Uploaded by Steven Guerreros

clase 6-D

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Unidad Nº03
3.1 Introducción
En el capitulo anterior se resolvieron problemas con la ecuación fundamental de
movimiento 𝑭 = 𝑚𝒂. Trabajando con una partícula con una fuerza aplicada, la
ecuación del movimiento podía resolverse para la aceleración a, y luego aplicando
principios de cinemática se puede determinar la velocidad y la posición en cualquier
punto.
Utilizando nuevamente la ecuación de 𝑭 = 𝑚𝒂 con principios de cinemática permite
dos métodos de análisis, el método del trabajo y energía, y el método de impulso y
momento. La importancia de estos métodos es que no es necesario determinar la
aceleración. En efecto, el método de trabajo energía relación fuerza, masa, velocidad
y desplazamiento. Por otro lado, el método de impulso y momento relaciona la
fuerza, masa, velocidad y tiempo.
DINÁMICA CIV4
Unidad Nº03
3.2 Trabajo y Energía
Considerar una partícula de un punto A a un punto A’.
El vector r muestra la posición de A, un vector dr
denota la posición de A a A’. Tal vector es el
desplazamiento de la partícula. Si una fuerza F actúa
en la partícula, el trabajo de la fuerza F con el
desplazamiento dr define lo siguiente:
𝑑𝑈 = 𝑭 ∙ 𝑑𝒓
𝑑𝑈 = 𝐹 𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠 α
𝑑𝑈 = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧
Figura 3.1 Beer Johnston 10ma edición
DINÁMICA CIV4
Unidad Nº03
3.2 Trabajo y Energía
Para 𝑑𝑈 = 𝐹 𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠 α, el valor es positivo si α es agudo, el valor es
negativo si α es obtuso. Se tienen tres casos de interés; el primero si F
y dr tienen la misma dirección el trabajo se reduce a dU=Fds. Si F es
opuesto a dr, dU=-Fds. Si F es perpendicular a dr, el trabajo dU=0.
Para un trabajo finito de F de A1 a A2, este se obtiene con la
integración de la trayectoria que describe la partícula.
𝐴2
𝑈1→2 =
𝑭 ∙ 𝑑𝒓
𝐴1
𝑆2
𝑈1→2 =
𝑆2
(𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼) 𝑑𝑠 =
𝑆1
𝐹𝑡 𝑑𝑠
𝑆1
Definiendo F por medio de sus componentes rectangulares, la
expresión es la siguiente
𝐴2
𝑈1→2 =
(𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧)
𝐴1
Figura 3.2 Beer Johnston 10ma edición
DINÁMICA CIV4
Unidad Nº03
3.2 Trabajo y Energía
Trabajo de una fuerza constante en movimiento rectilíneo
Una partícula que se mueve en línea recta sometida a una F constante
y dirección constante.(Figura 3.3 a)
𝑈1→2 = (𝐹 𝑐𝑜𝑠 α)∆𝒙
Donde ∆𝑥 es desplazamiento A1 a A2, 𝛼 es el ángulo que forma la fuerza y dirección de movimiento.
Trabajo realizado por la fuerza de la gravedad
Se sustituye en 𝑑𝑈 = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧 el peso W de un cuerpo.
𝑦2
𝑑𝑈 = −𝑊𝑑𝑦 → 𝑈1→2 =
𝑊𝑑𝑦 = 𝑊𝑦1 − 𝑊𝑦2
𝑦1
𝑈1→2 = −𝑊 𝑦2 − 𝑦1 = −𝑊∆𝑦
Donde ∆𝑦 es el desplazamiento vertical de A1 a A2.
DINÁMICA CIV4
Figura 3.3 Beer Johnston 10ma edición
Unidad Nº03
3.2 Trabajo y Energía
Trabajo realizado por la fuerza que ejerce un resorte
Considerar un cuerpo A unido a un punto fijo B por medio de un
resorte. Al ubicarse en 𝐴0 el resorte no esta deformado. Se tiene:
𝐹 = 𝑘𝑥
El trabajo ejercido durante un desplazamiento es:
𝑑𝑈 = −𝐹 𝑑𝑥 = −𝑘𝑥 𝑑𝑥
𝑥2
1 2 1 2
𝑈1→2 = −
𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2
2
2
𝑥1
Se anota que el trabajo es positivo cunado el resorte esta regresando a
la posición no deformada. El trabajo de 𝑈1→2 de F puede obtenerse al
hallar el área del trapezoide de la figura 3.4 b.
1
2
𝑈1→2 = − (𝐹1 + 𝐹2 )∆𝑥
Figura 3.4 Beer Johnston 10ma edición
DINÁMICA CIV4
Unidad Nº03
3.3 Energía cinética de una partícula. Principio del
trabajo y la Energía
Considere una partícula m que se somete a una fuerza F y tiene
una trayectoria rectilínea y curva (figura 3.5). Expresando la
segunda Ley de Newton en sus componentes tangenciales:
𝑑𝑣
𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 𝑜 𝐹𝑡 = 𝑚
Si v=ds/dt;
𝑑𝑡
𝑑𝑣 𝑑𝑠
𝑑𝑣
𝐹𝑡 = 𝑚
= 𝑚𝑣
→
𝐹𝑡 𝑑𝑠 = 𝑚𝑣𝑑𝑣
𝑑𝑠 𝑑𝑡
𝑑𝑠
Si se integra desde A1, donde s=s1; v=v1; hasta A2 donde s=s2 y
v=v2.
𝑠2
𝑣2
1
1
2
𝐹𝑡 𝑑𝑠 = 𝑚
𝑣𝑑𝑣 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣12
2
2
𝑠1
𝑣1
Figura 3.5 Beer Johnston 10ma edición
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Unidad Nº03
3.3 Energía cinética de una partícula. Principio del
trabajo y la Energía
De la ecuación anterior el miembro de la izquierda representa el
trabajo de A1 a A2. Se define la expresión como la energía
cinética de la partícula :
1
𝑇 = 𝑚𝑣 2
2
𝑈1→2 = 𝑇2 − 𝑇1
El trabajo de la fuerza F es igual al cambio de le energía cinética
de la partícula. El principio del trabajo y energía se escribe:
𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2
La energía cinética de A2 se obtiene agregando el trabajo
realizado por el desplazamiento de A1 a A2, llevado a cabo por la
fuerza sobre la partícula.
Figura 3.5 Beer Johnston 10ma edición
DINÁMICA CIV4
Unidad Nº03
3.4 Aplicaciones del principio del trabajo y la energía
Considerar el péndulo OA, compuesto por una plomada A de peso W
unida a una cuerda de longitud L. Oscilando naturalmente se desea
determinar la rapidez al pasar por A2. Se halla el trabajo de A1 a A2, el
DCL de la figura 3.6 b muestra las fuerzas P y W que actúan sobre la
partícula. El trabajo lo realiza W ya que la fuerza P es normal a la
trayectoria y por lo tanto no realiza trabajo. Por tanto 𝑈1→2 = 𝑊𝐿.
Considerando
la energía cinética de la plomada se tiene que 𝑇1 = 0 y que
1 𝑊 2
𝑇2 = ( )𝑣2 en A1 y A2 respectivamente. Aplicando el principio de trabajo
2 𝑔
energía:
𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2
0 + 𝑊𝐿 =
1𝑊 2
𝑣
2𝑔 2
Resolviendo se obtiene que 𝑣22 = 2𝑔𝐿; se presentan las ventajas
• No se necesita encontrar la aceleración para hallar la rapidez en A2
• La sumas son directas al ser las cantidades escalares
• Las fuerzas que no realizan trabajo se eliminan
Figura 3.6 Beer Johnston 10ma edición
DINÁMICA CIV4
Unidad Nº03
3.4 Aplicaciones del principio del trabajo y la energía
El método del trabajo y la energía tiene limitaciones
(aceleración y fuerza normal a la trayectoria) y debe
complementarse mediante la segunda Ley de Newton. Si se
desea hallar la tensión de la cuerda en A2, se hace el DCL
(figura 3.7 a) y se expresa la segunda Ley de Newton. ( 𝐹𝑡 =
𝑚𝑎𝑡 ) y ( 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 ), al ser Ft cero, se tiene:
𝑃 − 𝑊 = 𝑚𝑎𝑛 =
𝑊𝑣22
,
𝑔𝐿
reemplazando la velocidad en A2,
𝑊2𝑔𝐿
𝑃=𝑊+
= 3𝑊
𝑔𝐿
Es factible aplicar el método a sistemas con varias partículas, al
sumar las energías cinéticas y considerar el trabajo de las
fuerzas sobre ellas, se puede escribir una sola ecuación:
𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2
Figura 3.7
DINÁMICA CIV4
Beer Johnston 10ma edición
13.11 Beer Johnston pág. 636 10ma edición
Los paquetes que se muestran en la figura se
lanzan hacia abajo sobre un plano inclinado en A
con una velocidad de 1 m/s. Los paquetes se
deslizan a lo largo de la superficie ABC hacia una
banda transportadora que se mueve con una
velocidad de 2m/s. Si se sabe que 𝜇𝑘 = 0.25 entre
los paquetes y la superficie ABC, determine la
distancia d si los paquetes deben llegar a C con
una velocidad de 2m/s.
DINÁMICA CIV4
13.23 Beer Johnston pág. 638 10ma edición
El sistema que se muestra está en reposo cuando
una fuerza constante de 250 N se aplica al bloque
A. Desprecie las masas de las poleas y el efecto de
la fricción en las mismas y suponga que los
coeficientes de fricción entre el bloque A y la
superficie horizontal son 𝜇𝑠 = 0.25 y 𝜇𝑘 = 0.20,
determine a) la velocidad del bloque B después de
que el bloque A se ha movido 2m, b) La tensión en
el cable.
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