Ondes et Propagations
Chapitre 1. Équations de Maxwell :
(4 semaines)
Rappels sur les opérateurs scalaires et vectoriels, Les équations de Maxwell, Onde électromagnétique, Puissance
électromagnétique (vecteur de Poynting).
Chapitre 2. Propagation des ondes électromagnétiques dans les milieux diélectriques :
(4 semaines)
Équation d’ondes (temporel), Onde plane, progressive, monochromatique, Réflexion/transmission entre deux milieux
LHI (incidence normal et oblique).
Chapitre 3. Propagation des ondes électromagnétiques dans les milieux conducteurs :
(3 semaines)
Effet de peau, Réflexion sur des paires conductrices.
Chapitre 4. Réflexion et réfraction d’ondes planes
(4 semaines)
Comportement du champ électromagnétique au passage d’un milieu à un autre, Onde TEM incidente sur la surface de
séparation de deux diélectriques, Onde polarisée dans le plan d’incidence, Onde polarisée normalement au plan
d’incidence.
Chapitre 5. Propagation des ondes Hertziennes
(4 semaines)
Milieu dissipatif, Caractéristiques électriques du sol et de la basse atmosphère, Réfraction atmosphérique, Réflexion
sur le sol.
Mode d’évaluation : Contrôle continu : 40% ; Examen : 60%.
Références bibliographiques :
1. F. Gardiol ; Electromagnétisme : Traité d’électricité ; Edition Lausanne.
2. P. Rosnet ; Eléments de propagation électromagnétique : Physique fondamentale ; 2002
3. G. Dubost ; Propagation libre et guidée des ondes électromagnétiques ; Masson, 1995.
4. M. Nekab ; Ondes et phénomènes de propagation ; OPU, 2004.
5. M. Jouquet ; Ondes électromagnétique 1 : propagation libre ; Dunod, 1973.
Garing ; Ondes électromagnétiques dans les milieux diélectriques : Exercices et problèmes
Logiciels
Matlab
HFSS
1
Chapitre I
Équations de Maxwell
1. Rappels sur les opérateurs scalaires et vectoriels
1.1. Notation vectorielle :
Le vecteur unitaire dans la direction du vecteur A est donné par :
aA 
A
A
avec A=A x ax  A y a y  A z az
et A  A 2x  A 2y  A 2z
A  B  (A x ax  A x ax  A x ax )  ( Bx ax  By a y  Bz az ) 
 A x  Bx  ax   A y  By  a y   A z  Bz  az
1.2. Analyse vectorielle
 L’addition des vecteurs et associative, distributive et commutative :
A  B  (A x ax  A y a y  A z az )  ( Bx ax  By a y  Bz az )   A x  Bx  ax   A y  By  a y   A z  Bz  az 
 A x  Bx  ax   A y  By  a y   A z  Bz  az

 

A B C  A B C


k A B  k A kB

 

A B C  A B C




k A  B  k A  k B ou  k1  k2  A  B  k1 A  k 2 B
A B  B  A

Le produit scalaire ;
A.B  A . B .cos  
A.B  Ax Bx  Ay By  Az Bz

Le produit vectoriel :
2
A  B  A . B .sin   an
ax
A  B  Ax
Bx
ay
Ay
By
az
Az   Ay Bz  Az By  ax   Az Bx  Ax Bz  a y   Ax By  Ay Bx  az
Bz
Exercice d’application 1 : Soient deux vecteurs :
A  2ax  4a y  3az
B  ax  a y
a. Calculer :
A.B
b. Calculer
A B
Solution :
a.
A.B  2.(1)  4.(1)  (3).0  2
b.
ax
A B  2
1
a y az
4 3  3ax  3a y  6az
1 0
1.3. Systèmes de coordonnées
z
z
z
z
. P(x,y,z)
y
y
i

x
r
P(r,  ,z)
z
y

X
x
P  r , ,  
y
x
(b)
(a)
r
‘(c)
(a) Coordonnées cartésiennes ;
(b) Coordonnées cylindriques ;
(c) Coordonnées sphériques.
Tout vecteur s’écrit en coordonnées cartésiennes :
A  Ax ax  Ay a y  Az az
3
En coordonnées cylindriques :
A  Ar ar  A a  Az az
En coordonnées sphériques
A  Ar ar  A a  A a
1.4. Différentielle de volume, de surface et élément de ligne
 En coordonnées cartésiennes l’élément de volume est donné par :
dv  dx.dy.dz

En coordonnées cylindriques l’élément de volume est donné par :
dv  rd d

En coordonnées sphériques les éléments de surface et de volume sont donné respectivement par :
dS  r 2 sin  d d
dv  r 2 sin  .drd d
En ce qui concerne les éléments de lignes ils sont définis par :
 En cartésien :
dl 2  dx2  dy 2  dz 2

En cylindriques :
dl 2  dr 2  r 2 d 2  dz 2

En sphériques :
dl 2  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2
Exercice d’application 2
a. Déterminer le vecteur U qui relie le point (2,-4,1) au point (0,-2,0).
b. Déterminer le vecteur unitaire u
Solution
a.
U  (0  2)ux  (2  4)u y  (0  1)uz 
U  2ux  2u y  uz
b.
u
U
U

2ux  2u y  uz
2
2
1
  ux  u y  uz
3
3
3
2  2 1
2
2
Exercice d’application 3
Soient deux vecteurs :
A  2a x  4a y
B  6a y  4a z
Déterminer l’angle  entre les deux vecteurs.
4
Solution :   41.9
Exercice d’application 4
Soient les vecteurs :
A  ax  a y
B  a x  2a z
C  2a y  a z
 A B C
A  B  C 
Calculer
a. Calculer
b.
c. Comparer les résultats.
Solution
a.
 A  B   C  2a
y
 4az
b.


A  B  C  2ax  2a y  3az
c. Les résultats sont différents.
1.5. Gradient d’un champ scalaire
 En coordonnées cartésiennes on définit le gradient par :
  ax




 ay
 az
x
y
x
En coordonnées cylindriques on définit le gradient par :




ar 
a 
a
r
r
r sin 
Exercice d’application 5
Le champ électrostatique est donné par :
E  V
V représente le potentiel.
Déterminer le champ électrique E au point (1,1,0) si :
a.
 y 
V  Vo e  x sin 

 4 
b.
V  RVo cos 
Solution
a.
 

 
 y 
 y 
x 
E  V  E    ax  a y
 az V  Voe  x sin 
cos 
 ax  Voe
 ay
y
x 
4
 4 
 4 
 x
5
  y 

 y  
E  Vo e x  sin 
 ax  cos 
 ay 
4
 4  
  4 
Au point (1,1,0) on aura :
E  Vo
2
 
 ax  a y 
2e 
4 
b. On utilisera le gradient en coordonnées cylindriques :




E    ar 
a 
a  RVo cos   E  Vo ar cos   a sin 
r
r sin  
 r


1.6. Divergence d’un champ vectoriel
 En coordonnées cartésiennes on définit la divergence d’un champ vectoriel A par :
. A 

En coordonnées cylindriques on définit la divergence d’un champ vectoriel A par :
. A 

Ax Ay Az


x y
z
1 (rAr ) 1 A Az


r r
r  z
En coordonnées sphériques on définit la divergence d’un champ vectoriel A par :
. A 
1 (r 2 Ar )
1   A sin  
1 A


2
r
r
r sin 

r sin  
1.7. Théorème de la divergence
 . A dv   A.ds
Exercice d’application 6
Soit le vecteur définit par :
U  x 2 ax  xya y  yzaz
Vérifier le théorème de la divergence pour toutes les surfaces d’un cube unité.
z
1
o
y
1
1
x
6
Solution
La face du cube unité se situe en x=1 et a pour surface :
ds  dydzax
On applique le théorème de la divergence pour cette surface :
étant donné que x  1:
 x
2

ax  xya y  yzaz dydzax  
1
1 1
 dydz  1
0 1
1
 U ds  1  0  0  2  2  0  2
 Udv      3x  y dxdydz  2
1 1 1
0 0 0
Pour la surface arrière x=0 :
ds  dydzax
étant donné que x  0 :
  yza dydza
z
x
0
On appliquera ce théorème pour les quatre autres surfaces, le résultat final sera la somme de toutes les
intégrales calculées. On trouvera
1
1
 U ds  1  0  0  2  2  0  2
Calculons maintenant directement la divergence :
.U 
( x 2 ) ( xy)   yz 


 2 x  x  y  3x  y
x
y
z
Intégrant maintenant en volume (cube unité)
 Udv     3x  y dxdydz  2
1 1 1
0 0 0
1.8. Rotationnel d’un champ vectoriel
 En coordonnées cartésiennes la rotation d’un champ vectoriel est donné par :

 U U y 
 U x U z
U   z 

 ax  
z 
x
 z
 y
 U y U x 


 az
 ay  
y 

 x
1.9. Théorème de la Stockes
   U  . ds  
S
C
U .dl
U  xyax  2 xa y
Exercice d’application 7
Soit un champ d’application définit par :
U  xyax  2 xa y
Vérifier le théorème de stockes pour un quart de disque de rayon r = 3 m (voir figure)
Y
B
r=3m
x
O
A
7
Solution
Calculons d’abord le rotationnel du champ vectoriel U :
 U 
ax
ay
az

x
xy

y
2 x

z
0
Sachant que :
U x  xy
U y  2 x
Uz  0
Alors
U    x  2  az

S

  U . dS  
3
0

9 y 2
0
3
9 y2

 
  U .dxdyaz    
  x  2  dx dy  9 1  
0
 2
 0

x  0 et U.dl  0
y  0 et U.dl  0
Choisissant le chemin ABOA et calculons maintenant

C
U .dl
Pour le chemin AB on aura :
 
9  1  
2

Pour le chemin BO on a :
x  0 et U.dl  0
Pour le dernier chemin OA :
y  0 et U.dl  0
Donc le théorème de stockes est vérifié.
1.10.
Le Laplcicen scalaire et le Laplacien vectoriel
On appelle Laplacien scalaire d’une fonction scalaire f le scalaire définit par :
  divgrad f
En coordonnées cartésiennes :
f 
2 f 2 f 2 f


x 2 y 2 z 2
8
On appelle Laplacien vectoriel d’un champ vectoriel V le vecteur définit en coordonnées cartésiennes par :
V  Vx i  Vy j  Vz k
Remarques
Identité entre opérateurs ;
Rot grad  0
Rot Rot  graddiv  
divRot  0
2. Equations de Maxwell
Les équations de base de l’électromagnétisme dans le vide sont les quatre équations de Maxwell plus
l’équation de Lorentz.
Equations de Maxwell
Forme locale
Maxwell-Gauss
divE 
Equations de Maxwell
Forme intégrale

o

S

divB  0
Maxwell flux
S
E.ds 
Qint
o
B.ds  0

 E.dl   t 
S
B.ds
C
Maxwell-Faraday
Maxwell-ampère
rot E  
rot B  o j  o o

S
E.ds 

 E.dl   t 
S
o
E
t
o
o
C

jd .ds
t S
Avec :
jd   o

F  q E  v B

 B.dl   I  
E
t
Equation Lorentz :


Conservation de la charge :

 div j  0
t

En absence de charges électriques et de courant les équations de Maxwell deviennent :
9
B.ds
C
Qint
F  q E  v B


B
t
divE  0 ‫المدرسة الوطنية ل‬
divB  0 ‫لسياحة‬
rot E  
B
t
rot B  o o
E
t
Exemple d’application 8
Un champ électrique dans le vide est donné par :
E  Em sin t   z  j
1. Déterminer D, B et H
2. Représenter à t = 0 s E et H
Solution
1. Dans le vide on a :
D= o E   o Em sin t   z  j
i
B

rot E  

t
x
0
j

y
Em sin t   z 

k



   Em sin t   z   i +  Em sin t   z  
z
z
x
0
E
B
  Em cos t   z  i  B    m sin t -  z  i
t

D’où :
H
B
o
 
o
2. A t = 0 s :
E  Em sin    z  j   Em sin   z  j
H  Em sin   z  i
Les deux champs sont perpendiculaires l’un à l’autre.
10
Em
sin t -  z  i
X
H
Z
Y
E
3. Ondes électromagnétiques dans le vide
3.1. Equations d’ondes
Les équations de MAXWELL-AMPERE et MAXWELL FARADAY ci-dessus sont des équations aux
dérivées partielles du premier ordre qui couplent le champ électrique E et le champ magnétique B .
L’élimination de l’un des champs conduit à obtenir pour le second une équation du second ordre. En
absence de courants et de charges les équations de Mawxell dans le vide deviennent :
rot B  o o
rot E  
E
t
(1)
B
t
divE 
(2)

o
divB  0
(3)
(4)
L’équation d’onde peut être déterminée comme suit :

E
rot (rot B)  rot  o o
t



 = o o
t

 rot E 
2B
=  o o 2
t
Sachant que :
2

rotrot ( B)  graddivB   B
 rotrot ( B)   2 B

divB =0


D’où :
2 B  o o
2B
=0
t 2
De la même façon :
2

rotrot ( E )  graddivE   B
 rotrot ( E )   2 E

divE =0


11
(5)
2 E  o o
2E
=0
t 2
(6)
Les équations (5) et (6) sont respectivement les équations d’ondes induction magnétique et champ électrique.
2
En coordonnées cartésiennes l’opérateur  représente le Laplacien définit par :
2 

x
2


y
2


z 2
Une solution simple de l’équation d’onde (6) est :
E  Eo cos(kz  t )i  E  z , t  i
(7)
En remplaçant l’équation (7) dans l’équation (6) :
 2 E  o  o
2E
t 2
 2 E
2 E
2 E
 k 2 Eo cos(kz  t )i
 2  0 ; 2  0;
2
=0   x
 k 2  o o 2  0
x
z

 2 o o cos(kz  t )i

 k 2  o o 2  0 relation de dispersion
k est appelé vecteur donde

La longueur d’onde est donnée par :
2

k

(8)
La vitesse de phase est donnée par :
v

k
(9)
Le champ magnétique peut être déterminé en utilisant les équations (1) et (2) :
On trouvera :

H  z, t   o Eo cos(kz  t ) j
(10)
o
Notons que les champs magnétique et électrique sont perpendiculaires l’un à l’autre et qu’ils sont les
deux perpendiculaires à la direction de propagation de l’onde. D’une manière générale la solution de
l’équation d’onde du champ électrique d’écrit :
E  r , t   Eo cos(k x x  k y y  k z z  t )
(11)
Le vecteur d’onde s’écrit alors :
r  xi  y j  kz
k  kx i  k y j  kz k
(12)
(13)
L’équation (11) devient ainsi :
E  r , t   Eo cos(k .r  t )
Le produit k .r définit un plan. Il vient alors :
k  E  o H
k  H   o H
12
(14)
k .H  0
kE 0
1.3.2
On appelle vecteur de Poynting S :
S= E  H
(15)
Exemple :
 E  Eo cos(kz  t )i


o
E cos(kz  t ) j
 H  z, t  
o o

S  Eo2


 S  E  H  Eo cos(kz  t )i 
o
E cos(kz  t ) j 
o o
o
cos 2 (kz  t )k
o
Densité de puissance moyenne est donnée par :
 S 
Eo2
1T
1 T 2 o
2
Sdt

E
cos
(
kz


t
)
dt

o
T 0
T 0
o
2T
o

o
Eo2
 2  T
2
T
 o Eo2

o
2
 o Eo2

o 2
Avec :


o
o
c'est l'impédance caratéristique
L’énergie électrique est donnée par :
1
2
We   o E
2

L’énergie magnétique est donnée par :
1
2
Wme  o H
2
3.2.Notions de polarisations de l’onde
3.2.1. Polarisation rectiligne
Quand la direction du champ électrique est constante, par exemple suivant y alors que l’onde se propage suivant
x, on parle de polarisation rectiligne. La direction du champ magnétique est alors elle aussi fixée et est
perpendiculaire à la fois à la direction de propagation et au champ électrique. Considérons une onde plane
progressive se propageant dans le vide dans la direction x telle que :
0

E  r , t  Eoy cos(kx  t   y )

 Eoz cos(kx  t   z ) et,
 

0

E
B  r , t  oz cos(kx  t   z )
 c
 Eoy
cos(kx  t   y )

 c
 
Cas d’une polarisation rectiligne :
que soient x et t.
 y  z
ou
 y  z  
13
le champ électrique garde la même direction quels
Remarque : la caractéristique d’une onde polarisée rectilignement est le fait que le champ électrique garde
une direction constante : une onde polarisée rectilignement n’est donc pas nécessairement sinusoïdale.
3.2.2. Polarisation circulaire et elliptique
Considérons le cas où :
z   y 

2
0

E  r , t  Eoy cos(kx  t   y )

 Eoz cos(kx  t   z )
 
En un point donné de l’espace, c’est-à-dire si x est fixé, le vecteur E change de direction dans le temps. Son
extrémité décrit une ellipse :
 Ey

 Eoy

Eoy
2
  Ez 2
1
 
  Eoz 

On parle alors de polarisation elliptique droite.si de plus :
 Eoz
L’ellipse est un cercle. On parle alors de polarisation circulaire droite.
3.3. Ondes planes progressives monochromatiques
On peut enfin s’intéresser aux ondes planes progressives monochromatiques de la forme:
A(r , t )  A o e

j k .r t o
A
oe

j k x x  k y y  k z z t o
A
 j A
t
Sachant que : L’équation de propagation s’écrit ainsi :
2
t
2
 
 
A r, t   2 A r, t  0
L’équation de propagation s’écrit ainsi :
 A(r ) 
2
c2
 
A r, t  0
Cette équation porte le nom d’équation de Dirichlet.
Ondes planes en régime harmonique
rot E  

On remplacera
B
t

 j
t
on aura :

rot E   j B =- jo H


rot H  j D = j o E


 rot rot E   jo j o E  o o 2 E
L’équation de propagation en E devient ainsi :
 E  o o 2 E   E  o o 2 E  0
L’équation de propagation peut par analogie s’écrire :
 E  o o 2 E  0
14

Posons :
k 2  o o 2  k   o o
k est appelé vecteur d ' onde (rd/m)
Ondes planes dans un milieu avec pertes
Nous allons considérer l’effet d’un milieu avec pertes sur la propagation. Si ce milieu est conducteur (  est sa
conductivité). Les équations de Maxwell nous permettent d’écrire :
rot E  - jo H
rot H  j o E   E
Et l’équation d’onde ou de propagation va s’écrire :
 

 E   2 1  j
E0
 

Posons :


 2   2 1  j
 
j
   j
    j  1 
 

Chapitre II
Propagation des ondes électromagnétiques dans les milieux diélectriques
 Équation d’ondes (temporel),
 Onde plane, progressive, monochromatique,
 Réflexion/transmission entre deux milieux LHI (incidence normal et oblique
1. Notions de polarisation électrique et magnétique
1.1. Les champs D et H; relations constitutives
E et H
sont les champs « fondamentaux » :
Dans la matière ils provoquent la polarisation P
sont définis par :
et la magnétisation M
.Les milieux linéaires, homogènes, isotropes (LHI)
P   o e E
M  m H
e
et
m
représentent respectivement les susceptibilité électrique et magnétique. (Dans le vide elles sont nulles).
 o E  D  P  D  P   o E   o  e E   o E   o E 1   e  
D   o r E
Dans un milieu isotrope on a :
 r  1  e
r
est appelée permittivité relative du milieu.
De la même façon :
B
  H M
B

 H   m H  H 1   m 
 o
o

M  m H
15
On pose :
r  1   m
r
Est appelée perméabilité relative du milieu.
16
17