Tema 3: Fuerzas eléctricas y
campo eléctrico
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Ingeniería Industrial
Primer curso
Curso 2009/2010
Dpto. Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
1
Índice





Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico





Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Ley de Gauss
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Tema 3.-Fuerzas eléctricas …
2/50
Introducción



“Elektron” es un vocablo griego que
significa
i ifi ámbar
á b
Al frotar el ámbar éste atrae pequeños
p q
objetos (pajitas, plumas,…)
La electricidad es un fenómeno muy
presente en la vida diaria:


Fenómenos de electricidad estática
Ingeniería: máquinas y motores eléctricos
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3/50
Carga eléctrica

Evidencia experimental:





Dos barras de plástico frotadas con piel se
repelen
Dos barras de vidrio frotadas con seda se
repelen
La barra de vidrio y la de plástico se atraen
Se dice que las barras están cargadas
Hay dos tipos de carga:


Carga positiva
C
Carga
negativa
ti
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Propiedades de la carga

Cuantización



La carga esta cuantizada: Q   Ne
D d e es la
Donde
l unidad
id d fundamental
f d
t l de
d carga, que
coincide con el valor absoluto la carga del electrón
Usualmente N es muy grande

Conservación de la carga
19
Unidades: culombio (C) e  1.60  10 C

Ejemplo: la carga trasvasada al frotar dos objetos es

del orden de 50 nC:
50nC
50  109 C
11
N
3
10



19
e
1.60  10-19
C
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Aislantes y conductores
Clasificación de la materia atendiendo a sus
propiedades de conducción eléctrica
 Conductores: la carga puede desplazarse por
su interior con facilidad


Ejemplo: metales
Aislantes: La carga
Aislantes
ca ga no puede
p ede moverse
mo e se
libremente


Cuando se cargan por frotación la carga queda
confinada en la región frotada.
Ejemplos: vidrio, caucho, madera.
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Índice





Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico





Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Ley de Gauss
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Ley de Coulomb

Fuerza ejercida por una carga puntual
sobre
b otra




B l
Balanza
de
d torsión
t ió
Está dirigida a lo largo de la línea que las
une
Disminuye con el cuadrado de la distancia
que separa las cargas
Es proporcional al producto de las cargas
Es repulsiva para cargas del mismo signo y
atractiva para cargas de signo contrario
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Ley de Coulomb

Representación matemática:

qq
F12  k 1 2 2 rˆ12
r12
 

r2  r1
r12
rˆ12     
r2  r1
r12

F12
Nm2
k  8.99  10
C2
9
Constante de Coulomb
p
Medida experimentalmente
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Principio de superposición
Cuando tenemos un sistema
de cargas la fuerza sobre
cada
d carga es la
l suma
vectorial de las fuerzas
individuales ejercidas por
cada una de las demás
g
cargas
Principio experimental
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Índice





Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico





Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Ley de Gauss
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Campo eléctrico: introducción


La fuerza entre cargas puede verse como
una acción a distancia.
Una visión alternativa es la del campo
eléctrico:


Una carga crea un campo eléctrico
lé
en todo
d
el espacio: magnitud vectorial
El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre
otras cargas
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12/50
Campo eléctrico: definición
En un punto colocamos una carga de prueba: q0
No perturba la distribución de cargas original (q
( 0→0)
0)
Campo eléctrico: cociente entre la fuerza eléctrica
que actúa sobre la partícula y la carga de la partícula




F
q1
q2

F10
q0
 Magnitud vectorial

 F
E
q0
 Dirección de

F
 Independiente de q0

F20
 Unidades: N/C
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Campo de una carga puntual

Ei
q
 0 r
ip
rp
• Tenemos una carga puntual qi
• Situamos una carga de prueba q0
z
• Ley de Coulomb:

qq
Fi 0  k i 2 0 rˆip
rip

 Fi 0
Ei 
q0

q
Ei  k 2i rˆip
rip
x

ri
O
i
p
qi
y
Punto fuente
Punto campo
CAMPO ELÉCTRICO DE UNA
CARGA PUNTUAL
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Campo eléctrico de una
distribución de cargas puntuales


rp
q3

r3
x

r1
O

q2

r2
z
Principio de superposición para el
p eléctrico
campo
q1
y

Es una consecuencia del principio de
superposición para la fuerza
El campo eléctrico de la distribución
de cargas es la suma vectorial de
los campos de cada carga puntual


q
E p   Ei   k 2i rˆipp
rip
i
i
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Campo eléctrico de distribuciones
continuas de carga



Las distribuciones de carga son siempre discretas
(cuantización de la carga)
Cuando un punto de la distribución
ó de cargas contiene
un número muy alto de cargas discretas la distribución
puede tratarse como una distribución continua de
p
carga
Ejemplo: sustancias líquidas y sólidas que se tratan
como distribuciones continuas de masa
V
z
x
y
m
dm
V 0 V
dV
dm  m dV  m   m dV
m  lim
i
i

V
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Distribución volumétrica de carga
 Campo debido a un dq:
z
x
V
dqq  dV
 P
r

dq
dE  k 2 rˆ
r
 Campo total debido a la distribución
en V :

dq
E   k 2 rˆ
V
r
y
 Distribución volumétrica de carga:
Densidad de carga: 
dq  dV

dV
d
E   k 2 rˆ
V
r
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Distribuciones superficial y
lineal de carga
Distribución superficial de carga:
z
dq  dS

dS
E   k 2 rˆ

S
r
r
x
P
y

Distribución lineal de carga:
P r
dl

z
dl
E   k 2 rˆ
L
dq  dl
r
x
y

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Ejemplo: Campo sobre el
eje de una carga lineal finita
y
dx
L
Q

2L
dE
P
x
kdq
k dx
x dEx 

( xP  x ) 2 ( xP  x ) 2
Distribución uniforme:
L
x
xP
u  xP  x
dx
Ex  k  
 L ( x  x)2
du   dx
P
L
 k  

xP  L
xP  L
du
u2
 1
1  2kL
kQ
Ex  k  




2
2
x
L
x
L
xP2  L2


 P
P
 xP  L
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xP  L
Tema 3.-Fuerzas eléctricas …
19/50
Índice





Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico





Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Ley de Gauss
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Líneas de campo eléctrico

Representación gráfica para visualizar el
campo eléctrico


El campo eléctrico es tangente a la línea de
campo
El módulo del campo eléctrico es mayor
cuanto más próximas están las líneas de
campo
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Ejemplo: carga puntual



Sólo dibujamos un número
finito de líneas,
líneas pero existe el
campo en todo el espacio
Representación
p
bidimensional de un campo
tridimensional
Línea de campo no equivale
a trayectoria de una carga
p
en ese campo
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22/50
Ejemplo: carga puntual



Sólo dibujamos un número
finito de líneas,
líneas pero existe el
campo en todo el espacio
Representación
p
bidimensional de un campo
tridimensional
Línea de campo no equivale
a trayectoria de una carga
p
en ese campo
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Dos cargas positivas iguales
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Cargas iguales con distinto
signo: dipolo eléctrico
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Reglas para representar
líneas de campo




Salen de las cargas positivas y terminan en las
negativas
Si hay exceso de carga positiva debe haber líneas que
acaban en el infinito
Si hay exceso de carga negativa debe haber líneas que
salen del infinito
Para cada carga puntual las líneas
í
se dibujan entrando
o saliendo de la carga y:



Uniformemente espaciadas
En número proporcional al valor de la carga
Dos líneas de campo no pueden cruzarse
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Ejemplo:
Exceso de carga
positiva: líneas que
terminan en el infinito
Salen 16 líneas
equiespaciadas
i
i d
Entran 8 líneas
equiespaciadas
Líneas salen de la
carga positiva y entran
en la carga negativa
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Líneas a distancias grandes

A distancias grandes
comparadas
p
con la
mayor distancia entre
cargas del sistema:



Líneas igualmente
Lí
i
l
t
espaciadas
Líneas radiales
Equivalen a las líneas de
una sola carga puntual
con carga igual
i
l a la
l
carga neta del sistema
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28/50
Índice





Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico





Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Ley de Gauss
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29/50
Movimiento de cargas en un
campo eléctrico

Sea una partícula de masa m y carga q en el seno de
un campo eléctrico:


E


F  qE



qE
Segunda
g
Leyy de Newton: F  ma  q
 q 
a E
m
q

Si el campo es uniforme: movimiento uniformemente acelerado
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30/50
Ejemplo 1: electrón en campo
uniforme

E


F  eE
y



F  eEi  ma
q  e
eE d 2 x
 2
a
m dt
x
eE  dx
v t
dt
m
eE 2
x  x0 
t
2m
0 t
v( x)  v(0)   adt
dt  att
0
t2
x  x0   atdt
tdt  a
0
2
t
Movimiento uniformemente acelerado
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Ejemplo 2: electrón con
velocidad perpendicular al campo

y


F  eE
E
x

v0 E
q  e
Eje y : movimiento rectilíneo
uniforme
y  y0  v0t

Eje x : movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado
x  x0 
eE 2
t
2m
La trayectoria del electrón es una parábola,
parábola análogamente a
la trayectoria de una masa con cierta velocidad inicial en un
campo gravitatorio (tiro parabólico)
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32/50
Índice





Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico





Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Movimiento de cargas en un campo eléctrico
Ley de Gauss
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33/50
Ley de Gauss



Ley general del electromagnetismo
Útil para calcular campos eléctricos
Sólo puede aplicarse para tal fin en
situaciones en que la distribución de
cargas tenga una alta simetría
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34/50
Flujo eléctrico


Magnitud proporcional al número de líneas de campo
que atraviesan una superficie
Supongamos E uniforme y superficie perpendicular

E
  EA FLUJO
E '  xE   '  x
A'  nA   '  n
 Definimos:
 Si
A
 Si
El flujo aumenta o disminuye
proporcionalmente al número de líneas
de campo que atraviesan la superficie
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35/50
Flujo eléctrico

Supongamos una superficie no perpendicular:

E
A1 es perpendicular a
las líneas de campo
n̂

A1
A2 A1 es atravesada por el
mismo número de líneas
de campo que A2 :
  EA1  EA2 cos 
 
 En g
general:   E  A
  
ˆ  EA cos 
  E  A  E  nA
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36/50
Flujo eléctrico

Supongamos superficie arbitraria y campo no uniforme
 Tomamos Ai tan pequeña
que pueda considerarse:

E
n̂i
n
 Superficie plana
Ai

 Campo eléctrico uniforme

 i  Ei  nˆi Ai

Flujo total:    i Ei  nˆi Ai ; en el límite Ai  0 :

 
ˆ   E  dA
   E  ndA
S
S
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37/50
Flujo en una superficie cerrada


Es aquella superficie que divide el espacio en dos
regiones: interior y exterior
A la hora de calcular el flujo en una superficie cerrada
n̂ hacia fuera de la
se toma por convenio el vector n
superficie:
n̂
  
S


ˆ dA
E  ndA
El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es
proporcional al número neto de líneas que salen del
volumen
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38/50
Ley de Gauss

Suponemos una carga puntual en el centro de una
esfera de radio R

Q
Radial
E  nˆ  En  k 2

 R
   E  dA   En dA  En 4R 2
R
Q
SR
SR


SR
  4kQ
El flujo
fl j es independiente
i d
di
de
d R
El flujo es proporcional a la carga dentro de la esfera
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39/50
Ley de Gauss

Supongamos otras superficies no necesariamente
esféricas:
Q
S1
SR
 A todas las superficies las
atraviesa
t i
ell mismo
i
número
ú
de líneas
 Mismo flujo neto para
todas las superficies:
  4kQ
S2
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40/50
Ley de Gauss

Supongamos un sistema de cargas:

q3
P i i i de
Principio
d superposición:
i ió
  
S

 
( E1  E2 )  dA  1   2
q2
q1
  4k (q1  q2 )

S
Para la carga exterior:
 3  
S
 
E3  dA  0
Todas las líneas de campo
que entran por un punto de
la superficie salen por otro
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41/50
Enunciado de la Ley de Gauss
El flujo neto a través de cualquier superficie
cerrada es 4k veces la carga neta dentro
de la superficie
 
   E  dA   En dA  4kQint
S
S
 A veces se escribe la constante de Coulomb en función de la
permitividad del espacio libre:
1
4k 
0
con
0  8,85  10
12
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C2
Nm2

Qint
0
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42/50
Aplicaciones de la Ley de Gauss



Es una Ley válida para cualquier superficie y cualquier
distribución de carga
A veces es útil para determinar el campo
g q
que
eléctrico debido a una distribución de carga
tiene un alto grado de simetría
La técnica consiste en emplear la ecuación de la Ley
de Gauss buscando una superficie de integración
(superficie gaussiana) tal que el campo eléctrico
pueda salir fuera de la integral
p
g

Porque En sobre la superficie gaussiana sea constante ó nulo
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43/50
Simetría esférica

Carga puntual


Simetría:
Si
t í campo radial
di l
Superficie gaussiana: esfera de radio r
   En dA  En  dA  En 4r 2  4kq
Sr
r
Sr

E  En nˆ
En  k
q
r2
Sr
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44/50
Simetría esférica

Esfera de radio R con carga Q uniformemente
distribuida en su volumen

Superficie gaussiana: esfera de radio r
rR
   En dA  4kQ
Sr
  En 4r 2
En  k
Q
r2
r  R   En 4r 2  4kqint
r3
3
qint   4r 3  Q 3
R
Q

4R 3 3
En 
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kQ
r
R3
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45/50
Esfera con carga uniforme
en volumen
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Simetría cilíndrica

Campo debido a una carga lineal uniforme e infinita ( )
Simetría: campo radial que depende de la distancia a la línea
Superficie gaussiana: cilindro longitud L y radio r coaxial con la
línea de carga






ˆ dA   E  ndA
ˆ dA   E  ndA
ˆ dA   E  ndA
ˆ dA
   E  ndA
S1
S2
SL
  En 2rL 
S1
r
SL
En 
S2
Fundamentos Físicos de la Ingeniería. Ingeniería Industrial
Curso 2009/2010
Dpto. Física Aplicada III
1 
20 r
qint L

0
0
Tema 3.-Fuerzas eléctricas …
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Simetría plana

Plano infinito uniformemente cargado



Simetría:E ( z ) p
perpendicular
p
al plano
p
e impar
p en z
Superficie gaussiana: “caja de pastillas”; S1=S2=A

ˆ   E ( z )dA   E ( z )dA  2 E ( z ) A
   E  ndA
S1
z
nn̂

E( z)
S1
x
y
SL
S2
nn̂
n̂

E ( z )
S2
E ( z )   E ( z )
q
A
  2 E ( z ) A  int 
0 0

E
 2k 
2 0
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Simetría plana
Ez
z
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Resumen

La magnitud responsable de la interacción eléctrica de la materia es la
carga eléctrica








Es una magnitud dual (carga positiva y carga negativa).
Está cuantizada.
cuantizada
La carga se conserva.
La fuerza de interacción entre cargas puntuales viene dada por la Ley de
Coulomb.
La Ley de Coulomb y el principio de superposición permiten calcular la
fuerza que cualquier distribución de carga, sea discreta o continua, ejerce
sobre una carga.
Se define el campo eléctrico como la fuerza eléctrica ejercida por una
distribución de cargas sobre la unidad de carga en cualquier punto del
espacio.
El campo eléctrico se calcula, en general, a partir de una expresión
i t
integral
l y se representa
t gráficamente
áfi
t mediante
di t líneas
lí
d campo.
de
La Ley de Gauss es una ley fundamental de la física que puede utilizarse
para calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo eléctrico
creado p
por distribuciones de carga
g q
que p
posean un alto g
grado de simetría.
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