Repartido Práctico : Vectores :
Ing. Robert Navidad Correa
Física 1
Repartido práctico 1
Repartido Práctico : Vectores :
Ing. Robert Navidad Correa
En esta sección encontrarás los prácticos que deberías ir realizando a ritmo de un práctico por
semana.
Para ello. recomendamos:
•
Leer el tema en el libro.
•
Las clases teóricas sirven como guía de esa lectura. No la sustituyen.
•
Repasar previamente los apuntes de las clases teóricas. Muy especialmente, las deducciones
y ejemplos desarrollados por el profesor.
•
Prestar especial atención a los razonamientos (argumentos, tácticas y estrategias de
resolución), no sólo a los resultados.
Interpretar los resultados a la luz de tus conocimientos, reconociendo qué procedimientos se pueden
aplicar a otros sistemas y por qué.
Usar las clases regulares y de consulta para discutir con el docente los procedimientos usados.
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Ing. Robert Navidad Correa
Sección I
1) Sean A = (1, 2, 3, 4), B = (-1, 2, -3, 0) y C = (0, 1, 0, 1) tres vectores de V4 . Calcular cada uno de
los siguientes productos:
(a) A . B; (b) B . C; (c) A . C; (d) A . (B + C); (e) (A - B) . C;
2. Dados tres vectores A = (2, 4, -7), B = (2, 6, 3), y C = (3, 4, -5). En cada una de las expresiones
siguientes se pueden introducir paréntesis de una sola manera para obtener una expresión que tenga
sentido. Introducir dichos paréntesis y efectuar las operaciones.
(a) A . BC; (b) A . B + C; (e) A + B . C; (d) AB· C; (e) A/B . C.
3. Demostrar si es o no cierta la proposición siguiente referente a vectores en Vn: Si A.B= A·C y A ≠0,
es B = C.
4. Si A = (2, 1, -1) y B= (1, -1,2), hallar un vector no nulo C de V, tal que A.C = B.C = 0.
5. Si A = (1, -2,3) y B= (3,1,2), hallar los escalares x e y tales que C= xA + yB es un vector no nulo y
que C.B =0.
6. Si A = (2, -1, 2) y B = (1, 2, -2), hallar dos vectores C y D de V3 que satisfagan todas las
condiciones siguientes: A = C+ D, B.D = 0, C paralelo a B.
7. Si A = (1, 2, 3, 4, 5) Y B = (1,1/2 ,1/3,1/4, 1/5,),hallar dos vectores C y D de V5 que satisfagan todas
las condiciones siguientes: B = C+ 2D, D· A = 0, C paralelo a A.
8. Sean A = (2, -1, 5), B= (-1, -2, 3), y C = (1, -1, 1) tres vectores de V3,Calcular la norma de cada uno
de los siguientes vectores:
(a) A + B; (b) A - B; (c) A + B - C; (d) A - B + C.
9. En cada caso hallar un vector B de V2 tal que B. A = 0 y ||B||= ||A|| si: (a) A = (1,1); (b) A = (1, -1);
(c) A = (2, -3); (d) A = (a, b).
10. Sean A = (1, -2, 3) y B = (3, 1,2) dos vectores de V3 En cada caso, hallar un vector C de longitud
1 paralelo a:
(a) A + B; (b) A - B; (e) A + 2B; (d) A - 2B; (e) 2A – B.
11. Dados los vectores de V3, A = (4, 1, -3), B = (1, 2, 2), C = (1, 2, -2), D = (2,1,2) y E =(2, -2, -1).
Determinar todos los pares ortogonales.
12. Hallar todos los vectores de V2 que tienen la misma longitud que A y le son ortogonales si:
(a) A =(1,2); (b) A =(1, -2); (c) A =(2, -1); (d) A =(-2,1).
13. Si A = (2, -1,1) y B = (3, -4, -4), hallar un punto C del espacio de 3 dimensiones tal que A, B y C
son los vértices de un triángulo rectángulo.
14. Si A = (1, -1, 2) y B = (2, 1, -1), hallar un. vector no nulo e de V, ortogonal a A y a B.
15. Sean A = (1, 2) Y B = (3, 4) dos vectores de V2• Hallar los vectores P y Q de V2 tales que
A = P + Q, siendo P paralelo a B, y Q ortogonal a B.
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16. Resolver el ejercicio 16 si los vectores pertenecen a V4 siendo A = (1, 2, 3, 4) y
B = (1, 1, 1, 1).
17. Dados los vectores A = (2, -1, 1),B = (1,2, -1), y C= (1,1, -2) de V3• Hallar los
vectores D de la forma xB + yC ortogonales a A y de longitud 1.
Sección II
1) Determinar la proyección de A sobre B si A = (l, 2, 3) y B = (l, 2, 2).
2. Determinar la proyección de A sobre B si A = (4, 3, 2, 1) Y B = (1,1,1,1).
3. a) Sean A = (6, 3, -2) y a, b, c los ángulos que A forma con los vectores coordenados unitarios i,j, k,
respectivamente. Calcular cos a, cos b y cos c. Estos se llaman los cosenos directores de A.
b) Hallar todos los vectores de V3 de longitud 1 paralelos a A.
4. Demostrar que el ángulo que forman A = (1, 2, 1) y B = (2, 1, -1) es el doble del que forman
C = (1,4, 1) y D = (2, 5, 5).
5. Determinar vectorialmente los cosenos de los ángulos del triángulo en el espacio de 3 dimensiones
cuyos vértices son los puntos (2, -1, 1),(1, -3, -5), y (3, -4, -4).
6. Tres vectores A,B, C de V3 satisfacen las propiedades siguientes: ilA II = IICII = 5, l|Bl| = 1,
IIA - B + CII = IIA + B + CII .
Si el ángulo que forman A y B es π/8 hallar el que forman B y C.
Sección III
1. Sean A = -i + 2k, B =2i +j – k, C = i +2j + 2k. Calcular cada uno de los siguientes vectores en
función de i, j, k:
(a) A x B;
(b) B x C;
(c) C x A;
(d) Ax (C x A);
(e) (A x B) x C;
(f) A x (B xC);
(g) (A x C) x B;
(h) (A + B) x (A - C);
(i) (A x B) x (A xC).
2. En cada caso hallar un vector de longitud 1 en V 3 ortogonal a la vez a A y a B:
(a) A = i +j + k,
(b) A = 2i - 3j + 4k,
(e) A = i - 2j + 3k,
B = 2i + 3j - k;
B = -i + 5j + 7k;
B = -3i + 2j - k.
3. En cada caso utilizar el producto vectorial para calcular el área del triángulo de vértices
A, B, C:
(a) A = (0, 2, 2),
B = (2, 0, -1),
C = (3,4, 0);
(b) A = (-2,3, 1),
B = (1, -3,4),
C = (1,2,1);
(e) A = (0, 0, 0),
B = (0, 1, 1),
C=(1,0,1).
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4. Si A = 2i+ 5j + 3k, B =2i + 7j + 4k, y C = 3i+ 3j+ 6k, expresar el producto vectorial
(A - C) x (B - A) en función de i, i, k.
5. Demostrar que IIA X BII = ||A|| ||B|| si y sólo si A y B son ortogonales.
6. Dados dos vectores linealmente independientes A y B de V3 Sea C = (B X A) – B.
a) Demostrar que A es ortogonal a B + C.
b) Demostrar que el ángulo θ que forman B y C satisface ½ π < θ < π
c) Si IIBII = 1 y IIB X AII = 2, calcular la longitud de C.
7. Sean A y B dos vectores ortogonales en V3 teniendo cada uno longitud 1.
a) Demostrar que A, B, A X B es una base ortonormal para V3
b) Sea C = (A X B) X A. Demostrar que IIClI = 1.
c) Trazar una figura que muestra la relación geométrica entre A, B, y A X B y utilizar
esa figura para obtener las relaciones (A x B) x A = B, (A X B) X B = -A.
d) Demostrar las relaciones de la parte c) algebraicamente.
8. a) Si A X B = O Y A . B X O, uno por lo menos de los vectores A o B es nulo. Demostrar
esta proposición y dar su interpretación geométrica.
b) Dado A ,é O. Si A X B = A X e y A· B = A· e, demostrar que B = e.
9. Sean A = 2i - j + 2k y C = 3i+ 4j - k.
a) Hallar un vector B tal que A X B = C. ¿Hay más de una solución?
b) Hallar un vector B tal que A X B = C y A . B = 1. ¿Hay más de una solución?
10. Dados un vector no nulo A y un vector C ortogonal a A, ambos en V2. Demostrar que
existe un solo vector B tal que A X B = C y A . B = 1
11. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos A = (1, 0, 1), B = (-1, 1, 1), C = (2, -1,2).
a) Hallar todos los puntos D que pueden ser el cuarto vértice del paralelogramo.
b) Calcular el área del triángulo ABC.
12. Dados dos vectores no paralelos A y B de V3 siendo A . B = 2, IIAII = 1, IIBII = 4. Sea
C = 2(A X B) - 3B. Calcular A . (B + C), ||C||, y el coseno del ángulo θ que forman
B y C.
13. Dados dos vectores linealmente independientes A y B de V3 Determinar si cada una de
las siguientes proposiciones es cierta o falsa.
a) A + B, A - B, A X B son linealmente independientes.
b) A + B, A +(A X B), B +(A X B) son linealmente independientes.
c) A, B, (A + B) X (A - B) son linealmente independientes.
14. a) Demostrar que tres vectores A, B, C, de V3 están en una misma recta si y sólo. si
(B - A) X (C - A) = 0.
b) Si A ≠ B, demostrar que la recta que pasa por A y B consiste en el conjunto de todos los vectores P
tales que (P - A) X (P - B) = 0.
15. Dados dos vectores ortogonales A, B de V3, ambos de longitud 1. Sea P un vector que
satisface la ecuación P X B = A-P. Demostrar cada una de las proposiciones.
a) P es ortogonal a B y tiene longitud ½ √2 c) (P X B) X B = - P.
b) P, B, P X B forman una base para V3•
d) P = ½ A – ½ (A x B).