PRESENTACIÓN
ANÁLISIS EMPÍRICO
En el campo de la Mecánica de Fluidos y de la Hidráulica existe una gran cantidad
de problemas que no pueden ser resueltos utilizando únicamente métodos
analíticos; con frecuencia es necesario recurrir a métodos experimentales para
establecer relaciones entre las diversas variables de interés de modo que sea
posible experimentar bajo las mejores condiciones de esfuerzo, costo y tiempo.
La solución de algunos de dichos problemas se plantea mediante ecuaciones
establecidas como resultado de un análisis matemático cuya solución sólo puede
encontrarse si se efectúan hipótesis simplificatorias que por un lado, le restan
generalidad y por otro pueden ocasionar que los resultados obtenidos no tengan
relación con el comportamiento real del flujo, sin embargo, dicha solución puede
ajustarse mediante procedimientos experimentales que complementen la solución
analítica. Cabe señalar que las reglas y demás resultados obtenidos de la
investigación experimental no pueden suplir a los métodos analíticos ya que
dichos resultados sólo tienen validez en el rango de valores para el cual se realizó
la experimentación.
En el estudio de fenómenos de la Mecánica de Fluidos y de la Hidráulica una parte
de la dificultad para encontrar su solución radica en que intervienen un gran
número de variables de flujo y geométricos de tal manera que generalmente se
acepta que su solución pueda obtenerse mediante una adecuada combinación del
análisis matemático y de la investigación experimental, de tal manera que sea
posible establecer las condiciones para una solución completa tanto de la función
como de las constantes numéricas involucradas y por otro mantener la
experimentación requerida a un mínimo dado que los estudios experimentales son
bastante caros.
La experimentación realiza el estudio de las variables correspondientes a las
características del flujo así como a las propiedades del fluido y a las condiciones
geométricas del mismo. Por ejemplo en el estudio experimental para determinar la
fuerza de arrastre (FD) que sufre una esfera inmersa en un flujo y que resulta ser
una función de la velocidad del flujo (V), del diámetro de la esfera (D), de las
propiedades del fluido como la densidad (ρ) y la viscosidad (μ), es posible construir
una función tal que:
F FD ,V , D,  ,   0 ----- 1
Para cubrir varias posibilidades reales de aplicación de los resultados
experimentales respecto a la fuerza de arrastre, es necesario utilizar distintas
velocidades de flujo, fluidos de diferentes características (ρ y μ) y esferas de
diferentes diámetros. La investigación bajo estas condiciones tomaría mucho
tiempo y requeriría de un gran esfuerzo de recursos humanos, de infraestructura y
de equipo. Sin embargo el estudio de las distintas combinaciones de las variables
involucradas permite encontrar parámetros con los que es posible realizar la
investigación en condiciones de menor esfuerzo, costo y tiempo.
Con el objeto de ahorrar tiempo, esfuerzo y dinero, después de determinar los
parámetros derivados de las variables que intervienen en el fenómeno, la
experimentación se realiza utilizando las menos combinaciones posibles entre
dichos parámetros.
Dentro del propósito de ahorro de tiempo y dinero la experimentación llevada a un
mínimo se realiza mediante el uso sistemático de una técnica denominada
ANÁLISIS DIMENSIONAL basada en el teorema π de Buckingham que garantiza
la homogeneidad dimensional, técnica que no es exclusiva de la Mecánica de
Fluidos sino que es útil para todas las disciplinas en las que es necesario diseñar y
realizar experimentos.
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En el ejemplo de la fuerza de arrastre en un esfera es suficiente estudiar el
comportamiento de un coeficiente de arrastre CD mediante la variación de un
parámetro obtenido de la combinación de algunas de las variables del fenómeno y
que se conoce como Número de Reynolds (Re), es decir, los resultados
experimentales para la fuerza de arrastre sobre una esfera se pueden reportar
mediante una relación funcional entre sólo dos parámetros en la forma:
 V D 
FD
  f Re   CD
 f 
2
2
V D
  
----- 2
En muchos casos, en la Ingeniería las ecuaciones o no se conocen o son
demasiado difíciles de resolver y como lo señalan CENGEL y CIMBALA (2006) “la
mayoría de las veces la experimentación es el único método para obtener
información confiable”. Las pruebas se realizan en un MODELO a escala en lugar
de la estructura u objeto real al que se le denomina PROTOTIPO, debido a que el
tamaño de éste puede ser demasiado grande para experimentar con él a costos
razonables o bien sus dimensiones pueden ser tan pequeñas que las
observaciones no tengan un grado de precisión aceptable.
De acuerdo con los autores citados los propósitos del análisis empírico son:
 Obtener leyes de escalamiento de modo que pueda predecirse el desempeño
del prototipo a partir del desempeño del modelo.
 Generar parámetros adimensionales que ayuden en el diseño de experimentos y
en el reporte de los resultados experimentales.
 Predecir las tendencias en la relación entre parámetros
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SIMILITUD
La Similitud es el estudio para predecir condiciones del Prototipo a partir de los
resultados de las pruebas experimentales realizadas en su respectivo Modelo.
Para que esto sea posible se requiere que el flujo en el prototipo y el flujo en el
modelo sean semejantes, a continuación se presentan las condiciones para
alcanzar esta semejanza.
La teoría de la Similitud que satisface el objetivo anterior fue establecida por Kline:
“Si dos sistemas obedecen al mismo grupo de ecuaciones y de condiciones
gobernantes y si los valores de todos los parámetros y las condiciones se hacen
idénticas, los dos sistemas deben exhibir comportamientos similares con tal de
que exista una solución única para el grupo de ecuaciones y condiciones”.
Los principales parámetro adimensionales de utilidad en la Mecánica de los
Fluidos se obtienen de las ecuaciones del movimiento de los Fluidos, Sin embargo
si se conocen las variables que intervienen en un problema se pueden determinar
con ellas los parámetros adimensionales aplicables con el procedimiento de
Análisis Dimensional.
Para que un modelo sea útil para predecir el comportamiento del prototipo
correspondiente, debe proporcionar información (datos) que se puedan extrapolar
mediante un cambio de escala de las fuerzas y otras solicitaciones.
Existen tres condiciones necesarias para obtener una Similitud completa entre
modelo y prototipo:
Semejanza geométrica. La semejanza geométrica requiere que el modelo y
prototipo tengan la misma forma y que por lo tanto la relación entre las
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dimensiones lineales homólogas entre ellos sea siempre misma para todas ellas,
así si se denomina escala lineal (Le) a la relación entre las dimensiones lineales y
si se designa con subíndice p a las magnitudes en el prototipo y con subíndice m a
las magnitudes en el modelo, resulta para las dimensiones lineales homólogas:
Le 
Lp
Lm

Hp
Hm

Dp
Dm

hp
hm

Bp
Bm
  ----- 3
Una consecuencia de la escala lineal es que la escala de área es: Ae  L2e y la
escala de volumen: e  L3e .
Cabe mencionar que algunas veces, determinados modelos como los de los ríos,
puertos, estuarios etc. se hacen con semejanza geométrica distorsionada para
evitar que la profundidad del agua sea tan pequeña que la tensión superficial
complique los experimentos.
Semejanza cinemática. Significa que la velocidad en cualquier punto en el flujo
del modelo es proporcional a la velocidad en el punto homólogo del flujo en el
prototipo, esto es, la semejanza cinemática significa que el patrón de líneas de
corriente en el modelo es igual al que se presenta en el prototipo excepto por el
factor de escala correspondiente. La semejanza cinemática entre modelo y
prototipo se interpreta como la semejanza geométrica entre las líneas de corriente
(Gilberto Sotelo, 2005).
Ve 
Vp
Vm
además t e 
tp
tm
----- 4
Donde Ve es la escala de velocidad y te es la escala de tiempo.
Semejanza dinámica. La semejanza dinámica significa que las distribuciones de
fuerzas en puntos homólogos de los flujos en modelo y prototipo son tales que los
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tipos de fuerza idénticos son paralelos y son iguales excepto por un factor de
escala constante en todos los puntos de ambos flujos. Lo anterior significa también
que la semejanza dinámica implica que exista semejanza geométrica entre los
polígonos de las fuerzas correspondientes a puntos homólogos de ambos flujos.
En la semejanza dinámica existen escalas de fuerzas (Fe), de velocidad (Ve), de
tiempo (te), de densidad (ρe), de viscosidad dinámica (μe), de viscosidad
cinemática (νe), etcétera, que miden la relación entre las características de los
flujos (fuerzas, velocidades, etc.) o entre las propiedades de los fluidos (densidad,
viscosidad, etc.)
Para establecer la semejanza dinámica se deben considerar las fuerzas que sean
importantes en el fenómeno que se desea modelar, debiéndose tomar en cuenta
los efectos de dichas fuerzas (de presión, viscosas, gravitatorias, de tensión
superficial, etc.) y las condiciones para realizar los experimentos de modo que
todas las fuerzas se relacionen mediante el mismo factor de escala entre los flujos
de modelo y prototipo. Si están presentes fuerzas de inercia (FI), fuerzas de
presión (Fp), fuerzas viscosas (Fν), fuerzas de gravedad (Fg), la semejanza
dinámica requiere que en puntos homólogos de ambos campos de flujo:
Fe 
FI  p
FI m

F 
F 
p p
p m

F  p
F m

F 
F 
g
p
 Cste. ----- 5
g m
Donde, Fe es la escala de fuerza y debe ser la misma para las relaciones de
fuerzas del mismo tipo.
En un campo de flujo general, la semejanza completa entre un modelo y su
prototipo respectivo se logra sólo cuando existe semejanza geométrica, cinemática
y dinámica.
El movimiento de un fluido se explica por las ecuaciones del movimiento que
consideran las fuerzas por unidad de masa más importantes involucradas en el
6
flujo. Sin embargo, cada fenómeno se caracteriza por la importancia de una
fuerza determinada cuya influencia es preponderante en el movimiento,
ejerciendo su acción sobre la fuerza de inercia.
En la ecuación del movimiento los términos representan las fuerzas que
intervienen en un flujo, esta ecuación obviamente es válida para los flujos del
modelo y prototipo. Sustituyendo el esfuerzo tangencial (τ), derivado del
rozamiento en un flujo viscoso, por su equivalente de acuerdo a la ecuación de
Newton de la viscosidad (    v n ) con μ constante, la ecuación del
movimiento para el modelo es de la forma:

1 pm m  2vm
zm
 vm2 vm


g


m
 m sm  m nm2
sm sm 2 tm
----- 6
Para el movimiento en el prototipo con semejanza completa respecto al del
modelo y utilizando las definiciones de escala correspondientes las características
y propiedades en el prototipo se pueden escribir en la forma:
p p  pe p m ; V p  Ve Vm ;  p   e  m ,
----- 7
Por lo tanto la ecuación del movimiento para el prototipo es:

pe
 e ve  m  2 v m
 zm
ve2
v
v
1  pm
 v m2




  ge  gm

  e   m ---8
2
2
 e Le  m  s m
 sm
Le  s m 2
t e t m
 e Le  m n
Los términos entre paréntesis de la ecuación anterior relacionan las diferentes
escalas utilizadas y la homogeneidad de todos los términos exige que se
satisfagan las relaciones siguientes:
pe
 e Ve
Ve2 Ve

 ge 

 e Le  e L2e
Le
te
----- 9
7
Al analizar cada una de estas relaciones y utilizando para cada relación el término
correspondiente a la escala de la fuerza de inercia ( Ve2 Le ) resulta:
pe
V2
 e
 e Le Le
de donde resulta
 e Ve2
pe
 1 ----- 10
Este último resultado significa que la Similitud entre los flujos de modelo y
prototipo existe para la fuerza de presión, si el parámetro:
Eu 
 v2
-----11
p
Es el mismo en ambos flujos, este parámetro es adimensional y es la relación
entre la fuerza de inercia y la fuerza debida al gradiente de presión ya que p
representa, en general, la diferencia de presión entre dos puntos del flujo.
Mediante un procedimiento análogo se pueden determinar los siguientes cuatro
parámetros incluyendo al anterior:
Eu 
Número de Euler:
Re 
Número de Reynolds:
Número de Froude:
Número de Strouhal:
S
 v2
p

Fuerza de inercia
Fuerza de presión
----- 12
vL vL
Fuerza de inercia




Fuerza de vis cos idad
Fr 
Fuerza de inercia
v

g L Fuerza de gravedad
----- 13
----- 14
Fuerza de inercia
L

v t Fuerza de inercia flujo transitorio
----- 15
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Flujos internos y externos (Flujos confinados)
Un flujo de este tipo es el que se presenta alrededor de cuerpos sumergidos,
como: aviones, edificios, submarinos, automóviles, etcétera y el que ocurre dentro
de tuberías y conductos.
El efecto dominante es el de la viscosidad en flujos incompresibles (Flujo de
líquidos y de gases a velocidades que cumplen la relación M < 0,3). Las tres
fuerzas preponderantes son las fuerzas de presión, las fuerzas de inercia y las
fuerzas viscosas. Por lo tanto en flujos internos y externos (flujos confinados)
existe Similitud entre modelo y prototipo si las relaciones de las fuerzas viscosas,
las fuerzas de inercia y las fuerzas de presión son las mismas, es decir Eu  f Re 
de modo que es suficiente considerar que se alcanza la Similitud si el número de
Reynolds es igual en modelo y prototipo, esto es:
Re p  Re m

V p Lp
p

Vm Lm
m

Ve Le
e
 1 ----- 16
Ejemplo
Se desea predecir la fuerza de arrastre en un transductor de sonar, basándose en
resultados obtenidos en pruebas de túnel de viento. El prototipo, consistente en
una esfera de 60 cm de diámetro, se debe arrastrar con velocidad de 2,5 m/s (5
millas náuticas por hora) en agua de mar. El modelo tiene 15 cm de diámetro.
Determinar la velocidad necesaria para la prueba en aire. Si el arrastre en el
modelo es de 22 N estimar el arrastre en el prototipo.
Solución:
La similitud entre modelo y prototipo exige que Re p  Re m o
bien: Re e  1 
Ve Le
e
1
En el prototipo se tiene la siguiente información: Vp = 2,5 m/s,
Dp = 0,60 m. y agua de
mar con ρp = 1030 Kg/m3; νp = 1,3x10-6 m2/s. => Rep = 1,15x106
9
En el modelo la información es: Dm = 0,15 m, aire a 15°C con ρm = 1,238 Kg/m3; y una
viscosidad de νm = 1,44x10-5 m2/s, por lo tanto:
Le = Dp/Dm = 4; νe= νp/νm =1.3*10-6/1,44*10-5 = 0,0903 => Ve = νe/Le = 0,0226 por lo
tanto:
Vm = Vp/0,0226 = 110,6 m/s
Para determinar la fuerza de arrastre es necesario considerar que el Número de Euler en el
prototipo debe ser igual al del modelo, con: Eu = P/ρV, resulta:
Fp
pV D
2
p
2
p

Fm
 m Vm2 Dm2
Fp   e Ve2 L2e  Fm
La escala de densidades se obtiene considerando que ρ p = 1030 Kg/m3 y ρm =
1.238 Kg/m3, entonces ρe = 832
Fp = 832x0.02362x42x22 = 150 N
Flujos con superficie libre
El flujo con superficie libre es un flujo que presenta una superficie en contacto con
la presión atmosférica como en el caso del flujo en canales, vertedores y diques o
que presentan una interfaz cuando son flujos que implican dos fluidos como en el
caso de flujo alrededor de objetos flotantes, En flujos con superficie libre la
gravedad controla tanto la ubicación como el movimiento de la superficie libre por
lo tanto la similitud implica que el Número de Froude deba ser igual en modelo y
prototipo. Aunque en ocasiones las fuerzas viscosas son también importantes en
este tipo de flujo, se debe considerar que en la mayoría de los modelos el agua es
el único fluido a utilizar y si el fluido en el prototipo es también agua, entonces la
semejanza a partir del Número de Froude implica que:
10
Fr p  Fr m

Vp
g p Lp

Vm
g m Lm
 Fr e  1 ----- 17
Si se supone además, que gp = gm, entonces:
1
Ve  Le 2
----- 18
Ejemplo
Se utiliza un modelo a escala 1:20 de una embarcación para probar la influencia
de un diseño propuesto en el retardo (fuerza de arrastre) provocado por las olas.
Se mide un retardo provocado por las olas de 28 N en el modelo a una velocidad
de 2,4 m/s. ¿A qué velocidad corresponde ésta con el prototipo? y ¿qué retardo
provocado por las olas se predice para el prototipo? Ignore los efectos viscosos y
considere el mismo fluido para modelo y prototipo.
El Número de Froude debe ser igual en modelo y prototipo, por lo tanto
1
Ve  Le 2
=> Ve = 201/2 = 4,47
Vp = Vm*Ve = 2,4*4,47 = 10,73 m/s
Para determinar la fuerza de retardo se debe considerar que el número de Euler
debe ser también, igual en modelo y prototipo, por lo tanto:
FD p
FD m

 p V p2 L2p
m V L
2
m
2
m
 FD p  Ve2  L2e  FD m  FD p  223,8 kN
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RECAPITULACIÓN
Todas las ecuaciones matemáticas deben ser dimensionalmente homogéneas
este principio se puede utilizar para identificar parámetros adimensionales. Una
poderosa técnica para reducir el número de parámetros necesarios para resolver
un problema es el análisis dimensional.
Cuando los parámetros adimensionales determinados para el flujo de un modelo
son iguales a los del flujo en su respectivo prototipo se logra la Similitud entre
ambos flujos y con ello se está en condiciones de predecir el comportamiento del
prototipo a partir de los resultados obtenidos en los experimentos realizados en el
modelo.
El análisis empírico se ha incluido en forma más amplia en la producción
bibliográfica más reciente de la Mecánica de Fluidos, se destaca en ella su
importancia para determinar coeficientes de pérdida y factores de fricción en el
flujo en tuberías, coeficientes de arrastre y de sustentación en objetos de
diferentes formas de perfil, el uso de parámetros adimensionales en el flujo
compresible y en el flujo en canales y la importancia de la similitud para el diseño y
prueba de bombas y turbinas.
En esta monografía se presenta sólo la derivación de las leyes de escala más
comunes y sus aplicaciones en el estudio empírico de los sistemas de flujo
confinado (flujos internos y externos) y a superficie libre
En la determinación de las Leyes de similitud (parámetros adimensionales iguales
en modelo y prototipo) se ha utilizado la ecuación del movimiento a lo largo de una
línea de corriente para un flujo con rozamiento, por considerar que resulta más
claro para el alumno aunque también es posible su derivación mediante la
consideración de relación de fuerzas constante como lo hacen entre otros Potter y
Wiggert y Cengel y Cimbala.
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BIBLIOGRAFÍA
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Merle C Potter/David C Wiggert, Mecánica de Fluidos, 3ª edición, Thomson,
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Franzini B. J. y Finnemore E. J. Mecánica de Fluidos con aplicaciones en
Ingeniería, Novena edición, Mc Graw Hill, Madrid, España,1997
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