Spatial Realizations of Linear Scenes
by Henry Crapo and Juliette Ryan
Resume
Topologie structurale #13,1986
Abstract
Structural Topology #13,19%6
Rkalisations spatiales des scenes linkaires
Un nouvel out2 thhrique pour l'btude et le developpement de l'analyse de scenes et de
la geombhie descriptive est pr6sent6 pour lequel une homologie des configurations
gtomttriques a btb dtfinie. Les groupes homologiques sont calculbs pour plusieures
figures de base: pour les calottes polytklriques, les projections de polykdns, les
surfaces doublement reglbes, et les figures dintersection complkte, comme la
configuration de Desargues.
As a theoretical tool for the study and further development of scene analysis and of
descriptive geometry, the homology of a geometric configuration is defined. Homology
groups are calculated for several basic figures: polyhedral calottes, projected polyhedra,
doubly-ruled surfaces, and complete intersection figures, such as the Desargues
configuration.
Cette etude fut subvention& par une bourse du Conseil de recherches en sciences naturelles et en genie
This research was funded by a grant from the N a W Sciences and Engineering Research Council,
du Canada.
Canada.
Table des matieres
Table of Contents
1. Introduction
2. Wcompte des degrbs de libertk
1.
2.
3.
4.
3.
4.
5.
6.
L'analyse des sctnes au Plat pays
La double algkbre
Conditions projectives: l'ensemble quadrilatkre
Syzygies
7. Conditions projectives: la calotte
8. Fonctions localement lintaires et reltvements: faisceaux et cofaisceaux
9. Homologie des configurations projectives
10. Un exemple de calculs homologiques
11. Syzygies dordre supbrieur
12. Retour ?
la i
figure 1
13. Probltmes ouverts
14. Historique
Bibliographie
Introduction
Counting free choices
Scene analysis in Flatland
The double algebra
5 , Projective conditions: the quadrilateral set
6. Syzygies
7. Projective conditions: the calotte
8. Locally linear functions and lifts: sheaves and cosheaves
9. Homology of projective configurations
10. An example of homology calculations
11. Higher order syzygies
12. Figure 1, revisited
13. Research problems
14. Background
Bibliography
34 TOpolOgk struclurak #13,1986
1. Introduction
1. Introduction
Lanalyse des scbnes lintaires et la ghmktrie descriptive sont cousines. La premiere est
d'esprit analytique tandis que la deuxitme est plus portb vers la construction ou la synthtse,
mais toutes deux Ctudient des configurations gComCtriques en fonction de leurs projections
dans des espaces de dimension inftrieure. Le point de dCpart de l'analyse des sctnes est une
image plane (un dessin dingCnieur ou darchitecte, une projection sur un &ran cathodique,
une photographie aCrienne, un scan aux rayons-X ou k la RNM (CAT), image dont elle
cherche k retmuver toutes les sctnes 3-D l'ayant engendrk. La gtomktrie descriptive, quant !i
elle, est l'art precis de dCfinir une configuration gComCtrique 3-D en se servant d'un ensemble
de techniques diverses de dessin afin de cr6er un espace 3-D surla surface plane de la planche
ti dessin.
Scene analysis and descriptive geometry are birds of a feather. The former has an analytic
bias, the latter a constructive or synthetic bias, but both study geometric configurations in
terms of lower-dimensional projections. Scene analysis begins with a plane image (an
engineer's or architect's drawing, a pattern on a cathode-ray tube, an aerial photograph, or an
X-ray or NMR scan), and seeks to predict all possible three dimensional scenes which could
account for the given image. Descriptive geometry is the art accurately to define geometric
configurations in three-dimensional space, using a number of different drawing techniques,
creating three dimensional space on the flat surface of a drafting table.
Dans cet article, des questions fondamentales concernant l'analyse d'images et la synthtse de
scbnes lintaires sont Ctudiks k l'aide d'exemples explicites et de calculs dCtaillCs montrant
ainsi l'intCrCt d'une thCorie homologique associte au faisceau obtenu en localisant le concept
de fonction linCaire.
In this paper we discuss fundamental questions concerning the analysis of images and
synthesis of linear scenes, using a number of explicit examples and detailed calculations in
order to show the relevance of geometric homology theory, and of the sheaf obtained by
localizing the concept of linear function.
Supposons que nous voulions dCcrire toutes les sctnes 3-D se projetant sur un dessin 2-D
donne. Nous serions tentk de commencer par faire quelques hypothtses simples sur la fason
de projeter; s'agit-il d'une projection centrale ou d'une projection paralltle, et dans le
deuxitme cas, est-ce sur un plan orthogonal k la direction de la projection parallkle? 11convient
de voir qu'h ce moment lh, le choix de la projection n'est pus d'une grande importance
thhrique. I1 vaut mieux poser ces questions dans le contexte de la gkom'trie projective oh
toutes les projections sont Cquivalentes.
Say we are presented with a 2-dimensional drawing, or image, and we want to describe all
possible 3-dimensional scenes which could account for that image. We might be tempted to
start by making some simple hypotheses concerning the process of projection: is it a central
projection, or parallel projection, and if the latter, is it onto a plane which is orthogonal to the
direction of parallel projection? The important thing to realize at this point is that the choice of
projection is not of theoretical importance; these questions are best asked in the context of
projective geometry, where all projections are equivalent.
Quelques concepts de base de la gtomCtrie projective sont rappelCs. L'ensemble vide 0, les
points, les droites, les plans, etc., dans un espace projectif sont appeles sous-espaces
projectifs. Pour tout couple A, B, de sous-espaces projectifs, il existe un plus grand sousespace i n c h dam A et B et un plus petit sous-espace contenant A et B. Le premier appele
intersection de A et B s'krit A A B; le deuxitme appelC somme de A et B s'krit A v B.On
dit que A et B engendmt A v B. Ainsi l'intersection A A H des droites A et H (figure l h )
se nkluit au point a. L'intersection des plans A=abcd et B=cdef (figure Id, repdsenfation
tridimensionnelle) est la droite engendrk par les points c et d. La somme des b i t e s avg et
dve dans une repdsentation tridimensionnelle (figure lf) est le plan contenant les points
adefg alors que la s o m e des droites dve et bvh est tout l'espace 3-D. (Quand aucune ligne
grise n'est indiquk ''a l'anitre" d'un polyedre, on supposera qu'il n'existe pas de droite
i
passant demkre. La figure l h est un "Diagramme de Schlegel"; avec une seule face !
l'arritre.)La d t h o d e la plus simple pour completer un espace euclidien de dimension n en un
espace projectif de m&me dimension avec points !i l'infini, est dassocier !
ichaque point
euclidien de coordonn&s (p1,
, pn) des coordonkes projectives non homoghes du
vecteur p = @I, ... ,pn, 1). Les points de l'espace projectif ainsi obtenu sont les sousespaces de dimension 1 de l'espace vectoriel de dimension n+l, de so& que tout vecteur,
produit de (pl, ... , p m 1) par un scalaire non nu1 repdsente le &me point projectif p.
Deux points sont kgaux, trois points sont colinCaires, quatre points sont coplanaires, etc, si et
seulement si leurs coordonntes vectorielles sont lineairement dkpendantes. Une projection,
decrite avec les coordonnees, devient une transformation linbaire. Par exemple, la projection
centrale, du point de coordondes euclidiennes (2,O) sur l'axe des y est donnk par la
multiplication matricielle x(p) = M*pW oa M est la matrice:
Let us recall a few basic concepts of projective geometry. The empty set 0,points, lines,
planes, etc., in a projective space are called projective subspaces. Given any two projective
subspaces A, B, of any dimension, there is a largest subspace contained in both A and B,
and a smallest subspace which contains both A and B. The former is called their meet of A
and B, and is written A A B; the latter is called the join of A and B, and is written A v B.
We say that A and B spm A v B. Thus the meet A A H of lines A and H in Figure l h is
the single point a. The meet of the planes A = abcd and B = cdef in a 3dimensional reading
of Figure I d is the line spanned by the points c, d. The join of lines avg and dve in a 3dimensional reading of Figure If is the plane which contains points adefg, whereas the join
of lines dve and bvh is the entire 3dimensional space. (When no grey lines are indicated "on
the back of a polyhedron in one of these drawings, it is assumed that there are w lines 011 the
back. Figure l h is a "Schlegel diagram", with only one face on the back.) The process of
completing Euclidean n-dimensional space to form a projective n-space, with points "at
infinity", is most easily accomplished by assigning standard projective coordinates, the vector
p = (pI,... ,pa, l), to each Euclidean point (pl, ... , pJ. The points of the nsultiag
projective space are the ldimensional subspaces of the (n+l)-dimensional vector space, so
any vector which is a n o n - m scalar multiple of @I, ... ,pn, 1) also represents the same
projective point p. Two points are equal, three points are colliaear, four points are coplanar,
etc., if and only if their coordinate vectors are linearly dependent. Projection, written in
coordinates, becomes a linear transformation. For example, the central projection R from the
point with Euclidean coordinates (2,O) onto the y-axis is given by matrix multiplication x(p)
= M*ph, where M is the matrix
...
Structural Topdogy #13,1986 35
M
0
0
-1
0
2
0
0
0
2
M
0
0
-1
0
2
0
0
0
2
Ainsi, on peut remarquer que tous les points sur l'axe des x de coordonnbs non homogbnes
de la forme (x, 0, 1) s'envoient sur (0,0, -x+2). Tous ces vecteurs reprtsentent le m6me
point non nu1 B l'origine sauf pour x=2, centre de la projection, et dans ce cas, l'image est le
vecteur nul, et non un poinr
Observe, for instance, that all points on the x-axis, with standard coordinates of the form
(x, 0, l), are sent to (0,0, -x+2). All such vectors represent the same non-zero point at the
origin except when x=2, at the centre of projection, in which case the image is the zero vector,
not a point.
M6me si le choix de la projection n'a aucune importance thtorique, certaines hypotheses
minimales doivent cependant etre faites concemant la structure 3-D de la scene. Un certain
ensemble P de points n(P') de l'espace doit etre localid de fason B ce que son image soit un
ensemble P donnt. Certains sous-espaces A' de F" dont les images n(A) sont colintaires
dans le plan doivent "rester" colintaires dans l'espace, et c e h s sous-espaces de quatre
points ou plus sont supposts coplanaires en ce qu'ils repdsentent des "facettes" de la scene. I1
est preftrable d'6tablir les hypothbses concemant les ensembles colintaires et coplanaires en
terme de rang g h d t r i q u e . Le rung dun ensemble A des points de l'espace projectif est le
cardinal du plus petit sous-ensemble de A engendrant le &me sous-espace projectif que celui
engendrt par A. (Lerang d'un point est 1, le rang d'un ensemble colintaire est 2, etc.) Les
hypotheses ci-dews de lintaritket de coplanaritk peuvent Ctre simplement ttablies en tcrivant
que, pour tous les sous-ensembles A, B, ... d'une famille E = (A, B, ... ) de sousensembles de P, les rangs sont conservts par projection : r(A') = r(n(A)) = r(A), r(B') =
r(B), ... . On appelle muds ces sou-ensembles et scenes au-dessus dune image donnte
tout ensemble P de points dont la projection conserve le rang des noeuds. (Le concept de
scene est donc dependant des hypotheses sous-entendues dans le choix de la famille E des
noeuds.)
Even if it the choice of projection is not of theoretical importance, we must, however, make
some minimal hypotheses concerning the structure of the 3-dimensional scene. We know we
are to locate a certain set P of points in space, in such a way that the set n(P) of their images
is a given set P in the plane. Certain subsets A of P whose images n(A') are collinear in the
plane are supposed to "remain" (to be) collinear in space, and certain subsets of four or more
points of P are supposed to be coplanar in space, in that they represent "facets" of the scene.
Hypotheses concerning collinear and coplanar sets are best stated in terms of geometric rank.
The rank of a set A of points in projective space is the minimal size of a subset of A needed to
span the projective subspace spanned by the set A. (The rank of a single point is 1, the rank of
a collinear set is 2, etc.) The above hypotheses of collinearity and coplanarity may all be stated
simply by saying that, for all subsets A, B, ... in a certain family E = (A, B, ... ) of subsets
of P, rank is preserved in projection: r(A') = r(n(A')) = r(A), r(B3 = r(B), .,. . We call
these selected subsets nodes, and call any such point set P,for which projection onto P
preserves the ranks of nodes, a scene over the given image. (The concept of scene is thus
relative to the hypotheses embodied in the choice of the family E of nodes.)
Le point de dtpart de la thhrie est la remarque que, puisque la colintaritk et la coplanaritk sont
des contraintes linkales, l'ensemble &(P, E) de toutes les sdnes de projection 2-D (ou
image) P est un espace lintaire: toute combinaison lintaire de scbnes est encore une scene.
Ainsi, il est possible de recueillir de nombreuses informations concernant l'image et ses
difftrentes interprttations dans l'espace en calculant (localement ou globalement) la dimension
lintaire (ou rang) de son espace lin6aire de scenes. Le rang de cet espace de &nes indiquera
si il y a ambigui'tk ou unicit6 de la construction de son interpdtation spatiale, ou bien si une
telle construction est en fait impossible, ce qui serait le cas pour un dessin technique mal
c o n y ou pour un dessin bien c o n y mais pour lequel trop dhypothtses auraient Ct6 formultes
quant B la structure de la scbne.
The starting point of the theory is the observation that, since the collinearity and coplanarity
constraints areelinear constraints, the set WP, E) of all scenes having a given twodimensional projection or imuge P forms a linear space: any linear combination of scenes is
also a scene. Much information about an image, and about its possible spatial interpretations,
can be obtained simply by calculating (either locally or globally) the linear dimension (or rank)
of its linear space of scenes. The rank of its space of scenes will reveal whether there is
ambiguity or uniqueness in the construction of its spatial interpretation, or whether such a
construction is in fact impossible, as would be the case for a poorly conceived engineering
drawing, or even in an otherwise correctly conceived drawing, if too many hypotheses are
made concerning the 3D structure of the scene.
I1 faudrait que le calcul du rang de l'espace des scenes ayant une image donnee puisse 6tre
effectuC B l'aide d'algorithmes combinatoires simples, basts sur des r&gles gCom&iques
faciles B apprendre par caeur. Voici le but de ces recherches, et il se montre dalisable. Ce
problbme a cependant un certain degr6 de difficult6 intvitable. L'exigence qu'une image
donnCe soit la projection exacte d'une s d n e 3-D non triviale (non plane) impose des
conditions projectives sur l'image, conditions qui sont peut4tre les mieux dkrites en termes
de constructions (avec &gle et crayon) pas toujours Cltmentaires. Nous montrerons (chapitres
2-7) comment apparaissent de telles conditions. La raison principale d'introduire une theorie
homologique gbomptrique (chapitre 9) est qu'elle permet de clarifier les interdtpendances de
ces conditions projectives et ainsi de compter les choix admissibles pour la consbuction d'une
scene au-dessus dune image donnte.
Calculation of the rank of the space of scenes having a given image should, in principle, be
accomplished using simple combinatorial algorithms based on easily-remembered rules-ofthumb. This is the goal, and it shows every sign of being achievable. The problem has,
however, a certain degree of unavoidable difficulty. The requirement that a given image be an
accurate projection of a non-trivial (non-planar) 3D scene imposes conditionr on the image,
conditions which are perhaps best described in terms of not-always-elementary constructions
with straight-edge and pencil. In sections 2-7, below, we show how these conditions arise.
The main purpose of introducing a geometric homology theory (section 9) is that by sorting
out the interplay of these projective conditions, we arrive at an accurate count of the choices
available in the construction of a Scene over a given image.
36 TOp010gk structurde #13,1986
2. Decompte des degres de liberte
2. Counting free choices
La figure 1 m o n k un nombre de dessins 2-D exacts de sdnes 3-D reconnaissables. Chacun
est dttermin6 dam l'espace 3-D (une fois le centre de projection arbitrairement choisi) par les
hypothbses que certains sous-ensembles de points sont soit colinkaires, soit coplanaires, et par
un choix arbitraire de hauteurs de certains points, ceux indiquts par les ronds pleins noirs. La
figure la est une r6gion plane hexagonale avec deux dgions gauches adjacentes polygonales
pouvant sortir du plan de l'hexagone. Trois choix sont possibles pour la position des points
dans un de ces plans, et deux autres pour dkterminer la facon dont les a u k s plans sont
courMs par rapport au premier: cinq choix en tout.
In Figure 1 there are a number of correct plane drawings of recognizable 3-dimensional
scenes. Each is determined in 3-space (once one has arbitrarily chosen a centre of projection)
by the hypotheses that certain subsets of the point set are either collinear or coplanar, and by
the arbitrary choice of heights of certain points, those points indicated by solid black dots.
Figure l a shows a hexagonal flat region, with two adjacent polygonal regions which can be
bent out of the plane of the hexagon. There are three choices for the placement of the points in
any one of these planes, and two further choices to determine the degree to which the other
planes are bent relative to the first: 5 choices in all.
I
b
na
b
I
(2
C
nc
eonditlm)
h
b
C
d
d
Flpure 1(a, b)
Flpure 1 (c, d)
Flgure 1(e, r)
La figure l b reprksente une culotte consistant en un plan central entour6 par d'autres plans,
le choix des hauteurs pour les points a, b, d, dkterminant la situation dans l'espace du plan
adcde. Si nous choisissons une hauteur pour le point g qui le rel5ve du plan abcde, la
coplanarit6 de l'ensemble bcgh dktermine la hauteur du point h, la coplanarit6 de cdhi, celle
du point 1, la coplanaritk de deij, celle du point j, et la coplanarit6 de aefj, celle du point f.
Mais comment sait-on que l'ensemble abfg est coplanaire ? A priori, on ne le sait p a encore.
En fait, au-dessus dun dessin j u t e donnk, vkrifiant une condition projective non triviale,
cette dernitre coplanarit6 est une constquence logique de la coplanarit6 des cinq autres
ensembles abcde, bcgh, ,.. , aefj. Si cette condition projective n'ktait pas satisfaite, nous
aurions un dessin plan inexact de "l'objet tridimensionnel", et la seule manitre de le relever
In Figure lb, a culotte, or ring of planes surrounding a central plane, the choice of heights
for points a, b, d determine the location in space of the plane abcde. If we choose a height
for point g which removes it from the plane abcde, the coplanarity of the set bcgh
determines the height of h, coplanarity of cdhi in turn determines the height of point i,
coplanarity of deij determines the height of point j, and coplanarity of aefj determines the
height of point f. But how do we know that the set abfg is coplanar? We don't, at least not
yet. As it happens, over the given correct drawing, which satisfies one non-trivial projective
condition, this final coplanarity is a logical consequence of coplanarity of each of the five
other sets abcde, bcgh, ... , aefj. If the projective condition were not to hold, then we
would be faced with an incorrect plane drawing of the "spatial" object, and the only way to lift
a'
abd, cef
abcd, adf, cef
LI
\
a
b
c
d
f
e
l
I
l
1
I
I
a
b
I
I
-
I
c
I
I
I
I
I
d
e
a'
acd, bdf, me
pbd,
f
acef, bce, bde, cdf
R
1
I
I
I
a
b
c
d
e
f
(2 conditions)
nh
Figure 1 (el h
2b
I
0 s
A
a
c
b
I
I
W
d
0
"
e
f
38 Toplogic strvctwde #13,1986
dans I'espace serait sv un simple plun, avec seulement trois degds de liberte pour la hauteur.
(La formulatlon precise de la condition est pour le moment laissk de c8tk, nous y
reviendrons, pour les calottes, au chapitre 7.)
it into space would be on u single plane, with only 3 free choices of height. (We leave aside,
for the moment, the precise statement of the projective condition. We return to this question,
for calottes, in section 7, below.)
Une pyramide c o m e celle de la figure l c a quatre de@s de liberte et tout dessin plan est
juste. Un cube projectif, figure Id, requiert deux conditions projectives indtpendantes, ce
qui peut ttre vu en comptant les contraintes de coplanaritk de la manikre suivante. Les hauteurs
pour les points b, c, d, sont choisies et la coplanaritk de abcd dttermine la hauteur du point
a. Le choix dune hauteur pour f le relbve en dehors du plan abcd. La coplanaritk de cdef
dCtermine la hauteur de e, la coplanaritk de dbfh determine la hauteur de h, et la coplanaritk
de aceg, maintenant que la hauteur de e est connue, dttermine la hauteur de g. Les hauteurs
de tous les points sont connues, mais on ne sait pas si les ensembles efgh ou abgh sont
coplanaires. Doh deux conditions projectives. (Ce raisonnement sera complktement justifit
par ce qui suit.)
A pyramid, such as that in Figure lc, permits 4 free choices for heights, and any plane
drawing is correct. A projective cube, Figure Id requires two independent projective
conditions, as can be seen using the following count of coplanarity constraints. Say we
choose heights for points b, c, d, and use the coplanarity of abcd to determine the height of
the point a. Choose a height for f which lifts it out of the plane abcd. Coplanarity of cdef
determines the height of e, coplanarity of bdfh determines the height of h, and coplanarity of
aceg, now that the height of e is known, determines the height of g. All the heights of the
points are known, but we do not know whether the sets efgh or abgh are coplanar. Hence,
two projective conditions. (This rationale will be fully justified in what follows.)
Un polyMre siinplicial (i.e. triangult) comme l'octakdre de la figure l a a autant de degks de
liberte qu'il a d e sommets pour sa rtalisation spatiale. Un dkompte analogue h celui effectut
pour le cube projectif montre que le polyedre de la figure If requiert quatre conditions
projectives indtpendantes pour toute rtalisation spatiale non plane. Ces quatres conditions
ttant vtrifites, il y a exactement quatre degrts de libertt pour le choix des hauteurs des
sommets. Avec les choix ci-dessus, la coplanaritk des ensembles abgh, fghl, abdef, efjk,
ljkl et abcd peut ttre utiliste pour determiner les hauteurs des points restants. La coplanaritk
des deux ensembles h cinq points bchil et cdekl est obtenue automatiquement (au-dessus
d'un dessin plan juste) car les quatre conditions sont vtnfiks.
A simplicia1 (that is, triangulated) polyhedron, such as the octahedron in Figure le, has as
many choices for its spatial realization as it has vertices. A count analogous to that used for the
projective cube shows that the polyhedron in Figure If requires 4 independent projective
conditions for any (non-coplanar) spatial realization. Once all four such conditions are
satisfied, there are exactly 4 free choices of heights for the vertices. With the choices as
indicated, coplanarity of the sets abgh, fghij, adefg, efjk, ljkl, and abcd can be used to
determine the heights of the remaining points. coplanarity of the two five-point sets bchil
and cdekl occur automatically (over this correct plane drawing) because the four conditions
are satisfied.
Le rhombidodkakdre de la figure l g peut &tre r6alisC avec cinq degds de libertk dans le
choix des hauteurs. Un dkompte semblable a celui du cube projectif ne prtdirait que quatre
degrts de libertk pour les hauteurs et seulement deux conditions projectives. Ce dessin est
encore plus "spkial" (ce qui anivera chaque fois que les &tes appartiennent h une mtme
famille de droites parallkles); la hauteur d'un point ainsi que les pentes des quatre familles de
droites peuvent &tre librement choisies. Les hauteurs des points a, b, d, j, k sont choisies
arbitrairement. En laissant de c8tk trois des faces, comme par exemple abcm, almn et aghl,
les conditions de coplanaritk restantes sont suffisantes pour dkterminer les hauteurs des points
qui n'ont pas encore Ctk fixks. Que les faces abcm, almn et aghl soient coplanaires est alors
une cons6quence des trois conditions projectives.
The rhombic dodecahedron illustrated in Flgure l g can be realized with 5 free choices of
height. A count analogous to that performed for the projective cube would predict only 4 free
choices of height, and only two projective conditions. This drawing is even more special (as
will happen whenever the edges are drawn as families of parallel lines); the height of one point
and the slopes of the four families of lines can be freely chosen. Choose arbitrary heights for
the points a, b, c, j, k. Leaving aside three of the faces, such as abcm, almn, and aghl, the
remaining coplanarity conditions are just enough to determine the heights of the remaining
points. That the faces abcm, almn, and aghl are coplanar is then a consequence of three
independent projective conditions.
Sur la figure l h , imaginons un dseau non coplanaire dans I'espace, faisant partie d'une
surface quadrique doublement rcglk. Ici, on suppose que les droites A = abcd ... , H = ael
sont des droites dam I'espace. Ceci implique que de tels sousensembles comme abcdei sont
coplanaires dans I'espace, et inversement. Ceci est un dessin juste. Ap&s avoir choisi de
f&on indtpendante les hauteurs des points a, b, e, f, la colintaritk de abcd, efgh, ael, bTj
et Ukl dttermine les hauteurs des points restants, mais la colidaritk des ensembles cgk et dhl
n'est pas acquise doffice. La colinCaritk de ces ensembles, au-dessus d'un dessin juste, est la
ConSeQuence des choix p k t d e n t s et de deux conditions projectives ind6pendantes.
In Figure lh, imagine a non-coplanar grid in space, part of a doubly-ruled quadric surface.
Here we assume that the lines A = abcd, ... , H = ael are straight lines in space. This
implies, of course, that such sets as abcdei are coplanar in space, and conversely. This is a
correct drawing. After a free choice of heights for the points a, b, e, f, the collinearity of
abcd, efgh, eel, bfj, and ijkl determine the heights of the remaining points, but the
collinearity of the sets cgk and dhl are in question. Collinearity of these sets, over a correct
drawing, is the consequence of the prior choices and of two independent projective
conditions.
Les exemples de la flgure 1 donnent une id& adtquate des phCnodnes rencontds lors dun
dkompte p k i s des degds de liberte et des conditions projectives ntcessaires pour des
dessins plans justes de scknes lintaires. En particulier, pour des sctnes polyedriques, il est
clair que chaque face n-gonale impose n-3 conhaintes sur les hauteurs des points. Donc, si le
The examples in Figure 1 give an adequate idea of the phenomena to be encountered in the
search for an accurate count of free choices and of projective conditions for c o m t plane
drawings, of linear scenes. In particular, for polyhedral scenes, it is clear that each n-gonal
Strulural Topdqy 113,1986 39
dessin polytdrique possMe f, faces n-gonales, pour n = 3, 4, ... , les contraintes de
coplanarite, dans le cas ob elles sont indtpendantes, diminuent de
f4 + 2f5 + 3f6 + ..
les degrts de libertk pour les hauteurs des points. Soient s, a, f, le nombre de sommets,
ar€tes, et faces respectivement d'un graphe polyedrique. Si, B la formule cidessus, on ajoute
3f = 3f3 +3f4 + 3f5 + ... , on obtient
3f3 +4f4
+ 5f5 + 6f6 +
.. ,
ce qui est tgal B 2% car chaque &te est commune h deux faces exactement. D o h
(1)
s-2a+3f =
# degds de libert6 - # relations indtpendantes entre les contraintes de coplanaritk
face imposes n-3 constraints on the heights of points. So if there are f, n-gonal faces in a
polyhedral drawing, for n = 3,4, ... ,the coplanarity constraints, if independent, remove
f4 + 2f5 + 3f6 + ...
degrees of choice for the heights of the points. Let v, e, f, be the number of vertices, edges
and faces, respectively in a polyhedral graph. If we add 3f = 3f3 +3f4 + 3f5 + ... to the above
formula, we get
3f3 +4fd + 5f5 + 6f,5 + ... ,
which is equal to 2e, because each edge is common to exactly two faces. Thus
v - 2e + 3f =
(1)
# free choices
- # independent relations among the coplanaxity constraints.
L'idte de base est de considtrer la s o m e des termes de gauche de l'6quation comme une
caracthistique, et les deux termes de droite, cornme les deux premiers nombres de Betti, dans
une thtorie homologique approprite, thdone qui s'ttendra alors B tout ensemble f i i de points
projectifs et h toute configuration (choix de noeuds).
The basic idea is to think of the sum on the left side of this equation as a characteristic, and the
two terms on the right as the first two Betti numbers, in an appropriate homology theory, a
theory which will then extend to arbitrary finite sets of projective points, and arbitrary
configurations (choices of nodes).
3. L'analyse des scenes au Plat pays
3. Scene analysis in Flatland
La plupart des aspects de la thhrie, conditions projectives inches, sont dtjB apparents dans
le cas de projections d'un plan sur une droite, de la dimension 2 sur la dimension 1. Voici
quelques exemples de cet ordre, afim de raffiner nos techniques de dtnombrement. Soit un
ensemble P de six points a, b, c, d, e, 1, sur une droite L dun plan Q. Supposons que cette
configuration soit la projection (d'un centre de projection q du plan) dune figure P de six
points a', b', c', d', e', f, respectivement du plan Q. La figure plane de ces six points
n'est pas complttement arbitraire, mais certains des noeuds (les sous-ensembles A, B, ... ) de
l'ensemble P sont colintaires. Si A = {abd}, B = {cef}, les positions des points a, b, c, e,
peuvent Ctre choisies le long de rayons de projection, et les positions des points restants d, f
peuvent Ctre calcultes g r k e B l'hypothtse de colintarite des ensembles abd et cef. I1 y a donc
quatre choix indtpendants possibles pour construire la figure plane P. (Vokfigure 2a, 05 la
projection est supposte verticale, sur une droite horizontale L.)
Many of the basic features of the theory, including projective conditions, are already visible in
the case of projections from the plane down to a line, from two dimensions to one. Let's look
at some simple examples of this sort, in order further to refine our counting techniques. Say
we have a set P of six points a, b, c, d, e, I, at various positions along a straight line L in a
plane Q. Assume that this configuration of points is the projection (from some center q of
projection in the plane) of a figure P of six points a', b', c', d', e', r, respectively, in the
plane Q. Let's say that the plane figure of six points in not completely arbitrary, but that
certain nodes (subsets A, B, ... of the set P) are collinear. If A = {abd}, B = {cef}, we can
choose the positions of points a, b, c, e along the given rays of projection, and calculate the
positions of the remaining points d, f by using the requirement that abd and cef are both
collinear sets. Thus there are four free choices in forming the plane figure F". (See Figure
2a, in which we take the projection to be vertical, onto a horizontal line L.)
Si les positions des points sont laissdes inchangtes tout en modifiant la composition des
noeuds, (cf. les quatre sections de la figure 2), le nombre de choix indtpendants admissibles
pour la figure plane requise peut varier. Sur la figure 2b, trois choix sont possibles pour
relever les cinq points abcdf, et un choix de plus pour relever le point e, qui n'est concern6
par aucune condition de lintarite.
If we maintain the positions of the points, but change the specification of nodes, as in the four
sections Figure 2, the number of free choices available for the required plane figure will
vary. In Figure 2b, there are three choices for lifting the five points abcdf, and one
additional choice for lifting the point e, which is not involved in any preserved threc-point
line.
Comment le nombre de choix peut-il &tre calculC, ou du moins estimt, Ctant donne la structure
de la famille E = (A, B, ... ) de noeuds? Soit A un noeud de P. Alors le nombre de choix pour
les hauteurs des points de A est Cgal B 2 si A contient au moins 2 points, et est tgal au cardinal
de A, si A a au plus 2 points. Autrement dit, le nombre de choix est tgal au rang r(A) de
l'ensemble A, i.e. le nombre de points ntcessaires pour engendrw l'ensemble A, considtr6
c o m e un ensemble de points de l'espace projectif. S'il y a plus d'un noeud, il faut chercher
une formulation qui tienne compte du rang de chacun des muds, et qui prtdise le nombre de
choix. Sur la figure 2a, la solution exacte est 4, tgale B la somme des rangs des deux noeuds
abd, def. Sur la figure 2b, il est nkessaire de sousfraire le rang r(d)=l de l'intersection
How can the number of choices be calculated, or at least estimated, given the structure of the
family E = (A, B, ... ) of nodes? Say a subset A of P is a node. Then the number of choices
for the heights of the points in A over the line is equal to 2 if A consists of at least two points,
and is equal to the cardinality of A, if A has no more than 2 points. That is, the number of
choices is equal to the rank r(A) of the set A, the number of points necessary to span the set
A, as a set of projective points. If there is more than one node, then we may look for a
formula in the ranks of the individual nodes, which will predict the number of choices. In
Figure 2a, the correct answer is 4, equal to the swn of the ranks of the two nodes abd, cef.
In Figure 2b, we see it is necessary to subtract of the rank r(d) = 1 of the intersection acd
40 Topologiestrvctwdc #13,1986
d. For any family E = (A, B) of two nodes, we would expect to find
acd n bdf = d. Pour toute famille E = (A, B) de deux naeuds, on s'attendrait h ce que le
nombre de choix soit
n bdf =
r(A) + r(B) - r ( A m
Ceci s'avbre exact, en particulier, quand les d e w noeuds de la droite ont au moins deux points
en commun: il ne reste que deux choix pour la sdne. En soustrayant des termes
correspondants h toutes les intersections de couple de noeuds, une bonne formulation est
obtenue pour la figure l a :
r(A) + r(B) - r ( A d )
choices. This works out correctly, in particular, when two nodes on the line have at least two
points in common: there remain only two choices for the scene. If we include subtractive
terms for each pairwise intersection, we also get the correct answer for Figure la:
r(A) + r(B) + r(C) - r(M-)r(BnC) = 3+3+3-2-2=. 5.
I1 semble raisonnable de conjecturer que la formule correcte pour une famille arbitraire de
noeuds est une adaptation de la formule habituelle "d'inclusion-exclusion'',
r(A) + r(B) + r(C) - r ( A d ) - r(BnC) = 3+3+3-2-2= 5.
It seems reasonable to conjecture that the correct formula for an arbitrary family of nodes is an
adaptation of the usual formula of "inclusion-exclusion",
(2)
r(A) + r(B) + r(c) + ... - r ( h B ) - r ( A 6 - ...
+ r(AnBnC) + ... - (..
VWions cette formule sur la figure 2c. Lb, nous n'avons que deux choix car une fois la
droite a'b'c'd' f i k e , le point f' doit Ctre colinbaire ti deux de ces points, et de mCme, e' doit
Ctre colinCaire a c' e t P, La formule (2) donne:
r(abcd)
+ r(adf) + r(cef) - r(ad) - r(c) - r(f)
= 2 + 2 + 2 - 2 - 1 - 1 = 2,
ce qui est correct. Mais l'exemple de la figure 2d m o n k dbjh que la formule (2) est assez
loin de la dalitk. Car
r(A)+r(B)+ ... +r(E)=
r(abd) + r(acef) + r(bce) + r(bde) + r(cdf),
(2)
r(A) + r(B) + r(C) + - r ( A d ) -<A&)
+ r(AnBnC) + ... - ...
. a .
- ...
Check this formula in Figure 2r. There we have only two choices, because once the line of
a'b'c'd' is fixed, the point f must be collinear with two of these. points, and e' must in turn
be collinear with c' and f.Formula (2) yields
r(abcd) + r(adf) + r(cef) - r(ad) - r(c) - r(f)
= 2 + 2 + 2 - 2 -1- 1=2,
which is correct. But the example in Figure 2d shows already that formula (2) is rather far
from the truth. Since
r(A) +r(B) + ... +r(E) =
r(abd) + r(acef) + r(bce) + r(bde) + r(cdf),
-r(AnB) ... -r(DnE)=
-r(a) - r(b) - r(bd) - r(d) - r(ce) - r(e) - r(cf) - <be) - r(c) - r(d),
- r(AnB) ... - r(DnE) =
-r(a) - r(b) - r(bd1 - r(d) - r(ce) -He) - r(cf) - r(be) - r(c) - r(d),
et r ( A 4 n D ) + r(AnDnE) + r(BnCnE) + r(BnCnD) =
r(b) + r(d) + r(c) + r(4,
la formule (2) donne 10 - 14 + 4 = 0, ce qui n'est ceminement pas bgal au nombre de choix
possibles. En regardant attentivement cet exemple, nous voyons que les contraintes de
colinkarite (hypothbses de colintarite pour les nceuds) sont dkpendantes. Pour dduire le
nombre de choix possibles h deux, un ensemble plus petit de naeuds aurait suffi soit acef,
bce, abd, ou m€me abd, bce, bde, cdf (dam ces deux cas, la formule (2) donne la bonne
reponse). Dans un sens, qui sera bientBt p k i s b , les contraintes sont liks par deux relations
indbpendantes: ceci explique les diffkrences entre la formule (2) et le nombre de choix. Pour le
moment, remarquons simplement que la colinbaritk de acef, bce, et abd implque la
colinkarite de bde et de cdf, de mCme que la colintarite de abd, bce, bde, et cef implique la
colinkarite de abcd, du moment que les points a, ... , f sont dans une position
raisonnablement g6nkrale.
and r(AnCnD) + r(AnDnE) + r(BnCnE) + r(BnCnD) =
r(b) + r(d) + r(c) + r(4,
formula (2) yields 10 - 14 + 4 = 0, which is certainly not equal to the number of choices.
Looking carefully at the example, we see that the collinearity constraints (statements that
nodes are collinear sets) are dependent. To reduce the possible choices to two, it would have
sufficed to give a smaller set of nodes, such as acef, bce, abd , or even abd, bce, bde, cdf
(in both of which cases formula (2) gives the correct answer). In some sense, soon to be
made precise, there are two independent relations between the constraints: it is this fact which
accounts for the difference between formula (2) and the number of choices. For the moment,
we simply observe that collinearity of acef, bce, and abd imply collinearity of bde and of
cdf, just as collinearity of abd, bce, bde, and cdf impZy collinearity of abcd, so long as the
points a, ,., ,fare in reasonably general position.
En poursuivant l'idbe d'une thkorie homologique, nous pouvons donner le r81e de
curactkristique ?A la formule (2), et d b f i i les degrbs de libertk comme Ctant le mmbre de Betti
d'ordre zkro. Alors la diffbrence entre le nombre de choix et la formule (2) peut Ctre due h une
homologie de dimension sup5eure. La liaison entre formules (1) et (2) pour la caracteristique
gbombtrique est dkfinie comme suit. Tout sommet d'un polybdre peut Ctre exprim6 de
Continuing with our thought that there is a homology theory involved, we can try to cast
formula (2) in the role of churacferistic, and freedom of choice as the 0th Befri nwnber. Then
the difference between the number of choices and formula (2) can be accounted for by higher
homology. The connection between formulae (1) and (2) for the geometric characteristic is as
follows. Any vertex of a polyhedron can be expressed in many ways as the intersection of
Structural Topology #I3,1986 41
plusieurs manibres comme l'intersection des trois faces ou plus qui le contiennent dans un
dessin polyCdnque. Mais la contribution totale dans la formule (2) dun sommet p sera
toujours 6gale B 1 = r(p), de meme que la contribution dune arete pq du polyedre sera de -2 = r(pq), et la contribution dune face ou m u d sera de 3 = r(pqr ...). Cette simplification donne
la formule (1).
three or more faces incident w i h it in a polyhedral drawing. But the total contribution in
formula (2) made by any single vertex p will always be equal to 1 = r(p), just as the
contribution from any edge pq of the polyhedron will be -2 = -r(pq), and the contribution
from any face, or node, pqr... will be 3 = r(pqr ...). This simplification gives formula (1).
On pourait penser, a priori, que l'analogie que nous Ctablissons entre analyse des sctnes et
topologie combinatoire de complexes simpliciaux est assez forck. Cela peut surprendre, mais
c'est en fait une gtnCralisation direck. Les calculs usuels de nombre de Betti des complexes
simpliciaux peuvent Ctre reproduits dans le contexte de I'analyse des s h e s dans le pays des
droites, donnant l'Btude de scines unidimensionnelles projetkes sw un seul point ... Un
complexe simplicial sur un ensemble P d'C1Cments est une famille hCr6ditaire arbitraire de sousensembles de P. Les simplexes (ou du mobs les simplexes maximaux) d'un complexe
deviennent les noeuds et on procue comme cidessus. La formule (2) n'est rien d'autre que la
caracteristique d'Euler-Poincar6, calcul6e sur le nerf du complexe. Chaque terme de la forme
r(A), pour un sous-ensemble A de P, est nu1 si A = 0 et vaut 1 sinon. Le &reitme nombre de
Betti est le nombre de composantes connexes du complexe, c'est-tidire le rang de l'espace
1inCaire des prtimages unidimensionnelles du point multiple, par rapport B la projection de la
droite sur un point et par rapport B la famille des simplexes (ou muds). Pour tout m u d A, le
rang de l'ensemble correspondant A dans la sctne unidimensionnelle doit &&etgal ti r(A) = 1;
les points dun m & mnoeud doivent avoir la d m e position dans la sdne unidimensionnelle.
Le dkompte complet de l'homologie dans toutes les dimensions n'est nen d'autre qu'une
manibre pdcise de compter le nombre de composantes connexes en termes de propriktks de
l'ensemble des contraintes qui font que deux elements d'un meme noeud ont la meme position
dans la pdimage construite sur la droite.
One might think offhand that the analogy we me constructing between scene analysis and the
combinatonal topology of simplicial complexes is a rather far-fetched. Perhaps surprisingly, it
is a direct generalization. The usual calculations of Betti numbers for simplicial complexes can
be modeled in the context of scene analysis in Straightland, as the study of one-dimenrional
scenes projected down to a single point. A simplicial complex on a set P of elements is an
arbitrary hereditary family of subsets of P. We take the simplices (or at least the maximal
simplices) in a complex to be our nodes, and proceed as above. Formula (2) is equal to the
Euler-PoincarB characteristic, calculated on the nerve of the complex. Each term of the form
r(A), for some subset A of P, is equal to zero if A&, and is otherwise equal to 1. The 0th
Betti number is the number of connected components of the complex, that is, the rank of the
linear space of one-dimensional preimages of the multiple point, with respect to projection of
the line down to a point, and with respect to the family of simplices (as nodes). That is, for
each node A, the rank of the corresponding set A in the ldimensional scene must be equal to
r(A)=l; points in a single node must be assigned the sume position in the ldimensional
scene. The entire count of homology in all dimensions is nothing other than a way of
accurately counting the number of connected components, in terms of properties of the set of
constraints that two elements in any single node have the same position i n the preimage
constructed on the line.
I1 n'y aurait aucun avantage si on pouvait simplement compter les cycles et les bords en terme
de proprittks combindoires de l'ensemble des noeuds comme il est fait en thhrie
homologique des complexes simpliciaux. Mais ceci n'est pas le cas. Dans l'exemple de la
figure 3, la premitre partie montre la construction dune scene 2-dimensionnelle au-dessus
There would be not much new in geometric homology if one could simply count cycles and
boundaries in terms of combindorid properties of the set of nodes, as one can in homology
theory of simplicial complexes. But this is not the case. Consider the example in Figure 3,
the f i t portion of which shows the construction of a 2dimensional scene over the same set
a'
ace, adf, bcf, bde
Ll
ace, adf, bcf, bde
b'
n
# ? ;
I
1
1
1
o c
A
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a
C
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,
'
I
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b C
f
a
b
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I
I
I
I
1
1
I
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1
1
1
I
1
oc 6
b
c e f
d
Fkure 3b
42 Toplogic structuralc #13.1986
du m 6 m ensemble de six points de la droite L que celui de la figure 2. Sur la figure 3a,
seules deux dimensions de choix sont possibles pour une sctne au-dessus de la configuration
donnte, si l'on garde ace, adf, bcf, bde colintaires. Dun autre dM,si le point b Ctait
d t p l d vers une position entre d et e, juste sous le point oh se rencontrent les droites d'e',
c'f lors d'une tentative (ou d m lors de toutes tentatives) de dessiner une s d n e 2-D non
colintak, alors le dessin se completerait (d'une fason au moins) d'une scene non-colintaire.
(On verra plus loin qu'il existe en fait trois degds de liberM pour la construction.) C'est
l'exemple non trivial le plus simple dune condition projective pour laquelle le nombre de
choix possibles pour la construction de la sckne est plus grand que celui attendu. Cette
condition projective ne peut &re ttablie en termes de constructions (somme et intersection)
effectuks sur la droite L, mais elle peut etre ttablie algtbriquement, en termes de positions
des points SUT la droite, comme suit:
(3)
[ad][cfl[eb] - [afl[cb][ed]
=0
oh [pq] = p q est la distance entre les deux points, de coordonntes non homogbnes p =
(p, l), q = (9, 1). Quand trois couples non ordonnes {a, b}, {c, d}, {e, f}, de points
projectifs v w i e n t cette condition projective, on dit qu'ils f o m n t un ensemble quudrilufire.
Doh, on peut t&s bien les repdsenter comme h i s vecteurs avec leurs differences deux ti
deux: {p, rq}, {-q, p-r}, {r, q-p}. Voir plus bas, chapitre 11. Tant que deux des couples
restent distincts, l'emplacement de ces deux couples de points et celui du cinquitme point
dtterminent le sixitme point. Considtde cornme une op6ration d'ordre cinq sur les points de
la droite projective, cette construction est fondamentale pour l'ttude de l'algtbre de la droite
projective. Les optrations algtbriques d'addition et de multiplication peuvent etre vues comme
cas sptciaux si 3 des 5 points variables sont fix& Pour plus de dttails sur ce sujet, voir
dftrence [Crapo 19871.
of six points on a line L, as in Figure 2. Figure 3a shows that there are only 2 free choices
for a scene over the given configuration, if ace, adf, bcf, bde are to be kept collinear. On
the other hand, if the point b were to be moved to a position between points d and e, exactly
beneath the point at which the lines d'e' and c'f would cross in an (or, in fact, in any)
attempt to draw a non-collinear 2-dimensional scene, then the drawing could (in at least one
way) be completed to a non-collinear scene. (We shall show that there are actually 3 free
choices for the construction.) This is the simplest non-trivial example of a projective
condition, under which there are more than the expected number of choices in the construction
of a scene. This projective condition cannot be stated geometrically in terms of constructions
(joins and meets) taking place wirhin the line L, but it can be stated algebraically, in terms of
the positions of the points on the line, to wit:
[ad][cfl[ebl - [afl[cb][ed] = 0
where [pq] = p-q is the distance between the two points, if they are given in standard
projective coordinates p = @, l), q = (q, 1). When three unordered pairs {a, b}, {c,d},
{e, f} of projective points satisfy this projective condition, we say they form a quudrilareral
set.. If so, they can equally well be c o o r d i n a W as three vectors and their three painvise
differences: {p, r-q}, {-q, p-r}, {r, q-p}. For this, see below, section 11. As long as two
of the pairs are distinct, the location of those two pairs of points and of the fifth point uniquely
determine the sixth point. Considered as a 5-ary operation on points on the projective line, this
construction is fundamental to any study of the algebra of the projective line. The algebraic
operations of addition and multiplication can be included as special cases, if 3 of the 5 variable
points are held fixed. For further information on this subject, see reference [Crapo 19871.
(3)
4. La double algebre
4. The double algebra
Afin de compter exactement les degds de libertt des choix pour les dalisations spatiales de
sci?nes lintaires, et de distinguer un dessin juste dun dessin inexact dune telle sctne, il est
ntcessaire de bien comprendre les conditions projectives. Une condition projective est
algtbriquement &rite cornme une &pation polynomiale de crochets densembles de points
(i.e. certaines sommes de produits de mineures prises de cette matrice de coordonnks sont
nulles). Une condition projective admet en gbntral une expression gkodtrique
correspondante plus intuitive et plus simple ti assimiler. La traduction de l'algtbrique au
gComttrique de ces conditions projectives est effectuCe de fason trhs pdcise dans ce qui est
connu comme la double algdbre (ou algtbre de Cayley) [Doubilet & Stein 19741. Ap&s une
courte introduction sur la double algkbre, les deux exemples de base (et les plus importants)
Seront traites en dCtail : l'ensemble quadrilatkre et la calotte polyedrique.
In order accurately to count choices for spatial realizations of linear scenes, and in order to
distinguish correct from incorrect drawings of such scenes, we must have a conceptual grasp
of projective conditions. Projective conditions are algebraically expressed as polynomial
equations in bruckts of sets of points (that is, as statements that certain sums of products of
minors of their matrix of coordinates are equal to zero). Fmjective conditions usually have a
corresponding geometric expression which is much more appealing to intuition, and simpler
to digest. The translation between the algebraic and geometric expressions of projective
conditions is carried out with great precision in what is known as the double algebra (or
Cayley algebra) [Doubilet & Rota & Stein 1974]..After a few words of introduction to the
double algebra, we shall treat in detail the two most basic (and important) examples of
projective conditions: the quadrilateral set and the polyhedral calotte.
Soit P un ensemble de points projectifs dans un espace projectif de rang k (de dimension
projective k-I) dont les cmrdonnks sont les colonnes dune matrice k x p (avec des lignes
indtpendantes). Pour tout sousensemble A s P de cardinal k, l'ensemble coxrespondant des k
colonnes de la matrice M forme une matrice c&e dont on peut calculer le determinant (ou le
mineUr). Ce dCtednant est note [A], ou [ab d] si A = {a, b, ... , d}. I1 est appelt crochet
de l'ensemble A.
Let P be a set of projective points in a projective space of rank k, (projective dimension k-l),
coordinatized by the columns of a k by p matrix M (with independent rows). Then for any
subset A s P of cardinality k, the corresponding set of k columns of the matrix M form a
square matrix of which we can take the determinant (or minor). This determinant, we denote
by [A], or [ab d] if A = {a, b, ... ,d}. We call it the brackt of the set A.
...
...
Shwlwal Topology 613,1986
Une construction similaire donne ce qui est connu comme les coordonnkes de Pliicker (ou
grass&nnes)
de l'espace projectif engendd par un ensemble indtpendant de n points
a, b, ... dun espace projectif de rang n, nlk. On prend maintenant la matrice k x n dont les
colonnes sont les coordonnks des points a, b, ... . Pour tout n-sous-ensemble J d'tltments
de l'ensemble (1, ... , k} dindices des coordondes, le mineur correspondant est la Jh
c o o r d o d e de Pliichr du sous-espace a v b v
engendd par les n points a, b, ... Soit
un vecteur B coordonnks de Plucker, une pour chaque n-sousensemble J de l'ensemble
{ 1, ... ,k}. Ce vecteur dtpend ( B un multiple scalaire prh) non pas des points eux-mtmes,
mais de l'espace engendr6 par ces points. Inversement, des sous-espaces distimts ont des
vecteurs B coordonnks de Plucker qui ne sont pus des multiples scalaires. Doil B l'aide des
coordonnks de Plucker, tout sous-espace projectif de rang n dun espace projectif de rang k
peut &tre repdsentb comme un point projectif de l'espace de rang C(k. n) ce dernier ttant le
nombre de sous-ensembles de cardinal n dun ensemble de cardinal k. Ainsi s'il est suffisant
de travailler au niveau des vecteurs (les coordonntes projectives donnks en coordonntes
standard) au lieu des points projectifs eux-m&mes,les op6rations algtbriques linCaires telles
que l'addition, et les multiplications par des scalaires peuvent bee utilisks pour effectuer des
ophtions algtbriques sur tous les sous-espaces de rang quelconque.
...
...
43
A similar construction gives what is known as the Plucker (or Grussmann) coordinates of the
projective space spanned by an independent set a, b, ... of n points in a projective space of
rank k, where nlk. Here we form the k by n matrix of which the columns are the coordinate
representations of the points a, b, ... Then for any n-element subset J of the set (1, ... , k} of
coordinate places, the corresponding minor is called the Jth Pliicker coordinate of the
spanned by the n points a, b, ... . Form a vector of Plucker
subspace a v b v
coordinates, with an entry for each n-element subset J of the set { 1, .,. ,k}. The resulting
vector depends (up to a scalar multiple) not really on the points themselves, but only on the
subspace spanned by those points. Conversely, distinct subspaces have vectors of Plucker
coordinates which are not scalar multiples of one another. So, using Plucker coordinates, we
manage to represent each rank n projective subspace of a projective space of rank k as a
projective point in a space of rank C(n, k), the latter being the number of subsets of cardinality
n in a set of cardinality k. And if we are content to work at the level of vectors (say, the
standard representations of projective points), rather than at the level of the projective points
themselves, we can make full use of the linear algebraic operations of addition and scalar
multiplications,and perform algebraic operations on subspaces of all ranks.
...
...
Un sens pdcis est ainsi donnk B l'expression a v b v
: elle est kgak B son vecteur
k plus, le produit v (atkrieur) de points et de sous-espaces peut &tre ttendu en
pluckerien. L
remarquant que a v b v = 0 pour tout ensemble dependant et en particulier, chaque
fois que l'expression contient une lettre dpC&. Remarquons aussi que a v b = - b v a, doh
la multiplication ext6rieure est anti-commutative. Quand aucune ambigu'it6 n'est possible, le
symbole v sera omis, et le produit exthieur des points a, b, ... , d sera not6 simplement par
la chine ab d.
: it is equal to its vector of
We thus give a precise meaning to the expression a v b v
Plucker coordinates. Furthermore,we can extend the v (or exrerior) product of points and of
subspaces by observing that a v b v = O whenever the set {a v b v
} is
dependent, and in particular whenever the expression a v b v contains a repeated letter.
Observe also that a v b = - b v a, so exterior multiplication is anti-commutative. Whenever
this will not engender any confusion, we drop the operator symbol V, and write the exterior
product of points a, b, ... d simply as the string ab...d.
Pour finir, une autre op6ration gbmktrique projective naturelle A , intersection ou "cap"
produit, est ajout6e B la machinerie algtbrique. Etant donnks deux chaines ab...d et ef...h,
qui, ensemble, engendrent tout l'espace de rang k, le "cap" produit ab...d A ef...h de ces
deux chdnes est effectut par l'une ou l'autre des deux mtthodes suivantes Quivalentes. Dans
la premitre, on remplit en partie le crochet (du c8th h i t ) par la chaine ef...h, puis on le
complbte avec autant de points qu'il est n6xssaire provenant de la premibre chaine ab d, de
toutes les manibres possibles, les pints restants de la chaine ab...d Ctant mis B l'exthieur;
tous ces termes sont additionnts, avec un signe + ou - cornspondant B la permutation sortant
le sous-ensemble de la chahe ab...d le plqant B l'avant de la c h h e , relativement B l'ordre
(choisi arbitrairement) de toutes les lettres de l'ensemble P des points. Ainsi pour le rang k=3,
Finally, we incorporate the other natural projective geometric operation, A, or "meet", in the
algebraic machinery. Given two strings ab...d and ef h, which together span the entire
space of rank k, we form the meet ab...d A ef...h of these two strings in either one of two
equivalent ways. In the f i t method, we partially fill a bracket with the second string ef...h
(at the end), then finish f i g the bracket with as many points as are needed, chosen from the
first string a b k d , in all possible ways, leaving the remaining points of the string ab...d
outside; all such terms are added, with a sign (fl)corresponding to the permutation we have
used in order to extract a subset from the string ab...d, moving them to a position in front of
the others, relative to some (arbitrarily chosen) linear order of the letters in the entire set P of
points. Thus, in rank k=3,
ab A cd = [acdlb - [bcdla.
ab A cd = [acdlb - [bcdla.
La seconde mtthode consiste ?
remplir
i
en partie le crochet (du cBt6 gauche) avec la premibre
chaine, ef de toutes les manitres possibles, B mettre une partie de la deuxieme chahe dehors
( B l'avant), les points restants remplissant le crochet du cat6 droit, puis B sommer avec le signe
approprit. Le mtme "cap" produit calcult avec la deuxibme dthode donne
The second method is partially to fill the bracket with the first string (at the beginning), and
split the second string in all possible ways, a pohon outside (in front), the rest to fill the
bracket (at the end), and summed with the appropriate sign. This same meet, calculated by the
second method, results in the expression
ab A cd = c[abd] - d[abc].
ab A cd = c[abd] - d[abc]
Toutes deux expriment deux situations gbdtriques Quivalentes: le point dintersection p =
L A M de deux droites L = ab, M = cd peut &bCcrit c o m e combinaison lintaire de points
de chacune des dew; droites L = ab, M = cd. Les coefficients de la combinaison linbire
approprik d@end, ainsi que le montrent ces Cquations, des positions relatives de ces quatre
Both are equally valid statements: the point of intersection p = L AM of two lines L = ab,
M = cd can be expressed as a linear combination of the points on either one o f the two lines.
The coefficients of the appropriate linear combination depend, exactly as shown by these
equations, on the relative positions of the four points. These two expressions for ab A cd are
,..
...
...
...
...
...
...
44 Toplogit structuralr #13,1986
points. Ces deux expressions pour a b A cd sont tgales car
equal because
-
[bcdla - [acdlb + [abdlc - [abcld = 0
que l'on peut voir, composante par composante, si on dkveloppe les dkterminants des matrices
4 x 4 obtenues en r6Htant une quelconque colonne de la matrice 3 x 4 des coordonnks des
points a, b, c, d.
[bcdla [acdlb + [abdlc - [abcld = 0
as can be seen, component by component, if we expand the determinants of the 4 by 4
matrices obtained by repeating any one row in the 3 by 4 matrix of coordinates of the points a,
b, c, d.
Ce A-calcul est-il clair ? Pour s'en assurer, il suffit de vkrifier que l'intersection des deux
plans abc et cde de rang 4 est une droite passant par le point c :
Is the A-calculation clear? To be sure, try verifying that the meet of two planes abc and cde in
rank 4 is a line passing through the point c:
abc A cde = [acdelbc - [bcdelac = ([acdelb - [bcdela) v c.
(Letroisibme terme [ccdelab est nu1 B cause de la lettre rkptt6e.)
abc A cde = [acdelbc - [bcdelac = ([acdelb - [bcdela) v c.
(The third term [ccdejab is zero, due to the repeated letter.)
5. Conditions projectives : I'ensemble quadrilatere
5. Projective conditions: the quadrilateral set
On regarde maintenant de plus prbs les conditions projectives. Soit la condition que les trois
couples ab, cd, ef de points (colintaks sur la droite L) foment un ensemble quadrilat2re.
Ces trois couples de points sont donc la projection dune figure & six points d'intersection de
quatre droites distinctes situtes dans un plan contenant la droite L, comme suit (voir la
figure 3) :
a'=AAB c ' = A A C e'=AAD
b'=CAD d'=BAD P = B A C
We now take a closer look at projective conditions. Consider the condition that three pairs ab,
cd, ef of points (collinear on a line L) form a quadrilateral set. This means the three pairs of
points are the projection of the figure of six points of intersection of four distinct lines lying in
a plane containing the line L, as follows (see Figure 3):
De fason tquivalente, les noeuds A = ace, B = adf, C = bcf, D = bde donnent 3 degr6s de
libert6 pour la construction d'une figure 2-dimensionnelle se projetant sur les 6 points donnks
de la droite L. Afin que chacun des noeuds soit un triplet de points colinkaires dans une scbne
bidimensionnelle, la relation lintaire, vraie pour tout triplet de la droite, doit aussi Ctre verifite
par les hauteurs choisies pour ces points au-dessus de la droite. C'est-&-dire que la relation
lintaire doit Ctre conservk par le relbvement de cette configuration au-dessus de la droite, dans
le plan. Cette contrainte est le plus facilement e x p r i d e par le fait que le 6-vecteur des
hauteurs choisis pour les 6 points doivent &re orthogonaux aux lignes de la matrice J, ces
lignes donnant les coefficients des relations lineaires de support des noeuds. Ainsi les hauteurs
choisies pour les points a', ... , f au-dessus de leurs images sur la droite doivent &tre
orthogonales aux lignes de la matrice J :
Equivalently, the nodes A = ace, B = adf, C = bcf, D = bde permit 3 choices for the
construction of a 2-dimensional figure which projects to the six given points on the line L. In
order for each of the nodes to be a collinear triple of points in a two-dimensional scene, the
linear relation which holds for any triple of points on the line must also hold among the
heights chosen for those points over the line. That is, the linear relation must be preserved in
the lift of the configuration off the line, into the plane. This constraint is most easily expressed
by saying that the 6-vector of heights selected for the 6 points must be orthogonal to the rows
of a matrix J, the rows of which give the coefficients of the linear relations supported on the
nodes. Thus, the heights chosen for the points a', ... , f over their images on the line must
be orthogonal to the rows of the matrix J:
a
b
c
d
e
f
a'=AAB c'=AAC e'=AAD
b'=CAD d'=BAD f = B h C
a
b
c
d
e
f
Structural Topology #13,1986 45
Si ces quakes lignes soot independantes, il n'y aura que 2 choix possibles pour la
construction, et seule les sctnes triviales, sches colintaires, soot possibles. Une scbne
bidimensionnelle propre n'est possible, les trois couples formant un ensemble quadrilatbre,
que si et seulement si les quake lignes de la matrice sont dtpendantes. Quels sont donc les
coefficientsa, p, y, 8 d'une relation liotaire
abace + p badf + Ybbcf + 8bbde = 0
entre ces lignes? Pour que cette combinaison liotaire de lignes soit nulle en colonne a, a et p
doivent &treproportionnels [dfl, [ce]. Pour qu'il y ait aussi nullite en colonne c, a, p, y
doivent etre proportionnels B [dfl[bfl, -[ce][bfl, -[dfl[ae], et pour la nullit6 en colonne e,
ces quatre coefficients doivent eke,B multiple scalaire. p&s,
If these four rows are independent, then there will be only 2 choices for the construction, and
only trivial, collinear scenes are possible. A genuine 2-dimensional scene is possible, and the
three pairs form a quadrilateral set, if and only if these four rows are linearly dependenr What
could be the coefficientsa,p, y, 8 of a linear relation
a = [dfl[bfl[bdl
P = -[cel[bfl[bdl
Y = -[dfl[ael[bdl
8 = -[dfl[bfl[ac].
a = [dfl[bfl[bdl
P = -[cel[bfl[bdl
Y = -[dfl[ael[bdl
8 = -[dfl[bfl[ac].
Aura-t-on automatiquement la nullit6 en colonne b, d, f ? En gtntral, la dponse est non. Le
calcul des coefficients dans cette combinaison liotaire donne les expressions suivantes :
Is there any reason to believe that cancellation will also occur in columns b, d,f? In general,
none. Computing those coefficientsof the linear combination, we find the expressions
en colonne b, -[dfl ( [ae][bd][cfl + [bfl[ac][de]),
en colonne d, [bfl ( [afl[ce][bd] + [bel[dfl[ac]),
-[dfl ( [ae][bdl[cfl + [bfl[ac][de]) in column b,
[bfl ( [afl[ce][bd] + [be][dfl[ac]) in column d,
en colonne f, -[bd] ( [ad][ce][bfl + [bcl[dfl[ael).
-[bd] ( [ad][ce][bfl + [bc][dfl[ae]) in column f.
La suite des calculs montre que les trois polyn8mes ci-dews sont en fait & a u (en tant que
fonctions de six-tuple&a, .,, , f de vecteurs) et sont t ? g u au polyn8me de la formule (3) cidessus, ti uo facteur f l prts. Pour tout triplet de points coliotaks, a, c, e, on a [acle - [aelc
+ [cela = 0. En faisant la somme (v) avec un quatritme point f, on obtient la relation
A further calculation establishes the fact that the three polynomials here written in parentheses
are in fact equal, (as functions on six-tuples a, , f of vectors) and are in turn equal to the
polynomial in formula (3), above, up to a factor of *l. We see this as follows, For any three
collinear points a, c, e, we know that [acle - [aelc + [cela = 0. Taking the join with a fourth
point f, we obtain the relation
[ac][efl - [ae][cfl + [ce][afl = 0
entre les six crochets f o r d s de quake points, et valable pour
colin6aires.Doh, pour b, d, e, f,
tout
quadruplet de points
[bd][efl - [be][dfl + [bfl[de] = 0.
En remplasaot [ae][cfl et [be][dfl par ces expressions, on obtient successivement:
aaace t paadf +ybbcf+8bbde = o
among these rows? In order for this linear combination of rows to be zero in column a, a and
B must be proportional to [dfl, -[re]. In order to have cancellation also in column c, a, p, 7
must be proportional to [dfl[bfj, -[ce][bfl, -[dfl[ae], and to have cancellation also in
column e, the four coefficientsmust be, up to one common scalar multiple,
...
[ac][efl - [ae][cfl + [ce][afl = 0
among the six brackets formed from four points, and valid for any four collinear points.
Thus, forb, d, e, f,
[bd][efl - [bel[dfl + [bfl[del = 0.
Using these expressions to substitute for [ae][cfl and [be][dfl, successively, we have, for
instance,
[ael[bdl[cfl t [bfl[acl[del=
[bdl ( [acl[efl + [afl[cel) + [bfl[acl[del =
[afl[cel[bdl+
[efl[bdl+ [bfl[del) =
[afl[cel[bdl + [acl[bel[dfl
Cet argument montre que la sydtrie du concept "est un ensemble quadrilatkre." est celle dun
triplet { {a, b}, {c, d}, {e,Q } no0 ordoon6 de couples non ordonnts de points. Ces
difftrentes "versions" dune condition projective peuvent Ctre obtenues en faisant agir les
sydtries
"&hanger a et b",
"&hanger simultantment a avec c, et b avec d',
et dautres, sur l'kquation (3). (Dam l'exemple d@uivalence calcult ci-dessus, il faut
What this, and another similar argument, prove is that the symmehy of the concept "is a
quadrilateral set" is that of an unordered triple { {a, b}, (c, d}, (e, f} } of unordered pairs
of points. These various "versions" of the projective condition can all be obtained by letting
the symmetries
"exchange a and b",
"simultaneously exchange a with c and b with d',
and the like, act on formula (3). In the example of equivalence computed above, the
46 ToPologit structurals #13,1986
Cchanger e et f.) Afin darriver au polyn8me final @our la colonne f), faire un khange
simultant de c avec e, et d avec f (un &change de la deuxitme et la troisitme paires).
permutation involved is exchange of e, f. To pass to the fiial bracket polynomial (for column
f), perform a simultaneous exchange of c with e, d with f (an exchange of the second and
third pairs).
Pour &sumer, pour que la combinaison linkaire suivante
a m c e + p Aadf + yAbcf +6ebde =
[dfl[bfl[bd] Aace - [ce][bfl[bd] Aadf
- [dfl[ae][bd] Abcf [dfl[bfl[ac]abde
-
soit nulle, il fauf soit que [df+[bfl=[bd]=O et dans ce cas (li&r&O, ou bien que
l'quation (3) soit v W i b . On obtient donc le dsultat que requation (3) est une condition
nkessaire et suffisante pour que les trois couples ab, cd, ef forment un ensemble
quadrilatkre.
Summing up, we see that for the linear combination
a &ace+ p s d f + ybbcf + S Abde =
[dfl[bfl[bd] Aace - [ce][bfl[bd] Aadf
- [dfl[ae][bd] Abcf - [dfl[bfl[ac] Abde
to be zero, we must have either that [dfl=[bfl=[bd]=O,in which case a=p-=@=O,
or formula
(3) holds. We have the result that formula (3) is a necessary and sufficient condition that the
three pairs ab, cd, ef form a quadrilateralset.
Heureusement, il existe une approche plus simple de ce problkme, qui Cvite la plupart de ces
calculs. On remarque que la matrice J ci-dessus et la matrice M des coordonnbs des six points
a, ... , I ont leurs lignes orthogonalement complbmentaires, quand les six points sont en
position gCnCrale. Dap& un dsultat classique dalgtbre extkrieure, les coordonnkes
grassmaniennes de ces deux espaces lignes, en tant que sous-espaces dun espace total de
rang ne diffbrent deux h deux que par une permutation et un changement de signe appropriC, h
une multiplication p&s. (Ce multiple scalaire &ped du choix des points, mais est le meme
pour toutes les coordonnks).
Fortunately, there is an easier way to approach this question, which gets us around most of
the above calculations. We observe that the above matrix J and the matrix M of coordinates of
the six points a, ... , f have orthogonal complementary row spaces, when the six points are
taken in general position. From a standard result in exterior algebra, the Plucker coordinates
of these two row spaces, as subspaces of an overall space of rank 6,differ from one another
only by a permutation and appropriate change of sign, up to a common scalar multiple. (This
scalar multiple depends on the choice of the points, but is the same for all coordinate places).
Mais les coordonnkes grassmaniennes M[A] de l'espace des lignes de la matrice M ne sont
que les crochets [A] de couples de points. Doh pour un scalaire + (indbpendant du choix du
sous-ensemble A s {a, ... ,f})
But the Plucker coordinates M[A] of the row space of the maeiX M are just the brackets [A] of
pairs of points. So, for some "scalar" 0 (independentof the choice of subset A s {a, ... ,f})
J[AA] = sign(A,P\A)[A]..
La valeur du scalaire n'est pas diffcile ti trouver. I1 suffit de calculer n'importe quelle
mineure de la matrice J. Pour un choix approprik du sous-ensemble AA, en prenant un
ensemble qui ne contient qu'un ClCment en commun avec un des muds, on exprime le produit
$ sign(A,m) [A1
sous une forme qui fait a p p m ! le facteur [A]. Par exemple, en prenant PA = bdef, on voit
clue
J[P\A] = [ac] ( - [afl[bc][de] - [ad][cfl[be] ) et
sign(A,FU) [A] = + sign (ac, bdef) [ac] = 0 (-1)[acl ,alors
o = [afl[bcl[del+ [adl[cfl[bel.
I1 s'ensuit directement que la mahice J est de rang < 4 si et seulement si tous les crochets des
couples ab, ac, ... , cd sont nub, ou bien le facteur + commun ti tous ces mheurs est nul.
Autrement dit, la formule (3) est vWike.
J[p\A] = $ sign(A,AA) [A].
We don't have to look far to find the value of the "scalar" 0 . Just compute any minor of the
matrix J, as it stands. With an appropriate choice of subset FU,taking a set which has only
one element in common with one of the nodes, we reveal the product
o sign(A,FW [A1
in a form which already reveals the factor [A]. For instance, taking P M = bdef, we see that
J[AA] = [ac] ( - [afl[bc][de] - [ad][cfl[be] ) and
(-1)[ac] , so
o = "l[bcl[del + [adl[cfl[bel.
+ sign(A,FU) [A] = o sign (ac, bdef) [acl = o
It then follows directly that the ma& J has rank c 4 if and only if either all brackets of pairs
ab, ac, ... , cd of points are zero, or else the cormMn factor o in all these minors is equal to
zero. That is, formula (3) holds.
6. Syzygies
6. Syzygies
Avant de regarder un autre exemple de conditions projectives, et afin de permettre un
approfondissement de la thkorie, il est nkessaire de souligner que l'existence dune condition
projective revient & dire qu'il existe une relation linkaire non triviale entre certaines
dkpendances lineaires. Ceci laisse penser que ce n'est pas la fin de l'histoire. Des relations
entre ces relations pourraient aussi exister. L'idk de dependances dordre supkrieur apparak
Pour st~~cturercette id&, nous utilisons une construction classique de "combinaisons
linkaires formelles" et empruntons le mot "syzygie" h la terminologie de la thhrie des
invariants.
Before we pass to the next example of projective conditions, and in the interests of the further
development of the theory, we should emphasize that projective conditions are equivalent to
statements that there exist non-trivial linear relations among certain linear dependencies. One
begins to suspect that this is not the end of the story. There may be relations among those
relations. The notion of "higher order dependencies" clearly suggests itself. To formalize this
notion, we use a standard construction of "formal linear combinations", and borrow a term
"syzygy" from the literature of classical invariant theory.
La formulation est la suivante. Soit P = {a, b, ... } un ensemble de p points projectifs dun
espace projectif S, de rang k. Sous-jacent h cet espace, se trouve un espace vectoriel de
dimension k, notk V. A chaque point P,on associe des coordonnks standard, qui forment un
vecteur dans l'espace V. Les noms a, b, ... des points, et toute combinaison,linCaire de ces
demiers seront appelks termes &premier ordre. 11s peuvent etre Cvulds en tant que vecteurs
de V, en r e m p l a p t les noms des points par les vecteurs de leurs coordonnkes. Ceci n'est nen
d'autre qu'une application linkaire de l'espace vectonel [Pol des combinaisons linkaires
formelles de noms de points dans l'espace vectoriel Po = V. Le noyau de cette application
linkaire est l'espace vectoriel Pl des dependunces entre ces points de l'ensemble P, c'est-&dire
les combinaisons linkaires formelles de points dont l'kvaluation par les vecteurs de leurs
coordonnks donne le vecteur nul. Les klkments de cet espace Pl seront appelks syzygies de
premier ordre.
The formulation is as follows. Assume we have a set P = {a, b, ... } consisting of p
projective points in a projective space S, rank k. Underlying this projective space, we have, of
course, a k-dimensional vector space, which we shall call V. To each point in P, we assign
standard coordinates, a vector in the space V. The names a, b, ... of the points, and formal
linear combinations thereof, we callfirst order terms. They may be evuluured, as vectors in V,
by replacing the names of points by their coordinate vectors, and forming the indicated
combination of those vectors. This process of evaluation is best seen as a linear
transformation, into the vector space Pa = V, from the vector space /Pal of formal linear
combinations of names of points. The kernel of this linear transformation is the vector space
Pl of dependencies among the points in the set P,that is, of those formal ,linearcombinations
of points which, when evaluated at the coordinate vectors of the actual points in question,
yield the zero vector. The elements of this space PI,we callfirst order syzygies.
I1 devient maintenant clair comment prockder. Soient p, ... les noms d'klkments de l'espace
vectoriel PI. Toute combinaison linkaire formelle f = C a + dp + ,,, de ces noms sera appelke
term de deui2me ordre. I1 est possible qu'en remplagnt dam l'expression de f, les noms
a, p, ... par les klkments de Pl qu'ils repdsentent, on obtienne l'C1Cment nu1 de PI,c'est-adire, la combinaison linkaire qui n'a pas de terme (toute apparition de noms de points dans les
diffkrents syzygies s'annulent). On dira alors que f est un syzygie de deuxiim ordre. Les
syzygies de deuxibme ordre forment un espace vectoriel P,noyau de l'application linkaire
lPll+ PI, qui est l'kvaluation des combinaisons linkaires formelles de syzygies de premier
ordre. I1 faut remarquer que c'est exactement ce type d'annulation qui s'est produit, plus hauf
quand a ktk effectuk la combinaison linkake des quatre contraintes de colinkaritk pour
l'ensemble quadrilatkre.
It is now clear how to continue. Let a, p, ... be names for certain of the elements of the vector
space PI. Any formal linear combination f = ca + dp + ... of these names, we call a second
order term. It is possible that, when evaluated at the particular elements of Pl to which the
names a,, p, ... refer, f will produce the zero element of PI, that is, the formal linear
combmabon with no terms at all (all appearances of the various names of points in the various
1st order syzygies a, p, ... having cancelled each other out). If so, we say that f is a second
order syzygy. The second order syzygies form a vector space P,the kernel of the linear
transformation lP1l + PI, evduution of formal linear combinations of first order syzygies.
Notice that this sort of cancellation is exactly what happened, above, when we formed a linear
combination of the four collinearity constraints for the quadrilateral set
De fason gkdrale, les terms d'ordre n sont des combinaisons linkaires de noms de syzygies
In general, nrh order term are formal linear combinations of the names of (n-1)st order
syzygies, and nrh order s y z y g h are those nth order terms which, when evaluated at the
specific (n-1)st order syzygies to which the names refer, produce zero, the (n-1)st order
syzygy with no terms.
d'ordre (n-1), et les syzygies d'ordre n sont les termes d'ordre n, dont l'kvaluation sur les
syzygies d'ordre (a-1) auxquels se r6Rrent les noms donnent 0, le syzygie dordre (n-1) sans
aucun nom.
48 Toplogic stnuturalt M3,1986
7. Conditions projectives: la calotte
7. Projective conditions: the calotte
Supposons que nous ayons un nombre de rtgions dans une image que nous dtsirions
inkrpkter c o m e des kgions plan d'une sckne poly6drique. La flgure 4 m o n k la premibre
dquence intkressante de tels exemples, qui apparaissent dans toute approche systkmatique du
probltme gtntral. Ce sont les culottes, qui consistent en une kgion centrale polygonale (ngonale) entour& de n kgions @riphtriques, chacune d'entre elles ttant suppode plane dans
une s c h e 3-D globalement non plane. Sur la rangte du haut de la figure 4 se trouvent des
dessins inexacts de calottes. Les lignes en pointillts montrent que la construction dune roiture
(un diagramme dintersection des plans ptriphtriques) n'a pas kussi. I1 n'y a qu'une scene
triviale 2-D qui soit possible au-dessus d'une telle image "inexacte". Sur la rang& du bas de la
flgure 4 se huuvent les dessins justes de chaque calotte. Les toitures ainsi construites
monhent qu'il n'y a "qu'une seule" scbne 3-D audessus de chaque image juste. Ws que le
plan de la r6gion centrale polygonale est dlectionnt, et que l'angle qu'une des lignes
d'intersection entre kgions pkriphtriques conskutives fait avec le plan de la kgion centrale
est choisi, la sctne 3-D sera complttement dtterminte. Pour chacune de ces calottes, l'espace
lintaire des sctnes est de rang 4; sur chaque dessin juste, les hauteurs audessus du plan de
l'image des quake points Ctiquetks a, b, c, f, dtterminent une Scene unique. Les dessins
inexacts correspondants n'ont qu'un espace de rang 3 de Scenes eiviales (planes) dtterminks
par les hauteurs des points a, b, c.
Say we have a number of regions in an image which we wish to interpret as plane regions in a
polyhedral scene. Figure4 shows the first interesting sequence of such examples which
occur in any systematic approach to the general problem. These are the culorres, consisting of
a central polygonal (n-gonal) region surrounded by n peripheral regions, each of which is
assumed to be plane in a globally non-planar 3D scene. In the top row of Figure 4 are
incorrect drawings of each calotte. The dotted lines show that the attempt to construct a roof
(an diagram of the painvise intersections of the peripheral planes) has failed. Only a trivial 2D
scene is possible over such an "incorrect" image. In the bottom row of Figure 4 are correct
drawings of each calotte. The completed roof figures show that there is an essentially unique
3D scene over each such image. Once the plane of the central region has been selected, and the
angle that one of the lines of intersection between consecutive peripheral regions makes with
the plane of the central region has been chosen, the 3D scene is completely determined. The
linear space of scenes has rank 4; in each correct drawing, the heights over the image plane of
the four points labeled a b c f uniquely determine the scene. The corresponding incorrect
drawings have as scenes only the rank 3 space of trivial (planar) scenes determined by the
heights of the points labeled a b c.
Les conditions projectives pour une calotk juste peuvent &tre kcrites en tant qu'expressions
d'incidence entre des points dtrivts et des lignes dtrivtes construites dans la ghmttrie
projective du plan, en ne se servant que des symboles des 2n points a, b, c, ... , du symbole
E dincidence, et des op6rations somme, V, et intersection, A, dans la double algbbre. Pour
n=3, la condition est : (a v d) A (b v e) E (c v f).
En omettant le symbole v oil il est facilement sous-entendu, la condition pour n = 4 est
(cg A dh) E (ae A bf) v (ad A bc)
et celui dans le cas oil n=5 est que le point dintersection de la droite
Projective conditions for a correct calotte can be written as statements of incidence between
derived points and derived lines in the projective geometry of the plane, using only the
symbols for the 2n points a, b, c, ... , the symbol E of incidence, and the operations v (join)
and A (meet), in the double algebra. For n = 3 we have the condition
(a v d) A (b v e) E (c v 0.
Omitting the symbol v where it can easily be understood, the condition for n = 4 is
(cg A dh) E (ae A bf) v (ad A bc)
and that for n = 5 is that the point of intersection of the line
(ab A de) v (af A ej)
(ab A de) v (at A eJ)
avec la b i t e
with the line
(ch A di) v (bc
A
de)
(ch A di) v (bc A de)
soit situt sur la droite bg. A l'aide de la definition de A dans la double algbbre, chaque
expression dam v et A peut facilement &tre d t v e l o p ~ een une somme de produits de crochets
[...I de triplets de points (repksentant des aires planes affectees dun signe + ou -). Lidee
qu'un point dtrivb p est incident h une ligne dtrivte L est exprim& ghdtriquement par
l'quation p v L = 0 ,(ou p A L = 0). Ainsi, toute condition projective est dtveloppk en
une equation potynomde de crochets. Ces tquations sont homog2nes, dans le sens que
chaque point a une certaine fdquence d'apparition dans chaque mon8me @roduit de crochets)
qui est la d m e pour tous les mon8mes de l'expression. Par exemple, le point a appadt avec
une W u e n c e 2, le point b avec une muence 3 dans chaque mon8me de la condition doMte
pour la s-calotte.
must lie on the line bg. Using the definition of A in the double algebra, each expression in v
and A can quickly be expanded into a sum of products of brackets I...] of triples of points
(signed plane areas). The statement that a derived point p is incident with a derived line L is
expressed algebraically by saying that p v L = 0 (or that p A L = 0). So finally, each
projective condition is expanded into a polynomial equarion in brackets. These equations are
hmgeneow, in the sense that every point has a certain total frequency of occurrence in each
monomial term (product of brackets), a frequency which is constant across all monomials in
the expression. For example, the point a occurs with frequency 2, point b with frequency 3,
in each monomial term of the given condition for the S-calotk.
Une autre manibre de dttecter des conditions projectives est en tennes de dtpendances de
contraintes. Dans la dalisation spatiale dun dessin juste d'une ncalotte (avec 2n points), il y
aura exactement 4 degrts de libertk pour les hauteurs, d'oil 211-4 contraintes indkpendantes.
Another way to detect projective conditions is in terms of dependence of constraints. In the
spatial realization of any correct drawing of an n-calotte (with 2n points), there will be exactly
4 free choices of height, and thus 211-4 independent constraints. What are these constraints?
Strwlwal T O ~ O ~ O#13,1986
JY
49
Quelles sont ces contraintes? Pour commencer, il y a n-3 contrainks nkessaires pour que la
region centrale n-gonale soit coplanaire. I1 y a de plus n-1 contraintes, independantes de ces
dernitres. Ce qui revient a dire que les a u k s n contraintes de coplanaritk, une pour chaque
rkgion pkripherique, sont dependantes des contrainks associks au polygone central. En
d'aulres mots, ces n contraintes peuvent Ctre lin6airement combinks de f a p n h ce que la
dipendance qui en resulk n'ait pour support que l'ensemble des points du polygone central.
Dans ce cas, on dit que les n points exthieurs ont Ctk CIiminh de la formulation de cette
combinaison linkaire.
First off, there are n-3 independent constraints involved in saying that the central n-gonal
region is coplanar. There must be n-1 further constraints, independent oYer these. This
amounts to saying that the other n coplanarity constraints, one for each peripheral region, are.
dependent upon the constraints associated with the central polygon. In other words, those n
constraints can be linearly combined is such a way that the resulting dependency is supported
only on the set of points in the central polygon. In this event, we say that the n outer points
have been eliminated in the formation of that linear combination.
f
T"
Figure L
Flgure 4b
Flgure 4c
50 Toplogic s~rwtwale#13,1986
Cette manikre de raisonner donne une condition projective pour la n-calotte, pour tout 1123.
(Un exemple des calculs nkessaires est donne pour le cas n 4 . ) Soit N la matrice dont les
lignes donnent les coefficients des syzygies de premier ordre dont les supports sont les n
rtgions extkrieures. Dune manibre unique, multiplication scalaire p&s, on Blimine les n
points extkrieurs (sauf un seul, le premier) par une combinaisonlintaire de ces n lignes de la
matrice. Ceci se fait, en se servant des coefficients suivants:
a
b
1
c
d
kkhl
-[cghI
e
[nhe]
-[dah]
coeficients
Aabel
Abcfg
Acdgh
Abcfg
This line of reasoning provides a projective condition for the n-calotte, for all n13. (We
illustrate the necessary calculations, using the case n=4.) Form a matrix N whose rows list the
coefficients of the 1st order syzygies supported on the n outer regions. All but the first of the
n outer points can be eliminated (in a linear combination of these n rows), and in exactly one
way, up to a common scalar multiple. The required coefficientsare shown:
Ibcg][cdh][dae]
[abeJ[cdh][dae]
[abe][bcf][dae]
[~bel[bcTl[cdel
-[dae]
1
coefflients
Aabef
Abcfg
Acdgh
[bcg][cdh][dae]
[abe][cdh][dae]
[abe][bcfl[dne]
Abcfg
[abel[W[cdgl
Afin que ce choix de coefficients Climine de mCme le premier sommet exterieur, il .-ut que
(toujours dans le cas n=4) :
[abfl[bcg][cdh][dae] - [abe][bcfl[cdg][dahl = 0.
In order that this choice of coefficients also eliminate the first o he outer vertices, it must be
Soient p1 = a, pz = b, ... et soient I+ b,... les droites radiales passant par a, b, ... ,
respectivement. (Pour le cas n=4, L1 = ae, r, = bf, ... ) La condition projective pour la ncalotte s'krit alors simplement :
Set p1 = a, pz = b, ... and let L1, b,... be the radial lines through a, b, ...,respectively.
(For the case n=4, this means that L1 = ae, = bf, ... . Then the projective condition for the
n-calotte is simply:
(4)
[PIU[PZ~I
*.. [P~LII+
[PzLII[P~U [PI&] = 0.
*.a
Dans le cas d'une k d o t t e , l'expression de double algkbre
ad A be A cf = ( b[ade] - e[adb] ) A cf
= [ade][bcfl - [adb][ecfl
est dun degd mindre que la condition (4) de la calotte. La raison en est que pour n=3 , la
condition pour la calotte a en facteur un t e r n sous-jacent [abc]. On met ce facteur en
evidence de la fason suivante. En faisant la s o m e ( v ) des syzygies de premier ordre sur les
ensembles acef, abce, avec bc et ad, respectivemenf on obtient les expressions
[ebc][fca] = [abc][cefl - [ace][bcfl,
[abel[cadl = [badl[acel + [eadl[abc],
(vraies en gCnCral) qui peuvent etre utili&s pour remplacer [ebc][fca] et [abe][cad] quand
ils apparaissentdam la condition de calotte
the case that (again, explicitly, for n=4):
[abfl[bcgl[cdhl[dael - [abel[bcfl[cdgl[dahl = 0
(4)
[PILJ[PZ~I
* * a
[P~LII+ (-l)n+l
[P&J[P~~J [plbl = O
In the case of the 3-calotte, the double algebra expression
ad A be A cf = ( b[ade] - e[adb] ) A cf
= [ade][bcfl - [adb][ecfl
is of lower degree than the calotte condition (4). The reason is that, for n 4 , the calotte
condition has a hidden factor of [abc]. This we reveal as follows. Joining (v) the 1st order
syzygies on the sets acef, abce, with bc and ad, respectively, we obtain the (generically
valid) expressions
[ebc][fca] = [abc][cefl- [ace][bcfl,
[abe][cad] = [bad][ace] + [ead][abc],
which can be used to replace [ebc][fca] and [abe][cad] where they appear in the calotte
condition
[abe][bcfl[cad] + [bad][cbe][acfl = 0.
[abe][bcfl[cad] + [bad][cbe][acfl = 0.
Deux des monbmes dsultants s'annulent, et laissent un polynbme en crochets Cquivalent a
I'expression de double algtbre, un facteur
Two of the resulting monomials cancel, and leave a bracket polynomial equivalent to the
double algebra expression
Structural Topology #13,1986 51
Li A L ~ A= 0,
de degr6 homogtne 1 en chaque variable, multiplit par [abc].
L, A ~ 5A= 0,
but with a factor [abc]. The other factor is homogeneous of degree 1 in each variable.
La condition de calotte (4)6quivaut ?
l'existence
i
dune sctne 3-D propre, anneau de n plans
decoupant une region polygonale sur le plan (n+l). Puisqu'il n'y a que 4 degrks de libere
pour la sctne 3-D, la droite dintersection de tout couple de plans p6riphCriques est d6terminCe
de faGon unique par projection, et la toiture peut Ctre dessink (voir figure 4). Un calcul
direct dune condition projective, bask sur la completion de la toiture, donne un polyn8me en
crochets de degrC sup6rieur h celui de la condition (4),en certains points. On laisse de c8t6,
pour le moment, la question importante : quels facteurs polynomiaux (ou crochets) soot
pdsents dans une condition de toiture, en general absents d'une condition de calotte plus
simple?
The calotte condition (4)is equivalent to the existence of a genuinely 3D scene of a ring of n
planes cutting out a polygonal region on an (n+l)st plane. Since there are exactly 4 free
choices for the 3D scene, the line of intersection of any pair of peripheral planes is uniquely
determined in projection, and the "roof' figure cad be drawn, as in Figure 4. Direct
calculation of a projective condition, based on the idea of completing a roof, yields a bracket
polynomial of much higher degree than is condition (4),in certain points. W e leave aside an
important question: what polynomial (or simply bracket) factors are present in a
straightforward "roof'condition, absent in the usually much simpler calotte condition.
Dans une Scene polykdrique plus complexe, comme celle de la figure If, de nombreuses
faces peuvent btre pdsentes dont tous les sommets sont trivalents. De telles faces donnent des
conditions de calotte qui doivent btre vCrifites pour tout dessin juste du polykdre. Mais ces
conditions de calotte sont raremeot hdependantes. La figure 5 oh est redessink le cube
projectif (figure Id) montre que si on pose
In a more complex polyhedral scene, such as that illustrated in Figure If, there may be many
faces all of whose vertices are trivalent. Any such face gives rise to a calotle condition which
must be satisfied in any correct drawing of the polyhedron. But these calotte conditions are
rarely independent of one another. Figure 5, which is a redrawing of the projective cube
(Figure Id), shows that if we let
w = achbd, x = eghfh, y = a p b h , z = cehdf,
w = acAbd, x = egAfh, y = a p b h , z = cehdf,
les conditions de calotte autour des faces
abcd, cdef, afgh, et ghab
then the calotte conditions around faces
sont kquivalentes h la colintarit6 des points
wyz,wxz,xyz, et m y .
are equivalent to cohearity for points
abcd, cdef, afgh, and ghab
Puisque tout couple de relations de colinkaritk entrahe celle des deux autres, alors tout couple
de conditions de calotte entraine les autres, que les deux conditions soient autour de faces
adjacentes ou opposees du cube. La droite avec les quatre points wxyz est bien entendu
reconnaissable comme la projection de l'htersection des plans aceg et bdlh pour tout cube
projectif 3-D propre construit dune image donnk. Un argument semblable, peut en principe
montrer que, parmi les 8 conditions de calotte autour des faces du poly&dre projeU de la
figure If, seules quatre sont indkpendantes.
d
WYZ, m z , XYZ, and
respectively. Since any two of these collinearity statements imply the other two, we b o w that
any rwo calotte conditions imply the rest, whether the two conditions be around adjacent or
around opposite faces of the cube. The four point line w x y z is of course recognizable as the
projected intersection of planes aceg and bdfh, in any genuinely 3D projective cube
constructed over the given image. A similar argument can, in principle, be made to show that
among the eight calotte conditions around the faces of the projected polyhedron in Figure If,
only four are independent.
Figure I
52 Topdogie strnctwde #13,1986
8. Fonctions localement lineaires et relbvements:
faisceaux et cofaisceaux
8. Locally linear functions and lifts:
sheaves and cosheaves
Nous revenons maintenant au contexte gtntral choisi pour l'analyse des scbnes et laghmttrie
descriptive. Supposons donnb une huge : un ensemble P de p points en coordonnks
standard, dans uo espace projectif S de rang k. Les points sont consid& comme les vecteurs
d'un espace sous-jacent V de rang k.On donne aussi une famille E de sous-ensembles de P,
dont les 616rnent.s seront appelts des muds. Le but est de construire une d n e de dimension
supkrieure, telle que le rang de chaque nczud de la sckne ait le mtme rang que son image.
We return now to the general context we have chosen for scene analysis and descriptive
geometry. Assume we have an image: a set P consisting of p points, with standard
coordinates, in a projective space S of rank k. The points are coordinatized as vectors in an
underlying vector space V of rank k . Assume also that a particular family E of subsets of P,
the members of which are called nodes, has been singled out The intention is to construct a
scene of higher dimension, such that the rank of each node in the scene is the same as its rank
in the image.
Puisque la projection de tout nczud B de la sctne conserve son rang, l'application de
projection, restreinte au m u d , est un isomorphisme lintaire, et doit conserver le rang de tout
sous-ensemble A s B du nczud B. Lensemble des sous-ensembles de P dont les rangs sont
conservts par projection est donc une famille htdditaire densembles. De plus, puisque toute
intersection ou union de familles htdditaires est encore htdditaire, les familles hCr6ditaires
sont les ouverts dune topobgie sur l'ensemble 2P.
(Remarque : on restreindra, toutefois, le m u d aux tltments maximaux dun ensemble ouvert,
c'est-h-dk aux gtntrateurs de la f a d e htrkditaire des sous-ensembles de P. Quand E = (A,
B, ... ) est dit ensemble ouvext, cela signifiera que les sous-ensembles A, B, ... de P en sont
les nczuds. Ceci afin d'tviter toute superfluit6 et des calculs inutiles pour la dttermination des
groupes d'homologie, ce qui n'affecte pas les dsultats, ainsi qu'il sera montrt plus bas.)
Soit M une matrice k x p f o d e partir des coordonntes standard des points de P. Pour tout
sous-ensemble A s P, soit L(A), l'espace des lignes de la matrice form& des colonnes de M
se refkrant aux points de A. Cet espace de lignes L(A) peut €tre dkrit de faqon 6quivalente
comme l'espace des fonctions, dtfmies sur l'ensemble A, qui s'ttendent en fonctions li&aires
surtout l'espace V engendr6 par les points de P. L(A) sera simplement dkrit cornme l'espace
desfomfiionr l i d d e s sur l'eosemble P. C'est un espace de rang r(A).
On dira qu'une dtpendance a: sa + tb + ... = 0 entre les points de P a pour support le sousensemble A 8 P si et seulement s'il n'existe pas de points dans le compltmentaire AA de A
dans P ayant un coefficient non nu1 dans l'expression de a De plus, un pvecteur (%, a&, ...
) est un vecteur form6 des coefficients dune dendance lindaire de support A si et seulement
s'il est orthogonal
fm = a, f(a) +a,, f(b) ... = 0,
a toute fonction f htaire sur A.
Ainsi le compltment orthogonal de L(A), dans l'espace de
toutes les fonctions dtfmies sur A, est l'espace D(A) des dtpendances de support l'ensemble
A. L'espace IID(A) est de rang IAl - r(A), quaotitk appelb la nullit6 de A.
Soit un ensemble ouvert E = (A, B, ... ) s 2P. Toute E-&ne audessus de l'image P est
donnte par une fonction hauteur f dont la restriction flA h tout noeud de E est lintah. Une
telle fonction est dite bcalement lithire, ou, de fapn plus prkise, E- bcalement lidawe.
Dautre part, l'ensemble des s&es ou des fonctions E-localement lintaires sur une image
donnte P est un espace vectoriel. Puisque les hauteurs des points p en dehors de l'uoion
IEJ= AuBu... peuveot ttre quelconques, aucune information essentielle n'est perdue si l'on
ne retient que les valeurs des fonctions sur ce sous-ensemble [El = AUBU ..., supporr de
l'ensemble E. Soit, alors, L(E), l'espace des E-dnes au-dessus de l'image [El P, espace
des fonctions E-localement lintaires sur l'ensemble [El.
Observe first that since projection of any node B from the scene down to its image preserves
rank, the projection map restricted to the node is a linear isomorphism, and it must also
preserve the rank of any subset A s B of the node B. The set of subsets of P whose ranks are
preserved in projection is thus a hereditwy family of sets (a family of sets closed under
formation of subsets). Furthermore, since any intersection or union of hereditary families is
also hereditary, the hereditary families are the open sets in a topological space on the power
set 2P.
(Note ... We shall, however, restrict the reference of the tern node to maximal members of
an open set, that is, to the generators of the hereditary family of subsets of P. When we write
that E = (A, B, ... ) is an open set, we mean that the subsets A, B, ... of P are its nodes. This
will avoid redundancy and unnecessary work in the calculation of homology groups, without
affecting the outcome of those calculations,as we shall explain below.)
Let M be the k by p matrix of standard coordinates of the points in P. For any subset A s P,
consider the row space L(A) of the matrix formed by those columns of M which refer to
points in A. This row space L(A) is equivalently described as the space of those functions,
defined on the set A, which extend to h e a r functions on the entire space V spanned by the
points in P. We refer to L(A) simply as the space of linear f w t b n s on the set P. It is a space
of rank r(A).
We say a dependency a: sa + tb + ... = 0 among the points in P is supported on a subset A s
P if and only if no point in the complementary set p\A has a non-zero coefficient in the
expression Q Furthemore, a p-vector,I.( ab, ... ) is the vector of coefficients of a linear
dependency supported on a set A if and only if it is orthogonal,
fou = a, f(a) + ,u, f(b) ... = 0,
to every function f linear on A. SO the orthogonal complement of L(A), in the space of
arbitrary functions on A, is the space D(A) of dependencies supported on the subset A. The
space D(A) has rank IAl - r(A), a quantity which is called the nullity of the subset A.
Now consider an open set E = (A, B, ... ) 8 2P. We know that each E-scene over the image P
is given by a height function f whose restriction flA to any node of E is linear. Such a function
is said to be locally linhar, or, to be precise, E-lacally linear. We also know that the set of
scenes, or E-locally linear functions over a given image P forms a vector space. Since the
heights to points p outside the union [El= AuBu.. . of the nodes are completely unrestricted,
there is no loss of essential information if we restrict our attention to the values of functions
on this subset ]El = AuBu ... , the support of the open set E. Thus, let L(E) denote the space
of E-scenes over the image [Els P, that is, the space of E-locally linear functions on the set /El.
Structwal Topology #13,1986 53
Le compltment orthogonal de l'espace L(E) est l'espace vectoriel IID(E) engendrt par toutes
les dtpendances (entre les points de P) de support les noeuds de l'ouvert E. Puisque
IL( IEl), l'espace des fonctions globalement lintaires sur IEl = AuBu.. . , est un sous- espace
de l'espace IL(E) des fonctions E-localement lintaires sur IEl, on peut agrandir la matrice. M,
en lui ajoutant quelques lignes de plus, pour former une matrice M' dont les lignes forment
une base de l'espace plus grand IL(E). Les colonnes de M donnent une mrdonnatisation
dune plus grande dimension du meme ensemble IEI, et dtfiit une configuration ghmttrique
que l'on appellera le E-relivement de P. De fapn plus intuitive, le reltvement d'une
configuration P est la prtimage par une projection du rang le plus haut possible, qui conserve
le rang des noeuds.
The orthogonal complement of the space L(E) is the vector space D(E) spanned by all those
dependencies (among the points of P) which are supported on nodes of the open set E. Since
L( IEl), the space of globally linear functions on [El = AuBu... , is a subspace of the space
L(E) of E-locally linear functions on ]El,we may also undertake to enlarge the mahix M, by
adding a few more rows, to form a matrix M whose rows form a basis for the larger space
L(E). The c o l w of M provide a higher-dimensional coordinatization of the same set lEl,
and determine a geometrical configuration which we call the E-lift of P. Perhaps more
intuitively, the lift of a configuration P is that preimage of P under projection which is of
highest possible rank, given the restriction that no node is increased in rank.
En omettant les fonctions localement lindaires qui ne sont pas globalement lintaires, une
projection naturelle est ainsi construite du E-reltvement sur l'image originale P. Le rang de Ereltvement est bien sOr egal au rang de l'espace L(E) des fonctions E-localement lintaires sur
[El. L'objectif principal de la thhrie ici prksenh est de determiner avec pdcisioa ce rang,
que l'on krira r(E), et sera parfois apple rang de l'ensemble ouvert.
By forgetting those locally linear functions which are not globally linear, we construct a
natural projection from the E-lift down to the original image P. The rank of the E-lift is of
course equal to the rank of the space L(E) of E-locally linear functions on IEl. The central
objective of the theory here presented is accurately to compute this rank, which we may
denote simply as r(E), and may call the runk of the open set E.
Figure 6 is a correct image of a polyhedral scene on 7 points. The columns of the 3 by 7
matrix M coordinatize the points of the image. The rows of M span the space IL(abcdefg) of
globally linear functions. The row f = (0,2, 3, 0, 2, 0, 0) is a locally linear function, not
globally linear. This function f, together with the rows of M, provide a basis for the space
L(abcd, cdef, bceg, adfg) of Scenes over the given image. The (abcd, cdef, bceg. adfg)lift is simply this 3dimensional polyhedral scene. Observe that in the scene determined by the
function f, the four points adfg have been left in the base plane, while the points bce have
been lifted to three heights consistent with the requirement that faces remain coplanar. The
space I[D(abcd,cdef, bceg, adfg) is spanned by the rows of the lower matrix; each row lists
the coefficients of a first order syzygy (a dependency) on one of the faces of the polyhedron.
These four syzygies are not, however, independent. A second order syzygy is given.
La figure 6 est l'image juste dune sctne polyedrique au-dessus de 7 points. Les colonnes
de la matrice 3 x 7 sont les coordonnks des points de l'image. Les lignes de M engendmt
l'espace IL(abcdefg) des fonctions globalement lintaires. La ligne f = (0, 2, 3, 0, 2, 0, 0)
est une fonction localementlintaire, mais non-globalement lintaire: cette fonction rajoutee aux
lignes de M, forment une base de l'espace L(abcd, cdef, bceg, adfg) des sctnes au-dessus
d'une image donnk. Le (abcd, cdef, bceg, adfg)-reltvement est simplement ceUe scbne
polyedrique. Remarquons que dans la sctne dtfinie par la fonction f, les quatre points adfg
restent dans le plan de base, tandis que les points bce ont Ctk relevts en trois hauteurs
compatibles avec la condition que les faces restent coplanaires. Lespace D(abcd, cdef,
bceg, adfg) est engendr6 par les lignes de la matrice inftrieure: chaque ligne Cnumtre les
coefficients dun syzygie de premier ordre (une dtpendance) sur une des faces du polyedre.
Ces quatre syzygies ne sont pas, toutefois, independants. Un syzygie de deuxitme ordre est
ainsi donnC.
a
b
C
d
e
f
.3
.1
1
1
3
6
lo
0
1
4
0
-1
1
1
1
1
1
1
f
o
2
3
0
2
0
0
abcd
cdef
30
-6
0
-10
4
-1
1
15
0
-6
0
0
Figure 6
g
image
relkement
B
2
norder
d
54 Toplogic struclwde #13,1986
Nous avons construit un morphisme.IL, qui, ti tout ouvert E = (A, B, ... ) de 2P asssocie un
espace vectoriel IL(E), l'espace des fonctions localement lintaires sur le support /El = AWBW
...
de I'ouvert E. A toute inclusion E 8 F douverts, correspond un homomorphisme de
restriction, L(F) + IL(E) despaces vectoriels, qui restreint simplement toute fonction Flocalement lintaire au sous-ensemble IEl. Puisque tout noeud de E est contenu dans un noeud
de F,la restriction est E-localement lintaire. (Ce qui vient d&tremontn5, en langage de la
thbrie des catkgories, est que IL est un foncfeur contravariant du treillis des ensembles
ouverts dans la caggorie des espaces vectoriels.)
We have constructed a mapping IL which assigns, to every open set E = (A, B, ... ) of 2P a
vector space JL(E), the space of E-locally linear functions on the support !El = AuBu of the
open set E. For each inclusion E s F of open sets, there is a natural restriction
homomorphism, L(F) + IL(E) of vector spaces, which simply restricts any F-locally linear
function on IF1 to the subset IEl. Since every node of E is contained in a node of F, the
restriction is E-locally linear. (What we have shown so far, in the language of category
theory, is that L is a contravariantfwrctor from the lattice of open sets into the category of
vector spaces.)
Supposons donnks des fonctions fA sur chaque noeud A de l'ouvert E. Supposons de plus
que ces fonctions fA soient compotibles, dans le sens oh, pour tout couple de noeuds A,B, de
E, les restrictions de fA et fB concordent sur le sous-ensemble A n B. Pour tout ensemble
{fA} de fonctions compatibles, il n'existe qu'une manibre de dtfinir une fonction f sur IE( =
AUBU... , telle que la restriction flA ti tout noeud A est la fonction donnke fA, La seule
manibre de dtfinir une telle fonction est d'utiliser I'union des dtfinitions des fA sur les
difftrents noeuds.
Assume now that functions fA are individually given on each node A of an open set E.
Assume further that these functions f A are compatible, in the sense that, for any two nodes A,
B, in E, the restrictions of fA and fB agree on the subset A n B. For any compatible set (fA}
of functions, there is exactly one way to define a function f on [El = AuBw ... , such that its
restn'ction flA to any node A is the given function fA. The only way to define such a function is
to use the union of the definitionsof the f A on the separatenodes A.
L'argument p d c a e n t monk que le foncteur IL, qui ti tout ensemble ouvert associe un espace
vectoriel est un fuisceau. (Un argument plus complet impliquerait une complication
suppltmentaire qui n'a pas de signification thhrique dans le pdsent contexte: on devrait en
fait considkrer tous les recouvrements des ouverts E par des ouverts plus petits. Ce que nous
avons ttudit, sont les recouvrements de E par les ensembles ouverfs principuux, ceux
engenes par les noeuds.) Nous importerons de la Worie des faisceaux et de leurs
rtsolutions dtveloppkes en algtbre homologique, les concepts nktssaires de cocomplexes et
de cohomologie.
Les thtories de cette sorte tendent &tre plus concrttes quand elles sont situtes dans le
contexte dual de cofaisceaux, de complexes, et d'homologie. Les concepts duals appropries
sont les suivants. A tout sous-ensemble A de P est associt l'espace vectoriel @(A) qu'il
engendre, la lettre C repdsentant la complttion g6omttrique. Remarquons que l'espace @(A)
est I'espace colonne de la matrice f o d e des coordonn6es des points de A. Les points dans le
support d'un ensemble ouvert E = (A, B, ... ) ont des coordonnks naturelles, relativement ti
I'espace des fonctions E-localement lintaires sur /El. Ainsi C(E) est cet espace de rang r(E)
engendr6 par les points de [El, de coordonntes doMtes par le E-relkvement de [El. Ce
morphisme C des ouverts vers les espaces vectoriels est aussi un foncteur, mais celui-ci est
covariunt toute inclusion E G F d'ouverts donne lieu ti une transformation lintaire C(E) +
C(F) qui ressemble parfois ti une inclusion, parfois k une projection. Ce foncteur C est
appelt un cofaisceau.
The above argument shows that the functor IL, which sends open sets to vector spaces, is a
she4 (A complete argument involves one further complication which has no theoretical
significancein the present context one should really consider all expressions for an open set E
as a union of smaller open sets. What we have covered here is expressions of open sets as
unions of principal open sets, those generated by single nodes.) It is from the theory of
sheaves and their resolutions, as developed in homological algebra, that we import the
necessary notions of cocomplexes and cohomology.
Dans l'exemple du polyhdre image de la figure 6, l'espace vectoriel C(abcd, cdef, bceg,
adfg) est un espace vectoriel de rang 4 qui contient les coordonntes de tous les points de
l'espace projectif tridimensionnel engendd par les points dans le (abcd, cdef, bceg, adfg)relbvement, sctne dttermink par la fonction localemot h k a i r e f.
For example, in the polyhedral image in Figure 6, the vector space @(abcd, cdef, b e g ,
adfg) is the vector space of rank four which coordinatizes all points in the 3-dimensional
projective space spanned by the points in the (abcd, cdef, b e g , adfg)-lift, the scene
determined by the locally linear function f.
Cela dtpasserait le cadre de cet article d'entrer dans les details de la thtorie des faisceaux, de
leurs dsolutions, de leurs cocomplexes associts et de la thtorie de la cohomologie. La force
de la thtorie ghnCrale repose dans la facilitt de comparer des theories cohomologiquespour
difftrentes rtsolutions d'un meme faisceau et de son cofaisceau dual. Cette thtorie appliqute
k des configurations g6om&iques, sera @sentee dans l'ouvrage intitult An Introduction
to Geometric Homology dans I'Encyclopedia of Mathematlcs, publit par Cambridge
It is beyond the scope of this article to enter into details of sheaf theory, resolutions of
sheaves, their associated cocomplexes and cohomology theory. The inherent strength of the
general theory lies in the ease with which one can compare cohomology and homology
theories for diperen? resolutions of the same- sheaf and of its dual cosheaf. This theory, as
applied to geometric configurations, will be presented in a volume entitled An Introduction
to Geometric Homology, in the Encyclopedia of Mathematlcs, published by
...
Theories of this sort tend to be more concrete when they are set in the dual context of
cosheaves, complexes and homology. The appropriate dual concepts are as follows. To each
subset A 8 P we associate its span C(A), the letter C standing for geometric "closure". Note
that the space C(A) is the colwnn space of the marrix used to coordinatize those points which
are in the subset A. The points in the support of an open set E = (A, B, ... ) are naturally
coordinatized relative to the space of E-locally linear functions on IEl. So C(E) is taken to be
that space of rank r(E) spanned by the points of lEl, as coordinatized in the E-lift of [El.This
mapping C from open sets to vector spaces is also a functor, but is covuriunt: every inclusion
E s F of open sets gives rise to a linear transformation C(E) -t C(F) which resembles at times
an inclusion, at times a projection. The functor C is called a cosheg.
Structural Topology#13,1986 55
University Press. Ce que nous pr6sentons ici sont des rkgles pour calculer les espaces
homologiques dune figure gbombtrique, ti l'aide d'un cocomplex particulier et de son
complex dual.
Cambridge University Press. What we shall present here are instructions for calculating the
homology spaces of a geometric figure, using one particular co-complex and its dual
complex.
9. Homologie des configurations projectives
9. Homology of projective configurations
La construction suivante sur le nerf dun ensemble ouvert donne une rbsolution canonique du
cofaisceau C,"espace engendd par le reltvemeot", et fournit donc un complexe de chahe et
une thhrie homologique appropries h l'btude de l'homologie ghmbtrique. Ceci n&ssite
deux btapes. Premitrement, nous introduisons une notion topologique pr6lixninah-e de nerf
puis nous la raffioons en un concept gbtndtrque. Soit P, l'ensemble des points projectifs
(avec des coordomks pmjectives domks) dune configuration ghmktrique G,et soit E =
(A, B, ... ) un ouvert de sous-ensembles de P, dont les Clbments maximaux sont les ooeuds
A,B, .... Le oerf W(E) de l'ouvert E est l'ensemble partiellement ordonnC par l'inclusion, qui
consiste de tous les sousensembles S de l'eosemble {A, B, ... } dintersectioo non vide: les
ensembles de noeuds de E ayant au moins uo 61Crnent de P en commun. Les sous-ensembles
S qui sont dans le nerf et qui consistent en i+l noeuds sont appelbs les i-simplexes. Le bord
dun i-simplexe S=ABC...D est la combinaison lintaire
S = BC ...D - AC ...D + AB...D - ...
obtenue en omettant un noeud h la fois, avec des signes alternbs. I1 s'ensuit que aaS = 0 pour
tout simplexe S, doh &X = 0 pour mute chahe c = Ccq Si, une chaine btant une
combinaison linbaire de simplexes.
The following construction of the nerve of an open set provides one canonical resolution of
the cosheaf C, "span of lift", and thus provides a chain complex and hornology theory
appropriate for the study of geometric homology. We do this in two steps. First we introduce
a preliminary topological notion of nerve, then refiie it to a g e m t r i c concepr Let P be the set
of projective points (with specific projective coordinates) in a geometric configuration G, and
let E = (A, B, ... ) be an open set of subsets of P, the maximal members of which are called
its nodes A, B, ... . The nerve W(E) of the open set E is the partially ordered set, ordered by
inclusion, consisting of all subsets S of the set {A, B, ... 1 which have non-empty
intersection: sets of nodes in E having at least one element of P in common. Subsets S which
are in the nerve and which consist of exactly i+l nodes, are called i-simplices. The boundary
S of an i-simplex S = ABC ... D is the integer linear combination
Une petite modification du concept de nerf nous a m h e au complexe &(E) qui est la
&solution canonique du cofaisceau C, et dont l'homologie capture l'infoxmation gbmktrique
qui est l'objet de notre btude. Au lieu dentiers cornme coefficients dans les chaines du nerf,
on prend un ensemble restreint de vecteurs. Les concepts de simplexe et doperateur bord a
dans le complexe Mc(E) sont les mtmes que dans le nerf N(E), mais les coefficients dun isimplexe S doivent ttre un blbment de l'espace vectoriel C(&), un vecteur pouvant &re
reprksentk comme une combinaison lidaire des vecteurs coordondes de points dans
l'intersection de tous les noeuds du simplexe.
A slight modification of the concept of nerve leads us to the complex Mc(E) which is a
canonical resolution of the cosheaf C, and whose homology captures the geometric
information which is the object of our study. Instead of the integers, as coefficients in the
makeup of chains in the nerve, we use a restricted set of vectors. The concept of simplex and
of the boundary operator a in the complex Mc(E) are the same as in the nerve M(E) , but the
coefficient of an i-simplex S must be an element of the vector space C(&), a vector which is
expressible as a linear combination of vectors coordinatizing points in the intersection of all
nodes in the simplex.
A ce complexe est associ6 ce qui est connue dans la littbrature c o m e une hovnologie u
coq9iiients dam le cofaisceau C. Un i-cycle est une i e h a h e c telle que & = 0 et un i-bord
est uoe ichaine c telle qu'il existe une (i+l)chaine c a telle que c = aa Puisque = 0, tout i( Wc(E) ) est l'espace
bord est aussi un icycle. Le idme groupe d ' h l o g i e Hi =
vecbriel quotient des ieycles modulo les i-bords. Par des thhrkmes classiques que les
gmupes d'homologie sont indbpendants du choix de la dsolution, ces espaces vectoriels sont
simplement les groupes d'homologie du cofaisceau C. La notation simpMi6e Hi(C(E)) est
approprik. Le rang du iLme groupe d'homologie est le iLme nombre de Betti. = pi(E).
This complex gives rise to what is known as homology with coefticients in the cosheafC. An
i-cycle is ao i-chain c such that ac = 0, and an i-boundary is an i-chain c such that for some
(i+l)-chain a, c = aa. Since &a = 0, any i-boundary is also an i-cycle. The i* homology
group Hi = Hi ( Wc(E) ) is the quotient vector space of i-cycles modulo i-boundaries. By the
usual theorems that homology is independent of choice of resolution, these vector spaces are
simply the homology groups of the cosheaf C. The simpler notation Hi(C(E)) is appropriate.
The rank of the i* homology group is the i* Betti number pi = pi(E).
Afii de comprendre la signification du W m e nombre de Betti b(E) dun ouvert E, il est
L qui dsout le faisceau L des
pdfbrable de regarder britvement le cocomplexe de nerf N
fonctions localement linCaires, faisceau doot le cofaisceau C est le dual. Le cocomplexe
topologique sous-jacent admet les memes simplexes que W, et a l'op5rateur habitue1 de
cobord
In order to understand the significance of the 0th Betti number b(E) of an open set E, it is
best to look briefly at the nerve cocornplex
which resolves the original sheaf L of locally
linear functions, the sheaf to which the cosheaf C is dual. The underlying topological
cocomplex has the same simplices as W, and has the usual coboundary operator
& = A ... CD + A . . . C E + A . . . C F + ...
SS = A,.. CD
+ A... CE + A,.. CF + .,.
as = BC ...D - AC ...D + AB ...D - ...
obtained by dropping one node at a time, with alternating signs. It follows that ii3S = 0 for
any simplex S, and thus that a& = 0 for any chain c = cq Si, a chain being any linear
combination of simplices.
....
oB les noeuds sont ajoutks, un 8 la fois, avec des signes alterds, 8 un i-simplexe S=A C.
Dans le raffiiement gbomttrique NL de ce cocomplex, il faut que le coefficient de tout
simplexe S = A...C soit un Cltment de l'espace vectoriel L(An ...nC), c'est-adire une
fonction lintaire dtfinie sur le sousensemble An...nC. En particulier, une (Fcochalne est
I'affectation d'une fonction lintaire f A 8 chaque noeud. Le cobord 8f dune 0-cochaine f =
fA, fB, affecte 8 tout couple A, B de noeuds distincts la diffhnce
...
b1At-B
- fAIAne
des deux fonctions fB, fA,, restreintes 8 l'intersection A d . Le cobord sf d'une Ocochaine
est donc nulle si et seulement si l'affectation de fonctions lintaires aux noeuds est compafible
(voir chapitre 8). Par l'unicitk de la construction d'une fonction localement lintaire sur (El,
Ctant donnte m e affectation compatible de fonctions lintaires aux noeuds d'un ouvert E, on
sait que l'espace vectoriel des kocycles du cocomplexe NL(E) est isomrphe 8 l'espace
L(E) des fonctions E-localement lintakes sur JEl. Puisqu'il n'existe pas de (-l)cochahe,
aucun O-cocycle n'est un cobord. Autrement dit, le Opme nombre de Beai P(E) pour la
cohomologie est la dimension de l'espace des dries au-dessus de l'image donnte,
relativement au choix de l'ouvert E. Les groupes dhomologie et de cohomologie 8 tous les
niveaux sont duals, en tant qu'espaces vectoriels, doh ils ont la &me dimension lintaire:
@(E) = pi(E) for i = 0, 1,2, ...
Ainsi le W m e nombre de Betti, calcult 8 padr du complexe Nc est aussi tgal 8 la dimension
de l'espace des d n e s .
wherein nodes are adjoined to an i-simplex S = A.. .C one at a time, with signs inherited from
those in the definition of the boundary operator. In the geometric refinement BP of this
cocomplex we require that the coefficient of any simplex S = A...C be an element of the
vector space L(An ...nC), that is, a linear function defined on the subset An...&. In
particular, a Ocochain is an assignment of a linear function fA to each node A. The
coboundary 8f of a 0-cochain f = fA, fB, ... assigns to each pair A, B of distinct nodes the
difference
fBIAne
fAIAnB
of the two functions fB, fA, restricted to the intersection AnB. The coboundary 8f of a 0cochain f is thus zero if and only if the assignment of linear functions to nodes is compatible
(see section 8). By uniqueness of the construction of a locally linear function on [El,given a
compatible assignment of linear functions to the nodes of an open set E, we know that the
vector space of 0-cocycles in the cocomplex S ( E ) is isomorphic to the space L(E) of Elocally linear functions on /El.
Since there are no (-l)-cochains, no O-cocycle is a coboundary.
That is to say, the 0th Betti number P(E) for cohomology is the dimension of the space of
scenes over the given image, relative to the choice E of open set.Homology and cohomology
groups at each level are dual to one another, as vector spaces, so they have the same linear
dimension:
pi(E) = &(E) for i = 0, 1,2, ... .
So the 0th Betti number, computed from the complex Nc,is also equal to the dimension of
the space of scenes.
Pour une mise en oeuvre simple de ces calculs, il n'est pas t&s pratique d'avoir 8 considtrer
des intersections a r b i t r k s d'un grand nombre de nceuds. C'est pour cette raison que nous
avons dtfini le complexe Nc(E) en fonction des ClCments maximaux de l'ouvert E = (A,B,
...) Cette restriction n'a heureusement pas de signification thtorique. Un argument simple
montre que le complexe obtenu en rajoutant ou en omettant un ensemble "redondant" (nonmaximal) la liste des ensembles utilists pour dtfinir le nerfest homotopiquementequivalent
au nerf du complexe dtfini ci-dessus. Puisque I'Quivalence homotopique de complexes
entralne l'isomorphisme des groupes homologiques comespondants, un complexe de nerf peut
€be dtfini 8 partir des noeuds d'un ouvert sans perk d'information concemant les groupes
d'homologie.
For practical computation, it is not pleasant to have to consider arbitrary intersections of a
large number of nodes. It is for this reason that we have defined the complex Mc(E) in terms
of only the maximal members of an open set E = (A, B, ... ). This restriction is fortunatelyof
no theoretical significance. An easy argument shows that the complex obtained by either
adding or deleting a "redundant" (non-maximal) set from the list of sets used to define the
nerve is homotopy equivalent to the nerve complex defined above. Since homotopy
equivalence of complexes implies isomorphism of corresponding homology groups, a nerve
complex can be defiied in terms of the nodes of an open set, without loss of information
concerning homology groups.
Pour dsumer, le complexe de nerf Mc(E) d u n ouvert E = (Al, AZ, ... ) est UM suite
d'espaces vectoriels
Summing up, the nerve complex Nc(E) for an open set E = (Al, A3
vector spaces
NO@)
WO(E)= @i C(Ai),
Nl(E) = @ij C(Ai nAj),
...--t N@) + M,(E) --t MI(E) + Mo(E) + 0.
La somme iddes rangs de ces espaces vectoriels est simplement la somme altemke des
r a g s r des sous-espaces enge&s par les d i f f h t e s intersectionsdes noeuds:
x(E) = r(A) + r(B) + r(C) + ... - r(AnB) - r(M-)... + r(AnBnc) + ... - ...
o l E est l'ouvert E = (A, B,
). Cette somme altemke est encore @ale 8 la so=
alternte
...
C(&),
Wl(E) = @ij C(Ai n Aj),
Wz(E) = @ i jC(Ai
~
n A, n Ad,
Nz(E) = @i,l C(Ai n Aj n Ad,
et de transformations h b i r e s 2; Ni(E) + Ni.l(E), formant une suite (fmie):
@i
... ) is a sequence of
and linear transformations 2,: Mi(E) +Ni-l(E), forming a (finite) sequence:
...+N,(E)
--t M?(E) --t MI(E) --t No(E)
+ 0.
The alternating sum of the ranks of these vector spaces, is simply the alternating sum of the
r&
r of the subspaces spanned by the various intersectionsof nodes:
r(E) = r(A) + r(B) + r(C) + ... - r(M)- r(AnC) - ... + r(AnBnc) + ... - ...
where E is the open set E = (A, B, ... ). This alternating sum is also equal to the alternating
Structural T p b a #13,1986 57
des nombres de Betti du complexe,
sum of the Betti numbers of the complex,
x(E) = BoW - P i 0 3 + hQ - ... ,
et est appelk la curacrbristique x du complexe NdE) dun ouvert E, ou simplement la
caract6ristique xQ du cofaisceau C sur l'ouvert E. Le premier est l'expression que mus
avions propode dans la formule (2) du chapitre 3 comme approximation du rang de l'espace
des scbnes au-dessus dune image d o n n k Cette expression n'a aucun lien avec les questions
de position spCciale ou de conditions projectives. Bien qu'elle soit simple h tvaluer, elle
donne une premibre estimation de la valeur de b(E), rang du E-relbvement de la d u e , et
dimension de l'espace des &es dune image donnk.
xQ = Boo3 - PiW) + &(El and is called the characteristic x of the complex Wc(E) for an open set E, or simply the
characteristicx(E) of the cosheaf C at the open set E. The former is the expression which we
proposed as formula (2) in section 3 as an approximation to the rank of the space of scenes
over a given image. It is an expression which has nothing to do with questions of special
position or projective conditions. It is simple to evaluate, yet gives an initial estimate of the
value of b(E), the rank of the E-liftof the scene, the dimension of the space of scenes with a
given image.
10. Un exemple de calculs homologiques
10. An example of homology calculations
Sur la figure 7, sont montdes deux tentatives pour dessiner la projection dune figure
In Figure 7, we show two attempts to draw the pmjection of a skew (non-coplanar) figure
of three lines meeting three lines in space. Figure 7a is incorrect, while 7b is correct,
gauche (non-plane), figure de brois dmites rencontrant trois autres droites de l'espace. La
flgure 7a est inexacte alors que celle de 7b est juste, car les plans
A = abceh, B= adefg, and C = cfghi
-
because the planes
A = abceh, B= adefg, and C = cfghi
rencontrer en un point de l'espace, point qui doit h son tour se situer sur les droites
(each consisting of two lines, intersecting at b, d, and i, respectively )
must meet at some point in space, a point which in tum must lie on the lines
AnB-ave, AnC=cvh, B n C = l v g
dintersection deux h deux de ces plans. Puisque ces trois droites sont concurrentes dans
l'espace, leurs projections doivent etre concunentes dans le plan. Cette condition projective
est vMXe pour 2b mais non pour 2a.
AnB=ave, AnC=cvh, BnC=fvg
of pairwise intersectionsof those planes. Since these three lines are concurrent in space, their
projections must be concurrent in the plane. This projective condition holds in 2b but not in
2a.
(chacun consistant de deux droites, s'intersectant en b, d, i, respectivement) doivent se
C
75p
Figure 7r
Figure 7b
58 Topologicstructuralc K13, I986
Comment cette distinction apparait-elle dans l'homlogie? Toute l-chaine sur la famille E =
(A, B, C) est dabord une combinaison lindaire de la forme p AB t q AC t r BC, ob p est un
vecteur des cowdonnks dun point de l'espace projectif a v e (pour lequel nous utiliserons
la notation simplifik ae) engendr6 par le couple de points {a, e} = A n B, oh q est sur ch, et
ob r est sur fg. Pour qu'une telle chahe soit un l-cycle, son bord doit &re nul. Le bord Ctant
How does this distinction show up in the homology? Any 1-chain on the family E = (A, B, C)
is first of all a linear combination of the form p AB t q AC + r BC, where p is a vector
coordinatizing a point in the projective space a v e (for which we also employ the simpler
notation ae) spanned by the pair of points {a, e} = A n B, where q is in ch, and where r is in
fg. For such a chain to be a l-cycle, its boundary must be zero.The boundary being
(-p-q) A + (p-r) B + (q+r) C,
il s'ensuit que p = -q = r. Pour que les vecteurs p, q, et r soient des multiples les uns des
autres, ils doivent repdsenter le d m point projectif. DoP il existe un l-cycle non-nu1 si et
seulement si il existe un point projectif qui se trouve simultankment sur les h i s droites ae,
ch, et fg. Si tel est le cas, alors Pl(A, B, C) = 1, car il n'existe pas de 2-chaines non nulles
d'ob, pas de 1-bords non-nuls. Sinon pl(A, B, C) = 0.
(-p-q) A + (p-r) B + (q+r) C,
it follows that p = -q = r. For the vectors p, q. and r to be multiples of one another, they
must represent the same projective point. So there is a non-zero I-cycle if and only if there is a
projective point which is simultaneously on all three lines ae, ch, and fg. If this is the
case, then pl(A, B, C) = 1, because there are no non-zero 2-chains, so no non-zero 1boundaries. Otherwise, pl(A, B, C) = 0.
Puisque
Since
r(A) = r(B) = r(C) = 2,
r(AnB) = r(A n C ) = r(B n C ) = 1,
etr(A n B n C) = 0,
x(A, B, C) = 3. Puisque x = po - PI ,
~0 = 4, p1 = 1, si les trois se rencontrent en un point,
80 = 3, p1 = 0, sinon.
Le rang de la configuration plane donnk est dCjh Cgal h 3. Ce n'est donc que grace h la
condition projective ci-dessus que l'image admet une @image gauche dans l'espace, scbne de
rang 4 (de dimension projective 3).
On voit dans cet exemple qu'il est facile de calculer la valeur de pl, et que cette valeur a une
signification gbmCtrique Cvidente, si un ouvert n'a que trois noeuds. Un argument semblable
nous permet de calculer les nombres de Betti pn, &,-I, b-2pour tout ouvert de n muds. Pour
un tel ouvert, il n'y a pas de n-chaines (car pas de (n+l)-intersections de naeuds), donc &, =
0, et il n'y a pas non plus de (n-1)-bords. I1 existe une (n-1)-chaine non-nulle si et seulement
si il existe un point situC dans tous les espaces engendds par les noeuds. Mais m&mesi cela
est le cas, touk (n-l)-chaine n'a qu'un seul terme, et son bord n'est pas nul. Ainsi, il n'y a
pas de (n-1) cycles et pn-1 = 0. Soit
Bi = Aln.. .nAi-pAi+ln...nA, , for 1 = 1, ... ,n,
les diverses intersections de tous les w u d s soyfun de l'ouvert E = (Al, ... , A,,), et notons
A(E) l'intersection des n sous-espaces vectoriels C(BJ engendds par ces sousensembles.
Ainsi que nous l'avions calculk dans l'exemple de la figure 7, cet espace A(E) est
isomorphe h l'espace des (n-2)-cycles. L'espace dhomologie H,.2 est cet espace A(E) des
cycles, modulo l'espace
C(Aln ...nA,) = C(nE)
des (a-1)-bords. Lespace quotient
A m
1 C(nE)
ou, de fapn plus visuelle, le quotient asmi6 despaces projectifs est le (n-2)kme espace
d'homologie H,2(E).
En ce qui conceme les nombres de Betti
p,, = &,-I= 0, pourtant Bn-2 = r(b(E)) - r(nE).
r(A) = r(B) = r(C) = 2,
r(AnB) = r(AnC) = r(B n C) = 1,
and r(A n B n C) = 0,
%(A,B, C) = 3. Since x
= po - p1 ,
po 4, p1 1, if the three lines meet at a point,
po = 3, p1 = 0, otherwise.
E
I
The rank of the given plane configuration is already equal to 3. It is thus only under the stated
projective condition that the image has a skew preimage in space, a scene of rank4
(projectivedimension 3).
We have seen in this example that when there are only three nodes, p1 is easy to evaluate and
has a geometric meaning accessible to intuition. A similar argument permits us to calculate the
Betti numbers pn, P,.~,
for any open set with n nodes. For such an open set, there are no
n-chains (no set of n t l intersecting nodes), & = 0, and there are also no (n-1)-boundaries.
There exist non-zero (n-l)-chains if and only if there is some point which is in the span of
every node. But even if this is the case, any non-zero (n-1)-chain has only a single term,and
its boundary is not zero. Thus, there are no (n-l)-cycles, and
= 0. Now let
Bi = Aln ...nAi.lnAi+p...nAn , for 1 = 1, .,. ,n,
be the various intersections of a12 but one of the nodes in an open set E = (Al, ... , Ad), and
denote by A(E)the intersection of the n vector subspaces C(B;) spanned by those subsets. As
we calculated in the example illustrated in Figure 7, this space A(E) is isomorphic to the
space of (n-2)-cycles. The homology space H,, is this space A(E) of cycles, modulo the
space
C(A1n...nA$ = C(nE)
of (n-1)-boundaries. The quotient space
A@) 1 wJ9
or, more visually, the associated quotient of projective spaces, is the (a-2)nd homology space
H,2(E). As far as the Betti numbers are concerned,
B, = pn-, = 0,while p,2 = r(d(E)) - r(nE).
Structural Topology #13,1986 59
Pour la 3-calotte (figure 4), les calculs cidessus montrent que HZ(abde, bcef, cafd) est
isomorph B l'intersection des trois sousespaces de rang 2 qui sont dCfiis par les droites ad,
be, cf. Le premier nombre de Betti est Cgal B 1 si et seulement si ces trois droites ne sont pas
confondues, mais admettent un point commun.(Attention: cette intersection n'est certainement
par Cgale au dsultat du calcul ad A be A cf dans la double algkbre. Cette dernitre expression
est nulle pkistment quand un point est situC B cette intersection et, sinon, est un multiple
scalaire non nul du sousespace vide!)
For the kalotte (Flgure 4), the above calculation shows that H2(abde, bcef, cafd) is
isomorphic to the intersection of the three subspaces of rank two which coordinatize the lines
ad, be, cf. The 1st Betti number is equal to 1 if and only if these three lines are not equal, but
have a common point. (Caution: This intersection is certainly not equal to the result of
computing ad A be A cf in the double algebra. This latter expression is equal to m
precisely when a point exists in the intersection, and is otherwise a non-zero scalar multiple of
the empty subspace!)
11. Syzygies d'ordre supCrieur
11. Higher order syzygies
Regardons les calculs dbomologie g h d t r i q u e dun autre point de vue, comme Ctant une
manitre de dtceler l'existencede syzygies dordre supCrieur. Ceci nous permettra dttudier un
exemple oh h est positif, pour un ouvert n'ayant que cinq neuds. Le calcul sera
considtrablement simplifiC si des repn5sentations vectorielles adaptks sont choisies pour les
points dune configuration projective donnke, reprtsentations qui dsulteront en des
expressions simples pour les syzygies d'ordre sugrieur.
Let's look at computations of geometric homology from another point of view, as ways of
detecting the existence of 2nd and of higher order syzygies. This will also give us a chance to
look at an example where h is positive, for an open set with as few as five nodes. The
calculation will be considerably simplified if we choose convenient vector representations for
the points in a given projective configuration, representations which result in simpler
expressions of the higher order syzygies.
Etant donnt tout triplet de points colinCaires a, b, c, leur dkpendance est exprim& en p a n t
le syzygie de premier ordre
[bcla - [aclb + [ablc
Cgal B zho. Soient
p = [bcla q = [aclb r = [able
nous obtenons alors une expression plus simple pour la dependance: r = q - p. Mais, p, q, r
wnt les m€mes points projectifs que a, b, c, respectivement. De f y n plus gtnhale, Ctant
donnt trois points colinCaires, des multiples scalaires appropriCs peuvent &re choisis pour ces
points de fqon B ce que le troisikme point soit une combinaison linkaire quelconque,
pn5crkiemment Ctablie, des deux autres; et tout ceci, B un choix independantpks d'un multiple
scalaire supplhentaire.
Given any three collinear points a, b, c, their dependence is expressed by setting the 1st order
SYZYgY
[bcla - [aclb + [ablc
equal to zero.If we let
p = [bcla q = [aclb r = [ablc
then we have a much simpler expression for the dependence: r = q - p. But p, q, r are the
same projective points as a, b, c, respectively. More generally, given three collinear points,
appropriate scalar multiples can be chosen for those points so that the third point is any
previously specified linear combination of the other two, and all this, up to one additional free
choice of overall scalar multiple.
Nous continuons cette simplification. Soit un quadrilatke complet (voir la figure 8a), la
configuration dtfinie par les quatre droites distinctes A, B, C, D dans le plan et leurs six
points dintersection. Par le m&meargument que pdddemment, wus pouvons trouver deux
vecteurs p, q, tels que les points donnCs sur la droite A soient
A d = p , A K =-q, AnD =q-p,
et, sans changer le choix des coordonnkes pour le point AnB = p, on peut trouver un
troisihne vecteur r tel que
AnB = p , BnC= r, BnD-p-r.
We carry this simplification one step further. Say we have a complete quadrilateral (Figure
84, the configuration formed by four distinct lines A, B, C, D in the plane and their six
points of intersection. By the above argument, we can find two vectors p, q, such that the
given points on the line A are
A d = p , A& =-q, AnD=q-p,
and, with,no change to our choice of coordinates for the point AnB = p, we can fmd a third
vector r such that
AnB = p, BnC = r, BnD = p-r.
Maintenant,le point CnD est le seul point commun aux espaces engendxts par les deux
ensembles {-q, r}, {q-p, p-r}, ceux-ci Ctants des couples de points distincts sur les droites C
et D . Le vecteur r-q est ainsi Ccrit, ainsi ce vecteur peut repdsenter le sixibm: point de
l'intersection. Les six points dune configuration quadrilakre donnk ont doac q u comme
coordonn6es un triplet de vecteurs (avec des signes alternts) et leurs trois diffCrences deux B
deux.
Now, the point CnD is the unique point common to the spans of the two sets {q,r}, {q-p,
p-r}, these being pairs of distinct points on the lines C, D, respectively. The vector r q is so
expressible, so this vector can be taken to represent the sixth point of intersection. We have
coordinatized the six points of a given, fixed quadrilateral set as three vectors (taken with
alternating signs) and their three pairwise differeaces.
Que cette configuration wit prise telle quelle, dans le plan, ou qu'elle soit projet& sur une
droite, cornme dans la figure 3b, le choix des quatre triplets colinCaires pour les muds
Whether this configuration be taken, as is, in the plane, or projected down to a line, as in
Figure 3b, the choice of these four collinear triples as nodes produces a complex with
60 Topologie smccturele #13,1986
foumit un complexe ayant la caract6ristique x Cgal 4x2 - 6x1 = 2 avec = 3 et p1 = 1. I1
n'existe pas de 2-chalnes non nulles, et par suite pas de 1-bord. I1 existe toutefois un l-cycle
de coefficients
BD CD
AB
AC AD BC
9-P
r
Pr
rq
3
P
(Le lecteur devrait vkrifier que cette chahe est de bord nul.) En tant que l-cycle, cette chdne 7
est unique h multiple scalaire prks: une fois le choix de p fix6 (entre autres multiples de ce
point) pour le coefficient de AB, les coefficientsde AC et AD sont dCterminCs de faqm unique
par le fait que les trois coefficients sont trois points distincts dont la somme est nulle (en tant
que coefficient total de A dans &). Le meme raisonnement applique au coefficient de B dans
& dbtermine les coefficients de BC et de BD, cette fois-ci sans libre choix du scalaire. Pour
fink, l'annulation nkessaire de & sur le noeud C dttermine le dernier coefficient de CD.
characteristic x equal to 4L2 - 6x1 = 2, with po = 3 and p1 = 1. There are no non-zem 2-chains,
so no 1-boundaries. There is, however, a l-cycle y with coefficients
AD
BC
BD
CD
AB AC
9-P
r
Pr
r-q
P
-9
(The reader should check that this chain has boundary zero.) As a l-cycle, this 1-chain 7 is
unique up to one scalar multiple: once we have decided to use p (rather than another multiple
of that point) as the coefficient of AB, the coefficients of AC and AD are uniquely determined
by the fact that the three coefficients are three distinct points whose sum is zero (as total
coefficient of A in & ). The same reasoning concerning the coefficient of B in & determines
the coefficients of BC and BD, this time without a free choice of scalar. Finally, the required
cancellationof & on node C fixes the remaining coefficient of CD.
Les dkpendances AA, ...,AD sur les quatre noeuds A, ... , D du quadrilatkre, les
coordonnbes Ctant choisies de la manibre cidessus, sont likes par un syzygie de second ordre,
dont les coefficients sont particulibrement simples: AA + ... + A D est nu1 quand il est CvaluC
comme somme de syzygies de premier ordre. Ce phdnombne est tout li fait gknbral. Un 1cycle dun complexe de nerf Wc peut toujours etre modifik en un ensemble s'auto-annulant
de syzygies de premier ordre h l'aide de ce qui est COMU comme homomorphisme de
connection dune certaine suite exacte (dont une des etapes est l'homomoxphisme qui Cvalue
les combinaisons linbaires). Chaque coefficient du couple AB de noeuds, en tant que vecteur
de @ ( A d ) peut Etre exprim6 comme la valeur que prend une combinaison formelle de noms
de points de l'ensemble A d . En appliquant l'op6rateur de bord sur ces combinaisons
linCaires formelles de noms de points, on obtient l'affectation, h chaque noeud, d'un syzygie
de premier ordm ayant ce noeud comme support.
The dependencies AA, ...,AD on the four nodes A ,...,D of the quadrilateral, coordinatized m
this way, are linked in a 2nd order syzygy, the coefficients of which are particularly simple:
AA + .,, + AD, when evaluated as a sum of 1st order syzygies, is zero. This phenomenon is
completely general. A 1-cycle in the nerve complex Nc can always be converted to such a
self-cancelling set of 1st order syzygies by the use of what is known as the connecting
homomorphism of a certain exact sequence (one step of which is the homomorphism which
evaluates formal linear combinations). Each coefficient of a pair AB of nodes, as a vector in
@ ( A d ) is expressible as the value of a formal linear combination of names of points in the
set A&. Let the boundary operator act on these. formal linear combinations of names of
points. The result will be the assignmen4 to each node, of a 1st order syzygy supported on
that node.
Voici rid& sous-jacente ti une a u k rhlution possible du cofaisceau C. On prend c o m e ichaines toutes les combinaisons linkaires formelles de syzygies de iLme ordre ayant les
noeuds c o m e support, et 1'Cvaluation ( c o m e syzygie de i-bme ordre) est utilisC comme
This is the idea behind an alternative resolution of the cosheaf @. We take as i-chains all
formal linear combinations of i-th order syzygies supported on the individual nodes, and use
evaluation (at specific ith order syzygies) as boundary operator. Thus, a linear combination of
Figure Bb
StructuralTopology #13,1986 61
optrateur de bord. Ainsi, une combinaison de syzygies de premier ordre ayant les noeuds
comme support est un 1-cycle si et seulement si les syzygies s'annulent en chaque point. Une
combinaison de syzygies de deuxitme ordre est un 2-cycle (ou syzygie de troisitme ordre) si
et seulement si elle s'annule sur chaque syzygie de premier ordre.
first order syzygies supported on the nodes is a 1-cycle if and only if the syzygies cancel at
every point. A linear combination of second order syzygies is a 2-cycle (or 3rd order syzygy)
if and only if it cancels at every first order syzygy.
Un tel syzygie de troisitme ordre apparait dans la configuration de Desargues, intersection
complete de cinq plans dans l'espace 3-D, soit comme figure h 3 dimensions, soit c o m e
figure projet& sur le plan (la figure 8b). La figure d'intersection sur chaque plan est un
quadrilatkre complet. Supposons que le plan A ait pour coordonnks, comme ci-dessus,
repr6senttks par les hois vecteurs p, q, r (avec des signes altemts) et leurs hois diffkrences.
Dans le plans B, on repdsente le point BnCnD par un vecteur -s qui situe la difftrence s-p
au point BnCnE. Alors la diffkrence s-r sera colinkaire h p-r, s-p tandis que q-s sera non
seulement colinkaire h r-q, s-r, mais aussi ?A p-q, s-p. L'entitre configuration sera ainsi
repr6senttk en coordonnks de la fason pr6c& h la figure 8b, de manitre unique, h multiple
scalaire p&s.
For an example of such a 3rd order syzygy, take a look at the Desargues configuration, the
complete intersection of five planes in 3-space, either as a figure in 3 dimensions, or as a
figure projected down onto a plane (Figure 8b). The intersection figure on each plane is a
complete quadrilateral. Say we coordinatize the plane A, as above, by three vectors p, q, r
(taken with alternating signs) and their differences.In the plane B, represent the point BnCnD
by a vector -s which places the difference s-p at point BnCnE. Then the difference s r will be
collinear with p-r, s-p, while q-s will not only be collinear with r-q, s-r, but also with q-p,
s-p. The entire configuration will be accurately coordinahd as shown and uniquely so,up to
one overall scalar multiple.
L'homologie de la configuration de Desargues est calculk, avec ses cinq plans c o m e
noeuds. I1 n'y a pas de 3-chahes non nulles et donc pas de 2-bords, car aucun quadruplet de
noeuds n'a de points en commun. La mkthode utiliste pour simplifier les coordonntes de la
configuration fait apparaitreun 2-cycle r:
Let's calculate the homology of the Desargues configuration, with its five planes as nodes.
There are no non-zero 3chains, and thus no 2-boundaries, because no four nodes have a
common point.Our simplified coordinatization of the configurationreveals a 2-cycle r:
ABC
ABD
ABE
ACD
ACE
p
-q
q-p
r
p-r
ADE
rq
BCD
-s
BCE
s-p
BDE
q-r
CDE
ABC
ABD
ABE
AQ)
ACE
8-r
p
-q
9-p
r
p-r
ADE
rq
BCD
-s
BCE
BDE
CDE
a-p
q-a
s-r
(De nouveau, il est rxommandd au lecteur de vkrifier que le bord de cette Z-chahe est la
combinaison lintaire nulle de i-simplexes AB, ... , DE.) La caractkristique x a pour valeur 5x3 1W + 10x1 = 5. Le nombre de Betti po est dgal h 4, rang de l'espace tridimensionneldtfini
par le reltvement maximal de la configuration de Desargues. Puisque le Zcycle calcult cidessus est unique h multiple global scalaire p&s, & = 1. I1 s'ensuit que p1 = x - po - = 0.
(Again, check that the boundary of this 2-chain is the zero linear combination of 1-simplices
AB, ... DE.) The characteristicx has value 5x3 - 10x2 + 10x1 = 5. The Betti number po is
equal to 4, the rank of 3-space defmed by this maximum lift of the Desargues configuration.
Since the 2-cycle calculated above is unique up to an overall scalar multiple, &L = 1. It follows
that p1 = x - po - pz = 0.
Afm de comprendre comment ce 2-cycle donne lieu h un syzygie de troisitme ordre entre cinq
syzygies de second ordre, uo sur chaque noeud, soient a, b, les coefficients du 2-cycle y :
To see how this 2-cycle gives rise to a 3rd order syzygy among five 2nd order syzygies, one
on each node, let a, b, ... be the coefficients of the 2-cycle 5
P = P
b = q
c=q-p
d=r
e=p-r
f =r
g = -s
h = s-p
i = g-s
j = s-r
q
I1 existe alors un syzygie de premier ordre sur chaque droite de la figure :
f = r-q
g = -s
1 = q-s
j = s-r
Then there is a 1st order syzygy on each line of the figure:
rym: +a + b + c
ym: - c - e - f
BE:+ C - h - i
un syzygie de second ordre sur chaque plan :
h = s-p
and a 2nd order syzygy on each plane:
y~c:- a + d + e
y~c:+a+g+h
yQ):+d+g+j
y.DyDE: t f + i + j
ym: - d - b + f
~ ~ : + b - g + i
ym:+ e + h - j
62 Topdogie slrvctvrola #13,1986
et finalement, un syzygie global de troisibme ordre :
and finally, an overall third order syzygy:
Le lecteur devrait vwier que :
(1) les sommes cidessus de vecteun soot vraiment nulles: ce soot des syzygies de premier
The reader should verify
(1) that the indicated sums of vectors a~ indeed zero, making them 1st order syzygies,
(2) that the indicated sums of 1st order ,syzygies cancel at every point (prior to any
evaluation),making them 2nd order syzygies, and
(3) that the final sum canceis at every 1st ordk syzygy, making it a 3rd order syzygy.
Ordre,
(2) l a sommes ci-dessus de syzygies de premier ordre s'anouleot en chaque point (avant tout
bvaluatioo): ce soot d a syzygies de second ordre,et
(3) la dernihre somqe s'annule en chaque syzygie de premier ordre: c'est un syzygie de
troisibme ordre.
Le mode dannulation devient clah si on krit aussi que a = y-c,
...,afii que, par exemple,
T A B : ~ + ~ =+ YABC+YABD+TABE
c
BD b - g + l =
YABD-mCD+%DE.
On remarque que les signes et les indices des syzygies Ci chuque niveuu sont donnts par le
cobord de l'indice du syzygie lui-&me.
The pattern of cancellation is clear if we also write a = y ~ c , . .,
. so that, for example,
TAB: a + b + C = UBC +YABD+YABE
7BDb-g+i =
YABD-YBCD+7BDB
We see that both the signs and the subscripts used in the syzygies at each level are given by
the coboundary of the subscript of the syzygy itself.
Strrtural Topology #13,1986 63
12. Retour a la figure 1
12. Figure 1, revisited
Quelques remarques finales sont nkcessaires, concernant les exemples en dCbut darticle. Les
figures la, lc, l e sont homologiquementtriviales, avec x = B0 . La calotte de la figure l b
a un p1 = 1, mais ici, il faut prendre en compte les 1-bords lors du calcul du premier groupe
d'homologie. Le cube projectif de la figure I d a CtI5 trait15 au chapitre 7. De nouveau, les
1-bords doivent &tre pris en compte afin darriver la conclusion correcte que p1 = 2. Le
dseau gauche de la figure l h est trait45 c o m e celui de la figure 7 eta un p1 = 2.
Some final remarks are in order, concerning the examples used at the beginning of the article.
Figures la, lc, l e are homologically trivial, with x = k. The calok in Figure l b has p1
= 1, but here one must take some 1-boundaries into account when computing the 1st
homology. The projective cube in Figure I d was discussed in section 7. Again, 1boundaries must be taken into account in order to arrive at the correct conclusion that p1 = 2.
The skew grid in Figure l h is analyzed as in Figure 7, and has p1 = 2.
L'image plus complexe du polykdre de la figure If vCrifie qua& conditions projectives,
ainsi qu'il est monk6 dans la figure 9. Chaque condition correspond h une Ctape facilement
identifiable dans le processus pour dessiner le polyedre, en cornensant par un tI5traedre, puis
en dCcoupant des parties du solide, rune aprks l'autre, pour former de nouvelles faces planes.
Ceue approche directe n'est pas possible pour le polyedre de la figure lg. Ici, aucune face
n'a que des sommets trivalents, doh aucune condition simple de calotte n'est applicable.
Janos Baracs a d6veloppC une mCthode pour dessiner la projection polykdrique la plus
gCnCrale (deux conditions ~0 = 4, p1 = 2) de ce polykdre, un modkle projectif gh6ral du
rhombidcd&cddre.
The more complex polyhedral image in Figure If satisfies four projective conditions, as
shown in Figure 9. Each condition is linked to a clearly identifiable step in the process of
drawing the polyhedron, starting with a tetrahedron and slicing away portions of the solid,
one after another, to form new flat faces. This straightforward approach is not possible for the
polyhedron in Figure lg. Here, no face has only Mvalent vertices, so no simple calotte
condition is applicable. Janos Baracs has developed a method for drawing the more general
polyhedral projection (2 conditions, po = 4, p1 = 2) of this polyhedron, a general projective
model of the rhombic dodecahedron.
Flgure 9
13. problkmes ouverts
13. Research problems
De nombreuses recherches restent ti faire. La liste suivante de suggestions de recherches ne
fait qu'en effleurer la surface.
There is much to be done. The following short list of research suggestionswill just scratch the
surface.
1. Etendre la liste des groupes dhomologie connus. Trouver une description g C W e de
I'espace d'homologie H,,-s,pour tout ouvert de n noeuds. La dponse ne sera pas aussi simple
que celle du chapitre 10 pour H,,.2. Les sommes et intersections de sousespaces ne suffisent
pas. L'optrateur du "Pont de Wheatstone" & un sous-espace B partir de cinq sous-espaces
comus, de &me que le sixibme point dun ensemble quadrilatke est cr& par les cinq autres.
1, Extend the list of known homolorn groups. Find a general description of the homology
space H,,-s, for any open set with n nodes. The answer will not be so simple as that given in
section 10 for Hn.2. Taking joins and meets of subspaces does not suffice. A "Wheatstone
bridge" operator derives a subspace from five known subspaces, just as the sixth point of a
quadrilateralset is derived from the other five.
2 . Relier I'honwlogie des h g e s polyrkdriques d la comtruction de sect& & plansprojet&s
de la schne polyrkdrique. En particulier, domer une description g b d t r i q u e des l-cycles de
l'homologie d'une calotte ghkale.
2 . Relate the h b g y of pobhedrd h g e S to the constructwn of projected phne secZbm of
the polyhedral scene. In particular, give a geometric description of l-cycles in the homology
of a general calotte.
3, Dkvelopper une approche algorithmiquep o w la d & m h t i o n & conditbw projectives
pow les schnes polyrkdriques. Les algorithmes combhatoires dsultants devraient, si possible,
suivre les mtthodes de Steinitz pour le "scindage de faces", qui engendre tous les polyMres
sphkriques.
3. Develop an algorithmic approach to the determination of projective condirbm for
polyhedral scenes. The resulting combinatorial algorithms should be, if possible, along the
lines of Steinitz'sprocedures for "face-splitting", which generate all spherical polyhedra.
4 . Montrer comment les changements hwnologques sont fonctoriek par rapport aux
4 . Show how homology changes (is fmtorial) with respect to projective mappings. Most of
the interesting features of geometric homology should be stated synthetically, in t e r n of
section and projection. Furthermore, starting with the change of homology under restriction
and projection mappings, one can define relative homology, a concept needed in order to
understand the projectivegeometrical significance of the EilenbergSteenrod axioms.
tran@ormatiom projectives. La plupart des aspects de l'homologie algCbrique devraient &tre
Ctablis synthttiquement en terms de section et de projection. De plus, en commenqant avec le
changement d'homologie par restriction et projection, dtfinir une homologie relative, concept
ntcessaire pour comprendre la significationgtomttrique projective des axiomes d'Eilenberget
de Stkmd.
5. utiliser la suite de hfayer-vietoris pour dhelopper une approche dgo&hmique de
l'homlogie grkodtrique. La caractkistique x est une tvaluation sur le treillis des ouverts de
2p. La formule de Mayer-Vietoris montrera comment, de fapn gkntrique, scinder la
caracteristique en une somme alternte de nombres de Betti. I1 restera alon B comprendre,
comment la sptcialisation (positions spkiales) modifie la suite (position gbntrale) des
nombres de Betti.
5. Use the Mayer-Vietoris sequence to develop an algorithmic approach to geometric
homology. The characteristic is a valuation on the distributive lattice of open subsets of 2P.
The Mayer-Vietoris formula will show how, generically, to split the characteristic into an
alternating sum of Betti numbers. It will then remain to be understood, how specialization
(moving into special position) modifies the sequence of generic (general position) Betti
6. A p p l i c a t h ci la dcanique et ci la mtique. Par la comparaison du faisceau des fonctions
localement linhires (pour les images et les scknes) et du faisceau d'isomttries locales @our
des dseaux de structures rigides el leurs mouvements infiniEsimaux), arriver B une nouvelle
formulation des thhr&rnes de MaxwellCrCmona et de CrapeTay [Maxwell 1864, Crapo
1984, Crapo & Whiteley, 19861).
6. Application to mechanics and statics. By comparing two sheaves, the sheaf of locally-linear
functions (for images and scenes) and the sheaf of local isome&ies (for linkages of rigid
structures and their infinitesimal motions), arrive at a homological restatementof the MaxwellCremoha and Crapo-Tay theorems [Maxwell 1864, Crapo 1984, Crapo & Whiteley, to
appear].
7.L'homologk par la double dgt?bre. Les syzygies de premier ordre sont obtenus en retirant
les crochets de longeurs k des chahes de points de rang (k+l). Cest une opkration semblable
h celle de I'intersection (A) avec l'ensemble vide 0 dam la double algkbre engendr6e par un
ensemble formellement indeendant de points. Des syzygies gC&ques d'ordre supkrieur
peuvent eke engendds de cette m&mem i k e . Ceci nous m h e h la conclusion qu'il devrait
exister une version kquivalente d'homologie gto&trique, dtveloppke en termes de doubles
algbbres, l'optration dintersection (avec une chaine don&) remplqant l'opkrateur bord.
7. Homology via the double algebra. Generic 1st order syzygies are obtained by removing
brackets of size k from strings of points, rank k+l. This is the same operation as taking meet
(A) with the empty set 0 in the double algebra generated by a formally independent set of
points. Higher order generic syzygies can also be generated in this way. This leads us to the
conclusion that there should be a equivalent version of geometric homology, developed in
terms of double algebras, the unary operation meet (with fixed strings) serving as boundary
operator.
numbers.
Slnulwal Tqpology#13,1986 65
14. Historique
14. Background
Pendant les 10, 12 demibes annCes, un renouveau dramatique &inter& s'est ~ ~ 6 dans
- 6 les
probltmes gbmetriques. Les gbmttres out reconsiddr.5 un grand nombre de questions en
mkcanique infinithimale, sur des questions traikks par J.C. Maxwell et L. Cremona
[Cremona 1890, Maxwell 1864, 18691, dont le developpement fut puwuivi sous la bannikre
de la statique graphique [Culmann 1866, Henneberg 19111 mais qui ne progressagukre aprts
la fin du 1%me sitcle. Au mkme moment les informaticiens out reconnu que les outils de la
graphique statique de la geometric projective wnt fondamentauxpour la recherche en analyse
des sctnes. Le renouveau principal est en grande partie dQ aux efforts du groupe de
recherches de topologie structurale ti l'Universit.6 de Montrhl. Les travaux de ce groupe, en
rkference ci-dessous [Baracs 1979, Crapo 1979, Crapo & Whiteley 1982, Tay 1983, Tay &
Whiteley 1983, Whiteley 19791 (et ailleurs) sont un sous-produit de la recherche en
mecanique infiniteshale, ti l'aide de methodes dtrivks de la statique graphique de &me que
l'algtbre exterieure et son dernier fleuron, la double algtbre [Doubilet & Rota & Stein 1974,
Rota & Stein 1976. Indkpendamment, [Huffman 19771, [Duda & Hart 19731 et autres
reconnurent que les images dciproques de Maxwell pouvaient aider ti determiner si une image
plane donnee etait la projection d'une s c h e 3-D polyWique. Plus dcemment [sugihara
1981, 19831 et ses collbgues de Nagoya ont cr& ce qui peut Ctre considW comme un projet
pilote pour une gbrn6trie descriptive automatique. 11s ont krit un code capable de modifier
une esquisseplane afim den faire une waie projection d'une h e 3-D.
During the last 10-12 years there has been a dramatic revival of interest in applied geometric
problems. Geometers have reconsidered a number of questions in infinitesimal mechanics,
questions treated by J.C. Maxwell and L. Cremona [Cremona 1890, Maxwell 1864, 18691,
further developed under the banner of graphical statics [Culmann 1866, Hemeberg 19111, but
left largely untouched since the end of the nineteenth century. At the same time, computer
scientists have come to recognize that the tools of graphical statics and of applied projective
geometry ~IEfundamentalto research in scene analysis.
La connaissance des positions spkiales fut considkrablement approfondie par la publication
de deux articles [white & Whiteley 1983, 19841 sur la factorisation des conditions
projectives. Une approche algorithmique de l'analyse ghn6rique de structures de barres et de
joints semble maintenant the possible, puisque toutes sauf une des omissions de la d t h o d e
originale de Henneberg out Ctk rectifiks Fay & Whiteley 19831.
En krivant cet article, nous avons organis6 le contenu d'une manibre qui refltte le
d6veloppementdes idtes homologiques appliqubs ti l'algkbre, durant ces dernitres annCes de
recherche. Lid& d'utiliser la formule (2) comme un d h m p t e approchk des scknes, et de
l'inclure comme la caracteristiqued'une thCorie homologique est le dsultat de travaux faits en
collaboration avec Tiong Seng Tay, pendant sa visite ti Paris en tt6 1984. A ce moment-14
nous avions r h s i ti ecrire les valeurs des nombres de Betti jusqu'h trois neuds. (Dans un
travail non publib, aussi en 1984, Andr6as Dress conjectura que le e r n e type de dkompte
pouvait t e e correctement applique ti des questions de rigidit6 de bmes et de joints.) Le lien
entre cette thbrie homologique naissanteet la cohomologiquedes faisceaux fut Clabod par les
auteurs, debut 1985.
Usages anterieurs de la cohomologie des faisceaux sont h voir dans les articles de Baclawski
et de Bjorner concernants les nombres de Whitney des treillis g&dtriques. Dans une
recherche indtpendente, Billera commence ti se servir de la cohomologie du complexe nerf
pour son etude des splines quadmtiques (des sctnes lisses sur une subdivision simplicialedu
PW.
A good deal of the recent revival of interest is due to the efforts of the Structural Topology
research group at the University of Montreal. The work of this group, reported in the pages of
this journal [Baracs 1979, Crapo 1979, Crapo & Whiteley 1982, Tay 1983, Tay & Whiteley
1983, Whiteley 19791 (and elsewhere), was a biproduct of research on infinitesimal
mechanics, using methods derived from graphical statics, as well as from exterior algebra and
its modem offspring, the double algebra [Doubilet& Rota & Stein 1974, Rota & Stein 1976).
Independently, [Huffman 19771, [Duda & Hart 19731, and others recognized that Maxwell's
reciprocal figures could help in deciding whether a given plane image is the projection of a 3D
polyhedral scene. More recently, [Sugihara 1981,19831and his colleagues in Nagoyacreated
what may be considered a pilot project for automated descriptive geometry. They wrote a
software package capable of modifying a rough plane sketch, so as to make it a true projection
of a 3D scene.
Knowledge of special position was considerably deepened with the appearance of two articles
[White & Whiteley 1983, 19841on the factorizationof projective conditions. An algorithmic
approach to the analysis of generic rigidity of 3D bar and joint structures seems in sight, now
that all but one omission in Henneberg's original method have been repaired F a y & Whiteley
19831.
In preparing the present article, we have organized the material in a way which reflects the
developmentof homological ideas in geometry, during the past several years o f research. The
idea to use formula (2) as an approximate count of scenes, and to incorporate it as the
characteristicin a homology theory, were the result of work done in collaboration with Tiong
Seng Tay, during his visit to Paris in the spring of 1984. At that time, we managed to write
down the values of the Betti numbers (b and el) for up to three nodes. (In unpublished work,
also in 1984, Andreas Dress conjectured that the same sort of count could be conectly applied
to questions of generic rigidity of bar and joint structures.) The link between this nascent
geometric homology theory and the cohomology of sheaves was forged by the present
authors, early in 1985.
Earlier uses of sheaf cohomology for combinatonal purposes can be seen in articles by
Baclawski and Bjorner, concerning the Whitney numbers of geometric lattices.
Independently, Billera has begun to use the homology of the nerve complex in his study of
quadratic splines ( s m t h scenes over simplicial subdivisionsof the plane).
66 Topdogieshlrctwalc #13,1986
Bibliographie
Bibliography
Le code qui apparait dans la premibrc colonne de chaque entrie bibliographique est constituC de trois parties siparks par des tirets. La premiere panie indique s'il s'agit d'un livre Book), d'un Anicle, d'une
Pri-impression, ou de notes de cours (Course notes), La deuxisme partie indique si le texte a OtC r6digO
pour des Mathhaticiens, des Architectes ou des inginieurs (Engineers). La partie finale indique si le
texte touche un ou plusieurs des themes principaux de la topologie structurale: GComCtrie (en ghnbral),
Polykdres, Juxtaposition ou RigiditO.
The code in the first block of each bibliographic item consist of three pans, separated by dashes. The
first letter indicates whether the item is a Book, Anicle, Preprint or Course notes. The middle letter(s)
indicates whether the piece was intended primarily for an audience of Mathematicians, Architects or
Engineers. The final letter(s) indicates if the piece touches on one or more. of the principal themes of
structural topology: Geometry (in general), Polyhedra, Juxtaposition or Rigidity.
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