Fusing point and areal level space-time
data with application to wet deposition
Sujit Sahu
http://www.soton.ac.uk/∼sks
Southampton Statistical Sciences Research Institute,
Joint work with Alan Gelfand and David Holland (USEPA)
Warwick: March 2009
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Modelling Ingredients and Innovations
Combine observed data with output from computer
simulation model. Data Assimilation
Modelling large space-time data, about 1.8 million.
Change of support problem: reconcile the differences
between point and areal data using multi-scale
random effects.
Missing data, covariate effects, point mass at zero.
Auto-regressive (AR) process in time and
Conditional Auto-Regressive (CAR) in space.
Aggregation in time and space; spatial interpolation.
All done using Bayesian Hierarchical Modelling and
MCMC
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Modelling Ingredients and Innovations
Combine observed data with output from computer
simulation model. Data Assimilation
Modelling large space-time data, about 1.8 million.
Change of support problem: reconcile the differences
between point and areal data using multi-scale
random effects.
Missing data, covariate effects, point mass at zero.
Auto-regressive (AR) process in time and
Conditional Auto-Regressive (CAR) in space.
Aggregation in time and space; spatial interpolation.
All done using Bayesian Hierarchical Modelling and
MCMC
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Modelling Ingredients and Innovations
Combine observed data with output from computer
simulation model. Data Assimilation
Modelling large space-time data, about 1.8 million.
Change of support problem: reconcile the differences
between point and areal data using multi-scale
random effects.
Missing data, covariate effects, point mass at zero.
Auto-regressive (AR) process in time and
Conditional Auto-Regressive (CAR) in space.
Aggregation in time and space; spatial interpolation.
All done using Bayesian Hierarchical Modelling and
MCMC
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Modelling Ingredients and Innovations
Combine observed data with output from computer
simulation model. Data Assimilation
Modelling large space-time data, about 1.8 million.
Change of support problem: reconcile the differences
between point and areal data using multi-scale
random effects.
Missing data, covariate effects, point mass at zero.
Auto-regressive (AR) process in time and
Conditional Auto-Regressive (CAR) in space.
Aggregation in time and space; spatial interpolation.
All done using Bayesian Hierarchical Modelling and
MCMC
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Modelling Ingredients and Innovations
Combine observed data with output from computer
simulation model. Data Assimilation
Modelling large space-time data, about 1.8 million.
Change of support problem: reconcile the differences
between point and areal data using multi-scale
random effects.
Missing data, covariate effects, point mass at zero.
Auto-regressive (AR) process in time and
Conditional Auto-Regressive (CAR) in space.
Aggregation in time and space; spatial interpolation.
All done using Bayesian Hierarchical Modelling and
MCMC
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Modelling Ingredients and Innovations
Combine observed data with output from computer
simulation model. Data Assimilation
Modelling large space-time data, about 1.8 million.
Change of support problem: reconcile the differences
between point and areal data using multi-scale
random effects.
Missing data, covariate effects, point mass at zero.
Auto-regressive (AR) process in time and
Conditional Auto-Regressive (CAR) in space.
Aggregation in time and space; spatial interpolation.
All done using Bayesian Hierarchical Modelling and
MCMC
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Modelling Ingredients and Innovations
Combine observed data with output from computer
simulation model. Data Assimilation
Modelling large space-time data, about 1.8 million.
Change of support problem: reconcile the differences
between point and areal data using multi-scale
random effects.
Missing data, covariate effects, point mass at zero.
Auto-regressive (AR) process in time and
Conditional Auto-Regressive (CAR) in space.
Aggregation in time and space; spatial interpolation.
All done using Bayesian Hierarchical Modelling and
MCMC
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Challenges in Implementation (MCMC)
High dimensional (≈34K) latent spatial processes.
Spatially varying slope and intercepts.
Parameter identifiability in hierarchical models.
Constrained parameter spaces.
Selection of model tuning parameters.
Complexity in coding, monitoring and diagnosing
MCMC convergence.
Spatial prediction on a large grid (Eastern US).
Friendly Agents
Conjugate sampling.
Some proper prior processes.
Cheap local CAR updates (Gibbs Sampling).
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Challenges in Implementation (MCMC)
High dimensional (≈34K) latent spatial processes.
Spatially varying slope and intercepts.
Parameter identifiability in hierarchical models.
Constrained parameter spaces.
Selection of model tuning parameters.
Complexity in coding, monitoring and diagnosing
MCMC convergence.
Spatial prediction on a large grid (Eastern US).
Friendly Agents
Conjugate sampling.
Some proper prior processes.
Cheap local CAR updates (Gibbs Sampling).
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Challenges in Implementation (MCMC)
High dimensional (≈34K) latent spatial processes.
Spatially varying slope and intercepts.
Parameter identifiability in hierarchical models.
Constrained parameter spaces.
Selection of model tuning parameters.
Complexity in coding, monitoring and diagnosing
MCMC convergence.
Spatial prediction on a large grid (Eastern US).
Friendly Agents
Conjugate sampling.
Some proper prior processes.
Cheap local CAR updates (Gibbs Sampling).
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Challenges in Implementation (MCMC)
High dimensional (≈34K) latent spatial processes.
Spatially varying slope and intercepts.
Parameter identifiability in hierarchical models.
Constrained parameter spaces.
Selection of model tuning parameters.
Complexity in coding, monitoring and diagnosing
MCMC convergence.
Spatial prediction on a large grid (Eastern US).
Friendly Agents
Conjugate sampling.
Some proper prior processes.
Cheap local CAR updates (Gibbs Sampling).
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Challenges in Implementation (MCMC)
High dimensional (≈34K) latent spatial processes.
Spatially varying slope and intercepts.
Parameter identifiability in hierarchical models.
Constrained parameter spaces.
Selection of model tuning parameters.
Complexity in coding, monitoring and diagnosing
MCMC convergence.
Spatial prediction on a large grid (Eastern US).
Friendly Agents
Conjugate sampling.
Some proper prior processes.
Cheap local CAR updates (Gibbs Sampling).
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Challenges in Implementation (MCMC)
High dimensional (≈34K) latent spatial processes.
Spatially varying slope and intercepts.
Parameter identifiability in hierarchical models.
Constrained parameter spaces.
Selection of model tuning parameters.
Complexity in coding, monitoring and diagnosing
MCMC convergence.
Spatial prediction on a large grid (Eastern US).
Friendly Agents
Conjugate sampling.
Some proper prior processes.
Cheap local CAR updates (Gibbs Sampling).
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Challenges in Implementation (MCMC)
High dimensional (≈34K) latent spatial processes.
Spatially varying slope and intercepts.
Parameter identifiability in hierarchical models.
Constrained parameter spaces.
Selection of model tuning parameters.
Complexity in coding, monitoring and diagnosing
MCMC convergence.
Spatial prediction on a large grid (Eastern US).
Friendly Agents
Conjugate sampling.
Some proper prior processes.
Cheap local CAR updates (Gibbs Sampling).
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Challenges in Implementation (MCMC)
High dimensional (≈34K) latent spatial processes.
Spatially varying slope and intercepts.
Parameter identifiability in hierarchical models.
Constrained parameter spaces.
Selection of model tuning parameters.
Complexity in coding, monitoring and diagnosing
MCMC convergence.
Spatial prediction on a large grid (Eastern US).
Friendly Agents
Conjugate sampling.
Some proper prior processes.
Cheap local CAR updates (Gibbs Sampling).
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Challenges in Implementation (MCMC)
High dimensional (≈34K) latent spatial processes.
Spatially varying slope and intercepts.
Parameter identifiability in hierarchical models.
Constrained parameter spaces.
Selection of model tuning parameters.
Complexity in coding, monitoring and diagnosing
MCMC convergence.
Spatial prediction on a large grid (Eastern US).
Friendly Agents
Conjugate sampling.
Some proper prior processes.
Cheap local CAR updates (Gibbs Sampling).
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Chemical Deposition
Combustion of fossil fuel produces various chemicals
including sulfate and nitrate gases.
In the eastern U.S., most SO2 , and NOx release
attributed to power plants.
Emitted to the air; wet deposition and dry deposition;
interest in total deposition.
Deposition means return to the earth’s surface by
means of precipitation (rain or snow) for example.
Wet Deposition = Precipitation × Concentration.
Wet deposition is responsible for damage to lakes,
forests, and streams.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Chemical Deposition
Combustion of fossil fuel produces various chemicals
including sulfate and nitrate gases.
In the eastern U.S., most SO2 , and NOx release
attributed to power plants.
Emitted to the air; wet deposition and dry deposition;
interest in total deposition.
Deposition means return to the earth’s surface by
means of precipitation (rain or snow) for example.
Wet Deposition = Precipitation × Concentration.
Wet deposition is responsible for damage to lakes,
forests, and streams.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Chemical Deposition
Combustion of fossil fuel produces various chemicals
including sulfate and nitrate gases.
In the eastern U.S., most SO2 , and NOx release
attributed to power plants.
Emitted to the air; wet deposition and dry deposition;
interest in total deposition.
Deposition means return to the earth’s surface by
means of precipitation (rain or snow) for example.
Wet Deposition = Precipitation × Concentration.
Wet deposition is responsible for damage to lakes,
forests, and streams.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Chemical Deposition
Combustion of fossil fuel produces various chemicals
including sulfate and nitrate gases.
In the eastern U.S., most SO2 , and NOx release
attributed to power plants.
Emitted to the air; wet deposition and dry deposition;
interest in total deposition.
Deposition means return to the earth’s surface by
means of precipitation (rain or snow) for example.
Wet Deposition = Precipitation × Concentration.
Wet deposition is responsible for damage to lakes,
forests, and streams.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Chemical Deposition
Combustion of fossil fuel produces various chemicals
including sulfate and nitrate gases.
In the eastern U.S., most SO2 , and NOx release
attributed to power plants.
Emitted to the air; wet deposition and dry deposition;
interest in total deposition.
Deposition means return to the earth’s surface by
means of precipitation (rain or snow) for example.
Wet Deposition = Precipitation × Concentration.
Wet deposition is responsible for damage to lakes,
forests, and streams.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Chemical Deposition
Combustion of fossil fuel produces various chemicals
including sulfate and nitrate gases.
In the eastern U.S., most SO2 , and NOx release
attributed to power plants.
Emitted to the air; wet deposition and dry deposition;
interest in total deposition.
Deposition means return to the earth’s surface by
means of precipitation (rain or snow) for example.
Wet Deposition = Precipitation × Concentration.
Wet deposition is responsible for damage to lakes,
forests, and streams.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
The CMAQ model
CMAQ = Community Multi-scale Air Quality Model.
A computer simulation model which produces
“averaged” output on 36km, 12km (used here), and
now 4km grid cells.
Uses variables such as power station emission
volumes, meteorological data, land-use, etc. with
atmospheric science (appropriate differential
equations) to predict deposition levels. Not driven by
monitoring station data.
Predictions are biased but no missing data;
monitoring data provide more accurate deposition but
“missingness”.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
The CMAQ model
CMAQ = Community Multi-scale Air Quality Model.
A computer simulation model which produces
“averaged” output on 36km, 12km (used here), and
now 4km grid cells.
Uses variables such as power station emission
volumes, meteorological data, land-use, etc. with
atmospheric science (appropriate differential
equations) to predict deposition levels. Not driven by
monitoring station data.
Predictions are biased but no missing data;
monitoring data provide more accurate deposition but
“missingness”.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
The CMAQ model
CMAQ = Community Multi-scale Air Quality Model.
A computer simulation model which produces
“averaged” output on 36km, 12km (used here), and
now 4km grid cells.
Uses variables such as power station emission
volumes, meteorological data, land-use, etc. with
atmospheric science (appropriate differential
equations) to predict deposition levels. Not driven by
monitoring station data.
Predictions are biased but no missing data;
monitoring data provide more accurate deposition but
“missingness”.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
The CMAQ model
CMAQ = Community Multi-scale Air Quality Model.
A computer simulation model which produces
“averaged” output on 36km, 12km (used here), and
now 4km grid cells.
Uses variables such as power station emission
volumes, meteorological data, land-use, etc. with
atmospheric science (appropriate differential
equations) to predict deposition levels. Not driven by
monitoring station data.
Predictions are biased but no missing data;
monitoring data provide more accurate deposition but
“missingness”.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
National Atmospheric Deposition Program
(NADP)
NADP collects point-referenced data at several sites.
They then use simple interpolation to produce maps.
6
6
9
5
8
9
6
6
7
7
12
11
4
4
4
6
13
6
7
6
15
11
12
15
8
14
11
8
17
16
20
12 19 18
15
12
16
13
11
13
13
10
28
14
16
13
10
18
21
16
15
8
13
21
15
16 14
13
6
12
1822
14
13
9
15
10 11
10
11
13
11
16
10
11
16
15
14
68
15
11
11
8
13
14
6
10
6
16
16 22
18
20
20
30
16
19
22
12
19
24
17
17
13
18
16
19
17
5
19
16
17
13
8
9
4
14
16
10
10
10
12
12
12
13
20
11
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Inverse Distance weighting (IDW)
“Poor person’s” methodology:
Value at a new site = weighted mean of observations,
Weights inversely proportional distance2 .
Problems
Not model based!
Unable to accommodate known covariate precipitation!
Unable to handle 0’s and missing data.
Can’t fuse with model output data.
With dynamic data, can only do independent weekly
or aggregated annually.
No associated uncertainty maps!
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Inverse Distance weighting (IDW)
“Poor person’s” methodology:
Value at a new site = weighted mean of observations,
Weights inversely proportional distance2 .
Problems
Not model based!
Unable to accommodate known covariate precipitation!
Unable to handle 0’s and missing data.
Can’t fuse with model output data.
With dynamic data, can only do independent weekly
or aggregated annually.
No associated uncertainty maps!
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Inverse Distance weighting (IDW)
“Poor person’s” methodology:
Value at a new site = weighted mean of observations,
Weights inversely proportional distance2 .
Problems
Not model based!
Unable to accommodate known covariate precipitation!
Unable to handle 0’s and missing data.
Can’t fuse with model output data.
With dynamic data, can only do independent weekly
or aggregated annually.
No associated uncertainty maps!
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Inverse Distance weighting (IDW)
“Poor person’s” methodology:
Value at a new site = weighted mean of observations,
Weights inversely proportional distance2 .
Problems
Not model based!
Unable to accommodate known covariate precipitation!
Unable to handle 0’s and missing data.
Can’t fuse with model output data.
With dynamic data, can only do independent weekly
or aggregated annually.
No associated uncertainty maps!
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Change of support problem
Fuentes and Raftery, 2005
Need to upscale (block-average) point level Z (s, t) to
obtain grid level Z (Aj , t).
Z
1
Z (Aj , t) =
Z (s, t) ds,
(1)
|Aj | Aj
Ak
i
si
Many more A’s than s’s
We use Measurement Error model (MEM) at point
level centred around grid level values.
Make inference at the point level by downscaling.
Huge computational advantages, NO integration (1).
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Change of support problem
Fuentes and Raftery, 2005
Need to upscale (block-average) point level Z (s, t) to
obtain grid level Z (Aj , t).
Z
1
Z (Aj , t) =
Z (s, t) ds,
(1)
|Aj | Aj
Ak
i
si
Many more A’s than s’s
We use Measurement Error model (MEM) at point
level centred around grid level values.
Make inference at the point level by downscaling.
Huge computational advantages, NO integration (1).
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Our Contribution
Model data on weekly time intervals.
Fuse with gridded weekly CMAQ output.
Use weekly precipitation information, available from
other monitoring networks.
Interpolate in space, predict in time
Obtain quarterly and annual maps.
Reveal spatial pattern in deposition.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Our data set
Data
Weekly deposition data from 128 sites in the eastern
U.S. for the year 2001.
Use 120 sites to estimate, remaining 8 to validate.
Weekly CMAQ output from J = 33, 390 grid cells
(about 1.8 million values!)
Weekly precipitation data from 2827 predictive sites.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Annual Precipitation
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
200
•
150
•
100
50
•
•
•
B
•
•
F•
•
•
•
•
G
•
•
•
•
•
•
•
•
D
•
•
•
A
•
•
•
•
•
•
•
E
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
H
•
•
•
•
•
•
•
•
C
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Exploratory Analyses
4
2.5
2.0
3
wetno3
wetso4
1.5
2
1.0
1
0.5
0
0.0
4
8
12
16
21
25
30
34
38
43
48
52
(a)
4
8
12
16
21
25
30
34
38
43
48
52
(b)
Figure: Boxplot of weekly depositions: (a) sulfate and (b)
nitrate.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Exploratory Analyses ...
log sulfate
−2
•
•
••
•
•
•
•
−4
−6
•
•
−6
•••
•
•
•
• •
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
• ••
•
••
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
−4
•
•
• ••
• • •
••
• •• •
• ••
• •••• •• •
• ••• •
•• ••
• •••••••
•
••
••••
•
••
•
••••••••
•
•
•
•••••
••
•
• •••••
••
••
•••
•••
••
••
•• •
••
•
••
•
•• •••
•
•
•
••
••••
•
••
•
•
•
•••
•
••
•
•
•••
•
•
•• •• •
••
••
•
•
••
•
•
•
••
•
•••
••••
•
••
•
•
•
•
••
•
••
•
••
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
••
•
••
•••
•
••
• •
•
•
••
•
••
•
••••
••
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
••
••
•
•••
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
••
•
•
••
•
•••••
•
••
•••••••
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
••
•
••
•
•
•
•
••
••
•
••
•
••
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••••
•• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•••
••
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•••
•••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
• • •
••••
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •• ••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
• •• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•••••
••
••••• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•••
•••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••••
•
••
•
•
•
•
•
•• •
••
•
••
• •••
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
••
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
••••• •• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• ••
•
•
•
•
••••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•••• ••
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
••••
•
•
•
•
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•••••
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
••••
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
••
•••
•
•
•
•
•
••••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
••
•
••
•
••••
•
•
•
•
•
•
••• •
•••
•
••
•
•
•
••
••
••
•
•
•
••
••••••• ••
•
•
•
•
•
••
•••
•
• •
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
••
•••••
•
••
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•••
•
•
•••
••
•
••
••••
•
•
•••
••
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
••
•
••
•
••
•
••
•
••
•
•• •
•••• •
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•••
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
••
••••
•••
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
••
•
•
•
•
•• •
•••
••
•
•
••
•••
•
••
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•••
•
•
••
•
•
••
••
•
••
••
•
•
•
•
•••
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•••
•
•••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•••
•
•••
•••
•
••
••
••
•••
•
•
•
•
•••
•
•
••
•
••
••
•
•
•
•
••
•
•
• ••
•
•
••
•
•
•
•
••
•
••
••
••
•
••
••
•
••
••
•••
•
••
••
•
••
•••
••
•
•
•
••••
•• •
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•••
•
••
••
•
•
•••
•
•
••
•
•••
•
••
•••
•
•
••
• ••
•••
•••
•
••
••
•
••
•
••
•
•
•
•
•••
•••• •
•
••
•
•••••
•
••
•
• •••
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•••
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
••• • •
•••
•••
••
••
••
•
••
•••
•••
•
•••
••
•••••••
•
•
•
• • ••
•
••
••
••
••
•
••
••
•
••
•
••
•
••
•••
•••
• •
•
••
•
•
•
••••
•••
••••
•
••
•
•
••
•
••
•
• ••
•
•
•
•••
•
•
•
••
• •
••
•••
• •
•••
•
•••
•
•
• •
•••
••
•
••
•
••
•••
••
••••
••
•••
••
•
••
••••
••
••
•• •
•
•
••
•
••
•
••••••
•
••
•
• ••
••
•
••
•
••
••
•• •
••
•
••
•
•
•
•
••••
•
•
••
•
••
••
•••
••
•
•••
••
•
••
••
•
• • •
••
•••
••
•
•
•
•
•
••
•••
• ••
•
•••
•
• ••
••
••
••
•••
•••
••
••
• •
•••
••
•
•••
•
••••
• •
•••
••
•
•
••••
••••
•• •
•
• •••
•
••••
•• •••
•••
•
••
•••••
••
••
•
•
• •
•
••
•
••
•
•
•
•
••
• •••• •••• •• •
• ••
••••
• •
•
•••
••
•••
•
•••
••
•
•••••
• •
••
••
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••• •• • •
• •
• ••
••
•
• ••
• •••
•
•
•
••• •• • • •
•
• ••
•
•• •
•
•
••
•••
•
•
•
••
••
•
• •
••• •
• ••
•••
••
• •••
••••
•
•
•
•
•
•• •
•
•
•
•
•••
• •• • •
••
•
••
•
•
•
•
• •• •
•
•
• •
•
• •
• • ••• •
•
•
• •
0
−2
log nitrate
0
•
−4
•
−6
•
•
•
−2
0
2
log precipitation
(a)
•
•
••
•
•
•
•
−6
•••
•
••
•
••
•
•• •• •••• • •
• ••
••
• •
••
•••••
• •••
•
•
••
••
•
•••••
•
•••
•••
••
• • •••
••
••
••
• •••• •
•••
••
•
••
•
•
•
•
••
• ••••
•
••
••
•
••••
•
•
••
•
••
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
••
•
•
••
••
•
••
••
•
• ••• ••
•
•
•
••
•••
•
••••
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
••
••
••
•
•
••
••
••
•
••••
••
• ••
•
••
•
•
•
•
• ••••
•
•
•
•
•
•
•
• •••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
• •
••
••
•••••
•••
•
•••
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••••
••••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•••
•
•
•
•
••
••
•
••••
•
•
•
•
•
•
•• ••••••
••
•
•
•
••
•
•
•••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•••
•
•
••
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••••••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
•
••
•
•
•
••
•
••
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•••
•
•
•
••
•
•
•
•••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
••
•
••
•
•
•••
•
••
••
••••••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•••
•
•
•
•••••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•••
•
•
••• •••
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
• •
•
•
••••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•• •••• ••••
••••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
••
••••••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
• •• ••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
• ••••
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••••• •• ••
•
•• •
•
•
•
••
••
•
•
•••
•
••
••
•
•
•
••
••
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
• • •
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
••
•
•
• ••
•
•
•
•
••••••••• • ••
•••
•
••
••
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•••
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
••
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•••
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••••
•
•
•
•
••••
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•••
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
••
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
••
••
•
•
•
••
••••
•
•
••
•
•
•••
•
•
•
•
•
•••••
•
•
••
•
•
•
•
••
•
••
••
••
•
•
••••
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
••
•
•
••
•
• ••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
••
••
•
•
••
•
•
••
•
•
••
•
•
••
•
••
•
••
•
•
••
••
•
•••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
••
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
••••
••
••
•
•
•••
•
••
•
••
•
•
•
••
••••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
••
••
•
•
• •••
•
•
•
•
•••
•
•
••
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
••
•
••
••
•••••
•
•
•
•
•• • •
•
••
••
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
••
•
•
••• •••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
••
•••
••
•
•
••
•
•
•
•
••
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
• ••
•
••
•
•••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••••
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
••
•
•
•••
•••
•
••
•
•
••
•
•••
•
•
••
••
••
•
••
••
•
•
•
••
•
•
•
••
•
••
•
•
••
•
•
••
••
•
•
••
•••••
•
•
••
•
••
•
••
• •
••
•
••
•
•
•••
•••
•
•
•
•••
•••
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
••
•
•
••
••
•
••
•
••••
•
••
••
•
••
••• ••
••
••
•
••
•
••••
••
••
•
•
•
•• •
•
••
••
••••
•
••••
•
••
•
•••
••
•
•••
•••
•
• •
•••
•
•
•
•••••
• • ••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••••••••
• ••
• • •• •
•
•••
•
••••
•
•••
••
•••••
•
•
•••••
••
•
•
•
••
••
•
•••
•••••••
••
••
• •••
••
••
••
•
••
••
••
••
•
•
•••
•••••
•
••
•
•••
••
•• •••
••
•
•••
•
••• •
••
••
•
•
•••
•
•••
• •••••
•
••
•
••
••
•••
•
•
••
•
••
•••
•••
••
••••••
••
••
•
••
• •• •
•••
•
••
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
••
•
••••
••
•••
•• ••• •
•
•••
•
• ••
••
•
••••
•••••••
••
•
••
•
••
•••
•••
•
••
••
•
•
••
••
••
•
•
••
•
••
•••
••
• ••
•
••
••
•
••
• •• • •• •
••••
••
••
•••
••
•• •
••
•
•
•••
•••
••
•••
•
••
•
••••
•
•
••••
•
••
••••• • •
•
•••
• ••
••
•
••••
•
•••
•
•
••
• •
•
•••• •• • •
•• •
• •
•
••
••
•••
•
•
••••
••
•
••
•••
••• •
••
•
• ••
••
••• • •
•
•••
••
•
•
•••• •
•
••
•
••• •
• •
•
••
••
••
•• •
••••• •• •• •
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
• • • • • •••
• • • • •• •
••
•
••
•
••
• •
• ••
•
• •• •
•
•
•• •
•••
• •• • •• • •
• ••
•
•
•
•• •
•
• •••
• ••
• • •••
•
• •
• •
•
••
•• •• • • • •
• •
•
•
•
• ••
• ••
• ••
•• •
•
• •
• •
••• •
•
• ••
•
• • ••
•
••
•
•
•
•
•
• •
•
• • •
• •
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• • •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• • ••
•
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
• • •
•
•
•
•
••
••
•
••
•
•
•
•
•
−4
•
•
•
••
−2
0
2
log precipitation
(b)
Figure: Deposition against precipitation (both on the log scale):
(a) sulfate and (b) nitrate.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Exploratory Analyses ...
•
•
•
•
••
•
•
• • ••• • ••
•
•
•
•••• ••
••
•
••
•
•••• ••••
••
• •• •••
••• •• •
••••••
•••• ••••••••
•• •
•• • •• •
• •••
•••
•
• •
••••
•
••
•
•••
•••
••
••
•••••
••
• •••
•
••
••
••••••• •
••
•
•• •
•••••
•••••
••
•
•••
•••
•
•
••
••
•
•
•••
••
•
••
••
•••
••
•
•
•••••••
•
•
•
•
•••
•
•••••
•
••
••
•••
• ••• • •••••
••••
••
••
• ••
•
•
•••••
•••
•••••••••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•••••••••
•
••
•
•
••
••
•
••••
••
•
•
•
••••
•
••••
••
•
•
••
•
•
•
•• •• ••
•••• ••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
••
•
••
•
•
•
••
•••
•
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
••••
•
•
••
••
•••
•
•••
••
•
•
•
•••
••
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•• •
••
••
•
•
•
•
•
•
•
••
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
•
•
••
•
•
•
•••
•
• • ••• • • • ••
••
•
•
••
•••
•••••••
•
•
•
• •••• •••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•• •
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•••••
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •• • • • ••
••••
•
•
••
•
•••
•
•
•
•••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•••
••
•
•
••• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•••••••
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•••
•
••
•••
• •
•••
•
••••
••
•
••••
•
•
•
•
••
•
•••
••
•
•• •• •
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
• ••••••
••
•
••
•••
••
•
••
••
•
• ••
•
•
•
••••••
•
•••
•
•
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
••
••
•
•
•
•• • ••
•
•••
•
••
•
•
•
•••
••
•
•
••
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•••
•
••
•
•
•
••••
•
••
•
•
• •
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
••
•
••
•••
•
•
•••
••
•
•
•
•
•
••••• ••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
••
•
•
•
•
•
••••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
••
•
•
•
•
••
•••
•
••
•
•
•••••
•
•
•
••
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•••••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••••
•
•
••
••
•
• •• •• • •••••••••••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•••
••
••
•
•
••
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••••
•
• •
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•••
••
•
•
•
••• • •••
•
• •••
•
•
•
•
•••
••• •
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•• • • ••
•
••
•
•
•
•
•
••
••
•
••
•••
••
••••
•
• •••
•
• ••••
•
•
••••
•
•••
•
••••
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•••
••
•
•
•
•
•
•
••
••
••
•
•
•
•
•
•
• ••••
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
••
••
•
••
•
•
••
••
•
•• •
•
••
•
•
•
•
•
••
••
••
•
••
••
•••
•
•
•
•
•
•• ••• • •• ••
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•••••
•
•
••
•
• •• •
•
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
• ••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
••
•
•
••
•
•
•
•••• •
••
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• • • •• ••
•••
•
•
•
••• •
•
••
•
•
•
••
•
•
••
•
•• •
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
• •••
•
•
••
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•••
•
••• •
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•••
•
••
•
•
•
•
•
•
••
••
••
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•
••••
•
•
•
•• •
• ••
••
••
•
•
••
••
•
•
••
•
••
•
•
•
•••
•
•
••
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
••••
•
•
••• •• •••••••••
•••
•
•••
•
• ••
• ••
•
•
•
•
•
••
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•••••
•
•••
••
••
••
•
••
••
•
•
•••
•
•
•
•
••
••
•
••
•
•
•
•••
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
••••
•
•
•
•
•
••
•• •
•
•••• •••
•
•
•
• •• • • •• •••
•
••
••
•
••
••
•
•
••
•••
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
••
•
••
•
•
•
•
••
••
•
••
••
•••
• •••• ••••
•
•
••
•••
•
•
•
•
•
••••
•
•
•
•
••
••
••••
•••••
•
•
•••••
•
•
••
••••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
••
•
••
• •
•
•
•
•• •
••
•
•
•
•
•
••
•••
•
•
•
••
•
• • • • •• • ••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••••
•
•
•
•
••
•
•••
•
•
••
•
•••
•
•
••
••
•
•
•
••
••••
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
• • ••••••••••••• • •
• • ••••••• • •
•
•
•
••
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•
•••• •
•
••
••
• ••
••
••
•
•
•••
••
•
••
•••••
•
••
••
••
••
••
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
• •
•
• • •••
•
•
••
•
••
•••
••
•
••
•
••
••
•• ••••
•• •••
•
•
••••• • • •
••••••
•
•
•••
•
••
•
•
•
••••
•
••
••
•
••
•
•••
•
•• ••
•
•
•
••
•
••••
•
••
•
•
•
••••••
•••
•
•
••
••••
•••• •••
••
••
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
••• • • •
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••• •
•• •••••••••••
••
••
••• • •
•
• ••
••
•••
••••
•• •
•
•• •
•••• •
•
• ••
••
•••
• •
•••
•
•
• • •••••
•••••• •
•••
••
••
••
•• •
••
•
••
•
•
• • •
•
••
•••
••••••
•
• •
••
••
• •
• •
••••
•
• •• •••
••
•
• •
• •
•
••••• ••••
•• •
•••
••
••
•
••••••
•••
•••
••••••
•
•••
•
• ••
••• •
•
•
•• • •• •• • • • •
•
• •• •••
••••• •••• • • •
•••
•
•••••••
• ••
•
•
••
•••• •••
•••
•••
•• •
•
•
• ••• ••• •
•• ••
••• • •
•
••• • •
• ••••
•
•
••• ••••••••
••••
•••• •
••
•••••
• ••• •
••••••• •••
•
•
•
• ••
•••••••
•
• • • ••• •
•
•• •
•
•• • • •• •
• •••••• ••
•
••••
••• •
•••
•
• •
•• •• • ••• •• •
••••
•
• •••• •
•
• • •• ••• •
••• •
•
•
•
•
• •
••
• •
•
• • •
•••••
• • ••• •• •••••• • •
•••••••
••
•
•• • •••
•
•
•
• •
• ••• •
•
•• • •
• •• • ••• • •• • •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •• • •
• • •
•
• •
•
•
••
•
•
• • • • • • ••
•• •• •••• •• •• •••••
•
• ••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
• ••
•• • •
•
•
• •
••
•
•
• •
• •
•• • • • • •
•
•• •
•••
•
• •
•• •
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
• •• •• •• ••
•
• •••
•
•
•
•• •
•••
• • •
•
•
• •
•
• •••
•
•
• ••
•• • •• • • •
•
•
•
• ••
•
•
••
•
•
•
•
•• ••
• •• •• •
•
•
•
• • •• •
•
• •
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
• ••
•
• •
•
•
•• •
••••
•
•
•• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •• • • ••
• •
• • •
• • ••
• ••
•
•
• •
•
• •
••
••
• • • • •• •
•
•
•
• • •• •
• •
• • • •
• •
• •• • • ••
•
log sulfate
−2
−4
−6
−6
−4
−2
0
log cmaq vals
(a)
0
−2
log nitrate
0
•
•
•
• •
• •
• ••
• •
•
• ••
••
•
•
• •••
•
••
• • •
•••••• • •
• •
•
•• •
• • •
• ••
•
•
••
•
•••
••••••
• ••
••
• ••
••
•
• ••• •••
•
•••
•
••
•••
••
•••• ••
•
•
•
••• •
•
•••
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• • •• •••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•••
•
••
•
••
••
•• ••••••••••
•
•••
••
•
••••
••
••
•
•
• ••
•
•• • • • ••••
•
•
•
••
•••
•
•
••
••
•••
••
••
•
•••
••
••••
•
•
••
•
•••
•
•
•
••
•
•
••••
•
• •
•
••
••
••
••
•
•••
•
••••
• •
••
••
••
•
•
•
•••••
•
•••
•••
•
•
•
•
•
••
•••
•••
•
•••
••
••
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•• •
•
•••
•
•••
••
••
•
• • • ••• ••••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•••
•
••
•
•
•
•
•
••••• •
•••
•
•
••
••
•
••••
• •
•
•
•
•
••
•
••
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
••
••
•
•
•
•
• • •• •
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
••
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•••••
••
••
•
•
••
•
•
••
•
••••• •• •
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
••
•
•
••
•• ••
••
•
•
•
••
•
•
•
•
• • •• • ••••••••
•
•
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
•
•
••• ••
••••
••
•
•••
•
•• •
•
•••
••
•
••
••
••
••
•••
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
• ••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••• ••
•
•
•
•••
•
•••
•
•
•
•
•
••••
•
•
••
••
••
••
•
•
•
•
•
•
•• • •••••
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
••
•
•
•
••
••
••
•• • ••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•••
••
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
••
•
••
••• •
•
•
•
••
•
••
•
•
••
•
•
•
•• •• •
•••••••••••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
••
•• ••••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
••
••
••
•
•
•
•
•
•
• •• • • • • • •
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•••••
•
•
•
•
•• •
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
••
•••
••
•
•
•
•
•
•
• •••• ••
••
•
•
•
••••
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
• •
•
•••
•
•
••
•••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•••
••
•
•••••
•
•
•
•
••
••
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
••
••
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
••
••
••••
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
••
•• •
••
••
•
•
• ••••••• ••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•• •• • •
••
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••••
•
•
••
•
•••••
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•••
•
••
•
•
•
•
•
••
••
••
•
•
•
••
•
••
•
•••
•••••
•
•
•
•
•
•
•
• ••
•••
••
•
••
•
•
• • •• • •••••
•
••
•••
•
••
•
••
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•••
•
•
•
•
•
••
•
• •
•
•
•
•
•
•
••
••
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•••
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
••
•
•
••••
•
••• •
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
••
•
•••
•
• ••••
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
••
•
••
•
•
••
••
•
• • • ••••
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
••
•
•••
•
••
•
•
•
•
•
•
••••
•
•
•
••••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•• ••••
••
•
••••
•••
•
•
•
••
•••
•
•••
••
•••
••
•
•• •••••
•
••
•
•
• •••
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
••
••
••
•
••
•
•
••
•
••
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•••••• ••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•• • • •
••
••
•
•
•
•
•
••
•
•••
• ••
•
•
•
•••
•••
• • •• ••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•• ••
•
•
•••
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
••
•••••• ••
••
•
•••
••
•• •
••
•
•
••
•
• ••• ••••
•
•
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
••
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
••
•
• • •• ••
•
•
•
•
••
•
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•••
••
•
••••••
•
••• ••
••
•
• • •
•
•
•
••
•
•
••
•
••
• •••••••
•
•
•
•
•••
•••
••
•
••
••
•••
•
••
•
••
•
••
••
•
•
•
•
• • • • ••
•
•
•
•
••
••
•
•
•
••••
•
••
•
••
•
•
••
••
•
••
•
•
••
•••
••
•
•
•
•••••
•
•
••
•••
•
••
•
•
•••
••
•
•
••••
•
•
••
••
•
••
•
•
•
••••••
•
•
••
••
•
••
•
••
•
••
•
•
•
••••
•
•••••• ••
•
•
••
••
••
•
•
••
•
•
••
•
•
••
•
•
•
•
•••
• •••
•
•
•
• • •••• • •• • • ••••
•
•
•• •••••
•
•
••
••
••
•
•
••
••
•
•
•
•••
••
•
•
••••
••
••
•
•
••
••
••
••• •
•
•
•
•
•
••••
•
••• ••
•
••
•
••
••
• •• • •• • •••
•••
•• • •
••
•
•
•
••
•
••• •••
•
•
••••
••
•• •••••
••
•
•
••••
••
••••••
•
•
•
••
•
••
•
•
••
•
•
••
•••••
• •
• • ••
•
••••• ••
••••
•••• •
• •• •
•
••••
•
•
•
••
•
•••
•••
•
••••••
••
••••
•
•
•••
••
••••••
•
•
•
••••••
••
•• •• • • • • •
••
••
•
••••
••
••
•
•
•
••
• • ••
•
••••
•
•
•
•
••
•••
•••••
•••••
••
•
•
•
••••
•••• ••••
• ••••
••
•••
••••••
•
••••
•
• •
• •••
•
•
• • • ••
••••
•
•
••••
•••
••
••••
••
•
•••
•
••
••
••• •••• ••• • •
••
•
•
•
••
•
• •
••
•
•••
••
••
••
•
•
••••
•
••
•
•
•
•••
•
••
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•••••• •••
•
••
•
••
•
••
•
•
•••
•
•
••• • •
•• • •••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•••••••
••
•••
• ••••
•
•• • ••
• ••
• ••••
•
•••
•
•••• ••••
••
••• •
• • • ••••• •••••••
•
•••••
••
••••
•
••
••• •
•••••• •
•
•
•••••• •••
••••
• •• •
•
••• • •• •
• •
•
••
•• ••
•••
•
•••••• •
••••
•• • •
•• •••
••
••
•
•
•
•
• • •••• •••
••• •••
•• • • • • •
•
•• • •
• • ••• • •
•• •
•
•
•• •••••• • • •••
•
• •••• ••
•
• • •• ••• ••• • • • •
••
•• •
•
• ••• •
•• •
•
•• •
•••• • • •
• ••• •
•••
•
• • • ••• • • ••• •••
• •• •• ••• •
••• ••
••
•• ••
•
• ••
•
• ••••
••••
•• •
••
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
••
•
• • •• • • •••
• •
•
•
•
• • • ••• • •••
•
•
•••
• • •
•
•
•
•
•
•• • ••
• ••
••
• • •
•
• •• •
•
• ••
• • • •
••• • • • • •••••••
•
•
• •• •
•
•
•••
• ••
•• • • ••• •
••
•
• • •
• •••
•
• • • • ••
• • ••
•
•
• •
•
•
•
•
• ••
•
•• • •
• •
••
••
•
•
• • • • •
•
•
• •
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• • • •• •
••
• •
•
•
• • •
•
•
•
•
•
•
• •
•
•• •
•
•
• • •• • •
• • •• ••
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
• •
•
• •
••
•
•
•
• • ••
• • •
•
•
•••••
•
•
•
•
•
•• • •
•
• ••
•••••• • • •
••
•
• • ••
••
•
• •
• •
•••
•
•
•
••••• •
••• ••• • •• •••
• •• • • •
• • • • • •••• •••
•
•
−4
−6
•
•
•
•
−6
•
−4
−2
0
log cmaq vals
(b)
Figure: Deposition at the NADP sites against the CMAQ values
in the grid cell covering the corresponding NADP site on the log
scale: (a) sulfate and (b) nitrate.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Modelling Requirements
No deposition, Z (si , t), without precipitation, P(si , t);
enforced by a latent atmospheric space-time process
V (si , t) below, i = 1, . . . , n = 120, and for each week
t, t = 1, . . . , 52.
Similarly, model CMAQ output, Q(Aj , t) for each grid
cell Aj , j = 1, . . . , J = 33, 390 and for each week t,
enforced using a latent atmospheric areal process
Ṽ (Aj , t).
Model everything on the log-scale;
latent processes take care of point masses at zero.
Avoid log(0) problems.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
First stage models
Precipitation model
exp (U(si , t))
P(si , t) =
0
if V (si , t) > 0
otherwise,
Deposition model
Z (si , t) =
exp (Y (si , t))
0
Model for CMAQ output
exp (X (Aj , t))
Q(Aj , t) =
0
Sujit Sahu
if V (si , t) > 0
otherwise.
if Ṽ (Aj , t) > 0
otherwise.
Fusing point and areal level space-time data
Clarification
P’s, Z ’s, and Q’s are the observed precipitation,
NADP deposition, and CMAQ deposition,
respectively.
V (s, t) is a conceptual point level latent atmospheric
process which drives P(s, t) and Z (s, t).
P(s, t) and Z (s, t) = 0 if V (s, t) ≤ 0.
U(s, t) and Y (s, t) are log precipitation and
deposition, respectively.
Models below will specify their values when
V (s, t) ≤ 0 or if P(s, t) or Z (s, t) are missing.
Ṽ (Aj , t) is a conceptual areal level latent atmospheric
process which drives Q(Aj , t).
X (Aj , t) is log CMAQ output where modelling below
will specify its values when Ṽ (Aj , t) ≤ 0.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
The first stage likelihood
f (P, Z, Q|U, Y, X, V, Ṽ) = f (P|U, V) × f (Z|Y, V) × f (Q|X, Ṽ)
which takes the form
QT Qn
“
“
”
”
i=1 1exp u(si , t) 1exp y (si , t) I (v (si , t) > 0)
t=1
QJ
”
“
j=1 1exp x(A , t) I (ṽ (Aj , t) > 0)
j
where 1x denotes a degenerate distribution with point
mass at x and I(·) is the indicator function.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Deposition Model
Y (si , t) = β0 + β1 U(si , t) + β2 V (si , t)
+ (b0 + b(si )) X (Aki , t)
+η(si , t) + ǫ(si , t).
Spatially varying coefficients, b = (b(s1 ), . . . , b(sn ))′
is a Gaussian process (GP).
Spatio-temporal intercept η t = (η(s1 , t), . . . , η(sn , t))′
is a GP independent in time.
Allow for spatially varying calibration of CMAQ. Could
imagine common η(si ).
ǫ(si , t) ∼ N(0, σǫ2 ), providing the nugget effect.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
The second stage models ...
Precipitation
U(si , t) = α0 + α1 V (si , t) + δ(si , t),
where δ t = (δ(s1 , t), . . . , δ(sn , t))′ is a GP independent in
time.
CMAQ output
X (Aj , t) = γ0 + γ1 Ṽ (Aj , t) + ψ(Aj , t), j = 1, . . . , J.
where ψ(Aj , t) ∼ N(0, σψ2 ), independently.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Specification of latent processes
Measurement Error Model (MEM)
V (si , t) ∼ N(Ṽ (Aki , t), σv2 ), i = 1, . . . , n, t = 1, . . . , T .
The process Ṽ (Aj , t) is AR in time and CAR in space
Ṽ (Aj , t) = ρṼ (Aj , t − 1) + ζ(Aj , t),
!
J
X
σζ2
,
ζ(Aj , t) ∼ N
hji ζ(Ai , t),
mj
i=1
Let ∂j define the mj neighboring grid cells of the cell Aj .
hji =
1
mj
0
Sujit Sahu
if i ∈ ∂j
otherwise.
Fusing point and areal level space-time data
Clarification
Note that we can have Z > 0, Q = 0 and vice versa.
Therefore V and Ṽ can have opposite signs.
This arises because we are modelling at two different
scales - need processes at two different scales.
We can view V (s, t) − Ṽ (A, t) as a deviation from the
areal average. We assume these realised deviations
are independent across space and time.
We have a conditional model for V and X given Ṽ .
The resulting marginal model for U and Y given Ṽ is
multi-scale - additive random effects at two scales.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Completing the second stage specification
P
Initial condition: Ṽ (Aj , 0) = T1 Tt=1 X (Aj , t).
Let D be diagonal with entries σζ2 /mj . f (Ṽt |Ṽt−1 , ρ, σζ2 ) ∝
′
1
−1
Ṽt − ρṼt−1 D (I − H) Ṽt − ρṼt−1
.
exp −
2
The second stage specification is given by:
QT t=1 f (Yt |Ut , Vt , Xt , η t , b, θ) × f (η t |θ) f (Ut |V
i t , θ)
(1)
×f (Vt |Ṽt , θ) × f (Xt |Ṽt , θ)f (Ṽt |Ṽt−1 , θ) f (b|θ).
θ=
(α0 , α1 , β0 , β1 , β2 , b0 , γ0 , γ1 , ρ, σδ2 , σb2 , ση2 , σǫ2 , σψ2 , σv2 , σζ2 ).
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Graphical representation of the model.
Regional atmospheric driver
(point)
replacements
δ(si , t)
V (si , t)
MEM
Regional atmospheric
centering process (areal)
Ṽ (Ak , t)
i
b(si )
η(si , t)
U(si , t)
1111111
0000000
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
P(s , t)
i
(observed precipitation)
Y (si , t)
X (Ak , t)
1111111
0000000
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
11111
00000
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
Z (si , t)
(observed deposition)
Sujit Sahu
i
Q(Ak , t)
i
(CMAQ model output)
Fusing point and areal level space-time data
Graphical representation of a fusion model.
Regional atmospheric driver (point)
δ(si , t)
111111111111
000000000000
V (A
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
V (si , t)
η(si , t)
ki , t)
block average
a(si )
U(si , t)
Y (true) (si , t)
block average
X (Ak , t)
i
1111111
0000000
0000000
1111111
0000000
1111111
Z (true) (s , t)
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
P(s , t)
Y (si , t)
i
0110
1010
1010
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
Q(A , t)
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
ki
(CMAQ model output)
i
(observed precipitation)
Z (si , t)
(observed deposition)
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Predictions
At a new site s′ and time t ′ we need Z (s′ , t ′) which
depends on Y (s′ , t ′ ). If P(s′ , t ′ ) = 0 then Z (s′ , t ′ ) = 0.
Suppose otherwise.
Bayesian predictive distributions:
Z
π(zpred |zobs ) = π(zpred |par) π(par|zobs )dpar.
Need to simulate Y (s′ , t ′ ).
V (s′ , t ′) ∼ N(Ṽ (A′ , t ′ ), σv2 ).
U(s′ , t ′ ), η(s′ , t ′ ) and b(s′ ) are simulated from the
conditional distributions at s′ given s1 , . . . , sn
X (A′ , t ′) =logQ(A”, t ′ ) if Q(A′ , t ′ ) > 0, otherwise
updated in the MCMC.
More details in the paper.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Predictions
At a new site s′ and time t ′ we need Z (s′ , t ′) which
depends on Y (s′ , t ′ ). If P(s′ , t ′ ) = 0 then Z (s′ , t ′ ) = 0.
Suppose otherwise.
Bayesian predictive distributions:
Z
π(zpred |zobs ) = π(zpred |par) π(par|zobs )dpar.
Need to simulate Y (s′ , t ′ ).
V (s′ , t ′) ∼ N(Ṽ (A′ , t ′ ), σv2 ).
U(s′ , t ′ ), η(s′ , t ′ ) and b(s′ ) are simulated from the
conditional distributions at s′ given s1 , . . . , sn
X (A′ , t ′) =logQ(A”, t ′ ) if Q(A′ , t ′ ) > 0, otherwise
updated in the MCMC.
More details in the paper.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Predictions
At a new site s′ and time t ′ we need Z (s′ , t ′) which
depends on Y (s′ , t ′ ). If P(s′ , t ′ ) = 0 then Z (s′ , t ′ ) = 0.
Suppose otherwise.
Bayesian predictive distributions:
Z
π(zpred |zobs ) = π(zpred |par) π(par|zobs )dpar.
Need to simulate Y (s′ , t ′ ).
V (s′ , t ′) ∼ N(Ṽ (A′ , t ′ ), σv2 ).
U(s′ , t ′ ), η(s′ , t ′ ) and b(s′ ) are simulated from the
conditional distributions at s′ given s1 , . . . , sn
X (A′ , t ′) =logQ(A”, t ′ ) if Q(A′ , t ′ ) > 0, otherwise
updated in the MCMC.
More details in the paper.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Choosing φη , φδ and φb
Estimation is challenging due to weak identifiability of
variances and ranges. So, we fix the φ’s (spatial decay
parameters).
Use validation mean-square error
8
52
2
1 XX
∗
∗
VMSE =
Z (si , t) − Ẑ (si , t) I(obs)
nv
i=1 t=1
where I(obs) = 1 if Z (s∗i , t) has been observed and 0
P P
otherwise, and nv = 8i=1 52
t=1 I(obs). Here nv = 407.
Optimal ranges were 500, 1000 and 500 kilometers,
respectively for the exponential covariance function.
VMSE is not sensitive near these values. May be we can
use importance sampling to compute VMSE for different
φ’s.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Choosing φη , φδ and φb
Estimation is challenging due to weak identifiability of
variances and ranges. So, we fix the φ’s (spatial decay
parameters).
Use validation mean-square error
8
52
2
1 XX
∗
∗
VMSE =
Z (si , t) − Ẑ (si , t) I(obs)
nv
i=1 t=1
where I(obs) = 1 if Z (s∗i , t) has been observed and 0
P P
otherwise, and nv = 8i=1 52
t=1 I(obs). Here nv = 407.
Optimal ranges were 500, 1000 and 500 kilometers,
respectively for the exponential covariance function.
VMSE is not sensitive near these values. May be we can
use importance sampling to compute VMSE for different
φ’s.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Validation
4
6
5
3
Prediction
Prediction
4
3
2
O
O
2
O
O
O
1
0
O
OO O
O
O
O
OO
O O
O
O
OO O
O
O OO
O
OO
O
O
O
O
O
O
O O
O
OO
O
O
O
OO
OO O
O
O
O
O
OO
O
O
O OO O O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
O
O
O O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
0
1
O
0
1
2
3
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O O O
O
O
O
O O
O
O
O
O O
OOOO
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
O
O
OO OO
OO
O O
O
O O
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
0.0
0.5
O
O
O
O
O
1.0
Sulfate Observation
Nitrate Observation
(a)
(b)
1.5
2.0
Figure: Validation versus the observed values at the 8 reserved
sites. Validation prediction intervals are plotted as vertical lines.
(a) sulfate and (b) nitrate.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
20000
30000
grand
40000
50000
0
10000
20000
30000
cmaq
40000
50000
20000
40000
20000
30000
prec
40000
50000
0
10000
20000
40000
50000
10000
30000
10000
20000
30000
beta.v
40000
50000
30000
0
10000
20000
30000
40000
50000
al0
al1
50000
0.764 0.770
0
10000
20000
30000
40000
50000
0
10000
20000
30000
rho
40000
50000
0
10000
20000
30000
sig2delta
40000
50000
0
10000
20000
30000
sig2v
40000
50000
10000
20000
30000
sig2eps
40000
50000
0
10000
20000
30000
sig2psi
40000
50000
2.495 2.510
0
0.430 0.436
0.26
0.30
1.7 1.8 1.9 2.0
g1
0.05 0.07 0.09
g0
0
10000
20000
30000
sig2eta
40000
50000
0
10000
20000
30000
sig2zeta
40000
50000
0.70 0.80 0.90
0
0
0.05 0.15 0.25
−0.6 −0.4 −0.2
10000
0.885 0.900
−3.090−3.075
0
−0.02 0.0 0.02
0.92
10000
0.86 0.89
0
0.05 0.07 0.09
−1.94−1.88−1.82
MCMC Diagnostics
Fusing point and areal level space-time data
Figure: MCMC traceSujit
of Sahu
parameters
for the sulfate model.
ACF
0.0 0.4 0.8
ACF
0.0 0.4 0.8
ACF
0.0 0.4 0.8
MCMC Diagnostics ...
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
20
40
60
80
100
20
40
60
80
100
60
80
100
20
40
60
80
100
60
80
100
20
40
60
80
100
60
Lag
80
100
60
80
100
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
60
80
100
ACF
0.0 0.4 0.8
Lag
ACF
0.0 0.4 0.8
40
0
Lag
ACF
0.0 0.4 0.8
20
40
ACF
0.0 0.4 0.8
0
Lag
0
100
Lag
ACF
0.0 0.4 0.8
40
20
Lag
ACF
0.0 0.4 0.8
20
80
ACF
0.0 0.4 0.8
0
Lag
0
60
Lag
ACF
0.0 0.4 0.8
40
0
Lag
ACF
0.0 0.4 0.8
20
40
ACF
0.0 0.4 0.8
0
Lag
0
20
Lag
ACF
0.0 0.4 0.8
0
0
Lag
ACF
0.0 0.4 0.8
Lag
0
20
40
60
Lag
80
100
0
20
40
Lag
Figure: Auto-correlation Sujit
plotSahu
of parameters
Fusing point andfor
arealthe
level sulfate
space-time data
model
Spatially varying slopes?
Do we need the spatially varying b(s)’s?
Only a few of the b(si ) are significant; they are small
relative to their standard errors.
Importance of precipitation and the spatially varying
intercept makes it difficult to find spatially varying
contribution of CMAQ.
Fusion approaches also have not found spatially
varying intercepts.
Still can see space-time bias in CMAQ by comparing
model predictions with CMAQ output.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Parameter Estimates
α0
α1
β0
β1
β2
b0
γ0
γ1
ρ
2
σδ
2
ση
σǫ2
2
σψ
σv2
2
σζ
mean
–0.4497
0.1787
–1.9414
0.9103
0.0029
0.0490
–3.0768
0.8957
0.7688
2.6438
0.2812
Sulfate
sd
95%CI
0.0871
(–0.6189, –0.2733)
0.0379
(0.1017, 0.2499)
0.0196
(–1.9784, –1.9012)
0.0067
(0.8972, 0.9240)
0.0062
(–0.0091, 0.0151)
0.0053
(0.0386, 0.0599)
0.0035
(–3.0836, -3.0700)
0.0034
(0.8891, 0.9025)
0.0012
(0.7664, 0.7712)
0.0602
(2.5254, 2.7631)
0.0101
(0.2616, 0.3010)
mean
–0.3548
0.1522
–1.9976
0.8412
0.0040
0.0535
–3.2177
0.7368
0.7492
1.8694
0.3354
Nitrate
sd
95%CI
0.0596
(–0.4695, -0.2369)
0.0336
(0.0843, 0.2161)
0.0192
(–2.0344, –1.9605)
0.0070
(0.8274, 0.8553)
0.0060
(–0.0078, 0.0159)
0.0062
(0.0409, 0.0652)
0.0033
(–3.2242, –3.2112)
0.0033
(0.7303, 0.7433)
0.0013
(0.7468, 0.7517)
0.0387
(1.7942, 1.9476)
0.0105
(0.3149, 0.3564)
0.0718
2.5062
0.0057
0.0033
(0.0607, 0.0832)
(2.4997, 2.5127)
0.0727
2.2148
0.0074
0.0028
(0.0588, 0.0878)
(2.2092, 2.2203)
0.8087
0.4345
0.0259
0.0011
(0.7601, 0.8620)
(0.4322, 0.4367)
0.7821
0.4340
0.0237
0.0012
(0.7366, 0.8290)
(0.4316, 0.4363)
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Annual Sulfate Deposition
6
6
5
8
9
9
6
6
11
7
13
6
15
11
12
15
14
11
16
16
20
13
12 19
18
15
12
16
28
11
13
16
18
16
19
17
13
19
24
17
10
12
18
14
22
13
16
25
18
21
16
15
14
20
10
21
10
13
11
15
15
16
15
14
16
30
13
13
8
16
14
13
16 22
19
14
6
8
15
17
22
6
20
20
30
16
13
6
10
19
11
15
11
10
5
17
13
8
9
14
16
10
12
12
13
20
11
Figure: Model predicted map of annual sulfate deposition in
2001. The observed annual totals are labeled; a larger font size
is used for the validation sites.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Compared with IDW map
6
6
9
5
8
9
6
6
7
7
12
11
4
4
4
6
13
6
7
6
15
11
12
15
8
14
11
8
20
12 19 18
15
12
16
13
11
13
13
10
18
12
28
18
21
16
15
16
21
16
16 14
13
6
12
1822
14
13
9
15
16
10 11
10
11
13
11
15
10
11
11
8
15
14
68
15
11
10
13
14
16
16 22
18
20
20
30
16
19
14
13
19
24
17
8
13
16
19
17
22
17
13
6
10
6
16
17
16
5
19
17
13
8
9
4
14
16
10
10
10
12
12
12
13
20
11
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Annual Nitrate Deposition
9
7
11
7
10
10
8
9
13
9
13
6
13
10
12
17
13
13
12
15
16
10
11 14
14
14
14
12
17
9
13
14
13
13
15
15
11
13
18
10
12
11
11
11
11
9
9
20
15
8
11
10
9
7
8
8
10
10
12
12
5
8
7
10
11
14
11
12
11
13
10
10
14 16
12
8
10
6
8
11
11
16
14
9
7
15
14
17
13
13
7
11
21
10
8
6
7
11
8
8
8
11
9
12
10
Figure: Model predicted map of annual nitrate deposition in
2001. The observed annual totals are labeled; a larger font size
is used for the validation sites.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Map of the length of 95% prediction intervals
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
15
•
•
•
•
•
10
•
5
•
•
•
•
•
•
20
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Figure: Uncertainty map of annual sulfate deposition.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
14
12
10
8
6
4
2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Figure: Uncertainty map of annual nitrate deposition.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Quarterly Sulfate Deposition
•
• •• • •
• ••
• •
•
••
• •
• •
• • • •
• • • • •• •
•• • •
•
•
••• • •
• • • •• ••
•
••
• • •
• ••
•
•
•• • • •
••• • • • •
•
•
• •
•
•
•
••
•
•• •
•
•
•• •
• •
•
•
•
• •• • •
• ••
• •
•
••
• •
• •
• • • •
• • • • •• •
•• • •
•
••• • •
• • • •• ••
•
••
• • •
• ••
•
•
•• • • •
••• • • • •
•
•
• •
•
•
•
••
•
•• •
•
•
•• •
• •
•
•
•
(a)
(b)
•
• •• • •
• ••
• •
•
••
• •
• •
• • • •
• • • • •• •
•• • •
•
• •• •
••• • •
•
•
• •
• ••
• • •
• ••
•
•
•• • • •
••• • • • •
•
• •
• •
•
•
••
•
•• •
•
•
•• •
• •
•
•
•
• •• • •
• ••
• •
•
••
• •
• •
• • • •
• • • • •• •
•• • •
• •• •
••• • •
•
•
• •
• • •15
• • •
• ••
•
•
•• • • •
••• • • • •
•
• •
• •
•
•
10
••
•
•• •
•
•
•• •
5
• •
•
•
•
0
(c)
(d)
Figure: (a) Jan–Mar, (b) Apr-Jun, (c) Jul–Sep, (d) Oct-Dec.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Discussion
Novel spatio-temporal model for fusing point and
areal data which validates well.
Inference can be provided for any spatial or temporal
aggregation.
There are models in between IDW and ours but may
sacrifice the features we accommodate.
Preferable to fusion using block averaging since
number of modelled grid cells is much greater than
number of monitoring sites, even worse if across time.
Future: With data from more than one year we can
study trends in deposition with regard to regulatory
assessment.
Future: Develop model for dry deposition, hence total
deposition.
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data
Paper download...
Google Search Sujit Sahu to download the paper.
One-day meeting on Environmental and Spatial
Statistics sponsored by the Royal Statistical Society
on June 19, 2009 in Southampton.
http://www.s3ri.soton.ac.uk/courses/environmental/.
A 3-day short course before that...
Sujit Sahu
Fusing point and areal level space-time data