UCV-INGENIERIA
CALCULO I
Guía de Estudio Nº 4
Ejercicios propuestos sobre funciones reales de variable real
1.- Dada la función f (=
x)
a) f ( −4 ) ,
c) f ( a − 1 ) ,
b) f ( 0 ) ,
R: a) 2 5 , b) 2, c)
x 2 + 4 calcular
a 2 − 2a + 5 , d)
d) f ( a − h ) , e)
f (a + h)− f (a)
h
a 2 − 2ah + h 2 + 4 , e)
(
2a + h
a + 2ah + h 2 + 4 + a 2 + 4
2
)
2.- Calcular el dominio de cada una de las siguientes funciones
x+2
R: Df =∈
a) f ( x ) =
{x R / x ≠ 2}
2
( x − 2)
x
b) f ( x ) =
R: Df= { x ∈ R / x ≠ −1 y x ≠ 1 }
1− x
c) f ( x=
)
4 − x2
R: Df : x ∈ [ −2 ,2]
d) f ( x ) =
− 7 x − x2
R: Df : x ∈ [ 0,7]
e) f ( x ) =
R: Df : x ∈ R
3
6 − 2 x − x2
x 2 − 25
x−6
 x +1 
g) f ( x ) = ln 

 ( x − 1) 2 


R: Df : x ∈ ( −∞ , −5) ∪ [5,6 ) ∪ ( 6, +∞ )
 x2 + 1 
h) f ( x ) = ln 

 x+2 


1 − 5  1 + 5
R: Df : x ∈  −2 ,
,+ ∞ 
∪
2   2


R: Df : x ∈ [1,2]
f) f ( x ) =
=
i) f ( x )
arcsen( x − 1 )
R: Df : x ∈ ( −1,1) ∪ (1, +∞ )
3.- En cada caso determine si las funciones dadas son pares, impares o ninguna de las dos.
a) f ( x ) = x + 1 − x − 1
R: impar
b) f ( x=
) e x + e− x
c) f ( x=
) x3 + x2
R: par
R: ni par ni impar
d) f ( x=
)
R: par
9 − x4
x
e) f ( x ) =
1+ x
f) f=
( x ) sen x + cos x
R: impar
R: ni par ni impar
Tema Nº 2:Funciones Reales de Variable Real
UCV-INGENIERIA
CALCULO I
4.- Construya la gráfica de una función impar, periódica de período 4, sabiendo que
R:
5.- Grafique cada una de las funciones dadas a continuación
a)
,
e)
, f)
b)
i)
,
c)
, g)
, d)
, h)
j)
6.- Dada la función definida por
a) Construir su gráfica
b) Diga si la función es par, impar o ninguna de ellas
Rta:
a)
Tema Nº 2:Funciones Reales de Variable Real
b) La función es par
UCV-INGENIERIA
CALCULO I
7.- En cada uno de los siguientes ejercicios dadas f ( x ) y g( x ) determine si pueden
componerse para hallar ( f  g )( x ) y ( g  f )( x ) . En caso afirmativo determine su regla
de correspondencia y su dominio.
a) f ( x ) =
2 x 2 + 6, g( x ) =
7x + 2
R: Si se pueden componer en ambos casos. ( f  g )( x ) = 98 x 2 + 56 x + 14 ; ( g  f )( x ) = 14 x 2 + 44
D f g =
x ∈ R; Dg  f =
x∈R
b) f (=
x)
2
, g(=
x)
x −1
2x − 3
2
R: Si se pueden componer en ambos
casos. ( f  g )( x ) =
=
; ( g  f )( x )
2x − 3 −1
3 
 7
D f  g= x ∈  ,2  ∪ ( 2 , +∞ ) ; Dg  f = x ∈  1, 
2 
 3
c) f ( x=
)
x 2 + 2 , g( x=
)
7 − 3x
x −1
x2 + 1 + 1
R: Se pueden componer en ambos casos. ( f  g )( x )=
x 2 + 4 + 2 x 2 + 1 ; ( g  f )( x )=
x2 + 3 + 1
D f g =
x ∈ R; Dg  f =
x∈R
d) f ( x ) = x , g( x ) =
−x −1
R: Se pueden componer para hallar ( f  g )( x ) =
− x − 1 ; no pueden componerse para ( g  f )( x )
2
D f  g= x ∈ ( −∞ , −1]
8.- Dadas g ( x ) y ( g  f )( x ) hallar f ( x )
2 x − 1 y ( g  f )( x ) =
−2 x 2 + 3 x − 1
a) g ( x ) =
x + 5 y ( g  f )( x ) =
x 2 + 13x + 40
b) g ( x ) =
3
x
2
R: f ( x ) =x 2 + 13x + 35
R: f ( x ) =
− x2 +
9.- Dadas f ( x ) y ( g  f )( x ) hallar g( x )
a) f ( x ) =
x + 1 y ( g  f )( x ) =
cos ( x 2 − 1)
 x + 1
b) f ( x ) =
x 3 − 1 y ( g  f )( x ) =
ln 
 x − 1 
R:=
g ( x ) cos  x 2 − 2 x 
 3 x + 1 + 1
R: g ( x ) = ln  3

 x + 1 − 1
9.- Dada f ( x ) =−3 + x 2 − 2 x
a) Determine si es inyectiva
b) Restrinja el dominio, si es necesario, para que admita inversa y obtenga su regla de
correspondencia y dominio.
c) Si ( g  f )( x ) = e(
x −1)
2
, halle la regla de correspondencia de g(x)
Tema Nº 2:Funciones Reales de Variable Real
UCV-INGENIERIA
CALCULO I
Rta: a) La función no es inyectiva, b) Para que la función admita inversa se puede restringir
el dominio tomando x ∈ [ 2 , +∞ ) , f −1 ( x ) =1 + 1 + ( x + 3) =1 + x 2 + 6 x + 10 ,
2
Df −1 =
[ −3,+∞ ) ,
2
c) g ( x ) = e x +6 x +10
ex
10.- Dada h ( x ) =
1 + ex
a) Compruebe que es inyectiva
b) Halle su inversa
Rta: a) la función es inyectiva, b)
 −x 
h −1 ( x ) = ln 

 x −1
11.- En cada caso determine si la función dada es o no inyectiva y en caso afirmativo halle
su función inversa
a) f ( x=
)
1 − x3
x
b) f ( x ) =
1+ x
c) f ( x=
)
x+3
3
2x
1 + 2x
e) f ( x ) = x 2 + x + 1
R: Es inyectiva. f −1( x=
)
1 − x3
x
R: Es inyectiva. f −1( x ) =
1− x
−1
2
) x − 3, con x ∈ [0, +∞ )
R: Inyectiva. f ( x=
3
f ( x ) sen ( 2 x + 1)
f)=
 x 
R: Inyectiva. f −1( x ) = log 2 

1− x 
R: No es inyectiva, para hallar su inversa habría que
restringir el dominio
R: No es inyectiva. La función seno es periódica
g) f ( x ) =
2 − ln ( 5x + 1)
R: Inyectiva.=
f −1( x ) log5  e2− x − 1


d) f ( x ) =
1
y g( x ) 2 x a) Determine si pueden componerse para hallar
=
1 + x2
( f  g )( x ) . En caso afirmativo determine su regla de correspondencia y su dominio. b)
12.Dadas f ( x )
=
Demuestre que ( f  g )( x ) es inyectiva y halle su inversa.
1
1+ 2
R: Si pueden componerse. ( f  g )( x ) =
, Dom( f  g ) =
x ∈ R, ( f  g )
2x
−1
1
2
13.- Partiendo de la gráfica de funciones elementales, graficar:
1
f ( x ) sen ( 2 x + 1) , b) f ( x ) =−2 + ln ( x − 1) , c) f ( x ) =
a)=
2 − arcsen ( x + 1)
2
( 3− x )
5 + log 2 ( x − 5)
, e) h( x ) =
d) g( x )= 3 + 2
Tema Nº 2:Funciones Reales de Variable Real
1− x
 x 


log 2 
( x) =

UCV-INGENIERIA
CALCULO I
14.- Halle el dominio de las funciones dadas a continuación
x


ln  1 + 2
R: x ∈ [ 0,1) ∪ ( 2 , +∞ )

x − 3x + 2 

1
b) h( x ) = 4 x 2 − 5 x + x
R: x ∈ ( −∞ ,0] ∪ [5,6 ) ∪ ( 6, +∞ )
2 − 64


1
2
=
R: x ∈  − 21 , −4
c) g( x ) ln 
 arc cos  −1 + log5 ( x + 4 )
2
2
24
x
x
−
−


 x − 15 
arccos 

 x 2 − 16 
 13   13 
 11 
d) f ( x )
R: x ∈ 6,    ,26 
ln 
=
+

 2 2

 2 x − 1  log 2 ( 2 x − 12 )
f(x)
a) =
)
 1 + 25 − x 2
=
e) f ( x ) ln 

x


 2 
 − arc sen 
2 

2+ x 

R: x ∈( 0,5]
15.- En cada caso grafique la función dada, indicando su rango
1 − 2 sen (π x − π )

a) f=
( x ) 2 ( x − 1)

4
R:
si
si
si
− 5 ≤ x < −3
− 3 < x < −1 y 1 < x ≤ 3
x ≤1
Rango: y ∈ [ −1,4]
Tema Nº 2:Funciones Reales de Variable Real
UCV-INGENIERIA
log 2 −2 − x

g( x ) 3sen (π x + π )
b)=
 −( x + 2 )
e
R:
CALCULO I
si
x < −2
si
x +1 ≤ 1
si
x>0
si
x <2
si
2≤ x≤5
Rango: y ∈ℜ
 x
2

c) g ( x ) =  − x 2 + 4 x + 5

π
6 − sen  π −
2



x  si

5 < x ≤ 10
Rta:
Rango: y ∈ [ 0 ,4 )  ( 5,7]
Tema Nº 2:Funciones Reales de Variable Real
UCV-INGENIERIA
CALCULO I
d)
R:
Rango:
16.- Resolver cada una de las ecuaciones dadas a continuación
a)
R:
b)
R:
c)
R: No tiene solución
d)
R:
e)
R:
Tema Nº 2:Funciones Reales de Variable Real