Module 10
Intervention Models for Time Series
Class notes for Statistics 451: Applied Time Series
Iowa State University
Copyright 2015 W. Q. Meeker.
April 2, 2016
16h 21min
10 - 1
Module 10
Segment 1
Seasonal Model Identification for the Ozone Data
10 - 2
Los Angeles Ozone Data Monthly Averages 1955-1972
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone in Downtown Los Angeles
8
pphm
6
4
2
1955
1960
1965
1970
Year
10 - 3
Ozone
• Ozone in the in the upper atmosphere helps filter out the
sun’s most harmful ultraviolet rays (especially UV-C).
• Ozone in the air we breath is a harmful oxidant air pollutant.
Breathing high levels of ozone can irritate eyes and cause
serious damage to lungs.
• Ozone is caused by automobile exhaust emissions and industrial smoke stacks.
• Levels greater than 5 pphm (50 ppb) are considered unsafe
for sensitive groups of individuals (e.g., young, old, suffering
from lung disease, etc.).
• Levels above 15 pphm (150 pbb) are unsafe for everyone.
10 - 4
Los Angeles Ozone Data Monthly Averages 1955-1972
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone in Downtown Los Angeles
8
pphm
6
4
2
1955
1960
1965
1970
Year
10 - 5
Los Angeles Ozone Data Monthly Averages 1955-1972
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone in Downtown Los Angeles
8
6
pphm
4
2
1955
1960
1965
1970
Year
10 - 6
Graphical Output from Function iden for the Ozone
Data with No Differencing
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
2
4
w
6
8
w= pphm
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
time
ACF
0.0
-1.0
5
ACF
0.5
6
1.0
Range-Mean Plot
10
20
30
4
Lag
0.5
0.0
-1.0
Partial ACF
3
1.0
PACF
2
Range
0
2.5
3.0
3.5
4.0
Mean
4.5
5.0
5.5
0
10
20
30
Lag
10 - 7
Graphical Output from Function iden for the Log
Ozone Data with No Differencing
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
0.5
1.0
w
1.5
2.0
w= log( pphm )
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
time
ACF
0.0
-1.0
1.2
ACF
0.5
1.4
1.0
Range-Mean Plot
10
20
30
1.0
Lag
0.5
-1.0
0.0
Partial ACF
1.0
PACF
0.8
Range
0
1.0
1.2
1.4
Mean
1.6
0
10
20
30
Lag
10 - 8
Graphical Output from Function iden for the Ozone
Data with 1 Regular Difference
0
-4
-2
w
2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
w= (1-B)^ 1 pphm
1955
1957
1959
1961
1963
1965
1967
1969
1971
1973
time
-1.0
0.0
Partial ACF
0.0
-1.0
ACF
1.0
PACF
1.0
ACF
0
10
20
Lag
30
0
10
20
30
Lag
10 - 9
Graphical Output from Function iden for the Ozone
Data with 1 Seasonal Difference
-3
-1
w
1 2 3
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
w= (1-B^ 12 )^ 1 pphm
1956
1958
1960
1962
1964
1966
1968
1970
1972
time
-1.0
0.0
Partial ACF
0.0
-1.0
ACF
1.0
PACF
1.0
ACF
0
10
20
Lag
30
0
10
20
30
Lag
10 - 10
Graphical Output from Function iden for the Ozone
Data with 1 Regular and 1 Seasonal Difference
0
-4
-2
w
2
4
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
w= (1-B)^ 1 (1-B^ 12 )^ 1 pphm
1956
1958
1960
1962
1964
1966
1968
1970
1972
time
-1.0
0.0
Partial ACF
0.0
-1.0
ACF
1.0
PACF
1.0
ACF
0
10
20
Lag
30
0
10
20
30
Lag
10 - 11
Module 10
Segment 2
Seasonal Model Estimation and Forecasting for the
Ozone Data Using No Transformation
10 - 12
Ozone Data esti SARIMA(0, 0, 1)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 1) Output Part 1
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
0
-3
-2
-1
Residuals
1
2
Residuals vs. Time
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
Time
•
•
•
• •
••
•
• • •• • •
•
• •
•
•
• •
• •• • •••
•
•
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•
•
0.5
•
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• •
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• •
•
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• •
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•
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•
2
4
6
Fitted Values
0.0
0
-2
-1
••
•
• •
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• • •••
•
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•
•
•
ACF
•
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•
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• •
•
•
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•
• •
•
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• •• • •
•
•
-0.5
1
•
•
-3
Residuals
•
•
•
•
8
-1.0
2
•
•
Residual ACF
1.0
Residuals vs. Fitted Values
0
10
20
30
Lag
10 - 13
Ozone Data esti SARIMA(0, 0, 1)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 1) Output Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
8
•
•
•
•
•
6
•
pphm
•
•
•
•
• •
•
4
•
••
•
•
•
•
•
•
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•
•
•
0
2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1960
1965
1970
1975
Index
3
Normal Probability Plot
0
-1
-2
Normal Scores
1
2
•
••
•
•
•
••
•••
••••
•••
•
•
•
••
••••
•••
•••••
•••
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••••
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•••
•••
••••
•
•
•
••••
••••
••
••
••••
•
•
•
••
•
•
-3
1955
-3
-2
-1
0
1
2
Residuals
10 - 14
Summary of Models Fit to the Ozone Data
10 - 15
Ozone Data esti SARIMA(3, 0, 0)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 2) Output Part 1
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ar: 1 2 3 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
0
-1
-3
-2
Residuals
1
2
Residuals vs. Time
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
Time
0
-1
-2
•
•
•• • ••
•
•
•
•
•
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• •
••
•
•
•
•
•
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• • • •• •
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•
•
0.5
•
• •• •
•
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•
•
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•
•
•
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• • •••
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•
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•
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•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
-3
Residuals
•
• • •
•
•
ACF
1
•
-0.5
•
•
•
•
•
•
2
4
6
Fitted Values
0.0
2
•
•
8
-1.0
•
Residual ACF
1.0
Residuals vs. Fitted Values
0
10
20
30
Lag
10 - 16
Ozone Data esti SARIMA(3, 0, 0)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 2) Output Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ar: 1 2 3 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
8
•
•
•
•
•
6
•
pphm
•
•
•
•
• •
•
4
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
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0
2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1960
1965
1970
1975
Index
3
Normal Probability Plot
0
-1
••
• •
•
•
-2
Normal Scores
1
2
•
-3
1955
•
••
• ••
••
•
•
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••••
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•
•
•
-3
-2
-1
0
1
2
Residuals
10 - 17
Ozone Data esti SARIMA(0, 0, 1)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 1) Output Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
8
•
•
•
•
•
6
•
pphm
•
•
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4
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0
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1960
1965
1970
1975
Index
3
Normal Probability Plot
0
-1
-2
Normal Scores
1
2
•
••
•
•
•
••
•••
••••
•••
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-3
1955
-3
-2
-1
0
1
2
Residuals
10 - 18
Ozone Data esti SARIMA(1, 0, 1)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 3) Output Part 1
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ma: 1 ar: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
0
-3
-2
-1
Residuals
1
2
Residuals vs. Time
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
Time
Residual ACF
1.0
Residuals vs. Fitted Values
•
•
2
•
•
•• •
•
•
• • •
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0.5
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6
Fitted Values
ACF
•
-0.5
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0.0
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8
-1.0
0
-2
-1
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-3
Residuals
1
•
0
10
20
30
Lag
10 - 19
Ozone Data esti SARIMA(1, 0, 1)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 3) Output Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ma: 1 ar: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
8
•
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6
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pphm
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Ozone Data esti SARIMA(3, 0, 0)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 2) Output Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ar: 1 2 3 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
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Residuals
10 - 21
Ozone Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 4) Output Part 1
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
0
-1
-3
-2
Residuals
1
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Residuals vs. Time
1955
1956
1957
1958
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1960
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1962
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1965
1966
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1968
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Time
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20
30
Lag
10 - 22
Ozone Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 4) Output Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
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Residuals
10 - 23
Ozone Data esti SARIMA(1, 0, 1)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 3) Output Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ma: 1 ar: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
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Index
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Normal Probability Plot
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Normal Scores
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0
1
2
Residuals
10 - 24
Summary of Models Fit to the Ozone Data
10 - 25
Module 10
Segment 3
Seasonal Model Estimation and Forecasting for the
Ozone Data Using a Log Transformation and Filter
Representation of the Models
10 - 26
Summary of Models Fit to the Ozone Data
10 - 27
Ozone Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Model
Log Transformation (Model 8) Output Part 1
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( pphm )
-0.2
-0.8
-0.6
-0.4
Residuals
0.0
0.2
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Residuals vs. Time
1955
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1958
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0.5
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Fitted Values
2.0
-1.0
•
-0.8
Residuals
0.0
0.2
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ACF
0.4
•
•
Residual ACF
1.0
Residuals vs. Fitted Values
0
10
20
30
Lag
10 - 28
Ozone Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 4) Output Part 1
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
0
-1
-3
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Residuals
1
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Residuals vs. Time
1955
1956
1957
1958
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1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
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Time
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2
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0.5
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Residual ACF
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Residuals vs. Fitted Values
0
10
20
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Lag
10 - 29
Ozone Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Model
Log Transformation (Model 8) Output Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( pphm )
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
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Normal Probability Plot
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Normal Scores
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0.2
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Residuals
10 - 30
Ozone Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 4) Output Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
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Normal Probability Plot
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Residuals
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Innovation to Realization Filter
Innovations
Realization
Process or Model
at
ψ(B)
Zt
Model:
(1 − B12)Zt = (1 − θ1B)(1 − Θ1B12)at
(1 − θ1B)(1 − Θ1B12)
Zt =
at = ψ(B)at
12
(1 − B )
Zt = at + ψ1at−1 + ψ2at−2 + · · ·
The ψ weights provide a useful characterization of the time
series model/filter.
10 - 32
Realization to Residual Filter
Realization
Zt
Residuals
Specified Model
at
π (B)
Model:
(1 − B12)Zt = (1 − θ1B)(1 − Θ1B12)at
(1 − B12)
Zt = π(B)Zt
at =
(1 − θ1B)(1 − Θ1B12)
at = Zt − π1Zt−1 − π2Zt−2 − · · ·
Note:
1
π(B) =
ψ(B)
10 - 33
Module 10
Segment 4
Introduction to Time Series Intervention Models
10 - 34
General Applications of
Time Series Intervention Models
Include regression (usually dummy variables) terms to account for permanent or temporary changes in a process.
Some general applications:
• Test to see if a process intervention had an important effect
on the process
• Modeling changes in a process
• Accomodating outliers (accomodation)
• Imputing missing observations (imputation)
• Modeling other aberrations in time series data
10 - 35
Specific Applications of
Time Series Intervention Models
Some Applications include accounting for the effect of:
• The “Energy Crisis” (1974)
• 9/11
• The serious recession of 2008
• A labor strike
• The political party in power
• Promotional events (e.g., advertising) on sales
10 - 36
Colgate Toothpaste Market Share
Colgate Market Share
0.5
Percent
0.4
0.3
0.2
0.1
1958
1959
1960
1961
1962
1963
Year
10 - 37
Crest Toothpaste Market Share
Crest Market Share
0.5
Percent
0.4
0.3
0.2
0.1
1958
1959
1960
1961
1962
1963
year
10 - 38
US Monthly Airline Passenger-Miles 1996-2005
US Monthly Airline Passenger−Miles 1996−2005
55
50
Passenger−Miles
45
40
35
30
1996
1998
2000
2002
2004
Month
10 - 39
US Retail Sales 1992-2015
US Retail Sales 1992−2015
450
400
Billions of Dollars
350
300
250
200
150
1995
2000
2005
2010
2015
Year
10 - 40
Los Angeles Ozone Data Monthly Averages 1955-1972
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone in Downtown Los Angeles
8
pphm
6
4
2
1955
1960
1965
1970
Year
10 - 41
Changes in the Ozone Process
• Golden State Freeway opened January 1960
• Starting in 1966 all new cars had to have air pollution controls
I1t =
(
0, t < January 1960,
1, t ≥ January 1960,
I2t =
(
1, June-October (warm months) beginning 1966,
0, otherwise,
I3t =
(
1, November-May (cool months) beginning 1966,
0, otherwise,
10 - 42
Los Angeles Ozone Data Monthly Averages 1955-1972
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone in Downtown Los Angeles
8
pphm
6
4
2
1955
1960
1965
1970
Year
10 - 43
Los Angeles Ozone Data Monthly Averages 1955-1972
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone in Downtown Los Angeles
8
pphm
6
4
2
1955
1960
1965
1970
Year
10 - 44
Possible Input Variables for Intervention Analysis
• Step function beginning at time T
(T )
St
(
=
0, t < T,
1, t ≥ T,
Example with T = 10
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
(10)
St
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
1
1
1
1
1
• Impulse (or pulse) function at time T
(T )
Pt
(T )
= (1 − B)St
(T )
= St
(T )
− St−1 =
(
1, t = T,
0, otherwise,
Example with T = 10
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
(10)
Pt
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
0
0
0
0
0
10 - 45
Possible Input Variables for Intervention Analysis
• Step function beginning at time T
(T )
St
=
(
0, t < T,
1, t ≥ T,
Example with T = 10
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
(10)
St
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
1
1
1
1
1
• Ramp function beginning at time T
(T )
Rt
=
(T )
St
(1 − B)
(T )
(T )
= Rt−1 + St
=
(
t − T + 1, t ≥ T,
0,
otherwise,
Example with T = 10
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
(10)
Rt
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
2
3
4
5
6
10 - 46
Response to Different Kinds of Inputs
Model Term
ω1Bk
ω1 B k
(1−B)
ω1 B k
(1−δ1B)
(T )
Pulse ω1
Step ω1
100δ1 percent
increase (decay)
from ω1 to
original level
(T )
Step ω1
Ramp ω1
per unit time
100δ1 percent
increase (decay)
ω1
from ω1 to (1−δ
)
Input
Pt
St
1
(T )
0 < δ1 < 1
Ramp ω1
per unit time
The numerator B k provides a k-period delay in the
tion effect. With 0 ≤ δ1 ≤ 1, if ω1 is positive,
exponential (percent) increase or linear ramp-up.
negative, we have exponential (percent) decrease
ramp-down.
Rt
intervenwe have
If ω1 is
or linear
10 - 47
Module 10
Segment 5
Intervention Modeling Strategy and Model for the
Ozone Data with no Transformation
10 - 48
Strategy for Identifying Intervention Models
• Look at plot of the time series realization and check times
of the external events.
• Fit a univariate ARIMA/SARIMA model to the data. Examine residuals, especially around the time of the external
events; use as a preliminary noise model.
• Consider the underlying mechanisms related to the event
and their possible effect.
• Identify appropriate terms to describe the effect of the intervention.
10 - 49
Seasonal (Preliminary Noise) Model for the Ozone
Data
(1 − B12)Zt = (1 − θ1B)(1 − Θ1B12) at
(1 − θ1B)(1 − Θ1B12)
Zt =
at = ψN (B) at = Nt
(1 − B12)
Unscrambled model
Zt = Zt−12 − θ1at−1 − Θ1at−12 + θ1Θ1at−13 + at
10 - 50
Dummy Variables and “Integrated” Dummy Variables
t
1
2
..
60
61
62
..
137
138
139
140
141
142
143
144
I1t
I2t
I3t
I2t
∗ =
I2t
(1−B12)
I3t
∗ =
I3t
(1−B12)
0
0
..
0
1
1
..
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
..
0
0
0
..
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
..
0
0
0
..
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
..
0
0
0
..
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
..
0
0
0
..
0
0
0
0
0
0
1
1
freeway opens
automobile
emissions
law in effect
Continued
10 - 51
Dummy Variables and “Integrated” Dummy Variables
t
145
146
147
148
149
150
151
152
..
216
217
218
..
236
237
238
239
240
I1t
I2t
I3t
∗ = I2t
I2t
1−B12
∗ = I3t
I3t
1−B12
1
1
1
1
1
1
1
1
..
1
1
1
..
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
..
0
0
0
..
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
..
1
1
1
..
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
2
2
2
..
0
0
0
..
9
9
9
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
..
7
7
7
..
0
0
0
9
9
last observation
dummy variables
for forecasting
10 - 52
Seasonal Intervention Model for the Ozone Data
Zt
=
ω2
ω3
(1 − θ1 B)(1 − Θ1B12 )
ω1 I1t +
I2t +
I3t +
at
(1 − B12 )
(1 − B12)
(1 − B12 )
Zt
=
ω1 I1t +
ω2
ω3
I
+
I3t + Nt
2t
(1 − B12 )
(1 − B12)
Unscrambled model
(1 − B12 )Zt
Zt
=
=
ω1 (1 − B12 )I1t + ω2 I2t + ω3 I3t + (1 − θ1 B)(1 − Θ1 B12 ) at
Zt−12 + ω1 (I1t − I1t−12 ) + ω2 I2t + ω3 I3t − θ1 at−1 − Θ1at−12 + θ1 Θ1at−13 + at
10 - 53
Ozone Intervention Model
Zt
=
Ut + Nt
Zt
=
ω1 I1t +
ω3
ω2
I
+
I3t + Nt
2t
(1 − B12 )
(1 − B12)
Zt
=
ω1 I1t +
ω2
ω3
(1 − θ1 B)(1 − Θ1B12 )
I
+
I
+
at
2t
3t
(1 − B12 )
(1 − B12)
(1 − B12 )
at
12
(1-θ B) (1- Θ B )
________________
I 1t
12
(1-B
ω1
)
Nt
ω2
_______
I 2t
I 3t
12
(1-B
)
ut
Zt
ω3
_______
12
(1-B
)
10 - 54
Ozone SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Intervention Model
No Transformation (Model 9) Part 1
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm regr variables= ozo.xreg
0
-2
-1
Residuals
1
2
Residuals vs. Time
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
Time
•
•
•
•
•
• • ••••
•
•
•
•
•
•
•
• •• • •
•
••
••
• ••
•
•
• •
•
•• ••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• • •
• •
•
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
2
4
6
Fitted Values
0.0
•
•
•
• • •
•
•
•
•
•• •
•
• •••• • •
•• • • •
•
•• •
• • • •
•
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• • • •
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•
• •
• • • • •• • •
• •
••
••
• •• •
•
••
•
• •••
•
• •
•• • •
•
•
•
• ••
•
•
• • •
•
-0.5
•
•• • •
•
•
••
8
-1.0
•
0.5
•
•• • •
ACF
2
•
•
1
0
Residuals
•
•
•
-1
•
•
-2
Residual ACF
1.0
Residuals vs. Fitted Values
0
10
20
30
Lag
10 - 55
Ozone SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Intervention Model
No Transformation (Model 9) Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm regr variables= ozo.xreg
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
8
•
•
•
•
•
6
•
pphm
•
•
• •
•
4
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
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•
•
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•
•
•
•
0
2
•
•
•
•
•
•
•
1960
1965
1970
1975
Index
3
Normal Probability Plot
0
-1
-2
Normal Scores
1
2
•
•
-3
1955
•
•
••
••
•••
••
•• •
•
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•••
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•••
•••••
••••
•
•
•
••••
•••
•••
••••
•• • •
••
••
•
••
•
•
-2
-1
0
1
2
Residuals
10 - 56
Ozone Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Model
No Transformation (Model 4) Output Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
8
•
•
•
•
•
6
•
pphm
•
•
• •
•
4
•
•
•
•
•
•
••
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•
••
••
•
•
•
•
• •
•
•
••
•
•
•
• •
••
•
•
0
2
•
•
•
•
•
•
•
1960
1965
1970
1975
Index
3
Normal Probability Plot
0
-1
-2
Normal Scores
1
2
•
•
-3
1955
•
•
• ••
••
• •
•
•
•
••
••
•
•
•
•• •
•••
•••
••••
•
•
•
••••
••
•••
•••
••••
•
••••
•••
•••
••••
•
•
•
•••
••••
•••••
•••
•••
•
••
•••
•
•
-3
-2
-1
0
1
2
Residuals
10 - 57
Module 10
Segment 6
Intervention Model for the Ozone Data with a Log
Transformation and the Unscrambled Models
10 - 58
Ozone SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Intervention Model
Log Transformation (Model 10) Part 1
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( pphm ) regr variables= ozo.xreg
0.2
0.0
-0.6
-0.2
Residuals
0.4
0.6
Residuals vs. Time
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
Time
Residual ACF
1.0
Residuals vs. Fitted Values
0.6
•
•
•
•
• ••
•
••
•
• •
•
• ••
•• •
•
••
•
•• •
•• •
•
••
•
•
••
•
•
••
•• •
•
• •
••
•
•
0.5
•
•
•
•
0.5
1.0
1.5
Fitted Values
•
0.0
•
•
•
-0.4
-0.2
•
•
•
•
••
•
•
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• •• • •
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•• •
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• •
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•
• ••
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• •
•
•
-0.5
•
•
•
•
•
-1.0
0.0
••
•
•
•
•
-0.6
Residuals
0.2
•
•
ACF
0.4
•
•
2.0
0
10
20
30
Lag
10 - 59
Ozone SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Intervention Model
No Transformation (Model 9) Part 1
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm regr variables= ozo.xreg
0
-2
-1
Residuals
1
2
Residuals vs. Time
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
Time
•
•
•
•
•
• • ••••
•
•
•
•
•
•
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• •• • •
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••
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•
•
2
4
6
Fitted Values
0.0
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•
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• • • • •• • •
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0.5
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2
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0
Residuals
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-1
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-2
Residual ACF
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Residuals vs. Fitted Values
0
10
20
30
Lag
10 - 60
Ozone SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Intervention Model
No Transformation (Model 9) Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= pphm regr variables= ozo.xreg
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
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pphm
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Normal Probability Plot
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Normal Scores
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-2
-1
0
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2
Residuals
10 - 61
Ozone SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Intervention Model
Log Transformation (Model 10) Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( pphm ) regr variables= ozo.xreg
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
•
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6
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pphm
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1960
1965
1970
1975
Index
3
Normal Probability Plot
0
-1
-2
Normal Scores
1
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-3
1955
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-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Residuals
10 - 62
Ozone Data esti SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12 Model
Log Transformation (Model 8) Output Part 2
Monthly Average of Hourly Readings of Ozone on Downtown Los Angeles
Model: Component 1 :: ndiff= 1 ma: 1 Component 2 :: period= 12 ndiff= 1 ma: 1 on w= log( pphm )
Actual Values * * * Fitted Values * * * Future Values
* * 95 % Prediction Interval * *
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8
•
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6
•
pphm
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4
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1960
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1970
1975
Index
3
Normal Probability Plot
0
-1
-2
Normal Scores
1
2
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-3
1955
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-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
Residuals
10 - 63
Summary of Models Fit to the Ozone Data
10 - 64
Unscrambled Seasonal Intervention Models
Overall:
Zt
=
Zt−12 + ω1 (I1t − I1t−12 ) + ω2 I2t + ω3 I3t − θ1 at−1 − Θ1at−12 + θ1 Θ1at−13 + at
Before 1960 and between 1961 and 1966
Zt = Zt−12 − θ1at−1 − Θ1at−12 + θ1Θ1at−13 + at
In 1960
Zt = Zt−12 + ω1 − θ1at−1 − Θ1at−12 + θ1Θ1at−13 + at
All warm months after 1966
Zt = Zt−12 + ω2 − θ1at−1 − Θ1at−12 + θ1Θ1at−13 + at
All cool months after 1966
Zt = Zt−12 + ω3 − θ1at−1 − Θ1at−12 + θ1Θ1at−13 + at
10 - 65
Unscrambled Seasonal Intervention Models
Overall:
Zt
=
Zt−12 + ω1(I1t − I1t−12 ) + ω2I2t + ω3 I3t + Nt
Before 1960 and between 1961 and 1966
Zt = Zt−12 + Nt
In 1960
Zt = Zt−12 + ω1 + Nt
All warm months after 1966
Zt = Zt−12 + ω2 + Nt
All cool months after 1966
Zt = Zt−12 + ω3 + Nt
10 - 66