UNIVERSIDADE FEDERAL
DE JUIZ DE FORA
Análise de Sistemas
Elétricos de Potência 1
6.2 Curto-Circuito Assimétrico: Dupla-Fase
P rof. Fl á vi o Va nde rson G ome s
E-mail: flavio.gomes@ufjf.edu.br
ENE005 - Período 2013-1
Ementa Base
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência;
Representação dos Sistemas Elétricos de Potência;
Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e
Desequilibrados;
Revisão de Representação “por unidade” (PU);
Componentes Simétricas;
Cálculo de Curto-circuito Simétrico e Assimétrico;
Representação Matricial da Topologia de Redes (Ybarra,
Zbarra);.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Circuito em SEP Trifásico
3
Simétricos
Curto Trifásico Equilibrado.
Curto Trifásico Equilibrado envolvendo Terra.
Assimétrico
Curto Fase-Terra
Curto Dupla-Fase
Bifásico
Curto Dupla-Fase-Terra
Bifásico envolvendo Terra
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Sistema Trifásico Simétrico Equilibrado
4
Circuitos equivalentes de Seqüência
Simétrica vista do ponto (K) de falta:
Z1
E1
Z0
K0
I0
K1
V0
I1
V1
Z2
OBS: Os valores de E1, Z0, Z1 e Z2 são obtidos
no estado pré-falta da rede (através do
Teorema de Thevenin)
OBS: Note que as impedâncias de aterramento
e as características dos elementos de rede
devem ser corretamente representados
K2
I2
V2
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase
5
Curto Circuito Bifásico
no Ponto K:
Análise:
 Iɺa   0 
ɺ   ɺ 
Ib  =  Ib 
 Iɺ  − Iɺ 
 c   b
Iɺb + Iɺc = 0
Vɺb − Vɺc = Z f Iɺb
Iɺa + Iɺb + Iɺc = 0
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase
6
Portanto, em componente simétrica
 Iɺ0 
1 1
 0 
1
ɺ 
-1  ɺ 
 I1  = T  I b  = 3 1 α
2
ɺ
 Iɺ2 
1
α

−
I


 b
 
1 0 
α 2 . Iɺb 


ɺ
α   − I b 
∴
 Iɺ0 
 0 
 ɺ  Iɺb 
2
I
=
−
α
α
 1 3 

2
 Iɺ2 
α − α 
 
Note que:
Iɺ0 = 0
Iɺ1 = − Iɺ2
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase
7
Sabemos que:
Vɺa 
Vɺ0   Vɺ0 + Vɺ1 + Vɺ2 
ɺ
ɺ ɺ
2 ɺ
ɺ
V
=
V
=
V
+
V
+
V
T
α
α
1
2
 b
 1  0
Vɺc 
Vɺ2  Vɺ0 + αVɺ1 + α 2Vɺ2 
 
  

Substituindo em:
 Iɺa 
 Iɺ0   Iɺ0 + Iɺ1 + Iɺ2 
ɺ 
ɺ  ɺ
2ɺ
ɺ
I
I
I
I
I
=
=
+
+
T
α
α
1
2
 b
 1  0
 Iɺc 
 Iɺ2   Iɺ0 + αIɺ1 + α 2 Iɺ2 
 
  

Vɺb − Vɺc = Z f Iɺb
Tem-se: (Vɺ + α 2Vɺ + αVɺ ) − (Vɺ + αVɺ + α 2Vɺ ) = Z ( Iɺ + α 2 Iɺ + αIɺ )
f
0
1
2
0
1
2
0
1
2
Rearranjando:
Portanto:
(α 2 − α )Vɺ1 − (α 2 − α )Vɺ2 = (α 2 − α ) Z f Iɺ1
Vɺ1 − Vɺ2 = Z f Iɺ1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase
8
Sendo:
Vɺ1 − Vɺ2 = Z f Iɺ1
Iɺ0 = 0
Zf
Iɺ1 = − Iɺ2
Então:
Z1
E1
I1
Z2
K1
V1
Portanto:
Iɺ1 =
I2
K2
V2
Eɺ1
Z1 + Z 2 + Z f
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase
9
Zf
Como:
ɺ
E
1
Iɺ1 =
Z1 + Z 2 + Z f
Iɺ0 = 0
Z1
E1
I1
Z2
K1
I2
V1
K2
V2
Iɺ2 = − Iɺ1
Então, a corrente de falta para curto-circuito entre as fases B e C é dada por:
 Iɺa 
 Iɺ0   Iɺ0 + Iɺ1 + Iɺ2  
0

ɺ 
ɺ  ɺ
2ɺ
ɺ  = (α 2 − α ) Iɺ 
I
I
I
I
I
=
T
=
+
+
α
α
1
2
1
 b
 1  0

 Iɺc 
 Iɺ2   Iɺ0 + αIɺ1 + α 2 Iɺ2  (α − α 2 ) Iɺ1 
 
  

Iɺa = 0
Iɺb = − Iɺc
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase
10
Zf
Obtenção da tensão de falta na Fase A:
Sabemos que de VABC = T . V012
Vɺa = Vɺ0 + Vɺ1 + Vɺ2
Z1
E1
I1
Z2
K1
I2
V1
K2
V2
Desenvolvendo V0, V1 e V2 tem-se:
Vɺ0 = 0
Vɺ1 = Eɺ1 − Z 1 Iɺ1
Vɺ2 = − Z 2 Iɺ2 = Z 2 Iɺ1
Sabendo que Z1 = Z2 e substituindo tem-se portanto:
Vɺa = Eɺ1
Portanto, a tensão em A independe da impedância de falta Zf e é igual a tensão pré-falta,
ou seja, não é afetada pela falta.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase Terra
11
Curto Circuito
Bifásico-Terra
no Ponto K:
Análise:
Iɺa = 0
Iɺg = Iɺb + Iɺc
Vɺb = Z f Iɺb + Z g ( Iɺb + Iɺc )
De:
 Iɺ0 
 Iɺa 
ɺ 
-1  ɺ 
=
T
I
 1
 Ib 
 Iɺ2 
 Iɺc 
 
 
Vɺc = Z f Iɺc + Z g ( Iɺb + Iɺc )
tem-se:
ɺ ɺ ɺ
ɺI = I a + I b + I c
0
3
∴
Iɺb + Iɺc = 3Iɺ0
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase Terra
12
Sabendo que:
Vɺa 
Vɺ0   Vɺ0 + Vɺ1 + Vɺ2 
ɺ
ɺ ɺ
2 ɺ
ɺ
V
T
V
=
V
+
V
+
V
=
α
α
b
1
0
1
2
  
 
Vɺ2  Vɺ0 + αVɺ1 + α 2Vɺ2 
Vɺc 

 
  
Reescrevendo:
 Iɺa 
 Iɺ0   Iɺ0 + Iɺ1 + Iɺ2 
 ɺ  ɺ
ɺ 
2ɺ
ɺ
I
=
T
I
=
I
+
I
+
I
α
α
b
1
0
1
2
 
  
 Iɺ2   Iɺ0 + αIɺ1 + α 2 Iɺ2 
 Iɺc 
  

 
Iɺb + Iɺc = 3Iɺ0
Vɺb = Z f Iɺb + Z g ( Iɺb + Iɺc )
Vɺc = Z f Iɺc + Z g ( Iɺb + Iɺc )
Em componentes Simétricas:
Vɺ0 + α 2Vɺ1 + αVɺ2 = Z f ( Iɺ0 + α 2 Iɺ1 + αIɺ2 ) + Z g (3Iɺ0 )
Vɺ0 + αVɺ1 + α 2Vɺ2 = Z f ( Iɺ0 + αIɺ1 + α 2 Iɺ2 ) + Z g (3Iɺ0 )
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase Terra
13
Subtraindo as equações:
Vɺ0 + α 2Vɺ1 + αVɺ2 = Z f ( Iɺ0 + α 2 Iɺ1 + αIɺ2 ) + Z g (3Iɺ0 )
Vɺ0 + αVɺ1 + α 2Vɺ2 = Z f ( Iɺ0 + αIɺ1 + α 2 Iɺ2 ) + Z g (3Iɺ0 )
Tem-se:
(α 2 − α ).(Vɺ1 − Z f Iɺ1 ) = (α 2 − α ).(Vɺ2 − Z f Iɺ2 )
Ou:
Vɺ1 − Z f Iɺ1 = Vɺ2 − Z f Iɺ2
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase Terra
14
Isolando os termos de seqüência 0 em:
Vɺ0 + α 2Vɺ1 + αVɺ2 = Z f ( Iɺ0 + α 2 Iɺ1 + αIɺ2 ) + Z g (3Iɺ0 )
Tem-se:
Vɺ0 − ( Z f + 3Z g ). Iɺ0 = −α 2 (Vɺ1 − Z f Iɺ1 ) − α (Vɺ2 − Z f Iɺ2 )
Sabendo que:
Vɺ1 − Z f Iɺ1 = Vɺ2 − Z f Iɺ2
α 2 + α = −1
Tem-se:
Vɺ0 − ( Z f + 3Z g ). Iɺ0 = Vɺ1 − Z f Iɺ1 = Vɺ2 − Z f Iɺ2
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase Terra
15
Sendo:
Vɺ1 − Z f Iɺ1 = Vɺ2 − Z f Iɺ2 = Vɺ0 − ( Z f + 3Z g ). Iɺ0
Então:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase Terra
16
Portanto:
ɺ
E
1
Iɺ1 =
( Z 1 + Z f ) + [( Z 2 + Z f ) //( Z 0 + Z f + 3Z g )]
Do divisor de corrente:
Iɺ2 =
( Z 0 + Z f + 3Z g ) Iɺ1
( Z 2 + Z f ) + ( Z 0 + Z f + 3Z g )
Iɺ0 =
( Z 2 + Z f ) Iɺ1
( Z 2 + Z f ) + ( Z 0 + Z f + 3Z g )
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase Terra
17
Então, a corrente de falta para curto-circuito
entre as fase B e C com o Terra é dada por:
 Iɺa 
 Iɺ0   Iɺ0 + Iɺ1 + Iɺ2 
ɺ 
ɺ  ɺ
2ɺ
ɺ
I
T
I
=
=
I
+
I
+
I
α
α
1
2
 b
 1  0
 Iɺc 
 Iɺ2   Iɺ0 + αIɺ1 + α 2 Iɺ2 
 
  

Onde:
Iɺ1 =
Eɺ1
( Z 1 + Z f ) + [( Z 2 + Z f ) //( Z 0 + Z f + 3Z g )]
ɺ
(
Z
0 + Z f + 3Z g ) I1
Iɺ2 = −
( Z 2 + Z f ) + ( Z 0 + Z f + 3Z g )
ɺ
(
Z
2 + Z f ) I1
Iɺ0 = −
( Z 2 + Z f ) + ( Z 0 + Z f + 3Z g )
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Dupla Fase Terra
18
Obtenção da tensão de falta na Fase A:
Sabemos que de VABC = T . V012
Vɺa = Vɺ0 + Vɺ1 + Vɺ2
Portanto:
Vɺa ɺ
= V0 = Vɺ1 = Vɺ2
3
Sabendo que Z1 = Z2 e fazendo-se substituições nas equações anteriores tem-se (pag195):
Vɺ0 =
Z0
Eɺ1
2Z 0 + Z 1
Portanto, a tensão em A é igual a:
Vɺa =
3Z 0
Eɺ1
2Z 0 + Z 1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Curto Circuito Dupla-Fase-Terra
19
Fator de Sobretensão
É a relação mais elevada entre uma tensão sã durante o curto
pela tensão preexistente antes do curto.
Ex: curto nas fases B e C:
f st =
Va
E1
Fator de sobretensão pode ser calculado pela expressão abaixo:
f st =
3k
2k + 1
onde:
k=
Z0
Z1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Potência de Curto-circuito Trifásica
20
Potência de curto trifásica no ponto k
É definida como sendo a potência total “consumida” por um curto
trifásico franco no ponto k, considerando tensão pré-falta igual a
nominal, ou seja:
nom ɺ curto *
ɺ curto
S3φk = 3V
onde
Iɺ
curto
3φk
( I 3φk )
Eɺ1 V nom
=
=
Z1
Z1
Substituindo tem-se:
curto
nom  V
ɺ
S3φk = 3V 
 Z1
nom
Em PU:
1
Sɺ3curto
=
φk
*
Z1
nom 2
*
V

 = 3
*
Z
1

(
Z = Sɺ3curto
φk
*
1
)
−1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Potência de Curto-circuito Monofásica
21
Potência de curto monofásica no ponto k
É definida como sendo a potência “consumida” por um curto
monofásico franco no ponto k, considerando tensão pré-falta igual a
nominal, ou seja:
nom ɺ curto *
ɺ curto
S1φk = V
onde
( I1φk )
nom
Iɺ
curto
1φk
3V
3Eɺ1
=
=
Z 0 + 2Z 1 Z 0 + 2Z 1
Substituindo tem-se:
*
nom 2
V
 3V

curto
nom
ɺ
 =3
S1φk = V 
*

Z
(
Z
0 + 2Z 1
0 + 2Z 1 )


nom
Em PU:
Sɺ
curto
1φk
3
=
( Z 0 + 2 Z 1 )*
Z0 =
3
(Sɺ )
curto *
1φ k
− 2Z 1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Potência de Curto-circuito
22
Sabendo que:
Z0 =
3
(Sɺ )
curto *
1φk
− 2Z 1
(
*
Z 1 = Sɺ3curto
φk
)
−1
Então
Z0 =
3
−
2
(Sɺ ) (Sɺ )
curto *
1φk
curto *
3φk
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Potência de Curto-circuito
23
Portanto, dado as potências de curto monofásica e
trifásica de um determinado equivalente de rede é
possível determinar as impedâncias de seqüência
simétrica:
Z1 = Z 2 =
Z0 =
(
3
Sɺ1curto
φk
1
(Sɺ )
curto *
3φk
−
) (
*
2
Sɺ3curto
φk
)
*
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Exercício 6.2.1
24
Seja o circuito trifásico simétrico e equilibrado abaixo:
Note que são apresentados as potências de curto monofásica e
trifásica do sistema equivalente conectado na barra 1.
Os 10 motores (de 5MVA) conectados em paralelo na barra 4
consomem um total de 46,5MW com fator de potência unitário.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Exercício 6.2.1 – Solução Parcial
25
Onde os circuitos equivalentes de seqüência simétrica são:
O circuito de seqüência negativa é análogo à positiva, excetuando-se as defasagens e as
fontes curto-circuitadas
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Exercício 6.2.1
26
(a) Caso ocorra um curto entre as fases B e C com
impedância de 10 Ω.
Calcule as seguintes correntes em componentes simétricas e de
fase nas 3 fases em condição de defeito:
Corrente que alimenta o curto-circuito
Corrente na Linha
Corrente injetada pelo sist. Equivalente na barra 1
(b) Caso ocorra um curto entre as fases B e C e o Terra
com Zf de 10 Ω e Zg de 5 Ω.
Determine as mesmas correntes listadas acima
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Exercício 6.2.1 – Solução Parcial
27
As condições pré-falta são apresentadas abaixo:
Seqüência Positiva
Seqüência Zero e Negativa
Tensões e Correntes Nulas.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Resumo
28
Circuito equivalente para cálculo da corrente de:
Curto Trifásico
com ou sem envolvimento de Terra
Z1
E1
K1
I1
V1
Zg
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Resumo
29
Circuito equivalente para
cálculo da corrente de:
Curto Monofásico
(Fase-Terra)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
Resumo
30
Circuito equivalente para
cálculo da corrente de:
Zf
Z1
Curto Bifásico
E1
I1
Z2
K1
V1
I2
K2
V2
Curto Bifásico com
envolvimento de Terra
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF