Sept 2013
4.10 Thevenin and Norton Equivalents
Thevenin and Norton equivalents are circuit
simplifications techniques that focus on terminal
behavior. We can best describe a Thevenin
equivalent circuit by reference to Fig. 4.44, which
represents any circuit made up of sources
(both independent and dependent) and resistors.
The letters a and b denote the pair of terminals of interest.
Figure 4.44(b) shows the Thevenin equivalent. Thus, a Thevenin equivalent circuit
is an independent voltage source VTh in series with a resistor RTh, which replaces an
interconnection of sources and resistors. This series combination of VTh and RTh is
equivalent to the original circuit in the sense that, if we connect the same load across
the terminals a, b of each circuit, we get the same voltage and current at the terminals
of the load.
Finding a Thevenin Equivalent
1) Calculate the open-circuit voltage 𝑣1 as in
Fig. 4.45 which is equal to VTh.
𝑣1 − 25
𝑣1
+
−3=0
5
20
𝑣1 = 𝑣𝑇ℎ = 32 V
‫يجب أن تكون حياتك أكبر‬
.‫بكثير من مجرد وجود‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
2) Calculate the short-circuit current 𝑖𝑠𝑐 as in
Fig. 4.46.
𝑣2 − 25 𝑣2
𝑣2
+
− 3+
=0
5
20
4
𝑣2 = 16 V
𝑖𝑠𝑐 =
16
=4A
4
3) Calculate the Thevenin resistance which is the
ratio of the open-circuit voltage to the shortcircuit current as in Fig. 4.47.
𝑅𝑇ℎ =
𝑉𝑇ℎ 32
=
=8Ω
𝑖𝑠𝑐
4
The Norton Equivalent
A Norton equivalent circuit consists of an independent current source in
parallel with the Norton equivalent resistance. We can derive it from a Thevenin
equivalent circuit simply by making a source transformation. Thus the Norton current
equals the short-circuit current at the terminals of interest, and the Norton resistance
is identical to the Thevenin resistance.
‫مااا تفاااه مناا سااي ع ا‬
. ‫داومت على تفكيرك في‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Using Source Transformations (independent sources):
Sometimes we can make effective use of
source transformations to derive a Thevenin or
Norton equivalent circuit.
For example, we can derive the Thevenin and
Norton equivalents of the circuit shown in Fig 4.45
by making the series of source transformations
shown in Fig. 4.48.
This technique is most useful when the network
contains only independent sources.
‫قااااد يكااااون ماااان الواجااااب‬
.‫عليك اتفا ال رار اآلن‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Finding the Thevenin Equivalent of a Circuit with a Dependent Source
Example 4.10:
Find the Thevenin equivalent for the
circuit containing dependent sources
shown in Fig. 4.49.
Solution:
1. Calculating VTh (Open-Circuit):
Applying KVL at left loop:
−5 + 2000𝑖 + 3𝑣 = 0
2000𝑖 + 3𝑣 = 5
(1)
Applying KVL at right loop:
−𝑣 − 25 ∗ 20𝑖 = 0
500𝑖 + 𝑣 = 0
Solving,
𝑖 = 0.01 A,
(2)
𝑣 = −5 V = 𝑉𝑇ℎ .
2. Calculating 𝑖𝑠𝑐 (Short-Circuit):
Applying KVL for the outer right loop (with no resistor, no voltage drop)
𝑖𝑠𝑐 = −20𝑖
𝑣 = 0 (no voltage drop)
5
From equation 1 , 𝑖 =
= 2.5 ∗ 10−3 A
2000
𝑖𝑠𝑐 = −0.05 A
𝟏𝟎𝟎𝛀
a
𝟓𝒗
3. Calculating 𝑅𝑇ℎ :
𝑅𝑇ℎ =
+
b
𝑉𝑇ℎ
−5
=
= 100 Ω
𝑖𝑠𝑐
−0.05
‫يتمنى البعض أمورا هم يمتلكونها‬
.‫ ولكنهم ال يدركون لك‬،‫بالفعل‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
The Deactivation Method (for independent Sources Only)
The technique for determining RTh that
we discussed and illustrated earlier is not
always the easiest method available. Two other
methods are generally simpler to use.
The first is useful if the network contains only
independent sources. To calculate RTh for such
Figure 4.52 A circuit used to illustrate
a Thévenin equivalent
a network, we first deactivate all independent
sources and then calculate the resistance seen
looking into the network at the terminal pair. A
voltage source is deactivated by replacing it
with a short circuit. A current source is
deactivated by replacing it with a short circuit. For example, consider the circuit
shown in Fig. 4.52. Deactivating the independent sources simplifies the circuit to the
one shown in Fig. 4.53. The resistance seen looking into the terminals a, b is denoted
Rab, which consists of the 4 Ω resistor in series with the parallel combinations of the
5 Ω and 20 Ω resistors. Thus,
𝑅𝑎𝑏 = 𝑅𝑇ℎ = 4 +
5 × 20
=8Ω
25
4.11 The Test Method (for Independent and Dependent Sources)
If the circuit or network contains dependent and independent sources, an
alternative procedure for finding the Thevenin resistance RTh is as follows. We first
deactivate all independent sources, and we then apply either a test voltage source or a
test current source to the Thevenin terminals a, b. The Thevenin resistance equals the
ratio of the voltage across the test sources to the current delivered by the test source.
‫كثير من الناس تسرع‬
.‫الفطى في مكانها‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Finding the Thevenin Equivalent Using a Test Source
Example 4.11:
Find the Thevenin resistance RTh for the circuit in Fig. 4.49, using the alternative
method described.
Solution:
We first deactivate the independent voltage source from the circuit and then excite
the circuit from the terminals a, b with either a test voltage source or a test current
source. If we apply a test voltage source, we will know the voltage of the dependent
voltage source and hence the controlling current i. Therefore we opt for the rest
voltage source.
The externally applied test voltage source is denoted 𝑣𝑇 , and the current that it
delivers to the circuit is labeled 𝑖 𝑇 . To find the Thevenin resistance, we simply solve
the circuit for the ratio of the voltage to the current at the test source; that is,
𝑅𝑇ℎ = 𝑣𝑇 /𝑖 𝑇
𝑣𝑇
𝑖𝑇 =
+ 20𝑖 (node − voltage)
25
−3𝑣𝑇
𝑖=
mA (left loop)
2
𝑣𝑇 60𝑣𝑇
𝑣𝑇
𝑖𝑇 =
–
=
25 2000 100
𝑣𝑇
𝑅𝑇ℎ =
= 100 Ω
𝑖𝑇
،‫ع لك الباطن ال يستفدم المنطق‬
. ‫ن ي بل ما تملي علي‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
In general, these computations are easier than those involved in computing the
short-circuit current. Moreover, in a network containing only resistors and
independent sources, you must use the alternative method because the ratio of the
Thevenin voltage to the short-circuit current is indeterminate. That is, it is the
ratio 0/0.
(Thevenin Method) ‫ملفص بطرق الحل بطري ة‬
Method
Indep. Only
Dep. Only
Indep + Dep.
Basic Method


---
Source Transformation

---
---
Deactivation

---
---
Test (alternative)



‫نااا مااان الحماقاااة أن تااا من ب ااادرة‬
.‫بعض األشياء على لحاق األ ى بك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Assessment Problem 4.16:
Find the Thévenin equivalent circuit with respect
to the terminals a, b for the circuit shown.
Solution:
To find RTh, replace the 72 V source with a short circuit:
𝑅𝑇ℎ = ((5 ⃦20) + 8)||12 = 6 Ω
Using node voltage analysis to find 𝑣𝑇ℎ :
The node voltage equations are:
𝑣1 − 72
𝑣1
𝑣1 − 𝑣𝑇ℎ
+
+
=0
5
20
8
𝑣𝑇ℎ − 𝑣1 𝑣𝑇ℎ − 72
+
=0
8
12
Solving,
𝑣1 = 60 V and
𝑣𝑇ℎ = 64.8 V
.‫ فال تلم الطعام‬،‫ا انعدمت شهيتك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Assessment Problem 4.17:
Find the Norton equivalent circuit with respect
to the terminals a, b for the circuit shown.
Solution:
We perform a source transformation, turning the parallel combination of the 15 A
source and 8 Ω resistor into a series combination of a 120 V source and an 8 Ω
resistor. Next, combine the 2 Ω, 8 Ω and 10 Ω resistors in series to give an
equivalent 20 Ω resistance. Then transform the series combination of the 120 V
source and the 20 Ω equivalent resistance into a parallel combination of a 6 A source
and a 20 Ω resistor.
Finally, combine the 20 V and 12 Ω parallel resistors to give RN = 20||12 = 7.5 Ω.
Thus, the Norton equivalent circuit is the parallel combination of a 6 A source and a
7.5 Ω resistor.
،‫أيااا كااان الااايء ال ا ي تطلب ا بصاادق‬
. ‫ ا آمنت أنك تستح‬، ‫ستحصل علي‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Assessment Problem 4.18:
A voltmeter with an internal resistance of 100 kΩ
is used to measure the voltage 𝑣𝐴𝐵 in the circuit
shown. What is the voltmeter reading?
Solution:
Using source transformations, convert the series
combination of the -36 V source and 12 kΩ
resistor into a parallel combination of a -3 mA
source and 12 kΩ resistor.
Combine the two parallel current sources and the
two parallel resistors to give a −3 + 18 =
15 mA source in parallel with a 12 k ||60 k = 10 kΩ
resistor. Transform the 15 mA source in parallel
with the 10 kΩ resistor into a 150 V source in
series with a 10 kΩ resistor, and combine this
10 kΩ resistor in series with the 15 kΩ resistor.
The Thevenin equivalent is thus a 150 V source in series with a 25 kΩ resistor
Using voltage division:
𝑣𝐴𝐵 =
100,000
(150) = 120 V
125,000
، ‫اعت د في الفير سوه تحصل علي‬
.‫اعت د في الار سوه ينال منك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Assessment Problem 4.19:
Find the Thévenin equivalent circuit with respect
to the terminals a, b for the circuit shown.
Solution:
Calculating the open circuit voltage, which is also vTh,
𝑣𝑇ℎ
𝑣𝑡ℎ − 24
+ 4 + 3𝑖𝑥 +
=0
8
2
𝑣𝑇ℎ
𝑖𝑥 =
8
Solving,
𝑣𝑇ℎ = 8 V
Using the test source method to calculate RTh, replace
the voltage source with a short circuit, the current
source with an open circuit:
Applying KCL equation at the middle node:
𝑖 𝑇 = 𝑖𝑥 + 3𝑖𝑥 +
𝑣𝑇
𝑣𝑇
= 4𝑖𝑥 +
2
2
𝑖𝑥 =
𝑣𝑇
8
Solving,
𝑖 𝑇 = 4(𝑣𝑇 / 8) + 𝑣𝑇 /2 = 𝑣𝑇
𝑅𝑇ℎ = 𝑣𝑇 ⁄𝑖 𝑇 = 1 Ω
The Thevenin equivalent is an 8 V source in series with a 1 Ω resistor.
.‫ حتما‬،‫ وسوه تحدث لك‬،‫فكر في العراقيل التي تواج طموحاتك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
Using deactivating method, we can calculate RTh
as follows:
𝑅𝑇ℎ = 8 +
(40)(10)
= 16 Ω
50
Using voltage divider:
𝑣𝑇ℎ =
40
∗ 60 = 48 V
(10 + 40)
The final circuit of Thevenin is:
.‫ تعامل وكأن قد وقع بالفعل‬،‫قرر نجاحك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
The 10 mA current source and the 10 kΩ
resistor will have no effect on the behavior of
the circuit with respect to the terminals a, b.
This is because they are in parallel with an
ideal voltage source.
Which can be transformed to:
Which can be simplified to Norton equivalent:
‫الع باااة فاااي طرياااق تفوقاااك‬
.‫تكمن في ع لك الباطن ف ط‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
‫‪Sept 2013‬‬
‫‪Solution:‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪Open circuit:‬‬
‫‪∴ 𝑣2 = 35 V‬‬
‫‪𝑣2 − 9 𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪− 1.8 = 0‬‬
‫‪20‬‬
‫‪70‬‬
‫‪60‬‬
‫= ‪𝑣𝑇ℎ‬‬
‫‪∗ 𝑣 = 30 V‬‬
‫‪70 2‬‬
‫‪Short circuit:‬‬
‫‪𝑣2 − 9 𝑣2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪− 1.8 = 0‬‬
‫‪∴ 𝑣2 = 15 V‬‬
‫‪20‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9 − 15‬‬
‫= 𝑎𝑖‬
‫‪= −0.3 A‬‬
‫‪20‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫‪𝑖𝑠𝑐 = 1.8 − 0.3 = 1.5 A‬‬
‫) = 𝑅𝑜(‬
‫‪10‬‬
‫‪30‬‬
‫= ‪𝑅𝑇ℎ‬‬
‫‪= 20 Ω‬‬
‫‪1.5‬‬
‫)‪b‬‬
‫بعض الناس يستمتعون باأللم‬
‫ألن يجلب اهتمام اآلخرين بهم‪.‬‬
‫‪30 + 60‬‬
‫‪= 20 Ω‬‬
‫‪90‬‬
‫= ‪𝑅𝑇ℎ = ( 20 + 10)||60‬‬
‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية ‪ 9 4444 062‬أو بالبريد اإللكتروني‬
‫‪Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy‬‬
‫م‪ .‬حمادة شعبان ‪info@eng-hs.com 9 4444 260‬‬
‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين ‪, eng-hs.neteng-hs.com‬‬
Sept 2013
Solution:
After making a source transformation the circuit becomes
−500 + 8(𝑖1 − 𝑖2 ) + 12𝑖1 = 0
−300 + 30𝑖2 + 5.2𝑖2 + 8(𝑖2 − 𝑖1 ) = 0
Solving,
𝑖1 = 30 A
30 Ω
and
𝑖2 = 12.5 A
40
8 ΩΩ
5.2 Ω
𝑣𝑇ℎ = 12𝑖1 + 5.2𝑖2 = 425 V
12 Ω
Using deactivation method to get RTh:
𝑅𝑇ℎ = (8||12 + 5.2)||30 = 7.5 Ω
The final Thevenin circuit is:
.‫ن أفضل وسيلة هي تلك ات المجهود األقل‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
a)
Using source transformation method, we can get 𝑣𝑇ℎ through the following steps:
1. Converting 30 V along with series 10 kΩ
resistor to 3 mA current source parallel to
10 kΩ resistor, then combining 10 kΩ || 40 kΩ
to 8 kΩ.
2. Converting 3 mA current source along with
parallel 8 kΩ resistor to 24 V voltage source in
series along with 8 kΩ resistor.
3. Converting 24 V voltage source in series
along with 12 kΩ resistor to 2 mA current
source in parallel along with 12 kΩ resistor,
and adding current sources together.
‫أنت تستحق أكثر مما أنت‬
.‫ ال أشك في لك‬،‫علي اآلن‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Continue soluation (Problem 4.71):
4. Combining (10 mA with 12 kΩ) to (120 V
with 12 kΩ), adding (12 kΩ with 3 kΩ) to
15 kΩ, transferring (120 V with 15 kΩ) to
(8 mA with 15 kΩ), combining resulting
(15 kΩ || 10 kΩ) to 6 kΩ, finally transferring
(8 mA and 6 kΩ) to (48 V and 6 kΩ).
𝑣𝑇ℎ = 48 V
𝑅𝑇ℎ = 6 kΩ
𝑣𝑚𝑒𝑎𝑛𝑠 =
100
(48) = 45.28 V
106
b)
%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = (
45.28 − 48
) × 100 = −5.67%
48
‫ت كر دائما أن ال ي تبحث‬
.‫عن هو أيضا يبحث عنك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
Open circuit:
Applying node − voltage method to get VTh knowing that:
𝑣1 − 40
𝑣1
𝑣1 − 𝑣2
+
+
=0
2000
20,000
5000
𝑣2 − 𝑣1
𝑣2
𝑣2 − 𝑣3
𝑣1
+
+
+ 30
= 0
5000
50,000 10,000
20,000
𝑣3 − 𝑣2
𝑣3
𝑣1
+
− 30
=0
10,000 40,000
20,000
Solving,
𝑣1 = 24 V,
𝑣2 = −10 V,
𝑣3 = 280 V,
VTh = 𝑣3 = 280 V.
Short circuit:
Applying mesh method to get isc
−40 + 2000𝑖1 + 20,000(𝑖1 − 𝑖2 ) = 0
5000𝑖2 + 50,000(𝑖2 − 𝑖𝑠𝑐 ) + 20,000(𝑖2 − 𝑖1 ) = 0
50,000(𝑖𝑠𝑐 − 𝑖2 ) + 10,000(𝑖𝑠𝑐 − 30𝑖𝑖∆ ) = 0
𝑖∆ = 𝑖1 − 𝑖2
Solving,
𝑖1 = 13.6 mA,
𝑖2 = 12.96 mA,
𝑖𝑠𝑐 = 14 mA,
𝑖∆ = 640 μA.
𝑅𝑇ℎ =
280
= 20 kΩ
0.014
‫ال تسمح ألي أحد أن يحرمك‬
.‫من غايتك في الحياة‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
Open circuit:
Applying Ohm’s law for right loop:
𝑣2 = −𝑖𝑅 = −(80𝑖𝑏 )(50 × 103 ) = −40 × 105 𝑖𝑏
4 × 10−5 𝑣2 = −160𝑖𝑏
Applying KVL for middle loop:
4 × 10−5 𝑣2 + 1310𝑖𝑏 = 1310𝑖𝑏 − 160𝑖𝑏 = 1150𝑖𝑏 = 100𝑖100
Applying KCL at top left node:
500 μA =
1150𝑖𝑏
+ 𝑖𝑏
100
𝑣2 = −160 V,
Solving,
𝑖𝑏 = 40 μA
𝑖𝑏 = 40 μA.
Short circuit:
𝑣2 = 0
𝑖𝑠𝑐 = −80𝑖𝑏
𝑖𝑏 = 500 × 10−6
100
= 35.46 μA
(100 + 1310)
𝑖𝑠𝑐 = −80 (35.46) = −2837 mA
𝑅𝑇ℎ =
−160
= 56.4 kΩ
−2837 × 10−6
The final Thevenin circuit is:
.‫تغني الصورة عن ألف كلمة‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
a)
Use source transformations to simplify the left side of the circuit, as follows:
1) Transfer (16 V in series with 4 kΩ) to (4 mA in series with 4 kΩ).
2)4 𝑘Ω || 6 kΩ =
4∗6
= 2.4 kΩ
4+6
3) Transfer (4 mA in parallel with 2.4 kΩ) to (9.6 V in series with 2.4 kΩ)
4) Add (9.6 V to 0.4 V) and (2.4 kΩ to 0.1 kΩ) to get the following shape:
10 − 7.5
= 1 mA
2.5
let 𝑅0 = 7.5/0.8 = 9.375 kΩ
𝑖𝑏 =
𝑅0 =
(𝑅𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 )(10)
= 9.375
𝑅𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 + 10
𝑅𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 =
(9.375)(10)
= 150 kΩ
0.625
Applying KVL for left loop:
−10 + (2.5 ∗ 103 )𝑖𝑏 + (10 ∗ 103 ) ∗ 0.8𝑖𝑏 = 0
𝑖𝑏 = 0.952 mA
b)
𝑣𝑒 = 𝑖𝑅 = (0.8 ∗ 0.9524 ∗ 10−3 ) ∗ (10 ∗ 103 ) = 7.62 V
% 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = (
7.5 − 7.62
) × 100 = −1.57%
7.62
،‫اسمح لآلخرين باالختاله معك‬
.‫نها أفضل وسيلة لتطوير اتك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
VTh = 0, since there are no independent sources,
we must apply the test method:
𝑣1 − 10𝑖∆ 𝑣1 𝑣1 − 𝑣𝑇
+
+
=0
10
2.5
12
𝑣𝑇 − 𝑣1 𝑣𝑇 − 10𝑖∆
+
−1 =0
12
6
𝑣𝑇 − 𝑣1
𝑖∆ =
12
Solving,
𝑣1 = 2 V,
𝑣𝑇 = 8 V,
𝑣𝑇
𝑅𝑇ℎ =
=8Ω
1𝐴
1A
𝑖∆ = 0.5 A.
The equivalent Thevenin circuit is:
Note: 𝑉𝑇ℎ is zero since there are no independent sources.
‫ن أهم معنى للصفح عن اآلخرين‬
.‫هو زاحة األلم عن نفسك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
a) Open Circuit Voltage:
1) Convert (3 mA in parallel with 4 kΩ)
to (12 V in series with 4 kΩ)
2) 4 kΩ + 8 kΩ = 12 kΩ
Applying node voltage method:
𝑣 − 12
𝑣 − 10
𝑣
+
+
= 0
12,000
20,000 12,500
𝑣 = 7.03125 V
Solving:
𝑣10 KΩ =
10,000
(7.01325) = 5.625 V
12,500
𝑣𝑇ℎ = 𝑣 − 10 = −4.375 V
𝑅𝑇ℎ = 𝑅0 = ( (12,000 ⃦20, 000) + 2500)||10,000 = 5 kΩ
b) 𝑝𝑚𝑎𝑥 = (−437.5 × 10−6 )2 (500) = 957 μW
c) 𝑣4.7 𝐾Ω =
𝑝4.7 𝐾Ω
4700
(−4.375) = −2.12 V
4700 + 5000
(−2.12)2
=
= 956.12 μW
4700
% 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = (
956
− 1) (100) = −0.1%
957
‫نك تستحق أفضل بكثير من‬
.‫تلك الحياة التي تعياها اآلن‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
‫‪Sept 2013‬‬
‫‪ Solution:‬‬
‫)‪a‬‬
‫‪Since 0 ≤ 𝑅0 ≤ ∞ maximum power will be delivered to the 9 Ω resistor‬‬
‫‪when 𝑅0 = 0‬‬
‫)‪b‬‬
‫‪(30)2‬‬
‫=𝑝‬
‫‪= 150 W‬‬
‫‪6‬‬
‫ب ا‬
‫يجببدائما ب اتواععوج ب اوجببوئا‬
‫‪،‬اكوا سععئمائما ا‪،‬اسعكوواهنب ا‬
‫احيثاالاععوج اوجوئه اتبئم‬
‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية ‪ 9 4444 062‬أو بالبريد اإللكتروني‬
‫‪Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy‬‬
‫م‪ .‬حمادة شعبان ‪info@eng-hs.com 9 4444 260‬‬
‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين ‪, eng-hs.neteng-hs.com‬‬
Sept 2013
4.12 Maximum Power Transfer
Maximum power transfer can best be
described with the aid of the circuit shown in
Fig. 4.58. We assume a resistive network
containing
independent
and
dependent
sources and a designated pair of terminals, a,
b to which a load, RL is to be connected.
The problem is to determine the value of RL
that permits maximum power delivery to RL.
The first step in this process is to recognize
that a resistive network can always be
replaced by its Thevenin equivalent.
Therefore, we redraw the circuit shown in
Fig. 4.58 as the one shown in Fig. 4.59.
Replacing the original network by its
Fig. 4.59
Thevenin equivalent greatly simplifies the
task of finding RL.
Derivation of RL requires expressing the
power dissipated in RL as a function of the
three circuit parameters VTh,
RTh, and RL.
Thus,
2
𝑉𝑇ℎ
𝑝 = 𝑖 𝑅𝐿 = (
) 𝑅𝐿
𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿
2
‫كثيرا ما تكون بعض المااكل‬
.‫مصباحا لبداية طريق أفضل‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Next, we recognize that for a given circuit, VTh and RTh will be fixed.
Therefore the power dissipated is a function of the single variable RL.
To find the value of RL that maximizes the power, we use the elementary calculus.
We begin by writing an equation for the derivative of p with respect to RL:
(𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )2 − 𝑅𝐿 ∗ 2(𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )
𝑑𝑝
2
= 𝑉𝑇ℎ [
]
(𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )4
𝑑𝑅𝐿
The derivative is zero and p is maximized when
(𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )2 = 2 𝑅𝐿 (𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 )
Solving this equation yields
𝑅𝐿 = 𝑅𝑇ℎ
𝑝𝑚𝑎𝑥
2
2
2
𝑉𝑇ℎ
𝑅𝐿
𝑉𝑇ℎ
𝑉𝑇ℎ
=
=
=
(2𝑅𝐿 )2
4𝑅𝐿 4𝑅𝑇ℎ
.
‫أناس كثيرون تال حركتهم‬
.‫ع بات هم وضعوها بأنفسهم‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Example 4.12: Calculating the Condition for Maximum Power Transfer
a) For the circuit shown, find the value of RL that
results in maximum power being transferred to R L.
b) Calculate the maximum power that can be
delivered to RL.
c) When RL is adjusted for maximum power transfer, what percentage of the power
delivered by the 360 V source reaches RL?
Solution:
a) Applying the node-voltage equation
𝑉𝑇ℎ 𝑉𝑇ℎ − 360
+
=0
150
30
𝑉𝑇ℎ = 300 V
Using Deactivation method:
𝑅𝑇ℎ =
b)
𝑝𝑚𝑎𝑥
(150)(30)
= 25 Ω = 𝑅𝐿
180
2
(300)2
𝑉𝑇ℎ
=
=
= 900 W
4 𝑅𝑇ℎ
4 ∗ 25
c) When RL equals 25 Ω, the voltage 𝑣𝑎𝑏 is
𝑣𝑎𝑏 = 𝑣𝑆 ∗
𝑖𝑠 =
𝑅
25
= 300 ∗
= 150 V
(25 + 25)
𝑅𝑒𝑞
360 − 150 210
=
=7A
30
30
𝑝𝑠 = −𝑖𝑠 (360) = −2520 W
percentage =
900
× 100 = 35.71 %
2520
. ‫ أنصحك بفعل‬،‫ا أردت قتل الفوه من شيء‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Assessment Problem 4.20
Find the Thévenin equivalent circuit with respect to
the terminals a, b for the circuit shown. (Hint: Define
𝑖Δ
the voltage at the leftmost node as 𝑣, and write two
nodal equations with 𝑉𝑇ℎ as the right node voltage.)
Solution:
Using the node voltage method
𝑣 𝑣 − (𝑣𝑇ℎ + 160𝑖∆ )
+
−4=0
60
20
𝑣𝑇ℎ 𝑣𝑇ℎ 𝑣𝑇ℎ + 160𝑖∆ − 𝑣
+
+
=0
40
80
20
Solving with:
𝑖∆ =
𝑣𝑇ℎ
40
𝑣 = 172.5 V
𝑣𝑇ℎ = 30 V
Using test source method to calculate the test
current and thus 𝑅𝑇ℎ . Replace the current source
with a short circuit and apply the test source.
Applying KCL equation at the rightmost node:
𝑖𝑇 =
𝑣𝑇 𝑣𝑇 𝑣𝑇 + 160𝑖∆
+
+
80 40
80
Solving with:
𝑉𝑇ℎ
𝑣𝑇
⟹ 𝑖𝑇 =
40
10
𝑣𝑇
=
= 10 Ω
𝑖𝑇
𝑖∆ =
𝑅𝑇ℎ
Thus, the Thevenin equivalent is a 30 V source in series with a 10 Ω resistor.
.‫ستكون ناجحا طالما اعت دت لك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Assessment Problem 4.21:
a) Find the value or R that enables the
circuit shown to deliver maximum power
to the terminals a, b.
b) Find the maximum power delivered to R.
Solution:
Applying node-voltage to get VTh:
𝑣𝑇ℎ − (100 + 𝑣∅ ) 𝑣𝑇ℎ − 𝑣1
+
= 0
4
4
𝑣1 − 100 𝑣1 − 20 𝑣1 − 𝑣𝑇ℎ
+
+
= 0
4
4
4
𝑣∅ − 𝑣1 + 20 = 0
Solving,
𝑣𝑇ℎ = 120 V,
𝑣1 = 80 V,
𝑣∅ = 60 V.
Creating a short circuit between nodes a and b and use
the mesh current method to get 𝑖𝑠𝑐
−100 + 4(𝑖1 − 𝑖2 ) + 𝑣∅ + 20 = 0
−𝑣∅ + 4𝑖2 + 4(𝑖2 − 𝑖𝑠𝑐 ) + 4(𝑖2 − 𝑖1 ) = 0
−20 − 𝑣∅ + 4(𝑖𝑠𝑐 − 𝑖2 ) = 0
𝑣∅ = 4(𝑖1 − 𝑖𝑠𝑐 )
Solving,
𝑖1 = 45 A,
𝑖2 = 30 A,
𝑖𝑠𝑐 = 40 A,
𝑣∅ = 20 V.
. ‫ننا نحصي عمر الرجل ف ط ا لم يكن لدي شيء آخر يحصي‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Continue soluation (Assessment Problem 4.21):
Thus,
𝑅𝑇ℎ =
𝑣𝑇ℎ 120
=
=3Ω
𝑖𝑠𝑐
40
a)
For maximum power transfer, 𝑅 = 𝑅𝑡ℎ = 3 Ω
b)
The Thevenin voltage, 𝑣𝑇ℎ = 120 𝑉, is divided equally between the Thevenin
resistance and the load resistance, so
𝑣𝑙𝑜𝑎𝑑 =
𝑝𝑚𝑎𝑥
or 𝑝𝑚𝑎𝑥
120
= 60 V
2
2
𝑣𝑙𝑜𝑎𝑑
602
=
=
= 1200 W
𝑅𝑙𝑜𝑎𝑑
3
2
𝑉𝑇ℎ
(120)2
=
=
= 1,200 W = 1.2 KW
4𝑅𝑙𝑜𝑎𝑑
4(3)
‫من الم كد أن العالم ينتظر سهاماتك‬
‫ متى تبدأ؟‬،‫التي خل ت من أجلها‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Assessment Problem 4.22:
Assume that the circuit in Assessment problem 4.21
is delivering maximum power to the load resistor R.
a) How much power is the 100 V source
delivering to the network?
b) Repeat (a) for the dependent voltage source.
c) What percentage of the total power generated
by these two sources is delivered to the load
resistor R?
Solution:
According to Assessment 4.21, 𝑅 = 3 Ω
Using mesh current method:
−100 + 4(𝑖1 − 𝑖2 ) + 𝑣∅ + 20 = 0
−𝑣∅ + 4𝑖2 + 4(𝑖2 − 𝑖3 ) + 4(𝑖2 − 𝑖1 )
= 0
−20 − 𝑣∅ + 4(𝑖3 − 𝑖2 ) + 3 𝑖3
= 0
𝑣∅ = 4(𝑖1 − 𝑖3 )
Solving,
𝑖1 = 30 A,
a)
𝑖2 = 20 A,
𝑖3 = 20 A,
𝑃100𝑣 = −(100)(𝑖1 ) = −3000 W
b)
𝑃𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡 =
−(𝑣∅ )(𝑖2 ) = −800 W
c)
𝑃3Ω = 𝑖 2 𝑅 =
(20)2 (3) = 1200 W
% 𝑑𝑒𝑙𝑖𝑣𝑒𝑟𝑒𝑑 =
𝑣∅ = 40 V.
(delivers)
(delivers)
1200
= 31.6 %
3000 + 800
.‫ ال تحفر قبرك بأسنانك‬،‫ لكن بكميات قليلة‬،‫كل ما تااء‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
We need to find the Thevenin equivalent with respect to 𝑅0 .
1) Transfer (200 V in series with 25 Ω) to (8 A in parallel with 25 Ω).
2) 25 Ω||100 Ω = 20 Ω.
3) Transfer (8A in parallel with 20 Ω) to (160 V in series with 20 Ω).
4) 20 Ω + 10 Ω = 30 Ω.
𝑖𝑥 =
160 − 30𝑖𝑥
50
𝑖𝑥 = 2 A
𝑉𝑇ℎ = 20𝑖𝑥 + 30𝑖𝑥 = 50𝑖𝑥 = 100 V
Using the test-source method to find the
Thevenin resistance gives
𝑖𝑇 =
𝑣𝑇 𝑣𝑇 − 30(−𝑣𝑇 ⁄30)
+
30
20
𝑖𝑇
1
1
4
2
=
+
=
=
𝑣𝑇 30 10 30 15
𝑅𝑇ℎ
𝑣𝑇
15
=
=
= 7.5 Ω
𝑖𝑇
2
Solving for 𝑅0 :
𝑝 = 𝑖 2 𝑅0
100 2
𝑝=(
) 𝑅0 = 250
7.5 + 𝑅0
𝑅0 = 22.5 Ω
OR
𝑅0 = 2.5 Ω
.‫الطريق الفطأ أفضل كثيرا من خالل الالطريق‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
‫‪Sept 2013‬‬
‫‪ Solution:‬‬
‫‪Find the Th´evenin equivalent with respect to the terminals of 𝑅0‬‬
‫‪Open circuit voltage:‬‬
‫إذمامسببببببعنعن اتوانعييبببببب انعيجبببببب ا‬
‫ملعغيي اونؤ وابأنن اجبئي ووابذبذ ا‬
‫ملنع اجا أل جحاتنن اسنبلغاغ يعن‬
‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية ‪ 9 4444 062‬أو بالبريد اإللكتروني‬
‫‪Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy‬‬
‫م‪ .‬حمادة شعبان ‪info@eng-hs.com 9 4444 260‬‬
‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين ‪, eng-hs.neteng-hs.com‬‬
Sept 2013
 Continued Solution (problem 4.85):
(440 − 220) = 5𝑖𝑎 − 2𝑖𝑏 − 3𝑖𝑐
0 = −2𝑖𝑎 + 10𝑖𝑏 − 1𝑖𝑐
𝑖𝑐 = 0.5𝑣∆
Solving,
𝑣∆ = 2(𝑖𝑎 − 𝑖𝑏 )
𝑖𝑏 = 26.4 A
∴ 𝑣𝑡ℎ = 7𝑖𝑏 = 184.8 V
Short circuit current:
(440 − 220) = 5𝑖𝑎 − 2𝑖𝑆𝐶 − 3𝑖𝑐
0 = −2𝑖𝑎 + 10𝑖𝑠𝑐 − 1𝑖𝑐
𝑖𝑐 = 0.5𝑣∆
𝑣∆ = 2(𝑖𝑎 − 𝑖𝑠𝑐 )
Solving,
𝑖𝑠𝑐 = 60 A,
𝑖𝑎 = 80 A,
𝑖𝑐 = 20 A.
𝑅𝑡ℎ = 𝑣𝑡ℎ ⁄𝑖𝑠𝑐 = 184.8⁄60 = 3.08 Ω
‫ا إذماض عا‬،‫ملوجتاهواملحي ة‬
‫ملوجتاض عتاملحي ة‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
 Continued Solution (problem 4.85):
Therefore, the Th´evenin equivalent circuit configured for maximum power
to the load is:
From this circuit,
𝑝𝑚𝑎𝑥
(92.4)2
=
= 2772 W
3.08
With 𝑅0 equal to 3.08 the original circuit becomes:
440 − 220 = 5𝑖𝑎 − 2𝑖𝑏 − 35𝑖𝑐
‫يكعدالل ءا انوى ا‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
 Continued Solution (problem 4.85):
𝑖𝑐 = 0.5𝑣∆
𝑣∆ = 2(𝑖𝑎 − 𝑖𝑏 )
−92.4 = −2𝑖𝑎 + 3𝑖𝑏 − 1𝑖𝑐
Solving, 𝑖𝑎 = 88.4 A,
𝑖𝑏 = 43.2 A,
𝑖𝑐 = 45.2 A.
𝑣∆ = 2(88.4 − 43.2) = 90.4 V
𝑝440 V = −(440)(88.4)
= −38,896 W
𝑝440 V = (220)(88.4 − 45.2) = 9504 W
𝑝𝑑𝑒𝑝.𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒 = (440 − 92.4)(0.5(90.4)) = 15,711.52 W
Therefore, only the 440 V source supplies power to the circuit, and the power
supplied is 38,896 W.
% 𝑑𝑒𝑙𝑖𝑣𝑒𝑟𝑒𝑑 =
2772
= 7.13 %
38,896
‫ا‬، ‫ي كن اتواعيئعامآلي يواتحي ن‬
‫لكوا ذماسعقو النفس ؟‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
a)
Finding the Thevenin equivalent:
Open circuit voltage:
Using mesh current method:
−240 + 3(𝑖1 − 𝑖2 ) + 20(𝑖1 − 𝑖3 ) + 2𝑖1 = 0
2𝑖2 + 4(𝑖2 − 𝑖3 ) + 3(𝑖2 − 𝑖1 ) = 0
10𝑖𝛽 + 1𝑖3 + 20(𝑖3 − 𝑖1 ) + 4(𝑖3 − 𝑖2 ) = 0
The dependent source constraint equation is:
𝑖𝛽 = 𝑖2 − 𝑖1
Solving,
𝑖1 = 99.6 A, 𝑖2 = 78 A,
𝑖3 = 100.8 A,
𝑖𝛽 = −21.6 A.
𝑉𝑇ℎ = 20(𝑖1 − 𝑖3 ) = −24 V
‫يمكن أن تتف مستاارين لك‬
.‫ نها الكتب‬،‫في كافة المجاالت‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Continued soluation (Problem 4.87):
Short-circuit current:
Using mesh current method:
−240 + 3(𝑖1 − 𝑖2 ) + 2𝑖1 = 0
2𝑖2 + 4(𝑖2 − 𝑖3 ) + 3(𝑖2 − 𝑖1 ) = 0
10𝑖𝛽 + 1𝑖3 + 4(𝑖3 − 𝑖2 ) = 0
The dependent source constraint equation is:
𝑖𝛽 = 𝑖2 − 𝑖1
Solving,
𝑖1 = 92 A,
𝑖2 = 73.33 A,
𝑖3 = 96 A,
𝑖𝛽 = −18.67 A.
𝑖𝑠𝑐 = 𝑖1 − 𝑖3 = −4 A
𝑅𝑇ℎ =
𝑉𝑇ℎ −24
=
=8Ω
𝑖𝑠𝑐
−4
𝑅𝐿 = 𝑅𝑇ℎ = 6 Ω
b)
𝑝𝑚𝑎𝑥
(12)2
=
= 24 W
6
‫يمكنك أن تضاعف حياتك مرات‬
.‫ توجد طرق عديدة‬،‫ومرات‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
a) Finding the Thevenin equivalent:
(Open Circuit Voltage):
Using mesh current method:
−100 + 4(𝑖1 − 𝑖2 ) + 80(𝑖1 − 𝑖3 ) + 16𝑖1 = 0
124𝑖Δ + 8(𝑖2 − 𝑖3 ) + 4(𝑖2 − 𝑖1 )
=0
50 + 12𝑖3 + 80(𝑖3 − 𝑖1 ) + 8(𝑖3 − 𝑖2 )
=0
𝑖Δ = 𝑖3 − 𝑖1
Solving, 𝑖1 = 4.7 A,
𝑖2 = 10.5 A,
𝑖3 = 4.1 A,
𝑖Δ = −0.6 A.
𝑣𝑇ℎ = 𝑣𝑎𝑏 = −80𝑖Δ = 48 V
(Short Circuit Current):
Using mesh current method:
𝑖Δ = 0
124𝑖Δ = 0
−100 + 4(𝑖1 − 𝑖2 ) + 16𝑖1 = 0
8(𝑖2 − 𝑖3 ) + 4 (𝑖2 − 𝑖1 ) = 0
50 + 12𝑖3 + 8 (𝑖3 − 𝑖2 ) = 0
.‫البد أن تتعلم شيئا جديدا كل يوم‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Continue soluation (Problem 4.89):
Solving,
𝑖1 = 5 A,
𝑖2 = 0 A,
𝑖3 = −2.5 A.
𝑖𝑠𝑐 = 𝑖1 − 𝑖3 = 7.5 A
𝑅𝑇ℎ =
48
= 6.4 Ω
7.5
For maximum power transfer,
𝑅0 = 𝑅𝑇ℎ = 6.4 Ω
b)
𝑝𝑚𝑎𝑥
(24)2
=
= 90 W
6.4
c)
𝑖10Ω =
48
= 2.927 A
6.4 + 10
𝑝10Ω = 10(2.927)2 = 85.7 W
Thus, using a 10 resistor selected from Appendix H will cause 85.7 W of power to
be delivered to the load, compared to the maximum power of 90 W that will be
delivered if a 6.4 resistor is used.
‫ حتااى عناادما‬،‫ننااي ال أستساالم أباادا‬
.‫ي ول لي الناس نني لن أنجح أبدا‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
4.13 Superposition
Whenever we have more than one independent source, we can study the effect
of one-by-one source and add these effects together to result in the same result of the
overall system.
We demonstrate the superposition principle by
using it to find the branch currents in the circuit
shown in Fig. 4.62. We begin by finding the
branch currents resulting from the 120 V
Figure 4.63 The circuit shown in Fig. 4.62
with the current source deactivated.
voltage source.
𝑣1 − 120 𝑣1
𝑣1
+ +
=0
𝑣1 = 30 V
6
3 2+4
120 − 30
30
𝑖1′ =
= 15 A
𝑖2′ =
= 10 A
6
3
To find the component of the branch currents
𝑖3′ = 𝑖4′ =
𝑣3
30
=5A
6
𝑣4
resulting from the current source, we deactivate
the ideal voltage source and solve the circuit
shown in Fig. 4.64.
𝑣3 𝑣3 𝑣3 − 𝑣4
+ +
=0
3
6
2
𝑣4 − 𝑣3 𝑣4
+ + 12 = 0
2
4
𝑣3 = −12 V
𝑣4 = −24 V
‫ا ظننت أنك هزمت‬
.‫ف د هزمت‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
−𝑣3 12
=
=2A
6
6
𝑣3 − 𝑣4 −12 + 24
𝑖3′′ =
=
=6A
2
2
𝑖1′′ =
𝑣3 −12
=
= −4 A
3
3
𝑣4 −24
𝑖4′′ =
=
= −6 A
4
4
𝑖2′′ =
The currents 𝑖1 , 𝑖2 , 𝑖3 and 𝑖4 in Fig. 4.62 are:
𝑖1 = 𝑖1′ + 𝑖1′′ = 15 + 2 = 17 A
𝑖2 = 𝑖2′ + 𝑖2′′ = 10 − 4 = 6 A
𝑖3 = 𝑖3′ + 𝑖3′′ = 5 + 6 = 11 A
𝑖4 = 𝑖4′ + 𝑖4′′ = 5 − 6 = −1 A
For circuits containing both independent and dependent sources, you must recognize
that the dependent sources are never deactivated.
‫أفضل وسيلة للبر‬
.‫بالوعد أن ال تعد‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Example 4.13:
Use the principle of superposition to find 𝑣0 in the
circuit shown in Fig. 4.66
Solution:
𝑅
𝑅𝑒𝑞
20
= 10
=8V
25
𝑣0′ = 𝑣𝑠
Applying the node-voltage equations yield:
𝑣0′′ 𝑣0′′
+
− 0.4𝑣∆′′ = 0
20
5
Or
0.4𝑣∆′′
5𝑣0′′ − 8𝑣∆′′ = 0
𝑣𝑏 − 2𝑖∆′′
+
−5=0
10
Or 4𝑣∆′′ + 𝑣𝑏 − 2𝑖∆′′ = 50
Solving with:
𝑣𝑏 = 2𝑖∆′′ + 𝑣∆′′
5𝑣∆′′ = 50
Or 𝑣∆′′ = 10 V
5𝑣0′′ = 80
Or 𝑣0′′ = 16 V
The value of 𝑣0 is the sum of 𝑣0′ and 𝑣0′′ , or 24 V
.‫ا ابتسم المهزوم ف د المنتصر ل ة الفوز‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
a) 110 V source acting alone:
𝑅𝑒 = 10||14
𝑖′ =
110
5 + 35⁄6
𝑣′ = (
35
Ω
6
132
=
A
13
=
35 132
770
)(
)=
V = 59.231 V
6
13
13
4 A source acting alone:
5||10 = 10⁄3 Ω
10⁄3 + 2 = 16⁄3 Ω
16⁄3 ⃦12 = 48⁄13 Ω
Our circuit reduces to:
𝑣𝑎′′ = 4(48⁄13) = (192⁄13) V
−𝑣𝑎′′
(10⁄3) = −9.31 V
𝑣 =
(16⁄3)
′′
𝑣 = 𝑣 ′ + 𝑣 ′′ = 50 V
b)
𝑣2
𝑝=
= 250 W
10
.‫الحسد هو أن تبتلع سما أمال في أن يموت شفص آخر‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
240 V source acting alone:
𝑅𝑒𝑞 = ((4 + 1)||20) + 5 + 7
= (5||20) + 12 = 4 + 12 = 16 Ω
𝑣𝑜1 =
5||20
(240) = 60 V
16
84 V source acting alone:
𝑅𝑒𝑞 = ((5 + 7)||20) + 4 + 1
= (12||20) + 5 = 12.5 Ω
𝑣𝑜2 =
12||20
(−84) = −50.4 V
12.5
16 A current source acting alone:
(𝑣1 − 𝑣2 ) 𝑣1
+
− 16 = 0
5
7
(𝑣2 − 𝑣1 ) 𝑣2 (𝑣2 − 𝑣3 )
+
+
= 0
5
20
4
(𝑣3 − 𝑣2 ) 𝑣3
+
+ 16 = 0
4
1
Solving,
𝑣2 = 18.4 V = 𝑣𝑜3
Therefore, 𝑣𝑜 = 𝑣𝑜1 + 𝑣𝑜2 + 𝑣𝑜3 = 28 V
.‫حاول أن تستمتع بمااكلك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
‫‪Sept 2013‬‬
‫‪ Solution:‬‬
‫‪a) By hypothesis 𝑖0′ + 𝑖0" = 3 mA‬‬
‫‪∴ 𝑖0 = 3.5 − 1.25 = 2.25 mA‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪= −1.25 mA‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪𝑖0′′′ = −5‬‬
‫تن اتع فاك اشيءاإالانفسي‬
‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية ‪ 9 4444 062‬أو بالبريد اإللكتروني‬
‫‪Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy‬‬
‫م‪ .‬حمادة شعبان ‪info@eng-hs.com 9 4444 260‬‬
‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين ‪, eng-hs.neteng-hs.com‬‬
Sept 2013
 Continued Solution (problem 4.95):
b)
With all three sources in the circuit write a single node voltage equation.
𝑣𝑏 𝑣𝑏 − 8
+
+ 5 − 10 = 0
6
2
∴ 𝑣𝑏 = 13.5 V
𝑖0 =
𝑣𝑏
= 2.25 mA
6
‫يضح اكثي مًا وايضح اتيي ام ً ا‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
Sept 2013
Solution:
Voltage source acting alone:
Using node voltage method:
𝑣𝑜1
𝑣𝑜1 − 25
𝑣𝑜1 − 25
+
− 2.2 (
)=0
20,000
4000
4000
𝑣𝑜1 = 30 V
Current source acting alone:
Using node voltage method:
𝑣𝑜2
𝑣𝑜2
𝑣𝑜2
+ 0.005 +
− 2.2 (
)= 0
20,000
4000
4000
𝑣𝑜2 = 20 V
𝑣𝑜 = 𝑣𝑜1 + 𝑣𝑜2 = 30 + 20 = 50 V
‫ فما ا أنت حلمت؟‬،‫باألمس حلم األسد أن يجد فريسة اليوم‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬
‫‪Sept 2013‬‬
‫‪ Solution:‬‬
‫‪The mesh equations are:‬‬
‫‪=0‬‬
‫) 𝑏𝑖 ‪−125 + 0.15 𝑖𝑎 + 18.4(𝑖𝑎 − 𝑖𝑐 ) + 0.25(𝑖𝑎 −‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑏𝑖‪−125 + 0.25(𝑖𝑏 − 𝑖𝑎 ) + 38.4(𝑖𝑏 − 𝑖𝑑 ) + 0.15‬‬
‫‪0.15 𝑖𝑐 + 18.4(𝑖𝑐 − 𝑖𝑒 ) + 0.25(𝑖𝑐 − 𝑖𝑑 ) + 18.4(𝑖𝑐 − 𝑖𝑎 ) = 0‬‬
‫ينببببب بي املحك ببببب اععبببببئ ا‬
‫ي هذ ا يا وفاملكعد‬
‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية ‪ 9 4444 062‬أو بالبريد اإللكتروني‬
‫‪Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy‬‬
‫م‪ .‬حمادة شعبان ‪info@eng-hs.com 9 4444 260‬‬
‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين ‪, eng-hs.neteng-hs.com‬‬
Sept 2013
 Continued Solution (problem 4.99):
0.15 𝑖𝑑 + 38.4 (𝑖𝑑 − 𝑖𝑏 ) + 0.25 (𝑖𝑑 − 𝑖𝑐 ) + 38.4 (𝑖𝑑 − 𝑖𝑒 ) = 0
11.6 𝑖𝑒 + 38.4 (𝑖𝑒 − 𝑖𝑑 ) + 18.4 (𝑖𝑒 − 𝑖𝑐 ) = 0
Place these equations in standard form:
𝑖𝑎 (18.8) + 𝑖𝑏 (−0.25) + 𝑖𝑐 (−18.4) + 𝑖𝑑 (0) + 𝑖𝑒 (0)
= 125
𝑖𝑎 (−0.25) + 𝑖𝑏 (38.8) + 𝑖𝑐 (0) + 𝑖𝑑 (−38.4) + 𝑖𝑒 (0)
= 125
𝑖𝑎 (−18.4) + 𝑖𝑏 (0) + 𝑖𝑐 (37.2) + 𝑖𝑑 (−0.25) + 𝑖𝑒 (−18.4) = 0
𝑖𝑎 (0) + 𝑖𝑏 (−38.4) + 𝑖𝑐 (−0.25) + 𝑖𝑑 (77.2) + 𝑖𝑒 (−38.4) = 0
𝑖𝑎 (0) + 𝑖𝑏 (0) + 𝑖𝑐 (−18.4) + 𝑖𝑑 (−38.4) + 𝑖𝑒 (68.4)
Solving,
𝑖𝑎 = 32.77 A,
𝑖𝑑 = 23.27 A,
𝑖𝑏 = 26.46 A,
𝑖𝑒 = 20.14 A.
=0
𝑖𝑐 = 26.33 A,
Find the requested voltages:
𝑣1 = 18.4(𝑖𝑐 − 𝑖𝑒 ) = 113.90 V
𝑣2 = 38.4(𝑖𝑑 − 𝑖𝑒 ) = 120.19 V
𝑣3 = 11.6𝑖𝑒 = 233.62 V
‫ببب اتضبببي ا كببب ا ببب ا‬
‫ئمماالايعس الك ا ك‬
‫ أو بالبريد اإللكتروني‬9 4444 062 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة باإلبالغ عن أي خطأ أو مالحظات تراها ضرورية برسالة نصية‬
Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy
, eng-hs.neteng-hs.com ‫شرح ومسائل محلولة مجانا بالموقعين‬
info@eng-hs.com 9 4444 260 ‫ حمادة شعبان‬.‫م‬