Zestaw V
Matematyczne metody fizyki i astrofizyki II
1. Przez pochodną kowariantną pola wektorowego A w kierunku pola
wektorowego B rozumiane jest następujące działanie:
∇B A ≡ B[A] = B b ∂ b [Aa ∂ a ] = B b ∂ b [Aa ]∂ a + Aa ∂ b [∂ a ] ,
gdzie ∂ m [An ] = ∂ m An , o którym ponadto żąda się, by przedstawiało
pole wektorowe, stąd wyrażenie ∂ m [∂ n ] musi być kombinacją liniową
wektorów bazowych:
∂ m [∂ n ] = Γamn ∂ a ,
gdzie wielkość Γlmn nazywana jest koneksją afiniczną. Wówczas:
∇B A = B b (∂ b Aa + Ac Γabc )∂ a ≡ B b (∇b Aa )∂ a .
Jak przy zamianie współrzędnych na rozmaitości transformują się składowe koneksji afinicznej? Czy jest ona polem tensorowym?
2. Zakładając, że pochodna kowariantna spełnia regułę Leibniza względem
iloczynu tensorowego oraz że kontrakcja jest kowariantnie stała, wyraź
pochodną kowariantną formy bazowej w kierunku wektora bazowego
przez koneksję afiniczną. Stąd podaj wzór na pochodną kowariantną
dowolnej formy.
3. Uogólnij działanie pochodnej kowariantnej na pola tensorowe dowolnego
rzędu i walencji.
4. Wykazać, że symetryczna (Γlnm = Γlmn ) i metryczna (∇l g mn = 0)
koneksja afiniczna (zwana wówczas symbolami Christoffela) wyraża się
przez metrykę g mn następująco:
1
Γlmn = g la (∂ m g na + ∂ n g ma − ∂ a g mn ).
2
5. Wylicz symbole Christoffela dla sfery ds2 = dθ2 + sin2 θdφ2 .
6. Wykazać, że pochodna cząstkowa wyznacznika metryki g dana jest
formułą ∂ n g = gg ba ∂ n g ba .
7. Na dwuwymiarowej rozmaitości riemannowskiej rozważmy kowariantnie
stałe, antysymetryczne pole tensorowe Amn . Wykazać, że zachodzi
√
A12 ∝ g.
2