ЛЕКЦИЯ 1
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
1.
2.
3.
4.
Содержание
Траектория и уравнение движения точки.
Скорость и ускорение.
Годограф скорости.
Кинематика точки в криволинейных
Коэффициенты Ламе. (самостоятельно)
координатах.
1. Траектория и уравнение движения точки.
Траекторией точки называется линия, описываемая движущейся
точкой в пространстве.
Если траектория является прямой линией, то движение точки
называется прямолинейным. В противном случае движение называется
криволинейным. Движение точки можно определить тремя способами:
векторным, координатным и естественным.
Координатный способ задания движения.
Этот способ определения движения состоит в том, что задаются
координаты точки как функции времени. Например, в декартовых
координатах следует задать три зависимости:
x  x(t ),
y  y (t ),
z  z (t )
Уравнения представляют собой одновременно параметрические
уравнения траектории точки.
Для нахождения уравнений движения в координатной форме
необходимо из уравнений исключить время и получить зависимость
вида:
1 ( x, y)  0, 2 ( y, z )  0,
Эти уравнения определяют поверхности, линия пересечения
которых является траекторией.
Векторный способ задания движения.
Радиус-вектор r движущейся точки дается как функция времени
r=r(t), а связь между радиус-вектором и декартовыми координатами
точки выражается как:
r (t )  x(t )i  y (t ) j  z (t )k
i, j, k - орты осей координат.
Естественный способ задания движения.
В этом случае движение точки определяется уравнением
  f (t )
σ - криволинейная координата, отсчитываемая вдоль дуги от
некоторой начальной точки О на траектории.
При этом способе предполагается, что траектория движущейся
точки М известна.
Криволинейная координата - это длина дуги, отсчитываемая в
одну сторону от начальной точки О. При отчете в одну сторону от точки О
координата положительна, при расчете в другую сторону - отрицательна.
Системы координат.
Полярная система координат - двухмерная система координат, в
которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами полярным углом и полярным радиусом.
   (t ),    (t )
Формулы перехода от декартовых координат к декартовым:
 x   cos( )

 y   sin( )
Цилиндрической системой координат - называют трёхмерную
систему координат, являющуюся расширением полярной системы
координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой
), которая задаёт высоту точки над плоскостью.
Для перехода от цилиндрических координат к прямоугольным
декартовым и для обратного перехода:
  x2  y2

y

  arctg
x

z  z

 x   cos( )

 y   sin( )
z  z

Сферическими координатами называют систему координат для
отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях
посредством задания трёх координат (r, θ, φ), где r — кратчайшее
расстояние до начала координат, а θ и φ — зенитный и азимутальный
углы соответственно.
Для перехода от сферических координат к прямоугольным
декартовым и обратного перехода:

  x2  y 2  z 2



z

  arccos  2
2
2

 x y z

  arctg  y 
 

x

 x   sin( ) cos( )

 y   sin( ) sin( )
 z   cos( )





Для перехода из одного вида координат к естественному
уравнению необходимо найти уравнение траектории точки путем
исключения времени из уравнения движения.
Переход от уравнений движения в декартовых координатах к
естественному уравнению движения:
Пусть
координатах:
уравнение
движения
x  x(t ),
точки
y  y (t ),
даны
в
декартовых
z  z (t )
Для нахождения закона движения в естественных координатах
пользуются следующими известными формулами:
 d  ds 
 dx    dy    dz 
2
2
2
 x '  t   y,  t   z '  t  ;
2
2
2
2
2
2
    x '  t   y,  t   z '  t  dt  C ;


Переход от уравнений движения в полярных и цилиндрических
координатах к естественному уравнению движения:
Для полярных координат:
   t  ;
   t  ;
2
 d 
   ds    2   '2 d  C    2  
 d  C ;
 d 
После интегрирования заменяем угол φ его значением через
время и находим окончательный закон движения.
Для цилиндрических координат:
   t  ;
   t  ;
z  z t  ;
Воспользуемся выражением для дифференциала и формул
перехода от декартовых координат к цилиндрическим:
 x   cos( )
2
2
2

ds   dx    dy    dz  ;  y   sin( ) ;
z  z

d   cos( ) 
dx


dt 
dt    cos( )    sin( )  dt ;
dt
dt


d   sin( ) 
dy


dy 
dt 
dt    sin( )    cos( )  dt ;
dt
dt


dz
dz  dt  z dt ;
dt
dx 
2


ds   2       z 2 dt ;


2
   ds    2       z 2 dt


Переход от уравнений движения в сферических координатах к
естественному уравнению движения:
Для цилиндрических координат:
   t  ;
   t  ;
   t  ;
Учитывая, что:
du  x 
dv  x 
dw  x 
d
 uw
 uv
u  x  v  x  w  x    vw
dx
dx
dx
dx
Аналогично, как и при сферических координатах получим:
2
2
   ds    2          sin   dt




2. Скорость и ускорение.
Скорость и ускорение точки в декартовых и естественных
координатах.
Скорость точки есть производная по времени от радиуса-вектора
r, определяющего ее положение в пространстве. Скорость точки
характеризует изменение ее положения во времени:
v
dr
 vx i  v y j  vz k
dt
i, j, k - орты осей x, y, z. Проекции скорости на оси неподвижных
декартовых координат:
vx 
dx 
dy 
dz 
 x, v y 
 y , vz 
z
dt
dt
dt
Модуль скорости задается формулой:
v  vx2  v y2  vz2
Направление скорости определяется косинусами:
 
cos v , x 
 
 
v
vx
, cos v , y  y ,
x
y
cos v , z 
vz
z
Ускорение точки есть производная скорости по времени или
вторая производная от радиуса-вектора r по времени. Ускорение точки
характеризует изменение ее положения во времени:
a
dv d 2 r

 ax i  a y j  az k
dt dt 2
Проекции ускорения на оси неподвижных декартовых координат:
ax 
dvx  
 vx  x ,
dt
ay 
dv y
dt


 v y  y,
az 
dvz  
 vz  z
dt
Модуль ускорения задается формулой:
a  ax2  a y2  az2
Направление скорости определяется косинусами:
 
cos a, x 
wx
,
x
 
cos a, y 
wy
y
,
 
cos a, z 
wz
z
Естественными осями координат, или натуральным триэдром
траектории, называется ортогональная (прямоугольная)
система
координат, состоящая из осей:

касательной, направленной в сторону возрастания
дуговой координаты,

главной нормали, направленной в сторону вогнутости
траектории,
бинормали, направленной так, чтобы три оси составляли правую
систему координат
Если уравнение заданного в естественной форме, то скорость
точки равна:
v
d
  v 
dt
τ - орт касательной, направленной в сторону увеличения σ.
Проекция скорости на касательную:
v 
d 

dt
При криволинейном движении ускорение точки определяется как
векторная сумма:
a  a  an
Проекция ускорения на касательную задается формулой:
a 
dv
dt
a  a 
или
v a v a
v a
 x x y y
v
v
Касательное ускорение характеризует изменение скорости. Оно
равно нулю, когда скорость неизменна с течением времени.
Модуль нормального ускорения определяется:
an 
v2

Модуль ускорения вычисляется как:
2
2
 v2 
 dv   v 
a  a2  an2         v 2   
 dt    

2
Направляющие
выражениям:
косинусы
 

v
cos a ,   ,
a
ускорения
 
cos a , n 
2
определяются
по
v2
a
Скорость и ускорение точки в полярных и цилиндрических
координатах.
При координатах:
   t  ;
   t 
Скорость:
v     p
 - орт, направленный по радиус-вектору;
 - единичный вектор, направленный в сторону увеличения угла
перпендикулярно радиус-вектору.
Проекции
скорости
на
трансверсальное:
v   ;
Модуль скорости равен:
радиальное
направление
и
v   .
v  v2  v2   2     .
2
Ускорение
координатах:
точки
при
Проекции
трансверсальное:
ускорения
заданных
движениях
в
полярных
a      2     2     p
на
радиальное
направление
и
  2 
 dt
Угол образованный ускорением с положительным радиальным
направлением:
a
2   
tg   
a
   2
a     2 ;
a  2    
Для цилиндрических координат:
   t  ;
   t  ;
1 d
z  z t  ;
v      zk ;
a      2     2     p  zk
Скорость и ускорение точки в сферических координатах.
   t  ;
v   ,
   t  ;
v   ,
   t  ;
v   sin    ;
v   e   e   sin    e ;


a     2   2 sin 2  e 




   2    sin  cos  e   sin   2  cos  e
2
3. Годограф скорости.
Годографом скорости называется геометрическое место концов
векторов скорости движущейся точки, отложенных от некоторого
постоянного полюса
Если уравнение движения задано:
x  x(t ),
y  y (t ),
z  z (t )
то проекция скорости на неподвижные декартовы оси координат



vx  x, vy  y, vz  z
Решая эти три уравнения совместно с целью исключить из них
время получим уравнение годографа скорости.
ЛЕКЦИЯ 2
ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
1.
2.
Содержание
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Преобразование простейших движений.
1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Простейшими движениями тела являются поступательное
движение и вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Поступательным движением тела называется такое движение,
при котором любая прямая, проведенная в теле, остается во все время
движения параллельна своему первоначальному положению.
При вращении тела вокруг неподвижной оси точки, лежащие на
оси вращения, неподвижны, остальные точки описывают окружности.
При вращении тела вокруг неподвижной оси криволинейная
координата любой точки, движущейся по окружности, являющейся ее
траекторией определяется:
   0  h
σ - дуговая координата;
σ0 - начальное значение дуговой координаты;
h - расстояние от оси вращения до точки;
φ - угол поворота твердого тела.
Угол поворота связан со временем зависимостью:
   t 
 рад
называемой уравнением вращения твердого тела вокруг
неподвижной оси.
Угловая скорость твердого тела характеризует быстроту
изменения угла поворота твердого тела.
Угловая скорость - вектор направленный по оси в ту сторону, с
которой видно вращение против часовой стрелки.
Проекция угловой скорости на ось z определяется:
d
z 
   рад 
с

dt

Угловая скорость ω связана с числом оборотов в минуту n
формулой:
2 n
n

рад / с
60
30
Угловое ускорение - вектор, совпадающий по направлению с
вектором угловой скорости. Угловое ускорение характеризует быстроту
изменения угловой скорости.
Проекция углового ускорения на ось z выражается:
d
d 2
 рад 
z  z  2
2
dt

dt
с 
Если угловая скорость постоянна, то вращение называют
равномерным:
  0   z t
Если угловое ускорение величина постоянная, то движение
называют равнопеременным:
z  0 z   z t;
  0   z t 
 zt 2
2
.
Если знаки угловой скорости и углового ускорения совпадают, то
движение равноускоренное, в противном случае - равнозамедленное.
Проекция скорости точки твердого тела на касательную к
окружности, направленную в сторону возрастания дуговой координаты σ,
задается выражением:
d
V 
 z h
dt
Скорость точки вращающегося тела равна:
V    r 
где радиус вектор r проведен из любой точки, лежащей на оси
вращения.
Ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси определяется по формулам:
dV d   r   d  
dr 
a


 r         r     V  ;
dt
dt
 dt
 
a    r  ;
dt 
an    V  .
Модуль нормального ускорения равен:
an 
V2
a 
dV
  z h.
dt
  2 h.

Проекция касательного ускорения на касательную равна:
Модуль полного ускорения:
a  a2  an2  h  4   2
Угол между полным ускорением и перпендикуляром,
проведенным из точки к оси вращения, определяется как:
tg 
a

 z
an  2
2. Преобразование простейших движений.
Под преобразованием простейшего движения следует понимать:

преобразование вращательного движения в поступательное
(или наоборот);

преобразование вращения вокруг одной неподвижной оси во
вращение вокруг другой оси;

преобразование одного поступательного движения в другое
поступательное.
Преобразование одного вращательного движения в другое
происходит посредством зубчатого или фрикционного зацепления или
ременной (цепной) передачей.
1 r2 z2 d 2
  
2 r1 z1 d1
ЛЕКЦИЯ 3
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.
1.
2.
3.
Содержание
Абсолютное, переносное и относительное движения точки.
Сложение движений. Сложение скоростей.
Сложение ускорений.
Кинематика колебаний.
1. Абсолютное, переносное и относительное движения точки.
Сложение движений. Сложение скоростей.
Движение точки относительно неподвижных осей координат
называется абсолютным движением.
Движение по отношению к подвижным осям координат x1, y1, z1
называется относительным движением.
Переносным называется движение относительно неподвижной
системы осей x, y, z точки подвижной системы осей x1, y1, z1.
Величины, относящиеся к абсолютному движению будем
обозначать с индексом "a", к относительному "r", к переносному "е".
Абсолютное, относительное и переносное положение точки М
можно записать как:
ra  re  rr ;
ra  xi  yj  zk ;
re  xe i  ye j  ze k r ;
rr  xr i  yr j  zr k .
Тогда уравнения абсолютного положения можно записать в виде:
x  xe  xr  cos  x, x1   yr  cos  x, y1   zr  cos  x, z1  ;
y  ye  xr  cos  x, x1   yr  cos  y, y1   zr  cos  y, z1  ;
z  ze  xr  cos  z , x1   yr  cos  z, y1   zr  cos  z, z1  .
Поскольку, координаты зависят от времени, то исключив данную
переменную можно найти уравнение траектории точки М.
Абсолютная скорость определяется как векторная сумма
переносной и относительной скоростей:
Va  Ve  Vr .
Зависимости между проекциями абсолютной, относительной и
переносной скоростями определяются:
Vax  Vex  Vrx ;
Vay  Vey  Vry .
Модуль скорости и направляющие косинусы:
Va  Vax2  Vay2 ;
cos Va , x  
Vax
,
Va
cos Va , y  
Vay
Va
.
2. Сложение ускорений.
Зависимость между ускорениями точки в абсолютном,
переносном и относительном движениях определяется теоремой
сложения ускорений или теоремой Кориолиса:
aa  ae  ar  ac .
где αc - кориолисово ускорение:
ac  2 e  Vr  ;


ac  2eVr sin e ,Vr .
где:
e - вектор угловой скорости переносного движения;
Vr - вектор относительной скорости точки.
Направление вектора кориолисова ускорения можно определить
по векторному правилу или по правилу Жуковского.
В том случае, если подвижная система координат движется
криволинейно, то абсолютное ускорение можно найти как:
aa  ae  aen  ar  arn  ac .
При применении теоремы о сложении скоростей справедлив
метод проекций:
aax  ae x  aenx  ar x  arnx  acx ;
aay  ae y  aeny  ar y  arny  acy ;
aaz  ae z  aenz  ar z  arnz  acz .
Модуль абсолютного ускорения и направляющие косинусы
определяются по формулам:
aa  aax2  aay2  aaz2 ;


cos aa , x 
aax
,
aa


cos aa , y 
aay
aa
,
 
cos aa , z 
aaz
.
aa
3. Кинематика колебаний.
Колебаниями называется такое изменение некоторой величины,
при которой оно последовательно возрастает и убывает.
Рассмотрим окружность радиуса b. Радиус ОА вращается
равномерно вокруг центра О с угловой скоростью k. Положение ОА0 в
начальный момент времени t=0 определяется углом β. Тогда угол
поворота радиуса ОА определяется формулой:
  kt  
Уравнение движение на ось x:
x  b sin  kt   
Данное уравнение выражает гармонические колебания, где:
b - амплитуда наибольшего удаления точки от ее среднего
положения;
φ - фаза колебаний;
β - начальная фаза колебаний;
Периодом колебаний называется промежуток времени, в течении
которого точка совершает одно полное колебание и равен:
2
T
k
Обратная величина называется частотой:
v
1
k

T 2
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях равно:
Vx  x  bk cos  kt    ;
ax  x  bk 2 sin  kt    ;
ЛЕКЦИЯ 4
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
1.
2.
3.
4.
5.
Содержание
Уравнение плоского движения твердого тела. Уравнения
движения точки плоской фигуры.
Скорости точек плоской фигуры.
Ускорение точек плоской фигуры.
План скоростей и план ускорений.
Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей.
1. Уравнение плоского движения твердого тела. Уравнения
движения точки плоской фигуры.
Плоским (плоскопараллельным) называется движение твердого
тела, при котором траектории всех точек тела лежат в плоскости.
Всякое перемещение можно разложить на поступательное
движение некоторого полюса тела О и вращательное движение вокруг
этой точки.
Выбирая неподвижную систему координат Oxy и систему
координат Оx1y1, жестко связанную с фигурой, с началом в полюсе О1 для
плоского движения тела задаемся следующими уравнениями:
xO1  xO1  t  , yO1  yO1  t  ,    t  .
Уравнения движения произвольной точки М плоской фигуры
имеют вид:
x  xO1  x1 cos   y1 sin  ,
yO1  yO1  x1 sin   y1 cos .
где:
координат.
x, y - координаты точки М в неподвижной системе
xО1 , yО1 - координаты полюса О1;
x1 , y1 - координаты точки М в системе координат жестко
связанных с плоской фигурой;
φ - угол поворота подвижной системы координат.
Определение положения центра конечного поворота плоской
фигуры.
Для определения центра конечного поворота необходимо
выбрать две произвольные точки плоской фигуры А и В. Пусть после
перемещения они оказались в положениях А1 и В1. Соединяя эти точки
прямыми линии найдем точки D и E. Точка пересечения срединных
перпендикуляров О и является положением центра конечного поворота
плоской фигуры.
2. Скорости точек плоской фигуры.
Скорости точек плоской фигуры можно определить тремя
методами:
 аналитический;
 графический (план скоростей);
 графоаналитический.
Аналитический метод.
При данном методе необходимо, что бы было заданы уравнения
движения плоской фигуры:
xO1  xO1  t  , yO1  yO1  t  ,    t  .
Тогда, проекции скорости точки М на неподвижные оси
координат относительно неподвижного центра О определятся:
Vx  VO1x   z  y  yO1  ;
Vy  VO1 y   z  x  xO1 
Проекции точки М на подвижные координаты определятся как:
Vx1  VO1x cos   VO1 y sin   z y1;
Vy1  VO1x sin   VO1 y cos   z x1.
Модуль скорости и направляющие косинусы определяются:
V  Vx2  Vy2  Vx21  Vy21 ;




Vx
,
V
V
cos V , y  y ,
V
cos V , x 
Графоаналитический метод.
Первый графоаналитический




Vx1
;
V
V
cos V , y1  y1 .
V
cos V , x1 
способ
основан
на
формуле
распределения скоростей:
V  VO1    r1.
где:
ω - угловая скорость плоской фигуры;
VO1 - скорость полюса О1;
r1 - радиус вектор, проведенный из полюса О1 в точку М.
Многие задачи могут быть решены при помощи теоремы о
равенстве проекций.
Второй графоаналитический способ основан на использовании
мгновенного центра скоростей этой фигуры.
Мгновенным центром скоростей называется точка Р скорость
которой в каждый момент времени равна нулю при непоступательном
движении. Единственным исключением является тот случай, когда ω=0.
Выбрав мгновенный центр за полюс получим:
V    r1.
где:
V - искомая скорость произвольной точки М;
Скорости мгновенных скоростей всех точек фигуры относительно
неподвижного полюса Р можно охарактеризовать как:
V
VA1 VA 2

 ...  Ai  
A1 P A2 P
Ai P
Методы нахождения мгновенного центра скоростей:

известны скорость точки М и угловая скорость фигуры,
тогда мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре,
восстановленном к скорости точки М, на расстоянии:
PM 
VM


известны направления скоростей двух точек А и В
плоской фигуры, тогда мгновенный центр скоростей находится в точке
пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А и В к
скоростям этих точек.

скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны
друг к другу, перпендикулярны отрезку АВ, направлены в одну сторону и
не равны - мгновенный центр является пересечением продолжения АВ и
на прямой, проходящей через концы известных векторов. Для поиска
мгновенного центра скорости необходимо знать модули скоростей точек
А и В.

скорости двух точек А и В плоской параллельной фигуры
параллельны друг к другу и направлены в различных направлениях мгновенный центр лежит на пересечении отрезка АВ и прямой
проходящей через концы этих векторов.

плоская фигура катится без скольжения по неподвижной
кривой, мгновенный центр находится в точке соприкосновения фигуры с
кривой.
Если скорости двух точек равны друг к другу, параллельны и
направлены в одном направлении, то говорят что мгновенный центр
отсутствует или лежит на бесконечности. Угловая скорость плоской
фигуры в данный момент времени равна нулю.
Можно определить положение мгновенного центра скоростей
аналитически и в неподвижной системе координат его координаты
равны:
xP  xO1 
VO1 y
,
y y 
VO1x
.
P
O1


В подвижной системе координат:
V sin   VO1 cos 
V cos   VO1 sin 
x1P  O1
,
y1P  O1
.


Подвижной
(неподвижной)
центроидой
называется
геометрическое место точек мгновенных центров скоростей плоской
фигуры, отмеченных на подвижной (неподвижной) плоскости.
3. Ускорение точек плоской фигуры
Аналогично, как и для скорости,
определения ускорения:
 аналитический;
 графический (план скоростей);
 графоаналитический.
существует
3
метода
Аналитический метод.
Проекции ускорения любой точки плоской
неподвижные декартовые координаты:
ax  aO1x    y  yO1    2  x  xO1  ;
фигуры
на
a y  aO1 y    x  xO1    2  y  yO1  .
Проекции ускорения точки М на подвижные оси координат
относительно центра неподвижного О определяются:
ax1  aO1x1   y1   2 x1 ;
a y1  aO1 y1   x1   2 y1.
где:
αx1, αy1 - проекции ускорения точки М на подвижные оси
x1, y1.
αO1x1, α O1y1 -проекция ускорения полюса О1 на подвижные
оси x1, y1.
Модуль скорости и направляющие косинусы определяются:
a  ax2  a y2  ax21  a y21 ;
ax
,
a
a
cos  a, y   y ,
a
cos  a, x  
Графоаналитический метод.
Первый графоаналитический
ax1
;
a
a
cos  a, y1   y1 .
a
cos  a, x1  
способ
основан
на
решении
уравнения:

n
aM  aO1  aMO
1  aMO1
где:
αМ - полное ускорение точки М плоской фигуры;
αО1 - ускорение полюса О;
αМО1τ , αМО1n - тангенсоальное и нормальное ускорения при
вращении фигуры;

aMO
1    r1
n
aMO1   2 r1
где:
r1 - радиус вектор точки М, проведенной из подвижного
полюса О1.
Ускорение точки М относительно О1:

n
aMO1  aMO
1  aMO1
4. План скоростей и план ускорений
План скоростей - это диаграмма, позволяющая графически
определить скорости любой точки рассматриваемой плоской фигуры.
План скоростей может быть построен если:

известна скорость точки А плоской фигуры и направление
скорости другой точки В;

известна скорость точки А плоской фигуры и мгновенная
угловая скорость фигуры.
Пусть фигура совершает плоское движение. В данный момент
скорость точки А равна VA, направление скорости точки В задано
штриховой линией перпендикулярной звену CD. Для построения плана
скоростей отложим из произвольного полиса O отрезок оα равный VA. Из
точки О проводим прямую параллельную направлению скорости точки В,
а из точки α - прямую, перпендикулярную отрезку АВ. Пересечение этих
прямых определяет точку b на плане скоростей. Таким образом получаем,
что:
ob  VB ,
ab  VAB    r1
ob  oa  ab
 мгн

 r  AB  ;
VB  VA  VAB
V
ab
 AB 
AB AB
План ускорений - это диаграмма, позволяющая графически
определить ускорение любой точки рассматриваемой плоской фигуры.
При построении плана ускорений удобно пользоваться формулой
распределения ускорений при плоскопараллельном движении:

n
aВ  a А  aВА
 aВА
 мгн 

aВА
AB
5. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей.
При сложении вращения тела возможны 3 случая происходящих
вокруг параллельных осей:

угловые скорости двух различных точек системы
направлены в одном направлении, тогда результирующая угловая
скорость вращения тела вокруг неподвижного звена определиться как:
  1  2 ;
AO 2
 .
BO 1

угловые скорости двух различных точек системы
направлены в противоположных направлениях, тогда результирующая
угловая скорость вращения тела вокруг неподвижного звена
определиться как:
  1  2 ;
AO 2

.
BO 1

угловые скорости направлены в противоположных
направлениях и равны по модулю, тогда результирующая угловая
скорость равна нулю; в этом случае тело совершает поступательное
движение, скорости всех точек равны и направлены перпендикулярно
прямой АВ.
V  AO  1  BO  2 .
Планетарной зубчатой передачей - называется передача, у
которой одно колесо неподвижно, а остальные колеса приводятся в
движение кривошипом, ось вращения которого совпадает с осью
неподвижного колеса.
В том случае если колесо 1 вращается вместе с кривошипом, то
такая зубчатая передача называется дифференциальной.
При решении задач на угловые скорости планетарных и
дифференциальных передач обычно применяют формулы Виллиса. В
случае если зацепление внешнее, то выражение в формулах берется со
знаком "минус", для внутреннего - "плюс".
Например:
1z   z
r
z
 2  2;
2 z   z
r1 z1
r
z
2 z   z
 3  3;
3 z   z
r2 z2
3 z   z
r
z
 4  4;
4 z   z
r3 z3
В том случае, если в данных выражениях имеем 3 неизвестных, то
легко найти ее решения. В данном выражении Ω - характеризует угловую
скорость системы.
ЛЕКЦИЯ 5
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ И
СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ. ОБЩИЙ
СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
1.
2.
Содержание
Определение скоростей и ускорений точек твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной точки.
Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.
1. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной точки.
Выберем неподвижную систему координат xyz с началом в
неподвижной точке О и подвижную систему координат ξηζ с тем же
центром, жестко связанную с твердым телом.
Линия OJ пересечения плоскостей xy и ξη, называется линией
узлов.
Угол прецессии ψ измеряется от неподвижной оси х до линии
узлов OJ и считается положительным, если поворот оси z виден против
хода часовой стрелки. Угол прецессии лежит в неподвижной плоскости xy.
Угол чистого или собственного вращения φ расположен в
подвижной плоскости ξη отсчитывается от линии узлов до подвижной
оси ξ. Положителен, если виден против хода часовой стрелки с конца оси
ζ.
Угол нутации θ отсчитывается от оси z к оси ζ и считается
положительным, если виден поворот против часовой стрелки с линии
узлов OJ.
Т.о. движение твердого тела при вращении около неподвижного
центра определяются заданием углов Эйлера:
  t  ,
   t  ,
   t  .
Распределение скоростей в твердом теле, вращающегося около
неподвижной точки, определяется формулой:
i
j
k
V    r  x  y
x
y
 z    y z   z y  i    z x   x z  j   x y   y x  k
z
Vy
Vx
Прямая, по которой направлена
называется мгновенной осью.
Модуль скорости равен:
угловая
Vz
скорость
тела,
 
V    r  sin , r
Скорость на подвижные оси определиться как:
i
V    r  

j
k
        i        j      k
V
V
V
 
Где, координаты ξ, η, ζ остаются неизменными, в отличие от
координат x, y, z зависящие от времени.
Проекции угловой скорости на неподвижные и подвижные оси
получены впервые Леонардом Эйлером и носят его имя:
x   sin sin    cos

 y   cos sin    sin ;

z   cos  
   sin  sin    cos 

   sin  cos    sin  .

   cos   
Модуль мгновенной угловой скорости:
   2   2   2  2 cos  ;
   x2   y2   z2  2  2  2 .
Ускорение:
   x2   y2   z2   2  2   2 .
Направляющие косинусы определятся как:
cos , s  
s
,

cos   , s  
s  x, y, z,  , ,  .
s
.

Проекции ускорения точки на подвижные и неподвижные оси
равны:
 a x   y z   z y   x   x x   y y   z z    2 x,


2
 a y   z x   x z   y  x x   y y   z z    y ,

2

 a z   x y   y x   z   x x   y y   z z    z.
a                    2 ,


2
a                      ,

2

a                    .
Проекции по времени от ортов подвижных осей координат
определяются формулами Пуассона:
di '
   i ';
dt
dj '
   j ';
dt
dk '
   k '.
dt
dj
 1  j ;
dt
dk
 1  k .
dt
От неподвижных:
di
 1  i ;
dt
где ω1 - угловая скорость в подвижной системе координат
(поворот тела).
Рассмотрим вектор угловой скорости через его модуль и орт
мгновенной скорости, тогда:
d
d d   0  d



0   0  1   2 .
dt
dt
dt
dt
где первая составляющая направлена по мгновенной оси и
характеризует изменение вектора угловой скорости по модулю, а вторая по направлению.
Используя формулы Пуассона и обозначив через ω1 угловую
скорость вращения вектора ω, получим, что
d 0
 1  0 ;
dt
2  
d 0
  1  0   1  .
dt
Ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижного
центра, равно сумме вращательного и осестремительного ускорений
(теорема Ривальса):
aM  aMос  aMвр    V    r      r     r ;
aMос  h 2 ;
aMвр  h1 .
2. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.
Если твердое тело вращается вокруг двух пересекающихся осей,
то одно из них принимается за переносное вращение, а другое за
относительное. Тогда:
a  e  r
Таким образом, решение задачи для данного случая может быть
найдено путем использования формул Эйлера или теории о сложном
движении точки.
ЛЕКЦИЯ 6
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Основные законы статики.
Система сходящихся сил.
Произвольная плоская система сил. Случай параллельных
сил.
Методы расчета ферм.
Равновесие гибких нерастяжимых подвесных нитей.
Равновесие системы твердых тел. (самостоятельно)
Равновесие
тел
при
наличии
силы
трения.
(самостоятельно).
1. Основные законы статики.
Статикой называется раздел теоретической механики, в котором
рассматриваются задачи на равновесие систем сил, приложенных к
твердым телам, и преобразования одной силы в другую, ей
эквивалентную.
Закон 1 (закон инерции) .Изолированная материальная точка
находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
Закон 2. Две силы, приложенные к твердому телу,
уравновешиваются только в том случае, если они равны по модулю и
направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
Закон 3. Не нарушая состояния твердого тела, можно добавлять
или отбрасывать уравновешивающиеся силы.
Равнодействующей называется сила, которая эквивалентна
данной системе сил.
Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных к одной
точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали
параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
диагонали.
Закон 5. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга
равны по модулю и направлены в противоположные стороны по прямой.
Закон 6 (закон отвердевания). Равновесие нетвердого тела не
нарушается при его затвердевании.
Свободным называется тело, движение которого ничем не
ограничено.
Несвободным называется такое тело, на которое наложены связи,
ограничивающие его движение в некоторых направлениях.
Закон 7 (закон освобождаемости от связей) Несвободного твердое
тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить
от связей, заменив действие этих связей соответствующими реакциями
связей.
2. Система сходящихся сил.
Равновесие сходящихся сил.
Сходящимися называются силы, линии действия которых
пересекаются в одной точке.
Равнодействующая равна векторной сумме слагаемых сил.
n
R  F1  F2  ...  Fn   Fk
k 1
Теорема о трех непараллельных силах.
Если твердое тело находится в равновесии под действием трех
непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия
этих сил пересекаются в одной точке.
Метод проекций.
Ортогональная проекция силы на ось, подобно проекции любого
вектора на ось, равна произведению модуля силы на косинус угла,
образованного положительным направлением оси проекций и
направлением проектируемой силы.
Fx  F cos( F , x);
Fy  F cos( F , y ).
F  Fx2  Fy2 .
Fx 
;

F 

Fy 
cos( F , y )  .
F 

cos( F , x) 
направляющие
косинусы
Проекции равнодействующей плоской системы сходящихся сил
методом проекций, определяются:
n
Rx  F1x  F1x  ...  Fnx   Fkx ;
k 1
n
Ry  F1 y  F1 y  ...  Fny   Fky .
k 1
R  Rx2  Ry2 .
Rx 
;

R 

Ry 
cos( R, y ) 
.
R 

cos( R, x) 
Уравнения равновесия
приложенных к твердому телу.
направляющие
плоской
системы
косинусы
сходящихся
сил,
n
F1x  F1x  ...  Fnx   Fkx  0;
k 1
n
F1 y  F1 y  ...  Fny   Fky  0.
k 1
Момент силы относительно точки. Равновесие твердого тела с
одной неподвижной точкой. Момент силы F относительно точки О, для
плоской системы сил равен произведению модуля силы на расстояние h
от точки О до линии действия этой силы, называемое плечом.
M O  Fh
или
M   r  F 
Теорема Вариньона для системы сходящихся сил: момент
относительно точки равнодействующей R системы сходящихся сил F1, F2,
..., Fn, расположенных в одной плоскости, равен алгебраической сумме
моментов сил системы относительно той же точки:
n
M O  R   M O  F1   M O  F2   ...  M O  Fn    M O  Fk .
k 1
n
M O  R    M O  Fk .
k 1
Выражение момента силы F черезпроекции силы на оси
декартоых координат:
M А  F    x  a  Fy   y  b  Fx
3. Произвольная плоская система сил.
Случай параллельных сил.
Равнодействующая двух параллельных сил равна по модулю
сумме модулей данных сил и направлена в тцже сторону.
R  F1  F2 ;
F1 BC

F2 AC
В случае противоположно направленных сил:
R  F1  F2 ;
F1 BC

F2 AC
Система двух параллельных сил, равных по модулю и
направленных в разные стороны, называется парой сил. Расстояние
между линиями действия этих сил - плечом пары. Пара сил стремится
повернуть тело, т.к. силы не лежат на одной прямой.
Теорема 1. Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих
пару, относительно произвольной точки плоскости не зависит от выбора
этой точки и равна моменту пары.
Теорема 2. Не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно
перемещать в плоскости ее действия.
Теорема 3. Пары сил, моменты которых равны, эквивалентны.
(пары сил называются эквивалентными, если одну из пар можно
заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.)
Теорема 4. Система нескольких пар сил на плоскости
эквивалентна одной паре, момент которой m равен алгебраической сумме
моментов данных пар:
n
n
k 1
k 1
M  M 1  M 2  ...  M n   M k    Fk hk .
Для равновесия необходимо выполнения условия:
n
M
k 1
n
k
   Fk hk  0.
k 1
Главным
вектором
V
называется
векторная
сумма
сил,
приложенных к твердому телу:
n
V   Fk
k 1
n
n
Vx   Fkx ;
Vy   Fky .
k 1
k 1
V  V V .
2
x
Vx 
;

R 

Vy 
cos(V , y )  .

R 
2
y
cos(V , x) 
направляющие
косинусы
Главный вектор, в отличие от равнодействующей, включает в
себя пары сил.
Главным моментом относительно центра О называется
алгебраическая сумма моментов сил, приложенных к твердому телу,
относительно этого центра:
n
M O   M O  Fk .
k 1
Уравнения равновесия произвольной системы сил, приложенных
к твердому телу:
n
F
k 1
kx
n
F
 0;
k 1
ky
 0;
n
 M  F   0.
k 1
O
k
или
n
F
k 1
kx
 0;
n
 M  F   0;
А
k 1
k
n
 M  F   0.
В
k 1
k
или
n
 M  F   0;
k 1
А
k
n
 M  F   0;
k 1
В
k
n
 M  F   0.
k 1
C
k
В случае решения задач на опрокидываение тела относительно
опоры рассматривается сумма моментов сил, относительно этой опоры,
при условии, что на остальных реакция отсутствует.
4. Равновесие тел при наличии силы трения.
Фермой называется геометрически неизменяемая конструкция,
образованная прямолинейными стержнями, соединенными друг с другом
концами при помощи шарниров. Шарнирные соединения концов
стержней называются узлами.
Ферма считается статически определимой, если число узлов n и
число стержней m удовлетворяют уравнению:
m  2n  3
в случае:
m  2n  3
ферма считается статически неопределимой;
m  2n  3
конструкция перестает быть геометрически неизменяемой и
получает подвижность (становится механизмом).
Расчет статически определимых ферм выполняется одним из трех
способов:
 способ вырезания узлов;
 построение диаграммы Максвелла - Кремоны;
 методом сечений.
Способ вырезания узлов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
выделить твердое тело, равновесие которого надо
рассмотреть для отыскания неизвестных величин;
изобразить активные силы;
если
тело
несвободно,
то,
применив
закон
освобождаемости от связей, приложить к нему
соответствующие реакции связей.
рассмотреть равновесие данного несвободного тела, как
свободного, находящегося под действием активных сил и
реакций связей;
определить реакции опор, пользуясь уравнением
равновесия для всей фермы, рассматриваемой как
твердое тело.
вырезать узел, в котором сходятся два стержня и
рассмотреть его равновесие под действием активных сил
и реакций вырезанных стержней; определить эти реакции
из двух уравнений проекций сил, приложенные к узлу, на
декартовы оси координат.
переходя от одного узла к другому, рассматривать
равновесие каждого узла, при этом в каждом узле должно
быть два неизвестных усилия в стержнях; составляя для
каждого узла два уравнения в проекциях на оси х и у,
определить все искомые усилия.
3
aF  aF1  2aF2  3aRB  0;
2
F 2F
1
10
2
RB  F  1  2  10кН  кН  10 кН  20кН ;
2
3
3
3
3
RA  RB  20кН ;
MA 
S 2  S1 cos 30  0,
S1  40кН ,
RA  S1 cos 60  0;
S 2  34, 64кН и т.д.
Метод сечений.
1.
2.
определяем
опорные
реакции,
рассматриваемая
равновесие фермы как твердого тела, находящегося под
действием плоской системы сил; для этого составляем
три уравнения равновесия;
разрезаем мысленно ферму, к которой приложены все
внешние силы на две части так, что бы число разрезанных
стержней не превышало трех и заменяем действие
отброшенной части искомыми усилиями стержней,
полагая все три стержня растянутыми;
3.
4.
составляем уравнения равновесия для части фермы, так,
чтобы в каждое уравнение входило одно неизвестное
усилие;
решая каждое из составных уравнений, находим искомое
усилие в стержнях; если в ответе получается знак минус,
то это значит, что стержень сжат, а не растянут.
RA  6 P;
M J  2aRA  2aP  2aP  aS8  0;
S8  4 P  2 RA  8P.
ЛЕКЦИЯ 7
ПРОСТРАНСТВЕННАЯСИСТЕМА СИЛ.
1.
2.
3.
Содержание
Система сходящихся сил.
Произвольная пространственная система сил.
Центр тяжести твердого тела.
1. Система сходящихся сил.
Пространственная система сил аналогична плоской и
также приводится к равнодействующей силе.
n
R   Fi ;
i 1
n
n
n
Rx   Fix ; Ry   Fiy ; Rz   Fiz ;
i 1
i 1
i 1
R R R R ;
2
x
cos(i, R) 
2
y
2
z
Ri
; i  x , y , z.
R
Для равновесия пространственной системы сходящихся
сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно,
чтобы
силовой
многоугольник
был
замкнут,
т.е.
равнодействующая равна 0. При этом уравнения равновесия
проекций сил равны нулю.
2. Произвольная система пространственных сил.
В пространстве момент силы относительно точки
определяют как векторное произведение радиус-вектора на силу:
M O  F    r  F 
Момент силы относительно оси Mz(F) определяется как
алгебраическая величина, абсолютное значение которой равно
произведению модуля проекции силы FP на плоскость P,
перпендикулярную оси z, на расстояние hP от точки пересечения
оси с этой плоскостью до линии действия проекции этой силы.
M z  F   FP hP
Зная моменты относительно осей x,y,z можно определит
момент силы относительно начала координат О:
M O  F   M x2  F   M y2  F   M z2  F  ;
cos  , M O  F   
M  F 
MO  F 
;   x, y , z ;
MO  F   M x  F  i  M y  F  j  M z  F  k ;
i
j
k
MO  F   x
y
z   yFz  zFy  i   zFx  xFz  j   xFy  yFx  k
Fx
Fy
Fz
Главным моментом называется векторная сумма моментов всех
сил системы относительно это точки.
n
n
i 1
i 1
M O   M O  Fi     ri  Fi 
Главным моментом относительно оси называется векторная
сумма моментов всех сил относительно этой оси:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
M x   M x  Fi ; M y   M y  Fi ; M z   M z  Fi .
Зная главные моменты относительно осей, можно найти главный
момент относительно точки.
M O  M x2  M y2  M z2 ;
cos  , M O  
M
MO
;   x, y, z.
Согласно теореме Вариньона момент равнодействующей равен:
n
M O  R    M O  Fi 
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
M x  R    M x  Fi ; M y  R    M y  Fi ; M z  R    M z  Fi .
В случае, если силы не центральные и произвольно расположены
в пространстве, то вводят главный вектор системы сил V – называется
векторная сумма всех сил.
n
V   Fi ;
i 1
n
n
n
Vx   Fix ;Vy   Fiy ;Vz   Fiz ;
i 1
i 1
i 1
V  V V V ;
2
x
cos( x, V ) 
2
y
2
z
Vy
Vx
V
;cos( y, V )  ;cos( z, V )  z .
V
V
V
Аналогично, как и в системе сходящихся сил главный момент
вектора V равен векторной сумме всех сил относительно этого центра.
3. Центр тяжести твердого тела.
Центром параллельных сил называется точка приложения
равнодействующее силы, обладающая тем свойством, что при
повороте всех параллельных сил на один угол, с сохранением их
параллельности, равнодействующая поворачивается вокруг
центра параллельных сил на тот же угол.
xc 
F x ;y  F y ;z  F z
F
F
F
iy
ix i
i
iz i
c
c
i
i
;
i
rc  xc i  yc j  zc k .
Иногда в рассматриваемо задаче необходим найти центр
масс твердого тела:
rc 
xc 
m x ; y
i
M
c
 m r .;

i i
M
 mi y
M
; zc 
m z
i
M
ЛЕКЦИЯ 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
1.
2.
3.
4.
5.
Содержание
Законы динамики.
Основные формы дифференциального уравнения.
Определение сил по заданному движению.
Определение движения по заданным силам.
Относительное движение
1. Законы динамики
Динамикой называется раздел механики, изучающий движение
материальных тел в зависимости от сил, вызывающих это движение.
Законы динамики:
Закон первый: изолированная материальная точка сохраняет
свою энергию неизменной по абсолютной величине и по направлению.
Этот закон справедлив для инерциальных систем отсчета.
Закон второй: ускорение, сообщаемое свободной материальной
точке приложенной к ней силой, имеет направление силы и по модулю
пропорционально силе:
F  ma
Закон третий: силы, с которыми тела действуют друг на друга,
равны по модулю и противоположны по направлению.
Закон четвертый: при одновременном действии нескольких сил
ускорение материальной точки равно векторной сумме ускорений,
которые имела бы эта точка при действии каждой из сил в отдельности:
a  a1  a2  ...  an
a1 
F1
,
m
a2 
F2
,
m
...
an 
Fn
m
Однако, данный принцип суперпозиций не справедлив для
скоростей.
2. Основные формы дифференциального уравнения
Ускорение а движущейся материальной точки массой m,
движущейся под действием приложенной к ней сил F1, F2, …, Fn
определяется с помощью основного закона динамики в сочитании с
законом независимости действия сил:
ma  F1  F2  ...  Fn
x,y,z основное уравнение динамики
В проекциях на оси
запишется:
n
mx   Fkx ;
k 1
n
n
my   Fky ;
mz   Fkz .
k 1
k 1
В проекциях на оси натурального триэдра:
m
n
dv
  Fk ;
dt k 1
m
v2

n
n
  Fkn ;
0   Fkb .
k 1
k 1
В полярных координатах:
m  r  r 2    Fkr ;
n
m d 2
r     Fk .

r dt
k 1
n
k 1
3. Определение сил по заданному движению
Определение сил по заданному движению относится к первой
задаче динамики материальной точки.
Если даны уравнения движения материальной точки массы m в
декартовых координатах
x  x t  ,
y  y t  ,
z  z t 
То силу можно через проекции записать как:
F  Fx i  Fy j  Fz k  mx  i  my  j  mz  k
F  Fx2  Fy2  Fz2
 
cos F ,  
F
F
,
  x, y , z
Если дано уравнение движения в естественной форме:
  f t 
F  F   Fn n  Fbb
F  m
dv
;
dt
Fn  m
v2
Fb  0.
;

F  F2  Fn2
 
cos F , 
F
,
F
 
cos F , n 
 
F
,
F
cos F , b  0
Для плоского движения в полярных координатах:
Fr  m  r  r 2  ;
F 
m d 2
r  
r dt
F  Fr2  F2
 
cos F , 
F
,
F
 
cos F ,  
F
F
,
 
cos F , b  0
4. Определение движения по заданным силам
Если задача решается в проекциях на оси инерциальной
декартовой системы координат, то надо интегрировать систем
дифференциальных уравнений:
n
mx   Fkx ;
k 1
n
my   Fky ;
k 1
n
mz   Fkz .
k 1
В результате этого интегрирования вначале находятся проекции
скорости на декартовы оси координат:
x  x t  ,
y  y t  ,
z  z t 
А после - закон движения точки в декартовых координатах:
x  x t  ,
y  y t  ,
z  z t 
В результате такого интегрирования появляются появляются
шесть произвольных постоянных С1, … , С6. Для их определения в условие
задачи должны быть включены дополнительные данные, называемые
начальные условия.
Начальные условия определяют положение точки и ее скорость в
некоторый фиксированный момент времени. Положение точки
определяются тремя координатами и тремя проекциями скорости:
t  t0
x  x0 y  y0 z  z0 (положение точки )
x  x0 y  y0 z  z0 (скорость точки )
ЛЕКЦИЯ 9
ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
Содержание
1.
Свободные колебания материальной точки.
2.
Затухающие колебания материальной точки при
наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости.
3.
Вынужденные колебания материальной точки при
отсутствии силы сопротивления среды.
4.
Вынужденные колебания материальной точки с
учетом силы сопротивления среды.
1. Свободные колебания материальной точки
Рассмотрим колебания груза массой m,
подвешенного на пружине, верхний конец которой
закреплен к точке А. На данную материальную точку
действует сила тяжести Р и реакция пружины Fc=сλ,
согласно закону Гука. Здесь с -жесткость пружины, λ удлинение пружины.
Рассмотрим точку О, когда сила тяжести
уравновешена
силой
упругости
положение
статического равновесия. в данном случае пружина
растянута на длину λst - статическое удлинение
пружины.
Для данного случая:
P  cst
Выведем тело из положения равновесия, сообщив удлинение:
  st  x
Тогда дифференциальное уравнение динамики примет вид:
mx  P  с  st  x   P  сst  cx  cx;
mx  cx  0;
k2 
c
;
m
x  k2x  0
Это линейное однородное дифференциальное уравнение с
постоянными коэффициентами. Найдем его решение подстановкой
Эйлера:
x  Cert ,
x  r 2Cert ,
c, r  const.
r Ce  k Ce  0;
2
rt
2
rt
Cert  r 2  k 2   0.
Данное равенство выполняется только в том случае, когда:
r  ik ;
x  C1*eikt  C2*eikt
Полученное выражение можно преобразовать с помощью формул
Эйлера:
eikt  cos kt  i sin kt ;
e  ikt  cos kt  i sin kt ;
x  C1*  cos kt  i sin kt   C2*  cos kt  i sin kt  
 C1* cos kt  iC1* sin kt  C2* cos kt  iC2* sin kt 
 cos kt  C1*  C2*   sin kt  iC1*  iC2*  ;
x  C1 cos kt  C2 sin kt.
Постоянный интегрирования С1 и С2 находятся из начальных
условий:
x t 0  x0  C1;
x t 0  x0 ;
Найдем скорость:
x  C1k sin kt  C2 k cos kt.
x
t 0
 x0  C1 ; x
t 0
 x0  C2 k ;

x  x0 cos kt 
x0
sin kt.
k
Пусть:
x0
 a cos 
k
x  a sin  kt    .
x0  a sin  ;
Возведя в квадраты и сложив последние выражения получим, что
амплитуда равна:
a 2  x02 
  kt  
фаза колебаний;
xk
  arctg  0 
 x0 
начальная фаза
x02
.
k2
k
Т
c
m
2
m
 2
k
c
1
f 
T
круговая частота колебаний, равная числу колебаний
за 2π секунды;
период свободных колебаний, в течение которого фаза
колебания φ изменяется на 2π
частота колебаний [Гц]
Формулу свободных колебаний можно представить иначе:
P  cst ,
mg  cst
k
c
g

m
st
2. Затухающие колебания материальной точки при наличии силы
сопротивления, пропорциональной скорости
Пусть на материальную точку, кроме силы
упругости, действует сила сопротивления среды,
пропорциональная скорости. При малых скоростях
можно считать, что такая сила равна:
Fv  bv
В данном случае д.у. примет вид:
mx  P  с  st  x   bx  P  сst  cx  bx  cx  bx;
c
,
m
x  2nx  k 2 x  0
mx  bx  cx  0;
k2 
n
b
;
2m
n - приведенный коэффициент сопротивления
среды.
Мы получили линейное однородное дифференциальное
уравнение второго порядка.
Решается оно подстановкой x  Ce rt , при этом характеристическое
уравнение будет:
r 2  2nr  k 2  0
А его решение такого уравнения выглядит следующим образом:
x  C1e rt  C2ert
Тут возможны три случая:
1. D>0, n>k - случай большого трения (апериодическое
движение).
2. D=0, n=k - граничный случай (апериодическое движение).
3. D<0, n<k - случай малого трения,
периодическому движению.
Рассмотрим только последний случай.
соответствующий
r 2  2nr  k 2  0
D
 n 2  k 2  0;
4
r1,2  n  n 2  k 2   n  i k 2  n 2 ,   k 2  n 2 ;
x  C1e
 n  i t
 C2 e 
 n i t
 C1e  nt ei t  C2 e  nt e  i t
 nt i t
x2*  e  nt e i t
x e e ,
*
1
Избавимся от мнимого аргумента, тогда:
x1*  x2*
ei t  ei t
 e nt
 e  nt ch  i t   e  nt cos  t ;
2
2
x*  x2*
ei t  ei t
x1  1
 e  nt
 e  nt sh  i t   e  nt sin  t ;
2
2
x  e  nt  C1 cos  t  C2 sin  t  .
x1 
Воспользуемся начальными условиями:
x  e  nt  C1 sin  t  C2 cos  t   ne  nt  C1 cos  t  C2 sin  t  .
x
t 0
 x0  C1 , x
C2 
Обозначим:
x0  a sin  ;
x0  nx0

t 0
 x0  C2 k1  C1n;
x0  nx0

 a cos 
x  ae nt sin   t    .
Амплитуда и начальная фаза
определяются по формулам:
a  x02 
 x0  nx0 
2
2

x0 

x
 0  nx0 
  arctg 
  k 2  n2
2
2
Т


k 2  n2
круговая частота колебаний
период свободных колебаний
3. Вынужденные колебания материальной точки
при отсутствии силы сопротивления среды.
Пусть на тело действует возмущающаяся сила Q(t), меняющаяся
во времени. Рассмотрим случай, когда она является гармонической, т.е.:
Q  H sin  pt   
H - амплитуда возмущающей силы.
Тогда д.у. примет вид:
mx  P  с  st  x   Q  H sin  pt     P  сst  cx  H sin  pt    
 cx  H sin  pt    ;
mx  cx  H sin  pt    ;
k2 
c
,
m
x  k 2 x  h sin  pt   
h
H
;
m
h - приведенная амплитуда возмущающей силы.
Уравнение является линейным неоднородным второго порядка,
его решение ищется в виде:
x  x1  x2 ;
x1  C1 cos kt  C2 sin kt ;
x2  A sin  pt    .
Подставим x2 в д.у.:
x2  A sin  pt    ,
x2   Ap 2 sin  pt   
 Ap 2 sin  pt     Ak 2 sin  pt     h sin  pt    ;
Ak 2  Ap 2  h ;
A
x2 
h
.
k 2  p2
h
sin  pt   
k 2  p2
Т.о. общее решение запишется в виде:
h
sin  pt    .
k 2  p2
hp
x  C1k sin kt  C2 k cos kt  2
sin  pt    ;
k  p2
h
hp
 x0  C1  2
sin   ,
x t 0  x0  C2 k  2
cos   ,
2
k p
k  p2
x
h
hp
C1  x0  2
sin   ,
C2  0 
cos  
k  p2
k k  k 2  p2 
x  C1 cos kt  C2 sin kt 
x
t 0
Тогда получаем уравнение вида:
x  x0 cos kt 
x0
sin kt 
k
свободные колебания
h p

 2
sin  kt  cos    cos  kt  sin    
k  p 2  k

колебания материальной точки , имеющиечастоту свободных
вызванныевозмущающей силой

h
sin  pt   
k 2  p2
вынужденные колебания
Величина наибольшего динамического смещения
(амплитуда вынужденных колебаний) равна:
А
h
k  p2
2
Статическое смещение под действием постоянной
силы Н равно:
Н 
Коэффициентом динамичности λ называют
соотношение:

А
Н
z
p
k
Коэффициентом расстройки z называется отношение:
Коэффициент динамичности и коэффициент
расстройки связаны между собой:

Н
с
1
1 z2
1. при 0<z<1, p<k, происходят вынужденные колебания малой
частоты, при этом коэффициент динамичности λ растет.
2. при z→1, p→k, имеет место явление резонанса.
3. при z>1, p>k, происходят вынужденные колебания больной
частоты, при z→∞, коэффициент динамичности λ убывает до нуля.
Найдем предел по правилу Лопиталя:
 h
lim  2
p k k  p 2

 p

  k sin  kt  cos    cos  kt  sin    sin  pt      

 d  p

 dp   k sin  kt  cos    cos  kt  sin    sin  pt     


 h lim 
p k 
d 2
2

k  p 


dp


 1

  k sin  kt  cos    t cos  pt    
 h lim 

p k
2 p




 1

t
 h lim 
sin  kt  cos   
cos  pt     
p  k 2 pk
2
p


h
ht
 2 sin  kt  cos    cos  kt   
2k
2k
А само уравнение в случае резонанса приобретает вид:
x  x0 cos kt 
x0
h
ht
sin kt  2 sin  kt  cos    cos  kt   
k
2k
2k
В формуле есть растущее со временем слагаемое:
x*  
ht
cos  kt   
2k
Что и объясняет явление резонанса. В реальных системах в случае
сил сопротивления движению амплитуда в случае резонанса является
конечной.
ЛЕКЦИЯ 10
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ.
Содержание
1.
Геометрия масс. Движение центра масс. Момент инерции.
2.
Теорема об изменении главного вектора количеств
движения материальной системы.
3.
Теорема об изменении главного момента количества
движения.
4.
Теорема
об
изменении
кинетической
энергии
материальной системы.
5.
Момент импульса материальной точки относительно
движущегося полюса. Теорема Кёнига.
6.
Силовые поля. Работа потенциальных сил. Потенциальное
поле сил.
7.
Закон сохранения энергии.
8.
Реактивное движение. Уравнение Мещерского. Уравнение
Циолковского.
9.
Тензор инерции.
1. Геометрия масс. Движение центра масс.
Момент инерции.
Центром
масс
материальной системы называется точка,
положение которой определяется радиус-вектором rC по формуле:
rC 
1
M
n
m
k 1
k
 rk
M - масса материальной системы.
В декартовой с.к. центр масс можно определить формулами:
xC 
1
M
n
m
k 1
k
 xk ,
yC 
1
M
n
m
k 1
k
 yk ,
zC 
1
M
n
m
k 1
k
 zk
Возьмем производную от центра масс, получим выражение
скорости центра масс:
rC 
1
M
n
m r
k 1
k k
Вторая производная характеризует ускорение центра масс:
rC 
1
M
n
m r
k 1
k k
Моментом инерции относительно оси называется произведение
суммы материальных точек из которых это тело состоит на квадраты их
расстояний.
IC   mr 2
Рассмотрим
относительно точки:
момент
инерции
тела
I О  mR 2
Ix  m  y2  z2 
I y  m  x2  z 2 
I z  m  x2  y2 
I x  I y  I z  2m  x 2  y 2  z 2   2mR 2  2 I О
Т.о. сумма моментов инерции относительно трех взаимно
перпендикулярных осей равна удвоенному моменту инерции
относительно их точки пересечения. Данное правило справедливо и для
тел любой произвольной формы.
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к
m
I   r 2 dm
0
где интегрирование производится по объему тела.
Например, найдем момент импульса стержня длиной
относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно.
m
I   r 2 dm;
0
l
dm   dl ;
I    l 2 dl 
l
Найдем
момент
относительно оси вращения:
m
J   r 2 dm;
0
R
l

l
m r4
 R2 4
R

0
m
;
2l
r2  l2
m  l 3 l 3  ml 2
.
  
2l  3 3 
3
импульса
dm  2 r  dr;  
J  2  r 3dr  2
0
m  l3 
 
2l  3 

диска
m
;
 R2
mR 2
.
2
Теперь, рассмотри момент инерции диска
относительно диаметра. Данный момент можно
представить как сумму моментов инерции
стержней.
2l,
lk 2  R 2  xk2 ,  
Ix  
2

3
R

mk
m
;

 R2
lk
mk  R  xk 
mk lk2


3
3
2
2
R 2  x 2  R 2  x 2  dx 
R
 R
3
2
 x 2  2 dx.
R
R
Интеграл берем удвоенным, поскольку его решение находит
момент инерции лишь для половины окружности. Интеграл является
табличным и его конечное решение примет вид:
R
 1
 x 
2
2
2
2
4
Ix  2
2
3 8 
x  5R  2 x

R  x  3R arcsin   
 R 

R
1
 1 4
  
3R 4 arcsin 1  3R 4 arcsin 1  
3R
 3R 4     
3 8
3 8 
2
 2 
2
m  R 4 mR 2

.
 R2 8
4
Главный момент инерции — момент инерции относительно
главной оси вращения проходящей через центр масс.
Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси
оно вращается и как распределена масса тела по объему.
Моменты инерции однородных тел массой m, имеющих
правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы
по объему:
Тело
Положение оси вращения
Момент инерции
Полный
тонкостенный
Ось симметрии
mR2
цилиндр радиуса R
1
Сплошной цилиндр
mR 2
Ось симметрии
или диск радиуса R
2
Ось перпендикулярна
1 2
Прямой тонкий
ml
стержню и проходит через
стержень длинной l
12
его середину
2
Ось проходит через центр
mR 2
Шар радиусом R
шара
5
Если известен момент инерции тела относительно оси,
проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно
любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:
Момент инерции тела J относительно произвольной оси z равен
сумме момента его инерции Jс относительно параллельной оси,
проходящей через центр масс С тела, и произведения массы m тела на
квадрат расстояния l между осями:
J z  J C  ml 2
Доказательство теоремы Штейнера:
2
ri '  ri   ,
2
 
2
ri '  ri    2 ri  ,
Момент инерции относительно А:
I A   r '2 dm   r 2 dm    2 dm  2 r dm,
I O   r 2 dm,
  dm  M 
2
2
Rc 
,


 rdm ,
M
I A  I O  M  2  2M  Rc ,
Третье слагаемое есть выражение момента импульса
относительно центра масс. Пусть точка О - является центром масс, т.е.
О=С, тогда
I A  IO  M  2
Rc  0, 
2. Теорема об изменении главного вектора количеств
движения материальной системы.
Рассмотрим второй закон Ньютона:
ma  m
dV dp

F
dt dt
Вектор р пропорциональный скорости называют количеством
движения (импульсом).
Из формулы имеем, что,
t2
p   Fdt
t1
Величину находящуюся справа называют импульсом силы.
В проекциях на оси ДСК имеем три дифференциальных уравнения
движения:
t2
t2
t2
px   Fx dt ;
p y   Fy dt ;
pz   Fz dt.
t1
t1
t1
p  px2  p y2  pz2
Направляющие косинусы:
cos  x, p  
px
;
p
cos  y, p  
py
p
;
cos  z, p  
pz
.
p
Главный вектор количества движения материальной системы
является векторной суммой количеств движения материальных точек
системы и равен произведению массы системы на скорость центра масс
системы.
n
n
k 1
k 1
Q   pk   mk vk  MvC
3. Теорема об изменении главного момента количества движения.
Моментом импульса (количества движения) материальной точки
А относительно неподвижной точки О называется физическая величина,
определяемая векторным произведением:
L   r , p    r , mV 
Главным моментом количеств движения материальной системы
(кинетический момент) относительно центра О равен векторной сумме
моментов количеств движения
материальных точек системы:
относительно
того
же
центра
n
LO    rk  mk vk 
k 1
Ошибочно полагать, что
LO  rС  MvС
так как момент главного вектора относительно центра не равен
главному моменту количеств движения всех материальных точек
системы относительно того же центра.
Рассмотрим момент импульса иначе:
L   r  mv    r  m   r   m r 2  mr  r     I 
r 
 
 a  b  c    b  a  c   c a  b

 
Т.о. определили связь между моментом инерции и моментом
импульса.
Рассмотрим производную от момента импульса:
dL d  r  mv   d  mv   
dr   dp 

 r 
   mv     r     mv  v    r  F   M
dt
dt
dt
dt   dt 



0
M L
Можно сделать вывод, что если сумма всех сил в системе равен
нулю, то момент импульса величина постоянная.
Сопоставим две полученные формулы:
d  I 
d
I
 I   I  M ,
dt
dt
I   M
Получили уравнение динамики вращательного движения тела.
4. Теорема об изменении кинетической энергии
материальной системы.
Бесконечно малое количество работы на перемещении 𝑑𝑆 от силы
𝐹 (см. рис. 3.1) равно

 A  F, d S
 A  FdS cos  ,

  F, S
F  Fx i  Fy j  Fz k ,
dS  dxi  dyj  dzk ,
 A  Fx dx  Fy dy  Fz dz.
Полная работа равна:
2


A   Fd S ;
1
2
2
1
1
A   FdS    Fx dx  Fy dy  Fz dz .
Работа измеряется в Джоулях (СИ) или в эргах (СГС).
Пусть имеется частица и на нее действует силы:
m
dV
 F dr
(скалярно)
dt
dV
m
dr  mVdV  Fdr ;
dt
V 2 
VdV  d 
;
 2 
 mV 2 
d
   A,
 2 
mV 2
T
2
Величина Т называется кинетической энергией.
Выражение
dT   A
показывает, что работа всех сил действующих на частицу равга
увеличению кинетической энергии.
Кинетическая энергия материальной системы равна:
Tk 
n
T   Tk 
k 1
2
k
1 n
 mkVk2 ;
2 k 1
n
n
mV
m dVk2
m dVkVk
V dV
dT d
d mkV
  k

 k
 k
  mk k k .
dt dt k 1 2
2
dt
dt
dt
k 1 dt
k 1 2
k 1 2
k 1
n
2
k
mkVk2
,
2
n
n
Воспользуемся 2 законом Ньютона:
mk
dVk
 Fk ;
dt
n
dT
  Vk Fk dt
dt k 1
n
n
n
k 1
k 1
dT   Vk Fk dt   Fk drk    Ak ;
k 1
dT   A.
5. Момент импульса материальной точки относительно
движущегося полюса. Теорема Кёнига
Рассмотрим задачу нахождения момента импульса материальной
точки относительно движущегося полюса
ri '  ri  rA ,
ri  Vi ,
ri '  Vi отн А ,
rA  VA ;
Vi отн А  V i  VA ;




dLA
   ri ' mi Vi     ri 'mi Vi ;
dt
i 
 i 

LA    ri 'mi Vi ,
i


 r 'm V    r 'F   M

i

i
i

  r ' m V    V
i

i
i
i

 V m V   0,
i
i
i
i
i отн А
i
i

i
A
;
i
mi Vi    Vi mi Vi    VА mi Vi ;
i
Vc 
i
 mi Vi
i
M
i
 скоростьцентра масс,
 VА mi Vi    VА MVc    M  VАVc ;
i
i
i

dLA
 M Aвнешн  M  VАVc 
dt
i
1
АС 
2
VА Vc 
Частные случаи:
dLA
 M Aвнешн ;
dt
dLA
 M Aвнешн .
dt
Теорема Кёнига
Запишем кинетическую энергия системы точек с учетом того, что
Vi отн А  V i  VA относительно полюса А
K

1
1
1
2
 mVi i 2  2 i mVi А2  2 i mVi i отн
А   mi VА Vi отн А
2 i
i

Запишем последнее слагаемое, используя выражение движения
центра масс системы точек относительно точки А:
VС отн А 
 m V
i
i

m V
i
С отн А
i
M
,







Vi отн А    mi Vi отн А ,VА   M Vc отн А ,VА
 i

1
1
2
K  MVА2   mV
i i отн А  M Vc отн А , VА
2
2 i
А
Если А  С , т.е. точка А является центром масс, то выражение
примет вид:
K
1
1
2
MVС2   mV
i i отнС
2
2 i
Теорема Кёнига: Кинетическая энергия системы материальных
точек является суммой кинетических энергий центра масс этой системы
и относительного движения системы относительно центра масс.
6. Силовые поля. Работа потенциальных сил.
Потенциальное поле сил.
Если силы определяются только координатами и временем,
значит эти силы появляются только в области действия силовых полей.
Если поле зависит от времени, оно называется нестационарным. Если же
поле определяется только координатами, оно называется стационарным.
Стационарное поле также называют консервативным, если
выполняется закон сохранения энергии.
Поле потенциально, если существует функция W(𝑥,𝑦,𝑧) такая, что:
Fx  
W
,
x
Fy  
W
,
y
Fz  
W
.
z
Примечание: полный дифференциал
f  x  x, y, z   f  x, y, z 
f
 lim
;
x x 0
x
f
f
f
f 
dx 
dy 
dz
x y , z const
y x , z const
z x , y const
Потенциальная энергия (W) — механическая энергия системы
тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил
взаимодействия между ними.
Точка А движется в поле действия потенциальных сил из точки 1
с координатами (𝑋1, 𝑌1, 𝑍1) в точку 2 с координатами (𝑋2, 𝑌2, 𝑍2) (см. рис.
3.2). Определим работу сил на этом пути.
2


2
A   Fd S    Fx dx  Fy dy  Fz dz  
1
1
2
 W
W
W 
  
dx 
dy 
dz      W   W1  W2
x
y
z

1
1
2
Работа — это изменение потенциальной энергии. Она не зависит
от формы пути.
Это справедливо тогда и только тогда, когда поле сил
потенциально и консервативно одновременно.
Работа консервативных (потенциальных) сил при элементарном
изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной
энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет
убыли потенциальной энергии:
 A  W
Рассмотрим:
 A  Fd r  W
F 
 W
dW
W
W 
 
i
j
k    gradW   W ,
y
z 
dr
 x



 i
j k
x y
z
Конкретный вид функции W зависит от характера силового поля.
Потенциальная энергия тела массы m на высоте h:
h 
 h
W   Pdr   mgdx  mgh
0
0
Потенциальная энергия упругодеформированного тела,
x
x
0
0
W   Fdx  kxdx 
kx 2
2
7. Закон сохранения энергии.
Полная механическая энергия системы — энергия механического
движения и взаимодействия: Е = К + W, т.е. равна сумме кинетической и
потенциальной энергий.
Закон сохранения энергии: в системе тел, между которыми
действуют только консервативные силы полная механическая энергия
сохраняется, т.е. не изменяется со временем:
E  W  K  const
Это — фундаментальный закон природы. Он является следствием
однородности времени — инвариантности физических законов
относительно выбора начала отсчета времени.
8. Реактивное движение. Уравнение Мещерского.
Уравнение Циолковского.
Реактивное движение — это движение тел с переменной массой.
Рассмотрим тело с массой 𝑚 в ИСО. Для данного момента времени
𝑡 пусть тело имело массу 𝑚 и скорость 𝑉 .
По истечении времени 𝑑𝑡 тело
лишится массы 𝑑𝑚.
mdV  Fdt  Udm
где 𝑈 — относительная скорость
отсоединения массы.
В итоге получаем уравнение,
которое
описывает
движение
тел
переменной
массы
уравнение
Мещерского:
m
dV
dm
 F U
FR
dt
dt
где 𝑅⃗ — реактивная сила.
Уравнение Циолковского.
𝑈 — скорость отделения газов.
dm
dV

m
U
mdV  Udm 
Тогда:
m(t )

m0
m t 
V t 
ln

m0
U
V t 
dm

m


0
dV
U
m t 
 V
 exp   
m0
 U
9. Тензор инерции
L    r ,V dm,
V   , r  ,
 
 r ,  , r    r 2  r r ,  ,

 
 r,    x  y  z ,
r  r ,     xi  yj  zk   x  y  z 
L    r dm   r  r ,  dm,
j   k    x  y  z dm    xi  yj  zk   x
x
y
z
x
y
z
2

L  x i   y
2
2
2
z
x
 y y  z z dm.
Раскроем полученное соотношение покомпонентно:
L x    x  x 2  y 2  z 2   x  x x  y y  z z  dm    x  y 2  z 2   xy y  xz z  dm,
L x    y  x 2  y 2  z 2   y  x x  y y  z z  dm    y  x 2  z 2   yx x  yz z  dm,
L x    z  x 2  y 2  z 2   z  x x  y y  z z  dm    z  x 2  y 2   zx x  zy y  dm.
Вектор L в матричном виде:
 Lx 
 y2  z2
 xy
 xz   x 
 

 
L   L y    dm   xy
x2  z 2
 yz    y 
 
2
2
  zx
 zy
y  z   z 
 Lz 

 
 dm  y 2  z 2 
  dm xy
  dm xz  
I xx



2
2


I
  dm xy
 dm  x  z   dm yz    I yx

I
2
2
  dm zx
  dm zy

 dm  x  y    xz

I xy
I yy
I zy
I xz 

I yz 
I zz 
Элементы, не стоящие на главной диагонали, называют
центробежными моментами инерции. Для любого тела можно подобрать
такую ортогональную систему XYZ, в которой матрица будет
диагональной. Тогда тензор момента инерции запишется в виде:
 Ix

I  0
0

0
Iy
0
0

0
I z 
ЛЕКЦИЯ 11
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА.
1.
2.
3.
4.
5.
Содержание
Метод кинетостатики для материальной точки.
Метод кинетостатики механической системы.
Главный вектор и главный момент сил инерции системы.
Приведение сил инерции твердого тела.
Определение динамических реакция опор твердого тела.
1. Метод кинетостатики для материальной точки.
Метод кинетостатики заключается в составлении уравнения
динамики материальной точки или системы в форме уравнений
равновесии статики.
Рассмотрим метод кинетостатики для несвободной материальной
точки.
Пусть м.т. движется под действием активных сил P и реакций
связей R:
ma   Fi   Pi   Ri ;
 P   R  ma  0.
i
i
Ф  ma
Силой инерции материальной точки называется векторная
величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ее
ускорения и направленная противоположно ускорению.
P  R Ф  0
i
i
Т.о. в каждый момент времени геометрическая
сумма активных сил, реакций связей и силы инерции равна
нулю.
Рассмотрим пример: груз весом Р поднимается
лебедкой с некоторым ускорением. Найти натяжение троса.
Ф   ma ,
Ф
P
a,
g
P  T  Ф  0; P  T  Ф  0;
T  P Ф  P 
P
a.
g
Пусть
м.т.
М
совершает
криволинейное движение. Ускорение
можно разложить на касательное и
нормальное.
Ф  Фn  Ф ;
Ф  ma ;
Ф  m a  m
Фn  man ;
dV
;
dt
Фn  m an  m
V2

.
2. Метод кинетостатики механической системы.
Рассмотрим несвободную систему n-материальных точек,
движущиеся под действием внешних и внутренних сил. Составим
уравнение кинетостатики для внешних сил (индекс е), внутренних сил
(индекс i) и сил инерции системы материальных точек..
 k  1, 2,3,...n 
Fke  Fki  Фk  0
 F  0,
 F  Ф

i
k
e
k
0
k
Теперь, выберем произвольную точку и от нее к каждой точке
проведем радиус -вектор:
  r  F     r  F    r  Ф   0
  r  F    M  F   0,
 M  F    M Ф   0
k
e
k
k
k
O
i
k
k
i
k
O
i
k
e
k
O
k
k
Т.о. в каждый момент времени сумма главных векторов внешних
сил и сил инерции движущейся системы, а также сумма их главных
моментов относительно произвольного центра равны нулю.
В декартовой системе координат получим 6 уравнений:
 F  Ф
 F  Ф
 F  Ф
e
kx
kx
 0,
e
ky
ky
 0,
e
kz
kz
 0,
 M  F    M Ф   0,
 M  F    M y Ф   0,
 M  F    M Ф   0.
Ox
e
k
Ox
k
Oy
e
k
O
k
Oz
e
k
Oz
k
3. Главный вектор и главный момент сил инерции системы
Главный вектор момента системы сил и инерции определим из
общих теорем динамики. Из кинетостатики следует, что:
Ф   F
k
k
Однако, согласно теореме центра масс имеем, что:
mac   Fk

Ф
Также получаем, что:
k
 mac
 M Ф    M  F ,
O
k
O
k
 
dL
  M O Fk ,
dt

 M Ф    dt
dL
O
k
Таким образом: производная от момента количества движения есть сумма моментов всех сил инерции системы.
4. Приведение сил инерции твердого тела.
Согласно теореме статики, все силы
приложенный к телу можно свести к главному
вектору сил, приложенному к некоторой точке
О и главному моменту сил, представленных в
виде пары сил. рассмотрим три случая:
Случай 1.
Пусть тело движется поступательно. В
этом случае ускорения всех точек тела
геометрически равны между собой, т.е. равны
по модулю и направлению, тогда силы инерции отдельных точек также
равны между собой. В итоге сила инерции приводится к
равнодействующей приложенной к центру масс тела и равна главному
вектору сил инерции.
Ф  maС
Случай 2.
Тело вращается относительно оси
симметрии z. Тогда центр масс системы
лежит на оси вращения, следовательно его
ускорение и главный вектор сил инерции
равны нулю:
Ф
aС  0,
k
0
Сила инерции приводится к паре сил,
а в связи с симметрией тела пара сил
перпендикулярной оси вращения. Момент
пары равен главному моменту относительно
оси z.
 M Ф    dt ;
dL
z
k
L  I;

 M Ф    I  .
z
k
Случай 3.
Тело вращается относительно оси симметрии и совершает
плоское движение:
За центр приведения примем центр
масс С. Тогда все силы можно привести к
главному вектору всех сил, действующей
на тело и к паре сил, равных главному
моменту сил.
Ф
k
 maС ;
 M Ф    M  F   0;
 M Ф    M  F .
I    M  F ,

 M Ф    I 
C
k
C
C
k
C
C
C
C
k
k
k
C
k
5. Определение динамических реакция опор твердого тела
Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
АВ=a под действием сил Р1, Р2, Р3. Тело вращается против часовой стрелки
и при этом имеет угловое ускорение в том
же направлении.
Заменим связи реакциями опор XA,
YA, ZA, а в подшипнике две составляющие:
XB, YB.
Рассмотрим
произвольную
материальную точку Мk массой mk
отстоящей от оси вращения на расстояние
hk и запишем ее координаты.
Введем
касательную
и
центробежную силы инерции точки Мk.
Составим
6
уравнений
кинетостатики.
P  X
 P Y
kx
A
ky
A
 X B   Фkx   Фkxn  0,
 YB   Фky   Фkyn  0,
 P  Z  0,
 M  P   Y a   M Ф    M Ф   0,
 M  P   X a   M Ф    M Ф   0,
 M  P    M Ф   0.
kz
x
y
k
k
B
A
x
B
z
y
k
k
x
k
z
y
n
k
n
k
k
Введем вспомогательный чертеж со стороны положительного
направления оси z.
Фk  mk k  mk  hk ;
Фkn  mk nk  mk  2 hk ;
yk
,
hk
sin  k 
yk
   mk yk   myC ;
hk
 Ф   m  h
kx
k
xk
;
hk
cos  k 
k
 Ф
  mk  hk
xk
   mk xk   mxC ;
hk
Ф
  mk  2 hk
xk
  2  mk xk   2 mxC ;
hk
Ф
  mk  2 hk
yk
  2  mk yk   2 myC .
hk
ky
n
kx
n
ky
Найдем суммы моментов сил инерции относительно осей
координат.
 M Ф    m  h
x
k
k
k
 M Ф    m  h
n
k
x
yk
zk   2  mk yk zk   2 I yz ;
hk
2
k
k
 M Ф    m  h
y
k
k
k
 M Ф    m  h
y
n
k
xk
zk    mk xk zk   I xz ;
hk
2
k
k
yk
zk    mk yk zk   I yz ;
hk
xk
zk   2  mk xk zk   2 I xz ;
hk
 M Ф    m  h
z
k
2
k
k
  I z .
Подставим полученные выражения в уравнения кинетостатики:
P  X
 P Y
kx
ky
A
 X B   myC   2 mxC  0,
A
 YB   mxC   2 myC  0,
P
kz
 Z A  0,
 M P  Y a   I  I
M P   X a I  I
 M  P    I  0.
2
x
k
B
xz
yz
2
y
k
B
z
yz
k
xz
 0,
 0,
z
В выражениях 1,2,4,5 реакции опор можно представить как сумму
двух составляющих: динамических и статических. Статические
составляющие зависят только от внешних сил приложенных к телу, а
динамические от самого тела. Т.О. исключив внешние силы, можно найти
динамические составляющие реакций опор.