Eletromagnetismo 2
Incidência normal em interface dielétrica
{
{
{
⃗ i (z)= η1 k^i× E
⃗i
H
⃗ i (z)= E io e− j β ( ^k⋅^r )
E
^
k=k
x +k y ^y +k z ^z
x^
1
1
− jβ z
E⃗i ( z)=E io e
x^
⃗ i (z)=E io / η1 e− jβ z ^y
H
1
1
jβ z
E⃗r ( z)=E ro e x^
jβ z
H⃗ r (z)=− E ro / η1 e ^y
1
1
−jβ z
E⃗t (z)=E t o e
x^
⃗ t (z)= Et o / η2 e− jβ z ^y
H
1
1
Não há corrente superficial na interface, portanto aplica-se a continuidade dos campos em E e H na
interface, isto é, em z = 0 para obtermos Ero e Eto em parâmetros de Eio.
{
E + E =Et o (1)
E i (0)+E r (0)= E t (0) , z=0 ⇒ io ro
E io−E ro E t o
H i (0)+ H r (0)= H t (0)
η1 = η2 (2)
{
η E
η
2 η2
(1)+(2)⇒ 2 E io = 1η t o + E t o=E t o ( η1 +1)⇒ E t o = η + η
Eio (3)
2
2
1
2
2 η2
2 η2
η −η
(3)em(1)⇒ Ero = η + η
E io−E io=E io ( η + η
−1)⇒ E ro= η2 + η 1 Eio (4)
1
2
1
2
1
2
Definimos então, a fim de facilitarmos os cálculos o coeficiente de reflexão Γ e o coeficiente de
transmissão τ.
η −η
Γ= η2 + η 1
1
2
2η
τ = η + η2
1
2
Como visto em (4), é possível estabelecermos a seguinte relação:
2 η2
η −η
( η +η
−1)= η2 + η 1 ⇒ τ −1=Γ⇒ τ = Γ+1
1
2
1
2
Incidência normal em múltiplas interfaces dielétricas
Para resolvermos esse caso, lançamos mão
da transformação de impedâncias, para não
tornar o método massivo, aplicando a
continuidade em cada uma das interfaces. A
impedância da onda no meio de propagação é
defnida como:
⃗
E (z)
⃗ (z)
H
Z (z)=
{
{
− jβ z
E⃗3 ( z)= E 3 e
x^ ⇒ Z (z)= η ( z >0)
3,
−jβ z
^y
H⃗ 3 (z)= E 3 / η3 e
2
2
− jβ z
jβ z
E⃗2 ( z)=E 2 e
+ Γ 23 E 2 e ^x
−jβ z
jβ z
E2 e
− Γ23 E 2 e ^y ⇒
H⃗ 2 (z)=
η2
2
2
2
2
{
η3− η2
−jβ z
jβ z
E⃗2 (z)=E 2 e
+ η + η E2 e x^
2
23
⇒
η
−
η
− jβ z
jβ z
E2 e
− η3+ η 2 E 2 e ^y
2
23
H⃗ 2( z)=
η2
2
2
2
2
η2 e− j β z + η3 e− j β z η3 e j β z − η2 e j β z
E⃗2 (z)= E 2(
+
) x^
η2+ η3
η2+ η23
⇒
− jβ z
−jβ z
E 2 η2 e
+ η3 e
η3 e j β z + η2 e j β z
H⃗ 2 (z)= η (
−
) ^y
η2 + η3
η2 + η23
2
1
{
⇒
{
1
1
1
1
1
1
1
E2
−jβ z
− jβ z
jβ z
jβ z
E⃗2 (z)= η + η ( η2 e
+ η3 e
+ η3 e − η2 e ) x^
1
2
H⃗ 2 (z)=
1
1
1
3
E2
−jβ z
−jβ z
jβ z
jβ z
( η2 e
+ η3 e
− η3 e + η2 e ) ^y
η2( η2 + η3 )
1
1
1
1
⇒
{
E2
E⃗2 (z)= η + η (2 η3 cos( β2 z)+2 j η2 sin ( β2 z)) x^
2
H⃗ 2 (z)=
3
E2
(2 η2 cos( β2 z)+2 j η3 sin ( β2 z)) ^y
η2( η2 + η3 )
⇒ Z 2 (z)= η2
η3 cos(β2 z)+ j η2 sin (β2 z)
η2 cos (β2 z)+ j η3 sin (β2 z)
⇒ Z 2 (z)= η2
÷cos( β2 z)
÷cos( β2 z)
η3+ j η2 tan( β2 z)
,(−d < z<0)
η2+ j η3 tan( β2 z)
O coefciente de refexão efetivo Γ12 pode ser encontrado por:
η −η
Γ= η2 + η 1
1
, sendo η2 a nova impedância equivalente encontrada
2
Γ 12=
Z 2 (−d)− η1
Z 2 (−d )+ η1
Incidência oblíqua em interface dielétrica
Polarização perpendicular
k xi = k^ sen( θi )
k zi= k^ cos( θi)
k xr= k^ sen( θr )
k zr =− k^ cos( θr )
{
{
^
k=k
x +k y ^y +k z ^z
x^
⃗ i (z)= E io e− j β ( ^k⋅^r )
E
1
⃗ i (z)= η1 k^i× E
⃗i
H
1
k ti= k^ sen( θt )
k ti =k^ cos( θt )
{
{
− j β (x sen( θ )+ z cos( θ ))
^y
E⃗i ( z)=E io e
⃗ i (z)= E io / η1 e− jβ ( x sen(θ )+ z cos( θ ))( z^ sen( θi)− x^ cos( θi ))
H
1
1
{
i
i
i
i
− j β ( x sen(θ )−z cos( θ ))
^y
E⃗r (z)=E ro e
− j β (x sen(θ )−z cos( θ ))
H⃗ r (z)=E ro / η1 e
( z^ sen( θr )+ x^ cos( θr ))
{
1
1
r
r
r
r
− j β (x sen( θ )+ z cos( θ ))
^y
E⃗t (z)= Et o e
⃗ t (z)= Et o / η2 e− jβ ( x sen(θ )+ z cos( θ ))( z^ sen( θ t )−^x cos( θt ))
H
2
2
t
t
t
t
Não há corrente superficial na interface, portanto aplica-se a continuidade dos campos em E e H
tangenciais na interface, isto é, em z = 0 para obtermos Ero e Eto em parâmetros de Eio.
{
⇒
{
E io e
E⃗i (0)+ E⃗r (0)= E⃗t (0)
, z=0
⃗
⃗
⃗
H ix (0)+ H rx (0)= H tx (0)
− j β1( x sen( θi )+z cos( θi ))
^y + E ro e− j β (x sen(θ )−z cos( θ )) ^y =E t o e− j β ( x sen(θ )+ z cos( θ )) ^y
− j β (x sen( θ )+ z cos( θ ))
E io / η1 e
(− x^ cos( θi ))
− j β ( x sen(θ )−z cos( θ ))
+ E ro / η1 e
( x^ cos( θr ))
1
r
1
i
1
r
r
(− ^x cos( θt ))
− j β1 x sen( θ i)
− j β2 x sen( θ t )
^y +E ro e
^y =E t o e
^y
⇒ E io / η1 e− j β x sen( θ ) (− x^ cos( θi ))+ Ero / η1 e− j β x sen( θ ) ( x^ cos( θr ))
− j β x sen(θ )
= E t o / η2 e
(− x^ cos( θt ))
{
1
i
1
2
t
r
− j β2( x sen( θt )+ z cos( θt ))
− j β1 x sen( θi )
t
i
= E t o / η2 e
E io e
2
r
(z=0)
t
Para que haja a igualdade para todo x, isto é, para toda interface, as componentes devem ter
concordância de fase. Para isso, os expoentes das exponenciais devem ser iguais.
β1 x sen( θi)=β1 x sen( θr )=β2 x sen( θt )(5)
Para meios sem perdas,
β1=ω√μ1ϵ1
{
,
β2= ω √ μ 2 ϵ2
θi= θr (6)
sen( θt ) β1 ω √ μ 1 ϵ1 √ μ1 ϵ1 √ μ 0 ϵ0 √ μ r 1 ϵr 1 c √ μ r 1 ϵr 1 n1 c / u1
= =
=
=
=
= =
(7)
sen(θ ) β2 ω √ μ 2 ϵ2 √ μ2 ϵ2 √ μ 0 ϵ0 √ μ r 2 ϵr 2 c √ μ ϵ
n c/u
i
r2 r2
2
2
Onde n1 e n2 são os índices de refração dos meios 1 e 2 respectivamente e u1 e u2 são as velocidades
de fase da onda no meio 1 e 2 respectivamente.
Utilizando (6) e (7)na equação de continuidade do campo elétrico tangencial na interface, temos
− j β x sen(θ )
− j β x sen( θ )
^y =E t o e− j β x sen(θ ) ^y
E io e
y^ + E ro e
− j β x sen( θ )
^y = Et o e− j β x sen(θ ) ^y =Et o e− j β x sen(θ ) y^
=(E io + E r 0 )e
=E io + E r 0 =E t o
1
i
1
1
i
i
2
2
t
t
1
i
Utilizando (6) e (7)na equação de continuidade do campo magnético tangencial na interface, temos
− j β1 x sen( θ i)
( E io− E ro )/ η1 e
− j β x sen( θ )
x^ cos( θi )=E t o / η2 e
( x^ cos( θt ))
( Eio − Ero )
Et o
cos(
θ
)=
η1
i
η2 cos( θt )
1
i
Para obtermos Ero e Eto em função de Eio , é necessário resolver o sistema abaixo:
{
Eio +E ro =E t o
E io + E ro= E t o
⇒ E −E
Eio − E ro
Et o
E io + E ro
io
ro
cos(
θ
)=
cos(
θ
)
cos(
θ
)=
i
t
i
η1
η2
η1
η2 cos(θt )
{
E io + E ro=E t o
cos( θ ) cos( θ )
cos( θ ) cos( θ )
E io ( η i − η t )= E ro ( η i + η t )
1
2
1
2
{
{
Eio +E ro =E t o
η cos( θi )− η1 cos( θt )
η2 cos( θi)+ η1 cos( θt )
Eio ( 2
)=E
(
)
ro
η1 η2
η1 η2
η2 cos( θi )− η1 cos (θ t )
E io (8)
η
cos(
θ
)+
η
cos(
θ
)
2
i
1
t
⇒
η cos (θi )− η1 cos( θt )
2 η2 cos( θi)
E t o= E io (1+ 2
)=
E (9)
η2 cos( θi)+ η1 cos( θt ) η2 cos( θi)+ η1 cos( θt ) io
{
E ro =
Definimos então, a fim de facilitarmos os cálculos o coeficiente de reflexão perpendicular Γ⊥ e o
coeficiente de transmissão perpendicular τ⊥.
Γ⊥=
η2 cos( θi )− η1 cos( θt )
η2 cos( θi)+ η1 cos( θt )
τ⊥ =
2 η2 cos( θi )
η2 cos( θi)+ η1 cos( θt )
Como visto em (9), podemos estabelecer a seguinte relação:
1+Γ ⊥ = τ ⊥
Diferentemente do caso anterior, com incidência normal, o coeficiente de reflexão perpendicular
Γ⊥ depende não somente das impedâncias intrínsecas do meio, mas também do ângulo de incidência.
Anteriormente, não havia reflexão somente quando as impedâncias eram iguais. Agora, há uma situação
onde não há reflexão com impedâncias diferentes e isso ocorre quando o ângulo de incidência é o θB, o
ângulo de Brewster.
Γ ⊥=
η2 cos( θi )− η1 cos(θ t )
=0 ⇒ η2 cos( θi )− η1 cos( θt )=0
η2 cos( θi)+ η1 cos( θt )
η2 cos( θi)= η1 cos( θ t )
2
sen ( θt )+cos ²( θ t )=1 ⇒ cos( θt )=√ 1−sen ² ( θt )
Pela Lei de Snell,
2
η
η1 sen( θi)= η2 sen(θ t )⇒ sen ( θt )= 12 sen ²( θi )
η2
2
Tirando do chapéu, onde θi agora é θB, o ângulo de Brewster,
sen( θB ⊥ )=
√
μ ϵ
1− μ 1 ϵ2
2 1
2
1
μ
1−( μ )
2
No caso onde o meio não é magnético, isto é μ1 = μ2 = μ0, não há ângulo de Brewster no caso de
polarização perpendicular, pois o denominador será 0.
Se n1 > n2 existe um ângulo de incidência θi tal que o ângulo de transmissão θt apresenta 90º com a
normal. Para este ângulo de transmissão se dá o nome de ângulo crítico, pois com o aumento de θi, não
obtemos um valor real de θt.
Por exemplo, no caso de um feixe partindo da água, de índice de refração igual a 1.333, e incidindo
no ar, de índice de refração igual a 1.
sen(θ t )=
n1
1.333
sen( θi )=
sen(50 º)=1,021⇒ θ t ∉ℜ
n2
1
O ângulo crítico θc pode ser encontrado por:
n
θc =arcsen( 2 )=48,6 º
n1
Portanto, para qualquer ângulo de incidência superior a 48,6º, ocorrera a reflexão total.
Polarização paralela
k xi = k^ sen( θi )
k zi= k^ cos( θi)
{
k xr= k^ sen( θr )
k zr =− k^ cos( θr )
{
^
k=k
x +k y ^y +k z ^z
x^
⃗ i (z)= E io e− j β ( ^k⋅^r )
E
1
⃗ i (z)= η1 k^i× E
⃗i
H
1
k ti= k^ sen( θt )
k ti =k^ cos( θt )
{
{
{
{
⃗i (z)=E io e− j β ( x sen(θ )+ z cos(θ ))( x^ cos( θ i)− ^z sen( θt ))
E
⃗ i ( z)=E io / η1 e− jβ ( x sen(θ )+ z cos( θ )) ^y
H
1
i
i
1
i
i
− j β (x sen(θ )−z cos( θ ))
E⃗r ( z)=E ro e
( z^ sen( θr )+ x^ cos( θr ))
− j β ( x sen(θ )−z cos( θ ))
H⃗ r (z)=− E ro / η1 e
^y
1
r
r
1
r
r
⃗t ( z)= E t o e− jβ ( x sen(θ )+ z cos(θ )) ( x^ cos( θt )− z^ sen( θt ))
E
⃗ t ( z)= E t o / η2 e− j β (x sen(θ )+ z cos(θ )) ^y
H
2
t
t
2
t
t
Não há corrente superficial na interface, portanto aplica-se a continuidade dos campos em E e H
tangenciais na interface, isto é, em z = 0 para obtermos Ero e Eto em parâmetros de Eio.
{
⇒
{
− j β1( x sen( θi )+ z cos( θi ))
Eio e
E⃗ix (0)+ E⃗rx (0)= E⃗tx (0)
, z=0
⃗ i (0)+ H⃗ r (0)= H
⃗ t (0)
H
− j β1 (x sen( θr )−z cos( θr))
( ^x cos( θi))+ E ro e
( x^ cos( θ r ))
− j β ( x sen(θ )+ z cos(θ ))
= Et o e
( x^ cos( θt ))
E io − j β (x sen( θ )+ z cos( θ ))
E ro − j β ( x sen(θ )−z cos( θ ))
E t o − jβ ( x sen(θ )+ z cos(θ ))
^
^
e
y
−
e
y
=
y^
η1
η1
η2 e
2
1
i
i
t
t
1
r
− j β1( x sen(θi))
r
2
t
t
− j β1 (x sen( θr ))
( x^ cos( θi))+ E ro e
( ^x cos(θ r ))
− j β (x sen( θ ))
= Et o e
( x^ cos( θt ))
⇒
E io − j β ( x sen(θ ))
E ro − j β (x sen( θ ))
Et o − j β ( x sen(θ ))
^
^
^y
e
y
−
e
y
=
η1
η1
η2 e
{
Eio e
2
1
i
t
1
r
2
t
Para que haja a igualdade para todo x, isto é, para toda interface, as componentes devem ter
concordância de fase. Para isso, os expoentes das exponenciais devem ser iguais.
β1 x sen( θi)=β1 x sen( θr )=β2 x sen( θt )(5)
Para meios sem perdas,
β1 = ω √ μ 1 ϵ1
{
,
β2= ω √ μ 2 ϵ2
θi= θr (6)
sen( θt ) β1 ω √ μ 1 ϵ1 √ μ1 ϵ1 √ μ 0 ϵ0 √ μ r 1 ϵr 1 c √ μ r 1 ϵr 1 n1 c / u1
= =
=
=
=
= =
(7)
sen(θ ) β2 ω √ μ 2 ϵ2 √ μ2 ϵ2 √ μ 0 ϵ0 √ μ r 2 ϵr 2 c √ μ ϵ
n c/u
i
r2 r2
2
2
Onde n1 e n2 são os índices de refração dos meios 1 e 2 respectivamente e u1 e u2 são as velocidades
de fase da onda no meio 1 e 2 respectivamente.
Utilizando (6) e (7)na equação de continuidade do campo elétrico tangencial na interface, temos
( E io ±E ro )e
− j β1 x sen(θ i )
− j β x sen(θ )
x^ cos( θi )=E t o e
( x^ cos( θ t ))
(E io + E ro )cos( θi)=E t o cos( θt )
1
i
Utilizando (6) e (7)na equação de continuidade do campo magnético tangencial na interface, temos
E io − jβ x sen( θ )
E ro − j β x sen( θ )
E t o − j β x sen( θ )
e
y
^
−
e
y
^
=
^y
η1
η1
η2 e
(E −E ) − j β x sen(θ )
E − j β x sen( θ )
E − j β x sen(θ )
= io η r 0 e
^y = ηt o e
^y = ηt o e
^y
1
2
2
E io E r 0 E t o
=η −η =η
1
1
2
1
i
1
1
i
i
2
2
t
t
1
i
Para obtermos Ero e Eto em função de Eio , é necessário resolver o sistema abaixo:
cos( θi ) η2 (E io− E ro )
(E io + E ro )cos( θi)= E t o cos( θt ) (E io + E ro )
=
η1
cos(
θ
)
t
⇒
E io −E ro Et o
E io −E ro Et o
η1 = η2
η1 = η2
{
⇒
{
E io (
{
cos(θ i) η2
− η2 Ero
cos( θi )
cos (θi ) η2
− η2 E ro
cos( θi )
− η )o= η −Ero
Eio
− η E io= η −Ero
1
1
1
1
cos (θt )
cos( θt ) ⇒
cos( θt )
cos( θt )
Eio −Ero Et o
Eio −Ero Et o
η1 = η2
η1 = η2
{
{
⇒
{
E io (
Eio (
cos( θi ) η2
η cos( θi )
− η )=−E ro ( η2 +
)
1
1 cos( θ )
cos( θt )
t
E io− E ro E t o
η1 = η2
η1 cos( θi)− η2 cos( θt )
η cos( θi)+ η2 cos( θt )
)=−Ero ( 1
)
η1 cos (θ t )
η1 cos( θt )
Eio −E ro E t o
η1 = η2
η2 cos( θt )− η1 cos( θi )
)E
η1 cos( θi )+ η2 cos( θt ) io
⇒
E io−E ro E t o
η1 = η2
(E io + E ro )cos( θi )=E t o cos( θt )
{
{
E ro=(
η2 cos( θt )− η1 cos( θi )
η2 cos( θt )− η1 cos( θi )
) E io
Ero =(
) E io
η1 cos( θi )+ η2 cos( θt )
η
cos(
θ
)+
η
cos(
θ
)
1
i
2
t
⇒
cos( θi )(E io + E ro )
cos( θi )
η cos ( θt )− η1 cos( θi )
E t o=
E t o=
( Eio −( 2
)E )
cos( θt )
cos( θt )
η1 cos( θi )+ η2 cos( θt ) io
{
Ero =(
η2 cos( θt )− η1 cos( θ i)
) Eio (10)
η
cos(
θ
)+
η
cos(
θ
)
1
i
2
t
⇒
cos( θi ) E io
η cos( θt )− η1 cos( θi )
E t o=
(1−( 2
))(11)
cos( θt )
η1 cos( θi )+ η2 cos( θt )
{
E ro=(
η2 cos( θt )− η1 cos( θi )
η cos ( θt )− η1 cos( θi )
) E io
E ro=( 2
)E io
η
cos
(
θ
)+
η
cos(
θ
)
η
cos(
θ
)+
η
cos(
θ
)
1
i
2
t
1
i
2
t
⇒
⇒
cos( θi ) E io
2 η2 cos( θt )
2 η2 cos ( θi )
Et o =
E t o=
E
cos( θi ) η1 cos( θi )+ η2 cos ( θt )
η1 cos ( θi )+ η2 cos( θt ) io
{
E ro=(
{
Definimos então, a fim de facilitarmos os cálculos o coeficiente de reflexão paralela Γ‖ e o
coeficiente de transmissão paralela τ‖.
Γ∥=
η2 cos( θt )− η1 cos( θi )
η1 cos( θi )+ η2 cos( θt )
τ∥ =
2 η2 cos( θ i)
η1 cos( θi )+ η2 cos( θt )
Analisando (11), pode-se notar que
τ∥
cos( θt )
=1−Γ∥
cos( θi)
Há uma situação onde não há reflexão com impedâncias diferentes e isso ocorre quando o ângulo de
incidência é o θB, o ângulo de Brewster.
Γ∥=
η2 cos( θt )− η1 cos( θi )
=0 ⇒ η2 cos( θt )− η1 cos( θi )=0
η1 cos( θi )+ η2 cos( θt )
η2 cos( θt )= η1 cos( θi )
2
sen ( θt )+cos ²( θ t )=1 ⇒ cos( θt )=√ 1−sen ² ( θt )
Pela Lei de Snell,
2
η
η1 sen( θi)= η2 sen(θ t )⇒ sen ( θt )= 12 sen ²( θi )
η2
2
Tirando do chapéu, onde θi agora é θB, o ângulo de Brewster,
sen( θB∥)=
√
μϵ
1− μ 2 ϵ1
1 2
2
1
ϵ
1−( ϵ )
2
No caso onde o meio não é magnético, isto é μ1 = μ2 = μ0, o ângulo de Brewster se reduz a
η
tan( θB∥)= η2
1