Relación de Contacto y los Ángulos de Aproximación y Receso.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica.
División de Ingenierı́as, Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.5 + 1.8
Salamanca, Gto., México
Tel. +52-464-647-9940, Ext. 2390.
E-mail: jrico@ugto.mx
Estas notas tienen como objetivo analizar la relación de contacto entre un par de dientes de engrane
desde tres puntos de vista diferentes, uno de esos puntos de vista, el menos conocido, involucra el cálculo
de los ángulos de aproximación y receso del contacto entre el par de dientes. Un tema interesante que no
es adecuadamente tratado en los libros de texto tradicionales.
1
La acción entre un par de dientes de engrane.
Considere la figura 1, que muestra un par de engranes en contacto, el engrane 1 es el motriz y el engrane
2 es el conducido, la lı́nea tangente a ambos cı́rculos base es la lı́nea de acción. Puesto que el perfil de
ambos dientes es de una curva involuta, y la normal en cualquier punto de una curva involuta es tangente
al cı́rculo base, entonces la normal común a ambos perfiles es tangente a ambos cı́rculos base y el contacto
entre los dientes siempre ocurre en la lı́nea de acción.
c’
c
C
C’
D
D’
d’
d
Figure 1: Contacto entre un par de dientes.
1
Figure 10.7.1:
El contacto entre la pareja de dientes inicia cuando la lı́nea de acción intersecta el radio de adendo
del engrane conducido, 2, Ro2 , (ra2 ),1 , punto E1 , (B1 ), y finaliza cuando la lı́nea de acción intersecta
el radio de adendo del engrane conductor, 1, Ro1 , (ra1 ), punto E2 , (B2 ). La figura 1 muestra el par de
dientes en contacto en el inicio y en la finalización del contacto ası́ como en una posición intermedia.
Es importante identificar los siguientes puntos:
• Los puntos C y c son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conductor, al
inicio del contacto entre el par de dientes, con el radio de paso Rp1 , (r1 ), y el radio base Rb1 , (rb1 ),
del engrane conductor.
• Los puntos D y d son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conducido, al
inicio del contacto entre el par de dientes, con el radio de paso Rp2 , (r2 ), y el radio base Rb2 , (rb2 ),
del engrane conducido.
• Los puntos C ′ y c′ son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conductor,
al finalizar el contacto entre el par de dientes, con el radio de paso Rp1 , (r1 ), y el radio base Rb1 ,
(rb1 ), del engrane conductor.
• Los puntos D′ y d′ son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conducido,
al finalizar el contacto entre el par de dientes, con el radio de paso Rp2 , (r2 ), y el radio base Rb2 ,
(rb2 ), del engrane conducido.
¯′ es el arco de acción del engrane conductor, y DD
¯′ es el arco de acción del
Además, se tiene que CC
engrane conducido.2 Puesto que los cı́rculos de paso de los engranes se comportan como si rodarán sin
deslizamiento, entonces
¯′ = DD
¯′ .
CC
Estos arcos de acción, que tienen la misma longitud, representan el perı́metro asociado a los ángulos de
los engranes conductor, γ1 , y conducido, γ2 , estos si diferentes, durante los cuales una pareja de dientes
de engrane están en contacto. Estos ángulos se descomponen de la siguiente manera:
• El ángulo α1 = 6 CO1 I es el ángulo de aproximación del engrane 1.
• El ángulo β1 = 6 IO1 C ′ es el ángulo de receso del engrane 1.
• El ángulo α2 = 6 DO2 I es el ángulo de aproximación del engrane 2.
• El ángulo β2 = 6 IO2 D′ es el ángulo de receso del engrane 2.
De manera que
γ1 = α1 + β1
γ2 = α2 + β2 .
Por otro lado, el ángulo de los engranes conductor y conducido subtendido por un diente del engrane
y el hueco correspondiente están dados por
ν1 =
2π
360◦
=
N1
N1
ν2 =
360◦
2π
=
N2
N2
donde la primera de las expresiones en cada ecuación está dada en grados mientras que la segunda
expresión está dada en radianes.
1.1
Primera manera de calcular la relación de contacto.
Entonces, relacionando estos ángulos, es posible determinar la relación de contacto, mp , entre la pareja
de dientes de un engranage como
mp1 =
1 Este
γ1
α1 + β1
α2 + β2
γ2
=
= mp =
=
= mp2 .
ν1
ν1
ν2
ν2
apunte, indica la notación empleada en clase y en paréntesis la notación de la figura.
˜
¯
sı́mbolo Ù , se emplea en lugar de un arco curvado, para indicar que la longitud C
C′ 0 D
D ′ se miden a lo largo de
los cı́rculos de paso.
2 El
2
La relación de contacto representa el promedio, sobre la base de tiempo —suponiendo velocidad
angular constante—, del número de pares de dientes en contacto durante la operación del engranaje.
Si mp = 1.6 este resultado significa que durante la operación del engranaje existen, por momentos, 2
pares de dientes en contacto y, en otros momentos, existe un único par de dientes en contacto. Si la
relación de contacto es elevada, cercana a 2, pueden existir por momentos 3 pares de dientes en contacto.
Desde un punto de vista teórico, el mı́nimo valor de la relación de contacto es mp = 1 sin embargo este
valor requerirı́a engranes perfectamentamente manufacturados, pues si por algún error, la relación de
contacto fuera menor que 1 habrı́a instantes durante los cuales no existirı́a contacto entre ninguna pareja
de dientes. En la práctica, el valor mı́nimo de la relación de contacto es mp = 1.2, sin embargo, este valor
requiere una alta calidad de los engranes.
1.2
Segunda manera de calcular la relación de contacto.
El primer cálculo de la relación de contacto se realizó mediante una relación de ángulos, en un segundo
cálculo, la relación de contacto se determinará relacionando los arcos de acción con la longitud, medida
sobre los radios de paso, asociada a un diente de engrane y su hueco correspondiente. Estas longitudes
están dadas por los pasos circulares, del engrane conductor, pc1 y del engrane conducido, pc2 , y para
engranes estándar deben ser iguales; es decir
pc1 = ν1 Rp1 =
2 π Rp1
2 π Rp2
= pc =
= ν2 Rp2 = pc2
N1
N2
Por lo tanto, una segunda manera, equivalente a la anterior, de calcular la relación de contacto entre una
pareja de engranes está dada por
mp1 =
1.3
¯′
¯′
CC
DD
= mp =
= mp2 .
pc1
pc1
Tercera manera de calcular la relación de contacto.
Finalmente, una tercera manera de determinar la relación de contacto consiste en relacionar las longitudes
asociadas a los arcos de acción y la longitudes asociadas a un diente de engrane y su hueco correspondiente;
pero en este caso estas longitudes están medidas no en el cı́rculo de paso, sino en el cı́rculo de paso.
Primeramente, el equivalente al paso circular pero medido en el cı́rculo base, se denomina paso base
y está dado por
2 π Rb2
2 π Rb1
= pb =
= ν2 Rb2 = pb2 ,
pb1 = ν1 Rb1 =
N1
N2
y, para engranes estándar, debe ser igual para ambos engranes. Además, se tiene que
pb =
2 π Rb
2 π Rp Cos φ
=
= pc Cosφ.
N
N
donde φ (α) es el ángulo de presión del engranage y al mismo tiempo el ángulo de presión de la involuta
en el radio de paso de ambos engranes.
Por otro lado, la longitud entre el punto de inicio B1 , determinado por la interseción del radio de
adendo del engrane 2 y la normal común, y el punto de finalización B2 , determinado por la interseción del
radio de adendo del engrane 1 y la normal común, del contacto entre dientes, conocida como longitud
de acción y denotada por Z, puede calcularse como
Z
=
=
KB2 + LB1 − KL
KB1 + B1 B2 + LB2 + B2 B1 − (KB1 + B1 B2 + B2 L) = B1 B2
por lo tanto, la longitud de acción puede calcularse como
»
»
2 − R2 +
2 − R2 − (R
Z =
Ro1
Ro2
p1 + Rp2 ) Sinφ
b1
b2
»
»
2 − R2 +
2 − R2 − C Sinφ
Ro1
Ro2
=
b1
b2
donde C se define como la distancia entre centros y está dada por
C = Rp1 + Rp2
3
Por otro lado, la distancia B1 B2 puede interpretarse como distancias medidas sobre el radio base de
ambos engranes. Si se observa la figura 1 se observa que el punto B1 corresponde al enrollarse sobre el
radio base del engrane 1 al punto c, similarmente, el punto B1 corresponde al enrollarse sobre el radio
base del engrane 2 al punto d. De manera semejante, el punto B2 corresponde al enrollarse sobre el radio
base del engrane 2 al punto c′ , similarmente, el punto B2 corresponde al enrollarse sobre el radio base del
ı′ es igual al ángulo subtendido por el
engrane 2 al punto d′ . Además, el ángulo subtendido por el arco cc
¯′ pues
arco de acción CC
6 CO1 c = 6 C ′ O1 c′ .
ˆ′ es igual al ángulo subtendido por el arco de acción
Similarmente, el ángulo subtendido por el arco dd
′
¯
DD pues
6 DO2 d = 6 D ′ O2 d′ .
Por lo tanto, una nueva manera de calcular la relación de contacto es
mp1 =
1.4
ˆ′
ı′
Z
Z
dd
cc
B1 B2
B1 B2
=
=
= mp =
=
=
= mp2
pb1
pb1
pb1
pb2
pb2
pb2
Determinación de la longitud de acción entre un engrane y una cremallera.
En esta sección se calculará la longitud de acción entre un engrane y una cremallera. Para realizar esta
determinación considere la figura 2.
Figure 2: Longitud de acción entre un engrane y una cremallera.
La longitud determinada por los puntos de inicio B1 , determinado por la interseción de la lı́nea de
adendo de la cremallera y la normal común, y finalización B2 , determinado por la interseción del radio de
adendo del engrane y la normal común, del contacto entre dientes, se conoce como longitud de acción
y se denota por Z. En este caso particular, la longitud de acción puede calcularse como
Z = B 1 B 2 = B 1 P + P B 2 = B 1 P + E1 B 2 − E1 P
por lo tanto, la longitud de acción puede calcularse como
»
»
a
2 − R2 −
2 − R2
Z =
+ Ro1
Rp1
b1
b1
Sinφ
2
Ángulos de aproximación y receso.
La primera manera de determinar la relación de contacto requiere el cálculo de los ángulos de aproximación
y receso. En esta sección mostraremos como determinar estos ángulos. Para tal fı́n considere los siguientes
ángulos:
4
• Ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del engrane 2,
φo2 = 6 B1 O2 L,
(αa2 ).
• Involuta del ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del engrane 2,
inv φo2 = 6 dO2 B1 .
• Ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del engrane 1,
φo1 = 6 KO1 B2 ,
(αa1 ).
• Involuta del ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del engrane 1,
inv φo1 = 6 B2 O1 c′ .
• Involuta del ángulo de presión del engranage, — o involuta del ángulo de presión de la involuta en
el radio de paso de cualquiera de los dos engranes—.
inv φ = 6 dO2 D = 6 d′ O2 D′ = 6 CO1 c = 6 C ′ O1 c′ .
• Ángulo de presión del engranage o ángulo de presión de la involuta en el radio de paso de cualquiera
de los dos engranes.
φ = 6 KO1 I = 6 IO2 L.
Considere ahora
[(φo2 + inv φo2 ) − φ] − inv φ
=
[(6 B1 O2 L + 6 dO2 B1 ) − 6 IO2 L] − 6 dO2 D
=
=
[6 dO2 L − 6 IO2 L] − 6 dO2 D
6 dO2 I − 6 dO2 D = 6 DO2 I = α2 .
Por lo tanto
α2 = φo2 + inv φo2 − φ − inv φ = φo2 + (tan φo2 − φo2 ) − φ − (tan φ − φ) = tan φo2 − tan φ.
Finalmente puesto que los radios de paso de los engranes ruedan sin deslizamiento, se tiene que
α1 Rp1 = α2 Rp2
o
α1 = α2
Rp2
.
Rp1
De manera semejante considere
[(φo1 + inv φo1 ) − φ] − inv φ
=
[(6 KO1 B2 + 6 B2 O1 c′ ) − 6 KO1 I] − 6 CO1 c′
=
=
[6 KO1 c′ − 6 KO1 I] − 6 C ′ O1 c′
6 IO1 c′ − 6 C ′ O1 c′ = 6 IO1 C ′ = β1 .
Por lo tanto
β1 = φo1 + inv φo1 − φ − inv φ = φo1 + (tan φo1 − φo1 ) − φ − (tan φ − φ) = tan φo1 − tan φ.
Finalmente puesto que los radios de paso de los engranes ruedan sin deslizamiento, se tiene que
β1 Rp1 = β2 Rp2
o
β2 = β1
Rp1
.
Rp2
Es importante señalar que el cálculo de los ángulos de aproximación de aproximación y receso es
también importante pues se sabe que la operación de los engranes es más silenciosa durante la fase de
receso. Esta observación condujo al diseño de engranes no estándar donde el apareamiento de los engranes
ocurre exclusivamente durante la fase de receso.
5
3
Ejemplos.
En esta sección se presentan algunos problemas tı́picos asociados a la relación de contacto, a los ángulos
de aproximación y receso y a los espesores de los dientes en diferentes radios.
3.1
Ejemplo 1.
Un piñón de 18 dientes se generó con un cortador tipo “hob” de paso diametral 8 y ángulo de presión
de 25◦ y mueve a un engrane de 45 dientes. Calcule los radios de paso, los radios base, el adendo, los
radios de adendo, el espesor del diente en los radios de paso, el espesor del diente en el radio de adendo
del piñón, la relación de contacto y los ángulos de aproximación y receso para ambos engranes.3
Solución. Se sabe que los números de dientes de los engranes son
N1 = 18
N2 = 45
De la definición del paso diametral, se tiene que
Pd =
N
N
=
Dp
2 Rp
de aquı́ que
Rp =
N
2Pd
Por lo tanto
Rp1 =
N1
18
=
= 1.125”
2 Pd
2 (8)
Rp2 =
N2
45
=
= 2.8125”
2 Pd
2 (8)
La distancia entre los centros de los engranes está dada por
C = Rp1 + Rp2 = 1.125” + 2.8125” = 3.9375”
Puesto que el ángulo de presión del “hob”, φ = 25◦ , este se convierte en el ángulo de presión de la
involuta en el radio de paso —se supone que se corta de manera estándar; es decir, que la linea de paso
del “hob” sea tangente a los radios de paso de los engranes— por lo tanto los radios base de los engranes
están dados por
Rb1 = Rp1 cos φ = 1.125” cos 25◦ = 1.019596”
Rb2 = Rp2 cos φ = 2.8125” cos 25◦ = 2.548990”
Con respecto al adendo, los autores del libro no indican cual es el estándar aplicable, sin embargo,
debe notarse que excepto para los dientes “stub”—chaparros—, en todos los demás casos, el adendo está
dado por
1
1
= = 0.125”
a=
Pd
8
Por lo tanto
Ro1 = Rp1 + a = 1.125” + 0.125” = 1.25”
Ro2 = Rp2 + a = 2.8125” + 0.125” = 2.9375”
Ahora se empleará la relación entre el paso circular, pc , y el paso diametral Pd , dada por
pc =
π
π 2 Rp
π Dp
π
2 π Rp
=
=
= N =
= 0.39269908”
N
N
N
Pd
D
p
3.1.1
Determinación del espesor de un diente en el radio de adendo.
Empleando esta relación, los espesores del diente en los radios de paso de ambos engranes están dados,
puesto que se cortaron de manera estándar, por
π
tRp1 = tRp2 =
π
π
pc
= Pd =
=
= 0.196349”
2
2
2 Pd
2 (8)
3 Este es una adaptación del problema 4.13 del libro Mabie, H. H. and Reinholtz, C. F. Mechanisms and Dynamics of
Machinery, Fourth Edition, New Tork, Wiley, 1987.
6
Ahora, se calculará el espesor del diente en el radio de adendo del piñón, primero se requiere el ángulo
de presión de la involuta en el radio de adendo del piñón.
ò
ï
ï
◦ò
−1 1.125” cos 25
−1 Rp1 cos φ
= cos
= 35.345642◦
Rp1 cos φ = Ro1 cos φo1
φo1 = cos
Ro1
1.25”
Una vez determinado este ángulo, se tiene que
ï
ò
ò
ï
tRp1
tRp1
to1 = 2 Ro1
+ inv φ − inv φo1 = 2 Ro1
+ tan φ − φ − (tan φo1 − φo1 )
2 Rp1
2 Rp1
ãò
Å
ï
25◦ π
35.345642◦ π
0.196349”
◦
◦
= 0.0622582”
+ tan 25 −
− tan 35.345642 −
= 2 (1.25”)
2 (1.125”)
180◦
180◦
3.1.2
Determinación de la relación de contacto.
Para el cálculo de la relación de contacto, se necesita conocer el paso base
pb = pc cos φ = 0.3926990” cos 25◦ = 0.355906”
La longitud de acción entre una pareja de dientes de engrane, está dada por
»
»
2 − R2 +
2 − R2 − C sen φ
Z =
Ro1
Ro2
b1
b2
p
p
=
1.25”2 − 1.019596”2 + 2.9375”2 − 2.548990”2 − 3.9375” sen 25◦ = 0.519060”
por lo tanto, la relación de contacto está dada por
mp =
3.1.3
0.519060”
Z
=
= 1.458418
pb
0.355906”
Verificación de la relación de contacto empleando los ángulos de aproximación y
receso
Finalmente, se calcularán los ángulos de aproximación y receso y se usarán estos valores para verificar la
relación de contacto. para este fı́n, es necesario calcular el ángulo de presión de la involuta para el radio
de adendo del engrane 2.
ï
ò
ï
◦ò
−1 Rp2 cos φ
−1 2.8125” cos 25
Rp2 cos φ = Ro2 cosφo2
φo2 = cos
= cos
= 29.802761◦
Ro2
2.9375”
Debe notarse que ya se conoce el ángulo de presión de la involuta para el radio de adendo del engrane 1.
• Ángulo de aproximación para el engrane 2.
α2 = tan φo2 − tan φ = tan 29.802761◦ − tan 25◦ = 0.10646171 rad = 6.0998060◦
• Ángulo de aproximación para el engrane 1. Puesto que los arcos de acción ocurren en los radios de
paso y estos se comportan como si estuvieran rotando, se tiene que
α1 = α2
6.0998060◦ (2.8125”)
Rp2
=
= 15.249517◦
Rp1
1.125”
• Ángulo de receso del engrane 1.
β1 = tan φo1 − tan φ = tan 35.345642◦ − tan 25◦ = 0.24292844 rad = 13.918774◦
• Ángulo de receso para el engrane 2. Puesto que los arcos de acción ocurren en los radios de paso y
estos se comportan como si estuvieran rotando, se tiene que
β2 = β1
Rp1
13.918774◦ (1.125”)
=
= 5.567509◦
Rp2
2.8125”
7
Estos resultados permiten verificar la relación de contacto, pues está dada por la relación entre el
ángulo de acción; es decir la suma de los ángulos de aproximación y receso de cualquiera de los dos
engranes, dividido entre el ángulo que ocupa un diente y su hueco del engrane correspondiente. De esa
manera
N1 (α1 + β1 )
α1 + β1
29.168291◦
mp = 360◦ =
=
= 1.458414
360◦
20◦
N1
y
11.6673159◦
N2 (α2 + β2 )
α2 + β2
=
= 1.458414
mp = 360◦ =
360◦
8◦
N2
Con este resultado finaliza el problema.
3.2
Problema 2
Dos engranes rectos iguales de 48 dientes se aparean con un radio de paso de 4.000 pulgadas y adendos
de 0.1670 pulgadas. Si el ángulo de presión es de 14.5◦ , calcule la longitud de acción Z y la relación de
contacto mp .4
Solución.
1. Datos iniciales.
Por el enunciado se sabe que el número de dientes de ambos engranes son:
N1 = 48
N2 = 48
El ángulo de presión al que fueron cortados los engranes es:
φ = 14.5◦ = 0.2530727416 rad
De nuevo, por el enunciado se conocen los radios de paso de ambos engranes
Rp1 = 4.0 pulg.
Rp2 = 4.0 pulg.
De manera que su paso circular está dado por:
pc =
2π(Rp1 )
= 0.5235987758 pulg.
N1
La distancia entre centros de un engranaje es la suma de los radios de paso de los engranes apareados.
Es decir
C = Rp1 + Rp2 = 8.0 pulg
2. Radios de adendo, radios base y paso base
Para este ejemplo, el adendo es un dato y es para ambos engranes
a = 0.167 pulg.
Con este dato, es muy sencillo calcular los radios de adendo, pues sólo se debe sumar el adendo a
los radios de paso que ya se conocen del punto anterior.
Ro1 = Rp1 + a = 4.167 pulg.
Ro2 = Rp2 + a = 4.167 pulg.
Además se calculan los radios base que serán necesarios más adelante para el cálculo de la longitud
de acción.
Rb1 = Rp1 cos φ = 3.872590562 pulg.
Rb2 = Rp2 cos φ = 3.872590562 pulg.
El paso base de los engranes está dado por
pb = pc cos φ = 0.5069209193 pulg.
4 Este es el problema 4.8 del libro Mabie, H. H. and Reinholtz, C. F. Mechanisms and Dynamics of Machinery, Fourth
Edition, New Tork, Wiley, 1987.
8
3. Longitud de acción y relación de contacto
Ahora que se tienen todos los datos necesarios para calcular longitud de acción Z y la relación de
contacto mp , se emplearán las siguientes dos ecuaciones.
»
»
Z = Ro1 2 + Rb1 2 + Ro2 2 + Rb2 2 − C sin φ = 1.073926877 pulg.
y
mp =
3.2.1
Z
= 2.118529412
pb
Verificación de la relación de contacto, mediante el uso de los ángulos de aproximación y receso
A modo de verificar el resultado de la relación de contacto se calcularán los ángulos aproximación y de
receso de ambos engranes.
1. Ángulos de aproximación y receso
Se inician los cálculos de los ángulos de presión de la involuta en los radios de adendo y se hará
para ambos engranes.5
Å
ã
Å
ã
Rb1
Rb2
φ1 = arccos
= 0.3781550427 rad
φ2 = arccos
= 0.3781550427 rad
Ro1
Ro2
A continuación se calcula el ángulo de receso, para ambos engranes
β1 = tanφ1 − tanφ = 0.1386574256 rad
β2 = β1
Rp1
= 0.1386574256 rad
Rp2
α1 = α2
Rp2
= 0.1386574256 rad
Rp1
y los ángulos de aproximación vienen dados por
α2 = tanφ2 − tanφ = 0.1386574256 rad
2. Relación de contacto
Finalmente se verificará que el resultado de la relación de contacto obtenido anteriormente efectivamente es el mismo obtenido por medio de los ángulos de receso y aproximación.
3.3
θ1 =
2π
= 0.1308996939 rad
N1
θ2 =
mp1 =
α1 + β1
= 2.118529409
θ1
mp2 =
2π
= 0.1308996939 rad
N2
α2 + β2
= 2.118529409
θ2
Problema 3
Determine la relación de contacto de una pareja de engranes de paso diametral Pd = 120, ángulo de
presión φ = 20◦ , donde N1 = 24 dientes y N2 = 90 dientes.
Solución.
1. Datos iniciales. Lo primero será calcular las medidas de los engranes que se ocuparán para la
determinación de la relación de contacto del engranaje. Se tiene como datos iniciales el número de
dientes, paso diametral y ángulo de presión de ambos engranes.
N1 = 24
N2 = 90
φ = 20◦ = 0.3490658504 rad
5 Como
ambos engranes son iguales, en realidad los cálculos se duplican.
9
y
Pd = 120
Por lo tanto,
N1
= 0.1 pulg
2 Pd
Su paso circular está dado por:
Rp1 =
pc =
Rp2 =
N2
= 0.375 pulg
2 Pd
2 π Rp1
= 0.02617993878 pulg.
N1
Su distancia entre centros, en este caso estándar, es entonces la suma de los radios de paso de los
engranes.
C = Rp1 + Rp2 = 0.475 pulg.
2. Radios de adendo, radios base y paso base
De la tabla de estándares se observam que el adendo está dado, para engranes de paso fino, por
a=
1
1
=
Pd
120
Bastará con sumar el adendo a los radios de paso para obtener los radios de adendo de ambos
engranes.
Ro1 = Rp1 + a = 0.1083333333 pulg
Ro2 = Rp2 + a = 0.3833333333 pulg.
Se calculan los radios base de los engranes a partir de sus radios de paso y el ángulo de presión al
que fueron cortados.
Rb1 = Rp1 cos φ = 0.09396926208 pulg.
Rb2 = Rp2 cos φ = 0.3523847328 pulg.
El paso base está dado por
pb = pc cos φ = 0.02460109529 pulg.
3. Longitud de acción y relación de contacto
Para la longitud de acción se tiene que
»
»
2 + R2 +
2 + R2 − C sin φ = 0.0423422047 pulg
Ro2
Z = Ro1
b1
b2
y
mp =
3.3.1
Z
= 1.721151201
pb
Verificación de la relación de contacto, mediante el uso de ángulos de aproximación
y receso
A modo de verificar el resultado de la relación de contacto se calcular’an los ángulos aproximación y de
receso de ambos engranes.
1. Ángulos de aproximación y receso
Los ángulos de presión de la involuta en los radios de adendo están dados por
ã
Å
ã
Å
Rb2
Rb1
= 0.5208257743 rad
φ2 = arccos
= 0.4045883416 rad
φ1 = arccos
Ro1
Ro2
Se calcula ahora el ángulo de receso para ambos engranes.
β1 = tanφ1 − tanφ = 0.2096886003 rad
β2 = β1
Rp1
= 0.05591696008 rad
Rp2
Los ángulos de aproximación vienen dados por
α2 = tanφ2 − tanφ = 0.0642420615 rad
10
α1 = α2
Rp2
= 0.2409077306 rad
Rp1
2. Relación de contacto
Finalmente se verificará que los resultados de la relación de contacto, el primero obtenido por
la longitud de acción y los segundos obtenidos mediante los ángulos de receso y aproximación,
concuerden
θ1 =
2π
= 0.2617993878 rad
N1
θ2 =
2π
= 0.06981317008 rad
N2
Finalmente se tiene que
mp1 =
α1 + β1
= 1.721151202
θ1
mp2 =
11
α2 + β2
= 1.721151202
θ2
P1: FHA/JTH
CB672-10
CB672/Litvin
CB672/Litvin-v2.cls
February 27, 2004
288
0:19
Spur Involute Gears
c'
c
C
C'
D
d
D'
Figure 10.7.1: Meshing of involute gears.
d'
Gear Centrodes
Circles of radii O1 I and O2 I are the gear centrodes. Generally, the gear centrodes do
not coincide with the gear pitch circles (see below).
Pressure Angle
The pressure angle α is formed by the line of action KL and the tangent to the gear
centrodes. Generally, the pressure angle α differs from the rack-cutter profile angle αc .
The equality α = αc can be observed in a particular case only (see below).
Change of Center Distance
The change of center distance does not affect the gear ratio m12 , but it is accompanied
with a change of the pressure angle and the radii of gear centrodes. The proof of this
statement is based on the following considerations:
(a) Considering that gear tooth profiles β–β and γ –γ are given, we have to consider
that the corresponding base circles are also given (Fig. 10.7.1). Recall that β–β and
γ –γ have been obtained by the development of base circles of radii r b1 and r b2 ,
respectively.
(b) Figure 10.7.2 shows that the gears with the same base circles have been assembled:
initially with the center distance E [Fig. 10.7.2(a)], and then with the center distance
E = E + E [Fig. 10.7.2(b)]. The common normal in the first case is KL and in
the second case is K L . The point of intersection of the common normal with the
center distance (I and I , respectively) does not change its location in the process