FACULDADE PRESBITERIANA MACKENZIE RIO
GABRIEL DE ALMEIDA ARRUDA
TEORIA MODERNA DO PORTFÓLIO:
UMA ANÁLISE AO MERCADO BRASILEIRO
RIO DE JANEIRO
2019
GABRIEL DE ALMEIDA ARRUDA
TEORIA MODERNA DO PORTFÓLIO:
UMA ANÁLISE AO MERCADO BRASILEIRO
Trabalho
de
Conclusão
de
Curso
à
Faculdade
Presbiteriana Mackenzie Rio, como requisito parcial para
a obtenção do grau de Bacharel em Ciências Econômicas.
Orientador: Prof. Márcio Pereira Duarte Nunes
RIO DE JANEIRO
2019
TEORIA MODERNA DO PORTFÓLIO:
UMA ANALISE AO MERCADO BRASILEIRO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Faculdade Presbiteriana Mackenzie Rio, como
requisito parcial para a obtenção do grau de Bacharel em Ciências Econômicas.
Orientador: Prof. Márcio Pereira Duarte Nunes.
Aprovado em ____/____/____
BANCA EXAMINADORA
_________________________________________________
Prof. Márcio Pereira Duarte Nunes – Orientador
_________________________________________________
_________________________________________________
RESUMO
A alocação de carteira em ativos financeiros expõe o patrimônio do investidor
ao risco, sendo necessário entender a melhor forma de alocar seu portfolio seja através de
experiências ou uso de modelos. As crises no mercado de ações mostra aos investidores que o
risco e incerteza deve estar presentes ao fazer uma análise de portfólio. Assim surge o problema
da pesquisa: Como compor um portfólio para cada nível de aversão ao risco do investidor, seja
minimizando o risco ou encontrando a carteira que maximiza a utilidade. O trabalho busca
responder a dois objetivos, Como montar uma carteira ótima para diferentes níveis de aversão
ao risco e apresentar aplicações de metodologias para os investidores que estão expostos ao
risco no mercado de ações brasileiro.
Palavras-chave: Markowitz, CAPM, Sharpe, Portfólio
ABSTRACT
Portfolio allocation in financial assets exposes an investor's equity to risk, and it is
necessary to understand the best way to allocate his portfolio either through experience or using
models. Stock market crises show investors that risk and uncertainty must be present when
conducting a portfolio analysis. Thus arises the research problem: How to compose a portfolio
for each investor risk aversion level, either by minimizing risk or by finding the portfolio that
maximizes utility. The paper seeks to meet two objectives: How to build an optimal portfolio
for different levels of risk aversion and to present methodological applications to investors who
are exposed to risk in the Brazilian stock market.
Keywords: Markowitz, CAPM, Sharpe, portfolio
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Correlação ________________________________________________________ 16
Figura 2 Fronteira Eficiente __________________________________________________ 17
Figura 3: Fronteira Eficiente com Carteira de Tangencia ____________________________ 19
Figura 4: Menores correlações ________________________________________________ 24
Figura 5: Portifólios Simulados ________________________________________________ 27
Figura 6: Portfólios com Índice de Sharpe _______________________________________ 28
Figura 7: Composição da Carteira de Variância Mínima ____________________________ 32
Figura 8: Composição da Carteira de Tangencia___________________________________ 32
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Ações listadas na IBOVESPA __________________________________ 22
Quadro 2: Retorno das ações ___________________________________________ 23
Quadro 3: Ações escolhidas ____________________________________________ 24
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Matriz de Covariância _________________________________________ 25
Tabela 2: Matriz de Correlação _________________________________________ 25
Tabela 3:Resultado da Carteira de Variância Mínima ________________________ 30
Tabela 4: Resultado da Carteira de Tangencia ______________________________ 31
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO_____________________________________________________ 10
REVISÃO DE LITERATURA ___________________________________ 12
1.
1.1.
HIPÓTESE DOS MERCADOS EFICIENTES ________________________________________ 12
1.2.
RISCO ____________________________________________________________________ 13
1.3.
CARTEIRA DE MARKOWITZ __________________________________________________ 14
1.3.2
O MODELO______________________________________________________________ 14
1.3.3
FRONTEIRA DE EFICIÊNCIA ________________________________________________ 16
1.4
CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM) ______________________________________ 17
2.
METODOLOGIA______________________________________________ 21
3.
OTIMIZAÇÃO DO PORTIFÓLIO _______________________________ 30
CONSIDERAÇÕES FINAIS __________________________________________ 33
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS __________________________________ 34
INTRODUÇÃO
Com a explosão do mercado interno dos EUA, no fim do Sec. XIX, fundamental para
a criação das principais redes ferroviárias que alavancariam a siderurgia norte-americana, bem
como seu mercado de capitais. Fomentando a demanda por recursos financeiros os gigantes
conglomerados industriais fizeram com que o desenvolvimento das finanças corporativas
deixasse de ser algo abstrato para se tornar uma necessidade concreta do “modern capitalism”,
conforme Teixeira (1999). Já no início do Sec. XX, com o mercado bastante desenvolvido,
enfrentando problemas de escassez de recursos e flutuação nos preços, a necessidade de estudos
mais aprofundados sobre a o valor das empresas, orçamento e liquidez se fez presente.
A década de 1950, foi um período revolucionário para as pesquisas na área de finanças,
ganhando notório espaço dentro da academia. A “moderna teoria das finanças” tem como base
a teoria econômica neoclássica, assentada na hipótese dos mercados eficientes. Diversos
estudos na área foram desenvolvidos por pesquisadores como Markowitz, Fama, Tobin, Hicks,
Sharpe, Black, Scholes e tantos outros. Mas foi Markowitz (1952) que deu início à
modernização da teoria ao propor uma solução do problema de otimização através de variáveis
outrora dadas como incertezas, dando origem a teoria de seleção de carteiras.
Markowitz buscou desenvolver um método de otimização de uma carteira levando em
consideração o fator risco e expondo o trade-off entre risco e retorno. Sua teoria elabora um
método de otimização e escolha de portfólios que maximiza a utilidade esperada do investidor,
dado o seu nível de aversão ao risco por meio de um processo de diversificação. De acordo com
a teoria, os investidores podem determinar todas as carteiras “ótimas” no sentido de risco e
retorno e formar uma fronteira eficiente. Esta fronteira pode ser descrita como uma região em
que se concentra as carteiras que apresentam o menor risco, para um certo retorno esperado.
O modelo de Markowitz apresentava uma certa limitação ao calcular apenas o risco
específico das ações, baseado nesta teoria em 1964 Willian F. Sharpe propôs o Capital Pricing
Asset Model (CAPM), com a ideia de que um portfólio apresenta não só o risco específico dos
ativos, mas também o risco do mercado.
10
É possível combinar os dois modelos construindo uma fronteira eficiente identificando
o retorno esperado de um portfólio precificado a partir da relação entre o ativo livre de risco e
o risco de mercado, sendo obtido pela maximização do índice de Sharpe, que mostra o ponto
máximo da relação risco-retorno, descontado o ativo livre de risco.
Mesmo com a presença da incerteza do futuro sendo um fator bastante relevante na
decisão de alocação de recursos do investidor, a sofisticação da teoria permitiu a possibilidade
de quantificar e analisar o risco idiossincrático e sistêmico. Nesse sentido, a aplicação do
conceito da carteira de variância mínima, apresentada por Markowitz, auxiliou a desmistificar
o risco para o pequeno investidor, apresentando novos mecanismos utilizados para proteger
investimentos de fortes oscilações, bem como apresentando os benefícios de um investimento
de longo prazo.
Este é o ponto de partida do presente trabalho, que tem como objetivo apresentar um
estudo prático sobre a teoria da carteira de Markowitz aplicado ao mercado brasileiro. Com isso
também será analisada outras teorias que agregaram valor a teoria de finanças. Para tal, será
utilizado dados da B3, com ações listadas no índice Bovespa (IBOV), a partir dos quais se
procederá a uma análise de resultados no recorte sugerido.
Assim, além dessa Introdução, no primeiro capítulo, será feita a fundamentação
teórica, onde será explicada a evolução dos trabalhos/estudos que formam o corpo teórico da
teoria dos portfólios tradicionais, como o conceito dos mercados eficientes, do risco, da carteira
de Markowitz e sua fronteira de eficiência e o modelo de precificação de ativos, introduzida
por William F. Sharpe. Nele, serão ainda apresentados estudos que testaram empiricamente tais
teorias e as conclusões relevantes. No segundo capítulo, serão discutidos os dados e a
metodologia que será utilizada, bem como as definições das premissas e critérios. Nele será
apresentado ao Python, uma ferramenta que será utilizada para a geração e tratamento dos
dados, bem como para calcular os complexos relações existentes entre variáveis, tal como reza
a teoria. No terceiro capítulo, serão apresentados os resultados alcançados, bem como a análise
deles decorrente. Por fim, serão feitas as considerações finais e as referências bibliográficas
utilizadas.
11
1. REVISÃO DE LITERATURA
1.1. Hipótese dos Mercados Eficientes
Com o avanço da complexidade do capitalismo, foi necessário a criação de alternativas
para a diminuição das incertezas futuras geradas pelo crescimento do dinamismo capitalista, se
mostrando necessária, principalmente em momentos de tomadas de decisões de investimento,
de modo a não se desperdiçar o capital investido em projetos improdutivos (Luiz Antônio de
Oliveira Lima, 2003). Para Eugene Fama (1970), criador da Hipótese dos Mercados Eficientes
(HME), a responsabilidade de alocar de forma eficiente o capital investido, fica por conta do
mercado acionário, sendo ele o centralizador das informações.
Na HME, apresentada por Fama os investidores tomam decisões racionais e possuem
algumas condições: (1) Não haver custo de transações no mercado de título; (2) As informações
devem ser disseminadas igualmente entre todos os participantes; (3) Todos os participantes
desenvolvem interpretações similares de tais informações. (Luiz Antônio de Oliveira Lima,
2003).
Eugene Fama, salientou que na HME existe três tipos de eficiência: a fraca, a semiforte
e a forte. A HME em sua forma fraca, estabelece que a tendência dos preços passados reflete
toda a informação disponível publicamente e não permite a antecipação dos preços futuros.
Em sua forma semiforte, os preços refletem todas as informações disponíveis ao público
e que os preços se ajustam quase que imediatamente às novas informações significativas, como
os lucros das empresas, distribuição de dividendos etc. E a forma forte, implica em dizer que
não existe um grupo de investidores, que consegue se aproveitar das informações privilegiadas,
pois já está contida nos preços até mesmo este tipo de informação. (Luiz Antônio de Oliveira
Lima, 2003)
A partir desta hipótese, pode se dizer que o preço de um título, corresponde ao seu preço
teórico ou “preço correto”, assim, estabelecendo que o que determina o preço de um ativo é o
seu risco, como foi apresentado com Sharpe com a formulação do CAPM (W. Sharpe,1964).
Assim, podemos dizer que em um mercado eficiente o preço dos títulos reflete todas as
informações disponíveis sobre ele, assim, o preço irá se alterar apenas com novas informações,
12
com isso, os teóricos dos mercados eficientes afirmam que a tendência de preços de curto prazo
segue um modelo de passeio aleatório, desse modo, não permitindo ter no longo prazo, ter um
retorno maior que o mercado, sendo impossível superar a performance do mercado.
1.2. Risco
O risco pode ser definido de muitas formas, dependendo do contexto e da área na qual
está sendo observado. O risco pode ter dupla dimensão, como incerteza e indesejabilidade que
possa ser associada a um dado resultado de um acontecimento. Neste trabalho, iremos definir o
risco como sendo quando existe uma probabilidade de uma determinada situação ter um
resultado que não é desejado, sendo assim quando um agente econômico apresenta chances de
ter prejuízos financeiros. Markowitz atribui a variável risco como sendo a variabilidade dos
retornos de um determinado ativo dado pela sua variância.
Dentro da teoria das finanças o risco pode ser classificado de duas formas:
 Risco idiossincrático
Este risco se refere ao risco específico, que afeta apenas uma determinada
empresa ou empresas do mesmo setor, como por exemplo uma reestruturação
financeira de uma empresa ou mudanças na regulação do setor. Este risco pode
ser eliminado através de uma diversificação na carteira
 Risco sistêmico
Este risco se refere ao risco que afeta todas as empresas, não necessariamente da
mesma maneira, não podendo ser reduzido via diversificação. Este risco está
intimamente ligado a variáveis macroeconômicas, como por exemplo a taxa de
inflação e o crescimento do PIB.
Matematicamente o risco pode ser expresso de diversas formas1, Markowitz utilizou como
medida de risco a variância dos retornos, que pode ser calculada da seguinte maneira:
1
Os mais utilizados hoje em dia são os modelos ARCH e GARCH para series temporais.
13
𝑁
𝜎2 =
∑𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝜇 )2
𝑁
1.3. Carteira de Markowitz
A Teoria Moderna do Portfólio, tem seu começo com Henry Markowitz (Portfolio
Selection, 1952) com o modelo de média-variância. A ideia da teoria é mostrar que as oscilações
dos ativos são imprevisíveis, assim, tendo apenas um ativo em sua carteira ou ações de alta
correlação, implica em um risco muito alto. Markowitz diz que devemos diversificar nossa
carteira, assim, reduzindo sua variância (seu risco). A principal ideia dessa teoria é mostrar, a
partir de um certo nível de risco, uma carteira de ativos que maximize seu retorno, sua
descoberta foi mostrar que o risco e retorno de um ativo não devem ser calculados sozinhos e
sim pelos pesos em que eles contribuem em sua carteira. Markowitz usa em sua teoria a
variância dos retornos como métrica de risco.
Logo na introdução do artigo, Markowitz diz que devemos considerar o pressuposto de
que os investidores consideram o retorno esperado (usado como a média do retorno do ativo)
como uma coisa desejável e a variância do retorno uma coisa indesejável. Este modelo tem seu
nome dado, pelo fato de se usar a média (retorno esperado) como métrica de desempenho e sua
variância como sendo seu risco.
O modelo assume que os investidores são avessos ao risco, onde tendo duas carteiras
com o mesmo retorno esperado, o investidor escolhe aquela com o menor risco, assim, caso o
investidor queria uma carteira com maior retorno, onde o mesmo assumirá um risco maior,
compensado pelo retorno, este seria o trade-off entre risco e retorno porém, este trade-off é
diferente para os diferentes investidores, sendo subjetivo, dependendo de sua aversão ao risco.
1.3.2 O Modelo
Supondo que tenha K ativos, onde 𝑋 = (𝑋1 , … , 𝑋𝑖 ) é o peso dos ativos na carteira de
maneira que ∑𝒌𝒊=𝟏 𝑿𝒊 = 𝟏 e 𝑿𝒊 ≥ 𝟎 de modo que o modelo não permita estar alavancado
14
fazendo operações de vendas a descoberto2. Para calcular o retorno esperado da carteira(𝑅̅𝑐 ),
devemos multiplicar a média ponderada dos retornos dos ativos(𝑅̅𝑖 ) pelo seu peso(𝑋𝑖 ) na
carteira:
𝑅̅𝑐 = ∑𝑋𝑗 𝑅̅𝑖
Para o cálculo da variância(𝜎 2 ), onde é utilizado a covariância(𝜎𝑖𝑗 ) pela a soma
ponderada dos ativos em carteira,
𝑁
𝑁
𝜎𝑐2 = ∑ ∑(𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝜎𝑖𝑗 )
𝑖=1 𝑗=1
Elton e Grubber (1995) deixam a fórmula mais interessante, acrescentando a variância
dos ativos individuais:
𝑁
𝑁
𝑁
𝜎𝑐2 = ∑(𝑋𝑗2 𝜎𝑗2 ) ∑ ∑(𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝜎𝑖𝑗 )
𝑗=1
𝑖=1 𝑗=1
Assim, como o retorno é a média dos retornos da carteira ponderada pelo peso dos
ativos, e o risco (variância) da carteira depende da matriz de correlação, onde essa matriz não
sendo de correlação perfeita, o risco (variância) do portfólio vai ser menor do que o risco dos
ativos calculados individualmente, mostrando que a diversificação, não apenas entre ativos,
mas de setores também, leva a um menor risco.
O coeficiente de correlação dos ativos pode variar entre -1 e 1, onde, quando ρ = -1
mostra que os movimento dos ativos são opostos e quando ρ = 1, os dois ativos se movem
juntos na mesma direção. A figura abaixo mostra que quando a correlação entre os ativos é
perfeita, não existe nenhum benefício na diversificação; quando a correlação é negativa, pode-
2
Venda a descoberto ou “short selling”, é uma prática comum no mercado financeiro que consiste em
vender um ativo ou derivativo que não se possui, esperando que seu preço caia para então recompra-lo, lucrando
com a diferença. Esta prática é uma forma de alavancagem.
15
se observar que existe benefício na diversificação, mostrando que o retorno da carteira será o
mínimo possível. (Elton e Gruber, 1995)
Figura 1: Correlação
Fonte: Elton e Gruber (1995)
1.3.3 Fronteira de Eficiência
Outro ponto importante do trabalho de Markowitz é a definição da Fronteira de
Eficiência, sendo formada por um conjunto de carteiras ótimas que apresentam combinações
de risco e retorno, onde o investidor sabendo que tais combinações são tangíveis, podendo optar
pela carteira que mais lhe agrada, dada sua aversão ao risco e expectativa de retorno.
16
Figura 2 Fronteira Eficiente
Fonte: http://www.moneychimp.com/articles/risk/efficient_frontier.htm
Observando a figura, pode-se constatar que não existe carteira com maior retorno, dado
um certo nível de risco
A partir da ideia da fronteira de eficiência, proposta pelo modelo, podemos buscar um
modelo de seleção de carteiras eficientes escolhendo apenas uma de acordo com o interesse do
investidor quanto ao seu risco e retorno. Isso possibilita a escolha de uma carteira ótima, a qual
pode ser feita de diversas formas, porém a mais comum seria minimizar seu risco, sujeito a um
limite mínimo de retorno, mais conhecida como carteira de variância mínima, que será
apresentada mais à frente no trabalho.
Uma desvantagem na implementação desta teoria, seria a dificuldade de estimação dos
dados, em espacial a matriz de covariância dada seu tamanho e sua complexidade. Essa
desvantagem pode ser resolvida pelo modelo de precificação de ativos (CAPM), introduzida
por Sharpe (1964).
1.4 Capital Asset Pricing Model (CAPM)
Uma forma simplificada da teoria do portfólio de Markowitz, foi o modelo de
precificação de ativos (CAPM) de W. Sharpe (1964). Em seu artigo, Sharpe mudara a forma
em que se encarava o trade-off entre risco e retorno. Ele observou que a volatilidade no retorno
de um investimento se dá a dois fatores: um deles é a oscilação oriunda do próprio ativo,
17
chamada de risco idiossincrático e a outra está associada a fatores econômicos, como, o
crescimento econômico, inflação, instabilidades política, entre outros fatores, onde esses riscos
foram chamados de risco sistêmico. Assim, a partir desta logica, o único risco pelo qual os
investidores são recompensados é pelo risco sistêmico e não o idiossincrático. (Andrew W. Lo,
2017)
A partir desta definição, como o risco idiossincrático depende apenas do próprio ativo,
significando que com a combinação de muitos ativos dentro de uma única carteira, este risco é
cancelado.
“…it is difficult to give any real meaning to the relationship between
the price of a single asset and its risk. Through diversification, some of the
risk inherent in an asset can be avoided so that its total risk is obviously not
the relevant influence on its price…” (William F. Sharpe, 1964, p. 2)
Em seu artigo, Sharpe institui que para uma melhor visualização do real significado
econômico da relação de um ativo em uma certa combinação de ativos, pode ser visto por uma
análise de regressão, onde a inclinação da reta de regressão chamada de beta (Sharpe, 1964),
mede a variação do ativo em relação a combinação de ativos, atuando como um fator de
sensibilidade. Um ativo onde o beta = 1, diz que o risco sistêmico deste ativo é comparado ao
risco da combinação de ativos, chamada de “portfólio de mercado”, – no Brasil, o índice
BOVESPA assume a função do portfólio de mercado – portanto o retorno esperado deste ativo
deve ser igual ao retorno esperado do portfólio de mercado; um beta = 0, mostra que este ativo
não apresenta risco sistêmico, onde a flutuação de seu retorno não é explicada pela flutuação
do retorno do mercado, porém, isto não significa que este ativo não apresenta risco, pois ainda
tem o risco idiossincrático.
A figura abaixo mostra as oportunidades de alocação de portfólios de acordo com o
modelo de CAPM. O eixo horizontal, mostra o risco do portfólio, medida pelo desvio padrão
dos retornos dos portfólios; o eixo vertical mostra o retorno esperado. A curva abc, é a fronteira
eficiente ou fronteira de variância mínima proposta por Markowitz (1952), que traça a
combinação de retornos esperados e risco dos portfólios cujo variância é mínima em diferentes
níveis de retorno esperado. No ponto T, o ponto de tangencia da fronteira, o investidor consegue
18
um portfólio com retorno esperado e risco de nível intermediário. Se não tiver tomada de
empréstimo a uma taxa livre de risco, apenas os portfólios que se encontram acima do ponto b
ao longo da curva abc, são eficientes de média e variância, dado que os portfólios também
maximizam seus retornos esperados, dado seu risco (FAMA & FRENCH, 2004).
Figura 3: Fronteira Eficiente com Carteira de Tangencia
Fonte: Fama & French (2004)
Fama e French (2004), explicam melhor o motivo do ponto de tangencia e exemplifica
a escolha da carteira ótima: Supondo que todo investidor pode emprestar ou pegar emprestado
dinheiro a uma taxa livre de risco, a fronteira eficiente se torna uma reta, mostrada na figura 3
sendo a reta que toca o ponto 𝑅𝑓 e tangencia a fronteira eficiente. Supondo uma carteira que
tenha investido uma proporção de x em ativos livres de risco e 1-x em um portfólio mais
arriscado g, onde se todos os recursos forem investidos em um ativo livre de risco o resultado
é o ponto 𝑅𝑓 , uma carteira com risco zero e uma taxa de retorno livre de risco. Combinando
ativos livres de risco com o portfólio g, irá resultar em um portfólio entre os pontos 𝑅𝑓 e g. Os
pontos à direita de g representam um portfólio com empréstimos financiados a uma taxa livre
de risco, usando o rendimento deste empréstimo para aumentar os investimentos no portfólio
g. Assim, portfólios que combinam ativos livres de riscos com alguma carteira mais arriscada
é mostrado pela reta que sai do ponto 𝑅𝑓 e passa por g.
19
Para obter uma carteira ótima utilizando o modelo de Markowitz que busca minimizar
a variância, a carteira deverá está posicionada na fronteira eficiente e ao possibilitar que o
investidor possa emprestar e pegar emprestado a uma taxa livre de risco, esta carteira iria passar
pela reta que sai de 𝑅𝑓 e percorrer pela fronteira eficiente para cima e esquerda até atingir o
ponto de tangencia T.
A partir disto, todos os investidores observam esta oportunidade e escolhem alocar seus
portfólios no ponto T combinados a um empréstimo à taxa livre de risco. Como todos os
investidores mantem seus portfólios no ponto T, este ponto deverá ser chamado de carteira de
mercado. Com isto, o CAPM assume que a carteira de mercado deve estar posicionada sobre a
fronteira de variância mínima.
Matematicamente, o modelo de CAPM pode ser expresso da seguinte maneira:
𝐸 (𝑅𝛼 ) = 𝑅𝑓 + 𝛽𝛼 (𝑅𝑚 − 𝑅𝑓 )
Onde 𝐸(𝑅𝛼 ) representa o retorno esperado do ativo α calculado pela soma do ativo livre
de risco (𝑅𝑓 ), somado ao beta do ativo multiplicado pelo prêmio de risco do mercado.
O beta é indicador que tem a função de medir a sensibilidade de um ativo em ralação a
uma carteira que representa ao mercado e pode ser calculado da seguinte maneira:
𝛽𝛼 =
cov(𝑅𝛼 , 𝑅𝑚 )
𝑣𝑎𝑟(𝑅𝑚 )
O beta nada mais é que a covariância entre o retorno dos ativos individuais com a
carteira de mercado, dividido pela variância dos retornos da carteira de mercado
20
2. METODOLOGIA
O presente trabalho se baseou em selecionar ações do IBOVESPA, que estão listadas
na B3. Foi optado por utilizar as ações do IBOVESPA, por se tratar de ações com alta liquidez
e bastante conhecidas. A composição do IBOVESPA usada no trabalho será a referente ao mês
de novembro de 2019, que será apresentada no final do trabalho.
Para a seleção da carteira, será feito um estudo sobre a correlação dos ativos, com o
intuito de buscar uma máxima diversificação apresentando as menos correlacionadas. Após esta
análise, será escolhido 5 ações para compor a carteira com o objetivo de ponderar o de cada
uma delas dentro de uma carteira.
O Software utilizado para fazer a modelagem foi o Python, devido a ser um software de
fácil uso e aprendizado e por ter uma vasta comunidade de acadêmicos e pessoas interessadas
na otimização de carteira, possibilitando a utilização com a contribuição de códigos de outros
autores de maneira simples e eficiente, dado a complexidade e elevada quantidade de linhas de
códigos para que esta modelagem se tornasse possível.
Para a extração dos dados, foi usado uma Application Programming Interface (API).
APIs são uma espécie de “pontes” que possibilita integrar sistemas, permitindo a extração de
dados em banco de dados estruturados ou da internet de modo rápido e prático. Foi utilizada a
API do Yahoo Finance, uma API gratuita que nos possibilitou extrair as informações sobre a
série histórica das cotações de fechamento das ações. No trabalho foi usada o preço de
fechamento das ações do dia 01/01/2016 até o dia 01/10/2019.
O trabalho apresenta algumas limitações como a ausência de custos de transação que
pode ter um grande impacto dado ao grande volume negociado.
Seguindo a teoria proposta por Markowitz (1952), onde deveríamos diversificar o
portfólio, a fim de diminuir seu risco, devemos levar em consideração a correlação dos ativos,
optando por ativos de baixa correlação. Para o presente estudo, foi feita uma análise dos 25
ativos com maior peso no IBOVESPA, com o intuito de usar apenas ações de alta liquidez.
21
Quadro 1: Ações listadas na IBOVESPA
Código
Ação
Tipo
Part. (%)
ABEV3
AMBEV S/A
ON
4,05
B3SA3
B3
ON NM
5,3
BBAS3
BRASIL
ON NM
3,54
BBDC3
BRADESCO
ON EJ N1
1,94
BBDC4
BRADESCO
PN EJ N1
7,15
BBSE3
BBSEGURIDADE
ON NM
1,26
BRDT3
PETROBRAS BR
ON NM
1,1
BRFS3
BRF SA
ON NM
1,51
GNDI3
INTERMEDICA
ON NM
1,16
IRBR3
IRBBRASIL RE
ON NM
1,76
ITSA4
ITAUSA
PN N1
3,33
ITUB4
ITAU UNIBANCO
PN ED N1
9,27
JBSS3
JBS
ON NM
2,41
LREN3
LOJAS RENNER
ON NM
2,06
MGLU3
MAGAZ LUIZA
ON NM
1,31
PETR3
PETROBRAS
ON N2
5,23
PETR4
PETROBRAS
PN N2
7,32
RADL3
RAIADROGASIL
ON NM
1,28
RAIL3
RUMO S.A.
ON NM
1,34
RENT3
LOCALIZA
ON NM
1,26
SUZB3
SUZANO S.A.
ON NM
1,49
UGPA3
ULTRAPAR
ON NM
1,2
VALE3
VALE
ON NM
8,35
VIVT4
TELEF BRASIL
PN
1,21
WEGE3
WEG
ON NM
1,13
Fonte: Elaboração própria
A partir desses ativos, buscamos olhar para a correlação de seus retornos. Analisando
os dados, foi constatado uma correlação negativa entre a SUZB3 e os outros ativos, o que faz
sentido pelo fato da Suzano ser uma exportadora, onde a maior parte de sua receita é em dólar
22
e seu custo em moeda nacional, se beneficiando pela alta do dólar, ao contrário das demais;
assim, a movimentação do preço de sua ação se desloca inversamente aos das demais. Outra
exportadora que poderia ter este tipo de movimento, seria a Petrobrás, porém ao contrário da
Suzano grande parte de seu passivo está dolarizado, podendo ser um dos fatores pelo qual a
empresa não se beneficia tanto da alta do dólar, fazendo com que a média do retorno de sua
ação ande na mesma direção das demais.
A partir destes ativos, também foi feita uma análise de seus retornos, onde a média dos
retornos dos ativos foi calculada pela seguinte forma:
𝑃𝑡
𝑅𝑙𝑜𝑔 = [𝐿𝑁 (
) × 252] × 100
𝑃𝑡−1
Utilizamos o retorno logarítmico para o retorno diário, para anualizar o retorno, usamos
o sistema do banco central de 252 dias uteis para aplicações financeiras, obtendo o seguinte
resultado:
Quadro 2: Retorno das ações
Ação
Retorno %
Ação
Retorno
%
ABEV3
2,46
LREN3
34,71
B3SA3
38,11
MGLU3
130,94
BBAS3
29,98
PETR3
32,38
BBDC3
23,02
PETR4
36,53
BBDC4
26,74
RADL3
26,79
BBSE3
10,39
RAIL3
37,18
BRFS3
-9,89
RENT3
47,09
EQTL3
29,2
SUZB3
25,01
GNDI3
68,4
UGPA3
-10,69
IRBR3
61,26
VALE3
34,1
ITSA4
22,8
VIVT3
9,64
ITUB4
21,02
WEGE3
20,16
JBSS3
25,84
Fonte: Elaboração própria
23
A partir dessas análises, podemos escolher melhor os ativos que irão compor nossa
carteira. Com o intuito de diversificar nossa carteira, foi escolhido as ações com menor
correlação dentre essas analisada. Com a ajuda do Python, conseguimos trazer as menores 10
correlações excluindo a SUZB3.
Figura 4: Menores correlações
Fonte: Elaboração própria
Com isso podemos construir nossa carteira com um nível de correlação baixo, se
tornando bastante diversificada. Para fins de estudo, optamos por escolher as ações que
apresentam maiores retornos dentre estas apresentadas na figura 4 de menores correlações, com
isso a tabela abaixo mostra como será formada nossa carteira, com o retorno e risco mensal das
ações:
Quadro 3: Ações escolhidas
Ação
Retorno Mensal Médio
NotreDame Intermédica
GNDI3
4,44%
2,29%
IRB Brasil RE
IRBR3
4,06%
2,04%
JBS
JBSS3
2,69%
3,43%
Petrobrás
PETR3
1,56%
2,78%
Suzano
SUZB3
1,88%
3,15%
Empresa
Desvio Padrão
Fonte: Elaboração própria
24
Após formar nossa carteira, podemos perceber que as empresas apresentadas são de
setores diferentes, sendo este um dos motivos pelo qual apresentam baixa correlação. Com a
ajuda do Python, pudemos construir a matriz de covariância e de correlação da carteira.
Tabela 1: Matriz de Covariância
JBSS3.SA
PETR3.SA
GNDI3.SA
IRBR3.SA
SUZB3.SA
JBSS3.SA
0,247
0,030
0,005
0,016
0,009
PETR3.SA
0,030
0,151
0,015
0,008
-0,001
GNDI3.SA
0,005
0,015
0,097
0,011
0,000
IRBR3.SA
0,016
0,008
0,011
0,074
0,009
SUZB3.SA
0,009
-0,001
0,000
0,009
0,201
Fonte: Elaboração própria
Tabela 2: Matriz de Correlação
JBSS3.SA
PETR3.SA
GNDI3.SA
IRBR3.SA
SUZB3.SA
JBSS3.SA
1.000
0.155
0.037
0.139
0.054
PETR3.SA
0.155
1.000
0.110
0.071
-0.008
GNDI3.SA
0.037
0.110
1.000
0.117
0.001
IRBR3.SA
0.139
0.071
0.117
1.000
0.076
SUZB3.SA
0.054
-0.008
0.001
0.076
1.000
Fonte: Elaboração própria
Antes de apresentar o resultado das carteiras, algumas observações devem ser feitas.
Para obter o retorno esperado das carteiras, foi utilizada a mesma formulação do artigo original
25
de Markowitz (1952), que diz que o retorno esperado da carteira é o resultado do somatório da
multiplicação da média ponderada do retorno dos ativos pelo seu peso.
𝑅̅𝑐 = ∑𝑋𝑗 𝑅̅𝑖
Para buscar a variância da carteira, ao contrário do que foi apresentado por Markowitz
em seu trabalho, onde foi usado a forma algébrica,
𝑁
𝑁
𝑁
𝜎𝑐2 = ∑(𝑋𝑗2 𝜎𝑗2 ) ∑ ∑(𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝜎𝑖𝑗 )
𝑗=1
𝑖=1 𝑗=1
Preferimos optar para o cálculo da variância, por sua fórmula matricial, apenas para fins
de facilitação de cálculo, uma vez que o Python trabalha melhor com matrizes, com isso foi
usado a seguinte formula:
𝑤 𝑇 𝛴𝑤
Onde a variância da carteira será o resultado da matriz transposta dos pesos (𝑤 𝑇 ),
multiplicado pelo produto da matriz de covariância dos ativos (∑) pela matriz dos pesos (w).
Para a simulação dos portfólios, foi utilizado o Método de Monte Carlo, um método
estatístico que consiste na simulação de uma grande quantidade de amostragens aleatórias, com
o intuito de obter resultados numéricos. A partir deste tipo de técnica, conseguimos obter uma
simulação de 100.000 diferentes portfólios diferentes, o resultado foi o gráfico abaixo.
26
Figura 5: Portfólios Simulados
Fonte: Elaboração própria
O gráfico consegue nos mostrar a fronteira eficiente, que consiste em uma relação entre
o retorno esperado dado seu risco, normalmente está curva seria ascendente, mostrando que
quanto maior o retorno de um portfólio, maior será seu risco, ao contrário do esperado,
observamos que nem sempre isto se torna verdade, como podemos observar, o portfólio de
maior retorno nem sempre será aquele de maior risco. Um dos motivos pelo qual isto acontece,
é que previamente, antes de escolhermos nossos ativos para compor nossa carteira, testamos a
correlação de 25 dos ativos que tem maior participação no IBOVESPA, assim tendo uma
carteira bastante diversificada, segundo Markowitz.
Para obter o resultado da carteira de variância mínima, poderia ser feito de duas formas:
uma que consiste na ajuda de uma biblioteca do python, que segue as técnicas de otimização de
uma função matemática para que se possa minimizar a variância da carteira; a outra forma que
foi utilizada no trabalho consiste em simular portfólios aleatórios e retornar aquele que
apresente a menor variância. Foi escolhido esta forma, pelo fato de ser mais simples e de ambas
não apresentarem diferenças significantes no resultado.
27
Além de apresentar a carteira de variância mínima, iremos introduzir no trabalho a
carteira de tangencia, a carteira que tangencia a fronteira eficiente e que toca a Capital Market
Line3, esta carteira também pode ser obtida através do índice de Sharpe, pois é a carteira que
tem seu índice maximizado, este índice é um indicador que mede o retorno excedente de uma
carteira em relação a uma aplicação livre de risco, ajustado ao risco da carteira.
𝑅𝑐 − 𝑅𝑅𝐹
𝑠𝑐 =
𝜎𝑐
Neste presente trabalho, será utilizada como a taxa livre de risco (𝑅𝑅𝐹 ), a taxa básica de
juros brasileira (SELIC), no momento que foi elaborado este trabalho, a SELIC estava
determinada em 5,5% ao ano.
Para obter o resultado da carteira de tangencia, foi utilizado uma técnica que consiste
em calcular o Índice de Sharpe de todos os portfólios simulados e retornar aquele que apresente
o maior índice.
Figura 6: Portfólios com Índice de Sharpe
Fonte: Elaboração própria
3
Capital Market Line é uma reta que parte da taxa livre de risco e tangencia a fronteira eficiente, sendo
uma representação de risco e retorno de todas as combinações de ativos com e sem risco.
28
A figura 6 nos mostra, que quanto maior o retorno de um portfólio dado seu risco, maior
será seu retorno excedente sobre um ativo livre de risco, como mostrado na teoria.
29
3. OTIMIZAÇÃO DO PORTIFÓLIO
Agora será mostrado algumas formas de otimização de portfólio, a primeira que iremos
apresentar será a carteira de variância mínima, que consiste em ser uma carteira onde devemos
buscar minimizar seu risco, isto é, minimizar 𝑤 𝑇 𝛴𝑤.
Obtemos os seguintes resultados:
Tabela 3:Resultado da Carteira de Variância Mínima
Participação das empresas na carteira:
JBSS3
PETR3
GNDI3
8,88%
16,56%
26,88%
Resultado da carteira:
Retorno:
Desvio Padrão:
IRBR3
34,56%
SUZB3
13,12%
3,77%
1,40%
Fonte: Elaboração própria
Como esperado, podemos notar que com a diversificação do portfólio, seu desvio padrão
foi menor em comparação com os ativos individuais que compõe a carteira, assim, provando
que a teoria de Markowitz atua como esperado. Outro ponto que devemos destacar, seria o
tamanho dos ativos GNDI3 e IRBR3 dentro da carteira, se mostrando maiores em comparação
aos demais, isto pode ser explicado pela baixa variância apresentada pelos ativos
individualmente.
Outra possibilidade de otimização de um portfólio, é encontrar o portfólio que tangencia
a fronteira eficiente, sendo a mesmo que maximiza o índice de Sharpe, com isso obtemos o
seguinte resultado:
30
Tabela 4: Resultado da Carteira de Tangencia
Participação das empresas na carteira:
JBSS3
PETR3
GNDI3
7,09%
1,20%
40,85%
IRBR3
SUZB3
45,29%
5,57%
Resultado da carteira:
Retorno:
4,28%
Desvio Padrão:
1,53%
Fonte: Elaboração própria
Como esperado, podemos notar que esta carteira apresenta um risco maior que a da
carteira de variância mínima dado que a ela busca um maior retorno esperado, respeitando a
hipótese da teoria moderna do portfólio.
Também é possível notar a diminuição significativa dos ativos PETR3 e SUZB3 dentro
da composição da carteira, tendo seus pesos diminuídos em 15,36% e 7,55% respectivamente.
Um dos motivos pelo qual isto possa ter acontecido, é que tanto a Suzano quanto a Petrobras
são empresas de baixa correlação em comparação com as demais, servindo com uma espécie
de proteção, mostrando mais uma vez a importância da diversificação da carteira.
Após a apresentação das informações em relação ao risco e retorno das carteiras
extraídas por nosso script, iremos mostrar de uma forma mais clara a composição das carteiras
otimizadas.
31
Figura 7: Composição da Carteira de Variância Mínima
Carteira de Variância Minima
100,00%
80,00%
60,00%
34,56%
40,00%
20,00%
26,88%
16,56%
13,12%
8,88%
0,00%
JBSS3
PETR3
GNDI3
IRBR3
SUZB3
Fonte: Elaboração própria
Figura 8: Composição da Carteira de Tangencia
Carteira de Tangência
100,00%
90,00%
80,00%
70,00%
60,00%
50,00%
40,85%
45,29%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
7,09%
5,57%
1,20%
0,00%
JBSS3
PETR3
GNDI3
IRBR3
SUZB3
Fonte: Elaboração própria
O primeiro gráfico, é referente ao portfólio de variância mínima e o segundo se refere
ao portfólio de tangencia. O eixo horizontal é representado pelo peso de cada ativo dentro da
carteira. Como podemos observar, a carteira de variância mínima possui em sua composição,
os pesos dos ativos de uma forma mais equilibrada, corroborando a hipótese da teoria mais uma
vez.
32
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho teve como objetivo inicial, aplicar os métodos expostos pelos artigos das
finanças modernas, especificadamente de Markowitz (1952) e Willian F. Sharpe (1964), ao
mercado de capitais brasileiros. O processo de diversificação se mostra adequado, pois podemos
estimar diferentes níveis de risco tendo uma flexibilidade na hora da escolha de nossa carteira.
Como cada investidor apresenta diferentes níveis de aversão ao risco, a otimização de portfólio,
seja por meio da carteira de variância mínima ou o portfólio de tangencia, pode ajuda a
desmistificar o mercado de capitais para o pequeno investidor, mostrando que o risco pode ser
não só calculado como também minimizado com mecanismos para se proteger de oscilações.
Com isso podemos obter por meio destas metodologias simular portfólios em diferentes
cenários para diferentes tipos de investidores que desejam maximizar o retorno levando em
conta o risco do portfólio.
Os retornos obtidos no presente trabalho, podem não ser alcançados como esperado
devido a diferentes choques e cenários adversos à teoria, podendo gerar desequilíbrio nos preços
dos ativos, consequentemente, um risco realizado diferente do retorno esperado.
Importante salientar o cumprimento dos objetivos expostos no capítulo de metodologia
e espera-se que o conteúdo apresentado auxilie nas elaborações de novos estudos, aplicações e
na prática profissional.
33
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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35