Escuela de Ingeniería Eléctrica
2do trabajo de la asignatura: “Control Automático”
Fecha: 06 de enero de 2020.
Nombre alumno(a): Cristian Benavides Tapia
Rut: 19.582.393-6___________________________________
Observación:
 El profesor se exime de revisar respuestas muy desorganizadas, poco claras, o cuyos resultados no se justifiquen.

Recuerde justificar la obtención de diagramas y resultados finales mediante el cálculo correspondiente.
Entregar en formato WORD incluyendo sus respuestas después de cada enunciado de pregunta.
PREGUNTAS:
Para cada problema, con la configuración de retroalimentación unitaria de la figura, diseñe un
controlador que satisfaga las especificaciones requeridas.
1. Para la función de transferencia del proceso siguiente, diseñe un compensador tal que la
constante de error estático de velocidad sea 5 𝑠𝑒𝑔−1 . Considere que la respuesta transitoria no
se modifique notablemente al cumplir con esta especificación de desempeño. Al final del
proceso de diseño, realice un análisis para comprobar que el controlador cumple las
especificaciones requeridas (2.0 puntos).
𝐺𝑝 (𝑠) =
1.25
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 3)
1. En primer lugar, obtenemos las especificaciones de desempeño principales del sistema como
ts(2%) y Mp para posteriormente comparar con el sistema compensado. Para esto
obtenemos la función de lazo cerrado del sistema G(s) y aplicamos dominancia encontrar los
polos dominantes, los cuales usaremos para encontrar las especificaciones.
𝐺(𝑠) =
1.25
(𝐿𝑎𝑧𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜)
𝑠 3 + 4𝑠 2 + 3𝑠 + 1.25
𝑠1 = −0.41 + 0.474𝑗
𝑠2 = −0.41 − 0.474𝑗
𝑠3 = −3.2
3.2
≥5
0.41
7.8 ≥ 5 (𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎)
𝑠1,2 = −0.41 ± 0.474𝑗 (𝑃𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)
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𝑠 2 + 0.82𝑠 + 0.4 (𝐸𝑐 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)
𝑡𝑠(2%) = 3.07
𝑀𝑝 = 6.8%
2. Calculamos la constante de velocidad (Kv) del sistema sin compensar y obtenemos 𝛽, el
cual usaremos para encontrar la relación entre el polo y el cero del compensador.
𝐾𝑣 = 0.42
𝛽=
𝐾𝑣𝐶𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜
𝑧
5
=
=
= 12
𝑝 𝐾𝑣𝑆𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑟
0.42
3. Proponemos la ubicación del cero o polo según el criterio elegido, en este caso proponemos
el cero entre un rango de [0.01 - 0.5] y posteriormente encontramos el polo ocupando 𝛽.
𝛽 = 12 =
0.01
𝑝
𝑝 = 0.00083
4. Ya obtenido el cero y el polo de nuestro compensador, procedemos a calcular la ganancia de
este mediante el criterio de magnitud.
𝐺0 (𝑠) =
𝐾(𝑠 + 0.01)
𝑠(𝑠 + 0.00083)(𝑠 + 1)(𝑠 + 3)
𝐾 = 1.25𝐾𝑐
|
𝐾(𝑠 + 0.01)
|
= 1 (𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑)
𝑠(𝑠 + 0.00083)(𝑠 + 1)(𝑠 + 3) 𝑠=−0.41+0.474𝑗
𝐾 = 1.28
𝐾𝑐 =
𝐾
= 1.024
1.25
𝐺𝑐 (𝑠) =
1.024(𝑠 + 0.01)
(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑𝑜)
𝑠(𝑠 + 0.00083)
𝐺0 (𝑠) =
1.28(𝑠 + 0.01)
(𝐿𝑎𝑧𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)
𝑠(𝑠 + 0.00083)(𝑠 + 1)(𝑠 + 3)
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5. En este paso deberíamos calcular las especificaciones de desempeño nuevamente, pero
debido a que el compensador desplaza mínimamente el LGR nos evitaremos hacerlo y nos
quedaremos con que las especificaciones son las mismas que en principio , lo cual en verdad
no es totalmente cierto , ya que varían en la mayoría de los casos ,pero es practico cuando
los cálculos son realizados a mano ya se para realizar el criterio de magnitud como se hiso
anteriormente o para las especificaciones de desempeño.
Como se dijo anteriormente la especificación de desempeño cambian en lo mayoría de los
casos y este caso no está excepto de esto, por lo cual procederemos a mostrar las
especificaciones de desempeño obtenidas mediante el simulador LCSD del sistema sin
compensar y el compensado (compensador de retardo).
Figura 1: Especificaciones sistema sin compensar
Figura 2: Especificaciones sistema compensado
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Figura 3: Sistema sin compensar
Figura 4: Sistema con compensado de retardo
De las figuras 3 y 4 podemos concluir que el compensador escogido (Retardo) cumple las
características deseadas ya que el sistema compensado no presenta mucha diferencia con el
sin compensar en lo que corresponde al régimen transitorio y en cuanto al coeficiente de
velocidad, tenemos que el compensador cumple con lo requerido ya que Kv es 5.12 lo cual
está muy cerca de lo requerido por el enunciado.
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2. Para la función de transferencia del proceso siguiente, diseñe un compensador que regule la
salida de forma tal que la constante de error estático de velocidad 𝐾𝑣 sea de 100 𝑠𝑒𝑔−1, que
cumpla con un margen de fase de al menos 50𝑜 . Al final del proceso de diseño, realice un
análisis para comprobar que el controlador cumple las especificaciones requeridas (2.0 puntos).
𝐺𝑝 (𝑠) =
1
𝑠(𝑠 + 1)
1. Usamos la constante de velocidad requerida para encontrar la ganancia del compensador.
𝐾𝑣 = 𝐾 = 100
2. Obtenemos la frecuencia de cruce de ganancia (wg) del sistema con la ganancia
anteriormente calculada, para posteriormente obtener el margen de fase (Mf) de esta.
100
𝐾𝐺𝑝 (𝑗𝑤) =
𝑗𝑤(𝑗𝑤 + 1)
|𝐾𝐺𝑝 (𝑗𝑤)| = 1 → 𝑤𝑐𝑔 = 9.97 ≈ 10
𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜(𝑤𝑐𝑔 ) = −174.3°
𝑀𝑓 = 180° − 174.3° = 5.7°
3. Luego obtenemos mediante la siguiente formula el ángulo a compensar.
∅𝑚 = 𝑀𝑓𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑜 − 𝑀𝑓𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 + 5°𝑎 12°
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∅𝑚 = 49.3°
4. Obtenido el Angulo a compensar, calculamos el factor de atenuación 𝛼, para posteriormente
obtener la frecuencia donde se cumple que |𝐾𝐺𝑝(𝑠)| = √𝛼.
1−∝
sin(∅𝑚 ) =
→∝= 0.14
1+∝
|𝐾𝐺𝑝 (𝑗𝑤)| = √0.14 → 𝑤𝑚 = 16.3
5. Ya obtenida esta frecuencia, procedemos a calcular la constante de tiempo del compensador.
𝑤𝑚 =
1
→ 𝑇 = 0.164
𝑇 √𝑎
6. Mediante la formular del compensador y utilizando T y ∝, encontramos la ubicación del
cero y polo del compensador.
1
(𝑠 + ) = (𝑠 + 6.1) (𝐶𝑒𝑟𝑜)
𝑇
1
(𝑠 +
) = (𝑠 + 43.55) (𝑃𝑜𝑙𝑜)
∝𝑇
7. Ya finalizando encontramos la ganancia correspondiente del compensador y armamos el
compensador completo, como también la función de transferencia de lazo abierto que
incluye este.
𝐾 = 𝐾𝑐 ∝
𝐾𝑐 = 714.3
714.3(𝑠 + 6.1)
𝐺𝑐 (𝑠) =
(𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑜)
𝑠 + 43.55
1
714.3(𝑠 + 6.1)
𝐺0 (𝑠) =
(𝐿𝑎𝑧𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)
𝑠(𝑠 + 1) 𝑠 + 43.55
Figura 5: Sistema con compensador de adelanto
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Podemos concluir que el compensador de adelanto realizado por el método de bode, cumple
con las características deseadas ya que presenta un margen de fase de 52.46° lo cual esta
muy cerca de lo requerido, por lo que es un error aceptable y en cuanto a la constante de
velocidad (kv), podemos apreciar que cumple a la perfección lo requerido ya que, este
alcanza un valor de 100 tal y como se pide.
3. Para la siguiente función de transferencia del proceso:
𝐺𝑝 (𝑠) =
𝑠2
1
+ 𝑠 + 1.25
Diseñe un controlador PID (de estructura mínima) tal que la respuesta en lazo cerrado presente
un tiempo de asentamiento al 2% de a lo más 4 [s], una sobre-elongación máxima de 16.3% y
que la respuesta final del sistema sea exacta en comparación con su referencia (Nota: no se
admite el diseño por cancelación de polos). Compruebe que el controlador cumple las
especificaciones requeridas (2.0 puntos).
1. Partimos eliminando de inmediato la opción de un controlador PD, ya que se requiere que el
sistema compensado no tenga error en estado estable, por lo que las únicas opciones de
diseño posibles son un PI o un PID.
2. Obtenemos los polos deseados mediante las especificaciones requeridas.
𝑠1,2 = −1 ∓ 1.73𝑗
3. Obtenemos los polos de la planta y agregamos el integrador ya que sabemos que tiene que ir
uno ya sea PI o PID, seguido de esto aplicamos el criterio de fase sobre los polos deseados.
1.73 − 1
1 + 1.73
𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐺(𝑗𝑤) = − (180° − tan−1 (
)) − (180° − tan−1 (
)) − (180° − tan−1 (1.73))
1 − 0.5
1 − 0.5
𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐺(𝑗𝑤) = −344.83
∅𝑑 = −180 + 344.83 = 164.83
4. Dado que el Angulo a compensar es muy grande, podemos decir que la única opción de
diseño que tenemos para cumplir estas especificaciones es utilizar un PID.
Ya definido que se trata de un PID, procedemos a escoger la ubicación de unos de los dos
ceros, para a partir de este encontrar el otro. En este caso para minimizar el problema
escogeremos un cero en -1 para que este aporte +90°, por lo que el otro cero deberá aportar
+74.83°.
1° 𝑐𝑒𝑟𝑜(90°) → (𝑠 + 1)
2° 𝑐𝑒𝑟𝑜(74.83°) → (𝑠 + 1.47)
5. Ya para terminar de armar el compensador, solo faltaría encontrar la ganancia del
controlador PID, para lo que aplicamos el criterio de magnitud.
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|
1
𝐾(𝑠 + 1)(𝑠 + 1.47)
|
=1
(𝑠 + 0.5 + 𝑗)(𝑠 + 0.5 − 𝑗)
𝑠
−1+1.73𝑗
𝐾 = 1.58 ≈ 1.6
1.6(𝑠 + 1)(𝑠 + 1.47)
𝐺𝑐(𝑆) =
(𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑃𝐼𝐷)
𝑠
𝐺0 (𝑠) =
1
1.6(𝑠 + 1)(𝑠 + 1.47)
(𝐿𝑎𝑧𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)
(𝑠 + 0.5 + 𝑗)(𝑠 + 0.5 − 𝑗)
𝑠
𝐾𝑃 = 4
6. En este punto correspondería calcular las especificaciones de desempeño nuevas obtenidas
mediante el compensador, pero debido a que no se cumple con dominancia no podrán ser
calculadas fácilmente. Debido a esto a continuación se presenta la simulación del sistema
compensado.
Figura 6: Sistema con compensador PID
Mediante la figura 6 podemos concluir que el compensador PID no cumple a la perfección
con lo requerido, ya que el sobrepaso máximo es bastante menor a lo requerido teniendo una
diferencia de 6.58%, por otro lado, tenemos que el tiempo de asentamiento se ajusta de
mejor manera cumpliendo con el rango aceptable de nomas de 4[s].