3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
Objectives:
• Identify polynomial funtions and their degree.
•
Find polynomial functions from their zeros.
• Identify the zeros of a polynomial function and their multiplicity.
1

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
2

3.2 Polynomial Functions & Models 2011
Warm­up :
What is the domain?
The domain is the set of all real numbers.
What is the degree?
The degree is the largest power of x that appears.
March 04, 2011
3

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
Objectives:
•
Find polynomial functions from their zeros.
• Identify the zeros of a polynomial function and their multiplicity.
4

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
Determine which of the following are polynomial functions.  For  those that are, state the degree; for those that are not, tell why not.
1.  f(x) = 7x
2
+ 3x
4
Yes, degree 4
2.
f(x) = ­3x
2
(4x ­ 1) Yes, degree 3
3.
f(x) =  √ x + 8
4.
f(x) = 4x
2
(x + 3)
3
5.
f(x) =  x
2
+ 3 x
3
­ 5
No, x is raised to the
1
/
2
power.
Yes, degree 5
No, the degree in the denominator is +3
5

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
Objectives:
• Identify polynomial funtions and their degree.
• Identify the zeros of a polynomial function and their multiplicity.
6

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
EXAMPLE 1:
Find a polynomial of degree 3 whose zeros are ­4, 2 and 3
*If ­4 is a zero of a polynomial, then x + 4 is a factor of that polynomial.
*If 2 and 3 are zeros, then x ­ 2 and x ­ 3 are also factors.
*Therefore, this polynomial function is of the form f(x) = a(x + 4)(x ­ 2)(x ­ 3) where a is any nonzero real number.
*The value of a causes a stretch, compression or reflection but does not  affect the x­intercepts so we say...
f(x) = (x + 4)(x ­ 2)(x ­ 3)    for a = 1
*Remember to simplify: f(x) = x
3
­ x
2
­ 14x + 24  for a = 1
7

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
EXAMPLE 2:
Find a polynomial of degree 3 whose zeros are ­3 multiplicity 2 and 5 multiplicity 1
*Multiplicity ­ describes the number of times the factor occurs f(x) = a(x + 3) 2 (x ­ 5) f(x) = x 3  + x 2  ­ 21x ­ 45 for a = 1
8

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
Objectives:
• Identify polynomial funtions and their degree.
• Find polynomial functions from their zeros.
9

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
Identify the zeros and their multiplicities.
1.
f(x) = 3(x ­ 2)(x + 1)
3
2 multiplicity 1
­1 multiplicity 3
2.
f(x) = ­4(x +
1
/
2
)
2
(x ­ 5)
3
­
1
/
2
multiplicity 2
5 multiplicity 3
3.
f(x) = (x ­  √ 2)
2
(x ­ 4)
4
√ 2 multiplicity 2
4 multiplicity 4
10

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
Multiplicity:
Even ­ graph touches x­axis at the zero
*Sign of f(x) does not change from one side of the  zero to the other side of the zero.
Odd ­ graph crosses x­axis at the zero
*Sign of f(x) changes from one side of the  zero to the other side of the zero.
11

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
Determine whether the graph crosses or touches the x­axis at  each x­intercept.
1.
f(x) = 3(x ­ 2)(x + 1)
3 crosses at ­1 & 2
2.
f(x) = ­4(x +
1
/
2
)
2
(x ­ 5)
3 touches at ­
1
/
2
&  crosses at 5
3.
f(x) = (x ­  √ 2)
2
(x ­ 4)
4 touches at  √ 2 & 4
12

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
Power Function:
The power function of degree n is a function of the form f(x) = ax n where a is a real number, a  ≠  0, and n > 0 is an integer.
Examples: f(x) = 3x  degree 1 f(x) = ­5x
2 degree 2 f(x) = 8x
3 f(x) = ­5x
4 degree 3 degree 4
13

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
Find the power function that the graph of f resembles for large  values of |x|.
1.
f(x) = 3(x ­ 2)(x + 1)
3 f(x) = 3x
4
2.
f(x) = ­4(x +
1
/
2
)
2
(x ­ 5)
3 f(x) = ­4x
5
3.
f(x) = (x ­  √ 2)
2
(x ­ 4)
4 f(x) = x
6
14

3.2 Polynomial Functions & Models 2011 March 04, 2011
(12 ­ 22 even, 38 ­ 44 even, 46 ­ 56 even)
15