Sistemas de Ecuaciones
Exponenciales y
Logarítmicas
Siguiendo con los sistemas de ecuaciones veremos a continuación aquellos que están
compuestos por ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
I.
Sistemas de Ecuaciones
Exponenciales
En guías anteriores hemos visto las propiedades de las potencias y logaritmos además
de haber visto sistemas de ecuaciones lineales y no lineales lo que nos permite abordar
este nuevo tipo de problema.
Una ecuación exponencial es aquella en la su incógnita está compuesta por un
exponente y para su resolución debemos considerar siempre las propiedades de las
potencias y logaritmos que volveremos a listar a continuación.
𝑎1 = 𝑎
𝑎0 = 1
𝑎2 = 𝑎 ∙ 𝑎
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎
00 = 0𝑛 = 0
𝑎−1 =
1
𝑎
𝑛
Propiedad
Multiplicación de potencias igual
base
Formula
𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
Ejemplo
22 ∙ 23 = 22+3 = 25
= 32
1
(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚
Potencia de una potencia
𝑛
𝑛
(𝑎 ∙ 𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑏
Potencia de un producto
(22 )3 = 22∙3 = 26 = 64
𝑛
(−𝑎)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
(−𝑎)
Inverso aditivo
𝑛
= −(𝑎𝑛 ) 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
(𝑎)−𝑛 =
Inverso multiplicativo
1
𝑎𝑛
(2 ∙ 3)4 = 24 ∙ 34
= 1296
(−2)2 = 22 = 4
(−2)1 = −(21 ) = −2
(2)−2 =
1
1
=
22 4
23
= 23−2 = 21
22
𝑎𝑚
= 𝑎𝑚 −𝑛
𝑎𝑛
División de potencias de igual base
𝑎
𝑏
Potencia de un cociente
Propiedad
𝑎𝑛
= 𝑛
𝑏
2
3
2
22 4
= 2=
3
9
Formula
Distributiva
𝑎+𝑏
𝑛
≠ 𝑎𝑛 + 𝑏 𝑛
𝑎−𝑏
𝑛
≠ 𝑎𝑛 − 𝑏 𝑛
NO CUMPLEN
𝑎𝑏 ≠ 𝑏 𝑎
Conmutativa
Asociativa
𝑛
22
1
= 22−3 = 2−1 =
3
2
2
𝑐
𝑎𝑏 = 𝑎 (𝑏
𝑐)
≠ 𝑎𝑏
𝑐
=𝑎
𝑏∙𝑐
𝑐
= 𝑎𝑏𝑐 ⟶ 𝑎𝑏 ≠ 𝑎𝑏𝑐
Revisadas las potencias y los radicales podemos abordar los logaritmos, los cuales
están relacionados con la exponenciación a través la siguiente función.
log 𝑏 𝑥 = 𝑛 ⇔ 𝑥 = 𝑏 𝑛
𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 0
log 𝑏
𝑥
= log 𝑏 𝑥 − log 𝑏 (𝑦)
𝑦
log 𝑏 𝑥 𝑦 = 𝑦 ∙ log 𝑏 𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 1
2
log 𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 𝑛 = 𝑛
𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑥 ∙ 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑥) + 𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑦)
log 𝑏
𝑦
𝑥 =
log 𝑏 𝑥
𝑦
1
= − log 𝑏 𝑥
𝑥
Ahora tenemos varios casos de ecuaciones exponenciales los que veremos a
continuación mediante ejemplos.
1. Caso 1: Igual Base
Es la ecuación más sencilla de todas ya que tenemos igual base en ambos lado de la
ecuación lo que nos permite igualar los exponentes y resolver, veamos un ejemplo.
22𝑥 −1 = 8
Como podemos notar podemos expresar la ecuación de la manera siguiente
22𝑥−1 = 23
Note que en ambos lados tenemos la misma base (2) por lo que podemos igualar los
exponentes y resolver nuestra ecuación
→ 2𝑥 − 1 = 3 → 𝒙 = 𝟐
Verificando la solución
22(2)−1 = 23 → 24−1 = 23 → 𝟐𝟑 = 𝟐𝟑
2. Caso 2: Cambio de Variable
En algunas ocasiones nuestra ecuación es más compleja por lo que podemos evaluar
realizar un cambio de variable para simplificar nuestra ecuación para resolverla,
veamos un ejemplo
43𝑥 − 4 = 23𝑥
3
Primero llevamos la mayor cantidad de términos a una base común, en este caso por
simple inspección llevamos a base 2, luego tenemos
22
3𝑥
3𝑥
− 2
− 22 = 0
Sea el cambio de variable
𝑡= 2
3𝑥
Luego tenemos la siguiente ecuación transformada
23𝑥
2
− 2
3𝑥
− 22 = 0 → 𝑡 2 − 𝑡 − 4 = 0
La ecuación anterior es de segundo grado y sabemos cómo resolverla, luego tenemos
que sus soluciones son
𝑡1 =
1
17
+
2
2
∧
𝑡2 =
1
17
−
2
2
Recordando el cambio de variable para obtener la solución
2
3𝑥
=
1
17
±
2
2
Lamentablemente no podemos igualar sus exponentes dado que sus bases no son
iguales, luego empleamos las propiedades de los logaritmos que hemos viso en una
guía anterior y que recordamos al principio de esta guía
log 𝑏 𝑥 = 𝑛 ⇔ 𝑥 = 𝑏 𝑛 ∧ log 𝑏 𝑥 𝑦 = 𝑦 ∙ log 𝑏 𝑥
log 2
3𝑥
= log
3𝑥 ∙ log 2 = log
1
17
±
2
2
1
17
±
2
2
4
Despejando la incógnita tenemos
log
𝑥=
1
2
±
17
2
3 ∙ log 2
Como debe notar se debe evaluar para cada signo (±) considerando que logaritmos de
números negativos no existen por lo que la solución que involucra el signo negativo no
es solución, luego
𝒙=
𝐥𝐨𝐠
𝟏
𝟐
+
𝟏𝟕
𝟐
𝟑 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟐
3. Caso 3: Con Logaritmos
Como podrá notar puede darse el caso en que tengamos una ecuación exponencial con
distinta base la que del caso anterior podemos resolver usando las propiedades de los
logaritmos, veamos un ejemplo
8𝑥+1 = 5
Aplicando logaritmo en ambos lados tenemos
log 8𝑥+1 = log 5
Empleando las propiedades de los logaritmos despejamos nuestra incógnita
𝑥 + 1 log 8 = log 5 → 𝑥 + 1 log 23 = log 5 → 3𝑥 + 3 log 2 = log 5
→𝒙=
II.
𝐥𝐨𝐠 𝟓
−𝟏
𝟑 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟐
Sistemas de ecuaciones logarítmicas
Junto con los sistemas de ecuaciones exponenciales, tenemos los sistemas de
ecuaciones logarítmicas cuya resolución se basa en las propiedades de los logaritmos o
puede obtenerse por reducción o eliminación, veamos dos ejemplos.
5
Sea el siguiente sistema de ecuaciones
Nos resulta más fácil eliminar los logaritmos, para eso realizamos empleando las
propiedades de logaritmos realizamos
Luego nuestra ecuación queda expresada de manera más simple de la siguiente forma
Resolviendo el sistema obtenemos x = 20, y = 2
Otro caso que podemos encontrar es cuando tenemos un sistema de ecuaciones
formado íntegramente por logaritmos como el siguiente ejemplo
Si sumamos ambos sistemas eliminamos tenemos
Reemplazando el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones del sistema
obtenemos la incógnita restante, reemplazando en la primera ecuación tenemos:
Luego las soluciones son x = 100, y =10
6
Test
1.- Indique las soluciones del siguiente sistema
a) 𝑥 = 3
b) 𝑥 = −3
c) 𝑥 = 3
d) 𝑥 = −3
𝑦=2
𝑦=2
𝑦 = −2
𝑦 = −2
a) 𝑥 = 20
𝑦=2
6.- Indique las soluciones del siguiente
b) 𝑥 = −20
𝑦=2
sistema
c) 𝑥 = 20
𝑦 = −2
d) 𝑥 = −20
𝑦 = −2
2.- Indique las soluciones del siguiente sistema
a) x1=2, y1=3 / x2=-3, y2=2
b) x1=2, y1=-3 / x2=3, y2=2
c) x1=-2, y1=3 / x2=3, y2=2
d) x1=2, y1=3 / x2=3, y2=2
a) 𝑥 = 3
𝑦=2
b) 𝑥 = −3 𝑦 = 2
c) 𝑥 = 3
𝑦 = −2
d) 𝑥 = −3
𝑦 = −2
3.- Indique las soluciones del siguiente sistema
7.- Indique las soluciones del siguiente
sistema
a) (2;-3) (3;2) (-2;-3) (-3,-2)
b) (2;3) (-3;2) (-2;-3) (-3,-2)
c) (2;3) (3;2) (-2;-3) (-3,-2)
d) (2;3) (3;-2) (-2;-3) (-3,-2)
a) 𝑥 = 5
𝑦 = −16
8.- Indique las soluciones del siguiente
b) 𝑥 = −5
𝑦 = 16
sistema
c) 𝑥 = 5
𝑦 = 16
7
d) 𝑥 = −5
𝑦 = −16
4.- Indique las soluciones del siguiente sistema
1
a) 𝑥 = 111
𝑦=6
b) 𝑥 = 121
𝑦 = 16
c) 𝑥 = 120
𝑦 = 15
d) 𝑥 = 135
𝑦 = 30
1
a) 𝑥 = 352
𝑦 = 10 ∙ 352
1
2
b) 𝑥 = 35
𝑦=
1
c) 𝑥 = 4 ∙ 352
1
d) 𝑥 = 4 ∙ 352
10
7
∙ 35
1
2
9.- Indique las soluciones del siguiente
sistema
1
𝑦 = 10 ∙ 352
𝑦=
10
7
1
∙ 352
5.- Indique las soluciones del siguiente sistema
a) 𝑥 = −3
𝑦=0
b) 𝑥 = 0
𝑦=3
c) 𝑥 = 3
𝑦=0
d) 𝑥 = 0
𝑦 = −3
10.- Indique las soluciones del siguiente
sistema
a) x1=3, y1=4 / x2=-4, y2=3
b) x1=3, y1=-4 / x2=4, y2=3
c) x1=-3, y1=4 / x2=4, y2=3
d) x1=3, y1=4 / x2=4, y2=3
Respuestas:
1 (a) / 2 (a) / 3 (c) / 4 (d) / 5 (a) / 6 (d) / 7 (c) / 8 (b) / 9 (c) / 10 (d)
8