Geophys. J. Int. (1999) 136, 586^608
New extended thin-sheet approximation for geodynamic
applicationsöII. Two-dimensional examples
Sergei E. Medvedev1, * and Yuri Yu. Podladchikov2
1
2
Institute of Earth Sciences, Uppsala University, Vilavagen 16, SE-752 36 Uppsala, Sweden
Geologisches Institut, ETH-Zurich, Sonneggstrasse 5, CH 8092, Zurich, Switzerland
Accepted 1998 September 23. Received 1998 September 16; in original form 1998 February 13
S U M M A RY
The potential of the new extended thin-sheet approximation (ETSA) has been
investigated by application to a representative range of 2-D problems. The system of
governing equations presented by Medvedev & Podladchikov (1999) for 3-D modelling
was reduced to two dimensions and tested on problems involving one- and twolayer systems of Newtonian viscous materials. The application of ETSA in each case
included (1) setting boundary conditions, (2) completion of equations by evaluation of
coe¤cients, (3) comparison of equations with governing equations of existing thin-sheet
approximations, and (4) linear analysis of small perturbations and determination of
their dominant wavelengths. It is shown that most previous approaches can be derived
by simpli¢cation of an extended system under speci¢ed boundary conditions. Linear
analyses compare well with exact analytical solutions over a wide range of wavelengths
for modelling isostatic adjustment, Rayleigh^Taylor instabilities and the development
of instabilities due to lateral compression and extension. These problems cannot be
described by the previous generation of thin-sheet approximations. Our results suggest
that the new extended thin-sheet approximation (ETSA) will be a powerful tool for the
realistic modelling of complicated 2- and 3-D geodynamic structures.
Key words: compensation depth, crustal deformation, density, perturbation
methods, viscosity.
1
IN T ROD U C T I O N
Although thin-sheet approximations are useful tools for modelling 3-D lithospheric structures because of their numerical simplicity,
there are a number of successful applications in two dimensions (which assume no variation along one of the horizontal coordinates).
We will follow Medvedev & Podladchikov (1999) (hereafter MP99) and divide existing thin-sheet approaches into PS, SS and FP
types (Fig. 1). The PS (pure shear) approach assumes negligible vertical gradients in horizontal velocity; the SS (simple shear)
approach de¢nes gravitational spreading by equilibration of vertical gradients in horizontal velocities; and the FP (£exing plate)
approach recognizes the importance of long-term £exural rigidity of the lithosphere by invoking equilibration of bending moments
(Fig. 1).
The equation governing the PS approach (England & McKenzie 1983) can be written for 2-D cases as (our notation)
L
LVx
LH 2
4
k
~Ar
,
(1)
Lx
Lx
Lx
where
Ar~
PLo2 *o
2kV x o21
and ox (x, z)~Vx (x) (see discussion in Section 6.1 and Tables 1 and 2 for a description of dimensionless variables and characteristic
values).
* Present address: Department of Oceanography, Dalhousie University, Halifax, NS, Canada, B3H 4J1. E-mail: sergei@adder.ocean.dal.ca
586
ß 1999 RAS
Extended thin-sheet approximationöII
587
Figure 1. Three main types of thin-sheet approximations are based on viscous rheologies in geodynamic modelling. Their derivations and possible
applications are de¢ned by speci¢c boundary conditions. (a) The PS approach is de¢ned by lateral force with zero shear along the lower boundary and
Airy isostasy. (b) The SS approach is de¢ned by prescribing a basal velocity ¢eld. (c) The dynamics of the FP approach are de¢ned by equilibration of
the viscous bending moments. As in the PS approach, no shear is allowed along the external horizontal boundaries. The velocity pro¢les possible are
demonstrated for all cases (the mean velocity of the FP case, describing uniform plate thickening/thinning, is dropped for simpli¢cation).
Table 1. De¢nition of widely used dimensionless variables{ .
Variable
Definition
az
D, E, F , G, J, Q
h1 ~S {S1 , h2 ~S2 {S hw , h, zc (k)
k{k1
Mk ~zc
k1
Mo ~zc o
Rx , Rz
S1 , S2 , S (Tx , Tz )DSm
Vertical boundary conditions partitioning coefficient, eq. (14)
Coefficients for evaluation of horizontal viscous stress qxx (eq. 17)
Thickness of rheological layers in two-layer systems
Auxiliary functions of coefficient evaluation (eqs A1-A3)
Viscosity heterogeneity momentum in two-layer systems (eq. A3)
Density momentum in vertical force balance (eqs 12, A4)
Dynamic integration functions (eqs 10)
Lower, upper and rheological boundaries of the system
Vectors of boundary tractions on the external surface Sm , m~1, 2
(eqs 11, 12, 13, 14)
Time
Basal velocity vector (kinematic integration functions) (eqs 20)
Velocity vector
Reference surface and centred z-coordinate in the integrated vertical force balance
(eqs 12, 14)
Coordinate system (capital letters denote directions and Z-axis is directed upwards)
Growth rate and wavelength of perturbations (eq. 26)
Non-lithostatic correction of vertical boundary tractions, (eqs 12, 14)
Density and viscosity contrasts in two-layer systems
Viscosity heterogeneity in two-layer systems (eq. A3)
Horizontal viscous stress (eq. 15)
t
(Vx , Vz )
(ox , oz )
w, zc ~(z{w)
(x, z)
a, j
*Tz
*o ~o2 {o1 , *k ~k2 {k1
dk ~*k /k1
qxx
{
Coordinate Dimensional
dependence
scale
{
(x, z)
(x)
(x)
(x)
{
{
H
{
(H )2
(x)
(x)
(x)
(x)
o(H )2
P, P . e
H
(P , P . e)
{
(x)
(x, z)
(x)
t
(Vx, Vz)
(Vx, Vz)
H
{
{
(x)
{
{
(x, z)
(L, H )
1/t, H P
o , k
{
P
Non-dimensional variables are used without special notations.
Table 2. Characteristic values.
Value
H
L
g
P
t
Vx
V
z
e
j
k
o
Definition
Vertical length scale
Horizontal length scale
Acceleration due to gravity
Stress
Time
Horizontal velocity
Vertical velocity
Small geometry parameter
Characteristic wavelength
Viscosity
Density
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
Units
m
m
m s{2
Pa
s
m s{1
m s{1
{
m
Pa s
kg m{3
Comments
H *h1 zh2 in two-layer systems
Note that the horizontally oriented parameter j is scaled by the thickness H to emphasize the results
P~ogH t~L/Vx~H /Vz~k/(ogH )
Vx~PL/k
Vz~PH /k~eVx
e~H /L%1
a(j)~ max (a(j))
k~k1 in two-layer systems
o~o in two-layer systems
1
588
S. E. Medvedev and Yu. Yu. Podladchikov
The simplicity of the PS approach limits its applications to 2-D problems (Fig. 1a). As part of their complex model, Wdowinski
et al. (1989) modi¢ed the PS approach to model deformations above subduction zones. Neglecting buoyancy forces and adding basal
shear traction results in (our notation)
4k
L2 Vx
~{Tx DS1 .
Lx2
(2)
This version is supported by asymptotic analysis and allows analytical solutions and agrees well with geophysical observations.
The kinematics of the PS approach are simpli¢ed by neglecting vertical variations of horizontal velocity. Since this model
applies Airy isostasy (England & McKenzie 1982), the evolution of the thin sheet can be completely described by the evolution of its
thickness:
LH
L
~{
(HVx ) .
Lt
Lx
(3)
Potential applications of the SS approach (Fig. 1b) to 2-D models are more general; several studies based on this approach have
led to signi¢cant developments in the understanding of geodynamic processes. Zanemonetz et al. (1976) applied it to modelling the
evolution of a two-layer sedimentary basin subjected to vertical movements of its basement. Buck (1991) used a velocity pro¢le based
on the SS approach to investigate di¡erent modes of lithospheric extension, including core complexes for the ¢rst time. Buck &
Sokoutis (1994) compared the simplest analytical model of subduction with analogue models to demonstrate zones of horizontal
extension above subduction zones. Lobkovsky & Kerchman (1991) included the SS approach in their `two-level concept of plate
tectonics' to describe continental deformations. Bird (1991) and Kaufman & Royden (1994) applied this approach to investigating
the in£uence of lower-crustal £ow during deformation of the lithosphere.
Without the principal variations, the governing system of the SS approach is represented in all the works cited as follows:
Lox 1 . LP
,
~
k Lx
Lz
LP
~{o ,
Lz
(4)
which balances the horizontal with the vertical forces. This system allows analytical integration for most cases involving
creep rheologies (see e.g. Lobkovsky & Kerchman 1991 for the power-law creep derivation) and direct investigation of thin-sheet
kinematics in the form
LH
L
~Ln [H]{
(HVx ) ,
Lt
Lx
(5)
where L is a non-linear di¡erential operator on H of order n§2. The order of this operator and its coe¤cients depend on the
rheology applied. For a single layer with Newtonian viscosity and constant density,
L ogH 3 . LH
n
L [H]~
(6)
Lx
Lx
3k
(after Buck & Sokoutis 1994).
A viscous rheology is one of the main assumptions common to both the PS and SS approaches. By contrast, the FP approach can
be based on a variety of rheologies (e.g. Ramberg 1970a; Burov & Diament 1992). The FP approach (Fig. 1c) applied to a viscous
rheology is given by the `general equation for the bending of a thin viscous plate'. Turcotte & Schubert (1982) derived this equation
using a step-by-step analogy with the derivation of the elastic plate bending equation. It results in (our notation)
kH 3 L5 S
L2 S
zp 2 ~Tz .
4
3 L xLt
L x
(7)
Solutions of this equation give the vertical displacement, S, of a viscous plate as a function of time (see details in Section 6.1).
Application of this equation is limited by the need to invoke large viscosity contrasts between the sheet and its surroundings. The full
equations were applied to general cases by e.g. Ramberg (1970a) and Fletcher (1977).
The uses of various existing thin-sheet approximations are limited by a number of restrictions described in MP99. The main aim
of this work is to demonstrate that these limitations are not a necessary feature of thin-sheet approximations. MP99 introduced a
more accurate approximation (the ETSA) and showed the generality of the ETSA (that is, the possibility of deriving previous
approaches by simpli¢cation of the ETSA) and its applicability to a wide variety of boundary conditions and rheological pro¢les
(based on creep rheology).
The formulation and ¢nal equations of the model are 3-D; however, we employ a 2-D modi¢cation of the ETSA here. This
simpli¢cation renders the governing equations more transparent than the 3-D ETSA model and eases comparison with previous
models and exact analytical solutions. Here we apply the 2-D reduction of the ETSA to problems with boundary conditions related
to previous thin-sheet investigations (Fig. 1) and rheological pro¢les based on Newtonian viscous materials (Fig. 2).
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
Extended thin-sheet approximationöII
589
Figure 2. A general view of a thin sheet de¢ned by condition L&H . The possibility of introducing layered systems is illustrated by the internal
rheological boundary S . The rheology is described by Newtonian viscosities and densities which are constant within each layer. The balance with
external conditions is described by boundary tractions T (applied on external boundaries S1 and S2 ), basal velocity V and lateral stress p.
Note that we only use non-dimensional values. Table 3 demonstrates a method to obtain dimensional values using Tables 2
and 1.
2
S YST E M OF 2 - D E QUAT I O N S FOR T H E ET SA
The asymptotic investigations of Stokes' equations presented in MP99 result in approximate pro¢les of pressure and vertical shear
stress, which can be rewritten for the 2-D case as
z
P(x, z)%{ Rz {qxx {
odz' ,
(8)
qxz (x, z)%Rx z
z
S1
S1
L
(P{qxx )dz' ,
Lx
(9)
where Rz and Rx represent the ¢rst set of dynamic key functions,
Rz (x)~(qzz {P)DS1 ,
(10)
Rx (x)~qiz DS1
(see Tables 1 and 3 for notation). The inaccurate pro¢les in eqs (8) and (9) are veri¢ed by the exact equilibration of the integrated
force balance. This results in the system of equations governing the ETSA. Restricting this system to two dimensions (eqs 26 and 27
of MP99) results in the following form:
Lqxx
L
(Rz Hzo )zTx ~0 ,
z
Lx
Lx
L2
L
Lw
L
(2q
z
( zc Tx )z*Tz ~0 .
[2z
q
zM
zR
z
]z
zR
Hzo
)
c
xx
o
z
c
xx
z
Lx
Lx
Lx
Lx2
2
(11)
(12)
Here Tx and *Tz represent the second set of dynamic key functions, those which refer to the sum of the external tractions acting
along the horizontal boundaries S1 and S2 . The relationship between the key dynamic functions and the full boundary tractions are
Table 3. Designation.
Attribute
1
d
Vertical bar with one subscript
Vertical bar with two limits
Overbar (1)
Overbar (2)
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
Definition
Examples
Superscripts
Characteristic value (Table 1)
Dimensional value
Special designation
Function value on selected z level
Difference operator between its upper and lower limits
For continuous functions: Z integrating through the
system (note that there is no normalizing by H)
For discrete functions: sum values of the function at
upper and lower external boundaries
Using Table 1, for any function: F d ~F . (Dim. scale)
oDS1 ~o(x, S1 (x))
(zc . qxx )DSS21 ~(S2 {w)qxx DS2 {(S1 {w)qxx )DS1
S2
S2 … z
P(x, y)~
P(x, z)dz, z . o~
z.
o, dz' dz
S1
S1
S1
Tx ~Tx DS1 zTx DS2 , z . Tx ~S1 Tx DS1 zS2 Tx DS2
590
S. E. Medvedev and Yu. Yu. Podladchikov
de¢ned by
Tx DS1 ~{Rx z(2qxx DS1 zRz )
LS1
,
Lx
(13)
Tx DS2 ~Tx {Tx DS1 ,
Tz DS1 ~{Rz {e2 (az {1)*Tz ,
(14)
Tz DS2 ~Rz zoze2 az *Tz ,
*Tz ~e{2 (Tz {o) .
The last equilibration in eqs (14) illustrates the use of *Tz to correct the lithostatic model to the full vertical force balance. The
partitioning coe¤cient, az , is a free parameter in the ETSA. It illustrates the relation between the approximate vertical stress pro¢le
eq. (8) and the exact boundary stresses in eqs (14). Setting az ~1 (or az ~0) results in satisfying the bottom (or upper) boundary
condition exactly by the approximate pro¢le expressed in eq. (8). We will use examples to explore how the results depend on this
parameter.
The application of creep rheology results in the following approximation of horizontal viscous stress integrated over
depth:
"
LVx
L2 Vx
L3 Vx
{(4Gx z4Gx {2Fx )
qxx ~2 (k{4Gxx zFxx )
{(4G{F )
2
Lx
Lx
Lx3
#
LRx
L2 Rx
L3 Rx
LVz
L2 Vz
LRz
L2 Rz
z(Dx {Dìxxx )Rx z(D{3Dìxx )
{Dì
zJx
{Ex
{Qxx .
{3Dìx
{J {E Lx
Lx2
Lx3
Lx
Lx2
Lx
Lx2
A similar expression describes the averaged moment of the horizontal viscous stress qxx 5
LVx
{ . . . (other terms) .
zc . qxx ~2 (zc . k{4zc . Gxx zzc . Fxx )
Lx
(15)
(16)
Here the coe¤cients are de¢ned by
z
L
1
Dx ~e2 . k
dz' ,
Lx S1 k
z … z'
z@
L
L
L
1
dz''' dz@ dz' ,
Lx S1 Lx S1 Lx S1 k
z
L
z'{S1 †
Ex ~e2 . k
dz' ,
Lx S1
k
!
L2 (z{S1 )2
Fxx ~e2 . k 2
,
Lx
2
Dìxxx ~e4 . k
Gxx ~e2 . k
L
Lx
(17)
z … z'
1
Lk
dz@ dz' ,
S1 k S1 Lx
L
(z{S1 ) ,
Lx
z … z'
z''
L
1
L
Qxx ~e2 . k
odz''' dz'' dz' .
Lx S1 k S1 Lx S1
Jx ~e2 . k
The series of indices indicated for each coe¤cient in (17) refers to the series of di¡erentiation operators in the de¢nition of the
coe¤cient. The remaining coe¤cients in eqs (15) and (16) can be obtained by skipping the di¡erentiation operator corresponding to
the position of the `star' index, e.g.
Gx ~e2 k .
z … z'
1
Lk
dz@ dz' .
S1 k S1 Lx
(18)
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
Extended thin-sheet approximationöII
591
Here we apply this model to layers with constant viscosities; the averaged coe¤cients referring to viscosity derivatives
(Gxx , Gx , zc Gxx , zc Gx ) can therefore be dropped. The horizontal velocity pro¢le is described by
z@
z … z'
z
dz'
L
L
Rx
LRz . z (z'{S1 )
ox (x, z)~Vx ze2 Rx .
ze4
dz'
dz''' dz@ dz'{e2
k
Lx
S1 k
S1 Lx S1 Lx
S1 k
S1
{e2
z''
z … z'
z … z'
1
L
L
LVx
4 z' L
LVx
LVz
odz''' dz@ dz'ze2
dz@{
dz@ dz'{e2
(z{S1 ) ,
k
Lx
Lx
k S1 Lx
S1 k S1 Lx
S1
S1 Lx S1 Lx
(19)
where Vx and Vz represent the set of key kinematic functions
Vx (x)~oi (x, z)DS1 ,
Vz (x)~oz (x, z)DS1 .
(20)
A set of kinematic equations describing the motions of the boundaries is necessary to complete the system. These equations are based
on the condition of impenetrability and integrated mass balance. For any material boundaries Sm and Sl ,
LSm
LSm
zox DSm
~oz DSm ,
Lt
Lx
Sm
L(Sm {Sl )
L
z
ox dz ~0 ,
Lt
Lx Sl
Sm
Lox
dzzoz DSSlm ~0 .
Lx
Sl
(21)
(22)
(23)
The last equation represents the integrated incompressibility condition and can be applied to non-material interfaces.
The system of equations (11)^(16) can be simpli¢ed for applications to cases with subhorizontally layered lithosphere by analogy
with the similar simpli¢cation in MP99. This case (`well-strati¢ed lithosphere') is characterized by lateral gradients of density,
viscosity and basement S1 that are so low that they can be neglected, and only those coe¤cients which have `stars' as indices are
signi¢cant. If the reference level, w, is speci¢ed as £at, then its horizontal gradients will fall out of the equations
"
#
L
LVx
L3 Vx
L2 Vz
LRx
L3 Rx
L2 Rz 1
4
k
{J zD
{E z (Rz Hzo ) zTx ~0 ,
(24)
{(4G{F )
{Dì
Lx
4
Lx
Lx3
Lx2
Lx
Lx3
Lx2
"
#
L2
LVx
L3 Vx
L2 Vz
LRx
L3 Rx
L2 Rz 1
.
.
.
.
.
.
.
4 2 zc k
{zc J zzc D
{zc E z (Mo zRz zc )
{(4zc G{zc F )
{zc Dì
4
Lx
Lx
Lx3
Lx2
Lx
Lx3
Lx2
z
3
L
( zc Tx )z*Tz ~0 .
Lx
(25)
T E C H N I QU E A PPL I E D
The behaviour of the ETSA solutions for di¡erent boundary conditions is investigated using linear analysis. A set of Maple programs
was developed to support these investigations. Maple programs are based on the initial assumptions of MP99 (eqs 19^21 and 34^41)
and follow the logic of asymptotic treatment presented in MP99. This signi¢cantly decreases the possibility of making mistakes
in these long unwieldy equations. It is also possible to investigate variations with additional assumptions, complications or
simpli¢cations. Maple and Matlab codes for linear analysis of the full equations were based on Ramberg (1981).
Small sinusoidal perturbations of mean £ow are investigated by linear analysis. To investigate the time dependence of the
deformation, the system of eqs (11)^(16) was completed by kinematic equations in the form of eqs (21)^(23) and the positions of
the boundaries were treated as unknown functions of horizontal coordinates. The unknown functions are given by
2nx at
KF ~KF0 z*KF . Trig
e ,
(26)
j
where KF0 is the unperturbed solution for unknown functions. The amplitude of the perturbation is *KF %1. Trig(2nx/j) represents
the sinusoidal distribution of perturbations along the horizontal axis [cosine for X-related key functions (Tx , Vx) and sine for the
remaining functions] and parameter a represents the growth rate of perturbations with time. Substituting boundary conditions and
the perturbed unknown functions in the form of eq. (26) into the force balance and kinematic equations, neglecting terms with order
more than 1 for the amplitudes of the perturbation, and subtracting factorized trigonometric and exponential functions gives a
system of equations in the form
ÄKF . A~0 ,
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
(27)
592
S. E. Medvedev and Yu. Yu. Podladchikov
where
0
*x
0
1
B C
B* C
B zC
C
ÄKF ~B
B C,
B *1 C
@ A
a11
B
Ba
B 21
A~B
B
B a31
@
*2
a41
a12
a13
a22
a23
a32
a33 za
a42
a43
a14
1
C
a24 C
C
C.
C
a34 C
A
(28)
a44 za
Here, *x and *z are the amplitudes of perturbations of X- and Z-oriented dynamic key functions and *1 and *2 are perturbations of
moving boundaries. Components aij of the matrix A are de¢ned by the force balance and the kinematic equations and depend on the
wavelength, j. Eq. (27) refers to the system with two moving boundaries. The last row and column in matrix A should be dropped to
investigate the system with a single moving boundary. Non-trivial solutions of eq. (27) can be obtained only if
det (A)~0 ,
(29)
and this is the equation that de¢nes the growth rate, a. For cases with two moving boundaries, eq. (29) represents an algebraic
quadratic equation with solution
q
a1,2 ~({B+ B2 {4Adyn det (Aì ) )/2Adyn ,
(30)
where Aì is the matrix of elements (ai,j ) (i.e. matrix A but with as subtracted) and B~jAì33 jzjAì44 j is the sum of cofactors to elements
a33 and a44 in matrix Aì . Adyn ~(a11 a22 {a12 a21 ) represents the dynamic determinant which relates to perturbations of the key
functions only in equations for the balance of forces.
The general solution for the evolution of the boundaries is
*1
*2
!
~
g11
g12
g21
g22
!
.
exp (a1 t)
exp (a2 t)
!
,
(31)
where gml is the projection of the initial perturbation on the external or rheological boundary m with an eigenvector corresponding to
eigenvalue al . It is not necessary to determine coe¤cients gij (Ramberg 1968a) or both eigenvalues in order to investigate the
behaviour of the perturbations. This is because of the exponential time dependence in eq. (26): only the larger (principal) of the two
eigenvalues determines whether the initial amplitudes of particular wavelengths grow or £atten with time. The results presented
below therefore only follow the behaviour of the principal eigenvalue.
Complicated perturbations can be described as a spectrum of sinusoidal perturbations, and the wavelength with the fastest
growth rate (eigenvalue) will eventually dominate. The dominant wavelength resulting from most geological processes is more easily
recognizable than the kinematic or dynamic characteristics of the process. Therefore, the results presented here are recognized as
correct if a de¢ned dominant wavelength compares well with the exact solution.
The dynamic determinant introduced in eq. (30) plays a signi¢cant role in the behaviour of asymptotic systems. In the full
system of equations, the constant sign of this determinant (=0) demonstrates the ellipticity of the original equation system.
However, the level of approximation we apply for this determinant can change in sign. The ranges of parameters which result in a
constant sign for the dynamic determinant determine whether the model can be used. The change in sign of Adyn results in singularity
of the solution (30). The proper use of partitioning coe¤cient az can increase the range of ellipticity of the governing system of the
ETSA. We will not discuss the details of the behaviour of this determinant in every example; instead we will present the results of
the most appropriate choice for az and try to explore the simple rules empirically to match the correct solutions.
The reference surface w involved in evaluations of moments (eqs 12 and 16) is a free parameter of the ETSA (MP99) which
cannot change the results but is able to simplify the treatment. Linear analyses presented below do not depend on this parameter
since w falls out of the linearized system eq. (29). However, we emphasize the signi¢cance of the reference surface by describing
possible choices in each example.
4
E XA M PL E A : EVOLU T I O N OF A L AY E R D R IV E N BY BA SA L V E L O C I T Y ( S S CA S E )
Consider a single lithospheric layer with constant density and viscosity. The lower surface S1 (x) is subjected to a prescribed velocity
¢eld (V 0 ~fV0,x (x), V0,z (x)g), while the upper surface S2 (x) is stress-free:
Vx ~V0,x ,
Vz ~V0,z ,
Tx DS2 ~0 ,
Tz DS2 ~0 ;
(32)
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
Extended thin-sheet approximationöII
593
therefore,
Tx ~Tx DS1 ,
Tz ~Tz DS1 .
(33)
Since both the kinematic and the dynamic boundary conditions are set on horizontal boundaries, the key unknown functions have to
include two dynamic functions (MP99):
Rx (x) , Rìz (x) ,
S1 (x) ,
S2 (x) ,
(34)
where Rìz ~(o{Tz ). The horizontal projection of boundary force balance in eqs (13) gives
LV0,x
LS1
Tx ~{R(1)
zRz
.
x z 4k
Lx
Lx
(35)
The vertical partitioning is de¢ned by eqs (14):
Tz(1) ~e{2Rìz .
Rz ~azRìz {o ,
(36)
Substitution of boundary conditions and partitioning into eqs (11)^(12) gives
Lqxx
LRìz
LS2
LS2
LS1 . LV0,x
{Rx z2
zaz H
zRìz
{oH
z4k
~0 ,
Lx
Lx
Lx
Lx
Lx
Lx
L2
H3
L
H2
Lw
(1)
(2)
2q
z
2z
q
{o
z
{
R
ì
z
{o
R
ì
za
za
c xx
c
z z c
xx
z z
Lx
Lx
Lx2
6
2
(37)
L
LV0,x
LS1
1
(1)
z
hw Rx { 4k
zazRìz {o
{ 2 Rìz ~0 .
Lx
e
Lx
Lx
(38)
After substitution of coe¤cients evaluated for this case into eq. (15), the horizontal viscous stress is
!
!
3
LV0,x
LRx
LS1
LS1 L2 Rx
ì z H 3 L2Rìz
2
4 3 H L Rx
2
2 LS1 LR
ze H H
{2
Rx {e H
{
zaz e H
qxx (x)~2kH
{
12 Lx3
Lx
Lx
Lx
Lx Lx2
Lx Lx
3 Lx2
!
!
!
2
2
2
H 3 L2 S2
LS1
LS1 LV0,z
2 LS1 . LS2
2
2 L S1 LV0,x
2
2 L V0,z
ze o
{H
{H
{2H
ze k 2H
ze H
3 Lx2
Lx Lx
Lx
Lx2
Lx
Lx2
Lx Lx
2
z2e2 kH 2
3
LS1 . L2 V0x
2
3 L V0x
{e
kH
.
Lx
Lx2
Lx3
(39)
The coe¤cients Dìxxx and Dìxx were dropped as they are smaller than Dìx and Dì by a factor e2 and refer to the same unknown
functions. Terms zcDìxxx and zcDìxx were dropped for the same reason in the following expression for the averaged moment of
horizontal viscous stress (from eq. 16):
!
!
3
2
2
LV0,x
LS1
ìz
ìz
2
4
2
(1) LRx
(3) L Rx
(2) LS1 L Rx
(1) LS1 LR
(2) L R
z2az e zc
zc qxx (x)~2kzc
{zc
z2e zc
{zc
Rx {2e zc
{zc
Lx
Lx
Lx
Lx3
Lx Lx2
Lx Lx
Lx2
2
z2e o zc
(2)
z4e2 kzc (1)
!
!
!
2
2
2
L2 S2
LS1
LS1 LV0,z
2
2
(1) LS1 . LS2
(1) L S1 LV0,x
(1) L V0,z
{zc
{zc
{zc
z2e k zc
z2e zc
Lx2
Lx Lx
Lx
Lx2
Lx
Lx2
Lx Lx
3
LS1 . L2 V0x
(2) L V0x
2
{6e
kz
.
c
Lx
Lx2
Lx3
(40)
Two kinematic equations should be added to complete the system:
LS1
LS1
zV0,x
~V0,z ,
Lt
Lx
"
2
3
LH
L
Rx LS1 . LV0,x LV0,z
2 L H
2 L H
z
(V0,x H)ze
{
{
ze
Lt
Lx
Lx 2
Lx 6
k
Lx
Lx
Lx
(41)
o . LS2 1 . LRz 1 L2 V0,x
{
{
k Lx
k Lx
2 Lx2
!#
~0 .
(42)
Eq. (42) is developed by integrating the velocity ¢eld over the depth and substituting the result into eq. (22). The velocity ¢eld is
!
2
Rx LV0,x . LS1 LV0,z
o . LS2
L2 V0,x 1 LRìz
2
2 (z{S1 )
ox (x, z)~V0,x ze (z{S1 )
{
{
ze
{3
.
(43)
{
k
Lx
Lx
Lx
2
Lx2
k Lx
k Lx
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
594
4.1
S. E. Medvedev and Yu. Yu. Podladchikov
Simple cases
4.1.1 The SSz approach
Subtracting e terms in force balance eqs (37)^(39) allows a simpli¢ed solution for the key dynamic functions:
Rìz ~0 ,
L
LV0,x
LV0,x . LS1
LS2
Rx ~4k
H
z4k
{oH .
.
Lx
Lx
Lx
Lx
Lx
(44)
Substitution of the solution of eq. (44) into the expression for the velocity ¢eld eq. (43) yields
o
z{S1
LS2
LV0,x . L(4S2 {S1 )
ox (x, z)~V0,x {e2
H{
(z{S1 ) .
ze2 (z{S1 )
k
Lx
2
Lx
Lx
2
3
LV0,z
2 L V0,x
ze 4H(z{S1 ){ (z{S1 )
.
{e2 (z{S1 )
2
Lx2
Lx
2
Evolution of the layer can be described by
"
!#
2
LH
L
o . LS2 3 L2 V0,x
L(4S2 {S1 ) . LV0,x LV0,z
2 L
3
2 L H
ze
z
(V0,x H){e
H
{
{
~0 .
Lt
Lx
Lx
3k Lx
2 Lx2
Lx 2
Lx
Lx
Lx
(45)
(46)
This approach was derived by the authors (1995, unpublished) and applied to modelling of the evolution of salt extrusions
(Talbot et al. 1998). The SSz approach can handle a larger range of basal velocities than the pure SS approach (described below).
4.1.2
The SS approach
Results with accuracy up to O(e4 ) can be obtained for `slow' basal velocities (VSS *e2 V0 ) by neglecting terms containing both basal
velocity and e2 and rescaling (t'~t/e2 , o'~e2 o):
o . LS2 .
(z{S1 )(2S2 {S1 {z) ,
2k Lx
LH
L
o L H 3 LS2
z
(VSS,x H){
~0 .
Lt'
Lx
k Lx 3 Lx
ox'(x, z)~VSS,x {
(47)
Eqs (47) represent the SS approach (Lobkovsky & Kerchman 1991; Medvedev 1993; Buck & Sokoutis 1994). Comparison of eqs (47)
with the more accurate expressions, eqs (43) and (42), emphasizes the need to scale the basal velocity correctly (Lobkovsky &
Kerchman 1991) and use a full description for deformation subjected to singular boundary conditions (Buck & Sokoutis 1994;
Royden 1996).
4.2
Isostatic adjustment
Consider the development of small perturbations in the top of an initially horizontal layer without lateral forces and with basal
velocities (V0,x ~0, V0,z ~0). This simple test illustrates the isostatic adjustment of perturbations in a single lithospheric layer.
Previous thin-sheet approximations demonstrated increasing adjustment rates with decreasing wavelengths; this does not compare
well with natural examples, which demonstrate the existence of dominant wavelengths. Ramberg (1968b) demonstrated this
phenomenon analytically.
The solution of the equations gives the unperturbed £ow parameters
Rx ~0 ,
Rìz ~0 ,
H~H0 .
(48)
Small periodic perturbations have the form of eq. (26):
dH~dS2 ~eat *2 sin (ux) ,
dRx ~eat *x cos (ux) ,
dRìz ~eat *z sin (ux) .
(49)
Note that no perturbations were considered along the bottom boundary as the motion of boundary S1 is de¢ned exactly by the
boundary conditions (eq. 41). Substitution of the perturbed ¢elds and a zero basal velocity into eqs (37)^(40) gives the general
solution in the form of eq. (30).
The dependence of the growth factor, a, on the wavelength of the perturbations, j, for this simple case of isostatic adjustment
calculated using the ETSA and the exact solution (after Ramberg 1968a,b) shows not only qualitative similarity but also good
quantitative reproducibility (Fig. 3). The ETSA results have a low partitioning dependence if az [ [0, 1]. Application of the SS
approach (eq. 47) demonstrates the common behaviour of low-order thin-sheet approximations: shorter waves develop faster.
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
Extended thin-sheet approximationöII
595
Figure 3. Example A. Spectrum illustrating the dependence of dimensionless growth rate on wavelength for isostatic adjustment of an upper
boundary perturbation in a single-layer system (az ~0).
5
E XA M PL E B : EVOLU T I O N OF A T WO -L AY E R S YST EM D R IV E N BY BA SA L VE L O C I T Y
Our second example is a system with two layers (e.g. crustal and subcrustal lithosphere) with constant densities (o1 and o2 for bottom
and top layers respectively) and viscosities (k1 and k2 ) and di¡ers from the ¢rst example only in rheology. S (x) is the rheological
boundary between the two layers. Note that the viscosity di¡erence may be signi¢cant. The boundary conditions, key functions and
partitioning are the same as in example A (eqs 32^36) with only k changed to k1 on the bottom boundary (eq. 35). The boundary
and rheological settings result in the 2-D system of force balance (from eqs 11^12)
Lqxx
LRìz
LS2
LS2
LS LS1 . LV0,x
{Rx z2
z4k1
zaz H
zRìz
{o2 H
z*o h1
~0 ,
(50)
Lx
Lx
Lx
Lx
Lx
Lx
Lx
L2
L
Lw
(2q
[2z
q
zM
z(a
R
ì
{o)z
]z
z(a
R
ì
{o)Hzo)
c xx
o
z z
c
xx
z z
Lx
Lx
Lx2
L
LV0,x
LS1
1
z
hw R(1)
(51)
zazRìz {o
{ 2 Rìz ~0 .
x { 4k1
Lx
e
Lx
Lx
The averaged horizontal viscous stress and averaged moment of the horizontal viscous stress have the same form as for the general
2-D case in eqs (15) and (16). The evaluation of the coe¤cients is carried out in Appendix A. The viscosity contrast between the two
layers results in the appearance of a viscosity heterogeneity coe¤cient dk and its momentum Mk in the equations. If k1 %k2 , these
two coe¤cients introduce singularities into the equations since dk ,Mk &1. In this case the coe¤cients presented in Appendix A can
be simpli¢ed by dropping insigni¢cant terms.
The position of the reference surface w(x) is signi¢cant in this case. For example, putting the reference surface w~(S2 zS3 )/2
reduces the singular terms (which involve the viscosity ratio) in vertical force balance, because then the momentum of viscosity
heterogeneity Mk ~0. This is convenient for numerical calculations and balances analytical solutions. However, the simplest
presentation of the averaged moment of horizontal stress is obtained by putting w~S1 (see Appendix A).
The horizontal projection of the velocity ¢eld for z < S is
Rx LV0,x . LS1 LV0,z
3
L2 Vx
(z{S1 )2
ox (x, z)~V0,x ze2 (z{S1 )
{
ze2
Kz ,
(52)
{
{ e2 (z{S1 )2 .
2
2
k1
Lx
Lx
Lx
Lx
2k1
where
LS2
LS LRìz
Kz ~ o2
{az
{*o
Lx
Lx
Lx
and the horizontal projection of the velocity for z > S is
h1 (z{S )
LV0,x . LS1 LV0,z
ox (x, z)~V0,x ze2
Rx {e2 (z{S1 )
z
z
k1
Lx
Lx
Lx
k2
!
2
3
*k
L V0,x
h21
h1 (z{S ) (z{S )2
(z{S )2 LS 2
2
{e
K
(z{S1 ) z4h1
.
(z{S )
ze
z
z
z*
z
o
k2
Lx2
2k1
2k2
2k2
2
k2
Lx
2
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
(53)
596
S. E. Medvedev and Yu. Yu. Podladchikov
Evolution of the layers can be described by eqs (22) after integrating the velocity ¢eld
" #
2
h31 Kz
Lh1
L
e2 L
LV0,x . LS1 LV0,z
2 Rx
3 L V0,x
(V0,x h1 )z
h
z
{
{h1
~0 ,
{
z
Lx
Lt
2 Lx 1 k1
Lx
Lx
Lx
Lx2
3k1
LH
L
L
z
(V0,x H)ze2
Lt
Lx
Lx
{
(54)
h1 H
h2
H 2 LV0,z LV0,x . LS1
z 2 Rx {
z
k1
2k2
2
Lx
Lx
Lx
3
3
H
*k L2 V0,x
h1
h21 h2 h1 h22
h32
h32 . LS ~0 .
z
z
z
z
z*
K
{2h22 h1
z
o
2
k2
Lx2
6k1
2k1
2k2
6k2
6k2 Lx
5.1
(55)
Simple cases
5.1.1 The SS approach
Zanemonetz et al. (1976) and Medvedev (1993) investigated this model under the condition of `slow' basal velocity VSS *e2 V0. The
governing equations of this approach can be obtained by neglecting terms containing both basal velocity and e2 in eqs (50)^(55) and
rescaling (t'~t/e2 , o'~e2 o):
(ms)
Rìz
~0 ,
R(ms)
x (x)~{o2 H
LS2
LS .
z*o h1
Lx
Lx
(56)
The velocity ¢eld for z < S is
(z{S1 )
LS2
LS ox' (x, z)~VSS,x z
,
o2 (z{S1 {2H)
{*o (z{S1 {2h1 )
2k1
Lx
Lx
(57)
and for z > S ,
ox' (x, z)~VSS,x z
o2 LS2
*o h21 LS .
[(z{S1 )(z{S1 {2H)zh1 h2 dk ]ze2
2k2 Lx
2k1 Lx
(58)
Evolution of the layers is described by
Lh1
L
h21
LS2
LS VSS,x h1 z
~0 ,
o2 (h1 {3H)
z
z2*o h1
Lx
Lx
Lt'
6k1
Lx
3
LH
L
*o h21 h1 h2 LS 2h1 2h32 h1 h2 H LS2
{o2
z
~0 .
z
z
z
VSS,x Hz
k1
3
2 Lx
3k1 3k2
Lx
Lt'
Lx
k1
(59)
This approach is applicable only to situations with low viscosity contrasts (Medvedev 1993).
5.1.2
The Ellis et al. (1995) model
Ellis et al. (1995) investigated a similar case with the additional assumptions of a thinner bottom layer with constant thickness,
h1 ~const%h2 , a more competent upper layer k2 &k1 and h1 /k1 &h2 /k2 .
Ellis et al. (1995) applied a dynamic vertical boundary condition on the base which is not quite the same as the boundary
conditions in eqs (32)^(33). However, the simplicity of balancing the vertical forces suggested by Ellis et al. (1995) allows a
comparison of the analytical results of this approach with the ETSA in this section by adding Airy isostasy as in eq. (63).
Let us consider the behaviour of eqs (50)^(55) using the assumptions of Ellis et al. (1995). The vertical force balance eq. (51) is
simpli¢ed by neglecting all e terms to give the lithostatic condition Rìz ~0. Consideration of the velocity ¢eld in the upper layer
(eq. 53) allows the extraction of two leading terms:
ox (x, z)&V0,x ze2
h1
Rx ~ox DS ~ox (x)
k1
z > S .
(60)
This shows the independence of the horizontal velocity in the upper layer at the level of approximation presented here. Hence,
Rx ~
k1
(ox {V0,x ) .
e2 h1
(61)
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
Extended thin-sheet approximationöII
597
Substituting eq. (61) into the horizontal force balance in eqs (50) and (15) gives, after neglecting all e terms and neglecting
insigni¢cant terms due to the condition k1 %k2 (the latter is indicated by &),
2
Lqxx
LS2
LS k
z 2 1 (ox {V0,x ) ,
~o2 H
{*o h1
Lx
Lx
Lx
e h1
qxx ~2k
LV0,x
LRx
Lox
zeDx Rx zeD
&2k2 h2
.
Lx
Lx
Lx
(62)
Application of the Airy scheme of isostasy (Turcotte & Schubert 1982) on the basis of mantle density om and assuming a constant
thickness for the bottom layer gives
o2 H
LS2
Lx{*o h1
LS LS2 o2 (om {o2 ) Lh22
~o2 h2
~
.
2om
Lx
Lx
Lx
(63)
Substitution of eq. (63) into eq. (62) gives the equation derived by Ellis et al. (1995) and proves the applicability of Couette £ow for
description of deformations in the bottom layer:
L
Lox
o (o {o2 ) Lh22
k
h2
~ 2 m
z 2 1 (ox {V0,x ) ,
Lx
8om k2
Lx
Lx
4e k2 h1
ox (x, z)~V0,x z
(z{S1 )
(ox {V0,x ),
h1
ox (x)~ox ,
z < S ,
(64)
z > S .
We describe this case as a variation of the SS approach because deformation is de¢ned by the horizontal boundary velocities
prescribed along the base. In contrast, Ellis et al. (1995) recognized their model as an extension of the PS approach (following the
model of Wdowinski et al. 1989). The model presented by Ellis et al. (1995) is not completely supported by the asymptotic analysis
described in the ETSA formulation because eq. (61) is not fully compatible with the simple vertical force balance (Rìz ~0) (cf : eq. 51).
However, the model of Ellis et al. (1995) has a number of advantages for the modelling of rheologically strati¢ed systems.
5.2
Rayleigh^Taylor instability
In additional to the boundary conditions of Example B (eqs 32^33), the basement S1 in this case is a constant in time and space
and V 0 ~0. The density contrast *o ~o2 {o1 > 0 illustrates the gravity instability in this test. The linear analysis is similar to that
performed in Example A with an additional equation to describe the motion of the rheological boundary (eq. 54).
Fig. 4 compares the results for di¡erent approaches. The SS approach behaves well only for long wavelengths and tends to
in¢nity for short wavelengths (not indicated in Fig. 5 because of the di¡erence in scale).
Figure 4. Example B. Comparison of applying the di¡erent approaches to the growth of Rayleigh^Taylor instabilities in two-layer systems
with free upper surfaces and no-slip bottom boundaries. Comparing the ETSA results for di¡erent partitioning coe¤cients az illustrates the
criteria of correctness: the proximity to the correct wavelength, not the correct growth rate. The partitioning coe¤cient az ~h1 /H performs well
over a wide range of geometries and rheological conditions. The SS approach works well for long wavelengths but not for short wavelengths
(h1 /H~0:1, o2 ~1:2 . o1).
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
598
S. E. Medvedev and Yu. Yu. Podladchikov
Figure 5. Example B. Comparison of the in£uence of di¡erent factors on the growth rate of Rayleigh^Taylor instabilities in two-layer systems with
free upper surfaces and no-slip bottom boundaries. (a) and (b) illustrate the in£uence of di¡erent viscosity contrasts. (a), (c) and (d) show spectra due
to di¡erences in geometry: (upper layer thickness/full thickness)~0.1, 0.5 and 0.8 respectively (o2 ~2o1 , az ~h1 /H).
Our investigations into the in£uence of partitioning emphasize the signi¢cance of coe¤cient az . ETSA applications with
di¡erent partitioning coe¤cients were compared with the exact solution (after Ramberg 1968a). This comparison (Fig. 4) illustrates
the criteria we used to de¢ne the correct solution. Even the maximum growth rate is about double the exact solution for az ~h1 /H;
this result is treated as more accurate than results based on other values of az since the dominant wavelength is closer to the exact
dominant wavelength. Our experience suggests that the coe¤cient az ~h1 /H is appropriate. This means that the most appropriate
boundary condition to be satis¢ed at a low level of approximation (eqs 8 and 36) is that closest to the most intense rheological
gradient within the model. This is well demonstrated by Figs 4 and 5. Nevertheless, the results demonstrate the great advantages of
ETSA compared to previous thin-sheet approaches, even with the use of inappropriate az .
There is good agreement between the ETSA and the exact solution for di¡erent rheological settings (Fig. 5). Fig. 6 shows that the
dominant wavelength depends on the viscosity contrast. In contrast to general opinion that this exhibits a cubic root law behaviour
(e.g. Whitehead 1988), Fig. 6 indicates that the dominant wavelength varies much closer to the sixth-order root of the viscosity
contrast, probably because of the in£uence of the upper stress-free surface.
5.3
Systems driven by basal velocity
This section considers the in£uence of applying a basal horizontal velocity. The vertical component of the basal velocity is set as
V0,z ~0 and the bottom boundary is constant in time and space (S1 ~const). The basal horizontal velocity is de¢ned by a constant
gradient V0,x ~V x. The unperturbed £ow is described by
Rx ~0 , Rìz ~0 ,
ox ~V x ,
oz ~{V (z{S1 ) ,
H~H0 exp ({V t) .
(65)
The linear analysis was performed for the case V < 0, which laterally compresses the system (Figs 7 and 8).
Comparison of Figs 7(a) and (b) shows that the dominant wavelength depends more on the viscosity contrast then on the
magnitude of the velocity gradient, as suggested by Ellis et al. (1995) (although we cannot compare our results with theirs directly
because our boundary conditions di¡er).
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
Extended thin-sheet approximationöII
599
Figure 6. Example B. Dominant wavelength versus viscosity ratio for two-layer systems with free upper
surfaces and no-slip bottom boundaries
p
with a density instability. Comparison of results from this study and Ramberg (1968a,b). Line j* 6 k2 /k1 illustrates the asymptotic behaviour
(o2 ~2o1 , h1 /H~0:1, az ~0:1).
Figure 7. Example B. Basal-driven compression with a constant gradient of velocity along the bottom boundary. (a) Comparison of spectra for
di¡erent viscosity ratios. (b) Comparison of spectra for di¡erent basal velocity gradients demonstrating the low dependence of dominant wavelength
on velocity gradient. The SS approach (after Medvedev 1993) shows independence from rheology and is controlled mostly by the velocity gradient.
The scaling factor for the dimensionless velocity gradient is (ogH /k) (h1 /H~0:1, o2 ~0:8o1 , az ~0:1).
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
600
S. E. Medvedev and Yu. Yu. Podladchikov
Figure 8. ExamplepB.
The dominant wavelength versus viscosity ratio for basal-driven compression with a constant gradient in boundary

velocity. Line j* 6 k2 /k1 illustrates the asymptotic behaviour. The scaling factor for the dimensionless velocity gradient is (ogH /k)
(h1 /H~0:1, o2 ~0:8o1 , az ~0:1).
The results of applying the pure SS approach (after Medvedev 1993) and the model of Ellis et al. (1995) reformulated for a stable
bottom boundary, Vz ~0, were compared with the results from the ETSA (Fig. 7). The two low-order approaches result in the same
spectra, both of which are de¢ned by a velocity gradient V and are independent of wavelength.
The behaviour of the dominant wavelength for di¡erent viscosity ratios calculated using the ETSA is shown in Fig. 8. It
compares well with results of the linear analysis of the full equations (`exact solution').
6 E XA M PL E C : L AT ER A L E X T E N S I O N OR COM PR E S S I O N OF A L I T HO SP HE R E B O U N D E D
BY A L OW - V I S C O S I T Y S U B ST R AT E ( T H E P S CA S E )
Consider two layers (e.g. crustal and subcrustal lithosphere) of constant density and viscosity. The non-material lower surface S1
is the compensation level with the compensation pressure Pc and zero shear stresses constant in time and space. Even though it is
constant in time, the vertical velocity across this surface is not necessarily zero. The upper surface S2 is stress-free:
Tx DS1 ~0 ,
Tx DS2 ~0 ;
Tz DS1 ~Pc ,
Tz DS2 ~0 ;
(66)
therefore,
Tx ~Rx ~0 ,
Tz ~Pc .
(67)
These boundary conditions can be applied if the upper layer is much more competent than the lower layer (k2 &k1 ) (Ranalli 1994;
Burov & Diament 1995). The key unknown functions are
Vx (x)~ox (x, z)DS1 ,
Vz (x)~oz (x, z)DS1 ,
S1 (x) ,
S2 (x) .
(68)
Partitioning of the vertical boundary conditions is de¢ned by eqs (14):
Rz ~az (o{Pc ){o ,
*Tz ~e{2 (Pc {o) .
(69)
Substitution of boundary conditions and partitioning into eqs (11)^(12) gives
Lqxx
L
LS2
LS ~0 ,
[H(Pc {o)]{o2 H
zaz
z*o h1
Lx
Lx
Lx
Lx
L2
L
Lw
1
.
(2q
~ 2 ( o{Pc ) ,
[2z
q
zM
{o
z
za
z
(
o{P
)]z
za
H(
o{P
)zo{oH)
c xx
o
c
z c
c
xx
z
c
Lx
Lx
e
Lx2
(70)
2
(71)
where the horizontal viscous stress is
"
!#
LVx
L2 Vx
L3 Vx
LVz
L2 Vz
Lo
L2 o
{E 2
{(4Gx {2Fx )
{J .
qxx ~2 ( kzFxx )
{(4G{F )
zJx
{Qxx {(az {1) Ex
Lx
Lx
Lx
Lx2
Lx3
Lx
Lx2
(72)
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
Extended thin-sheet approximationöII
This expression is similar to that for the averaged moment of the horizontal viscous stress:
LVx
.
{ . . . (other terms) .
zc qxx ~2 ( zc kzzc Fxx )
Lx
601
(73)
The evaluation of coe¤cients presented in Appendix A shows that the only terms having a singularity due to the viscosity contrast in
this case are those referred to E. Hence the position of the reference surface w can be de¢ned for several purposes; for example, to
make the system easier to manipulate (w~S1 ) or to drop the singular terms from the vertical force balance [by putting
w~(S2 zS3 )/2]. Alternatively, the order of the vertical force balance can be lowered by putting w as the solution of the equation
zc F {4zc G~0 ,
(74)
which is the coe¤cient for the highest-order derivative of unknown key functions in the vertical force balance (L5 Vx /Lx5 ).
The velocity ¢eld for z < S is
3
L2 Vx
LVz
(z{S1 )2 Lo
2
2
ox ~Vx { e2 (z{S1 )2 .
,
{e
(z{S
)
(a
{1)
{e
1
z
2
Lx2
Lx
2k1 Lx
(75)
and for z > S is
"
#
3
*k L2 Vx
LVz
2
2
ox ~Vx {e
(z{S1 ) z4h1 (z{S )
z(z{S1 )
2
k2 Lx2
Lx
ze2 (z{S )2
*o . LS h21
h1 (z{S ) (z{S )2
{e2 (az {1)
z
z
k2
2k2 Lx
2k1
2k2
!
Lo
.
Lx
The combination of kinematic relations eqs (21)^(23) can be integrated here in the form
LSm
L Sm
z
ox (x, z)dz~Vz
Lx S1
Lt
(76)
(77)
for material boundaries (Sm ~{S , S2 }). Integrating the horizontal velocity within the limits of S1 and the corresponding surface
yields equations describing the evolution of the material surfaces:
"
#
LS L
e2 h31 L2 Vx e2 h21 LVz
e2 h31 . Lo
z
Vx h1 {
~Vz ,
{
(78)
{(az {1)
Lt
Lx
2 Lx2
2 Lx
6k1 Lx
"
2
3
LS2
L
L
H3
k
L Vx H 2 . LVz *o h32 . LS H
dk
Lo
2
3
(Vx H){e2
~Vz .
z
{1)
{
(3h
h
zh
)
{(a
z
z2h22 h1 1 {1
z
z
1 2
2
Lx
Lx
Lx
Lx
Lt
2
k2
Lx2
2
Lx
6k2
6k1 6k2
(79)
6.1 Simple cases
6.1.1 The PS approach
Neglecting e terms in the expression for the horizontal velocity of the upper layer (z > S , eq. 76) results in
ox (x, z)&Vx (x) .
(80)
Neglecting the same order terms from the vertical force balance eq. (71) gives the Airy isostasy condition
Pc ~o1 h1 zo2 h2 .
(81)
Algebra gives
L
Lh1
Lh2
(Rz Hzo )~{*o h2 .
~{o2 (1{o2 /o1 )h2
.
Lx
Lx
Lx
Substituting isostasy into the horizontal force balance eq. (70) and neglecting all e terms yields
L
LVx
o (1{o2 /o1 ) Lh22
4
k
~ 2
.
Lx
2
Lx
Lx
(82)
(83)
Normalization of both k and the right-hand part of eq. (83) by H gives the governing equation presented in England & McKenzie
(1983).
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
602
S. E. Medvedev and Yu. Yu. Podladchikov
England & McKenzie (1983) investigated this case using a viscous £uid with a power-law temperature dependence. Estimation
of k can be performed by the technique suggested by England & McKenzie (1982, Appendix A) or by England (1983), which was
supported by analytical investigations by Sonder & England (1986). The rheological settings applied in our Example C (two layers
with constant viscosities) are not the power-law creep considered by England & McKenzie (1983). However, both cases share the
property of the averaged viscosity depending on the horizontal coordinate.
6.1.2
The bending equation
Consider the development of a thin sheet subject to a deviatoric horizontal stress, p, which is constant inside the layers. The vertical
distribution of the deviatoric stress allows pure shear deformations in the system, thus p1 /k1 ~p2 /k2 ~p/k. In the case of perfectly
plane boundaries, the unperturbed stress balance in the horizontal plane gives
2k
Lox
{P~pzpo ,
Lx
(84)
where po expresses the lithostatic stress, which is eliminated after substitution of pressure from the vertical stress balance:
P~{po z2k
Loz
Lox
~{po {2k
.
Lz
Lx
(85)
The unperturbed £ow is described by
ox (x, z)~Vx (x) ,
p
h2 (t)~h02 exp
t ,
4k
LVx
p
~{ ~const ,
4k
Lx
Vz ~
Pc . p
~const ,
o1 4k
Pc {o2 h2
,
h1 (t)~
o1
Pc ~o1 h01 zo2 h02 ,
(86)
where h01 and h02 are the initial thicknesses of the layers.
The small perturbations of mean £ow with long wavelength are assumed not to change the thickness of the competent (upper)
layer: h2'~0, and therefore h1'~S '~S2' (hereafter in this section, primes indicate the perturbed £ow parameters). This assumption is
common when considering folding and is valid as long as k2 &k1 (Fletcher 1977). These assumptions allow us to linearize the
equations, keep only the lowermost derivatives of unknown functions, and neglect insigni¢cant terms due to the condition k1 %k2 .
The subtraction of eq. (78) from eq. (79) (az ~1) after simpli¢cation gives
0~
L(S2'{S1' )
LVx'
H 2 {h21 . L2 Vz' *o h32 . L2 S '
~h2
{e2
{
.
Lt
Lx
Lx2
Lx2
2
6k2
(87)
Then, the perturbed horizontal velocity can be expressed as
LVx'
L2 Vz' *o h22 . L2 S '
{
.
~e2 (h2 /2zh1 )
6k2
Lx
Lx2
Lx2
(88)
Kinematic eq. (78) gives
Vz'~
LS '
LS '
LVx
LVx' dS '
p
zVx
zh1'
~
{h1'
.
zh1
Lt
Lx
Lx
dt
4k
Lx
(89)
The vertical force balance eq. (71) can be simpli¢ed using the assumptions and form of eq. (25), and after substitution of the
coe¤cients (Appendix A, w~S1), simpli¢cation and linearization can be rewritten as
"
#
L2
LVx'
4e2 k2 3
L2 Vz
2
e
zh1' p{
~o1 h1' .
k (2h z4h1 h2 )
(h2 z3h1 h2 H)
Lx
Lx2 2 2
3
Lx2
2
(90)
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
Extended thin-sheet approximationöII
603
Here we use the condition p/k&p/k. Substitution of the horizontal velocity from eq. (88) and the vertical velocity from eq. (89) into
the vertical force balance eq. (90) gives
e4
2
k2 h3c L4 dS '
2 L S
~{o1 h1' .
p
ze
3 L4 x dt
L2 x
(91)
Then, replacement of the material boundary S by the non-material marker S [vertical position of rheological boundary,
(dS/dt~LS/Lt)], rescaling of the horizontal coordinate using the thickness of a thin sheet (setting e~1) and changing the right-hand
side to the general case leads to the general bending equation (6-181) of Turcotte & Schubert (1982) (eq. 7 in this paper). Note that the
simpli¢cations of the derivations in this section preclude ¢nding any characteristic wavelengths using eq. (91). To investigate
characteristic behaviour, the general bending equation should be speci¢ed with an external £ow in£uence (Turcotte & Schubert 1982,
eq. 6-189; Ramberg 1970a). With the boundary conditions employed in this section, the characteristic behaviour can be investigated
with the full ETSA system of equations (70)^(73), as is demonstrated in the next section.
6.2
Buckling and gravity instability
Let us investigate the problem outlined in Section 6.1 with a mean £ow described by eqs (84)^(86) and a small perturbation in
the form of eq. (26). The density contrast *o can be of di¡erent sign, allowing either stable (*o ¦0) or unstable (*o > 0) density
strati¢cations. With p > 0, the lateral stress is compressive, while p < 0 indicates extension of the thin sheet.
We ¢rst investigated gravity instability alone (p~0); Fig. 9 shows how the growth rate depends on the wavelength. The
maximum growth rate is poorly de¢ned for long wavelengths (*1 per cent), while the growth rate drops signi¢cantly for shorter
wavelengths. Both the ETSA and the exact analytical solution demonstrate this behaviour. Application of the PS approach gives an
entirely impractical mean growth rate for almost all wavelengths.
Application of compressional (Fig. 10) or extensional lateral stresses to the system leads to more clearly de¢ned dominant
wavelengths. Fig. 11 compares the results of this section with analogue and analytical investigations presented in Ramberg &
Stephansson (1964) and Ramberg (1970a,b).
An additional investigation shows that the results are not strongly in£uenced by the partitioning coe¤cient az in the limits
0¦az ¦1. The dependence of spectra on partitioning is recognizable only for wavelengths shorter than 2H , and more realistic
results can be obtained with az *1.
Figure 9. Example C. Instability in two-layer systems with inverted density. The bottom boundary is the non-material level of compensation. The
dominant wavelength is poorly distinguished (*1 per cent) for this case; the growth rate a tends to {? for short wavelengths. The PS approach
shows no changes over the range of wavelengths considered (h2 /H~0:1, o2 ~2o1 , az ~1).
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
604
S E Medvedev and Yu Yu Pod adch kov
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(b)
(c)
F gure 10 Examp e C In erac on o a grav y ns ab y and o d ng or a wo ayer sys em w h nver ed dens y due o a era compress on w h
d ¡eren ra es The grav y ns ab y s no recogn zab e or p/4k > 10{ The dom nan wave eng h and correspond ng grow h ra e ncrease w h
ncreas ng app ed orce Bo h he PS approach and he ETSA demons ra e he same endency a ong wave eng hs However he PS approach has no
dom nan wave eng hs and shows nappropr a e behav our approach ng shor wave eng hs The d mens on ess un orm s ra n ra e o mean £ow s
p/4k~{ LVx /Lx w h sca ng ac or ogH /k No e ha wave eng hs are sca ed o he h ckness o he who e sys em To resca e he wave eng h
or upper ayer h ckness shou d be mu p ed by a ac or o 10 h /H~0 1 o ~2o k /k ~10 a ~1
F gure 11 Examp e C The dom nan wave eng hs or he wo ayer sys em due o d ¡eren magn udes o a era compress on and ex ens on There
s no dens y nvers on n h s case o ~0 8o The curve or compress on sa s¢es he asymp o c behav our pred c ed by Ramberg & S ephansson
1964 we The sca ng ac or or he d mens on ess parame er o h s examp e p/4k s ogH /k h /H~0 1 k /k ~10 a ~0
7
7.1
C O NCLUS IO N S
Partitioning coe¤cient
The analytical treatment of MP99 leaves the vertical boundary partitioning coe¤cient az as a free parameter in the ETSA. This
parameter represents the relation between approximate pro¢les of stress functions and their integrated correction. MP99 demonstrated that the value of az gives preference to satisfying certain boundary conditions at a low level of approximation [i.e. by the
approximate stress pro¢le, eq. (8), which is able to satisfy only one boundary condition].
ß 1999 RAS GJI 136 586^608
Extended thin-sheet approximationöII
605
Our tests show that the in£uence of the partitioning becomes insigni¢cant at wavelengths longer than about double the
characteristic wavelength. Thus, investigations of the in£uence of partitioning are limited by intermediate (near-characteristic)
wavelengths.
Example C (the PS case) shows a very low dependence of solutions on the choice of the partitioning coe¤cient unless 0¦az < 1.
The need for solutions to be realistic over a wide range of wavelengths de¢nes the preferential choice of az *1 by investigating
wavelengths shorter than 2H .
When the bottom boundary is subjected to external shear (the SS case, example B), our tests show that preference should be
given to the external horizontal boundary which is closer to the most intense rheological gradients within the model domain. In the
few examples we have studied, this approach resulted in extremely accurate asymptotic solutions.
The ETSA was also tested with free-slip along the bottom boundary. All cases were found to be strongly dependent on the
partitioning and we did not identify the most appropriate partitioning rule because the technique we applied in example B failed to
improve the solutions. Rayleigh^Taylor instability spectra for the case of a free-slip boundary condition compare well with the
exact solution using negative values of the partitioning coe¤cient: {1¦az < 0. The most appropriate choice for the partitioning
coe¤cient for this case needs further work.
7.2
Results of experiments
Testing problems were investigated on the basis of single- and two-layer models of Newtonian viscous materials. Linear
analyses compare well with exact analytical solutions over a wide range of wavelengths for the modelling of isostatic adjustment,
Rayleigh^Taylor instabilities and buckling due to compression and extension. The examples show the following.
(1) The new ETSA generalizes the most popular existing thin-sheet approximations. Whereas existing approaches only allow
particular types of boundary conditions, the new model allows stipulation of all likely geodynamic boundary conditions. It was
shown that the previous generation of thin-sheet approximations could be derived by simpli¢cation of the ETSA under each of their
restricted boundary conditions.
(2) Comparison of exact 2-D solutions with our results shows the surprisingly high accuracy of the ETSA. Accurate instability
spectra de¢ned by linear analyses were obtained by our long-wavelength approximation, even at short wavelengths.
(3) The ETSA can be applied to geodynamic problems that cannot be described by previous thin-sheet approximations. Only
buckling could be handled by the FP approach. The development of other mechanical instabilities was not possible with any of the
previous generation of thin-sheet models, even where the competence (viscosity) contrast was high and the dominant wavelengths
were much longer than the thickness of the thin sheet.
(4) The examples presented here are 2-D; however, the formulation and ¢nal equations of the ETSA are 3-D (3-D tests are in
preparation). However, even the 2-D model shows great advantages for investigations of the evolution of 2-D structures.
The results of this work show that the new extended thin-sheet approximation is a powerful tool for realistic modelling of
complicated 2- and 3-D geodynamic structures.
AC K NOW L E D GM E N T S
Prof. C. J. Talbot is thanked for improving the structure and presentation of this work. The authors thank D. McKenzie, H. Zeyen,
A. Poliakov and two anonymous reviewers for helpful discussions and suggestions that improved the manuscript. This work was
supported by an Uppsala University PhD Fellowship to SM.
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A PPE N D I X A : EVA LUAT I O N OF IN T E GR AT E D F U NC T I O N S FOR T WO -L AY E R S YST E MS
( E XA M PL E S B A N D C )
The momentum integration auxiliary function is introduced by
0
1
S2
B
C
C
zc (k) ~
zc B
@ dz . . . dzAdz .
S1
|‚‚{z‚‚}
(A1)
k
Therefore,
zc (0) ~zc ~
zc
(2)
H2
{hw H ,
2
H4
H3
~
{hw
,
8
6
zc (1) ~
zc
(3)
H3
H2
{hw
,
3
2
H5
H4
~
{hw
.
15
12
The heterogeneity functions for the case of two layers are
2
k
h
dk ~ 2 {1 ,
Mk ~ 2 {hh2 dk ,
k1
2
(A2)
(A3)
where hw ~(w{S1 ), h~(w{S ). The other integrated functions of this case are presented in a form which distinguishes them from
the single-layer system. Setting all di¡erences (*o and *k ) and heterogeneity functions (dk and Mk ) equal to 0 and o1 ~o, k2 ~k leads
to integrated functions for the single-layer system. The averaged rheological functions applied in the force balance are
o~o1 Hz*o h2 ,
o~o1 H
2
k~k2 H{*k h1 ,
/2z*o h22 /2 ,
Mo ~o1 zc (1) z*o
h32
h22
{h
,
3
2
k~(k2 H 2 {*k h21 )/2 ,
2
h1
.
zc k~k2 zc {*k
{hw h1 .
2
(A4)
The evaluation of integrated coe¤cients for horizontal force balance is presented in Table A1. The evaluation of integrated
coe¤cients for vertical force balance is presented in Table A2. Coe¤cients of Dì type are very large after the triple derivations and
integrations. Hence evaluation of these coe¤cients is presented in a separate table, Table A3.
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
Extended thin-sheet approximationöII
Table A1. Integrated functions for horizontal force balance.
D
Dx
E
Ex
F xx
~ e(H 2 /2zdk h1 h2 )
LS1
Lh1
zdk h2
~ e {H .
Lx
Lx
ÿ
~ e2 H 3 /6zdk h21 h2 /2
LS1 2
Lh1
~ e2 {
H /2zdk h1 h2
Lx
Lxi
!
LS1 2 L2 S1
2
2
~ e k
z 2 (*k h1 /2{k2 H 2 /2)
Lx
Lx
LS1
(*k h21 /2{k2 H 2 /2)
Lx
e2 (k2 H 3 {*k h31 )/6
0
0
LS Lh1 2
LS1 2
h2 /2 {k2
H /2
e2 *k
h1 h2 {
Lx
Lx
Lx
e2 (k2 H 3 /6{*k (h31 /6zh1 h22 /2))
LS1
e2 k
Lx
e2 (k2 H 2 /2{*k h21 /2)
" "
#
#
LS 2 h22 L2 S h32
LS1 2 H 2 L2 S1 H 3
L LS1 h21
ze2 *o
{ 2
{dk h2
{ 2
e2 o1
Lx Lx 2
Lx
2
Lx 6
2
Lx
Lx 6
Fx ~ e2
F Gxx
Gx
~
~
~
Gx ~
G
~
Jx
~
J
~
Qxx
~
Table A2. Integrated functions for vertical force balance.
zc D
zc Dx
zc E zc Ex
zc F xx
zc Fx zc F zc Gxx
zc Gx
zc Gx zc G
zc Jx
zc J zc Qxx
~ e(zc (1) zMk h1 )
Lh1
LS1
{zc
~ e Mk
Lx
Lx
~ e2 (zc (2) zMk h21 /2)
Lh1
LS1
~ e2 Mk h1
{zc (1)
Lx
Lx
" 3
#
2
2
LS
L
S
h1
h21
1
1
2
(1)
~ e
zc kz 2 k2 zc {*k
{hw
Lx
Lx
3
2
3
2
LS1
h
h
~ e2
*k 1 {hw 1 {k2 zc (1)
Lx
3
2
4
h
h3
~ e2 k2 zc (2) {*k 1 {hw 1
8
6
~ 0
~ 0
LS LS1
h1 h22
Lh1 h32 hh22
LS1 hw h21 h31
ze2 *k
z
{
z
{
~ {e2 k2 zc (1)
hh1 h2 {
Lx
2
Lx 3
2
Lx
2
3
Lx
4
3
h1 h1 h32
h1 h1 h22
2
2
(2)
z
{hw
z
~ e k2 zc {e *k
8
3
6
2
LS1
2
~ e zc k
Lx
3
h
h2
~ e2 k2 zc (1) {*k 1 {hw 1
3
2
"
"
2
#
#
2
LS 2 h32
L2 S h4
LS
L
S
L LS1
h2
h3
1
1
h1 ze2 *o
{h 2 { 2 2 {h 2
~ e2 o1
zc (1) { 2 zc (2) {Mk
Lx Lx
Lx
Lx
3
2
8
6
Lx
Lx
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608
607
608
S. E. Medvedev and Yu. Yu. Podladchikov
Table A3. Dì-related integrated functions.
"
#
3
L3 S1 . H 3
LS1
LS1 L2 S1 . 3H 2
Hz
{
Lx3
6
Lx
Lx Lx2
2
"
!
#
3
3
3
2
LS LS1 Lh1 L2 h1 h2
L h1 h2
Lh1
L S1 h1 H
L2 S1 LS1
Lh1 h2
z
{
h
ze3 dk h2
z3
h
{
{
z3
2
1
Lx3 6
Lx
Lx3 2
Lx2 2
Lx2 Lx
Lx 2
Lx Lx Lx
" "
#
#
2 2
2
2
LS1 H
L2 S1 . H 3
LS1
L2 S1 . h1 H LS1 Lh1
Lh1 h2 L2 h1 . h22
3
3
{
{ 2
h2 {
z 2
e
h1 { 2
ze dk h2
2
Lx
2
Lx
6
Lx
Lx
Lx Lx
Lx
2
Lx
6
3
2
LS1 H
Lh1 h2 LS1 h1 H
{e3
ze3 dk h2
{
Lx 6
Lx 6
Lx 2
4
H
h
h
2
1
e3
ze3 dk h1 h22
z
24
6
4
"
"
3 #
3 2
2
L3 S1 (2)
LS1
L3 h1 h22
h2
Lh1
2h2
L3 S1 h21 h22 h1 h32
h1 h2 H
3 LS1 L S1
3
(1)
{h
z
{hh2 {
z
{h
e
zc { 3 zc {
zc z e dk h2
2
3
3
2
Lx Lx
Lx
Lx
Lx
8
6
Lx
3
Lx
4
3
2
!
2
#
2
2
LS LS1 Lh1 h2
L h1 h2
h2
L S1 LS1
h2
Lh1 h2
h2
z3 z3
{h { 2
{h
h1
{h {
{h
Lx Lx Lx 2
Lx
3
2
Lx2 Lx
2
Lx 3
2
"
#
" 2 2
2
2
2
2
3
LS1
L S1
LS1
h2
L S1 h1 h2 h1 h2
h1 h2 H
LS1 Lh1 2h22
{
{h h1 { 2
z
{h
{hh2
e3
zc (1) { 2 zc (2) ze3 dk h2
2
Lx
Lx
Lx
2
Lx
4
3
Lx Lx
3
2 2
2
#
2
Lh1
h2
h2
L h1 h2
h2
{
{h
z 2
{h
Lx
3
2
Lx
8
6
2 2
2
LS
Lh
h
h
LS
h1 h32
h1 h2 H
1
1
2
1 h1 h2
2
e3 zc (2)
ze3 dk h2
{h
{
z
{h
2
Lx
Lx 8
6
Lx
4
3
2
h
h
h
h
1
2
2
{h
zh1
e3 zc (3) ze3 dk h1 h22 2 z
8
3
6
Dìxxx
~ e3 {
Dìxx
~
Dìx
~
Dì
~
zcDìxxx
~
zcDìxx
~
zcDìx
~
zcDì
~
ß 1999 RAS, GJI 136, 586^608