Universidad Tecnológica de
Puebla Organismo Público Descentralizado
Carrera:
Ingeniería de Tecnologías de la Información y Comunicación
Antología: Desarrollo de habilidades del
pensamiento lógico.
M.C. Eric Gastellou Hernández,
Ing. Ricardo Rojas López,
M.S.C. Guillermo García Pimentel.
2019
2
Tabla de contenido
I.PROPÓSITO DEL MANUAL. ..............................................................5
II. INTRODUCCIÓN...............................................................................5
UNIDAD
TEMATICA
I.
SISTEMAS
NUMÉRICOS.
................................6
1.1 Sistemas numéricos (Binario, Octal y Hexadecimal)..........................................................6
1.2 Conversiones entre sistemas numéricos. ...........................................................................7
1.3 Operaciones (suma, resta y producto)..............................................................................26
UNIDAD TEMATICA II. ALGEBRA BOOLEANA ...............................41
2.1
Simbolización de proposiciones .......................................................................................41
2.1.1 Proposiciones abiertas. .............................................................................................42
2.1.3 Implicación y equivalencia lógica................................................................................44
2.1.4 Bicondicional o doble implicación (↔) ........................................................................45
2.1.5 El lenguaje del cálculo preposicional. .........................................................................46
2.1.6 Convenios informales. ................................................................................................47
2.1.7 Proposiciones de equivalencia lógica. ........................................................................47
2.1.8 Precedencia de conectivos.........................................................................................48
2.1.9 Las Tablas de verdad y su simbología........................................................................49
2.1.10 Generando las combinaciones de los valores de verdad. .........................................50
2.1.11 Tautologías...............................................................................................................52
2.1.12 Formas normales en Lp............................................................................................53
2.1.13Inferencia y demostraciones lógicas..........................................................................55
2.1.14 Demostraciones........................................................................................................57
2.1.15 Resumen de tautologías, reglas de inferencia y equivalencias lógicas. ....................58
2.1.16 Demostración por el método directo. ........................................................................59
2.2 Calculo de predicados......................................................................................................60
2.2.1 Sujeto y predicado......................................................................................................61
2.2.2 Cuantificadores...........................................................................................................61
2.2.El alfabeto de la lógica de primer orden.........................................................................61
2.2.4 Términos en la lógica de primer orden........................................................................62
2.2.5 Las formulas en el lenguaje de primer orden. .............................................................62
2.2.6 Formulas atómicas .....................................................................................................62
2.2.8 Variables libres y ligadas ............................................................................................64
2.2.9 Reglas de inferencia e equivalencia ...........................................................................65
2.2.10 Escribiendo proposiciones en lenguaje simbólico. ....................................................67
2.2.11 Validez de argumentos ............................................................................................68
UNIDAD TEMATICA III. HABILIDADES DE PENSAMIENTO
LÓGICO...........................................................................................70 3.1.
Descripción de las Etapas en la resolución de problemas. ..............................................71 3.2
Ejemplos de aplicación de las distintas etapas.................................................................73 IV.
ANEXOS. ......................................................................................77
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE.UNIDAD TEMÁTICA 1. TEORIA DE CONJUNTOS.............77
V. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................80
CONTROL DE REVISIONES O CAMBIOS.......................................................81
4
I.PROPÓSITO DEL MANUAL.
Tiene como propósito fundamental que los alumnos que cursan una carrera relacionada con la
computación, aprendan los conocimientos matemáticos básicos necesarios para entender el principio
matemático usado en la creación de herramientas computacionales (basado en el programa de TÉCNICO
SUPERIOR UNIVERSITARIO EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN). De tal forma que el
alumno vincule los conocimientos matemáticos con la computación. Introducir al estudiante en el
método deductivo de la matemática moderna, le permitirá desarrollar destreza en los razonamientos. Las
matemáticas presentadas a la manera euclidiana aparecen como una ciencia sistemática, deductiva; pero
las matemáticas en vía de formación aparecen también como una ciencia experimental, inductiva. Por lo
cual los métodos de solución de problemas ofrecen la oportunidad de descubrir capacidades del
pensamiento independiente; proporcionando ciertos recursos para ello.
II. INTRODUCCIÓN.
Actualmente la computación es fundamental en todas las actividades que se desarrolla diariamente en la
administración, educación, medicina, ingeniería e investigación. El funcionamiento adecuado de una
empresa no se podría entender sin la ayuda de la computadora, ¿qué haríamos si se tuviera que regresar
el tiempo en que todo se procesaba manualmente? ¿Qué pasaría si no se contara con el correo
electrónico, hojas de cálculo, procesadores de texto, lenguajes de programación e internet? Si bien es
cierto que todos estos elementos son parte de las acciones que se pueden llevar a cabo en la
computadora, también lo que es el que las matemáticas proporcionan el soporte necesario para
desarrollar todas estas herramientas computacionales. Ramas de las matemáticas como sistemas
numéricos, métodos de conteo, conjuntos, matrices, lógica matemática, álgebra booleana, relaciones y
funciones son la base para el diseño de todo lo que se maneja en la computadora.
5
UNIDAD TEMATICA I. SISTEMAS NUMÉRICOS.
OBJETIVO: El alumno resolverá problemas de conversiones entre sistemas numéricos binario y
hexadecimal para representar y manejar información computacional.
RESULTADO DE APRENDIZAJE : Elabora un compendio de ejercicios que contenga:
• Conversión a binario.
• Conversión a hexadecimal.
• Suma en sistemas numéricos binario y hexadecimal.
• Resta en sistemas numéricos binario y hexadecimal.
Temas:
1.1Sistemas numéricos (Binario, Octal y Hexadecimal).
1.2 Conversiones entre sistemas numéricos.
1.3 Operaciones (suma, resta y producto).
1.1 Sistemas numéricos (Binario, Octal y Hexadecimal).
Para escribir cualquier numeral utilizamos los diez signos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,0 llamadas cifras. Todo el
mundo con la ayuda de estas diez cifras puede escribir cualquier numeral, ya sea entero o racional. Como
base de la numeración se toma el número diez, por esto el sistema de numeración es conocido como
decimal. De este modo se tiene: a las unidades (1=100), las decenas (10=101), centenas (100=102),
unidades de millar (1000=103), decenas de millar (10000=104), centenas de millar (100 000=105),
unidades de millón (1 000 000=106), decenas de millón (10 000 000=107) centenas de millón (100 000
000=108), esto refleja que según la posición que ocupa la cifra en el número es su valor o peso, así por
ejemplo la representación numérica de 95342 = 2*100+ 4*101+ 3*102+ 5*103+9*104. A esta forma de
escritura se le llama posicional, porque según el lugar que ocupa la cifra dentro del número es su valor o
peso.
De esta manera para la conversión de una base a otra, cada posición se representa por medio de una
base en cada valor posicional.
Signos que ocupan las bases de numeración para representar números.
La base de numeración decimal ocupa diez cifras las cuales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. La base de
numeración hexadecimal ocupa dieciséis cifras y son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. La base de
numeración octal ocupa ocho cifras las cuales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0. La base de numeración binaria
ocupa dos cifras las cuales son: 1, 0.
Las bases de numeración toman su nombre a partir de la cantidad de cifras que ocupan.
Cada número es acompañado de un sufijo para identificarlo con su base.
Ejemplos: 27010 numeral de base diez
27016 numeral de base dieciséis.
2708 numeral de base ocho.
1010112 numeral de base dos.
6
1.2 Conversiones entre sistemas numéricos.
Antes de proceder a convertir un numeral de una base a otra, hay que aprender la escritura en decimal y
binario de las dieciséis cifras que conforman la base hexadecimal.
Esto es:
Decimal
Binario del
Hexadeci
mal
Hexadecimal
Octal
Binario
del
Octal
0
0000
0
0
000
1
0001
1
1
001
2
0010
2
2
010
3
0011
3
3
011
4
0100
4
4
100
5
0101
5
5
101
6
0110
6
6
110
7
0111
7
7
111
8
1000
8
9
1001
9
10
1010
A
11
1011
B
12
1100
C
13
1101
D
14
1110
E
15
1111
F
Cambio de base de Hexadecimal a Binario.
Cambiar de base de Hexadecimal a Binario es relativamente fácil, solo hay que transcribir conforme a la
tabla cada cifra hexadecimal por su equivalente binaria.
Cada cifra hexadecimal debe ser escrita con una extensión de cuatro posiciones, estas últimas son una
combinación de ceros y unos que corresponden al sistema binario. La razón es que la cifra F se puede
escribir como 11112, y este número es el mayor en el sistema hexadecimal.
Ejemplo 1
Cambiar de base Hexadecimal a Binario el siguiente número: A901D16.
Con ayuda de la tabla se tiene que: A = 10102, 9=10012, 0 = 00002, 1 = 00012, y
D=11012. Por lo que se obtiene: A901D16 = 1010 1001 0000 0001 11012
Ejemplo 2
Cambiar de base Hexadecimal a Binario el siguiente número: 101916.
En relación a la tabla se obtiene que: 1 = 00012, 0 = 00002, 1 = 00012, 9 = 10012
Obteniéndose 101916 = 0001 0000 0001 10012.
Cambio de base de Hexadecimal a Octal.
Ejemplo 1
7
Cambiar de base Hexadecimal a Octal el siguiente número: A901D16.
Primero se cambia el número hexadecimal a binario.
De la tabla se obtiene que: A = 10102, 9=10012, 0 = 00002, 1 = 00012, y D=11012. Se toma el número
binario 1010 1001 0000 000111012 y de derecha a izquierda se toma cifras en tríadas, de la siguiente
forma: 10|101|001|000|000|011|101, estas tríadas se transcriben por su equivalencia en octal de
acuerdo a la tabla 2.
Quedando:
10|101|001|000|000|011|101 Binario.
2 5 1 0 0 3 5 Octal.
Con lo que se obtiene A901D16 = 25100358.
El tomar tríadas es porque el número 78 se representa con tres cifras binarias, esto es 78 = 1112.
Ejemplo 2
Cambiar de base Hexadecimal a Octal el siguiente número: 101916.
Primero se cambia el número hexadecimal a binario.
De la tabla se tiene que: 1 = 00012, 0 = 00002, 1 = 00012, 9 = 10012.
Se toma el número binario 0001 0000 0001 10012 y de derecha a izquierda se tomas cifras en tríadas, de
la siguiente forma: 0|001|000|000|011|001, estas tríadas se transcriben por su equivalencia en octal de
acuerdo a la tabla 2.
Quedando:
001 000 000 011 001 Binario
2 4 4 0 1 Octal
Con lo que se obtiene 101916 = 244018
Cambio de base de Hexadecimal a Decimal.
Cambiar de base Hexadecimal a Binario el siguiente número: A901D16.
Para hacer la conversión, se tiene que utilizar el valor posicional como el de base 10, pero ahora se tiene
que colocar la base 16 de la siguiente forma:
164163162161160
65536 4096 256 16 1
Y se coloca cada cifra de acuerdo a su peso o posición en el número:
164163162161160
65536 4096 256 16 1
A901D
Se procede a cambiar cada cifra hexadecimal por su equivalente decimal conforme a la tabla; quedando:
65536 4096 256 16 1
10 9 0 1 13
8
Se multiplican los números por columnas y el resultado se suma.
65536*10 + 4096*9 + 256* 0 + 16*1 + 1*13= 655360 + 36864 + 0 + 16 + 13 = 692253
Así que resulta A901D16 = 69225310.
Otro ejemplo:
Cambiar de base Hexadecimal a Decimal el siguiente número: 101916.
Se procede a reescribir cada cifra dentro del recuadro que le corresponde de acuerdo a su peso o
posición dentro del número.
Y se coloca cada cifra de acuerdo a su peso o posición en el número:
163162161160
4096 256 16 1
1019
Se procede a cambiar cada cifra hexadecimal por su equivalente decimal conforme a la tabla; quedando:
4096 256 16 1
1019
Se multiplican los números por columnas y el resultado se suma.
4096*1 + 256* 0 + 16*1 + 1*9 = 4096 + 0 + 16 + 9 = 4121
Así resulta que 101916 = 412110
Cambio de base de Binario a Hexadecimal.
Para cambiar un número de base binaria a hexadecimal las cifras binarias se toman en tétradas. Esto es
porque el numero F hexadecimal ocupa cuatro cifras binarias (F16 = 11112).
Ejemplo1
Cambiar de base Binaria a Hexadecimal el siguiente número: 10100111001101112. Se agrupan las cifras
binarias en grupos de cuatro de la siguiente forma: 1010|0111|0011|0111. Ahora se cambia cada grupo
de cuatro cifras por su equivalente hexadecimal representado en la tabla; dando como resultado:
1010 0111 0011 0111
A737
Por lo que se obtiene: 10100111001101112 = A73716
Ejemplo 2.
Cambiar de base Binaria a Hexadecimal el siguiente número: 11101001101001101112. Se agrupan las
cifras binarias en grupos de cuatro de la siguiente forma: 111|0100|1101|0011|0111 Ahora se cambia
cada grupo de cuatro cifras por su equivalente hexadecimal representado en la tabla; dando como
resultado:
9
111 0100 1101 0011 0111
74D37
Obteniéndose: 11101001101001101112 = 74D3716.
Cambio de base de Binario a Octal.
Para cambiar un número de base binaria a octal las cifras binarias se toman en tríadas. Esto es porque el
numero 7 octal ocupa tres cifras binarías (78 = 1112).
Ejemplo1
Cambiar de base Binaria a Octal el siguiente número: 10100111001101112.
Se agrupan las cifras binarias en grupos de tres de la siguiente forma 1|010|011|100|110|111. Ahora se
cambia cada grupo de cuatro cifras por su equivalente en octal representado en la tabla; dando como
resultado: 1234678.
Esto es: 10100111001101112 = 1234678.
Ejemplo 2.
Cambiar de base Binaria a Octal el siguiente número: 11101001101001101112
Se agrupan las cifras binarias en grupos de tres de la siguiente forma: 1|110|100|110|100|110|111
Ahora se cambia cada grupo de tres cifras por su equivalente en octal representado en la tabla; dando
como resultado: 16464678.
Esto es: 11101001101001101112 = 16464678.
Cambio de base de Binario a Decimal.
Cambiar de base Binario a Decimal el siguiente número: 10011011112.
Para hacer la conversión, se tiene que colocar en cada recuadro la bases 2 de la siguiente forma:
29282726252423222120 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
(Recuerde que es un sistema posicional).
Y se coloca cada cifra de acuerdo a su peso o posición en el número:
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1
Se multiplican los números por columnas y el resultado se suma.
1*512 + 1*64 + 1*32 + 8*1 + 4*1 + 2*1 + 1*1 = 512 + 64 +32 + 8 + 4 + 2 + 1 =
623 Así que resulta 10011011112 = 62310.
Otro ejemplo.
Cambiar de base Binario a Decimal el siguiente número: 1111101111B
Usamos la tabla:
29282726252423222120 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
10
Y se coloca cada cifra de acuerdo a su peso o posición en el número:
512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Se multiplican los números por columnas y el resultado se suma.
1*512 + 1*256 + 1*128 + 1*64 + 1*32 + 8*1 + 4*1 + 2*1 + 1*1 = 512 + 256 + 128 + 64 +32 + 8 + 4 + 2 + 1
= 1007
Así que resulta 11111011112 = 100710.
Cambio de base de Octal a Hexadecimal.
Cada cifra octal debe ser escrita con una extensión de tres posiciones, estas últimas son una combinación
de ceros y unos que corresponden al sistema binario. La razón es que la cifra 7 se puede escribir como
1112, y este número es el mayor en el sistema octal.
Ejemplo 1
Cambiar de base Octal a Hexadecimal el siguiente número: 7518.
Primero se cambia el número octal a binario.
Se observa de la tabla que: 78 = 1112, 58=1012, 18 = 0012.
Se toma el número binario 111101001 y de derecha a izquierda se toma cifras en tétradas, de la siguiente
forma: 1|1110|1001, estas tétradas se transcriben por su equivalencia en hexadecimal de acuerdo a la
tabla.
Quedando:
1 1110 1001 Binario
1 E 9 Hexadecimal
Con lo que se obtiene = 7518 = 1E916.
Ejemplo 2
Cambiar de base Octal a Hexadecimal el siguiente número: 3018.
Primero se cambia el número octal a binario.
De la tabla tiene que: 38 = 0112, 08= 0002, 18 = 0012.
Se toma el número binario 011000001 y de derecha a izquierda se toma cifras en tétradas, de la siguiente
forma: 0|1100|0001, estas tétradas se transcriben por su equivalencia en hexadecimal de acuerdo a la
tabla.
Quedando:
1100 0001 Binario
C 1 Hexadecimal
Con lo que se obtiene = 3018 = C116.
Cambio de base de Octal a Binario
11
Para cambiar un número de base octal a binaria, las cifras se escriben en tríadas binarias, de acuerdo a la
equivalencia de cada cifra de la tabla dos.
Ejemplo1
Cambiar de base Octal a Binaria el siguiente número: 7318.
Se tiene que 78 = 1112, 38 = 0112, 18 = 0012.
Quedando 7318 = 111 011 0012.
Ejemplo 2.
Cambiar de base Octal a Binaria el siguiente número: 3068.
Se tiene que 38 = 0112, 08 = 0002, 68 = 1102.
Quedando 3068 = 011 000 1102.
Cambio de base de Octal a Decimal
Cambiar de base Octal a Decimal el siguiente número: 37218.
Para hacer la conversión, se tiene que utilizar en lugar de la base 10 las bases 8 de la siguiente forma:
8483828180
4096 512 64 8 1
(Recuerde que es un sistema posicional).
Y se coloca cada cifra de acuerdo a su peso o posición en el número:
512 64 8 1
3721
Se multiplican los números por columnas y el resultado se suma.
512*3 + 64*7 + 8*2 + 1*1 = 2001
Así que resulta 37218 = 200110.
Otro ejemplo:
Cambiar de base Octal a Decimal el siguiente número: 102178.
Para hacer la conversión, se tiene que utilizar en lugar de la base 10 colocar la base 8 de la siguiente
forma:
8483828180
4096 512 64 8 1
Y se coloca cada cifra de acuerdo a su peso o posición en el número:
4096 512 64 8 1
10217
Se multiplican los números por columnas y el resultado se suma.
12
4096*1 + 512*0 + 64*2 + 8*1 + 1*7 = 423910.
Así que resulta 102178 = 423910.
Cambio de base de Decimal a Hexadecimal.
Se procede con el algoritmo.
Para ejemplificar el algoritmo se procede a cambiar el número 62510 a la base hexadecimal. 1. Se tiene la
base hexadecimal expresada en potencias. Designándole a cada recuadro una potencia.
163162161160
4096 256 16 1
2. Se busca el número más cercano a 62510 pero que no sea mayor a este. En este caso es el número
de la tabla 25610.
Se puede observar que 625 es mucho mayor que 256; utilizando prueba y error se busca un
número que multiplicado por 256 se acerque a 625 sin pasarse. En este caso se prueba con el
número 2; esto es (2) (256) = 512, si se prueba con el número 3, se tendría (3) (256) = 768 que es
un número mayor que 625; se desecha el número 3 y se selecciona el número 2, escribiéndose
en la casilla abajo del 256.
162161160
256 16 1
2
3. Se procede a restar 625 – (2)(256) = 625 – 512 = 113
4. Si el resultado es cero se ha terminado la conversión de bases.
Si no se procede con el punto 5.
5. Ahora el número a 113 es el que hay que convertir a base hexadecimal.
6. Se selecciona el número 16 de la tabla. Y se busca cuantas veces se debe multiplicar para
acercarse al 113.
Si se observa, al multiplicar 16*10 =160 y 16*5 = 80, los resultados proporcionan que el número
que se busca para multiplicar a 16, está entre 10 y 5, si se escoge el número 7 se tiene (16)(7) =
112, entonces 7 es el número que se está buscando.
Se escribe debajo de la casilla del número 16
162161160
256 16 1
27
13
Se procede a restar 113 – (16) (7) = 113 – 112 = 1
7. Si el resultado es cero se terminó la conversión
8. Se busca la casilla donde queda el último número, para este caso queda:
162161160
256 16 1
271
9. Se procede a restar 1 – 1 = 0. Se termina el proceso de conversión.
Por lo que el resultado es 62510 = 27116.
Es posible usar divisiones sucesivas para este tipo de conversión.
Las escribiremos de izquierda a derecha.
0
2
16
16
2
2
39
16
39
7
625
145
1
El proceso se detiene hasta que el cociente sea cero.
Los residuos de las divisiones son los dígitos del numeral en la nueva base, se escriben de
derecha a izquierda.
2 7 116
Otro ejemplo:
Convertir el número 67410 a Hexadecimal.
Se tiene la base hexadecimal expresada en potencias. Designándole a cada recuadro una potencia.
163162161160
4096 256 16 1
Se busca el número más cercano a 67410 pero que no sea mayor a este. En este caso es el número de la
tabla 25610.
14
Se puede observar que 674 es mucho mayor que 256; utilizando prueba y error se busca un número que
multiplicado por 256 se acerque a 674 sin pasarse. En este caso se prueba con el número 2; esto es (2)
(256) = 512, si se prueba con el número 3, se tendría (3) (256) = 768 que es un número mayor que 674; se
desecha el número 3 y se selecciona el número 2, escribiéndose en la casilla abajo del 256.
162161160
256 16 1
2
Se procede a restar 674 – (2) (256) = 674 – 512 = 162
Si el resultado es cero se ha terminado la conversión de bases.
Si no se procede nuevamente.
Ahora el número a 162 es el que hay que convertir a base hexadecimal.
Se selecciona el número 16 de la tabla. Y se busca cuantas veces se debe multiplicar para acercarse al
162.
Si se observa, al multiplicar 16*10 =160, por lo que se escoge al número 10 que es el que se está
buscando. Pero se recuerda, que en base hexadecimal a partir del 10 estos números son representados
por letras, y el 1010 = A16, este último es el que se escribe debajo de la casilla que ocupa el número 16.
162161160
256 16 1
2A
Se procede a restar 162 – (16) (10) = 162 – 160 = 2
Si el resultado es cero se terminó la conversión
Se busca la casilla donde queda el último número, para este caso queda:
162161160
256 16 1
2A2
Se procede a restar 2 – (2) (1) =0. Se termina el proceso de conversión.
Por lo que el resultado es 67410 = 2A216
Cambio de base de Decimal a Binario.
El algoritmo que procede a cambiar el numeral 52510 a la base binaria es:
1. Se tiene la base binaria expresada en potencias. Designándole a cada recuadro una potencia.
29282726252423222120 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
15
2. Se busca el número más cercano a 52510 pero que no sea mayor a este. En este caso es el número
de la tabla 51210. Y se escribe un 1 abajo del 512.
29282726252423222120 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 1
3. Se procede a restar 525 – 512 = 13
4. Si el resultado es cero se ha terminado la conversión de bases.
Si no, se sigue el proceso.
5. Ahora el número a 13 es el que hay que convertir a base binaria.
6. Se selecciona un número de la tabla que se acerque al 13 pero que no sea mayor que este. Para
este caso cumple con las condiciones el número 8, se escribe un 1 debajo del número 8 en la
tabla y todas las demás casillas vacías se rellenan con ceros.
29282726252423222120 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 0 0 0 0 1
Se procede a restar 13 – 8 = 5
7. Si el resultado es cero se terminó la conversión
Se busca un número en la tabla que se acerque al 5, para este caso es el 4 que está en la tabla. Se
escribe un1 debajo del número 4.
29282726252423222120 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 0 0 0 0 1 1
8. Se procede a restar 5-4=1
9. Si el resultado es cero se ha terminado la conversión de bases.
10. Se busca en la tabla un número que se acerque al 1 pero que no se pase. Para este caso es la
casilla que tiene un 1, debajo de esta se escribe 1 y se rellenan las casillas vacías que están a la
izquierda del número que se acaba de escribir en la tabla con ceros.
29282726252423222120 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1
16
11. Se resta 1-1 = 0. Se terminó el procedimiento de conversión.
Por lo que el resultado es 52510 = 10000011012.
La conversión de numeral decimal a numeral binario también se puede realizar con divisiones sucesivas
(se deja al lector que lo realice para comprobar el ejemplo dado).
Cambio de base de Decimal a Octal.
El algoritmo que procede a cambiar el numeral 72510 a la base octal. Se tiene la base ocho expresada en
potencias. Designándole a cada recuadro una potencia.
8483828180
4096 512 64 8 1
1. Se busca el número más cercano a 72510 pero que no sea mayor a este. En este caso es el número
de la tabla 51210. Y se escribe un 1 en la casilla abajo del 512.
83828180
512 64 8 1
1
2. Se procede a restar 725 – (1)(512) = 725 – 512 = 213
3. Si el resultado es cero se ha terminado la conversión de bases.
Si no sigue el proceso.
4. Ahora el número a 213 es el que hay que convertir a base octal.
5. Se selecciona el número 64 de la tabla. Y se busca cuantas veces se debe multiplicar para
acercarse al 213.
Si se observa, al multiplicar 64*5 = 320 y 64*3 = 192, los resultados proporcionan que el número
que se busca para multiplicar a 16, está entre 5 y 3, si se escoge el número 4 se tiene (64) (4) =
256, entonces 3 es el número que se está buscando.
Se escribe debajo de la casilla del número 64.
83828180
512 64 8 1
13
Se procede a restar 213 – (64) (3) = 213 – 192 = 21
6. Si el resultado es cero se terminó la conversión
7. Ahora el 21 es el número a convertir. Se Busca un número que se acerque al 21 y se puede
observar que (8) (2) = 16 y que es el que se acerca al número 21.
17
Se escribe 2 debajo de la casilla 8 que está en la tabla.
83828180
512 64 8 1
132
Se Precede a restar 21- (8) (2) = 21 – 16 = 5
8. Si el resultado es cero se terminó la conversión.
9. Ahora el numero 5 hay que convertirlo a base octal. Puede observarse que si se escoge de la tabla
el numero 1 cinco veces, se cumple con encontrar un número que sea menor o igual a 5 en la
tabla. Se escribe el número 5 debajo del número 1 de la tabla.
83828180
512 64 8 1
1325
10. Se procede a restar 5 – 5 = 0. Se termina el proceso de conversión.
Por lo que el resultado es 72510 = 13258.
Si usamos divisiones sucesivas:
1
90
8 11
8
3
725
8
8
8
05
5
8
11
90
8
8
10
2
8
Como el numeral buscado es en base 8 el
divisor será este. Recuerda que el proceso se
detiene cuando el cociente es cero. Los
residuos son los dígitos del numeral buscado
en dicha base.
En este caso escribimos las divisiones de
arriba hacia abajo por lo que el primer digito
de la conversión se coloca de derecha a
izquierda comenzando por el residuo de la
división de arriba.
13258.
18
0
81
8
1
8
Trabajando con fracciones.
Para la conversión entre bases numéricas se presentan dos métodos.
i). Método de truncamiento
ii). Método por posición.
A continuación se describen con ejemplos estos dos métodos.
Convertir fracciones de Base Diez a Octal.
Convertir números fraccionarios entre base diez otra base numérica por el método de posición
resulta tedioso en ocasiones. Es mejor utilizar un método por truncamiento, donde se multiplica
la fracción por la base a la que se piensa convertir y se trunca la parte entera.
Ejemplo 1
Convertir 0.310 a Octal
Se multiplica 0.3 por ocho y se va cortando la parte entera, que será la equivalencia al numeral a
convertir.
conversión
Multiplicación
Equivalencia
del numero
de
. 0.3*8 2 .4*8 3 .2*8 1 .6*8
4 .8*8 6 .4*8 3 .2
19
A partir de este punto la conversión se hace cíclica; por lo que se obtiene que:
0.310 = 0.2314638.
Ejemplo 2.
Convertir 0.4210 a Octal
Se multiplica 0.42 por ocho y se va cortando la parte entera, que será la equivalencia al número a
convertir.
de
conversión
Multiplicación
del numero
Equivalencia
. 0.42*8
3 .36*8
2 .88*8
7 .04*8
0 .32*8
2 .56*8
4 .48*8
3 .84*8
6 .92*8
7 .36
A partir de este punto la conversión se hace cíclica. Por lo que 0.4210 = 0. 3270243678.
Convertir fracciones de Base Diez a Hexadecimal
Se utilizara el método por corte, donde se multiplica la fracción por la base a la que se piensa
convertir y se trunca la parte entera.
20
Ejemplo 1
Convertir 0.310 a Hexadecimal
conversión
Multiplicación
Equivalencia
del numero
de
. 0.3*16
4 .8*16
C .8
A partir de este momento la multiplicación es cíclica. Entonces 0.310 = 0.4C16.
Ejemplo 2
Convertir 0.2510 a Hexadecimal.
conversión
Multiplicación
Equivalencia
del numero
de
. 0.25*16
4 .00
Entonces 0.2510 = 0.416.
Convertir fracciones de Base Diez a Binario.
Se utilizara el método por corte, donde se multiplica la fracción por la base a la que se piensa
convertir y se trunca la parte entera.
Ejemplo 1
Convertir 0.310 a Binario
conversión
Multiplicación
Equivalencia
del numero
de
21
. 0.3*2
0 .6*2
1 .2*2
0 .4*2
0 .8*2
1 .6
A partir de este momento la multiplicación es cíclica. Entonces 0.310 = 0.010012.
Ejemplo 2
Convertir 0.2510 a Binario
conversión
Multiplicación
Equivalencia
del numero
de
0 .25*2
0 .50*2
1 .00
Entonces 0.2510 = 0.012
Convertir fracciones de Base Octal a Base Diez.
Para convertir números de base Octal, hexadecimal y Binario es mejor hacerlo por el sistema
posicional.
Para la conversión de octal a decimal se utiliza el siguiente sistema de casillas, con el objeto de
facilitar las operaciones. En cada casilla es reescrito cada cifra según la posición que ocupe en el
número y se multiplica por el valor que tenga según su posición; para al final sumar todos los
resultados.
8-68-58-48-38-28-1 0.000011444091796875 0.000030517578125 0.00024414 0.00195313
0.015625 0.125
22
Ejemplo 1
Convertir 0.2314638 a Decimal
1. Se escriben en la tabla cada cifra según la posición que ocupa en el número.
8-68-58-48-38-28-1 0.000011444091796875 0.000030517578125 0.00024414 0.00195313
0.015625 0.125 3 6 4 1 3 2
1. Se multiplica cada cifra que se ha reescrito por la cantidad que está en su misma columna. Para
posterior mente sumar los resultados.
0.000011444091796875 0.000030517578125 0.00024414 0.00195313 0.015625 0.125 3 6 4 1
32
(0.000011444091796875*3) + (0.000030517578125*6) + (0.00024414*4) + (0.00195313*1) +
(0.015625*3) + (0.125*2) = 0.310
Entonces 0.2314638 = 0.310.
Ejemplo2
Convertir 0.3270248 a Decimal
1. Se escriben en la tabla cada cifra según la posición que ocupa en el número.
8-68-58-48-38-28-1 0.000011444091796875 0.000030517578125 0.00024414 0.00195313
0.015625 0.125 4 2 0 7 2 3
2. Se multiplica cada cifra que se ha reescrito por la cantidad que está en su misma columna. Para
posterior mente sumar los resultados.
0.000011444091796875 0.000030517578125 0.00024414 0.00195313 0.015625 0.125 4 2 0 7
23
(0.000011444091796875*4) + (0.000030517578125*2) + (0.00024414*0) + (0.00195313*7) +
(0.015625*2) + (0.125*3) = 0.4210
Entonces 0.3270248 = 0.4210.
23
Convertir fracciones de Base Hexadecimal a Octal.
Para la conversión de hexadecimal a decimal se utiliza el siguiente sistema de casillas, con el
objeto de facilitar las operaciones. En cada casilla es reescrito cada cifra según la posición que
ocupe en el número y se multiplica por el valor que tenga según su posición; para al final sumar
todos los resultados.
16-516-416-316-216-1 0.00000095367431640625 0.0000152587890625 0.000244140625
0.00390625 0.0625
Ejemplo 1
Convertir 0.4C16 a Decimal
Recuerde que C16 = 1210
1. Se escriben en la tabla cada cifra según la posición que ocupa en el número.
16-516-416-316-216-1 0.00000095367431640625 0.0000152587890625 0.000244140625
0.00390625 0.0625 12 4
2. Se multiplica cada cifra que se ha reescrito por la cantidad que está en su misma columna. Para
posterior mente sumar los resultados.
16-216-1
0.00390625 0.0625
12 4
(0.00390625*12) + (0.0625*4) = 0.296875
El resultado se aproxima a 0.310, por lo que 0.4C16 = 0.310.
Ejemplo 2
Convertir 0.416 a Decimal
1. Se escriben en la tabla cada cifra según la posición que ocupa en el número.
16-516-416-316-216-1 0.00000095367431640625 0.0000152587890625 0.000244140625
0.00390625 0.0625 4
24
2. Se multiplica cada cifra que se ha reescrito por la cantidad que está en su misma columna. Para
posterior mente sumar los resultados.
16-1
0.0625
4
(0.0625*4) = 0.2500
Entonces 0.416 = 0.2510.
Convertir fracciones de Binario a Decimal
Para la conversión de binario a decimal se utiliza el siguiente sistema de casillas, con el objeto de
facilitar las operaciones. En cada casilla es reescrito cada cifra según la posición que ocupe en el
número y se multiplica por el valor que tenga según su posición; para al final sumar todos los
resultados.
2-92-82-72-62-52-42-32-22-1 0.00195313 0.00390625 0.0078125 0.015625 0.03125 0.0625 0.125
0.25 0.5
Ejemplo
Convertir 0.010012 a Decimal
1. Se escriben en la tabla cada cifra según la posición que ocupa en el número.
2-92-82-72-62-52-42-32-22-1 0.00195313 0.00390625 0.0078125 0.015625 0.03125 0.0625 0.125
0.25 0.5 1 0 0 1 0
2. Se multiplica cada cifra que se ha reescrito por la cantidad que está en su misma columna. Para
posterior mente sumar los resultados.
0.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5
10010
(0.03125*1) + (0.0625*0) + (0.125*0) + (0.25*1) + (0.5*0) = 0.28125D
El resultado se aproxima a 0.3 10, por lo que 0.010012 = 0.310
25
1.3 Operaciones (suma, resta y producto).
Introducción.
Las computadoras utilizan un sistema binario para almacenar números. Este sistema es conveniente ya
que los números pueden representarse utilizando sólo dos niveles de voltaje; uno de ellos representa el 0
en tanto que el otro representa 1. Es importante entender la forma como el sistema binario se relaciona
con el sistema base 10 común. Se usa la base 10 para las entradas, pero la computadora convierte los
numerales a base 2 para realizar cálculos, y después los vuelve a convertir a base 10 para presentar un
resultado. Es por ello que es necesario entender cómo se desarrolla la aritmética de estos numerales.
Las operaciones básicas de suma, resta, y producto que se realizan en sistema decimal, también se
pueden llevar a cabo en cualquier sistema numérico aplicando las mismas reglas y teniendo en cuenta la
base en la que se encuentran los números con los que se efectúa la operación. Es importante observar
que las cantidades que se estén operando se deben de encontrar en la misma base, y en caso de no ser
así lo primero que se debe de hacer es la conversión correspondiente de cada una de ellas.
SUMA CON NUMERALES EN BASE DISTINTA DE 10.
Así como el sistema decimal tiene sus tablas de sumar, a cada sistema se le puede construir su tabla. (Es
importante que usted considere el pensar siempre en la base que está sumando como si fuera la 10
apoyarse en las tablas).
BASE 2 (Binario)
+
0
1
10
11
0
0
1
10
11
1
1
10
11
100
10
10
11
100
101
11
11
100
101
110
Ejemplo:
Sumar los numerales binarios: 10100112 + 1100112
Se colocan los numerales como si sumara un numeral en base diez, (de derecha a izquierda).
1111
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
Se comprueba al hacer la conversión, que el
numeral 100001102 tiene el mismo valor al de
base 10.
+
10
0
12 + 12 = 102 según tabla. Se coloca el cero y se lleva 12 Por lo que 12 +
12 = 102 y 102 + 12 = 112. Se coloca 1 y se lleva 12. Siguiendo 12 + 0 = 12
y 12 + 0 = 12 Se coloca 1 y no se lleva nada. 0 + 0= 0
26
12 + 12 = 102 .Se coloca el cero y se lleva 12.
12 + 0 = 12 y 12 + 12 = 102 Se coloca el cero y se lleva 12.
Por último 12 + 12 = 102.
Si hacemos conversión de los numerales dados a base 10.
8
310
5
110
3
410
+
1
Ahora se dará un ejemplo considerando el método de Poyla (Se verá con más detalle en el
capítulo III)
SUMA BINARIA.
Ejemplo:
1101
+
2
1011
2
El subíndice 2 indica la base del numeral; en este caso base dos o binaria.
Etapa 1.
Comprensión del problema.
- Entender que un binario sólo se compone de dos numerales (0 y 1). Se lee de derecha a 1101 uno,
cero, uno, uno; base dos.
izquierda. ejemplo: 2
- La estructura de un numeral es:
Súper índice: exponente, indica las
veces que se debe multiplicar la
2
1
base. Base
a =1 donde a ≠ 0( se lee a diferente de cero) ya que si a vale cero sería:0
para el caso 0
existe.
0lo cual no
27
- Recordar que el sistema decimal son numerales posicionales:
Ejemplo:
u: unidades ; d: decenas ; c: centenas. Tienen nombres especiales cada una de las posiciones.
Observamos que nuestro sistema usa la base 10. La notación desarrollada lo muestra: Nota:
como se ha visto anteriormente 0
10 1 =
012
9 10 2 10 5 10
×+×+×=
()()()
9 1 2 10 5 100
×+×+×=
()()()
9 20 500 529
++=
Si se usa la notación desarrollada para un numeral binario, aquí se emplea como base el numeral dos
como ya vimos en decimal se usa base 10.
110120
2
2
3
2
2
2
1
observe que la base inicia con exponente 0 y va aumentando de 1 en 1, lo mismo sucede con la base
10. Desarrollando se tiene:
Recordemos que 3
22228=××=
0123
21202121
×+×+×+×=
()()()()
11204181
×+×+×+×=
()()()()
1 0 4 8 13
+++=
Lo que hemos hecho entonces al usar la notación desarrollada en el numeral binario, es la conversión al
numeral decimal. Por lo que 2 10 1101 13 = se lee: uno, cero, uno, uno; base dos es igual al numeral
trece base 10.
28
Usando el mismo procedimiento para el numeral a sumar del ejemplo se tiene:
0123
21212021
×+×+×+×=
()()()()
11214081
×+×+×+×=
()()()()
1 2 0 8 11
+++=
Por lo que
2 10
1011 11 =
Etapa 2.
Establecer estrategia para solución del problema.
Con la ayuda de la parte de comprensión del problema la estrategia a emplear es usar la tabla de suma
binaria como se usa en la tabla de numerales decimales.
Etapa 3.
Desarrollo de estrategia.
En la tabla decimal la operación suma se establece de la siguiente forma:
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
3
2
2
3
4
Siga usted el resultado donde se encuentra la horizontal y vertical.
Del mismo modo se construye la tabla binaria, que como hemos visto se realiza la conversión ahora de
decimal a binario.
1
0
3
2
2
2
2
Decimal
1
2
3
4
5
6
7
8
Binario
1
10
11
100
101
110
111
1000
2
Consideremos un ejemplo: si queremos saber cuánto vale 5 base 10 en binario, al sumar las posiciones
vemos que lo conseguimos sumando 4 + 1 del decimal, lo que corresponde a 0 2y 2
2del binario; así la
posición inicial del binario seria
()
0
2 1×= 1 la siguiente es
()
= 0 y por ultimo
20×
()
1
2
2 1×= 4. Lo cual al sumar se tendría el 5 decimal.
29
Por lo tanto: uno, cero, uno; binario corresponde a cinco en decimal.
2 10
101 5 =
Con esta información construimos la tabla binaria de la misma forma que la decimal. Pero con el lenguaje
binario.
+
0
1
10
0
0
1
10
1
1
10
11
10
10
11
100
Ahora si usemos la tabla para el ejemplo propuesto, y sigamos el procedimiento como si se hiciera una
suma aritmética de numerales decimales:
1101
1101
+2
+2
1011
1011
2
2
1+1=10
ver tabla
2
SE LLEVA 1y
1 1101
+ 2 1011
usando la tabla.
0
Se pone cero
Se sigue el mismo proceso
1 + 0 = 1 + 1= 10
30
11 1101
+ 2 1011
2
1 + 1 = 01 + 0 = 10
SE LLEVA 1
y
00
SE LLEVA 1
111 1101
+ 2 1011
2
000
Se pone cero
y
Se pone cero 1 + 1 = 10 + 0 = 10
2
11000
Resultado final
111
1101
+
2
Etapa 4.
1 + 1 = 10 + 1 = 11
1011
La solución responde a la pregunta.
Demostremos que la suma binaria es correcta. Ya se hicieron las conversiones de los sumandos
involucrados.
1101
+2
1011
2
1101 13 =
2 10 1011 11 =
2 10
31
Sólo falta convertir el resultado de la suma binaria.
11000
01234
0202021212
×+×+×+×+×=
()()()()()
0 1 0 2 0 4 1 8 1 16
×+×+×+×+×=
()()()()()
000 8 16 24
++++=
Si se realiza la suma decimal se tiene:
2
13 + 11 = 24 resultado que corresponde a la conversión de la suma binaria.
SUMA OCTAL.
Utilizaremos este diagrama para la suma de numerales octales.
Recuerde que los numerales en octal no lo conforman numerales enteros mayores que siete.
Ejemplo:
3
78
5
38
+
28
32
La suma se inicia de derecha a izquierda. Usando el diagrama, cada vez que se pasa por el punto de
referencia se lleva uno, en este ejemplo se inicia en el siete y se suma 3, donde termine esta adición se
coloca el resultado. (Seguir el mismo sentido de las manecillas del reloj)
Para el siguiente dígito se lleva 1 ya que pasó por el punto de referencia y se sigue el procedimiento:
11
3
78
5
38
18
28
+
18
33
Se pasó por el punto de referencia se lleva uno el cuál se suma con cero ya que no hay más numerales en
el ejemplo. Por lo que el resultado es 1128.
Si se realizan las conversiones de los numerales a base diez se tienen:
3
110
4
310
7
410
+
El numeral 1128 en base diez corresponde a 74 por lo que el diagrama nos sirve para realizar la operación
de este tipo.
SUMA HEXADECIMAL.
34
De forma parecida usaremos el diagrama para las suma de numerales
hexadecimales.
Ejemplo:
1
A
7
D
E16
3
F
816
+
616
35
Se
pasó por el punto de referencia se lleva uno y se trabaja el mismo procedimiento.
1
A
7
D
E16
3
F
816
D
616
+
36
Se pasó por el punto de referencia se lleva uno.
11
A
7
D
E16
3
F
816
D
616
+
A
B
37
En esta ocasión no se pasó por el punto de referencia. Así la última operación será A + cero
igual a A. El numeral resultante es ABD6 16. Verificar la operación se queda al lector.
38
RESTA CON NUMERALES EN BASE DISTINTA DE 10.
MULTIPLICACIÓN CON NUMERALES EN BASE DISTINTA DE 10.
Así como el sistema decimal tiene sus tablas de multiplicar, a cada sistema se le puede construir su tabla.
BASE 2 (Binario)
×
0
1
0
0
0
1
0
1
BASE 8 (Octal)
×
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
10
12
14
16
3
0
3
6
11
14
17
22
25
4
0
4
10
14
20
24
30
34
5
0
5
12
17
24
31
36
43
6
0
6
14
22
30
36
44
52
7
0
7
16
25
34
43
52
61
BASE 16 (Hexadecimal)
×
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
2
0
2
4
6
8
A
C
E
10
12
14
16
18
1
A
1C
1
E
3
0
3
6
9
C
F
12
15
18
1
B
1
E
21
24
27
2A
2D
4
0
4
8
C
10
14
18
1
C
2
0
24
28
2C
30
34
38
3C
5
0
5
A
F
14
19
1
E
23
28
2D
32
37
3C
41
46
4B
6
0
6
C
12
18
1
E
24
2A
3
0
36
3C
42
48
4E
54
5A
7
0
7
E
15
1
C
23
2A
31
3
8
3F
46
4D
54
5B
62
69
8
0
8
10
18
20
28
30
38
4
0
48
50
58
60
68
70
78
9
0
9
12
1
B
24
2D
36
3F
4
8
51
5A
63
6C
75
7E
87
A
0
A
14
1
E
28
32
3C
46
5
0
5A
64
6E
78
82
8C
96
39
B
0
B
16
21
2C
37
42
4D
5
8
63
6E
79
84
8F
9A
A5
C
0
C
18
24
30
3C
48
54
6
0
6C
78
84
90
9C
A8
B
4
D
0
D
1
A
27
34
41
4E
5B
6
8
75
82
8F
9C
A9
B
6
C3
E
0
E
1C
2A
38
46
54
62
7
0
7E
8C
9A
A8
B
6
C4
D
2
F
0
1
E
2D
3C
4B
5A
69
7
8
87
96
A5
B
4
C3
D
2
E
1
F
MATERIAL COMPLEMENTARIO.
SISTEMAS NÚMERICOS
40
Saber hacer:
UNIDAD TEMATICA II. ALGEBRA BOOLEANA
Objetivo: El alumno construirá proposiciones y predicados para evaluarlos mediante tablas de
verdad. Resultado de aprendizaje: Elabora un compendio de ejercicios que contenga:
• Propuestas de proposiciones.
• Predicados.
• Evaluación a través de tablas de verdad.
Temas:
2.1Simbolización de proposiciones
2.1.1 Proposiciones, términos de enlace y forma.
2.1.2Agrupamiento y eliminación de algunos paréntesis.
2.2 Inferencia Lógica.
2.2.1 Reglas de inferencia y demostración.
2.2.2Tablas de certeza.
2.2.3 Términos, predicados y cuantificadores universales.
saber:
2.1 Simbolización de proposiciones
Lógica proposicional.
La lógica proposicional o lógica de predicados es un sistema formal realizado para tratar la verdad o
falsedad de las proposiciones. Además de cómo un conjunto de verdad de una proposición se transmite a
otra; así se tiene que una proposición es la unidad mínima que se puede calificar de falsa o verdadera.
Una palabra simple como caballo, no tiene un conjunto de verdad ya que no es una proposición. Sin
embargo si decimos el caballo corre velozmente por el campo, si tiene un conjunto de verdad, es decir se
puede calificar de falsa o verdadera.
Las proposiciones se clasifican en: Atómicas y Moleculares.
Las proposiciones atómicas son aquellas que no se compones de otras proposiciones, es decir carece de
conectivos como son el de conjunción (y), disyunción (o), el de implicación (entonces) o algún otro. En
lenguaje natural se puede decir que no son oraciones compuestas.
Un ejemplo de proposición atómica es el perro juguetea con su pelota. Es una proposición atómica, ya
que tiene un conjunto de verdad y además no está compuesta por algún conectivo que ligue dos más
proposiciones lógicas.
Las proposiciones moleculares están compuestas por proposiciones atómicas ligadas por algún conectivo
lógico y poseen un conjunto de verdad.
Ejemplo:
El perro corre y juega con su pelota. Es una proposición molecular, ya que está compuesta por dos
proposiciones atómicas, el perro corre, juega con su pelota unidas por el conectivo o partícula y. Esta
proposición tiene un conjunto de verdad.
Ejercicios
41
Coloca una palomita (√) a las proposiciones atómicas y un tache a las moleculares (X).
1. Pedro tiene una hermana
2. El día es cálido y lluvioso
3. Hay mucho tráfico
4. Juan y Guadalupe
5. Estudiar es difícil
6. El numero dos es par.
7. Los números primos
8. Las personas son muchas
9. El círculo polar
10. María abre su ventana.
Ejercicios
Coloca una V si la proposición es verdadera y una F si es falsa
1. Los cuadrados y rombos son cuadriláteros
2. Todos los mortales son hombres.
3. Las calles son de asfalto
4. Todos los marsupiales tiene una bolsa
5. El ratón es un mamífero
6. La ballena es un cetáceo.
7. Carolina hace ejercicio todas las mañanas
8. Todos los números fraccionarios son reales.
9. El sol es la estrella más cercana a la tierra
10. Los planetas se observan de noche.
2.1.1 Proposiciones abiertas.
Las proposiciones abiertas son aquellas que contienen alguna variable y un conjunto de
reemplazamiento. Muchas ocasiones se tienen que tratar con proposiciones en las que se tiene que
decidir si son falsas o verdaderas. Para esto se utilizan símbolos que tienen un significado único y bien
definido; ejemplo {x/ x es un numero par}, x pertenece a los enteros positivos. Esta oración se puede
hacer falsa o verdadera, según los números que remplacen a la variable x.
Las proposiciones atómicas son oraciones declarativas, estas tienen un sujeto y un predicado.
Generalmente utilizan el verbo ser, esto facilita que se puedan reescribir o modificar para decir que si el
sujeto del que se está hablando forma parte de un conjunto. Esto induce que se podría utilizar conjuntos
para saber si es falsa o verdadera la proposición.
Ejemplo 1
Todo hombre es mortal, se re-escribe como “El conjunto de todos los hombres es un sub-conjunto del
conjunto de todos los mortales”.
A={hombres mortales}, B={todos los mortales}
Así que A es un subconjunto del conjunto B
42
Ejemplo 2
A={números enteros}
B={x / x es par}
Por lo que B es un subconjunto de conjunto A
2.1.2 Proposiciones Compuestas
Las proposiciones atómicas y abiertas son los elementos básicos en la composición de otras
proposiciones más complejas uniéndolas por medio de conectivos conjuntivos, disyuntivos, de
implicación y la partícula de negación no. A las proposiciones de esta manera ligadas, se les llama
proposiciones compuestas y su valor de verdad o conjunto de verdad dependerá de los valores de verdad
de las proposiciones que las componen.
2.1.2.1 La Conjunción (y, . ,Λ,and)
Al asociar dos proporciones usando el conectivo lógico y; se forma la proposición compuesta llamada
conjunción o proposición conjuntiva.
Una proposición conjuntiva solo es verdadera cuando las proposiciones atómicas son verdaderas. De otra
forma es falsa, eso se muestra en la siguiente tabla.
Proposición A
Proposición B
Proposición A
Λ
Proposición B
Verdadero
Verdadero
Verdadero
Verdadero
Falso
Falso
Falso
Verdadero
Falso
Falso
Falso
Falso
Ejemplos
i) 6 es un número par y 6 es número natural. Verdadera, ambas proposiciones lo son. ii) ii) 4 es un
número natural y 4 es un número impar. Falsa, porque la segunda proposición 4 es número impar es
falsa.
2.1.2.2 Disyunción (o,V,+ , or)
A la proposición compuesta unida por el conectivo o se le llama disyuntiva o proposición disyuntiva. El
conectivo es una o inclusiva, esto se entiende que puede ser seleccionar una de las dos proposiciones o
las dos. La disyunción es verdadera si cualquiera de las proposiciones que la componen es verdad. De
otra manera es falsa como lo expresa la siguiente tabla.
43
Proposición A
Proposición B
Proposición A
V
Proposición B
Verdadero
Verdadero
Verdadero
Verdadero
Falso
Verdadero
Falso
Verdadero
Verdadero
Falso
Falso
Falso
Ejemplo 1
35 es múltiplo de 5 o (7)4)=35. Verdadera porque la primera proporción es
verdadera. Ejemplo 2
Puebla es un estado o es la capital del estado del mismo nombre. Verdadera; las dos proposiciones son
verdaderas.
2.1.2.3 Negación (-,~,not)
En algunas ocasiones la negación no solo afecta a una proposición, sino alcanza a un conjunto de
proposiciones. El valor de verdad es cambiado cuando es afectada por la partícula ~ (negación), como se
ejemplifica a continuación.
Ejemplo
a/b = c “y” b≠0 La negación es: a/b ≠ c “o” b = 0
ab ≠ ac “o” c=1 La negación es: ab = ac “y” c ≠ 1
Notas:
La negación de una conjunción da como resultado la disyunción de las proposiciones
negadas. La negación de una disyunción da como resultado la conjunción de las
proposiciones negadas.
2.1.3 Implicación y equivalencia lógica
Cuando se unen dos proposiciones utilizando el conectivo lógico si entonces, se forma una proposición
compuesta conocida como implicación y se considera formada en dos partes:
La primera es la proposición que se precede por la partícula “si” y la se llama suposición o hipótesis de la
implicación.
La segunda parte está constituida por la otra proposición precedida por la palabra “entonces” y se
conoce como la conclusión de la implicación.
Si se hace que p represente la suposición y q represente la conclusión, se tiene: si p entonces q. p→q (es
la forma simbólica de expresar si p entonces q)
p solo si q
44
p implica q
Ejemplos.
x> 7 implica x> 6 esto es si x > 5 entonces x>6
x = 2 si 2x -1 = 2, se puede tener si 2x-1 = 2 entonces x=2
La implicación también toma un conjunto de verdad. Es falsa la implicación cuando la hipótesis es
verdadera y la conclusión es falsa. Esto se muestra en la siguiente tabla.
Proposición A
Proposición B
Proposición A
→
Proposición B
Verdadero
Verdadero
Verdadero
Verdadero
Falso
Falso
Falso
Verdadero
Verdadero
Falso
Falso
Verdadero
Nota: Las proposiciones que tiene el mismo conjunto de verdad se les llama proposiciones
lógicamente equivalentes.
2.1.4 Bicondicional o doble implicación (↔)
La proposición bicondicional se lee como: Proposición A si y solo si Proposición B, también otra forma de
entenderla es la siguiente Proposición A equivale a Proposición B. Sus valores de verdad se presentan en
la siguiente tabla, se puede observar que es verdadera cuando el antecedente y el consecuente tienen el
mismo valor de verdad.
Proposición A
Proposición B
Proposición A
↔
Proposición B
Verdadero
Verdadero
Verdadero
Verdadero
Falso
Falso
Falso
Verdadero
Falso
Falso
Falso
Verdadero
45
Ejercicios
Identifica proposiciones sencillas en los siguientes enunciados, asígnale letras a cada una de ellas y
vuélvelas a expresar:
1. Los niños son sanos y juegan mucho
2. Los números enteros pueden ser positivos o negativos
3. Perder el trabajo es una experiencia difícil, la ausencia de un ser querido también lo es. 4.
Las vacaciones se disfrutan cuando se tiene dinero
5. No puedo hacer mi tarea
6. Magdalena no quiere estudiar ni trabajar
7. El cero no es un número negativo
8. 24 es divisible por 8 y no es divisible por 5
9. En invierno oscurece temprano y amanece tarde
10. Adriana termina su carrera o no la siguen apoyando
2.1.5 El lenguaje del cálculo preposicional.
Se formaliza el lenguaje de la lógica proposicional Lp , especificando los símbolos y reglas para formar
proposiciones lógicas. Por lo que se tiene la siguiente definición:
Definición 2.1 de los símbolos de Lp :
Paréntesis: ( )
Conectivos: not (no, ~), si…entonces(→)
Formulas atómicas: p, q, r, s, t,……
Definición 2.2
Las formulas de Lp son una secuencia finita o cadenas definidas en 2.1, las cuales cumplen las siguientes
reglas.
Cualquier fórmula atómica es una formula.
Si A es una formula, entonces (~A) es una formula
Si A y B son formulas entonces (A → B) es una formula.
Otra secuencia de símbolos no es una formula.
Al seguir estas reglas se dice que se forman formulas bien formadas (fbf).
Muy a menudo se utilizan las letras p, q, r, s, t,…. para representar formulas y las letras mayúsculas A, B,
C, D,….. para representar un conjunto de formulas.
Los paréntesis se utilizan para agrupar formulas. ~ y → representan las conectivas de negación y de
implicación y como sea visto p, q, r, s, t… son formulas atómicas (recuerde que no posen conectivos). Se
pueden tener las siguientes formulas atómicas.
p: La luna es casa de los conejos.
q: En la luna viven los conejos.
Estas fórmulas atómicas representan la siguiente proposición.
46
(~p → (~q)) de Lp, se puede observar que la veracidad de la proposición depende de la interpretación de
de cada formula atómica.
Definición 2.3.
Cualquier fórmula atómica es una formula y cualquier otra fórmula es construida a partir de las formulas
atómicas utilizando los conectores y paréntesis en formas particulares.
Por ejemplo q, (p → (~q)), (((~p) → (p → q)) → q) son todas formulas bien formadas por que cumplen
con la definición 1.2, pero X1, (q), () ~ p, p → q y (q → (~p) no son formulas bien formadas. Observación.
Cualquier fórmula de Lp, tienen la misma cantidad de paréntesis abiertos que cerrados.
2.1.6 Convenios informales.
A primera vista Lp no parece capaz de proporcionar una forma de encontrar fórmulas lógicamente
equivalentes sin el conecto →. Así que las sentencias pueden cambiadas por proposiciones lógicamente
equivalentes utilizando los conectores Λ (y), V (o), ↔ (si y solo si). Puesto que no se encuentran entre los
símbolos de Lp solo se van a utilizar para sustituir a ~ y →, utilizando las siguientes proposiciones de
equivalencia.
2.1.7 Proposiciones de equivalencia lógica.
1. (A Λ B) ≡ (~(A → (~B)))
2. (A v B) ≡ ((~A) → B)
3. (A ↔ B) ≡ ((A → B) Λ (B → A))
4. ((A Λ B) v (~A)) ≡ (A → B)
5. ((~A) v B) ≡ (A → B)
No se incluyeron los símbolos Λ (y), V (o), ↔ (si y solo si) en la lista de Lp por que se puede
demostrarse cualquier proposición sin ellos; pero cabe decir que facilitan las cosas.
Problemas
Transcribe las siguientes proposiciones utilizando las de equivalencia lógica y que solo queden con
conectivos ~ y →.
1. ((p v q) Λ (p → q))
2. ((((p v q) Λ (r → s)) → t) Λ (q Λ s))
3. ((p v (q Λ s)) v (r v s))
4. (((p Λ q) Λ (q Λ s)) → (r v s))
5. ((p Λ q) ↔ ((q Λ s) → (r V s)))
6. (((p v q) Λ (p → q)) Λ ((r → s) Λ (q Λ s)))
7. ((p v (q Λ s)) ↔ ((r v s) v (q Λ s)))
47
8. ((p v q) ↔(r v (p → q)))
9. ((((p ↔ q) Λ (r → s)) v t) ↔ (q Λ s))
10. (((p v s) ↔ (q Λ s)) ↔ (r v s))
11. (((p v q) ↔ (q Λ s)) → (~ (r v s)))
12. (((p v s) V (p Λ q)) ↔ ((q v s) → (r v s)))
13. (((p v q) ↔ (p → q)) Λ ((r v s) Λ (q v s)))
14. (((p v q) ↔ (q Λ s)) ↔ (s v (q Λ s)))
15. ((p v q) ↔ ((p → q) Λ (p v q)))
16. (((p v q) Λ (r v s)) → t)
17. ((~(p v (q Λ s))) v (r ↔ s))
18. ((q Λ s) → (r v s))
19. (((p Λ q) ↔ (q Λ s)) → (r v s))
20. ((p → q) Λ ((r → s) Λ (q Λ s)))
21. ((q Λ s) ↔ ((r v s) v (q Λ s)))
22. (((p v q) ↔ r) Λ (p → q))
23. ((p ↔ q) Λ ((r → s) ↔ (q Λ s)))
24. ((( s ↔ (q Λ s)) ↔ (r v s))
25. ((p v q) ↔ ((q Λ s) → (~ (r v s))))
26. ((p v s) v (((p Λ q) ↔ (q v s)) → (r v s)))
27. (((p → q) Λ (r v s)) Λ (q v s))
28. ( (q Λ s) ↔ (s v (q Λ s)))
29. ((r → s) Λ (q Λ s))
30. ((r v s) v (q Λ s))
31. (r v (p → q))
32. (( (r → s) v t)↔ (q Λ s))
33. ((p v s) ↔ (q Λ s))
34. (r v s) ↔ (p v q) )
35. ((q Λ s) → (~ (r v s)))
36. ((q v s) → (r v s))
37. ((p v q) ↔ (p → q))
2.1.8 Precedencia de conectivos.
Muchas veces se reducen los paréntesis de las proposiciones, esto es una forma no convencional de la
lógica proposicional. Pero normalmente se adopta que p → q es (p → q) y que ~p es (~p).
Entonces ~ toma precedencia sobre →, cuando no existen paréntesis, así que ~q → p es
equivalente a ((~q) → p). Así que se tiene la informal precedencia de los conectivos como sigue:
~, Λ, V, →, ↔.
48
2.1.9 Las Tablas de verdad y su simbología
Cuando tenemos una formula A de Lp el conjunto de verdad depende de cómo se interpretan las
formulas atómicas que la componen. Así se tiene que A es la fórmula atómica 3-2 = 1.
Definición 2.1
γ es una función que asigna valores de verdad. Su dominio es el conjunto de todas las proposiciones de
Lp y su rango es el conjunto de verdad {V, F} (verdadero, falso), por lo que se tiene: 1. γ(A) es definida
para cualquier fórmula atómica A.
2. Para cualquier fórmula B, se tiene:
3. Para cualquier fórmula A y B se tiene que:
Teniendo en cuenta la interpretación de las formular atómicas de Lp, la correspondiente asignación de
verdad a cada formula atómica seria para un enunciado verdadero el valor V y para aquellas que
representen una declaración falsa el valor seria F.
4. Para cualquier fórmula A y B se tiene que:
A las proposiciones unidad por medio del conectivo lógico Λ, se le conoce como disyunción. No se
requiere que el contenido de una de ellas tenga relación con el contenido de la otra. 5. Para cualquier
fórmula A y B se tiene que:
A las proposiciones unidad por medio del conectivo lógico V, se le conoce como conjunción. Hay que
tomar en cuenta que se está utilizando el sentido incluyente de la palabra “o”.
6. Para cualquier fórmula A y B se tiene que:
Es decir, una proposición condicional es cierta si y solo si sus dos proposiciones son ambas ciertas o
falsas.
49
2.1.10 Generando las combinaciones de los valores de verdad. Si se tiene más de una
formula atómica o variable, la generación de las combinaciones de los valores de verdad se puede hacer
por medio de un árbol, de la forma siguiente.
Para dos proposiciones p y q, se tiene que p puede tomar los valores se verdad V y F, al igual q puede
tomar los valores de verdad V y F. Pero cuando p toma uno de los valores de verdad q puede tomar uno
de las dos posibilidades F o V. A continuación se presenta la gama de valores que puede tomar p y q.
Los posibles valores que pueden tomar p y q se muestran en la siguiente tabla.
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
Para tres variables p, q y r el árbol de combinaciones es el siguiente.
Y la tabla queda:
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Ejercicios
50
Realice las tablas de verdad de las siguientes proposiciones.
1. ((p v q) Λ (p → q))
2. ((p v q) Λ((~p) v q))
3. ((((p v q) Λ (r → s)) → t)
4. (q Λ s))
5. ((p v (q Λ s))
6. ( (q Λ s) → (r v s))
7. ((q Λ s) → (r v s))
8. ((r → s) Λ (q Λ s))
9. ((p V (q Λ s))
10. ((r v s) v (q Λ s))
11. (r v (p → q))
12. (( (r → s) v t) ↔ (q Λ s))
13. ((p v s) ↔ (q Λ s))
14. (r v s) ↔ (p v q) )
15. ((q Λ s) → (~ (r v s)))
16. ((q v s) → (r v s))
17. ((p v q) ↔ (p → q))
18. ((r v s) Λ (q v s))
19. ((p V q) ↔ (q Λ s))
20. ((p v q) Λ (p → q))
21. ((p v q) Λ((~p) v q))
22. (((p v q) Λ (r → s)) → t)
23. (p v (q Λ s))
24. (q Λ s) → (q v s)
25. (p Λ q) ↔ (q Λ s)
26. (p → q) Λ ((r → s) Λ (p → s))
27. ((r → s) Λ (q Λ s)) v ((r V s) v (q Λ s))
28. ((r v s) v (q Λ s)) ↔ (r v (p → q))
29. (r v (p → q)) → (q Λ s)
30. (( (r → s) v t) ↔ (q Λ s))
31. ((p v s) ↔ (q Λ s)) v (r v (p → q))
32. (r v s) ↔ (p v q) ) ↔ (q Λ s)
33. ((q Λ s) → (~ (r v s))) Λ (q v s)
34. ((q v s) → (r v s)) → (q v r)
35. ((p → q) ↔ (q → s)) →(p → s)
51
2.1.11 Tautologías
Una proposición es una tautología si es verdadera, sin importar cuales sean los valores de verdad de las
proposiciones atómicas.
Se pueden construir proposiciones lógicamente equivalentes utilizando las proposiciones de equivalencia
lógica. Ejemplo, dada la proposición ((p Λ q) Λ (p V q)) se construye una lógicamente equivalente de la
forma siguiente:
Se toma (p Λ q) y se sustituye por su equivalente que es (~(p → (~q))), quedando ((~(p → (~q))) Λ (p V
q)), ahora se sustituye (p V q) por ((~p) → q), la proposición ahora formada es ((~(p → (~q))) Λ ((~p) →
q)). Por lo que se obtuvo que ((p Λ q) Λ (p V q))≡ ((~(p → (~q))) Λ ((~p) → q)).
Se puede verificar que son lógicamente equivalentes por medio de una tabla de verdad, lo cual conducirá
a una tautología.
p
q (p Λ q)
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
(p V q)
((p Λ q) Λ (p V q))
↔ ((~(p → (~q))) Λ ((~p) → q))
(~(p →
(~q))
(~p) → q)
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
Se puede decir que las proposiciones lógicamente equivalentes son aquellas que dan como resultado una
tautología. La tautología arroja solo valores de verdad verdaderos (V), mientras que una contradicción
arroja solo valores de verdad falsos (F). Aquellas proposiciones que dan como resultado valores de
verdad falsos y verdaderos se les conocen como contingencias o inconsistencias.
Las tautologías son útiles para demostrar la veracidad de las inferencias lógicas.
Ejemplo
Se tiene la siguiente proposición ((p v q) → (p)) ↔ (~ (((~p) → q) → (p)))
p
q
(p v q)
((p v q) → (p))
(~ (((~p) → q) → (p)))
((~p) → q)
(((~p) → q) → (p))
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
La proposición arroja valores de verdad Falsos, por lo que es una contradicción
Ejercicios
Encuentre de las siguientes proposiciones las tautologías y contradicciones.
1. ((p v q) Λ (p → q))↔ ((((~p) → q) ) Λ((~p) v q))
2. (~( ((~p) → q) → (p → q))) ↔ ((p → q)→ ((~p) → q) )
3. (p Λ q) ↔ (~(p → (~q)))
4. (~((p v q) ↔ (q Λ s)) ) ↔ ((p v q) → (q Λ s)) Λ ((q Λ s) → (p v q) )
5. (~(p v (q Λ s))) ↔ ((~p) → (q Λ s))
52
6. (p v q) ↔ ((~p) → q)
7. (p ↔ q) ↔ ((p → q) Λ (q → p))
8. ((p Λ q) V (~p))↔ (p → q)
9. ((~p) V q) ↔ (p → q)
10. ((p Λ q) ↔ (q Λ s)) ↔ (~(~(p → (~q))) ↔ (~(q → (~s))))
11. ((q Λ s) ↔ (r v s)) ↔ ((~(q → (~s))) ↔ ((~r) → s))
12. ((p → q) Λ (r → s)) ↔ (((p Λ q) v (~p)) Λ (r → s))
13. ((q Λ s) → (r v s)) ↔ ((~(q → (~s))) → ((~r) → s) )
14. (~ ((r v s) Λ (q v s))) ↔ (~((r v s) →(~ (q v s))))
15. ((r v s)) → (p Λ q) ) ↔ (((~r) → s) → (~(p → (~q))) )
16. ((r ↔ s) → (q Λ s)) ↔ (((r → s) Λ (s → r)) → (~(q → (~s))))
17. (~ ((p v q) Λ((~p) v q))) ↔ (~( (p v q) →(~( (~p) v q) ) ))
18. (q Λ s) → (q v s) ↔ (~( (~(q Λ s)) v (q v s))))
19. ((~(p v (q Λ s))) ↔ ((~(p v (~(q → (~s)))))
20. ((p v q) → t) ↔ (((~p) → q)→ t)
21. (((~p) → q) ↔ (p → q))
22. ((p v q) ↔ (p → q)) ↔ (((~p) → q)↔ (p → q))
23. (~((p v q) Λ (p → q)) ) ↔ (~((p v q) → (~(p → q))))
24. (s v (q Λ s)) ↔ ((~s) → (~(q → (~s))))
25. ((p v q) → (p → q)) Λ ((p → q) → (p v q))
26. (~((p v (q Λ s)) ) ↔ ((p v (~(q → (~s)))))
2.1.12 Formas normales en Lp.
Existen dos formas normales en el cálculo proposicional, las cuales son: Forma normal conjuntiva (FNC) y
forma normal disyuntiva (FND).
Utilizando las proposiciones de equivalencia lógica (2.5) y aunándolas a las siguientes proposiciones,
cualquier fórmula bien formada se puede reescribir como una FNC o FND.
Definición 2.8
Dadas las proposiciones A, B se tiene:
Proposiciones de equivalencia lógica (2.5)
1. (A Λ B) ≡ (~(A → (~B)))
2. (A v B) ≡ ((~A) → B)
3. (A ↔ B) ≡ ((A → B) Λ (B → A))
4. ((A Λ B) V (~A)) ≡ (A → B)
5. ((~A) v B) ≡ (A → B)
Nuevas proposiciones de equivalencia lógica.
6. (~(A v B)) ≡ ((~A) Λ (~B))
53
7. (~(A Λ B)) ≡ ((~A) v (~B))
8. (~(~A)) ≡ (A)
9. ( (A) v (B Λ C)) ≡ ((A v B) Λ (A v C))
10. ((A Λ B) v (C)) ≡ ((A v C) Λ (B v C))
11. ((A) Λ (B v C)) ≡ ((A Λ B) v (A Λ C))
12. ((A v B) Λ (C)) ≡ ((A Λ C) v (B Λ C))
2.1.12.1 Forma normal conjuntiva
Definición
Una formula esta en FNC si es una conjunción de disyunciones, es decir debe ser de la forma A0Λ
A1Λ A2v …………ΛAn
Y A0 , A1 , A2 , …………, AnSon proposiciones unidas por el conectivo Λ pudiendo tener entre los
átomos la partícula ~.
Ejemplos
((~p) v q) Λ ((~q) v p) es una FNC
((~p) v q) Λ (q→ p) no es una FNC
Ejemplo de cálculo de una FNC.
Dada la formula (p → q) v (q → p) escribirla como una FNC.
1. (p → q) se puede cambiar por ((~p) v q) utilizando 5.
2. (q → p) se puede cambiar por ((~q) v p) utilizando 5.
3. Quedando que (p → q) v (q → p)≡ (((~p) v q) v ((~p) v q))
4. (((~p) v q) v ((~p) v q)) lo que es una FNC.
2.1.12.2 Forma normal disyuntiva
Definición.
Una formula esta en FND si es una disyunción de conjunciones, es decir debe ser de la forma A0v A1v A2v
…………vAn
Y A0 , A1 , A2 , …………, AnSon proposiciones unidas por el conectivo v pudiendo tener entre los
átomos la partícula ~.
Ejemplos
((~p) Λ q) v ((~q) Λ p) es una FND
((~p) Λ q) v (q→ p) no es una FND
54
Ejercicios
Reescriba las siguientes proposiciones en FNC y FND utilizando las proposiciones lógicamente
equivalentes de la definición 2.8.
1.(p → q) Λ ((r → s) Λ (p → s)) 2.((p v q) Λ((~p) v q)) 3.((p v q) Λ (p → q)) ↔
((((~p) → q) ) Λ((~p) v q)) 4.((p v q) Λ (p → q)) 5.((r → s) Λ (q Λ s)) v ((r V s) v
(q Λ s)) 6.((((p v q) Λ (r → s)) → t) 7.((p v s) ↔ (q Λ s)) v (r v (p → q)) 8.(q Λ s)
9.((p v q) → (p → q)) Λ ((p → q) → (p v q)) 10.((p v (q Λ s))
11.(((r → s) Λ (s → r)) → (~(q → (~s)))) 12.((p V (q Λ s))
13.((q Λ s) → (~ (r v s))) Λ (q v s) 14.(p Λ q) ↔ (q Λ s) 15.((p v q) → (q Λ
s)) Λ ((q Λ s) → (p v q) ) 16.(q Λ s) → (q v s)
17.(~ ((p v q) Λ((~p) v q))) 18.(p v (q Λ s))
19.((~s) → (~(q → (~s)))) 20.(((p v q) Λ (r → s)) → t) 21.(s v (q Λ s)) 22.((p v q)
Λ((~p) v q)) 23.(~((p v q) → (~(p → q)))) 24.((p v q) Λ (p → q)) 25.(~((p v q) Λ (p
→ q)) ) 26.((p v q) ↔ (q Λ s)) 27.(((~p) → q)↔ (p → q)) 28.(( (r → s) v t) ↔ (q Λ
s)) 29.((p v q) ↔ (p → q)) 30.((q Λ s) → (~ (r v s))) 31.(((~p) → q) ↔ (p → q))
32.((p v q) ↔ (p → q)) 33.((p v q) → t) ↔ (((~p) → q)→ t) 34.((r V s) v (q Λ s))
35.((~(p v (~(q → (~s))))) 36.((r v s) Λ (q v s))
37.((~(p v (q Λ s))) 38.((q v s) → (r v s)) 39.(~( (~(q Λ s)) v (q v s)))) 40.((r
→ s) Λ (q Λ s)) 41.(q Λ s) → (q v s) 42.(r v s) ↔ (p v q) )
43.(~( (p v q) →(~( (~p) v q) ) )) 44.((p v s) ↔ (q Λ s)) 45.(p v q) ↔ ((~p) →
q) 46.(r v (p → q))
47.(p ↔ q) ↔ ((p → q) Λ (q → p)) 48.(~(p v (q Λ s))) ↔ ((~p) → (q Λ s)) 49.(~(~(p → (~q)))
↔ (~(q → (~s)))) 50.((p Λ q) ↔ (q Λ s)) 51.((q Λ s) ↔ (r v s)) 52.((p → q) Λ (r → s))
53.((~(q → (~s))) ↔ ((~r) → s)) 54.((~(q → (~s))) → ((~r) → s) ) 55.(((p Λ q) v (~p))Λ (r →
s)) 56.(~ ((r v s) Λ (q v s))) 57.((q Λ s) → (r v s)) 58.(~((r v s) →(~ (q v s)))) 59.((p Λ q) V
(~p))↔ (p → q) 60.((~p) V q) ↔ (p → q)
61.((r ↔ s) → (q Λ s)) 62.(((~r) → s)→ (~(p → (~q))) ) 63.(r v (p → q)) 64.((r V s) v
(q Λ s)) 65.((r v s)) → (p Λ q) ) 66.(r v (p → q)) → (q Λ s) 67.(( (r → s) v t) ↔ (q Λ s))
68.(r v s) ↔ (p v q) ) ↔ (q Λ s) 69.((q v s) → (r v s)) → (q v r) 70.(q → s)) →(p → s)
71.(p → q) 72.((p → q)→ ((~p) → q) ) 73.(~( ((~p) → q) → (p → q))) 74.(p Λ q) ↔
(~(p → (~q))) 75.(~((p v q) ↔ (q Λ s)) ) 76.((q Λ s) → (r V s)) 77.( (q Λ s) → (r V s))
2.1.13Inferencia y demostraciones lógicas
55
2.1.13.1 Inferencias
La inferencia lógica es darles valores de verdad a las proposiciones, esperando que el resultado sea
verdadero.
La inferencia se puede expresar como: De premisas verdaderas se obtienen conclusiones verdaderas.
2.1.13.2 Error de afirmar el consecuente
Cuando dentro de la proposición se está afirmando el consecuente posiblemente se tengan premisas
verdaderas con un consecuente falso.
Por ejemplo se tiene la siguiente proposición.
p= Usted es un ciudadano de Puebla
q= Usted es un ciudadano Mexicano
Se tendría la siguiente interpretación.
Si usted es un ciudadano de Puebla, entonces es usted un ciudadano Mexicano.
Usted es un ciudadano Mexicano.
Por tanto, usted es un ciudadano de Puebla.
Por lo que las premisas son verdaderas, pero la conclusión es afirmativa pero es en muchas ocasiones
falsa.
2.1.13.3 Error de Negar el antecedente
Es otro error de inferencia y se puede ejemplificar de la forma siguiente:
Si soy hijo entonces tengo padre
No soy hijo.
Por tanto no tengo padre.
No es válida la proposición, porque una inferencia valida está estructurada de tal forma que solo permite
conclusiones verdaderas si las premisas son ciertas.
Simbolizando la propuesta seria:
p = soy hijo.
q = tengo padre.
Esto es.
p→ q
~p
├ ~q
Por lo que se obtiene ((p → q) Λ (~p)) → (~q).
Si p = v y q=v, así que (p → q) = v pero (~p) = f, sin embargo se está afirmando p y no puede ser que sea
hijo y que no sea hijo a la vez.
2.1.13.4 Modus PonendoPonens.
Modus PonendoPonens traducido del latín al español significa:
2.1.13.5 Modus TollendoTollens.
56
2.1.14 Demostraciones
La noción de implicación tautológica es de suma importancia para el estudio de validez de las
proposiciones. Como se ha visto por medio de las proposiciones de equivalencia lógica (2.5) cualquiera
fbf se puede reescribir como una implicación.
Se puede construir para cada una de las proposiciones una condicional cuyo antecedente es una FNC y el
consecuente es la conclusión.
Si la FNC es verdadera entonces la conclusión deberá de ser verdadera.
Por lo que se puede concluir: el razonamiento es válido si y solo si la condicional correspondiente es una
tautología.
Para construir una condicional que corresponde a un razonamiento, los antecedentes se van ligando con
un Λ para formar la conjunción de premisas las cuales implican a la conclusión del razonamiento
(consecuente).
Ejemplo
Razonamiento:
Demostrar: q
p
p →q
Según lo antes mencionado, esto es: (p Λ (p → q)) → q
Si se quiere demostrar la proposición lógica por medio de tautologías, a continuación se proporcionan las
tautologías.
57
2.1.15 Resumen de tautologías, reglas de inferencia y equivalencias lógicas.
TAUTOLOGÍAS
REGLAS DE INFERENCIA
EQUIVALENCIAS LÓGICAS
ABSURDO
1. (A → F) → (~A)
10.
11.
12.
TRANSITIVIDAD DE LA
BICONDICIONAL
13.
2.
14.
[(A↔B)Λ(B↔C)]→(A↔
1
5
.
C)
EXTENSIÓN DE LA 16.
CONDICIONAL
17.
3. (A→B)→[(A V C)→(B
V
1
8
.
D)]
4. (A→B)→[(A Λ
C)→(B Λ D)]
19.
5. (A→B)→[(A →
C
)
→
(
A
2
0
.
→ C)]
21.
ADICIÓN
7. A → (A v B)
7a. B → (A v B)
SIMPLIFICACIÓN
8. (A Λ B) → A
8a. (A Λ B) → B
SILOGISMO DISYUNTIVO O
MODUS TOLLENDO PONENS
9. [(A V B) Λ (~A)]→B
9a. [(A V B) Λ (~B)]→A
22.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
ASOCIATIVAS
19. ((A v B) v C) ≡ (A v (B v C))
20. ((A Λ B) Λ C) ≡ (A Λ (B Λ C))
21. ((A ↔ B) ↔C) ≡ (A ↔( B ↔C))
DISTRIBUTIVAS
22. ( (A) v (B Λ C)) ≡ ((A v B) Λ (A v C))
23. ((A Λ B) v (C)) ≡ ((A v C) Λ (B v C))
24. ((A) Λ (B v C)) ≡ ((A Λ B) v (A Λ C))
25. ((A v B) Λ (C)) ≡ ((A Λ C) v (B Λ C))
IDEMPOTENCIA
26. (A v A) ≡ A
27. (A Λ A) ≡ A
38.
LEYES DE MORGAN
28. (~(A v B)) ≡ ((~A) Λ (~B))
29. (~(A Λ B)) ≡ ((~A) v (~B))
30. (~(~A)) ≡ (A)
39.
CONTRAPOSITIVA
31. (A → B) ≡ ((~A) → (~B))
SILOGISMO HIPOTÉTICO O
37.
LEY DE TRANSITIVIDAD
10. [(A→B)Λ(B→C)]→(A→C)
CONJUNCIÓN
11.(A Λ B) →(A Λ B)
40.
41.
MODUS PONENS
12. [(A → B) Λ A]→B
42.
43.
44.
13. [(A → B) Λ (~B)]→(~A)
MODUS TOLLENDO PONENS
45.
46.
CONTRADICCIÓN
37. (A Λ (~A)) ≡ F
47.
LEY DEL SILOGISMO DISYUNTIVO
15.[(AVB)Λ(A→C)Λ(B→D)]→(CVD)
VARIANTES DE
LA CONDICIONAL
32. (A → B) ≡ ((~A) v B)
33. ((~A) → B) ≡ (A v B)
34. (~(A → (~B))) ≡ (A Λ B)
35. (A → B) ≡ ((A Λ B) v (~A))
VARIANTES DE LA
BICONDICIONAL 36. (A ↔ B) ≡ ((A
→ B) Λ (B → A))
MODUS TOLLENS
14. [(A V B) Λ (~A)]→B
[
(
A
→
B
)
Λ
(
C
→
D
)
27.
28.
35.
36.
DILEMAS
CONSTRUCTIVOS
6.
26.
CONMUTATIVAS
16. (A v B) ≡ (B v A)
17. (A Λ B) ≡ (B Λ A)
18. (A ↔ B) ≡ (B ↔ A)
4
8
.
4
9
.
50.
51.
52.
IDENTIDAD
38. (A v F) ≡ A
39. (A v V) ≡ V
40. (A Λ F) ≡ F
41. (A Λ V) ≡ A
42. (A Λ (~A)) ≡ F
43. (A v (~A)) ≡ V
44. (A Λ B) v (B) ≡ B
45. (A v B) Λ (B) ≡ B
]
→
[
(
A
V
2
3
.
C)→(B V D)]
24.
7.
[(A→B)Λ(C→D)]→[(A
Λ C)→(B Λ D)]
25.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
58
2.1.16 Demostración por el método directo.
Ejemplo 1
De mostrar que (p Λ (p → q)) → q
(p Λ ((~p) v q)) →q Aplicando 17
(~( (p Λ ((~p) v q) ))) v q Aplicando 17
(~p v (~((~p) v q))) v q Aplicando 14
(~p v (p Λ (~q))) v q Aplicando 15 y 13
((~p v p) Λ (~p v ~q)) v q Aplicando 7
(V Λ (~p v ~q)) v q Aplicando 28
(~p v ~q) v q Aplicando 26
(~p) v (~q v q) Aplicando 4
(~p v V) Aplicando 28
V Aplicando 24
Se determina que q es la conclusión.
Ejemplo 2.
De mostrar que ~q
(1) p
(2) p → q
Se tiene (p Λ (p → q)) → (~q)
(p Λ ((~p) v q)) → (~q) Aplicando 17
(~(p Λ ((~p) v q))) v (~q) Aplicando 17
((~p) v (~ ((~p) v q)) ) v (~q) Aplicando 14
((~p) v (p Λ (~ q)) ) v (~q) Aplicando 15 y 13 ((~p v p)
Λ (p v (~ q) ) ) v (~q) Aplicando 7
(V Λ (p v (~ q) ) ) v (~q) Aplicando 28 (p v (~ q) )
v (~q) Aplicando 26 (p v (~ q) ) v (~q) Aplicando
4
(p v (~q v (~q)) Aplicando 11 (p v (~q)) lo que es una
inconsistencia
Se concluye que (~q) no es una consecuencia lógica de (p Λ (p → q))
Ejemplo 3
Si el agua forma el hielo entonces el hielo es de agua
El hielo es de agua.
Por tanto, El hielo es de agua.
59
Escribiendo en símbolos la proposición, se tiene que:
p = el agua forma el hielo.
q = el hielo es de agua.
Así que se forma la proposición simbólica
((p → q)) Λ q → q
Hay que demostrar que las premisas ((p → q) Λ q) generan una conclusión q.
Esto es, demostrar q
(1) (p → q)
(2) q
Se tiene ((p → q) Λ q)
(((~p) v q) Λ q) Aplicando 17
q Aplicando 30
La mayoría de las ocasiones se desea probar la valides o no valides de la conclusión, de esta forma se
sabe si la conclusión es consecuencia lógica de las premisas.
En la valides de las conclusiones se tiene que tomar en cuenta la forma de razonar de la persona que
interprete la proposición.
2.2 Calculo de predicados.
Introducción
Al cálculo de predicados también se le conoce como lógica de conjuntos, lógica de primer orden, entre
otros nombres.
El cálculo proposicional tiene muchas herramientas para poder demostrar la validez de cada fbf. Sin
embargo hay proposiciones que no se pueden demostrar con las herramientas del cálculo proposicional;
se tiene como ejemplo:
Todas las estrellas brillan con luz propia.
Rigel es una estrella
Luego
Rigel brilla con luz propia.
Simbolizándola se tiene (p Λ q) 🡪 r
Si se trata de demostrar la validez lógica de la proposición por medio de alguna técnica del cálculo
proposicional, arroja que el argumento no es válido.
Esto es porque ninguna ley de implicación o equivalencia lógica permite obtener la conclusión r a partir
de las premisas p,q.
En esta proposición se debe atender la relación entre los componentes que forman el argumento. Los
mecanismos de valides de este tipo de proposiciones solo son proporcionados por el cálculo de
predicados.
60
2.2.1 Sujeto y predicado
Las oraciones normalmente están formadas por un sujeto y un predicado. Para saber en la oración que
parte es el sujeto se hace la pregunta ¿Quién? y para conocer el predicado se puede realizar la pregunta
¿Qué hace?.
Otra forma de conocer el sujeto y el predicado es dada por la siguiente definición:
∙ El sujeto es la parte de la oración que nos indica de quién se habla.
∙ El predicado es la parte que se relaciona con lo que se dice del sujeto.
Ejemplos
a) Pedro juega en el campo
¿De quién se habla? De Pedro (sujeto)
¿Qué se dice de Pedro? Juega en el campo (predicado)
b) Juan y Tere fueron a jugar pelota.
¿De quién se habla? De Juan y Tere (sujeto)
¿Qué se dice de Juan y Tere? Fueron a jugar pelota (predicado)
c) El perro corre por la pradera.
¿Quién? El perro (sujeto)
¿Qué hace? Corre por la pradera (predicado)
2.2.2 Cuantificadores
Existen dos tipos de cuantificadores los cuales son: El cuantificador universal (∀) y el cuantificador
existencial (∃).
El cuantificador universal se traduce como para todo (∀). Es decir todos los elementos deben cumplir con
la propiedad mencionada y si la cumplen se califica como verdadero; en otro caso es falso. El
cuantificador existencial se traduce como, existe (∃), Mínimamente un elemento debe cumplir con la
propiedad mencionada y si al menos un elemento cumple la propiedad se califica como verdadero; en
otro caso es falso.
2.2.El alfabeto de la lógica de primer orden.
Los símbolos de la lógica de primer orden se definen de la forma siguiente:
1. Los paréntesis: ( y )
2. Conectivos lógicos: ~, 🡪, V, Λ, ↔
3. Cuantificadores: ∀,∃
4. Variables: x, y, z, x1,x2… (pueden tomar el lugar de cualquier objeto)
5. Igualdad, coma : = , ,
6. Un conjunto de constantes y símbolos {posiblemente vacio}
7. A,B,C,D, Arbol,Luis…….
61
8. Estos símbolos pueden ligarse con objetos determinados o particulares, así se puede tener
que A denota a Pedro, B denota a Juan, C denota Manzana…………..
9. Funciones que corresponden a afirmaciones, están compuestas por letras minúsculas
(f,g,h,…..producto, tierra) y tienen como argumento, posiblemente una variable. Cada símbolo de
función tiene asociado un entero (n ≥1) de nominado grado o aridad, el cual indica cuantos
argumentos toma el símbolo de la función.
10. Los simbolos de predicados tiene asociado un grado o aridad. Se representan con letras
mayúsculas P,Q,R,S……. HERMANO, PADRE.
Nota: En al cálculo de predicados a las proposiciones se les trata como si fueran conjuntos de
elementos que tienen una propiedad o característica definida (predicado).
2.2.4 Términos en la lógica de primer orden
Los términos en un lenguaje de primer orden se definen como el conjunto mínimo de expresiones de LP
que satisfacen las siguientes condiciones:
1. Las variables son términos
2. Si a1,a2,a3,…..,an son términos y f es un símbolo de función n-aria, entonces f a1,a2,a3,…..,anes un
término.
2.2.5 Las formulas en el lenguaje de primer orden.
Las Formulas Bien formadas se definen de la forma siguiente:
1. Si P es un símbolo de predicado n-ario y Si a1,a2,a3,…..,anson términos, entonces Pa1,a2,a3,…..,an es
una formula atómica si no están enlazadas por conectivos lógicos.
2. Si a1,a2 son términos , entonces, = a1a2 es una formula.
3. Si A es una formula, entonces (~A) es una formula.
4. Si A y B son formulas, entonces también son formulas: ~A, AVB, AΛB,A🡪B, A ↔ B, ∃x A , ∀x A 5.
Si A es una formula y xn es una variable entonces ∀ xn A es una formula.
6. cualquier otra no es una formula.
El uso de paréntesis se puede reducir con los siguientes convenios:
∙ La asociatividad se realiza de izquierda a derecha.
∙ En una formula o subformula, la jerarquía es la siguiente:
↔o🡪, V o Λ, ~,∀ o ∃
2.2.6 Formulas atómicas
La fórmula atómica es la unidad básica del cálculo preposicional; es una sentencia declarativa indivisible.
La cual puede ser de tres tipos:
62
Acción con sujeto no determinado como: graniza, hace calor, es verano Atribución de propiedades a
sujetos como: María es grande, Camilo es soldado Relación entre Sujeto como: Juan es hermano de
Andrés
Proposición molecular
Es una sentencia declarativa formada por proposiciones atómicas y unidas por conectivos
lógicos. Ejemplos de creación de proposiciones
Ejemplo 1.
Sean U={ x | x es un habitante del continente americano}
p: Hablan portugués.
Construyendo las funciones se tiene.
∀x p(x): Todos los habitantes del continente americano hablan portugués.
∃x p(x): algunos habitantes del continente americano hablan portugués.
En la lógica de primer orden se debe definir un dominio, dominio, universo del discurso o conjunto
universo.
Ejemplo 2.
U= {x| x es una persona}
A= {y|y es un político}
B= {z|z es un profesor}
Se tiene que A⊆U y B⊆U.
Definiendo a
p: son buenos
q: son malos administradores
r: son ricos
s: son ricos y malos administradores
Se puede obtener aplicando los cuantificadores
∀x p(x): Todas las personas son buenas
∀y p(y): Todos los políticos son buenos
∀z p(z): Todos los profesores son buenos
∀x q(x): Todas las personas son malos administradores
∀y q(y): Todos los políticos son malos administradores
∀z q(z): Todos los profesores son malos administradores
∀x r(x): Todas las personas son ricos
∀y r(y): Todos los políticos son ricos
∀z r(z): Todos los profesores son ricos
∃x p(x): Existen personas que son buenas
∃y p(y): Existen políticos que son buenos
∃z p(z): Existen profesores que son buenos
∃x q(x): Existen personas que son malos administradores
63
∃y q(y): Existen políticos que son malos administradores
∃z q(z): Existen profesores que son malos administradores
∃x r(x): Existen personas que son ricas
∃y r(y): Existen políticos que son ricos
∃z r(z): Existen profesores que son ricos
∀x s(x): Todas las personas son ricas y malas administradoras
∀y s(y): Todos los políticos son ricos y malos administradores
∀z s(z): Todos los profesores son ricos y malos administradores
∀z ∀y s(z,y): Todos los profesores y todos los políticos son ricos y malos administradores
∀z ∃y s(z,y): Todos los profesores y existen políticos que son ricos y malos administradores
∃z ∀y s(z,y): Existen profesores y todos los políticos son ricos y malos administradores ∃z
∃y s(z,y): Existen profesores y existen políticos que son ricos y malos administradores
La negación de un enunciado es el siguiente:
~[∀x p(x): Todas las personas son buenas] ≡ ∃x p(x)~: Existen personas que no son buenas.
~[∃x p(x): Existen personas que son buenas] ≡ ∀x p(x)~: Todas las personas no son buenas.
2.2.8 Variables libres y ligadas
Se llama estancia de una variable x en un término a1 o en una formula A1 a la propia variable x situada en
cualquier lugar de a1 o A1. Así x tiene tres estancias en la proposición ∀x p(x,y) 🡪P(x,y) En esta proposición
las variables x son ligadas; mientras y no está ligada. Esto es porque x está ligada por medio de un
cuantificador, mientras y no está ligado a ningún cuantificador.
A la proposición o formula que todas sus variables son ligadas se le llama cerrada. De otra forma es
abierta.
Las variables se pueden sustituir por diversas constantes o variables que estén dentro del lenguaje, como
se hace en el siguiente ejemplo de número entero de cuatro dígitos.
Ejemplo. Generación de números enteros
Se pueden generar los números enteros con las siguientes dos reglas:
Los dígitos que forman a un número pueden ser.
< Dígito>= 0|1|2|3|4|5|6|7|8|9
Un numero entero está conformado por
<Numero> = <Digito>|<Digito><Numero>
Se puede construir un número entero de cuatro cifras de la forma siguiente.
∙ Primer paso. Se toma el constructor
<Numero>= <Digito><Numero>
64
∙ Segundo paso, se sustituye <Numero> que esta después del signo = por <Digito><Numero>
quedando.
<Numero>= <Digito><Digito><Numero>
∙ Tercer paso. Nuevamente se sustituye <Numero> que esta después del signo = por
<Digito><Numero> quedando.
<Numero>= <Digito><Digito><Digito><Numero>
Ahora se sustituye el ultimo <Numero> por la variable <Digito> con lo cual se obtiene:
<Numero>= <Digito><Digito><Digito><Digito>
∙ Por último se sustituye <Digito> por algún valor, esto podría quedar
<Numero>= 1057. Este es una de las posibles sustituciones.
Realmente las posibles sustituciones son todos los números enteros de cuatro dígitos.
El hacer la diferencia entre variables libres y ligadas es para evitar los errores en el proceso de
sustitución. Así, si se tiene una formula o proposición ∀x {x| x ≤y}, y es el máximo. En la formula y es una
variable libre, porque no está cuantificada. Al sustituir y por otro término se debe hacer por alguno que
no esté ligado. Si se hace por uno cuantificado se tendría ∀x {x| x ≤x}, esta fórmula ya no habla de un
máximo. Entonces, lo que hay que hacer al sustituir variables libres, es sustituirlas por otras libres, es
decir que las variables libres no queden ligadas por medio de algún cuantificador.
Definiendo formalmente la sustitución de variables se tiene:
Suponemos que si x es una variable, t es un término y A es una formula, entonces t puede sustituir a x en
A. Y se define como sigue:
1) Si A es una formula atómica, entonces t puede sustituir a x en A.
2) Si A esta en (~B), entonces t puede sustituir a x en A si y solo si t puede sustituir a x en B. 3) Si A
esta en (B🡪C) , entonces t puede sustituir a x en A si y solo si t puede sustituir a x en B y t puede
sustituir a x en C.
4) Si A esta ∀yB, entonces t puede sustituir a x en A si y solo si se da uno de los dos casos:
a) x no es libre en A
b) Si y no está en t y t puede sustituir a x en B.
Ejemplo
Si se tiene
∀yx = y si se sustituye a x por y, se tendrá: ∀yy = y la cual es una tautología y esta siempre es
verdadera; mientras que ∀yx = y no es una tautología.
2.2.9 Reglas de inferencia e equivalencia
2.2.9.1 Equivalencias lógicas.
Se dice que dos formulas son lógicamente equivalentes, si se obtiene el mismo resultado.
65
CONMUTATIVAS
1.(A v B) ≡ (B v A)
2.(A Λ B) ≡ (B Λ A)
3. (A ↔ B) ≡ (B ↔ A)
ASOCIATIVAS
4. ((A v B) v C) ≡ (A v (B v C))
5. ((A Λ B) Λ C) ≡ (A Λ (B Λ C))
6. ((A ↔ B) ↔C) ≡ (A ↔( B
↔C))
DISTRIBUTIVAS
7. ( (A) v (B Λ C)) ≡ ((A v B) Λ (A v
C)) 8. ((A Λ B) v (C)) ≡ ((A v C) Λ (B v
C)) 9. ((A) Λ (B v C)) ≡ ((A Λ B) v (A Λ
C)) 10. ((A v B) Λ (C)) ≡ ((A Λ C) v (B
Λ C))
IDEMPOTENCIA
11. (A v A) ≡ A
12. (A Λ A) ≡ A
LEYES DE MORGAN
13. (~(A v B)) ≡ ((~A) Λ (~B))
14. (~(A Λ B)) ≡ ((~A) v (~B))
15. (~(~A)) ≡ (A)
CONTRAPOSITIVA
16. (A → B) ≡ ((~A) → (~B))
VARIANTES DE LA CONDICIONAL
17. (A → B) ≡ ((~A) v B)
18. ((~A) → B) ≡ (A v B)
19. (~(A → (~B))) ≡ (A Λ B)
20. (A → B) ≡ ((A Λ B) v (~A))
VARIANTES DE LA BICONDICIONAL
21.(A ↔ B) ≡ ((A → B) Λ (B → A))
CONTRADICCIÓN
22.(A Λ (~A)) ≡ F
IDENTIDAD
66
23.(A v F) ≡ A
24.(A v V) ≡ V
25. (A Λ F) ≡ F
26. (A Λ V) ≡ A
27. (A Λ (~A)) ≡ F
28. (A v (~A)) ≡ V
29. (A Λ B) v (B) ≡ B
30. (A v B) Λ (B) ≡ B
DE MORGAN CUANTIFICADORES
31. ~∀ A(x) ≡ ∃ ~A(x)
32. ~∃A(x) ≡∀~A(x)
DISTRIBUTIVA CUANTIFICADORES
33.∀x(A(x) Λ B(x)) ≡ ∀xA(x) Λ∀xB(x)
33.∃x(A(x) V B(x)) ≡ ∃xA(x) V ∃xB(x)
2.2.9.2 CALCULO DEDUCTIVO DE PRIMER ORDEN
En todo lenguje de primer orden LP se tiene ocho axiomas.
K1: (A🡪(B🡪A))
K2: ((A🡪(B🡪C)) 🡪((A🡪B)🡪(A🡪C)))
K3: (((~B) 🡪(~A)) 🡪(((~B) 🡪A) 🡪B))
K4: (∀xA🡪AtX) t puede sustituir a x en A.
K5: (∀x (A🡪B) 🡪(∀xA🡪∀x xB))
K6: (A🡪 ∀xA) si x no es libre en A
K7: x=x
K8: (x=y 🡪(A🡪B)). Si A es atómica y B se obtiene de A por remplazar alguna ocurrencia (posiblemente
todas o una) de x en A por y.
Definición de modus ponendoponens
Permite pasar de dos fórmulas a la conclusión
(A Λ(A🡪B)) 🡪B
2.2.10 Escribiendo proposiciones en lenguaje simbólico.
Si se tiene una deducción de la forma siguiente
Todos los números primos son impares
9 es un número primo
9 es impar
Se pueden tener muchas sentencias similares
Todos los números primos son impares
7 es un número primo
7 es impar
67
Esto proporciona un común para todas las sentencias, las cuales se pueden expresar por medio de
variables y constantes de la forma siguiente:
x es primo P(x)
x es impar Q(x)
Entonces esto quedaría al sustituir las variables como sigue:
Todos los números primos
son impares
9 es un número primo x primo P(x)
9 es impar x impar Q(x)
Donde P expresa la propiedad primo (predicado) y Q la propiedad (predicado) impar.
Al sustituir las variables por sus constantes se tiene:
Todos los números primos
son impares
9 es un número primo x primo P(9)
9 es impar x impar Q(9)
Utilizando los cuantificadores, la proposición seria:
Todos los números primos son
x numero ∀x P(x) Q(x)
impares
9 es un número primo x primo P(x)
9 es impar x impar Q(x)
2.2.11 Validez de argumentos
A las proposiciones las podemos calificar de falsas o verdaderas como se ve el cálculo proposicional. Las
proposiciones singulares no están cuantificadas.
Para poder demostrar la valides de los argumentos se necesita contar con leyes. Las leyes que se utilizan
son las de implicación y equivalencia lógica junto con las que a continuación se enuncian. a) Ley de
ejemplificación universal.
(∀x )P(x) 🡪Pa
Donde a es una variable.
Ejemplo.
Se tiene
Todas las estrellas brillan con luz propia.
68
Rigel es una estrella
Luego
Rigel brilla con luz propia.
Simbolizándola se tiene P: estrella, Q: brillan con luz propia, r: Rigel
La proposición queda: (∀x)( P(x) 🡪Q(x))ΛP(r) 🡪(P(r) 🡪Q(r))
Para probar su argumento lógico se utiliza el modus ponendoponens (A Λ(A🡪B)) 🡪B
(∀x)( P(x) 🡪Q(x))ΛP(r) 🡪(P(r) 🡪Q(r)) Aplicando LEU. Queda
(∀x)( P(x) 🡪Q(x))ΛP(r) 🡪(Q(r)) Aplicando mpp. Queda
(∀x)(Q(x)) 🡪(Q(r)) Aplicando L.E.U. Queda Q(r) Lo que es: Rigel brilla con luz
propia.
b) Ley de generación universal
Pa🡪 (∀x )P(x)
c) Ley de ejemplificación existencial
(∃x) P(x) 🡪Pa
d) Ley de generalización existencial
Pa🡪 (∃x) P(x)
69
UNIDAD TEMATICA III. HABILIDADES DE PENSAMIENTO
LÓGICO.
Objetivo:.
Resultado de aprendizaje:
Temas:
3.1Cómo resolver un problema.
3.1.1Fases para la solución de problemas (estrategia general).
3.1.2 Método de Poyla.
3.1.3 Problemas y sugerencias.
saber:
ETAPAS Y ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
INTRODUCCIÓN
Algunos factores que intervienen en la resolución de problemas son: El marco social en que se desarrolla
el individuo, aunado al grado de conocimiento que se tiene de la materia y además como se aplica este
grado de conocimiento. Estos tres aspectos influyen fundamental mente al enfrentar un problema. Desde
esta perspectiva se manejan cinco aspectos:
1. El grado de conocimiento y manejo de la materia en cuestión.
Es importante saber aplicar correctamente las técnicas que se van a utilizar. Se debe tener un claro
conocimiento de la teoría y la forma de aplicarla correcta.
2. Estrategias de resolución de problemas.
Las estrategias de resolución de problemas se han tratado de implementar desde la antigüedad; pero en
su libro Polya plantea cuatro etapas.
a) Comprender el problema
b) Diseñar un plan
c) Ponerlo en práctica
d) Examinar la solución.
3. La metacognición o métodos heurísticos
La meta cognición se define como la capacidad de regular el propio aprendizaje. Es decir, hay que
observar que estrategias se pueden usar para comprender los contenidos; controlar el proceso de
aprendizaje y evaluarlo para evitar posibles fallos. Si al estudiante se le facilita el entender los contenidos
por medio de resúmenes u otra técnica; es a lo que se debe abocarse.
4. Los sistemas de creencias.
En la sociedad se piensa comúnmente que las técnicas o principios adquiridos solo se pueden aplicar de
una sola manera y que de esta forma se pueden obtener los mejores resultados; dejando aun lado la
70
creatividad individual y colectiva. Y si se piensa que resolver problemas es muy difícil esto marca la
tendencia en el ánimo de cualquier persona.
5. La comunidad de práctica.
La comunidad en donde uno se desarrolla moldea la forma de concebir o asimilar los conceptos de la
enseñanza. Es decir el aprendizaje es culturalmente moldeado y definido. En esto influyen los
conocimientos previos.
Cuando se piensa fundamentar la enseñanza en la resolución de problemas se debe tomar en cuenta
algunos factores: el nivel de conocimiento de la materia, el ambiente de la clase, el trabajo individual y
de grupo, el enfoque que el alumno le da al problema, cuando intervenir y que sugerencias hacer; por
parte del docente requiere confianza, experiencia y autoestima.
3.1. Descripción de las Etapas en la resolución de problemas.
El objetivo del problema es desarrollar habilidades para enfrentar situaciones nuevas y encontrar un
camino de solución. Para este fin se tienen que contemplar etapas para la resolución de problemas;
algunas de las cuales son:
1. Clasificación del problema.
2. Definición del problema
3. Acciones y condiciones que el problema plantea.
4. Estrategias de solución
5. Selección de la mejor alternativa.
6. Valoración de la respuesta obtenida.
1. Clasificación del problema.
La clasificación del problema puede orientar hacia qué campo de estudio se debe orientar el
pensamiento; con esto las distintas técnicas de solución.
a. Clasificar el tipo de problema (algebraico, aritmético, probabilístico, electrónico,
telecomunicaciones, químico, psicológico, social, etc.).
Al clasificar el problema se encausar perfectamente a la técnica que se puede utilizar para su
solución. 2. Definición del problema
Plantear claramente y llanamente cual es el problema a resolver.
Teniendo claro cuál es el resultado esperado. Y con los datos proporcionados, se puede visualizar o tener
una idea como se puede en causar el problema.
a. Que datos proporciona el problema
i. Separar los datos proporcionados de los datos a buscar o resultados
71
La clasificación de los datos en información dada e información esperada o de salida puede proporcionar
una idea de que técnica se puede usar.
3. Acciones y condiciones que el problema plantea.
Muchos de los problemas plantean condiciones especiales, las cuales hay que tener en cuenta para la
solución del problema.
a. Que resultados se esperan
i. Conocer exactamente que es lo que se desea hacer u obtener.
Los resultados esperados en muchos casos pueden predecir el manejo del
problema. b. Análisis del problema
Algunas de las consideraciones del análisis son:
i. Que tipo de datos o características proporciona el problema.
ii. Cuales son las condiciones que el problema enuncia.
iii. Si es posible dividirlo en partes más pequeñas.
iv. Como se puede estructurar el problema.
v. Se cuenta con toda la información.
vi. Se necesita buscar mas información bibliográfíca o de otro tipo.
vii. Es posible aplicarle algún algoritmo o demostración matemática.
4. Estrategias de solución
a. Tormenta de ideas
b. Prueba y error
Consiste en buscar la solución del problema probando con distintos valores, hasta encontrar la solución.
La selección de la búsqueda de los valores de solución se puede hacer inteligentemente o
arbitrariamente; pero hay que seleccionar estos valores relacionados con el problema y analizar si el
resultado satisface las condiciones del problema.
Prueba y error Fortuito: Se realiza al azar.
Prueba y error Sistemático: Los valores no son elegidos al azar; sino de manera pensada de tal forma que
se acerque a una posible solución.
Prueba y error Dirigido: Se examina cada resultado para observar que tan cerca o alejado se esta de la
respuesta.
c. Haber resuelto un problema semejante
Utilizar la estrategia, la técnica, los conocimientos y el razonamiento que se había utilizado en ese otro
problema y aplicarlo nuevamente para resolver el problema actual.
72
d. Realizar tablas
e. Algún método matemático, teoremas o definiciones
f. Analizar los datos y observar si todos son necesarios o si faltan datos.
g. Dividir el problema en pequeños problemas
h. Buscar algún algoritmo.
Muchos de los problemas conocidos en computación se solucionan por medio de algoritmos o se puede
relacionar el problema actual con la solución de uno parecido por medio de un algoritmo. i. Reducir el
problema a una menor cantidad de datos.
Se puede pensar como un problema particular y manejar menos datos. Con esto puede ser que se
reduzca la dificultad del problema y se pueda darle otro análisis; para después generalizar la solución. j.
Plantear el problema de otra forma
k. Recopilación de datos. Investigar formulas o conceptos
l. Que operaciones o pasos se deben hacer para obtener los resultados y en que orden.
m. Transcribir el problema a otro lenguaje o idioma
Se puede transcribir el problema a un lenguaje lógico, matemático, analógico, pictórico etc.
Entre mayor sea la descripción o desglose del problema será más fácil su comprensión.
5. SELECCIÓN DE LA MEJOR ALTERNATIVA.
a. Ya que el análisis nos conduce a distintas opciones de solución, debemos escoger aquella
que nos proporcione mejores resultados, tomando en cuenta los siguientes aspectos. i. El
tiempo que se lleva solucionar el problema
ii. Los costos de implementación
iii. Si es posible técnicamente y económicamente implementar tal solución
6. VALORACIÓN DE LA RESPUESTA OBTENIDA
a. El resultado es el correcto
b. Existe otra forma de obtener la solución
3.2 Ejemplos de aplicación de las distintas etapas.
Ejemplo 1
Dos hermanas estaban leyendo el mismo libre; una le pregunto a la otra ¿qué página estás leyendo? La
otra le contesto: La página que estoy leyendo multiplicada por la siguiente es igual al número 45582.
1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
73
Encontrar la página que se está leyendo.
2. QUE DATOS PROPORCIONA EL PROBLEMA
Los datos proporcionados son:
Un resultado que es 45582.
Se multiplican dos páginas consecutivas
3. QUE RESULTADOS SE ESPERAN
Se desea saber cuál página se está leyendo.
4. ACCIONES Y CONDICIONES QUE EL PROBLEMA PLANTEA.
La página que se está leyendo multiplicada por la página siguiente proporciona el
resultado. 5. ANÁLISIS DEL PROBLEMA
Las páginas son números enteros.
6. CUALES SON LAS CONDICIONES QUE EL PROBLEMA ENUNCIA.
La página que se está leyendo se multiplicada por la página siguiente
7. CLASIFICACIÓN DEL PROBLEMA.
Es un problema aritmético.
8. ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN
a) Se utilizaría como estrategia prueba y error.
b) Método matemático.
9. DESARROLLO DE TÉCNICAS O ESTRATEGIAS
Al ser dos páginas subsiguientes se puede ver como si fuera solo un número. En tal caso se convertiría en
un número al cuadrado. Y si se observa el resultado 45582, se puede buscar un número multiplicado por
si mismo que se aproxime al proporcionado por el problema.
a) Se utilizaría como estrategia prueba y error.
Si se toma el 455 y se busca un número multiplicado por si mismo que se aproxime, se sabe que 2x2= 4,
ahora se multiplica por 100 para que de un numero de cinco cifras, 200 x 200 = 40 000 el cual es mucho
menor que 45582.
Ahora se prueba 250 por ser el número que está entre 200 y 300, entonces 250x250 = 62500, el cual es
mucho mayor que el número proporcionado.
Ahora se prueba el 225 por estar en medio de 200 y 250, entonces 225x225 =50625, resulta mayor que el
número buscado.
74
Se prueba el 212, por sé el número que está entre 200 y 225, entonces 212x212 = 44944, lo que resulta
un número menor pero aceptable para acercarse al 45582.
Ahora se prueba con 213x213 = 45369, el resultado es un número menor a 45582. Entonces se prueba
con 214x214 = 45796, el número es mayor a 45582, pero está acotado entre 213x213 < 45582 < 214x214.
Y recuerde que las páginas representan números enteros. Entonces al multiplicar 213x214 = 45582.
Así que la página que se está leyendo es la 213.
b) Método matemático.
Obtener directamente la raíz cuadrada de 45582 = 213.499415.
De aquí multiplicar 213x214 = 45582.
10. SELECCIÓN DE LA MEJOR ALTERNATIVA.
Si se sabe obtener la raíz cuadrada, es la solución más rápida. Pero si se carece de esta técnica, la
solución se encuentra por tanteo.
11. VALORACIÓN DE LA RESPUESTA OBTENIDA
El resultado es el correcto ya que 213x214 = 45582.
Se pueden dar al menos dos formas de solucionar el problema.
Ejemplo 2
Pedro y Juan fueron el fin de semana a la granja de su abuelo. Había un corral de gallinas y un chiquero
para cerdos. Pedro contó un total de 18 animales y Juan contó un total de 50 patas. ¿Cuántos cerdos y
cuantas gallinas había?
1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
Encontrar el total de gallinas y cerdos, a través de haber contabilizado 18 animales que les corresponden
50 patas.
2. QUE DATOS PROPORCIONA EL PROBLEMA
18 animales y 50 patas
3. QUE RESULTADOS SE ESPERAN
El total de cerdos y gallinas
4. ACCIONES Y CONDICIONES QUE EL PROBLEMA PLANTEA.
Se condiciona el total de animales (18) y repartir 50 patas.
5. ANÁLISIS DEL PROBLEMA
Se tiene 18 animales y 50 patas.
75
Se sabe que el cerdo tiene 4 patas y la gallina tiene 2 patas.
6. CLASIFICACIÓN DEL PROBLEMA.
Es un problema aritmético.
7. ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN
a) Se utilizaría como estrategia prueba y error.
8. DESARROLLO DE TÉCNICAS O ESTRATEGIAS
Se sabe que los pollos tienen dos patas y los cerdos tienen cuatro patas.
Si se comienza por restar 2 patas de un pollo y cuatro patas del cedo y dos animales.
Hasta encontrar alguna coincidencia.
Animales
Patas
Patas
a
sustra
er
Animal
es a
sustraer
Paso
18
50
6
2
16
44
6
2
1
14
38
6
2
2
12
32
6
2
3
10
26
6
2
4
8
20
6
2
5
6
14
6
2
6
4
8
6
2
7
2
2
8
Al llegar al paso 8 quedan 2 patas y 2 animales. Y ninguno de los animales tiene una pata. Pero en el paso
7 se tiene 4 animales y 8 patas; que perfectamente corresponden a cuatro gallinas. Hasta el paso 7 se
tienen: 7 cerdos y 7 gallinas, más 4 gallinas por las patas que sobran, dando un resultado de 7 cerdos y
11 gallinas.
9. SELECCIÓN DE LA MEJOR ALTERNATIVA.
10.VALORACIÓN DE LA RESPUESTA OBTENIDA
76
IV. ANEXOS.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE.UNIDAD TEMÁTICA 1. TEORIA DE CONJUNTOS.
Con la finalidad de hacer una revisión rápida del dominio que tienes de los conceptos estudiados en esta
unidad, contesta el siguiente crucigrama en el que se traban algunos de éstos. Nombre de participantes:
1. Conjunto que tiene un número n de elementos, siendo n
un número entero positivo.
2. Número de elementos distintos que tiene un conjunto.
1
2
3
4
3
V
5
6
8
7
11
9
13
10
12
14
9. Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de un
conjunto dado.
11.
se conoce como expresión de una de las leyes de:
13.
Todos sus elementos son también elementos de
otro conjunto.
14. Se forma con los elementos que pertenecen de manera
4. Conjuntos que tienen igual número de elementos. 6. Se forma
3. Se forma con los elementos que pertenecen al primer
conjunto, pero no al segundo.
5. Representación gráfica de un conjunto.
simultánea a dos conjuntos.
con los elementos que no pertenecen al conjunto dado.
7. Colección de objetos diferentes, a los cuales se les llama
elementos.
8. Conjunto que no tiene elementos.
10. Se forma con todos los elementos que están en uno u otro
conjunto.
12. Conjuntos cuya intersección es un conjunto vacío.
77
Nombre de la Práctica: Trazo de sistema de ecuaciones
Unidad Temática: III. Sistema de ecuaciones.
Tema: Grafico de sistemas
Objetivo de la práctica: El alumno simplifique el proceso de graficación de sistemas.
Tiempo de la Práctica: 1 horas Fecha:
Descripción:
Trazar una gráfica, es un proceso que puede llegar a ser complejo ya que en ocasiones implica
hacer muchas operaciones; en otras, hay que ser sumamente cuidadoso, pues cualquier error
puede dificultar cumplir con el objetivo.
Materiales y Equipos:
Es necesario que utilices un explorador de internet y en la barra de dirección
escribas: FooPlot: Graficador de Funciones Matemáticas
Procedimiento:
Utilizando esta herramienta, vamos a resolver el sistema de ecuaciones:
Despejemos y en cada una de las ecuaciones del sistema.
Ahora trazaremos la gráfica de las funciones que determinamos. Para ello , haremos uso de la
página; observa la secuencia de pasos.
a)Borra la expresión sen(x).
b)Escribimos en el espacio la expresión 2x – 4.
De manera que se visualice como
c)Ahora escribiremos -0.5x + 2.5 en el espacio azul, de manera que en la página quede de la
siguiente forma
Tracemos haciendo clic en Graficar
En el espacio que corresponde al plano cartesiano se deben haber dibujado las dos funciones al
mismo tiempo, inclusive con colores diferentes, que corresponden a los espacios que elegimos en
los pasos b y c.
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Resultados y Análisis:
La grafica trazada indica la solución misma del sistema e incluso muestra su intersección. De tal
forma que se puede trazar cualquier sistema 2 X 2 para su análisis.
Conclusión
El Graficador permite al estudiante simplificar el trabajo, para su análisis.
Cuestionario
¿Representa con la ayuda del Graficador una familia de rectas que pasen por el origen? Lo
lograste.
¿Representa con la ayuda del Graficador una familia de rectas que sean paralelas? Lo lograste.
Referencias
Eduardo Basurto Hidalgo, Gilberto Castillo Peña, (2010). Matemáticas. 214-217.
79
V. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
Eduardo Carpinteyro, Ruben B. Sánchez (2008). Álgebra, 4-37,332-413, 418-509.
Conamat, (2004). Cálculo diferencial, 13-39.
José A. Jimenez Murillo,(2009). Matemáticas para la computación,
74-104.
Ramón Espinoza Armenta (2010). Matemáticas discretas,98-145,
224-275.
Alfredo Díaz Mata, Joel Sevilla Martínez, (2005).Matemáticas aplicadas a negocios y
economía, 82-144, 151-205.
Elizabeth P. Phillips, Thomas Butts, (1988). Algebra con aplicaciones,515-577.
Jack R. Britton, Ignacio Bello, (1982). Matemáticas Contemporáneas,539-589.
Rene jiménez, (2010). Matemáticas I , enfoque por competencias,213-250.
80