LINEAR CONTROL SYSTEMS Ali Karimpour Assistant Professor Ferdowsi University of Mashhad Lecture 10 Lecture 10 Stability analysis Topics to be covered include: v v Stability of linear control systems. u Bounded input bounded output stability (BIBO). u Zero input stability. Stability of linear control systems through Routh Hurwitz criterion. 2 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Stability analysis تجزیه تحلیل پایداری The response of linear systems can always be decomposed as the zerostate response and zero-input response. We study 1. Input output stability of LTI system is called BIBO (bounded-input bounded-output) stability ( the zero-state response ) 2. Internal stability of LTI system is called Asymptotic stability ( the zero-input response ) پاسخ سیستمهای خطی را می توان بصورت جمع پاسخ حالت صفر و پاسخ ورودی .صفر بیان نمود (ورودی کراندارBIBO پایداری ورودی خروجی سیستمهای خطی پایداری-1 ) (پاسخ حالت صفر.خروجی کراندار) نامیده می شود (پاسخ. پایداری داخلی سیستمهای خطی پایداری مجانبی نامیده می شود-2 3 ) ورودی صفر Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Input output stability of LTI system LTI پایداری ورودی خروجی سیستمهای Consider a SISO linear time-invariant system, then the output can be described by t t 0 0 y(t ) g (t )u( )d g ( )u(t )d (I ) where g(t) y(t ) is g (t the )u( )dimpulse g ( )u(t )dresponse of the system and system is relaxed at t=0. ( خروجی را میLTI) در سیستم تک ورودی تک خروجی خطی غیر متغیر با زمان توان بصورت t t 0 0 t t 0 0 y(t ) g (t )u( )d g ( )u(t )d (I ) . آرام استt=0 پاسخ ضربه بوده و سیستم درg(t) نمایش داد که 4 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Input output stability of LTI system LTI پایداری ورودی خروجی سیستمهای Definition: A system is said to be BIBO stable (bounded-input bounded-output) if every bounded input excited a bounded output. This stability is defined for zero-state response and is applicable only if the system is initially relaxed. گویند اگر هر ورودی محدود خروجی محدودBIBO یک سیستم را پایدار:تعریف این پایداری برای پاسخ حالت صفر تعریف شده و سیستم در ابتدا آرام.را تولید کند .است 5 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Input output stability of LTI system LTI پایداری ورودی خروجی سیستمهای Theorem: A SISO system described by (I) is BIBO stable if and only if g(t) is absolutely integrable in [0,∞), or 0 g (t ) dt M For some constant M. گویند اگرBIBO ( را پایدارI) توصیف شده با معادالتSISO یک سیستم:قضیه [ انتگرال پذیر باشد یا0,∞) در بازهg(t) و فقط اگر قدر مطلق 0 g (t ) dt M . عدد ثابت می باشدM 6 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Input output stability of LTI system LTI پایداری ورودی خروجی سیستمهای Proof: g(t) is absolutely integrable system is BIBO Let u(t ) be bounded so u(t ) um then y(t ) 0 g ( )u (t )d g ( ) u(t ) d um g ( ) d um M 0 0 So the output is bounded. Now: System is BIBO stable g(t) is absolutely integrable If g(t) is not absolutely integrable, then there exists t1 such that: Let us choose t1 0 g ( ) d if g ( ) 0 if g ( ) 0 1 u (t1 ) 1 t1 y (t1 ) g ( )u (t1 )d g ( ) d So it is not BIBO 7 Ali Karimpour Jun 2010 0 t1 0 Lecture 10 Input output stability of LTI system LTI پایداری ورودی خروجی سیستمهای Theorem: A SISO system with proper rational transfer function g(s) is BIBO stable if and only if every pole of g(s) has negative real part. گویندBIBO را پایدارg(s) با تابع انتقال مناسب گویایSISO یک سیستم:قضیه . دارای قسمت حقیقی منفی باشدg(s) اگر و فقط اگر هر قطب 8 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Internal stability پایداری داخلی The BIBO stability is defined for the zero-state response. Now we study the stability of the zero-input response. Definition: The zero-input response of x Ax is stable in the sense of Lyapunov if every finite initial state x0 excites a bounded response. In addition if the response approaches to zero then it is asymptotically stable. را به مفهوم لیاپانوف پایدار گویند اگرx Ax پاسخ ورودی صفر سیستم:تعریف عالوه بر این اگر پاسخ به. پاسخ محدودی را بوجود آوردx0 هر حالت اولیه محدود .صفر میل کند پایداری مجانبی حاصل می شود 9 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Internal stability پایداری داخلی Theorem: The equation x Ax is asymptotically stable if and only if all eigenvalues of A have negative real parts. پایدار مجانبی است اگر وx Ax معادله:قضیه دارای قسمت حقیقیA فقط اگر تمام مقادیر ویژه .منفی باشد Relation between BIBO stability and asymptotic stability? 10 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 R(s) Example 1: Discuss the stability of the system . s 1 s2 C (s ) 1 s 1 BIBO stability: C ( s) 1 G(s) R( s ) s 2 There is no RHP root , so system is BIBO stable. Internal stability: For internal stability we need state-space model so we have: 1 x1 ( s ) s 1 s 1 x1 ( s ) R( s) s2 x2 ( s ) 1 x1 ( s) R( s) x2 ( s ) s 1 3 x1 ( s ) R( s) s2 R(s ) s 1 s2 x1 1 s 1 x2 C (s ) x2 x1 x2 x1 2 x1 r r ? x2 x1 x2 r x1 2 x1 3r R(s) 3 s2 x1 + + 1 s 1 x2 C (s ) 11 11 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Example 1: Discuss the stability of the system . BIBO stability: R(s) s 1 s2 C (s ) 1 s 1 There is no RHP root , so system is BIBO stable. Internal stability: For internal stability we need state-space model so we have: x1 2 x1 3r R(s ) 3 s2 x2 x1 x2 r x1 2 0 x1 3 x 1 1 x 1 r 2 2 x1 c 0 1 x2 sI - A x1 s2 0 1 s 1 + + 1 s 1 x2 C (s ) 12 ( s 1)( s 2) 1, 2 1 2 The system is not internally stable (neither asymptotic nor Lyapunov stable). Very important note: If RHP poles and zeros between different part of system 12 omitted then the system is internally unstable although it may be BIBO stable. Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 مرور Review How can we check BIBO stability? n( s ) G( s) d ( s) Let If p1 , p2 ,..., pn LHP d (s) 0 Find poles p1 , p2 ,..., pn System is BIBO stable How can we check asymptotic stability? Let sI A 0 If 1 , 2 ,..., n LHP Find eigenvalue s 1 , 2 ,..., n System is asymptotically stable For both kind of stability we need to compute the zero of some polynomial 13 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Different regions in S plane S نواحی مختلف در صفحه LHP plane Stable RHP plane Unstable 14 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Stability and Polynomial Analysis پایداری و تجزیه تحلیل چند جمله ای ها Consider a polynomial of the following form: The problem to be studied deals with the question of whether that polynomial has any root in RHP or on the jw axis. jw و یا روی محورRHP مساله این است که آیا چند جمله ای فوق ریشه ای در .دارد و یا خیر 15 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Some Polynomial Properties of Special Interest چند خاصیت جالب چند جمله ای ها Property 1: The coefficient an-1 satisfies Property 2: The coefficient a0 satisfies Property 3: If all roots of p(s) have negative real parts, it is necessary that ai > 0, i {0, 1, …, n-1}. Property 4: If any of the polynomial coefficients is nonpositive (negative or zero), then, one or more of the roots have nonnegative real plant. 16 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Routh Hurwitz Algorithm آلگوریتم روت هرویتز The Routh Hurwitz algorithm is based on the following numerical table. sn 1 s n 1 s n2 an 1 2 ,1 an2 an 3 2, 2 an4 an 5 2,3 .............. .............. .............. s n 3 . . . 3,1 3, 2 3, 3 .............. s0 n ,1 Routh’s table 17 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Routh Hurwitz Algorithm آلگوریتم روت هرویتز an 1 2 ,1 an2 an 3 2, 2 an4 an 5 2,3 .............. .............. .............. s n 3 . . . 3,1 3, 2 3, 3 .............. s0 n ,1 sn 1 s n 1 s n2 Routh’s table a a a 1 2,1 n 2 n 1 n 3 an 1 2, 2 an 4 an 1 an 51 an 1 2,3 an 6 an 1 an 7 1 an 1 18 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Result نتیجه Consider a polynomial p(s) and its associated table. Then the number of roots in RHP is equal to the number of sign changes in the first column of the table. تعداد ریشه های. و جدول متناظر آن را در نظر بگیریدp(s) چند جمله ای . برابر با تعداد تغییر عالمت در ستون اول جدول استRHP واقع در 19 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Routh Hurwitz Algorithm آلگوریتم روت هرویتز an 1 2 ,1 an2 an 3 2, 2 an4 an 5 2,3 .............. .............. .............. 3,1 3, 2 3, 3 .............. sn 1 s n 1 s n2 s n 3 . . . s0 n ,1 Routh’s table Number of sign changes=number of roots in RHP 20 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Example 1: Check the number of zeros in the RHP . سیستم زیر را تعیین کنیدRHP تعداد صفر:1 مثال p( s) 2s 4 s 3 3s 2 5s 10 0 s4 2 3 10 s3 s2 1 7 45 7 10 5 10 0 0 0 0 0 0 s1 s0 Two roots in RHP 21 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Routh Hurwitz special cases حاالت خاص روت هرویتز Routh Hurwitz special cases 1- The first element of a row is zero. (see example 2) 2- All elements of a row are zero. (see example 3) 22 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Example 2: Check the number of zeros in the RHP . سیستم زیر را تعیین کنیدRHP تعداد صفر:2 مثال p( s ) s 4 s 3 2s 2 2s 3 0 s4 s3 s2 s1 s0 1 1 0 2 3 3 3 2 3 2 3 0 0 0 0 0 0 Two roots in RHP for any 23 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Example 3: Check the number of zeros in the RHP . سیستم زیر را تعیین کنیدRHP تعداد صفر:3 مثال p( s) s 5 4s 4 8s 3 8s 2 7 s 4 0 s5 1 8 7 s4 s3 s2 s1 s1 s0 4 6 4 0 8 4 8 6 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 q( s ) 4s 2 4 0 q( s ) 8s 0 No RHP roots + two roots on imaginary axis 24 Ali Karimpour Jun 2010 Example 4: Check the stability of following system for different values of k Lecture 10 . بررسی کنیدk پایداری سیستم زیر را بر حسب مقادیر:4 مثال + - k s(3s 1) 3 ks(3s 1) s 2s 4 M ( s) 3 s (3s 1) s 2s 4 ks(3s 1) 1 k 3 s 2s 4 s (3s 1) s 3 2s 4 k To check the stability we must check the RHP roots of s 3 3ks2 (2 k ) s 4 0 s3 s s 2 1 s0 1 2k 3k 3k (2 k ) 4 3k 4 4 3k 0 3k 6k 4 0 3k 2 0 We need k>0.528 for stability 0 25 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Example 5: Check the BIBO and internal stability of the following system. . پایداری ورودی خروجی و پایداری داخلی سیستم زیر را تحقیق کنید5 مثال r + - 1 x2 s 1 s 1 x1 s c BIBO stability 1 c( s ) 1 s r (s) 1 1 s 1 s p 1 We have BIBO stability Internal stability x2 x2 r x1 x1 x2 x2 s 1 sI A 1 x1 x1 r x2 x1 x2 r 0 s2 1 0 s 1 x1 1 0 x1 1 x 1 1 x 1 r 2 2 1 1 2 1 We have not 26 Internal stability Ali Karimpour Jun 2010 Example 6: The block Diagram of a control system is depicted in the Lecture 10 following figure. Find the region in K-α plane concluding the system stable. ناحیه ای در.بلوک دیاگرام یک سیستم کنترل در شکل زیرنشان داده شده است: 6 مثال . به دست آورید که سیستم پایدار باشدK-α صفحه R(s) + - s s K ( s 2) s2 1 Y(s) 27 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Example 6: The block Diagram of a control system is depicted in the following figure. Find the region in K-α plane concluding the system stable. R(s) + - s s K ( s 2) s2 1 C(s) 28 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Exercises 1- Check the internal stability of following system. 2 x 0 1 y [1 2 3 0 3 2 x 1 u 4 1 0 0]x 1 2- a) Check the internal stability of following system. 3 b) Check the BIBO stability of following system. 6 4 6 x 1 2 2 x 3u 1 6 6 4 y [2 2 1]x 3- Are the real parts of all roots of following system less than -1. p ( s ) s 4 s 5s 6 s 2 s 4 5 4 3 2 29 Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Exercises (Cont.) 4- Check the internal stability of following system versus k. + k - 10 s( s 10)( s 5) 5- a)Check the BIBO stability of following system. b) Check the internal stability of following system. + - 1 x2 s 1 s 1 x1 s( s 10) 6- The eigenvalues of a system are -3,4,-5 and the poles of its transfer function are -3 and -5.(Midterm spring 2008) a) Check the BIBO stability of following system. 30 b) Check the internal stability of following system. Ali Karimpour Jun 2010 Lecture 10 Exercises (Cont.) 7) The open-loop transfer function of a control system with negative unit feedback is: K ( s 2) G( s) H ( s) s(1 Ts)(1 2s) Find the region in K-T plane concluding the system stable. Answer: Unstable K Unstable Stable 0.33 0.66 Unstable T 31 Ali Karimpour Jun 2010