МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Прикладной математики Кафедра _______________________________________________________________________ (полное название кафедры) Утверждаю Зав. кафедрой _______________ ПМт Ю. Г. Соловейчик _____________________________ (подпись, инициалы, фамилия) «___» _______________ 202__ 0 г. МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ по направлению высшего образования _______________________________________________________________________________ 01.04.02 Прикладная математика и информатика (код и наименование направления подготовки магистра) _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ Факультет прикладной математики и информатики _______________________________________________________________________________ (факультет) Карасенко Иван Игоревич __________________________________________________________ (фамилия, имя, отчество студента – автора работы) _______________________________________________________________________________ Разработка программного обеспечения для анализа гидродинамических процессов (полное название темы магистерской диссертации) в технологиях добычи нефти с применением методов численного моделирования _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ Руководитель от НГТУ Автор выпускной квалификационной работы Соловейчик Юрий Григорьевич ______________________________________ (фамилия, имя, отчество) Карасенко Иван Игоревич ______________________________________ (фамилия, имя, отчество) д.т.н., профессор ______________________________________ (ученая степень, ученое звание) ФПМИ, ПММ-82 ______________________________________ (факультет, группа) ______________________________________ (подпись, дата) ______________________________________ (подпись, дата) Новосибирск 2020 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра _______________________________________________________________________ Прикладной математики (полное название кафедры) УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой __________________ Соловейчик Ю. Г. (фамилия, имя, отчество) __________________ (подпись, дата) ЗАДАНИЕ НА МАГИСТЕРСКУЮ ДИССЕРТАЦИЮ Карасенко Ивану Игоревичу студенту _________________________________________________________________ (фамилия, имя, отчество) факультета ________________________________________________________________ прикладной математики и информатики (полное название факультета) 01.04.02 Прикладная математика и информатика Направление подготовки ____________________________________________________ (код и наименование направления подготовки магистра) __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Магистерская программа ____________________________________________________ Математическое моделирование детерминированных и (наименование магистерской программы) стохастических процессов __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Тема _____________________________________________________________________ Разработка программного обеспечения для анализа гидродинамических (полное название темы) процессов в технологиях добычи нефти с применением методов численного __________________________________________________________________________ моделирования __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Цели работы ______________________________________________________________ 1. Разработка и программная реализация вычислительных схем для __________________________________________________________________________ моделирования процесса многофазной фильтрации, обеспечивающих адаптивную __________________________________________________________________________ дискретизацию по времени. 2. Разработка и программная реализация вычислительных схем для учета __________________________________________________________________________ сообщаемости скважин с пластовой системой. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 3. Проведение вычислительных экспериментов, позволяющих оценить степень __________________________________________________________________________ эффективности разработанных вычислительных схем и программных модулей при __________________________________________________________________________ моделировании нефтяного месторождения. __________________________________________________________________________ 4. Разработка и программная реализация вычислительных схем для моделирования __________________________________________________________________________ процессов, протекающих в пластовых системах при использовании технологии для __________________________________________________________________________ ограничения водопритоков с применением гелеобразующих композиций. Задание согласовано и принято к исполнению. Руководитель от НГТУ Студент Соловейчик Юрий Григорьевич ______________________________________ (фамилия, имя, отчество) Карасенко Иван Игоревич ______________________________________ (фамилия, имя, отчество) д.т.н., профессор ______________________________________ (ученая степень, ученое звание) ФПМИ, ПММ-82 ______________________________________ (факультет, группа) ______________________________________ (подпись, дата) ______________________________________ (подпись, дата) Тема утверждена приказом по НГТУ № 5110/2 от « 18 » октября 2018 г. изменена приказом по НГТУ № 1242/2 от « 02 » 2020 г. марта Диссертация сдана в ГЭК № _______, тема сверена с данными приказа ___________________________________________________ (подпись секретаря государственной экзаменационной комиссии по защите ВКР, дата) _________________________________________________ (фамилия, имя, отчество секретаря государственной экзаменационной комиссии по защите ВКР) АННОТАЦИЯ Отчет 69 с., 4 ч., 31 рис., 13 табл., 21 источник, 1 прил. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, МНОГОФАЗНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ, МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Объектами исследования являются вычислительные схемы и программное обеспечение для анализа гидродинамических процессов в технологиях добычи нефти. Целью работы является разработка и реализация вычислительных схем и программных модулей для эффективного и высокоточного моделирования процессов многофазной фильтрации в пластовых системах. В работе представлена математическая модель и разработаны вычислительные схемы, основанные на методе конечных элементов, для моделирования процесса многофазной фильтрации. Актуальность представленных вычислительных схем и методов заключается в значительном сокращении вычислительных затрат с сохранением точности получаемого решения. Приведены вычислительные эксперименты, позволяющие оценить степень эффективности разработанных вычислительных схем при моделировании нефтяного месторождения. В работе также описаны вычислительные схемы для моделирования процессов, протекающих в пластовых системах при использовании технологии для ограничения водопритоков с применением гелеобразующих композиций, и приведены результаты вычислительного эксперимента. Разработанные вычислительные схемы и модули внедрены в ПО "Программный комплекс для гидродинамического моделирования FlowER" (номер свидетельства 2019665615), используемое в АГНИ (Альметьевский государственный нефтяной институт) и ПАО «Татнефть». СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................................... 6 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА МНОГОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЛАСТОВЫХ СИСТЕМАХ ..................................................................................................................... 9 1. 2. 3. 1.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА МНОГОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ........ 9 1.2. ОПИСАНИЕ ГЕОЛОГО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ............................... 11 1.3. КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНАЯ АППРОКСИМАЦИИ ПОЛЯ ДАВЛЕНИЯ ...................... 15 1.4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПОТОКОВ ................................... 19 МЕТОД АДАПТИВНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ПО ВРЕМЕНИ ......................................... 21 2.1. ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................... 21 2.2. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АППРОКСИМАЦИЙ ........................... 22 2.3. ПОСТРОЕНИЕ АДАПТИВНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ПО ВРЕМЕНИ ....................... 23 2.4. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА И СТРУКТУР ДАННЫХ ............................................ 24 2.5. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДА ............................................... 28 МЕТОД УЧЕТА СООБЩАЕМОСТИ СКВАЖИН С ПЛАСТОВОЙ СИСТЕМОЙ ............... 37 3.1. ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................... 37 3.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ОПИСАНИЕ МЕТОДА .................................... 38 3.3. ВЕРИФИКАЦИЯ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА ................................................. 41 3.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДА ............................................... 47 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГЕЛЕОБРАЗОВАНИЯ В МЕТОДАХ ПОВЫШЕНИЯ НЕФТЕОТДАЧИ ............................................................................................................. 58 4. 4.1. ОПИСАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ ....................................................... 59 4.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА СКОРОСТИ СДВИГА ФАЗЫ ........ 60 РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИИ ВОДООГРАНИЧЕНИЯ ПРИ АДАПТАЦИИ МОДЕЛИ МЕСТОРОЖДЕНИЯ ................................................................. 62 4.3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................................... 65 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................................................................. 67 ВВЕДЕНИЕ В настоящее время в нефтедобывающей отрасли наблюдается тенденция к ухудшению состояния сырьевой базы. Доля трудноизвлекаемых запасов нефти в общем балансе растет из-за преимущественной отработки легкоизвлекаемых запасов. Повышение эффективности добычи трудноизвлекаемой нефти невозможно без развития и внедрения новых технологий. Развитие технологий добычи нефти, в свою очередь, выдвигает все более серьезные требования гидродинамическому к качеству моделированию построения пластовых цифровых систем. моделей и Эффективные вычислительные схемы и реализующие их гидродинамические симуляторы для моделирования процессов, протекающих в пластовых системах, становятся необходимым инструментом для обоснованного управления разработкой месторождений, а также инструментом для оптимизации современных технологий добычи нефти. В широко известных гидродинамических симуляторах, таких как ECLIPSE (разработка компании Schlumberger) [18] и tNavigator (продукт российской компании Rock Flow Dynamics) [19], применяются вычислительные схемы, основанные на методе конечных объемов и его модификациях [1]. Также распространены симуляторы, основанные на конечно-разностных методах, например: Tempest MORE (разработка компании Roxar) [20], The Open Porous Media (проект с открытым исходным кодом) [21] и другие программные комплексы. Применение метода конечных элементов (МКЭ) предоставляет более широкие возможности для получения численных решений дифференциальных уравнений в частных производных в сложных многомерных областях [2 - 4]. Помимо гибких возможностей описания геометрии расчетной области, МКЭ предоставляет возможности использования базисных функций различного порядка, включая его локальное увеличение с целью повышения точности аппроксимации в областях с резким изменением решения, а также возможности 6 использования локальных сгущений конечноэлементных сеток, в том числе с применением неконформных (несогласованных) сеток [11, 14]. Однако применение МКЭ на основе метода Галеркина для решения задач фильтрации не позволяет гарантировать выполнение закона сохранения массы веществ [5 - 7]. Поэтому потоки веществ через границы ячеек, рассчитанные по конечноэлементному решению, балансируются для обеспечения выполнения закона сохранения массы [4]. Предложенная Ю. Г. Соловейчиком и М. Г. Персовой математическая модель на основе МКЭ и соответствующие ей вычислительные схемы для моделирования процесса многофазной фильтрации в пористой среде позволяют строить высокоточные аппроксимации физических полей, в том числе в прискважинных областях. Это является очень важным фактором при решении таких задачах, поскольку в значительной степени определяет соответствие цифровой модели месторождения реально протекающим гидродинамическим процессам [8, 9]. С целью достижения необходимой точности решения вблизи скважин строятся подробные сетки и применяются базисные функции высокого порядка, что само по себе приводит к росту вычислительной сложности. Уменьшение размера ячеек вблизи скважин также способствует сокращению величины шага по времени на этих ячейках и, как следствие, значительному увеличению количества операций расчета состояния ячеек, что приводит к дополнительным вычислительным затратам. Представленные в данной работе методы позволяют в значительной мере сократить вычислительные затраты с сохранением точности получаемого решения. Метод построения адаптивной дискретизации по времени предусматривает разбиение множества ячеек на группы, имеющие кратные шаги по времени, обеспечивая эффективное моделирование процесса за счет того, что состояние каждой ячейки пересчитывается с актуальным шагом, т.е. минимально возможное количество раз. Метод учета сообщаемости скважин с 7 пластовой системой предусматривает использование сеток с увеличенным “расчетным” радиусом скважин, а также применение некоторой аналитической модели, позволяющей установить связь физических величин (давления и плотности потока) на “фактическом” и “расчетном” радиусах. Также в данной работе описана схема моделирования процессов, протекающих в пластовых системах при использовании технологии для ограничения водопритоков с применением гелеобразующих композиций [10, 13]. На основе соответствующие описанных модули вычислительных для схем осуществления разработаны эффективного гидродинамического моделирования процессов, протекающих в пластовых системах. 8 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА МНОГОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЛАСТОВЫХ СИСТЕМАХ 1.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА МНОГОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Рассмотрим математическую модель, описывающую процессы течения жидкости в пористой среде. Среда характеризуется такими параметрами, как пористость и структурная проницаемость Κ . Пористость определяет долю порового пространства в объеме породы, в котором могут протекать фильтруемые жидкости. Структурная проницаемость Κ в общем случае является тензором, который характеризует способность пород пласта пропускать флюиды при перепаде давления. В основе уравнения многофазной фильтрации лежит закон Дарси и закон сохранения массы. Скорость фильтрации m -й фазы согласно закону Дарси определяется формулой: u Κ m m Sm m grad P m gz , (1.1) где P – давление, S m – текущее распределение насыщенности m -й фазы, m – относительная фазовая проницаемость для m -й фазы, m – вязкость m -й фазы, m – плотность m -й фазы, g – ускорение свободного падения, а z – координата на вертикальной оси. Из закона сохранения массы вещества получаем: m m div Κ m grad P m gz m S m m F m , m 1, M , t (1.2) где F m – плотность источника, интеграл от которого по любой подобласти определяет появляющийся в данной подобласти объем фазы от сторонних 9 источников в единицу времени (включая закачиваемые и откачиваемые объемы фаз), M – количество фаз. Рассмотрим случай несжимаемых и неперемешиваемых фаз, в этом случае m для каждой фазы является константой. Разделим уравнения (1.2) на m и просуммируем по m . В результате получим: M m M m M m m div Κ m grad P gz S F t m1 m1 m1 (1.3) Поскольку сумма насыщенностей всех фаз равна 1, то производная M m S равна нулю, уравнение (1.3) преобразуется к виду: t m1 M m M m m div Κ m grad P gz F . m1 m1 В случае фильтрации несжимаемых и (1.4) неперемешиваемых фаз единственными источниками возникновения или исчезновения объема фаз (с M плотностью источника F m ) являются активные добывающие и m 1 нагнетательные скважины или удаленные границы области , через которые фазы могут втекать в область или вытекать из нее. Уравнение (1.4) можно записать в виде: M m div Κ m grad P m gz 0 , m1 (1.5) с краевыми условиями, определенными на границе 1 2 расчетной области : P P 1 , (1.6) m P Κ m 2 , m 1 n (1.7) 1 M 2 10 где 1 – границы расчетной области, где задано давление P1 , а 2 – границы расчетной области, где задан поток смеси 2 . Функция 2 не равна нулю на тех частях границы 2 , которые соответствуют активным в данный момент времени зонам перфорации скважин. Остальные части границы 2 являются непроницаемыми, для них 2 0 . Таким образом, давление может быть найдено как решение уравнения диффузии почти независимо от насыщенностей – т.е. только относительные фазовые проницаемости m в коэффициенте диффузии зависят от насыщенностей. 1.2. ОПИСАНИЕ ГЕОЛОГО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Для математического моделирования процесса разработки нефтяных месторождений геолого-гидродинамическая модель будет представлена в виде трех основных составляющих: 1) модель пластовой системы, содержащая информацию о геометрии и свойствах геологических структур (матрицы-породы). 2) компонентно-фазовая модель, содержащая информацию о фазах, входящих в фильтрующуюся смесь, их пространственно-временных характеристиках, свойствах, взаимодействиях и компонентном составе; 3) блок, содержащий информацию о воздействиях на пластовую систему через нагнетательные и добывающие скважины. Пластовая система представляется набором слоев, кровли/подошвы которых задаются массивами «глубин» Z k xik , yik , где k – номер поверхности, разделяющей слои пластовой системы, x , y k i k i – характерные точки, определяющие рельеф соответствующей поверхности. Каждый слой пластовой системы характеризуется следующими свойствами: 11 1) пористостью, которая может зависеть от давления x, y, z, P x, y, z, t ; 2) тензором структурной характеристика проницаемости представляется в виде Κ x, y, z, t ; тензора, данная чтобы при моделировании обеспечивать возможность учета «трещиноватости» – резко повышенной проницаемости в одном из направлений, не обязательно совпадающем с одной из осей координат; В общем случае каждый слой пластовой системы может быть разбит на трехмерные подобласти b , соответствующие различным геологическим породам, внутри которых определяются указанные выше характеристики. Пористость зависит от давления, которое изменяется в подобласти b , поэтому значения пористости привязаны непосредственно к конечным элементам для обеспечения возможности их изменения в ходе моделирования процесса, т.е. x, y, z, P x, y, z, t e Pe t , x, y, z e . Кроме того, в описание пространственно-временного состояния пластовой системы входит информация о распределениях вычисляемых в процессе моделирования давления P x, y, z, t . Следующей составляющей, необходимой для моделирования процесса многофазной фильтрации является блок, содержащий информацию о воздействиях на пластовую систему через нагнетательные и добывающие скважины. Он включает в себя структуру данных, содержащую следующую информацию о скважинах: 1) радиус и расположение; 2) координаты зоны перфорации; 3) тип скважины: нагнетательная/добывающая, работа скважины при фиксированном давлении; 4) для нагнетательной скважины: состав закачиваемой смеси, объем закачиваемого в скважину состава в единицу времени; 12 5) для добывающей скважины: отбираемый в единицу времени объем смеси; Компонентно-фазовая модель представляется в виде таблицы 1.1, определяющей набор компонент, которые могут входить в состав каждой из фаз m 1, M (значение « m ,l » внутри клетки с m -м номером строки и l -м номером столбца определяет массовую долю l -й компоненты в m -й фазе, m,l 0;1 ; значение «-1» является индикатором того, что l -я компонента в m - й фазе отсутствует): Таблица 1.1 - Представление компонентно-фазовой модели Номер l 1, L и обозначение компоненты Номер H2O Нефть Газ Компонента 4 … обозначение фазы Вода 1,1 -1 -1 -1 -1 Нефть -1 2,2 -1 -1 Газ -1 -1 2,3 3,3 -1 -1 Фаза 4 4,1 -1 -1 4,4 -1 … Фаза M -1 -1 -1 -1 m,l Компонента L m 1, M и Разобьём расчётную область на ячейки e . В каждой ячейке будем считать свойства фильтрующихся фаз постоянными. Вычисляемыми в процессе моделирования характеристиками фазы являются: 1) насыщенность – S m x, y, z, t Sme t , S m x, y , z , t , x, y, z e , где m – номер фазы, т.е. для каждой фазы на каждом временном шаге хранится массив насыщенностей (их значений на каждом конечном элементе); 13 2) компонентный состав, в котором доли компонент l определяются функциями m,l x, y, z, t m,el t , x, y, z e , т.е. для каждой компоненты хранятся массивы ее долей (концентраций) в фазах, набор которых определяется компонентно-фазовой моделью; 3) количество вещества l в составе фазы m определяется функциями nm,l x, y, z, t nme,l t , x, y, z e , т.е. для каждой компоненты в фазе хранятся значения количества вещества в фазе. Изменяемыми в процессе моделирования свойствами фазы являются: 1) вязкость m m,l x, y, z, t me m,el t , x, y, z e , зависящая в общем случае от температуры фазы или концентраций (долей) компонент, присутствующих в смеси и находящихся в этой фазе; 2) относительная фазовая m S m x, y, z, t me Sme проницаемость фазы, зависящая от насыщенности; в простейшем случае на конечном элементе e этот коэффициент может быть определен в виде me Sme ; 3) остаточная насыщенность m -й фазы x, y, z . S res ,m m,l x, y, z, t Srese ,m me , e Таким образом, на каждом шаге по времени для каждой фазы хранятся массивы (размер которых определяется количеством конечных элементов в сетке) значений вязкости, относительной фазовой проницаемости, которые в общем случае могут корректироваться в зависимости от текущих значений вычисляемых в процессе моделирования характеристик: давления, фазовых насыщенностей, концентраций компонент в фазах. Сами зависимости, m lm , m S m задаются в виде таблиц или формул. 14 1.3. КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНАЯ АППРОКСИМАЦИИ ПОЛЯ ДАВЛЕНИЯ Краевую задачу, определяемую соотношениями (1.5), (1.6), (1.7), будем решать относительно давления P с применением метода конечных элементов. Пусть функция P P x, y, z принадлежит гильбертову пространству H . Решать краевую задачу будем в слабой постановке Галеркина. Для этого необходимо выполнение условия ортогональности невязки решения уравнения (1.5) некоторому суммируемые gradu 2 с пространству квадратом пробных первые функций H 1 , имеющих (для u H 1 , производные d ): M m m div Κ grad P gz d 0 , m m1 (1.8) где – пробная функция из гильбертова пространства H 1 . Применив к выражению (1.8) формулу Грина, с учётом краевых условий (1.6), (1.7), получаем вариационную постановку M m 2 Κ grad P gradd d m1 m 2 M m 0 Κ m 0 gradd m 1 m g . (1.9) Для получения численного решения уравнения (1.5) расчетная область разбивается на конечные элементы e ( e ), искомая функция P e представляется в виде линейной комбинации 15 базисных функций j Nn ( P p j j x, y, z , p j – веса базисных функций), а N n – число узлов в j 1 конечноэлементной сетке. Пробная функция поочередно заменяется на базисные функции i . В результате получается конечноэлементная система линейных алгебраических уравнений Gp = b , (1.10) где p – вектор искомых весов, а компоненты матрицы G и вектора правой части b определяются соотношениями M m Gij Κ m grad j grad i d , m 1 (1.11) M m 0 bi 2 i d Κ m 0 grad i d . m1 m 2 g (1.12) Глобальная матрица G и вектор правой части b собираются из локальных матриц и векторов элементов e . В свою очередь, компоненты локальных матриц и векторов вычисляются с помощью соотношений: Gˆ e ij bˆie M m Κ e me grad j grad i d , m1 e E M m Κ e me m 1 e E 0 0 grad i d , m g e bˆie e2 i d . e 16 (1.13) (1.14) (1.15) В данной работе используются согласованные сетки с шестигранными конечными элементами. Определим базисные функции i на шестиграннике e с вершинами xi , yi , zi , i 1,8 . i x, y, z i x, y, z , x, y, z , x, y, z , i 1,8 , (1.16) где x, y, z , x, y, z и x, y, z – функции, заданные неявно соотношениями 8 8 8 i 1 i 1 i 1 x xi i , , , y yi i , , , z zi i , , , где xi , yi , zi (1.17) – координаты вершин шестигранника e , а i – трилинейные базисные функции на эталонном элементе (кубе) E 1,1 1,1 1,1 , равные единице в узле с номером i и нулю в остальных узлах. Определим функции i в виде i , , W (i ) W (i ) W(i ) , i 1,8 , W1 θ 1 θ 1 θ , , W2 θ 2 2 (1.18) (1.19) где значения целочисленных функций (i), (i), (i) определяются по таблице 1.2. Таблица 1.2 – Значения индексов в зависимости от номера базисной функций на элементе i 1 2 3 4 5 6 7 8 i 1 2 1 2 1 2 1 2 i 1 1 2 2 1 1 2 2 i 1 1 1 1 2 2 2 2 Переходя к шаблонному элементу E , получим выражения для расчета локальной матрицы и вектора правой части: 17 Gˆ e ij M m Κ e me J 1grad j J 1gradi J d , m1 e E bˆie M m Κ e me m 1 e E 0 1 0 J gradi J d , m g e (1.20) (1.21) bˆie e2i J e d , (1.22) e где J - определитель матрицы Якоби J , которая имеет вид: x x J x z z . z y y y (1.23) Численное интегрирование выполняется по методу Гаусса 3-го порядка с использованием следующих соотношений: 1 1 1 f , , d d d f w , w , w , 1 1 1 w1 0, w2 3 3 3 p 1 t 1 r 1 p t r p t r (1.24) 3 8 5 , w3 w2 , 1 , 2 3 . 5 9 9 Значения базисных функций и их градиентов в точках численного интегрирования на шаблонном конечном элементе вычисляются заранее (перед началом общего алгоритма) и хранятся в соответствующих массивах. 18 1.4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПОТОКОВ По конечноэлементному решению, полученному в результате решения уравнения (1.8) на каждой грани каждой ячейки e сетки могут быть вычислены значения скорости фильтрации смеси ( i – номер грани) m grad p j j m gz , m m 1 j M ui ,e Κ (1.25) по которым на этой грани этого конечного элемента могут быть рассчитаны объемы перетекающей (втекающей или вытекающей) смеси Qi ,e ui ,e ni ,e d , (1.26) i где ni ,e – вектор нормали к грани i , причем эта нормаль является внутренней по отношению к конечному элементу e . В этом случае положительные значения Qi ,e будут соответствовать объему втекающей в e смеси, а отрицательные – объему вытекающей из e смеси. После этого, с использованием вычисленных объемов смеси Qi ,e можно рассчитать очередное (на текущем временном слое) распределение насыщенностей. Обозначим через Qmi ,e мгновенный (за единицу времени) объем m -й фазы, перетекающий через грань i , где m i , e Q Qi ,e m . M n m n 1 (1.27) n Особо отметим, что коэффициенты m определяются через насыщенности того конечного элемента, из которого смесь (и, соответственно, фаза) вытекает. 19 Для выполнения закона созранения масс необходимо, чтобы во всех ячейках сетки выполнялся баланс потоков, то есть сумма втекающих в ячейку потоков равнялся сумме вытекающих потоков. Известно, что формальное применение МКЭ с аппроксимацией всех искомых величин по методу Галеркина не позволяет гарантировать выполнение закона сохранения масс веществ в фильтрующейся смеси, поэтому в работе применяется специальный метод балансировки, подробно описанный в [8]. Тогда объем m -й фазы, который за время t перетекает через грань i , может быть определен в виде Vmi ,e Qmi ,e t . (1.28) Исходный объем m -й фазы, содержащийся в ячейке e в начале временного шага, определяется в виде Vme S mmes e , (1.29) где S m – значение насыщенности m -й фазы в начале временного шага, а mes e – объем конечного элемента e . Тогда, новое значение насыщенности m -й фазы в конце рассматриваемого временного шага может быть вычислено с помощью соотношения V Sm iI in , e m i , e jI out , e Vmj ,e Vme mes e , (1.30) где I in,e – это множество номеров граней конечного элемента e , через которые объем фазы (смеси) втекает в e , а I out ,e – множество номеров граней, через которые объем фазы (смеси) вытекает из e . 20 2. МЕТОД АДАПТИВНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ПО ВРЕМЕНИ 2.1. ВВЕДЕНИЕ При решении задач фильтрации в пористых средах в рамках используемых численных методов ключевыми являются вопросы дискретизации как по пространству, так и по времени. С целью построения корректных аппроксимаций физических полей вблизи источников – добывающих и нагнетательных скважин применяются достаточно подробные сетки, что приводит к появлению ячеек с небольшим относительно других ячеек объемом фильтруемых флюидов. Наряду с этим в прискважинных областях наблюдаются высокие относительно всей области значения градиента давления и, как следствие, большие потоки флюидов через ячейки в этих областях. Для корректного моделирования фильтрации флюидов через такие ячейки шаг дискретизации по времени должен быть достаточно маленьким. Однако подобранный шаг по времени для одной такой ячейки может быть избыточно маленьким для другой ячейки. Выбор общего для всех ячеек шага по времени приводит к значительному росту вычислительной сложности моделирования за счет увеличения количества элементарных шагов по времени, которые выполняются для каждой ячейки, т.е. увеличивается общее количество операций пересчета состояния ячеек. Предложенный в данной главе метод адаптивной дискретизации по времени направлен на сокращение вычислительных затрат за счет значительного уменьшения общего количества операций пересчета состояния ячеек. 21 2.2. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АППРОКСИМАЦИЙ Рассмотрим расчетную область , представляющую собой некоторую пластовую систему, с пространственной дискретизацией e . Поровое пространство всех ячеек e полностью заполнено многофазным флюидом. Моделирование процесса фильтрации заключается в аппроксимации движения многофазного потока в поровом пространстве пластовой системы. Для аппроксимации процесса фильтрации в соответствии с законом Дарси на границе Г i ячейки e рассчитываются потоки перетекающих фаз Qme ,i , где m – номер фазы. Объемы фаз Vme ,i , перетекающие через границу Г i ячейки e , определяются соотношением Vme ,i Qme ,i te , (2.1) где te – шаг по времени для ячейки e . Жестким условием выбора шага по времени te для ячейки e является m гарантия того, что суммарный вытекающий объем Vout ,e фазы m из ячейки не превышает имеющийся в ней объем фазы Vme . Это условие записывается в виде m m Vout ,e mes(e )e Se , (2.2) где e – пористость ячейки e , а Sme – насыщенность m -ой фазы в ячейке e . Таким образом, согласно условию (2.2), выбор шага te на ячейке также зависит и от величины насыщенности фазы Sme на этой ячейке. 22 2.3. ПОСТРОЕНИЕ АДАПТИВНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ПО ВРЕМЕНИ Простым подходом для дискретизации по времени является выбор общего для всех ячеек из e шага по времени t min(te ) . Однако это приводит к резкому росту вычислительной сложности. В рамках предложенного метода дискретизации фиксируется некоторый «глобальный» шаг по времени tmain , определяющий периодичность моментов времени, когда все ячейки из e имеют согласованные между собой состояния, которые и определяют моделируемый процесс в эти моменты. Пусть группа Gi , i – некоторое множество ячеек из e , для которых величина шага по времени te определяется равной tGi tmain . Таким 2i 1 образом, шаг по времени для группы G1 равен tmain , а шаг по времени каждой следующей группы Gi в 2i раза меньше. Принадлежность конкретной ячейки e некоторой группе Gi определяется соотношением i min(k ) : tGk mes(e ) e Sme m Qout ,e , k , (2.3) m где Qout ,e – поток вытекающей из ячейки m -ой фазы. Данный метод построения дискретизации по времени с разбиением множества ячеек на группы, имеющие кратные шаги по времени, обеспечивает эффективное моделирование процесса за счет того, что состояние на каждой ячейке пересчитывается минимально возможное количество раз. При этом состояние ячеек в разных группах остается согласованным. Для реализации такого подхода используются специальные алгоритмы, определяющие порядок обработки ячеек и механизмы перетекания фаз между ячейками, которые попали в разные группы. 23 2.4. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА И СТРУКТУР ДАННЫХ Описание структур данных и алгоритма, определяющих порядок обработки ячеек в ходе моделирования фильтрации флюида, для описанного метода дискретизации по времени Основные используемые структуры: startItemIndex – целочисленный массив размера равного количеству групп, хранящий индекс первого элемента в группе или -1 в случае, если в группе нет ячеек; nextItemIndex – целочисленный массив размера равного количеству ячеек, хранящий индекс следующей в группе ячейки или -1 в случае, если текущая ячейка последняя; currentGroupIteration – целочисленный массив размера равного количеству групп для хранения количества итераций, выполненных в группе; elementsGroupsIndex – целочисленный массив размера равного количеству ячеек, хранящий по индексу ячейки индекс группы, которой она принадлежит. Алгоритм обработки: Обнуление currentGroupIteration. 1) Начало обработки групп, начиная с группы с наибольшим индексом. 2) Прибавление 1 к элементу массива currentGroupIteration, соответствующему обрабатываемой группе. 3) Выполнение для каждой ячейки обрабатываемой группы обновления состояния (см. описание алгоритма обновления состояния ячеек в ходе моделирования фильтрации флюида при обработке одной группы). Обход по группе осуществляется, начиная с ячейки с индексом, содержащемся соответствующем в элементе обрабатываемой массива группе, startItemIndex, и продолжается последовательным обходом элементов массива nextItemIndex, каждый элемент которого содержит индекс следующей ячейки. 24 4) Перемещение ячеек, для которых допустимый шаг по времени уменьшился, в группы с большим индексом для обеспечения выполнения условия (2.2). 5) Если индекс обрабатываемой группы равен 1, то алгоритм завершается, иначе выполняется шаг 6. 6) Если текущая группа обрабатывалась второй раз, т.е. соответствующий элемент массива currentGroupIteration равен 2, то этому элементу массива присваивается 0 и происходит переход к обработке группы с индексом на единицу меньше, чем индекс обрабатываемой группы, иначе осуществляется переход к обработке группы с наибольшим индексом. Таким образом, индекс обрабатываемой группы получает новое значение, и осуществляется переход к пункту 2 алгоритма. Описание алгоритма обновления состояния ячеек в ходе моделирования фильтрации флюида при обработке одной группы Для каждой ячейки e , принадлежащей обрабатываемой группе Gi : 1) Обработка перетекания объемов фаз и количества вещества с накоплением на гранях ячеек при наличии соседних ячеек, находящихся в группах с меньшим индексом (см. описание алгоритма, реализующего механизм перетекания многофазного флюида при обработке одной ячейки). 2) Расчет изменения количества тепла при перетекании флюида на соседние ячейки и расчет нового теплового состояния ячейки. 3) Расчет нового состояние ячейки с учетом вытекающего и втекающего объема фаз (см. описание алгоритма вычисления состояния ячейки с учетом втекающего и вытекающего объемов фаз). 4) Вычисление новых значений плотностей фаз. 5) Вычисление новых значений остаточных насыщенностей фаз. 25 6) Если индекс обрабатываемой группы не равен 1, то выполняется шаг 7, иначе алгоритм завершается. 7) Вычисление новых значений коэффициентов фазовой проницаемости. 8) Вычисление новых значений динамической вязкости фаз. 9) Вычисление новых значений потоков фаз на гранях обрабатываемой ячейки. 10) Вычисление нового шага по времени для обрабатываемой ячейки в соответствии с условием (2.2). Описание алгоритма, реализующего механизм перетекания многофазного флюида при обработке одной ячейки Пусть Vmi – перетекающий объем фазы m через грань Г i за шаг по m времени ячейки, из которой эта фаза вытекает, Vsum – накопившийся ,i перетекающий объем фазы m через грань Г i после обработки этой грани на группе с большим индексом. На начало работы алгоритма суммарные значения равны 0. Для обрабатываемой ячейки e , принадлежащей группе Gi : Для каждой грани Г i ячейки e и для каждой фазы m : 1) Если фаза вытекает с ячейки e через грань Г i , то выполняется шаг 2, иначе шаг 4. 2) Если ячейка, имеющая с обрабатываемой ячейкой e общую грань Г i , принадлежит группе с меньшим индексом или той же группе, что и обрабатываемая ячейка, то выполняется шаг 3, иначе алгоритм завершается. 3) Накопление перетекающего объема с ячейки, принадлежащей группе m m m с большим индексом, на грани Г i , т.е. Vsum ,i Vsum,i Vi , а затем осуществляется завершение алгоритма. 4) Если поток через грань Г i для ячейки e втекающий, и соседняя по этой грани ячейка принадлежит группе с большим индексом, то осуществляется переход к шагу 5, иначе завершение алгоритма. 26 m m 5) Если соседней по этой грани ячейки нет, то Vsum ,i Vi , иначе осуществляется пересчет перетекающего объема (т.к. при обработке группы с большим индексом мог измениться втекающий поток): m m m Vmi Qmi tGi , Vsum ,i Vsum,i Vi . Алгоритм, реализующий механизм изменения количества вещества компонент фаз на ячейках в ходе перетекания, аналогичен приведенному алгоритму для объемов. Описание алгоритма вычисления состояния ячейки с учетом втекающего и вытекающего объемов фаз Пусть Vmi – перетекающий объем фазы m через грань Г i за шаг по m времени ячейки, из которой эта фаза вытекает, Vsum – накопившийся ,i перетекающий объем фазы m через грань Г i после обработки этой грани на группе с большим индексом, Vinm,e - суммарный втекающий в ячейку объем m фазы m , Vout ,e - суммарный вытекающий из ячейки объем фазы m . На начало работы алгоритма суммарные значения равны 0. Для обрабатываемой ячейки e , принадлежащей группе Gi : Для каждой грани Г i ячейки e и для каждой фазы m : 1) Если по грани Г i соседней ячейки нет или эта ячейка находится в группе, индекс которой меньше либо равен индексу обрабатываемой группы, то выполняется шаг 2, иначе выполняется шаг 3. m m m 2) Если поток вытекающий, то Vout ,e Vout ,e Vi , иначе Vinm,e Vinm,e Vmi . Осуществляется переход к следующей обрабатываемой единице. m m m 3) Если поток вытекающий, то Vout ,e Vout ,e Vsum,i , иначе m Vinm,e Vinm,e Vsum ,i . Осуществляется переход к следующей обрабатываемой единице. m В результате новые объемы фазы на ячейке равны Vme Vinm,e Vout ,e . 27 2.5. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДА Проведем верификацию и исследование разработанных вычислительных схем, сравнив результаты решения описанной ниже задачи, полученные с применением предложенного метода адаптивной дискретизации по времени, при различных значениях глобального шага по времени tmain с результатами, полученными без применения метода. Рассмотрим модель пластовой системы с законтурным заводнением. Размеры области в плане: [1000м;1000м] [1000м;1000м] , толщина пластовой системы – 8 м, коэффициент пористости 0.25 , структурная проницаемость Κ 500 мД , пластовое давление – 200 атм, расположение скважин и контура нефтенасыщенности изображено на рисунке 2.1, нефтенасыщенность внутри контура – 0.6, за контуром все поровое пространство заполнено водой. Скважина «01» – добывающая, остальные 4 скважины, расположенные за контуром – нагнетательные, радиус всех скважин – 0.12 м. На добывающей скважине задано давление PRprod 170 атм , на 1 нагнетательных – PRinj1 230 атм . Длительность периода моделирования – 500 суток. Рисунок 2.1 – Схема расположения скважин и контура нефтенасыщенности 28 Зафиксируем периодичность расчета давления равной 2.5 суткам. В результате решения задачи на нескольких вложенных по латерали сетках без применения предложенного метода получено решение, далее будем называть его «исходным». Таким образом, исходное решение получено при моделировании с такой дискретизацией по времени, при которой состояние всех ячеек пересчитывается с одинаковым шагом по времени, равным минимальному подобранному среди всех ячеек. Рассмотрим результаты решения задачи с применением описанного метода при значении tmain равном 2.5 сут, 1.25 сут и 0.625 сут в сравнении с исходным решением (см. рисунки 2.2 - 2.6). Рисунок 2.2 – Дебит добывающей скважины при различных вариантах дискретизации по времени 29 а) б) Рисунок 2.3 – Относительная погрешность дебита добывающей скважины при различных вариантах дискретизации по времени 30 Рисунок 2.4 – Доля нефти в добываемом объеме при различных вариантах дискретизации по времени Рисунок 2.5 – Дебит нагнетательной скважины при различных вариантах дискретизации по времени 31 а) б) Рисунок 2.6 - Относительная погрешность дебита нагнетательной скважины при различных вариантах дискретизации по времени 32 В качестве основных результатов применения метода стоит отметить, что относительная погрешность по дебиту добывающей скважины при выборе tmain 2.5 менее 6%, при tmain 1.25 - менее 1.5%, при tmain 0.625 - менее 0.0015%, а относительная погрешность по доле нефти в добываемом объеме во всех вариантах менее 0.002%. Таким образом, относительная погрешность решения при использовании предложенного метода падает с уменьшением величины шага по времени tmain , что говорит о сходимости решения. Уменьшение шага по времени tmain помимо повышения качества аппроксимации, очевидно, также приводит к росту вычислительных затрат. Сравним вычислительные затраты при решении задачи с применением описанного метода при выбранных вариантах дискретизации и без использования данного метода. Информация о распределении ячеек по группам и дискретизации приведена в таблице 2.1 и на рисунке 2.7. Таблица 2.1 – Дискретизация по времени при использовании описанного метода Номер группы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tmain 2.5 Количество Шаг по ячеек времени 2,50E+00 6148 1,25E+00 80 6,25E-01 80 3,13E-01 80 1,56E-01 80 7,81E-02 80 3,91E-02 80 1,95E-02 80 9,77E-03 80 4,88E-03 88 2,44E-03 88 tmain 1.25 Количество Шаг по ячеек времени 1,25E+00 6228 6,25E-01 80 3,13E-01 80 1,56E-01 80 7,81E-02 80 3,91E-02 80 1,95E-02 80 9,77E-03 80 4,88E-03 88 2,44E-03 88 1,22E-03 0 33 tmain 0.625 Количество Шаг по ячеек времени 6,25E-01 6308 3,13E-01 80 1,56E-01 80 7,81E-02 80 3,91E-02 80 1,95E-02 80 9,77E-03 80 4,88E-03 88 2,44E-03 88 1,22E-03 0 6,10E-04 0 а) б) Рисунок 2.7 – Распределение ячеек по группам при tmain 2.5 в разрезе добывающей скважины (а) и в плане вблизи нее (б) 34 Основные показатели вычислительных затрат приведены в таблице 2.2. Таблица 2.2 – Сравнение вычислительных затрат Без применения метода Длина шага по времени Количество шагов по времени Количество выполнений операции обработки ячейки Среднее время обработки всех ячеек за шаг по времени, с Общее время расчета, с С применением метода t min( t ) tmain 0.625 tmain 1.25 tmain 2.5 526 990 800 400 200 3 669 958 360 50 850 684 41 849 964 37 427 004 0.11512 0.39126 0.62835 0.90926 60984.569567 781.62218 670.02504 560.39535 e Применение описанного метода снижает вычислительные затраты за счет уменьшения общего количества выполнений операции обработки ячейки. Так, в результате применения описанного метода при tmain 0.625 количество выполнений операции обработки ячейки уменьшилось в 72 раза, общее время расчета – в 78 раз, при tmain 1.25 количество выполнений операции обработки ячейки уменьшилось в 87 раз, общее время расчета – в 91 раз, при tmain 2.5 количество выполнений операции обработки ячейки уменьшилось в 98 раз, общее время расчета – в 108 раз. Ввиду принципа распределения по группам, фильтрация на каждой ячейке рассчитывается с таким шагом по времени, который требуется для этой ячейки, при этом состояния всех ячеек остаются согласованными. Принадлежность группам с большим индексом наблюдается у ячеек из прискважинной области и обусловлена высокими значениями градиента давления и малым объемом ячеек в этих областях. Именно на этих ячейках происходит наибольшее количество выполнений операции обработки ячейки в ходе расчета. Таким образом, разработанный метод позволяет значительно сократить вычислительные затраты с сохранением точности решения. Это создает 35 принципиальное преимущество при решении не только масштабных практических задач, но и при проведении точных исследований для оптимизации и сопровождения современных технологий нефтедобычи. 36 3. МЕТОД УЧЕТА СООБЩАЕМОСТИ СКВАЖИН С ПЛАСТОВОЙ СИСТЕМОЙ 3.1. ВВЕДЕНИЕ При решении задач фильтрации в пластовых системах одной из принципиальных проблем является проблема учета источников – добывающих и нагнетательных скважин. Радиус реальных скважин может достигать всего нескольких сантиметров при размерах месторождений в несколько десятков километров. Такой разброс масштабов в цифровых моделях месторождений создает серьезные трудности для численного моделирования гидродинамических процессов. Построение корректных аппроксимаций физических полей в прискважинных областях является первостепенно важным в таких задачах, поскольку в значительной степени определяет соответствие цифровой модели месторождения реально протекающим гидродинамическим процессам. С целью достижения необходимой точности решения вблизи скважин строятся подробные сетки и применяются базисные функции высокого порядка, что само по себе приводит к росту вычислительной сложности. Уменьшение размера ячеек вблизи скважин также способствует сокращению длины шага по времени (меньший объем ячеек при большой скорости фильтрации) и, как следствие, значительному увеличению количества вычислительных шагов на этих ячейках, что приводит к дополнительным вычислительным затратам. Представленный ниже метод позволяет в значительной мере сократить вычислительные затраты с сохранением точности получаемого решения. Данный метод предусматривает использование сеток с увеличенным “расчетным” радиусом скважин, а также применение некоторой аналитической модели, позволяющей установить связь физических величин (давления и плотности потока) на “фактическом” и “расчетном” радиусах. 37 3.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ОПИСАНИЕ МЕТОДА Рассмотрим область в сечении некоторой скважины, ограниченную двумя окружностями с разными радиусами (см. рисунок 3.1). Рисунок 3.1 – Схема области Пусть R1 – фактический радиус скважины, R2 – увеличенный расчетный радиус, процесс протекающий в данной области в фазово-компонентном отношении является однородным, и внутри области отсутствуют источники. Исходное уравнение, основанное на законе Дарси, для описанной области можно записать в виде div grad P 0 , m где Κ m . m 1 M Рисунок 3.2 – Схема области в цилиндрических координатах 38 (3.1) Рассмотрим одномерную задачу в цилиндрических координатах (см. рисунок 3.2). Тогда уравнение (3.1) принимает вид P ) r 0 . r 1 ( r r (3.2) Равенство (3.2) справедливо, если r P C1 . r (3.3) Следовательно, P C1 . r r (3.4) Проинтегрировав (3.4) по r , получим: P(r ) C1 ln r C2 . (3.5) Определим C1 , C2 в выражении (3.5). В силу несжимаемости флюида в рассматриваемой области выполняется равенство потоков через границы: R R1 R R2 . 1 2 (3.6) Тогда плотность потока через границу на фактическом радиусе может быть представлена в виде R 1 R R2 2 R1 . (3.7) С другой стороны, плотность потока через границу определяется выражением P R . r R 1 1 Подставив (3.7) в (3.8), получим: 39 (3.8) P C 1 r R r R1 1 C1 R1 R R2 2 R1 . (3.9) Таким образом, C1 R2 R2 . Значение давления (3.10) на расчетном радиусе является известной PR2 величиной, т.к. вычисляется в ходе решения трехмерной задачи. С другой стороны, P( R2 ) C1 ln R2 C2 R R2 2 ln R2 C2 PR2 . (3.11) Выражая C 2 , получим: C2 PR2 R R2 2 ln R2 . (3.12) Подставив (3.10) и (3.12) в (3.5), получим выражение для вычисления давления в произвольной точке рассматриваемой области: P(r ) R R2 2 ln r PR2 R R2 2 ln R2 PR2 R R2 2 ln R2 . r (3.13) Тогда давление PR1 на фактическом радиусе вычисляется по формуле PR1 P( R1 ) PR2 R R2 2 ln R2 . R1 (3.14) Выразив плотность потока R2 на расчетном радиусе, получим: R 2 R R2 ln 2 R1 (PR1 PR2 ) . (3.15) Таким образом, если для скважины известен дебит (в таком случае R2 известно), то решение трехмерной задачи может производиться с увеличенным 40 расчетным радиусом скважины и с заданными на ней краевыми условиями II-го рода, а значение давления PR1 на фактическом радиусе может быть вычислено по формуле (3.14). В случае, если на скважине задано давление (т.е. PR1 известно), то решение трехмерной задачи может производиться с увеличенным расчетным радиусом скважины и с заданными на ней краевыми условиями III-го рода, которые определяются выражением (3.15). 3.3. ВЕРИФИКАЦИЯ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА Рассмотрим трехмерную цилиндрическую область (см. рисунок 3.3), описывающую прискважинное пространство некоторой пластовой системы. Рисунок 3.3 - Рассматриваемая область Пусть внешний радиус области равен 50 м, внутренний радиус области (фактический радиус скважины) - 0.12 м, толщина пластовой системы - 8 м, коэффициент пористости 0.25 , структурная проницаемость Κ 500 мД , пластовое давление - 200 атм, давление на скважине PR1 185 атм . В исходной задаче на внешней вертикальной границе области задано пластовое давление, на внутренней вертикальной границе области задано давление на скважине, на горизонтальных 41 границах задано условие непротекания. Все поровое пространство пластовой системы заполнено нефтью, из-за границ области осуществляется приток нефти. В силу однородности пластовой системы и постоянного режима работы скважины моделируемый процесс фильтрации в рассматриваемой области является стационарным. В результате решения исходной задачи на трех вложенных по латерали сетках M1 , M 2 и M 3 (см. рисунок 3.4 и таблицу 3.1), где M 3 - самая подробная сетка, были получены значения дебита QM1 4.47827 м3 /сут , QM2 5.39333 м3 /сут , QM3 5.39056 м3 /сут соответственно. а) б) в) Рисунок 3.4 – Сетки M 1 (а), M 2 (б) и M 3 (в) 42 Таблица 3.1 – Количество ячеек в сетках M i i Количество ячеек в сетке M i 1 2 3 480 1920 7040 Решением исходной задачи будем считать результат, полученный на сетке M 3 . Рассчитанное поле давления изображено на рисунке 3.5. Рисунок 3.5 – Поле давления в исходной задаче С целью верификации разработанного модуля сравним решение исходной задачи с решениями эквивалентных задач с применением описанного метода на сетках, полученных в результате увеличения внутреннего радиуса области, т.е. увеличения расчетного радиуса R2 скважины. Сетки для решения эквивалентных задач получены в результате изменения сетки M 3 путем исключения ячеек до получения увеличенного расчетного радиуса R2i скважины. Значения R2i отражены в таблице 3.2, а соответствующие сетки изображены на рисунке 3.6. Таблица 3.2 – Параметры сеток i R, м Количество ячеек i 2 1 0.173 2 0.4628 3 1.15 4 2.78 5 6.64 6688 5632 4576 3520 2464 С целью корректной оценки вычислительных затрат длительность периода моделирования выбрана равной 2000 суток. 43 а) б) в) г) д) е) Рисунок 3.6 – Сетка M 3 (а), R21 (б), R22 (в), R23 (г), R24 (д) и R25 (е) 44 Рассмотрим результаты решения класса эквивалентных задач на сетках с расчетными радиусами R2i (i 1,5) с заданием на скважине дебита, значение которого получено в результате решения исходной задачи. Таким образом, на границе области, соответствующей расчетному радиусу скважины R2i , заданы краевые условия II-го рода ( Ri в этом случае известно), а значения давления 2 PRi на фактическом радиусе, т.е. давление на скважине, вычисляется на основе 1 формулы (3.14). Результаты моделирования в сравнении с результатами для исходной задачи приведены в таблице 3.3. Таблица 3.3 – Результаты решения эквивалентных задач i PRi , атм 1 185.909 2 188.356 3 190.620 4 192.816 5 194.981 PRi , атм 184.999 184.998 184.997 184.997 184.996 0.00054 0.00108 0.00162 0.00162 0.00216 2 1 Относительная погрешность PR i , % 1 Сравним вычислительные затраты при решении эквивалентных задач с заданием на скважине дебита и исходной задачи. Показатели вычислительной эффективности при решении исходной задачи на сетке M 3 : среднее время расчета шага фильтрации – 12.64374 с, общее время расчета задачи – 4853.36479 с, количество групп по времени – 14, минимальный требуемый шаг по времени – 2.27476e-03 сут. Показатели вычислительной эффективности при решении эквивалентных задач приведены в таблице 3.4. Таблица 3.4 – Показатели вычислительной эффективности при решении эквивалентных задач i Среднее время расчета шага фильтрации, с Общее время расчета задачи, с Количество групп Минимальный шаг по времени, сут 1 2 3 4 5 8.75769 1.61407 0.25968 0.04135 0.01730 4685.84801 2630.51347 1582.85380 857.09324 390.22790 13 10 7 5 2 4.37696e-03 2.78408e-02 1.64962e-01 9.51517e-01 5.42246 45 Таким образом, решение эквивалентной задачи с увеличенным расчетным радиусом скважины при заданном дебите скважины, позволяет значительно сократить вычислительные затраты без существенной потери точности решения. Так, например, при решении эквивалентной задачи с расчетным радиусом скважины R25 вычислительные затраты на расчет шага фильтрации меньше, чем при решении исходной задачи на сетке M 3 , в 730 раз, а на расчет всей задачи – в 12 раз, при падении точности решения по давлению менее чем на 0.003%. Рассмотрим результаты решения класса эквивалентных задач на сетках с расчетными радиусами R2i (i 1,5) с заданием на скважине давления. Таким образом, на границе области, соответствующей расчетному радиусу скважины R2i , заданы краевые условия III-го рода в соответствии с формулой (3.15), а значение давления PRi на фактическом радиусе, т.е. давление на скважине, 1 вычисляется на основе формулы (3.14) и может отличаться от заданного на скважине по условию задачи аналитического значения давления. Результаты моделирования в сравнении с результатами для исходной задачи приведены в таблице 3.5. Таблица 3.5 – Результаты решения эквивалентных задач i PRi , атм 1 185.910 2 188.358 3 190.622 4 192.817 5 194.982 PRi , атм 180.000 180.000 180.000 180.000 180.000 Относительная погрешность PR i , % <0.0005 <0.0005 <0.0005 <0.0005 <0.0005 Qi , м3 /сут 5.39003 5.38982 5.38963 5.38943 5.38924 Относительная погрешность Qi , % 0.00983 0.01373 0.01725 0.02096 0.02449 2 1 1 Показатели вычислительной эффективности при решении эквивалентных задач приведены в таблице 3.6. 46 Таблица 3.6 – Показатели вычислительной эффективности при решении эквивалентных задач i Среднее время расчета шага фильтрации, с Общее время расчета задачи, с Количество групп Минимальный шаг по времени, сут 1 2 3 4 5 7.57782 1.21761 0.22120 0.04854 0.01826 4103.48535 1902.7263 1351.32724 830.63882 385.47783 13 10 7 5 2 4.37757e-03 2.78459e-02 1.64997e-01 9.51753e-01 5.42393 Таким образом, решение эквивалентной задачи с увеличенным расчетным радиусом скважины при заданном давлении на скважине, позволяет значительно сократить вычислительные затраты без существенной потери точности решения. Так, например, при решении эквивалентной задачи с расчетным радиусом скважины R25 вычислительные затраты на расчет шага фильтрации меньше, чем при решении исходной задачи на сетке M 3 , в 692 раза, а на расчет всей задачи – в 12 раз, при падении точности решения по дебиту менее чем на 0.025%. При этом стоит отметить, что для получения результата с той степенью точности, которая необходима для решения практических задач, с помощью описанного метода возможно применение менее подробных сеток. Например, в результате решения эквивалентной задачи при заданном давлении на скважине на сетке M 1 с расчетным радиусом скважины R25 (168 ячеек) вычислительные затраты на расчет всей задачи на 2 порядка меньше, чем при решении исходной задачи на сетке M 3 , при падении точности решения по дебиту менее чем на 0.15%. 3.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДА Проведем исследование разработанного метода на модели пластовой системы с законтурным заводнением, в прискважинных областях которой движение флюидов является неоднородным. 47 Размеры области в плане: [1000м;1000м] [1000м;1000м] , толщина пластовой системы – 8 м, коэффициент пористости 0.25 , структурная проницаемость Κ 500 мД , пластовое давление – 200 атм, расположение скважин и контура нефтенасыщенности изображено на рисунке 3.7, нефтенасыщенность внутри контура – 0.6, за контуром все поровое пространство заполнено водой. Скважина «01» – добывающая, остальные 4 скважины, расположенные за контуром – нагнетательные, радиус всех скважин – 0.12 м. Длительность периода моделирования – 2000 суток. Рисунок 3.7 – Схема расположения скважин и контура нефтенасыщенности Пусть в исходной задаче на добывающей скважине задано давление PRprod 170 атм , на нагнетательных – PRinj1 230 атм . 1 В результате поиска решения исходной задачи на нескольких вложенных по латерали сетках было получено решение, далее будем называть его “исходным” решением, а соответствующую сетку “исходной”. Полученные зависимости дебита скважин и доли нефти в добываемом объеме от времени отражены на рисунках 3.8, 3.9. Поля насыщенностей и давления изображены на рисунках 3.10 и 3.11. 48 Рисунок 3.9 – Доля нефти в Рисунок 3.8 – Дебит скважин добываемом объеме а) б) в) г) Рисунок 3.10 – Поля насыщенности нефти (а, в) и воды (б, г) в начале и в конце периода моделирования соответственно 49 Рисунок 3.11 – Поле давления в исходной задаче через 10 суток после начала периода моделирования Аналогично действиям из предыдущего пункта сравним решение исходной задачи с решениями эквивалентных задач с применением описанного метода. Сетки для решения эквивалентных задач получены в результате изменения исходной сетки, содержащей 6964 ячейки, путем исключения ячеек до получения увеличенного расчетного радиуса R2i скважин. Параметры сеток для соответствующих значений R2i отражены в таблице 3.7. Таблица 3.7 – Параметры сеток i R, м Количество ячеек i 2 1 0.43 2 1.17 3 2.92 4 7.05 6804 6644 6484 6324 Рассмотрим результаты решения класса эквивалентных задач на сетках с расчетными радиусами R2i (i 1,4) с заданием на скважинах дебита, зависимость которого от времени получена в результате решения исходной задачи. Таким образом, на границах области, соответствующих расчетным радиусам скважин R2i , заданы краевые условия II-го рода ( Ri в этом случае 2 известно), а значения давления PRi на фактическом радиусе, т.е. давление на 1 скважинах, вычисляется на основе формулы (3.14). 50 Результаты решения эквивалентных задач с заданием на скважинах дебита в сравнении с результатами для исходной задачи приведены на рисунках 3.12 - 3.15. а) б) Рисунок 3.12 – Давление PRi на расчетном радиусе добывающей (а) и 2 нагнетательной (б) скважин а) б) Рисунок 3.13 - Давление PRi на добывающей (а) и нагнетательной (б) 1 скважинах 51 а) б) Рисунок 3.14 – Относительная погрешность давления PRi на добывающей 1 (а) и нагнетательной (б) скважинах а) б) Рисунок 3.15 – Доля нефти в добываемом объеме (а) и ее относительная погрешность (б) Сравним вычислительные затраты при решении эквивалентных задач с заданием на скважине дебита и вычислительные затраты при решении исходной задачи. Показатели вычислительной эффективности при решении исходной задачи: среднее время расчета шага фильтрации – 3.33236 с, общее время расчета задачи - 1101.53278 c, максимальное количество групп - 13. Показатели вычислительной эффективности при решении эквивалентных задач приведены в таблице 1.2 и на рисунке 3.16. 52 Таблица 3.8 - Показатели вычислительной эффективности при решении эквивалентных задач с расчетными радиусами скважин R2i i Среднее время расчета шага фильтрации, с Общее время расчета задачи, с Максимальное количество групп 1 2 3 4 0.53859 0.17451 0.09127 0.06656 407.98627 285.30503 219.76424 130.58063 11 9 7 4 Рисунок 3.16 – Минимальный необходимый шаг по времени Таким образом, решение эквивалентной задачи с увеличенным расчетным радиусом скважин при заданном дебите, позволяет значительно сократить вычислительные затраты без существенной потери точности решения. Так, например, при решении эквивалентной задачи с расчетным радиусом скважины R24 вычислительные затраты на расчет шага фильтрации меньше, чем при решении исходной задачи в 50 раз, а на расчет всей задачи – в 8 раз, при падении точности решения по давлению менее чем на 2%, по доле нефти в добываемом объеме – менее чем на 0.35%. Рассмотрим результаты решения класса эквивалентных задач на сетках с расчетными радиусами R2i (i 1,4) с заданным на скважинах давлением. Таким образом, на границе области, соответствующей расчетному радиусу скважин R2i , заданы краевые условия III-го рода в соответствии с формулой (3.15), а 53 значение давления PRi на фактическом радиусе, т.е. давление на скважинах, 1 вычисляется на основе формулы (3.14) и может отличаться от заданного на скважине по условию задачи аналитического значения давления. Результаты моделирования в сравнении с результатами для исходной задачи приведены на рисунках 3.17 - 3.22. а) б) Рисунок 3.17 - Давление PRi на расчетном радиусе добывающей (а) и 2 нагнетательной (б) скважин а) б) Рисунок 3.18 - Относительная погрешность давления на добывающей (а) и нагнетательной (б) скважинах 54 а) б) Рисунок 3.19 - Дебит добывающей (а) и нагнетательной (б) скважин а) б) Рисунок 3.20 - Относительная погрешность дебита добывающей (а) и нагнетательной (б) скважин 55 а) б) Рисунок 3.21 – Доля нефти в добываемом объеме (а) и ее относительная погрешность (б) Сравним вычислительные затраты при решении эквивалентных задач с заданием на скважине давления и вычислительные затраты при решении исходной задачи. Показатели вычислительной эффективности при решении эквивалентных задач приведены на рисунке 3.22 и в таблице 3.9. Рисунок 3.22 – Минимальный необходимый шаг по времени 56 Таблица 3.9 - Показатели вычислительной эффективности при решении эквивалентных задач с расчетными радиусами скважин R2i i Среднее время расчета шага фильтрации, с Общее время расчета задачи, с Максимальное количество групп 1 2 3 4 0.59263 0.17740 0.08673 0.06747 451.10911 301.68593 219.12105 143.13885 11 9 7 4 Таким образом, решение эквивалентной задачи с увеличенным расчетным радиусом скважин при заданном давлении, также позволяет значительно сократить вычислительные затраты без существенной потери точности решения. Например, при решении эквивалентной задачи с расчетным радиусом скважины R24 вычислительные затраты на расчет шага фильтрации меньше, чем при решении исходной задачи в 50 раз, а на расчет всей задачи – в 7.5 раз, при падении точности решения по давлению менее чем на 0.01%, по доле нефти в добываемом объеме – менее чем на 3%. 57 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГЕЛЕОБРАЗОВАНИЯ В МЕТОДАХ ПОВЫШЕНИЯ НЕФТЕОТДАЧИ Одной из проблем, возникающих при эксплуатации скважин в технологиях повышения нефтеотдачи пластов, является искривление профиля приемистости нагнетательных скважин и появление промытых высокопроницаемых зон, через которые фильтруются основные массы закачиваемых нефтезамещающих агентов. Это способствует снижению выработки менее проницаемых участков. Таким образом, заводнение неоднородных нефтяных пластов сопровождается ранней и быстро прогрессирующей обводненностью продукции добывающих скважин [10, 13]. Существуют различные методы увеличения нефтеотдачи пластов, нацеленные на повышение фильтрационного сопротивления обводненных зон. В частности, широко применяется метод, в рамках которого производится нагнетание в пласт гелеобразующих композиций, способствующих ограничению водопритоков. При нагнетании преимущественно в гелеобразующие промытые водой композиции фильтруются обводненные участки высокопроницаемых пластов. В течение некоторого времени гелеобразующие составы формируют в поровом пространстве прискважинной зоны пласта водоизолирующую массу, тем самым создавая искусственные барьеры, препятствующие движению закачиваемых в последствии агентов. Гелевые композиции закачиваются и в добывающие скважины с целью образования барьеров на пути фильтрации воды и ограничения добычи попутной воды [12]. Конфигурации создаваемых барьеров зависят от технологии нагнетания гелеобразующих составов и их объемов [10]. 58 В данной работе описана схема моделирования процессов, протекающих в пластовых системах при использовании описанной технологии для ограничения водопритоков с применением гелеобразующих композиций. 4.1. ОПИСАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ Входными данными для моделирования данной технологии является двумерная зависимость, характеризующая процесс изменения динамической вязкости фазы от скорости сдвига и «возраста» фазы. Данная зависимость является монотонной по обоим аргументам и представляется в виде таблицы, по которой в программе строится двумерный сплайн. В ходе моделирования построенный сплайн используется как для вычисления динамической вязкости фазы по аргументам, так и для обратного вычисления «возраста» фазы по скорости сдвига и динамической вязкости. В ходе моделирования вычисление скорости сдвига gel выполняется в соответствии с математической моделью изложенной ниже. Также учитывается изменение «возраста» гелеобразующего состава, закачиваемого отдельной фазой. Каждая ячейка сетки имеет собственные значения «возраста» и динамической вязкости фазы. Поэтому при смешивании гелеобразующего состава в ячейке сетки необходимо рассчитать новые значения динамической вязкости и текущего «возраста» фазы. За некоторый шаг по времени в результате фильтрации вязкость геля на каждой ячейке меняется в соответствии с формулой 1 gel out 0 in in (Vgel Vgel ) gel gel Vgel out in Vgel Vgel Vgel , (4.1) 0 где gel – динамическая вязкость геля, находящегося в ячейке, Vgel – объем геля out in в ячейке, Vgel – объем вытекающего из ячейки геля, gel – динамическая in вязкость геля, перетекающего в ячейку, Vgel – объем втекающего в ячейку геля. 59 По новому значению вязкости 1gel и вычисленному значению скорости сдвига gel определяется соответствующий «возраст» геля на ячейке. К вычисленному значению «возраста» добавляется соответствующий шаг по времени, и уже для нового значения по построенной зависимости определяется новое значение вязкости геля. 4.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА СКОРОСТИ СДВИГА ФАЗЫ Получим формулу расчета скорости сдвига фазы. Рассмотрим однофазное установившееся течение жидкости, имеющей постоянную вязкость , через горизонтальный капилляр радиусом R и длиной Lt . Закон Хагена-Пуазейля для ламинарного потока в трубке имеет вид: R 4 P , q 8 Lt (4.2) где q – объемная скорость потока, P – перепад давления на концах трубки. Для применения этого закона, трубка должна быть достаточно длинной, чтобы поток был свободен от входных или выходных эффектов. Это условие, несомненно, не выдерживается в поре проницаемой среды, но допущение необходимо, чтобы продолжить вывод. Cредняя скорость v в трубке определяется соотношением: v q R 2 P . R 2 8 Lt (4.3) Это уравнение является отправной точкой при переносе в масштаб элементарного объема. Уравняем время прохождения элемента жидкости в капиллярной трубке и в характерном элементарном объеме порового пространства: 60 Lt L , v v (4.4) где v – скорость жидкости в поре. В соответствии с моделью Дюпюи Форхгеймера взаимосвязь между скоростью жидкости в поре v и приведенной скоростью u определяется формулой v u , (4.5) где – пористость. Приведенная скорость или скорость «Дарси» – это объемная скорость потока, деленная на макроскопическую площадь поперечного сечения, перпендикулярного потоку. При этом u в соответствии с законом Дарси определяется формулой (1.1). Фазовая проницаемость для однофазного потока определяется формулой R 2 , k 8 (4.6) где – аболютная проницаемость среды, k – относительная фазовая проницаемость среды, Lt / L – квадрат отношения длины капиллярной 2 трубки к длине характерного элементарного объема порового пространства, представляет собой извилистость, одно из основных свойств проницаемой среды. Эквивалентная скорость сдвига в проницаемой среде с учетом формулы (4.4) и определения извилистости имеет вид 4v . R (4.7) Исключая R из (4.7) с помощью равенства (4.6), получим: 4v . 8k 61 (4.8) Подставив соотношение (4.5) и закон Дарси (1.1) в соотношение (4.8), получим формулу расчета скорости сдвига фазы: 4u 2k grad P . 8k (4.9) 4.3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИИ ВОДООГРАНИЧЕНИЯ ПРИ АДАПТАЦИИ МОДЕЛИ МЕСТОРОЖДЕНИЯ Моделирование технологии водоограничения проводилось на скважине № 08058 модели Вишнево-Полянского месторождения. Согласно информации, представленной в базе геолого-технологических мероприятий, на скважине № 08058 дважды применялась технология водоограничения. В рамках этой технологии в скважину закачивалось порядка 60 м3 геля – раствора, застывающего в течение некоторого промежутка времени после закачки в скважину. Данная технология применялась в момент времени 8120 суток (май 2009 г.) и 10650 суток (июнь 2016 г.). Проведенное имитационное моделирование показало, что для моделирования данной технологии на месторождениях высоковязкой нефти, необходимо учитывать наличие в среде высокопроницаемых каналов и зон. Для моделирования технологии и ее эффекта в гидродинамическую модель, полученную в результате адаптации, были добавлены тонкие проницаемые области в окрестности скважины. После чего производилось моделирование технологии водоограничения в соответствии с описанной схемой. На рисунке 4.1 представлены распределения насыщенности геля по прошествии 8 часов (а) и 16 (б, в) часов после его закачки. На рисунке 4.1 (а) и (б) распределение насыщенности геля представлено в одном из высокопроницаемых слоев, а на рисунке 4.1 (в) – в сечении через рассматриваемую скважину. 62 а) б) в) Рисунок 4.1 - Распределения насыщенности геля по прошествии 8 часов (а) и 16 часов (б, в) после его закачки (рис. а и б – срез через высокопроницаемую зону, рис. в – разрез через скважину) 63 На рисунке 4.2 представлены графики доли нефти в добываемом объеме на скважине № 08058, полученные в результате адаптации без учета применения технологии (зеленый цвет) и с учетом применения описанной выше технологии и микроструктуры среды (красный цвет). Черным цветом показан график доли нефти в добываемом объеме, полученный из практических данных. Рисунок 4.2 - Доля нефти в добываемом объеме на скважине № 08058: черный цвет – практические данные; зеленый цвет – график, полученный в результате адаптации без учета применения технологии, красный цвет – график, полученный с учетом применения описанной выше технологии и микроструктуры среды Из представленных на рисунке 4.2 результатов видно, что оба раза эффект от применения технологии водоограничения с применением гелеобразующих составов смоделирован достаточно хорошо – тенденции расчетных данных (красный график) достаточно точно повторяют тенденции практических данных (черный график). Это свидетельствует о том, что вычислительные схемы для моделирования технологии водоограничения являются корректными и отражают реально протекающие в пластовой системе процессы. 64 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В рамках данной работы были разработаны и реализованы эффективные вычислительные схемы и программные модули для моделирования процесса многофазной фильтрации в пластовых системах. Разработанный и реализованный метод адаптивной дискретизации по времени направлен на сокращение вычислительных затрат за счет значительного уменьшения общего количества операций пересчета состояния ячеек. Данный метод построения дискретизации с разбиением множества ячеек на группы, имеющие кратные шаги по времени, обеспечивает эффективное моделирование процесса за счет того, что состояние на каждой ячейке пересчитывается минимально возможное количество раз. При этом состояние ячеек в разных группах остается согласованным. Описанные вычислительные схемы предусматривают параллельную обработку ячеек, находящихся в одной группе, что предоставляет еще большие вычислительные преимущества. В ходе вычислительных экспериментов на модели месторождения была проведена верификация разработанного метода и модуля, продемонстрирована сходимость решения и проанализированы вычислительные затраты. Применение метода обеспечило уменьшение общего времени решения задачи более чем на 2 порядка. Разработанный и реализованный метод учета сообщаемости скважины с пластовой системой позволяет в значительной мере сократить вычислительные затраты с сохранением точности получаемого решения. Данный метод предусматривает использование сеток с увеличенным “расчетным” радиусом скважин, а также применение некоторой аналитической модели, позволяющей установить связь физических величин (давления и плотности потока) на “фактическом” и “расчетном” радиусах. Разработанный модуль позволил учитывать различные способы задания режимов работы скважин при моделировании месторождения. 65 Проведенные вычислительные эксперименты подтвердили корректность разработанных схем и соответствующего модуля. Анализ вычислительных затрат показал, что применение разработанного метода обеспечивает уменьшение общего времени расчета задачи почти на порядок с сохранением необходимой точности решения. Таким образом, совместное использование разработанных методов позволяет сократить общие вычислительные затраты на 2-3 порядка с сохранением необходимой для практических задач точности решения. Это создает принципиальное преимущество при решении не только масштабных практических задач, но и при проведении точных исследований для оптимизации и сопровождения современных технологий нефтедобычи. Разработанные и реализованные вычислительные схемы для моделирования процесса гелеобразования позволяют анализировать эффект от применения технологии водоограничения с использованием гелеобразующих композиций. Верификация разработанных вычислительных схем проведена путем адаптации модели реального месторождения с моделированием описанной технологии в сравнении с практическими данными. Разработанные модули внедрены в ПО "Программный комплекс для гидродинамического 2019665615), моделирования используемое в FlowER" АГНИ нефтяной институт) и ПАО «Татнефть». 66 (номер (Альметьевский свидетельства государственный СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Cao H. Efficient general formulation approach for modeling complex physics / Cao, H., Crumpton, P. I., & Schrader, M. L // SPE Reservoir Simulation Symposium. – Society of Petroleum Engineers, 2009. Document ID: SPE-119165-MS. – DOI: 10.2118/119165-MS 2. Zhang R. Numerical simulation of water flooding in natural fractured reservoirs based on control volume finite element method / Zhang, R. H., Zhang, L. H., Luo, J. X., Yang, Z. D., & Xu, M. Y // Journal of Petroleum Science and Engineering. – 2016. – Vol. 146. – pp. 1211-1225. – DOI: 10.1016/j.petrol.2016.08.024. 3. Zhang N. Improving multiscale mixed finite element method for flow simulation in highly heterogeneous reservoir using adaptivity / Zhang, N., Yan, B., Sun, Q., & Wang, Y. // Journal of Petroleum Science and Engineering. – 2017. – Vol. 154. – pp. 382-388. – DOI: 10.1016/j.petrol.2017.04.012. 4. Abushaikha, A. S. Interface control volume finite element method for modelling multi-phase fluid flow in highly heterogeneous and fractured reservoirs / Abushaikha, A. S., Blunt, M. J., Gosselin, O. R., Pain, C. C., & Jackson, M. D. // Journal of Computational Physics – 2015. – Vol. 298. – pp. 41-61. – DOI: 10.1016/j.jcp.2015.05.024. 5. Nick H.M. and Matthäi S.K. A Hybrid Finite-Element Finite-Volume Method with Embedded Discontinuities for Solute Transport in Heterogeneous Media // Vadose Zone Journal. – 2011. – Vol. 10. – №. 1. – pp. 299-312. – DOI: 10.2136/vzj2010.0015. 6. Nick H.M. and Matthäi S.K. Comparison of Three FE-FV Numerical Schemes for Single- and Two-Phase Flow Simulation of Fractured Porous Media // Transport in Porous Media. – 2011. – Vol. 90. – №. 2. – pp. 421-444. – DOI: 10.1007/s11242011-9793-y. 7. Schmid K.S., Geiger S., Sorbie K.S. Higher order FE–FV method on unstructured grids for transport and two-phase flow with variable viscosity in 67 heterogeneous porous media // Journal of Computational Physics. – 2013. – Vol. 241. – pp. 416-444. – DOI: 10.1016/j.jcp.2012.12.017. 8. Flow balancing in FEM modelling of multi-phase flow in porous media, / M. G. Persova, Y. G. Soloveichik, A. M. Grif, I. I. Patrushev // Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП–2018) = Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE–2018) : тр. 14 междунар. науч.-техн. конф., Новосибирск, 2–6 окт. 2018 г. : в 8 т. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2018. – Т. 1, ч. 4. – С. 205–211. 9. Numerical modeling of multi-phase flow for various junctions of water and oil saturated layers in 3-D porous media / M. G. Persova, Y. G. Soloveichik, I. I. Patrushev, A. M. Grif // Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП–2018) = Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE– 2018): тр. 14 междунар. науч.-техн. конф., Новосибирск, 2–6 окт. 2018 г.: в 8 т. – Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2018. 10. Karasenko I. I. Numerical modeling of multi-phase flow by using non- conformal meshes / I. I. Karasenko ; research adviser Yu. G. Soloveichik, language adviser G. V. Toropchin // Progress through Innovations : тр. 8 междунар. науч.практ. конф. аспирантов и магистрантов, Новосибирск, 28 марта 2019 г. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2019. – С. 84–86. – 130 copy. – ISBN 978-5-77823848-0. 11. Моделирование процесса многофазной фильтрации в методах повышения нефтеотдачи пластов с использованием гелеобразующих составов / Р. В. Гумалевский, И. И. Карасенко, Ю. Г. Соловейчик // Наука. Технологии. Инновации : сб. науч. тр. : в 9 ч., Новосибирск, 2–6 дек. 2019 г. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2019. – Ч. 2. – С. 103–107. – ISBN 978-5-7782-4008-7. 12. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем: Пер. с англ. / М.: Недра, 1982. - 407 с. 13. Larry W. Lake. Enhanced oil recovery / Prentice Hall, 1989. – 550 p. 68 14. Соловейчик Ю.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач / Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г.; Новосибирск: НГТУ, 2007. – 896 с. 15. D. W. Peaceman. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation // Soc. Petrol. Eng. Journal. – 1978. V. 18. - N. 3. - pp. 183–194. 16. Arif Masud. A stabilized mixed finite element method for Darcy flow / Arif Masud, Hughes, J. R. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2002. – V. 191. – pp. 4341-4370. – DOI: 10.1016/S0045-7825(02)00371-7 17. Unconditionally stable mixed finite element methods for Darcy flow / Correa, M.R., Loula, A.F.D. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2007. – V. 197. – pp. 1525-1540. – DOI: 10.1016/j.cma.2007.11.025 18. Schlumberger ECLIPSE [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://sis.slb.ru/products/eclipse/ 19. Rock Flow Dynamics tNavigator [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://rfdyn.ru/ru/tnavigator 20. Roxar Tempest MORE [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://roxar.ru/software/tempest/more-black-oil-eos/ 21. The Open Porous Media [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://opm-project.org 69
