Zestaw II
Matematyczne metody fizyki i astrofizyki II
1. Korzystając z definicji operacji symetryzacji i antysymetryzacji, rozpisać
wyrażenia T (ml)k [j i] oraz S [kj i] , zakładając, że S (kj)i = 0.
2. Wykazać, że jeśli Aj i jest tensorem antysymetrycznym, a B j i jest tensorem symetrycznym, to zachodzi Aj i B j i = 0.
3. Uzasadnić, że w n-wymiarowej przestrzeni wektorowej dla symbolu
[j
j ]
Levi-Civity εi1 ...in ≡ εi1 ...in zachodzi εj1 ...jn εi1 ...in = n!δi11 . . . δinn =
k l
l k
n!δ[ij11 . . . δijnn] . Następnie wykazać, że εklba εmnba = 2(δm
δn − δm
δn ).
4. Jak przy zamianie bazy przestrzeni wektorowej transformuje się wyznacznik metryki? Uzasadnić, że znak wyznacznika metryki jest niezmiennikiem.
5. W czterowymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej
z metryką
q
w pewnej bazie definiujemy wielkość η klmn = |g|εklmn , gdzie g jest
wyznacznikiem metryki. Wykazać, że jej definicja jest współzmiennicza względem zamiany bazy zachowującej orientację, czyli że jest ona
tensorem (zwanym tensorem alternacyjnym). Jak wygląda definicja
η klmn ?
6. W czterowymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej z symetryczną
metryką g mn rozważmy wektor un , ua ua = N =
6 0, oraz antysymetryczny
tensor F mn . Wykazać, że:
F mn = um E n − E m un + C mn ,
gdzie:
1
P n b ua F ba ,
C mn = P m b P n a F ba ,
N
= − N1 um un + g mn jest tensorem zwanym tensorem rzutowym.
En = −
a P mn
7. Wykazać, że w czterowymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej
z symetryczną metryką dowolny tensor antysymetryczny ω mn , dla którego zachodzi ua ω na = 0, może zostać wyrażony poprzez wektor ω n
następująco:
1
ω mn = sgn g ub η mnab ω a ,
2
ωn =
1 c
u η nbac ω ba ,
N
gdzie un jest dowolnym wektorem, dla którego ua ua = N 6= 0.
2