Uploaded by Alejandro D Torre

actividades-u2

advertisement
Variable Compleja I
Actividades de la Unidad 2
Grupo: MT-MVCO1-2101-B2-001
Docente en línea: Ramiro Vázquez Vera
Instrucciones
Responde y argumenta con demostraciones formales en cada uno de los siguientes ejercicios y a las preguntas
en el foro (cuando sea necesario). Utiliza también técnicas de demostración y justifica cada uno de tus pasos
sin abusar de elementos intuitivos.
Si utilizas algún resultado de otras materias, nómbralo y/o cítalo utilizando las convenciones del formato
APA.
Si se detecta que copias y pegas información o respuestas de alguna fuente (citada o no) automáticamente
tu actividad será evaluada con calificación 1 (un punto de cien) y perderás el intento sobre la actividad.
El aporte de las referencias consultadas no tiene un puntaje sobre los 100 puntos de cada actividad, pero
si no se aportan con el formato correcto, y no se hace referencia a ellas cuando se utilice algún resultado
específico, se descontarán 10 puntos del puntaje final obtenido.
Unidad 2. Actividad 1 (Foro): Límites y continuidad de funciones complejas
Investiga las siguientes definiciones y aporta un ejemplo que la ilustre:
1. Conjunto abierto en C.
1
2. Conjunto cerrado en C.
3. Conjunto conexo en C.
4. Conjunto conexo por caminos en C.
5. Definición de límite para funciones complejas.
6. Las respuestas a las preguntas anteriores no deben ocupar más de dos cuartillas en un archivo formato
pdf. No aportes el contenido de tu actividad directamente en el cuerpo del mensaje en foro.
7. La réplica (o réplicas) a tu (tus) compañeros debe(n) realizarse en máximo 24 horas después de tu
aporte en el foro.
Unidad 2. Actividad 2: Regiones en el plano complejo
En esta actividad, se entenderá por Región a un subconjunto del plano complejo abierto y conexo.
1. (25 puntos) Determina si la siguiente proposición es falsa o verdadera y demuestra tu afirmación: el
conjunto
fx + iy = z 2 C: x; y 2 Qg
es un conjunto cerrado en el plano complejo.
2. (25 puntos) Determina si la siguiente proposición es falsa o verdadera y demuestra tu afirmación: todo
conjunto conexo en el plano complejo es también conexo por caminos.
3. (25 puntos) Sean G una región y a 2 G y D(a; r) el disco abierto de radio r. Determina si la siguiente
proposición es falsa o verdadera y demuestra tu afirmación: GnD(a; r) es siempre una región.
4. (25 puntos) Determina si la siguiente proposición es falsa o verdadera y demuestra tu afirmación: el
conjunto fz 2 C: jz ¡ ij <jz + ijg es un conjunto cerrado.
Unidad 2. Actividad 3: Funciones Complejas
1. (25 puntos) Sea A = fx+ib = z 2 C: x; y > 0g Determina si la siguiente proposición es falsa o verdadera
y demuestra tu afirmación: existe una función compleja inyectiva f : C ! C tal que f (A) = fx + iy = z :
y > 0g.
2. (25 puntos) Sea A un conjunto conexo por trayectorias. Determina si la siguiente proposición es falsa
o verdadera y demuestra tu afirmación: para toda función f : C ! C, f (A) es un conjunto conexo por
trayectorias.
3. (25 puntos) Sea A un conjunto abierto en el plano complejo. Determina si la siguiente proposición es
falsa o verdadera y demuestra tu afirmación: para cualquier función f : C ! C que no sea constante
se tiene que f (A) es un conjunto abierto.
4. (25 puntos) Sea A un conjunto cerrado en el plano complejo. Determina si la siguiente proposición es
falsa o verdadera y demuestra tu afirmación: para cualquier función f : C ! C que no sea constante
se tiene que f (A) es un conjunto cerrado.
2
Unidad 2. Actividad 4: Límite y continuidad
1. (25 puntos) Determina el conjunto de puntos en C donde la siguiente función es continua
z
:
(Re(z))2
2. (25 puntos) Determina si la siguiente proposición es falsa o verdadera y demuestra tu afirmación: el
siguiente límite existe
lim
z!0
Im(z)
Re(z)
3. (25 puntos) Determina si la siguiente proposición es falsa o verdadera y demuestra tu afirmación:
z
dada la función f: Cnf0g ! C con f (z) = Re(z) , es posible encontrar algún c 2 C tal que la función
g(z) =
sea continua en 0.
f (z) si z 2 Cnf0g
c
si z = 0:
4. (25 puntos) Determina si la siguiente proposición es falsa o verdadera y demuestra tu afirmación: el
límite
z + z 2
z!2i 1+z
lim
existe.
Unidad 1, Evidencia de aprendizaje: Límite y continuidad de funciones complejas
1. (25 puntos) Sea D(a; r) el disco abierto de radio r. Determina si la siguiente proposición es falsa o
z
verdadera y demuestra tu afirmación: la función f : C ! D(0; 1) dada por f(z) = 1 + jz j es una función
está bien definida, es continua, inyectiva y suprayectiva.
2. (25 puntos) Sea S un subconjunto de C y sea T := fz 2 C: z 2 S g. Determina si la siguiente proposición
es falsa o verdadera y demuestra tu afirmación: S es un región si y sólo si T es una región.
3. (25 puntos) Determina
n si la siguiente
o proposición es falsa o verdadera y demuestra tu afirmación: el
i
conjunto D = [0; 2) [ 2 + n : n 2 N es un subconjunto conexo del plano complejo.
4. (25 puntos) Determina si la siguiente proposición es falsa o verdadera y demuestra tu afirmación: para
toda función f: C ! C, si A C es conexo y compacto, entoces f (A) es compacto.
Referencias sugeridas:
Pérez González, F. J. (2004). Cuso de Análisis complejo. Recuperado el 2 de febrero de 2021. Universidad de Granada,
Sitio web: https://www.ugr.es/~fjperez/textos/funciones_variable_compleja.pdf
J. E. Marsden, (2003). Análisis Básico de Variable compleja. México: Trillas.
A. Lascuráin Uribe, (2007). Curso básico de variable compleja. México CDMX, Las Prensas de Ciencias.
3
Download