Apontamentos de Econometria II
Aula 1
Importância dos Dados Temporais
Em Econometria I, os modelos económicos assumiam que as observações/dados eram de
natureza seccional (cross-sectional): indivíduos, famílias, países, empresas, ... observadas
num único/restrito período de tempo. A amostra era tratada com sendo aleatória, i.e., não
correlação entre as observações.
Quem trabalha na banca, seguros, empresas publicas, finança, organizações nacionais e
internacionais, ... muitas das vezes (ou a maior parte do tempo) estuda modelos com variáveis
que se observam ao longo do tempo.
PIB real
•
O produto (PIB), a quantidade/variável que normalmente usada para caracterizar o
ciclo económico de uma Economia.
Aula 2
Alguns Conceitos
•
Uma time series/serie temporal/sucessão cronológica em IR é uma função real em
que para cada período de tempo t fixo, Yt é uma variável aleatória que ocorre
sequencial e ordenadamente no tempo.
•
Na prática, observamos uma sequência de valores reais ao longo do tempo. Deixa de
ser uma sequência de variáveis aleatórias para passar a ser uma sequência de valores
reais.
•
Algumas variáveis flutuam de uma forma estável em torno de um valor médio
(estacionárias, p.e. growth) e outras não, porque tendem a “explodir” no tempo (não
estacionárias, p.e. PIB).
•
Porque a analise da regressão com estes dois tipos de dados é diferente, precisamos
de os distinguir começando o semestre assumindo estacionaridade de todas as
variáveis do modelo (na Parte2 vemos a não estacionaridade).
•
Frequência dos dados: Anual, Trimestral, Mensal, Semanal, Diária, ...
•
Dimensão da amostra (período amostral) T: Os dados são observados de t = 1 até t =
T i.e. t = 1,2,...,T o qual está associado ao período correspondente. Por exemplo, de
1947Q2 a 2019Q3 (T = 290)
•
Ao contrário dos dados seccionais, podemos “brincar” com os dados em função do
que o modelo económico sugere na sua dimensão temporal. Por exemplo, o produto
(RGDP).
o Lags (desfasamentos)
Exemplo: RGDPt−1, RGDPt−4, ...
o Leads
Exemplo: RGDPt+1 ...
o Variações absolutas (primeiras diferenças/first differences)
Exemplo: △RGDPt =RGDPt−RGDPt−1 variação em cadeia
△RGDPt =RGDPt−RGDPt−4 variação homóloga
o Variações relativas (percentuais)
Exemplo: △ log(RGDPt ) = log(RGDPt ) − log(RGDPt−1)
Aula 3
Cov (yt, yt-1)
• Variância de y em tempos diferentes na amostra.
• l= 1 => 1 trimestre (em cadeia).
• Covariância é uma função de l, depende de l.
Os dados em Econometria II não tem Cov = 0 ¹ Econometria I
A (auto)covariância Cov (Yt,Yt-l) = Cov (Yt,Yt+l) = Γ(l) é uma função do desfasamento l.
• Cov(Yt,Yt+l) = 0 => Em Econometria II isto não se verifica
A memória existe e dissipa-se no tempo: Γ(l) → 0 quando l → ∞.
Para uma série temporal observada, estima-se Γ(l) pela (auto)covariância amostral e
Corr(Yt,Yt-l) por
Do file – PIB em termos reais - TS1
Twoway (tsline GDPC1) -> Gráfico
gen y = GDPC1
•
Nome para GDPC 1.
gen f1y = F.y
•
PIB em t+1.
•
Valor do PIB no período seguinte (trimestre seguinte).
•
Dá a coluna com o PIB do trimestre seguinte.
•
Importante: Algumas decisões económicas baseiam-se em como vamos estar no
futuro.
gen l1y = L.y
•
O PIB em t-1.
•
O PIB no trimestre anterior (em coluna).
genl4y = L4.y
•
PIB no ano anterior no mesmo trimestre.
•
4 trimestres = 1 ano.
l –> desfasamento temporal que
estou a analisar
gen d1y = D.y
•
Variações absolutas do PIB (nas mesmas unidades do que o PIB).
•
Variação em cadeia (em relação ao trimestre anterior).
gen 4y = y – l4y
•
Variação homóloga do PIB em unidades (dólares).
•
Linha 27 (gen d4y_ = S4.y) faz o mesmo.
ac y
•
Gráfico (autocorrelação).
•
Horizontal -> e
•
A correlação com 1 ano de afastamento temporal é maior do que a correlação com 5
anos de afastamento temporal.
ac rd1lypp
•
Em cadeia.
•
Zona Sombreada – Teste de Hipóteses:
o H0: Autocorrelação (l) = 0; H1: Autocorrelação (l) ¹ 0
o Aceito H0 quando a bola (estimativa da autocorrelação) está dentro da zona
sombreada.
l1 -> Há correlação entre o crescimento económico em cadeia com 1 trimestre de
desfasamento.
l 2 -> Também há correlação, a partir daí deixa de haver.
ac rd4lypp
• Homólogo.
• Há uma correlação entre o crescimento deste ano e do ano anterior.
• Há uma correlação entre o crescimento quando se varia 1 ano (4 trimestres) maior do
que quando se varia 1 trimestre.
gen rd1y = (y – l1y) / l1y
• Linha 33 (rd1ypp = rd1y*100) é igual só que em %.
• Variação percentual em cadeia (trimestre a trimestre) em relação ao período
(trimestre) anterior.
gen rd4y = (y – l4y) / l4y
• Variação percentual em relação ao ano anterior.
• Variação percentual homóloga (em relação ao mesmo trimestre do ano anterior).
gen rd1lyoo = D.ly*100
• Variação do log do PIB.
gen rd1y = rd1y*100
• Variação em percentagem.
gen rd4lypp = (ly – LY.ly)*100
• Variações em percentagem em relação ao mesmo trimestre do anterior.
• Variação do log do PIB.
Aula 4
O Modelo ...
O modelo de regressão linear múltipla é escrito exatamente da mesma maneira que em
Econometria I. Para distinguir de dados seccionais, fazemos a troca de i por t e de n por T:
® K – número de Betas no modelo
® Variáveis x’s - regressores
Diferente de Econometria I
Aspetos distintos dos dados seccionais:
• A ordem da observação t é importante. Não se pode alterar a posição da observação
porque respeita a evolução temporal!
• A teoria económica ou o próprio investigador estabelece o tipo de especificação no
modelo. Alguns exemplos:
1. Existe apenas um único regressor (x) mas com vários desfasamentos.
2. A própria variável dependente (y) na lista de regressores => Ex: o output gap e um
país é explicado pelo output gap desse mesmo país no período anterior.
3. A própria variável dependente (y) desfasada e o próprio x desfasado na lista de
regressores.
4. A própria variável temporal (t) está incluído na lista de regressores.
• Os erros do modelo ut podem ter autocorrelação (reparar no “podem” - no MRLM, os
erros têm um papel diferente das variáveis dependente e independentes que são
económicas e observadas e, portanto certamente autocorrelacionadas. Mais detalhes
ao longo do semestre).
Modelos WN e MA (White Noise e Moving Average)
Modelos que incorporam autocorrelação na variável. Para identificarmos o modelo para
dados sem autocorrelação (a la Gauss Markov de Econometria I) e porque é a base dos
modelos com autocorrelação MA e AR, começo com o Ruido Branco (White Noise).
Denomine-se εt por Ruído Branco (white noise) o processo em que E(εt)=0; V(εt)=σε2 <∞ e
Γ(l)=0 para todo l: εt ∼ wn (0, σε2). Pode-se assumir para simplificar uma distribuição normal
estandardizada.
O processo médias móveis de 1º ordem, MA1, ut satisfaz
Modelo AR (Auto regressive)
O processo autorregressivo de ordem 1, AR (1), sem termo independente, ut satisfaz
® Modelo autorregressivo porque, como o próprio nome indica, é uma auto regressão,
uma vez que aparece a própria variável u com um desfasamento.
® ρ é o parâmetro do modelo do erro, mede a correlação dos erros.
Para que este processo seja estacionário e de memória que se dissipa, |ρ| < 1. Neste caso,
® A correlação neste modelo nunca é zero, caso l = 0, Corr (ut,ut−l) = 0 logo ρ = 0 e assim
faria com que voltássemos a ter um ruído branco => Exemplo: Expressão 5 se ρ = 0,
fica ut = εt.
® Nunca é zero a autovariância no modelo AR, independentemente do desfasamento.
Tal
como
acontece
para
o
MA,
Corr
(ut,ut−l)
=
ρl
→
0
quando
l → ∞ mas a forma como oscila para chegar a zero depende se ρ > 0 ou ρ < 0. O modelo AR(p),
sem termo independente é
® Quando o l aumenta, o afastamento temporal é maior.
® À medida que aumenta o l, a memória vai desaparecendo (ρl) => a correlação vai
diminuindo.
® À medida que o ρ aumenta, o decaimento é mais lento.
Formulas do OLS (Ordinary Linear Square) – Estimador pelo Método Mínimo Quadrados
Mínimos Quadrados Sem Ponderação - Standard
Mesmo com dados temporais e assumindo estacionaridade e as hipóteses de Gauss-Markov,
nomeadamente a não autocorrelação dos erros,
para todo t ¹ s, podemos usar as fórmulas usuais do OLS aprendidos em Econometria I
(estimador, variâncias e covariâncias, testes t e F, R quadrado, ...) para estimar o modelo
Mas em modelos com time series os erros podem estar autocorrelacionados, e a hipótese
Gauss-Markov não é válida.
Este fenómeno também pode ser consequência de uma má especificação (por exemplo, a
omissão de yt−1 como regressor ou lags nos x’s). Ou seja, os resultados de Econometria I
podem não ser válidos!
Curva de Phillips
Em teoria, + desemprego => - inflação e – desempego => + inflação devido às pressões
salariais que levam ao crescimento económico e consequentemente ao aumento da inflação.
Nível de significância necessita de ser 10%, porque a 5% não se verifica a curva de Phillips.
NOTA: É necessário indicar no Stata que os dados são temporais, se não o Stata assume que
são sectoriais.
Do file – Curva de Phillips - TS1
tsset year, yearly
• Tsset - Time series setting
• Time variable: year
• Delta: 1 year (yearly)
Linha 51 twoway (tsline inf) (tsline unem)
• Gráfico da inflação e do desemprego
• Curva de Phillips verifica-se até 1973/74
• 1970-1973– choques petrolíferos, crise económica levou ao aumento do desemprego
(quase chegou aos 2pp) => inflação e desemprego aumentam => curva de Phillips
deixa de se verificar
Linha 52 twoway (tsline inf) (tsline unem) if year<1974 – 1º metade verifica-se.
Linha 53 twoway (tsline inf) (tsline unem) if year>1973 – na sub sample, já não é tão
significativo.
Diferença entre tsline e scatter plot
• Time series line
• Scatter plot (pares ordenados entre x e y)
Linha 54 twoway (scatter inf unem)
• Não é possível traçar uma linha de correlação negativa
Linha 55 twoway (scatter inf unem) if year<1974
• Já é possível
Linha 58 regress inf unem
• H0: inflação não responde ao desemprego; H1: Inflação responde ao desemprego
• P value > ao nível de significância de 10% => Eu não rejeito H0, ou seja, eu aceito H0
Linha 59 regress inf unem if year<1974
• Subsample – restrinjo à primeira metade do período – P value < nível de significância
de 10%.
• Por mais 1 pp no desemprego, a taxa de inflação decresce 0,78 pp.
• Termo independente dá-nos o valor esperado do y quando o x=0.
• Espera-se que a inflação atinga 6pp quando a o desemprego é 0?? (cons).
Linha 60 regress inf unem if year>1973
• Stag inflation period.
• O desemprego variou, não em resposta à inflação, mas sim aos choques petrolíferos.
Aula 5
Heterocedasticidade de Econ I => Se há heterocedasticidade a solução é a estimação de
Mínimo Quadrados mantendo os SE Robustos.
Roadmap
Vamos admitir que no modelo possa haver autocorrelacão nos erros.
O que significa isso para as hipóteses Gauss-Markov?
Que consequências implica para o OLS?
Como se pode testar esse pressuposto? Se houver evidência disso, como o resolver?
Este o roadmap dos próximos slides (similar ao caso de hétero de Econ1). Consideremos um
esquema de autocorrelação nos erros tal que
para algum t ¹ s. Por exemplo, seguir um processo MA ou AR.
® A covariância entre 2 ou mais erros do modelo é ¹ 0, isto é, 2 ou mais erros do modelo
estão correlacionados, é violada a hipótese de Gauss-Markov.
Autocorrelação nos Erros
Para ilustrar, vejamos ut AR (1) homocedástico. A matriz de variâncias e covariâncias dos erros
ΩT ×T = V (u|X) é
® Diagonal principal: variâncias do erro
® Fora da diagonal principal: covariâncias do erro
Notar que isto viola a hipótese Gauss-Markov porque fora da diagonal principal teríamos 0’s.
Mesmo que as restantes hipóteses G-M permaneçam válidas, o OLS apesar de centrado (e,
consequentemente, consistente), não é BLUE e os testes habituais não são válidos, mesmo
assintoticamente.
® Apesar de o estimador ser centrado e consistente, já não é BLUE, isto é, o mais
eficiente (menor variância).
® A partir do momento em que estamos a usar o Standard Errors do estimador OLS com
a fórmula usual e essa fórmula está errada => os testes habituais deixam de ser válidos
bem como os intervalos de confiança.
Estas são as consequências de ignorar a existência de erros autocorrelacionados no modelo.
Consequências para o OLS
O OLS deixa de ser BLUE, o mais eficiente (há outro estimador mais eficiente, como veremos
mais tarde).
Mas mais importante na prática, estaremos a fazer mal os testes com o OLS porque usaremos
fórmulas erradas. Para o teste t, o denominador o SE do OLS (raiz quadrada da variância
estimada do OLS). No MRLS e sob ut do tipo AR (1) estacionário, |ρ| < 1,
Logo, usar a expressão usual de G-M
está errado! Se o SE está errado então
também estará o rácio-t e podemos errar na decisão da significância do(s) regressor(es)! Idem
para testes-F e intervalos de confiança!
Testar a não autocorrelação dos Erros
Para sabermos se temos ou não a violação da hipótese G-M e se, com isso, precisamos de
mudar alguma coisa na estimação e testes no modelo, temos de recorrer a testes.
Consideremos o modelo AR (1) estacionário, que é parcimonioso mas ao mesmo tempo cobre
os casos de não autocorrelação (i.e. ρ = 0) e de autocorrelação (i.e. ρ ¹ 0 e |ρ| < 1) dos erros
O mais simples (mas não o melhor) é fazer um teste t a ρ (H0: ρ = 0 versus H1: ρ ¹ 0) no
modelo
onde ût são os resíduos OLS e
Teste Durbin-Watson (DW)
A estatística de teste DW é
Notas:
• O teste é a um AR (1) e não se aplica a modelos dinâmicos (i.e., não pode incluir na
lista de regressores o próprio y desfasado).
• A DW varia entre 0 e 4 (logo, não é um teste standard) e a sua distribuição não é
standard e depende de T e de k, isto é, do número de observações e de betas do
modelo. Ver os valores críticos dL (lower bond) e dU (upper bond) no livro ou num site.
o dL e dU dependem do número de observações e de betas.
o DW tabela
• A regra de decisão inclui uma região inconclusiva (nada se pode concluir).
Quando nada se conclui com o teste DW, podemos usar o teste AR (1) assimptótico,
sob H0: ρ = 0.
Para testar um AR (1) em modelos dinâmicos pode-se usar os testes h-Durbin e h-Durbin
alternativo.
Regra Decisão DW
® Quando p = 1, o valor da DW é 0.
o Entre 0 e dl, rejeita-se H0 porque há correlação positiva (ρ > 0).
® Quando p = - 1, o valor da DW é 4.
o Entre 4-dl e 4, rejeita-se H0 porque há correlação negativa (ρ < 0).
® Quando p = 0, o valor da DW é 2.
o H0: Os erros não estão correlacionados; => não se rejeita H0 quando a
estatística de DW apresenta valores perto de 0, isto é, entre du e 4 – du (du e
4-du são valores críticos da tabela).
® Entre dl e du e 4-du e 4-dl, nada se pode concluir (região inconclusiva).
Teste Breusch-Godfrey (BG)
Testes à autocorrelação dos erros de ordem superior (não restrita a AR (1)). Para erros AR(p),
consideremos a regressão auxiliar de teste
Como H0: ρ1 = ... = ρp = 0, podemos usar um teste F (significância conjunta de ût-1, ..., ût-p).
Alternativamente,
pode-se
usar
a
estatística
de
Breusch-Godfrey
(T − p) R2, onde o R2 é da regressão anterior, e que assimptoticante é distribuída como χ2p.
O teste Box-Pierce e Lyung-Box são procedimentos alternativos aos anteriores.
Do file – Curva de Phillips - TS1
Linha 63 estat dwatson
•
Estatística de Durbin-Watson.
•
Necessário correr a linha 49 para que o Stata resolva a estatística de DW porque por
default o stata assume que são dados seccionais.
•
Tabela
•
K=1* (* não estou a incluir o termo independente) que é a taxa de desemprego
(variável independente) e t = 48
•
DL: 1.503
•
DU:1.585
Linha 64 estat bgodfrey
•
Estatística BG.
•
Somente os p-values, não são necessário os valores críticos.
Linha 66 predict uhat, resid
•
Resíduos dos MQ
•
Modelos com resíduos normalmente não se põe termos independentes
Linha 67 pac uhat
•
Estimador parcial
Linha 68 gen l1uhat=L1.uhat
Linha 69 gen l2uhat=L2.uhat
Linha 70 gen l3uhat=L3.uhat
Linha 71 regress uhat l1uhat, nocons
•
Econ I – tiramos a constante porque o valor esperado da média amostral é zero.(?)
Linha 72 display 1-0.8027005/2
Linha 73 regress uhat l1uhat l2uhat l3uhat unem
•
3 lags de resíduo => vou testar um AR (3)
•
Estimar o modelo com variável dependente- o resíduo (uhat)
Linha 74 test (l1uhat l2uhat l3uhat)
•
Teste à significância conjunta do que está dentro dos parenteses => teste F da BG
com AR(3)
Linha 75 display sqrt(49)*0.5729695**
•
Teste AR (1) assimptótico, usado quando o teste DW é inconclusivo =>
**(DW
alternativo)
•
Resultado=4, está à direita de 1,96, logo rejeitamos H0. Há autocorrelação dos erros.
Linha 77 regress inf unem
•
Output errado, os SE são usuais
o Ou corrigo as fórmulas dos SE uma vez que há hetero => SERobustos
o Ou arranjo outra forma de estimar os betas uma vez que há hetero
=>MQPonderados
Comparação da linha 77 e 80
•
O Beta é igual porque continuamos a usar os MQ
Linha 78 ac uhat
Linha 79 pac uhat
Linha 80 newey inf unem, lag(1)
•
Os coeficientes não mudam porque continua a ser usado o mesmo método de
estimação, no entanto corrigido (SERobustos, novo t, novo p-value, novo intervalo
de confiança)
•
Regressão com Newey West SE e o devido m identificado [lag(1)]
•
O output obtido na linha 77 corrigido
Linha 81 newey inf unem, lag(3)
•
Preferível usar a linha 81 do que a 80 porque apresenta mais desfasamentos
Aula 6
Fórmula de Newey-West (está nos apontamentos, formula 41) é baseada na fórmula 18
(não é a formula 18 porque temos uma entidade que não se conhece – ómega)
Formula 41
•
M => lags
•
St estimado => Autocovariâncias amostrais dos resíduos
Existem 2 soluções para quando existe autocorrelação dos erros:
o Manter a estimação dos betas por OLS mas corrigir os SE’s => usar os SE’s de NeweyWest (melhor solução, porque os betas continuam a ser centrados e consistentes);
o Abdicar do OLS e usar os GLS e FGLS.
V(
OLS
) sob autocorrelação
Esta deve ser a solução quando há autocorrelação dos erros: Manter a estimação dos betas
por OLS mas corrigir a expressão das suas variâncias-covariâncias pela fórmula de NeweyWest para tornar a inferência correta (corrigir os SE’s).
Vimos antes que se os erros seguem um AR(1),
Se adivinhássemos que os erros eram mesmo um AR(1) então a V(
OLS )
robusta a AR(1) era
a da expressão anterior substituindo os parâmetros ρ e σ2u pelas suas estimativas.
® Ou seja, se não há autocorrelação nos erros usa-se
® Se há autocorrelação nos erros usa-se a fórmula (18) que dará SE’s corretos.
.
SE’s do OLS de Newey-West robustos a autocorrelação
Obviamente, assumir que os erros são AR (1) é um tiro no escuro e se não for assim então
continua errada a fórmula da matriz! Portanto, importa definir s.e.’s robustos do OLS sem
impor um modelo apriori (robusto a qualquer modelo para os erros).
Wooldridge (2003) propôs um método, mas deve-se a Newey and West (1987) uma fórmula
geral robusta a autocorrelação mas também de heterocedasticidade para
do estimador
OLS.
A raíz quadrada de
e o desvio padrão de
robusto a autocorrelação. É com este SE que
se devem fazer os testes quando há autocorrelação dos erros.
A formula de NW robusta para V(
OLS
) é complicada e pode-se ver a sua expressão nos
apontamentos ou livro.
Esta fórmula tem um kernel e um parâmetro de truncagem (fixed bandwidth) sobre os quais
não nos debruçaremos.
Aula 7 – 16/10/2020
Procedimentos Iterativos
Como indicado atrás, esta não deve ser a principal solução quando há autocorrelação dos
erros (deve ser os SE do OLS robustos).
De qualquer modo, é pertinente conhecermos um novo estimador (diferente do OLS) e que
é mais eficiente do que o OLS quando há autocorrelação.
A ideia é semelhante ao caso da heterocedasticidade de Econometria I (o WLS é mais eficiente
do que o OLS sob hetero). O modelo tem autocorrelação e transformamo-lo (quasidiferenças) de modo a passar a ser definido com variáveis transformadas com erros GaussMarkov.
Ilustro com um exemplo:
Método de Cochrane-Orcutt
O MRLM
com erros AR (1), ut = ρut−1 + εt, é equivalente ao modelo (transformado)
onde εt é não autocorrelacionado.
® εt é um ruído branco
® Quase-diferença porque em yt – ρyt - 1 não sabemos o valor de ρ. Se ρ = 1, então seria
uma diferença (yt – yt – 1).
Se ρ fosse conhecido, tomava-se o seu valor e aplicava-se o princípio dos mínimos quadrados
(teríamos o GLS – General Linear Square). Mas ρ não é conhecido, tem de ser estimado. Mas
depende dos resíduos e estes por sua vez dos parâmetros estimados ... ... é um “loop”!
Método de Cochrane-Orcutt - Iterações
Procedimento a dois passos - estimar sucessivamente ρ (e β) com novas séries de resíduos
até à iteração na qual a variação de
custa da última iteração para
é negligenciável. O estimador FGLS
é pois obtido à
:
•
Se conhecesse o ρ era GLS, mas como não conheço é o FGLS.
•
Mais eficiente será o melhor ρ possível.
•
Se o ≥ 1, não uso este método porque não conseguirei fazer esta convergência.
Estimadores GLS e FGLS
Este slide é apenas telegráfico.
Para uma qualquer matriz Ω conhecida, o estimador eficiente é o estimador GLS (generalized
LS).
Na prática, esta matriz Ω não se conhece e tem de ser estimada. O estimador passa a ser o
FGLS (feasible)
•
Não se aconselha esta solução porque é difícil estimar com qualidade a matriz
ómega. Se nos enganarmos, a fórmula do estimador fica errada.
Nota: Se os erros não estiverem autocorrelacionados, os SE do NW são iguais aos Usuais.
Do file – Curva de Phillips - TS1
Linha 83 regress inf unem
•
estimação de MQ Usuais
Linha 84 e 85 dão a estimação eficiente quando os erros são autocorrelacionados.
Linha 84 prais inf unem
•
Muda os coeficientes uma vez que é outro método de estimação (variáveis com * quasi-diferenças)
•
Muda os SE => estimador mais eficiente (menor variância => menor desvio padrão
estimado => menor SE) Os SE’s devem ser menores porque este modelo é mais
eficiente.
Linha 85 prais inf unem, corc
•
Corc => Cochrane-Orcutt, não usa a primeira observação
Diferença entre a linha 84 e 85
Linha 84, procedimento prais => há uma maneira de obter um valor para a primeira
observação
VS
Linha 85, Procedimento Cochrane-Orcutt => põe no lixo a primeira observação (48). Dá algo
muito parecido.
Ou seja, no procedimento prais na linha 84 faz quasi-diferenças a partir da observação 49
A 48 não é uma quasi-diferença.
Em termos teóricos, menos uma observação é uma estimação menos eficiente.