R OSE­ H ULMAN  I NSTITUTE OF  T ECHNOLOGY
ME 506 Advanced Controls
1.  Control of Ball Plate balancing system using LQ and classical LQG methods
This project will take you through the full process of control design including linearization,  controllability and observability analysis, feedback control and Kalman filter design.
Consider the problem of balancing a ball on a plate where the plate is rotated along two  perpendicular axes by a set of nested gimbals.  We will use the coordinate definitions such that  the outer gimbal rotates the platform an angle of    about the  y  axis, causing a motion in the  positive  x  direction.  The inner gimbal rotates the platform subsequently through an angle of   about the  x  axis, resulting in a motion in the  negative y  direction.   The differential equations of  motion are as follows:
y  ( t ) cov cov cov


 x
 d
 d d
1
2
1
 
 t t t

5
7 d
2 g
5
7 g sin


 sin
 
   

 0

0 .
25  d

1
 d
  t  k

2
Where  d
1
and  d
2
are disturbances on the ball.  The disturbances are zero­mean, mutually  independent, white gaussian random processes with intensities defined by  d
1 k  0 .
16  t  k
(1)
(2)
1. Show that Taylor series linearization gives the same result as a small angle  approximation when linearizing about  x , x   0 ,  y , y   0 ,
 ,   0
2. Find the state space description of the linear model with states  x ,  x , y , y  ,  and controls
 , 
,  and outputs  x, y .
3. Determine whether the system is observable and controllable.  Also, determine whether  the system would be observable if only  x  were measured.
4. LQR Design with Perfect Sensors.  As a prelude to stochastic LQG design let us carry out a classical LQR design assuming for the time being that we can measure, and feedback,  all four state variables exactly, i.e. without any sensor noise.  Design an LQ regulator  using the following quadratic cost functional:
J  
0

 x 2
 
 y 2
 
 10 1 / 2  2  10 1 / 2  2
 dt
(3)
Note that the use of this cost functional implies that we are concerned much more with the  amount of control effort as compared with fast convergence of the position states.
Homework 9 Page 1 of  2

R OSE­ H ULMAN  I NSTITUTE OF  T ECHNOLOGY
ME 506 Advanced Controls
Design the LQ regulator and compute its closed­loop poles.  Carry out a deterministic  simulation of the closed­loop LQ regulator for the initial plant state.   Be certain to use the  non­linear plant dynamics shown above for all your simulations.
x (0) = 10 cm    ( = 0.1 m); all others zero and plot the states and the two controls.  Repeat with the initial condition y(0) = 10 cm ( = 0.1 m) x (0) = 10 cm and  y (0) = 10 cm, all others zero
(3)
5. LQG Design with Two Sensors.  Assume that you can measure both position states, but  not the velocity states.  Solve the LQG problem.  Calculate the closed­loop poles of the
LQG design and relate to those of the Kalman filter and of the LQ regulator of part 4.
Assume that both sensors had additive  white  zero­mean Gaussian sensor noise, and the  noise intensity is 1x10 ­6  m 2  for each sensor.
Set the disturbance torques and sensor noises to zero and carry out a deterministic simulation of the closed­loop LQG regulator for the initial plant state (3) and plot the states and the two  controls.   Be sure to use the non­linear plant equations for the plant  (linear internal model for  the Kalman filter).  You may set the initial estimator states to zero, or small random values ( do  not  match the plant initial conditions). Compare with those found in part 4.
Your report should include at least the following plots:
Time response of all four states for the each of the LQR simulations (3 cases).
Actual and estimated states for each of the LQG simulations (3 cases).
Homework 9 Page 2 of  2