171S4.1p  Polynomial Functions and Models
MAT 171 Precalculus Algebra
Dr. Claude Moore
Cape Fear Community College
CHAPTER 4:
Polynomial and Rational Functions
4.1 Polynomial Functions and Models
4.2 Graphing Polynomial Functions
4.3 Polynomial Division; The Remainder and Factor Theorems
4.4 Theorems about Zeros of Polynomial Functions
4.5 Rational Functions
4.6 Polynomial and Rational Inequalities
4.1 Polynomial Functions and Models
•
Determine the behavior of the graph of a polynomial  function using the leading­term test.
Factor polynomial functions and find the zeros and  their multiplicities.
•
Use a graphing calculator to graph a polynomial  function and find its real­number zeros its relative  maximum and minimum values, and its domain and  range.
•
Solve applied problems using polynomial models; fit  linear, quadratic, power, cubic, and quartic polynomial  functions to data.
The following PowerPoint presentation was developed by Dr. Moore.
It covers material in sections as indicated below.
Section 4.1, Slides 7­12  http://cfcc.edu/faculty/cmoore/c2s1­4.ppt
Section 4.2, Slides 13­14  http://cfcc.edu/faculty/cmoore/c2s1­4.ppt
Section 4.3, Slides 15­20  http://cfcc.edu/faculty/cmoore/c2s1­4.ppt
Section 4.4, Slides 21­26  http://cfcc.edu/faculty/cmoore/c2s1­4.ppt
Oct 18­12:48 PM
Oct 23­8:07 AM
Polynomial Function
A  polynomial function   P  is given by where the coefficients  a n ,  a n ­  1
, …,  a
1
,  a
0
are real  numbers and the exponents are whole numbers.
Quadratic Function
October 28, 2012
Oct 23­7:55 AM
Technology for this section
Click the globe to the left and visit SAS Curriculum
Pathways for interactive programs on Polynomial
Functions.
User: able7oxygen
Quick Launch: 1022 (Worksheet: Polynomial Patterns), 1441
(Exploring Graphs of Polynomial Functions)
You may use the "Polynomial Roots" program to graph polynomial functions and find the  real roots (zeros).  http://cfcc.edu/mathlab/geogebra/poly_roots.html
Mathematica Interactive Figures  are available through
Tools for Success, Activities and Projects in CourseCompass.
You may access these through CourseCompass or from the
Important Links webpage. You must Login to MML to use  this link.
4.1 Polynomials and the Leading­Term Test;  4.1 Zeros of Polynomial Functions
4.1 Volume of a Box;  4.1 Modeling Data: Regression
Oct 18­12:48 PM
Cubic Function
Examples of Polynomial Functions
Oct 18­12:48 PM Oct 18­12:48 PM
1

171S4.1p  Polynomial Functions and Models
The Leading­Term Test
October 28, 2012
Oct 18­12:48 PM
Graphs
Solution
Oct 18­12:48 PM
Find the zeros of   f  ( x ) =  0.2
x 3  – 1.5
x 2  – 0.3x + 2.
Approximate the zeros to three decimal places.
Solution   Use a graphing calculator to create a graph.  Look for  points where the graph crosses the  x ­axis.  We use the ZERO feature  to find them.
The zeros are approximately –1.164, 1,142, and 7.523.  http://cfcc.edu/mathlab/geogebra/poly_roots.html
Oct 18­12:48 PM
a)
b)
c)
d)
Example
Using the leading term­test,  match each of the following  functions with one of the graphs
A­D, which follow.
Oct 18­12:48 PM
Finding Zeros of Factored Polynomial Functions
c
f
c
c
x
Finding Zeros of Factored Polynomial
Functions continued
Solution:
To solve the equation f(x) = 0, we use the principle of zero products,  solving x ­ 1 = 0  and  x + 2 = 0.
The zeros of f(x) are 1 and ­2.
See graph on right.
Oct 18­12:48 PM
If ( x
−
c ) k ,  k
≥
1, is a factor of a polynomial function  P ( x ) and
( x
−
c ) k  + 1  is not a factor and:
•
k  is odd, then the graph crosses the  x ­axis at ( c , 0);
•
k  is even, then the graph is tangent to the  x ­axis at ( c , 0).
f
x
x 4
x 2
f
x
x 4
x 2
x 2
x 2
f
x
Oct 18­12:48 PM
2

171S4.1p  Polynomial Functions and Models
309/2.
Determine the leading term, the leading  coefficient, and the degree of the polynomial. Then  classify the polynomial function as constant, linear,  quadratic, cubic, or quartic.
f(x) = 15x 2  ­ 10 + 0.11x
4  ­ 7x 3
October 28, 2012
309/8.
Determine the leading term, the leading  coefficient, and the degree of the polynomial. Then  classify the polynomial function as constant, linear,  quadratic, cubic, or quartic.
f(x) = 2 ­ x 2
309/5.
Determine the leading term, the leading  coefficient, and the degree of the polynomial. Then  classify the polynomial function as constant, linear,  quadratic, cubic, or quartic.
f(x) = 305x 4  + 4021
Oct 18­2:19 PM
309/12.
Select one of the following four sketches to  describe the end behavior of the graph of the  function.
f(x) = (1/4)x 4  + (1/2)x 3  ­ 6x 2  + x ­ 5
309/14.
Select one of the following four sketches to  describe the end behavior of the graph of the  function.
f(x) = (2/5)x 5  ­ 2x 4  + x 3  ­ (1/2)x + 3
Oct 18­2:19 PM
310/19.
Use the leading­term test to match the  function with one of the graphs (a) ­ (d), which follow.     f(x) = ­x 6  + 2x 5  ­ 7x 2
309/10.
Determine the leading term, the leading  coefficient, and the degree of the polynomial. Then  classify the polynomial function as constant, linear,  quadratic, cubic, or quartic.
f(x) = 12 + x
Oct 18­2:19 PM
309/16.
Select one of the following four sketches to  describe the end behavior of the graph of the  function.
f(x) = ­x 3  + x 5  ­ 0.5x
6
309/18.
Select one of the following four sketches to  describe the end behavior of the graph of the  function.
f(x) = 2x + x 3  ­ 5x 5
Oct 18­2:19 PM
310/21.
Use the leading­term test to match the  function with one of the graphs (a) ­ (d), which follow.     f(x) = x 5  + (1/10)x ­ 3
310/20.
Use the leading­term test to match the  function with one of the graphs (a) ­ (d), which follow.     f(x) = 2x 4  ­ x 2  + 1
Oct 18­2:19 PM
310/22.
Use the leading­term test to match the  function with one of the graphs (a) ­ (d), which follow.     f(x) = ­x 3  + x 2  ­ 2x + 4
Oct 18­2:19 PM
3

171S4.1p  Polynomial Functions and Models
310/23.
Use substitution to determine whether 4, 5,  and ­2 are zeros of    f(x) = x 3  ­ 9x 2  + 14x + 24
October 28, 2012
310/25.
Use substitution to determine whether 2, 3,  and ­1 are zeros of    f(x) = x 4  ­ 6x 3  + 8x 2  + 6x ­ 9  f(5) = (5) 3  ­ 9(5) 2  + 14(5) + 24 = 125 ­ 9(25) + 70 + 24 = ­6
Thus, x = 5 is NOT a zero of f(x).
f(­2) = (­2) 3  ­ 9(­2) 2  + 14(­2) + 24 = ­8 ­ 9(4) ­ 28 + 24 = ­48
Thus, x = ­2 is NOT a zero of f(x).
310/24.
Use substitution to determine whether 2, 3,  and ­1 are zeros of    f(x) = 2x 3  ­ 3x 2  + x + 6
310/26.
Use substitution to determine whether 1, ­2,  and 3 are zeros of    f(x) = x 4  ­ x 3  ­ 3x 2  + 5x ­ 2
Oct 18­2:19 PM
310/28.
Find the zeros of the polynomial function and  state the multiplicity of each
f(x) = (x + 5) 3 (x ­ 4)(x + 1) 2
Oct 18­2:19 PM
310/38.
Find the zeros of the polynomial function and  state the multiplicity of each
f(x) = x 4  ­ 10x 2  + 9
310/34.
Find the zeros of the polynomial function and  state the multiplicity of each
f(x) = x 2 (x + 3) 2 (x ­ 4)(x + 1) 4
310/42.
Find the zeros of the polynomial function  and state the multiplicity of each
f(x) = 3x 3  + x 2  ­ 48x ­ 16
Oct 18­2:19 PM
310/44.
Using a graphing calculator, find the real  zeros of the function  f(x) = x 3  + 3x 2  ­ 9x ­ 13
You may wish to use this program to check your work.  http://cfcc.edu/mathlab/geogebra/poly_roots.html
310/46.
Using a graphing calculator, find the real  zeros of the function  f(x) = x 4  ­ 2x 3  ­ 5.6
You may wish to use this program to check your work.  http://cfcc.edu/mathlab/geogebra/poly_roots.html
Oct 18­2:19 PM
Oct 18­2:19 PM
310/48.
Using a graphing calculator, find the real  zeros of the function  f(x) = 3x 3  ­ x 2  ­ 14x ­ 10
You may wish to use this program to check your work.  http://cfcc.edu/mathlab/geogebra/poly_roots.html
Oct 18­2:19 PM
4

171S4.1p  Polynomial Functions and Models
310/50.
Using a graphing calculator, find the real  zeros of the function  f(x) = x 6  ­ 10x 5  + 13x 3  ­ 4x 2  ­ 5
You may wish to use this program to check your work.  http://cfcc.edu/mathlab/geogebra/poly_roots.html
October 28, 2012
310/52.
Using a graphing calculator, estimate the real  zeros, the relative maxima and minima, and the range  of the function
h(x) = (­1/2)x 4  + 3x 3  ­ 5x 2  + 3x + 6
310/54.
Using a graphing calculator, estimate the real  zeros, the relative maxima and minima, and the range  of the function
h(x) = 2x 3  ­ x 4  + 20
Oct 18­2:19 PM Oct 18­2:19 PM
310/55.
Using a graphing calculator, estimate the real  zeros, the relative maxima and minima, and the  range of the function
f(x) = x 2  + 10x + x 5
310/56.
Using a graphing calculator, estimate the real  zeros, the relative maxima and minima, and the  range of the function
f(x) = 2x 4  ­ 5.6x
2  + 10
Oct 18­2:19 PM
311/57.
Determine whether true or false:
If P(x) = (x ­ 3) 4 (x + 1) 3 , then the graph of the  polynomial function y = P(x) crosses the  x­axis at (3, 0).
311/58.
Determine whether true or false:
If P(x) = (x + 2) 2 (x ­ 1/4) 5 , then the graph of the  polynomial function y = P(x) crosses the x­axis at
(1/4, 0).
Oct 18­2:19 PM
Oct 18­2:19 PM
311/59.
Determine whether true or false:
If P(x) = (x ­ 2) 3 (x + 5) 6 , then the graph of the  polynomial function y = P(x) crosses the x­axis at
(1/4, 0).
311/60.
Determine whether true or false:
If P(x) = (x + 4) 2 (x ­ 1) 2 , then the graph of the  polynomial function y = P(x) crosses the x­axis at
(1/4, 0).
Oct 18­2:19 PM
5

171S4.1p  Polynomial Functions and Models
311/64.
Threshold Weight . In a study performed by
Alvin Shemesh, it was found that the  threshold  weight W , defined as the weight above which the risk  of death rises dramatically, is given by
W(h) = (h/12.3) 3 ,  where W is in pounds and h is a  persons height, in inches. Find the threshold weight of  a person who is 5 ft 7 in. tall.
October 28, 2012
W(h) = (h / 12.3)3  Substitute 5 ft 7 in. = 67 in. into the formula for  h = 67. Thus, W(67) = (67 / 12.3)3 =  161.625 lbs.
The threshold weight for a person 5 ft 7 in. is about 161.6 lbs.
Oct 18­2:19 PM
311/65.
Projectile Motion.
A stone thrown downward  with an initial velocity of 34.3 m/sec will travel a  distance of s meters, where   s(t) = 4.9t
2  + 34.3t   and  t is in seconds. If a stone is thrown downward at
34.3 m/sec from a height of 294 m, how long will it  take the stone to hit the ground?
Oct 25­8:00 AM
311/??.
Windmill Power.
Under certain conditions,  the power P, in watts per hour, generated by a  windmill with winds blowing v miles per hour is given  by   P(v) = 0.015v
3 .
(a) Find the power generated by 15­mph winds.
(b) How fast must the wind blow in order to generate
120 watts of power in 1 hr?
Oct 18­2:19 PM
312/70.  Interest Compounded Annually.  When  P   dollars is invested at interest rate  i , compounded  annually, for  t  years, the investment grows to  A  dollars,  where  A = P(1 + i) t . When Sara enters the 11th grade,  her grandparents deposit $10,000 in a college savings  account. Find the interest rate  i  if the $10,000 grows to
$11,193.64 in 2 years.
Oct 18­2:19 PM
Oct 18­2:19 PM
For instructions of using TI to model, see the tutorial at  http://cfcc.edu/faculty/cmoore/TI83Modeling.htm
313/72.
Determine which, if any, of the following functions  might be used as a model for the data.  a) Linear, f(x) = mx + b b) Quadratic, f(x) = ax 2  + bx + c, a > 0 c) Quadratic, f(x) = ax 2  + bx + c, a < 0 d) Polynomial, not linear or quadratic
313/73.
Determine which, if any, of the following functions  might be used as a model for the data.  a) Linear, f(x) = mx + b b) Quadratic, f(x) = ax 2  + bx + c, a > 0 c) Quadratic, f(x) = ax 2  + bx + c, a < 0 d) Polynomial, not linear or quadratic
313/74.
Determine which, if any, of the following functions  might be used as a model for the data.  a) Linear, f(x) = mx + b b) Quadratic, f(x) = ax 2  + bx + c, a > 0 c) Quadratic, f(x) = ax 2  + bx + c, a < 0 d) Polynomial, not linear or quadratic
313/76.  Determine which, if any, of the following functions  might be used as a model for the data.  a) Linear, f(x) = mx + b b) Quadratic, f(x) = ax 2  + bx + c, a > 0 c) Quadratic, f(x) = ax 2  + bx + c, a < 0 d) Polynomial, not linear or quadratic
Oct 18­2:19 PM
6

171S4.1p  Polynomial Functions and Models
313/??.
Unemployed.
The table below shows the  number of unemployed in the United States from 1996  through 2006.
See TI tutorial at  http://cfcc.edu/faculty/cmoore/TI83Modeling.htm
a) Use a graphing calculator to fit cubic and  quartic functions to the data. Let x represent the  number of years since 1996.  b) Use the functions found in part (a) to estimate  the number of unemployed in 2008. Compare the  estimates and determine which model gives the  more realistic estimate.
October 28, 2012
313/77.
Foreign Adoptions.  The number of foreign  adoptions in the United States has declined in recent  years, as shown in the table below.
See TI tutorial at  http://cfcc.edu/faculty/cmoore/TI83Modeling.htm
a) Use a graphing calculator to fit  quadratic, cubic, and quartic functions to  the data. Let x represent the number of  years since 2000. Using R 2 ­values  determine which function is the best fit.
b) Use the functions found in part (a) to  estimate the number of U.S. foreign  adoptions in 2010.
Oct 18­2:19 PM
313/78.
U.S. Farm Acreage.  As the number of farms  has decreased in the United States, the average size of  the remaining farms has grown larger, as shown in the  table below.
See TI tutorial at  http://cfcc.edu/faculty/cmoore/TI83Modeling.htm
a) Use a graphing calculator to fit  quadratic, cubic, and quartic functions to  the data. Let x represent the number of  years since 1900. Using R 2 ­values  determine which function is the best fit.
b) Using the functions found in part (a)  estimate the average acreage in 1955, in
1998, and in 2011.
Oct 18­2:19 PM
314/80.   Dog Years.  A dog’s life span is typically much  shorter than that of a human. Age equivalents for dogs and  humans are listed in the table below.
See TI tutorial at  http://cfcc.edu/faculty/cmoore/TI83Modeling.htm
a) Use a graphing calculator to fit linear  and cubic functions to the data. Which  function has the better fit? [ Larger R 2 ] b) Using the function from part (a),  estimate the equivalent human age for  dogs that are 5, 10, and 15 years old.
Oct 18­2:19 PM
See TI tutorial at  http://cfcc.edu/faculty/cmoore/TI83Modeling.htm
Oct 18­2:19 PM
7