Contents
0
Metric Faithfulness: from the origins to modern applications . . . . . . . .
0.1 Metric faithfulness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.1 Expansion and compression moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Historical and Foundational Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3 The geometric approach: a powerful versatile tool . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.1 Applications in computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3.2 Applications in topology and noncommutative geometry . . .
0.3.3 Applications in group theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
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2
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Part I Lipschitz Geometry
1
Metric Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Enflo-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definition and other variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Distortion lower bounds for the Hamming cubes . . . . . . . . . .
1.2 Markov-convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Distortion lower bounds for trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Distortion lower bounds for diamond and Laakso graphs . . .
1.3 Markov type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Definition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Distortion lower bounds for graphs with large girth . . . . . . . .
1.4 Metric type and metric cotype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Definitions and permanence properties . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Distortion lower bounds for integer grids . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 X p metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Definition and history of the X p -inequalities . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ix
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2
Contents
Low Distortion Embeddings into Low Dimensional Spaces . . . . . . . . . .
2.1 Low distortion embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Stochastic decompositions of finite spaces . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Stochastic decompositions of spaces with low intrinsic
dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dimension reduction and Hilbertian geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Reduction to logarithmic dimension in `2 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Dimension reduction in `1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Lower bounds based on diamond graphs . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Dimension reduction in `∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Lower bound based on large girth graphs . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Lower bounds based on measure concentration . . . . . . . . . . .
2.4.3 Lower bounds based on geometric arguments . . . . . . . . . . . . .
2.5 Dimension reduction for spaces with low intrinsic dimension . . . . . .
2.5.1 Lower bounds for doubling subsets of ` p . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
7
3
Trees and ultrametric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Structural results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Low distortion embeddings of trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Low dimensional embeddings of trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Dimension reduction for trees in `1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ultrametric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Structural results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Embeddings of ultrametrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Ultrametric skeletons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9
9
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4
Embeddability of Infinite Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Finite Determinacy of Embeddability Problems . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Isometric embeddability into Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Lipschitz embeddability of locally finite spaces . . . . . . . . . . .
4.1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Bi-Lipschitz embeddability into c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Embeddability into the positive cone of c0 . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Embeddability into c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 The infinite Hamming cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Almost isometric embeddability into spaces of continuous
functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Topological obstruction to low distortion embeddability . . . .
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12
Metric Characterizations of Spaces with Small Slicing Indices . . . . . . .
5.1 Dentability index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 The dentability index D(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Renorming of spaces with D(X) ≤ ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Metric characterization of spaces with D(X) ≤ ω . . . . . . . . .
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Contents
5.2
xi
Szlenk Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 The Szlenk index Sz(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Renorming of reflexive spaces with Sz(X) ≤ ω and
Sz(X ∗ ) ≤ ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Metric characterization of reflexive spaces with Sz(X) ≤ ω
and Sz(X ∗ ) ≤ ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Towards a metric characterization of reflexive spaces with
Sz(X) ≤ ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14
Part II Small Scale Geometry and Large Scale Geometry
6
7
Embeddings preserving the small and large scale geometries
simultaneously . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Almost Lipschitz embeddability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Almost Lipschitz embeddability of proper spaces . . . . . . . . .
6.2 Nearly isometric embeddability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Nearly isometric embeddability of stable spaces . . . . . . . . . .
6.3 Metric transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 A dichotomy for metric transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Embedding snowflakings of spaces with intrinsic low
dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Embeddability of snowflakings of Banach spaces . . . . . . . . .
Uniform and coarse embeddability of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Uniform embeddability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Uniform embeddings and Mazur maps . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Uniform embeddability into Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Uniform embeddability into reflexive Banach spaces . . . . . . .
7.2 Coarse embeddability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Coarse embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Coarse embeddability into Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Property A and coarse embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Coarse embeddability into reflexive Banach spaces . . . . . . . .
7.3 Poincare type inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Nonlinear spectral gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Strong embeddability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Obstruction to coarse or uniform embeddability into
reflexive spaces: Property Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 More on the geometry of `∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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20
20
xii
8
Contents
Coarse Lipschitz geometry of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Coarse Lipschitz embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Link with uniform or Lipschitz equivalences . . . . . . . . . . . . .
8.2 Coarse Lipschitz invariants: the compression exponents . . . . . . . . . .
8.2.1 Permanence properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Large distortion incurs small compression . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Compression exponents of spaces with low intrinsic
dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Coarse Lipschitz geometry of Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 The Lebesgue spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21
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21
Part III Large Scale Geometry of Finitely Generated Groups
9
10
Equivariant large scale geometry of finitely generated groups . . . . . . .
9.1 Equivariant coarse geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Equivariant coarse embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Amenability and equivariant embeddings . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Equivariant quasi-isometric geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Equivariant compression exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Quasi-isometric invariance of the equivariant
` p -compression exponent of amenable groups . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Large equivariant Hilbertian compression implies
amenability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4 Random walks and equivariant compression exponent
lower bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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26
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26
26
Hyperbolic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1 Definition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Embeddability into product of binary trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Metric characterization of superreflexivity in terms of hyperbolic
groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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27
27
11
The Heisenberg Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 Definitions of the discrete Heisenberg group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 No quasi-isometric equivariant embeddings into ergodic spaces . . . .
11.3 Euclidean distortion of balls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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29
29
29
12
Thompson’s group F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
12.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
12.2 Hilbertian compression of Thompson’s group F . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
13
Lamplighter groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1 Cyclic lamplighter groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Euclidean distortion of the cyclic lamplighter groups C2 oCn
13.2 ` p -compression of Z o Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Lamplighter groups over trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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33
33
33
33
33
Contents
xiii
13.3.1 Equivariant embeddability of lamplighter groups over trees . 33
14
Baumslag-Solitar groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 ` p -compression exponents of Baumslag-Solitar groups . . . . . . . . . . .
14.3 Equivariant embeddability of Baumslag-Solitar groups . . . . . . . . . . .
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35
35
35
Part IV Appendices
A
Elements of topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A.1 General topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A.2 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B
Elements of graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1 Finite graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Families of expander graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1 Combinatorial definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.2 Spectral definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.3 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Infinite graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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41
41
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41
41
41
C
Elements of group theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1 Topological groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Group actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3 Semi-direct products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.4 Wreath products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.5 HNN extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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43
43
43
43
D
Probabilistic Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
D.1 Measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
D.2 Probabilistic inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
E
Tools from nonstandard analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
E.1 Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
E.2 Ultraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
F
Basic concepts in Banach space theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
F.1 Infinite dimensionnal theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
F.2 Local theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
G
Combinatorial Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
G.1 Ramsey Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
H
Rudiments of computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
H.1 Turing machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
H.2 Time complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53