Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato
1
TEMA 6 – LOS NÚMEROS COMPLEJOS
OPERAR CON COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
EJERCICIO 1 : Calcula y representa gráficamente la solución que obtengas:
 4  2i i 5
i 30 5  i 
5i 9 2  3i 
5i 6  2  i 
a)
b)
c)
d)
1 i
 1  2i
 1 i
2i
Solución:
a)
b)
c)
d)
4  2i i 5
4i  2i 2 4i  2 2  4i 2  4i 1  i  2  2i  4i  4i 2 2  2i  4i  4






1  i 1  i 
1 i
1 i
1 i
1 i
1 i
1 1
1 i 2
6  2i 6 2i

 
3i
2
2 2

4  2i i



5i 6  2  i  5 1 2  i   5 2  i   5 2  i  1  2i   5 2  4i  i  2i 2





 1  2i  1  2i
 1  2i
 1  2i
 1  2i
1  4i 2
5 2  4i  i  2 5 4  3i 


 4  3i
1 4
5
i 30 5  i   15  1  5  i  5  i  1  i  5  5i  i  i 2 5  5i  i  1 6  4i 6 4i






 
 3  2i
 1 i
 1 i
 1  i  1  i  1  i 
1 1
2
2 2
1 i 2
5i 9 2  3i  5i 2  3i  10i  15i 2 10i  15 15  10i 15  10i 2  i  30  15i  20i  10i 2







2  i 2  i 
2i
2i
2i
2i
2i
4 i2
30  15i  20i  10 20  35i 20 35i




 4  7i
4 1
5
5
5
Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato
2
PASAR DE BINÓMICA A POLAR Y VICEVERSA. OPUESTO Y CONJUGADO
EJERCICIO 2 : Dado el número complejo z 
3  i:
a Represéntalo gráficamente y exprésalo en forma polar.
b Obtén su opuesto y su conjugado.
Solución:
a Forma polar:
 3    1
2
z 
2
3
1

3
3
tg  


3 1 
4 2
  330  (pues está en el 4.º cuadrante)
Por tanto: z  2 330
b) Opuesto
z   3 i

Conjugado
z

3 i
EJERCICIO 3
a) Expresa en forma binómica el número complejo z  4135 y represéntalo gráficamente.
b Obtén el opuesto y el conjugado de z.
Solución:

2
2
  2 2  2 2 i
a) z  4135  4 cos 135  i sen 135  4 
i

2
2 


b) Opuesto

 z  2 2  2 2i

Conjugado
z  2 2  2 2 i

 1 i 
EJERCICIO 4 : Halla el módulo y el argumento de 

 1 i 
4
Solución:
Expresamos 1  i y 1  i en forma polar:
12   1 
2
1 i 
tg  
1
 1 
1
1 i 
tg  
12  12 
1
1 
1
1 1 
2
  315  (pues está en el 4º cuadrante)
1 1 
2
  45  (pues está en el 1er cuadrante)
4

 1 i 
Por tanto: 
 

 1 i 

4
2 315 
 1270
2 45 
  1
4
1080 
 10  1
Módulo  1 y Argumento  0.
Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato
3
OPERACIONES EN FORMA POLAR
EJERCICIO 5 : Una de las raíces octavas de un número complejo, z, es 1  i. Halla el valor de z.
Solución:
Si 1  i es una raíz octava de z, entonces: z   1  i 8
Expresamos 1  i en forma polar:
 1 i 
tg  
 12  12
1 1 

1
 1 
1
2
  135  (pues está en el 2.º cuadrante)
 2   16
8
8
Por tanto: z   1  i  
135
1080 
 16 0  16
EJERCICIO 6 : El producto de dos números complejos es 2 2 75 .Sabiendo que uno de los
números es z  1  i, halla el otro número.
Solución:
z  w  2 2 75 


z  1 i
Llamamos w al número buscado. Entonces, tenemos que:
Expresamos z en forma polar:
z 
12  12 
tg  
1
1 
1
Luego z 
w
1 1 
2
  45  (pues está en el primer cuadrante)
2 45 y, por tanto:
 3
1
 2 30  2 cos 30   i sen 30   2 
i 
 2
2


2 2 75

2 45

3  i  Es decir: w  230 
EJERCICIO 7 : Calcula e interpreta gráficamente las soluciones:
3
3 i
 27i
Solución:
Expresamos 27i en forma polar: 27i  27 270
Así: 3  27i  3 27 270  3 27 270  360 k con k  0,1, 2
3
k 0

3
27 90  3 90
k 1 
3 210 
k 2

3 330 
Las tres raíces son: 3 90 ; 3 210 ; 3 330
Los afijos de las tres raíces cúbicas ocupan los vértices de un triángulo equilátero.
EJERCICIO 8 : Halla
5
 1 e interpreta gráficamente las soluciones.
Solución:
5
 1  5 1180  1180  360 k  136  72k ; k  0,1, 2, 3, 4  Las cinco raices son: 136 ; 1108 ; 1180 ; 1252 ; 1324
5
Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato
4
Los afijos de las raíces quintas ocupan los vértices de un pentágono regular.
EJERCICIO 9 : Halla un número complejo, z, sabiendo que una de sus raíces quintas es 2  2i.
Solución:
5
z  2  2i Expresamos 2  2i en forma polar:
2  2i 
2
2 2   2  
2
 1 
2
Por tanto:
tg  
5
z  2  2i  
44 
  315 
 8   2
5
8
(pues está en el 4.º cuadrante)

5
3
315 
315 
215 1 575  2 7


2 135  128 2 135  128 2 cos 135   isen 135  

2
2 
 128 2  
i
 128  128i  Es decir: z  128 2 135  128  128i
 2
2 


4
EJERCICIO 10 : Calcula:
 81
Solución:
4
 81  4 81180  3 180  360 k  3 45  90 k ; k  0, 1, 2, 3  Las cuatro raíces son:
3 45 ; 3135 ; 3 225 ; 3 315
4
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN FORMA COMPLEJA
EJERCICIO 11 : Resuelve las ecuaciones:
a) z2  4z  5  0
b) z3  8  0
c) x2  4i x  5  0
d) z3  64  0
Solución:
2
a) z  4z  5  0 z 
4  16  20
2

4   4 4  2i

 2  i  Hay dos soluciones: z1  2  i ; z 2  2  i
2
2
b) z3  8  0  z3 8 z  3  8  3 8180  2
c) x2  4i x  5  0 x 
4i  16i 2  20

2
Hay dos soluciones: z1  1  2i ; z2  1  2i
d) z 3  64  0

z 3  64

180  360 k
3
 2 60 120 k ; k  0,1, 2  2 60 ;
4i   16  20 4i  4 4i  2


 2i  1
2
2
2
z  3  64  3 64180  z  4 180  360 k  4 60 120 k ;
3
Las tres raíces son: 4 60 ;
4180 ;
4 300
2180 ;

2 300
2i  1  1  2i
2i  1  1  2i

k  0, 1, 2