Unidad Nº03
3.1 Introducción
En el capitulo anterior se resolvieron problemas con la ecuación fundamental de
movimiento 𝑭 = 𝑚𝒂. Trabajando con una partícula con una fuerza aplicada, la
ecuación del movimiento podía resolverse para la aceleración a, y luego aplicando
principios de cinemática se puede determinar la velocidad y la posición en cualquier
punto.
Utilizando nuevamente la ecuación de 𝑭 = 𝑚𝒂 con principios de cinemática permite
dos métodos de análisis, el método del trabajo y energía, y el método de impulso y
momento. La importancia de estos métodos es que no es necesario determinar la
aceleración. En efecto, el método de trabajo energía relación fuerza, masa, velocidad
y desplazamiento. Por otro lado, el método de impulso y momento relaciona la
fuerza, masa, velocidad y tiempo.
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3.2 Trabajo y Energía
Considerar una partícula de un punto A a un punto A’.
El vector r muestra la posición de A, un vector dr
denota la posición de A a A’. Tal vector es el
desplazamiento de la partícula. Si una fuerza F actúa
en la partícula, el trabajo de la fuerza F con el
desplazamiento dr define lo siguiente:
𝑑𝑈 = 𝑭 ∙ 𝑑𝒓
𝑑𝑈 = 𝐹 𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠 α
𝑑𝑈 = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧
Figura 3.1 Beer Johnston 10ma edición
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3.2 Trabajo y Energía
Para 𝑑𝑈 = 𝐹 𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠 α, el valor es positivo si α es agudo, el valor es
negativo si α es obtuso. Se tienen tres casos de interés; el primero si F
y dr tienen la misma dirección el trabajo se reduce a dU=Fds. Si F es
opuesto a dr, dU=-Fds. Si F es perpendicular a dr, el trabajo dU=0.
Para un trabajo finito de F de A1 a A2, este se obtiene con la
integración de la trayectoria que describe la partícula.
𝐴2
𝑈1→2 =
𝑭 ∙ 𝑑𝒓
𝐴1
𝑆2
𝑈1→2 =
𝑆2
(𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼) 𝑑𝑠 =
𝑆1
𝐹𝑡 𝑑𝑠
𝑆1
Definiendo F por medio de sus componentes rectangulares, la
expresión es la siguiente
𝐴2
𝑈1→2 =
(𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧)
𝐴1
Figura 3.2 Beer Johnston 10ma edición
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3.2 Trabajo y Energía
Trabajo de una fuerza constante en movimiento rectilíneo
Una partícula que se mueve en línea recta sometida a una F constante
y dirección constante.(Figura 3.3 a)
𝑈1→2 = (𝐹 𝑐𝑜𝑠 α)∆𝒙
Donde ∆𝑥 es desplazamiento A1 a A2, 𝛼 es el ángulo que forma la fuerza y dirección de movimiento.
Trabajo realizado por la fuerza de la gravedad
Se sustituye en 𝑑𝑈 = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧 el peso W de un cuerpo.
𝑦2
𝑑𝑈 = −𝑊𝑑𝑦 → 𝑈1→2 =
𝑊𝑑𝑦 = 𝑊𝑦1 − 𝑊𝑦2
𝑦1
𝑈1→2 = −𝑊 𝑦2 − 𝑦1 = −𝑊∆𝑦
Donde ∆𝑦 es el desplazamiento vertical de A1 a A2.
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Figura 3.3 Beer Johnston 10ma edición
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3.2 Trabajo y Energía
Trabajo realizado por la fuerza que ejerce un resorte
Considerar un cuerpo A unido a un punto fijo B por medio de un
resorte. Al ubicarse en 𝐴0 el resorte no esta deformado. Se tiene:
𝐹 = 𝑘𝑥
El trabajo ejercido durante un desplazamiento es:
𝑑𝑈 = −𝐹 𝑑𝑥 = −𝑘𝑥 𝑑𝑥
𝑥2
1 2 1 2
𝑈1→2 = −
𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2
2
2
𝑥1
Se anota que el trabajo es positivo cunado el resorte esta regresando a
la posición no deformada. El trabajo de 𝑈1→2 de F puede obtenerse al
hallar el área del trapezoide de la figura 3.4 b.
1
2
𝑈1→2 = − (𝐹1 + 𝐹2 )∆𝑥
Figura 3.4 Beer Johnston 10ma edición
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3.3 Energía cinética de una partícula. Principio del
trabajo y la Energía
Considere una partícula m que se somete a una fuerza F y tiene
una trayectoria rectilínea y curva (figura 3.5). Expresando la
segunda Ley de Newton en sus componentes tangenciales:
𝑑𝑣
𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 𝑜 𝐹𝑡 = 𝑚
Si v=ds/dt;
𝑑𝑡
𝑑𝑣 𝑑𝑠
𝑑𝑣
𝐹𝑡 = 𝑚
= 𝑚𝑣
→
𝐹𝑡 𝑑𝑠 = 𝑚𝑣𝑑𝑣
𝑑𝑠 𝑑𝑡
𝑑𝑠
Si se integra desde A1, donde s=s1; v=v1; hasta A2 donde s=s2 y
v=v2.
𝑠2
𝑣2
1
1
2
𝐹𝑡 𝑑𝑠 = 𝑚
𝑣𝑑𝑣 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣12
2
2
𝑠1
𝑣1
Figura 3.5 Beer Johnston 10ma edición
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3.3 Energía cinética de una partícula. Principio del
trabajo y la Energía
De la ecuación anterior el miembro de la izquierda representa el
trabajo de A1 a A2. Se define la expresión como la energía
cinética de la partícula :
1
𝑇 = 𝑚𝑣 2
2
𝑈1→2 = 𝑇2 − 𝑇1
El trabajo de la fuerza F es igual al cambio de le energía cinética
de la partícula. El principio del trabajo y energía se escribe:
𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2
La energía cinética de A2 se obtiene agregando el trabajo
realizado por el desplazamiento de A1 a A2, llevado a cabo por la
fuerza sobre la partícula.
Figura 3.5 Beer Johnston 10ma edición
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3.4 Aplicaciones del principio del trabajo y la energía
Considerar el péndulo OA, compuesto por una plomada A de peso W
unida a una cuerda de longitud L. Oscilando naturalmente se desea
determinar la rapidez al pasar por A2. Se halla el trabajo de A1 a A2, el
DCL de la figura 3.6 b muestra las fuerzas P y W que actúan sobre la
partícula. El trabajo lo realiza W ya que la fuerza P es normal a la
trayectoria y por lo tanto no realiza trabajo. Por tanto 𝑈1→2 = 𝑊𝐿.
Considerando
la energía cinética de la plomada se tiene que 𝑇1 = 0 y que
1 𝑊 2
𝑇2 = ( )𝑣2 en A1 y A2 respectivamente. Aplicando el principio de trabajo
2 𝑔
energía:
𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2
0 + 𝑊𝐿 =
1𝑊 2
𝑣
2𝑔 2
Resolviendo se obtiene que 𝑣22 = 2𝑔𝐿; se presentan las ventajas
• No se necesita encontrar la aceleración para hallar la rapidez en A2
• La sumas son directas al ser las cantidades escalares
• Las fuerzas que no realizan trabajo se eliminan
Figura 3.6 Beer Johnston 10ma edición
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3.4 Aplicaciones del principio del trabajo y la energía
El método del trabajo y la energía tiene limitaciones
(aceleración y fuerza normal a la trayectoria) y debe
complementarse mediante la segunda Ley de Newton. Si se
desea hallar la tensión de la cuerda en A2, se hace el DCL
(figura 3.7 a) y se expresa la segunda Ley de Newton. ( 𝐹𝑡 =
𝑚𝑎𝑡 ) y ( 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 ), al ser Ft cero, se tiene:
𝑃 − 𝑊 = 𝑚𝑎𝑛 =
𝑊𝑣22
,
𝑔𝐿
reemplazando la velocidad en A2,
𝑊2𝑔𝐿
𝑃=𝑊+
= 3𝑊
𝑔𝐿
Es factible aplicar el método a sistemas con varias partículas, al
sumar las energías cinéticas y considerar el trabajo de las
fuerzas sobre ellas, se puede escribir una sola ecuación:
𝑇1 + 𝑈1→2 = 𝑇2
Figura 3.7
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Beer Johnston 10ma edición
13.11 Beer Johnston pág. 636 10ma edición
Los paquetes que se muestran en la figura se
lanzan hacia abajo sobre un plano inclinado en A
con una velocidad de 1 m/s. Los paquetes se
deslizan a lo largo de la superficie ABC hacia una
banda transportadora que se mueve con una
velocidad de 2m/s. Si se sabe que 𝜇𝑘 = 0.25 entre
los paquetes y la superficie ABC, determine la
distancia d si los paquetes deben llegar a C con
una velocidad de 2m/s.
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13.23 Beer Johnston pág. 638 10ma edición
El sistema que se muestra está en reposo cuando
una fuerza constante de 250 N se aplica al bloque
A. Desprecie las masas de las poleas y el efecto de
la fricción en las mismas y suponga que los
coeficientes de fricción entre el bloque A y la
superficie horizontal son 𝜇𝑠 = 0.25 y 𝜇𝑘 = 0.20,
determine a) la velocidad del bloque B después de
que el bloque A se ha movido 2m, b) La tensión en
el cable.
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