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Análisis real, Abbott
una.molécula.ciclohexano
1 Una prueba preliminar
Teorema 1 (Igualdad de números reales).
Dos números reales ayb son iguales si y solo si para cada número real ϵ> 0 se sigue que | a − b | <ϵ.
Prueba. (⇒) Suponga que a = b. Entonces | a - b | = 0 <ϵ, como se desee. (⇐) Suponga | a - b | <ϵ para todo ϵ> 0.
Ahora suponga por contradicción que | a - b | = ϵ 0 . Por supuesto, debemos tener | a - b | <ϵ 0 también, a
contradicción. Por tanto | a - b | <ϵ para todo ϵ> 0, y hemos terminado.
2 Límites superior e inferior
Proposición 2 (Axioma de completitud).
Todo conjunto no vacío de números reales acotado arriba tiene un límite superior mínimo.
Definición 3 (Límite superior, delimitado por encima; límite inferior, delimitado por debajo).
Un conjunto A ⊆ R está acotado arriba (resp. Acotado abajo) si existe un número b ∈ R tal que a ≤ b
(resp. a ≥ b) para todo a ∈ A. El número b se llama límite superior (resp. límite inferior) para A.
Definición 4 (Límite superior mínimo, superior; límite inferior máximo, mínimo).
Un número real s es el límite superior mínimo (resp. Límite inferior más grande) o supremum (resp. Infimum)
de un conjunto A si s es un límite superior (resp. límite inferior) y s ≤ s (resp. s ≥ s) para cualquier s un superior
límite (resp. límite inferior) de A. Denotamos s por s = sup A (resp. s = inf A).
Definición 5 (Máximo, mínimo).
Un número real s es el máximo (resp. Mínimo) de un conjunto A si s ∈ A ys ≥ s (resp. S ≤ s) para
todo s ∈ A.
Teorema 6 (Máximo y supremum; mínimo e infimum.)
Si el conjunto A tiene un máximo (resp. Mínimo) s, entonces su supremum (resp. Infimum) también es s.
Prueba. Por definición de máximo (resp. Mínimo), s es un límite superior (resp. Un límite inferior).
Debido a que s ∈ A, s <s (resp. S> s) para cualquier s un límite superior (resp. Un límite inferior) de A. Por lo tanto
s = sup A (resp. s = inf A). Tenga en cuenta que no siempre es necesario que exista un máximo (o mínimo).
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2. LÍMITES SUPERIORES E INFERIORES
Teorema 7 (Definición alternativa de supremum.)
Un número real s que es un límite superior del conjunto A es también su supremo si y solo si existe
an a ∈ A tal que s - ϵ <a para todo ϵ> 0.
Prueba. (⇒) Suponga s = sup A. Ahora suponga por contradicción que s - ϵ ≥ a para todo a ∈ A. Entonces
s - ϵ es un límite superior para A menor que s = sup A, una contradicción. (⇐) Suponga que existe
an a ∈ A tal que s - ϵ <a para todo ϵ> 0. Entonces no puede haber límite superior menor que s, y
por lo tanto s = sup A.
Se puede hacer una declaración y una prueba similares para el mínimo, pero los paréntesis se están volviendo agotadores.
Teorema 8 ("Axioma de completitud" para límites inferiores).
Sea A acotado por debajo, y defina B como el conjunto de todos los límites inferiores b del conjunto A. Entonces sup B = inf A.
Prueba. Según el axioma de completitud, sup B existe. Sea b = sup B y a = inf A. Dado que b es menor
límite de A, a ≥ b; dado que b es el mayor límite inferior de A, b ≥ a. Por lo tanto a = b, y hemos terminado.
Esto muestra que no necesitamos postular que existe un límite inferior máximo para los conjuntos delimitados por debajo.
Teorema 9 (Linealidad parcial del supremo).
Dados los conjuntos A y B, cada uno acotado arriba, y una constante real c> 0,
1. sup (A + c) = c + sup A,
2. sup (cA) = c sup A,
3. sup (A + B) = sup A + sup B.
Prueba.
1. Sea a = sup A, y a cualquier límite superior de A. Entonces a ≥ a ≥ a para todo a ∈ A, y por lo tanto
a + c ≥ a + c ≥ a + c para todo (a + c) ∈ (c + A). Debido a que a + c es un límite superior arbitrario de
c + A, c + a = sup (c + A).
2. Sea a = sup A, y a cualquier límite superior de A. Entonces a ≥ a ≥ a para todo a ∈ A, y por tanto
ca ≥ ca ≥ ca para todo ca ∈ cA. Como ca es un límite superior arbitrario de cA, ca = sup (cA).
3. Sea a = sup A, b = sup B y a, b cualquier límite superior de A y B respectivamente. Luego
a ≥ a ≥ a para todo a ∈ A y b ≥ b ≥ b para todo b ∈ B, y por tanto a + b ≥ a + b ≥ a + b para todo
(a + b) ∈ (A + B). Debido a que a + b es un límite superior arbitrario de A + B, a + b = sup (A + B).
¿Qué pasa si c <0?
Algunas pruebas alternativas
Teorema 10 (Teorema 2.3.4.i)
Si a n ≥ 0 para todo n ∈ N , entonces a ≥ 0.
Prueba. Demostraremos lo contrario de la declaración anterior: si a <0, entonces existe un n <0 para
algunos n ∈ N . Sea a = −ϵ 0 . Entonces, para todo ϵ> 0, para algún n ≥ N, | a n + ϵ 0 | = | a n - a | <ϵ. Establecer ϵ = ϵ 0 ,
así que eso
| a n + ϵ 0 | <ϵ 0
-Ε 0 <a n + ε 0 <ε 0
−2ϵ 0 <a n <0,
⇐⇒
⇐⇒
como se desee.
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2. LÍMITES SUPERIORES E INFERIORES
Teorema 11 (ejercicio 2.5.6)
Sea (a n ) una secuencia acotada y defina el conjunto
S = {x ∈ R : x <a n para un número infinito de términos a n }.
Demuestre que existe una subsecuencia (a n k ) que converge a s = sup S. (Esta es una prueba directa de la
Teorema de Bolzano-Weierstrass utilizando el axioma de completitud).
Prueba. Considere la subsecuencia (a n k ) definida por
a n k es el k- ésimo término en (a n ) tal que a n k ≥ sup S.
Suponga por contradicción que esta secuencia no converge a sup S. Entonces
existe ϵ 0 > 0 tal que para todo K, existe k> K tal que a n k - sup S> ϵ 0 .
Hay un número infinito de tales k, porque siempre se puede tomar K = 1 + max {k n }, donde {k n } es cualquier
subconjunto finito de k's. Pero entonces x = sup S + ϵ 0 ∈ S, lo que contradice x ≤ sup S. Por lo tanto (a n k ) converge
para sup S.
Teorema 12 (Teorema 3.3.4)
Un conjunto K ⊆ R es compacto si y solo si está cerrado y acotado.
Prueba. (⇒) Sea arbitrario un conjunto compacto K. Por definición, cada secuencia en K tiene una subsecuencia
que converge a un límite en K. Considere primero todas las secuencias convergentes en K. Todas las subsecuencias de
estas secuencias convergentes deben converger al mismo límite, que está en K por definición. Por lo tanto
todas las secuencias convergentes en K tienen su límite en K, y por lo tanto K contiene todos sus puntos límite y
está cerrado. Además, por contraposición, K debe estar acotado. Sea K un conjunto ilimitado. Entonces eso
contiene una secuencia monótona ilimitada, cada una de cuyas subsecuencias es ilimitada. Por tanto, K es
no compacto, por lo que K debe estar acotado. (⇐) Sea arbitrario un conjunto cerrado y acotado L. Entonces por el
Teorema de Bolzano-Weierstrass Toda secuencia en L posee una subsecuencia convergente cuyo límite es
en L porque L está cerrado. Por tanto, L es compacto.
Teorema 13 (Teorema 3.4.7)
Un conjunto E ⊆ R está conectado si y solo si c ∈ E para todo c tal que a <c <b, donde a, b ∈ E.
Prueba.
[No∩es
solo
una dirección.]
E conectado,
A esto
= (−∞, c) ∩E
y B = (c, ∞)
E. nuevo,
Entonces
A se
y Bha
noreformulado
están vacíosen
y están
separados.(⇒)
Si cSea
/ ∈ E,
entonces E y= considere
A ∪ B, pero
implica que E está desconectado, una contradicción. Por tanto, c ∈ E.
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2. LÍMITES SUPERIORES E INFERIORES
Teorema 14 (¿teorema no expresado?)
Cualquier subconjunto abierto de R es una unión finita o contable de intervalos abiertos disjuntos.
Prueba. Una unión finita es una unión contable, por lo que solo necesitamos probar la contabilidad. Sabemos que Q es
contables y densos en R , por lo que nuestro objetivo es construir un conjunto de intervalos abiertos disjuntos basados ​en el
elementos de Q . Tal conjunto es contable por construcción.
Sea A ⊆ R abierto y arbitrario. Cada elemento a ∈ A es racional o irracional. Si a es racional,
luego define el intervalo
J
Yo a =
I.
Yo un intervalo abierto
a∈I⊆A
Si a es irracional, entonces existe dentro de una vecindad ϵ de un número racional a, y debe existir
tal vecindario ϵ en A porque A está abierto. Entonces un ∈ yo a . Dado que todos los elementos a ∈ A están en un
intervalo I q para todo q ∈ A ∩ Q , entonces
A⊆
J
Yo q y, por construcción,
q∈A∩Q
J
I q ⊆ A, de modo que A =
q∈A∩Q
J
Yo q .
q∈A∩Q
Queda por demostrar que los intervalos I q son disjuntos, o de manera equivalente que si x ∈ I c ∩ I d , entonces I c = I d .
Dado que x ∈ I c y x ∈ I d , por construcción I c ⊆ I d e I d ⊆ I c , entonces I c = I d .
Teorema 15 (Teorema 4.2.3)
lim x → c f (x) = L si y solo si, para todas las secuencias (x n ) ⊆ A tales que x n = c y (x n ) → c, f (x n ) → L.
Prueba. La primera cláusula es equivalente a la afirmación de que
para todo ϵ> 0, existe δ> 0 con 0 <| x - c | <δ tal que | f (x) - L | <ϵ,
y el último a la afirmación de que
para todo ϵ> 0, existe N tal que | f (x n ) - L | <ϵ para todo n ≥ N.
(⇒) Suponga que lím x → c f (x) = L y que (x n ) → c, x n = c. Necesitamos encontrar una N tal que el
se cumplen las condiciones de la segunda cláusula. Sea ϵ arbitrario. Entonces existe un δ correspondiente
tal que 0 <| x - c | <δ. Elija N como el mínimo n para el cual | x n - c | <δ para todo n ≥ N.
Tal N debe existir, ya que (x n ) → c, y por hipótesis | f (x n ) - L | <ϵ para todo n ≥ N. (⇐) Suponga
la segunda cláusula. Necesitamos encontrar un δ tal que se cumplan las condiciones de la primera cláusula. Dejar
ϵ sea arbitrario y elija δ> x N - c, donde N es como se indica en la segunda cláusula; por hipótesis, el
Se cumplen las condiciones de la primera cláusula.
Teorema 16 (ejercicio 4.3.7)
Suponga que h: R → R es continuo y sea K = {x: h (x) = 0}. Entonces K es un conjunto cerrado.
Prueba. Si no existe tal x, entonces K es el conjunto nulo, que está cerrado. Por tanto, asumiremos que K no es
vacío y muestra que K c está abierto. Sea x / ∈ K arbitrario. Luego, por la continuidad de h cualquier ϵ-vecindario
sobre h (x) con 0 <ϵ <| h (x) | posee una vecindad δ alrededor de x tal que V δ (x) ⊆ K c , que
define un conjunto abierto.
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2. LÍMITES SUPERIORES E INFERIORES
Teorema 17 (ejercicio 4.3.8)
Una función continua en R e igual a 0 en cada punto racional debe ser idénticamente 0 en R .
Prueba. Como Q es denso en R , cualquier número irracional se acerca arbitrariamente a un número racional, y
Por lo tanto, la continuidad debe adquirir el mismo valor. Como R es la unión de Q e I , la función
debe ser idénticamente 0 en R .
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