AERO
DINÁMICA
1.1 - ECUACIONES GEN. Y FLUJO POTENCIAL
Pablo Solano López
Vehículos Aeroespaciales
&
Albano Jiménez Ramírez
Aeronavegación
...
Concorde
(Elige bien qué diapositivas imprimir)
Aerodinámica
Ecuaciones Generales y Flujo Potencial
• Ecuaciones de la Mecánica de Fluidos
• Estudio dimensional y simplificaciones
• Flujo unidimensional
• Flujo bidimensional y flujo
potencial
• Elementos fundamentales
del flujo potencial
But Why?
Aerodinámica
Ecuaciones de la Mecánica de Fluidos
Ecuaciones de Blance: magnitudes extensivas
Variable Extensiva: propiedades asociadas locales (dependen de cada partícula, i.e. posición y tiempo) y
globales (sólo dependen del tiempo)
Volumen de control (Sistema)
V
V (t )
dS
dV

n
w = S ( t )
S ( t ) = f (ξ1 , ξ 2 , t )
dV
Tabla de propiedades Locales
Definición
Densidad
volumétrica
Escalar
g +
Flujo Material
ϕG
Vector
 df 
w = S ( t ) =  
 dt ξ1 ,ξ2
Modelo de continuo
(diferencial de volumen)
Variación de la variable
Extensiva con el tiempo
Valor total
Producción
p.u. de tiempo
g +
ϕG
=
Intercambios con
el exterior
Escalar
Definición
g+
g+
Producción
p.u. de tiempo
y p.u. de volumen
Tabla de propiedades Globales
Flujo a través
del la Superficie
convención: positivo
en la dirección de la normal
+
Producción
Interna
G (t ) =
G ( t ) =
PG =
∫
g + dV
∫
g + d V
V(t )
V(t )
∫ n ⋅ϕ
S (t )
G
dS
dG
= PG + G ( t )
dt
Alla Modelado
Aerodinámica
Ecuaciones de la Mecánica de Fluidos
Ecuaciones de Blance: Definiciones Local y Global
Ecuación de Balance: “lo que entra menos lo que sale +/- lo que se produce”
Teorema del transporte de Reynolds
Volumen de control (Sistema)
V
V (t )
dS
dV

n
w = S ( t )
Variación de la variable
extensiva con el tiempo


 


d
+
+
 g d V  = − ∫ n ⋅ ϕG dS + ∫ g d V

dt  V∫( t )
V( t )
S (t )

Producción
interna
)
(
https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem
Modelo de continuo
(diferencial de volumen)
Definición de Flujo Material
ϕG = (V − w ) g + +

JG

Flujo Difusivo
∂g +
d V + ∫ n ⋅ w g + dS = − ∫ n ⋅  V − w g + + J G  dS + ∫ g + d V
∫


V ( t ) ∂t
S (t )
V (t )
S (t )
Agrupamos usando el teorema de la divergencia
dV
+

∂g +
d
 ∫ g +d V  = ∫
d V + ∫ ( n ⋅ w ) g + dS


dt  V (t )
S (t )
 V (t ) ∂t
Flujo Convectivo
(
S (t )
Intercambios con
el exterior
)
*
∫ ( n ⋅ A) dS ←→ ∫ ( ∇ ⋅ A) d V
Tª Divergencia
S (t )
V(t )
*Sii no hay ninguna discontinuidad en el dominio
(ondas de choque?)
 ∂g +
∂g +
+
+



V
0
Vg
J
g
d
+
∇
⋅
+
−
=
→
+ ∇ ⋅ Vg + + J G  = g +
G
 ∂t

∫

t
∂

V(t ) 
Aerodinámica
Ecuaciones de la Mecánica de Fluidos
Ecuaciones de Blance: magnitudes conservadas
Magnitud conservada: aquella cuyo término de producción es nulo
En general: Masa, Momento, Momento Angular, Energía Total, Carga.
Th. Noether:
https://en.wikipedia.org/wiki/Noether%27s_theorem
Masa G = M , g + = ρ , J G = 0
La masa “no difunde” ya que las colisiones microscópicas, en ausencia de reacciones, químicas sólo intercambian momento.
∂ρ
∂ρ
Dρ
+ ∇ ⋅ (V ρ ) = 0 →
+ V ⋅ ∇ρ + ρ∇ ⋅ (V ) = 0 →
+ ρ∇ ⋅ (V ) = 0
∂t
∂t
Dt
Derivada Sustancial o Total <> Formulación Lagrangiana
“se sigue a las partículas fluidas”
+
Momento G = MV , g = ρV , J G = ?
El momento si que “difunde”, pero si el centro de la partícula fluida se fijase en el centro de momentos en lugar de en el centro de
masas no lo haría
∂
D
( ρV ) + ∇ ⋅ ρVV + J G = 0 → ρ (V ) + ∇ ⋅ J G = 0
∂t
Dt
Energía Interna G = Mu , g + = ρ u
Energía Total G = MeT , g + = ρ eT , J G = ?
eT = eEM + eK + u → u ?
eT = 0 = eEM + eK + u → u = −eK − eEM
(
)
( )
Energía Total = Energía Electromagnética + Energía Material = E. EM + E. Cinética + E. Interna.
T
u = u0 + ∫ Φ (T )dT  CV T
T0
Aerodinámica
Ecuaciones de la Mecánica de Fluidos
Ecuaciones de Balance: Flujos difusivos
Para establecer los flujos recurrimos la Termodinámica Lineal Irreversible (LIT) para
obtener las relaciones fenomenológicas entre fuerzas y flujos. (+ Detalles en Aerotermodinámica)
( )  = − ( − p + µ ∇ ⋅ V ) I + 2µ ( ∇V ) 
J MV = −τ = − π I + τ

s
0
s
v
J Mu = −λ∇T
0
Ecuaciones de Balance: Navier-Stokes
Masa
∂ρ
+ ∇ ⋅ ( ρV ) = 0
∂t
Momento
ρ
Energía
Interna
s
 ∂V

+ V ⋅ ∇V  = −∇p + ∇ ⋅  2 µ ( ∇V )0 


 ∂t

2 Eq. de Estado
p = ρ RT
s
s
 ∂u

ρ  + V ⋅ ∇u  = ∇ ⋅ ( λ ∇T ) − p ( ∇ ⋅ V ) + 2 µ ( ∇V ) 0 : ( ∇V ) 0



 ∂t

Φr
T
u = u0 + ∫ Φ (T )dT  CV T
T0
Aerodinámica
Análisis dimensional: Simplificaciones
Descubriendo (de nuevo) los núm. característicos
Termodinámicas: Valores en el instante inicial (0).
Magnitudes
Características
Velocidad: Corriente uniforme frente al obstáculo.
Longitud: Medida del obstáculo. Común para las 3 dimensiones.
U∞
L
Aerodinámica
Análisis dimensional: Simplificaciones
Descubriendo (de nuevo) los núm. característicos
Termodinámicas: Valores en el instante inicial (0).
Magnitudes
Características
Velocidad: Corriente uniforme frente al obstáculo.
Longitud: Medida del obstáculo. Común para las 3 dimensiones.
Número de Strouhal
Tiempos Característicos
∂ρ
+ ∇ ⋅ ( ρV ) = 0
∂t
Masa
St
Momento
γ 1
∂V
1 1
s
St
+ V ⋅ ∇V = − 2 ∇p +
∇ ⋅  2 µ ( ∇V ) 0 


M ρ
Re ρ
∂t
Energía
Interna
St
Good Old Classic
Reynolds and Mach Numbers
∂Tˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 γ ˆ ˆ ˆ ˆ γ − 1 ˆ ˆ
M 2 γ −1
ˆ Vˆ
+ V ⋅ ∇T =
∇ ⋅ λ ∇T −
pˆ ∇ ⋅ V + γ
2 µˆ ∇
Pr Re ρˆ
Re ρˆ
∂tˆ
ρˆ
(
)
(
)
( ) : (∇ˆ Vˆ )
s
s
0
0
Número de Prandtl
Difusividades térmica/viscosa
Aerodinámica
Análisis dimensional: Simplificaciones
Descubriendo (de nuevo) los números característicos
Si consideramos un número de Reynolds muy elevado: Se desprecian los efectos viscosos.
Ecuaciones de Euler
Masa
St
∂ρ
+ ∇ ⋅ ( ρV ) = 0
∂t
En 1D
∂V
γ 1
+ V ⋅ ∇V = − 2 ∇ p
∂t
M ρ
Momento
St
Energía
Interna
p
∂T
St
+ V ⋅ ∇T = − ( γ − 1) ( ∇ ⋅ V )
∂t
ρ
∂ρ
∂ρ
∂u
+u
= −ρ
∂t
∂x
∂x
∂u
∂u
γ 1 ∂p
St
+u
=− 2
M ρ ∂x
∂t
∂x
p ∂u
∂T
∂T
St
+u
= − ( γ − 1)
∂t
∂x
ρ ∂x
St
Duda:
¿Y si M=0?
Consecuencias de esta hipótesis: Ecuaciones de ondas, no hay efectos difusivos con lo que no hay posible
adaptación a una pared. Se pierde el efecto de capa límite y de cualquier disipación. Sólo hay efectos de
convección y compresibilidad.
Aerodinámica
Análisis dimensional: Simplificaciones
Descubriendo (de nuevo) los números característicos
Si consideramos un número de Reynolds muy elevado: Se desprecian los efectos viscosos.
Mesa de
Hele-Shaw
(líquido)
ρ  CTE
Aerodinámica
Flujo unidimensional
De Navier-Stokes a Bernoulli en una línea de corriente
En una línea de corriente, 1D, tenemos las siguientes relaciones
Masa
Momento
Energía
Interna
∂ρ
∂ρ
∂u
+u
= −ρ
∂t
∂x
∂x
∂u 
∂p 4 ∂ 2u
 ∂u
ρ +u  = − + µ 2
∂x 
∂x 3 ∂x
 ∂t
Sin efectos viscosos
Densidad Constante
∂T 
∂u
∂ 2T 4  ∂u 
 ∂T
ρ CV  + u  = − p + λ 2 + µ  
∂x 
∂x
∂x
3  ∂x 
 ∂t
∂ρ u
=0
∂x
 1 ∂u 2 
∂p
ρ
=−
∂x
 2 ∂x 
∂u
 ∂T 
ρ CV u  = − p
∂x
 ∂x 
∂ρ
∂ρ
∂u
+u
= −ρ
∂x
∂x
∂t
Flujo estacionario
2
 ∂u
ρ
 ∂t
+u
∂u 
∂p 4 ∂ 2u
=
−
+ µ

∂x 
∂x 3 ∂x 2
 ∂T
∂T 
∂u
∂ 2T
4  ∂u 
ρ CV 
+u  = −p + λ 2 + µ 
∂x 
∂x
∂x
3  ∂x 
 ∂t
Las ecuaciones unidimensionales relacionan
de manera directa y sencilla la evolución de velocidad y
presión a lo largo de una línea de corriente
Presión Estática + Presión dinámica = Presión Total
1 2
ρ u + p = pT
2
Alla Tecnología
Wh
2
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Función de corriente
Llegados a este punto: analizamos a fondo el movimiento convectivo/advectivo de un
fluido en 2D para después incrementar en complejidad. (Cinemática del Fluido)
Hipótesis: Flujo estacionario, incompresible y a muy alto número de Reynolds
Objetivo: Estudio del flujo bidimensional alrededor de un obstáculo (road to perfiles)
ρ  CTE , ∂ ∂t  0
∂ρ ∂ρ u ∂ρ v
∂ρ ∂ρ u ∂ρ v
∂u ∂v
+
+
= 0 →
+
+
=0→
+
=0
∂t
∂x
∂y
∂t
∂x
∂y
∂x ∂y
Partimos de la eq.
y
de continuidad
Esto permite definir una función ψ como diferencial exacto
θ
V = ui + vj
V = ∇ ×ψ
x
dψ = udy − vdx =
∂ψ
∂y
∂ψ
v=−
∂x
u=
∂ψ
∂ψ
∂ 2ψ
∂v ∂ 2ψ ∂u
∂v
Dif. Exacto
→
=− ,
=
=−
dx +
dy ←
∂x
∂y
∂x∂y
∂y ∂y∂x ∂x
∂y
P
P
P
A
A
A
ψ = ∫ udy − vdx = ∫ V ⋅ ( dy, dx ) = ∫ V ⋅ ndl
Línea de corriente: dψ = 0,
ψ = CTE
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Vorticidad y Circulación
Vorticidad: Se define como la rotación instantánea de un elemento fluido (”la tendencia de algo a girar”).
La eq. de momento puede reformularse en términos de la vorticidad aplicando un curl sobre ella y eliminando la presión.
En 2D nos interesa la componente del vector vorticidad del eje normal
al plano 2D.
ζ = k ⋅ Ω = k ⋅ (∇ × V ) =
∂v ∂u
−
∂x ∂y
Circulación: Integral de la proyección de la velocidad sobre una línea cerrada. Es una medida del número de
vórtices que atraviesan dicha línea.
Bajo las hipótesis anterirores (sin efectos viscosos, incompresible, 2D) la circulación se conserva. Aplicando
lo visto sobre las ecuaciones de balance podemos concluir que la circulación se conserva en dicha línea.
Tª Stokes
Γ = ∫ V ⋅ d l 
→Γ = ∫ ( ∇ × V ) ⋅ dS
*
C
Γ = ∫ ζ dA = CTE →
S
*Sii no hay ninguna discontinuidad en el dominio
∂ζ
∂ζ
∂ζ
+u
+v
=0
∂t
∂x
∂y
ζ = k ⋅ ( ∇ × V ) = 0 → Flujo Irrotacional
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial
Si la vorticidad es igual a cero en todo el fluido llamamos al flujo irrotacional (?).
Los flujos irrotacionales permiten definir funciones potencial de los que derivar los componentes del flujo.
Esto vuelve a ser consecuencia de la posibilidad de definir un diferencial exacto.
∂v ∂u
−
=0
∂x ∂y
∂φ
∂φ
∂ 2φ ∂u ∂ 2φ ∂v Irrotacional ∂u
Dif. Exacto
= ,
= ←→
dφ = udx + vdy =
dx +
dy ←→
∂x
∂y
∂x∂y ∂y ∂y∂x ∂x
∂y
∂φ
u=
∂x
∂φ
v=
∂y
ζ = k ⋅ Ω = k ⋅ (∇ × V ) =
Líneas equipotenciales
y líneas de corriente
son perpendiculares
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Ecuación de Laplace
Se demuestra que tanto la función de corriente como la función potencial de
velocidades cumplen la ecuación de Laplace

∂ 2φ ∂  ∂φ  ∂
Ec. Laplace
=
=
u
(
)






∂x 2 ∂x  ∂x  ∂x
 ∂u ∂v Continuidad
2
→ 0 → ∇ φ = ( ∇ ⋅ ∇ )φ = 0
 + 
Estacionario
2
∂
∂
x
y


∂ φ ∂ ∂φ
∂
Incompresible
=   = (v )
2
∂y
∂y  ∂y  ∂y 
∂ 2ψ
∂  ∂ψ
=

∂x 2 ∂x  ∂x
∂ 2ψ
∂  ∂ψ
= 
2
∂y
∂y  ∂y

∂

Laplace
=
−
v
(
)


Ec.


∂
x

 ∂v ∂u Vorticidad
2

→ 0 → ∇ ψ = ( ∇ ⋅ ∇ )ψ = 0
− +
Irrotacional
∂
∂
x
y
 ∂

 = (u ) 
 ∂y

Además, ambas funciones entre si cumplen las relaciones de Cauchy-Riemann:
∆φ = ∆ψ = 0
∂φ ∂ψ ∂φ
∂ψ
=
=−
,
∂x ∂y
∂y
∂x
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Potencial Complejo
Por lo tanto podemos definir una función potencial complejo con ambas funciones
sabiendo que son ortogonales (desfasadas 90º - i veces en el plano complejo).
Cuyo diferencial . . .
F = φ + iψ
dF Cauchy-Riemann dF ∂φ
∂ψ ∂ψ
∂φ
→
=
+i
=
−i
= u − iv
dz
dz ∂x
∂x
∂y
∂y
Con lo cual resolviendo la ecuación compleja de Laplace: ∆F = 0
podremos obtener las líneas de corriente de nuestro campo fluido bidimensional,
y de allí las velocidades y usando Bernoulli las presiones.
La solución fundamental (función de Green) de la ecuación
de Laplace nos dice que encontraremos comportamientos
1
“singulares” matemáticamente hablando.
G ( z , z ') = −
1
4π z − z '
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Soluciones Fundamentales
A continuación enumeramos diferentes formas de la función Potencial complejo soluciones de la ecuación de
Laplace
Corriente uniforme F ( z ) = ( u − iv ) z
(solución particular)
q
Log ( z − z0 )
2π
Fuente/Sumidero
F ( z) =
Torbellino
F ( z) = −
(solución singular)
(solución singular)
iΓ
Log ( z − z0 )
2π
La intensidad de fuente (q) y de torbellino (gamma)
caracterizan las discontinuidades.
Al ser una ecuación Lineal podemos sumar
los efectos de las soluciones particulares y
crear campos de funciones complejas que
∆F = ∆ ( F1 + F2 + ...) = 0
simulen la forma de nuestro obstáculo.
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Soluciones Combinadas
1) Corriente uniforme + Fuente/sumidero = Punto de Remanso
Corriente uniforme F ( z ) = Uz
Fuente/Sumidero
Ftotal = Uz +
Ftotal
F ( z) =
q
Log ( z − z0 )
2π
q
Log ( z )
2π

q
x
u = U +
2
2π x + y 2
q
dF
q 1
= Uz +
=U +
Log ( z ) →

dz
2π
2π z 
 q
y 
=
−
−
v

2
2 

 2π x + y 

( x, y )remanso
q
xr

q

xr = −
0 = U + 2π x 2 + y 2



2π U
r
r
→
→
yr
0 = q
y = 0
r
2

2π xr + yr 2

Punto de Remanso
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Soluciones Combinadas
Doblete + Corriente Uniforme
2) Fuente + Sumidero = Doblete
q
Log ( z + a )
2π
q
Sumidero en + a
F ( z) = −
Log ( z − a )
2π
dFˆ
2π
1
1
2a
=
−
=− 2
Ftotal = Fˆtotal = Log ( z + a ) − Log ( z − a ) →
q
dz z + a z − a
z − a2
Fuente en - a
F (z) =
3) Doblete + Corriente Uniforme = “Cilindro”
U
dFˆ
U
2π
2a
= 2π − 2
Ftotal = Fˆtotal = 2π z + Log ( z + a ) − Log ( z − a ) →
q
q
dz
q z − a2
K

a
1
1
 U
2π q + a − x − a + x = 0 → xr1,2 = ± K 2 + aK
( x, y )remanso → 

y = 0
 r
2
1
0
1
2
3
2
1
0
1
2
3
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Transformaciones en el plano complejo
4) Formas y Efecto Suelo
Efecto Suelo
Los obstáculos se definen en flujo potencial como regiones
desacopladas del resto.
2
E.g., el cilindro anterior comienza y termina en los correspondientes puntos
de remanso.
0
Para conseguir un suelo (e.g. superficie horizontal):
Añadiendo una función compleja simétrica respecto de la línea de
suelo creamos un “espejo” que provee una línea de corriente
horizontal en la posición del eje de simetría.
Fˆcilindro = Kz + Log ( z + a ) − Log ( z − a )
S  Fˆcilindro  = Log ( z + as ) − Log ( z − as )
FˆSuelo = Fˆcilindro + S  Fˆcilindro 
2
4
d suelo = y fuente / sumidero − ysuelo
as = x + i ( y fuente / sumidero − 2d suelo )
6
4
2
0
2
4
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Transformaciones en el plano complejo
5) La transformación conforme: Teorema del círculo
Riemann:
Transformación
Confrome
4
4
4

F ( z ) = Uz + F   = Uz + U = U  z + 
z
z
z

P
2
4
1
2
Milne-Thomson, L. M.
S
1
1
2
Q
2
1
(1940, April) Hydrodynamical images.
In Mathematical Proceedings of the Cambridge
Philosophical Society (Vol. 36, No. 2, pp. 246-247).
2
Buscando simetrías respecto del círculo: creamos un “suelo”
circular <> Cilindro.
 R2 
 R2 
FCon Cilindro ( z ) = FSin Cilindro ( z ) + FSin Cilindro   = F ( z ) + F  
 z 
 z 
0
2
4
4
2
0
2
4
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Transformaciones en el plano complejo
5) La transformación conforme: Teorema del círculo, Ejemplo
Elaborar un campo Fluido con: Un torbellino, un manantial y un cílindro en el origen.
 R2 
iΓ
Q
F (z) =
Log ( z − zT ) +
Log ( z − z F ) + F  
2π
2π
 z 
R2
zF
R2
zT
 iΓ
Q
Log ( z − z F ) +
 Log ( z − zT ) +
2π
 2π
F (z) = 
2
2
 Q Log  R − z  − iΓ Log  R − z 


F 
T 
 2π
 z
 2π
 z



iΠLog ( z − zT ) + Log ( z − z F ) +
π
2

Fˆ ( z ) =
F (z) = 
2
2
Q
Log  z − R  − iΠLog  z − R  − Log z + iΠ Log z + C
( )
( )





zF 
zT 



Aparecen discontinuidades reflejadas y en el origen para compensar el campo fluido.
Los signos son tales que balancean el campo fluido en el interior!
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Transformaciones en el plano complejo
6) La Transformación de Joukowsky (Жуковский)
z = J (ζ ) = ζ +
 z = x + iy → Plano de la nueva forma
→→ 
ζ
ζ = ξ + iη → Plano del cilindro
R2
Círculos ζ > R
Im[ζ ]
Joukowsky, N.E. (1910)
Über die Konturen der Tragflächen der Drachenflieger.
Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt. 1: 281–284 and (1912) 3: 81–86.
4
2
2
0
0
2
2
4
4
2
0
Re[ζ ]
2
4
Sobre el contorno de los apoyo-superficies (alas) de dragones-volantes (Alasdelta)
Documento-tiempo (revista) para la técnica-vuelo Dinámica del vuelo y Motor-[aire-barco-viaje (de avión) ]
J [Círculos ζ > R]
4
4
Función Multievaluada!!
Transformamos cilindros
buscando nuevas geometrías
( R = 1)
ζ 1,2 =
Im[ z ]
4
2
0
Re[ z ]
z ± z 2 − 4R2
2
2
4
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Transformaciones en el plano complejo
6) La Transformación de Joukowsky (Жуковский)
z = J (ζ ) = ζ +
 z = x + iy → Plano de la nueva forma
→→ 
ζ
ζ = ξ + iη → Plano del cilindro
R2
Círculos ζ < R
Im[ζ ]
Joukowsky, N.E. (1910)
Über die Konturen der Tragflächen der Drachenflieger.
Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt. 1: 281–284 and (1912) 3: 81–86.
Sobre el contorno de los apoyo-superficies (alas) de dragones-volantes (Alasdelta)
Documento-tiempo (revista) para la técnica-vuelo Dinámica del vuelo y Motor-[aire-barco-viaje (de avión) ]
J [Círculos ζ < R]
4
4
2
2
0
0
2
2
4
4
4
2
0
Re[ζ ]
2
Transformamos cilindros
buscando nuevas geometrías
4
Función Multievaluada!
( R = 1)
ζ 1,2
Im[ z ]
4
2
0
Re[ z ]
z ± z 2 − 4R2
=
2
2
4
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Transformaciones en el plano complejo
6) La Transformación de Joukowsky (Жуковский)
z = J (ζ ) = ζ +
 z = x + iy → Plano de la nueva forma
→→ 
ζ
ζ = ξ + iη → Plano del cilindro
R2
Vemos ahora el ejemplo siguiente: Una placa plana (cilindro de radio R) con una corriente incidente inclinada.
Im[ζˆ− ]
zˆ ± zˆ 2 − 4
z
ζˆ = = g ±   = g ± ( zˆ ) =
a
2
a
ζ
eiα
− iα
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
FPlaca ( z ) = ζ [ z ] e +
ζˆ [ zˆ ]
F
Fˆ =
Ua
De acuerdo a lo estudiado anteriormente,
un círculo de Radio R se transforma en una
una placa sin espesor de tamaño 4R.
Existen 2 regiones de estudio ya que la
transformación inversa es multievaluada.
−1
Im[ zˆ ]
+1
U
−2
U
+2
Re[ζˆ− ]
α
Re[ zˆ ]
Im[ζˆ+ ]
−1
α
+1
U
α
Re[ζˆ+ ]
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Potencial Complejo
6) La Transformación de Joukowsky (Жуковский)
Vemos ahora el ejemplo siguiente: Una placa plana (cilindro de radio R) con una corriente incidente inclinada.
(
−4 ) 1
=
)
)
(
(
)
eiα
eiα 1
2eiα
1
1
FˆPlaca ( z ) = ζˆ [ z ] e − iα +
= ζˆe − iα +
= zˆ ± zˆ 2 − 42 e − iα +
= zˆ + zˆ 2 − 42 e − iα + zˆ  zˆ 2 − 42 e + iα
2
ζˆ [ z ]
ζˆ 2
zˆ ± zˆ 2 − 4 2
2eiα
zˆ  zˆ 2 − 42
zˆ ± zˆ − 4 zˆ  zˆ − 4
2
2
=
(
2eiα zˆ  zˆ 2
2
2
zˆ − zˆ + 4
2
2
( zˆ 
)
zˆ 2 − 42 e + iα
FˆPlaca , ± ( zˆ ) = zˆ cos α  i zˆ 2 − 42 sin α
(...)
dFˆPlaca , ±


zˆ
sin α 
= U cos α  i
dz
dzˆ
zˆ 2 − 42


Puntos de Remanso: x = ±2a
V± = u± − iv± =
dFPlaca , ±
=U
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Potencial Complejo
6) La Transformación de Joukowsky (Жуковский)
Vemos ahora el ejemplo siguiente: Una placa plana con una corriente incidente inclinada.
Inclinación: α = 5º
Inclinación: α = 20º
Inclinación: α = 45º
2
2
2
1
1
1
0
0
0
1
1
1
2
2
4
2
0
2
4
2
4
2
0
2
4
4
2
0
2
4
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Potencial Complejo
6) La Transformación de Joukowsky (Жуковский)
Vemos ahora el ejemplo siguiente: Una placa plana con una corriente incidente inclinada.
Inclinación: α = 45º
Experimento en Mesa de Hele-Shaw
2
1
0
1
2
4
2
0
2
4
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Potencial Complejo
6) La Transformación de Joukowsky (Жуковский)
z = J (ζ ) = ζ +
Si alteramos la posición del círculo o el valor de su radio:
y
η
ζ0
ξ
Centro: ζ 0 = 0
Radio: R
x−
η
ζ0
y
−
y
ξ
Centro: ζ 0 = 0
Radio: Rδ , δ >1
x−
y
η
ζ0
 z = x + iy → Plano de la nueva forma
→→ 
ζ
ζ = ξ + iη → Plano del cilindro
R2
ξ
Radio: R 1 + δ
2
x
−
y
+
x+
x+
Placa Plana
x
Elipse
 x − = − R ( k 2 − 1) k

 x + = R ( k 2 − 1) k

 −
2
 y = − R ( k + 1) k
 +
2
 y = R ( k + 1) k
x
 x − = −2 R
 +
 x = +2 R
Arco de circunferencia  −
 y = 2δ R
 y + = 2δ R

x
−
y
Centro: ζ 0 = iδ R
y+
 x − = −2 R
 +
 x = +2 R
 −
y = 0
 y+ = 0

y−
y+
x
+
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Potencial Complejo
6) La Transformación de Joukowsky (Жуковский)
z = J (ζ ) = ζ +
Si alteramos la posición del círculo o el valor de su radio:
η
η
ζ0
y
Centro: ζ 0 = −ε R
ξ Radio: R = R (1 + ε )
ζ0
 z = x + iy → Plano de la nueva forma
→→ 
ζ
ζ = ξ + iη → Plano del cilindro
R2
2
x+ x
y−
Perfil
Simétrico
 x − = −2 R 1 + 2 ε 2 (1 + 2ε ) 



 x + = +2 R

 −
2

1 + 2ε 
 y = −2 Rε 1 + 2 ε
 +
2
1 + 2ε 
 y = +2 Rε 1 + 2 ε
Perfil con
Curvatura
 x − = −2 R 1 + 2 ε 2 (1 + 2ε ) 



 x + = +2 R
 −
2
2
 y = R ( h + δ − 2δ h − 1) (δ − h )
 +
2
2
 y = R ( h + δ + 2δ h − 1) (δ + h )
y
Centro: ζ 0 = R ( −ε + iδ )
Radio: R (1 + ε ) + δ 2  = Rr


ξ
h2 = r 2 − ε 2
y
x−
+
x
−
y+
x
y
−
+
x
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Campo de Presiones
A partir del campo de velocidades - Potencial complejo podemos obtener el campo de presiones del fluido
Obtenemos el coeficiente de presiones desde Bernoulli:
p+
1
1
1
1
2
2
2
ρ V = p∞ + ρ V∞ → p + ρ ∇φ = p∞ + ρ V∞
2
2
2
2
Ejemplo: Valor del coeficiente de Presiones en un Cilindro (Teoría Potencial)

 R2 
R2 
dF
F ( z ) = U∞  z +
U
→
=


∞ 1 −
1 dF
z 
dz
z 2 


→ 2
dF
 U ∞ dz
z = R eiθ →
= U ∞ (1 − e −2iθ )

dz
2
z = R eiθ
2
dF
2
∇φ
dz
→ cp = 1 −
= 1−
2
U∞
U ∞2
cp
1
1
= (...) = 4sin 2 θ
c p (θ ) = 1 − 4sin 2 θ
2
1
2
3
2
3
4
5
6
θ
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Campo de Presiones
Validez de la solución potencial para diferentes números de Reynolds
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Fuerzas sobre una distribución General
Se define el siguiente problema general: Buscamos las Fuerzas sobre S
Distribución local de torbellinos, fuentes y sumideros
S∞
L
y
U∞
Suponemos S como línea de corrente (frontera):
Y se define la circulación global de los torbellinos:
D
γ ( x), q ( x)

V ⋅n S = 0
i
1
γ ( z0 ) log ( z − z0 ) dS +
F ( z ) = U∞ z +
q ( z0 ) log ( z − z0 ) dS
∫
2π S
2π ∫S
x
Aplicamos la ecuación de Cantidad de Movimiento
*
∫
ST = S∞ + S + *

ρV (V ⋅ n ) dS = −
∫
ST = S∞ + S + *




pndS = − ∫ pndS − Di + Lj
S∞

 D = p ( n ⋅ i )dS − ρ u (V ⋅ n ) dS
∫
∫

S∞
S∞
Fuerza Aerodinámica en S 
 

 L = ∫ p ( n ⋅ j )dS − ∫ ρ v (V ⋅ n ) dS
S∞
S∞

0
S
Γ = ∫ γ ( z0 ) dS
S
S
∫ q ( z ) dS = 0
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Fuerzas sobre una distribución General
Se define el siguiente problema general: Buscamos las Fuerzas sobre S
S∞
L
y
U∞
D
S
x
*
Son sólo integrales,
no pueden hacerte daño
 
z 
z  Taylor

z 
→ Log ( z ) + O  0 
En S∞ → Log  z 1 − 0   = Log ( z ) + Log 1 − 0  
z 
z 

 z 
 
Γ



1 
i 
 z0 
F ( z ∈ S∞ )  U ∞ z +
 ∫ γ ( z0 ) dS  Log ( z ) +
 ∫ q ( z0 ) dS  Log ( z ) + O  
2π  S
2π  S
 z 


2

Γ
 z0 
θ
sin
=
+
+
u
U
O

∞
 
2π r
iΓ
 z 
 z0  
Log ( z ) + O   → 
F ( z ∈ S∞ )  U ∞ z +
2
2π
 z  
Γ
 z0 
Desde lejos, las cosas parecen torbellinos v = − 2π r cos θ + O  z 
 

“En fluidos, lejos es aquí al lado”
1
1
ρΓ U ∞
2
z 
p ( z ∈ S∞ ) = p∞ + ρU ∞2 − ρ V = (...) = p∞ −
sin θ + O  0 
2
2
2π r
 z 
2

z 
V ⋅ n = u cos θ + v sin θ = U ∞ cos θ + O  0 
 z 
2
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Fuerzas sobre una distribución General
Desde lejos, las cosas parecen torbellinos
En clase: Son sólo
integrales :))))
Yo:
Prandtl L. (1936): Entstehung von Wirbeln bei Wasserstr omungen - 1. Entstehungvon Wirbeln
und kunstliche Beeinflussung der Wirbelbildung. Institut fur Wis-senschaftlichen Film (IWF), Gottingen,C1
Aerodinámica
Son sólo integrales,
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Fuerzas sobre una distribución General
Se define el siguiente problema general: Buscamos las Fuerzas sobre S
no pueden hacerte daño
Finalmente:
S∞
L
y
U∞
2π
Γ
ρΓ U ∞




sin θ  cosθ rdθ − lim ∫ ρ U ∞ +
sin θ  [U ∞ cosθ ] rdθ = 0
D = − lim ∫  p∞ −
r →∞
r →∞
2π r
2π r



0 
0
2π
D
2π
ρΓU ∞


 Γ

sin θ  sin θ rdθ − lim ∫ ρ  −
cos θ  [U ∞ cos θ ] rdθ = ρΓU ∞
L = − lim ∫  p∞ −
r →∞
r →∞
2π r

 2π r

0 
0
S
x
*
2π
Paradoja de D’Alambert
D=0
Fórmula de Kutta-Joukowsky
L = ρΓU ∞
Si no circula,
NO SUSTENTA
Aerodinámica
Flujo bidimensional y teoría potencial
Flujo Potencial: Cilindro (ahora con Sustentación)
Teniendo en cuenta la tran. de Joukowsky y la fórmula de Kutta, buscamos un perfil-cilindro sustentador.
Para mantener el Teorema del círculo, añadimos el torbellino en el centro del cilindro
y
Π




R  iΓ
z
1
1
1
Γ
z




F ( z ) = U∞  z +
F   =  zˆ +  + i
Log   → Fˆ ( zˆ ) =
Log ( zˆ ) = zˆ + + iΠ Log ( zˆ )
+
z  2π
U∞R  R  
zˆ  2π U ∞ R
zˆ
R

2
x
Ahora queda 1 parámetro indeterminado:
Π =1
Π=0
Π=2
4
4
4
2
2
2
0
0
0
2
2
2
4
4
4
2
0
Γ ⇔ Π que marcará el comportamiento del campo Fluido
2
4
Puntos de Remanso:
d ˆ
F ( zˆ ) = 0 → zˆ 2 + iΠzˆ − 1 = 0
ˆ
dz
zˆr1,2
4
4
2
0
2
4
4
2
0
2
4
Π = 0 → zˆr1,2 = ±1

iθ
−1 ≤ Π ≤ 1 → zˆr1,2 ∈ R e
= −iΠ ± 1 − Π 2 → 
Π = 1 → zˆr1,2 = −i
 Π > 1 → zˆr1,2 ∉ R eiθ

Aerodinámica
Fin
y . . . entonces? qué hacemos con la circulación?
pero . . . No era todo irrotacional?
al
k
ζ=
⋅(
V
∇×
)
→
=0
jo
Flu
ion
c
a
ot
Irr
Γ= V
Tª Stoke
∫ ⋅ d l 
s*

→Γ =
C
∫ ( ∇ × V ) ⋅ dS
S
Seguimos en Teoría de perfiles