By @rkanosant
AULA POLITÈCNICA 61
Campos electromagnéticos.
Problemas resueltos
www.elsolucionario.net
www.elsolucionario.net
By @rkanosant
AULA POLITÈCNICA / ETSETB
www.elsolucionario.net
Campos electromagnéticos.
Problemas resueltos
EDICIONS UPC
www.elsolucionario.net
Federico Dios - David Artigas
Ferran Canal - Jaume Recolons
By @rkanosant
La presente obra fue galardonada en el octavo concurso
"Ajuts a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.
www.elsolucionario.net
www.elsolucionario.net
Primera edición: septiembre de 2001
Diseño de la cubierta: Manuel Andreu
©
Los autores, 2001
©
Edicions UPC, 2001
Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL
Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona
Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885
Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es
E-mail: edicions-upc@upc.es
Producción:
CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord)
La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona
Depósito legal: B-28.243-2001
ISBN: 84-8301-519-6
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de
ella mediante alquiler o préstamo públicos.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Índice
7
Índice
Presentación.....................................................................................................................
9
1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas.....................................................................
2 Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas..................................................................
3 Ondas planas.............................................................................................................................
4 Incidencia de ondas planas.......................................................................................................
5 Guías de onda............................................................................................................................
6 Radiación de antenas elementales.............................................................................................
11
17
23
29
37
43
Indicaciones y sugerencias ............................................................................................ 47
Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas........................................................................
Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas.....................................................................
Ondas planas................................................................................................................................
Incidencia de ondas planas...........................................................................................................
Guías de onda...............................................................................................................................
Radiación de antenas elementales................................................................................................
49
55
59
65
71
75
Soluciones ...................................................................................................................... 79
Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas........................................................................
Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas.....................................................................
Ondas planas................................................................................................................................
Incidencia de ondas planas..........................................................................................................
Guías de onda...............................................................................................................................
Radiación de antenas elementales................................................................................................
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
79
81
83
86
90
93
www.elsolucionario.net
Problemas
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Presentación
9
La presente obra pretende llenar un hueco en la literatura técnica que habitualmente hay a disposición
de los estudiantes de Campos Electromagnéticos, sea en Escuelas Técnicas o en Facultades de
Ciencias. Ese presunto hueco no es detectado tan fácilmente por los profesores como por los mismos
alumnos, y debemos confesar que en nuestro caso ha sido su insistencia la que ha hecho que, por fin,
pusiéramos manos a la obra para tratar en lo posible de satisfacer su petición.
Es sabido que los profesores no somos por lo general partidarios de los libros de problemas resueltos,
aunque a los alumnos puede parecerles haber encontrado una auténtica joya cuando descubren alguno,
con contenidos que se adapten bien al temario que ellos siguen. No nos parece un material adecuado,
porque, en muchas ocasiones, el hecho de tener la solución y la resolución de un problema tan sólo a
unas páginas de distancia es una tentación demasiado fuerte como para intentar hacer un esfuerzo
adicional, que pueden imaginar, incluso, innecesario. Afortunada o desgraciadamente, lo cierto es que
no hay sucedáneo para el trabajo individual, y que las explicaciones sobre el método correcto de
enfocar un problema se muestran tanto más esclarecedoras cuanto mayor ha sido el esfuerzo previo en
solitario por buscarlo.
Por llegar a una solución de compromiso –y para no dar al estudiante gato por liebre–, hemos optado
por no resolver realmente los problemas que constituyen esta colección. A cambio se dan indicaciones
y sugerencias sobre cómo deben enfocarse para hallar la solución de una manera lógica y coherente
con la teoría. Al final del libro se dan escuetamente las expresiones finales o los valores numéricos
que representan la solución final a cada problema. De esta manera, el estudiante puede comprobar sus
resultados.
Los problemas de este libro se han repartido en seis capítulos que, con algunas variantes, recogen los
temas habituales en un curso intermedio sobre Electromagnetismo para Ingenieros de
Telecomunicación.
La primera parte del libro presenta los enunciados de los problemas. Por lo general, son problemas
procedentes de exámenes parciales y finales de los últimos años de la asignatura de Campos
Electromagnéticos impartida en la Escuela Superior de Ingeniería de Telecomunicaciones de la
Universidad Politécnica de Cataluña. Se ha tratado de no incluir aquellos problemas que ya
aparecieron en el libro Campos Electromagnéticos, publicado también por Edicions UPC, y que tiene
casi los mismos autores que este nuevo libro.
La segunda parte la constituyen las indicaciones y sugerencias con que se pretende orientar al
estudiante para la resolución de los problemas. Como ya hemos explicado, no hemos querido dar
orientaciones demasiado explícitas, de forma que el estudiante se vea forzado a seguir pensando por
su cuenta para llegar a la solución. No obstante, como el lector podrá comprobar, el grado de
explicitación es diferente según los problemas, puesto que algunos son más difíciles, técnica o
conceptualmente, que otros, y precisan de más explicaciones.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Presentación
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Presentación
10
Indudablemente, el creer que una determinada explicación constituye para otra persona una pista real
para resolver un problema supone una base común de conocimientos, o que se conoce con cierta
aproximación lo que esa persona sabe y cómo tenderá a enfocar el problema. En nuestro caso, la larga
experiencia en la didáctica del Electromagnetismo nos hace suponer que algo sabemos sobre ello. Por
otro lado, muchos de los potenciales usuarios del libro serán nuestros propios futuros alumnos, razón
por la cual tenemos una idea bastante aproximada de la manera en que van asimilando y organizando
los nuevos conceptos que van aprendiendo durante el curso.
Los autores
Barcelona, abril de 2001
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Tan sólo nos resta pedir comprensión y disculpas al lector por los posibles errores que pueda
encontrar en el libro. Los que tengan experiencia en publicar trabajos sabrán cuán difícil resulta,
independientemente del número de revisiones realizadas, que no aparezcan al menos unos pocos
gazapos. Que sepa el lector que, aun con todo, hemos tratado por todos los medios de escapar a esa
fatídica ley.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas
11
Este primer capítulo sirve de repaso a los conceptos y métodos que se vieron en el curso introductorio
de Física sobre Teoría Electromagnética. Se analizan situaciones típicas en las que determinadas
distribuciones de carga conocidas –sean puntuales, dipolos, o distribuciones continuas– producen
campos y potenciales en el espacio. Algunos otros problemas hacen referencia a corrientes
estacionarias y sus distribuciones de campo magnético. Se emplean herramientas conocidas, como las
leyes integrales de Gauss y Ampère y las ecuaciones diferenciales de Laplace y Poisson. Se han
incluido también ejercicios de inducción electromagnética, resolubles mediante la ley de Faraday.
Estos problemas se incluyen en algunos textos bajo el epígrafe de Campos lentamente variables en el
tiempo, y es cierto que ya no son problemas en régimen estático, y que implican relaciones entre
campos eléctricos y magnéticos. Sin embargo, los incluimos en este primer capítulo porque reflejan
situaciones ya conocidas por los estudiantes.
1. Calcule el flujo del campo eléctrico creado por una carga puntual, de valor q, situada en el origen
de coordenadas, a través de las dos superficies siguientes:
a) una semiesfera de radio R, cuyo centro (el origen de los radios) coincide con la carga.
b) el plano y = d .
2. Un medio dieléctrico sometido a la acción de un campo eléctrico se polariza y, como consecuencia,
aparecen en el medio las llamadas densidades de carga ligada, volúmica y superficial. El vector de
polarización da cuenta del estado de polarización del medio y aquellas densidades de carga pueden
calcularse a partir de este vector. Las expresiones son, respectivamente:
ρ b = −∇ ⋅ P
σ b = P ⋅ nˆ
∫ E ⋅ ds = Q / ε
A partir de la igualdad
S
0
, deduzca la ley de Gauss para el vector desplazamiento que,
en el caso más sencillo y más habitual de que no haya cargas libres en el dieléctrico, toma la forma
∫
D ⋅ ds = 0
S
El vector desplazamiento eléctrico D se define como D = ε 0 E + P .
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
12
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
3. Calcule el potencial eléctrico en el interior de una esfera de radio a que contiene una densidad de
carga eléctrica
r
ρ = ρ 0 (1 + 2 )
a
sabiendo que el potencial es nulo en el infinito. Haga el cálculo a partir de la ecuación de Poisson.
4. Determine el campo eléctrico dentro y fuera de una distribución esférica de carga de densidad
constante ρ 0 y radio R. Utilice la ley de Gauss.
A
B
Fig. 1 Líneas de campo electrostático entre dos conductores.
Algunas de esas líneas no son posibles físicamente
6. Dos cargas puntuales de valores +q y -q están situadas, respectivamente, en los puntos z = s/2 y z
= -s/2, formando un dipolo eléctrico.
a) Calcule el potencial eléctrico creado por el dipolo en todo el espacio.
b) Aproxime la expresión anterior para puntos tales que r >> s.
7. La gráfica de la figura 2 representa la distribución de carga volúmica en una unión p-n no
polarizada. Esa distribución, debida a la huida de los portadores mayoritarios de uno y otro lado de la
unión, se denomina zona de carga espacial. Ocurre que el exceso de electrones libres debido a los
átomos donadores de la zona n han escapado, dejando tras de sí una zona iónica de carga neta
positiva, y también algunos electrones de la banda de valencia han sido capturados por los átomos
aceptores de la zona p, formando un volumen de iones negativos.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
5. Algunas de las líneas de campo electrostático de la figura 1, donde A y B son conductores
perfectos, no son posibles. ¿Cuáles son?, ¿por qué?
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas
13
a) A partir de la ley de Gauss en forma diferencial, determine de forma gráfica la
dependencia del campo eléctrico con x a lo largo de la unión, ignorando las variaciones en las
otras dos direcciones.
b) Obtenga la gráfica de la función potencial φ(x), mediante su relación con el campo
eléctrico, o a partir de la ecuación de Poisson. Como no disponemos en este caso de
referencias externas de potencial, podemos fijar arbitrariamente φ(x=0) = 0.
p
ρ(x)
x
Fig. 2 Unión p-n y zona de carga espacial
8. Una barra de un semiconductor dopado tipo n (cuyos portadores son electrones en la banda de
conducción) es atravesada por una densidad de corriente homogénea de valor J0. La corriente está
provocada por una tensión aplicada en los extremos de la barra, V0 = 50 mV . Suponemos que el
campo eléctrico que se establece es constante a lo largo de toda la longitud del semiconductor. La
25
3
concentración de portadores a la temperatura de trabajo es N = 6.24 × 10 electr. m . La carga del
electrón es q = −1.602 × 10 −19 C . La conductividad del semiconductor es σ = 3.12 × 10 4 Ω −1 m −1 .
a) ¿Cuánto vale la densidad de corriente?
b) Calcule la intensidad de corriente que circula por la barra.
c) ¿Cuál es la velocidad media de los portadores?
V0
5m
m
25 mm
1 mm
Fig. 3 La barra de semiconductor del problema 8
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
n
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
14
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
Se sumerge la barra en el seno de un campo magnético homogéneo orientado transversalmente a la
dirección de la corriente, con B0 = 1.0 T.
d) ¿Cuál será la magnitud de la fuerza magnética por unidad de carga que experimentan los
portadores? ¿Variará la densidad de corriente respecto a la situación en que no había campo
magnético? ¿Y la intensidad de corriente en la barra?
9. Calcule la capacidad de un condensador formado por dos placas metálicas de dimensiones 21 cm x
29 cm separadas por una hoja de papel (εr = 2, d = 0,1 mm).
J (r ) = J 0
ρ2
z
a2
donde a es el radio del conductor y ρ la coordenada radial cilíndrica.
a) Calcule la intensidad de corriente I que atraviesa el hilo.
b) Si I = 1 A y a = 0,3 mm ¿cuál es el valor de J0?
c) Calcule el valor del campo magnético creado a 1 cm del hilo conductor.
11. Dos láminas conductoras paralelas de muy pequeño grosor, anchura h y longitud l, separadas una
distancia d, forman una línea de transmisión. Ambas conducen una densidad superficial uniforme y
constante en el tiempo, de valor J0, en sentidos opuestos. Las dimensiones de la línea satisfacen las
condiciones l >> h y h >> d. Calcule mediante la ley integral de Ampère y aplicando superposición
cómo será la distribución del campo magnético producido por las corrientes.
Z
X
Y
J0
l
d
h
Fig. 4 Línea de transmisión formada por dos láminas conductoras delgadas y paralelas
12. Se utilizan dos imanes cilíndricos con sus ejes alineados y con una cierta separación entre ellos
para producir un campo magnético aproximadamente constante, de valor B0. Entre medio de ambos se
sitúa un arrollamiento formado por N espiras de radio a, que se hace girar a n r.p.m.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
10. Una corriente circula a través de un hilo conductor recto extendido en la dirección del eje Z. La
densidad volúmica de corriente es
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas
15
a) ¿Qué frecuencia tiene la tensión generada en el arrollamiento?
b) ¿Cuál es su amplitud?
c) Calcule el valor numérico de ambas magnitudes con los siguientes datos: B0 = 10 -2 T, N =
100 espiras, a = 1 cm, n = 2000 r.p.m.
13. Calcule la resistencia a lo largo de un hilo de cobre de sección circular de 50 m de longitud y 0,6
mm de diámetro. La conductividad del cobre es σ = 5,9x107 1/Ωm.
www.elsolucionario.net
14. Calcule la capacidad por unidad de longitud de un cable coaxial formado por un hilo central de
1,0 mm de diámetro y una malla exterior de 8,0 mm de diámetro. El dieléctrico que separa ambos
conductores tiene una constante εr = 3,2.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
2 Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas
17
Al incluir la variación temporal desaparece la distinción rígida, propia de la Estática, entre campos
eléctricos y magnéticos. Los problemas de este capítulo se acercan, aunque tímidamente, al tema de
ondas, que constituye el tema fundamental de la Teoría Electromagnética. Los próximos capítulos se
dedican exclusivamente a ellas, razón por la cuál aquí hemos preferido centrarnos en otras
aplicaciones y derivaciones de las ecuaciones de Maxwell.
15. Un buen conductor se caracteriza por el valor de su conductividad, que será elevado, pero también
por su constante dieléctrica y su permeabilidad magnética. Una de las características fundamentales
de los buenos conductores es que no pueden almacenar carga libre neta en su interior, sino tan sólo
en su superficie. A partir de la ley de Gauss, de la ley de Ohm y de la ecuación de continuidad, todas
ellas en su forma diferencial; compruebe que si en un instante inicial existiera una densidad volúmica
no nula en el interior de un buen conductor, introducida artificialmente de algún modo, entonces esa
densidad de carga desaparecería muy rápidamente, según una constante de tiempo inversamente
proporcional a la conductividad del medio.
16. Un medio material presenta una constante dieléctrica ε r = 2 y una conductividad elevada, σ =
5,6 x 10 6 (Ωm)-1 .
a) Calcule la densidad de corriente de conducción y la densidad de corriente de
desplazamiento en función del campo eléctrico cuando en el interior del medio aparecen
campos de frecuencia f = 1,0 GHz. ¿Son comparables ambas densidades de corriente?
b) Teniendo en cuenta el resultado anterior compruebe que para ondas con variación
temporal arbitraria que viajen en el medio se ha de cumplir muy aproximadamente la
ecuación:
∂H
1 2
=
∇ H
∂ t σµ
c) Compruebe que para una onda con variación temporal arbitraria y dependiente únicamente
de la coordenada espacial en la dirección de propagación, z, la ecuación anterior tiene una
posible solución de la forma:
H ( z, t ) =
A
π Dt
exp( −
z2
) xˆ
4D t
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
2 Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
18
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
donde A y D son constantes. ¿Cuál es el valor de la constante D ?
d) Obtenga el campo eléctrico.
17. En el proceso de carga de un condensador plano, como el que se muestra en la figura 5,
supondremos que la tensión aplicada crece linealmente en el tiempo. Se considera que las placas son
conductores perfectos y que la densidad superficial de corriente que recorre las placas tiene
únicamente componente longitudinal.
Z
+
σ+ (t)
J + (x) Y
a
V(t)
X
d
b
σ− (t)
Fig. 5 Condensador de placas paralelas en el proceso de carga
La tensión puede tomarse en la forma V(t) = K t y se hará la aproximación a, b >> d. Se comprueba
que la densidad de corriente, que tiene igual magnitud y diferente signo en cada una de las armaduras,
es
J S ( r ) = ± J 0 (a − x ) x
a) A partir de la ecuación de continuidad (en dos dimensiones), calcule la densidad
b)
c)
d)
e)
superficial de carga en las armaduras.
Calcule el campo eléctrico entre las placas mediante la ley de Gauss integral.
Calcule el campo magnético entre las placas.
Obtenga la energía eléctrica instantánea almacenada por el condensador.
¿Cuál es el valor de J 0 ?
18. Un cable conductor cilíndrico y rectilíneo, orientado en la dirección del eje Z, está recorrido por
una densidad volúmica de corriente cuya expresión es:
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
e) Un pulso electromagnético muy corto, del orden de algunos nanosegundos, incide sobre la
superficie plana de separación entre el aire y el medio descrito. Como resultado, parte de la
radiación se refleja y otra parte penetra en el medio, en donde el campo magnético adopta
la forma dada en el apartado c). Represente la forma de H en función de z para algunos
valores entre z = 0 y z = 100 µm en los dos instantes de tiempo t = 1 ns (10 -9 s) y t =
4 ns. Para ello tome los valores A = 2,11 x 10 -3 H y D = 0,142 m2/s.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
2 Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas
19
r
J (r , t ) = J 0 (1 − e a )e − α z cos(ω t − bz ) zˆ
A
m
2
donde a es el radio del cable, α y β son, respectivamente, constantes de atenuación y de propagación,
y ρ es la coordenada cilíndrica de cada punto considerado.
a) Obtenga la expresión del fasor correspondiente.
b) Calcule la densidad volúmica de carga presente en el cable.
c) El cable no puede ser un conductor perfecto a la vista de lo anterior. Explíquelo más
claramente.
d) ¿Qué intensidad de corriente instantánea circula por el cable?
19. La transformada de Fourier Sˆ (ω, k ) (simultánea en frecuencia temporal y frecuencias espaciales)
de un campo S (t , r ) se define como:
1
( 2π )
∫ dt ∫ S (t , r ) exp( − jωt + jk ⋅ r ) dV
3/2
Escriba las ecuaciones de Maxwell en el espacio (ω, k ) y demuestre que cuando no hay cargas, el
campo eléctrico es transversal, es decir: k ⋅ E = 0 . Así mismo, demuestre que el campo magnético
siempre es transversal: k ⋅ B = 0 .
20. Dos placas conductoras perfectas, paralelas, de anchura a, longitud l y situadas a una distancia d
llevan corrientes de igual valor y signo contrario, tal como se muestra en la figura 6. El espesor de las
placas es muy pequeño y las densidades de corriente pueden considerarse laminares. Su expresión es
J ( r ) = ± J 0 cos(ω t ) yˆ A
m
Indique cuáles de las afirmaciones que siguen son ciertas y cuáles no, y razone su respuesta en cada
caso, basándose en alguna de las ecuaciones fundamentales del Electromagnetismo.
Z
X
Y
d
l
a
Fig. 6
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
a) Aparecerá un campo magnético en el espacio que rodea las placas porque las corrientes
varían en el tiempo;
b) ese campo magnético será también variable en el tiempo.
c) En cada una de las placas debe existir un campo eléctrico tangencial, proporcional al
valor de la corriente.
d) El campo magnético rodeará a cada placa, con dirección predominante según X,
e) pero entre ambas placas el campo magnético tiende a cancelarse.
f) Debe existir además un campo eléctrico entre ambas placas, que invierte su signo en cada
semiperiodo de variación temporal de la corriente.
g) La expresión dada para la corriente debe ser una aproximación si la longitud l en la que se
utiliza es pequeña (en comparación con λ), porque la expresión exacta sería cos(ω t - ky)
para el término de variación temporal de la corriente.
h) Si la frecuencia se hace cero, desaparecerá el campo magnético
i) y el eléctrico.
21. Algunos problemas prácticos electromagnéticos tratan con geometrías complicadas, que incluso
de forma aproximada son muy difíciles de resolver analíticamente. En estos casos se recurre a
menudo a la reproducción de los fenómenos en laboratorio. Por otro lado, no siempre esa
reproducción puede hacerse a la escala real del fenómeno, sino que debe emplearse una escala
reducida. Esto ocurre, por poner un ejemplo, cuando se desea estudiar el comportamiento de una
antena de grandes dimensiones y que debe radiar a grandes distancias. El empleo de una escala
espacial reducida fuerza a resolver algunas cuestiones adicionales, para construir correctamente el
prototipo y trasladar después los resultados obtenidos a la escala real.
Denominemos x, y, z, t, E , B , εr , µr , σ , etc., a las variables y magnitudes reales, y utilicemos x’,
y’, z’, t’, E ′ , B ′ , etc., para las variables y magnitudes medidas en el laboratorio, a escala reducida.
Unas y otras variables se han de relacionar linealmente, en la forma:
x
y
z
= = =l
x′ y ′ z′
t
=τ
t′
E
=e
E′
H
=h
H′
a) Compruebe en primer lugar que los operadores diferenciales se transforman en la forma:
1
∂
1 ∂
=
∂ t τ ∂ t′
∇ = ∇′
l
y que la frecuencia también sufre transformación, en la forma f =
1
τ
f ′ cuando se trabaja
en RSP.
b) A partir de las ecuaciones tercera y cuarta de Maxwell obtenga las relaciones entre
µr i µr ′
εr i εr′
σ i σ′
c) Obtenga también las relaciones entre B y B ′ , D y D ′ ,
d) y entre V y V’ , I y I’ .
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
20
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
2 Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas
21
NOTA: µ0 y ε0 no sufren ningún cambio de escala, ya que no son variables, sino constantes
particulares del vacío.
22. Una zona del espacio está ocupada por un campo magnético, que podemos considerar en la zona
de estudio como aproximadamente uniforme, o con variaciones espaciales muy lentas, y que varía
senoidalmente en el tiempo. Tomemos su expresión aproximada como:
a) Se sitúa en el seno de ese campo una espira conductora circular, de radio a, y resistencia R
cuyo plano es perpendicular al campo magnético. ¿Cuál será el valor de la corriente
inducida en la espira?
b) Independientemente de que coloquemos o no la espira para comprobar el fenómeno de
inducción electromagnética, lo cierto es que por el mero hecho de existir un campo
magnético variable en el tiempo debe aparecer un campo eléctrico en el espacio:
precisamente el campo que hace circular a los electrones en la espira del apartado anterior.
Calcúlelo a partir de la ley de Maxwell-Faraday.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
B = B0 zˆcos ω t
By @rkanosant
4 Incidencia de ondas planas
www.elsolucionario.net
23
El estudio de la naturaleza y las propiedades básicas de las ondas electromagnéticas es el objetivo
fundamental en este curso. Éste es el primer tema que hace referencia directa a la ecuación de onda y
a sus soluciones. Dentro de la diversidad enorme de formas que pueden adoptar las ondas, en las
diferentes situaciones que pueden considerarse, se comienza por el estudio de ondas planas en medios
ilimitados, esto es, sin condiciones de contorno debidas a cambios de medio. Las ondas planas
uniformes constituyen el tipo de solución más sencillo de la ecuación de onda, pero gran parte de las
propiedades interesantes de cualquier onda se encuentran ya en ellas. En este capítulo hemos hecho
especial hincapié en las cuestiones relacionadas con la polarización de las ondas planas y se presentan
problemas en los que intervienen elementos de control de la polarización, tales como polarizadores y
láminas de retardo. Casi todos los problemas se plantean y se resuelven en forma fasorial, como la
más conveniente al régimen senoidal, sin embargo se incluyen algunos problemas en los que deberá
trabajarse con las expresiones instantáneas de los campos.
23. Una onda plana uniforme que viaja en el aire en la dirección del eje Z tiene asociado un vector de
intensidad de campo magnético de amplitud H0 = 1/π A/m, dirigido en la dirección dada por el vector
x + y . La frecuencia de la onda es de 100 MHz.
a) Escriba la expresión del campo magnético instantáneo.
b) Halle el fasor campo eléctrico.
c) ¿Qué densidad media de potencia transporta la onda?
24. Una onda plana propagándose en el vacío tiene como fasor campo eléctrico:
E ( r ) = E O (1 + j 3 )( xˆ− yˆ)exp( − j 0,2π z ) . Considérese EO real.
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es el tipo de polarización?
¿Cuál es su frecuencia?
Calcule el vector de Poynting medio.
Escriba la expresión del campo instantáneo.
25. Calcule las longitudes de onda en el aire para ondas planas de las siguientes frecuencias:
a) f = 270 KHz, (LW)
b) f = 92,5 MHz, (FM)
c)
d)
f = 440 MHz, (UHF)
f = 2,5 GHz. (microondas)
26. Describa el tipo de polarización y el sentido de giro en su caso de las siguientes ondas planas:
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
3 Ondas planas
By @rkanosant
www.elsolucionario.netProblemas resueltos de Campos Electromagnéticos
24
a) E (r ) = E 0 [(1 + j )( x − y )] e −
jk0 z
,
b) E(r , t ) = E0 cos(ω t − k 0 z ) xˆ+ E0 cos(ω t −
c) E (r ) = E 0 [( x − jy )− j ( x+ jy )] e −
jk 0 z
π
2
− k 0 z ) yˆ,
,
1− j


d) E (r ) = E 0 ( x − y )−
( x+ y ) e + jk0 z ,
2


π


j
e) E (r ) = E 0 ( x + y − 2 z )− e 3 ( 2 x+ z ) e jπ ( x − 3 y−


2z )
.
a)
E (r ) = E0 e jπ ( xˆ+ yˆ− j ( xˆ− yˆ)) e −

b) E(r ,t) = A ( xˆ+ yˆ) cos(ω t −
jkz
1
k ( x − y ) + π ) + zˆcos(ω t −
4
2

k ( x − y) − π )
4
2

1

1
1
 ( xˆ+ yˆ)

cos(ω t −
c) E(r ,t) = A 
k ( x − y ) − π ) + zˆsen(ω t −
k ( x − y) − π )
4
4
2
2
 2

d) H ( r ) = H 0
1
2
(1 + j ) ( xˆ−
3 zˆ) e jky
28. Una onda plana que se propaga en el vacío según la dirección dada por ϕ = 30º y θ = 60º tiene
polarización elíptica a derechas. Su frecuencia es de 880 MHz, transporta una densidad media de
potencia de 0,5/π W/m2 y el valor mínimo del campo, que se alcanza en la dirección horizontal, es de
5 V/m.
a) Escriba la expresión fasorial del campo eléctrico de dicha onda.
b) ¿Está unívocamente definida la onda con aquellos datos?
c) La onda atraviesa normalmente un polarizador y pierde la mitad de la potencia. ¿En qué
dirección se orienta el eje del polarizador? ¿Hay más de una solución a esta pregunta?
29. Una onda plana uniforme se propaga por un medio no magnético de índice n = 2, con una
frecuencia f = 36 KHz. El fasor de campo eléctrico es:
(
)
E ( r ) = E O j xˆ+ A( 3 yˆ− zˆ) exp( − jα ( y + 3 z ))
donde A es un número complejo (A = a + j b ) y E O = 30π V m . La onda transporta una densidad
de potencia Pm = 15π W m 2 . Calcular:
a) α
b) A
c) polarización y sentido de giro de la onda en los dos casos siguientes:
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
27. Determine el tipo de polarización y, en su caso, el sentido de giro, de las ondas planas siguientes:
By @rkanosant
4 Incidencia de ondas planas
www.elsolucionario.net
25
c.i) b = 0 , a > 0
c.ii) E (r = 0, t = 0) = 0
30. Un polarizador es un elemento que deja pasar, de las ondas que inciden sobre él, únicamente la
componente de campo eléctrico paralela a su propio eje, y que absorbe o refleja la componente
perpendicular a ese eje.
Una onda plana viaja en la dirección positiva del eje Z e incide normalmente sobre un polarizador. Su
fasor campo eléctrico es:
E in (r ) = E 0 [( x − y )− j ( x+ y )] e −
jkz
quede reducida a la cuarta parte de la inicial. ¿Cuál deberá ser el ángulo entre los ejes de
los dos polarizadores?
31. Una onda plana uniforme con polarización elíptica y frecuencia f = 300 MHz, que se propaga en
el vacío, atraviesa un polarizador y pierde cuatro quintas partes de su potencia original. A
continuación atraviesa una lamina de grosor d = 1 cm de un dieléctrico no magnético con perdidas,
con permitividad relativa εr = 1. A la salida de la lámina, la potencia de la onda queda reducida otra
vez a un quinto de la incidente. El fasor de campo eléctrico de la onda resultante al final es
E (r ) = 50π xˆe −
jkz
a) Calcule la expresión del campo eléctrico de la onda original.
b) En la hipótesis de que el material es un buen conductor, calcule su conductividad.
c) Con el resultado del apartado anterior, determine si la hipótesis de buen conductor es
correcta o no.
32. Una lámina de retardo consiste en una lámina plano-paralela de un material anisótropo, que
presenta diferente índice de refracción para las ondas en función de la orientación del campo eléctrico
de las mismas. Más concretamente: la lámina fuerza la descomposición del campo eléctrico incidente
en dos componentes lineales y ortogonales, paralelas a los ejes propios de la lámina, y asigna un
índice diferente a cada una de esas dos nuevas ondas. Durante el trayecto por la lámina, que tiene un
cierto grosor d, las dos ondas van acumulando un desfase diferente debido a esa diferencia de índices.
La amplitud de cada onda se determina en la descomposición inicial y depende de cómo incide la
onda respecto a los ejes de la lámina.
a) Con la información anterior calcule el campo final a la salida de una lámina de retardo de
acuerdo con los datos de la figura 7.
b) Modifique los cálculos anteriores para el caso en que ψ = -45º. ¿Cuál es la diferencia en el
campo final?
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
a) ¿Cuál es la expresión del campo eléctrico a la salida del polarizador?
b) Se desea añadir un segundo polarizador para que la potencia de la onda resultante final
By @rkanosant
www.elsolucionario.netProblemas resueltos de Campos Electromagnéticos
26
E in (r ) = E 0 ( x + jy ) e −
jkz
ejes de la lámina
n O = 1,43
nO
n E = 1,45
d = 9,75 µm
λ = 0,78 µm
X
ψ
Ei
nE
Z
Y
Fig. 7 Una lamina de retardo sólo admite propagación de ondas planas en su interior con
polarización lineal y paralela a alguno de sus dos ejes propios
33. La lámina de retardo del problema anterior se denomina lámina de lambda cuartos. El nombre
proviene del hecho de que provoca un desfase entre las dos componentes paralelas a sus ejes, de valor
π/2, que es la cuarta parte de un ciclo de fase completo (2π). Las láminas de lambda cuartos se
utilizan para convertir una polarización lineal en circular, para lo que sólo hay que incidir con el
ángulo adecuado (45º) respecto a sus ejes, a fin de igualar las amplitudes. También sirve,
recíprocamente, para convertir una polarización circular en lineal, como se ha visto en el problema
anterior. Sin embargo un polarizador también convierte una polarización circular en lineal. ¿Cuál es la
ventaja de la lámina frente al polarizador?
34. Junto a las láminas de lambda cuartos, el otro tipo más popular son las láminas de lambda
medios. Éstas tienen un comportamiento del todo similar a las anteriores, pero ahora el desfase que
provocan entre las componentes paralelas a sus ejes es de π. La cuestión es:
a) ¿Cómo afecta a una onda con polarización lineal el paso a través de una lámina de lambda
medios? Suponga que la onda incide con su campo eléctrico formando un determinado
ángulo ψ respecto a uno de los ejes de la lámina.
b) ¿Cómo afecta a una onda con polarización circular?
35. Un investigador ha encontrado en el cajón de una mesa del laboratorio dos elementos ópticos, y
no sabe si son polarizadores o láminas de retardo. Para averiguarlo dispone de un láser de He-Ne,
cuyo tipo de polarización no recuerda, y de un detector de luz. Alinea el láser con el detector e
intercala en el trayecto del haz el primer elemento óptico. La potencia recibida cae a la mitad al
intercalar el elemento, pero no varía si lo hace girar. Quita esa lámina e intercala la segunda. Ahora la
potencia recibida tampoco es sensible al giro de esa segunda lámina y esta vez ni siquiera varía
significativamente por el hecho de que la lámina esté o no. El investigador saca varias consecuencias
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
ψ = 45º
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
4 Incidencia de ondas planas
27
de estos hechos, entre ellos que uno de los elementos ópticos es una lámina de retardo. Ahora le falta
saber si es de lambda medios o de lambda cuartos.
Explique qué es lo que ha deducido y por qué y qué otro experimento puede hacer con esos cuatro
elementos para averiguar el tipo de lámina de retardo.
36. Cualquier onda plana puede descomponerse en la suma de dos ondas planas con polarización
circular y sentido de giro distintos.
a ) Realice la deducción general a partir de la expresión
E0 e e−
jk⋅ r
[
]
= A(e1 + je2 ) + B (e1 − je2 ) e−
jk⋅ r
,
(con e⊥ k y e1 × e2 = k )
b) Repita lo anterior para el caso de una onda polarizada elípticamente a partir de la expresión
adecuada para ese caso.
37. Una onda plana con polarización lineal que viaja en la dirección Z+ alcanza su valor máximo de
campo instantáneo en z = 0 y t = 0, y lo alcanza de nuevo en ese mismo punto en el instante t = 25 ns.
Otra onda plana con polarización lineal y ortogonal a la anterior, que también viaja en la dirección Z+,
alcanza su máximo en z = 3,75 m y t = 25 ns. Si ambas ondas tienen la misma frecuencia ¿cuál será el
tipo de polarización de la onda conjunta, formada por la suma de las dos?
38. Una onda plana uniforme se propaga en el vacío. Se sabe que su frecuencia está comprendida
entre los 10 MHz y los 30 MHz. La polarización de la onda tiene sentido de giro a izquierdas. El fasor
campo eléctrico es
E (r ) =
5
2
(1 − j ) ( xˆ+ 3 j yˆ+ 3 zˆ) exp( − j k ⋅ rˆ) V m
Se ha medido la componente Ey del campo eléctrico instantáneo simultáneamente en dos puntos,
separados entre sí 80 m en la dirección de propagación de la onda, y se ha comprobado que las dos
señales obtenidas en esas condiciones están en fase. Después se ha medido la misma componente en
otros dos puntos, separados entre sí 60 m, y en ese caso las dos señales medidas están en contrafase.
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es el vector kˆde la onda? ¿Está unívocamente definido?
¿Qué tipo de polarización tiene la onda?
Escriba la expresión del campo eléctrico instantáneo.
¿Cuál es la frecuencia de la onda?
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
/ ).
para una onda con polarización lineal, encontrando los valores de A y de B ( ∈ C
By @rkanosant
www.elsolucionario.netProblemas resueltos de Campos Electromagnéticos
28
39.
Un conductor cilíndrico muy largo, de radio R y orientado en la dirección del eje Z, está
recorrido por una densidad de corriente constante J = J 0 zˆ. El conductor es un material no magnético
de conductividad σ.
a) Calcule el campo magnético dentro y fuera del conductor y el campo eléctrico en el
interior del conductor.
b) ¿Será nulo el campo eléctrico en el exterior del conductor? ¿Por qué?
El mismo conductor del apartado anterior está ahora recorrido por una intensidad de corriente que
varía senoidalmente en el tiempo. A bajas frecuencias, tales que la longitud de onda es mucho mayor
que la longitud considerada de hilo conductor, la corriente puede escribirse como
sin necesidad de añadir un término de fase dependiente de z.
Se comprueba que la densidad de corriente ya no sé distribuye de forma homogénea en el interior del
hilo. En estas nuevas condiciones responda a las siguientes cuestiones:
c) Si no es homogénea ¿de qué variables, en coordenadas cilíndricas, podrá depender ahora la
densidad de corriente?
d) De acuerdo con la respuesta obtenida en el apartado c), ¿puede existir densidad de carga
en el interior del conductor?
e) ¿Qué componente o componentes vectoriales, en coordenadas cilíndricas, tendrá el fasor
de campo eléctrico en el interior del conductor? ¿de qué variables coordenadas puede
depender?
f) Supongamos que, como en el caso estático, el fasor de campo magnético sólo tiene una
componente vectorial que, a su vez, sólo depende de una coordenada espacial. Razone por
qué no puede variar con las otras variables espaciales (en coordenadas cilíndricas).
g) Suponiendo que el material es un buen conductor a bajas frecuencias, obtenga la ecuación
diferencial que satisface el campo eléctrico en su interior.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
I (t ) ≅ I 0 cos ω t
By @rkanosant
4 Incidencia de ondas planas
www.elsolucionario.net
29
Después de familiarizarse con el comportamiento de las ondas planas propagadas en el espacio libre
llega el turno a los dos fenómenos básicos de reflexión y refracción de ondas sobre la superficie de
separación con otros medios, sean dieléctricos o conductores. Se proponen problemas básicos para la
correcta descripción matemática de las ondas reflejadas y transmitidas, según las leyes de Snell y las
fórmulas de Fresnel. También hay problemas referentes a los casos particulares de incidencia, como
son incidencia normal, incidencia según el ángulo de Brewster e incidencia por encima del ángulo
crítico de reflexión total. Al final se presentan varios problemas de multicapas o incidencia múltiple.
40. Una onda plana con polarización lineal incide oblicuamente sobre un plano conductor en la forma
en que se muestra en la figura.
n1= 1
a) Calcule las densidades superficiales
de carga y de corriente que se
inducen en el conductor.
b) Repita el apartado anterior para una
onda plana con polarización lineal
ortogonal.
c) ¿Qué observa en cuanto a la
Ei
dirección en que circula la corriente
inducida?
Fig. 8 Incidencia sobre un conductor perfecto
41. Una onda plana con polarización circular a izquierdas incide sobre un plano conductor inclinado
45º respecto a los ejes coordenados, tal como se muestra en la figura 9.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
4 Incidencia de ondas planas
By @rkanosant
www.elsolucionario.netProblemas resueltos de Campos Electromagnéticos
X
a) Obtenga la expresión del
n1 = 1
θι
Ei
ki
Y
Z
θi = 4 5 o
campo eléctrico asociado a la
onda reflejada
b) ¿de qué tipo es la
polarización de esa onda?
c) La polarización de la onda
reflejada ¿depende del ángulo
de incidencia?
Fig. 9 Incidencia de una onda con polarización circular sobre un conductor perfecto
42. Una onda plana con polarización lineal incide normalmente desde el aire sobre un dieléctrico de
índice de refracción n 2. La onda transmitida conserva tan sólo el 75 % de la potencia incidente. ¿Cuál
es el valor de n 2?
43. Una onda plana atraviesa normalmente una ventana de doble vidrio (dos hojas separadas por una
cámara de aire). El índice del vidrio es 1,48. Calcule la fracción de potencia transmitida al otro lado
de la ventana (no es necesario que considere dobles reflexiones). Repita el cálculo anterior con n V =
1,78.
44. Se desea utilizar un prisma rectangular como retrorreflector (blanco cooperativo) de un medidor
de distancias láser, de manera que devuelva la práctica totalidad de la potencia incidente en la misma
dirección en que la recibe. El índice de refracción del material que forma el prisma es 1,50.
¿En qué margen de ángulos, respecto a la normal a la cara de entrada, podrá utilizarse con ese
propósito? Ignórense las situaciones de incidencia en el corner interno del prisma.
α
i1
i2 i
3
t1
Fig. 10 Prisma rectangular utilizado como retrorreflector de radiación óptica
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
30
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
4 Incidencia de ondas planas
31
45. Una onda electromagnética de frecuencia f = 300 MHz se propaga en un medio dieléctrico con
índice de refracción n1 = 2 , e incide oblicuamente sobre un medio de índice n 2 = 2 . El fasor
campo eléctrico de la onda incidente es:
E i (r ) = E 0 ( 6 ( y − z )+
3 ( 3−
j ) x) e −
jki⋅ r
Z
n2
n1
Hallar:
a) El fasor campo eléctrico
transmitido.
X
Y
reflejado.
Fig. 11 Cambio de medio y orientaciones de las componentes paralela y perpendicular
al plano de incidencia de las tres ondas: incidente, reflejada y transmitida
46. Una onda plana uniforme de frecuencia f = 150 MHz tiene asociado un campo eléctrico cuyo
fasor puede escribirse como

5 5 
Ei (r ) = E0  2 (2 zˆ− yˆ) + j
xˆ exp(− jk i ⋅ r )
2 

según la misma referencia de coordenadas del problema anterior (véase la Fig. 11)
La onda incide desde un medio dieléctrico no magnético de índice de refracción n 1 = 2 sobre la
superficie de separación con el aire (n2 = 1).
a) Obtenga el valor de los ángulos de incidencia (θ i ) y de refracción (θ t ) .
b) Escriba las expresiones de los vectores de onda de las tres ondas: incidente, reflejada y
transmitida.
c) Identifique el tipo de polarización de la onda incidente.
d) ¿Cuál es el valor del ángulo de Brewster para una onda plana que incide desde el
dieléctrico sobre el aire?
e) Obtenga el valor de los coeficientes de reflexión y transmisión correspondientes a ondas
con polarización paralela y perpendicular al plano de incidencia.
f) ¿Cuál es el valor del ángulo crítico para esa interficie?
g) Escriba la expresión de la misma onda incidente cuando incide sobre la superficie de
separación del dieléctrico con un ángulo de 60º respecto a la normal.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
i
b) El fasor campo eléctrico
By @rkanosant
www.elsolucionario.netProblemas resueltos de Campos Electromagnéticos
32
47. Una onda plana polarizada elípticamente, cuyo campo eléctrico es:
(
Ei (r ) = E0 eˆ + eˆ⊥ e −
j∆ϕ
) exp(− jk ⋅ r )
i
con ∆ϕ = 37º , incide desde un medio dieléctrico sobre la superficie de separación con el aire, tal
como se muestra en la figura 12.
a) Escriba la expresión completa de E i (r ) ,
sen θ i =
2
Y
µ0 , 3 ε0
kt
kr
, ¿cómo será la polarización
3
Z
θi
de la onda reflejada?
c) Para un ángulo θ i < θ iC ¿sería posible
obtener una polarización de la onda
reflejada como la obtenida en el apartado
b). Justifique la respuesta.
d) Escriba la expresión de la componente de
campo eléctrico transmitido al aire
perpendicular al plano de incidencia para
la situación descrita en b).
ei
µ0 , ε0
X
ki
ei
Fig. 12
48. Una onda plana incide con un cierto ángulo θi sobre la superficie de separación de dos medios
dieléctricos. Como resultado aparecen dos ondas, reflejada y transmitida, con las direcciones que se
muestran en la figura 13.
n1
n2
θι
Fig. 13 Incidencia sobre la superficie de separación con otro dieléctrico. La información que da la
figura es que el ángulo de transmisión es menor que el de incidencia
Indique si las afirmaciones que siguen son ciertas o no, y razónelo brevemente:
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
en función del ángulo θi y de las
características del medio.
b) Si el ángulo de incidencia es tal que
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
4 Incidencia de ondas planas
33
a) n 1 es mayor que n 2;
b) si la onda incidente tiene polarización lineal, la onda transmitida también tendrá
polarización lineal;
c) si la onda incidente tiene polarización circular, la onda reflejada también será circular;
d) para algún ángulo de incidencia deberá ser posible cancelar la onda reflejada si la
incidente tiene polarización lineal;
e) podría conseguirse cualquier dirección de propagación para la onda transmitida hacia el
h)
i)
49. Una onda plana con polarización lineal y frecuencia 150 MHz que viaja por un medio con índice
de refracción n1 = 1,5 incide sobre la superficie de separación con el aire. La polarización de la onda
es perpendicular al plano de incidencia. El ángulo de incidencia es superior al ángulo crítico y se
produce reflexión total.
a) Obtenga las expresiones de los campos eléctrico y magnético transmitidos hacia el aire.
b) Calcule la expresión del vector de Poynting de la onda transmitida.
c) Se comprueba que la densidad de potencia de la onda transmitida medida a una distancia
de 1 m de la superficie de separación es un 1% de la misma densidad de potencia medida
justo sobre la superficie del dieléctrico. ¿Cuál es el valor del ángulo de incidencia?
Y
n 1 = 1,5
NOTA:
n 2 = 1,0
ρ⊥ =
kt
kr
Z
X
Ei
ki
Fórmulas de Fresnel:
n1 cosθ i − n 2 cosθ t
n1 cosθ i + n 2 cosθ t
n1 cosθ t − n2 cosθ i
n1 cosθ t + n 2 cosθ i
2 n1 cosθ i
τ⊥=
n1 cosθ i + n 2 cosθ t
2 n1 cosθ i
τ || =
n1 cosθ t + n2 cosθ i
ρ|| =
Fig. 14 Incidencia por encima del ángulo crítico
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
f)
g)
segundo medio (en el plano de incidencia, al menos) eligiendo adecuadamente el ángulo
de incidencia;
si el ángulo de incidencia aumenta, también lo hará la potencia reflejada;
existe un ángulo de incidencia tal que si la polarización de la onda incidente es circular
también es circular la polarización de las ondas reflejada y transmitida;
el ángulo de Brewster en este caso es menor de 45º;
la reflexión total sólo se lograría incidiendo desde el otro lado de la superficie de
separación.
By @rkanosant
www.elsolucionario.netProblemas resueltos de Campos Electromagnéticos
34
50. Una onda plana con polarización circular que viaja por un medio dieléctrico de índice de
refracción n1 incide con un cierto ángulo sobre la superficie de separación con otro medio de índice de
refracción n2 y ocurre que la onda reflejada tiene polarización lineal.
51. Una onda plana con polarización lineal incide normalmente sobre un plano conductor real, con
una conductividad elevada pero finita. La densidad de corriente inducida en el conductor dejará de ser
estrictamente superficial y penetrará en alguna medida en el conductor.
a) ¿Es nulo el campo eléctrico en el conductor?
b) ¿Qué valor toma la impedancia de onda en el conductor? Utilice los siguientes datos: µ =
c)
d)
e)
f)
g)
µ 0 = 4π x 10 -7 H/m, σ = 5,0 x 105 1/Ωm, y haga el cálculo para f = 90 MHz y para f = 10
GHz.
¿Cuánto vale el coeficiente de transmisión τ para cada uno de los dos valores de
frecuencia?
¿Cuál es la profundidad de penetración en el conductor?
Escriba las expresiones del campo eléctrico y de la densidad de corriente en el interior del
conductor. Utilice como amplitud de la onda incidente E0i = 10 V/m.
Integre la densidad anterior para determinar la corriente total que circula por unidad de
longitud en el conductor.
¿Cuál será la potencia disipada por cm2 en el conductor?
X
E in
Z
Fig. 15 Incidencia normal sobre un buen conductor
52. Una onda polarizada linealmente de longitud de onda λ incide sobre una lámina plano-paralela de
grosor d de un material isótropo de índice de refracción n2. La lámina está situada en el aire.
a) ¿Para qué grosores de la lámina se conseguirá una reflexión global nula?
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
a) Explique en qué dos casos particulares podría darse ese cambio de polarización.
b) Si n1 < n2 sólo es posible uno de los dos casos mencionados en el apartado a). Escriba la
relación lineal que surge entre cosθ i y cosθ t para esa situación.
c) Consideremos que el primer medio es el aire y que la onda incide sobre un dieléctrico de
índice de refracción n. La onda reflejada tiene polarización lineal y la transmitida
polarización elíptica. Se comprueba que la potencia transportada por la componente
paralela al plano de incidencia de la onda transmitida es tres veces superior a la potencia
transportada por su componente perpendicular. Con esa información, obtenga el índice de
refracción n del dieléctrico.
By @rkanosant
4 Incidencia de ondas planas
www.elsolucionario.net
35
b) ¿Para cuáles tendremos, por el contrario, máxima reflexión? Deben considerarse
reflexiones múltiples.
53. Se desea añadir un recubrimiento antirreflectante a un elemento óptico de índice de refracción n3,
que trabajará en el aire. Para ello se añade un capa de un material transparente de índice n 2 y grosor d
(véase la Fig. 16). Calcular los valores apropiados de d y n 2 en función de los índices del aire n 1 y del
elemento óptico n 3 y de la longitud de onda λ cuya reflexión se desea evitar.
n 1= 1
n2
n3
d
Fig. 16 Incidencia múltiple, donde deben tenerse en cuenta las dobles reflexiones de las ondas
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Ei
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
5 Guías de onda
37
Las guías de onda representan una de las aplicaciones tecnológicas más importantes de la Teoría
Electromagnética en la actualidad. En este capítulo se incluyen problemas básicos de guías de onda de
paredes conductoras, planas y rectangulares. También hay alguno con guías dieléctricas. Se omiten
las fibras ópticas por la dificultad que entraña su tratamiento matemático. Se pretende familiarizar al
lector con los conceptos más importantes referentes a los modos propios de propagación de cada
estructura.
54. Considérese una guía plana de paredes conductoras como la representada en la Fig. 17. (La
dimensión transversal de la guía en la dirección del eje Y resulta ser mucho mayor que la separación d
entre las placas, e ignoramos las variaciones de los campos en esa dirección.)
Z
Y
µ, ε
d
∂
∂y =0
X
Fig. 17 Guía plana de paredes conductoras.
Se considera que ni la estructura ni los campos varían según la coordenada transversal Y
a) Escriba la ecuación de onda vectorial para el campo eléctrico en el interior de la guía (0 <
x < d ).
a) Escriba la ecuación de onda escalar en coordenadas cartesianas para cada componente del
campo eléctrico.
b) Se considera un modo tipo TE ( E z = 0 ), cuya expresión general podría ser:
E x ( x, z ) = ( A sen k x x + B cos k x x)exp(− jβz )
E y ( x, z ) = (C sen k x x + D cos k x x)exp(− jβz )
Compruebe que satisface la ecuación de onda y establezca la relación entre las constantes
kx y β .
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
5 Guías de onda
By @rkanosant
www.elsolucionario.netProblemas resueltos de Campos Electromagnéticos
38
d) Compruebe que la condición de contorno aplicable al campo eléctrico obliga a anular la
constante D.
e) ¿Qué se deduce del hecho de que no haya carga en el interior de la guía para las constantes
A y B?
55. Una guía de ondas rectangular de paredes conductoras cuyo interior es aire tiene como
dimensiones a = 2,28 cm y b = 1,01 cm.
a) A la frecuencia de 8,5 GHz ¿cuál es el valor de la constante de propagación β para el
Y
b
X
a
Z
Fig. 18 Guía de ondas rectangular de paredes conductoras
56. Teniendo en cuenta la relación de dispersión de la guía de ondas rectangular de paredes
conductoras, determine las condiciones que deben satisfacer las dimensiones a y b de una guía (en las
direcciones X e Y respectivamente) para que se cumplan las especificaciones siguientes:
a) Que el modo fundamental sea el TE10 ( y no el TE01).
b) Que el siguiente modo posible sea el TE01.
Definimos la región de trabajo como el margen de frecuencias tal que su límite inferior sea un 30%
mayor que la frecuencia de corte del modo fundamental y el límite superior sea un 30% menor que la
frecuencia de corte del modo siguiente (TE01).
c) Independientemente de los apartados anteriores, determinar la condición de existencia de
ese margen de trabajo.
d) Calcule el margen de valores de b en el que las tres condiciones anteriores pueden
satisfacerse simultáneamente.
e) Si se desea que la frecuencia central en la región de trabajo sea 10 GHz ¿cuál será el
margen de valores posibles para a de acuerdo con los requisitos anteriores?
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
modo TE10?
b) ¿Cuál es la longitud de onda en la guía para ese modo?
c) ¿Son posibles otros modos a esa frecuencia?
d) ¿Cuál es la mínima frecuencia a la que es posible propagar algún modo?
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
5 Guías de onda
39
57. Se desea diseñar una guía de onda rectangular de paredes conductoras que cumpla los siguientes
requisitos:
i) que solamente permita la propagación del modo fundamental, TE10 , entre, al menos, las
frecuencias de 2,3 GHz y 2,5 GHz;
ii) que no propague ningún modo por debajo de 2,2 GHz;
iii) que el siguiente modo en propagarse sea el TE01 .
58. Se intenta comprobar si en la guía de paredes conductoras de la figura 19 puede propagarse un
modo cuyo campo eléctrico viene dado por:
 E X (r ) = E0 X cosk X x sen k Y y exp(− jβ z )

 EY (r ) = E 0Y sen k X x cosk Y y exp(− jβ z )
 E (r ) = 0
 Z
Y
0,333 b
µ0 , ε0
0,666 b
X
Z
0,333 a
0,333 a
0,333 a
Fig. 19 Guía de onda de paredes conductoras en un formato no habitual
a) Examine si el campo descrito puede satisfacer la ecuación de onda y las condiciones de
contorno.
b) ¿Cuál será el modo fundamental si a > b ?
c) Si a = 6,00 cm ¿qué valor máximo puede tener b para que la guía sea monomodo hasta la
frecuencia f = 9,00 GHz?
59. Una guía rectangular de paredes conductoras se utiliza para transmitir una señal de elevada
potencia hacia la antena emisora de un radar. La guía es monomodo (con el modo TE10) entre, al
menos, las frecuencias de 8,0 GHz y 9,0 GHz, que constituyen el margen de trabajo.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
a) Escriba la expresión de la constante de propagación β en función de las dimensiones de la
guía y de la frecuencia.
b) Escriba las expresiones genéricas de las frecuencias de corte de los modos implicados en
el diseño.
c) Obtenga los valores mínimos de las dimensiones a y b de la guía que permitan cumplir las
especificaciones anteriores.
By @rkanosant
www.elsolucionario.netProblemas resueltos de Campos Electromagnéticos
40
a) De los cuatro límites a mín , a máx , b mín y b máx. que deben imponerse en el diseño de la guía,
tres quedan ya definidos con las condiciones anteriores. Calcúlelos.
b) Modifique los resultados obtenidos en el apartado anterior añadiendo a cada uno un
margen de seguridad del 10%, que garantice aquellas condiciones de guiado.
Se precisa que la guía sea capaz de transmitir una potencia elevada hacia la antena, en todo el margen
de frecuencias dado, pero sin que el campo eléctrico de la onda sobrepase el valor de ruptura del aire,
estimado en 3,0 x 10 6 V/m en condiciones normales, ya que eso provocaría la ionización del aire
dentro de la guía con el consiguiente corte de la transmisión.
60. En una guía rectangular de paredes conductoras hacemos propagar un único modo TM. La
distribución de las tres componentes de campo eléctrico según las direcciones transversales, X e Y, se
muestra en la figura 20.
a) Razone qué componente del campo eléctrico (Ex, Ey, Ez) corresponde a cada una de las
curvas que se muestran en la figura (E1, E2, E3).
b) ¿De qué modo se trata? (valores de m y n). Escriba la dependencia explícita de cada
componente con x, y, z.
c) Obtenga la expresión de las amplitudes de Ex y Ey (E0x y E0y) en función de la de Ez (E0z )
para este modo (en la figura no se han escalado de forma proporcional a sus valores reales
de amplitud).
d) Si a = 1 cm y b = 1,5 cm ¿a partir de qué frecuencia existe el modo descrito?
E1
E1
a
b
x
E2
y
E2
x
E3
y
E3
x
y
Fig. 20 Forma de variación de un modo de una guía rectangular
según las direcciones transversales
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
c) Calcule la expresión de la potencia transmitida por la guía para el modo TE10.
d) ¿Cuál es la potencia máxima que podría propagar la guía a 8,5 GHz si tuviera las
dimensiones a máx y bmáx ? Utilice los resultados del apartado b).
e) ¿Qué alternativas hay para que la guía pudiera transportar una potencia mayor que la
calculada en el apartado anterior?
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
5 Guías de onda
41
61. Una guía de onda dieléctrica plana está formada por una lámina de grosor 2d e índice de
refracción n2, limitada en el sentido transversal por dos medios semi-infinitos de índice de refracción
n 1, tal como se muestra en la figura 21.
El campo eléctrico de un modo que se propaga a lo largo de la guía es:
donde se está asumiendo que no hay variación de los campos ni de la guía en la dirección del eje Y, y
con las otras dos componentes del campo eléctrico nulas.
n1
X
Z
n2
2d
n1
Y
Fig. 21 Guía dieléctrica plana. No se consideran variaciones en la dirección del eje Y
a) Compruebe que el campo eléctrico cumple las condiciones de contorno exigibles.
b) ¿Qué componentes tiene el campo magnético? ¿De qué tipo de modo se trata?
Calcule la componente tangencial de campo magnético en los tres medios.
c) Obtenga las tres relaciones que deben existir entre kx , γ y β, en función de los parámetros
propios de la guía (n1, n2 y d) y de la longitud de onda (o de k0 ) para que se satisfagan
todas las condiciones necesarias.
62. La guía de ondas mostrada en la figura 22, de sección rectangular y paredes conductoras perfectas,
está rellena parcialmente de un material dieléctrico de permitividad relativa εr1 . El fasor de campo
eléctrico de la onda que se propaga por su interior responde a la expresión:
(
)
 yˆ A cos α 1 x + Bsenα 1 x exp( − jβ z )
E (r ) = 
 yˆ(C cos α 0 x + Dsenα 0 x ) exp( − jβ z )
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
0<x< a
2
a <x<a
2
www.elsolucionario.net
 E 0 cos( k x d ) e − γ ( x− d ) e− jβz ( x > d )

( − d < x< d )
E y ( x , z) =  E 0 cos( k x x ) e − jβz

γ ( x + d ) − j βz
(x < − d)
e
 E 0 cos( k x d ) e
By @rkanosant
www.elsolucionario.netProblemas resueltos de Campos Electromagnéticos
42
Y
0,5 a
0,5 a
µ0 , 1ε
µ0 , 0ε
b
Fig. 22 Sección de una guía conductora parcialmente rellena de un dieléctrico
distinto del aire
a) Escriba las relaciones que deben satisfacerse entre α0 , α1 y β para que el campo dado
arriba corresponda a una onda posible.
b) Halle el campo magnético asociado a la onda.
c) A partir de las expresiones de los campos eléctrico y magnético, obtenga las relaciones
entre las constantes A , B , C y D.
d) Obtener la ecuación de dispersión.
e) Tomando el caso particular en que α 1 = 3α 0 encuentre el valor mínimo (no trivial) de la
constante α0 .
f) Obtenga el valor que debe tomar la permitividad relativa del dieléctrico para que la solución
del apartado anterior se dé para una frecuencia de 30 GHz. tomando a = 1,0 cm.
g) Dibuje la forma del campo eléctrico en su dependencia con x para la relación dada en el
apartado e).
NOTA:
tg ( x ± y ) =
tgx ± tgy
1 tgxtgy
tg (3 x ) =
3tgx − tg 3 x
1 − 3tg 2 x
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
X
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
6 Radiación de antenas elementales
43
La solución de la ecuación de onda en presencia de las fuentes que producen los campos es el tema
que trata este último capítulo. Esas fuentes son las distribuciones de carga y corriente del que, en cada
caso, sea el sistema radiante o antena. Se presentan problemas de radiación de dipolos eléctricos
elementales y de algunas agrupaciones sencillas de dipolos. Otros tipos de antenas con distribuciones
de corrientes distintas de la homogénea, que es la propia del dipolo elemental, se verán en cursos más
avanzados. Se hace hincapié en la superposición de los campos creados por los diferentes elementos
radiantes y en la obtención y representación de los diagramas de radiación de tales agrupaciones.
63. Dos dipolos eléctricos cortos ( l << λ, donde l es la longitud del dipolo) e idénticos, alimentados
por corrientes cuyos fasores son I1 e I2 respectivamente, están orientados según la dirección del eje Z
y separados una distancia 2d a lo largo del eje Y.
Z
d
d
I1
I2
Y
X
Fig. 23 Agrupación de dos dipolos eléctricos elementales
Sabiendo que el campo eléctrico radiado a grandes distancias por un único dipolo situado en el origen
de coordenadas es
E rad ( r ) ≅ jC
senθ
r
e − jkrθˆ ( r >> l , λ )
a) Comprobar que, si las corrientes son iguales en módulo y fase, el campo radiado por el
sistema de la figura es:
E rad ( r ) ≅ 2 jC
senθ
r
cos( kd senθ senϕ )e −
Supóngase en adelante que I2 = -I1.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
jkr
θˆ ( r >> d ,λ )
www.elsolucionario.net
6 Radiación de antenas elementales
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
44
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
b) Calcule el campo total radiado en este caso por el sistema.
c) Obtenga el campo magnético total radiado y la densidad de potencia media.
d) Dibuje las secciones del diagrama de radiación según los tres planos cartesianos X-Y, X-Z
e Y-Z tomando kd = π 2 .
e) Se dispone de un sistema con d = 2 cm diseñado para aplicaciones en la llamada banda X
(el intervalo de frecuencias 8,2-12,4 GHz). Obtenga el valor de la frecuencia de esa banda
para la que la radiación es máxima en la dirección del eje Y.
η0 I 0 cos( π2 cosθ ) − jkr
e θ.
sen θ
2π r
a) Calcule el fasor campo magnético.
b) Calcule la densidad de potencia media radiada.
c) Dibuje una sección vertical del diagrama de radiación de forma aproximada.
65. El potencial vector creado a grandes distancias del origen por un dipolo eléctrico elemental de
longitud l se puede escribir como:
A( r ) ≅
µ0 I l −
e
4π r
jkr
exp( jkr ⋅ r0 ) u
donde r0 señala la posición del dipolo y u es el vector unitario que indica su orientación. Utilice esa
expresión en la situación que se describe a continuación.
Sean dos dipolos eléctricos elementales idénticos, situados sobre el eje Z y separados una distancia
2d. Por ambos dipolos circulan corrientes de igual frecuencia, cuyos fasores respectivos son I1 e I2.
Los dipolos están orientados en la dirección del mismo eje Z.
a) Calcule el campo total radiado por el conjunto de los dipolos.
b) Obtenga el campo magnético.
c) Si las corrientes tienen igual amplitud y d = λ, ¿cuál debe ser el desfase entre las corrientes
para que se produzca un nulo de radiación en el plano z = 0.
66. Se disponen cuatro dipolos idénticos simétricamente respecto al origen de coordenadas, en los
lados de un cuadrado de lado 2d en el plano XZ (Fig. 24). Las corrientes que los recorren son de igual
amplitud y fase.
a) Obtenga la expresión del potencial vector creado por el sistema a grandes distancias.
Puede utilizar la fórmula general del potencial a grandes distancias que se dio en el
problema anterior.
b) Calcule el campo eléctrico total de acuerdo con la aproximación:
E (r ) ≅ − jω Aϕ ϕˆ+ Aθ θˆ
(
)
c) Obtenga el vector de Poynting del conjunto, tomando d = 0,25λ . ¿En qué dirección o
direcciones se radia el máximo de potencia?.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
64. El campo radiado por una determinada antena viene dado por E = j
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
6 Radiación de antenas elementales
45
d) A partir del resultado del apartado c) represente el diagrama de radiación mediante sus
secciones en los planos XY, YZ y XZ.
e) ¿Cómo modificaría las fases de las corrientes de los dipolos para girar 90º el máximo del
diagrama de radiación en el plano horizontal?
Z
r
2d
X
Fig. 24 Agrupación de dipolos en forma de matriz bidimensional
67. Tenemos dos dipolos orientados en la dirección del eje Z y situados en las coordenadas (d,0,0) y
(-d,0,0), tal como se muestra en la figura 25.
a) Obtenga el potencial total creado por el sistema. Ambos tienen igual longitud h, pero
distinto valor de corriente, I2 = 2I1.
b) Obtenga la expresión del campo eléctrico total radiado. Puede utilizar la expresión
aproximada para grandes distancias dada en el problema anterior.
c) Calcule la expresión del diagrama de radiación en el plano XY para un valor d = λ/2.
Dibújelo. ¿Aparecen ceros de radiación? ¿Por qué?
d) Se desea añadir un tercer dipolo en el origen de coordenadas de modo que se cancele la
radiación emitida en la dirección del eje X en campo lejano. Asumiendo que tendrá la
misma longitud y orientación que los anteriores, calcule el módulo y la fase de la corriente
que deberá circular por ese dipolo para conseguir aquello.
Z
( I2 = 2 I1 )
I2
d
I1
d
X
Y
Fig. 25
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Y
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
46
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
68. Dos dipolos radiantes elementales están situados sobre el eje Z, con su centro separado del origen
una distancia d y orientados en el plano YZ, tal como muestra la figura 26. Se sabe que el potencial
vector que produce a grandes distancias un dipolo radiante, orientado en la dirección uˆ y situado en
un punto r0 respecto al origen, puede escribirse en la forma:
A( r ) =
µ0
4π
Ih
e − jkr
exp( + jkrˆ⋅ r0 ) uˆ
r
Z
α
d
α
d
X
Y
I2
Fig. 26
jψ
a) Si se toman los valores α = π4 , d = λ4 y I 2 = I 1 e , probar que el potencial vector
producido por ambos dipolos a grandes distancias tiene como componentes:
Ay = A0Y sen( 12 (π cosθ − ψ ))
Az = A0 Z
cos( 12 (π cosθ − ψ ))
Escriba explícitamente el valor de A0Y y de A0Z.
b) Calcule el campo eléctrico radiado por el conjunto de ambos dipolos.
c) Averigüe el tipo de polarización, en función del desfase ψ, que adquieren las ondas que
viajan en la dirección del eje X.
d) Hallar la densidad de potencia media radiada para el caso particular ψ = π.
e) Dibuje las secciones del diagrama de radiación para los planos XY,YZ y XZ para el caso
anterior.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
I1
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
47
Indicaciones y sugerencias
Se dan a continuación pistas y sugerencias que deben ser suficientes para resolver los problemas de la
primera parte. En algún caso, las explicaciones son bastante largas, y se incluyen esquemas y
fórmulas porque el problema lo merece. En otros, se dan apenas unas pocas indicaciones. De
cualquier manera será interesante que el estudiante deje de leer las pistas tan pronto piense que ha
captado el núcleo de la situación planteada. En atención a esta posibilidad, en muchas ocasiones las
indicaciones tienen un esquema piramidal o progresivo, yendo de lo más general a lo más concreto.
Las primeras frases son ciertas, pero vagas y, poco a poco, se concreta más en torno al problema
particular.
Rogamos al estudiante que, desde luego, haga un esfuerzo previo para solucionar cada problema sin
mirar ni siquiera estas indicaciones. Un par de minutos de reflexión son suficientes para comprobar si
al menos se tiene alguna idea de cuál debe ser el enfoque correcto para la resolución de cada
problema.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Tal como comentamos en la presentación del libro, no creemos que tenga utilidad real el explicar paso
a paso la resolución de los problemas. Probablemente ni siquiera sea conveniente, en general,
describir las etapas que deben seguirse para llegar al resultado final. Parece preferible estimular al
lector a que sea él quien halle la forma de hacerlo.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
49
1.
a) No es preciso efectuar ningún cálculo para encontrar el flujo a través de la semiesfera. Se
deduce inmediatamente de la ley de Gauss.
b) El flujo del campo eléctrico a través del plano puede resolverse analíticamente, para ello se
evalúa la integral de flujo a través del plano y = d . El integrando es
E ( r ) ⋅ ds =
q r
⋅ dx dz yˆ
4π ε 0 r 3
donde el producto escalar que aparece, particularizado en los puntos del plano, es r ⋅ yˆ = d . El
denominador ( r − 3 ) debe escribirse en coordenadas cartesianas, particularizándose también para
los puntos del plano.
Para resolver la integral, la expresión en coordenadas cartesianas no es la mejor: resulta más
sencillo en la práctica utilizar las coordenadas polares del propio plano de integración, que
podemos denominar ρ ′ y ϕ ′ . Obsérvese entonces que las sustituciones que haríamos serían:
dx dz = ρ ′ dρ ′ dϕ ′ (= ds)
 2
2
2
x + z = ρ ′
y los márgenes de integración serán ( −∞ ,+∞ ) para ρ ′ y ( 0, 2π ) para ϕ ′ . Dibuje un esquema
de la situación para comprobar que todo lo anterior es coherente.
Una vez resuelto el apartado b) de forma analítica, observe sin embargo que el resultado era
previsible sin necesidad de cálculos, por simple inspección de la situación planteada y de acuerdo
con la ley de Gauss.
2.
El caso más general que podemos considerar es el representado en la figura 27, donde hemos
trazado una superficie gaussiana S genérica que engloba parcialmente a un medio dieléctrico
polarizado.
Nos piden que evaluemos la expresión
∫ D ⋅ ds
a través de esa superficie y que comprobemos
S
que el resultado es nulo.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
50
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
superficie
gaussiana
S
medio
dieléctrico
P
El primer paso del desarrollo sería:
∫ D ⋅ ds =∫ (ε
S
S
0
)
E + P ⋅ ds =ε 0
∫ E ⋅ ds + ∫ P ⋅ ds
S
S
La integral de flujo del campo eléctrico es igual a la carga total, sea libre o ligada, contenida en
el interior del volumen delimitado por S (dividida por ε 0 ), por lo que el problema es el cálculo
de la última integral.
∫ D ⋅ ds = Q
TB
S
+
∫
S
P ⋅ ds
donde QTB es la carga total ligada presente en el interior de la superficie S. El enunciado nos
dice que no hay carga libre
El vector polarización es nulo fuera del dieléctrico y sólo atraviesa una parte de la superficie
gaussiana. En la siguiente figura se señalan las superficies que deberán tenerse en cuenta
independientemente.
Sa
nb
na
VI
Sb
Fig. 28
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Fig. 27 Una superficie gaussiana arbitraria que engloba
parcialmente a un dieléctrico polarizado
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
51
En la figura 28 el volumen dieléctrico contenido en la superficie gaussiana está representado por
VI . La superficie cerrada que lo limita puede denominarse S I , que a su vez está formada por dos
superficies, Sa y Sb.
Se comprueba inmediatamente que pueden escribirse las igualdades:
∫ P ⋅ ds = ∫
S
Sa
P ⋅ dSa =
∫
SI
P ⋅ dSI −
∫
Sb
P ⋅ dSb
y las dos últimas integrales pueden expresarse en función de las cargas ligadas, volúmica y
superficial.
La geometría del problema, incluyendo la forma de la distribución de carga, tiene simetría
esférica. En esas condiciones la ecuación de Poisson se reduce a:
∇ 2φ (r ) =
ρ (r )
1 d  2 dφ 
=−
r
2
ε0
r dr  dr 
El resultado de esta ecuación es:
 C
ρ 0  r3
 + r 2  − 1 + C 2
φ int (r ) = −
6ε 0  a
 r
C
φ ext (r ) = − 3
r
si r ≤ a
si r ≥ a
donde se tuvo ya en cuenta que el potencial debe anularse en el infinito, al tratarse de una
situación donde la carga eléctrica está limitada espacialmente.
Observará, sin embargo, que las constantes no pueden determinarse completamente por
aplicación de las condiciones de contorno, por lo que es necesario utilizar la ley integral de
Gauss para terminar el problema.
5.
Las líneas señaladas como a y b en la figura 29 no son posibles.
a
A
B
b
Fig. 29
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
3.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
52
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
6.
a) Debe expresarse el radiovector r en coordenadas cartesianas, al igual que los vectores que
indican la posición de la cargas.
b) A grandes distancias ocurre que las coordenadas más adecuadas son las esféricas, debido
precisamente a que el dipolo se ve como un punto si nos situamos muy lejos de éste:
r = x 2 + y 2 + z 2 >> s
La aproximación anterior permite escribir las contribuciones, salvo constantes, de cada una de las
cargas al potencial total en la forma:
1
1
s

cosθ 
≅ 1
r  2r

 s

r 1 ± cosθ 
r


donde se ha aproximado tomando únicamente los dos primeros términos de la descomposición de
Taylor, según:
(1 ± x)
−
1
2
=1
1
2
x
si x << 1
7.
a) La relación de la componente Ex, la única que debemos considerar, con la distribución de
carga es una relación integral.
b) La relación entre el potencial eléctrico y el campo es también integral.
8.
a) La densidad de corriente se obtiene de la ley de Ohm una vez conocido el campo eléctrico.
b) La intensidad de corriente es el flujo de la densidad de corriente a través de la sección del
medio por el que circulan los portadores.
c) La velocidad media de los portadores de carga está relacionada con la densidad de corriente,
con la concentración de portadores y con su carga unitaria. Si no recuerda la expresión, trate de
hallarla por simple análisis dimensional.
d) La fuerza magnética se obtiene de la expresión de Lorentz. Hay motivos para pensar que debe
cambiar la densidad de corriente, pero probablemente no la intensidad de corriente.
9.
Debe ser aplicable la fórmula de la capacidad de un condensador plano infinito. Si no está seguro
de cuál es la forma exacta de esa fórmula, utilice el análisis dimensional para deducirla, sabiendo
que la capacidad dependerá de la permitividad del medio, de la superficie entre las armaduras y
de su separación.
10. a) Se supone que el hilo conductor tiene sección circular. La densidad de corriente no es
uniforme en la sección del hilo, por lo que no es posible multiplicar simplemente la densidad de
corriente por el área. (Por otra parte el resultado obtenido de esa forma en este caso sería una
intensidad de corriente dependiente de la coordenada radial, lo cual tiene difícil interpretación.)
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
1
2
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
53
b) Los valores dados son realistas, por lo que el valor de la densidad de corriente que se obtiene
es también un valor típico, aunque pueda parecer elevado si se expresa en A/m2.
c) Ley de Ampère.
12. a) La tensión obtenida se debe al fenómeno conocido como inducción electromagnética, cuya
primera formulación es la debida a Faraday. La frecuencia es la misma que aquella con la que
gira el arrollamiento.
c) Tanto la sección del arrollamiento como el número de espiras representan valores pequeños
como para poder producir una tensión elevada, por lo que no debe sorprender que el resultado
obtenido sea de milivoltios.
13. Debe utilizarse la ley de Ohm. Se sobreentiende que se está calculando la resistencia que ofrece
el cable a bajas frecuencias, que es el caso en que puede considerarse la corriente distribuida de
forma homogénea en la sección del conductor. A frecuencias medias (digamos entre unos 2 y 15
MHz, según el grosor del cable), la corriente comienza a concentrarse en las paredes del
conductor y la resistencia efectiva varía. A frecuencias superiores, el efecto es ya claramente
apreciable. En el problema 39 se plantea ese caso.
A bajas frecuencias, y con una densidad de corriente homogénea, la aplicación de la ley de Ohm
es suficiente. Para obtener la expresión de la resistencia (Ω) en función de la conductividad, la
sección del cable y su longitud, basta razonar qué papel juegan cada una de esas magnitudes y
comprobar que la expresión que se va a utilizar es dimensionalmente coherente.
14. La capacidad de un condensador responde a la expresión general:
C=
Q
V
donde Q es la carga (libre y en valor absoluto) que hay en una cualquiera de las placas del
condensador. (Se puede demostrar que en un sistema de dos conductores tal que uno de ellos
encierra físicamente al otro, se induce la misma carga total Q en uno y en otro, aunque con
signos cambiados.) V es la tensión aplicada o diferencia de potencial entre las placas.
Un proceso de cálculo usual consiste en expresar el campo eléctrico que se establece entre las
placas en función de la densidad de carga de una de ellas. Después puede expresarse el campo
eléctrico en función de V y la carga total almacenada en la placa en función de aquella densidad
de carga. Con todo ello se habrá obtenido la relación buscada entre Q y V.
En el problema que se propone puede utilizarse inicialmente la ley integral de Gauss.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
11. Puede resolverse mediante aplicación de la ley integral de Ampére para cada hoja de corriente
por separado y después superponiendo los campos. La aplicación de este método –al igual que
cuando se aplica la ley integral de Gauss en problemas electrostáticos– exige conocer a priori
cuál será la dirección del campo, y de qué coordenadas puede depender y de cuáles no. A este
respecto considere las láminas de corriente como si fueran de tamaño ilimitado. Conociendo la
dirección del campo, uno sabrá cómo trazar la trayectoria cerrada más adecuada para la
aplicación de la ley, dentro de la que el campo se ha de mantener constante.
Si imagina cada lámina de corriente como una superposición de hilos de corriente paralelos y
utiliza la regla de la mano derecha, sabrá cómo se orienta el campo magnético en esta situación.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
55
15. Efectivamente, los buenos conductores no pueden contener una densidad volúmica de carga neta.
Si así sucediera, la divergencia del campo eléctrico no sería nula y, por tanto, tampoco el campo
eléctrico. Como la nube de electrones está libre en el conductor, se movería continuamente
arrastrado por ese campo, sin llegar nunca al equilibrio, lo cual no sucede. Ahora bien, si por
algún procedimiento físico, como un bombardeo iónico, introducimos carga en el conductor,
habremos contradecido momentáneamente ese principio de no existencia de carga neta. Lo que
ocurre entonces es que el conductor reacciona y se libera del exceso de carga, intercambiándolo
con la superficie. La ecuación diferencial que describe el comportamiento de la carga libre desde
el instante inicial en que fue introducida es:
1
∂ρ
=− ρ
∂t
τ
donde la constante de tiempo τ –al igual que la propia ecuación– puede deducirse de las
ecuaciones que se mencionan en el enunciado del problema.
16. a) Debe evaluarse la corriente de portadores libres (ley de Ohm) y la de desplazamiento (el
último término de la ecuación de Àmpere-Maxwell). Esta última en su forma en régimen
senoidal permanente, puesto que nos dan la información de la frecuencia de la señal. Ambas
quedarán en función del campo eléctrico, cuya magnitud se desconoce. No obstante, pueden
compararse y se observa que la corriente de conducción es mucho mayor.
b) Observe que la ecuación que debemos verificar tiene cierta similitud con la que sería la
ecuación de onda para el vector campo magnético. En ella aparece la laplaciana de ese vector,
que incluye derivadas espaciales de segundo orden. Una operación típica de la que surge la
laplaciana es:
(
) ( )
∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇2 A
∀A
Este apartado debe resolverse en las condiciones de variación temporal arbitraria, sin embargo
asumimos que las componentes significativas de mayor frecuencia no excederán el valor del
GHz, de modo que el resultado anterior sigue siendo válido.
c) Basta sustituir la expresión que nos dan en la ecuación diferencial anterior y operar. El valor
de la constante D se obtiene como función de σ y µ.
d) La relación entre E y H se obtiene de la ecuación de Àmpere-Maxwell o de la de
Maxwell-Faraday. Utilice la que resulte más cómoda en este caso. Si se decide por la primera,
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
56
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
recuerde qué forma particular adopta en el medio que estamos considerando (véase el primer
apartado).
e) Comprobará que el campo se extingue rápidamente a medida que penetra en el medio.
17. a) La ecuación de continuidad en forma diferencial y con densidades de corriente y carga
volúmicas es:
∇⋅J = −
∂ ρ (r , t
∂t
)
Cuando tratamos con densidades limitadas a una superficie la ecuación es idéntica:
∂σ (r , t
∂t
)
Este resultado puede probarse con un procedimiento similar al que se emplea para deducir la
primera expresión.
b) Las suposiciones de partida son que no hay carga inicialmente en el condensador, es decir,
para t = 0, y que el campo eléctrico sólo tiene componente perpendicular a las placas (esta
última suposición es, en definitiva, la de condensador plano infinito).
c) Si trata de hallar el campo magnético mediante la ecuación de Maxwell-Faraday, en forma
diferencial, aprovechando que ya tiene el campo eléctrico (obtenido en el apartado anterior) se
encontrará con la dificultad de que queda una constante indefinida. No obstante, la idea era
lógica y en otras situaciones es el procedimiento más razonable. Para solventar esa dificultad es
más útil, en este caso particular, la ecuación de Ampère-Maxwell en forma integral. Debe
aplicarla para cada una de las placas, con sus respectivas densidades de corriente, y superponer
(sumar) los campos obtenidos.
d) Existen dos caminos para obtener la expresión de la energía almacenada. Uno es utilizar la
expresión conocida de Teoría de Circuitos en función de la tensión y de la capacidad del
condensador. El otro consiste en integrar, en el volumen del condensador, la densidad de energía
eléctrica:
Ue =
1
2
∫ D ⋅ E dv
v
e) Hay más de una manera de resolver este apartado, pero la más sencilla puede ser utilizar las
dos expresiones de cálculo de la energía que se propusieron antes e igualar los resultados que se
obtengan. De allí sale el valor de J0 .
18. a) La expresión del fasor es la habitual: Amplitud exp(+j fase).
b) La distribución de la carga se obtiene a partir de la densidad de corriente mediante la ecuación
de continuidad.
c) La respuesta que uno está tentado a dar inmediatamente es que la densidad de corriente se
extingue progresivamente a medida que se propaga en la dirección del eje Z, y eso no es propio
de un conductor perfecto. Sin embargo, esa respuesta es más intuitiva que razonada. Trate de
buscar una explicación más acorde con las características específicas de los conductores
perfectos.
d) La intensidad de corriente se obtiene fácilmente a partir de la densidad de corriente.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
∇⋅ JS = −
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
57
20. Debe decir si las afirmaciones están de acuerdo o no con las ecuaciones que sean aplicables en
cada caso, que son las siguientes:
a) La ecuación que relaciona la corriente con el campo magnético es la de Ampère-Maxwell.
b) La misma que antes
c) Ley de Ohm (si bien las placas son conductores perfectos).
d) Ley de Ampère-Maxwell de nuevo.
e) Se aplicaría superposición de los campos creados por cada placa.
f) Ley de Maxwell-Faraday.
g) Aquí hay dos cuestiones: por un lado la relación que pueda establecerse entre la densidad de
corriente y el campo eléctrico o el campo magnético entre las placas y, por otro lado, la ecuación
de onda, para el campo eléctrico o para el campo magnético. En definitiva, se trata de ver lo
siguiente: ¿fuerza la ecuación de onda a una dependencia espacio-temporal del tipo cos(ωt-kz)
para los campos, en el caso de régimen senoidal permanente?, y entonces, ¿será obligada la
misma dependencia para la corriente?
h) De nuevo estamos viendo la relación entre densidad de corriente y campo magnético.
i) Ley de Maxwell-Faraday.
21. a) Escriba la expresión del operador nabla a escala real ( ∇ ) en función de las variables x, y, z y
la expresión del operador a escala de laboratorio ( ∇ ′ ), en función de x ′, y ′, z ′ . Ahora trate de
ver la relación entre uno y otro transformando las derivadas. Tenga en cuenta que los vectores
unitarios en uno y otro caso son los mismos.
La relación entre las derivadas temporales es casi inmediata (regla de la cadena).
b) y c) Las ecuaciones de Maxwell deben tener la misma forma a una u otra escala, y con unas u
otras variables. Parta de cada una de las ecuaciones expresadas a escala de laboratorio y sustituya
operadores y variables para llegar a las ecuaciones a escala real. Llegará entonces por simple
comparación a deducir el valor de los diferentes parámetros.
d) El proceso es el mismo que para el apartado anterior. Ahora deberá utilizar otras ecuaciones
que relacionen el potencial y la intensidad de corriente con las magnitudes cuya regla de
transformación ya ha averiguado.
22. a) Basta con calcular la variación del flujo de campo magnético a través de la espira, de acuerdo
con la ley de Faraday.
b) El campo eléctrico está relacionado con la variación temporal del campo magnético mediante
la ley de Maxwell-Faraday. Deberá integrar esa ecuación para extraer el valor del campo
eléctrico. Utilice coordenadas cilíndricas. Considere que el campo eléctrico sólo tiene componente azimutal, alrededor del eje Z.
Como se comenta en el enunciado, el campo magnético es aproximado. Existe una pequeña
variación espacial, pero no se considera explícitamente.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
19. Una de las propiedades de la transformada de Fourier dice que la transformada de la derivada
temporal de una función es igual a la transformada de la función multiplicada por jω. Algo
similar puede aplicarse a cada una de las componentes del campo y a sus transformadas de
Fourier espaciales. (Efectivamente, al igual que existe una transformada de Fourier que nos lleva
de la dependencia temporal al dominio frecuencial, existe también la transformada de Fourier
entre las variables espaciales y las componentes espectrales de variación espacial. De todos
modos, esta variante no la usaremos explícitamente todavía en este curso.)
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
59
Ondas planas
H(r , t ) = H 0 hˆcos(ω t − k ⋅ r )
donde el vector de onda es: k = k kˆ. El número de onda k es función de la frecuencia y de la
velocidad característica del medio.
Los vectores hˆ y k han de ser perpendiculares en una onda plana.
b) El campo eléctrico se deduce inmediatamente si se conoce el campo magnético y el vector de
onda.
c) Se calcula en la forma general, mediante los fasores E y H , o a través de la fórmula
específica para ondas planas uniformes.
24. a) Siempre que busque el tipo de polarización de una onda, lo primero es averiguar qué desfase
existe entre las dos componentes perpendiculares que constituyen el vector. Si ocurriera que el
campo no estuviese expresado como una suma de dos componentes perpendiculares, entonces
puede ocurrir que sólo haya una componente, por lo que la polarización será forzosamente lineal.
O también puede ocurrir que en la expresión no están claramente separadas las componentes
perpendiculares. En esos casos debe elegirse una base eˆ1 y eˆ2 (ambos perpendiculares entre sí
y perpendiculares al vector de onda) y expresar el vector de campo en función de esa base.
26. y 27. Le servirán las consideraciones del problema 24. A la hora de elegir una base de vectores
unitarios y ortogonales eˆ1 y eˆ2 tiene total libertad, puesto que una onda es la misma
independientemente de los vectores que elija para representarla. Sin embargo, conviene que lo
piense un poco antes de decidirse por alguna, para simplificar el trabajo. Una vez elegido un
vector eˆ1 , el otro debería obtenerse como eˆ2 = kˆ× eˆ1 para que ambos sean perpendiculares y
tengan la orientación correcta que permita utilizar los criterios habituales de sentido de giro.
28. a) Debe escribir la expresión general para una onda plana con polarización arbitraria. Después ha
de ir sustituyendo los parámetros genéricos por valores particulares de acuerdo con los datos que
se proporcionan.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
23. a) La expresión genérica para el campo magnético instantáneo asociado a una onda plana, con
polarización lineal, es:
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
60
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
Se informa de la dirección de propagación de la onda (vector kˆ) a través de los ángulos
esféricos, ϕ y θ. El ángulo ϕ es el que forma con el eje X la proyección del vector sobre el
plano XY, mientras que el ángulo θ es el que forma el vector con el eje Z. Cualquier dirección
del espacio a partir del origen puede seleccionarse a través de los valores adecuados de ϕ y θ .
Z
θ
ϕ
X
Fig. 30 Los dos ángulos esféricos definen una dirección particular del espacio
b) Para determinar unívocamente una onda plana deben conocerse los siguientes datos: amplitud
(o densidad de potencia), dirección de propagación, tipo de polarización y, en su caso, sentido de
giro, relación axial y orientación de la elipse de polarización. No obstante, los cuatro últimos
pueden deducirse de la relación entre las amplitudes complejas de las dos componentes
ortogonales en que se expresa el campo.
c) Forzosamente habrá dos soluciones posibles en este apartado.
29. a) Mediante el índice de refracción del medio y el valor de la frecuencia se puede determinar
completamente el número de onda, que aparece en la exponencial compleja de la onda.
b) Se dispone del valor de la densidad de potencia total y del término común de amplitud.
c) i) Sustituyendo en la expresión del campo tendremos suficiente información.
ii) Sólo un tipo de polarización permite que el campo instantáneo sea nulo en algún instante.
30. a) No nos dan la dirección concreta en que está orientado el eje del polarizador, por lo que
podemos denominarla sˆ y dejar los resultados indicados.
A la salida del primer polarizador el campo forzosamente tendrá polarización lineal en la
dirección dada por sˆ; se trata por tanto de calcular la amplitud de la onda. La expresión general
es:
Eout = ( Ein ⋅ sˆ) sˆ
donde se ha omitido el desfase que pueda sufrir esta única componente al atravesar el
polarizador.
Deberá ser capaz de expresar el vector sˆ en función de los vectores unitarios cartesianos
xˆ e yˆ y del ángulo que el eje del polarizador forma con uno de los ejes cartesianos.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Y
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
61
b) El campo que emergió del primer polarizador vuelve a atravesar otro, y de nuevo con
orientación desconocida. Para obtener el campo final deberá entonces seguir los pasos del primer
apartado una vez más. Dele el nombre de sˆ′ al vector unitario en la dirección del eje de ese
segundo polarizador. La relación entre la densidad de potencia de la onda inicial y la densidad de
potencia de la onda final dependerá del ángulo existente entre los ejes de los polarizadores.
31. a) Tenemos dos elementos ópticos: el polarizador y la lámina dieléctrica con pérdidas. Podemos
considerar la onda en tres momentos diferentes:
Ein , la onda original, antes de atravesar el polarizador;
E out 1 , a la salida del polarizador, antes de atravesar la lámina;
Con la consideración de que la última lámina no puede modificar la polarización de la onda y
que sólo afecta a su amplitud, puede hallarse
E out 1 en función de Eout 2 gracias a la
información que nos dan sobre la pérdida de potencia sufrida en la lámina.
Conocida la onda a la salida del polarizador, se tratará ahora de encontrar Ein , que sabemos
tiene polarización elíptica. Se deduce que la onda original ha perdido una componente ortogonal
de campo al atravesar el polarizador. De nuevo con la información de la potencia pérdida, puede
hallarse la amplitud de esa componente que se perdió. No obstante no parece haber suficiente
información para estimar el desfase entre las componentes de la onda original.
b) En el apartado anterior hemos podido calcular el coeficiente de atenuación, α. Existe una
relación sencilla entre ese coeficiente α y la conductividad del medio σ cuando se trata de
buenos conductores.
c) Conocida la conductividad, la frecuencia y la permitividad es inmediato comprobar la
hipótesis de buen conductor.
32. a) El procedimiento a seguir es el general en este tipo de situaciones y similar al que se emplea
con los polarizadores. En un polarizador debemos descomponer el campo de la onda incidente en
dos componentes ortogonales, con una de ellas paralela al eje del polarizador. Lo que ocurre es
que en el polarizador la otra componente es irrelevante porque se atenúa hasta extinguirse. Con
una lámina de retardo, sin embargo, las dos componentes son importantes, puesto que lo
característico de la lámina es el retardo (o el desfase) que introduce entre ellas.
Sean sˆ1 y sˆ2 los ejes propios y ortogonales de la lámina de retardo. Entonces el campo
incidente se expresa en la forma:
Ein = ( Ein ⋅ sˆ1 ) sˆ1 + ( Ein ⋅ sˆ2 ) sˆ2
lo que en el fondo no es sino un cambio de base vectorial.
Para obtener el campo a la salida basta con explicitar el desfase que sufre cada componente:
Eout = ( Ein ⋅ sˆ1 ) sˆ1 e jφ1 + ( Ein ⋅ sˆ2 ) sˆ2 e jφ2
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
E out 2 , a la salida de la lámina con pérdidas (la que nos dan en el enunciado).
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
62
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
donde φ1 y φ2 serán función del trayecto recorrido en el interior de la lámina, del índice de
refracción asociado a cada eje y de la longitud de onda.
b) Los pasos a seguir son exactamente los mismos que en el apartado a). Se comprueba que la
onda emergente es similar a la obtenida antes, pero con una orientación de la polarización
diferente.
33. Aunque el resultado es cualitativamente el mismo, la forma en que ambos elementos lo
consiguen es bastante diferente.
s1
ψ
s2
E in
a)
s1
b)
s2
e 2'
e1 e
1'
e2
Fig. 31 Esquemas de la descomposición de un campo incidente sobre una
lámina anisótropa. a) Incidencia de una onda con polarización lineal;
b) incidencia de una onda con polarización circular
En el caso b), en el que la onda incidente es circular, observe que, independientemente de cuál
sea la base de vectores en que venga expresada – eˆ1 y eˆ2 –, siempre podríamos cambiarla a otra
más conveniente: eˆ1′ y eˆ′2 .
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
34. En las figura 31 se esquematiza el campo incidente y los ejes de la lámina. Tras atravesarla, las
componentes de campo proyectadas sobre los ejes quedan desfasadas. ¿Qué campo final darán a
la salida cuando vuelvan a sumarse?
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
63
36. a) Se trata de despejar A y B, que serán las amplitudes complejas que debemos asignar a cada una
de las ondas circulares para que su suma sea igual a una onda con polarización lineal. Observe
que se obtiene un resultado general aplicable a cualquier onda polarizada linealmente.
Para despejar cada constante compleja debe multiplicar en cada caso por el complejo conjugado
del término complejo que quiera cancelar.
b) El procedimiento es el mismo aunque ahora la expresión de partida es diferente. Debe probar
que una onda con polarización elíptica siempre se puede expresar como suma de dos circulares,
con sentidos de giro distintos. Entonces debe hallar las amplitudes A y B que satisfacen en
general:
E0 (eˆ+ p e j∆ϕ eˆ′)e − jk ⋅r = [A(eˆ1 + jeˆ2 ) + B(eˆ1 − jeˆ2 )] e − jk ⋅r
(con eˆ× eˆ′ = kˆy eˆ1 × eˆ2 = kˆ)
37. Escriba la expresión general del campo instantáneo de una onda con polarización lineal, con
amplitud, fase inicial y frecuencia desconocidas. Particularícela a los puntos e instantes para los
que se nos da información. Haga lo mismo con la segunda onda. Podrá obtener de esa forma cuál
es la frecuencia de las ondas (nos dicen que es la misma) y también obtendrá qué desfase existe
entre ambas.
38. a) eˆ1 × eˆ2 = ± kˆ. No conocemos el vector de onda, pero si hemos elegido los vectores eˆ1 y eˆ2 , y
sabemos el sentido de giro de la polarización, entonces el signo también queda explicitado.
d) La condición de las fases instantáneas quedan así, según los datos que nos dan:
E y (r0 , t ) = E y (r0 + 80kˆ, t ) + 2mπ
E y (r1 , t ) = E y (r1 + 60kˆ, t ) + 2(n − 1)π
De allí se obtienen dos ecuaciones, en función del número de onda y de los enteros m y n, que
sólo tendrán una solución posible dentro del margen de frecuencias que se indica.
39. a) El cálculo del campo magnético, tanto dentro como fuera del hilo, se hace típicamente por
aplicación de la ley integral de Ampère.
El campo eléctrico se relaciona directamente con la densidad de corriente mediante la ley de
Ohm.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
35. Una lámina de retardo tan sólo desfasa una componente de campo respecto de otra, pero no
modifica la potencia de la onda. Por lo tanto, el primer elemento no puede ser una lámina de
retardo: será un polarizador. El segundo sí es una lámina. Por otra parte, el hecho de que la onda
emitida por el láser sea insensible al giro del polarizador nos indica qué tipo de polarización
tiene.
Para distinguir de qué tipo de lámina se trata, lo más lógico es colocar primero la lámina de
retardo y después el polarizador e interpretar lo que ocurra al girar el polarizador.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
b) Una de las condiciones de contorno conocidas parece indicar que el campo eléctrico del
interior del conductor no podrá desaparecer bruscamente fuera de él.
En los apartados siguientes la situación es bastante distinta debido a la variación temporal. Se
comprueba experimentalmente que, como efecto secundario, pero unido inevitablemente a la
variación en el tiempo, la densidad de corriente tiende a concentrarse en las paredes del
conductor.
Para la resolución de los apartados c) y siguientes, debe asumirse que el vector de densidad de
corriente mantiene la misma dirección que en el caso estático, según el eje del conductor.
c) Atendiendo a las consideraciones de simetría, la densidad de corriente sólo podrá depender de
la distancia al eje del conductor.
d) Compruebe si la corriente sigue siendo de tipo estacionario. Si lo es, no se puede producir
acumulación de carga en ningún punto del conductor, ni de forma transitoria ni permanente.
e) Ley de Ohm.
f) De nuevo es una cuestión relacionada con la simetría de la situación.
g) La ecuación se obtiene por el mismo procedimiento que la ecuación de onda, combinando las
leyes de Faraday y de Ampère-Maxwell en forma diferencial, y teniendo en cuenta que la
densidad de corriente obedece a la ley de Ohm y que se cumple la condición σ << ωε ,
correspondiente a un buen conductor. Utilizando la expresión del rotacional en coordenadas
cilíndricas, se obtiene una ecuación diferencial unidimensional de segundo orden para el campo
eléctrico.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
64
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
65
40. a) y b) Las densidades de carga y de corriente superficiales se obtienen por aplicación de las
condiciones de contorno en las que intervienen. Al ser uno de los medios un conductor perfecto,
sabemos que el campo eléctrico en su interior deberá ser nulo. Por otra parte, un campo
magnético constante, sin variación temporal, sí podría existir, pero no un campo magnético
variable como el de una onda plana. Todo lo anterior obliga a obtener la onda reflejada en primer
lugar para conocer cuáles son los campos eléctrico y magnético totales en el aire.
c) Este apartado puede responderse a la vista de los resultados obtenidos antes; sin embargo,
también puede contestarse a priori por simple consideración de la naturaleza del problema.
41.
a) La complicación del problema puede provenir del simple hecho de que nuestros ejes de
referencia están girados respecto a la superficie de incidencia; sin embargo, eso no debería
suponer un serio obstáculo. Considere que la reflexión mantiene la polarización paralela o
perpendicular al plano de incidencia (el plano XZ en este caso). Por otra parte, el coeficiente de
reflexión para un conductor perfecto toma el valor –1 para cualquiera de ambas polarizaciones.
c) Considere simplemente qué varía y qué no varía al cambiar el ángulo con el que incide la
onda.
42. Recuerde que el índice de refracción de cualquier medio es siempre mayor o igual a la unidad.
Debe calcular la potencia transmitida en función de la incidente o, alternativamente, la potencia
reflejada en función de la incidente, puesto que la reflejada más la transmitida representan la
potencia original de la onda. Cualquiera de esas potencias son función de los coeficientes
respectivos al cuadrado. Observe que en algún momento deberá elegir el signo adecuado.
43. Tanto en este problema como en el anterior se pretende que tenga una idea de la potencia que
pierde una onda electromagnética, debido a las reflexiones, al atravesar medios dieléctricos
usuales. Puede obtener, mediante aplicación sucesiva de los coeficientes de transmisión
correspondientes, la amplitud de la onda final en función de la amplitud de la onda original. No
se consideran ondas reflejadas que, con una segunda reflexión, pueden volver a propagarse en la
dirección original, sumándose a la primera onda. Eso es lo significa ignorar las dobles
reflexiones.
44. Los prismas rectos o los diedros metálicos pueden utilizarse como retrorreflectores porque
presentan la propiedad de que la onda reflejada emerge en la misma dirección en la que llegó la
onda incidente, tal como se pone de manifiesto en la figura del enunciado, y conservando además
la práctica totalidad de la potencia original. Sin embargo, en el caso de un prisma dieléctrico, una
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Incidencia de ondas planas
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
66
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
retrorreflexión eficiente estará condicionada por el hecho previo de que se produzca reflexión
total en las caras internas del prisma. Deberá buscar los llamados ángulos críticos del prisma: el
ángulo máximo con el que puede incidir sobre la cara de entrada (digamos la cara de la
hipotenusa) medido respecto a su normal, de modo que se produzca reflexión total en la cara
interna de las otras dos superficies.
46. a) Al igual que en el problema anterior, debe calcular el ángulo de incidencia, sabiendo que el
campo eléctrico oscilará siempre en un plano perpendicular a la dirección de propagación. Esto
no es cierto para cualquier onda, pero sí para ondas planas uniformes como las que hasta ahora
venimos tratando. Conociendo el campo eléctrico, podrá calcular el vector de onda y del vector
de onda puede deducir el ángulo buscado.
b) El vector k i ya lo habrá obtenido en el apartado anterior. Los vectores de onda k r y k t se
obtienen a partir de los ángulos de reflexión y transmisión.
c), d), e) y f) Por simple aplicación de las expresiones teóricas.
g) La misma onda significa una onda que tenga la misma polarización, igual frecuencia y
transmita la misma potencia que la anterior. No obstante, al hacerla incidir con otro ángulo
cambiará la expresión matemática y, en concreto, la dirección del vector de onda (no su módulo)
y al menos uno de los vectores unitarios con que se expresa el campo.
47. a) En función del ángulo de incidencia puede escribirse el vector de onda, si bien no se conoce la
frecuencia de la onda, y también los vectores unitarios en función de los que se expresará el
campo, de acuerdo con la figura 12.
b) Independientemente del ángulo de incidencia deberemos calcular los coeficientes de reflexión
para las dos componentes de la onda, utilizando las fórmulas de Fresnel. En este caso sucede que
tales coeficientes son complejos porque estamos en zona de reflexión total. Esa posibilidad había
que considerarla, puesto que el índice de refracción del medio 1 es mayor que el del medio 2. Al
tratarse de coeficientes complejos se produce un desfase relativo de una componente respecto a
la otra, por lo que la polarización puede variar de tipo.
c) En el caso de reflexión subcrítica los coeficientes de Fresnel se mantienen reales y no puede
alterarse el desfase relativo entre las componentes.
48. a) De la figura 13 se observa que el ángulo de transmisión es menor que el ángulo de incidencia,
por lo que la ley de Snell nos dirá qué medio tiene mayor índice de refracción.
b) El apartado anterior deja claro que no podrá producirse en ningún caso reflexión total, y por lo
tanto los coeficientes de Fresnel serán reales (se consideran los dos medios dieléctrico ideales sin
pérdidas). De ese modo no puede producirse un desfase adicional entre las componentes de la
onda. Es interesante que se plantee también la siguiente cuestión: si la onda incidente tiene
polarización lineal en una dirección arbitraria ¿serán paralelas a ella en general las polarizaciones
de las ondas reflejada y transmitida?
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
45. a) y b) Se trata tan sólo de expresar correctamente el campo incidente en función de los vectores
unitarios adecuados, paralelo y perpendicular al plano de incidencia, y de hacer lo mismo para
las ondas reflejada y transmitida. Por último, las amplitudes reflejada y transmitida se expresarán
en función de la amplitud incidente y de los coeficientes de reflexión y de transmisión. Sin
embargo, el primer cálculo que debe hacerse es el del ángulo de incidencia. La información
necesaria está en la propia expresión que se da para la onda incidente.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
67
49. a) Los campos han de escribirse en función de la amplitud de la onda incidente y del coeficiente
adecuado de Fresnel. En cuanto al término de propagación, ocurre que parte de él se convierte en
un término de atenuación, en la dirección transversal a la superficie del medio dando lugar a una
onda evanescente. El procedimiento general para escribir correctamente los exponentes consiste
en partir de la expresión habitual del vector de onda y particularizarlo para el caso de reflexión
total:
k t = k 0 n 2 (yˆsent + zˆcos t
) con
cos t = − jγ
b) Tenga cuidado con la expresión que emplea para obtener el vector de Poynting. Al ser
evanescente, ya no se trata de una onda plana uniforme (la amplitud varía dentro de los planos
de fase constante).
c) Del dato que nos dan sale inmediatamente el valor de γ.
50. a) Podría ocurrir que una de las componentes desapareciera en la reflexión, o podría ocurrir
también que tras la reflexión el desfase existente entre las componentes de la onda circular se
cancelase.
b) La segunda posibilidad mencionada antes ya no será posible.
c) Nos dan implícitamente una relación entre los coeficientes de transmisión paralelo y
perpendicular.
51. a) En un conductor perfecto el campo eléctrico en el interior es nulo.
b) La impedancia de onda de una onda plana uniforme puede expresarse siempre de la misma
forma:
η=
µ
ε
sin embargo no siempre la permitividad será un número real.
c) También las expresiones generales de los coeficientes de reflexión y transmisión son iguales
tanto en el caso de que se consideren pérdidas o no. No obstante, los índices de refracción (o las
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
c) La polarización circular se da bajo dos condiciones: una referente al desfase entre las dos
componentes perpendiculares y otra para sus amplitudes. Debe verse si las dos se deben
mantener en la reflexión.
d) Sólo hay un caso particular de incidencia sobre una superficie plana en que no haya onda
reflejada.
e) Existen direcciones de la onda transmitida que, de hecho, no se obtendrán nunca en este caso
particular (en el mismo plano de la figura). Piense el porqué.
f) No se puede afirmar que se cumpla siempre esa relación entre ángulo de incidencia y potencia
reflejada, aunque en algún caso sí es cierto. Trate de encontrar un caso en el que sea cierto y otro
en el que no.
g) Se plantea de nuevo el apartado c), si bien incluyendo la onda transmitida y para un ángulo de
incidencia particular.
h) Basta con observar la fórmula del ángulo de Brewster y la información que se tiene de los
índices de refracción.
i) Parece que sí.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
68
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
Pdis =
∫ E ⋅ J dv
v
En nuestro caso, ese volumen tendrá dimensiones 1x1 cm2 en la superficie del conductor y
profundidad supuestamente infinita en la dirección de penetración hacia el interior del conductor.
A pesar de hacer esa suposición de infinitud el campo y la corriente decrecen demasiado rápido
como para que el resultado total pudiera divergir.
conductor real
X
Z
Y
Fig. 32 Penetración del campo eléctrico y la densidad de corriente en un buen conductor
52. Éste es un problema de los denominados de multicapa o de incidencia múltiple. En ellos se
consideran dobles, triples y en general, n-ésimas reflexiones de las ondas entre las diferentes
superficies de separación entre los medios. Existen dos formas de resolver este tipo de
problemas:
• Una de ellas es la de generar las series de ondas producidas después de cierto número de
reflexiones y transmisiones de la onda original y proceder después a sumar las series
matemáticas que se obtienen, en particular las que dan lugar a la onda transmitida global
y a la onda reflejada global. En este procedimiento se utilizan los coeficientes usuales de
Fresnel para cada reflexión o transmisión que se considera.
• El otro método, y que formalmente es preferible, trata únicamente con las ondas finales
que deberán establecerse en los diferentes medios, una vez alcanzado el régimen
estacionario. Este procedimiento no utiliza los resultados conocidos de Fresnel en la
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
impedancias de onda, según cómo se expresen aquellos coeficientes) serán reales si no hay
pérdidas y complejos si se consideran.
d) Se obtiene por aplicación directa de una fórmula.
e) Ambas expresiones tendrán un término de atenuación en la dirección hacia el interior del
conductor. Se trata de una onda plana en un medio con pérdidas.
f) La intensidad de corriente es una magnitud escalar que se obtiene mediante la integral de flujo
de la densidad de corriente en la superficie adecuada. En este caso la densidad de corriente es
básicamente superficial, pero penetra en alguna medida en el conductor. Desde un punto de vista
práctico, puede afirmarse que la densidad de corriente es apreciable, al igual que el campo
eléctrico, hasta un distancia de la superficie del orden de la profundidad de penetración. No
obstante, a la hora de hacer la integral es más exacto e incluso más cómodo suponer que la
densidad de corriente penetra infinitamente en el conductor, si bien con valores
exponencialmente decrecientes.
g) La potencia disipada térmicamente en el conductor tiene como expresión general:
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
69
mayor parte de las superficies de separación entre medios, ya que la situación en general
es diferente a la supuesta por Fresnel, que sólo consideraba una onda incidente por uno
de los lados de la superficie de separación (véase la Fig. 33, en la que se ha representado
un caso con cuatro medios y tres superficies de separación.)
+
Ei
+
E1
E2
Et
-
-
E1
E2
Fig. 33 Ondas estacionarias finales con las que se pueden
plantear en general los problemas de multicapas
Una vez escritas las expresiones de los campos, correspondientes a cada una de las ondas que
intervienen, deben plantearse y resolverse las ecuaciones debidas a las condiciones de contorno,
tanto para los campos eléctricos:
(E
(E
(E
i
+ Er
+
1
+ E1−
+
2
+ E2−
)
)
)
tang S 1
(
)
= (E + E )
= (E )
= E1+ + E1−
tang S 2
tang S 3
+
2
tang S 1
−
2 tang
S2
t tang 3
S
como las correspondientes para los campos magnéticos.
a) La reflexión global nula es posible, debido a que la onda reflejada se construye a partir de
múltiples contribuciones generadas en las diferentes superficies de separación. La clave es que
esas contribuciones se cancelen aprovechando que llevarán entre sí ciertos desfases relativos.
Para resolver el problema, sin embargo, basta con suponer que la onda reflejada es nula y buscar
después el valor del grosor que permita satisfacer las diferentes condiciones de contorno
exigibles en el problema con aquella condición.
b) A partir del resultado obtenido del apartado anterior, puede razonarse en qué forma se
conseguirá un refuerzo máximo de las diferentes contribuciones a la onda reflejada. Obsérvese
además que en este caso la onda transmitida será mínima.
53. De nuevo se trata de suponer que la onda reflejada se cancela. Entonces deberá buscar los valores
del grosor d y del índice n 2 que permite satisfacer las condiciones de contorno bajo aquella
suposición.
No se desanime: tanto este problema como el anterior llevan tiempo y papel para llegar a la
solución.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Er
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
71
54. a) y b) La ecuación de onda para el vector campo eléctrico tiene la forma usual. En coordenadas
cartesianas las ecuaciones escalares para cada componente son iguales. Observe que se indica
que los campos no variarán en la dirección del eje Y, pero eso no tiene que ver con que exista o
no la componente y del campo.
c) Sustituyendo en la ecuación de onda escalar por la expresión dada para la componente
correspondiente del campo, sale inmediatamente la relación pedida.
d) Se trata de la condición usual en cuanto a la componente tangencial a la superficie de la pared
conductora.
e) La no existencia de carga libre en el interior de la guía determina la forma de la divergencia
del campo eléctrico. Ésta es una condición habitual para guías de onda.
55. a) El valor de la constante de propagación queda determinado para cada modo a partir de la
ecuación de dispersión. De esa ecuación se conocen para este caso la frecuencia, las dimensiones
de la guía y los valores enteros m y n.
b) La longitud de onda en la guía es la separación entre frentes de onda consecutivos con igual
fase en el interior de la guía de ondas. Es una característica de cada modo y no coincide con la
longitud de onda en el vacío.
c) Debe examinarse si son posibles otros modos guiados a la frecuencia que se indica. Los dos
modos que tienen más posibilidades de mantener real su constante de propagación son los de
menor orden, por lo que debería comenzar por evaluar esa constante para los modos TE01 y TE20.
Si éstos ya estuvieran en corte, todos los demás lo estarán necesariamente.
d) La mínima frecuencia a la que es posible propagar algún modo es la frecuencia de corte del
modo fundamental. Por debajo de ésta ya no pueden existir modos guiados en la guía.
56. a) El modo fundamental es el que tiene el valor más alto de la constante de propagación, y está,
por tanto, más lejos del corte. De la ecuación de dispersión se deduce que los dos modos que, a
priori, pueden tener la constante de propagación mayor son el TE10 y el TE01. La relación entre el
ancho y el alto de la guía es la que determina cuál de los dos será el fundamental.
b) Una vez determinado el modo fundamental (el TE10 en este caso) no es inmediato deducir cuál
será el siguiente en aparecer en el caso en que fuéramos aumentando la frecuencia. No es
necesario que el siguiente sea el TE01, sino que de nuevo hay dos posibilidades y de nuevo
depende de la relación entre las dimensiones a y b de la guía.
c) La condición de existencia de ese margen se traduce en que sea un margen real de frecuencias
y no un margen nulo o negativo. Expresándolo matemáticamente:
f max > f min
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Guías de onda
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
72
Este problema tiene mucha similitud con el anterior. Se desea diseñar una guía de onda de
paredes conductoras a la que se imponen una serie de condiciones. La primera de ellas – la i) –
es que la guía sea monomodo en un margen de frecuencias dado. Esa condición atañe a la
frecuencia de corte de los modos que puedan estar inmediatamente por encima del fundamental.
Junto con la condición ii), quedará especificado también el margen posible de la frecuencia de
corte del propio modo fundamental. Por último se nos exige que el siguiente modo en propagarse
–por encima del margen de frecuencias en que la guía ha de ser monomodo– sea el TE01 y no
otro. A partir de la ecuación de dispersión, todas esas condiciones se traducirán en márgenes de
valores posibles para las dimensiones de la guía.
58. a) Observe que se está buscando una expresión matemática válida como solución para todo el
interior de la guía. Por lo tanto esa expresión debe satisfacer la ecuación de onda y todas las
posibles condiciones de contorno. A priori, un método alternativo sería dividir el interior de la
guía en dos zonas y proponer expresiones diferentes para cada una. Esta segunda opción es la
que se muestra en la figura.
y=2/3 b
E 1 ,H 1
E 2 ,H 2
y=0
Fig. 34 Planteamiento alternativo del problema 58 para la búsqueda de los modos
En este segundo supuesto ambos campos deberían satisfacer la misma ecuación de onda, porque
el medio es el mismo, pero podrían probarse constantes diferentes en una y otra zona. Además a
cada expresión se le aplicarían diferentes condiciones de contorno. No obstante, no es probable
que en este caso particular se obtengan más modos con este segundo planteamiento.
b) y c) El método a seguir es el mismo que en las guías rectangulares.
59. a) Al decirnos que la guía debe ser monomodo en un margen de frecuencias, nos están dando
implícitamente los límites de las frecuencias de corte de tres modos. De allí saldrán los límites
pedidos para las dimensiones de la guía.
b) Piense que añadir un margen de seguridad no significa necesariamente incrementar todos los
límites obtenidos antes. En algún caso el margen de seguridad se obtiene decrementándolo.
c) y d) La potencia transmitida por un modo se obtiene integrando el vector de Poynting en la
sección de la guía. Después deberá sustituir los valores por los que se indican para realizar el
cálculo.
e) Ni incrementando la frecuencia hasta 9,0 GHz ni disminuyéndola hasta cerca de 8,0 GHz es
probable que varíe apreciablemente la potencia transmitida, ya que las variaciones de la
constante de propagación tenderán a compensar en el numerador las variaciones del
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
57.
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
73
denominador. Es más factible rellenar la guía de algún medio dieléctrico distinto del aire. ¿Qué
podríamos ganar con eso?
61. a) El campo eléctrico, en cualquiera de los tres medios, sólo tiene componente en la dirección del
eje Y. Esa componente es tangencial a las superficies de separación entre los medios, por lo que
debe comprobar la condición de contorno correspondiente en las superficies x = -d y x = d.
b) El campo magnético se obtiene fácilmente mediante la ecuación de Maxwell-Faraday. Cuando
se conocen cuáles son las componentes de campo eléctrico y magnético, es inmediato deducir si
se trata de un onda TEM, TE o TM.
c) Se piden las tres relaciones que existen entre las constantes. Dos de ellas se obtienen forzando
a que las expresiones de los campos cumplan la ecuación de onda. La última condición proviene
de la última condición de contorno que falta por aplicar. Es una condición relativa al campo
magnético.
62. En este problema la guia de onda tiene un configuracion poco usual, con lo cual se debe ir con
especial cuidado al aplicar los conocimientos sobre guías de onda metálicas rectangulares. La
base fundamental siempre será aplicable, pero no así los resultados finales vistos en teoría para
guías con un único dieléctrico.
a) La primera diferencia con la teoría aparece en la necesidad de dos expresiones para el campo
eléctrico, dependiendo de si estamos en el dieléctrico o en el aire. Esto es así porque las
propiedades eléctricas en los medios son diferentes y es de esperar que los campos también lo
sean. La diferencia está en la dependencia transversal de la amplitud, porque es en esta dirección
donde se produce el cambio de medio. El conjunto de ambas expresiones forman un único campo
y por lo tanto el termino de propagación ( exp(− jβ z ) ) debe ser el mismo. Si fuera diferente
implicaría que la onda se propaga a diferente velocidad dependiendo de si está en el dieléctrico o
en el aire. Esto no puede ocurrir debido a las condiciones de contorno en la superficie de
separación de ambos dieléctricos
Las dos expresiones de momento son simples expresiones matemáticas. Piénsese en qué
condiciones debe cumplir para ser un campo electromagnético o de dónde se obtiene la solución
de las ondas electromagnéticas. Su comprobación nos dará la relación deseada entre las
constantes.
b) Para hallar el campo magnético, primero debe pensarse qué tipo de onda es y, después, cuál de
las expresiones que nos relacionan campo eléctrico y magnético es aplicable en este caso
particular. Recuerde que hay expresiones que son fundamentales y por tanto más generales que
otras. En caso de duda, cuanto más general sea, más garantías de éxito.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
60. a) Es un problema de condiciones de contorno. Observe en qué paredes de la guía se cancelan las
componentes y determine de esa forma cuál es cada una de ellas. Sólo hay una asignación
correcta.
b) El orden del modo aparece implícitamente en el dibujo. Fíjese en que las tres componentes
tienen el mismo número de semiondas en cada dimensión.
c) A partir de los resultado anteriores puede escribir la expresión matemática para cada una de
las tres componentes de campo eléctrico. A partir de allí podría calcular la forma del campo
magnético. La relación entre las amplitudes de cada componente se obtienen fácilmente a partir
de dos condiciones: la primera es que se trata de un modo de tipo TM; la segunda es que no hay
carga libre en el interior de la guía.
d) Debe encontrar la frecuencia de corte del modo.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
c) Aquí ya no se pueden utilizar los resultados finales vistos en teoría, pero el razonamiento usual
sigue siendo válido: los campos en la superficie de separación deben cumplir determinadas
condiciones.
d) La relación de dispersión relaciona la constante de propagación β con la frecuencia, las
dimensiones, geometría de la guía y las características electromagnéticas del medio material.
Debe obtenerse ésta a partir de las relaciones encontradas en el apartado c). Para obtener una
relación compacta, debe utilizar la expresión de tan( x ± y ) dada en el enunciado y dejar escrita
la relación en función de α0 y α1. Para obtener la relación explicita en función de β, debe
substituirse α0 y α1 por las relaciones encontradas en el apartado a).
e) Al imponer una determinada relación entre α0 y α1 indirectamente estamos seleccionando
cómo serán las soluciones de nuestro problema. La solución trivial es α0 = 0, que básicamente
indica que no hay onda propagada. La primera solución no trivial corresponde al modo
fundamental. Las siguientes soluciones nos darán los modos que soporta la guía. En este
apartado debe utilizarse la expresión tan(3x).
f) Al imponer α1 = 3α0 , como ya se ha comentado, estamos determinando la solución del
problema, es decir, estamos imponiendo condiciones sobre la constante de propagación β, pero
también sobre el numero de onda k1, o lo que es lo mismo, sobre el índice de refracción una vez
fijada la frecuencia.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
74
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
75
63. a) Los campos radiados por ambos dipolos se superpondrán en todo el espacio. La solución que
nos da el enunciado – tanto para el dipolo único como para el conjunto de los dos – corresponde
al caso de grandes distancias. La superposición en este caso puede realizarse haciendo algunas
simplificaciones, como por ejemplo que el ángulo que forman los radiovectores de posición
desde cada dipolo con el eje Z son aproximadamente iguales, o que la distancia entre cada dipolo
y el punto de medida del campo son iguales (en lo que respecta al denominador de la expresión
de los campos, no en cuanto a su influencia en las fases). También los campos producidos por
cada dipolo a grandes distancias pueden considerarse prácticamente paralelos. A todo ello hace
referencia la siguiente figura, en la que se ve que realmente se trata de aproximaciones que no
podrían hacerse a distancias pequeñas de los dipolos.
E2
E1
r1
θ1
r2
θ2
Fig. 35 Superposición de dos campos que se hacen prácticamente
paralelos a grandes distancias
La función coseno que aparece en la solución se debe al desfase relativo con que llegan las ondas
al punto de medida, procedentes de uno y otro dipolo.
b) Es igual al caso anterior, pero con las contribuciones de los campos individuales inicialmente
en contrafase.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Radiación de antenas elementales
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
c) El campo magnético puede hallarse en la forma general: a partir del campo eléctrico mediante
la ley de Maxwell-Faraday. Sin embargo, sabiendo que se trata de un campo radiado a grandes
distancias, existe una aproximación mucho más rápida.
d) Para dibujar el diagrama de radiación de un sistema radiante, los pasos son siempre los
mismos:
i) Calcular el vector de Poynting.
ii) Buscar la dirección en que el vector de Poynting es máximo y calcular dicho
valor máximo.
iii) Normalizar el módulo del vector de Poynting a la unidad, dividiéndolo por aquel
valor máximo, con lo que resultará una función de los ángulos esféricos que es
.
precisamente el diagrama de radiación: t(θ,ϕ)
iv) Para representarlo gráficamente, sea todo el diagrama en el espacio o bien una
sección del mismo, se procede como es usual en representaciones esféricas, en
.
las que los puntos del diagrama responden a la expresión r = t(θ,ϕ)
v) Suele ser conveniente buscar en primer lugar los ceros del diagrama de
radiación. De esta forma puede obtenerse una representación del diagrama
bastante aproximada sin necesidad de calcular muchos puntos.
Para la representación de las diferentes secciones del diagrama de radiación, deben fijarse los
valores de los ángulos esféricos que definen cada plano.
e) Debe buscarse el valor kd que maximiza la radiación a lo largo del eje Y, es decir, en el caso
ϕ = π/2. Otra forma, más intuitiva, de resolver este apartado es buscar la longitud de onda en
función de la separación entre los dipolos. La condición para que haya un máximo en el eje Y es
que los dipolos estén separados una distancia igual a media longitud de onda (sabiendo que
radian en contrafase). Piense por qué es así.
64. a) El campo que proporciona el enunciado corresponde al producido a grandes distancias por un
dipolo largo, de longitud λ/2. En este caso, la corriente que circula por la antena ya no puede
suponerse espacialmente uniforme, porque se sabe que realmente se distribuye de forma senoidal
a lo largo de la longitud del dipolo. En cualquier caso, todo ello no afecta al tratamiento
matemático de los campos a grandes distancias, que seguirán siendo ondas localmente planas.
b) De nuevo puede utilizarse la aproximación de onda plana.
c) Siga las indicaciones dadas en el problema anterior. Debido a la simetría cilíndrica de la
antena, todas las secciones verticales son equivalentes.
65. En este problema se nos proporciona una expresión aproximada para el potencial vector
magnético a grandes distancias que resulta de gran utilidad. El término exponencial añadido a la
expresión habitual – exp( jkrˆ⋅ r0 ) – se encarga de modificar la fase del potencial en puntos
lejanos debido al desplazamiento del dipolo respecto al origen.
a) Obtenga los vectores de posición r01 y r02 para cada dipolo y obtenga el potencial vector que
crea cada uno a grandes distancias. Para escribir adecuadamente el término de fase debido al
desplazamiento del dipolo, debe expresar los vectores unitarios cartesianos que aparecen en
r01 y r02 en coordenadas esféricas, en función de los ángulos θ y ϕ.
El principio de superposición se aplica también a los potenciales.
b) Aproximación de onda localmente plana.
c) Si hasta ahora no lo ha hecho, dibuje un esquema de la situación planteada. Trate de contestar
a este apartado por simple inspección de la geometría del sistema.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
76
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Indicaciones y sugerencias
77
Para resolverlo de forma sistemática obtenga el vector de Poynting y el diagrama de radiación.
Después busque la condición que debe cumplirse entre las fases de las corrientes para cancelar el
diagrama en el caso de ϕ = π/2.
67. a) y b) Igual que los anteriores.
c) Se mencionan los posibles ceros de radiación del sistema, que, como se explicó en las
indicaciones al problema 63, son útiles para dibujar correcta y eficientemente el diagrama de
radiación. En este caso, las corrientes radian en fase pero su módulo es diferente, así que es más
difícil adivinar donde estarán los ceros, si es que los hay.
d) Al añadir un dipolo más aparecerá otro término en el diagrama de radiación. No obstante, se
trata de un dipolo en el origen, por lo que no viene afectado de ningún desfase de desplazamiento
respecto al origen. Con la nueva expresión del diagrama de radiación establezca la condición de
cancelación a lo largo del eje X (es decir, con ϕ = 0).
68. a) Tenga en cuenta que, a diferencia de los otros problemas, en este caso los dipolos están
orientados en distintas direcciones. Aplique el principio de superposición utilizando base
cartesiana y coordenadas esféricas.
b) Utilice la expresión dada en el problema 66 para el cálculo del campo radiado.
c) Examinando los problemas anteriores se ve que el campo eléctrico siempre está orientado en
la dirección de las corrientes. En este caso, tenemos que las corrientes de los dipolos están
orientadas en distinta dirección; el resultado inmediato es que el campo tendrá dos componentes
y, en consecuencia, la polarización no tiene por qué ser lineal. Aquí deben aplicarse los criterios
para determinar la polarización vistos en el capitulo de ondas planas uniformes teniendo en
cuenta que θˆ× ϕˆ= rˆ.
d) Utilícese la aproximación de onda plana.
e) Proceda como en los problemas anteriores. Tenga en cuenta que en este caso hay lóbulos del
diagrama de radiación que son mucho menores que los principales. Calcule algún punto para
saber cuáles son y dibuje el diagrama de manera que quede patente qué lóbulos son menores (no
es necesario realizarlo a escala)
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
66. a) El problema es similar al anterior, aunque con un sistema radiante algo más complicado.
Escriba correctamente los vectores de posición r0i para cada uno de los cuatro dipolos y
sustitúyalos en la expresión del potencial vector para cada uno de ellos. Aplique superposición.
b) Se nos proporciona una expresión aproximada para el campo radiado a grandes distancias a
partir del potencial vector. Es una expresión general que puede utilizarse en cualquier situación.
c), d) y e) Similares a los problemas anteriores. El apartado e) debe tratar de resolverlo por
inspección de la situación y después confirmarlo mediante un cálculo sistemático.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Soluciones a los problemas
79
Soluciones a los problemas
q
b)
q
1.
a)
3.
φ (r )=
4.
Eint (r ) =
5.
Las líneas de campo eléctrico son siempre perpendiculares en la superficie de los conductores
perfectos. Por otra parte, una línea de campo electrostático no puede nacer y morir en el
mismo conductor, puesto que violaría su carácter de campo conservativo: esto es, la
circulación del campo a través de esa trayectoria no sería nula.
6.
a) Φ ( r ) =
q 
1
1

−
2
2
2
2
2
4πε 0  x + y + ( z − s / 2)
x + y + ( z + s / 2) 2

b) Φ ( r ) =
q s cos θ
4πε 0 r 2
2ε 0
ρ0
6ε 0
2ε 0
 2
r 
2
7 a − r 1 + a 



ρ0
rrˆ
3ε 0
E ext (r ) =
ρ0 R3
rˆ
3ε 0 r 2
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.



www.elsolucionario.net
Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
80
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
7.
ρ(x)
Εx(x)
Φ(x)
Si se quiere relacionar la función potencial obtenida con los diagramas de energía típicos de
las uniones p-n, basta multiplicar la función potencial por la carga del electrón. Tanto los
niveles energéticos de la banda de valencia como los de conducción tendrán la forma del
potencial, pero, debido a la carga negativa del electrón, estarán invertidos.
8.
a) J 0 = 6,24 ⋅ 10 4
A
d) Fm = 6,24 ⋅ 10 −3
N
b) I = 0,312
m2
C
A
c) v = 6,24
mm
s
.
Variará la distribución espacial de los portadores y, por tanto, la densidad de corriente, pero
no hay motivo para suponer que varíe apreciablemente la corriente total.
9.
C=10.78 nF. Observe que es una capacidad discreta para el tamaño del condensador.
10.
a) I = J 0 0,5π a
11.
B = − µ 0 J 0 xˆentre las láminas de corriente y nulo (aproximadamente) en el exterior.
12.
c) f = 33.3 Hz ; V0=65.6 mV
2
b) J0 = 70.7· 10 6 A/m2
c) B (ρ = 0.01) = 20 µT
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
A partir de la ecuación de Gauss en forma
diferencial, se deduce que el campo eléctrico se
obtiene de la integral de la distribución de carga.
Será máximo (en la dirección X+) justo en la unión,
y decrecerá hacia los extremos debido a un efecto de
cancelación mutua de las cargas positivas y
negativas. La función potencial debe ser, en general,
positiva donde la carga es positiva y negativa
cuando es negativa. El potencial se obtiene como la
circulación del campo eléctrico. La constante de
integración de la integral indefinida es la que sirve
para establecer la referencia de potencial nulo que se
elija.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Soluciones a los problemas
13.
R=3Ω
14.
C = 85.6 pF
81
15.
La densidad de carga neta desaparece rápidamente según la expresión:
ρ (r , t ) = ρ 0 (r ) exp(− t τ ) donde τ = ε σ
16.
a) J cond = 5 ⋅ 10 7 J desp
c) D = (σµ ) −1
d) E ( z , t ) = −
z
A
2σ D t
π Dt
17.
a) σ + (t ) = J 0 t
Ez =
b)
2
exp( −
z
) yˆ
4D t
; σ − (t ) = − J 0 t
J0
t
ε0
c) Hy = Jx =J0 (a-x)
d) Energía eléctrica instantánea: U e =
J0 = K
e)
1
2
J 02
abd 2 1
t = CV 2
ε0
2
ε0
d
ρ 

a) J (r ) = J 0 1 − exp( )  exp( −α z ) exp( − jβ z ) zˆ
a 

18.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
82
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
b) ρ ( r ) =
β − jα 
ρ 
J 0 1 − exp( )  exp( −α z ) exp( − jβ z )
ω
a 

c) Porque hay carga neta en su interior, y existirá también un campo eléctrico, lo cual no
puede ocurrir en conductores perfectos
d) I = − J 0π a 2 exp( −α z ) cos(ω t − β z )
20.
a) Sí hay campo, pero no por esa razón.
b) Sí
d) Sí
e) No, tienden a reforzarse entre las placas.
f) Sí
g) Sí
h) No
i)
21.
Sí
b) µ r =
c) B ′ =
τe
µ r′
lh
l
B
τe
d) V = elV ′
22.
a) I =
εr =
D′ =
hτ
ε r′
le
σ=
h
σ′
le
l
D
hτ
I = hlI ′
ω B0
π a 2 senω t
R
b) Eϕ =
1
2
ρ B0ω senω t
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
c) No, son conductores perfectos.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Soluciones a los problemas
83
Ondas planas
a)
H( r , t ) =
b) E (r ) =
c)
24.
P=
60
π
1
π 2
120
2
cos( 2π ⋅ 10 8 t −
( xˆ− yˆ) e
2
− j πz
3
2π
3
z )( xˆ+ yˆ)
A/ m
V /m
2
zˆ W / m
a) Polarización lineal
b) f = 30 MHz
2
c) Pm =
E0 W
2
m
30π
d) E( r , t ) = ( xˆ− yˆ) E 0 cos( 2π f t − 0,2π z +
25.
π
)
3
a) λ = 1111m
b) λ = 3.24 m
c) λ = 0.68 m
d) λ = 0.12 m
26.
a) lineal
b) circular a derechas
c) lineal
d) elíptica derechas
e) elíptica izquierdas
27.
a) circular a izquierdas
b) elíptica a derechas
c) circular a derechas
d) lineal
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
23.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
84
28.
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
a) Los parámetros que definen la onda son:
(
1
eˆ = (
xˆ−
2
kˆ= 0,25 3 xˆ+ 3 yˆ+ 2 zˆ
2
3 yˆ
E O1 = 95
)
)
eˆ1 =
k = 5,87π m −1
1
4
EO 2 = 5 V
(−
3 xˆ− yˆ+ 2 3 zˆ
m
∆ϕ = −
)
π
2
b) Sí, está unívocamente definida.
29.
a) α = 24π 10 −5
m −1
30.
Denominamos α al ángulo que forma el polarizador con el eje de las X.
b) A = 0,5
c) c1) circular a derechas
c2) lineal
E out ( r ) = E 0 [(1 − j ) cos α − (1 + j ) sen α ]⋅ [cos α xˆ+ sen α yˆ] e − jkz
a)
b) El primer polarizador puede estar en cualquier posición. El segundo polarizador debe
estar girado 45 º respecto el primero.
Ein (r ) = 111,8π (xˆ+ 2 e j∆ϕ yˆ e) − jkz No hay información acerca de la fase de la onda
31.
a)
inicial.
b) σ = 5,5 (Ωm) −
1
c) Sí, es correcta.
a) Eout ( r ) = 2 E0 e
32.
− jk 0 no d
b) Eout (r ) = j 2 E 0 e
e − jπ / 4 e − jk 0 z xˆ
− jk0 nE d
e − jπ / 4 e − jk 0 z yˆ
Ambas expresiones corresponden a una polarización lineal. Comparándolas, vemos que se
produce un cambio en la orientación de la polarización: mientras que para ψ =45º el campo
oscila según el eje X, para ψ =135 º lo hace según el eje Y.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
c) Los ángulos posibles del eje del polarizador con eˆ
1 son ψ = ± 45 .
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
85
33.
El polarizador elimina una de las componentes y pierde consecuentemente la mitad de la
potencia de la onda (3 dB). La lámina, sin embargo, conserva toda la potencia de la onda.
34.
a) La dirección de polarización se mantiene lineal, pero girada un ángulo 2ψ respecto a la
original.
b) La polarización de la onda a la salida se mantiene circular, pero se invierte el sentido de
giro.
35.
El primer elemento debe ser un polarizador, puesto que una lámina no absorbe potencia. El
hecho de que la onda sea insensible al giro del polarizador y que la potencia a la salida sea la
mitad de la incidente indica que el láser tiene polarización circular. Eventualmente podría
ocurrir que el láser tuviera polarización arbitraria, variable en el tiempo, pero no consideraremos esa posibilidad.
Para determinar cómo es la lámina, se sitúa en primer lugar ante la salida del láser. Después
se pone el polarizador. Si la lámina es de lambda cuartos, convertirá la polarización circular
del láser en lineal, independientemente de cómo la orientemos. Entonces, al girar el
polarizador, observaremos que la potencia recibida por el detector aumenta y disminuye
consecuentemente. Si, por el contrario, la lámina es de lambda medios, entonces la
polarización a su salida seguirá siendo circular y el giro del polarizador situado a continuación
no tendrá efecto.
36.
a)
A=
E0
2
eˆ(eˆ1 − jeˆ2 ) ; B =
E0
2
eˆ(eˆ1 + jeˆ2 )
b) El campo de la onda con polarización elíptica es E ( r ) = E 0 ( eˆ1′ + p e j∆ϕ eˆ2′ ) e − jkz :
A=
E0
2
(eˆ1 − jeˆ2 ) ⋅ (eˆ1′ + p e j∆ϕ eˆ2′ ) ; B =
37.
Polarización lineal
38.
zˆ− 3 xˆ
a) kˆ=
E0
2
(eˆ1 + jeˆ2 ) ⋅ (eˆ1′ + p e j∆ϕ eˆ2′ )
2
b) Elíptica
c) E( r , t ) =
10
2
π
15
4
2
eˆ1 cos(ω t − k ⋅ r − ) −
π
eˆ2 sen (ω t − k ⋅ r − )
d) f = 22,5 MHz
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
4
www.elsolucionario.net
Soluciones a los problemas
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
86
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
39. a) E ( r ) =
J0
σ
zˆ;
H ext ( r ) =
J0 R2
2ρ
ϕˆ;
H int ( r ) =
J0 ρ
2
ϕˆ
b) Como las componentes de campo eléctrico tangenciales a las paredes del hilo conductor, a un
lado y otro de la superficie, deben ser iguales, entonces debe haber campo eléctrico en el
exterior. Quien lo produce no es ninguna acumulación de carga en el hilo, sino la misma batería
que alimenta la corriente, y que es quien produce también el campo interior.
c) La densidad de corriente será de la forma J ( r ) = J z ( ρ ) zˆ
e) E ( r ) = E z ( ρ ) zˆ
f) No es posible que ninguna componente del campo magnético dependa de z o de ϕ. A la vez,
sólo puede haber componente acimutal por la simetría radial de la densidad de corriente.
g)
d 2 E z 1 dE z
+
+ ω 2 µ 0 ε~ E z = 0
ρ dρ
dρ 2
σ
ε~ = − j
ω
donde
Es una variante compleja de la ecuación de Bessel.
Incidencia de ondas planas
40.
Eic
cosθ i e − kz senθ i xˆ
η
a)
σ
b)
σ S =2ε 0 Eic senθ i e − jkysenθ i
c)
Tiene la misma dirección que la componente tangencial de campo eléctrico de la onda.
a)
E r (r ) = − jE c ( yˆ− jzˆ)e − jkx
b)
Polarización circular a derechas (la onda incidente es a izquierdas).
=0 ; J S=2
S
; J
S
=2
Eic − jkzsenθ i
e
zˆ
η
41.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
d) No existirá densidad neta de carga, porque efectivamente la divergencia de la densidad de
corriente es nula y, por tanto, sigue siendo una corriente estacionaria. Este resultado es debido a
la aproximación acerca de la forma de la corriente, donde no se consideró término de variación
espacial de la fase.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Soluciones a los problemas
No, ya que el coeficiente de reflexión es constante (ρ = -1) y, por lo tanto, no hay ningún
tipo de dependencia de la onda reflejada respecto del ángulo de incidencia.
42.
n2 = 3
43.
Fracción de potencia transmitida: 0.85 y 0.72 respectivamente
44.
θ i = ± 4.79
45.
a) E r (r ) = E 0  6
(con α = 45 )

2− 3

3 +2

12
b) E t (r ) = E 0 
( yˆ− 3 zˆ) +
 3 +2
46.
a) θ i = 26.56
b) k i =
2π
5
( yˆ+ zˆ) + (3 − j 3 )
; θ t = 63.43
( 2 yˆ+ zˆ) ;
c)
Elíptica izquierdas
d)
θ Bi = 26.56
e)
ρ⊥ =
f)
θ ic = 30
3
5
1− 3 
xˆ exp( − j 2π ( z − y ))
1+ 3 
2( 3 − j 3 ) 
xˆ exp( − j 2π ( 3 y + z ))
1+ 3

kr =
2π
(−2 yˆ+ zˆ) ;
5
; ρ | |= 0 ;
τ⊥ =
8
5

xˆ e − jπ ( y +

− jk 0 3 ( ysenθ i + z cos θ i )
b) Casi circular ( ∆ϕ = 89,86 )
c) No. No hay posibilidad de alterar las fases.
d) E (r
)⊥
( yˆ+ 2 zˆ)
3z )
5
; τ || = 2
a) Ei ( r ) = E o [( yˆcos θ i − zˆsenθ i ) + xˆexp(− j∆ϕ ) ]e
π

5 5
g) E i ( r ) = E o  5 ( zˆ− 3 yˆ) + j
2

47.
kt =
= 2 E0 e
− j 38
π
180
exp(−k 0 z ) e − jk 0
2y
xˆ
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
b)
87
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
88
a) No. A partir del dibujo se ve que
n1 sen θ 2
=
<1
n 2 sen θ 1
b) Sí. Los coeficientes de transmisión en este caso son magnitudes reales, con lo cual no puede
aparecer un desfase entre componentes.
c) No. Los coeficientes de reflexión para las componentes paralelas y perpendicular en
general son distintas, con lo cual, la relación entre componentes p de la onda reflejada no
será la unidad, y por lo tanto no puede ser circular.
d) Depende. Si la onda incidente tiene polarización lineal paralela al plano de incidencia, la
onda reflejada será nula para el ángulo de Brewster. Para cualquier otra orientación, siempre
tendremos componente perpendicular reflejada.
e) No. No pueden obtenerse ángulos de transmisión mayores de θ t < arcsen(n1 / n 2 )
f) Si la onda tiene componentes perpendicular y paralela, en general, NO se cumple. Puede
suceder que la potencia decrezca hasta alcanzar el ángulo de Brewster. A partir de este
punto sí que aumenta la potencia reflejada con el ángulo. Sin embargo, para una onda con
sólo la componente perpendicular sí que sería cierto.
g) θ i = 0
h) No. El ángulo de Brewster cumple θ iB = π / 2 − θ t , y del dibujo vemos que el ángulo de
incidencia siempre es mayor que el de transmisión.
i) Sí, ya que n2 > n 1
49.
a) E t ( r ) = τ ⊥ E 0 x xˆexp(−k 0 n 2 γ z ) exp(− jk 0 n 2 β y)
τ⊥
E0 x ( jγ yˆ+ β zˆ) exp(−k 0 n2γ z ) exp(− jk 0 n 2 β y )
η
H (r ) = −
con β =
b) P( r ) =
n1
sin θ i ,
n2
γ = β 2 −1
y
τ⊥=
2n1 cosθ i
n1 cosθ i − jn2 γ
β
2
τ ⊥ E0 x exp(−2 k 0 γ z ) yˆ
2η
c) θ i = 55.75
d) p = 1, ∆φ ≈ −π / 4 , Polarización elíptica a derechas
50.
a) Incidencia supercrítica e incidencia para el ángulo de Brewster.
b) n1 cosθ t = n2 cosθ i
c) n = 3.14
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
48.
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Soluciones a los problemas
a)
No, puesto que σ es finita.
para f=10 GHz
η cond = 0,3974 ⋅ e
j
b)
π
4
η cond = 0,0377 ⋅ e
j
para f=90 MHz
π
4
para f=10 GHz
τ = 2,11 ⋅ 10 −3 ⋅ e
para f=90 MH
τ = 2 ⋅ 10 −4 ⋅ e
para f=10 GHz
δ p = 7,12 µm
para f=90 MH
δ p = 75 µm
c)
d)
−
1+ j
z
δ
j
e)
E (r ) = τ E 0 e
f)
para f=10 GHz
I = 53,1 mA
para f=90 MHz
I = 53 mA
para f=10 GHz
Pdis = 39 nW
para f=90 MHz
Pdis = 3.75 nW
g)
d=m
λ0
2n 2
52.
a)
53.
n 2 = n1 n 3
xˆ
j
Ω
Ω
π
4
π
4
J (r ) = στ E 0 e
−
1+ j
z
δ
m = 1, 2, 3,... b) d = (2m − 1)
; d = (2m − 1)
xˆ
λ0
4n 2
λ0
4n 2
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
51.
89
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
90
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
Guías de onda
54.
a)
∇ 2 E (r ) + k 2 E (r ) = 0
b)
 ∂2

∂2
∂2
+
+
+ k 2  E i = 0 i = x, y , z
 2
2
2
∂y
∂z
 ∂x

c)
Se satisface la ecuación de onda siempre que β =
k 2 − k x2
e) A y B deben ser nulas para que se cumpla ∇ ⋅ E = 0
m −1
a) β = 35.7π
www.elsolucionario.net
55.
b) λ g = 5.57 cm
c) No
d)
56.
a)
f > fc =
c
≈ 6.58 GHz
2a
a>b
b) a < 2b
c) a > 1.86 b
d)
a
2
<b<
a
1.86
e) 1,95 cm < a < 2,025 cm
2
57.
2
 2π f   mπ   nπ 

 −
 −
 c   a   b 
2
a) β = 
b) f C10 , f C 01 y f C 20
c)
58.
3
46
<a<
a) k x =
3
3
44
88
<b<
mπ
nπ
y ky =
a
b
3
50
con m y n múltiplos de 3
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Soluciones a los problemas
91
b) TE30
c) b < 5 cm
a) a min = 1,875
b) a ′min = 2
c) Pm =
d) Pm
a max = 3,3
a ′max = 3
bmax = 1,66
′
= 1,5
bmax
β ab 2
E0 W
4ω µ 0
MAX
= 4,34 MW
e) Lo más práctico sería rellenar la guía con un dieléctrico que tenga un campo de ruptura más
alto que el aire. De no encontrar ningún dieléctrico adecuado deberíamos probar con otra
geometría de guía de ondas.
60.
a)
E1 = Ex
b)
TE12
;
E2 = Ey
;
E3 = Ez
E x = E0 x cos k x x senk y y e − jbz
E y = E 0 y senk x x cos k y y e − jbz
con k x =
E z = E0 z senk x x senk y y e − jbz
c)
E 0 x = − jβ
kx
E0 z ;
k + k y2
2
x
E 0 y = − jβ
ky
k + k y2
2
x
E0 z
d) f > 25 GHz
61.
b)
 β
− γ ( x − d ) − jβ z
(x > d )
e
 − ωµ E 0 cos(k x d ) e

 β
(
)
(−d < x < d )
H x r = −
E 0 cos(k x x) e − jβ z
ωµ

− β
γ ( x + d ) − jβ z
( x < −d )
e
 ωµ E 0 cos(k x d ) e

© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
π
a
y
ky =
2π
b
www.elsolucionario.net
59.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
92
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
 jγ
−γ ( x − d ) − j β z
(x > d )
e
 − ωµ E 0 cos(k x d ) e

 jk
(−d < x < d )
H z (r ) = − x E 0 sen (k x x) e − jβ z
 ωµ
 jγ E cos(k d ) e γ ( x + d ) e − jβ z ( x < −d )
x
 ωµ 0

2 2
2
c) β = n1 k 0 + γ ;
62.
a)
β = k 02 − α 02
β = n 22 k 02 + k x2 ;
tgk x d =
γ
kx
β = n12 k 02 − α 12
b)
 −1
[β ( A cos α1 x + B sin α1 x) xˆ+ jα1 ( A sin α1 x − B cos α1 x ) zˆ]exp( − jβz ) 0 < x < 2a
 µω
H (r ) = 
−1

[β (C cos α 0 x + D sin α 0 x) xˆ+ jα 0 (C sin α 0 x − D cos α 0 x) zˆ]exp(− jβz ) a2 < x < a
 µω
c) A = 0
C cos α 0 a = − D sin α 0 a
a
a
a
= C cos α 0 + D sin α 0
2
2
2
α1
a
a
a
−
B cos α1 = C sin α 0 − D cos α 0
α0
2
2
2
α0
a
a
d)
tan α 1 = − tan α 0
α1
2
2
B sin α1
e) α 0 =
1.3181
a
f) ε r1 = 1,352
©
L o s
a u t o r e s ,
2 0 0 1 ;
©
E d i c i o n s
U P C ,
2 0 0 1 .
www.elsolucionario.net
Es un modo tipo TE.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Soluciones a los problemas
93
g)
0.907
0.397a a/2
a
63.
senθ
sen (kdsenθ senϕ )e − jkrθˆ
r
b) E rad ( r ) = 2C
c)
H rad (r ) = 2C
senθ
sen (kdsenθ senϕ )e − jkr ϕˆ
rη
Prad (r ) = 2C 2
sen 2θ
sen 2 (kd senθ senϕ )rˆ
2
rη
d)
Y
Z
Y
X
En el plano X-Z no hay radiación.
e) f = 11.25 GHz
64.
a) H rad ( r ) = j
b) P( r ) =
η 0 I 0 cos( π2 cosθ ) − jkr ˆ
e θ
2πr
senθ
η 0 I 02 cos 2 ( π2 cosθ )
rˆ
8π 2 r 2
sen 2θ
Z
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
Radiación de antenas elementales
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
94
Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
c)
µ0l
senθ I 1 e jkd cos θ + I 2 e − jkd cosθ e − jkzθˆ
4π r
[
a) Erad ( r ) = jω
b) H rad ( r ) = jω
c)
66.
]
µ 0l
senθ I 1e jkd cos θ + I 2 e − jkd cos θ e − jkz ϕˆ
4π rη 0
[
]
I 2 = I 1e jπ = − I 1
a) Atotal = 4 µ 0
I 0 h e − jkr
zˆcos[kdsenθ cos ϕ ] cos[kd cosθ ]
4π r
ωµ 0  I 0 h  2 sen 2θ
π

π

c) Pm ( r ) = 8
cos 2  senθ cos ϕ  cos 2  cosθ  rˆ.


2
η 0  4π  r
2

2

El máximo de
radiación está en la dirección del eje Y.
d) plano XY: dos lóbulos en +Y y –Y; plano XZ, cuatro pequeños lóbulos en forma de cruz
a 45º de los ejes; plano YZ: dos lóbulos en +Y y –Y.
e) Deberían invertirse las corrientes de los dos dipolos de una misma vertical respecto a las
corrientes de los otros dos.
67.
ω2
c) Pm ( r ) =
2η 0
t (θ , ϕ ) =
 µ 0 I 1 h  sen 2θ
2


 4π  r 2 (1 + 8 cos kd sen θ cos ϕ ) rˆ


2
sen 2θ
(1 + 8 cos 2 kd senθ cos ϕ )
9
No aparecen ceros de radiación. Físicamente, se debe a que los dipolos radian con diferente
potencia y sus campos no se cancelan en ninguna dirección.
d) El dipolo del origen debe tener una corriente I 3 = 3I 1
68.
a)
A0 y = j
µ0 h
8π
I1
e jkr jψ / 2
e
r
A0 z =
µ0 h
8π
I1
e jkr jψ / 2
e
r
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
www.elsolucionario.net
65.
By @rkanosant
www.elsolucionario.net
Soluciones a los problemas
b)
E (r ) =
95
ωµ 0 e jkr jψ / 2
[ sin 12 (π cosθ − ψ )(cosθ sin ϕ θˆ+ cos ϕ ϕˆ) +
I1
e
r
8π
+ j cos 1 (π cosθ − ψ ) cosθ θˆ ]
2

ψ  
c) Eje X: el campo es de la forma E ( r ) = C ( r )θˆ− j tan  ϕˆ
2 

ψ
ψ
ψ
ψ
= 0 lineal dirección zˆ
= π / 2 circular a derechas
= π lineal dirección yˆ
= −π / 2 circular izquierdas
El resto de casos polarización elíptica. A derechas para 0 < ψ < π y a izquierdas
para π < ψ < 2π .
2
d)
[
ω 2 µ 02 I 1
sin 2 ( 12 (π cosθ − ψ ))(cos 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 ϕ ) +
P(r ) =
2
16ηπ
r
]
+ cos 2 ( 12 (π cosθ − ψ )) cos 2 θ rˆ
e)
Y
Z
X
Z
X
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
Y
www.elsolucionario.net
•
•
•
•
•