UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE MATEMÁTICA
PRÉ-CÁLCULO
Professores:
Mayara Brito
Wilson Oliveira.
Resumo:
Este material foi desenvolvido pelos professores Mayara Brito e Wilson Oliveira com o
objetivo de ser um material de apoio para os alunos de cálculo 1, visto que estes alunos são
calouros e que a carga horária do curso não permite fazer um estudo mais aprofundado de
funções reais. Neste material abordamos a denição de função e alguns casos particulares de
funções reais, fazendo o estudo de seus grácos e classicando com relação ao crescimento/
decrescimento, injetividade, sobrejetividade e destacando algumas propriedades importantes
de cada função. O intuito é dar ao aluno uma bagagem de exemplos maior de funções reais,
e assim poder utilizar nos exemplos de limite e continuidade da disciplina em sala de aula
ou exercícios.
Sumário
INTRODUÇÃO
3
1 CONJUNTOS
6
1.1
Conjunto Unitário, Vazio e Universo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Conjuntos Iguais, Subconjunto e Reunião, Intersecção e Diferença de Conjuntos
1.3
Conjuntos numéricos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
8
13
2 PRODUTO CARTESIANO DE CONJUNTOS
18
3 FUNÇÃO
21
4 FUNÇÃO AFIM
28
5 FUNÇÃO QUADRÁTICA
36
6 INEQUAÇÕES
44
6.1
Inequações simultâneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 MÓDULO
46
50
7.1
Equações Modulares
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
7.2
Inequação Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.3
Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
8 FUNÇÃO EXPONENCIAL
62
8.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
8.2
Potência de expoente natural
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
8.3
Propriedades
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
8.4
Potência de expoente inteiro negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
8.5
Raiz enésima aritmética
65
8.6
Potência de expoente racional
8.6.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Gráco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
8.6.2
8.7
Propriedades
Equação exponencial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
9 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
72
9.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
9.2
Consequências da denição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
9.3
Propriedades operatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
9.4
Mudança de base
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Função Logarítma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
9.5.1
Gráco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
9.5.2
Domínio e Imagem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
9.5.3
Propriedade do gráco da função logaritma . . . . . . . . . . . . . . .
82
9.4.1
9.5
10 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
84
10.1 Função Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
10.2 Função Tangente
84
BIBLIOGRAFIA
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
INTRODUÇÃO
Este material a surgiu da experiência dos autores quando estes ministraram algumas
vezes a disciplina para os cursos de Cálculo 1, Cálculo 2 e Matemática Geral.
O principal objetivo destas notas é fazer com que os alunos compreendam com clareza
os conceitos introdutórios de matemática do ponto vista geométrico, numérico, algébrico
e lingüístico. Desenvolvendo também a capacidade de modelagem de problemas matemáticos e provas envolvendo conjuntos, conjuntos numéricos, funções reais com seus casos
particulares, facilitando sua aprendizagem quando for apresentado o conceito de limite e
continuidade.
Para desenvolver a capacidade do estudante de pensar por si mesmo em
termos das novas denições, incluímos no nal de cada seção uma lista de exercícios.
Nossa expectativa é que este texto assuma o caráter sustentável de uma experiência
permanentemente renovável, sendo, portanto, bem-vindas às críticas e/ou sugestões apresentadas por todos - professores ou alunos quantos dele zerem uso.
O material encontra-se dividido em 10 capítulos, de modo que primeiro é feito uma
denição formal de conjuntos com o objetivo de denir conjunto numérico visando auxiliar
na explicação do conceito de função real. No segundo capítulo encontra-se o estudo sobre
plano cartesiano com o intuito de mais adiante utilizar esta ferramenta para o esboço (o
desenho) dos grácos das funções reais, dando assim uma abordagem geométrica e visual
para o assunto.
No capítulo 3, nalmente denimos função real como uma relação entre conjuntos numéricos. Além disso, fazemos a denição de gráco de função e como podemos representar
este no plano cartesiano. Encontram-se também neste capítulo os conceitos de injetividade,
sobrejetividade, crescimento e decrescimento de função. Toda a abordagem geral e formal
se encerra nesta seção. Pois nos capítulos seguintes, serão estudadas algumas funções particulares, com o objetivo de destacar suas propriedades individuais e dar ao aluno o maior
números de exemplos de funções.
Escolhemos então abordar da seção 4 a 10 as funções:
am, quadrática, inequações, modular, exponencial, logarítmica e trigonométricas, mais
especicamente as funções seno, cosseno e tangente.
Acreditamos que com o estudo detalhado de cada uma dessas funções, o aluno ganhe uma
bagagem de conhecimento que possibilite no entendimento da denição de limite, auxiliando
assim uma melhor aprendizado dos demais tópicos da disciplina.
1
CONJUNTOS
Faremos aqui uma revisão das principais noções da teoria dos conjuntos, naquilo que
importa à Matemática Elementar. Tais noções possui grande aplicabilidade na representação
dos principais conjuntos numéricos.
Um conjunto é formado de objetos ou entidades bem denidos. (A teoria dos conjuntos
foi desenvolvida pelo matemático russo Georg Cantor, 1845 - 1918). Eis alguns exemplos:
1) Conjunto das vogais;
2) conjunto dos números impares positivos;
3) Conjuto dos planetas do sistema solar;
4) Conjunto dos números primos positivos;
5) Conjunto dos nomes dos meses de 31 dias.
Os objetos que compõem um conjunto particular são chamados de elementos ou membros. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos:
1) a, e, i, o, u;
2)
1, 3, 5, 7, 9, · · · ;
3) Mercúrio, Venus, Terra, Marte,· · · ;
4)
2, 3, 5, 7, 13, · · · ;
5) janeiro, março, maio, agosto, outubro, dezembro.
Indicamos conjunto e elemento, em geral, por letras maiúsculas A, B, C,
···
e minúsculas,
respectivamente.
Quando um objeto
pertence a
x
A
ou
não pertence a
A
x
é um dos elementos que compõem o conjunto
contém
x,
e escrevemos
x ∈ A;
É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linha fechada e não entrelaçada. Assim,
a ∈ A, b ∈ A
e
d∈
/A
dizemos que
caso contrário, escrevemos
A).
na representação ao lado temos:
A,
x∈
/A
x
(lê-se:
No caso de usarmos um círculo para representar um conjunto, estaremos usando assim
o chamado
diagrama de Euler-Venn.
Um conjunto com um número nito de elementos pode ser exibido escrevendo todos os
seus elementos entre chaves e inserindo vírgulas entre eles. Assim,
{a, b, c},
denota o conjunto cujos elementos são a, b e c.
Observação 1.1.
A ordem em que os elementos são escritos não altera um conjunto. As-
sim,
{a, b, c} = {b, c, a} = {c, a, b},
bem como a repetição de elemento não tem efeito. Por exemplo,
{a, b, c} = {a, b, c, a, b, c, a}.
Quando queremos descrever um conjunto
P
de seus elementos
x,
escrevemos
A = {x; x
Exemplo 1.1.
A por meio de uma propriedade característica
satisfaz a propriedade P}.
Veja os dois exemplos abaixo.
1)
{x| x
x é divisor inteiro de
2)
{x| x
x é inteiro e
3} = {1, −1, 3, −3};
0 6 x 6 500} = {1, 2, · · · , 499, 500}.
1.1 Conjunto Unitário, Vazio e Universo
Existem alguns conjuntos especiais e iremos denir a seguir.
Denição 1.1 (Conjunto Unitário).
Chama-se conjunto unitário aquele que possui um
único elemento.
Exemplo 1.2.
O Conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos:
{1},
é um conjunto
unitário.
Denição 1.2 (Conjunto Vazio).
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui ele-
mento algum. O simbolo usual para o conjunto vazio é
∅
ou
{}.
Exemplo 1.3.
O conjunto
{x| x 6= x} = ∅
Denição 1.3 (Conjunto Universo).
vezes, usado para um conjunto
U
é um conjunto vazio.
O termo conjunto-universo (ou universal ) é, às
que contém todos os conjuntos em um dado contexto.
Assim, admitiremos, no que segue, que todos os conjuntos considerados sejam subconjuntos
de um conjunto-universo
U.
1.2 Conjuntos Iguais, Subconjunto e Reunião, Intersecção e Diferença de Conjuntos
Dados dois conjuntos podemos relacionar ou comparar seus elementos. Assim, nosso objetivo agora é identicar quando dois conjuntos são iguais, o que acontece quando juntamos
elementos de dois conjuntos distintos ou quando olhamos somente os elementos em comum
desses conjuntos.
Denição 1.4 (Igualdade de Conjuntos).
elemento de
A
pertence a
B
Dois conjuntos
A
e
B
e, reciprocamente, todo elemento de
são iguais quando todo
B
pertence a
A.
Em
simbolos:
A = B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
(1)
Exemplo 1.4.
1)
{a, b, c, d} = {d, b, c, a};
2)
{2, 4, 6, 8, 10, · · · } = {x| x
3)
{x| 2x + 1 = 5} = {2}.
Se
A
não é igual a
um elemento de
pertencente a
A.
A
B,
é inteiro, positivo, não nulo e par};
escrevemos
A 6= B .
que não pertencente a
B
Claramente,
ou existe em
B
A 6= B
se existe pelo menos
pelo menos um elemento não
Denição 1.5 (Subconjunto).
tos. Dizemos que
A
A
é um subconjunto de
A
mente se, todo elemento de
usamos a notação
Sejam
A⊂B
e
B
B
conjun-
se, e so-
é um elemento de
B
e
para indicar tal inclusão. Em
símbolo, temos:
A ⊂ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B).
Exemplo 1.5.
Figura 1: A é um subconjunto de B.
A seguir estão listados alguns exemplos de subconjuntos.
1)
{a, b} ⊂ {d, b, c, a};
2)
{a} ⊂ {c, a};
3)
{x| xé
inteiro e par}
⊂ {x| xé
inteiro}.
Quando
A ⊂ B,
escrever
B ⊃ A, lê-se "B contém A".
Com a notação
também podemos
A 6⊂ B indicamos que
"A não está contido em
negação de
(2)
B ",
isto é, a
A ⊂ B.
A 6⊂ B
É evidente que
somente se
existe ao menos um elemento de
que não pertence a
B.
A
Assim, por
exemplo, temos:
{a, b, c} 6⊂ {b, c, d, e}.
Figura 2: A não é um subconjunto de B.
Observação 1.2.
??)
Vimos em (
o conceito de igualdade de conjuntos. Note que, nesta
denição está explícito que todo elemento de
e
B ⊂ A,
A
é elemento de
B
portanto, podemos escrever:
A = B ⇔ (A ⊂ B
e
B ⊂ A).
e vice-versa, ísto é,
A⊂B
Assim, para provar que
A=B
A⊂B
devemos provar que
e
B ⊂ A.
Denição 1.6 (Reunião de Conjuntos).
Sejam
AeB
AeB
o conjunto formado pelos elementos que
pertencem a
conjuntos. Chama-se reunião de
A
ou a
B,
denotada por
A ∪ B,
isto é,
A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A
ou
x ∈ B}.
(3)
Figura 3: Reunião de A com B.
Exemplo 1.6.
1)
{a, b} ∪ {c, d} = {a, b, c, d};
2)
{a, b} ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d};
3)
{a, b, c} ∪ {c, d, e} = {a, b, c, d, e};
4)
{a, b, c} ∪ ∅ = {a, b, c}.
Denição 1.7 (Reunião de Conjuntos).
de
AeB
Sejam
A
e
B
conjuntos. Chama-se intersecção
o conjunto formado pelos elementos que pertencem a
A e a B,
denotada por
A∩B ,
isto é,
A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A
e
x ∈ B}.
(4)
Exemplo 1.7.
1)
{a, b, c} ∩ {b, c, d, e} = {b, c};
2)
{a, b} ∩ {a, b, c, d} = {a, b};
3)
{a, b, c} ∩ {a, b, c} = {a, b, c};
4)
{a, b} ∩ ∅ = ∅.
Figura 4: Intersecção de A com B.
Denição 1.8 (Diferença de
Conjuntos). Sejam A e B conjunA
tos. Chama-se diferença de
e
B
o
conjunto formado pelos elementos de
A
que não pertencem a
por
A − B,
B,
denotada
isto é,
A − B = {x | x ∈ A
e
x∈
/ B}.
(5)
Exemplo 1.8.
Se
1)
{a, b, c} − {b, c, d, e} = {a}
2)
{a, b, c} − {b, c} = {a}
3)
{a, b} − {c, d, e, f } = {a, b}
4)
{a, b} − {a, b, t, x, z} = ∅
Figura 5: Diferença de A com B
A ⊂ B , então B − A é chamado o complementar de A em B .
chamados disjuntos se
A ∩ B = ∅.
O complementar de
A
em
U
Os conjuntos
AeB
são
é simplesmente chamado de
complementar de
A
e denotado por
A0
ou
Ac ,
sem referência explícita a
U
.Assim,
A − B = A ∩ Bc
Figura 6: O complementar de A.
Exemplo 1.9.
{1, 2, 4, 5}.
Sejam
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6},
A = {1, 2, 4},
B = {2, 3, 5}
e
Então:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ B = {2}
A − B = {1, 4}
B − A = {3, 5}
A−C = ∅
Ac = {0, 3, 5, 6}
B c = {0, 1, 4, 6}
Exercício 1.1.
1) Assinalar no diagrama ao lado, um de cada vez,
os seguintes conjuntos:
2) Se
(a) A ∩ B ∩ C
(c) A ∪ (B ∩ C)
(b) A ∩ (B ∪ C)
(d) A ∪ B ∪ C
A = {a, b, c}
e
B = {a, d},
determinar
A − B, B − A, A ∩ B
e
A ∪ B.
C =
3) Se
A ∩ B = {a, c}, A − B = {b}
4) Se
U = {a, b, c, d, e, f },
e
A ∪ B = {a, b, c, d}
A = {c, d, e},
B = {a, b, c}
determinar
e
A
e
C = {a, b, c, d},
B.
determi-
nar
(a) (A − B) ∪ (B − A)
(b) (A ∪ B) − (B ∩ A)
(c) (B − A) ∩ C
(d) (A − C) − (B − A)
(e) (B − A) − [(C − A) ∪ (C − B)]
(f) (C − A) ∪ B
5) Se
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
determinar
(a) A = {x ∈ U
tal que,
x
é par}
(b) B = {x ∈ U
tal que,
x
é impar}
(c) C = {x ∈ U
tal que,
x
é primo}
(d) D = {x ∈ U
tal que,
x
é multiplo de
2}
6) Numa faculdade em que estudavam 250 alunos, houve, no nal do semestre, reposição
nas disciplinas de Cálculo 1 e Quimica, sendo que 10 alunos zeram reposição das
duas matérias, 42 zeram reposição de Quimica, x alunos zeram reposição apenas
em cálculo 1 e 187 não zeram reposição. Determinar
(a)
Quantos alunos caram, no total, em reposição?
(b)
Quantos zeram reposição apenas em Cálculo 1?
(c)
Quantos caram apenas em uma matéria?
1.3 Conjuntos numéricos
A noção de conjunto numérico é simples e fundamental na Matemática.
conceitos sobre conjuntos podemos expressar todos os conceitos matemáticos.
O primeiro conjunto numérico a surgir foi o conjunto dos números naturais
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, · · · }.
Apartir dos
Esse conjunto é, originalmente, um modelo matemático de representação de todas as
quantidades e, posteriormente, com o advento das operações elementares, em particular
a adição e a multiplicação, foi possível somar e multiplicar dois números quaisquer de
obtendo-se um número de
N,
N, o que em linguagem moderna signica dizer que em N é fechado
em relação à soma e à multiplicação, isto é,
∀ x, y ∈ N ⇒ x + y ∈ N
(O símbolo
∀
e
x·y ∈N
signica para todo ou qualquer que seja).
No entanto,o conjunto
N
não é fechado com relação a subtração, este problema surgiu
com a impossibilidade de se subtrair um número do outro no conjunto
N quando o primeiro
era menor do que o segundo ou com a tentativa de se resolver problemas do tipo
Problema 1.1.
Resolva a equação
A resposta deste problema é
x = −a,
um número natural não existe em
signicado em
N
para todos
x + a = 0,
N.
a, b ∈ N,
com
onde
a ∈ N.
a ∈ N,
mas
−a ∈
/ N,
ísto é, o simétrico de
O resultado disso é que o simbolo
isto é, em
N
a−b
não tem
a subtração não é uma operação. Daí,
a necessidade de se construir um conjunto contendo uma cópia de
N
e onde pudéssemos,
além de somar e multiplicar, subtrair um elemento do outro sem qualquer restrição. Assim,
surgiu o conjunto dos números inteiros
Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }.
Vamos destacar alguns subconjuntos de
Z.
1. O conjunto dos números inteiros positivos
Z+ = {0, 1, 2, 3, · · · }.
2. O conjunto dos números inteiros negativos
Z− = {· · · , −3, −2, −1, 0}.
3. O conjunto dos números inteiros não-nulos
Z∗ = Z − {0} = {· · · , −3, −2, −1, 1, 2, 3, · · · }
Observe que todo número natural é um número inteiro, mas não vale reciproca, ísto é,
nem todo número inteiro é um número natural, temos
N⊂Z
a − b ∈ Z, ∀a, b ∈ Z,
Figura 7:
No conjunto
Z
os problemas anteriores não ocorrem, isto é,
mas
surge a impossibilidade de se efetuar a divisão de certos números inteiros ou de resolver
equações do tipo
Problema 1.2.
Resolva a equação
2x − 3 = 0.
Esta equação nos oferece como solução
x=
3
,
2
que por sua vez, não é um inteiro. Assim
criou-se o conjunto dos números racionais
Q=
na
b
: a, b ∈ Z,
com
o
b 6= 0
a
representa a divisão de a por b e, por isso, b é diferente de zero.
b
c
a
, y = ∈ Q, logo a, b, c, d ∈ Z e b, d 6= 0. Então, denimos em Q
Sejam x =
b
d
Note que
seguintes
operações
a
b
c
d
ad + bc
∈Q
bd
a c
ac
x · y = · =:
∈Q
b d
bd
(i) (Soma) x + y = + =:
(ii) (Multiplicação)
É possível provar que estas operações possuem as seguintes propriedades:
(A1 ) x+(y+z) = (x+y)+z, ∀x, y, z ∈ Q
(A2 ) x + y = y + x, ∀x, y ∈ Q
(A3 ) x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ Q
A cada
x∈Q
(M1 ) x·(y·z) = (x·y)·z, ∀x, y, z ∈ Q
(M2 ) x · y = y · x, ∀x, y ∈ Q
(M3 ) x · 1 = 1 · x = x, ∀x ∈ Q
existe um único elemento, denotado por
−x ∈ Q
x + (−x) = −x + x = 0
tal que
A cada
x∈Q
existe um único elemento, denotado por
x−1 =
1
∈Q
x
tal que
x · (x−1 ) = x−1 · x = 1
(D)
x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ Q
Com esta estrutura, dizemos que
(x + y) · z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ Q.
Q é um corpo.
são comunmente chamados de aposto e inverso, resepectivamente. Assim, se
x−1 =
b
,
a
−x e x−1
a
x = , então
b
Agora, note que, em verdade,
pois
x−1 =
c
a c
c
b
⇒ x · x−1 = 1 ⇒ · = 1 ⇒ = .
d
b d
d
a
Portanto,
a c
a c −1 a d
÷ = ·
= · ,
b d
b
d
b c
isto é, na divisão de uma fração por uma outra fração: conserva-se a primeira e multiplica-se
pelo inverso da segunda.
Observe que todo número inteiro é um número
racional, mas não vale reciproca, ísto é, nem
todo número racional é um número inteiro.
Z⊂Q
r
a
n
sempre
é
b
Figura 8:
Dado um número racional
√
Por exemplo.
2∈
/Q
a
b
e um número natural
n > 2,
nem
racional.
fato este demonstrado em [4]. Logo, um novo problema surge, mais
precisamente,
Problema 1.3.
A equação
x2 = 2
não admite solução em
Q.
Assim, surge a necessidade de introduzir um novo conjunto numérico que contém
Q
e
onde a radiciação pode ser denida. Tal conjunto é chamado conjunto dos números reais,
indicado por
R
e denido como
R = Q ∪ I,
onde
I
é conjunto dos números que não são racionais e denominados de irracionais. Logo,
todo recional não é irracional e vice-versa, em simbologia temos
Q∩I = ∅, ísto é, os conjuntos
são disjuntos. Em geral, temos
Figura 9: Os conjuntos são disjuntos
Figura 10:
Sejam
x, y ∈ R.
Então
x+y ∈ R
e
x · y ∈ R.
R=Q∪I
Com estas operações o conjunto
R
é um
corpo.
Todas as propriedades válidas em
dades podem ser vericadas em
Q são válidas em R,
além disso, várias outras proprie-
R, que omitiremos neste texto no intuito de não estendermos
demais este material didático, no entanto, sempre que necessário voltamos a recordar algumas delas. No que segue, os conjuntos numéricos embasarão todos os conceitos precedentes.
2
PRODUTO CARTESIANO DE CONJUNTOS
Uma ferramenta muito utilizada no estudo de funções é o plano cartesiano que nos
auxilia a "desenhar o gráco das aplicações, tornando assim o estudo mais visual e que
nos possibilita, até certo ponto, realizar um estudo geométrico das funções. Sendo assim,
começamos este material denindo o produto cartesiano entre conjuntos e mais adiante
faremos uma breve introdução ao plano cartesiano voltando a nossa atenção para entender
como vamos "desenhar o gráco de funções neste meio.
A = {1, 2, 3, 4}
Dados os conjuntos
denotado por
forma
(a, b)
A×B
onde
e
B = {x, y, z}
o produto cartesiano de
A
por
B
é o conjunto de todas as combinações possíveis dos pares ordenados da
a∈A
e
b ∈ B,
assim:
A × B = {(1, x), (2, x), (3, x), (4, x), (1, y), (2, y), (3, y), (4, y), (1, z), (2, z), (3, z), (4, z)}.
B × A:
Agora vamos fazer o contrário, ou seja,
B × A = {(x, 1), (x, 2), (x, 3), (x, 4), (y, 1), (y, 2), (y, 3), (y, 4), (z, 1), (z, 2), (z, 3), (z, 4)},
observamos que
A × B 6= B × A.
Assim, formalmente denimos o produto cartesiano da seguinte forma.
Denição 2.1.
Dado dois conjuntos não vazios
A
A × B = {(a, b)|a ∈ A
Exemplo 2.1.
Dado o conjunto
A = {1, 2},
e
e
B,
denimos o conjunto
b ∈ B}.
o produto cartesiano de
A
com ele mesmo é
dado por
A × A = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)}
O plano cartesiano é formado por duas retas numéricas perpendiculares, ou seja, formam
um ângulo de
90o
entre si. A linha vertical é chamada de eixo das ordenadas
horizontal é chamada de eixo das abscissas
(x).
(y).
Já a linha
Desse modo, o plano se divide em quatro
partes chamados de quadrantes que são numerados no sentido ante horário (conforme a
gura abaixo), onde no
temos os valores para
x
e
y
negativos, e no
1o
x
4o
quadrante temos os valores para
negativo e para
y
positivo, no
3o
quadrante temos os valores para
x
e
y
positivos, no
2o
quadrante
quadrante temos os valores para
x
positivo e para
y
negativo.
Figura 11: Plano cartesiano e seus quadrantes.
Para cada ponto
x
P
no ponto
P1
P
y,
que intercepta o eixo dos
P.
Tracemos, também, por
do plano tracemos uma paralela ao eixo
cuja coordenada
uma paralela ao eixo
chamada de ordenada de
x,
P.
x
é chamada de abscissa de
que intercepta o eixo dos
Portanto, cada ponto
de números reais, denotado por
(x, y)
P
y
no ponto
P2
cuja coordenada
y
é
do plano determina um par ordenado
e vice-versa. Como mostra a gura abaixo
Figura 12: Sistema de eixos perpendiculares
Sendo assim, um ponto que tem como abscissa
quadrante e será denotado por
(1, 3).
x=1
e ordenada
y=3
está no primeiro
Veja a seguir este ponto e outro sendo representados
no plano cartesiano.
É importante observarmos que o ponto
(1, 3)
é diferente do
(3, 1),
logo a ordem dos
valores importam.
Exemplo 2.2.
No exemplo 2.1 zemos o produto cartesiano do conjunto
A = {1, 2}
com
Figura 13: Pares ordenados
(3, 1), (1, 3), (−2, 2), (−3, −1), (2, −1)
representados no plano
cartesiano.
ele mesmo e obtemos o seguinte conjunto de pares ordenados
A × A = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)},
colocando esse produto no plano cartesiano temos o seguinte resultado
Figura 14: Representação o produto cartesiano
A×A
no plano cartesiano.
3
FUNÇÃO
Antes de iniciar esse capítulo, é importante nos fazer o seguinte questionamento: O que é
uma função? e qual a razão de estudarmos tal conteúdo? primeiramente, uma forma simples
de explicar função é dizendo que é uma relação entre dois conjunto não-vazios. Em nosso dia
a dia fazemos uso de funções (relações) as vezes sem perceber. Por exemplo, quando vamos
a padaria, sabemos que se o valor da unidade do pão é R$0,50, e pretendemos comprar 8
pães, então pagaremos R$4,00. Intuitivamente, sabemos que para ecnontrar a valor a ser
pago pelos 8 pães basta multiplicar 8 por
0, 5.
De modo geral, precisamos multiplicar
0, 5
pelo número de pães que deseja comprar. Desse modo, estamos relacionando o conjunto da
quantidade de pães com o conjunto dos números (valor real). E existem diversas situações
do nosso cotidiano que precisamos utilizar funções para resolver o problema. Assim, vamos
denir o que é uma função.
Denição 3.1. (Função) Dados dois conjuntos não-vazios A e B , uma função f
B
é uma aplicação que relaciona a cada elemento de A um único elemento de
Geometricamente, temos a seguinte situação.
e
B
é um conjunto com 6 elmentos.
Uma função
Se
f
A
de
B,
relacionados com um único elemento de
de
B
em
é um conjunto com 5 elementos
A
em
B
pode ser dada como no
além disso, todos os elementos de
B.
A
B.
diagrama a baixo (gura 15). Observe que não há nem um elemento do conjunto
esteja relacionado com um elemento de
de
A
A que não
estão sendo
Note ainda, que é possível existir um elemento
que "recebe dois elementos distintos de "A".
Figura 15: Diagrama da função
f
de
A
em
B.
Vejamos agora alguns exemplos relacionando o conjunto
A
com o conjunto
B
e classi-
caremos se tal relação é ou não função.
(a) Como há um elemento do conjunto A que
(b) Note que mesmo existindo elementos de
não está se relacionando com nem um ele-
A que se relacionam com o mesmo elemento
mento do conjunto B , esta relação não é uma
de B , esta relação é uma função, pois cumpre
função.
com a denição de função.
(c) Note que mesmo tendo todos os elementos
(d) Esta relação não é uma função, pois existe
de A se relacionando com um mesmo elemento
um elemento de A que está se relacionando
de B , esta relação é uma função, pois cumpre
com dois eleemntos distintos do conjunto B .
com a denição.
Figura 16: Exemplos de Relações entre um conjunto
Dados dois conjuntos não-vazios
A
em
B.
A
e
B,
denotamos por
Além disso, chamamos de domínio da função
denotamos por
Df .
f
A
e um conjunto
f : A −→ B ,
B.
f
a função
A,
ao conjunto de partida
Denominamos de contradomínio da função ao conjunto de chegada
E o subconjunto dos elementos de
B
de
que estão relacionados com algum elemento de
e
B.
A,
é
chamado de imagem (Imf ) que em notação de conjunto temos
Imf = {b ∈ B : b = f (a), para
Exemplo 3.1.
guinte função
Considere os conjuntos
f : A −→ B
O domínio da função
conjunto
B,
f
alguma
A = {a, b, c, d}
e
∈ A}.
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
tome a se-
dada pelo diagrama a baixo.
é o conjunto
Df = A = {a, b, c, d}.
e o conjunto imagem é dado por
Imf = {1, 2, 4}.
O contradomínio de
f
é o
Observação 3.1.
Observamos pelo Exemplo (3.1) que o conjunto imagem de
conjunto do contradomínio
Exemplo 3.2.
B
B,
ísto é,
f
é um sub-
Imf ⊂ B .
Voltando para o nosso exemplo inicial, considere
A
o conjunto dos pães e
x
de
0, 5,
ou
o conjunto dos números que representam o valor a ser pago por cada quantidade
pães, observe que o conjunto
seja
B
B = {y ∈ R : y = n.0, 5
pode ser escrito como o conjunto dos múltiplos de
com
n ∈ N}.
Assim, de modo geral temos que para cada
correspondente a quantidade de pães a função
dá o valor da multiplicação
de formação da função
0, 5.x,
ou seja,
f
aplicada em
f (x) = 0, 5.x,
x,
denotaremos por
f (x),
x
nos
a esta expressão chamamos de lei
f.
Com o objetivo de dar exemplos mais concretos e detalhar sobre lei de formação das
funções, vamos denir função real, que é o nosso foco de estudo nesse material.
Denição 3.2. (Função real)
A, B ⊆ R.
Uma função
f : A −→ B
é chamada função real quando
ou seja, é uma função que leva números reais em números reais.
Segue da denição anterior que a função do exemplo 3.2, dada por
f (x) = 0, 5.x
é uma
função real. Vejamos a seguir, mais exemplos de funções reais presentes no nosso dia a dia.
Exemplo 3.3.
Em todos os exemplos a seguir, temos
f : R −→ R.
1. Um taxista cobra uma taxa xa no valor de R$:5,00 e mais R$: 3,85 por quilômetro
rodado, assim, a lei de formação que representa o valor a ser pago por uma corrida
de
x
quilômetros é
f (x) = 5 + 3, 85x.
2. Um certo canhão atira um projétil descrevendo uma curva parabólica e o movimento
é modelado pela função
e
f (t)
f (t) = −8t2 + 120t,
sendo t a variável calculada em segundos
dado em metros.
3. Um professor da UFPA avalia a turma de cálculo 1 através de um teste cuja cada
questão correta o discente soma 1 ponto na nota nal, logo podemos relacionar o
número de questões que o aluno acertou no teste, com a nota que ele irá tirar, da
seguinte maneira
Observe que, esta situação poderia ser
modelado pela função
Número de acertos
(x)
Nota nal
f (x) = x, onde x
representa o número de acertos. Esta
f (x)
função é conhecida como função iden-
0
0
1
1
2
2
questão podemos restringir o domínio
5
5
de acordo com o desejado, ísto é, con-
10
10
forme o número de questão presente no
tidade. Note ainda, que no exemplo em
.
teste, acarretando assim, em uma restrição do contradomínio.
4. O preço do litro da gasolina em um posto é R$: 3,75, então
Litros
(x)
Valor a pagar
f (x)
1
3,75
2
7,5
3
11,25
5
18,75
10
37,5
···
···
x
f (x) = 3, 75x
.
O total a pagar depende da quantidade de gasolina abastecida. Podemos estabelecer
uma relação entre a quantidade de litros de gasolina e o valor a ser pago, seguinte lei
de formação
f (x) = 3, 75x,
onde
x
representa a variável litro.
As funções reais além da abordagem por conjuntos, podemos fazer uma abordagem geométrica. Utilizando o plano cartesiano podemos representar gracamente o comportamento
da função no decorrer do seu domínio.
Para tal, vamos denir o que é o gráco de uma
função.
Denição 3.3. (Gráco de uma função.)
A, B ⊆ R
O gráco de uma função
f : A −→ B ,
onde
é denido como sendo o conjunto
Graf (f ) = {(x, f (x)) : x ∈ Df } ⊂ R2 .
Desse modo, o gráco é um subconjunto do espaço
plano cartesiano.
a função
f
Assim, geometricamente temos.
associa um elemento
y = f (x) ∈ B ,
R2 ,
Dado
que pode ser representado no
f : A −→ B ,
para cada
x ∈ A
e assim podemos montar o par ordenado
(x, f (x)) que faz parte do gráco da função e pode ser posto no plano cartesiano da seguinte
forma.
Considere o eixo das abscissas (eixo x) como sendo o conjunto
ordenadas como sendo o conjunto
A
e o eixo das
B , portanto a representação do ponto (x, f (x)) será dada
como na gura abaixo.
Figura 17: Representação do par ordenado
(x, f (x)).
Exemplo 3.4.
Vamos esboçar o gráco da função 1 do nosso exemplo 3.3. Vimos que a
lei de formação da função é dada por
atribuiremos valores para a variável
os pares ordenados
(x, f (x))
x
f (x) = 5 + 3, 85x.
Agora, façamos uma tabela onde
e calcularemos o valor de cada
f.
Note que, não é possível
variável representa a quilometragem rodada.
conjunto
para formarmos
e por m plotar esses pontos no plano cartesiano.
Primeiramente, precisamos saber quais valores podemos atribuir a
o domínio da função
f (x)
x
x, ou seja, determinar
ser um número negativo, pois esta
Sendo assim, o domínio da função
f
é o
Df = {x ∈ R : x ≥ 0}.
Figura 18: Plotagem dos pontos do gráco da função
f (x) = 5 + 3, 85x.
Observe que os pontos seguem um ordem, como se estivessem formando uma reta, e de
fato está. A função
f (x) = 5 + 3, 85x
é uma função am, e está será a classe de função estudada no próximo capítulo.
disso, a imagem da função é o conjunto
Além
Imf = [5, +∞).
Para nalizar este capítulo vamos falar sobre a classicação de funções, dentre as quais
vamos destacar o conceito de função crescente e decrescente, injetora, sobrejetora e bijetora.
Vejamos a seguir a denição formal de cada uma dessas. A partir de agora denotaremos
por
D⊆R
o domínio das funções reais.
Denição 3.4. (Função Crescente.)
é crescente se, para todo
x1 , x2 ∈ D,
se
Dizemos que uma função
x1 < x2
Denição 3.5. (Função Decrescente.)
D ⊆ R,
é decrescente se, para todo
é injetora se, para todo
x1 , x2 ∈ D,
se
é sobrejetora se
Imf = R.
se
x1 < x2
x1 6= x2
então
f : D −→ R,
onde
f (x1 ) > f (x2 ).
f : D −→ R,
com
D ⊆ R,
f (x1 ) 6= f (x2 ).
Dizemos que uma função
Isto é, para todo
Denição 3.8. (Função Bijetora.)
então
Dizemos que uma função
Denição 3.7. (Função Sobrejetora.)
D ⊆ R,
f (x1 ) < f (x2 ).
Dizemos que uma função
x1 , x2 ∈ D,
Denição 3.6. (Função Injetora.)
então
f : D −→ R,onde D ⊆ R,
y ∈ R,
existe
f : D −→ R,
x∈D
tal que
com
f (x) = y .
Dizemos que uma função é bijetora se é injetora e
sobrejetora.
Utilizaremos estes conceitos para classicar cada uma das funções que serão apresentadas
no próximos capítulos.
4
FUNÇÃO AFIM
Este capítulo é dedicado ao estudo das funções ans, aquelas cujo o gráco são retas.
Antes de iniciar a denição e estudo de funções am, vamos falar da função real mais
simples, a função constante.
Denição 4.1. (Função Constante.)
forma
f (x) = a,
onde
Uma função
f : R −→ R
é dita constante se é da
a ∈ R.
Uma função constante é aquela no qual para qualquer valor dado a
x
a função assume
o mesmo valor xo.
Exemplo 4.1.
A função
f (x) = 2,
todo valor real que atribuímos a
x
é uma função cujo domínio é
a função
f
Df = R
e assim para
sempre vai associar o valor 2, logo o gráco
da função é uma reta paralela ao eixo
x
que intercepta o valor
2
O gráco da função real constante
f
é dado pelo conjunto
Graf (f ) = {(x, f (x)) : x ∈
R} = {(x, a) : x ∈ R},
f
y.
ísto é, os seus pontos sempre descreverão uma reta paralela ao eixo
x e que interceptará o eixo y
o gráco de
no eixo
no valor xado
a, ou seja, dado a função f (x) = a, onde a ∈ R,
será da forma
A função constante não é injetora e nem sobrejetora, pois, dada a função
Imf = {a},
logo
distintos em
Df = R
f
Imf 6= R.
temos
Portanto,
f (x1 ) = a
f
e
f (x) = a temos
não é sobrejetora. Por outro lado, dados
f (x2 ) = a,
ou seja,
f (x1 ) = f (x2 ).
x1
e
x2
Concluímos que
não é injetora.
Um caso particular de função am é a função linear que iremos apresentar agora.
Denição 4.2. (Função Linear.)
f (x) = ax,
para todo
x ∈ R,
onde
Uma função
a ∈ R∗ .
f : R −→ R
é linear se é da forma
(a) Se a > 0, o gráco ca na
(b) Se a < 0, o gráco ca na
parte superior do eixo y .
parte inferior do eixo y .
Figura 19: Grácos de funções constantes.
O nome "função linear se dá devido ao fato de que a função satisfaz a seguinte propriedades: dados
temos que
x1 , x2 ∈ Df
f (x1 ) = ax1
e
e
α∈R
não-nulo, então
f (x2 ) = ax2 ,
f (αx1 + x2 ) = αf (x1 ) + f (x2 ).
De fato,
então
f (αx1 + x2 ) = a(αx1 + x2 ) = a(αx1 ) + ax2 = α(ax1 ) + ax2 = αf (x1 ) + f (x2 ).
Um propriedade interessante da função linear é que
0.
f (0) = 0.
Com efeito,
f (0) = a.0 =
O que implica que o gráco de uma função linear é uma reta que passa pela origem e
quanto maior em módulo o valor dado a constante
Exemplo 4.2.
da reta
g(x)
Dadas as funções lineares
é maior que a de
a
f (x) = 2x
maior é a inclinação da reta.
e
g(x) = 15x,
observe que a inclinação
f (x).
Figura 20: Gráco das funções
f (x) = 2x
e
g(x) = 15x.
O coeciente da função linear carrega uma interpretação geométrica muito importante,
principalmente na denição de limite de funções.
f (x) = ax
e tome um ponto
x
Sendo assim, considere a função linear
genérico no domínio de
no gráco da função. Tomando os pontos
retângulo, ver gura 4, onde o
α
(0, 0), (x, 0)
e
f,
isso nos dá um ponto
(x, f (x)),
formamos um triângulo
é o ângulo de inclinação da reta.
Assim, usando as
relações fundamentais da trigonometria num triângulo retângulo temos
seja,
f (x) = tan(α)x.
E como
f (x) = ax,
(x, f (x))
tan α =
f (x)
, ou
x
segue que
tan(α)x = ax =⇒ tan α = a.
Portanto, o coeciente
a
da função linear é o valor da tangente do ângulo de inclinação
da reta.
Figura 21: Interpretação geométrica do ângulo de inclinação da reta da função linear
f (x) =
ax.
O crescimento e decrescimento da função linear da forma
de
a,
pois se
a
f (x) = ax
é positivo a função é estritamente crescente, e se
a
depende do sinal
é negativo a função é
estritamente decrescente.
A função linear é injetora. De fato, dada a função linear
mostrar que dados
dados
x1 , x2 ∈ Df
x1 , x2 ∈ Df
tal que
f (x1 ) = f (x2 ),
f (x) = ax, com a 6= 0, devemos
isto implica que
x1 = x2 .
temos
f (x1 ) = f (x2 ) ⇐⇒ ax1 = ax2 ⇐⇒ x1 = x2 ,
como
f
é uma função linear genérica, segue que toda função real linear é injetiva.
Então,
(a) Se a > 0 a função é estritamente crescente.
(b) Se a < 0 a função é estritamente decrescente.
Figura 22: Grácos de funções lineares.
A função linear é sobrejetora. Com efeito, dados a função linear
e
y∈R
f (x) = ax,
com
a 6= 0
qualquer, temos
y
f (x) = y ⇐⇒ ax = y ⇐⇒ x = .
a
Então, dado
y∈R
qualquer, existe
x=
y
a
∈D
tal que
f ( ay ) = y .
Logo, toda função linear
é bijetora.
Após fazer uma abordagem sobre as funções constantes e lineares, vamos nalmente
denir o que é uma função am.
Denição 4.3. (Função Am.)
com
a 6= 0
e
Uma função am é uma função da forma
f (x) = ax + b,
a, b ∈ R.
A seguir apresentamos alguns exemplos de funções ans, identicando os coecientes
"a e "b de cada uma das funções.
Exemplo 4.3.
Seja
f : R −→ R
uma função real dada por:
1.
f (x) = 2x + 3
2.
f (x) = −10x + 25
é uma função am onde
a = −10
3.
f (x) = −9x − 100
é uma função am onde
a = −9
é uma função am onde
a=2
e
b = 3;
e
e
b = 25;
b = −100;
4.
f (x) = 12 x −
5.
f (x) = −30
√
2
é uma função am onde
x = − ab
(lembre-se que
f (x) = ax + b,
a 6= 0).
temos um ponto do gráco dado por
b,
1
e
2
b=
√
2;
não é uma função am, pois a 6= 0.
Dada uma função am genérica
logo
a=
O ponto
(− ab , 0).
observe que
x = − ab
é chamado raiz da equação, ou seja,
Por outro lado, se
assim obtemos um outro ponto do gráco dado por
f (x) = 0 quando ax + b = 0,
(0, b).
x = 0 temos f (0) = a0+b =
Como o gráco de uma função
am é uma reta inclinada, tal gráco intercepta o eixo x no valor
b.
e
− ab ,
e no eixo y no valor
A inclinação e o crescimento/decrescimento da função depende do sinal das constantes
b,
a
vejamos os grácos das funções am do exemplo anterior e observar qual é a inuência
do sinal de tais constantes.
(a) f (x) = 2x + 3.
(c) f (x) = −9x − 100.
(b) f (x) = −10 + 25.
√
(d) f (x) = 12 x − 2
Figura 23: Grácos de funções ans.
Note que as funções
a
√
f (x) = 2x+3 e f (x) = 12 x− 2 tem grácos crescentes e a constante
são positivas, e as funções
consequentemente a constante
f (x) = −10x + 25
a são negativas.
e decrescimento da função. A constante
b
eixo y, assim, se
b
e
f (x) = −9x − 100
Assim, o sinal de
são decrescentes e
a inuência no crescimento
indica o ponto de intercepção do gráco com o
é negativo, como nas funções
f (x) = −9x − 100
e
f (x) = 21 x −
√
2,
o
b
é
gráco da função intercepta o eixo y em um ponto a baixo do eixo x, e no caso onde
positivo, como nas funções
f (x) = 2x + 3
e
f (x) = −10x + 25,
o gráco intercepta o eixo y
a cima do eixo x.
Vamos mostrar algebricamente que quando a constante
ax + b
é decrescente. De fato, dados
x1 , x2 ∈ R
de modo que
a
é negativa a função
x1 < x2 ,
f (x) =
assim
x1 < x2 =⇒ ax1 < ax2 =⇒ ax1 + b < ax2 + b =⇒ f (x1 ) < f (x2 ),
segue da denição 3.4 que
f
é crescente. De modo análogo, mostramos que quando
a<0
a
função é decrescente. Assim, de modo geral temos as seguintes situações, apresentadas na
gura 4.
Toda função am é bijetora. Com efeito, dados
seja,
ax1 + b = ax2 + b
sobrejetora.
Assim,
o que implica
De fato, seja
y = f (x)
o que implica
f
se
y ∈ R
y = ax + b,
ser sobrejetora.
x1 = x 2 .
x1 , x2 ∈ R
Logo,
f
x=
f (x1 ) = f (x2 ),
é injetora. Resta provar que
qualquer, queremos encontrar
logo,
tal que
y−b
(lembre-se que
a
x ∈ R
a 6= 0).
tal que
Portanto,
ou
f
é
f (x) = y .
f ( y−b
) = y,
a
(a) Se a > e b > 0 a função é cres-
(b) Se a > e b < 0 a função
cente e tem o gráco semelhante a
é crescente e tem o gráco se-
este.
melhante a este.
(c) Se a < e b < 0 a função é
(d) Se a < e b > 0 a função é de-
decrescente e tem o gráco se-
crescente e tem o gráco semelhante
melhante a este.
a este.
Figura 24: Grácos da função am
f (x) = ax + b
estudando o sinal das constantes
a
e
b.
Agora que já denimos e estudamos o comportamento dos grácos das funções constantes, linear e am, vamos exercitar um pouco.
Exercício 4.1.
Para cada uma das funções a seguir classique em constante, am e/ou
linear e esboce o gráco.
1.
f (x) = 1;
5.
f (x) = −12x;
2.
f (x) = 2x + 9;
6.
f (x) = −8x − 3;
3.
f (x) = −4x;
7.
f (x) = 32 x;
4.
√
f (x) = − 3;
8.
f (x) = 0;
9.
f (x) =
−3
x
2
+ 7;
10.
y(x) = − π3 x −
√
7.
5
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Este capítulo é dedicado ao estudo das funções quadráticas, ou seja, as funções poli-
nomiais de grau 2.
Destacamos que o gráco desse tipo de função é uma parábola, cuja
concavidade depende do sinal de uma das constantes.
Denição 5.1. (Função Quadrática.)
dada por
f (x) = ax2 + bx + c,
Exemplo 5.1.
com
Uma função quadrática é uma função
f : R −→ R
a 6= 0.
Listamos a seguir alguns exemplos de funções quadráticas destacando quais
são seus coecientes.
• f (x) = 2x2 + 4x + 1,
logo
• f (x) = −3x2 + 5x + 10,
• f (x) = x2 − 81,
logo
• f (x) = −12x2 + 4x,
• f (x) = −x2 ,
logo
a = 2, b = 4, c = 1;
logo
a = −3, b = 5, c = 10;
a = 1, b = 0, c = −8;
logo
a = −12, b = 4, c = 0;
a = −1, b = 0, c = 0.
O gráco da função quadrática é uma parábola, cuja concavidade depende do sinal do
coeciente
a.
(a) Concavidade positiva se
(b) Concavidade negativa se a < 0.
a > 0.
Figura 25: Concavidade do gráco da função quadrática de acordo com o sinal do coeciente
a.
Considere a seguinte função quadrática
desse modo
f
f (x) = x2 +1, observe que f (−2) = 5 e f (2) = 5,
não é injetora. Agora, será que existe
x∈R
tal que
f (x) = 0?
Queremos
encontrar
x
ocorre, pois
que satisfaça
x2 ≥ 0.
x 2 + 1 = 0,
então,
f
ou seja
x2 = −1.
Porém, essa última igualdade não
não é sobrejetora. Além disso não possui raiz real.
Vamos agora fazer a dedução da equação de Bhaskara, muito utilizada para o cálculo
das raízes de funções quadráticas. Dada a função
resolver a equação
ax2 + bx + c = 0.
f (x) = ax2 + bx + c,
com
a 6= 0,
vamos
Assim, manipulando a equação do lado esquerdo,
temos:
2
ax + bx + c =
=
=
=
=
Agora,
b
c
2
a x + x+
a
a
b2
b
b2
c
2
a x + x+ 2 − 2 +
a
4a
4a
a
2
b
b
b2
c
2
a x + x+ 2 +a − 2 +
a
4a
4a
a
2
2
b + 4ac
b
+a −
a x+
2a
4a2
"
#
2
b
∆
a x+
(∆ = b2 + 4ac).
− 2
2a
4a
ax2 + bx + c = 0
, se e somente se,
a
h
x2 +
b 2
2a
−
∆
4a2
i
= 0.
Como
a 6= 0,
2
b
∆
x+
− 2 = 0
2a
4a
2
∆
b
.
=
x+
2a
4a2
Precisamos agora analisar o sinal de
•
Se
∆≥0
Delta.
então
(6)
Logo
temos
r
b
∆
x+
= ±
2a
4a2 √
b
∆
x = − ±
2a
2a
−b ± ∆
x =
2a
Desse modo temos duas raízes para a função, dadas por
•
Se
∆<0
temos
∆
4a2
<0
e
x+
no conjunto dos números reais.
b 2
2a
≥ 0,
x1 =
−b + ∆
2a
e
x2 =
−b − ∆
.
2a
logo a igualdade (6) não é possível ocorrer
Em resumo, temos:
•
Se
∆>0
•
Se
∆ = 0,
•
Se
∆<0
então a função tem duas raízes
a função terá duas raízes
x1
e
x1
x2
e
x2
reais e distintas;
reais e iguais, dadas por
a função não possui raiz real, pois não existe
x∈R
tal que
x1 = x2 =
−b
;
2a
ax2 + bx+ c = 0.
Vejamos agora como esboçar o gráco de uma função quadrática utilizando somente o
sinal de
∆
e do coeciente
a.
Considere a função quadrática
f (x) = ax2 + bxc ,
o gráco da
função se dada por
(a) Se a > 0 e ∆ > 0.
(b) Se a > 0 e ∆ = 0.
(c) Se a > 0 e ∆ < 0.
(d) Se a < 0 e ∆ > 0.
(e) Se a < 0 e ∆ = 0.
(f) Se a < 0 e ∆ < 0.
Figura 26: Grácos de funções quadráticas analisando o sinal de
∆
e
a.
Nos exemplos a seguir vamos esboçar os grácos de algumas funções quadráticas.
Exemplo 5.2.
Dada a função
função. Assim, como
f (x) = x2 − x − 6,
a = 1, b = −1
e
c = −6
primeiro vamos determinar o delta desta
então
∆ = (−1)2 − 4 ∗ 1 ∗ (−6) = 25.
Como
∆>0
então a função possui duas raízes reais distintas, dadas por
√
−(−1) + 25
x1 =
=3
2∗1
Além disso, fazendo
do gráco de
x = 0
√
−(−1) − 25
x2 =
= −2.
2∗1
e
temos
f (0) = −6.
f : (0, −6), (3, 0), (−2, 0).
Desse modo temos os seguintes pontos
Utilizando a informação de que o gráco é uma
parábola, temos o seguinte gráco.
Figura 27: Gráco da função
Exemplo 5.3.
temos
f (x) = x2 − x − 6.
Vamos fazer o mesmo para a função
a = −1, b = −13
e
c = −36,
g(x) = −x2 − 13x − 36.
Neste caso
assim
∆ = (−13)2 − 4 ∗ (−1) ∗ (−36) = 25.
Do mesmo modo que o exemplo anterior, como
∆ > 0
a função possui duas raízes reais
distintas dadas por
√
−(−13) + 25
x1 =
= −9
2 ∗ (−1)
Agora temos
e
(−4, 0).
dada por
f (0) = −36.
Segue do fato de
e
√
−(−13) − 25
x2 =
= −4.
2 ∗ (−1)
Assim, obtemos os seguintes pontos do gráco
a<0
(0, −36), (−9, 0)
que a concavidade da parábola é negativa, logo o gráco é
Figura 28: Gráco da função
g(x) = −x2 − 13x − 36.
Já comentamos no início da seção que a função quadrática não é sobrejetora, logo existem
números reais que não pertencem ao conjunto imagem.
Além disso, note que quando o
gráco da função tem concavidade positiva a parábola possui um ponto que distingue a
função do seguinte modo, do lado esquerdo ao ponto, a função é decrescente, e a direita
do ponto, a função é crescente. Ou seja, tal ponto é o menor valor que a função atinge (o
menor valor para a imagem da função). Este ponto é chamada ponto de mínimo.
Figura 29: Ponto de mínimo de uma função quadrática cujo coeciente
a > 0.
Do mesmo modo, se a concavidade do gráca da função quadrática for negativa, a função
terá um ponto onde ao lado esquerdo do ponto, a função é crescente, e do lado direito ao
ponto, a função é decrescente. Neste caso, o ponto é o maior valor que a função pode atingir,
chamado ponto de máximo.
Figura 30: Ponto de máximo de uma função quadrática cujo coeciente
a < 0.
Para calcular o ponto de máximo ou mínimo de uma função quadrática vamos utilizar
o resultado do teorema a seguir.
Teorema 5.1.
i)
ii)
Se
Se
a<0
a>0
Seja
então
então
Exemplo 5.4.
f : R −→ R
dada por
f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0.
yM =
−∆
4a
é máximo de
f
e
xM =
−b
,
2a
além disso
Imf = (−∞, yM ];
ym =
−∆
4a
é mínimo de
f
e
xm =
−b
,
2a
além disso
Imf = [ym , ∞).
Considere a função
f (x) = 2x2 − 4x + 5,
encontre as raízes de
f,
o ponto
de máximo ou mínimo, e determine o conjunto imagem.
Solução:
b = −4
e
Primeiro vamos calcular o
c = 5,
∆
para poder determinar as raízes. Temos
a = 2,
logo
∆ = (−4)2 − 4 ∗ 2 ∗ 5 = −24.
Assim,
x1 =
4+
√
−24
e
4
x2 =
4−
√
−24
.
4
Como Delta é negativo, a função não possui raízes reais. Então o gráco não intercepta o
eixo x. Agora, desde que
a=2>0
então o gráco da função tem concavidade positiva, o
que implica na existência de um ponto de mínimo, dado por
ym =
−∆
−(−24)
=
=3
4a
4∗2
ou seja, o ponto de mínimo é
Desse modo temos
(1, 3).
Imf = [3, ∞),
e
xm =
−b
−(−4)
=
= 1,
2a
2∗2
Logo, o menor valor para a imagem da função é
já que
a > 0.
Por m, temos o seguinte gráco
y = 3.
Figura 31: Gráco da função
f (x) = 2x2 − 4x + 5.
Toda equação quadrática pode ser fatorada.
grau
f (x) = ax2 + bx + c,
sejam
x1
e
x2
Desse modo, dada a função do segundo
f
as raízes de
então
f (x) = (x − x1 )(x − x2 ).
De
fato,
(x − x1 )(x − x2 ) = x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2
√
√ !
−b + ∆ −b − ∆
= x2 −
+
x+
2a
2a
√ !
−b + ∆
2a
√ !
−b − ∆
2a
−2b
b2 − ∆
x+
2a
4a2
2
b
b − (b2 − 4ac)
= x2 + x +
a
4a2
c
b
= x2 + x +
a
a
2
= ax + bx + c = f (x).
= x2 −
Exemplo 5.5.
Vamos fatorar
f (x) = −7x2 − 5x + 2,
para isso precisamos calcular as raízes
da função. Assim,
∆ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 ∗ (−7) ∗ 2 = 81.
√
√
−b + ∆
5 + 81
x1 =
=
= −1
2a
2 ∗ (−7)
√
√
−b − ∆
5 − 81
2
x2 =
=
= .
2a
2 ∗ (−7)
7
portanto, a função
f
pode ser fatorada como
f (x) = (x − x1 )(x − x2 ) = (x + 1)(x − 72 ).
Observe que ao fatorar uma função quadrática
igualdade
f (x) = ax2 +bx+c encontramos a seguinte
(x − x1 )(x − x2 ) = x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 .
equação temos que calcular
ax2 + bx + c = 0,
Logo,
como
Assim, para determinar as raízes da
a 6= 0,
e obter
b
c
x2 + x + = 0
a
a
podemos dividir a equação por
a
Por outro lado, as raízes também satisfazem a igualdade
x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0.
Comparando com a igualdade anterior, temos
b
= x1 + x2
a
c
= x1 x2 .
a
e
(7)
Portanto, uma outra forma de determinar as raízes de uma função quadrática é encontrar
dois números que satisfação as igualdades de (7).
Exercício 5.1.
Para as funções a seguir Calcule as raízes, o ponto de máximo ou mínimo,
o conjunto imagem e esboce os grácos.
1.
f (x) = x2 − 3x + 4;
2.
f (x) = −x2 − 5x + 4;
3.
f (x) = 2x2 + x;
2
4.
f (x) = −8x + 4;
5.
f (x) = 5x2 + 6x + 9;
Exercício 5.2.
6.
f (x) = 25x2 − 10x + 1;
7.
f (x) = −10x2 − 45;
8.
f (x) = −3x2 − 3x − 6;
9.
f (x) = 10x2 − 7x + 8.
Fatore as funções quadráticas a seguir.
1.
f (x) = 2x2 − 3x − 5;
6.
f (x) = 21 x2 − x − 8;
2.
f (x) = 2x2 − x;
7.
f (x) = 51 x2 + 4x − 9;
3.
f (x) = −x2 − x + 6;
8.
f (x) = 81 x2 + 4x − 11;
4.
f (x) = −3x2 − 3x + 6;
9.
f (x) = − 23 x2 + 3x;
5.
f (x) = 5x2 − 3x − 7;
10.
f (x) = − 73 x2 + 7.
6
INEQUAÇÕES
f (x) <
O objetivo neste capítulo é realizar o estudo das soluções de inequações do tipo
g(x) (f (x)
ou igual a
menor que
g(x)), f (x) > g(x) (f (x)
g(x))ou f (x) ≥ g(x) (f (x)
Denição 6.1.
e
g(x)), f (x) ≤ g(x) (f (x)
g(x)),
maior ou igual a
f : Df −→ R
Sejam
maior que
g : Dg −→ R,
onde
f
e
g
menor
são funções reais.
funções cujo os domínios
x
são subconjuntos dos números reais. Chamamos inequações na incógnita
Df
Dg
e
a qualquer uma
das sentenças abaixo:
• f (x) < g(x);
Exemplo 6.1.
• f (x) ≤ g(x);
3x − 5 < 5
2)
x2 + 3x − 4 ≥ x3
√
• f (x) ≥ g(x).
Vejamos alguns exemplos.
1)
3)
• f (x) > g(x);
é uma inequação com
x + 3 > 3x
f (x) = 3x − 5
é uma inequação onde
é uma inequação onde
e
g(x) = 5;
f (x) = x2 + 3x − 4
f (x) =
√
x+3
e
e
g(x) = x3 ;
g(x) = 3x .
Resolver uma inequação signica encontrar os valores ou intervalos reais ao qual a variável
x
pode assumir os valores e satisfazer a desigualdade.
Para tanto, como estamos
trabalhando com funções, devemos determinar o conjunto onde podemos encontrar a solução da inequação.
Denição 6.2. (Solução da inequação.)
f (x) < g(x)
f (x) < g(x)
ao conjunto
se
D = Df ∩ Dg .
D = R.
e
domínio de validade da inequação
Dizemos que
x0 ∈ D
é solução da inequação
f (x0 ) < g(x0 ).
Por exemplo, considere a inequação
3x2 + 2x + 1
chamamos
g(x) = 9x2 .
Note que
x=1
Note que
3x2 + 2x + 1 < 9x2 ,
Df = R
e
Dg = R,
é solução da inequação, pois
podemos relacionar
f (x) =
assim o domínio de validade é
f (1) = 6
e
g(x) = 9,
logo
f (1) < g(1).
Existem outras soluções para a inequação?
Denição 6.3. (conjunto Solução.)
conjunto
O conjunto solução da inequação
f (x) < g(x)
é o
{x0 ∈ Df ∩ Dg |f (x0 < g(x0 ))}.
Vejamos no exemplo a seguir como determinar o conjunto solução de uma inequação
envolvendo funções do primeiro grau.
Figura 32: Gráco das funções
Exemplo 6.2.
−3x.
Seja
f (x) = −5x + 4
e
g(x) = −3x,
e
g(x) = −3x.
−5x + 4 <
vamos resolver a inequação
Assim,
⇔ −5x + 4 < −3x
(somando 3x na desigualdade)
⇔ −2x + 4 < 0
(somando -4 na desigualdade)
⇔
−2x < −4
⇔
x > 2
(multiplicando a desigualdade por
Logo, o conjunto solução da inequação é
o valor
x=2
o gráco da função
valores da imagem da função
x
f (x) = −5x + 4
g
g(x)
{x ∈ R|x > 2}.
− 21 )
Gracamente, observe que após
ca a cima do gráco da função
f (x),
ou seja, os
são maiores que os valores da imagem da função
f,
quando
assume valores a cima de 2.
Observação 6.1.
Lembre-se que ao multiplicar uma inequação por um número negativo, a
inequação troca o sentido. Por exemplo, temos
dade torna-se
−3 > −8,
e não
3 < 8,
multiplicando por
−1
esta desigual-
−3 < −8.
Dizemos que duas inequações são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto solução.
Assim, a inequação
−5x + 4 < −3x
equivalentes as inequações
Exemplo 6.3.
−2x < −4
A inequação
é equivalente a inequação
e
x
e que serão
x > 2.
3x + 1 ≤ 4x2
conjunto solução são os valores para
−2x + 4 < 0,
é equivalente a
4x2 − 3x − 1 ≥ 0,
tal que a função quadrática
ou seja, o
f (x) = 4x2 − 3x − 1
é
não negativa. Gracamente, são as abscissas dos pontos cujo o gráco ca acima do eixo
x.
Resolvendo a equação quadrática, encontramos que as raízes são
constante que acompanha o termo quadrático é positivo (a
com concavidade para cima que corta o eixo x nos valores
= 4),
−0, 25
e
1,
como a
o gráco é uma parábola
−0, 25 e 1, veja o esboço do gráco
abaixo.
Figura 33: Gráco da função quadrática
f (x) = 4x2 − 3x − 1.
Desse modo, a solução para a inequação são os valores para
e acima de
1,
x
que estão abaixo de
pois para esses valores o gráco da função está a cima do eixo
conjunto solução é a união de dois intervalos semi-abertos, já que os valores
também são soluções para a inequação. Então,
x.
−0, 25
Logo, o
−0, 25
e
1
S =] − ∞, −0, 25] ∪ [1, ∞[.
6.1 Inequações simultâneas
Nesta seção vamos estudar inequações do tipo
h(x),
onde
f, g, h : R −→ R.
g(x) < h(x),
Exemplo 6.4.
x
ou
Ou seja, devemos resolver duas inequações
ou (no outro caso),
os valores para a incógnita
f (x) < g(x) < h(x),
f (x) ≤ g(x)
e
g(x) ≤ h(x).
f (x) ≤ g(x) ≤
f (x) < g(x)
e
Assim, o conjunto solução são
que satisfazem as duas inequações simultaneamente.
Vamos resolver a inequação
4x + 3 < x < −2x + 5.
Desse modo, temos que
resolver duas inequações
4x + 3 < x
(8)
e
x < −2x + 5.
(9)
Resolvendo a inequação (8):
4x + 3 < x ⇔ 3x + 3 < 0 ⇔ 3x < −3 ⇔ x < −1.
Logo, a solução da inequação (8) é
S1 =] − ∞, −1[.
Vamos resolver agora a inequação (9):
5
x < −2x + 5 ⇔ 3x < 5 ⇔ x < .
3
Então, a solução para a inequação (9) é
ção de
S1
com
S2 ,
S =] − ∞, −1[.
observe os grácos das funções
que a reta referente a função
acima da reta da função
−1
A solução geral é dada pela interse-
ou seja, os valores que satisfazem simultaneamente as duas inequações.
Portanto, a solução é
valor
S2 =] − ∞, 53 [.
4x + 3, x
−2x + 5
−2x + 5.
Geometricamente, temos a seguinte interpretação,
e
−2x + 5,
note que após o valor de
está a cima da reta identidade (f (x)
Portanto, para todos os valor de
essa ordem se mantem, logo o resultado para a inequação
de fato o intervalo
x
4x + 3, x
e
= x)
temos
e esta está
que estão abaixo do
4x + 3 < x < −2x + 5
] − ∞, −1[.
Figura 34: Grácos das funções
x = −1
−2x + 5.
é
Exemplo 6.5.
1
Vamos resolver a inequação 2 x
≤
1 2
x
2
− 1 ≤ −x + 2.
Logo, temos que
resolver duas inequações dadas por
1
1
x ≤ x2 − 1,
2
2
(10)
1 2
x − 1 ≤ −x + 2.
2
(11)
Primeiro vamos resolver a inequação (10).
1
1 2
x ≤
x −1
2
2
1 2 1
0 ≤
x − x − 1,
2
2
1 2
Desse modo, devemos estudar o sinal da equação quadrática 2 x
intervalo onde a função é positiva. Assim, encontramos
a=
1
2
> 0,
∆=
− 12 x − 1
9
e
4
e determinar o
x1 = −1, x2 = 2,
como
a concavidade do gráco é positiva. Então, o sinal da equação é dada pela gura
1 2
a seguir. Logo, a função 2 x
− 12 x − 1
é positiva no intervalo
Figura 35: Sinal da função quadrática
consequentemente, no intervalo
S1 ,
1 2
x
2
S1 =] − ∞, −1] ∪ [2, +∞[,
− 12 x − 1.
1
também ocorre a desigualdade 2 x
≤ 21 x2 − 1.
Agora vamos resolver a inequação (11).
1 2
x − 1 ≤ −x + 2
2
1 2
x + x − 3 ≤ 0.
2
1 2
Ou seja, devemos encontrar o intervalo onde a função 2 x
calculando as raízes e o delta, temos
√
√
∆ = 7, x1 = −1 − 7
+x−3 é
√
e −1 + 7.
negativa.
Como
a=
1 2
a concavidade é positiva, desse modo, o sinal será dada por Assim, a função 2 x
negativa no intervalo
S2 = [−1 −
√
√
7, −1 + 7].
1
Portanto, a solução para a inequação 2 x
√
[−1, −1 + 7].
Exercício 6.1.
≤ 12 x2 − 1 ≤ −x + 2
é dada por
Encontre o conjunto solução das seguintes inequação.
Então,
1
2
> 0,
+x−3
é
S = S1 ∩ S2 =
1.
3x + 2 < x − 1;
3
8. 4 x
2.
−2x + 5 < 5x;
9.
3.
9x < 15x + 3;
10.
−2x2 + 5 < 6x;
4.
−3x − 9 < 2x − 6;
11.
5x2 > 4x2 − 6;
5.
15x − 8 > 0;
12.
− 12 x2 ≥ x2 − 9;
6.
−24x + 10 ≤ 4x;
6 2
13. 5 x
1
7. 2 x
+ 8 ≥ 10x − 5;
14.
− 5 ≤ 4x + 11;
− 57 x + 6 >
3
;
8
+ 5x < 58 x − 10;
7x2 − 8x + 5 ≤ −3x2 + 3x − 20.
7
MÓDULO
Este capítulo é dedicado ao estudo de equações, inequações e funções modulares.
Denição 7.1.
O valor absoluto de um número real
x
é denido por:

 x, se x ≥ 0
|x| =
 −x, se x < 0.
Exemplo 7.1.
Vejamos agora alguns exemplos de módulos de números reais.
|0| = 0, | − 2| = 2, |4| = 4, | − 101| = 101.
Para todo
x, y ∈ R
são válidas as seguintes propriedades, cujo as demonstrações serão
omitidas:
1.
|x| ≥ 0;
2.
|x| = 0 ⇐⇒ x = 0;
3.
|x2 | = x2 ;
4.
|xy| = |x|.|y|;
5.
x ≤ |x|;
6.
|x + y| ≤ |x| + |y|;
7.
|x − y| ≥ |x| − |y|;
8.
|x| < a
e
a > 0,
então
−a ≤ x ≤ a;
9.
|x| ≥ a
e
a > 0,
então
x≥a
ou
x ≤ −a.
7.1 Equações Modulares
Uma equação modular é uma igualdade de expressões envolvendo módulo.
alguns exemplos resolvidos.
Vejamos
Exemplo 7.2.
Vamos resolver em
R
a equação
|3x − 1| = 2.
3x − 1,
se 3x − 1 ≥ 0
Primeiro, vamos usar a
denição de módulo, assim
|3x − 1| =
Assim, temos
3x − 1 = 2
ou





e



 −(3x − 1), se 3x − 1 < 0.
−(3x − 1) = 2.
Portanto, devemos resolver as duas igualdades.
3x − 1 = 2
−(3x − 1) = 2
3x = 3
−3x = 1
x=1
x = − 31 .
Portanto, a solução para a equação modular
Exemplo 7.3.
|3x − 1| = 2
Considere a equação modular
é
S = {− 31 , 1}
|3x + 2| = |x − 1|,
primeiro vamos analisar
cada módulo separadamente. Assim temos
|3x + 2| =





3x + 2,
se x ≥
− 32
|x − 1| =
e



 −(3x + 2), se x < − 2 .
3





x − 1,
se x ≥ 1
e



 −(x − 1), se x < 1.
Logo estamos com a seguinte conguração
Figura 36: Estudo do sinal das expressões
Temos três intervalos para serem estudados,
3x + 2
e
] − ∞, − 32 [, [− 23 , 1[
x − 1.
e
[1, +∞[.
Vamos ana-
lisar.
1. Quando
x < − 23
temos
−3x − 2 = −x + 1,
−(3x + 2)
e
−(x − 1),
obtendo como resposta
logo devemos resolver a igualdade
x = − 32 .
2. Para
x ∈ [− 23 , 1[
−(x − 1),
3. Agora se
temos
3x + 2
cuja solução é
x ∈ [1, +∞[
e
−(x − 1)
, assim vamos resolver a igualdade
3x + 2 =
x = − 14 .
temos
3x + 2
e
x−1
3x + 2 = x − 1,
então obtemos a equação
x = − 32
resolvendo, temos como resposta
Portanto, o conjunto solução para a equação modular
|3x + 2| = |x − 1|
é
S = {− 41 , − 23 }.
O exemplo a seguir é uma equação modular envolvendo uma expressão do segundo grau.
Exemplo 7.4.
Vamos resolver a equação
denição de módulo para as expressões
|x2 + x − 5| =





|x2 + x − 5| = |4x − 1|.
x2 + x − 5
e
4x − 1.
√
se x ∈ (−∞, −1−2
x2 + x − 5,
e



 −(x2 + x − 5), se
e
|4x − 1| =





Assim
21
√
]
ou
√
x ∈ ( −1−2
4x − 1,
Primeiro, usamos a
se x ≥
x ∈ [ −1+2
21
, +∞)
√
21 −1 21
, 2 ).
1
4
e



 −(4x − 1), se x < 1 .
4
Vamos analisar da seguinte forma, na gura 7.4 na primeira linha temos o estudo do módulo
√
√
−1− 21
−1− 21
2
para a expressão quadrática x + x − 5. Note que antes do valor
e
após
,
2
2
√
√
−1− 21 −1+ 21
2
devemos considerar a expressão x + x − 5. No intervalo (
, 2 ) temos a expressão
2
−(x2 + x − 5).
Agora, na segunda linha temos o estudo do módulo para
1
que antes do valor 4 consideramos
−(4x − 1)
4x − 1,
1
e após 4 temos a expressão
de modo
4x − 1.
Por
m, obtemos 4 intervalos para analisar, tais intervalos estão numerados na gura, estes nos
darão 4 equações para resolvermos.
Na tabela abaixo encontram-se listados os quatro intervalos e suas respectivas equações.
I
x2 + x − 5 = −(4x − 1)
II
−(x2 + x − 5) = −(4x − 1)
III
−(x2 + x − 5) = 4x − 1
IV
x2 + x − 5 = 4x − 1
Porém, observe que as equações correspondentes ao intervalo
basta multiplicar uma destas por
−1.
II
e
III
são a mesma,
Do mesmo modo, concluímos que as equações dos
Figura 37:
intervalos
4x − 1
e
I
e
IV
também são a mesma. portanto, devemos resolver as equações
x2 +x−5 =
−(x2 + x − 5) = 4x − 1.
Resolver a equação
x2 + x − 5 = 4x − 1
x2 −3x−4 = 0, cuja solução é −1 e 4.
é correspondente a
equação modular
é equivalente a resolver a equação quadrática
Assim como resolver a equação
−x2 − 5x + 6 = 0,
que tem como raízes
|x2 + x − 5| = |4x − 1|
é
−6
e
1.
−(x2 +x−5) = 4x−1
Por m, a solução a
S + {−6, −1, 1, 4}.
7.2 Inequação Modular
Esta Seção é destinada ao estudo das inequações modulares. Destacamos de início que
a solução será dada por intervalos, ou seja, podem existir mais de um valor que solucione a
inequação.
Exemplo 7.5.
Resolver em
R
a inequação
|3x − 2| < 4.
Usando a propriedade de módulo
e algumas manipulações algébricas temos
|3x − 2|
<4
−4 <
3x − 2
<4
−2 <
3x
<6
x
< 43 .
−2
3
Portanto, a solução para a inequação
S=
Exemplo 7.6.
que
<
|3x − 2| < 4
4
−2
x ∈ R|
<x<
3
3
Considere a inequação
5x − 10 ≥ 15
ou
5x − 10 ≤ −15.
é o conjunto/intervalo
=
|5x − 10| ≥ 15,
−2 4
,
3 3
.
segue das propriedades de módulo
Portanto, devemos resolver as duas inequações. Logo,
5x − 10 ≥ 15
5x − 10 ≤ −15
5x ≥ 25
5x
≤ −5
≥5
x
≤ −1
x
Então, a solução para o problema é o conjunto
S = {x ∈ R|x ≤ 1
ou
x ≥ 5} = (−∞, 1] ∪ [5, +∞).
7.3 Função Modular
Feita a denição de módulo, denimos a função modular como sendo uma aplicação
f : R −→ R
dada por



x, se x ≥ 0


f (x) = |x| =
e



 −x, se x < 0.
O gráco desta função precisa ser analisado nos dois casos que está determinado a lei
da função, isto é, para
função será dada por
valores de
x<0
−x,
e
x ≥ 0.
Desse modo, para valores de
x
menores que zero, a
logo, uma reta decrescente até valores próximo de zero. E para
x maiores que zero, a função modular associa f (x) ao próprio x, ou seja, o gráco
neste intervalo será uma reta crescente.
Portanto, o gráco da função modular tem um
formato em "V"como mostra a gura abaixo.
Figura 38: Gráco da função modular
Observe que
f (−1) = | − 1| = 1
e
f (1) = |1| = 1,
|x|.
desse modo a função modular não é
injetora. Você pode vericar essa informação utilizando quaisquer números simétricos, pois,
dado
a, b ∈ R
tal que
a = −b
não é sobrejetora, pois temos
então
|a| = | − b|.
Vejamos também que a função módulo
Imf = {y ∈ R; y = f (x)
para algum
x ∈ Df } = [0, +∞[6= R.
Com relação ao crescimento e decrescimento da função modular, como visto no parágrafo
anterior, no intervalo
] − ∞, 0[
intervalo é decrescente.
identidade
f (x) = x,
a função se comporta como a função
Agora, no intervalo
[0, +∞
−x,
portanto neste
a função modulo é dada pela função
sendo assim, crescente nesse intervalo.
Vamos estudar o que acontece quando multiplicamos a função modular ou somamos um
valor real. Ou seja, vamos estudar o comportamento de funções do tipo
onde
a, b, c, d ∈ R.
Primeiro vamos analisar o comportamento da função
se
f (x) = a|bx + c| + d
a=0
f (x) = a|x|,
com
a 6= 0,
resulta na função nula. Abaixo encontram-se os grácos da função
valores de
a
positivo e negativos.
Observe que quando
a > 0
f
visto que
para alguns
o seu valor inuencia na
amplitude do gráco, de modo que quanto maior o valor menos "fechado"o gráco se torna.
Do mesmo modo ocorre quando
a < 0, com a diferença de que o sinal negativo da constante
faz com que a função tenha um "giro"com relação ao eixo
neste caso será
Imf =] − ∞, 0].
x,
ou seja, a imagem da função
Portanto, concluímos que a constante
a
está inuenciando
na abertura do gráco com relação ao eixo y.
(a) Se a > 0.
Figura 39:
a ∈ R∗ .
Grácos de funções modulares do tipo
(b) Se a < 0.
f (x) = a|x|,
analisando o sinal para
Agora, estudando o comportamento para a função
que ao usar a propriedade de módulo temos
f (x) = |bx|,
f (x) = |b|.|x|,
com
que a imagem da função
b
ou seja,
f (x) = |x + c|.
f (x) = |bx|
será sempre positiva, ou seja,
x = −c.
c
f (x) = |x + c|,
Logo, podemos
Agora, usando a denição de módulo, a função





x + c,
Imf = [0, +∞[.
note que
x = −c
Desse modo, concluímos que
f (x) = |x + c| =
Dando a
|b| > 0.
inuencia também na abertura do gráco, com a diferença de
Analisando o comportamento para a função
x + c = 0,
Observamos
assim recaímos em uma função
modular que está sendo multiplicada por um real positivo, visto que
concluir que a constante
b 6= 0.
f
|x + c| = 0
é a raiz da função
é dada por
se x + c ≥ 0
e



 −(x + c), se x + c < 0.
alguns valores reais, como dados na gura a baixo, notamos que para
o gráco da função sofre um deslocamento de tamanho
gráco sofre um deslocamento de tamanho
Figura 40: Gráco da função
se
|c|
c
para a esquerda e quando
c>0
c<0
o
para a direita.
f (x) = |x + c|
para valores de
Até o momento, as funções modulares tem imagens do tipo
c = 5, c = 0
e
c = −3.
]−∞, 0] ou [0, +∞[.
Será que
todas as funções modulares tem essa característica? a resposta é não. Para justicar essa
resposta vamos estudar o comportamento da função
f (x) = |x| + d,
com
d ∈ R.
uso da denição de módulo obtemos



x + d, se x ≥ 0


f (x) = |x| + d =
e



 −x + d, se x < 0.
Esboçando o gráco para
d>0
e para
d<0
obtemos as seguintes imagens:
Fazendo
(a) Se d > 0.
(b) Se d < 0.
Figura 41: Grácos de funções modulares do tipo
Dese modo, temos que
Imf = [d, +∞[.
f (x) = |x| + d,
para
d>0
e
d < 0.
Portanto, não podemos armar que a imagem
de uma função modular é sempre positivo ou sempre negativa. além disso, concluímos que
a constante
d
gera um deslocamento vertical no gráco da função, de forma que se
o deslocamento é no sentido positivo do eixo y, e se
d<0
d>0
o deslocamento é no sentindo
contrário.
De modo geral, a função modular é denida como:
Denição 7.2.
f (x) = |g(x)|,
A função módulo ou modular é uma aplicação
onde
g : R −→ R
f : R −→ R
dada por
é também uma função.
Apresentamos a seguir alguns exemplos.
Exemplo 7.7.
f (x) = |x − 2|, por denição temos


 x − 2,
se x − 2 ≥ 0


f (x) = |x − 2| =
e



 −(x − 2), se x − 2 < 0.
Dada a função
Portanto, o gráco da função sofrerá um deslocamento horizontal para a esquerda de
duas unidades, como visto nos exemplos a cima. Neste caso, temos
Exemplo 7.8. Considere a função g(x) = |x2 −x−2|.
g(x) = |x2 − x − 2| =





x2 − x − 2,
Img = [0, +∞[.
Usando a denição de módulo temos
se x2 − x − 2 ≥ 0
e



 −(x2 − x − 2), se x2 − x − 2 < 0.
Figura 42: Gráco da função
Vamos interpretar a lei de formação da função
quadrática
2
x2 − x − 2
g.
f (x) = |x − 2|.
Primeiro, lembre que o gráco da função
é uma parábola com concavidade positiva e que tem como raiz
(veja o gráco na gura 7.8(a)). Note que nos intervalos
quadrática
tem-se
x2 − x − 2
x2 −x−2 = 0.
dada por "x
ou
2
−x−2,
x ∈ [2, +∞[.
x2 − x − 2 > 0.
é positiva, isto é,
] − ∞, −1)
x2 −x−2 ≥ 0,
(2, +∞[
Além disso, em
Logo, olhando a lei de formação da função
se
e
g(x),
pode ser substituída por "x
2
−1
e
a função
x = −1
e
x=2
a primeira condição,
−x−2,
Geometricamente, nesse intervalo o gráco da função
se
x ∈]−∞, −1]
g(x)
coincide com
o gráco da função quadrática em questão.
Analisando agora o intervalo
x2 − x − 2 < 0.
(−1, 2)
temos que a função quadrática é negativa, isto é,
Assim, segue da segunda condição da lei de formação da função
|x2 −x−2|,que neste intervalo "−(x2 −x−2), se x2 −x−2 < 0
"−(x
2
− x − 2),
se
x ∈ (−1, 2).
g(x) =
é correspondente a armação
Geometricamente, no intervalo
(−1, 2)
a função sofre uma
rotação (reexão) em torno do eixo x, tornando assim, esta parte do gráco positiva. Veja
a gura 7.8(b).
Exemplo 7.9.
|x + 1|,
Dada a função
h(x) = 2|x + 1| − 3,
vamos usar a denição para o módulo
logo
|x + 1| =





x + 1,
se x + 1 ≥ 0
e



 −(x + 1), se x + 1 < 0.
Agora vamos juntar com a denição da lei da função
comportamento de
h,
ou seja
h(x)
para obter de forma explicita o
(a) Gráco da função quadrática x2 − x − 2.
(b) Gráco da função g(x) = |x2 − x − 2|.
Figura 43: Grácos de funções.



2(x + 1) − 3, se x + 1 ≥ 0


h(x) = 2|x + 1| − 3 =
e



 −2(x + 1) − 3, se x + 1 < 0.
Isto é, a condição "2(x + 1) − 3, se
comporta como a função
para
x < −1
a função
h
2(x + 1) − 3.
é dada por
7.9. Além disso, observe que
x + 1 ≥ 0"nos
diz que quando
x ≥ −1
E a condição "−2(x + 1) − 3, se
−2x − 5.
Assim, o gráco de
h(x)
a função
x + 1 < 0,
h
se
diz que
é dado pela gura
Imh = [−3, +∞[.
Figura 44: Gráco da função
h(x) = 2|x + 1| − 3.
Exemplo 7.10. Vamos esboçar o gráco da função f (x) = −|−x2 +4|+4 de modo intuitivo.
Primeiro, esboçamos o gráco da função quadrática
seguida, esboçamos o gráco do módulo de
−x2 + 4,
−x2 + 4,
dado na gura 7.10 (a). Em
ou seja, geometricamente, vamos obter
um gráco onde as partes negativas do gráco da função quadrática serão reetidas em torno
do eixo
x,
observe a gura 7.10 (b). Agora, multiplica-se por
vamos esboçar o gráco de
−| − x2 + 4|,
−1
a função
| − x2 + 4|,
isto é,
o que nos dará o gráco da gura 7.10 (c). Por m,
somamos 4, ou seja, vamos "subir"o gráco em 4 unidades, o resultado nal é o esboçado
na gura 7.10 (d).
(a) Gráco da função −x2 + 4.
(b) Gráco da função | − x2 + 4|.
(c) Gráco da função −|−x2 +4|.
(d) Gráco da função −| − x2 +
4| + 4.
Figura 45: Grácos de funções.
Note que
Imf =] − ∞, 4].
Exercício 7.1.
1.
Esboce o gráco das funções modulares a seguir:
f (x) = |x − 1|;
2.
f (x) = | − 2x + 3|;
3.
f (x) = −|3x + 5|;
4.
f (x) = −2| − x − 9|;
5.
f (x) = 3|x − 5| − 1;
6.
f (x) = |x2 + 2|;
7.
f (x) = |x2 + x − 1|;
8.
f (x) = −|x2 + 2x| − 3;
9.
f (x) = −5| − x2 | + 6
8
FUNÇÃO EXPONENCIAL
8.1 Introdução
Suponha que em 2000 o censo demográco, indicam que, a população brasileira era de
150000000
de habitantes e estava crescendo à taxa aproximada de
1, 5%
ao ano. A taxa de
crescimento populacional leva em consideração a natalidade, a mortalidade, as imigrações
etc.
Suponha que tal crescimento seja mantido pelas próximas 2 décadas, ísto é, pelos próximos 20 anos.
Nessas condições, qual seria a população brasileira ao nal de
(x = 1, 2, · · · , 20),
contados a partir de
Passado 1 ano a partir de
2000
x
anos
2000?
(em 2001), a população, em milhões, seria:
aumento
150
|{z}
população em
Aproximadamente
Passados
2
z }| {
+ 1, 5% · 150 = 150 + 0, 015 · 150 = 1, 015 · 150
| {z }
2000
1, 5
=0,015
100
152, 25
milhões de habitantes.
anos a partir de
1, 015 · 150
| {z }
população em 2001
Aproximadamente
2000
(em 2002), a população, em milhões, seria:
+ 1, 015 · 1, 015 · 150 = 1, 015 · 150(1 + 0, 015) = 1, 0152 · 150
|
{z
}
154, 53
aumento
milhões de habitantes.
/ Passados
3
anos a partir de
2000
(em 2003), a população, em milhões, seria:
1, 0152 · 150
|
{z
}
população em 2002
+ 1, 015 · 1, 0152 · 150 = 1, 0152 · 150(1 + 0, 015) = 1, 0153 · 150
|
{z
}
Aproximadamente
156, 85
.
.
.
.
.
.
passados
x
aumento
milhões de habitantes.
.
.
.
anos, contados a partir de
.
.
.
2000, (x = 1, 2, · · · , 20),
a população brasileira,
em milhões de habitantes, seria:
1, 015x · 150
A função que associa a população
(y),
em milhões de habitantes, ao número de anos
transcorridos a partir de 2000, é:
y = 1, 015x · 150,
x,
que é um exemplo de
função exponencial, a qual passaremos a estudar agora.
8.2 Potência de expoente natural
Denição 8.1.
número
an
Seja
a ∈ R
n ∈ N.
e
Chama-se
potência de base a e expoente n
o
tal que:

 a0 =
1, para a 6= 0,
 an = an−1 · a, ∀n > 1.
Desta denição decorre que:
a1 = a0 · a = 1 · a = a,
e, de modo geral, para
n∈N
a2 = a1 · a = a · a,
e
n > 2,
temos que
an
a3 = a2 · a = a · a · a, · · · ,
é o produto de
n
fatores iguais a
ísto é,
an = a
a · · · · · a.}
| · a · a ·{z
n fatores
Vejamos alguns exemplos de potências:
1
1
1
= ,
4
4
42 = 4 · 4 = 16,
6 = 6,
3
2
8
2 2 2
2
(−3) = (−3) · (−3) = 9,
= · · = .
3
3 3 3
27
0
0
3 = 1,
1
(−2) = 1,
8.3 Propriedades
Sejam
a, b ∈ R
e
m, n ∈ N,
então valem as seguintes propriedades
P1 am · an = am+n
P2
am
= am−n , a 6= 0
an
e
m>n
P3 (a · b)n = an · bn
P4
a n
b
=
an
, b 6= 0
bn
P5 (am )n = am·n .
Estas propriedades são úteis para simplicar expressões. Veja um exemplo
a,
Exemplo 8.1.
Supondo
a · b 6= 0,
simpliquemos a exprressão
y=
(a3 b4 )3
.
(a4 )2 b7
Aplicando as propriedades acima, temos:
y=
Observação 8.1.
(a3 )3 · (b4 )3
a9 · b12
=
= a9−8 · b12−7 = a · b5 .
a8 · b 7
a8 · b 7
Segue da denição (8.1) que:
• an = 0, ∀n ∈ N, n > 1,
se
a=0
• a > 0 ⇒ an > 0, ∀n ∈ N

 an > 0, ∀n ∈ N
• a<0 ⇒
 an < 0, ∀n ∈ N
tal que n é par,
tal que n é impar.
8.4 Potência de expoente inteiro negativo
Pretendemos aqui, denir potências de expoente inteiro negativo de modo que as propriedades (8.3) continuem válidas. Observe os exemplos seguintes:
• 42 · 4−2 = 42+(−2) = 40 = 1;
•
assim ,
1
42
4−2 =
53
= 53−5 = 5−2
55
Por outro lado, temos:
5·5·5
1
1
53
=
=
= 2.
5
5
5·5·5·5·5
5·5
5
Os cálculos acima sugerem a denição seguinte.
Denição 8.2.
−n
o número
Dado
a−n ,
a ∈ R, a 6= 0,
e
que é o inverso de
n ∈ N,
an ,
denimos a
potência de base a e expoente
pela relação
a−n =
1
,
an
Vejamos alguns exemplos:
3−2 =
Observação 8.2.
inteiro negativo.
1
1
= ,
2
3
9
(−5)−2 =
1
1
= ,
2
(−5)
25
2−4 =
1
1
= .
4
2
16
Todas as propriedades (8.3) continuam válidas para potência de expoente
8.5 Raiz enésima aritmética
Dado
a ∈ R,
b ∈ R,
número
com
b>0
com
√
n
a 6= 0
e
na ∈ N, n > 1,
tal que
chama-se
raiz enésima aritmética de a o
bn = a.
radical, indica a raiz enésima
chamado radicando, e n, índice. Em símbolos temos
O símbolo
a,
chamado
√
n
a=b ⇔ b>0
e
aritmética de
a.
Nele,
a
é
bn = a.
Vejamos alguns exemplos:
•
•
•
√
pois
42 = 16
32 = 2,
pois
25 = 32
27 = 3,
pois
33 = 27
16 = 4,
√
5
√
3
Observação 8.3.
Da denição, decorre que
∀a > 0
e
n ∈ N∗ :
√
( n a)n = a
.
Propriedades
Sejam
•
√
n
a, b ∈ R,
am =
√
n·p
com
a, b > 0, m ∈ Z
e
n, p ∈ N∗ ,
valem as seguintes propriedades:
am·p
√ √
a·b= nanb
r
√
n
a
a
n
√
•
= n
(b 6= 0)
b
b
√ m √
• ( n a) = n am
•
•
√
n
p
√
√
p n
a = p·n a
8.6 Potência de expoente racional
Assim como zemos antes, pretendemos dar signicado às potências de expoente racional
lembrando que a sua denição deve satisfazer as propriedades operatórias já vistas nesta
secção.
Observe os casos particulares:
1
1
1
1
• 3 2 · 3 2 = 3 2 + 2 = 31 = 3;
√
1
3 = 32 .
de 3, ísto é,
1
1
1
1
1
assim,
1
32
1
• 2 3 · 2 3 · 2 3 = 2 3 + 3 + 3 = 21 = 2;
√
1
3
8 = 83 .
aritmética de 8, ísto é,
2
= 3,
assim,
ou seja,
1
23
3
1
32
= 2,
é a raiz quadrada aritmética
ou seja,
1
23
é a raiz cúbica
Os casos particulares acima, fornecem a seguinte denição.
para
a ∈ R, a > 0
e
1
n ∈ N∗ , temos a n =
√
n
a.
Façamos agora os cálculos seguintes:
3
3
3
3
3
• 8 2 · 8 2 = 8 2 + 2 = 82· 2 = 83 .
3 2
Assim, 8 2
= 83 e, portanto,
√
3
83 = 8 2 .
2
2
2
2
2
2
a raiz quadrada aritmética de
83
é igual a
3
82 ,
ou seja,
2
• 2 3 · 2 3 · 2 3 = 2 3 + 3 + 3 = 23· 3 = 22 .
2 3
Assim,
2 3 = 22 e, portanto, a
√
2
3
22 = 2 3 .
raiz cúbica aritmética de
22
é igual a
2
23 ,
ou seja,
Considerando todo o exposto anterior alcançamos a seguinte denição:
Denição 8.3.
p
∈Q
q
Dados
a ∈ R∗+ , p ∈ Z
e
q ∈ N∗
deni-se potência de base
a
e expoente
pela relação
p
√
a q = q ap ,
ou seja, a potência de base
a
√
e expoente
p
q
é a raiz qnésima aritmética de
√
3
ap
√
Exemplo 8.2.
• 22 =
Observação 8.4.
As propriedades (8.3) continuam válidas para potência com expoentes
1
2
1
• 83 =
8=2
1
• 32 =
3
racionais.
Agora, robustecidos com os pré-requisitos vistos anteriormente, vamos iniciar o estudo
das funções exponenciais.
Função exponencial
Dado
função
f
a ∈ R,
de
R
tal que
em
R
a>0
e
a 6= 1,
que associa a cada
f:
Exemplo 8.3. • f (x) = 2
x
• f (x) = 100x
denominamos de função exponencial de base
x
real o número
ax .
a
a
Simbolicamente, temos:
R −→ R
x 7−→ ax .
x
1
• f (x) =
4
√ x
• f (x) =
3
x
1
• f (x) =
2
• f (x) = π x
8.6.1 Gráco
Vamos esboçar dois grácos de funções exponenciais e, em seguinda, observar pelo seu
comportamento algumas propriedades.
Exemplo 8.4.
x
y
-3
1
27
-2
1
9
-1
1
3
0
1
2
Vamos esboçar o gráco de
f (x) = 3x .
1
√
3 ≈ 1, 71
1
3
2
9
3
27
Note que
∀x ∈ R, 3x > 0
e, deste modo,
Im = R∗+ .
Figura 46: Exemplo função exponencial
Exemplo 8.5.
Vamos traçar o gráco da função
x
1
f (x) =
.
2
x
y
-3
8
-2
4
-1
2
0
1
1
1
2
2
1
4
3
1
8
x
1
>
Note que ∀x ∈ R,
2
0 e, deste modo, Im =
R∗+ .
Figura 47: Exemplo função exponencial 2
8.6.2 Propriedades
1. Na função exponencial
f (x) = ax ,
temos:
x = 0 ⇒ f (x) = f (0) = a0 = 1,
ísto é, o par ordenado
(0, 1)
pertence ao
graf (f )
para todo
a ∈ R (a > 0
e
a 6= 1).
Em outras palavras, podemos armar que o gráco de toda função exponencial corta
o eixo
y
no ponto de ordenadas
2. A função exponencial
crescente se
a>1
f (x) = ax
1.
é
e o seu gráco
está representado ao lado
Dados
x1 , x2 ∈ R,
x1 < x2 ⇔
⇔
temos:
f (x1 ) < f (x2 )
ax1 < ax2
Figura 48: Função exponencial crescente
f (x) = ax
3. A função exponencial
decrescente se
0 < a < 1
é
e o seu
gráco está representado ao lado
Dados
x1 , x2 ∈ R,
x1 < x2 ⇔
temos:
f (x1 ) > f (x2 )
ax1 > ax2
⇔
Figura 49: Função exponencial decrescente
4. A função exponencial
x1 , x2 ∈ R
tais que
Se
a > 1,
Se
0 < a 6= 1,
temos:
f (x) = ax ,
x1 6= x2
com
0 < a 6= 1,
(por exemplo
x1 < x2 ),
é injetora, pois veja que, dados
segue:
f (x1 ) < f (x2 )
temos:
f (x1 ) > f (x2 )
e, portanto, em ambos os casos,
f (x1 ) 6= f (x2 ).
Em resumo, temos as seguintes observações com relação ao gráco da função f (x)
1◦ A curva representativa está toda acima do eixo das abscissas, pois ax > 0, ∀x
)
2◦ )
Corta o eixo y no ponto de ordenada 1.
3◦ )
Se
4◦ )
Toma um dos aspectos abaixo.
a>1
a função é crescente e se
0<a<1
Figura 50: Aspecto função exponencial
a função é decrescente.
= ax .
∈R
8.7 Equação exponencial
Uma equação exponencial é aquela que possui a incógnita no expoente de pelo menos
uma de suas potências. Veja alguns exemplos:
x
x
1
•
= 16;
4
x
• 2 = 4;
• 3 = 27;
x
1
•
= 81.
9
Para resolução de equações exponenciais, podemos usar o seguinte método prático:
Que consiste em reduzir ambos os membros da equação à potência de mesma base
(com
0 < a 6= 1)
"a"
e, daí, aplicar a propriedade:
ax = ay ⇒ x = y,
sempre que for possível aplicar tal propriedade, encontramos facilmente a solução da equação
exponencial. Vejamos alguns exercícios resolvidos:
Exercício 8.1.
Resolva as seguintes equações exponenciais em
R:
a) 2x = 64
b) 2x =
c)
d)
1
32
x
27
2
=
3
8
√
2x = 3 16
e) 2x2 −5x+6 = 1
Solução:
a)
Fatorando
64,
podemos escrever
64 = 26 ,
logo:
2x = 64 ⇒ 2x = 26 ⇒ x = 6 ⇒ S = {6}.
b)
Observe que:
2x =
1
= 32−1 ,
32
assim, fatorando 32, podemos escrever
32 = 25 ,
daí que:
2x = 32−1 ⇒ 2x = (25 )−1 ⇒ 2x = 2−5 ⇒ x = −5 ⇒ S = {−5}.
segue
c)
Aqui temos:
x
x
x −3
x 3
2
27
2
33
3
2
2
2
=
⇒
= 3 ⇒
=
⇒
=
⇒ x = −3,
3
8
3
2
3
2
3
3
portanto,
d)
Fatorando
S = {−3}.
16,
temos
16 = 24 ,
√
3
x
x
2 =
e)
Observe que:
2x
assim, podemos escrever
16 ⇒ 2 =
2 −5x+6
√
3
= 1 = 20 ,
x
24 ⇒ 2 =
x2 − 5x + 6 = 0.
é,
x=
x=
−(−5) ±
4
⇒ x=
⇒ S=
3
4
3
assim, para encontrarmos a incógnita x, basta re-
solvermos esta equação quadrática
como no caso em questão
4
23
−b ±
a = 1, b = −5
e
Resolvendo por Bhaskára, ísto
√
b2 − 4ac
,
2a
c = 6,
segue que:
p
√
(−5)2 − 4 · 1 · 6
5± 1
5±1
⇒ x=
⇒ x=
,
2·1
2
2
portanto, temos como solução desta equação
x=3
ou
x = 2,
ou seja,
S = {2, 3}.
9
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
9.1 Introdução
Suponhamos que um notebook novo custe hoje R$
20%
1800, 00
e sofra uma depreciação de
ao ano de uso.
Depois de quanto tempo de uso do eletrônico será igual a R$
900, 00?
Vejamos, a cada ano que passa o valor do notebook passa valer
80% do que valia no ano
anterior. Então, seu valor atualiza-se de seguinte forma:
•
após 1 ano de uso:
80%
•
1800, 00,
ou seja, R$
1440, 00
ou seja, R$
1152, 00
ou seja, R$
921, 00
após 2 ano de uso:
80%
•
de R$
de R$
1440, 00,
após 3 ano de uso:
80%
de R$
1152, 00,
e assim por diante.
O valor do eletrônico em reais atualiza-se, ano a ano, de acordo com a sequência:
1800;
(0.8) · 1800;
(0.8)2 · 1800;
(0.8)3 · 1800; · · · ;
(0.8)x · 1800,
em que x indica o número de anos de uso.
Logo, para respondermos à pergunta feita, devemos resolver a equação
(0.8)x ·1800 = 900,
ou seja,
(0.8)x = 0.5,
que é uma equação exponencial.
No entanto, não é possível reduzir as potências a uma base comum. Fato é que, esse tipo
de situação ocorre de forma natural em diversos problemas do cotidiano e para resolver essa
e outras equações não redutíveis á uma mesma base iniciemos agora o estudo de logarítmos.
Denição 9.1 (Logarítmo). Sendo a, b ∈ R, tais que a, b > 0, com a 6= 1, chama-se
logarítmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a
x
potência a seja igual a b.
Simbolicamente, temos:
loga b = x ⇔ ax = b.
Em
loga b = x
dizemos que:
•
a é a base do logaritmo;
•
b é o logaritmando;
•
x é o logarítmo.
Vejamos alguns exemplos:
• log2 16 = 4,
pois
24 = 16
1
= −2,
9
• log7 7 = 1,
• log3 81 = 4,
pois
34 = 81
• log5 1 = 0,
• log2 8 = 3,
pois
Observação 9.1.
23 = 8
• log3
As restrições para
3−2 =
pois
71 = 7
pois
50 = 1.
a (0 < a 6= 1) e para b (b > 0) indicadas na Deni-
ção (9.1) garantem a existência e unicidade de
I
1
9
pois
x = loga b.
Convenção natural
Convencionamos que, quando a base do logarítmo de
do logaritmo de
b na base 10, í.
b
for omitida, estamos tratando
é:
log b = log10 b,
e estes logarítmos serão chamados de
Assim, por exemplo,
log 100 = 2,
logarítmos decimais.
pois
102 = 100.
9.2 Consequências da denição
Decorrem da denição (9.1) de logarítmo as seguintes propriedades para
a 6= 1, b, c > 0).
•
O logarítmo de 1 em qualquer base
a é igual a zero, ísto é:
loga 1 = 0,
•
pois
a0 = 1.
O logarítmo da base em qualquer base é igual a 1.
loga a = 1,
pois
a1 = a.
(a, b, c ∈ R, 0 <
•
A potência de base
a e expoente loga b é igual a b.
aloga b = b,
a justicativa desta propriedade está no fato de que por um lado
loga b = x ⇔ ax = b,
(12)
por outro lado, por caracterização de potência, temos
loga b = x ⇔ aloga b = ax .
(13)
Das Equações (12) e (13) segue que:
aloga b = ax = b.
•
Dois logaritmos em base comuns são iguais se,e somente se, os logaritmandos são
iguais.
loga b = loga c ⇔ b = c.
A justicativa desta propriedade é bem direta, basta notar que:
denição de
loga b = loga c
z
logaritmo
Exemplo 9.1.
Solução:
calcular o valor de
terceira
z
}| { loga c
a
=b
⇔
|{z}
}|
⇔
|{z}
{
c = b.
consequencia
21+log2 4 .
Note que
21+log2 4 = 21 · 2log2 4 ,
no entanto, pela terceira consequência, temos:
2log2 4 = 4; ⇒ 21+log2 4 = 21 · 2log2 4 = 2 · 4 = 8
9.3 Propriedades operatórias
Vejamos agora algumas propriedades operatórias que facilitam os cálculos envolvendo
logarítmos.
1.
(Logarítmo do produto)
Em qualquer base
números
na base
a (a ∈ R, 0 < a 6= 1),
o logarítmo do produto de quaisquer dois
b, c ∈ R, com b, c > 0 é igual à soma dos logarítmos dos números b e c, ambos
a,
ísto é, simbolicamente, temos:
loga (b · c) = loga b + loga c.
Demonstração:
Fazendo
loga b = x, loga c = y
a propriedade ca demonstrada se provarmos que
e
loga (b · c) = z ,
z = x + y.
então observe que
Com efeito, por denição
de logarítmo, segue:
loga b =
x ⇒ ax = b
(14)
loga c =
y ⇒ ay = c
(15)
loga (b · c) = z ⇒ az = b · c,
(16)
manipulando as equações acimas, vem que:
az = b · c = ax · ay = ax+y ⇒ z = x + y,
portanto,
(17)
loga (b · c) = loga b + loga c.
Observação 9.2.
do produto de
A proriedade antecedente continua válida para o caso do logarítmo
n (n > 2)
b1 , b2 , · · · , bn ∈ R∗+ ,
fatores reais e positivos, í.
é, se
(a ∈ R, 0 < a 6= 1)
e
então
loga (b1 · b2 ·, · · · , ·bn ) = loga b1 + loga b2 + · · · + loga bn .
Exemplo 9.2. log3 (243) = 5,
observando que:
pois
35 = 243,
log3 (243) = log3 (9 · 27),
no entanto, poderiamos ter resolvido
assim aplicando a propriedade do logarítmo
do produto, temos:
log3 (243) = log3 (9 · 27) = log3 9 + log3 27 = 2 + 3 = 5.
2.
(Logarítmo do quociente)
Em qualquer base
números
b, c ∈ R,
a (a ∈ R, 0 < a 6= 1), o logarítmo do quociente de quaisquer dois
com
b, c > 0
é igual à diferença entre o logarítmo do numerador e o
logaritmo do denominador, ambos na base
a,
ísto é, simbolicamente, temos:
b
= loga b − loga c.
loga
c
b
Demonstração: Fazendo loga b = x, loga c = y e loga
= z , então observe que
c
a propriedade ca demonstrada se provarmos que z = x − y . Com efeito, por denição
de logarítmo, segue:
x ⇒ ax = b
(18)
loga c = y ⇒ ay = c
b
b
= z ⇒ az = ,
loga
c
c
(19)
loga b =
(20)
manipulando as equações acimas, segue:
az =
portanto,
b
ax
= y = ax−y ⇒ z = x − y,
c
a
(21)
b
= loga b − loga c.
loga
c
Observação 9.3.
Fazendo
loga
b = 1,
escrevemos
1
1
= loga 1 − loga c ⇒ loga = − loga c.
c
c
Observe os exemplos:
• log2
32
4
= log2 8 = 3.
Aplicando a propriedade do logaritmo do quociente, temos:
log2
32
4
= log2 32 − log2 4 = 5 − 2 = 3
6
• log
= log 6 − log 5 = log(2 · 3) − log 5 = log 2 + log 3 − log 5
5
3.
(Logarítmo da potência)
Em qualquer base
a (a ∈ R, 0 < a 6= 1),
o logarítmo de uma potência de base real
positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logarítmo da base da
potência, ísto é, simbolicamente, temos:
Se
(a ∈ R, 0 < a 6= 1), b > 0
e
loga bα = α · loga b
α ∈ R,
então
Demonstração:
Fazendo
loga b = x, loga bα = y ,
ca demonstrada se provarmos que
y = αx.
então observe que a propriedade
Com efeito, por denição de logarítmo,
segue:
loga b =
x ⇒ ax = b
(22)
loga bα = y ⇒ ay = bα ,
(23)
manipulando as equações acimas, segue:
ay = bα = (ax )α = aα·x ⇒ y = α · x,
portanto,
(24)
loga bα = α · loga b.
Acompanhe os exemplos:
• log2 82 = log2 64 = 6,
pois
26 = 64.
Aplicando a propriedade do logaritmo de uma potência, temos:
log2 82 = 2 log2 8 = 2 · 3 = 6.
1
= log2 3−3 = −3 log2 3.
• log2
27
9.4 Mudança de base
Há situações em que logarítmos em bases não comuns, precisam serem transformados
para uma única base desejada.
Por exemplo, na aplicação das propriedades operatórias, vistas anteriormente, os logarítmos precisam está todos em bases comuns.
Então vejamos a propriedade que nos permite transformar o logarítmo de um número
positivo de uma certa base para outra conveniente.
9.4.1 Propriedade
Se
a, b
e
c
são números reais positivos, com
loga b =
Demonstração:
a 6= 1
Fazendo
a, c 6= 1,
então temos:
logc b
logc a
loga b = x, logc b = y
e
logc a = z
e observe que
então note que a propriedade ca demonstrada se provarmos que
x=
y
.
z
z 6= 0,
pois
Com efeito,
por denição de logarítmo, segue:
loga b = x ⇒ ax = b
(25)
y ⇒ cy = b
(26)
logc a = z ⇒ cz = a,
(27)
logc b =
manipulando as equações acimas, vem que:
y
cz = a ⇒ (cz )x = ax = b = cy ⇒ czx = cy ⇒ zx = y |{z}
⇒ x= ,
z
(28)
z6=0
loga b =
portanto,
logc b
.
logc a
Consideremos os exemplos:
• log2 5
transformado na base
10
log2 5 =
• log100 3
0, 699
log 5
≈
≈ 2, 32.
log 2
0, 3010
transformado para a base 10 ca
log100 3 =
Observação 9.4.
Se
ca
a, b, c ∈ R,
log 3
log 3
1
=
= log 3.
log 100
2
2
A propriedade (9.4.1) pode também ser apresentada da seguinte forma:
com
a, b, c > 0
e
a, c 6= 1,
então:
loga b = logc b · loga c
Demonstração:
para a base a:
A demonstração é bastante direta, basta que transformemos o
logc b · loga c =
logc b
loga b
· loga c = loga b.
loga c
Uma consequência importante é que:
Se
a, b ∈ R, 0 < a, b 6= 1,
então
loga b =
1
logb a
A justicativa deste fato segue imediatamente após a mudança de base de
base
b.
loga b
para a
9.5 Função Logarítma
Dado um número real
a função
f
a (0 < a 6= 1) chamamos de função logarítma de base a
que associa cada elemento de
f (x) = loga x.
R∗+
há um único elemento de
R
dado pela lei
Em símbolos, temos:
f:
R∗+ −→ R
x 7−→ f (x) = loga x.
Um exemplo de função logarítma é a função
f
denida por
f (x) = log2 x.
Figura 51: Exemplo função logarítma
9.5.1 Gráco
Vamos construir o gráco cartesiano da função
construimos uma tabela dando valores inicialmente a
de
x.
f (x) = log2 x (x ∈ R∗+ ).
y
Para isso
e posteriormente calculemos o valor
x y = log2 x
x y = log2 x
-3
1
8
-3
-2
1
4
-2
-1
1
2
-1
0
1
0
1
2
1
2
4
2
3
8
3
Figura 52: gráco da função logarítma
f (x) = log2 x.
Vejamos uma propriedade interessante:
Propriedade 9.1.
e
g : R −→ R∗+
Se
dada por
Demonstração:
e
0 < a 6= 1
então as funções
g(x) = ax
f : R∗+ −→ R
denida por
f (x) = loga x
são inversas uma da outra.
Para provarmos a propriedade acima, basta vericar que
f ◦ g = IR∗+
g ◦ f = IR .
Com efeito, note que:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (ax ) = loga ax = x
e
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(loga x) = aloga x = x,
cando provado assim a propriedade.
9.5.2 Domínio e Imagem
Podemos observar no gráco (52) acima que o mesmo está contido nos quadrantes positivos em relação ao eixo das abscissas, tal acontencimento é motivado pelo fato da função
f
está denida apenas para
x ∈ R∗+ ,
ísto é,
Df = R∗+ .
E com relação a imagem, observe que se
a lei é
y = loga x
g(x) = ax .
Logo
f
0 < a 6= 1
então a função
admite pela propriedade (9.1) a função inversa
é bijetora e, portanto, a imagem de
Im = R.
f
f : R∗+ −→ R
g : R −→ R∗+
cuja
dada por
é todo o conjunto dos reais, ísto é,
Agora, vamos estabelecer uma importante relação entre os grácos das funções exponêncial e logarítma. Para tal, vamos contruir inicialmente o gráco da função exponêncial
g(x) = 2x
e comparar a sua tabela de valores com a tabela da função
f (x) = log2 x
já
estudada anteriormente.
x g(x) = 2x
-3
1
8
-2
1
4
-1
1
2
0
1
1
2
2
4
3
8
Agora comparando a tabela de valores e gráco acima com a tabela de valores e gráco da
função
f (x) = log2 x,
x y = log2 x
temos:
x g(x) = 2x
1
8
-3
-3
1
8
1
4
-2
-2
1
4
1
2
-1
-1
1
2
1
0
0
1
2
1
1
2
4
2
2
4
8
3
3
8
exp log.png
Observamos no gráco acima, em que, esboçamos o gráco da função exponencial
2x
e logarítma
f (x) = log2 x
no mesmo sistema de coordenadas, que eles são simétricos em
relação à reta correspondente à função linear
Observe que o gráco de
g(x) =
f
y = x.
corresponde ao gráco de
g
"reetido" em relação à bissetriz
(e vice-versa).
De forma mais geral, temos: Se
R∗+ −→ R
e
g : R −→ R∗+ ,
a ∈ R,
com
(0 < a 6= 1)
dadas respectivamente, pelas leis
e considere as funções
f (x) = loga x
e
f :
g(x) = ax ,
então vale a relação:
(b, a) ∈ g ⇔ (a, b) ∈ f.
Logo, se
a ∈ R,
f (x) = loga x (x > 0)
f −1 (x) = ax
(0 < a 6= 1)
com
uma forma alternativa para construirmos grácos de
seria construimos inicialmente o gráco da função inversa
g(x) =
e lembrar da relação acima.
Para exemplicar melhor vamos construir o gráco da função logarítma dada por
g(x) =
log 1 x, x > 0.
2
Associando como a forma alternativa acima, vamos esboçar o gráco da função exponencial de base
x
1
2
f (x) =
e, por simetria, obter o gráco desejado.
1 x
2
x f (x) = log 1 x
2
−3
8
8
−3
-2
4
4
−2
-1
2
2
−1
0
1
1
0
1
1
2
1
2
1
2
1
4
1
4
2
3
1
8
1
8
3
9.5.3 Propriedade do gráco da função logaritma
Com relação ao gráco cartesiano da função
1. está todo a direita do eixo
2. O par ordenado
3. Se
a>1
(1, 0)
f (x) = loga x (0 < a 6= 1),
podemos dizer:
x (x > 0);
pertence ao gráco, pois
é de uma função crescente e se
4. é simétrico em relação a reta
y=x
(loga 1 = 0)
0 < a 6= 1
para todo
é de uma função decrescente;
(bissetriz) do gráco da função
5. toma um dos aspectos das gura abaixo:
(0 < a 6= 1);
g(x) = ax .
a maior 1.png
entre 0 1.png
10
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
10.1 Função Seno e Cosseno
10.2 Função Tangente
Referências
[1] G Iezzi, C Murakami. Fundamentos de matemática elementar, Vol. 1: conjuntos fun-
çoes, Atual Editora, 2013.
[2] G Iezzi, C Murakami. Fundamentos de matemática elementar, Vol. 2: Logarimos, Atual
Editora.
[3] G Iezzi, C Murakami. Fundamentos de matemática elementar, Vol. 3: Logarimos, Atual
Editora.
[4] G Iezzi, C Murakami. Fundamentos de matemática elementar, Vol. 6: Logarimos, Atual
Editora.