Diferentes tamaños de u.e.
Diseño de experimentos – p. 1/24
Introducción
Los diseños experimentales que tienen varios tamaños de u.e.
son: diseños de mediciones repetidas, diseños de parcelas
divididas, algunos diseños anidados y diseños que tienen
combinaciones de ellos.
La característica que distingue a estos tipos de diseños es que
se utilizan más de un tamaño de u.e. Cada tamaño de u.e.
tiene sus propias estructuras de diseño y de tratamientos.
Ya que hay más de un tamaño de u.e., hay más de un término
de error, esto es, hay un término de error para cada tamaño de
u.e. lo cual está reflejado tanto en el modelo como en la tabla
de ANOVA.
Diseño de experimentos – p. 2/24
Parcelas Divididas
El diseño de parcelas divididas (split-plot) tiene su origen en
aplicaciones en Agricultura, donde las parcelas grandes
generalmente eran grandes áreas y las parcelas pequeñas
áreas pequeñas dentro de las grandes, y a cada una de los
dos tamaños de parcela le corresponde un tratamiento.
Por ejemplo, ciertas variedades de cultivo se podían sembrar
en áreas diferentes (parcelas grandes), una variedad en cada
parcela. Luego cada área se divide en k parcelas pequeñas y
cada una de estas puede ser tratada con un tipo de fertilizante
diferente.
La variedad del cultivo es el tratamiento de la parcela grande y
el fertilizante el de la parcela pequeña.
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Parcelas Divididas
En general, el diseño de parcelas divididas se utiliza cuando
algunos factores requieren u.e. grandes, mientras que otros
factores las requieren más pequeñas.
Alternativamente, algunas veces encontramos que la
aleatorización completa no es factible por que es más difícil
cambiar los niveles de algunos factores, por lo que los factores
difíciles van a las parcelas grandes, mientras que los fáciles
van a las pequeñas.
Ejemplo de hornos y recetas de pastel.
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Parcelas Divididas
La clave para construir los modelos de los diseños de parcelas
divididas es identificar los diferentes tamaños de las unidades
experimentales e identificar sus correspondientes estructuras
de diseño y de tratamientos.
Las suposiciones de los modelos de parcelas divididas son las
usuales, en el sentido de que los términos de error para cada
una de los tamaños de ue se distribuyen independientemente
como normales con media cero y una varianza propia.
A continuación se muestran algunos ejemplos tomados de
varios libros.
Diseño de experimentos – p. 5/24
Ejemplo 1 parcelas divididas
Ejercicio 6, cap 14 Kuehl.
Un investigador de una compañía de mariscos quiere estudiar
el crecimiento bacterial en ostiones y mejillones sujetos a tres
temperaturas de almacenamiento.
Están disponibles nueve unidades de enfriamiento. Se
selecionaron aleatoriamente tres unidades para cada una de
las temperaturas.
Los ostiones (1) y los mejillones (2) se guardaron por dos
semanas en cada uno de las unidades de enfriamiento,
después de lo cual se contó el número de bacterias en una
muestra de ostiones y mejillones. Se registró el logaritmo del
conteo bacterial.
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Ejemplo 1
Unidad
1
1
2
2
3
3
4
4
5
Temp (◦ C)
0
0
0
0
0
0
5
5
5
Marisco
1
2
1
2
1
2
1
2
1
y
3.6882
0.3565
1.8275
1.7023
5.2327
4.5780
7.1950
5.0169
9.3224
Unidad
5
6
6
7
7
8
8
9
9
Temp(◦ C)
5
5
5
10
10
10
10
10
10
Marisco
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y
7.9519
7.4195
6.3861
9.7842
10.1352
6.4703
5.0482
9.4442
11.0329
ParcelasDivididasMariscos.jmp
Diseño de experimentos – p. 7/24
Ejemplo 1
Este es un experimento de parcelas divididas en diseño
completamente al azar.
El modelo para este experimento es:
yijk = µ + Ti + Uj(i) + Mk + (T M )ik + ǫijk
i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 k = 1, 2
donde:
Ti es el efecto de la temperatura (tratamiento de parcela
grande)
Uj(i) es el error de parcela grande (aleatorio)
Mk es el efecto de marisco (tratamiento de parcela pequeña)
(T M )ik interacción temperatura x marisco
ǫijk error de parcela pequeña (aleatorio)
Diseño de experimentos – p. 8/24
Ejemplo 1
Componente
Temperatura
Error (a)=U(T)
Marisco
TxM
Error(b)
E(CM )
2
2
+
6θ
σ 2 + 2σU
T
(T )
2
σ 2 + 2σU
(T )
2
σ 2 + 9θM
σ 2 + 3θT2 M
σ2
Las F se construyen de la siguiente manera:
Temperatura:
Marisco:
T x M:
CMT /CMU (T )
CMM /CM E
CMT M /CM E
Diseño de experimentos – p. 9/24
Ejemplo 1
F.V.
Temperatura
Error (a)
Marisco
TxM
Error (b)
Total
gl
2
6
1
2
6
17
SS
107.66
44.05
3.71
2.65
5.59
163.66
CM
53.83
7.34
3.71
1.32
0.93
F
7.33
p-value
0.0245
3.98
1.42
0.0929
0.3125
Las estimaciones de los componenetes de varianza con el
método de Momentos son:
Componente Estimación % de varianza total
U(T)
3.21
77.48
Error (b)
0.93
22.53
Total
4.14
100.00
Diseño de experimentos – p. 10/24
Ejemplo 2 parcelas divididas
El dueño de una fábrica de papel está interesado en estudiar
el efecto de tres métodos diferentes de preparar la pulpa y
cuatro diferentes temperaturas de cocinado (horneado) para
la pulpa, en la resistencia del papel.
El investigador decide correr tres repeticiones de este
experimento factorial, por lo que necesita (3 x 4 x 3) 36
observaciones.
Sin embargo, la planta es capaz de hacer solamente 12
corridas por día, entonces el investigador decide correr una
repetición del factorial completo en cada uno de los 3 días
necesarios y considerar los días o repeticiones como bloques.
Diseño de experimentos – p. 11/24
Ejemplo 2
El experimento se llevó a cabo, en cada uno de los días, de la
siguiente manera:
Se produce un lote de pulpa con uno de los tres métodos bajo
estudio. Este lote de pulpa se divide en cuatro muestras y
cada muestra se cocina con una de las cuatro temperaturas.
Entonces, se produce el segundo lote de pulpa usando otro de
los tres métodos, el cual también se divide en cuatro muestras
que se cocinan con las cuatro temperaturas. El proceso se
repite usando un lote de pulpa producido por el tercer método.
Los datos son:
Diseño de experimentos – p. 12/24
Ejemplo 2
Pulpa
Temp ◦ F
200
225
250
275
Bloque 1
1
2
3
Bloque 2
1
2
3
Bloque 3
1
2
3
30
35
37
36
28
32
40
41
31
37
41
40
34
41
38
42
29
26
33
36
31
36
42
40
31
30
32
40
35
40
39
44
32
34
39
45
Inicialmente podríamos considerar que es un experimento
factorial con 3 métodos de preparación (A) y cuatro niveles de
temperatura (B) en bloques al azar.
Diseño de experimentos – p. 13/24
Ejemplo 2
Si este fuera el caso entonces el orden de experimentación
dentro del bloque debería ser completamente aleatorio.
Esto es, dentro de un bloque (día), deberíamos seleccionar
aleatoriamente una combinación de niveles (tratamiento) (un
método de preparación y una temperatura) y obtener una
observación, seleccionamos aleatoriamente otro tratamiento y
obtenemos una segunda observación, y así, sucesivamente,
hasta que se tengan las 12 observaciones en el bloque.
Sin embargo, el investigador no obtuvo sus datos de esa
manera. Él hizo un lote de pulpa (con alguno de los métodos)
y obtuvo las observaciones para las 4 temperaturas con el
mismo lote de pulpa. Dada la economía de preparar los lotes y
el tamaño de los lotes, ésta es la única forma factible de hacer
el experimento.
Diseño de experimentos – p. 14/24
Ejemplo 2
Cada bloque se divide en tres partes llamadas parcelas
grandes, y los métodos de preparación se llaman tratamientos
principales o de parcela grande.
Cada parcela grande se divide en cuatro partes llamadas
parcelas pequeñas, y se asigna al azar una temperatura a
cada una. La temperatura se llama tratamiento de la parcela
pequeña.
El modelo lineal para este diseño en parcelas divididas es:
yijk = µ + τi + βj + (τ β)ij + γk + (τ γ)ik + (βγ)jk + (τ βγ)ijk + ǫijk
Diseño de experimentos – p. 15/24
Ejemplo 2
donde
µ es la media general
τi efecto de método de preparación de la pulpa (i = 1, 2, 3)
βj efecto del bloque (j = 1, 2, 3)
(τ β)ij error de parcela grande
γk efecto de temperatura (k = 1, 2, 3, 4)
(τ γ)ik y (βγ)jk interacciones
(τ βγ)ijk error de parcela pequeña
ǫijk no estimable
parcelasdiv.jmp
Diseño de experimentos – p. 16/24
Ejemplo 2
Las esperanzas de cuadrados medios son:
Pulpa
Bloque
PxB
Temp
PxT
BxT
PxBxT
Error
Factor
τi
βj
(τ β)ij
γk
(τ γ)ik
(βγ)jk
(τ βγ)ijk
ǫijk
E(CM )
σ 2 + 4στ2β + 12στ2
σ 2 + 12σβ2
σ 2 + 4στ2β
2
σ 2 + 3σβγ
+ 12σγ2
σ 2 + στ2βγ + 3στ2γ
2
σ 2 + 3σβγ
σ 2 + στ2βγ
σ2
Diseño de experimentos – p. 17/24
Ejemplo 2
Las estadísticas F se construyen de la siguiente manera:
Pulpa:
Temperatura:
P x T:
B x T:
PxBxT:
CMP /CMP xB
CMT /CMBxT
CMP xT /CMP xBxT
no hay prueba
no hay prueba
Diseño de experimentos – p. 18/24
Ejemplo 2
FV
Pulpa
Bloque
PxB=error(a)
Temp
PxT
BxT
PxBxT=error(b)
Error
Total
gl
2
2
4
3
6
6
12
0
35
SS
128.39
77.56
36.28
434.08
75.17
20.67
50.83
CM
64.19
38.78
9.07
144.69
12.53
3.44
4.24
F
7.08
p-value
0.049
42.00
2.96
0.0002
0.052
822.97
Diseño de experimentos – p. 19/24
Ejemplo 3
Ejemplo 24.1 Milliken & Johnson
Los datos son los rendimientos en libras de dos variedades de
trigo (B) sembradas en cuatro diferentes métodos de
fertilización.
El área fue dividida en dos bloques, cada uno conteniendo
cuatro parcelas. Cada uno de los cuatro fertilizantes se
asignaron aleatoriamente a una de las parcelas grandes en
cada bloque.
Entonces, el diseño experimental para las parcelas grandes
consistió en un bloques al azar y un solo factor (Fertilizante),
con dos bloques y en cada uno cuatro parcelas grandes.
Diseño de experimentos – p. 20/24
Ejemplo 3
Cada parcela grande se dividió en dos partes (parcelas
pequeñas) y se asignó aleatoriamente una variedad de trigo a
cada parcela pequeña dentro de la parcela grande.
El diseño experimental de las parcelas pequeñas es un
bloques al azar con un solo factor (Variedad), con ocho
bloques y en cada uno dos parcelas pequeñas.
El modelo para este experimento es:
yijk
= µ + Fi + Bj + eij } parcela grande
+ Vk + F Vik + ǫijk } parcela pequeña
donde i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2; k = 1, 2 y
eij ∼ N ID(0, σe2 ) ǫijk ∼ N ID(0, σǫ2 )
Diseño de experimentos – p. 21/24
Ejemplo 3
Las esperanzas de cuadrados medios son:
FV
Fi
Bj
eij
Vk
F Vik
ǫijk
Total
gl
3
1
3
1
3
4
15
E(CM )
σ 2 + 2σe2 + 4σF2
2
σ 2 + 8σB
σ 2 + 2σe2
σ 2 + 8σV2
σ 2 + 2σF2 V
σ2
Diseño de experimentos – p. 22/24
Ejemplo 3
Tabla de Análisis de Varianza
FV
Fertilizante
Bloque
FxB-error(a)
Variedad
FxV
Error-error(b)
Total
gl
3
1
3
1
3
4
15
SC
40.19
131.103
6.93
2.25
1.55
8.43
190.45
CM
13.39
131.103
2.31
2.25
0.52
2.11
F
5.80
p
0.0914
1.07
0.25
0.3599
0.8612
Diseño de experimentos – p. 23/24
Ejemplo 3
Usando el método de momentos para estimar los
componentes de varianza de los dos errores, tenemos:
CMerror(a)
= σ 2 + 2σe2
CMerror(b)
= σ2
Por lo tanto,
σ̂ 2
σ̂e2
= CMerror(b) = 2.11
=
CMerror(a) − σ̂ 2
= 0.1
2
ej24_1_messy.jmp
Diseño de experimentos – p. 24/24