0
אלגברה
לינארית
α β
ε φ
χ δ
ϕ γ
η
ι
κ λ
µ ν
ο π
ϖ θ
ϑ ρ
σ ς τ υ
ω ξ ψ ζ
גיא סלומו
www.GooL.co.il לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל
© כתב ופתר – גיא סלומו
1
סטודנטי יקרי
ספר תרגילי זה הינו פרי שנות ניסיו רבות של המחבר בהוראת
מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב ,באוניברסיטה הפתוחה ,במכללת
שנקר ועוד.
שאלות תלמידי וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצו להאיר את
הדר הנכונה לעומדי בפני קורס חשוב זה.
הספר עוסק באלגברה לינארית והוא מתאי לתלמידי במוסדות
להשכלה גבוהה – אוניברסיטאות או מכללות.
הספר מסודר לפי נושאי ומכיל את כל חומר הלימוד ,בהתא לתוכניות
הלימוד השונות .הניסיו מלמד כי ל ִתרגל בקורס זה חשיבות יוצאת
דופ ,ולכ ספר זה בולט בהיקפו ובמגוו התרגילי המופיעי בו.
לכל התרגילי בספר פתרונות מלאי באתר www.GooL.co.il
הפתרונות מוגשי בסרטוני פלאש המלווי בהסבר קולי ,כ שאת
רואי את התהליכי בצורה מובנית ,שיטתית ופשוטה ,ממש כפי
שנעשה בשיעור פרטי .הפתרו המלא של השאלה מכוו ומוביל לדר
חשיבה נכונה בפתרו בעיות דומות מסוג זה.
לדוגמאותwww.GooL.co.il/linearit.html :
תקוותי היא ,שספר זה ישמש מורה דר לכ הסטודנטי ויוביל אתכ
להצלחה.
גיא סלומו
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
2
תוכ
פרק 1פתרו וחקירת מערכות של משוואות לינאריות3 ........................
פרק 2מטריצות10 ........................................................................
פרק 3דטרמיננטות16 ...................................................................
פרק 4מרחבי וקטורי22 .............................................................
פרק 5ערכי עצמיי ,וקטורי עצמיי ,לכסו 30 ...............................
פרק 6העתקות )טרנספורמציות( לינאריות31 .....................................
34
פרק 7
מטריצות והעתקות לינאריות.............................................
פרק 8
וקטורי36 ........................................................................
פרק 9מספרי מרוכבי45 ............................................................
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
3
תרגילי – פרק 1
פתרו וחקירת מערכות של משוואות לינאריות
) (1מצא אילו מהמערכות הבאות ה מערכות שקולות:
x + 10 y = 11 (1
x + y = 3 (4 2 x + y = 3 (3 x − 4 y = −7 (2
2x − 2 y = 0
x − y = −1
x− y =0
2x + y = 4
) (2רשו את המטריצות המתאימות למערכות המשוואות הבאות:
x = 3 (4 2 x + y + z = 3 (3 x − 4 y + z = −7 (2 x + 10 y = 11 (1
2x − 2 = 0
x − y = −1
x+ y =3
x+ y+ z =5
x−z =0
2x + y = 4
z+t =8
) (3בצע על כל אחת מהמטריצות הבאות את הפעולות הרשומות מתחתיה בזו אחר זו ומצא את
המטריצה המתקבלת )סדר הפעולות הוא משמאל לימי ומלמעלה למטה(.
3 5 −1 0 (1
2 1 4 2
5 0 −2 6
4 1 0 2 (2
−1 2 1 0
0 3 1 −1
3 −4 8 1 (3
2 −3 6 0
−1 4 −5 1
R1 ↔ R2 , R1 →2 R1
R2 →4 R2 , R2 → R2 + R1
R1 → R1 +3 R3 , R2 → R2 +3 R3
R3 → R3 + R1 , R1 ↔ R3
R2 ↔ R3 , R3 → R3 −3R2
R1 →5 R1 −8 R2
) (4מצא איזה פעולה אלמנטרית אחת יש לבצע על המטריצה שמשמאל כדי לקבל את המטריצה
מימי:
1 −2 4 6 −3 9 (1
→
4
1 1 4
1 1
1 (2
1 0 −4 1 1 0 −4
4 2
1 1 → 0 2 17 −3
0 1 0 4 0 1 0 4
1 0 1 0 (3
0 1 → 4 2
4 4 4 4
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
4
) (5א .הסבר והדג את המושגי מטריצה מדורגת ,מטריצה מדורגת קנונית ודירוג מטריצות.
ב .הבא את המטריצות הבאות לצורה מדורגת )בסעיפי 1,3,5,7ג לצורה מדורגת קנונית(:
1 2 −3 −2 4 1 (1
2 5 −8 −1 6 4
1 4 −7
5 2 8
5 (4
3
1
2
1 1
4
0 11 −5
2 −5 3
1 3 −1
3 6 3 −6 5 (2
2 4 1 −2 3
1 2 −1 2 1
1 3 5 (5
1 2
1 6
2 5 3
1 −1 −2 2 1
−2 3 5 −4 −1
1 3 5 (7
1 2
1 6
2 5 3
−1 1 2 −2 −1
3 5 −4 −1
−2
3 −2 −5
1 −1
3 −2 2 3 (8
4 −3 4 2
3 −1 −2 9
3 0 2 1
5 3 2 1
5 −6 6 3
1 2 −1 3 (3
1 3 1 5
3 8 4 17
0 (6
0
0
1
1
1
2
1
2
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
*
1 1+ i ( 9
1+ i
2i
2 + i 1 + 3i
=F= , F
* בתרגיל ,9עלי( לדרג את המטריצה פע מעל השדה ופע מעל השדה .
) (6פתור את מערכות המשוואות הבאות בשיטת גאוס )כלומר ,על ידי דרוג(.
(1
2x + 3y = 8
5 x − 4 y = −3
(2
4 x + 8 y = 20
3 x + 6 y = 14
(3
8 x − 4 y = 10
−6 x + 3 y = 1
(4
2 x1 − x2 − 3 x3 = 5
3 x1 − 2 x2 + 2 x3 = 5
10 x1 − 6 x2 − 2 x3 = 32
(5
x + 2 y + 3 z = −11
2 x + 3 y − z = −5
3x + y − z = 2
(6
x + 2 y + 3z = 3
4 x + 6 y + 16 z = 8
3 x + 2 y + 17 z = 1
(7
x + 3y = 2
2 x + y = −1
(8
4x − 7 y = 0
8 x − 14 y = 2
(9
3x − 2 y = 1
−9 x + 6 y = −3
x − y = −2
x + 2 y − 3 z + 2t = 2 (10
2 x + 5 y − 8 z + 6t = 5
6 x + 8 y − 10 z + 4t = 8
−16 x + 28 y = 4
x1 + 5 x2 + 4 x3 − 13 x4 = 3 (11
3x1 − x2 + 2 x3 + 5 x4 = 2
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 − 4 x4 = 0
6x − 4 y = 2
x + 2 y + 2 z = 2 (12
3x − 2 y − z = 5
2 x − 5 y + 3 z = −4
2 x + 8 y + 12 z = 0
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
5
) (7מצא לאילו ערכי ) kא יש כאלה( יש למערכות הבאות:
א .פתרו יחיד.
(1
ב .א* פתרו.
ג .אינסו* פתרונות.
x − y + z =1
2
x + ky + z = 1 (2
2
x + 2ky + z = 0 (3
5 x − 7 y + ( k + 3) z = k + 1
x + y + kz = 1
3 x + y + kz = 2
3 x − y + ( k + 3) z = 3
kx + y + z = 1
x + 9ky + 5 z = −2
2 x − y + z = 0 (4
kx − y = 1 (5
x + 2y − z = 0
5 x + (1 − k ) y + k 2 z = 1
x + ky + 3 z = 2 (6
kx − y + z = 4
3 x + y + (2 + k ) z = 0
( k − 2) x + ky = −2
( k 2 − 1) z = 9
) (8מצא לאילו ערכי ) kא יש כאלה( יש למערכות הבאות:
א .פתרו יחיד .ב .א* פתרו .ג .אינסו* פתרונות.
2 x + ky = 3 (1
2 x − 3 y + z = 1 (2
( k + 3) x + 2 y = k 2 + 5
6 x + 3ky = 7k 2 + 2
3 x + 4 y − z = 2 (3
2
4 x + ( k − 5k ) y + 2 z = k
kx − 2 y + z = −1
x + 8 y − 3z = k
2 x + 6 y − 2 z = 0.5k + 1
) (9מצא לאילו ערכי של aושל ) bא יש כאלה( יש למערכות הבאות:
א .פתרו יחיד .ב .א* פתרו .ג .אינסו* פתרונות
x + 2 y − 4 z = b (1
7 x − 10 y + 16 z = 7
2 x − ay + 3 z = 1
2 x + 4 y + az = −1 (2
x + y − z + t = 1 (3
x + 2 y + 4 z = −4
x + 2 y − 4z = 0
x + 2 y + 6 z = −2b
ax + y + z + t = b
3 x + 2 y + at = 1 + a
) (10נתונה מערכת המשוואות:
x + az = 1
y + 2z = 2
bx + cy + dz = 3
א .מצא תנאי עבור a , b, c, dכ( שלמערכת יהיה פתרו יחיד.
ב .מצא תנאי עבור b, c, dכ( שלכל aלמערכת יהיו אינסו* פתרונות.
) (11פתור את מערכת המשוואות הבאה בשיטת גאוס מעל השדה . F
z1 + iz2 + (1 − i ) z3 = 1 + 4i (2
x1 + 2 x2 + 3x3 = 1 (1
iz1 + z2 + (1 + i) z3 = 2 + i
2 x1 + 4 x2 + 4 x3 = 2
(−1 + 3i ) z1 + (3 − i ) z2 + (2 + 4i) z3 = 5 − i
3x1 + x3 = 0
F = 5
=F=,F
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
6
x + y − z = 1
2
2
) (12נתונה המערכת3 x − 7 y + (k + 1) z = k − 1 :
4 x − 6 y + ( k + 2) z = 4
א .רשו את המטריצה המתאימה למערכת המשוואות.
ב .רשו את הצורה המדורגת של המטריצה מסעי* א.
ג .מצא לאילו ערכי kיש למערכת .1 :פתרו יחיד.
.2א* פתרו.
.3אינסו* פתרונות.
ד .רשו את הפתרו הכללי במקרה בו יש אינסו* פתרונות.
ה .מצא לאילו ערכי kיש למערכת פתרו שבו . z = 0
ו .מצא לאילו ערכי kיש למערכת פתרו יחיד שבו . z = 0
ז .מצא עבור איזה ער( של kפתרו של המשוואה השלישית הוא ) . (1, 2,3הא ייתכ
שהפתרו הנ"ל הוא ג פתרו של כל המערכת? הסבר.
ח .מצא לאיזה ער( של (1, 0, 0) , kהוא הפתרו היחיד של המערכת.
) (13באיור שלפני( רשת זרימה המתארת את זר התנועה
)במכוניות לדקה( של מספר רחובות בתל אביב.
א .מצא את תבנית הזרימה הכללית של הרשת.
ב .מצא את תבנית הזרימה הכללית של הרשת א
ידוע שהכביש שהזר שלו x4סגור.
ג .מהו הער( המינימלי של x1א ידוע ש . x4 = 0
) (14מצא את הזרמי במעגלי החשמליי הבאי )חוקי קירקהו* וחוק אוה(:
* בפרק ) 3דטרמיננטות( תמצא שאלות נוספות הנוגעות בנושא מערכת משוואות לינאריות.
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
7
1 פתרונות – פרק
.( שקולות4 ( ו2 ( שקולות ו3 ( ו1 (1)
1 0 0 0 3 (4
2 1 0 0 4
0 0 1 1 8
2 1 1 3 (3
1 0 −1 0
1 −4 1 −7 (2
1 −1 0 −1
1 1 1 5
0 0 −4 4 (3 4 1 0 2 (2
0 5 −4 2
0 3 1 −1
−1 4 −5 1
0 0 1 5
1 10 11 (1 (2)
2 −2 0
1 1 3
9 2 6 8 (1 (3)
3 5 −1 0
4 2 8 2
R2 → 2 R2 + 4 R1 (2 R2 → R2 − 4 R1 (2 R1 → 2 R1 + R2 (1 (4)
.( ב5)
1 0 24 21
4 1 (1
1 0
1 2 −3 −2
3 −2 2
0 1 −2 0 −8 −7 ו 0 1 −2
0 0 0 1 2
0 0
3
0
1 2 3
1 2 −1 2 1 (2
0 0 3 −6 1
0 0 0 0 0
1 0 0 173
1 2 −1 3 (3
2
0 1 0 − 3 ו 0 1 2 2
4
0 0 3 4
0 0 1
3
1 3 −1
0 11 −5
0 0 0
0 0 0
1
0
0
0
0 −1 0 0
1 2
0 1
1 1 0 1
ו
0 0
0 0 1 1
0 0 0 0
0 0
1 3 5 (5
1 −5 −4
0
1 1
0 0 0
www.GooL.co.il לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל
© כתב ופתר – גיא סלומו
2 (4
3
0
0
8
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0 −1 0 0
1 2
1 1 0 1
0 1
0 0 1 1 ו 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1 (6
0
0
0
1 3 5 (7
1 −5 −4
0
1 1
0 0 0
0 0 0
3 −2 2 3 (8
1 −1 2 −1
0 −2 0 2
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 + i 1 1 + i (9
2i , 0
0
1 + i
0
0 0
0
F=
F=
(6)
( x, y ) = (5 − 2t , t ) (2
( x, y ) = (1, 2) (1
φ (4
φ (3
( x, y, z ) = ( −1 − 7t , 2 + 2t , t ) (6
( x1 , x2 , x3 ) = (1, −3, −2 ) (5
( x, y ) = (−1,1) (7
φ (8
1 + 2t
, t ) (9
3
φ (11
( x, y, z, t ) = ( −a + 2b,1 + 2a − 2b, a, b ) (10
( x, y ) = (
( x, y, z ) = ( 2,1, −1) (12
k = 1 . גk = −2 . בk ≠ 1, k ≠ −2 .( א2
(7)
k = −2 . גk = 1 . בk ≠ 1, k ≠ −2 .( א1
k = 1, k = −0.4 . בk ≠ 1, k ≠ −0.4 .( א4
k = −1 . גk =
4
7
. בk ≠ −1, k ≠
4
7
.( א3
. k = ±1, k = −2 . בk ≠ ±1, k ≠ −2 .( א5
. k = −1, k = −3, k = 2 . גk ≠ −1, k ≠ −3, k ≠ 2 .( א6
www.GooL.co.il לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל
© כתב ופתר – גיא סלומו
9
k = 1 . בk ≠ 1 .( א3
k ≠ 3 . גk = 3 .( ב2
k = 1 . גk ≠ ±1 . בk = −1 .( א1 (8)
(9)
. a = 2, b = −3 . גa = 2, b ≠ −3 . בa ≠ 2 .( א1
. a = −6, b = 2.5 . גa ≠ −6 אוb ≠ 2.5 .( ב2
. a ≠ 2 אוa = 2, b = 2 . גa = 2, b ≠ 2 .( ב3
b = 0, c = 1.5, d = 3 . בab + 2c ≠ d .( א10)
(11)
( z1 , z2 , z3 ) = (2,3, −1) , ( z1 , z2 , z3 ) = (( −1 + i )t + 1 + i, 3, t ) (2 ( x1 , x2 , x3 ) = (0, 3, 0) (1
F =
F =
1
−1
1
1
2
2
k + 4 k − 4 .ב
0 −10
0
0 −k 2 + k + 2 4 − k 2
−1
1
1 1
2
2
3 −7 k + 1 k − 1 .( א12)
4 −6 k + 2
4
k = 2 .3 k = −1 .2 . k ≠ 2 , k ≠ −1 .1 .ג
( x, y, z ) = (1 + 0.2t , 0.8t , t ) .ד
k = −2 .ח
. לא, k = 2 .ז
k = −2 .ו
k = ±2 .ה
. x4 = 60 − x5 , x2 = 100 − x3 + x5 , x1 = 100 + x3 − x5 . חופשייx5 וx3 .( א13)
. x5 = 60 , x4 = 0 , x2 = 160 − x3 , x1 = 40 + x3 . חופשיx3 .ב
. 40 .ג
I1 = −
5
7
6
255
97
158
. ב. I1 =
.( א14)
, I 2 = , I3 =
, I2 =
, I3 =
22
22
11
317
317
317
www.GooL.co.il לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל
© כתב ופתר – גיא סלומו
10
תרגילי – פרק 2
מטריצות
) (1נתונות מטריצות. A 4×6 , B 4×6 , C 6×2 , D 4×2 , E 6×4 :
קבע מי מבי המטריצות הבאות מוגדרות .במידה והמטריצה מוגדרת רשו את סדר
המטריצה.
A + B (1
AB (2
E ( B + A) (6
E B (8 ( E + A ) D (7
T
AC − D (3
AE − B (4
T
E ( AC ) (9
B + AB (5
E ( B − A) (10
) (2מצא את , x, y, zא ידוע כי:
x + 2 y 3x − 2 y 2 − 2 z 5 + z
=
2 x − 5 y 2 x + 8 y −4 − 3 z −12 z
) (3נתונות המטריצות הבאות:
1 4 2
4 1 1
1
1 4 2
, C =
, D = 1 0 −1 , E = −1 0 1
−2
4 1 5
4 2 10
4 1 −1
0 0
1 0
0 1
4 0
4
A = 1 2 , B =
0
−1 1
1
1 0
I2 =
, I3 = 0
0 1
0
חשב )במידה ונית( :
E + D (1
E − D + I 3 (2
5C (3
1 T 1
A + C (7 4C T + A (6
2
4
)
(
2tr D 2 − 2 E (5 2 D + 4 EI 3 (4
)
(
tr C T C (9 I 2 BC (8
DABC (10
) (4בכל אחד מהסעיפי הבאי מצא מטריצות x , Aו bהמבטאות את מערכת המשוואות
הנתונה ע"י המשוואה היחידה . Ax = b
2 x + y − z = 3 (1
2 x − 3 y + z + t = 1 (2
x + 2 y − 4z = 5
4x + y + 2z = 4
6x + 4 y + z = 2
y + z +t =1
x − 4 z − 2 y = 10
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
11
) (5נתו:
1
b = 2
3
4 −2 4
A = 1 −1 1
1 −6 3
x
x = y
z
בטא כל אחת מהמשוואות הבאות כמערכת משוואות לינאריות:
Ax = b (1
Ax = − kx + b (3 Ax = 4 x + b (2
Ax = x (4
AT x = 2 x + 3b (5
) (6מטריצה ריבועית Aתיקרא סימטרית א AT = Aואנטיסימטרית א . AT = − A
א .ידוע ש Aמטריצה ריבועית .מי מבי הבאי נכו:
AAT .1סימטרית.
A + AT .2סימטרית A − AT .3 .אנטיסימטרית.
ב .ידוע ש Aו Bאנטיסימטריות מאותו סדר .מי מבי הבאי נכו:
BABABA .1אנטיסימטרית.
A2 − B 2 .2סימטרית A2 + B .3 .סימטרית.
ג .ידוע ש Aו Bסימטריות מאותו סדר ונתו כי . AB = − BAמי מבי הבאי נכו:
AB 2 .2סימטרית.
AB 3 .1אנטיסימטרית.
( A − B) 2 .3סימטרית.
ד .ידוע ש Aסימטרית ו Bאנטי סימטרית מאותו סדר ונתו כי . AB = BAהוכח:
AB .1אנטיסימטרית.
AB + B .2אנטיסימטרית.
ה .נתו A, B, AB :סימטריות מאותו סדר .הוכח כי . A4 B 4 = B 4 A4
) (7מצא את ההפוכה של כל מטריצה .בדוק תשובת( על ידי כפל מטריצות מתאי.
1 2 (1
3 4
5 2 (2
7 3
4 1.5 (3
2 1
1 0 2 (4
4 −1 8
2 1 3
2 1 1 (5
0 2 −1
5 2 3
2 −1 1 (6
3 −2 2
5 −3 4
0 0 0 (7
2 0 0
2 3 0
2 3 4
1
1
1
1
4 (8
2 −1 0
1 1 1
3 −1 −2
2
4
1
1
0
1
1 (9
2 3
2 −1
2 −2
0
1 1
4 2
2 −1
4 0
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
12
1
1 −1
2
) (8א .עבור אילו ערכי של הקבוע kהמטריצה הבאה הפיכה. 5 −7 k + 3 :
3 −1 k + 3
1 1 1 k
1 1 k 1
ב .עבור אילו ערכי של הקבוע kהמטריצה הבאה איננה הפיכה1 k 1 1 :
k 1 1 1
1 1 1 1
1
1
. 1
1
k
) (9פתור את מערכות המשוואות הבאות בעזרת המטריצה ההפוכה:
2 x − y + z = 3 (1
x + 4 y + 2 z + 4t = 1 (2
x + 2y − z = 0
y + z +t =1
x + 3 y − z − 2t = 0
3x − 2 y + 2 z = 5
5 x − 3 y + 4 z = 11
) (10א .הנח שכל המטריצות ה הפיכות מסדר nוחל /את : X
A−1 XC = A−1 DC (2
AXC = D (1
−1
−1
= X C (5 C ( A + X ) D −2 = I (4
−1
P −1 X T P = A (3
T
T
−1
) ABC X BA C = AB (6 ( A − AX
1 2
−1
. B = חשב את Xא ידוע כי . B 2 X ( 2 B ) = B + I
ב .נתו
4 9
1 0 2
ג .נתו . B = 4 −1 8 חשב את Yא ידוע כי . BYB = B + B
2 1 3
−1
−1
2 3
. A−1 = חשב את Bא נתו
ד .נתו
4 7
T
−2
)= ( 7 A
−2
T
) 5 AT B ( I + 2 A
) (11א .נתו A :מטריצה ריבועית המקיימת . A2 − 5 A − 2 I = 0
הוכח A :הפיכה ובטא את A−1במונחי Aו . I
ב .נתו A :מטריצה ריבועית המקיימת . ( A − 3I )( A + 2 I ) = 0
הוכח A :הפיכה ובטא את A−1במונחי Aו . I
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
13
−1 3 0
ג .נתוני. A = 3 −1 0 , p ( x) = x3 − 4 x 2 − 20 x + 48 :
−2 −2 6
.1חשב את ). p( A
.2בעזרת תוצאת סעי* ) 1ולא בדר( אחרת( הוכח ש Aוהפיכה ובטא את A−1בעזרת A
ו Iבלבד.
) (12נתו A :מטריצה ריבועית המקיימת . A4 = 0
א .הוכח כי Aלא הפיכה.
ב .הוכח כי המטריצה I − Aהפיכה ומצא את ההופכית שלה.
P −1 AP = B
. −1הוכח כי קיימת מטריצה הפיכה Dכ( ש . D −1 AD = C
) (13נתו:
Q BQ = C
* הנח שכל המטריצות הנתונות ריבועיות ,מאותו סדר והפיכות.
** לסטודנטי המכירי את המושג דימיו מטריצות נית לנסח את השאלה כ(:
הוכח :א Aדומה ל Bו Bדומה ל Cאז Aדומה ל ) Cכלומר יחס הדימיו
בי מטריצות הוא יחס טרנזיטיבי(.
הערה
בפרק ) 3דטרמיננטות( תמצא שאלות נוספות הנוגעות למטריצה ההפוכה.
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
14
2 פתרונות – פרק
(5
(4 4 × 2 (3
6 × 6 (10 6 × 4 (9
(2
4 × 6 (1 (1)
(8 6 × 2 (7 6 × 6 (6
( x, y, z ) = ( 2,1, −1)
18 12 8 (4
−2 0 2
24 8 16
13 (8
8 17
−8 −2 −10
5 5 3 (1 (3)
0 0 0
8 3 9
(2
5 20 10 (3 4 −3 −1
1
2
−2
20 5 25
0 −1 −10
8 16 (6
17 6
7 21
230 (5
−32 82 −22 (10
48 87 75
−48 108 −36
63 (9
0 (7
2.25 1.5
1 1.25 1.75
(2)
(4)
2 1 −1
A = 1 2 −4
4 4 1
1
2 −3
4
1 2
A=
0
1 1
1 −2 −4
(4 + k ) x − 2 y + 4 z = 1 (3
1
0
1
0
x
x = y
z
3
b = 5 (1
2
x
y
x=
z
t
1
4
b = (2
1
10
−2 y + 4 z = 1 (2
4x − 2 y + 4z = 1
x + ( k − 1) y + z = 2
x − 5y + z = 2
x− y+z =2
x − 6 y + (3 + k ) z = 3
x − 6y − z = 3
x − 6 y + 3 z == 3
(1 (5)
2 x + y + z = 3 (5 3 x − 2 y + 4 z = 0 (4
−2 x − 3 y − 6 z = 6
x − 2y + z = 0
4x + y + z = 9
x − 6 y + 2z = 0
1,2,3 .ג
2.ב
www.GooL.co.il לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל
© כתב ופתר – גיא סלומו
1,2,3 .( א6)
15
(7)
1 −1.5 (3
4
−2
3 −2 (2
−7 5
1 (1
2
1.5 −0.5
2 −1 0 (6
2 −3 1
−1 −1 1
8 −1 −3 (5
−5 1 2
−10 1 4
−11 2 2 (4
4 −1 0
6 −1 −1
7 −2 3 −1 (9
−10 3 −5 2
−10 3 −4 1.5
−1 2 −1
4
7 −10 −20 4 (8
6 −1
−2 3
3 −5 −8 2
3 −1
−1 2
1
1
− 2
0
0
k = 1, k = −4 (2
0
0
0
1
2
− 13
0
1
3
− 14
0 (7
0
0
1
4
. k ≠ 1, k ≠ −2 (1 (8)
( x, y , z , t ) = ( −13, 4, −5, 2) (2 . ( x, y , z ) = (1, 2,3) (1 (9)
. CD 2 − A .4
T
. ( P −1 ) AT P T .3
. D .2
BAT C ( B −1 )T BC T .6
1 264 450
B=
.ד
245 448 768
22 86 38
Y = 64 246 114 .ג
60 238 100
. A−1 = 16 A − 61 I .ב
.B
−1
. A−1 DC −1 .1 .( א10)
−1
. ( A + C −1 ) A .5
5 −1
X = 4
.ב
−2 1
A−1 = 0.5 A − 2.5 I .( א11)
0 0 0
1 2 1
5
= − B + B + I .2 , f ( B) = 0 0 0 .1 .ג
48
12
12
0 0 0
( I − A) −1 = I + A + A2 + A3 .( ב12)
www.GooL.co.il לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל
© כתב ופתר – גיא סלומו
16
3 תרגילי – פרק
דטרמיננטות
:(עמודה/( חשב את הדטרמיננטה של המטריצות הבאות על ידי הורדת סדר )פיתוח לפי שורה1)
4
1
4
1
4 −1.5 (3
2 −1
5 2 (2
−7 3
a b (1
c d
2 1 1 (6
3 −2 5
0 2 0
2 1 1 (5
0 2 −1
1 0 0
1 0 2 (4
4 1 8
2 0 3
0 0
7 2
0 0
4 −1
5 (9
4
0
1
1
−2
5
2
4
0
−7
3
−5
0 2 5 (8
0 −6 0
3 −7 4
0 5 44
1
1
1
1
0
2
2
2
0
0
3
3
0 (7
0
0
4
0 7 5 0 (11 1 9 8 3 4 (10
3 0 −5 0 2
0 3 0 0
2 −4
2
1 5 9
1 0 3
0 4 2 −1
1 7 0 2
4
0 −8 −3 2
1 0 0
0 0
.( חשב את הדטרמיננטה של המטריצות הבאות על ידי דירוג2)
1 −1 −3
1 0 2
−1 2
8
3 −1 −2
1
1
0
0
0
3 −1
5 −5
0
2
0
0
0
0
0 (3
4
5
3
0 −2 (6
−1 −8
3 9
4
1
2 7
1 3 3
1 2
0
2
5 4
−1 −2 −1
1
3
0
0
0
2
−1
4 −5
0
2
0 −3
0
5
−4 (2
−5
−3
−1
0 −2 (5
−1 −8
3 9
1 0
2 7
1 3
−2 −5
3 5
2 2
2 (1
7 4
2 1
2 −1
0
1 3 −1 0 −2 (4
1 5 −5 −1 −8
−2 −6 2 3 9
3 7 −3 8 −7
3 5 5 2 7
:( חשב את הדטרמיננטה של המטריצות הבאות על ידי שילוב של הורדת סדר ודירוג3)
2 5 4
6 12 10
6 −2 −4
−6 7 7
1 (3 −1 2 3
3 4 3
3
5 4 6
0
0
3 4 7
0 (2
0
6
3
2 5 −3 −1 (1
3 0
1 −3
−6 0 −4 9
6 15 −7 −2
www.GooL.co.il לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל
© כתב ופתר – גיא סלומו
17
: הראה שהדטרמיננטה של המטריצות הבאות שווה אפס,( ללא חישוב4)
12 15 18 (3
13 16 19
14 17 20
1 2 3 (2
4 5 6
5 7 9
sin 2 x cos 2 x 1 (6
2
2
sin y cos y 1
sin 2 z cos 2 z 1
a a + x a + y (5
b b + x b + y
c c + x c+ y
1 0 2 (1
7 0 12
3 0 2
y+z
x
1
z+x
y
1
y + x (4
z
1
5
0 1 −12 (7
3 −1 4
1 −4
1 8
4
−14 4
3 5 −2 0 −4 1
−3
1 1
0 6
−6
−4 2
−21 2
3 4
5 6
1
2 −5 7 −4 2.5 −1 −1.5
−11 2 −6 9 −1 3
4
a b
0 g + 3d
0 h + 3e
0 i + 3 f
0
1
3a a + 3d (3
3b b + 3e
3c c + 3 f
0
0
2a − 3d
2b − 3e
2c − 3 f
2d
2e
2f
: חשב. d
e
g
h
g + 4a (2
h + 4b
i + 4c
a
b
c
c
f = 4 :( נתו5)
i
g+d
h+e
i+ f
2d (1
2e
2f
1 a a2
1 b b 2 = (b − a )(c − a )(c − b) הוכח כי.( א6)
1 c
1
1
1
1
x
y
z
t
x2
y2
z2
t2
c2
x3
y3
= ( y − x)( z − x)(t − x)( z − y )(t − y )(t − z ) הוכח כי.ב
z3
t3
www.GooL.co.il לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל
© כתב ופתר – גיא סלומו
18
1
1
det 1
1
k
1 1 1 k
1 1 k 1
ג .הוכח כי )1 k 1 1 = (k − 1) 4 (k + 1
k 1 1 1
1 1 1 1
) (7בכל אחד מהסעיפי הבאי ,נתונה מטריצה ריבועית מסדר . nחשב את הדטרמיננטה של
המטריצה הנתונה:
1
0
ai j =
j
− j
i = j =1
(1
i = j ≠1
i< j
i> j
אחרת
(* 7
i = j +1
(2
i = 1, j = n
אחרת
a
ai j =
b
i = j (4
j
ai j = n
0
1 (5
2
3
n
1
2
3
3
אחרת
1 (6
3
6
3(n − 1)
1
1
1
1
1
2
2
2
i + j = n + 1 (3
1
ai j =
0
1
3
6
6
1
3
3
3
a
b
ai j =
c
0
i= j
i = j +1
j = i +1
אחרת
* בסעי* :(7א .מצא נוסחת נסיגה עבור הדטרמיננטה .ב .הנח כי a = 3, b = 1, c = 2ומצא:
.1ביטוי סגור עבור הדטרמיננטה .2 .את הדטרמיננטה כאשר . n = 20
) (8חשב:
e
d
c
b
a
e
c d
b
a
j
i
h
g
f
j
i
h
g
f
o
n
m
l
k
o +
n
m
l
k
t
s
r
q
p
t
s
r
q
p
y
x
1
2a + 1 −2b
−a − 1 3b c − 1 d − x e − y
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
1
1
1
1
19
) (9נתוני A :ו Bמטריצות מסדר . | A | = 4 , | B | = 2 , 3חשב:
| −2 A2 AT adjB | (4 | − A−2 BT A3 | (3 | 4 A2 B 3 | (2 | ABA−1 BT | (1
) (10א .נתו ( PQ )−1 APQ = B :הוכח. | A | = | B | :
ב .נתוני A :ו Bמטריצות הפיכות מסדר . | A | = 2 , 2 AB + 3 I = 0 , 4
חשב את | . | B
ג .נתוני A :ו Bמטריצות הפיכות מסדר . A + 3B = 0 , B 2 − 2 A−1 = 0 , 3
חשב את. | A |, | B | :
1
ד .הוכח.1 :
|| A
= | | A−1
. adj ( Anxn ) =| A |n −1 .2
ה .נתו כי Aמטריצה אנטיסימטרית מסדר אי זוגי .הוכח ש . | A | = 0
ו .נתוני A, B :מטריצות הפיכות מסדר . 2 AB = BT A2 , | A | = 128 . nמצא את . n
1
ז .נתוני . det ( Anxn ) = 2, det ( Bnxn ) = 13 :חשב. det B − n A2 n :
3
) (11פתור את מערכות המשוואות הבאות בעזרת כלל קרמר:
x + 2 y = 5 (1
3 x + 4 y = 11
x + z = 3 (2
x + 2 z + 5t = 8 (3
4 x + y + 8 z = 21
2 x + 3z = 8
−2 x − 6 y = −8
5 x + 3 y − 7 z + 4t = 5
2 x + 5 y + 44 z = 51
) (12נתונה מערכת המשוואות:
kx + y + z + t + r = 1
x + ky + z + t + r = 1
x + y + kz + t + r = 1
x + y + z + kt + r = 1
x + y + z + t + kr = 1
א .עבור איזה ער( של kלמערכת פתרו יחיד ?
ב .עבור איזה ער( של kלמערכת פתרו יחיד שבו ? x = 0.5
ג .הא קיי kעבורו למערכת פתרו יחיד שבו ? x = 0.2
ד .הוכח שא למערכת פתרו יחיד אז בהכרח x = y = z = t = r
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
20
) (13עבור כל אחת מהמטריצות הבאות חשב את הצמודה הקלסית ) adj ( Aובעזרתה את . A −1
1 2 (1
A=
3 4
2 1 1 (2
A = 0 2 −1
5 2 3
0 (3
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
A=
1
0
) (14נתו:
−9 26 −1 14 10
13 −7 87 4 0
. A = 71 35 3 0 0
2 0 0 0
17
2
0 0 0 0
חשב(1 :
( adjA )1,5
(2
( A )1,5
−1
) (15א .הוכח שא | A | = 1וכל איברי Aה מספרי שלמי ,אזי כל איברי A−1ה ג
מספרי שלמי.
ב .נתו ש Aמטריצה משולשית תחתונה והפיכה .הוכח ש A−1משולשית תחתונה.
ג .נתו ש Aהפיכה .הוכח שג ) adj ( Aוג ATהפיכות.
ד .נתו A, B :הפיכות C , D .לא הפיכות.
הא המטריצות הבאות הפיכותA + B (2 C + D (1 :
AD (3
? AB (5 CD (4
) (16מצא את ערכי kעבור המטריצה הבאה לא הפיכה:
0
0
9+k
−1
2
5
7
0
0 3k
k
2 4k
2
0
4
0
0 −8 −3
4
0
−7 k 2
3
−5
) (17א .חשב את שטח המקבילית שקודקודיה:
(0, 0), (5, 2) , (6,5) , (11, 6) .1
. ( −1, 0) , (0,5) , (1, −4) , (2,1) .2
ב .חשב את נפח המקבילו שקודקודיו. (0, 0, 0), (1, 0, −2), (1, 2, 4), (7,1, 0) :
ג .מצא משוואת מישור העובר דר( הנקודות. (3,3, −2), ( −1,3,1), (1,1, −1) :
ד .חשב את שטח המשולש שקודקודיו. (1, 2), (3, 4), (5,8) :
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
21
3 פתרונות – פרק
.9 (10 .300 (9 .234 (8 .24 (7 .14 (6 .3 (5 .1 (4 .1 (3 . 29 (2 . ad − bc (1 (1)
.6 (3 .114 (2 .120 (1 (3)
. (−1)
.104 (6 .44 (5 .24 (4 .3 (3 .0 (2 .0 (1 (2)
n (3n+1)
2
(3 . (−1) n −1 n ! (2 . n! (1 (7)
.6 (11
.9 (3 .16 (2 .8 (1 (5)
. 2 ⋅ 3n− 2 (6 .1 (5 . (a − b)n −1[a + (n − 1)b] (4
. Dn = aDn−1 − bcDn− 2 , D2 = a 2 − bc , D3 = a 3 − 2abc .( א7
.211 (4 .8 (3 . 213 (2 .4 (1 (9)
. x = 1, y = 2 (1 (11)
.0 (8)
. D20 = 221 − 1 .2 . Dn = 2n +1 − 1 .1.ב
. 4 n . ז.7 . ו. | A |= 18, | B |= −2 / 3 . ג.81/32 .( ב10)
. k = −2 . ב. k ≠ 1, k ≠ −4 .( א12)
. x = y = z = t = 1 (3 . x = 1, y = 1, z = 2 (2
. לא.ג
8 −1 −3 (2
adj ( A) = A−1 = −5 1 2
−10 1 4
0
0
A−1 =
1
−1
. k = 0 (16)
4 −2 (1 (13)
adj ( A) =
−3 1
1
−2
A −1 =
1.5 −0.5
−1
0 0 −1 1 (3
1 0 0
0 −1 0 0
, adj ( A) =
−1 0 1 −1
0 −1 1
0 1 0
1 0 −1 0
0
1
.( כ5 .( לא4 .( לא3 .( לא2 .( לא1 (15)
.0.5 (2 .240 (1 (14)
.2 . ד. 3 x − y + 4 z + 2 = 0 . ג22 . ב.14 .2. א.13 .1.( א17)
www.GooL.co.il לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל
© כתב ופתר – גיא סלומו
22
תרגילי – פרק 4
מרחבי וקטוריי
סימוני:
R nהמרחב הוקטורי של כל הוקטורי הממשיי ממימד nמעל השדה הממשי . R
] M n [ Rהמרחב הוקטורי של כל המטריצות הריבועיות מסדר nמעל השדה הממשי . R
] Pn [ Rהמרחב הוקטורי של כל הפולינומי ממעלה קטנה או שווה ל nמעל השדה . R
] F [ Rהמרחב הוקטורי של כל הפונקציות הממשיות ) ( f : R → Rמעל השדה . R
תת מרחבי
) (1בכל אחד מהסעיפי הבאי בדוק הא Wתת מרחב של : R 3
א. W = {( a, b, c ) | a + b + c = 0} .
ב. W = {( a, b, c ) | a = c} .
ג. W = {( a, b, c ) | a = 3b} .
ד. W = {( a, b, c ) | a < b < c} .
ה. W = {( a, b, c) | a = c 2 } .
ו , W = {( a, b, c ) | b = a + d , c = a + 2d } .כלומר b , aו cמהווי סדרה חשבונית.
ז W = {( a, b, c) | b = a ⋅ q, c = a ⋅ q 2 } .כלומר b , aו cמהווי סדרה הנדסית.
) (2בכל אחד מהסעיפי הבאי בדוק הא Wתת מרחב של ] : M n [ R
א W .מורכב מ המטריצות הסימטריות .כלומר. W = { A | A = AT } ,
ב W .מורכב מכל המטריצות המתחלפות בכפל ע מטריצה נתונה . B
כלומר. W = { A | AB = BA} ,
ג W .מורכב מכל המטריצות שהדטרמיננטה שלה אפס .כלומר. W = { A | | A |= 0} ,
ד W .מורכב מכל המטריצות ששוות לריבוע שלה .כלומר. W = { A | A2 = A} ,
ה W .מורכב מכל המטריצות שה משולשות עליונות.
ו W .מורכב מכל המטריצות שמכפלת במטריצה נתונה Bהוא אפס .כלומר,
}. W = { A | AB = 0
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
23
ז W .מורכב מכל המטריצות שהעקבה שלה אפס .כלומר. W = { A | tr ( A) = 0} ,
ח W .מורכב מכל המטריצות שבה סכו כל שורה הוא אפס.
) (3בכל אחד מהסעיפי הבאי בדוק הא Wהוא תת מרחב של ] . Pn [ R
א W .מורכב מכל הפולינומי בעלי 4כשורש .כלומר. W = { p ( x ) | p (4) = 0} ,
ב W .מורכב מכל הפולינומי בעלי מקדמי שלמי.
ג W .מורכב מכל הפולינומי בעלי מעלה ≥ . 4כלומר. W = { p ( x ) | deg( p ) ≤ 4} ,
ד W .מורכב מכל הפולינומי בעלי חזקות זוגיות בלבד של . x
ה W .מורכב מכל הפולינומי ממעלה nכאשר . 4 ≤ n ≤ 7
וW = { p ( x ) | p (0) = 1} .
) (4בכל אחד מהסעיפי הבאי בדוק הא Wהוא תת מרחב של ] . F [ R
א W .מורכב מכל הפונקציות הזוגיות .כלומר ,לכל xממשי }) . W = { f ( x ) | f (− x ) = f ( x
ב W .מורכב מכל הפונקציות החסומות .כלומר ,לכל xממשי } . W = { f ( x) | f ( x) ≤ M
ג W .מורכב מכל הפונקציות הרציפות.
ד W .מורכב מכל הפונקציות הגזירות.
ה W .מורכב מכל הפונקציות הקבועות.
1
ו) W = f ( x) | ∫ f ( x) dx = 4 .הנח ש fאינטגרבילית ב ].( [0,1
0
ז) W = { f ( x) | f '( x) = 0} .הנח ש fגזירה לכל .( x
ח) W = { f ( x) | f '( x) = 1} .הנח ש fגזירה לכל .( x
ט. W = { f ( x) | f ( x) = f ( x + 1)} .
) (5בדוק הא } W = {( z1 , z2 , z3 ) | z2 = z1 , z3 = z1 + z1הוא תת מרחב של : C 3
א .מעל השדה הממשי . R
ב .מעל שדה המרוכבי . C
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
24
צירופי לינאריי ,מרחב נפרש ,תלות לינארית
) (6נתוני הוקטורי הבאי:
). u1 = (4,1,1,5) , u2 = (0,11, −5,3) , u3 = (2, −5,3,1) , u4 = (1,3, −1, 2
א .1 .הא u1הוא צירו* לינארי של ? u4
.2הא u1שיי( ל } ? Sp{u4
.3הא הקבוצה } {u1 , u4תלוייה לינארית ?
ב .1 .הא u3הוא צירו* לינארי של u1ו ? u2
.2הא u3שיי( ל } ? Sp{u1 , u2
.3הא הקבוצה } {u1 , u2 , u3תלוייה לינארית ? במידה וכ רשו כל וקטור בקבוצה
כצירו* לינארי של הוקטורי האחרי.
ג .1 .הא u4הוא צירו* לינארי של u1ו ? u2
.2הא u4שיי( ל } ? Sp{u1 , u2
.3הא הקבוצה } {u1 , u2 , u4תלוייה לינארית ? במידה וכ רשו כל וקטור בקבוצה
כצירו* לינארי של הוקטורי האחרי.
ד .נתו ) . v = (4,12, k , −2k
.1מה צרי( להיות ערכו של kעל מנת שהוקטור vיהיה צירו* לינארי של u1ו ? u2
.2מה צרי( להיות ערכו של kעל מנת שהוקטור vיהיה שיי( ל }. Sp{u1 , u2
.3מה צרי( להיות ערכו של kעל מנת שהקבוצה } {u1 , u2 , vתהייה תלוייה לינארית.
ה .נתו ) v = (a, b, c, d
.1מה התנאי על a, b, c, dעל מנת שהוקטור vיהיה צירו* לינארי של u1ו ? u2
.2מה התנאי על a, b, c, dעל מנת שהוקטור vיהיה שיי( ל }? Sp{u1 , u2
.3מה התנאי על a, b, c, dעל מנת שהקבוצה } {u1 , u2 , vתהייה תלוייה לינארית ?
ו .הבע את הוקטור ) (2, −3,3,1כצירו* לינארי של u2 , u1ו . u3
בכמה אופני נית לעשות זאת ?
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
25
ז .הבע את הוקטור ) (7,10, −2,11כצירו* לינארי של u3 , u2 , u1ו . u4בכמה אופני
נית לעשות זאת ?
) (7נתונות המטריצות הבאות:
4 1
0 11
2 −5
1 3
.A=
, B=
,C =
, D=
1 5
−5 3
3 1
−1 2
.1בדוק הא המטריצות תלויות לינארית מעל ] . M 2 [ R
.2במידה והמטריצות תלויות רשו כל אחת מהמטריצות כצירו* לינארי של יתר המטריצות.
.3הא המטריצה Aשייכת ל }? Sp { B, C
) (8נתוני הפולינומי הבאי:
p1 ( x) = 4 + x + x 2 + 5 x3 , p2 ( x) = 11x − 5 x 2 + 3 x 3 ,
.
p3 ( x) = 2 − 5 x + 3 x 2 + x3 , P4 ( x) = 1 + 3 x − x 2 + 2 x3
.1בדוק הא הפולינומי תלויי לינארית מעל ] . P3[ R
.2במידה והפולינומי תלויי לינארית רשו כל פולינו כצירו* לינארי של
שאר הפולינומי.
.3הא הפולינו p2שיי( ל } ? Sp { p1 , p4
) (9עבור איזה ערכי של a, b, cהוקטורי הבאי תלויי לינארית :
}). {(c,2,4),(2.4, a,2),(c, b,6),(b, 2, a
) (10נתו כי קבוצת הוקטורי } {u, v, wבלתי תלוייה לינארית ב ] . V [ F
בדוק הא הקבוצות הבאות תלויות לינארית ,במידה שכ רשו כל וקטור כצירו*
של הוקטורי האחרי:
א{u − v, u − w, u + v − 2w} .
ב{u + 2v + 3w,4u + 5v + 6w,7u + 8v + 9w} .
ג.
}{u + v, v + w, w
) (11בדוק הא הוקטורי }) {(1, i, i − 1),(i + 1, i − 1, −2תלויי לינארית ב C 3
א .מעל .C
ב .מעל .R
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
26
בסיס ומימד
בדיקה הא קבוצת וקטורי מהווה בסיס למרחב
) (12בדוק א הקבוצות הבאות ה בסיס ל : R 3
{ (1,0,1), (0,0,1) } (1
{ (1,1, 2), (1, 2,3), (3,3, 4), (2, 2,1) } (2
{ (1, 2,3), (4,5,6), (7,8,9) } (3
) (13בדוק א הקבוצות הבאות ה בסיס ל ] : M 2 x 2 [ R
1 2 5 6 9 1
,
,
(1
3 4 7 8 2 3
1 2 5 6 9 1 5 6 5 16
,
,
,
,
(2
3 4 7 8 2 3 7 2 7 8
1 1 0 1 0 0 0 0
,
,
,
(3
1 1 1 1 1 1 0 1
) (14בדוק א הקבוצות הבאות ה בסיס ל ) : P2 ( R
{ 1 + x, x 2 + 2 x + 3 } (1
{ 1 + x, x 2 + 2 x + 3, 2 x + 4 x 3 , x − x 3 } (2
{ 1 + 2 x + 3 x 2 , 4 + 5 x + 6 x 2 , 7 + 8 x + 10 x 2 } (3
) (15נתונה קבוצת וקטורי ב . T = {(1, 2,3), (4,5,6), (7,8,9),(2,3,4)} : R 3
א .הא Tבסיס ל . R 3
ב .מצא קבוצה ' , Tשהיא קבוצה מקסימלית של וקטורי בלתי תלויה לינארית ב . T
ג .השל את ' Tלבסיס של
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
27
מציאת בסיס וממד למרחב פתרונות של מערכת משוואות הומוגנית
) (16לפני( 3מערכות של משוואות הומוגניות:
x + y − z + 2w = 0
(1
3 x − y + 7 z + 4 w = 0
−5 x + 3 y − 15 z − 6 w = 0
x − y + z + w = 0
x − y + z + w = 0
(3 x + 2 z − w = 0
(2
2 x − 2 y + 2 z + 2w = 0
x + y + 3 z − 3w = 0
נסמ ב Wאת המרחב הנפרש ע"י מערכת המשוואות .(1
נסמ ב Uאת המרחב הנפרש ע"י מערכת המשוואות .(2
נסמ ב Vאת המרחב הנפרש ע"י מערכת המשוואות . (3
א( מצא בסיס וממד ל U , Wו .V
ב( (1מצא בסיס וממד ל (2 . U ∪ Vמצא ממד ל . U ∩ V
ג( מצא בסיס ל . U ∩ V
) (17נתו } . U = {( a, b, c, d ) ∈ R 4 | a = c, b = dמצא בסיס וממד ל .U
) (18נתו } . U = {( a, b, c, d ) ∈ R 4 | c = a + b, d = b + cמצא בסיס וממד ל .U
) (19נתו } . U = {v ∈ R 4 | v ⋅ (1, −1,1, −1) = 0מצא בסיס וממד ל .U
) (20נתו } . U = { A ∈ M 2 x 2 [ R ] | A = ATמצא בסיס וממד ל .U
1 −1 0 0
. U = A ∈ M 2 x 2[ R] | A ⋅ מצא בסיס וממד ל .U
=
) (21נתו
1 1 0 0
) (22נתו }
{
. U = p( x) ∈ P3[ R ] | p(1) = 0מצא בסיס וממד ל .U
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
28
מציאת בסיס וממד לתת מרחב
) (23לפניכ שני תתי מרחבי של המרחב : R 4
})U = span {(1,1, −1,2), (3, −1,7,4), (−5,3, −15, −6
})V = span {(1, −1,1,1), (1,0,2, −1), (1,1,3, −3), (5,1,5,8
א .מצא בסיס ,ממד ומשוואות ל . U
ב .מצא בסיס ,ממד ומשוואות ל . V
ג .מצא בסיס וממד ל . U ∪ V
ד .מצא בסיס וממד ל . U ∩ V
) (24לפניכ תת מרחב של המרחב ] : M 2 x 2 [ R
1 1 4 1 2 −1
. U = span
,
,
−1 2 −1 1 1 −3
מצא בסיס וממד ל . U
) (25לפניכ תת מרחב של המרחב ] : P3[ R
} . U = span {1 + x − x 2 + 2 x 3 , 4 + x − x 2 + x 3 , 2 − x + x 2 − 3 x 3
מצא בסיס וממד ל . U
מציאת בסיס וממד למרחב שורה ומרחב עמודה של מטריצה ,דרגת מטריצה
) (26מצא בסיס וממד למרחב השורה ומרחב העמודה של המטריצות הבאות וציי את דרגת
המטריצה ):(rank
5 (1
3
1
2
1 1
4
0 11 −5
2 −5 3
1 3 −1
1 3 5 (2
1 2
1 6
2 5 3
1 −1 −2 2 1
−2 3 5 −4 −1
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
29
וקטורי קואורדינטות ,שינוי בסיס
) (27נתוני שני בסיסי של : R 3
} )B1 = {(1,1, 0), (0,1, 0), (0,1,1)} , B2 = { (1, 0,1), (0,1,1), (0, 0,1
א .מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס . B1סמ וקטור זה ב . [ v ]B
1
ב .מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס . B2סמ וקטור זה ב . [ v ]B
2
B
ג .מצא מטריצת מעבר מהבסיס B1לבסיס . B2סמ מטריצה זו ב . M B2
1
B2
ד .מצא מטריצת מעבר מהבסיס B2לבסיס . B1סמ מטריצה זו ב
B1
. M
ה .אשר את הטענות הבאות:
B
[ M ]B1 ⋅ [v]B = [v]B (1
2
1
2
B
[ M ]B2 ⋅ [v]B = [v]B (2
1
2
1
−1
(3
)
(
B
B
[ M ]B2 = [ M ]B1
2
1
) (28נתוני שני בסיסי של ] : P2 [ R
} B1 = {1 + x, x, x + x 2 } , B2 = { 1 + x 2 , x + x 2 , x 2
א .מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס . B1סמ וקטור זה ב . [ v ]B
1
ב .מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס . B2סמ וקטור זה ב . [ v ]B
2
ג .מצא מטריצת מעבר מהבסיס B1לבסיס . B2סמ מטריצה זו ב
B2
B1
. M
) (29נתוני שני בסיסי של ] : M 2 [ R
1 1 0 1 0 0 0 0
B =
,
,
,
0 0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 0 0
E =
,
,
,
0 0 0 0 1 0 0 1
א .מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס . Bסמ וקטור זה ב . [ v ]B
ב .מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס . Eסמ וקטור זה ב . [ v ]E
E
ג .מצא מטריצת מעבר מהבסיס Bלבסיס . Eסמ מטריצה זו ב . M
B
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
30
תרגילי – פרק 5
ערכי עצמיי ,וקטורי עצמיי ,לכסו
) (1עבור כל אחת מהמטריצות הבאות:
א .מצא מטריצה אופיינית.
ב .מצא פולינו אופייני.
ג .מצא ערכי עצמיי ואת הריבוב האלגברי של כל ער( עצמי.
ד .מצא מרחבי עצמיי ואת הריבוב הגיאומטרי של כל ער( עצמי.
ה .מצא וקטורי עצמיי.
ו .קבע הא המטריצה ניתנת ללכסו.
ז .במידה והמטריצה ניתנת ללכסו ,לכס אותה ,כלומר מצא מטריצה
הפיכה Pכ( ש , P −1 AP = Dבאשר Dמטריצה אלכסונית.
ח .במידה והמטריצה ניתנת ללכסו חשב . A2009
ט .מצא את הפולינו המינימלי.
י .קבע הא המטריצה הפיכה לפי ערכיה העצמיי .במידה והמטריצה הפיכה בטא את A−1
בעזרת Aו Iבלבד תו( שימוש במשפט קיילי המילטו.
0 2 −1
A = 0 2 −1 (1
0 1 0
1 0 1
1 1 0
A = 0 1 0 (3 A = 0 1 0 (2
1 0 1
0 0 2
3 −2
−1 3 0
A=
(5
A = 3 −1 0 (4
4 −1
−2 −2 6
F = C,F = R
2 −1
A=
(6
1 4
F = C,F = R
* בסעיפי 5,6עלי( לפתור פע מעל Cופע מעל . R
) (2א .הגדר את המושג דימיו מטריצות.
ב .ידוע ש Aו Bמטריצות דומות .הוכח כי:
. | A | = | B | .1
. tr ( A) = tr ( B ) .2
.3ל Aו Bאותו פולינו אופייני.
) (3הוכח שא P −1 AP = Bאז . An = PB n P −1
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
31
6 תרגילי – פרק
העתקות )טרנספורמציות( לינאריות
העתקות לינאריות
. הגדר את המושג אופרטור לינארי.( הגדר והדג את המושג העתקה )טרנספורמציה( לינארית1)
. קבע הא היא העתקה לינארית,( עבור כל אחת מההעתקות הבאות2)
T ( x, y ) = ( x + y , x − y )
; T : R2 → R2
(1
T ( x, y , z ) = ( x + y − 2 z , x + 2 y + z , 2 x + 2 y − 3 z )
; T : R 3 → R3 (2
T ( x, y, z ) = (2 x + z,| y |)
; T : R3 → R 2 (3
T ( x, y ) = ( xy, y, z )
; T : R 2 → R3 (4
T ( x, y, z ) = ( x + 1, x + y, y + z )
T : R3 → R 3 (5
( B ∈ M n [ R ])
T ( A) = BA + AB
; T : M n [ R] → M n [ R] (6
T ( A) = A + AT
; T : M n [ R] → M n [ R ] (7
T ( A) = | A | ⋅I
; T : M n [ R] → M n [ R] (8
T ( A) = A ⋅ AT
; T : M n [ R] → M n [ R ] (9
T ( A) = A−1
; T : M n [ R] → M n [ R] (10
T (a + bx + cx 2 + dx 3 ) = a + bx + cx 2
; T : P3 [ R] → P2 [ R] (11
T ( p ( x) ) = p ( x + 1)
; T : Pn [ R] → Pn [ R] (12
T ( p ( x) ) = p '( x) + p ''( x)
; T : Pn [ R] → Pn −1 [ R] (13
T ( p ( x) ) = p 2 ( x)
; T : Pn [ R] → P2 n [ R] (14
(F = C , F = R)
T ( z) = z
; T : C[ F ] → C[ F ] (15
www.GooL.co.il לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל
© כתב ופתר – גיא סלומו
32
) (3עבור איזה ער( של הקבוע ) mא יש כזה( ההעתקה הבאה תהיה לינארית:
T ( x, y ) = ( m 2 x 2 m , y 2 m + x ) ; T : R 2 → R 2
) (4בכל אחד מהסעיפי הבאי ,קבע הא קיימת העתקה לינארית המקיימת את הנתו .א
כ ,מצא את ההעתקה וקבע הא היא יחידה .א לא ,נמק מדוע.
א T : R 3 → R 3 .כ( ש ). T (1,1,0) = (1, 2,3), T (0,1,1) = (4,5,6), T (0,0,1) = (7,8,9
ב T : R 3 → R 3 .כ( ש ). T (1,0,1) = (1,1,0), T (0,1,1) = (1, 2,1) , T (0,0,1) = (0,1,1
ג T : R 4 → R 3 .כ( ש ). T (1, 2, −1,0) = (0,1, −1), T ( −1,0,1,1) = (1,0,0), T (0, 4,0, 2) = (2, 2, −2
ד T : P2 [ R ] → P2 [ R ] .כ( ש . T (1) = 4, T ( 4 x + x 2 ) = x , T (1 − x ) = x 2 + 1
תמונה וגרעי של העתקות לינאריות
) (5נתונה העתקה לינארית . T : V → Uהגדר והדג את המושגי :
א .הגרעי של ההעתקה . KerT
ב .התמונה של ההעתקה . Im T
ג .משפט הממד להעתקות )השתמש במושגי הדרגה של העתקה rankTוהאיפוס של
העתקה ( nullT
) (6עבור כל אחת מההעתקות הבאות מצא בסיס וממד לגרעי ולתמונה:
T ( x, y, z, t ) = ( x + y, y − 4 z + t , 4 x + y + 4 z − t ) , T : R 4 → R3 (1
T ( x, y, z ) = ( x − 4 y − z , x + y, y − z , x + 4 z ) , T : R 3 → R 4 (2
x
1
1 2 3
y
T ( x, y, z, t ) = 1 3 5 −2 , T : R 4 → R 3 (3
z
2 6 10 −4
t
1 2 1 2
T ( A) = A ⋅
−
⋅ A , T : M 2 [ R] → M 2 [ R] (4
0 3 0 3
T ( p ( x) ) = p ( x + 1) − p ( x + 4) , T : P2 [ R] → P2 [ R] (5
D ( p ( x ) ) = p '( x) , D : P3[ R] → P3[ R] (6
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
33
) (7מצא העתקה לינארית T : R 3 → R 3אשר תמונתה נפרשת על ידי }). {(4,1,4),(−1, 4,1
) (8מצא העתקה לינארית T : R 4 → R 3אשר הגרעי שלה נפרש על ידי }). {(0,1,1,1),(1,2,3, 4
) (9א .נתונה העתקה לינארית . T : V → Uהוכח כי א dim Im T = dim KerTאז הממד
של Vזוגי.
ב .הא תיתכ העתקה חדחד ערכית ? T : R 4 → R 3
העתקות לינאריות חח"ע ולא חח"ע ,העתקות לינאריות על ,איזומורפיז
) (10הסבר את המושגי העתקה לינארית חדחד ערכית )חח"ע( והעתקה לינארית על.
כמו כ הסבר את המושג איזומורפיז והעתקה הפוכה.
) (11עבור כל אחת מההעתקות הבאות קבע הא היא חח"ע ,הא היא על ,הא היא
איזומורפיז והא קיימת העתקה הפוכה.
T ( x, y, z ) = ( x − y + z , y + z, z − x) , T : R3 → R3 (1
T ( x, y , z ) = ( x − y + z , y + z , x + 2 z ) , T : R 3 → R 3 (2
T (a + bx + cx 2 ) = (a + b + c, a − b, b − 2c) , T : P2 [ R] → R 3 (3
a b
2
3
T
= a − b + (c + d ) x + (a − c) x + dx , T : M 2 [ R] → P3[ R] (4
c
d
הערה :העתקה חח"ע נקראית ג לא סינגולרית.
פעולות ע העתקות לינאריות
) (12תהיינה S : R 3 → R 2ו T : R 3 → R 3העתקות לינאריות המוגדרות על ידי:
) T ( x , y , z ) = ( x, 4 x − y , x + 4 y − z ) , S ( x , y , z ) = ( x − z , y
מצא נוסחאות )א יש( המגדירות את :
S + T (1
4 S (2
4 S − 10T (3
TS (4
ST (5
T 2 (6
T −1 (7
T −2 (8
S −1 (9
S 2 (10
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
34
תרגילי – פרק 7
מטריצות והעתקות לינאריות
הערה :כבסיס לפרק זה יש להכיר את המושגי וקטור קואורדינטות ביחס לבסיס ומטריצת
מעבר מבסיס לבסיס )פרק .(4לפיכ( חמשת הסעיפי הראשוני בשאלה הראשונה עוסקי בכ(.
מטריצה שמייצגת העתקה
) (1נתוני שני בסיסי של : R 3
} )B1 = {(1,1, 0), (0,1, 0), (0,1,1)} , B2 = { (1, 0,1), (0,1,1), (0, 0,1
א .מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס . B1סמ וקטור זה ב . [ v ]B
1
ב .מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס . B2סמ וקטור זה ב . [ v ]B
2
B2
ג .מצא מטריצת מעבר מהבסיס B1לבסיס . B2סמ מטריצה זו ב
B1
. M
B2
ד .מצא מטריצת מעבר מהבסיס B2לבסיס . B1סמ מטריצה זו ב
B1
. M
ה .אשר את הטענות הבאות:
B
[ M ]B1 ⋅ [v]B = [v]B (1
1
2
B
(3 [ M ]B2 ⋅ [v]B = [v]B (2
2
נתונה העתקה לינארית:
2
1
1
−1
)
(
B
B
[ M ]B2 = [ M ]B1
1
2
T ( x, y , z ) = ( x + y , y + z , z − x ) , T : R 3 → R 3
ו .מצא את המטריצה שמייצגת את ההעתקה בבסיס . B1סמ מטריצה זו ב . T B
1
ז .מצא את המטריצה שמייצגת את ההעתקה בבסיס . B2סמ מטריצה זו ב . T B
2
ח .1 .אשר את הטענות הבאות :
[T ]B ⋅ [v]B = [T (v)]B (1
1
1
B
[T ]B ⋅ [v]B = [T (v)]B (2
2
1
2
2
B
1
2
M B2 ⋅ T B1 ⋅ M B1 = T B2 (3
.2נתונה העתקה לינארית . T : R 3 → R 3
ידוע שהמטריצה שמייצגת את ההעתקה בבסיס } )B = { (1, 0,1), (0,1,1), (0, 0,1
1 1 0
היא 2 1
. T B = 1מהי נוסחת ההעתקה ? כלומר ) ?. T ( x, y , z ) = ( ?,?,
−2 −2 0
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
35
ט .הא ההעתקה הפיכה ?
י .חשב את הדטרמיננטה והעקבה של ההעתקה.
יא .מצא ערכי עצמיי ווקטורי עצמיי עבור ההעתקה.
יב .הא ההעתקה ניתנת ללכסו ?
) (2יהיו B1ו B2שני בסיסי של המרחב . R 3יהי Tאופרטור לינארי על . R 3
−29 −45 6
−1 −9 6
B2
= 20
נתו כי M B = 1 6 −4 :ו 31 −4
1
13 19 −1
1 5 −2
T B
1
B
חשב את M 1ואת . T B
B2
2
) (3מצא את המטריצה שמייצגת את ההעתקה ] , T : M 2 [ R ] → M 2 [ R
1 2
T ( A) =
A
3 4
1 1 0 1 0 0 0 0
. B =
,
,
,
לפי הבסיס :
0 0 1 0 1 1 0 1
) (4מצא את המטריצה שמייצגת את ההעתקה ]D ( p( x) ) = p '( x) , D : P4 [ R] → P3 [ R
לפי הבסיס הסטנדרטי של הפולינומי ממעלה קטנה או שווה ל .4
מטריצה שמייצגת העתקה מבסיס לבסיס
) (5מצא את המטריצה המייצגת של כל אחת מההעתקות הלינאריות הבאות ביחס לבסיסי
הסטנדרטיי של . R n
א. T ( x, y ) = ( x + y, y, − x) , T : R 2 → R 3 .
ב. T ( x, y, z , t ) = (4 x − y − z + t , x + y + 4 z + t ) , T : R 4 → R 2 .
) (6תהי T : R 3 → R 2העתקה לינארית המוגדרת על ידי ) . T ( x, y , z ) = (4 x + y − z , x − y + z
חשב את המטריצה המייצגת את ההעתקה Tמהבסיס })B1 = {(1,1, 0),(0,1,1), (0, 0,1
של R 3לבסיס }) B2 = {(1, 4), (1,5של . R 2כלומר את
B2
B1
. T
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
36
תרגילי – פרק 8
וקטורי
הערה :אנו נסמ את הוקטור uכ( . uסימוני מקובלי נוספי. u , u :
את גודל הוקטור uנסמ כ( | . | uסימו מקובל נוס* הוא || . || u
גודל וקטור נקרא ג אור( הוקטור וג הנורמה של הוקטור.
) (1מצא את y , xו zא נתו ש u = vכאשר ). v = ( z − 2, y + 1, x − 3) , u = (4, −1, 2
) (2נתוני הוקטורי . w = (2, 6, −5) , v = (4, −2, −6) , u = ( −3,1, 4) :חשב:
א2 u .
ב−0.5 v .
ג3u − 2 v .
ד0.25 v − 0.5u .
הv − 0.5u + 2 w .
ו2 v − u + 4 w .
זu / | u | .
חd (u , v ) .
טv ⋅ u + 2 w ⋅ v .
יproj (u , v ) .
* בסעיפי ז,ח,י הסבר את משמעות התוצאות מבחינה גיאומטרית.
) (3נתונות הנקודות . C (3, −1, 2) , B (4, 2, −1) , A(1, −3, 0) :מצא את הוקטורי הבאי:
אAC + AB .
ב2 AC − 4 AB .
ג2AC + AB − BC .
) (4א .נתונה הצגה פרמטרית של ישר ). x = (1, 2, 3) + t (4,5, 6
כתוב את ההצגה בעזרת הקואורדינטות y , xו . z
ב .נתונה הצגה של ישר בעזרת קואורדינטות . x = 1 + 2t , y = 10 , z = 4 − t
כתוב את ההצגה הפרמטרית שלו.
) (5נתונות הנקודות ). C (3, −1, 2) , B (4, 2, −1) , A(1, −3, 0
א .מצא הצגה פרמטרית של ישר במרחב העובר דר( הנקודות:
A .1ו B
B .2ו C
A .3ו C
ב .מי מבי הנקודות ) D = (4, 2, −1ו ) E (7, 7, −3נמצאת על הישר ABשמצאת
בסעי* הקוד.
ג .חשב את הזווית שבי הישר ABוהישר . BC
) (6א .מצא במרחב הצגה פרמטרית של ציר ה , xציר ה yוציר ה . z
ב .מצא הצגה פרמטרית של ישר במרחב העובר דר( הנקודה ) (4,5, 6ומקביל לציר . z
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
37
) (7מצא במרחב הצגה פרמטרית של ישר העובר דר( הנקודה ) (1, 2,3והמאונ( לישר
). x = (1, 2, 0) + s (1, −2, 4
) (8מצא במרחב הצגה פרמטרית של ישר
): (2, −3,1) + t (1, 4, −3
1
2
העובר דר( הנקודה ) , P (−4,1,1מאונ( לישר
וחות( אותו.
) (9א .נתונה הצגה פרמטרית של מישור ). x = (1, −2,3) + t (2, 0,1) + s ( −4,1,5
כתוב את ההצגה בעזרת הקואורדינטות y , xו . z
ב .נתונה הצגה של מישור בעזרת קואורדינטות . x = 1 + 2t − s , y = 10 + t , z = 4 − t + s
כתוב את ההצגה הפרמטרית שלו.
) (10א .1 .הראה ששלוש הנקודות ) (2, 0,5) , (0,1, −2) , (1,1, 0אינ נמצאות על ישר אחד ומצא
הצגה פרמטרית של המישור הנקבע על יד.
.2מצא את משוואת המישור העובר דר( שלוש הנקודות הנ"ל.
ב .מצא שתי נקודות נוספות הנמצאות על המישור שמצאת בסעי* א.
ג .הא הנקודה ) (4, 2,1נמצאת על המישור שמצאת בסעי* א?
) (11נתונות הנקודות. C (1,1,1) , B (1, 2, 0) , A(1,1,3) :
א .מצא הצגה פרמטרית של הישר ,המחבר את Bע Cהראה כי הנקודה Aלא נמצאת על
הישר הזה.
ב .חשב את המרחק בי הנקודה Aלבי הישר המחבר את Bע . C
ג .מצא את משוואת המישור העובר דר( הנקודה Aוהמאונ( לישר המחבר את Bע . C
) (12נתונה תיבה ' ABCDA ' B ' C ' Dכמתואר בציור.
z
נתו.C ' F = FB ',| AB |= 4 ,| AD |= 2 , | AA ' |= 6 :
'A
'B
א .מצא הצגה פרמטרית של הישר העובר
F
'C
דר( הנקודה Fומאונ( למישור העובר
'D
העובר דר( . A ' DB
ב .מצא את מרחק הנקודה Fמהמישור העובר
העובר דר( . A ' DB
y
B
A
C
D
x
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
38
'D
'C
) (13בתיבה ' ABCDA ' B ' C ' Dנתוני הקודקודי :
). A(7, −9,5), B (1, −3, −7), C ( −5, −1, −3), C '( −1, 7, −1
'A
'B
הנקודה Mמחלקת את המקצוע ABכ( ש . BM = 2 MA
C
א .חשב. | MC |, | MA ' | :
D
B
ב .חשב את שטח המשולש . ∆A ' MC
(14נתונה מקבילית ) ABCDראה ציור(.
A
M
)A(-6,2,8
)B(4,0,-6
א .מצא את קודקוד . D
ב .מצא את הזווית בי אלכסוניה של המקבילית.
D
)C(-10,6,-2
) (15נתונה פירמידה שבסיסה מקבילית ABCD
M
וקודקודה ) Mראה ציור( .נתו:
). A(3, 6, −1), B ( −1, 2, −3), C (7, 6, −3), M (4, −3, −4.5
א .מצא את גודל זווית . ABC
A
D
B
C
ב .מצא את שטח בסיס הפירמידה.
ג .מצא את נפח הפירמידה.
'B
'C
) (16נתונה תיבה ' . ABCDA ' B ' C ' D
'A
'D
נתוA(1, 2,0), C (4,0,1), D (2, 2, −1), B '(9,12,8) :
חשב את נפח התיבה.
B
C
D
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
A
39
) (17מצא את מצב ההדדי של זוגות הישרי הבאי וקבע א ה:
נחתכי ,מקבילי ,מתלכדי או מצטלבי.
א. x = (1, 0,1) + t (1, 2, 0), x = (1,1, 0) + s (2, 4, 0) .
ב. x = ( −2, 2, 4) + u (6, 6,1), x = (1, −1, 0) + t (12, −3,1) .
ג. x = (1,1, 2) + t (1, 2, −1), x = (2,3,1) + s (2, 4, −2) .
ד. x = (1, −1, 0) + t (0, 2, −4), x = (2, 0, 3) + s ( −1, −3,1) .
במקרה בו הישרי נחתכי מצא ג את נקודות החיתו( ואת הזווית בי הישרי.
במקרה בו הישרי מקבילי או מצטלבי מצא ג את המרחק ביניה.
) (18נתוני שני ישרי:
): ( x, y, z ) = (4,3,1) + t (1, −3, 2
1
): ( x, y, z ) = (5, −1, 4) + m(−1,3,5
2
א .הראה כי הישרי מצטלבי.
ב .מצא משוואה של מישור שמכיל את
2
ומקביל ל
1
.
ג .חשב את המרחק בי הישרי.
) (19נתוני שני ישרי:
): ( x, y, z ) = (3,1,1) + u (2, −1, −2
1
): ( x, y, z ) = (3,9, −6) + m(6, 2, −1
2
א .מהו המצב ההדדי של הישרי?
ב .א הישרי מקבילי או נחתכי ,מצא את משוואת המישור המכיל אות.
א הישרי מצטלבי מצא את המרחק ביניה.
) (20נתונות ארבע נקודות. P ( k , 0, 0) , Q (0, 4, 0) , R (0, k , 3) , S (1,1, −1) :
א .הראה שלא קיי ער( של kעבורו הישרי PQו SRמקבילי.
ב .מצא עבור איזה ער( של kהישרי אורתוגונליי )מאונכי( זה לזה,
ומצא את המרחק ביניה במקרה זה.
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
40
) (21הישר
1
עובר דר( הנקודות ) (6,1, 3ו ). (5, 2,3
הצגה פרמטרית של הישר
2
היא: (2, k + 1,3) + t ( k 2 − 9, −7, 0) :
2
.
א .1 .עבור איזה ער( של kהישרי מקבילי )לא מתלכדי(?
.2עבור איזה ער( של kהישרי מתלכדי?
ב .מצא משוואה של מישור , πהמכיל את הישר
1
ומקביל לציר ה . z
ג .עבור kשמצאת בתת סעי* א , .1.מצא את המרחק של
2
מהמישור . π
) (22נתונות ארבע נקודותA(1,1, −1) , B ( −1, k , 3) , C (0, −4, 0) , D ( k , 0, 0) :
הישר
1
הישר
2
מחבר את הנקודה Aע הנקודה . B
מחבר את הנקודה Cע הנקודה . D
א .מצא עבור איזה ער( של kהישרי מאונכי זה לזה.
ב .עבור הער( של kשמצאת בסעי* א , .מצא את משוואת המישור המכיל את הישר
ומקביל לישר
2
1
.
) (23מצא את המצב ההדדי של המישור והישר וקבע א הישר:
חות( את המישור ,מקביל למישור או מוכל במישור.
א. 2 x − 3 y + 4 z − 5 = 0 , x = (1, 0, 2) + t ( −1, 2, 2) .
ב. 2 x − 5 y + 3 z − 6 = 0 , x = ( −3, 0, 4) + t (4, −2, −6) .
ג. 2 x − 14 y + 10 z = −6 , x = (2,1, −2) + t ( −2, 2, 0) .
במקרה שהישר חות( את המישור ,מצא ג את נקודת החיתו( וג את הזוית בי הישר
למישור .במקרה בו הישר מקביל למישור מצא את מרחק הישר מהמישור.
) (24ידוע כי הישר
עובר דר( הנקודות ) A(4, −6,5ו )B (4 + k ,3, 2
ונתו מישור . π : x − 4 y − kz − 5 = 0
א .עבור איזה ער( של kהישר מקביל למישור?
ב .המישור πחות( את ציר ה xבנקודה . C
עבור kשמצאת בסעי* א ,חשב את הזווית בי המישור πלבי . BC
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
41
) (25נתוני ישר : (2,1, −1) + t (0, a, −1) :ומישור. π : x − 2 y − 4 z = 4 :
א .עבור איזה ער( של הקבוע aיהיה הישר מוכל במישור?
ב .מצא משוואה של מישור המכיל את הישר
ומאונ( למישור . π
) (26נתוני שני ישרי ומישור :
): ( x, y, z ) = (2,1,1) + t (1, −1, −1
1
): ( x, y, z ) = (3, −1, 2) + s(−2,1,1
2
π : x − y + 2z = 3
א .קבע את המצב ההדדי בי כל אחד מהישרי למישור.
ב .מצא את הנקודות על הישר
שמרחק מראשית הצירי הוא . 18
2
) (27בציור משמאל נתו טטראדר . SABC
)S(1,1,1
א .הוכח כי אחד המקצועות דר( , Sניצב למישור
הנקבע עלידי שני המקצועות האחרי דר( . S
ב .מצא את משוואות המישור הנ"ל.
)B(1,0,3
)A(2,2,1
ג .חשב את הזוית שבי המקצוע ACלבי מישור
המשולש . ∆SAB
)C(-1,3,2
) (28מצא את המצב ההדדי של המישורי וקבע א ה:
מקבילי ,מתלכדי או נחתכי.
א. x − 2 y + 2 z − 10 = 0 , 2 x + y + 2 z − 4 = 0 .
ב. 2 x − 5 y + 3 z − 6 = 0 , 4 x − 10 y + 6 z − 8 = 0 .
ג. 2 x − 14 y + 10 z = −6 , x − 7 y + 5 z = −3 .
במקרה בו המישורי מקבילי מצא את המרחק ביניה .במקרה בו ה נחתכי מצא את
הזווית ביניה ואת ישר החיתו( ביניה.
) (29א .נתוני שני מישורי. x + 2 y − z = 7 , 2 x + 3 y − 4 z = 10 :
מצא הצגה פרמטרית לישר החיתו(
ב .נתו: (6, 2, −2) + s(2, −1,1) :
2
1
של שני המישורי.
.מהו המצב ההדדי בי
1
ו
2
.
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
42
) (30נתוני שני מישורי. x − y + 2 z − 7 = 0 , 2 x + y − 3 z + 1 = 0 :
א .מצא הצגה פרמטרית לישר החיתו(
של שני המישורי.
למישור ? π : 4 x − y + Cz − 1 = 0
ב .עבור איזה ער( של הפרמטר , Cיקביל הישר
ג .עבור Cשמצאת בסעי* ב ,חשב את מרחק הישר
מהמישור . π
) (31נתוני שני מישורי x + y + 2 z = 6 , x − 3 y + 4 z = −10 :ונקודה ). M (1,8, −3
הישר
הוא ישר החיתו( של המישורי הנ"ל.
א .מצא את משוואת המישור העובר דר( הנקודה Mוניצב לישר .
ב .מצא את מרחק הנקודה Mמהישר .
) (32הישר ) : (0, −2,1) + t ( −3, 4, mמקביל למישור . π 1 : x − 2 y − 4 z = 4
א .מצא את הקבוע . m
ב .הנקודה ) N (2, −1, 4נמצאת על המישור π1ויוצרת ע הישר
מישור . π 2
מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתו( של המישורי π1ו . π 2
Z
) (33אחד מקודקודי קוביה נמצא
C
בראשית הצירי.
'B
Eאמצע ' . | AB | = 1 , BB
א .חשב את זווית CEA
'C
.
E
ב .חשב את הזווית בי שני
המישורי AECו . BODA
Y
0
D
A
B
) (34נתוני שני ישרי:
X
): (1, 2, 3) + t (3, −12,18
1
): (2,5, −1) + u (−4,16, −24
2
א .הראה כי הישרי קובעי מישור יחיד ומצא את משוואתו.
ב .מצא משוואת מישור ,המקביל למישור שמצאת ב א ,.ועובר דר( הנקודה ). (0, −1, 0
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
43
פתרונות – פרק 8
לתשומת לבכ!
הצגה פרמטרית של ישר )או מישור( היא לא יחידה .ייתכ למשל ,שהישר הפרמטרי שאת תקבלו
"ייראה" שונה מהישר שאני קיבלתי .בכל אופ א תבצעו בדיקה תוכלו לראות שה מתלכדי.
)(1
. x = 5, y = −2, z = 6
)(2
א( −6, 2,8) .
ה(9.5,9.5, −18) .
ב( −2,1,3) .
ו(19,19, −36) .
ט14 .
19 57
( −719 , 14
י, 14 ) .
)(3
א(5, 7,1) .
ב(−8, −16,8) .
)(4
אx = 1 + 4t , y = 2 + 5t , z = 3 + 6t .
בx = (1,10, 4) + t (2, 0, −1) .
)(5
א(1, −3, 0) + t (3, 5, −1) (1.
א(1, −3, 0) + t (2, 2, 2) (3.
ג35.477 ° .
א(4, 2, −1) + t ( −1, −3,3) (2.
ב .הנקודה D
)(6
אt (0, 0,1) , t (0,1, 0) , t (1, 0, 0) .
ב(4,5, 6) + t (0, 0,1) .
)(7
)(1, 2,3) + t (2,1, 0
)(8
)( −4,1,1) + t (83, −32, −15
)(9
אx = 1 + 2t − 4 s, y = −2 + s, z = 3 + t + 5s .
ב(1,10, 4) + t (2,1, −1) + s ( −1, 0,1) .
)(10
א(1,1, 0) + t ( −1, 0, −2) + s (1, −1, 5) .1.
ב .למשל( −0.5, 0, 0) , (0, 0,1) :
א−2 x + 3 y + z − 1 = 0 .2.
ג .לא
)(11
א(1, 2, 0) + t (0, −1,1) .
)(12
א(1, 4, 6) + t (6,3, 2) .
ב.
)(13
א| MC | = 152, | MA ' |= 108 .
ב59.396 .
)(14
אD ( −20,8,12) .
ב81.62° .
)(15
א26.565° .
בS = 24 .
)(16
V = 72
)(17
ג .מתלכדי
א .מקבילי 1.095 ,ב .מצטלבי4.07 ,
°
ד .נחתכי בנקודה ) . (1, −3, 4זווית בי הישרי . 47.6
)(18
ב3 x + y = 14 .
ג(−17, 7, 24) .
1
ז(−3,1, 4) .
26
ד(2.5, −1, −3.5) .
ח12.5698 .
ג(8,12, 0) .
ב1.4142 .
גy − z + 2 = 0 .
18
7
גV = 32 .
ג0.31622 .
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
44
ב10 .
)(19
א .מצטלבי
)(20
בd = 152 , k = 0.8 .
)(21
אk = −4 .1.
אk = 4 .2.
)(22
אk = 2 .
ב8 x − 4 y + 5 z + 1 = 0 .
)(23
ב .מוכל
א .מקביל0.9284 ,
ג .חות( בנק' ) ,(3.5,0.5,2זוית בי הישר למישור 40.78
)(24
אk = 9 .
ב14.67 ° .
)(25
אa = 2 .
ב10 x + y + 2 z − 19 = 0 .
)(26
א.
)(27
אSC ⊥ SAB .
)(28
א .המישורי נחתכי .ישר החיתו( . (0, −2,3) + t (3, −1, −2.5) :זווית . 63.612°
ב .המישורי מקבילי ,המרחק ביניה 0.324 :ג .המישורי מתלכדי.
בx + y = 7 .
ג5.65685 .
°
1
מוכל,
2
ב(−1,1, 4), ( 113 , −34 , 53 ) .
חות(.
ב2 x − 2 y − z + 1 = 0 .
ג64.76° .
)(29
א(9, 0, 2) + t ( −5, 2, −1) .
ב .מצטלבי
)(30
א(2, −5, 0) + t (1, 7,3) .
בC = 1 .
)(31
א5 x − y − 2 z = 3 .
ב5.07 .
)(32
אm = −8 .
ב(2, −1, 4) + t ( −4, 4, −8) .
)(33
א78.463° .
ב35.26° .
)(34
א2 x − 10 y − 7 z + 39 = 0 .
ג2.8284 .
ב2 x − 10 y − 7 z − 10 = 0 .
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
45
תרגילי פרק 9
מספרי מרוכבי
) (1פתור את המשוואות הבאות ומצא את . z
. z 2 − 6 z + 13 = 0 (3 z 2 − 4 z + 5 = 0 (2 z 2 + 9 = 0 (1
) (2חשב:
. ( −4 − i )(2 − 3i ) (4 (4 + i ) − (2 + 10i ) (3 (i 5 − i13 ) 2 (2 (i 2)6 (1
) (3חשב )כתוב את התוצאה בצורה :( z = x + yi
i
1
1+ i
−
(3
(2
2
)1 − i (i + 1
1 − 3i
5
(1
2+i
) (4פתור את המשוואות הבאות ומצא את המספר המרוכב : z
. (1 + i ) z 2 + 2 z − i + 1 = 0 (3 zz − 5 z = 10i (2 2 z − 6i = z − 1 (1
) (5כתוב את המספרי הבאי בצורה קוטבית:
−1 − i (2 1 + 3i (1
1 + i (5
1 − i (4 −3 − 3i (3
3 − i (6
− 8 (8
3i (7
) (6חשב:
10
1 1
(2 + i (1
2 2
−8 (4
6
100
9
) (1 + 3i
1 (5
5
2
2
+
i
2
2
−8 (6
3
) (7א .מצא את כל הפתרונות של המשוואה . z 4 + z 2 + 1 = 0
ב .הראה כי א zהוא פתרו של המשוואה מסעי* א אזי. z 6 = 1 :
) (8נתונה המשוואה . z 4 = −8 − 8 3i
א .מצא את פתרונות המשוואה הנתונה.
ב .הוכח כי החזקה השלישית של כל אחד מפתרונות הנתונה היא מספר ממשי או מספר
מדומה טהור.
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
46
4
z+i
.
) (9פתור את המשוואה = 1
z−i
) (10א .מצא את שלושת הפתרונות של המשוואה . z 3 = i
ב .הראה שמכפלת שלושת הפתרונות היא . i
ג .הראה שא מעלי בריבוע פתרו כלשהו של המשוואה ,התוצאה שווה למכפלת
שני הפתרונות האחרי.
) (11א .פתור את המשוואה ) . z 5 = −16( 3 − i
ב .הוכח כי חמשת השורשי מהווי סדרה הנדסית ,ומצא את מנת הסדרה.
הערה :סדרה הנדסית היא סדרה מהצורה a1 , a1q, a1q 2 ,..., a1q n −1באשר qמנת הסדרה.
) (12נתו i
1
2
+
1
2
= .w
א .מצא את פתרונות המשוואה . z 3 = w3
ב .הראה כי מכפלת הפתרונות של המשוואה היא . w3
) (13נתונה המשוואה . (iz + 1) 2 = 2 − 2 3i
א .מצא את פתרונות המשוואה z1ו . z2
z1 ⋅ z2
ב .הראה כי = 3.25
z1 + z2
.
) (14נתונה המשוואה . ( z − 1)3 = 1הוכח שסכו שורשיה הוא .3
) (15נתונה המשוואה . z 3 = − 3 + i
א .מצא את שורשי המשוואה. z3 , z2 , z1 :
ב .מצא את הסכו . | z1 |3 + | z2 |3 + | z3 |3
9
9
9
ג .הראה כי הסכו ) ( z1 ) + ( z2 ) + ( z3הוא מספר מדומה טהור.
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
47
) (16נתונה המשוואה z , z 2 + | z |2 −2ti = 18s 2הוא מספר מרוכב.
כאשר sו tה מספרי ממשיי שוני מאפס z1 .ו z2ה פתרונות המשוואה.
א .הבע את פתרונות המשוואה באמצעות sו . t
ב .נתו . z1 ⋅ z2 = −18iמצא את הפרמטרי sו . t
2
) (17א .פתור את המשוואה . z ⋅ i + ( z ) + | z |2 + z + z = 0
ב .אחד מהפתרונות שמצאת בסעי* א , .הוא איבר אחרו בסדרה חשבונית שכל איבריה
שוני מאפס .הפרש סדרה זו הואi :
1
16
.1 +האיבר הראשו בסדרה הוא מספר ממשי.
חשב את האיבר הראשו בסדרה.
הערה :סדרה חשבונית היא סדרה מהצורהa1 , a1 + d , a1 + 2d ,..., a1 + (n − 1)d :
באשר dנקרא הפרש הסידרה.
) (18נתו . u = (3 − 2i, 4i,1 + 6i ) , v = (5 + i, 2 − 3i, 7 + 2i ) :מצא:
4u + v (1
2i ⋅ u − v (2
u ⋅ v (3
u ⋅ u (4
| u | (5
| v | (6
פתרונות – פרק 9
). 3 ± 2i (3 2 ± i (2 ±3i (1 (1
). −11 + 10i (4 2 − 9i (3 0 (2 −8 (1 (2
1
1 2
). − + i (3 − + i (2 2 − i (1 (3
2
5 5
). z = i , z = −1 (3 z = 1 + 2i, z = 4 + 2i (2 z = −1 + 2i (1 (4
5π
5π
π
π
)+ i sin ) (2 2(cos + i sin ) (1) (5
4
4
3
3
7π
7π
+ i sin ) (4
4
4
π
π
+ i sin ) (7
2
2
2(cos
3(cos
π
π
+ i sin ) (5
4
4
2(cos
2(cos
8(cos π + i sin π) (8
)(6
7π
7π
+ i sin ) (3
6
6
11π
11π
+ i sin
) (6
6
6
1
i (1
32
12(cos
2(cos
.1 (3 . −29 (2 .
לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל www.GooL.co.il
כתב ופתר – גיא סלומו ©
48
1
6
π + 2πκ
π + 2πκ
. 8 cos
+ i sin
k = 0,1, 2,3, 4,5 (4
6
6
1
0 + 2πκ
0 + 2πκ
. 15 cos
+ i sin
k = 0,1, 2,3, 4 (5
5
5
1
π + 2πκ
π + 2πκ
. 8 3 cos
+ i sin
k = 0,1, 2 (6
3
3
. z1 = cis 60° , z2 = cis 2400 , z3 = cis120° , z4 = cis300° (7)
. z = 0 , z = 1 , z = −1 (9 )
. z1 = 1 + 3i , z2 = − 3 + i , z3 = −1 − 3i , z4 = 3 − i .( א8)
. z1 =
1
1
1
1
3 + i , z2 = −
3 + i , z3 = −i .( א10)
2
2
2
2
. q = cis72° . ב. zn = 2cis[30° + ( n − 1)72° ] n = 1, 2,3, 4, 5 .( א11)
. 1 + (1 + 3)i , − 1 + (1 − 3)i .( א13)
. z1 = cis 45° , z2 = cis165° , z3 = cis 285° .( א12)
. 24i . ג.6 . ב. z3 = 3 2cis 290° , z2 = 3 2cis170° , z1 = 3 2cis50° .( א15)
, z1 = 0 .( א17)
. t = 9 , s = ±1 . ב. z2 = −3s −
. (17 − 7i, 2 + 13i,11 + 26i ) .( א18)
t
t
i , z 2 = −3s − i .( א16)
3s
3s
. a1 = −8.5 . ב. z2 = −0.5 + 0.5i ,
. 92 . ו. 66 . ה.66 . ד. 20 + 35i . ג. ( −1 + 5i, −10 + 3i, −19) .ב
*סו
www.GooL.co.il לפתרו מלא בסרטו פלאש היכנסו ל
© כתב ופתר – גיא סלומו
