Université Mohammed V - Rabat
École Supérieure de Technologie - Salé
Filières : GEII – GIM
Niveau : S3
Module : Automatique
Professeur : elayachi.chater@um5.ac.ma
Année Universitaire : 2020 – 2021
21/12/2020
Automatique - (GEII+GIM) - S3 - EST - UM5
1
MODULE : AUTOMATIQUE
CONTENU PRÉVISIONNEL
1) Généralités
2) Modélisation et fonction de transfert
3) Analyse temporelle des SLCI
4) Performances des systèmes asservis
5) Analyse fréquentielle des SLCI
6) Stabilité des SLCI
7) Étude des régulateurs (P-I-D)
8) Méthodes d’identification
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AUTOMATIQUE
4.1. INTRODUCTION
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.1.1. PERFORMANCES DE LA RÉPONSE INDICIELLE
Système de type  :
K
A( p ) = 
p (1 + a1 p + ... + a n p n )
S ( p)
A( p )
H ( p) =
=
E ( p ) 1 + A( p ) B( p )
S ( p) = H ( p) E ( p)
s(t ) = L−1S ( p )
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AUTOMATIQUE
4.1. INTRODUCTION
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.1.2. CRITÈRES DE PERFORMANCES
Considérons la réponse indicielle d’un système à réguler:
Si le système est stable, nous nous attendons à ce que :
ola sortie converge vers une valeur finie, la plus proche possible de cette
consigne. Plus la valeur de convergence de la sortie sera proche de la
valeur de consigne, plus le système est précis.
ocette valeur de convergence soit atteinte le plus vite possible, en
réclamant au système une certaine rapidité.
ola forme du régime transitoire est importante, notamment pour la
présence éventuelle d’un dépassement temporaire de la sortie : la
limitation du dépassement est une performance particulière du système
régulé ou asservi.
oNous pouvons ajouter un quatrième élément qui est aussi considéré
comme une performance : la marge de stabilité.
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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.2. PRÉCISION D’UN SYSTÈME ASSERVI
4.2.1. ERREUR STATIQUE
Définition
Soit un système bouclé de fonction de transfert (FT) en boucle ouverte
G( p) et de FT en boucle fermée H( p). On appelle erreur statique (ou
erreur de position) du système en boucle fermée, le paramètre défini
par :
 p = lim  (t )
, où (t ) est un échelon unitaire
t →
e ( t ) = A.  ( t )
= lim p ( p ) = lim p (E ( p ) − S ( p ) ) = lim p (E ( p ) − H ( p ) E ( p ) )
p →0
p →0
p →0
A
p
 p = lim p.E ( p ).(1 − H ( p ) ) = lim p. .(1 − H ( p ) ) = lim A.(1 − H ( p ) )
p →0
p →0
p →0
L’erreur de position est un paramètre qui permet d’évaluer la précision
d’un système en boucle fermée.
Plus elle est faible, meilleure est la précision du système
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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.2. PRÉCISION D’UN SYSTÈME ASSERVI
4.2.1. ERREUR STATIQUE
Cas d’un système de type 0
Système de type 0 : pas de pôle = 0
K
G( p)
K
G( p) = 0
;
lim
G
(
p
)
=
K
;
H
(
p
)
=
→
=
p (1 + a1 p + ... + a n p n ) p→0
1 + G ( p ) p →0 K + 1
K 
A

 p = lim A.(1 − H ( p ) ) = A.1 −
=

p →0
 1+ K  K +1
La précision est d’autant meilleure que le gain statique est important.
Or, une bonne stabilité est souvent associée à un gain statique en boucle
ouverte relativement faible.
Il sera donc difficile de concilier la contrainte de stabilité avec la
contrainte de précision.
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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.2. PRÉCISION D’UN SYSTÈME ASSERVI
4.2.1. ERREUR STATIQUE
Cas d’un système de type α > 0
Système de type  : il posséde un ou plusieurs pôles nuls
K
K
G( p) = 
où   0 ; lim G ( p ) = 
n
p →0
p (1 + a1 p + ... + a n p )
p
G( p)
K
H ( p) =
= 
→ 1   p = lim A.(1 − H ( p ) ) = 0
p →0
p
1 + G ( p ) p + K →0
L’erreur de position en boucle fermée d’un système dont la FT en boucle
ouverte comporte au moins un pôle nul, est nulle.
De tels systèmes ont donc une précision statique parfaite.
Ces systèmes sont appelés des systèmes comportant au moins un
intégrateur dans la FT en boucle ouverte.
Type α : la fonction de transfert contient α intégrateurs.
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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.2. PRÉCISION D’UN SYSTÈME ASSERVI
4.2.2. ERREUR DE VITESSE
Définition
Soit un système bouclé de fonction de transfert (FT) en boucle ouverte
G( p) et de fonction de transfert en boucle fermée H( p). On appelle
erreur de vitesse (ou erreur de traînage) du système en boucle fermée, le
paramètre défini par :
 v = lim  (t )
t →
e ( t )=r ( t )
, où r (t ) = A.t désigne une rampe unitaire
= lim p ( p ) E ( p )= A = lim p (E ( p ) − S ( p ) ) E ( p )= A
p →0
p2
p →0
p2
 1 − H ( p) 
= lim pE ( p )(1 − H ( p ) ) = lim A.

p →0
p →0
p


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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.2. PRÉCISION D’UN SYSTÈME ASSERVI
4.2.2. ERREUR DE VITESSE
Erreur de vitesse et erreur de position
o L’erreur de vitesse est le second paramètre qui permet d’évaluer la
précision d’un système en boucle fermée.
o Il se différencie de l’erreur de position par le fait qu’il permet de
chiffrer l’aptitude d’un système à suivre une consigne qui varie dans
le temps (cas des asservissements), tandis que l’erreur de position
évalue son aptitude à suivre une consigne constante (cas des
régulations).
o Plus l’erreur de vitesse est faible, meilleure est la précision du
système dans le cas d’une consigne variable.
o Un système peut posséder une bonne précision statique (erreur de
position faible ou même nulle), donc être capable à être régulé de
manière précise, mais avoir une erreur de vitesse importante, c’està-dire être incapable de suivre une consigne variable.
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A
M11
UTOMATIQUE
: AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES
6. PERFORMANCES
DES SYSTÈMESDES
ASSERVIS
SLCI
6.2.
4.2. IPNTRODUCTION
RÉCISION D’UN SYSTÈME6.2.1.
ASSERVI
PRÉCISION D’UN
4.2.2.
SYSTÈME
ERREUR DE
ASSERVI
VITESSE
Cas d’un système de type 0
Système de type 0 : pas de pôle = 0
K
G( p)
K
G( p) = 0
;
lim
G
(
p
)
=
K
;
H
(
p
)
=
→
=
p (1 + a1 p + ... + a n p n ) p→0
1 + G ( p ) p →0 K + 1
 1 − H ( p)  A 
K 
A
 v = lim A.
→
 = 1 −
=
p →0
p

 p  1 + K  p( K + 1) p→0
o L’erreur de vitesse en boucle fermée d’un système de type 0 et
possédant un gain statique K en boucle ouverte est infinie.
o Conséquence : il est impossible qu’un système de type 0 et possédant
un gain statique K en boucle ouverte, soit précis en boucle fermée
dans le cas où la consigne varie dans le temps.
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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.2. PRÉCISION D’UN SYSTÈME ASSERVI
4.2.2. ERREUR DE VITESSE
Cas d’un système de type α > 0
Système de type  : il posséde un ou plusieurs pôles nuls
K
K
G( p) = 
où   0 ; lim G ( p ) = 
n
p →0
p (1 + a1 p + ... + a n p )
p
G( p)
K
H ( p) =
= 
1 + G( p) p + K
K

1 − 
p +K
 v = lim A.
p →0 
p


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 1 − H ( p) 
  v = lim A.

p →0
p




 −1

  = 1 →  v = A / K
p
 = lim A.
  


 p →0  p + K     1 →  v = 0


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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.2. PRÉCISION D’UN SYSTÈME ASSERVI
4.2.2. ERREUR DE VITESSE
Cas d’un système de type α > 0
Remarque :
o Pour qu’un système possède en boucle fermée une erreur de vitesse
nulle, donc une parfaite précision lorsqu’il est soumis à une consigne
variable, il faut que sa fonction de transfert en boucle ouverte
possède au moins un pôle nul double,
o Dans le cas où G( p) ne possède qu’un seul pôle nul, l’erreur de
vitesse est fini mais non nulle.
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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.3. RAPIDITÉ DES SYSTÈMES RÉGULÉS
4.3.1. PARAMÈTRES DE RAPIDITÉ
Rapidité temporelle : tm et tr5%
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4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.3. RAPIDITÉ DES SYSTÈMES RÉGULÉS
4.3.2. TEMPS DE RÉPONSE
o En réalité, les systèmes linéaires sont caractérisés par des régimes
transitoires (théoriquement) de durées infinies.
o Néanmoins, il est possible d’estimer leur durée pratique grâce à la notion
de temps de réponse, défini comme le temps mis pour atteindre la valeur
finale de la sortie à x% près.
o Ainsi, soumis à une consigne en échelon, le système, supposé stable,
répond par un signal qui tend vers une valeur finale notée s(∞). On
définit alors le temps de réponse à x % près par :
x 
x 


 t  trx % : 1 −
 s (  )  s (t )  1 +
 s()
 100 
 100 
o Souvent, on choisit d’utiliser la notion de temps de réponse à 5 % près, ce
qui revient à dire que le temps de réponse est l’instant à partir duquel la
sortie à atteint sa valeur finale à ±5 % près.
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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.3. RAPIDITÉ DES SYSTÈMES RÉGULÉS
4.3.2. TEMPS DE RÉPONSE
Cas du second ordre
Temps de
réponse réduit :
Tr(5%) * wn
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4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.3. RAPIDITÉ DES SYSTÈMES RÉGULÉS
4.3.3. TEMPS DE MONTÉE
o Dans le cas du 1er ordre, on peut considérer que le temps de montée tm
est la durée nécessaire pour atteindre 90% de la valeur finale.
o Pour les systèmes d’ordre supérieur, le temps de montée tm est défini
par la durée nécessaire au bout duquel le signal de sortie franchit pour
la première fois son asymptote (valeur finale), dans le cas où des
dépassements ont lieu. Dans la pratique, la complexité des systèmes
étudiés est telle que les ordres des systèmes sont souvent élevés et que
le phénomène de dépassement se produit fréquemment.
o Le temps de montée tm est un autre paramètre qui permet de chiffrer la
rapidité d’un système en boucle fermée.
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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.3. RAPIDITÉ DES SYSTÈMES RÉGULÉS
4.3.3. TEMPS DE MONTÉE
Temps de montée d’un système du 2nd ordre
Considérons un système du 2nd ordre de fonction de transfert G(p)
placé dans une boucle de régulation à retour unitaire : K
p2
p
+
2

+1
2
n
n
K
G( p)
G( p) = 2
; H ( p) =
=
K
p
p
1 + G( p) 1 +
+ 2
+1
2
2
p
p

n
n
1
+
2

+1
2
n
H ( p) =
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n
K
K +1
K
=
2
p
p
p2
p
+ 2
+1+ K
+ 2
+1
2
2
(K + 1)n
n
(K + 1)n
n
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4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.3. RAPIDITÉ DES SYSTÈMES RÉGULÉS
4.3.3. TEMPS DE MONTÉE
Temps de montée d’un système du 2nd ordre
K
K
K +1
K +1
H ( p) =
=
2
2
p
p
p

p
+
2

+
1
+
2
+1
2
2
(K + 1)n
(K + 1)n
K + 1 n K + 1
n K + 1
(
H ( p) =
K BF
 p


 n ,BF
2

 p
 + 2 BF 



 n ,BF
S ( p) = H ( p) E ( p) =
 p
p. 
 n ,BF

)
avec K BF =

 +1


K BF
2

 p
 + 2 BF 



 n ,BF
K

, n ,BF = n K + 1 ,  BF =
K +1
K +1
 
 +1
 
 
Pour définir un temps de montée, il faut que le phénomène de
dépassement se produise, donc que le coefficient ξBF < 1.
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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.3. RAPIDITÉ DES SYSTÈMES RÉGULÉS
4.3.3. TEMPS DE MONTÉE
Temps de montée d’un système du 2nd ordre
S ( p) = H ( p) E ( p) =
→ s(t ) = K BF −
K BF
 p
p. 
 n ,BF

K BF
1 −  BF
s(tm ) = K BF  n ,BF
2
2


p

 + 2 BF
+
1

n ,BF 


, et  BF =

1
K +1

 1− 2
−
t
2
BF
e n , BF sin n ,BF 1 −  BF t + arctg 

  BF


 1− 2
2
BF
1 −  BF tm + arctg 
  BF





 1− 2
BF
 − arctg 
  BF


 =  t =
n , BF m
2

1
−

BF





La plus petite valeur obtenue donne l’expression du temps de montée.
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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.3. RAPIDITÉ DES SYSTÈMES RÉGULÉS
4.3.3. TEMPS DE MONTÉE
Temps de montée d’un système du 2nd ordre
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4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.3. RAPIDITÉ DES SYSTÈMES RÉGULÉS
4.3.3. TEMPS DE MONTÉE
Temps de montée d’un système du 2nd ordre
L’analyse de cette fonction montre que pour les valeurs courantes du
facteur d’amortissement (0,2 < ξ < 0,8), on a :
2  n ,BF t m  4 , soit n ,BF t m  3  t m =
Or, G ( p ) =
K
p2
n
→ G ( ) =
2
+ 2
p
n
→ G ( j ) =
+1
K
2

2    
1 − 2  +  2

  

n 

n 

Si K  1 : G (n K + 1) 
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2
3
n ,BF
=
n
3
K +1
K
2

1 − 2 + j 2
n ,
n
→ G (n K + 1) =
K
K 2 + 4 K 2
K
(1 − ( K + 1) )2 + 4( K + 1) 2
 1  n ,BF = n K + 1  c 0  t m =
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3
c 0
21
AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.3. RAPIDITÉ DES SYSTÈMES RÉGULÉS
4.3.3. TEMPS DE MONTÉE
Temps de montée d’un système du 2nd ordre
t m  3 / c 0 ; n ,BF  c 0
tm est le temps de montée en boucle fermée et c0 est la pulsation de
coupure à 0 dB du système en boucle ouverte.
Ce résultat montre qu’il est possible d’estimer la valeur du temps de
montée en boucle fermée à partir d’une caractéristique fréquentielle du
système en boucle ouverte.
Remarque
Cette expression n’est vraie que pour K >>1 d’une part, et pour des
valeurs du facteur d’amortissement ξBF ≈ 0,65.
Toutefois, nous pouvons retenir que cette équation permet d’obtenir
l’ordre de grandeur du temps de montée tm en boucle fermée et que cet
ordre de grandeur est suffisant pour évaluer la rapidité du système.
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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.4.LIMITATION DU DÉPASSEMENT 4.4.1. DÉPASSEMENT POUR UN 2nd ORDRE
Dépassement → Réponse indicielle pour ξ BF< 1
G( p) =
K
; H ( p) =
p2
p
+
2

+1
n
n 2
→ s(t ) = K BF −
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p2
( )
2
n , BF
K BF
1 −  BF
K BF
2
e
−n , BF t
+ 2 BF
K

K
=
BF

K +1

avec  n ,BF = n K + 1
p


+1

=
1
 BF
n ,BF
K +1


 1− 2
2

BF
sin n ,BF 1 −  BF t + arctg 

  BF


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



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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.4.LIMITATION DU DÉPASSEMENT 4.4.1. DÉPASSEMENT POUR UN 2nd ORDRE
Dépassement → Réponse indicielle pour ξ BF< 1
s(t ) = K BF −
K BF
1 −  BF
2
e
− BF n , BF t

 1− 2
2
BF

sin n ,BF 1 −  BF t + arctg 

  BF


 1− 2
ds(t )  BF n ,BF K BF − BF n , BF t 
2
BF
sin n ,BF 1 −  BF t + arctg 
e
=

2
  BF
dt
1 −  BF


−
K BF n ,BF 1 −  BF
1 −  BF
ds(t ) K BF n ,BF e
=
dt
1−
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2
− BF n , BF t
2
BF
2
e
− BF n , BF t









 1− 2
2
BF

cos n ,BF 1 −  BF t + arctg 

  BF








 1 −  2 

2
BF  


  BF sin  n ,BF 1 −  BF t + arctg  

BF






 1− 2

2
2
BF

− 1 −  BF cos n ,BF 1 −  BF t + arctg 


  BF




Automatique - (GEII+GIM) - S3 - EST - UM5







  

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AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.4.LIMITATION DU DÉPASSEMENT 4.4.1. DÉPASSEMENT POUR UN 2nd ORDRE
Dépassement → Réponse indicielle pour ξ BF< 1
ds(t ) K BF n ,BF e
=
dt
1−
−  BF n , BF t
2
BF
→ smax1 = s(t1 ) = K BF −
= K BF +
2
2
sin  n ,BF 1 −  BF t  = 0 pour n ,BF 1 −  BF tk = k


K BF
1 −  BF
− BF
K BF
1 −  BF
− BF
2
e
2
e

1− BF

 1− 2
BF
sin   + arctg 

  BF



1− BF
2
1 −  BF
 smax1 − s 
  D% = 100 e
D% = 100 
 s

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2
−
2
− BF

= K BF 1 + e



1− BF
2








 BF
1− BF 2
Automatique - (GEII+GIM) - S3 - EST - UM5
25
AUTOMATIQUE
4. PERFORMANCES DES SYSTÈMES ASSERVIS
4.4.LIMITATION DU DÉPASSEMENT 4.4.1. DÉPASSEMENT POUR UN 2nd ORDRE
Dépassement → Réponse indicielle pour ξ BF< 1
D% est d’autant
plus important que
ξ est faible.
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