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Obtención y Simulación de la Ecuación de un
Sistema Sometido a Vibración Forzada usando
SimuLink©
Universidad de El Salvador, Facultad de Ingeniería y Arquitectura, Escuela de Ingeniería Mecánica,
Departamento de Diseño de Elementos de Máquinas.
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propia frecuencia natural.
Resumen—El presente informe recolecta el desarrollo de la
adecuada deducción de la ecuación diferencial para un sistema
sometido a vibración. Esto tomando como diferencia a los sistemas
vibrantes tradicionales, la variante que este sistema se ve sujeto a
vibración por parte de una fuerza externa, por tanto el sistema se
denomina de vibración forzada.
Una vez que se cuenta con la ecuación diferencial en el dominio
del tiempo, ésta se traslada al dominio de la frecuencia mediante
las transformadas de Laplace, esto con el objetivo de obtener la
función de transferencia que describe al sistema y luego simular su
respuesta en SimuLink© utilizando el software de MatLab©.
Abstract—The following report contains the deduction of a
differential equation based on a system that is currently under
forced vibration excitation, this in counterpart to the other types
of systems that do not hold an external force that acts as a means
to generate the vibration status.
Once the differential equation is solved it is then converted
from the time domain to the frequency domain, this achieved by
the Laplace transform method, so this new equation called the
transfer function describes the system; which in the end will be
put in SimuLink© for obtaining the system response.
Fig. 1. Representación de un sistema sometido a vibración forzada, k es la
constante del resorte, c es el amortiguador y P actúa como fuerza externa.
Una vez que ya se ha caracterizado el sistema se pasa al
siguiente punto que es el planteamiento de la situación o del
sistema en análisis.
2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1. INTRODUCCIÓN
E
ste documento provee un ejemplo de un sistema que se
encuentra bajo una condición de carga tal que lo hace
vibrar, sin embargo, la naturaleza y disposición de ciertos
componentes en éste producen que los estados de excitación de
la vibración se prolonguen atendiendo a la magnitud de la
fuerza o carga externa a la que se ve sometido.
Los sistemas sometidos a vibraciones forzadas se deben su
razón a la fuerza externa que los lleva a un estado de
excitación, es aquí donde la magnitud y frecuencia de la fuerza
externa juega un papel muy importante. Si la frecuencia de la
fuerza externa llegara a igualar a la frecuencia natural del
sistema entonces se presenta el fenómeno conocido como
resonancia, el cual puede llevar al sistema a su destrucción, es
decir:
El bloque de la figura 2 pesa 120N y este desliza por una
superficie exenta de fricción. El resorte tiene una longitud
natural cuando la barra AB esta vertical y la BC horizontal. Los
pesos de estas son despreciables. Suponiendo oscilaciones de
pequeña amplitud, determine la ecuación general del
desplazamiento y la ecuación del bloque en función del tiempo
si la carga externa es de 100Sen(10t).
(1)
Una forma sencilla de representar a este sistema es mediante
la siguiente figura, para nuestro caso de estudio la fuerza
externa actúa sobre la parte superior del esquema, con su
Fig. 2. Esquema del problema a analizar.
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el programa SIMULINK© y variando los valores de ω.
3. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
5. MODELO Y RESPUESTA EN SIMULINK©
A partir de los datos del enunciado del problema, se
establece la ecuación general que describe el movimiento del
mecanismo, bajo un análisis de pequeñas oscilaciones.
Donde: F=100Sen(10t), k=7.5kN/m,
m=W/g=(120/9.81)=12.33kg
La ecuación (1), es la ecuación diferencial que está en
función de las variables que describen al fenómeno.
4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Para poder generar la gráfica a partir de la ecuación (1),
auxiliándose del software SIMULINK©, es necesario llevarla a
una expresión en su equivalente matemático expresado en el
dominio de la frecuencia, para lograrlo se procederá a usar la
transformada de La Place.
ANALIZIS EN REGIMEN TRANSITORIO
Para obtener la respuesta completa, es necesario considerar
las partes en las que podemos dividir el fenómeno de la
vibración forzada, en una respuesta transitoria y una
permanente.
La ecuación (3) es la que describe el fenómeno transitorio
de la vibración.
Q=100/12.33=8.18N/kg
ωn=24.76s
A partir de la ecuación (4) se obtendrán las gráficas usando
REFERENCIAS
[1]
S. Graham Kelly, “Fundamentals on Mechanical Vibrations” Second
Edition, McGraw Hill, pp. 355-364, April 2000.
[2]
Singiresu S. Rao, Purdue University. Mechanical Vibrations. 3ª Edición.
Prentice Hall. EEUU, 1995.