Estudo de Curto-Circuito
1
Roteiro
1. Objetivo / aplicações
2. Natureza da corrente de defeito
3. Resposta em regime (4 tipos de defeito)
4. Resposta transitória
5. Conclusões
2
Objetivo
Determinação de correntes e tensões
quando da ocorrência de um defeito na
rede elétrica
3
Aplicações
proteção de seres humanos (φ-t e 2φ-t sobretensões)
proteção
de
componentes:
transformadores, ...
dimensionamento
proteção
dos
linhas,
dispositivos
de
4
Natureza da corrente de defeito
Modelo simplificado: circuito RL série
(domínio do tempo, monofásico)
R
L
eo(t)
tensão em vazio
5
Resposta completa
(transitória e regime)
− R t  E
Em 
i(t ) = − cos(α − ϕ ) e L  + m [ cos(wt + α − ϕ )]
Z 
Z

Resposta transitória
Resposta
em regime permanente
6
Resposta em regime
Impedância equivalente de Thévenin (60 Hz)
Z = R + jX
Icc
Fasor da corrente de curto-circuito:
Eo
Icc = Eo / Z
=
Eo / (R + jX)
fasor da tensão em vazio
7
Exemplo
L = 1,5km
Vn = 3.8 kV
x = 5%
Snom = 10 MVA
f = 60HZ
Solução:
j0,072 Ω
RL+jXL
jXg
P
P
r = 0,19 Ω/km
x = 0,38 Ω/km
0,285+j0,570 Ω
P
Icc
Icc =
3,8 |00
0,285+ j 0,642
=
3,8 |00
0,70 |66o
= 5,42 |-66o kA
8
Aplicação p/ Sistema Elétrico
FONTES DE CURTO-CIRCUITO:
geradores síncronos
motores síncronos
motores
motores de indução
REDES ELÉTRICAS:
capacitâncias
resistências
indutâncias
9
Algumas aproximações feitas
para Estudos de Curto-Circuito
Modelo simplificado, na frequência de 60 Hz.
Impedâncias equivalentes de Thevenin são
calculadas nesta frequência.
Outros fatores tais como:
componentes direcionais
reação das máquinas elétricas
são tratados de forma a complementar o
modelo
simplificado
10
Curto-circuito trifásico (3φ
φ)
Seja uma rede trifásica, suprida por “m”
geradores trifásicos e simétricos, alimentando
“n” cargas trifásicas equilibradas:
rede trifásica
11
Curto-circuito trifásico (3φ
φ)
G1
1
G2
Zth_p
eth_p
sequência
positiva
p
P
idef_p
eth_p
Equivalente de Thevenin no ponto P
Gm
n
Diagrama de sequência positiva em pu
12
Superposição de efeitos
Corrente de defeito:
Rede 1
idef , p =
Rede 2
1
idef_p
V”1
1
idef_p
V’p
p
V’n
n
z th, p
1
p
Gm
z th, p
=
v ′p
Rede 3
V’1
G1
eth, p
p
V”n
n
n
13
Princípio da superposição de efeitos
Rede 1: rede completa, cargas e corrente de
defeito simulados por geradores de corrente
ideais
Rede 2: geradores de tensão e geradores de
corrente das cargas ativados, gerador da
corrente de defeito desativado (condição de préfalta)
Rede 3: geradores de tensão e corrente
desativados, gerador de corrente de defeito
ativado
'
"
i kj = i kj + i kj ,
kj ∈ Ωtr
14
Potência de curto-circuito trifásico
S3φ = 3 Vnom I 3φ
s 3φ
3 V nom I 3φ
S 3φ
=
=
= i 3φ
SB
3VB I B
(a potência e corrente de curto são iguais em pu)
Potência de curto complexa
*
s3φ = vnom i3φ
e S 3φ = s3φ S B
15
Utilidade da pot. de curto-circuito
Equivalente do sistema em dado
ponto:
s3φ , P =i3*φ , P
=
*
vth
,P
*
zth
,P
=
1
⇒ zth, P =
*
zth
,P
P
1
s3*φ , P
Distribuição
Geração / Transmissão
Potência de
Curto-Circuito
16
Barramento infinito
Ponto do sistema elétrico no qual os valores de
tensão e freqüência são fixos, independentemente do tipo ou quantidade de carga ligada.
Circuito equivalente:
V,f constantes
Utilidade: “cortar” a rede num determinado ponto “atrás”, sem incidir
em erros significativos para o cálculo de curto-circuito:
Transmissão / Subtransmissão
Distribuição Primária
Fixação do
Barramento Infinito
17
Exemplo
Cálculo da potência de curto-circuito trifásico no secundário
de um transformador (ponto P), alimentado no primário por
um Barramento Infinito:
j 0,05 pu
P
P
Barram.
Infinito
1 pu
Sn = 10 MVA
xt = 5%
em módulo:
ou
Equivalente de Thevenin no ponto P
z th =
1
s3φ
⇒ s3φ
1
=
= 20 pu
0,05
S 3φ = s3φ ⋅ S base = 20 ⋅ 10 = 200 MVA
18
Paralelo das pot. de curto circuito
Sistema
Componente
(1)
(2)
Conhecendo-se S1, potência de curto-circuito em (1), e S2inf (pot.
de curto em (2) quando o componente é alimentado por
barramento infinito):
i3φ , 2 =
S2 =
z th1
1
1
=
SB
SB
+ z comp
+ *
*
S1 S 2 inf
S B i3*φ , 2
S1 S 2 inf
=
S1 + S 2 inf
19
Paralelo das potências de curto circuito
A expressão paralelo das potências de curto-circuito é
utilizada pela analogia ao paralelo de dois resistores.
A expressão deve ser utilizada, lembrando-se das fases
das potências de curto circuito:
S2
/ϕ2
S1
=
S1
/ ϕ1
/ ϕ1
S 2 inf
/ ϕ 2 inf
+ S 2 inf
/ ϕ 2 inf
S1S 2 inf
≅
S1 + S 2 inf
20
Exemplo
• Cálculo dos módulos das potências de curto-circuito nos pontos 1, 2, 3,
4 e P pela equação simplificada.
20km
x=10%
13,8kV
50MVA
1
2
3,2%
40MVA
13,8/69kV
Ponto
1
2
3
4
P
20km
3
r=0,2 Ohm/km
x=0,5 Ohm/km
S inf
S simplif,i
500
500
1250
357
442
197
442
136
200
81
Potências em MVA
P
4
5,0%
10MVA
69/13,8kV
S compl
500 /-90
357 /-90
201 /-80.2
139 /-76.5
82.5 /-82.0
21
Curto-circuito fase-terra (φ
φ-t)
condições de contorno no Ponto P
G1
1
vA = 0
rede trifásica
i B = iC = 0
P
resulta
Gm
N
v A = v 0 + v1 + v 2 = 0
iA
i 0 = i1 = i 2 =
3
22
Curto-circuito fase-terra (φ
φ-t)
Z1
correntes sequenciais:
i
e
1
e
i1 = i2 = i0 =
2 z1 + z0
v1
Z2 = Z1
i
2
iA
Z
o
componentes de fase:
v2
i
o
vo
1
1
iB = 1 α
iC
1 α
2
1 i0
α i1 =
α 2 i2
3e
(2 z1 + z0 )
0
0
23
Cálculo de correntes e tensões nos demais
pontos da rede
Voltamos aos diagramas seqüenciais completos;
Injetamos as correntes i1, i2 e i0 no ponto P de
cada diagrama;
Calculamos as componentes simétricas das
tensões e correntes em cada trecho;
Determinamos, pela matriz T, as componentes
de fase de tensões e correntes.
24
Exemplo
Um defeito fase A-terra é estabelecido na
barra 4 da rede abaixo. Determine as
tensões nas barras 2, 3 e 5 e as correntes
em todos trechos da rede.
20km
x=10%
13,8kV
50MVA
1
2
3,2%
40MVA
13,8/69kV
40km
3
30km
4
5
r1 = 0,20 Ω/km
x1 = 0,40 Ω/km
r0 = 0,36 Ω/km
x0 = 1,85 Ω/km
25
Curto-circuito fase-terra com impedância
Z1
G1
1
i1
e
rede trifásica
P
A
B
C
v1
Z2
i2
Gm
N
za
v2
3zat
t
Z0
Condições
de contorno:
(Va = Vo + V1 + V2 = zatia)
(ib = ic = 0 -> i1 = i2 = i0 = ia/3)
i0
v0
26
Curto circuito fase-terra com impedância
logo as correntes seqüenciais resultam:
e
i1 = i2 = i0 =
2 z1 + z 0 + 3 z at
e as componentes de fase:
iA
3 io
iB = 0 =
iC
0
3e
( 2 z1 + zo + 3 zat )
0
0
27
Potência de curto fase-terra
Sφ t = 3 Vnom I φ t
A potência de curto-circuito fase-terra é bastante útil para a
determinação da impedância equivalente de Thevenin,
relativa ao diagrama de seqüência zero, quando z1 = z2. Uma
vez fornecidas as potências de curto trifásica e fase-terra,
resultam as impedâncias equivalentes:
1
SB
3
*
z1 = * = *
sφ t = iφt = * *
s 3 φ S 3φ
2 z1 + z0
3
3S B
SB
∴ zo = * − 2 z1 = * − 2 *
sφ t
Sφ t
S 3φ
28
Curto-circuito dupla fase (2φ
φ)
G1
1
e
Z
1
2
i
1
rede trifásica
P
Gm
Z
i2
v1
v2
A
B
C
N
Condições de contorno:
(Vb = Vc) => v1 = v2
(ib = -ic => i1 = -i2, i0 = 0)
29
Curto-circuito dupla fase (2φ
φ)
logo as correntes seqüenciais resultam:
e
i1 = −i 2 =
z1 + z 2
e as tensões seqüenciais:
z
2 e
v 1 = v 2 = i1(z 2 ) =
z1 + z 2
no caso de z1 = z2, resultam as componentes de fase:
3 e
3
= − j i3φ
i A = 0, iB = −iC = − j
2 z1
2
3
(i2φ = i3φ );
2
e
v A = e, v B = vC =
2
30
Curto-circuito dupla fase-terra (2φ
φ-t)
G1
1
P
A
B
C
e
Z
Z
Z
1
2
0
i
1
v1
i
2
v2
i
v0
0
rede trifásica
Gm
N
Condições de contorno:
(Vb = Vc = 0) => v0 = v1 = v2 = va/3
(ia = 0
=> i0 + i1 + i2 = 0)
31
Curto-circuito dupla fase-terra
Resultam as componentes de fase de tensão e corrente:
i A = 0,
2 3e 

α
/
−
30
/30
z 2

iB =
+z0
D 

 /30

α
3
e
/
30
−
iC =
z2
+z0
D


v A = 3z 2z o e
D
v B = vC = 0
(D = z 1(z o + z 2 ) + z o z 2 )
32
Curto-circuito dupla fase-terra com
impedância
3zat
1
G1
P
A
B
C
e
Z1
Z2
i1
i2
v1
Z0
v2
i0
v0
rede trifásica
Gm
Condições
de contorno:
N
zat
Vb = Vc = zat(ib + ic) = zat(3i0) => v1 = v2 = v0 - 3 zat . i0
(ia = 0
=> i0 + i1 + i2 = 0)
33
Curto-circuito dupla fase-terra com
impedância
Resultam as componentes de fase de tensão e corrente:
i A = 0,
2 3e 
α
z 2 / − 30 + z ' /30
iB =
0
D 



iC = α 3e z 2 /30 + z 0' / − 30
D


z 0' = z o + 3z at
3(z o + 2z at )
e
vA =
z 1 + 2z 0'
v B = v C = 3z at io = −3z at ' e
z 1 + 2z 0
(D = z 1 z 1 + 2z 0' )
(
)
34
Resumo das correntes de curtocircuito
- curto trifásico :
i =
e
z1
i =
3e
2 z1 + z0 + 3 zAT
- curto fase-terra :
- curto dupla fase :
i =
3e
2 z1
- curto dupla fase-terra :
iB =
iC =
α 2 3 e ( z1 / - 30 0 + z 0 / + 30 0
z1 ( z1 + 2 z 0 )
α
3 e ( z1 / + 30 0 + z 0 / - 30 0
z1 ( z1 + 2 z 0 )
35
Análise de sistemas aterrados e
isolados
Análise dos defeitos fase-terra e dupla faseterra. Cálculo de tensões e correntes no ponto
de defeito em função da relação z0 / z1 , e das
correntes de curto-circuito trifásico
36
Curto-circuito fase-terra
Por hipótese, z1 = z2 e zat = 0. Sendo z1 = r1 + jx1 e
z0 = k.z1 = kr1 + jkx1, resulta:
i ft
3
=
i3f
2+k
Neste caso, os fatores de sobretensão nas fases sãs (vb/e
e vc/e), resultam:
2
f sob,φt = f sob,b = f sob,c =
3(1 + k + k )
(2 + k )
37
Curto-circuito fase-terra
2.6
2.4
2.0
V3
fsob,ft
3 1.6
2
1.2
V3
2 0.8
0.4
ift / i3f
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k
38
Conclusões (curto fase-terra)
O valor máximo da relação entre correntes de defeitos
fase-terra e trifásico é 3/2 e o valor de sobretensão
mínimo ( 3 2) ocorrem quando a impedância de
seqüência zero é nula (quase impossível)
Os valores de sobretensão e a relação entre correntes
de defeito são unitários quando as impedâncias de
seqüência direta e zero se igualam.
Quando a impedância de seqüência zero é muito maior
que a de seqüência direta, o fator de sobretensão pode
chegar a
, enquanto a corrente fase-terra é
3
desprezível.
39
Curto-circuito dupla fase-terra
Por hipótese, z1 = z2 e zat = 0. Sendo z1 = r1 + jx1 e
z0 = k.z1 = kr1 + jkx1, resulta:
1+ k + k 2
i2φt = ib = ic = 3
i3φ
(1 + 2k )
3
in =
i3φ
1 + 2k
3k
van
f sob ,2φt = e =
1 + 2k
40
Curto-circuito dupla fase-terra
3.2
3
2.8
2.4
2.0
V3
3 1.6
2
1.2
fsob,2ft
i2ft / i3f
V3
2 0.8
0.4
in / i3f
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k
41
Conclusões (curto dupla fase-terra)
para z0 = 0:
relação corrente dupla fase terra e trifásico vale
relação corrente neutro e trifásico vale 3
fator de sobretensão é nulo
3
para zo = z1:
correntes de neutro e dupla fase terra se igualam a
corrente de curto trifásico
fator de sobretensão é unitário
para zo>>z1:
corrente de defeito dupla fase terra tende para a corrente
de defeito dupla fase ( 3 2)
a corrente de neutro tende a zero
fator de sobretensão tende ao seu máximo valor (1,5)
42
Exemplo
Para a rede da figura abaixo, determine
os fatores de sobretensão e a relação
entre as correntes de curto circuito fase
terra e trifásico para defeitos fase-terra
nos pontos P1, P2 e P3.
P0
Scto = 200 MVAr
P
1
Sn = 10 MVA
xt = xt0 = 5%
230/34,5 kV
P
3,96km 2
P
13,89km
3
xl0 = 2.0 Ω/km
xl1 = 0.5 Ω/km
43
Observações
O transformador
funciona como um reset
na impedância de seq. zero, provocando uma
diminuição brusca na relação z0/z1, e aterrando
o sistema neste ponto;
A relação entre zl0/zl1 em linhas de distribuição
quando muito alta tende a tornar o sistema mais
isolado à medida que se afasta do
transformador;
Uma solução é instalar o trafo de aterramento.
Basta
instalarmos
um
transformador
conforme a figura ao lado.
i
03i
0
i
0
44
Transformadores de aterramento
i
0
3i
i
0
o
i
i
o
o
3i
i
o
o
transformador
transformador zig-zag
45
Componente transitória das correntes de
curto-circuito
R
e(t)
L
e(t) = EM cos ( ωt + α )
e(t) = R i(t) + L
di(t)
dt

− R t  EM
E
M
i( t ) =
− cos(α − ϕ ) e L  +
cos(ωt + α − ϕ )]
[

 Z
Z 
IM = EM ; Z = R + jωL = Z / ϕ
Z
46
Casos particulares
π , k = 1, 2, ...
- comp. unidirecional nula : ia (t) = 0 ⇒ (α − ϕ ) = ± k
2
Exemplo :
π , α = 0 ⇒ e (0) = E , i ( t ) = 0
=
ϕ
M
a
circuito puramente indutivo :
2
- comp. unidirecional máxima :
ia (t) = ±
-R t
IM e L
⇒ (α − ϕ ) = ± k π , k = 0, 1, 2, ...
Exemplo :
= π , α = π ⇒ e (0) = 0 , ia ( t ) = - IM
2
2
i(t)
i(t) = IM ( cos ωt - 1 )
≤ 2
IM
circuito puramente indutivo: ϕ
então
47
Valor eficaz da corrente total
para i(t) qualquer:
Ief =
1 ∫T i(t) 2 dt
T 0
I
= Is = M
2
para
i( t ) = IM cos ωt ⇒ Ief
para


−R t
L
i'( t ) = IM − cos(α − ϕ ) e
+ cos(ωt + α − ϕ )


Ief = Ia =
1 ∫T i '(t) 2 dt
T0
48
Aproximação :
f:
Ia = f ⋅ Is
função da relação X / R
• para curto-circuito trifásico:
x = x1
r
r1
• para curto-circuito fase-terra:
x = 2 x1 + x0
r 2 r1 + r0
49
Valores para o fator de assimetria (f)
X/R ≤
Fator
X/R ≤
Fator
X/R ≤
Fator
X/R ≤
Fator
X/R ≤
Fator
X/R ≤
Fator
0,25
1,000
1,25
1,029
2,30
1,085
4,10
1,212
6,80
1,360
15,00
1,550
0,30
1,004
1,30
1,030
2,40
1,090
4,20
1,220
7,00
1,362
16,00
1,560
0,40
1,005
1,35
1,033
2,50
1,104
4,30
1,225
7,25
1,372
17,00
1,570
0,50
1,006
1,40
1,035
2,60
1,110
4,40
1,230
7,50
1,385
18,00
1,580
0,55
1,007
1,45
1,037
2,70
1,115
4,50
1,235
7,75
1,391
19,00
1,590
0,60
1,008
1,50
1,040
2,80
1,123
4,60
1,249
8,00
1,405
20,00
1,600
0,65
1,009
1,55
1,043
2,90
1,130
4,70
1,255
8,25
1,410
22,50
1,610
0,70
1,010
1,60
1,045
3,00
1,140
4,80
1,260
8,50
1,420
25,00
1,615
0,75
1,011
1,65
1,047
3,10
1,142
4,90
1,264
8,75
1,425
27,75
1,625
0,80
1,012
1,70
1,050
3,20
1,150
5,00
1,270
9,00
1,435
30,00
1,630
0,85
1,013
1,75
1,055
3,30
1,155
5,20
1,275
9,25
1,440
35,00
1,636
0,90
1,015
1,80
1,060
3,40
1,162
5,40
1,290
9,50
1,450
40,00
1,648
0,95
1,018
1,85
1,063
3,50
1,170
5,60
1,303
9,75
1,455
45,00
1,653
1,00
1,020
1,90
1,065
3,60
1,175
5,80
1,310
10,00
1,465
50,00
1,659
1,05
1,023
1,95
1,068
3,70
1,182
6,00
1,315
11,00
1,480
55,00
1,660
1,10
1,025
2,00
1,070
3,80
1,190
6,20
1,324
12,00
1,500
60,00
1,680
1,15
1,026
2,10
1,075
3,90
1,192
6,40
1,335
13,00
1,515
∞
1,732
1,20
1,028
2,20
1,080
4,00
1,210
6,60
1,350
14,00
1,525
50
Conclusões
• Metodologia para determinação de correntes de
curto-circuito
• Estudo detalhado da componente de regime
permanente (4 defeitos)
• Aproximação para consideração da componente
transitória
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