒ 0 ƒ = 0
c) 2112.822 = ƒ 12.8 ƒ = 12.8
✺
Si el radicando contiene una variable y usted no está seguro de que su valor sea
positivo, deberá utilizar los signos de valor absoluto para simplificar.
a) 21x + 722
c) 225y 6
b) 29x 2
d) 2a 2 - 6a + 9
Los radicandos de todas estas raíces cuadradas incluyen una variable. Como no sabemos el valor de la variable, ignoramos si ésta es positiva o negativa. Por lo tanto,
debemos utilizar los signos de valor absoluto para simplificar,
a) 21x + 722 = ƒ x + 7 ƒ
b) Escriba 9x2 como (3x)2, y luego simplifique.
29x2 = 213x22 = ƒ 3x ƒ
c) Escriba 25y6 como (5y3)2, y luego simplifique.
225y6 = 315y32 = ƒ 5y3 ƒ
2
d) Observe que a2 6a 9 es un trinomio cuadrado perfecto. Escriba el trinomio como el cuadrado de un binomio; después simplifique.
2a2 - 6a + 9 = 21a - 322 = ƒ a - 3 ƒ
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 63
✺
Si usted tiene una raíz cuadrada cuyo radicando contiene una variable, y se le da
una instrucción como “Suponga que todas las variables representan valores positivos
y que el radicando es no negativo”, no será necesario que utilice el signo de valor absoluto para simplificar.
EJEMPLO 6
Simplifique. Suponga que todas las variables representan valores positivos y que el radicando es no negativo.
a) 225x 2
Solución
b) 281p4
c) 236x 6
a) 225x 2 = 215x22 = 5x
b) 281p4 = 319p22 = 9p2
2
c) 236x 6 = 316x 32 = 6x 3
2
d) 24x 2 - 12xy + 9y 2
Escriba 25x2 como (5x)2.
Escriba 81p4 como (9p2)2.
Escriba 36x6 como (6x3)2.
d) 24x 2 - 12xy + 9y 2 = 212x - 3y22 Escriba 4x2 - 12xy 9y2 como (2x 3y)2.
= 2x - 3y
✺
Sección 7.1 • Raíces y radicales • 437
Agregar signos de valor absoluto es necesario cuando se trabaja con raíces cuadradas (y otras raíces pares), pero no cuando el índice es impar.
Conjunto de ejercicios 7.1
Ejercicios conceptuales
1. a) ¿Cuántas raíces cuadradas tienen los números positivos
reales?
b) Determine todas las raíces cuadradas del número 49.
c) Cuando se mencione el concepto “raíz cuadrada” en
este libro, ¿a qué se estará haciendo referencia?
d) Determine la raíz cuadrada de 49.
2. a) ¿Qué son las raíces pares? Proporcione un ejemplo.
b) ¿Qué son las raíces impares? Proporcione un ejemplo.
3. Explique por qué 1 - 81 no es un número real.
4. Una expresión radical con índice par y un número real
como radicando, ¿siempre será un número real? Explique
su respuesta.
5. Una expresión radical con índice par y un número real como radicando, ¿siempre será un número real? Explique
su respuesta.
6. a) ¿A qué es igual 2a 2?
b) ¿A qué es igual 2a 2, si sabemos que a 0?
7. a) Evalúe 2a 2 para a 1.3.
b) Evalúe 2a 2 para a -1.3.
8. a) Evalúe 2a 2 para a 5.72.
b) Evalúe 2a 2 para a -5.72.
3 27 .
9. a) Evalúe 1
3 27.
b) Evalúe - 1
3 -27.
c) Evalúe 1
4 81 .
10. a) Evalúe 1
4 81.
b) Evalúe - 1
4 -81.
c) Evalúe 1
Problemas de aplicación
Evalúe la expresión radical si es un número real. Utilice una calculadora para redondear los números irracionales hasta el centésimo
más cercano. Si la expresión no es un número real, indíquelo.
11. 164
12. - 164
3 -64
13. 1
3 125
14. 1
3 - 125
15. 1
3 -125
16. - 1
51
17. 1
5 -1
18. 1
5 -1
19. - 1
6 64
20. 1
6 -64
21. 1
3 343
22. 1
3 - 343
23. 1
24. 1100
25. 1-36
26. 145.3
27. 1- 45.3
28. 153.9
29.
1
A 25
30.
A
-
33.
4
A9
34.
3
1
A 27
3
1
31.
A8
35.
A 27
3 -
32.
8
3 -
1
A 8
4 - 6.2
36. 1
1
25
4 18.2
37. - 1
5 93
38. 1
Utilice el valor absoluto para evaluar.
39. 292
40. 21- 922
41. 21 -1922
42. 219 2
43. 2152 2
44. 21- 15222
45. 21235.2322
46. 21 -201.522
47. 210.0622
48. 21- 0.1922
49.
11 2
b
B 13
a
50.
B
a-
101 2
b
319
438 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
Escriba como un valor absoluto.
51. 21x - 922
52. 21a + 722
2
53. 21x - 322
55. 313x 2 - 22
54. 219a - 11b22
57. 316a 3 - 5b 2
2
58. 317y 4 - 2z32
4 2
56. 317y 2 - 3y2
2
Utilice el valor absoluto para simplificar. Tal vez necesite factorizar primero.
59. 2a 10
60. 2y 18
61. 2z30
63. 2a - 8a + 16
64. 2x + 12x + 36
65. 29a + 12ab + 4b
2
2
62. 2x 102
2
66. 24x 2 - 20xy + 25y 2
2
Determine el valor indicado en cada función. Utilice su calculadora para calcular los números irracionales. Redondéelos al centésimo más cercano.
67. f1x2 = 15x - 6, f122
68. f1a2 = 114a - 36, f142
69. g1x2 = 164 - 8x , g1 -32
3 8x + 9, p122
70. p1x2 = 1
3 9x2 + 4, h142
71. h1x2 = 2
4 16c - 5, k142
72. k1c2 = 1
3 -2x2 + x - 6, f1 - 32
73. f1a2 = 2
4 2x3 - 3x2 + 6x, t122
74. t1x2 = 2
Resolución de problemas
75. Determine f1812 si f1x2 = x + 1x + 5.
86. ¿Para qué valores de x, 214x - 822 = 4x - 8? Explique cómo determinó su respuesta.
76. Determine g1252 si g1x2 = x + 1x - 3.
2
77. Determine t1182 si t1x2 =
87. a) ¿Para qué valores de a es 2a 2 = ƒ a ƒ ?
x
+ 12x - 1.
2
b) ¿Para qué valores de a es 2a 2 = a?
x
+ 14x + 2.
78. Determine m1362 si m1x2 =
3
3 a 3 = a?
c) ¿Para qué valores de a es 2
n
88. ¿En qué circunstancias la expresión 1x no es un número
real?
x
- 11.
79. Determine k182 si k1x2 = x +
A2
2
n
89. Explique por qué la expresión 2x n es un número real para cualquier número real x.
x
x
+
+ 21.
80. Determine r1452 si r1x2 =
9
A5
n
90. ¿En qué circunstancias la expresión 2x m no es un número real?
81. Seleccione un valor para x, para el cual 212x + 122 Z
2x + 1.
82. Seleccione un valor para x, para el cual 215x - 322 Z
91. Determine el dominio de
5x - 3.
83. ¿Para qué valores de x, 21x - 122 = x - 1? Explique
cómo determinó su respuesta.
terminó su respuesta.
84. ¿Para qué valores de x, 21x + 322 = x + 3? Explique
cómo determinó su respuesta.
92. Determine el dominio de
terminó su respuesta.
85. ¿Para qué valores de x, 212x - 622 = 2x - 6? Explique cómo determinó su respuesta.
1x + 5
1
3x + 5
1
3x - 2
1
6x + 1
. Explique cómo de-
. Explique cómo de-
Considere los dominios de las funciones de los ejercicios 93 a 96, y relacione cada función con su gráfica correspondiente..
93. f1x2 = 1x
a)
94. f1x2 = 2x 2
b)
y
95. f1x2 = 1x - 5
c)
y
4
y
4
2
2
2
2
4
6
8
x
6
4
2
2
2
4
x
96. f1x2 = 1x + 5
d)
4
y
4
4
2
2
2
2
2
4
x
2
2
2
4
6
8
x
Sección 7.1 • Raíces y radicales • 439
97. Proporcione una función radical cuyo dominio sea {x|x 6}.
con la altura h, en pies, de las olas que se producen en ciertas áreas del océano. Esta fórmula es
98. Proporcione una función radical cuyo dominio sea {xœx 5}.
u =
99. Si f1x2 = - 1x, ¿puede f1x2 ser a) mayor que 0,
b) igual a 0, c) menor que 0? Explique.
100. Si f1x2 = 1x + 5, ¿puede f1x2 ser a) mayor que 0,
b) igual a 0, c) menor que 0? Explique.
101. Velocidad de un objeto La velocidad, V, que alcanza un
objeto, en pies por segundo, después de que ha caído cierta distancia, h en pies, puede determinarse mediante la fórmula V = 164.4h. Una grúa de percusión cuenta con un
gran mazo que se usa como martillo para enterrar pilotes
en una superficie suave, a fin de que sirvan de soporte para
edificios u otras estructuras.
H
A 0.026
H
Si las olas producidas por una tormenta alcanzan una
altura de 15 pies, ¿cuál es la velocidad del viento?
103. Grafique f1x2 = 1x + 1.
104. Grafique g1x2 = - 1x.
105. Grafique g1x2 = 1x + 1.
106. Grafique f1x2 = 1x - 2.
Utilice su calculadora graficadora para resolver los ejercicios
107 a 112.
107. Compruebe la gráfica que trazó en el ejercicio 103.
108. Compruebe la gráfica que trazó en el ejercicio 105.
¿A qué velocidad el mazo golpeará al pilote si cae desde
una altura de a) 20 pies b) 40 pies?
102. Oleaje Un instituto de oceanografía desarrolló una fórmula para relacionar la velocidad del viento, u, en nudos,
109. Determine si el dominio que dio en el ejercicio 91 es
correcto.
110. Determine si el dominio que dio en el ejercicio 92 es
correcto.
3 x + 4.
111. Grafique y = 1
3 2x - 3.
112. Grafique f1x2 = 1
Actividad en equipo
En esta actividad determinarán las condiciones en que ciertas propiedades de los radicales son verdaderas. Estudiaremos estas propiedades más adelante en este capítulo. Analice y responda en equipo los siguientes ejercicios.
n
n
n
113. La propiedad 1a # 1b = 1ab, denominada propiedad
de multiplicación para radicales, es verdadera para ciertos
números reales a y b. Por medio de sustitución de valores
para a y b, determine en qué condiciones esta propiedad
es verdadera.
n
1a
n a
, denominada propiedad de diviA
b
1b
sión para radicales, es verdadera para ciertos números
reales a y b. Por medio de sustitución de valores para a
y b, determine en qué condiciones esta propiedad es verdadera.
114. La propiedad
n
Ejercicios de repaso acumulativo
Factorice.
[5.4] 115. 9ax - 3bx + 12ay - 4by
[5.5] 116. 3x 3 - 18x 2 + 24x
117. 4x 4 + 4x 2 - 3
[5.6] 118. x 3 -
8 3
y
27
=
440 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
7.2 EXPONENTES RACIONALES
1
1
Convertir una expresión radical en una expresión exponencial.
2
Simplificar expresiones radicales.
3
Aplicar las reglas de los exponentes a los exponentes racionales y a los exponentes negativos.
4
Factorizar expresiones con exponentes racionales.
Convertir una expresión radical en una expresión exponencial
En esta sección analizaremos la conversión de las expresiones radicales en expresiones exponenciales, y viceversa. Es importante que usted sepa que las expresiones con
exponentes racionales pueden escribirse como expresiones radicales mediante este
procedimiento:
n
1a = a1>n
Cuando a es un número no negativo, n puede ser cualquier índice.
Cuando a es un número negativo, n debe ser un número impar.
A menos que se indique lo contrario, en el resto de este capítulo supondremos que todas
las variables en el radicando representan números reales no negativos, y que el radicando es un número no negativo. De esta manera no será necesario establecer que la
variable es no negativa siempre que tengamos un radical que tenga como índice un
número par; esto nos permitirá escribir muchas respuestas sin signos de valor absoluto.
EJEMPLO 1
Escriba cada expresión con exponentes racionales.
a) 17
Solución
7 - 4x2y 5
c) 2
3 13ab
b) 1
a) 17 = 71>2
5x7
B 2z11
d) 8
Recuerde que el índice de cualquier raíz cuadrada es 2.
5x7
5x7 1>8
=
¢
≤
B 2z11
2z11
b) 1
3 13ab = 113ab21>3 c) 2
7 -4x2y5 = 1- 4x2y52
1>7
d) 8
✺
Las expresiones exponenciales pueden convertirse en expresiones radicales invirtiendo el procedimiento.
EJEMPLO 2
Escriba cada expresión sin exponentes racionales.
a) 91>2
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 33
2
b) 1- 821>3
a) 91>2 = 19 = 3
c) y1>4 = 1
4y
d) 16x 2y2
1>7
c) y 1>4
b) 1-821>3 = 1
3 -8 = -2
d) 16x2y2
1>7
= 2
7 6x2y
e) 5rs 1>2
✺
e) 5rs1>2 = 5r1s
Simplificar expresiones radicales
n
Podemos ampliar la regla anterior, de modo que los radicales con la forma 2 am
puedan escribirse como expresiones exponenciales. Por ejemplo, a2/3 puede escribirse
como (a1/3)2 o (a2)1/3. Esto sugiere que a2>3 = 11
3 a22 = 2
3 a2 .
Para cualquier número a no negativo, y enteros m y n,
Potencia
n
2a
m
= A2a B
n
m
= am>n
Índice
Sección 7.2 • Exponentes racionales • 441
Podemos usar esta regla para cambiar una expresión de la forma radical a la forma
exponencial, y viceversa. Cuando cambiamos una expresión radical a forma exponencial, la potencia se coloca en el numerador y el índice o raíz en el denominador del exponente racional. Así, por ejemplo, 2
3 x4 puede escribirse como x4/3. También 11
5 y22
2/5
puede escribirse como y . A continuación se dan algunos ejemplos más.
Ejemplos
2y = y
3
2
3 z2 = z2>3
3>2
11p23 = p3>2
2
5 2 8 = 2 8>5
11
4 x23 = x3>4
11
4 723 = 73>4
De acuerdo con esta regla, para valores no negativos de la variable podemos escribir
2x5 = 11x25
EJEMPLO 3
Escriba cada expresión con exponentes racionales; después simplifique.
3 y215
b) 11
4 x16
a) 2
Solución
11
4 p23 = 2
4 p3
6 x212
c) 11
b) 11
3 y215 = y15>3 = y5
4 x16 = x16>4 = x4
a) 2
c) 11
6 x212 = x12>6 = x2
✺
Las expresiones exponenciales con exponentes racionales pueden convertirse
en expresiones radicales invirtiendo el procedimiento. El numerador del exponente
racional es la potencia, y el denominador del exponente racional es el índice o raíz de
la expresión radical. Éstos son algunos ejemplos.
Ejemplos
x
1>2
51>3 = 1
35
= 1x
62>3 = 2
3 62 o A1
3 6B
x9>5 = 2
5 x9 o A1
5 xB
2
9
y3>10 = 2
A y3 o A2
A yB
z10>3 = 2
3 z10 o A1
3 zB
3
10
3 62 o A 1
3 6B .
Observe que puede seleccionar, por ejemplo, escribir 62/3 como 2
2
EJEMPLO 4
Escriba cada expresión sin exponentes racionales.
a) x 2>5
Solución
EJEMPLO 5
Solución
b) 16ab25>4
a) x2>5 = 2
5 x2 o A1
5 xB
Simplifique.
a) 253>2
2
6 14923
b) 2
b) 16ab25>4 = 2
4 16ab25 o A 1
4 6ab B
4 1xy220
c) 2
d)
5
F zB
A2
✺
5
a) Algunas veces una expresión con un exponente racional puede simplificarse con más
facilidad escribiéndola como un radical, como se ilustra.
253>2 = A125 B
= 1523
= 125
3
Escribir como un radical.
b) Algunas veces una expresión radical puede simplificarse con más facilidad escribiéndola con exponentes racionales, como se ilustra en las partes b) a d).
2
6 14923 =
=
=
=
493>6
491>2
149
7
Escribir con un exponente racional.
Reducir el exponente.
Escribirlo como un radical.
Simplificar.
442 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
4 1xy220 = 1xy220>4 = 1xy25
c) 2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 51
d)
F z B = z5>15 = z1>3 o 1
3z
A2
5
✺
5 x5 . Al escribirla en forma exponencial, se obtieVeamos ahora la expresión 2
1
ne x x x. Esto conduce a la siguiente regla.
5/5
Para cualquier número no negativo a,
2an = A1a B = an>n = a
n
n
n
En el recuadro anterior se especifica que a es un número no negativo. Si n es un
n
6 1 -526 =
índice par y a es un número real negativo, 2a n = ƒ a ƒ y no a. Por ejemplo, 2
ƒ -5 ƒ = 5. De acuerdo con lo que se dijo antes en el sentido de que, a menos que se indique lo contrario, las variables en los radicandos representan números reales no nega6 x6 = x y no œxœ. Esta suposición también nos permite escribir
tivos, podemos escribir 2
4
2
4 z2 = z.
2x = x y 11
Ejemplos
23 = 3
2
6 1xy26 = xy
2
2
4 y4 = y
11
5 z25 = z
3 Aplicar las reglas de los exponentes a los exponentes racionales
y a los exponentes negativos
Aunque utilizamos como exponentes sólo números enteros no negativos, las reglas de
los exponentes siguen siendo válidas cuando los exponentes son números racionales.
Veamos dichas reglas.
Reglas de los exponentes
Para todos los números reales a y b y todos los números racionales m y n,
am # an = am + n
Regla del producto
am
= a m - n,
an
Regla del cociente
a -m =
Regla del exponente negativo
a Z 0
1
, a Z 0
am
a 0 = 1, a Z 0
n
#
1am2 = am n
Regla del exponente cero
Elevar una potencia a una potencia
1ab2m = ambm
Elevar un producto a una potencia
a m
am
a b = m, b Z 0
b
b
Elevar un cociente a una potencia
Utilizaremos estas reglas para resolver algunos problemas en donde hay exponentes con números racionales.
EJEMPLO 6
Solución
Evalúe.
a) 8-2>3
b) 1-272-5>3
c) 1-322-6>5
a) Comience por utilizar la regla del exponente negativo.
8-2>3 =
1
82>3
Regla del exponente negativo.
Sección 7.2 • Exponentes racionales • 443
1
=
b) 1 -272-5>3 =
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 81
c) 1 -322-6>5 =
11
3 822
=
1
22
=
1
4
Escribir el denominador como un radical.
Simplificar el denominador.
1
1
1
1
=
=
= 5
5>3
5
243
1-32
1-272
11
3 -272
1
1
1
1
=
=
=
6
6>5
6
64
1-22
1-322
11
5 -322
✺
Observe que podríamos haber resuelto el ejemplo 6a) como sigue:
8-2>3 =
1
1
1
1
=
=
=
2>3
2
4
8
1
3 64
2
3 8
Sin embargo, por lo general es más fácil evaluar la raíz antes de aplicar la potencia.
4 -1623.
Considere la expresión (16)3/4; esta expresión puede rescribirse como 11
3
3/4
4 -162 no es un número real, la expresión (16) no es un número real.
Ya que 11
Recuerde que
a -n
b n
a b = a b
a
b
Utilizaremos esta información en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 7
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 83
SUGERENCIA
Evalúe.
a) a
a) a
b) a
9 -1>2
b
25
27 -1>3
b
8
9 -1>2
25 1>2
25
5
b
= a b =
=
25
9
A9
3
b) a
27 -1>3
8 1>3
8
2
b
= a b = 3
=
8
27
A 27 3
✺
¿En que difieren las expresiones -251/2 y (-25)1/2?
Recuerde que x2 significa -(x2). El mismo principio se aplica aquí.
- 251>2 = - 12521>2 = - 125 = - 5
1- 2521>2 = 1- 25, que no es un número real.
EJEMPLO 8
Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes negativos.
b) 17x 2y -42
a) a 1>2 # a -2>3
Solución
a) a 1>2 # a -2>3 = a 11>22 - 12>32
= a
=
-1>6
1
a1>6
-1>2
c) 3.2x 1>312.4x 1>2 + x -1>42
d) ¢
Regla del producto.
Determinar el MCD y restar los exponentes.
Regla del exponente negativo.
5x -4z2>5 1>8
≤
z-3>5
444 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
b) 17x 2y -42
= 7-1>2x21-1>22y -41-1>22
-1>2
= 7
-1>2 -1 2
x y
y
=
2
1>2
7 x
Elevar el producto a una potencia.
Multiplicar los exponentes.
2
y
¢o
x17
≤
Regla del exponente negativo.
c) Comience aplicando la propiedad distributiva.
3.2x1>312.4x1>2 + x -1>42 = 13.2x1>3212.4x1>22 + 13.2x1>321x -1>42 Propiedad distributiva.
= 13.2212.421x11>32+11>222 + 3.2x11>32 - 11>42 Regla del producto.
= 7.68x5>6 + 3.2x1>12
d) ¢
5x -4z2>5 1>8
1>8
≤ = 15x -4z12>52 - 1-3>522
z-3>5
= 15x -4z2
1>8
Restar los exponentes.
1>8 -411>82 1>8
= 5 x
z
= 51>8x -4>8z1>8
= 51>8x -1>2z1>8
51>8z1>8
=
x1>2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 105
EJEMPLO 9
Solución
Simplifique.
F 16y25
a) 2
F 16y25 = 16y25>15
a) 2
Elevar el producto a una potencia.
Multiplicar los exponentes.
Regla del exponente negativo.
b)
20
4 a 2 b3 c B
A2
4 a 2 b3 c B
b) A2
= 16y2
= 1
3 6y
Escribir como un radical.
= 1a2b3c2
Escribir con un exponente racional.
= 1a b c2
= a10b15c5
4
3x = 2
4 x
c) 21
5
Elevar el producto a una potencia.
3 x como x1>3.
Escribir 1
1>3
= 1x 2
= x1>12
= 2
Cx
1>3 1>4
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 53
4
3x
c) 21
Simplificar el exponente.
20>4
2 3
✺
Escribir con un exponente racional.
1>3
20
Regla del cociente.
Escribir con un exponente racional.
Elevar la potencia a una potencia.
Escribir como radical.
✺
Cómo utilizar su calculadora
Determinación de raíces o expresiones con exponentes racionales en una
calculadora graficadora o en una calculadora científica
5 84523 u 8453/5 en una calculadora. El procediEn general hay muchas formas de evaluar una expresión como 11
miento varía según el modelo. Un método general consiste en escribir la expresión con un exponente racional y
x
x
utilizar las teclas y o a o ¿ junto con las teclas de paréntesis, como se muestra continuación.*
Calculadora científica
3/5
Para evaluar 845 , presione
Respuesta que se obtiene
845 y
x
1 3 , 5 1
= 57.03139903
(continúa en la página siguiente)
Sección 7.2 • Exponentes racionales • 445
Para evaluar 8453/5, presione
Respuesta que se obtiene.
845 yx 1 3
±/
–
, 5 1
= 0.017534201
Calculadora graficadora
3/5
Para evaluar 845 , presione las siguientes teclas.
Respuesta que se obtiene.
845 ¿
1 3 , 5 1 ENTER 57.03139903
Para evaluar 8453/5, presione las siguientes teclas.
Respuesta que se obtiene.
845 ¿
1 1-2 3 , 5 1 ENTER .0175342008
* La secuencia de teclas que se utiliza varía según el modelo de cada calculadora. Lea el manual de su calculadora para aprender a evaluar
expresiones exponenciales con ella.
4
Factorizar expresiones con exponentes racionales
En cursos de matemáticas de nivel superior, muchas veces es necesario factorizar variables con exponentes racionales. Para factorizar una expresión racional, factorice el
término con el exponente más pequeño (o más negativo).
EJEMPLO 10
Solución
Factorice x 2>5 + x -3>5.
El más pequeño de los dos exponentes es 3/5. Por lo tanto, factorizaremos x-3/5 en
ambos términos. Para determinar el nuevo exponente en la variable que tenía el exponente más grande, restamos el exponente que fue factorizado del exponente original.
Exponente
original
2
x5 + x
-
3
5
= x
-
= x
-
=
=
3
5
ax5
2
3
5 1x 1
3
x 5 1x
3
- a- b
5
Exponente
factorizado
+ 1b
+ 12
+ 12
x + 1
x3>5
Podemos comprobar las factorización por medio de la multiplicación.
x -3>51x + 12 = x -3>5 # x + x -3>5 # 1
= x1-3>52 + 1 + x -3>5
= x2>5 + x -3>5
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 139
Como obtuvimos la expresión original, la factorización es correcta.
✺
446 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
Matemáticas en acción
Brrrrr... Afuera hace frío
El factor de congelación es un concepto importante, especialmente para quienes viven en regiones en donde
hay bajas temperaturas y fuertes vientos durante el invierno. La exposición a estas condiciones sin contar con
la ropa de protección apropiada, puede provocar congelación, pérdida de miembros, o incluso de la vida.
Observe que ambas fórmulas tienen exponentes decimales. La fórmula anterior 01v2, tiene el exponente decimal en v0.5, y la fórmula nueva, N1v2, lo tiene en v0.16.
Si usted vive en un clima frío, es posible que la
temperatura exterior descienda a 35°F cuando el viento
sopla a 20 mph.Aplicando la fórmula anterior, el factor
de congelación habría sido 11°F; utilizando la nueva
fórmula es 24°F.
A continuación se presenta una comparación del
factor de congelación usando ambas fórmulas, en donde la temperatura exterior se fijó en 5°F y la velocidad
del viento varía desde 1 mph hasta 105 mph.
Antes del 1 de noviembre de 2001, la fórmula para calcular el factor de congelación era
01v2 = 0.081713.71v0.5 + 5.8121t - 91.42 + 91.4
en donde t es la temperatura exterior, en grados Fahrenheit, y v es la velocidad del viento, en millas por hora. Sin
embargo, con base en investigaciones médicas, estudios
científicos y tecnología meteorológica, se determinó que
esta fórmula no reflejaba realmente el factor de congelación.A partir de esa fecha, el Servicio Nacional del Clima
de Estados Unidos adoptó una nueva fórmula para determinar este factor:
N1v2 = 35.74 + 0.6215t - 35.75v0.16 + 0.4275tv0.16
Temperatura (°F)
10
0
10
N (v)
20
30
40
O (v)
50
60
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110
Velocidad del viento (mph)
Fuente: Servicio Nacional del Clima de Estados Unidos, NOAA.
El Servicio Nacional del Clima ha establecido un
sitio Web en www.nws.noaa.gov/om/windchill, en donde
se informará el factor de congelación usando la nueva
fórmula. Para obtener este valor, haga las sustituciones
necesarias, escribiendo la temperatura exterior en °F y la
velocidad del viento en mph.
Conjunto de ejercicios 7.2
Ejercicios conceptuales
n
1. a) ¿En qué condiciones 1a es un número real?
n
b) Cuando 1a es un número real, ¿cómo puede expresarse con exponentes racionales?
n
2. a) ¿En qué condiciones 2a m es un número real?
b) ¿En qué condiciones 11a2m es un número real?
n
n
c) Cuando 2a m es un número real, ¿cómo puede expresarse con exponentes racionales?
n
3. a) ¿En qué condiciones 2a n es un número real?
b) Cuando n es un número par y a 0, ¿a qué es igual
n
2an ?
n
c) Cuando n es un número impar, ¿a qué es igual 2a n ?
d) Cuando n es un número par y a es cualquier número
n
real, ¿a qué es igual 2a n ?
4. a) Explique la diferencia entre 161/2 y (16)1/2.
b) Evalúe cada expresión de la parte a) si esto es posible.
5. a) ¿(xy)1/2 xy1/2? Explique.
b) ¿1xy2-1>2 =
x1>2
? Explique.
y -1>2
6 13y23 = 13y26>3? Explique.
6. a) ¿ 2
b) ¿ 21ab24 = 1ab22? Explique.
Sección 7.2 • Exponentes racionales • 447
Problemas de aplicación
En este conjunto de ejercicios supondremos que todas las variables representan números reales positivos. Escriba cada expresión en
forma exponencial.
8. 2y 7
7. 2a 3
3 z
11. 2
3 x
12. 2
5
3 710
13. 2
16. 11x27
4 97
15. 2
3 xy
20. 2
4 ab
19. 2
3 5x6y7
23. 2
5 711
14. 2
3 y213
17. 11
4
3
3y
10. 1
9. 295
11
18. 2ab5
4 xz
21. 2
6 y 11z
22. 2
6 3a + 5b
25. 1
9 3x + 7z4
26. 2
29. c5>2
30. 151>2
9 5
4 7a 5b3
24. 2
Escriba cada expresión en forma radical.
27. a 1>2
28. b2>3
35. 17b c2
39. 1b3 - c2
1>2
36. 19x y 2
3>5
2
33. 124x32
32. y 17>6
31. 175>3
-1>3
40. 17x 2 + 2y 32
34. 185a 32
5>2
37. 16a + 5b2
3 2 7>4
1>5
38. 18x - 9y2
7>3
2
-1>6
Simplifique cada expresión radical, cambiándola a forma exponencial. Cuando sea apropiado, escriba la respuesta en forma radical.
41. 2a 4
4 a8
42. 2
3 x9
43. 2
6 y
45. 2
46. 2y
8 b
47. 2
2
49. 1118.122
8 xyz24
53. 11
6
4 16.8324
50. 2
54.
3
9 a 2bc4 B
A2
4y
57. 21
31
4b
58. 2
5 a7
61. 32
51
4 ab
62. 2
51.
4 x12
44. 2
4
5 xy B
A2
2 15
C z4
48. 2
52.
40
4 a 4bc3 B
A2
55. 2 1x
3a
56. 2 1
32
3 x2y
59. 3
41
3 5y
60. 2
65. 64 1>3
66. 811>4
Evalúe, si es posible. Si la expresión no es un número real, indíquelo.
63. 91>2
64. 1001>2
67. 163>2
71. a
68. 272>3
1>2
16
b
9
75. - 361>2
79. 64
83. a
72. a
36
b
49
76. 1 -3621>2
80. 100
-1>3
64 -1>3
b
27
87. 811>2 + 1691>2
1>2
-1>2
69. 1- 2521>2
73. a b
1
8
1>3
77. -64 1>3
81. 64
70. 1- 6421>4
74. a
1 1>5
b
32
78. 1- 6421>3
82. 16-3>2
-2>3
84. 1 -8123>4
85. 1- 10023>2
86. - a
4 -1>2
b
49
88. 49-1>2 + 36-1>2
89. 343 -1>3 + 4 -1>2
90. 16-1>2 - 256-3>4
Simplifique. Escriba la respuesta en forma exponencial sin exponentes negativos.
x1>2
x1>3
91. x 4 # x 1>2
92. x 2>3 # x 3>8
93.
95. 1x 1>22
96. 1a -1>32
97. 17 -1>32
99.
-2
5y -1>3
60y -2
103. a
8 1>3
b
64x
-1>2
100. x -1>2x -2>5
104. ¢
108 1>3
≤
4x4
94. x -4>5
0
101. 4x 5>3 2x -7>2
105. ¢
22x3>7 2
≤
2x1>2
98.
x5
x -1>2
102. 1x -4>52
1>3
106. ¢
x -1>3 2
≤
x -2
448 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
107. ¢
-3
a4
≤
5a -2>5
108. ¢
Multiplique.
81z1>4y3
9z1>4
≤
1>2
109. ¢
x3>4y -2
x1>2y2
≤
4
110. ¢
250a -3>4b5 2>3
≤
2a -2b2
111. 3z -1>212z4 - z1>22
112. - 3a -4>912a 1>9 - a 22
113. 5x -11x -4 + 4x -1>22
114. - 9z3>21z3>2 - z -3>22
115. - 4x 5>31- 2x 1>2 + 7x 1>32
116.
1 -2
x 110x4>3 - 18x -1>22
2
Utilice una calculadora para evaluar cada expresión. Redondee la respuesta al centésimo más cercano.
117. 1140
121. 45
2>3
3 168
118. 1
3>2
122. 69.1
5 402.83
119. 1
4 1096
120. 1
123. 1000
124. 8060 -3>2
-1>2
Resolución de problemas
125. ¿En qué condiciones se cumple 2 an = 11 a2n = a?
n
n
126. Elija valores para a y b para demostrar que (a2 b2)1/2 no
es igual a a b.
127. Elija valores para a y b para demostrar que (a1/2 b1/2)2
no es igual a b.
128. Elija valores para a y b para demostrar que (a3 b3)1/3 no
es igual a a b.
129. Elija valores para a y b para demostrar que (a1/3 b1/3)3
no es igual a b.
3
130. Determine si 2
1x = 2 1
3 x , x Ú 0.
Factorice. Escriba la respuesta sin exponentes negativos.
131. x 5>2 + x 1>2
132. x 1>4 - x 5>4
133. y 1>3 - y 7>3
134. x -1>2 + x 1>2
135. y -2>5 + y8>5
136. a 6>5 + a -4>5
En los ejercicios 137 a 142, utilice una calculadora en donde sea apropiado.
137. Cultivo de bacterias La función B(t) 210 2t, sirve para calcular el número de bacterias que hay en cultivo después de t horas.
a) El número inicial de bacterias se determinó cuando
t 0. ¿Cuál es el número inicial de bacterias?
1
b) ¿Cuántas bacterias hay después de 2 hora?
138. Determinación de antigüedad Los científicos emplean un
método denominado “carbono 14” para determinar la antigüedad de fósiles, huesos y otros objetos. La fórmula que
se usa es P P02-t/5600, en donde P0 representa la cantidad
original de carbono 14 (C14) en un objeto, y P representa
la cantidad de C14 que hay en él después de t años. Si en un
hueso de un animal recientemente desenterrado están presentes 10 mg de C14, ¿cuántos mg estarán presentes dentro de 5000 años?
139. Planes de retiro Cada año es mayor el número de estadounidenses que contribuyen al plan de retiro denominado 401(k). El total de activos, A(t), de los planes 401(k),
en miles de millones de dólares, puede calcularse mediante la función A(t) 2.69t3/2, en donde t es años desde 1993,
y 1 t 14. (Por lo tanto, esta función aplica para los años
1994 a 2007). Calcule el total de activos que habrá en los
planes 401(k) en a) 2000 y b) 2007.
140. Ventas por Internet Las ventas por Internet han aumentado cada año. La cantidad total, I(t), en miles de millones
de dólares, de ventas realizadas por Internet, puede
calcularse mediante la función I(t) 0.25t5/3, en donde t
son los años desde 1999, y 1 t 8. Determine la cantidad total producida por ventas realizadas por Internet en
a) 2000 y b) 2007.
141. Evalúe A 322 B 22. Explique cómo determinó su respuesta.
142. a) Evalúe en su calculadora 3p.
b) Explique por qué el valor que indicó en la parte a) tiene sentido o no.
143. Determine el dominio de f(x) (x 5)1/2(x 3)-1/2.
144. Determine el dominio de f(x) (x 4)1/2(x 2)-1/2.
145. Suponga que x puede ser cualquier número real. Simplifin
que 2 1x - 422n , si
a) n es un número par.
b) n es un número impar.
Sección 7.3 • Simplificación de radicales • 449
Determine el índice que debe colocarse en el área sombreada para que la expresión sea verdadera. Explique cómo determinó su respuesta.
●
b) Utilizando su calculadora graficadora, compruebe que
146. 3
4 2 1x = x1>24
la respuesta que dio en la parte a) es correcta; para ello,
4
● 3
147. 43
5 2 1z = z1>120
grafique f(x) tanto en su forma original como en la for148. a) Escriba f1x2 = 12x + 3 en forma exponencial.
ma exponencial que usted determinó.
Ejercicios del repaso acumulativo
[3.2] 149. Determine cuál de las siguientes relaciones también
es una función.
a)
b)
y
c)
y
x
[6.3] 150. Simplifique
y
x
a -2 + ab -1
ab -2 - a -2 b -1
x
[6.4] 151. Resuelva la ecuación
2x + 1
3x - 2
=
.
x + 4
3x - 2
[6.5] 152. Piloteando un avión Una persona puede pilotear
su aeroplano en un trayecto de 500 millas con el
viento en contra, en el mismo tiempo que le toma
pilotearlo en un trayecto de 560 millas con el viento a favor. Si el viento sopla a 25 millas por hora,
determine la velocidad del aeroplano con viento en
calma.
.
7.3 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
1
1
Entender potencias perfectas.
2
Simplificar radicales mediante la regla del producto para radicales.
3
Simplificar radicales mediante la regla del cociente para radicales.
Entender potencias perfectas
En esta sección simplificaremos radicales mediante la regla del producto para radicales y la regla del cociente para radicales, pero antes se presentará un concepto que nos
ayudará a comprenderlas: las potencias perfectas.
Un número o expresión es un cuadrado perfecto si es el cuadrado de una expresión. Los siguientes son ejemplos de cuadrados perfectos.
Cuadrados perfectos
Cuadrado de un número
1,
p
12,
4,
p
2 2,
9,
p
32,
16,
p
4 2,
25,
p
52,
36, Á
p
62, Á
Tal como se ilustra a continuación, las variables con exponentes también puede ser
cuadrados perfectos.
x2,
p
Cuadrado de una expresión 1x22,
Cuadrados perfectos
x4,
p
2
1x 22 ,
x6,
p
2
1x32 ,
x 8,
p
2
1x42 ,
x10, Á
p
2
1x52 , Á
Observe que todos los exponentes de las variables de los cuadrados perfectos son múltiplos de 2.
Al igual que existen cuadrados perfectos, también hay cubos perfectos. Un
número o expresión es un cubo perfecto si puede escribirse como el cubo de una
expresión. Los siguientes son algunos ejemplos.
450 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
Cubos perfectos
Cubo de un número
1,
p
13,
8,
p
2 3,
x3,
p
Cubo de una expresión 1x23,
27,
p
33,
x6,
p
3
1x 22 ,
Cubos perfectos
64,
p
4 3,
125,
p
53,
216, Á
p
63, Á
x 9,
p
3
1x32 ,
x12,
p
3
1x 42 ,
x15, Á
p
3
1x52 , Á
Observe que todos los exponentes de las variables de los cubos perfectos son múltiplos de 3.
Lo anterior también es cierto respecto de potencias perfectas de una variable
para cualquier radicando. En general, el radicando xn es una potencia perfecta cuando n
es un múltiplo del índice del radicando (o en donde n es divisible entre el índice).
Ejemplo
Potencias perfectas de xn para el índice n xn,
x 2n,
x3n,
x4n,
x5n, Á
Por ejemplo, si el índice de una expresión radical es 5, entonces x5, x10, x15, x20, etcétera, son
potencias perfectas del índice.
SUGERENCIA
Un método rápido para saber si un radicando xn es una potencia perfecta para un índice,
consiste en determinar si el exponente n es divisible entre el índice del radical. Por ejemplo,
5 x20, como el exponente, 20, es divisible entre el índice, 5, x20 es una quinta potencia
en 2
6 x20, el exponente, 20, no es divisible entre el índice, 6; entonperfecta. En cambio, en 2
20
ces, x no es una sexta potencia perfecta. Sin embargo, x18 y x24 sí lo son, ya que 6 divide a
18 y a 24.
Observe que la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto simplifica a una expresión
sin signo radical; la raíz cúbica de un cubo perfecto simplifica a una expresión sin signo radical, y así sucesivamente.
Ejemplos
116 = 24 2 = 4 2>2 = 4
1
3 27 = 2
3 33 = 33>3 = 3
2x6 = x6>2 = x3
2
3 z12 = z12>3 = z4
2
5 n30 = n30>5 = n6
Estamos listos para analizar la regla del producto para radicales.
2
Simplificar radicales mediante la regla del producto para radicales
Para comprender la regla del producto para radicales, empezaremos por observar que
14 # 19 = 2 # 3 = 6 , que 14 # 9 = 136 = 6 , y que 14 # 19 = 14 # 9 . Éste es un
ejemplo de la regla del producto para radicales.
Regla del producto para radicales
Para números reales no negativos a y b,
n
n
n
1a # 1b = 1ab
Sección 7.3 • Simplificación de radicales • 451
Ejemplos de la regla del producto para radicales
11 # 120
120 = c 12 # 110
14 # 15
1
31# 1
3 20
1
3 20 = c 1
32# 1
3 10
#
1
34 1
35
120 puede factorizarse en
cualquiera de estas formas.
1
3 20 puede factorizarse en
cualquiera de estas formas.
1x # 2x6
2x = c 2x2 # 2x5
2x3 # 2x4
1
3x# 2
3 x6
2#
2
3 x = c2
3 x 2
3 x5
2
3 x3 # 2
3 x4
2x7 puede factorizarse en
2
3 x7 puede factorizarse en
cualquiera de estas formas.
cualquiera de estas formas.
7
7
Ahora que conocemos la regla del producto para radicales, la usaremos para
simplificar radicales. El procedimiento general que puede usarse para simplificar
radicales mediante la regla del producto es el siguiente.
Para simplificar radicales mediante la regla del producto
1. Si el radicando contiene un coeficiente distinto de 1, escríbalo como el producto de dos
números, uno de los cuales es la máxima potencia perfecta del índice.
2. Escriba cada factor variable como el producto de dos factores, donde uno de los cuales
sea la máxima potencia perfecta de la variable del índice.
3. Utilice la regla del producto para escribir la expresión radical como un producto de radicales. Coloque todas las potencias perfectas (números y variables) bajo el mismo
radical.
4. Simplifique el radical que contiene las potencias perfectas.
Si simplificamos una raíz cuadrada, debemos escribir el radicando como el producto del cuadrado perfecto más grande por otro número. Si simplificamos una raíz
cúbica, debemos escribir el radicando como el producto del cubo perfecto más grande
por otro número, y así sucesivamente.
EJEMPLO 1
Solución
Simplifique.
a) 132
b) 160
3 54
c) 1
4 80
d) 1
En este ejemplo los radicandos no tienen variables. Seguiremos el paso 1 del procedimiento.
a) Como estamos evaluando una raíz cuadrada, buscamos el cuadrado perfecto más
grande que divida a (o sea un factor de) 32, en este caso, 16.
132 = 116 # 2 = 116 12 = 412
b) El cuadrado perfecto más grande que es factor de 60 es 4.
132 = 14 # 15 = 14 115 = 2115
c) El cubo perfecto más grande que es factor de 54 es 27.
1
3 54 = 1
3 27 # 2 = 1
3 27 1
3 2 = 31
32
d) La cuarta potencia perfecta más grande que es factor de 80 es 16.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 19
1
4 80 = 1
4 16 # 5 = 1
4 16 1
4 5 = 21
4 5
✺
452 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
SUGERENCIA
En el ejemplo 1 a), si primero pensó que 4 era el cuadrado perfecto más grande que dividía a 32, podría proceder como sigue
132 = 14 # 8 = 14 18 = 218
= 214 # 2 = 214 12 = 2 # 212 = 412
Observe que el resultado final es el mismo, pero debe realizar más pasos. La explicación de
potencias perfectas de las páginas 473 y 474 puede ayudarle a determinar el cuadrado perfecto o el cubo perfecto más grandes que son factores de un radicando.
El ejemplo 1 b) también 115 puede factorizarse como 15 # 3 ; sin embargo, como ni 5 ni
3 son cuadrados perfectos, 115 no puede simplificarse.
Cuando el radicando es una potencia perfecta del índice, el radical puede simplificarse escribiéndolo en forma exponencial, como en el ejemplo 2.
EJEMPLO 2
Solución
EJEMPLO 3
Solución
Simplifique.
a) 2x 4
a) 2x 4 = x 4>2 = x 2
Simplifique.
a) 2x 9
3 x12
b) 2
5 z35
c) 2
3 x12 = x12>3 = x4
b) 2
5 x23
b) 2
5 z35 = z35>5 = z7
c) 2
✺
4 y33
c) 2
Como los radicandos tienen coeficiente 1, iniciamos con el paso 2 del procedimiento.
a) El cuadrado perfecto más grande menor o igual a x9 es x8.
2x9 = 2x8 # x = 2x8 # 1x = x8>2 1x = x4 1x
b) La quinta potencia perfecta más grande menor o igual a x23 es x20.
2
5 x23 = 2
5 x20 # x3 = 2
5 x20 2
5 x3 = x20>5 2
5 x3 = x4 2
5 x3
c) La cuarta potencia más grande menor o igual a y33 es y32.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35
2
4 y33 = 2
4 y32 # y = 2
4 y32 1
4 y = y32>4 1
4 y = y8 1
4y
✺
Si observa las respuestas al ejemplo 3, verá que el exponente de la variable del
radicando siempre es menor que el índice. Cuando un radical se simplifica, el radicando no tiene una variable con un exponente mayor o igual al índice.
En el ejemplo 3 b) simplificamos 2
5 x23 . Si dividimos 23, el exponente en el radicando, entre 5, el índice, obtenemos
4 — Cociente
5 23
20
3 — Residuo
Observe que 2
5 x23 se simplifica a x4 2
5 x3 y
Cociente ¡x4 2
5 x3 — Residuo
Cuando simplificamos un radical, si dividimos el exponente dentro del radical entre el índice, el cociente será el exponente de la variable fuera del signo radical,
y el residuo será el exponente de la variable dentro del signo radical. Simplifique el
ejemplo 3 c) mediante esta técnica.
Sección 7.3 • Simplificación de radicales • 453
EJEMPLO 4
Solución
Simplifique.
4 x6y 23
b) 2
a) 2x 12y 17
a) x12 es un cuadrado perfecto. El cuadrado perfecto más grande que es factor de y17
es y16. Escriba y17 como y16 y.
2x12y17 = 2x12 # y16 # y = 2x12y16 1y
= 2x12 2y16 1y
= x12>2y16>2 1y
= x6y8 1y
b) Empezamos por encontrar la cuarta potencia perfecta más grande que sea factor
de x6 y y23. Para un índice de 4, la potencia perfecta más grande que es factor de x6
es x4. La potencia perfecta más grande que es factor de y23 es y20.
2
4 x6y23 = 2
4 x4 # x2 # y20 # y3
= 2
4 x4y20 # x2y3
= 2
4 x4y20 2
4 x2y3
= xy5 2
4 x2y3
✺
Con frecuencia los pasos en donde cambiamos la expresión radical a forma exponencial se realizan de forma mental y, por lo tanto, esos pasos no se ilustran. En el
4 x4y20 a xy5 mentalmente, así que no se mostraron los paejemplo 4 b), cambiamos 2
sos intermedios.
EJEMPLO 5
Solución
Simplifique.
a) 280x 5y 12z3
3 54x17y 25
b) 2
a) El cuadrado perfecto más grande que es factor de 80 es 16. El cuadrado perfecto
más grande que es un factor de x5 es x4. La expresión y12 es un cuadrado perfecto. El
cuadrado perfecto más grande que es factor de z3 es z2. Coloque todos los cuadrados
perfectos bajo el mismo radical y luego simplifique.
280x5y12z3 = 216 # 5 # x4 # x # y12 # z2 # z
= 216x4y12z2 # 5xz
= 216x4y12z2 # 15xz
= 4x2y6z15xz
b) El cubo perfecto más grande que es factor de 54 es 27. El cubo perfecto más grande que es factor de x17 es x15. El cubo perfecto más grande que es factor de y25 es y24.
2
3 54x17y25 = 2
3 27 # 2 # x15 # x2 # y24 # y
= 2
3 27x15y24 # 2x2y
= 2
3 27x15y24 # 2
3 2x2y
= 3x5y8 2
3 2x2y
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 57
SUGERENCIA
✺
En el ejemplo 4b), se mostró que
2
4 x6y 23 = xy5 2
4 x2y3
Como se menciona en la página 476, este radical también puede simplificarse dividiendo los
exponentes de las variables dentro del radicando, 6 y 23, entre el índice, 4, y observando
los cocientes y los residuos.
(continúa en la página siguiente)
454 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
Cociente
Cociente
6 , 4
23 , 4
Residuo
Residuo
6 , 4
23 , 4
2
4 x6y23 = x1y5 2
4 x2y3
¿Puede explicar por qué este procedimiento también funciona? Tal vez quiera usar este
procedimiento para resolver o comprobar ciertos problemas.
A continuación se presentan las reglas del cociente para radicales.
3
Simplificar radicales mediante la regla del cociente para radicales
A veces es necesario simplificar un cociente de dos radicales; para hacerlo se utiliza la
regla del cociente para radicales.
Regla del cociente para radicales
Para números reales no negativos a y b,
n
1a
n a
=
,
n
Ab
1b
b Z 0
Ejemplos de la regla del cociente para radicales
118
18
=
A2
12
9
19
=
A 16
116
2x3
x3
=
Ax
1x
x4
2x4
=
A y2
2y2
2
3 y5
z9
2
3 z9
3
=
B 27
1
3 27
y5
= 3 2
By
2
3 y2
Los ejemplos 6 y 7 ilustran cómo utilizar la regla del cociente para simplificar
expresiones radicales.
EJEMPLO 6
Solución
Simplifique: a)
b)
1
3 24x
1
3 3x
c)
2
3 x4y7
2
3 xy -2
En cada parte utilizamos la regla del cociente para escribir el cociente de radicales como un solo radical. Luego simplificamos.
a)
b)
c)
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 93
175
13
175
75
=
= 125 = 5
A3
13
1
3 24x
1
3 3x
2
3 x4y7
2
3 xy -2
24x
= 1
38 = 2
A 3x
= 3
x4y7
= 3
B xy -2
= 2
3 x3y9
= xy3
Regla del cociente para radicales.
Simplificar el radicando.
✺
Sección 7.3 • Simplificación de radicales • 455
Cuando se presentaron los radicales en la sección 7.1, se indicó que
4
2
= , ya que
A9
3
2#2 4
= . La regla del cociente puede ser útil en la evaluación de raíces cuadradas
3 3 9
que tienen fracciones, como se ilustra en el ejemplo 7 a).
EJEMPLO 7
Solución
Simplifique.
b) 3
8x4y
B 27xy10
c) 4
15xy5
B 3x9y
144
1144
12
=
=
A 25
5
125
b) 3
8x4y
B 27xy
CÓMO EVITAR
ERRORES COMUNES
144
A 25
En cada parte, primero simplificamos el radicando, si esto es posible. Luego utilizamos la regla del cociente para escribir el radical dado como cociente de radicales.
a)
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 97
a)
10
8x3
2
3 8x 3
2x
= 3
=
=
9
3
9
B 27y
3y
2
3 27y
2
4 5y4
2
4 y4 1
y1
45
5y4
45
=
4
=
=
=
9
8
2
8
B 3x y
B x
x
x2
2
4 x
c) 4
15xy5
✺
Las siguientes simplificaciones son correctas, ya que los números y variables cancelados
no están dentro de raíces cuadradas.
Correcto
Correcto
2
6 12
= 212
3
x 12
= 12
x
1
Cuando una expresión está dentro de una raíz cuadrada, no puede dividirse entre una expresión que está fuera de ella.
CORRECTO
12
2
INCORRECTO
No puede simplificarse más
1
2x
2x 1x
x 1x
=
=
= 1x
x
x
x
3
221
= 11 = 1
2
2
2
2x 3
= 2x2 = x
x
Conjunto de ejercicios 7.3
Ejercicios conceptuales
1. a) ¿Cómo se obtienen los números que son cuadrados
perfectos?
b) Liste los primeros seis cuadrados perfectos.
2. a) ¿Cómo se obtienen los números que son cubos perfectos?
5. Al establecer la regla del producto, se mencionó que para
n
n
n
números reales no negativos a y b, 1a # 1b = 1ab. ¿Por
qué es necesario especificar que a y b son números reales
no negativos?
6. Establezca, con sus propias palabras, la regla del cociente para radicales.
b) Liste los primeros seis cubos perfectos.
3. a) ¿Cómo se obtienen números que sean quintas potencias perfectas?
7. Al establecer la regla del cociente, se mencionó que para
n
números reales no negativos a y b,
1a
n a
=
, b Z 0.
n
Ab
1b
b) Liste los primeros cinco números que son quintas potencias perfectas.
¿Por qué es necesario especificar que a y b son números
reales no negativos?
4. Establezca, con sus propias palabras, la regla del producto para radicales.
8. En la regla del cociente que se analizó en el ejercicio 7,
¿por qué el denominador nunca puede ser igual a cero?
456 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
Problemas de aplicación
En este conjunto de ejercicios, suponga que todas las variables representan números reales positivos.
Simplifique.
9. 18
10. 124
11. 128
12. 118
13. 112
14. 148
16. 1300
17. 175
18. 172
3 16
21. 1
3 24
22. 1
3 32
25. 1
3 40
26. 1
4 162
29. 1
4 48
30. 1
33. 2x
34. - 2x
53. - 220x 6y 7z12
54. 224x 15y 20z27
3 81a b
57. 2
4 81a8b9
61. 2
3 128a b c
58. 2
15. 150
19. 140
3 54
23. 1
3 108
27. 1
5 64
31. - 1
35. 2a11
3 a7
39. 2
4 x5
43. 2
5 y 23
47. 32
51. 28x 4y 7
3 x3y7
55. 2
4 32x 8y9z19
59. 2
4 32x y
62. - 2
5 32a b
63. 2
3
37. - 2z
3 b
41. 2
21
5 z7
45. 2
49. 224x
3 x
38. 2
6
3 z
42. 7 2
13
5
32
6 x9
46. 2
3
6 8
50. 2 250y
9
10 11 12
18 31
20. 1500
3 81
24. 1
4 80
28. 1
5 243
32. - 1
36. 42y 12
3 b9
40. 2
4 b23
44. 2
7 y 15
48. 2
52. 275a 7b11
3 16x 3y6
56. 2
4 48x 11y21
60. 2
6 64x 12y23z50
64. 2
10 12
Simplifique.
36
A4
127
69.
13
2
73. 3
A 16
65.
77.
4
3
A 48
75
A3
198
70.
12
2
74. 3
A 54
4
A 25
13
71.
148
1
33
66.
78.
4
1
4 243
1
43
81
A 100
115
72.
160
1
3 64
67.
68.
75.
76.
1
3 81
96
79. 5
A3
80.
4
1
5 128
81.
r
A 25
82.
81a
A 49b6
83.
36x
A 25y10
84.
81a8b10
A 121c14
85.
c6
3
B 27
86.
64x6
3 12
B y
87.
a8b12
4 -4
B b
88.
16x16y32
4
B 81x - 4
89.
124
13
90.
93.
97.
240x6y9
25x2y4
25x2y 9
3
B 5x8y 2
8
1
38
1
54
94.
98.
264x5
22x3
2150a10b11
22ab2
54xy4z17
3
B 18x13z
91.
95.
99.
227x6
92.
23x2
3
7xy
A 8x13
20x4y
4
B 81x -8
272x2y5
28x2y7
96.
64a5b12
3
B 27a14b5
100.
3a6b5
4
B 16a - 2b13
Resolución de problemas
n
a
1a
n a
a forma expo= n convirtiendo
Ab
A
b
1b
101. Pruebe que 1a # b = 1a 1b convirtiendo 1a # b a forma
exponencial.
104. Pruebe que
102. El producto de dos radicales, ¿siempre será un radical?
Proporcione un ejemplo para apoyar su respuesta.
105. a) La expresión
n
nencial.
n
103. El cociente de dos radicales, ¿siempre será un radical? Proporcione un ejemplo para apoyar su respuesta.
1x
, ¿siempre será igual a 1?
n
1x
b) Si su respuesta a la parte a) fue no, ¿en qué condicion
1x
nes n será igual a 1?
1x
Sección 7.4 • Suma, resta y multiplicación de radicales • 457
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.2] 106. Despeje C de la fórmula F =
[2.6] 107. Resuelva para x: `
9
C + 32 for C.
5
[5.3] 108. Divida
15x 12 - 5x 9 + 30x 6
5x 6
.
[5.6] 109. Factorice 1x - 323 + 8.
2x - 4
` = 12
5
7.4 SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
1
1
Sumar y restar radicales.
2
Multiplicar radicales.
Sumar y restar radicales
Los radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo radicando y el mismo índice. Los radicales no semejantes son los que difieren en el radicando o en el índice.
Ejemplos de radicales semejantes
Ejemplos de radicales
no semejantes
15, 315
15, 1
35
Los índices difieren.
517, -217
15, 17
Los radicandos difieren.
1x, 51x
1x, 12x
Los radicandos difieren.
1
3 2x, -41
3 2x
1x, 1
3x
Los índices difieren.
2
4 x y , -2
4 xy
1
3 xy, 2
3 xy
2 5
2 5
2
Los radicandos difieren.
Los radicales semejantes se suman y restan de manera similar a como se suman
y restan los términos semejantes. Para sumar o restar radicales semejantes, se suman o
restan sus coeficientes numéricos y se multiplica el resultado por el radical semejante.
Ejemplos de sumas y restas de radicales semejantes
315 + 215
51x - 71x
2
3 4x2 + 52
3 4x2
4 15x - y 15x
EJEMPLO 1
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 15
Simplifique.
=
=
=
=
13
15
11
14
+
+
-
a) 6 + 412 - 12 + 3
2215 = 515
721x = - 21x
522
3 4x2 = 62
3 4x2
y215x
3 x + 5x + 41
3x - 3
b) 21
a) 6 + 412 - 12 + 3 = 6 + 3 + 412 - 12 Coloque juntos los términos semejantes.
= 9 + 14 - 1212
= 9 + 312 1o 3 12 + 92
3 x + 5x + 41
3 x - 3 = 61
3 x + 5x - 3
b) 21
✺
Como se mencionó en la sección 7.3, a veces es posible convertir radicales no
semejantes en radicales semejantes simplificando uno o más de ellos.
458 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
EJEMPLO 2
Solución
Simplifique. 13 + 127 .
Como 13 y 127 son radicales no semejantes, no se pueden sumar. Sin embargo,
podemos simplificar 127 para obtener radicales semejantes.
13 + 127 = 13 + 19 13
= 13 + 313 = 413
✺
Para sumar o restar radicales
1. Simplifique cada expresión radical.
2. Combine (sume o reste) los radicales semejantes (si existen).
EJEMPLO 3
Solución
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23
EJEMPLO 4
Solución
Simplifique. a) 4 124 + 154
b) 2 145 - 180 + 120
c) 1
3 27 + 1
3 81 - 4 1
33
a) 4124 + 154 = 4 # 14 # 16 + 19 # 16
= 4 # 216 + 316
= 816 + 316 = 1116
b) 2145 - 180 + 120 = 2 # 19 # 15 - 116 # 15 + 14 # 15
= 2 # 315 - 415 + 215
= 615 - 415 + 215 = 415
3 27 + 1
3 81 - 41
33 = 3 + 1
3 27 # 1
3 3 - 41
33
c) 1
= 3 + 31
3 3 - 41
33 = 3 - 1
33
✺
3 x10y2 - 2
3 x4y8
b) 2
Simplifique. a) 2x 2 - 2x 2y + x1y
a) 2x 2 - 2x 2y + x1y = x - 2x 2 # 1y + x1y
= x - x1y + x1y
= x
10 2
4 8
3 x y - 2
3 xy = 2
3 x9 # 2
3 xy2 - 2
3 x3y6 # 2
3 xy2
b) 2
3
3
= x3 2
xy2 - xy2 2
xy2
3 xy2 .
Ahora factorice el factor común, 2
= 1x3 - xy222
3 xy2
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 35
SUGERENCIA
✺
La regla del producto y la regla del cociente para radicales que se presentaron en la sección
7.3 son
n
n
n
1a
n a
=
n
Ab
1b
n
1a # 1b = 1ab
Con frecuencia los estudiantes suponen, erróneamente, que existen propiedades semejantes para la suma y la resta, pero esto no es así. Para comprobarlo, sea n una raíz cuadrada
(índice 2), a 9 y b 16.
n
n
n
1a + 1b Z 1a + b
19 + 116 Z 19 + 16
3 + 4 Z 125
7 Z 5
A continuación se analiza la multiplicación de radicales.
Sección 7.4 • Suma, resta y multiplicación de radicales • 459
2
Multiplicar radicales
Para multiplicar radicales se utiliza la regla del producto que se indicó anteriormente.
Después de la multiplicación, con frecuencia se simplifica el nuevo radical (vea los
ejemplos 5 y 6).
EJEMPLO 5
Solución
Multiplique y simplifique. a) 26x3 28x6 b) 1
3 2x 2
3 4x2 c) 2
4 8x11 y 2
4 8x6 y22
a) 26x 3 28x 6 = 26x 3 # 8x 6
Regla del producto para radicales.
= 248x
= 216x8 13x
= 4x4 13x
9
16x8 es un cuadrado perfecto.
3 2x2
3 4x2 = 2
3 2x # 4x2
b) 1
= 2
3 8x
Regla del producto para radicales.
3
8x3 es un cubo perfecto.
= 2x
4 8x11y 2
4 8x6y22 = 2
4 8x11y # 8x6y22
c) 2
Regla del producto para radicales.
= 2
4 64x y
Las raíces cuartas perfectas más grandes
= 2
4 16x16y20 2
4 4xy3 que son factores, son 16, x16 y y20.
17 23
= 2x4y5 2
44x y3
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 47
✺
Recuerde que, como se indicó antes, cuando un radical está simplificado, el radicando
no tiene ninguna variable con un exponente mayor o igual al índice.
EJEMPLO 6
Solución
Multiplique y simplifique 12x 118x - 1322.
Empiece por utilizar la propiedad distributiva.
12x 118x - 1322 =
=
=
=
112x2118x2 + 112x21 - 1322
216x2 - 164x
4x - 164 1x
4x - 81x
✺
En el ejemplo 6, observe que podría haberse obtenido el mismo resultado simplificando primero 18x y 132, y después multiplicando. Intente resolver dicho ejemplo de
esta manera.
A continuación multiplicaremos dos factores que son binomios. Para multiplicar
factores que son binomios, cada término de un factor debe multiplicarse por cada
término del otro. Esto puede lograrse mediante el método PIES que analizamos con
anterioridad.
EJEMPLO 7
Solución
Multiplique 11x - 1y211x - y2.
Empiece por utilizar la propiedad distributiva.
=
=
EJEMPLO 8
Solución
P
I
p
11x211x2
p
+ 1- 1y211x2 +
2x
1xy
x - 1xy - y 1x + y 1y
2
Simplifique.
a) 1316 - 1322
E
p
11x21 - y2
y 1x
-
b)
S
+
+
p
1 - 1y21 - y2
y 1y
3 2y2 B A 2
3 x2 - 1
3 8y B
A 13 x - 2
a) 1316 - 1322 = 1316 - 13213 16 - 132
✺
460 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
Ahora multiplique los factores usando el método PIES.
P
I
E
S
13 16213 162 + 1- 13213 162 + 131621 - 132 + 1- 1321 - 132
= 9162 - 3 118 - 3118 + 3
= 54 - 3118 - 3118 + 3
= 57 - 6118
= 57 - 619 12
= 57 - 1812
b) Ahora multiplique los factores usando el método PIES.
P
I
E
S
3 2y2 B A2
3 x2 - 1
3 8y B = 11
3 x2 A2
3 x2 B + A - 2
3 2y2 B A2
3 x2 B + 11
3 x21 - 1
3 8y2 + A - 2
3 2y2 B 1 - 1
3 8y2
A13 x - 2
= 2
3 x3 - 2
3 2x2y2 - 1
3 8xy + 2
3 16y3
= 2
3 x3 - 2
3 2x2y2 - 1
3 81
3 xy + 2
3 8y3 1
32
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 99
EJEMPLO 9
Solución
= x - 2
3 2x2y2 - 21
3 xy + 2y 1
32
✺
Multiplique 13 + 18213 - 182.
Multiplique los factores mediante el método PIES.
13 + 18213 - 182 =
=
=
=
P
I
E
S
3132 + 1182132 + 31- 182 + 11821 - 182
9
+ 318 - 318 164
9 - 164
9 - 8 = 1
✺
En el ejemplo 9, observe que multiplicamos la suma y la diferencia de los mismos dos
términos. Recuerde que en la sección 5.6 se dijo que (a b)(a – b) a2 – b2. Si establecemos a 3 y b = 18 , podemos multiplicar como sigue.
1a + b21a - b2 = a2 - b2
13 + 18213 - 182 = 32 - 11822
= 9 - 8
= 1
Cuando multiplicamos la suma y la diferencia de los mismos dos términos, podemos
obtener la respuesta mediante la diferencia de los cuadrados de los dos términos.
Veremos multiplicaciones de este tipo en la sección 7.5.
EJEMPLO 10
Solución
3 x2 y g1x2 = 2
3 x4 + 2
3 x2 , determine
Si f1x2 = 2
a) 1f # g21x2
y
b) 1f # g2152.
a) A partir de lo que se analizó en la sección 3.6, sabemos que 1f # g21x2 = f1x2 # g1x2.
1f # g21x2 = f1x2 # g1x2
= 2
3 x2 A2
3 x4 + 2
3 x2 B
Sustituir los valores dados.
= 2
3 x2 2
3 x4 + 2
3 x2 2
3 x2
Propiedad distributiva.
= 2
3 x + 2
3 x
Regla del producto para
radicales.
6
= x2 + x1
3x
4
Simplificar radicales.
Sección 7.4 • Suma, resta y multiplicación de radicales • 461
b) Para calcular (f g)(5), sustituya x por 5 en la respuesta que obtuvo en la parte a).
1f # g21x2 = x 2 + x1
3x
2
#
1f g2152 = 5 + 51
35
= 25 + 51
35
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 77
EJEMPLO 11
Sustituir x por 5.
✺
Simplifique f1x2 if a) f1x2 = 1x + 2 1x + 2, x Ú - 2 y
b) f1x2 = 23x 2 - 30x + 75, suponga que las variables pueden ser cualesquiera
números reales.
Solución
a) f1x2 = 1x + 2 1x + 2
= 21x + 221x + 22
= 21x + 222
= x + 2
Regla del producto para radicales
Como se nos dijo que x 2, podemos utilizar la regla del producto. Observe que el
radicando será un número no negativo para cualquier x 2, y la respuesta se puede escribir como x 2 en lugar de œx 2œ.
b) f1x2 = 23x 2 - 30x + 75
=
=
=
=
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 105
231x2 - 10x + 252
231x - 522
13 21x - 522
13 ƒ x - 5 ƒ
Factorizar 3.
Escribir como el cuadrado de un binomio.
Regla del producto para radicales.
Como las variables podrían ser cualquier número real, escribimos nuestra respuesta con
signos de valor absoluto. Si nos hubieran dicho que x – 5 eran no negativo, podríamos
haber escrito nuestra respuesta como 13 1x - 52.
✺
Conjunto de ejercicios 7.4
Ejercicios conceptuales
1. ¿Cuáles son los radicales semejantes?
2. a) Explique cómo sumar radicales semejantes.
b) Mediante el procedimiento indicado en la parte a),
3
5
sume 15 + 15 .
5
4
3. Utilice una calculadora para determinar 13 + 3 12 .
4. Utilice una calculadora para determinar 2 13 + 15 .
5. ¿ 1a + 1b = 1a + b ? Explique su respuesta y proporcione un ejemplo que apoye su respuesta.
6. Como 64 36 100, ¿ 164 + 136 = 1100 ? Explique
su respuesta.
Problemas de aplicación
En este conjunto de ejercicios, suponga que todas las variables representan números reales positivos,
Simplifique.
7. 15 - 15
9. 6 13 - 2 13
8. 216 - 16
10. 512 + 712 - 11
11. 2 13 - 2 13 - 413 + 5
3 5 - 81
35
12. 61
4 y - 91
4y
13. 3 1
5 a + 7 + 51
5a - 6
14. 31
3 x + 4 15 + 31
3x
15. 3 15 - 1
17. 5 1x - 41y + 31x + 21y - 1x
4 a - 71
4a + 5
16. 6 + 41
3 b + 21a - 121
3b
18. 31a + 41
462 • Capítulo 7 • Raíces, radicales y números complejos
Simplifique.
19. 18 - 112
20. 175 + 1108
21. -6 175 + 41125
22. 3 1250 + 5 1160
23. - 4 190 + 3140 + 2110
26. 5 18 + 2 150 - 3172
29. 3 250a 2 - 3272a 2 - 8a118
3 16 + 1
3 54
32. 2 1
3 a 4b2 + 3a2
3 ab2
35. 2 2
3 27x5y2 - x2 2
3 x2y 2 + 22
3 x8y2
38. x 2
24. 3240x 2y + 2x1490y
41. 150 12
321
34
42. 1
321
3 28
43. 1
331
3 54
44. 1
45. 29m n 23mn
25. 2500xy + y 1320x
2
28. 3 227c2 - 22108c2 - 248c2
3 108 + 2 1
3 32
31. 1
34. 3 245x 3 + 15x
37. 24r 7s 5 + 3r 2 2r 3s 5 - 2rs 2r 5s 3
27. 215x - 3120x - 4145x
3 5 - 51
3 40
30. 41
3 27 - 51
38
33. 1
4 48x5 - x2
4 3x5y4
36. 3y 2
3 128x 9y10 - 2x2y 2
3 16x3y7
39. 2
3 320x y + 2x 2
3 135x y
40. 5 2
5 8
2 8
Simplifique.
3 7
3 2x y B
A2
3 5ab2 2
3 25a 4b12
46. 2
4
3 4 2
3 9x7y10 2
3 6x4y 3
47. 2
48.
5 x y z 2
5 x yz
50. 2
4 8x yz 2
4 2x y z
51. 2
24 30 9
13 8 7
4
53. 15 115 - 132
3
4 3x 9y12 2
4 54x4y 7
49. 2
52. 12 116 + 122
2 3 7
54. 13 1112 + 162
56. 13y A227y 2 - 1y B
3 x4y5 A2
3 8x12y 4 + 2
3 16xy9 B
57. 2 2
59. 15 + 15215 - 152
60. 17 - 15217 + 152
62. 11x + y211x - y2
71. 1215 - 322
69. 1413 + 122113 - 122
70. 113 + 422
34 - 1
3 6211
32 - 1
3 362
75. 11
3 4x - 1
3 2y211
3 4x + 1
3 102
76. 11
72. 11y + 16z2112z - 18y2
39 + 1
3 2211
33 + 1
3 42
74. 11
61. 116 + x2116 - x2
67. 13 - 12214 - 182
66. 11 + 15216 + 152
68. 15 16 + 3214 16 - 22
5 2x6y9 - 2
5 10x3y7 B
5 16x7y6 A2
58. 2
64. 13 1a - 71b213 1a + 71b2
63. 115 - 1z2115 + 1z2
65. 113 + 42113 + 52
3 y A 21
3y - 2
3 y8 B
55. 1
73. 12 13x - 1y213 13x + 1y2
En los ejercicios 77 a 82, f(x) y g(x) están dadas. Determine (f g)(x).
77. f1x2 = 12x, g1x2 = 18x - 132
78. f1x2 = 15x, g1x2 = 15x - 110x
3 x , g1x2 = 2
3 x + 2
3 x
79. f1x2 = 1
3 2x 2 , g1x2 = 1
3 4x + 2
3 32x2
80. f1x2 = 2
5
4
4 3x 2 , g1x2 = 2
4 9x 4 - 2
4 x7
81. f1x2 = 2
4 2x 3 , g1x2 = 2
4 8x 5 - 2
4 3x6
82. f1x2 = 2
Simplifique. Estos ejercicios son una combinación de los que se presentaron antes en esta sección.
83. 124
84. 1200
87. 13 12 - 42112 + 52
86. 3 17 + 2 163 - 2 128
89. 16 14 - 122
6 128ab c
95. 2
5 14x y 2
5 3x y
96. 2
11
4 2
4
3 3ab2 A2
3 4a 4b3 - 2
3 8a5b4 B
101. 2
99.
102.
91. 175 16
3 x 9y11z
94. 2
3 80x
93. 2
17 9
3 24a y + 4a 2
3 81y
98. 2 2
88. 115 + 122112 + 1202
3 81 + 41
3 24
90. 2 1
481
4 10
92. 1
3 4
85. 1125 + 120
4 3
3 x - 1
3 y B A1