Escuela de Ingeniería Eléctrica 2do trabajo de la asignatura: “Control Automático” Fecha: 06 de enero de 2020. Nombre alumno(a): Cristian Benavides Tapia Rut: 19.582.393-6___________________________________ Observación: ο· El profesor se exime de revisar respuestas muy desorganizadas, poco claras, o cuyos resultados no se justifiquen. ο· Recuerde justificar la obtención de diagramas y resultados finales mediante el cálculo correspondiente. Entregar en formato WORD incluyendo sus respuestas después de cada enunciado de pregunta. PREGUNTAS: Para cada problema, con la configuración de retroalimentación unitaria de la figura, diseñe un controlador que satisfaga las especificaciones requeridas. 1. Para la función de transferencia del proceso siguiente, diseñe un compensador tal que la constante de error estático de velocidad sea 5 π ππ−1 . Considere que la respuesta transitoria no se modifique notablemente al cumplir con esta especificación de desempeño. Al final del proceso de diseño, realice un análisis para comprobar que el controlador cumple las especificaciones requeridas (2.0 puntos). πΊπ (π ) = 1.25 π (π + 1)(π + 3) 1. En primer lugar, obtenemos las especificaciones de desempeño principales del sistema como ts(2%) y Mp para posteriormente comparar con el sistema compensado. Para esto obtenemos la función de lazo cerrado del sistema G(s) y aplicamos dominancia encontrar los polos dominantes, los cuales usaremos para encontrar las especificaciones. πΊ(π ) = 1.25 (πΏππ§π πππππππ) π 3 + 4π 2 + 3π + 1.25 π 1 = −0.41 + 0.474π π 2 = −0.41 − 0.474π π 3 = −3.2 3.2 ≥5 0.41 7.8 ≥ 5 (πΆπ’ππππ ππ ππππππππππ) π 1,2 = −0.41 ± 0.474π (πππππ ππππππππ‘ππ ) Escuela de Ingeniería Eléctrica 2do trabajo de la asignatura: “Control Automático” Fecha: 06 de enero de 2020. π 2 + 0.82π + 0.4 (πΈπ ππππππ‘ππππ π‘πππ πππππ ππππππππ‘ππ ) π‘π (2%) = 3.07 ππ = 6.8% 2. Calculamos la constante de velocidad (Kv) del sistema sin compensar y obtenemos π½, el cual usaremos para encontrar la relación entre el polo y el cero del compensador. πΎπ£ = 0.42 π½= πΎπ£πΆππππππ πππ π§ 5 = = = 12 π πΎπ£πππ πππππππ ππ 0.42 3. Proponemos la ubicación del cero o polo según el criterio elegido, en este caso proponemos el cero entre un rango de [0.01 - 0.5] y posteriormente encontramos el polo ocupando π½. π½ = 12 = 0.01 π π = 0.00083 4. Ya obtenido el cero y el polo de nuestro compensador, procedemos a calcular la ganancia de este mediante el criterio de magnitud. πΊ0 (π ) = πΎ(π + 0.01) π (π + 0.00083)(π + 1)(π + 3) πΎ = 1.25πΎπ | πΎ(π + 0.01) | = 1 (πΆπππ‘ππππ ππ ππππππ‘π’π) π (π + 0.00083)(π + 1)(π + 3) π =−0.41+0.474π πΎ = 1.28 πΎπ = πΎ = 1.024 1.25 πΊπ (π ) = 1.024(π + 0.01) (πΆππππππ ππππ ππ πππ‘ππππ) π (π + 0.00083) πΊ0 (π ) = 1.28(π + 0.01) (πΏππ§π ππππππ‘π) π (π + 0.00083)(π + 1)(π + 3) Escuela de Ingeniería Eléctrica 2do trabajo de la asignatura: “Control Automático” Fecha: 06 de enero de 2020. 5. En este paso deberíamos calcular las especificaciones de desempeño nuevamente, pero debido a que el compensador desplaza mínimamente el LGR nos evitaremos hacerlo y nos quedaremos con que las especificaciones son las mismas que en principio , lo cual en verdad no es totalmente cierto , ya que varían en la mayoría de los casos ,pero es practico cuando los cálculos son realizados a mano ya se para realizar el criterio de magnitud como se hiso anteriormente o para las especificaciones de desempeño. Como se dijo anteriormente la especificación de desempeño cambian en lo mayoría de los casos y este caso no está excepto de esto, por lo cual procederemos a mostrar las especificaciones de desempeño obtenidas mediante el simulador LCSD del sistema sin compensar y el compensado (compensador de retardo). Figura 1: Especificaciones sistema sin compensar Figura 2: Especificaciones sistema compensado Escuela de Ingeniería Eléctrica 2do trabajo de la asignatura: “Control Automático” Fecha: 06 de enero de 2020. Figura 3: Sistema sin compensar Figura 4: Sistema con compensado de retardo De las figuras 3 y 4 podemos concluir que el compensador escogido (Retardo) cumple las características deseadas ya que el sistema compensado no presenta mucha diferencia con el sin compensar en lo que corresponde al régimen transitorio y en cuanto al coeficiente de velocidad, tenemos que el compensador cumple con lo requerido ya que Kv es 5.12 lo cual está muy cerca de lo requerido por el enunciado. Escuela de Ingeniería Eléctrica 2do trabajo de la asignatura: “Control Automático” Fecha: 06 de enero de 2020. 2. Para la función de transferencia del proceso siguiente, diseñe un compensador que regule la salida de forma tal que la constante de error estático de velocidad πΎπ£ sea de 100 π ππ−1, que cumpla con un margen de fase de al menos 50π . Al final del proceso de diseño, realice un análisis para comprobar que el controlador cumple las especificaciones requeridas (2.0 puntos). πΊπ (π ) = 1 π (π + 1) 1. Usamos la constante de velocidad requerida para encontrar la ganancia del compensador. πΎπ£ = πΎ = 100 2. Obtenemos la frecuencia de cruce de ganancia (wg) del sistema con la ganancia anteriormente calculada, para posteriormente obtener el margen de fase (Mf) de esta. 100 πΎπΊπ (ππ€) = ππ€(ππ€ + 1) |πΎπΊπ (ππ€)| = 1 → π€ππ = 9.97 ≈ 10 π΄πππ’ππ(π€ππ ) = −174.3° ππ = 180° − 174.3° = 5.7° 3. Luego obtenemos mediante la siguiente formula el ángulo a compensar. ∅π = πππππ ππππ − πππππππ‘π + 5°π 12° Escuela de Ingeniería Eléctrica 2do trabajo de la asignatura: “Control Automático” Fecha: 06 de enero de 2020. ∅π = 49.3° 4. Obtenido el Angulo a compensar, calculamos el factor de atenuación πΌ, para posteriormente obtener la frecuencia donde se cumple que |πΎπΊπ(π )| = √πΌ. 1−∝ sin(∅π ) = →∝= 0.14 1+∝ |πΎπΊπ (ππ€)| = √0.14 → π€π = 16.3 5. Ya obtenida esta frecuencia, procedemos a calcular la constante de tiempo del compensador. π€π = 1 → π = 0.164 π √π 6. Mediante la formular del compensador y utilizando T y ∝, encontramos la ubicación del cero y polo del compensador. 1 (π + ) = (π + 6.1) (πΆπππ) π 1 (π + ) = (π + 43.55) (ππππ) ∝π 7. Ya finalizando encontramos la ganancia correspondiente del compensador y armamos el compensador completo, como también la función de transferencia de lazo abierto que incluye este. πΎ = πΎπ ∝ πΎπ = 714.3 714.3(π + 6.1) πΊπ (π ) = (πππππππ ππππ πππππππ‘π) π + 43.55 1 714.3(π + 6.1) πΊ0 (π ) = (πΏππ§π ππππππ‘π) π (π + 1) π + 43.55 Figura 5: Sistema con compensador de adelanto Escuela de Ingeniería Eléctrica 2do trabajo de la asignatura: “Control Automático” Fecha: 06 de enero de 2020. Podemos concluir que el compensador de adelanto realizado por el método de bode, cumple con las características deseadas ya que presenta un margen de fase de 52.46° lo cual esta muy cerca de lo requerido, por lo que es un error aceptable y en cuanto a la constante de velocidad (kv), podemos apreciar que cumple a la perfección lo requerido ya que, este alcanza un valor de 100 tal y como se pide. 3. Para la siguiente función de transferencia del proceso: πΊπ (π ) = π 2 1 + π + 1.25 Diseñe un controlador PID (de estructura mínima) tal que la respuesta en lazo cerrado presente un tiempo de asentamiento al 2% de a lo más 4 [s], una sobre-elongación máxima de 16.3% y que la respuesta final del sistema sea exacta en comparación con su referencia (Nota: no se admite el diseño por cancelación de polos). Compruebe que el controlador cumple las especificaciones requeridas (2.0 puntos). 1. Partimos eliminando de inmediato la opción de un controlador PD, ya que se requiere que el sistema compensado no tenga error en estado estable, por lo que las únicas opciones de diseño posibles son un PI o un PID. 2. Obtenemos los polos deseados mediante las especificaciones requeridas. π 1,2 = −1 β 1.73π 3. Obtenemos los polos de la planta y agregamos el integrador ya que sabemos que tiene que ir uno ya sea PI o PID, seguido de esto aplicamos el criterio de fase sobre los polos deseados. 1.73 − 1 1 + 1.73 π΄πππ’ππ πΊ(ππ€) = − (180° − tan−1 ( )) − (180° − tan−1 ( )) − (180° − tan−1 (1.73)) 1 − 0.5 1 − 0.5 π΄πππ’ππ πΊ(ππ€) = −344.83 ∅π = −180 + 344.83 = 164.83 4. Dado que el Angulo a compensar es muy grande, podemos decir que la única opción de diseño que tenemos para cumplir estas especificaciones es utilizar un PID. Ya definido que se trata de un PID, procedemos a escoger la ubicación de unos de los dos ceros, para a partir de este encontrar el otro. En este caso para minimizar el problema escogeremos un cero en -1 para que este aporte +90°, por lo que el otro cero deberá aportar +74.83°. 1° ππππ(90°) → (π + 1) 2° ππππ(74.83°) → (π + 1.47) 5. Ya para terminar de armar el compensador, solo faltaría encontrar la ganancia del controlador PID, para lo que aplicamos el criterio de magnitud. Escuela de Ingeniería Eléctrica 2do trabajo de la asignatura: “Control Automático” Fecha: 06 de enero de 2020. | 1 πΎ(π + 1)(π + 1.47) | =1 (π + 0.5 + π)(π + 0.5 − π) π −1+1.73π πΎ = 1.58 ≈ 1.6 1.6(π + 1)(π + 1.47) πΊπ(π) = (πππππππ ππππ ππΌπ·) π πΊ0 (π ) = 1 1.6(π + 1)(π + 1.47) (πΏππ§π ππππππ‘π) (π + 0.5 + π)(π + 0.5 − π) π πΎπ = 4 6. En este punto correspondería calcular las especificaciones de desempeño nuevas obtenidas mediante el compensador, pero debido a que no se cumple con dominancia no podrán ser calculadas fácilmente. Debido a esto a continuación se presenta la simulación del sistema compensado. Figura 6: Sistema con compensador PID Mediante la figura 6 podemos concluir que el compensador PID no cumple a la perfección con lo requerido, ya que el sobrepaso máximo es bastante menor a lo requerido teniendo una diferencia de 6.58%, por otro lado, tenemos que el tiempo de asentamiento se ajusta de mejor manera cumpliendo con el rango aceptable de nomas de 4[s].
