Module 9
Seasonal ARIMA (SARIMA) Models
Class notes for Statistics 451: Applied Time Series
Iowa State University
Machine Tool Shipments
1971
Year
1972
1973
Machine-Tool Shipments 1968-1975
1970
1974
9-1
9-3
1975
1967
1982
1969
1984
1985
1971
Module 9
Segment 1
1986
1973
Year
1987
Year
1975
1988
1989
1977
1990
1979
1981
1991
US Consumption of Gas and Oil 1967-1982
US Gas and Oil Consumption
1983
1992
Residential and Commercial Energy Consumption 1982-1993
Energy Consumption Data
9-6
1983
9-4
1993
9-2
Seasonal Time Series Examples and the SARIMA
Model
3000
Copyright 2015 W. Q. Meeker.
March 6, 2016
21h 15min
Seasonal Time Series
• “Periodic” is a better term; “seasonal” commonly used
• Seasonal (periodic) model with S observations per period
◮ Monthly data has 12 observations per year
◮ Quarterly data has 4 observations per year
◮ Daily data has 5 or 7 (or some other number) of observations per week.
1969
9-5
Quadrillion Btu
Billions of Dollars
• Notes:
◮ Sunspot data is cyclical, not seasonal, because distance
between peaks is random.
1968
◮ Just because we have 12 observations per year, does not
mean that there is seasonal behavior (e.g., stock prices
show no regular seasonal patterns)
Thousands of Dollars
2500
2000
80
60
40
20
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
10
8
6
4
2
Inches
Des Moines Precipitation
Time
1975
1980
Des Moines Precipitation
1970
Seasonal ARIMA Model (SARIMA)
No
Use the Model
Yes
Model
ok?
Diagnostic
Checking
Estimation
Tentative
Identification
Forecasting
Explanation
Control
Residual Analysis
and Forecasts
Least Squares or
Maximum Likelihood
Time Series Plot
Range-Mean Plot
ACF and PACF
Data Analysis Strategy
1985
9-7
9 - 11
9-9
By multiplying out the differencing terms, the SARIMA model
can be expressed in the ARMA form:
φp∗∗ (B)Zt = θq∗∗ (B)at .
The modeling problem is to choose a transformation (γ and
m), differencing (d and D), and the SARIMA model (p, q, P, Q)
for the working series Wt. As before, use tsplot, range-mean
plot, ACF and PACF.
θ1(B) = (1 − θ1B)
Θ2(B12) = (1 − Θ1B12 − Θ2B24)
φ1(B) = (1 − φ1B)
Φ1(B12) = (1 − Φ1B12)
For example using P = 1, p = 1, Q = 2, q = 1, S = 12 gives
ΦP (BS )φp(B)Wt = ΘQ(BS )θq (B)at
ΦP (BS )φp(B)(1 − B)d(1 − BS )D Zt = ΘQ(BS )θq (B)at
The SARIMA(p, d, q) × (P, D, Q)S model is
0
Seasonal Differencing
Zt = Zt−12 + Wt
Wt = (1 − B12)Zt = Zt − B12Zt = Zt − Zt−12
• Seasonal differencing is usually needed. For example,
or
Zt = Zt−1 + Zt−12 − Zt−13 + Wt
Wt = (1 − B)(1 − B12)Zt = Zt − Zt−1 − Zt−12 + Zt−13
• More generally, the “working series” is
Wt = (1 − B)d(1 − BS )D Zt
9-8
implemented, for example by iden(airline.tsd,gamma=0,d=1,D=1)
Even more generally (not supported by RTSERIES)
Wt = (1 − B)d(1 − BS1 )D1 (1 − BS2 )D2 Zt
and so on.
Module 9
Segment 2
9 - 10
Introduction to Seasonal Time Series Modeling
Revisiting the Airline Data
Strategy for Seasonal Time Series Modeling
• Plot data
• Use a range-mean plot to see if a transformation might be
needed; choose tentative γ value (and perhaps m > 0).
• Choose differencing scheme(s).
◮ Look at 3 × S + 3 lags on the ACF and PACF of Wt for
all combinations of d = 0, 1 and D = 0, 1.
◮ Go higher with d or D as needed.
◮ Choose the stationary Wt with the smallest d and D.
Avoid over-differencing
• Tentatively identify a model(s) from the ACF and PACF of
the chosen differencing scheme(s) [i.e., choose (p, d, q)(P, D, Q)].
• Fit, check, and compare models.
• Iterate as necessary
• At the end, choose alternative value of γ, if needed
9 - 12
1950
5.2
5.4
1952
5.6
Range-Mean Plot
1951
5.8
1953
1954
6.2
1955
time
0
0
1956
w= log(Thousands of Passengers)
International Airline Passengers
6.0
10
10
1957
1958
Lag
20
PACF
Lag
20
ACF
1959
30
30
1960
1954
1955
time
1956
0
1957
10
1958
International Airline Passengers
w= (1-B^ 12 )^ 1 log( Thousands of Passengers )
1953
30
1959
PACF
20
Lag
1960
30
1961
9 - 13
1961
Airline Data iden Output Log Transformation
No Differencing
esti(airline.tsd, gamma=0)
1949
5.0
Mean
1952
ACF
20
Lag
10
1950
Lag
20
1953
30
1954
1955
time
1956
0
1957
10
1959
Lag
20
PACF
1958
International Airline Passengers
w= (1-B)^ 1 log( Thousands of Passengers )
1952
ACF
1951
30
1960
1952
1953
30
1954
1955
1956
time
0
1957
1958
10
1959
Lag
20
PACF
International Airline Passengers
w= (1-B)^ 1 (1-B^ 12 )^ 1 log( Thousands of Passengers )
ACF
20
Lag
1960
30
1961
9 - 14
1961
Airline Data iden Output Log Transformation
One Regular Difference
esti(airline.tsd, gamma=0, d=1)
1949
0
1951
10
9 - 16
Use the un-
9 - 18
plot.true.acfpacf(model=list(ma=c(0.5,rep(0,10),0.9,-0.45)),nacf=38)
plot.true.acfpacf(model=list(ma=c(0.5,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0.9,-0.45)),nacf=38) or
• plot.true.acfpacf() RTSERIES function. For example
• PACF computed using the same Yule-Walker based “Durbin
formula” as in the nonseasonal models
• Formula sheets from Box and Jenkins give the ACF. Note
the use of special cases (e.g., setting θ = 0 in model 1
gives the ACF of a particularly simple seasonal model Wt =
−Θ1at−S + at)
• Derivations similar to nonseasonal models.
scrambled form of the model for Wt.
Methods of Obtaining the True ACF and PACF for
Seasonal Models
0
1950
Airline Data iden Output Log Transformation
Regular and Seasonal Difference
esti(airline.tsd, gamma=0, d=1, D=1)
Partial ACF
Partial ACF
4.8
1951
10
9 - 15
1.0
0.0
-1.0
Airline Data iden Output Log Transformation
One Seasonal Difference
esti(airline.tsd, gamma=0, D=1)
1950
0
Module 9
Segment 3
True ACF and PACF for Seasonal Time Series
SARIMA Models
9 - 17
1.0
0.0
-1.0
0.2
0.0
-0.2
1.0
0.0
-1.0
0.10
w
ACF
w
ACF
1.0
0.5
0.0
-1.0
1.0
0.5
0.0
-1.0
ACF
Partial ACF
Partial ACF
0.0
-0.15
1.0
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
6.5
6.0
5.5
5.0
0.45
0.40
0.35
w
Range
w
ACF
0.2
0.0
1.0
0.0
-1.0
10
10
True ACF
20
ma: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.9
Lag
True PACF
20
ma: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.9
Lag
True ACF
20
ar: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9
Lag
True PACF
ar: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9
20
30
30
30
30
9 - 23
0
0
0
0
10
10
True ACF
20
ma: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9
Lag
True PACF
Lag
20
30
30
Wt = Φ1Wt−12 + at
ma: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9
γ0 = E(Wt2) =
σa2
,
2
1 − Φ1
j > 12.
= γ2 = · · · = γ11 = 0
−1 < Φ1 < 1
γ12 = E(WtWt+12) = Φ1γ0
γ1
γj = Φ1γj−12,
ρj = γj /γ0
ρ1 = ρ2 = · · · = ρ11 = 0
j > 12.
ρ12 = γ12/γ0 = Φ1
ρj = Φ1ρj−12,
10
10
True ACF
20
ar: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.9
Lag
True PACF
20
ar: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.9
Lag
30
30
9 - 24
True ACF and PACF for Wt = +Φ1Wt−12 + at with
Φ1 = −0.9
plot.true.acfpacf(model=list(ar=c(rep(0, 11), -0.9)),
nacf=38)
9 - 22
This is a special case of Model 2 from the Box and Jenkins
formula sheet with θ1 = Θ1 = 0.
Example: (1 − Φ1B12)Wt = at,
9 - 20
True ACF/PACF for Wt = −Θ1at−12 + at , Θ1 = 0.9
plot.true.acfpacf(model=list(ma=c(rep(0, 11), +0.9)),
nacf=38)
True ACF
Example: Wt = (1 − Θ1B12)at = −Θ1at−12 + at
This is a special case of Model 1 from the Box and Jenkins
formula sheet with θ1 = 0. Everything is easy to derive.
γ1 = γ2 = · · · = γ11 = 0
2 2
γ0 = E(Wt2) = (1 + Θ1
)σa
9 - 19
γ12 = E(WtWt+12) = E[(−Θ1at−12 + at)(−Θ1at + at+12)]
= 0 + · · · + 0 + E(−Θ1at2) = −Θ1σa2
γ13 = γ14 = · · · = 0
ρj = γj /γ0
ρ1 = ρ2 = · · · = ρ11 = 0
j > 12.
2
ρ12 = γ12/γ0 = −Θ1/(1 + Θ1
)
ρj = 0,
10
10
9 - 21
True ACF/PACF for Wt = −Θ1at−12 + at, Θ1 = −0.9
plot.true.acfpacf(model=list(ma=c(rep(0, 11), -0.9)),
nacf=38)
0
0
0
0
Lag
1.0
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
1.0
True ACF and PACF for Wt = +Φ1Wt−12 + at with
Φ1 = 0.9
plot.true.acfpacf(model=list(ar=c(rep(0, 11), +0.9)),
nacf=38)
1.0
True PACF
True ACF
True PACF
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
True ACF
True PACF
True ACF
True PACF
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
10
10
Module 9
Segment 4
True ACF
20
ma: 0.1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9, -0.09
Lag
True PACF
20
ma: 0.1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9, -0.09
Lag
30
30
9 - 25
9 - 27
Example: Wt = (1 − θ1B)(1 − Θ1B12)at
This is Model 1 from the Box and Jenkins formula sheet.
Wt = (1 − θ1B)(1 − Θ1B12)at
= −θ1at−1 − Θ1at−12 + θ1Θ1at−13 + at
= (1 − θ1B − Θ1B12 + θ1Θ1B13)at
This is like an MA(13) and, again, everything is easy to derive. For example,
γ11 = E(WtWt−11)
= θ1Θ1σa2
9 - 26
= 0 + 0 + · · · + E[(−Θ1at−12)(−θ1at−12)] + 0 + · · ·
γ1 =
γ0 =
γ13 =
γ12 =
0
0
0
0
10
10
True ACF
20
ma: 0.5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9, -0.45
Lag
True PACF
20
ma: 0.5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9, -0.45
Lag
True ACF
Lag
20
ma: -0.5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.9, -0.45
10
True PACF
Lag
20
ma: -0.5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.9, -0.45
10
30
30
30
30
9 - 30
True ACF/PACF for Wt = (1 − θ1B)(1 − Θ1B12)at,
θ1 = −0.5, Θ1 = −0.9
plot.true.acfpacf(model=list(ma=c(-0.5,rep(0,10),-0.9,-0.45)),nacf=38)
9 - 28
True ACF/PACF for Wt = (1 − θ1B)(1 − Θ1B12)at,
θ1 = 0.5, Θ1 = 0.9
plot.true.acfpacf(model=list(ma=c(0.5,rep(0,10),0.9,-0.45)),nacf=38)
True ACF
True ACF and PACF for the Airline Model
Coefficients for the Multiplicative Model
Expressed as an MA(13)
W = (1 − θ1B)(1 − Θ1B12)at
t
= (1 − θ1B − Θ1B12 + θ1Θ1B13)at
= −θ1at−1 − Θ1at−12 + θ1Θ1at−13 + at
= −θ1at−1 − θ12at−12 − θ13at−13 + at
θ13 = −θ1 × Θ1 = −0.45
θ12 = Θ1 = 0.90
θ1 = θ1 = 0.50
The coefficients for this model are:
0
0
9 - 29
1.0
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
1.0
True ACF/PACF for Wt = (1 − θ1B)(1 − Θ1B12)at,
θ1 = 0.1, Θ1 = 0.9
plot.true.acfpacf(model=list(ma=c(0.1,rep(0,10),0.9,-0.09)),nacf=38)
1.0
True PACF
True ACF
True PACF
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
True ACF
True PACF
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
10
10
9 - 33
0
0
10
Lag
20
True PACF
20
ar: 0.1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9, -0.09
Lag
True ACF
Lag
20
30
30
30
ma: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9 ar: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.9
10
True PACF
Lag
20
30
ma: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9 ar: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.9
10
Module 9
Segment 5
9 - 36
Comparison of Models for the Airline Data Using the
Log Transformation
9 - 34
True ACF/PACF for (1 − Φ1B12)Wt = (1 − Θ1B12)at ,
Φ1 = −0.9,Θ1 = 0.9
model=list(ar=c(rep(0,11), -0.9), ma=c(rep(0, 11), +0.9))
9 - 32
True ACF/PACF for (1 − φ1B)(1 − Φ1B12)Wt = at ,
φ1 = 0.1, Φ1 = 0.9
plot.true.acfpacf(model=list(ar=c(+0.1,rep(0,10),+0.9,-0.09)),nacf=38)
0
True ACF
30
30
30
30
30
10
ar: 0.1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9, -0.09
20
20
20
0
True ACF
20
30
ar: 0.5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9, -0.45
Lag
True PACF
20
ar: 0.5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9, -0.45
Lag
9 - 31
True ACF/PACF for (1 − φ1B)(1 − Φ1B12)Wt = at ,
φ1 = 0.5, Φ1 = 0.9
plot.true.acfpacf(model=list(ar=c(+0.5,rep(0,10),+0.9,-0.45)),nacf=38)
0
0
True ACF
20
ar: -0.5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.9, -0.45
10
Lag
True PACF
Lag
ar: -0.5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.9, -0.45
10
Lag
1.0
0.0
-1.0
1.0
True ACF/PACF for (1 − φ1B)(1 − Φ1B12)Wt = at ,
φ1 = −0.5, Φ1 = −0.9
plot.true.acfpacf(model=list(ar=c(-0.5,rep(0,10),-0.9,-0.45)),nacf=38)
0
0
10
10
ma: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.9 ar: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9
True PACF
Lag
ma: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.9 ar: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.9
True ACF
True ACF/PACF for (1 − Φ1B12)Wt = (1 − Θ1B12)at ,
Φ1 = 0.9,Θ1 = −0.9
model=list(ar=c(rep(0,11), +0.9), ma=c(rep(0, 11), -0.9))
0
0
9 - 35
1.0
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
True ACF
True PACF
True ACF
True PACF
1.0
1.0
0.0
-1.0
True ACF
True PACF
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
True ACF
True PACF
True ACF
True PACF
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
Airline Passenger Model Summary Table
•••
•••••
••••
1952
•••
• •
••••• •
••
International Airline Passengers
Model: Component 1 :: ar: 1 on w= log( Thousands of Passengers )
•
•
• •
• •• •
• •
•
•
•
• •••
•
•••
•
••
•
• •••
•
•••
1956
Index
Residuals
0.0
•
••
•
• •••
•
0.1
•••
•
•
•
1958
• •• •••
• •
•
0.2
••
•
•
••
••
• ••
•••
• •••
•••
••••
••••
•••••
••••
••••
••• •
••••
•••
•••••
•••••
••••
Normal Probability Plot
-0.1
••• •• •
•••••
• •••
•••
•••
••
•••
••
••
••
••
•
••
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
••••
•• •
•••••
1954
•
-0.2
•
•
•
•
• •
••
•
•
••
•
• ••••
1960
•
••
•
••
•
•
•
•••
1962
•••••••
••••••
9 - 37
9 - 39
•••••••••
Airline Data esti AR(1)
Log Transformation (Model 1) Output Part 2
1950
• ••••• •••••••
•• ••
•
•
•
1949
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
1950
•
•
•
•
•
•••
•
1951
•
•
•
••
•
••
•
•
• •
•
•
•
1952
• •
••
•
• •
•••• •
•
•
•
1953
• •
•
•••
•
•
••
• •• •
•
International Airline Passengers
•
•
••
•
•
• ••
• •
••
•
•
6.0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Time
1955
Residuals vs. Time
•
1954
•
•
••
•
•
6.5
1956
0
1957
10
1958
Model: Component 1 :: ndiff= 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( Thousands of Passengers )
•
•
•
•
• •• •
• •
•
•
•
•
Residuals vs. Fitted Values
•
•
•
•• •
••
•
•
• •
•
Fitted Values
5.5
1959
Residual ACF
20
Lag
1960
30
1961
9 - 41
Residuals
•
•
1949
•
•
•• •
•
•
•
•
•
•
1950
•
•
•
••
• •
•
•
•
•
1951
•
•
•
••
•
• •
••
•
•
•
•
•
•
•••
•
•
•
•
•
• •
• •
1952
•
•
• •
•
• •
••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• ••
•
•
•
••
International Airline Passengers
• •
•
•
•
••
•
••
•
••
•
•
•
•
•
•
1954
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Time
1955
Residuals vs. Time
•
•
1956
0
1957
Model: Component 1 :: ar: 1 on w= log( Thousands of Passengers )
•
•
1953
•
•
•
•
•
•
••
• •
•
•
•
Residuals vs. Fitted Values
•
•
•
•
• ••
•
•
• •
• •
•
6.0
10
1958
Lag
20
Residual ACF
1959
30
1960
9 - 38
1961
Airline Data esti AR(1)
Log Transformation (Model 1) Output Part 1
esti(airline.tsd, gamma=0, model=model.pdq(p=1),
y.range=c(100, 1100))
•
•
•
5.5
Fitted Values
has three parameters.
•
1949
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1950
•
••
•
•
5.0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•• •
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
1952
•
•
• •
• •
••
•
1953
International Airline Passengers
•
•
•
1954
•
•
•
•
•
• • • •
•
• •
•
•
••
• •• •
••
••
•• •
• •
• ••
•
•
• •
•• • •
•• •
•
• •
•
•
• •
• •
•
6.0
•
••
•
•
Time
1955
Residuals vs. Time
•
6.5
1956
0
1957
10
1958
Lag
1959
20
Residual ACF
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( Thousands of Passengers )
•
•
• •
•
Fitted Values
5.5
•
•
Residuals vs. Fitted Values
1951
30
1960
9 - 42
1961
Airline Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12
Log Transformation (Model 4) Output Part 1
esti(airline.tsd, gamma=0, model=model.pdq(d=1, q=1, D=1,
Q=1), y.range=c(100, 1100))
9 - 40
Zt = Zt−1 + Zt−12 − Zt−13 − θ1at−1 − θ12at−12 − θ13at−13 + at
and has only 2 parameters. The unscrambled additive “airline
model” for Zt is
Zt = Zt−1 + Zt−12 − Zt−13 − θ1at−1 − Θ1at−12 + θ1Θ1at−13 + at
The unscrambled multiplicative “airline model” for Zt is
= −θ1at−1 − Θ1at−12 + θ1Θ1at−13 + at
Wt = (1 − θ1B)(1 − Θ1B12)at
Model for the working series Wt
= Zt − Zt−1 − Zt−12 + Zt−13
Wt = (1 − B)(1 − B12)Zt
Differencing d = 1 and D = 1 to give the working series
5.0
1.0
0.2
0.1
0.0
-0.1
-0.2
0.2
0.1
0.0
-0.1
0.5
0.0
-0.5
The “Airline Model”
ACF
ACF
Airline Data esti SARIMA(0, 1, 0)(0, 1, 1)12
Log Transformation (Model 3) Output Part 1
esti(airline.tsd, gamma=0, model=model.pdq(d=1, D=1, Q=1),
y.range=c(100, 1100))
•
•
5.0
ACF
-1.0
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
Normal Scores
-0.2
0.10
0.05
2
1
0
-1
-2
1000
800
600
400
200
0.10
0.05
Residuals
Residuals
Residuals
0.0
-0.05
-0.10
0.10
0.05
0.0
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-0.05
-0.10
Thousands of Passengers
Residuals
Residuals
0.0
-0.05
-0.10
0.10
0.05
0.0
-0.05
-0.10
1950
•••
•••••
••••
•
•
•
•
•
1950
•
•
•• •
•
•
• •
1951
•
•
••
•
•
• ••
•
••
•
•
•
1953
• •
•
• •• •
• •
•
••
•
• •••
•
•••
•
••
•
• •••
•
•••
•
••
•
• •••
•
•••
•
•
•
•
•
••
1958
• •• •••
• •
•
•
0.10
International Airline Passengers
•
•
• •
•
••
• •
• ••
•
•
•
•
•
1954
•
•
•• •
•
••
•
•
••
•
•
Time
1955
Residuals vs. Time
•
•••
•
••
•
• •••
•••
1956
•
•
••
•
1956
• •••
•
•••
•
••
•
1958
•
••
1957
• •• •••
• •
•
•
••
•
•
•
•
•
•
• •
10
•
• •
•••
•
••
•
1958
•••
•
••
•
• ••••
•
1960
••
Lag
•
•
•
1959
20
•••
Residual ACF
• ••••
•
1960
••
•
••
•
•
•
•••
••
••
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•••
30
1960
•
•
•
•••
••
••
1962
•
•
•
•
••
••
•
•
•
•
•
•
9 - 45
1961
•
•
•••••
••••
1952
•••
• •
••••• •
•
••••
•• •
•••••
••
•
•
• •
• •• •
• •
1954
•
•
•
-0.2
••
•
• •••
•
•••
•
••
•
• •••
•••
1956
•
Index
Residuals
0.0
•
••
•
• •••
•
0.1
•••
•
•
•
1958
• •• •••
• •
•
0.2
••
•
•
••
••
• ••
•••
• •••
•••
••••
••••
•••••
••••
••••
••• •
••••
•••
•••••
•••••
••••
Normal Probability Plot
••• •• •
••••
•••
••• •
•••
• ••
••
•••
••
••
••
-0.1
•
••
•
•
•
•
• •
•••
•
••
•
1960
• ••••
•
••
•
••
•
•
•
•••••
••••••••••
1962
•••••••
9 - 44
•••
Airline Data esti AR(1)
Log Transformation (Model 1) Output Part 2
•••
•••••
••••
••
•
International Airline Passengers
• •
• •• •
• •
•
••
•
•••
•
-0.05
••
•
• •••
•••
1956
•
Index
Residuals
0.0
•
••
•
• •••
•
0.05
•
••
0.10
•••
•
•
•
• •
••
••
•••
•••
••
••
•••
••••
•••
•••••
•••
•••
••••
••
••••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•• •
••
••
••
•
Normal Probability Plot
• •••
•
1958
• •• •••
• •
•
•
•
••
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
••••
•• •
•••••
1954
•
-0.10
•
•
•
•
• •
•••
•
••
•
1960
• ••••
•
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 12 13 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 on w= log( Thousands of Passengers )
1952
•••
• •
••••• •
•
••
•
••
•
•
•
•••
••
•
•
••
•
• ••
•
•
••
1962
Airline Passenger Model Summary Table
1950
• ••••• •••••••
•• ••
•
•
•
••
•
•
•
9 - 48
9 - 46
•
Airline Data esti Additive Airline Model
Log Transformation (Model 5) Output Part 2
•••
International Airline Passengers
1952
•
•• •
•••
••
••
•• • •
•
• •••
•
•
•
•
•
0.10
1950
Model: Component 1 :: ar: 1 on w= log( Thousands of Passengers )
•
• •
••
• ••
•• •
•••
•
6.5
0
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 12 13 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 on w= log( Thousands of Passengers )
•
•
•
6.0
International Airline Passengers
• •
• •• •
• •
Index
••
••
•••
••
0.05
• ••••• •••••••
•• ••
•
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
• •
• •• •
• •
••
••
•••
••
0.05
1962
International Airline Passengers
••
•
1956
Index
Residuals
0.0
••
••••
•••
•••
•••••
••••
••••
••••
••
••
••••
••
•••
•••
••••
••
••
••••
•••
•••
• •
Normal Probability Plot
•
••
•
-0.05
9 - 43
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
••••
•• •
•••••
1954
•
-0.10
•
1000
800
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( Thousands of Passengers )
1952
•
•
•
•
Residuals vs. Fitted Values
•
•
••• •
•
•
• •
Fitted Values
5.5
••
•
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
••••
•• •
•••••
1954
Residuals
0.0
••
••••
•••
•••
•••••
••••
••••
••••
••
••
••••
••
•••
•••
••••
••
••
••••
•••
•••
• •
Normal Probability Plot
•
••
•
-0.05
•
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( Thousands of Passengers )
1952
•••
• •
••••• •
•
-0.10
2
1
0
-1
•••
• •
••••• •
•
••
Airline Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12
Log Transformation (Model 4) Output Part 2
•
•
••
•
•
•
•
••••
•
9 - 47
Normal Scores
Normal Scores
• ••••• •••••••
•• ••
•
•
1949
•
•
•
•
•
•
•••••
Thousands of Passengers
Thousands of Passengers
600
400
200
1000
800
Airline Data esti Additive Airline Model
Log Transformation (Model 5) Output Part 1
esti(airline.tsd, gamma=0, model=add.airline.model,
y.range=c(100,1100))
•
5.0
1950
•••
Airline Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12
Log Transformation (Model 4) Output Part 2
ACF
-2
2
1
0
-1
-2
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
600
Normal Scores
Normal Scores
• ••••• •••••••
•• ••
•
2
1
0
-1
-2
400
200
2
1
0
-1
-2
1000
800
600
400
200
0.10
0.05
0.0
-0.05
-0.10
0.10
Thousands of Passengers
Residuals
Residuals
Thousands of Passengers
0.05
0.0
-0.05
-0.10
1000
800
600
400
200
Module 9
Segment 6
9 - 49
Comparison of Models for the Airline Data Using
Alternative Transformations
•
1950
•
•
•
1951
•
••
•
•
•
••
•
••
••
•
•
•
1953
•
•
• •
•
•
International Airline Passengers
•
•
500
•
•
•
1954
•
•
Time
1955
Residuals vs. Time
•
600
1956
0
1957
10
1958
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Thousands of Passengers
1952
•
•
•
•
•
•
Residuals vs. Fitted Values
•
•
•
• ••
•
•
• ••
•
•
••
400
Fitted Values
••
•
International Airline Passengers
• •
• •• •
• •
•
••
•
• •••
•
•••
•
••
•
Index
•••
1956
•
• •••
•
••
•
• •••
•
•••
•
••
•
1958
• •• •••
• •
•
••
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
••••
•• •
•••••
1954
•
•
•
•
•
• •
•••
•
••
•
Lag
1959
20
Residual ACF
1960
• ••••
•
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( Thousands of Passengers )
1952
•••
• •
••••• •
•
•
•
•
0.10
••
•
••
•
•
•
•••
••
•
•
••
30
1960
•
•
•
•••
••
1962
•
•
••
•
•
9 - 51
1961
•
•
Airline Passenger Model Summary Table
1950
• ••••• •••••••
•• ••
•
•••
•••••
••••
1952
••
•
International Airline Passengers
• •
• •• •
• •
•
••
•
•
•
• •
•••
•
••
•
• •••
•••
1956
•
Index
Residuals
0
•
••
•
•••
••••
•••
••••
•••••
•••
•••
••
•••
••
•••
•••
•••
••••
••
•••
•••
•••
•••
••
•
• •••
•
20
•
•
• •
••
••
•••
••
•
Normal Probability Plot
• •••
•
•••
•
•
1958
• •• •••
• •
•
40
••
•
••
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
••••
•• •
•••••
1954
•
-20
•
•
•
•
• •
•••
•
••
•
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Thousands of Passengers
•••
• •
••••• •
•
1960
• ••••
•
••
•
••
•
•
•
•••
•
••
•
••
•
•
•••
•
1962
•
••
•
••
•
•
•
Airline Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12
No Transformation (Model 7) Output Part 2
•
1949
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
1950
•
•
•
•
•
•
•
••
-0.18
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•• •
•• •
•
1952
•
•• •
••
•
•
•
•
• •
•
•
•
1953
•
••
•
•
••
••
•
International Airline Passengers
•
•
• •
• •••
••
•
•
•
•• •• •
-0.14
•
•
•
1954
•
•
•
•
•
•
Time
1955
Residuals vs. Time
•
•
•
•
•• • • •• •
••
•
•
• •• •
•
•
•
•
-0.12
1956
0
1957
10
1958
Lag
1959
20
Residual ACF
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 12 13 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 on w= -( Thousands of Passengers ) ^ -0.3333
•
•• • •
•
•
•• •
Fitted Values
-0.16
•
Residuals vs. Fitted Values
1951
30
1960
9 - 50
•
9 - 52
9 - 54
1961
Airline Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12
γ = −0.333 Transformation (Model 6) Output Part 1
esti(airline.tsd, gamma=-0.333, model=model.pdq(d=1, q=1,
D=1, Q=1), y.range=c(100, 1100))
Normal Scores
Airline Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12
No Transformation (Model 7) Output Part 1
esti(airline.tsd, gamma=1, model=model.pdq(d=1, q=1, D=1,
Q=1), y.range=c(100, 1100))
•
•
•
•
•
••
•• •
• • •
300
••••
••
••
•••
••
0.05
2
1
0
-1
-2
1949
•
•
•
•
••
•• •
•
•
••
•
• • •• • •
• •
•
•
•• • •
•
• ••• •
• • • • • • • ••
••• •
•
• •
••
• •
• •
•
•
•
•
•
•
•••••
Residuals
0.0
••
••••
•••
•••
•••••
••••
••••
••••
••
••
••••
••
•••
•••
••••
••
••
••••
•••
•••
• •
Normal Probability Plot
•
••
•
-0.05
-0.20
ACF
ACF
1000
800
600
40
20
0
-20
40
400
200
0.006
0.002
200
•••
•
-0.10
Thousands of Passengers
Residuals
Residuals
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
Airline Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12
Log Transformation (Model 4) Output Part 2
1950
•
9 - 53
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
• ••••• •••••••
•• ••
•
Normal Scores
-0.002
-0.006
0.006
0.002
-0.002
-0.006
2
1
0
-1
-2
Residuals
Residuals
Thousands of Passengers
20
0
-20
1000
800
600
400
200
•••
•••••
••••
•••
•
••
•
• •••
•••
•
••
•
• •••
•
•••
•
••
•
• •• •••
• •
•
••
•
•
•
•
• •
•••
•
••
•
• ••••
•
••
•
•
•
•
• •
••
•
•
••
•
•
•
•
• •
••
•
50
•
••
•
•
•
•
600
400
200
•••••
••••
1952
•••
• •
••••• •
•
••••
•• •
•••••
••
•
•
••
•
•
-0.10
• •
• •• •
• •
1954
•
• •••
•
•••
•
••
•
• •••
•••
1956
•
Index
Residuals
0.0
•
••
•
• •••
•
••
••
•••
••
0.05
••
••••
•••
•••
•••••
••••
••••
••••
••
••
••••
••
•••
•••
••••
••
••
••••
•••
•••
• •
Normal Probability Plot
•
••
•
-0.05
•••
•
•
•
•
Module 9
•
••
1958
• •• •••
• •
•
•
0.10
Segment 7
•
••
•
•
•
•
• •
•••
•
••
•
• ••••
•
1960
••
•
••
•
•
•
•••
••
•
•
••
•
•
•••
••
1962
•
•
•
••
•
•
•
9 - 56
•
Airline Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12
Log Transformation (Model 4) Output Part 2
0
10
30
ACF
20
Lag
30
40
Simulated Time Series #B
w= (1-B)^ 1 (1-B^ 12 )^ 1 Sales
time
0
10
PACF
20
Lag
30
50
9 - 60
Graphical Output from Function iden for Simulated
Series #B with 1 Regular and 1 Seasonal Difference
9 - 58
Seasonal Differencing of Nonseasonal Data Can be
Misleading
•••
International Airline Passengers
•
1960
30
1950
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
••
•
1958
PACF
20
Lag
• ••••• •••••••
•• ••
•
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( Thousands of Passengers )
•
• •••
•
•
10
Normal Scores
• •
• •• •
• •
•
1962
International Airline Passengers
••
•
1956
Index
•
•
•
••
••
•• •
••
•••
••
••••
•••
••••
••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
••••
••
•••
•••
•••
•••
•••
••
• •
Normal Probability Plot
••
0.006
9 - 57
9 - 55
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
••••
•• •
•••••
1954
•
•
0.002
Residuals
-0.002
•
1000
800
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 12 13 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 on w= -( Thousands of Passengers ) ^ -0.3333
1952
-0.006
40
Simulated Time Series #B
w= (1-B)^ 1 Sales
time
0
2
1
0
-1
-2
•••
• •
••••• •
•
••
Airline Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12
γ = −0.333 Transformation (Model 6) Output Part 2
1950
30
30
Partial ACF
10
• ••••• •••••••
•• ••
•
ACF
20
Lag
Partial ACF
-10
-30
1.0
Normal Scores
Airline Passenger Model Summary Table
10
Thousands of Passengers
w
ACF
2
1
0
-1
-2
1000
800
600
400
200
Graphical Output from Function iden for Simulated
Series #B with 1 Regular Difference
0
9 - 59
1.0
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
0.0
-1.0
Thousands of Passengers
w
ACF
0 10
-20
1.0
0.0
-1.0
•
•
• ••
•
• •
•
•
••• •• • ••
• ••
•
•• •
•
•••
•• •
•
•••
• •
•
• • •
•
•
30
••
•
•
••
••
•
•
•
•
• •
•
•
• •
•• •
••••
•
•• •••
•
•• •••
•
•
•
• •• •
•
•
•
•
•••
••
•
•• ••
•• •
•
•
• • ••• •• •
• • •
•
•
50
••
•
•••••••••••••••••••••••••
•
•
•
••• •• • ••
• ••
•
•• •
•
•••
• •
•
• • •
•
•
•
••
•
•• ••••
•
•
•
•• •• • •
•
•
•
•
•••
-30
•
••
•
•
••
••
•
•
•
•
• •
•
•
•
Index
•
•• •
Residuals
-10
0
••••
40
20
•
•
•
•• •••
•
•• •••
•
10
•
••
• •
•••
••
••
••••
••••
••
••••
••••
••••
••••
•••••
•••
••••
••
•••
••••
•••
•••
•••
••
•••••
• ••
•••
••
••
Normal Probability Plot
•
•
-20
•
Module 9
Segment 8
•
• •• •
•
•
•
•
•••
••
•
•• ••
•
•• •
•
50
•
• • ••• •• •
• • •
•
••
•
•••••••
•••••••••••
•
1955
1956
1957
1958
50
Range-Mean Plot
40
1959
1961
time
1963
10
1965
0
10
w= Billions of Kilowatt-hours
1962
0
1964
Ohio Electric Power Consumption
1960
60
1966
ACF
1967
20
Lag
PACF
20
1968
1969
30
1970
9 - 66
1971
9 - 64
9 - 62
••••••
Function esti Output for Simulated Series #B
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Model—Part 2
•
30
••
Simulated Time Series #B
•
•
1954
30
Lag
30
Ohio Power Consumption Data iden Output
No Transformation and No Differencing
iden(ohio.tsd, gamma=1)
Ohio Power Example Model Identification
•••
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•••
•
••
20
9 - 61
9 - 63
•• •
•
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Sales
•
40
10
1968
• ••
•
• •
Simulated Time Series #B
•
Index
Residuals
0
••
•••
•••
••
•••
• ••
•••
•••
•••
•••
••••
••••
•••
••••
•••••
• •••
••••
•• •
• ••
•••
•••
•••
••
•••
Normal Probability Plot
•
••
••
-10
1966
•
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 on w= Sales
•
•
•
•• •• • •
•
•
•
= (1 − B12)at
= −a12 + at
1964
20
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
••
-20
•
Seasonal Over-Differencing
1962
Normal Scores
•
••
•
•• ••••
Function esti Output for Simulated Series #B
SARIMA(0, 1, 1)(0, 0, 0)12 Model—Part 2
•
Assume that
(1 − B)Zt = at
so that Zt has a random walk model. Then
Wt = (1 − B)Zt = at
12
)(1 − B)Zt
1960
Ohio Electric Power Consumption
1958
1970
will follow a “trivial model” and we will not expect to see
anything in the ACF/PACF. What if we take seasonal differences?
Wt = (1 − B
1956
Ohio Power Consumption Data
which is a noninvertible MA(12)!
1954
2
1
0
-1
-2
1
0
-1
-2
100
50
150
250
Time
Mean
1.0
0.5
Sales
Billions of Kilowatt-hours
100
50
70
60
2
200
9 - 65
ACF
Partial ACF
0.0
-1.0
1.0
0.5
0.0
-1.0
20
Sales
w
Range
50
40
30
20
12
10
8
6
4
Normal Scores
250
150
200
70
60
50
40
30
20
1956
10
1958
ACF
20
Lag
1960
time
1962
0
1964
Ohio Electric Power Consumption
w= (1-B)^ 1 Billions of Kilowatt-hours
30
1966
10
1968
PACF
20
Lag
1970
30
9 - 67
Ohio Power Consumption Data iden Output
No Transformation and One Regular Difference
iden(ohio.tsd, gamma=1, d=1)
1954
0
1956
10
1958
ACF
20
Lag
ACF
20
Lag
1960
time
1962
0
1964
Ohio Electric Power Consumption
w= (1-B)^ 3 Billions of Kilowatt-hours
30
1961
1963
time
1965
0
1966
10
10
1968
PACF
20
Lag
Lag
20
PACF
1967
Ohio Electric Power Consumption
w= (1-B)^ 1 (1-B^ 12 )^ 1 Billions of Kilowatt-hours
1959
30
1969
1970
30
30
9 - 69
1971
w
1956
10
1958
ACF
20
Lag
1960
time
1962
0
1964
Ohio Electric Power Consumption
w= (1-B)^ 2 Billions of Kilowatt-hours
30
1966
10
1968
PACF
20
Lag
1970
30
9 - 68
Ohio Power Consumption Data iden Output
No Transformation and Two Regular Differences
iden(ohio.tsd, gamma=1, d=2)
1954
0
1955
0
1957
ACF
20
Lag
1959
1961
1963
time
0
1965
10
Ohio Electric Power Consumption
w= (1-B^ 12 )^ 1 Billions of Kilowatt-hours
30
Module 9
Segment 9
1967
PACF
20
Lag
1969
30
1971
9 - 70
9 - 72
Ohio Power Example Model Comparison Using No
Transformation
10
Ohio Power Consumption Data iden Output
No Transformation and One Seasonal Difference
iden(ohio.tsd, gamma=1, D=1)
Partial ACF
Partial ACF
Ohio Power Consumption Data iden Output
No Transformation and Three Regular Differences
iden(ohio.tsd, gamma=1, d=3)
1954
0
1957
10
1.0
0.0
-1.0
5
Ohio Power Consumption Data iden Output
No Transformation Regular & Seasonal Difference
iden(ohio.tsd, gamma=1, d=1, D=1)
1955
0
9 - 71
1.0
0.0
-1.0
15
5
0
-10
1.0
0.0
-1.0
10
5
0
-5
1.0
ACF
w
ACF
Partial ACF
Partial ACF
Partial ACF
0.0
1.0
0.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
-1.0
1.0
0.0
-1.0
w
ACF
0
-5
1.0
0.0
-1.0
0 10
-20
1.0
0.0
-1.0
w
ACF
w
ACF
2 4 6
-2
-6
1.0
0.0
-1.0
Ohio Electric Power Consumption
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
2
•
1965
4
•
6
• ••
••
• • • ••• •
•
Model: Component 1 :: ar: 1 2 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
1960
Index
0
•
• •
•• •
• •
•
••
•
•
•••• • •• •
•
•• • ••• •• •• • ••••
••
• •
•• •
• •
•
• •• • •• • •• •
•
••
••
• •
•• • •
• •
•
•
•••• ••• • • •• • • • •
• • •• ••••
•
••• • •
•• •
• • • • • • • •• •
•
•
•• • ••• • •
• •• • • •
• • •
•
-2
• •
• •
••
•••
•••
•••
••••
• •••
••••
•••••••
•••
••••
••••
•••
•••
•••
••
••••
•••
••••••
••••
•••
••
•••
•• •
•••
••
Normal Probability Plot
•
••
1970
1970
•
•
••
• ••
•
• • ••
••
•
• • •• • • •
• •• •
• •• •
• • •• • • • •••
• •• •
• • •
•
• ••
••
• •• •
•
•
9 - 75
•
• •
•
• •
•
•
•
• ••
•
•
•
•
•
• ••
• •• •
• •• •
• • •• • • • •••
• ••
• ••
• • •
•
• ••
••
• •• •
•
•
9 - 73
Ohio Power Consumption Model Summary Table
••
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(2, 0, 0)(0, 1, 0)12
No Transformation (Model 1) Output Part 2
•
•• • • • •
•
•
-4
•
•
80
•
•
30
•
•
1955
1956
•
•
1957
•
1958
Ohio Electric Power Consumption
1960
•
60
•
1961
•
•
1963
Residuals vs. Time
••
Time
1962
•
•
•
70
1964
0
1965
10
1966
Model: Component 1 :: ar: 1 2 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
1959
Residuals vs. Fitted Values
• •
•
•• •
•
Fitted Values
50
•
•
•
•
•
•
• •
• •
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
• •
•
•
••
•
••
•
•
•
•
• •
•• •• •
••
• • • • • •• •• •• ••
•
•
•
• •
•
•
••
• • •• •• • •• • • • •
•••
•
•
• •
• • •• •
• •• • •••
•• •
•
•
•
• • • ••••
•
•• • • •• • •• • • • •
•• •
•
•
•
••
•
• •
••
•
• •• •
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
40
1967
1968
Residual ACF
20
Lag
1969
30
1970
9 - 74
1971
Ohio Power Consumption Data esti
SARIMA(2, 0, 0)(0, 1, 0)12
No Transformation (Model 1) Output Part 1
esti(ohio.tsd, gamma=1, model=model.pdq(p=2, D=1))
•
1954
•
•
• •
•
1954
•
•
• •
•
•
30
1955
•
1956
•
40
1957
•
1959
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
Ohio Electric Power Consumption
•
1960
•
•
•
•
60
•
• •
•
•
••
•
1961
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Time
1962
1963
Residuals vs. Time
•
•
•
70
1964
0
1965
10
1966
Model: Component 1 :: ar: 1 2 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
1958
•
•
50
Fitted Values
•
•
• ••
•
• ••
•
• ••
• •
• • ••
•
• •• •
•
•
• •• •
••
•
• • •••
•• • ••
•
••
•
Residuals vs. Fitted Values
•
• •
• ••
•
• •
•
•
• • • •
•• •
• • ••
• • •
•• • • • •• • • • • •
•
•• • • • • • • • ••
•
•
• • • • •• • •••
•
•
••
•• •
•
• • • • ••••
•
• ••
•
•
•• • • • •
•
1955
•
• • •••• ••
•
••
Ohio Electric Power Consumption
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
-4
•
-2
Index
0
2
•
1965
4
• •
• •
••
•••
•••
•••
••••
• •••
••••
•••••••
•••
••••
••••
•••
•••
•••
••
••••
•••
••••••
••••
•••
••
•••
•• •
•••
••
Normal Probability Plot
•
••
Residuals
•
•
6
• ••
••
• • • ••• •
•
Model: Component 1 :: ar: 1 2 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
1960
•
• •
•• •
• •
•
••
•
•
•••• • •• •
•
•• • ••• •• •• • ••••
••
• •
•• •
• •
•
• •• • •• • •• •
•
••
••
• •
•• • •
• •
•
•
•••• ••• • • •• • • • •
• • •• ••••
•
••• • •
•• •
• • • • • • • •• •
•
•
•• • ••• • •
• •• • • •
• • •
•
1967
1968
Residual ACF
20
Lag
1970
1969
1970
1971
9 - 76
9 - 78
•
• •
•
• •
•
•
•
• ••
•
•
•
•
•
• ••
• •• •
• •• •
• • •• • • • •••
• ••
• ••
• • •
•
• ••
••
• •• •
•
•
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(2, 0, 0)(0, 1, 0)12
No Transformation (Model 1) Output Part 2
30
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(2, 0, 0)(0, 1, 1)12
No Transformation (Model 2) Output Part 1
esti(ohio.tsd, gamma=1, model=model.pdq(p=2, D=1, Q=1))
ACF
ACF
•
1955
•
Residuals
Ohio Electric Power Consumption
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
1965
•
• ••
••
• • • ••• •
•
Model: Component 1 :: ar: 1 2 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
Index
4
6
• •
•• •
• •
•
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• • •• ••••
•
••• • •
•• •
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•
•• • ••• • •
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• • •
•
1960
2
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
6
4
2
0
-2
-4
6
4
•
• • •••• ••
•
••
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(2, 0, 0)(0, 1, 1)12
No Transformation (Model 2) Output Part 2
•
•• • • • •
•
0
•
Normal Probability Plot
-2
• •
••
•••
••
•••
•••
•••
•••
••••
••••
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••••
•••
••••
•••
•••
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••••
••••
•••
••••
•••
•••
••
•••
•••
••
••
Normal Scores
•
1955
•
-4
•
9 - 77
3
2
1
0
-1
-2
-3
•
• • •••• ••
•
•
Residuals
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
6
4
2
0
-2
-4
6
4
2
0
-2
-4
Residuals
Residuals
Residuals
Residuals
Billions of Kilowatt-hours
2
0
-2
-4
80
60
Normal Scores
Normal Scores
40
20
3
2
1
0
-1
-2
-3
3
2
1
0
-1
-2
-3
Billions of Kilowatt-hours
Billions of Kilowatt-hours
60
40
20
80
60
40
20
•
1954
•
•
•
•
1955
•
•
•• •
••
• •
••
• ••
•
••••
•
•
••
•
•
1956
•
1957
1959
•
•
•
•
•
•
•
••
• •
•
Ohio Electric Power Consumption
•
1960
•
•
• •
60
•
•
•
•
•
•
••
•
•
1961
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Time
1962
1963
Residuals vs. Time
•
••
•
•
•
70
1964
0
1965
10
1966
Model: Component 1 :: ma: 1 ar: 1 2 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
1958
•
Residuals vs. Fitted Values
Fitted Values
50
•
•
•
•
•
•
••
• •
• • • •
• •• •
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•
• •••• • • ••
• •• ••
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• • •• • •
•
•
•
•
• • ••
•
••
•
•
•
40
Ohio Electric Power Consumption
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
0
Index
2
4
•
•
1965
Normal Probability Plot
-2
• •
••
•••
••
•••
•••
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••••
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•••
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••••
•••
••••
•••
•••
••
•••
•••
••
••
6
•
• ••
••
• • • ••• •
•
1967
1968
Residual ACF
20
Lag
1970
1970
1969
30
1970
1971
9 - 79
••
••
•
••
• • •
• ••
• ••
•
• • •• • • •
•
•
•
• •• • • • •
• • •• • • • •••
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•
• ••
••
• •• •
•
•
9 - 81
•
•
••
• ••
•
• • ••
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•
• • •• • • •
• •• •
• •• •
• • •• • • • •••
• •• •
• • •
•
• ••
••
• •• •
•
•
Model: Component 1 :: ar: 1 2 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
1960
•
-4
•
• •
•• •
• •
•
••
•
•
•••• • •• •
•
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•
•
•• • ••• • •
• •• • • •
• • •
•
•
Residuals
Ohio Electric Power Consumption
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
• ••
••
• • • ••• •
•
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
1965
6
• •
•• •
• •
•
••
•
•
•••• • •• •
•
•• • ••• •• •• • ••••
••
• •
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•••• ••• • • •• • • • •
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••• • •
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• • • • • • • •• •
•
•
•• • ••• • •
• •• • • •
• • •
•
Index
•
4
80
60
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(2, 0, 1)(0, 1, 1)12
No Transformation (Model 3) Output Part 1
esti(ohio.tsd, gamma=1, model=model.pdq(p=2,q=1,D=1,Q=1))
•
•
•
30
•
•• • • • •
•
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(2, 0, 0)(0, 1, 1)12
No Transformation (Model 2) Output Part 2
•
1955
••
1960
2
•
•
•• • • • •
••
Ohio Electric Power Consumption
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
0
Index
2
•
4
•
6
1965
Normal Probability Plot
-2
••
••
•••
•••
••
•••
•••
•••
••••
•••••
•••
••
••••
••••
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•••
•••
••••
••••
••
• ••
•••
••
••
•
• ••
••
• • • ••• •
•
1970
9 - 80
••
••
•
•
••
• • •
••
• ••
•
• • ••
•
• •• •
• •• • • • • •
• • •• • • • •••
• • •
•
• ••
••
• •• •
•
•
Model: Component 1 :: ma: 1 ar: 1 2 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
1960
-4
•
•
• •
•• •
• •
•
••
•
•
•••• • •• •
•
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• •
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•••• ••• • • •• • • • •
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••• • •
•• •
• • • • • • • •• •
•
•
•• • ••• • •
• •• • • •
• • •
•
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(2, 0, 1)(0, 1, 1)12
No Transformation (Model 3) Output Part 2
•
1955
•
• • •••• ••
•
•
Residuals
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 (Airline)
No Transformation (Model 5) Output Part 1
1954
•
•
• •
•
•
•
1955
•
1956
•
1957
•
1959
•
•
•
•
•
•
••
••
Ohio Electric Power Consumption
•
•
1960
•
•
•
•
• •
•
60
•
•
••
• •
•
1961
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
Time
• •
70
•
1962
1963
Residuals vs. Time
•
•
•
1964
0
1965
10
1966
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
1958
50
•
Residuals vs. Fitted Values
40
•
•
•
•
• • ••
•
•
• •
•
•
•••
•
••
•
•
•
•• • •• •
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•••
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•
•• •
• •
•
••
••
•• • •
•
• •
•
• • • •
••
•
•
••
•
Fitted Values
1967
1968
Residual ACF
20
Lag
1969
30
1970
•
•• • • • •
•
••
Ohio Electric Power Consumption
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
0
Index
2
•
4
•
6
1965
Normal Probability Plot
-2
••
••
•••
•••
••
•••
•••
•••
••••
•••••
•••
••
••••
••••
•••
••••
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•••
••••
•••
•••
••••
••••
••
• ••
•••
••
••
•
• ••
••
• • • ••• •
•
1970
9 - 82
9 - 84
••
••
•
•
••
• • •
••
• ••
•
• • ••
•
• •• •
• •• • • • • •
• • •• • • • •••
• • •
•
• ••
••
• •• •
•
•
Model: Component 1 :: ma: 1 ar: 1 2 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
-4
•
•
• •
•• •
• •
•
••
•
•
•••• • •• •
•
•• • ••• •• •• • ••••
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•••• ••• • • •• • • • •
• • •• ••••
•
••• • •
•• •
• • • • • • • •• •
•
•
•• • ••• • •
• •• • • •
• • •
•
1960
•
Residuals
1971
esti(ohio.tsd, gamma=1, model=model.pdq(d=1, q=1, D=1, Q=1))
•
30
•
1955
•
• • •••• ••
•
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(2, 0, 1)(0, 1, 1)12
No Transformation (Model 3) Output Part 2
ACF
•
• • •••• ••
•
•
•• • • • •
•
0
•
Normal Probability Plot
-2
• •
••
•••••
•••
•••
•••
•• •
••••
••••
••••
•••
••••
•••••
•••
•••
•••
••••
•••
•••
••••
••
•••
•••
••
•••
• ••
••
••
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
ACF
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 (Airline)
No Transformation (Model 5) Output Part 2
•
1955
-4
•
9 - 83
Normal Scores
Normal Scores
•
• • •••• ••
•
•
•
Residuals
3
2
1
0
-1
-2
-3
3
2
1
0
-1
-2
-3
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
40
20
6
4
2
0
-2
-4
6
4
Billions of Kilowatt-hours
Residuals
Residuals
Billions of Kilowatt-hours
2
0
-2
-4
80
60
Normal Scores
Normal Scores
40
20
3
2
1
0
-1
-2
-3
3
2
1
0
-1
-2
-3
6
4
2
0
-2
-4
6
4
2
0
-2
-4
80
Residuals
Residuals
Billions of Kilowatt-hours
Billions of Kilowatt-hours
60
40
20
80
60
40
20
1955
•
1956
•
1957
1959
•
•
•
•
•
•
••
••
Ohio Electric Power Consumption
•
•
1960
•
•
•
•
• •
•
60
•
•
••
• •
•
1961
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
Time
• •
70
•
1962
1963
Residuals vs. Time
•
•
•
1964
0
1965
10
1966
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
1958
•
Residuals vs. Fitted Values
•
•
•
•
• • ••
•
•
• •
•
•
•••
•
••
•
•
•
•• • •• •
•
• •
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•••
• • ••
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•
••
• • •• •
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• •• • • •• • •
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• ••
•
•• •
• •
•
••
••
•• • •
•
• •
•
• • • •
••
•
•
••
50
1967
1968
Residual ACF
20
1969
30
1970
1971
Module 9
Segment 10
Ohio Power Example Model Comparison Using a Log
Transformation and an Explanation of the Persistent
ACF Spike at Lag 10
9 - 86
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 (Airline)
Log Transformation (Model 6) Output Part 1
1954
•
•
•
•
•
1955
•
•
3.4
1956
1957
•
•
•
•
•
3.8
1959
•
Ohio Electric Power Consumption
1960
•
•
••
••
•
• •
•
4.0
•
•
•
•
•
••
•
•
•
Time
•
•
1962
4.2
•
•
1963
Residuals vs. Time
•
• •
•
• •
•
••
•
1961
• •
•
•
•
•
•
1964
0
1965
10
1966
1968
Lag
20
Residual ACF
1967
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( Billions of Kilowatt-hours )
1958
• ••
•• •
••
•
Residuals vs. Fitted Values
3.6
••
•
•
•
•
•
•
•• • •
•
•
•
•• • •
• •
•
•
••
•
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• •
• •
••
••
• ••
•
•
•
•
•
• •
• • •
•• •
•• •
•
•
•
Fitted Values
1969
30
1970
9 - 88
1971
esti(ohio.tsd, gamma=0, model=model.pdq(d=1, q=1, D=1, Q=1))
•
3.2
•
•
•• • • • •
•
1955
•
• • •••• ••
•
••
Ohio Electric Power Consumption
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
Index
1965
Normal Probability Plot
-0.05
0.0
0.05
••
••
•• •
•••
•••
•••
•••
••••
••••••
••
••••
••••
•••
•••••
••••
••••
••••
•••
••••
•••••
•••••
•••
•••
••••
•••
•••
•••
••
••
•
Residuals
•
•
•
0.10
• ••
••
• • • ••• •
•
1970
9 - 90
•
•
••
• • •
•
•
• ••
•
•
• ••
•
• • •• • • •
•
•
• •• • • • •
• • •• • • • •••
• • •
•
• ••
••
• •• •
•
•
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( Billions of Kilowatt-hours )
1960
•
• •
•• •
• •
•
••
•
•
•••• • •• •
•
•• • ••• •• •• • ••••
••
• •
•• •
• •
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•
•••• ••• • • •• • • • •
• • •• ••••
•
••• • •
•• •
• • • • • • • •• •
•
•
•• • ••• • •
• •• • • •
• • •
•
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 (Airline)
Log Transformation (Model 6) Output Part 2
ACF
Ohio Power Consumption Model Summary Table
•
•
•
9 - 89
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.10
0.05
0.0
-0.05
0.10
9 - 85
9 - 87
Ohio Power Consumption Model Summary Table
•
40
Lag
Normal Scores
Residuals
Residuals
Billions of Kilowatt-hours
0.05
0.0
-0.05
80
60
40
20
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 (Airline)
No Transformation (Model 5) Output Part 1
1954
•
•
• •
•
ACF
6
4
2
esti(ohio.tsd, gamma=1, model=model.pdq(d=1, q=1, D=1, Q=1))
•
30
Fitted Values
3
2
1
0
-1
-2
-3
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
Residuals
Residuals
0
-2
-4
6
4
2
0
-2
-4
•
•
•• • • • •
••
Ohio Electric Power Consumption
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
-4
•
0
Index
2
•
4
•
1965
Normal Probability Plot
-2
• •
••
•••••
•••
•••
•••
•• •
••••
••••
••••
•••
••••
•••••
•••
•••
•••
••••
•••
•••
••••
••
•••
•••
••
•••
• ••
••
••
Residuals
6
•
• ••
••
• • • ••• •
•
1970
••
••
•
••
• ••
• • •
• ••
•
• • •• • • •
•
•
•
• •• • • • •
• • •• • • • •••
• • •
•
• ••
••
• •• •
•
•
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= Billions of Kilowatt-hours
1960
•
•
• •
•• •
• •
•
••
•
•
•••• • •• •
•
•• • ••• •• •• • ••••
••
• •
•• •
• •
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• •• • •• • •• •
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•
•••• ••• • • •• • • • •
• • •• ••••
•
••• • •
•• •
• • • • • • • •• •
•
•
•• • ••• • •
• •• • • •
• • •
•
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 (Airline)
No Transformation (Model 5) Output Part 2
•
-1300
5
0.6
-1200
-0.5
5
0.5
-1100
0.0
ma(1)
0.4
0.5
0.45
)
ma(1
1.0
9 - 93
-1000
-1000
-800 -900
-1100
0.55
0.6
Ohio Power Consumption Model Summary Table
0.60
0.55
0.50
-750
-720
0.5
0.65
0.70
0.75
•
1954
•
•
0.001
0.001
0.30
•
•
•
1955
•
•
3.4
1956
1957
•
•
•
•
•
0.01
3.8
1959
•
0.40
0.45
ma(1)
0.9
0.7
0.5
0.50
Ohio Electric Power Consumption
1960
•
•
••
••
•
• •
•
4.0
•
•
•
•
•
••
•
•
•
Time
•
•
1962
4.2
•
•
1963
Residuals vs. Time
•
• •
•
• •
•
••
•
1961
• •
•
•
•
•
•
1964
0
1965
0.3
0.01
10
1966
0.001
0.001
0.1
0.55
1968
20
Residual ACF
1967
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( Billions of Kilowatt-hours )
1958
• ••
•• •
••
•
Residuals vs. Fitted Values
3.6
••
•
•
•
•
•
•
•• • •
•
•
•
•• • •
• •
•
•
••
•
• •• •
••
• • •• • •• •
•
•
• •
• • • •
•
• • •• •
•
••
• ••
•
• •
•
••
•
••
•
•
•
•
••
••
•• •• • •
• • • • •• • •
••
• •
• •
••
••
• ••
•
•
•
•
•
• •
• • •
•• •
•• •
•
•
•
Lag
1969
0.001
0.60
9 - 94
0.0001
30
1970
9 - 96
1971
esti(ohio.tsd, gamma=0, model=model.pdq(d=1, q=1, D=1, Q=1))
Ohio Power Consumption Data
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 (Airline)
Log Transformation (Model 6) Output Part 1
0.35
9 - 92
-1.0
0.7
1)
0.
ma 6
(1
2*
0.35
Perspective Plot of SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 (Airline)
Model Relative Likelihood Surface for the Ohio Data
Z
0.45
3.2
Fitted Values
ACF
0.05
0.10
9 - 91
1955
•
• • •••• ••
•
3
2
1
0
-1
-2
-3
80
60
40
20
Contour Plot of SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 (Airline)
Model Relative Likelihood Surface for the Ohio Data
Billions of Kilowatt-hours
ma(12*1)
Contour Plot of SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 (Airline)
Model -2[Log-likelihood] Surface for the Ohio Data
Normal Scores
0.5
5
0.4
9 - 95
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
ma(12*1)
Residuals
Residuals
0.0
-0.05
0.10
0.05
0.0
-0.05
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
•••
••••
0.05
••
••
••••
•••••
•••••
••••
••••
••••••
••••
•••••••
•••••
•••••
•••
••••
••
0.0
timeseries
•
0.05
••
•
0.10
0.10
0.10
0.05
•
0.05
0.10
0.10
0.10
Lag 2
•
•
Lag 7
series
0.0
0.05
0.10
•
••
••••
•
• • • •
••
••• • •••
••
• • •
•
• •••• •• • •
•• ••• ••• •••• •• • •
• •• ••••••••• • •• • •••• • ••
• •
•••• ••• • ••••••• • •
• ••••• ••••• •• •• ••
• • • •• • • ••••••••• ••• ••• •••• •
•• • ••• • ••• •• • •
•
• • •
•• • •
• • • •
•
• •
••
-0.05
•
0.05
Lag 12
series
0.0
0.10
•• •• •
•
•
• • • • ••
• • ••••• •••••• •••••••• •
• •• • • ••
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •••• •••• ••••• •••••• ••• ••• • ••
•
• •• •• •••••••• •••••••••••••••• • •
• • • ••••• •••••••• • ••• •••• • • •
• •• •••• ••• • • ••
•
•
•
• • • • ••
• • •
•
•
•
-0.05
0.0
0.05
0.10
•
•
•
• • • •
••
•• • • •• • ••• ••
•
••• ••• ••
•• •••• •••• ••••••••• ••• • •
• •• ••• ••• •• •• • • •
•
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•
• • •••• •••••••• ••••••••••• • • •
•
••••••••••••• •••••
••• • • •••• •••• • • • ••
•
•
• •• • •
••
•
• • •
•• •
•
•
-0.05
series
•
-0.05
Lag 3
•
Lag 8
series
0.0
0.05
0.10
•
•
•
• •
• •
•
•
•
•
• •••••••• • • •••• •
•
•• • • • •••
• • •• • • ••••••••••• ••• •••
•
•
• • •
•
• •
• ••••••• •••••• •• ••• • •
• •• • ••• •• ••••• • ••••• ••• •• • •
• • • • •••• •••••• ••••••• •• ••• •• •
• •• • ••• • • •• • • • •
•
• •• • ••
•
•
•
• • •
• •
•
0.05
Lag 13
series
0.0
0.10
•
•• •
•
• •
•
•
•••••••• •• •• •••
••• • •
•• •• • •• •• • ••••
•
•
•
•• • •••• •• ••••••• • ••• • •• •
• • •• • • ••• • •• ••••••• ••
•
•
••••• ••• •••••• ••
•
• • •• •••••• •••• •••••• • •••••• • •
• • • •••• •• • •
• •
••• •• •••
•• •
•
•
•
• •
•
•
-0.05
-0.05
0.0
0.05
0.10
•
• •
•
• •
• • •• • • ••
•
•
• • •• • • •••• • •
•
• • •• • ••••••• • •• •• •• •
••
• • ••• •• •• •• ••••••
••
•
• • •••• ••• ••••••• ••• • • • • •
• • • •• •• •••••••••••••••• ••• ••••••
• • ••••••• ••••• •• • •
•
••• • ••
•
•
• • •
•
•
•
•
series
Series lag 9
Lag 1
•
Lag 6
series
0.0
•
•
•
• •••
•
•
• • ••
•
• •• •••••• •••••• • ••••• ••
••• ••••• • •• ••••• •
• •
•
• •
•
• • • ••• •••••••••• ••••• • •
•
• •• •• •
••
• • •• • • • ••••• ••• •••• •••• ••••••• •
•
••
• •• • •••• • • •• •
• •• • ••••• •••• ••• • • • •
•
•• •• • • • •
•
• •
•
•
•
-0.05
•
0.05
Lag 11
series
0.0
• • ••
•
•
•
• • • • • •• • •• ••
•
•••• •••••• •• •
• •••• • ••••••• •• ••••• •
• • •• ••• •• ••• ••• •• ••••• • ••
• •• •
•
•• •••• •••• • ••• •
•
• • ••••••••••••••••• ••••••• •••
•• •• • ••••••• • ••• • • •• •
• ••• • • • •
•
• •
•
• • •
••
•
-0.05
0.0
•
•
•
••
• •
•
• • • •• • •
• • • • •••• •••• • ••••
•
•
•
•
• •• •••••••••• •••••••• ••• •••
•
• • •
• • •• •• ••• • • • • •
• •• ••• • •••••• •••• •• •••••• •••• •• •
•
•
• • •• ••••••• ••••••••••• •• •• • • •
•
• •• •• • •••
••• ••• •
•
• •
• ••
••
•
-0.05
series
Series lag 4
0
•
•
5
Lag 4
••
0.0
series
Lag 9
0.0
series
10
Lag
0.05
0.05
15
0.10
0.10
9 - 97
20
Series : timeseries
-0.05
•
• •
• • •• •
••
•
•
••• •••••• ••• •• •• •
• ••
•
• •
••• • •• ••• •••••••••••••• •••• •
• • • •••• •••••• ••••• •
•
•• •••••••• •• • • • •
•• ••••• • ••••••••• ••••• ••••••• ••
• •
• ••• •••• • ••••• •
•
• • • ••
• •• •
••
• • •
•
•
••
•
-0.05
•
••
••
• •
•
• ••
•
•
•• • •••• •••• •• • • •
• • • • • • •• •
•
•• ••• • •••••••••• •• •••• •• ••
• •• • •••• •••• •••••••• •• •••••• •
•
• • • ••••• ••• •• • ••• •
• • •••••••••••• ••••••• ••• ••• • •
•
• •••• • ••• ••• • •
••
•• •• •
•
•• •
•
•
ACF of the Residuals for the Ohio Power using the
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 (Airline) Model
show.acf(ohio.model6.out$resid)
••
-0.05
••
Lag 5
0.05
Lag 10
series
0.0
•• •• •
•
•
••
• •• • ••••••• •• •••
• ••
•
• •
•• ••• • ••• ••• • •
•
•
•
•
•
•
•
•
• • ••••••••••• •••••••••••• ••
•
• •••• •• •
• • •••• ••••••• •• •• • •••• ••• ••• • •
•••••• • • • ••• •
•
••• •• ••• • ••••• •• •
••
•
•
••• • • •
•
•
•
•
•
-0.05
0.0
•
•
•
•
•
•••
•
•• • •••• • •
• • • ••• • •
•
•• •• ••••••••• •• ••••••
• •• • •• ••• •• ••
••
••
• • • ••• •• ••••• •••• ••••••• ••• •
•
• ••••••• ••••••••• •• ••••••• • • • • •
• • ••
•• • • • •• •••• ••• • • •
• • • ••
•
••
••
• ••
•
•
-0.05
series
ACF
0.05
-0.05
0.05
-0.05
0.05
-0.05
0.05
-0.05
0.05
-0.05
0.05
-0.05
1.0
0.6
0.2
-0.2
Series lag 3
Series lag 8
Series lag 13
0.05
-0.05
0.05
-0.05
Series lag 2
Series lag 7
Series lag 12
0.05
-0.05
0.05
-0.05
Series lag 1
Series lag 6
Series lag 11
0.05
-0.05
0.05
-0.05
timeseries
Series lag 5
Series lag 10
0.05
-0.05
0.05
-0.05