Manual de
trigonometría
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Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas con su solución general
Ecuación trigonométrica
Definición
 = n
 = n +  / 2
 = n
 = 2n +  / 2
 = 2n
 = n + (−1)n
 = 2n  
 = n  
 = n  
 = n  
 = n  
sin  = 0
cos  = 0
tan  = 0
sin  = 1
cos  = 1
Una ecuación en la que intervienen una o varias razones
trigonométricas de un ángulo desconocido se denomina
ecuación trigonométrica
i.e., sin x + cos 2x = 1 , (1 − tan  )(1 + sin 2 ) = 1 + tan  ,


| sec +  | = 2 etc.
4

Solución general
sin  = sin 
Una ecuación trigonométrica es diferente de una identidad
trigonométrica. Una identidad se cumple para cada valor del
ángulo desconocido e.g., cos2 x = 1 − sin2 x se cumple x 
R , mientras que una ecuación trigonométrica se satisface
para algunos valores particulares del ángulo desconocido.
(1) Raíces de ecuación trigonométrica: El valor del
ángulo desconocido (una cantidad variable) que satisfaga la
1
ecuación se llama raíz de una ecuación, e.g., cos  = , la raíz
2
es  = 60 o or  = 300o porque la ecuación se satisface si
ponemos  = 60o ó  = 300o .
(2) Solución de ecuaciones trigonométricas: Un valor
cos  = cos 
tan  = tan 
sin2  = sin2 
tan2  = tan2 
cos2  = cos2 
sin  = sin 
*
cos  = cos 
 = 2n + 
sin  = sin 
*
tan  = tan 
 = 2n + 
tan  = tan 
*
cos  = cos 
 = 2n + 
del ángulo desconocido que satisface la ecuación trigonométrica
se llama su solución.
Dado que todas las razones trigonométricas son periódicas
por naturaleza, generalmente una ecuación trigonométrica tiene
más de una solución o un número infinito de soluciones. Existen
básicamente tres tipos de soluciones:
(i) Solución particular : Un valor específico del
ángulo desconocido que satisface la ecuación.
(ii) Solución principal : Valor numérico más pequeño
del ángulo desconocido que satisface la ecuación (solución
particular numéricamente más pequeña).
(iii) Solución general : Conjunto completo de valores del
ángulo desconocido que satisfacen la ecuación. Contiene todas
las soluciones particulares así como las soluciones principales.
Solución general de la forma a cos + b sin = c
En a cos + b sin  = c, colocar a = r cos  and b = r sin  donde:
r = a 2 + b 2 y |c |  a 2 + b 2
siendo:r (cos cos + sin  sin  ) =c
 cos( −  ) =
c
2
a + b2
= cos  .....(i)
  −  = 2n    = 2n   +  , donde tan  =
es la solución general.
Alternativamente, poniendo a = r sin  and b = r cos  ,
donde r = a 2 + b 2  sin( + ) =
c
2
a + b2
= sin  ,
  +  = n + (−1)n   = n + (−1)n − ,
donde tan  =
a
es la solución general.
b
(− a 2 + b 2 )  a cos  + b sin   ( a 2 + b 2 )
La solución general de: a cos x + b sin x = c es


c
b
.
x = 2n + tan −1    cos−1 


2
2
a
a
+
b


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b
a
Método para determinar el valor principal
Supongamos que tenemos que encontrar el valor principal
1
de  que satisface la ecuación: sin  = − .
2
Si sin es negativo,  estará en 3º or 4º cuadrante.
Podemos acercarnos al 3º ó 4º cuadrante de 2 direcciones.
Si tomamos la dirección antihoraria, el valor numérico del
.
ángulo será mayor que 
Si nos acercamos en sentido horario,el ángulo
será menor que .. Para el valor principal,
Y
tenemos que tomar el ángulo más pequeño.
Por tanto, para el valor principal:
Si el ángulo está en el 1º o
2º cuadrante debemos seleccionar
el sentido contrario a las agujas del
reloj y si el ángulo está en el 3º o
4º cuadrante, debemos seleccionar
el sentido de las agujas del reloj.
X
/6
O
X
/6
A
Y
(2) El valor principal nunca es numéricamente mayor que .
(3) El valor principal siempre se encuentra en el primer
círculo (es decir, en 1ª vuelta).

ó − 5 . Entre
Según los criterios anteriores, será −
6 
6

es el
estos dos −
tiene el menor valor numérico. Si −
6
6
De forma similar, las ecuaciones que implican cosec  ó
cot  no puede haber solución de la forma:  = n . Las
funciones correspondientes son indefinidas en los valores de .
(3) Si al resolver una ecuación tenemos que elevarla al
cuadrado, entonces las raíces encontradas después de
elevarlas al cuadrado deben comprobarse si satisfacen la
ecuación original o no, Ej.: si x = 3 . Elevando al cuadrado
tenemos x 2 = 9  x = 3 y − 3 donde x = −3 no satisface la
ecuación original x = 3 .
(4) No cancele los factores comunes que implican el ángulo
desconocido en L.H.S. y R.H.S.;pueden borrar algunas soluciones.
En la ecuación sin (2cos  − 1) = sin  cos 2  si anulamos sin 
tenemos cos2  − 2 cos  + 1 = 0
 (cos  −1)2 = 0  cos  = 1
  = 2n . But  = n también satisface la ecuación
porque hace sin  = 0.Por lo tanto,el conjunto solución completo es
 = n, nZ .
(5) Cualquier valor de x que haga que tanto R.H.S. como
L.H.S. sean iguales será una raíz, pero el valor de x para el que
 =  no será una solución, ya que es una forma indeterminada.
Por lo tanto, cos x  0 para las ecuaciones que implican
tan x and sec x mientras que sin x  0 para los que implican cot
x and cosec x .
Además,la función exponencial es siempre +ve y log ax
para x  0 , x  0 y a  0, a  1
f(x)= +ve siempre y no
1
valor principal de  que satisface la ecuación: sin  = − .
2
 i.e.
A partir de la discusión anterior, el método para hallar el
valor principal puede resumirse como sigue :
(6) Los términos del denominador de la ecuación, si están
presentes, no deben hacerse cero en ningún momento mientras
se resuelve cualquier valor de  contenida en la respuesta.
(i) Primero dibuje un círculo trigonométrico y marque el
cuadrante en el que puede estar el ángulo.
(ii) Seleccione el sentido antihorario para el 1º y 2º
cuadrantes y el sentido horario para el 3º y 4º cuadrantes.
(iii) Halle el ángulo en la primera rotación.
(iv) Seleccione el ángulo numéricamente menor. El ángulo
así hallado será el valor principal.
(v) En caso de que dos ángulos, uno con signo positivo y
otro con signo negativo, califiquen para el ángulo
menor, entonces la convención es seleccionar el ángulo con
signo positivo como valor principal.
Puntos importantes a tener en cuenta al resolver
ecuaciones trigonométricas
(1) Compruebe la validez de la ecuación dada,
Ej.: 2 sin  − cos = 4 no existe valor para cualquier  como
2
2
(2 sin − cos) no puede exceder 2 + (−1) = 5.
Por lo tanto, no hay existencia de solución para esta ecuación.
(2) Ecuación que contenga sec  ó tan , no puede haber
solución de forma, (2n + 1)

2
.
(tan 2 x) = tan x y no  tan x .
(7) A veces la ecuación también tiene algunas limitaciones Ej.:
2
y
cot2 + cosec2 = 1,sólo puede ser cierta si cot  = 0
2
2
cosec  = 1 al mismo tiempo cosec   1 . Por lo tanto, la solución es
 = (2n + 1) / 2 .
(8) Si: xy = xz entonces x(y − z) = 0  ó x = 0 ó y = z o
y z
ambos. En =  y = z solamente y no x = 0 , ya que hará que
x x
 =  . De forma similar si ay = az , entonces también
implicará y = z sólo como a  0 siendo una constante.
De forma similar: x + y = x + z  y = z y x − y = x − z  y = z .
En este caso no tomamos x = 0 como en el caso anterior
porque x es un factor aditivo y no multiplicador.
(9) Se aconseja a los estudiantes que comprueben si todas
las raíces obtenidas satisfacen la ecuación y se encuentran en
el dominio de la variable de la ecuación dada.
Funciones periódicas
Una función es periódica si cada uno de sus valores se
repite después de un intervalo definido. Así, una función f(x)
será periódica si existe un número real positivo T tal que:
f(x + T) = f(x), x  dominio.
Aquí el menor valor positivo de T se denomina periodo
de la función. Es evidente que:
f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = f(x + 3T) = ..... .
p. ej, sin x, cos x, tan x son funciones periódicas con período
2, 2 y  respectivamente.
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Tabla 11.1 Algunos resultados estándar
sobre funciones periódicas
Funcions
(3) c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C  cos C =
2 ; si n es impar o fracción
n
 ;n es par o impar.
sin(ax + b), cos(ax + b)
sin(ax + b), cos(ax + b)
2 / a
tan(ax + b), cot(ax + b)
 /a
tan x, cot x
| sin x |,| cos x |,| tan x |,
| cot x |, | sec x |, | cosec x |
abc
abc
, tan C =
2
2
2
R(a + b 2 − c 2 )
R(c + a − b )
donde R es el radio de la circunferencia del triángulo ABC.
tan B =

| sin(ax + b) |,| cos(ax + b) | ,
En cualquier triangulo ABC, b cos C + c cos B = A
k sin BcosC + k sinCcos B , (de la regla de seno)
c
= k[sin(B + C)] = k sin(  − A)
| tan(ax + b) |,| cot(ax + b) |
x − [x]
1
Funciones algebraicas, p.ej,
El período no existe
x , x 2, x3 + 5,....etc
= k sin A = a
Propiedades y soluciones de triángulos
Relación entre lados y ángulos.
Un triángulo tiene 6 componentes, 3 lados y 3 ángulos.
Los tres ángulos del ABC se indican con letras A, B, C y los
lados opuestos a estos ángulos por letras a, b y c
respectivamente. A continuación se muestran algunas
relaciones conocidas para un triángulo.
a
A
• A + B + C = 180o (or )
• a+b  c, b+c  a, c+a b
• |a − b| c,|b − c | a,|c − a| b
b C
c
B
Generalmente, las relaciones que involucran los lados y
ángulos de un triángulo son de naturaleza cíclica; Ej. para
obtener la segunda relación similar con
a + b  c ,
simplemente reemplazamos a por b, b por c y c por a. Entonces,
para escribir todas las relaciones, siga los ciclos dados.
La ley de senos o regla de senos: Los lados de un triángulo
son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos a ellos.
a
b
c
=
=
= k, (say)
i.e.,
A
sinA sinB sinC
A
F
B
O
D
C
b
c
E
B
a
B
a
En todo triángulo, la suma de los cuadrados de dos lados
cualesquiera es igual al doble del cuadrado de la mitad del
tercer lado más el doble del cuadrado de la mediana que biseca
el tercer lado.
En todo triángulo ABC, b2 + c 2 = 2(h2 + m2 ) = 2{m2 + (a / 2)2}
A
por regla del coseno.
c
b
m
B


h
D
h
C
Si el  es rectángulo, el punto medio de la hipotenusa es
equidistante de los tres vértices de modo que: DA = DB = DC .
b2 + c 2 = a 2 siendo el teorema de pitágoras; muy
útil para resolver problemas de altura y distancia.
C
 A− B a−b
En todo triángulo ABC, (1) tan
=
 cot
2
 2  a+b
C
En cualquier triángulo ABC, el cuadrado de cualquier lado
es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados
menos el doble del producto de estos lados por el coseno de su
ángulo incluido, es decir, para un triángulo ABC,
b2 + c 2 − a2
2bc
C
Teorema de las medianas: (teorema de Apolonio)
Analogía de Napier (Ley de las tangentes)
La ley de los cosenos o regla del coseno.
b
De manera similar, podemos deducir otras fórmulas de proyección
a partir de la regla del seno.
(i) a = b cos C + c cos B
(ii) b = c cos A + a cos C
(iii) c = acos B + bcos A
Si R es el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo ABC,
a
b
c
=
=
= 2R .
sinA sinB sinC
(1) a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A  cos A =
2
Fórmulas de proyección
 /a
sec | ax + b |,| cosec (ax + b) |
c 2 + a2 − b2
2ca
a2 + b2 − c 2
2ab
a
b
c
, sin B =
, sin C =
Combinando con sin A =
2R
2R
2R
abc
,
Tenemos por división, tan A =
R(b 2 + c 2 − a 2 )
Periods
 ; si n es par
sinn x, cosn x , secn x, cosecn x
n
(2) b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B  cos B =
A
 B−C b−c 
(2) tan
=
 cot
2
 2  b+c
B
C− A c −a
(3) tan
=
 cot
2
 2  c+a
Fórmula de Mollweide: para cualquier triángulo,
1
1
cos ( A − B)
sin ( A − B)
a+b
a−b
2
2
=
,
=
.
1
1
c
c
sin C
cos C
2
2
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Área del triángulo
Sean tres ángulos de ABC se denotan por A, B, C y los
lados opuestos a estos ángulos por las letras a, b, c
respectivamente.
(1) Cuando se dan dos lados y el ángulo incluido: el
área del triángulo ABC está dada por,
1
1
1
 = bc sin A = ca sin B = ab sin C
2
2
2
1
es decir., =
(Producto de dos caras) × seno del ángulo incluido
2
(2) Cuando se dan tres lados:
Área de ABC =  = s(s − a)(s − b)(s − c)
A
c
B
b
a
C
(i) Circunferencia : El círculo que pasa por los puntos
angulares de un triángulo se llama circunferencia. El centro de
esta circunferencia es el punto de intersección de las
mediatrices de los lados y se denomina circuncentro. Su radio
se indica siempre por R. El circuncentro puede estar dentro,
fuera o sobre uno de los lados del triángulo.
(ii) Circun-radio:El circunradio de un ABC está dada por:
a
b
c
A
=
=
=R
(a)
2 sin A 2 sin B 2 sin C
F
abc
(b) R =
4
E
[ = area of ABC ]
B
O
D
C
(2) Círculo inscrito de un triángulo y su radio
(i) Círculo inscrito : El círculo que puede inscribirse dentro
de un triángulo de modo que toque cada uno de sus lados se
denomina círculo inscrito o círculo interior. El centro de este
círculo es el punto de intersección de las bisectrices de los
ángulos del triángulo. El radio de esta circunferencia se
denomina siempre r y es igual a la longitud de la perpendicular
desde su centro a uno cualquiera de los lados del triángulo.
a+b+c
(ii) Radio inscrito : El radio r del círculo inscrito de un
2
A
triángulo ABC viene dado por:
(3) Cuando se dan tres lados y el radio circunstante:

A/2
(a) r =
Área del triángulo:  = abc , donde R es el circunradio del triángulo
s
4R
E
A
B
C
(4) Cuando se dan dos ángulos y el lado incluido:
F
r
(b) r = 4 R sin sin sin
r
2
2
2
I
A
1
sin B sin C 1 2 sin A sin C 1 2 sin A sin B
r C/2
(c) r = (s − a) tan ,
 = a2
= b
= c
C
B
2
2
sin(B + C) 2
sin( A + C) 2
sin( A + B)
D
B
B
C
r = (s − b) tan , r = (s − c) tan
2
Fórmulas del ángulo mitad
2
2
B
C
A
C
B
A
Si 2s muestra el perímetro de un triángulo ABC entonces,
a sin sin
b sin sin
c sin sin
2
2
2
2
2
2
2s = a + b + c, then
(d) r =
,r =
,r =
A
B
C
A
B
C
cos
cos
cos
(1) Fórmulas para sin , sin , sin
2
2
2
2
2
2
r
(e) cos A + cos B + cos C = 1 +
A
(s − b)(s − c)
B
(s − a)(s − c)
(i) sin =
(ii) sin =
R
2
bc
2
ca
(3) Círculos inscritos de un triángulo y sus radios
(i) Circunferencia escrita : El círculo que toca el lado BC y
C
(s − a)(s − b)
(iii) sin =
dos lados AB y AC producidos de un triángulo ABC se llama
2
ab
el círculo escrito opuesto al ángulo A. Su radio se denota
(2) Fórmulas para cos A , cos B , cos C
por r1 .Análogamente, r2 y r3 denotan los radios de las
2
2
2
circunferencias escritas opuestas a los ángulos B y C
A
s(s − a)
B
s(s − b)
seguidamente.
(i) cos =
(ii) cos =
Los centros de las circunferencias escritas se denominan
2
bc
2
ca
ex-centros. El centro de la circunferencia escrita opuesta al
C
s(s − c)
ángulo A es el punto de intersección de las bisectrices externas
(iii) cos =
de los ángulos B y C. La bisectriz interna del ángulo A también
2
ab
pasa por el mismo punto. El centro se denota generalmente por
A
B
C
A
(3) Fórmulas para tan , tan , tan
I1.
2
2
2
(ii) Radios de ex-círculos
A
A
En todo ABC ,se tiene:
2
B
(s − c)(s − a)
A
(s − b)(s − c)
2
(i) tan =
(ii) tan =



2
s(s − a)
2
s(s − b)
, r2 =
, r3 =
(a) r1 =
s−a
s −b
s−c
D C
C
(s − a)(s − b)
B
A
B
(iii) tan =
r
=
s
tan
,
r
=
s
tan
(b)
,
1
2
2
s(s − c)
2
2
F
E
r1
r1
C
Círculo conectado con triángulo
I1
r3 = s tan
2
(1) Circunferencia de un triángulo y su radio
donde S es semiperímetro del triángulo s =
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B
C
C
A
A
B
cos
b cos cos
c cos cos
2
2
2
2
2
2
(c) r1 =
, r2 =
, r3 =
A
B
C
cos
cos
cos
2
2
2
1 1 1 1
+ +
=
(d) r1 + r2 + r3 − r = 4 R
(e)
r1 r2 r3
r
Si el ABC es obtuso,los ángulos se representan mediante
a cos
(f)
1
1
1
1
a2 + b2 + c 2
+
+
+
=
r 2 r12 r22 r32
2
(g)
1
1
1
1
+
+
=
bc ca ab 2Rr
2A, 2B , 2C − 180o y los lados son acos A, bcos B, − c cosC .
(2) Área, circun-radio e In-radio del triángulo pedal :
1
Área del triángulo pedal = (Producto de los lados)×(seno
2
del ángulo incluido)
=
R sin 2 A
EF
R
=
=
2 sin FDE 2 sin(180o − 2 A) 2
área de  DEF
Inradio - triángulo pedal =
semi-perímetro de DEF
(h) r1r2 + r2r3 + r3r1 = s 2
A
B
C
. cos . cos
2
2
2
A
B
C
A
B
C
(j) r1 = 4 R sin cos cos ; r2 = 4 R cos . sin . cos
2
2
2
2
2
2
(4) Centroide (G): Punto de intersección de medianas de un
triángulo. Corta cada mediana en la proporción 2:1. Se
encuentra dentro del triángulo. A
1 2
R . sin 2 A. sin 2B. sin 2C
2
Circunradio - triángulo pedal =
(i)  = 2R 2 sin A. sin B. sin C = 4 Rr cos
1 2
R sin 2 A. sin 2B. sin 2C
= 2
= 2R cos A. cos B. cos C
2R sin A. sin B. sin C
Triángulo ex central
Sea ABC un triángulo e I el centro del círculo interior. Sea I1 , I 2
e I 3 son los centros de las circunferencias escritas opuestas a
A,B,C
G
B
D
respectivamente
Ex-central de ABC .
C
entonces
I3
90o – C/2
La perpendicular trazada desde los vértices de los lados
opuestos de un triángulo se llama ortocentro.
I1 I 2 I 3 se llama triángulo
A
I2
I
90o – B/2
B
C
Triángulo de pedales
Sean las perpendiculares AD, BE y CF de los vértices A, B
y C en los lados opuestos BC, CA
A
y AB de ABC respectivamente,coinciden en
O. Entonces O es el ortocentro del
ABC . El triángulo DEF se denomina
E
F
triángulo pedal del ABC .
El otocentro del triángulo es el
O
incentro del triángulo pedal.
B
D
I1
I1I 2 I 3 es un triángulo, el triángulo ABC es el triángulo pedal
de su ex triángulo central
C
=
(ii) OD = 2R cos B cos C, OE = 2R cos C cos A
and OF = 2R cos A cos B
(1) Lados y ángulos de un triángulo pedal: Los ángulos del
triángulo pedal DEF son: 180 − 2A,180 − 2B,180 − 2C y los lados del
triángulo pedal son: EF = acos A ó R sin 2A ; FD = bcos B ó
Rsin 2B ; DE = c cosC ó Rsin 2C
b cos B
c cos C
a cos A E
IV. F
O
B
180 – 2A D
C
I1I 2 I 3 . Sus ángulos
A
B
C
I1I 2 I 3 son 90o − , 90o − , 90o −
y los lados son I1I 3 =
2
2
2
C
A
B
4 R cos ; I1 I 2 = 4 R cos ; I 2 I 3 = 4 R cos .
2
2
2
Área y circunradio del triángulo ex central
Área del triángulo
1
= (Producto de dos caras) × (seno de los ángulos incluidos)
2
Si O es el ortocentro y DEF el triángulo pedal del ABC ,
donde AD, BE, CF son las perpendiculares trazadas desde A,
B, C en los lados opuestos BC, CA, AB respectivamente,
entonces
(i) OA = 2R cos A, OB = 2R cos B and OC = 2R cos C
A
90o – A/2
1 
B 
C
A

 4 R cos  .  4 R cos   sin 90o − 
2
2
2
 


2 
 = 8 R 2 cos
A
B
C
. cos . cos
2
2
2
I2I3
Circun-radio =
=
2 sin I 2 I1 I 3
4 R cos
A
2
A

2 sin 90o − 
2

= 2R .
Cuadrilátero cíclico
Un cuadrilátero PQRS es un cuadrilátero cíclico si existe
una circunferencia que pasa por sus cuatro vértices P, Q, R y S.
S
Sea un cuadrilátero cíclico tal que
PQ = a,QR = b, RS = c y SP = d .
d
c
P
R
a
b
Q
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luegoQ + S = 180o , A + C = 180o
=
Sea 2s = a + b + c + d
Área del cuadrilátero cíclico=
1
(ab + cd)sin Q
2
Soluciones de triángulos
Además, el área del cuadrilátero cíclico = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d) ,
donde 2s = a + b + c + d
y cos Q =
a2 + b2 − c 2 − d 2
.
2(ab + cd)
(1) Circunradio del cuadrilátero cíclico : La circunferencia
del cuadrilátero PQRS es también la circunferencia del PQR .
R=
1
1
(ac + bd)(ad + bc)(ab + cd) =
4
4
(ac + bd)(ad + bc)(ab + cd)
.
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
(2) Teorema de Ptolomeo : En un cuadrilátero cíclico
PQRS, el producto de las diagonales es igual a la suma de los
productos de la longitud de los lados opuestos, es decir, Según
el teorema de Ptolomeo, para un cuadrilátero cíclico PQRS
PR.QS = PQ.RS + RQ.PS.
Se utilizarán distintas fórmulas en distintos casos y, a
veces, el mismo problema puede resolverse de distintas
maneras con fórmulas diferentes. Por lo tanto, debemos buscar
la fórmula que mejor se adapte al problema.
(1) Solución de un triángulo rectángulo
(2) Solución de un triángulo en general
(1) Solución de un triángulo rectángulo
(i) Cuando se dan dos lados:
Que el triángulo sea rectángulo recto en C. Entonces podemos
determinar los elementos restantes como se indica en la
siguiente tabla.
Tabla : 11.2
Dado
Requerido
a, b
P
Q
a, c
tan A =
a
a
, B = 90o − A , c =
sin A
b
sin A =
a
, b = c cos A, B = 90o − A
c
(ii) Cuando se dan un lado y un ángulo agudo :
En este caso, podemos determinar los elementos restantes
como se indica en la siguiente tabla
R
S
Tabla : 11.3
Polígono regular
Dado
Un polígono regular es un polígono que tiene todos sus
lados iguales y todos sus ángulos iguales.
(1) El ángulo interior de un polígono regular de n lados es
 2n − 4 
 2n − 4  
=
  90º

 n   2 radians.


 n 
(2) La circunferencia que pasa por todos los vértices de un
polígono regular se denomina circunferencia circunscrita.
Si "a" es la longitud de un lado de un polígono regular de
"n" lados, entonces el radio R del círculo circunscrito
es:
a
 
R = . cosec  
2
n
(3) El círculo que puede inscribirse en un polígono regular
de forma que toque todos sus lados se denomina círculo
inscrito.
De nuevo, si a es la longitud de cada
lado de un polígono regular de n
lados, entonces el radio r del círculo
O
C
inscrito es:
F
/n
a
 
R
r = . cot  
r R
2
n
A
B
(4) El área de un polígono regular es:  = n ×Área
del triángulo OAB
1 2
   , (en función del lado)
= na cot 
4
n
 
2
= nr . tan   ,
n
n 2
 2  , (en función del circun-radio)
. R sin 

2
 n 
(en función del in-radio)
Requerido
a, A
B = 90o − A, b = a cot A, c =
c, A
a
sin A
B = 90o − A, a = c sin A, b = c cos A
(2) Solución de un triángulo en general
(i) Cuando se dan tres lados a, b y c :
En este caso, los elementos restantes se determinan utilizando
la siguiente fórmula:
 = s(s − a)(s − b)(s − c) , donde 2s = a + b + c =
perímetro del triángulo.
sin A =
tan
2
,
bc
sin B =
2
,
ac
sin C =
2
ab
A

B

C

=
, tan =
, tan =
.
2 s(s − a)
2 s(s − b)
2 s(s − c)
(ii) Cuando se dan dos lados a, b y el ángulo incluido C:
En este caso, utilizamos las siguientes fórmulas  =
tan
C
A− B a−b
C A+B
=
cot ;
= 90o −
2
a+b
2
2
2
y
c=
1 ab sin C
;
2
a sin C
.
sin A
(iii) Cuando se dan un lado a y dos ángulos A y B :
En este caso, utilizamos las siguientes fórmulas para
determinar los elementos restantes A + B + C = 180o
 C = 180o − A − B
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a sin B
a sin C
1
and c =
  = ca sin B .
sin A
sin A
2
(iv) Cuando se dan dos lados a, b y el ángulo A opuesto
a un lado :
En este caso, utilizamos las siguientes fórmulas:
b
sin B = sin A
.....(i)
a
b=
C = 180o − ( A + B), c =
a sin C
.
sin A
(ii) a  b En la siguiente figura, Sea AC = b,CAX = A, y
a  b, also a  b sin A .
C
a
a
b
A b sinA
B
A
X
B
N
Tomando ahora C como centro, si trazamos un arco de radio
a, éste intersecará a AX en un punto B y, por tanto, sólo uno
ABC se construye. También este arco intersecará XA
producido en B y ABC también se forma pero este  es
inadmisible (porque CAB es un ángulo obtuso de este triángulo)
Casos especiales
Caso I : Cuando A es un ángulo agudo
(a) Si a  b sin A, no existe ningún triángulo. Si a  b sin A, entonces
(i),sin B  1 , lo cual es imposible.
C
Por tanto, si a  b
posible un triángulo.
a  b sin A , entonces sólo es
y
(iii) b  a (es decir, b  a  bsin A)
En la figura AC = b,CAX = A . Tomando ahora C como centro, si
a
b
trazamos un arco de radio a, éste intersecará a AX en dos puntos B1
b sin A
B
y B2 . Por lo tanto, si b  a  sin A , entonces existen dos triángulos.
C2
A
A
X
N
C
C1
b
a
a
(b) Si a = b sin A , entonces sólo es posible un triángulo que forme
b sinA
A
ángulo recto con B. Cuando a = b sin A, entonces de la regla del seno.
X
A
N
B1
sin B = 1,
B2
 B = 90o de la fig. Es evidente que CB = a = bsin A
Caso II : Cuando A es un ángulo obtuso: En este
caso, sólo hay un triángulo, si: a  b
C
C
b
A
A
b a
A
b sinA
a = b sinA
N
90
o
X
B
A
B
X
Caso III: b  c and B = 90º
Por tanto, en este caso, sólo es posible un triángulo que
forme ángulo recto con B.
(c) Si a  b sin A, entonces se plantean tres posibilidades:
De nuevo el círculo con A como centro y b como radio
cortará la recta sólo en un punto. Por lo tanto, sólo un triángulo
es posible.
C
(i) a = b En este caso, de la regla del seno sin B = sin A
 B = A ó B = 180o − A .
Pero B = 180o − A  A + B = 180o , lo que no es posible
en un triángulo.  En este caso, obtenemos A = B .
C
b
A
a
A
b sinA
N
B
X
Por tanto, si b = a  bsin A entonces sólo es posible un
triángulo isósceles ABC en el que A = B .
B c
b
A
Caso IV: b  c y B = 90o
La circunferencia con A como centro y b como radio no
cortará la línea
en cualquier punto. Por lo tanto, no hay triángulo posible.
Esto es, a veces llamado un caso ambiguo.
Método alternativo: Aplicando la regla del coseno, tenemos:
cos B =
a2 + c 2 − b2
2ac
 a 2 − (2c cos B)a + (c 2 − b2 ) = 0
B
 a = c cos B  (c cos B)2 − (c 2 − b 2 )
 a = c cos B  b 2 − (c sin B)2
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c
b
A
Esta ecuación conduce a los casos siguientes:
Caso I : Si b  c sin B ,ese triángulo no es posible.
Caso II : Sea b = c sin B, hay más casos siguientes.
(3) Propiedades geométricas y fórmulas de un triángulo
(i) En un triángulo la bisectriz interna de un ángulo divide al
BD c
lado opuesto en la proporción del brazo del ángulo.
= .
DC b
A
(a) B es un ángulo obtuso:
 cos B es negativo.No existe un triángulo semejante.
(b) B es un ángulo agudo:
 cos B es positivo. Sólo existe un triángulo semejante.
Caso III : Sea b  c sin B . Existen además los siguientes casos:
(a) B es un ángulo agudo  cosB es positivo.
En este caso existirán dos valores de a si y sólo si:
c cos B  b 2 − (c sin B)2 ó c  b . Dos triángulos así son posibles.
Si c  b, sólo es posible un triángulo de este tipo.
(b) B es un ángulo obtuso  cos B es negativo. Por tanto el
triángulo existirá si y sólo si:
b 2 − (c sin B)2 | c cos B|  b  c
Por lo tanto, en este caso sólo es posible un triángulo de este
tipo. Si b  c no existe tal triángulo.
Altura y distancia
Terminología sobre altura y distancia
(1) Ángulo de elevación y depresión: Sean O y P dos
puntos tales que P está a mayor altura que O. Sean PQ, OX las
rectas horizontales que pasan por P y O. Si un observador
(u ojo) está en O y el objeto está en P,
Línea horizontal
entonces XOP se denomina
P
Q
Ángulo de depresión
ángulo de elevación
de P visto desde O.
Este ángulo también se denomina
Ángulo de elevación
altura angular de P desde O.
X
O
Línea horizontal
Si un observador (u ojo) está en P y el objeto está en O,
entonces QPO se denomina ángulo de depresión de O visto
desde P.
(2) Resolución de un problema de altura y distancia
(i) Dibuje la figura nítidamente mostrando todos los
ángulos y distancias en la medida de lo posible.
(ii) Recuerda siempre que si una recta es perpendicular a un
plano, entonces es perpendicular a todas las rectas de ese plano.
(iii) En los problemas de alturas y distancias nos
encontramos con un triángulo rectángulo en el que se da un
ángulo (agudo) y un lado. Entonces, para hallar los lados
restantes, se utilizan razones trigonométricas en las que se
utiliza un lado conocido (dado), es decir, se utiliza la fórmula.
(iv) En cualquier triángulo que no sea rectángulo, podemos
utilizar "la regla del seno".
b
c
a
, o la fórmula del coseno,
es decir:
=
=
sin A sin B sin C es decir:
b2 + c 2 − a2
cos A =
etc.
2bc
(v) Halla la longitud de un lado determinado a partir de dos
triángulos diferentes que contengan ese lado en común y luego
iguala los dos valores así obtenidos.
A
c
A/2 A/2
b
B
B
C
c
D b
C
90o
B
C
D
(ii) En un triángulo isósceles la mediana es perpendicular a
la base, es decir, AD ⊥ BC .
(iii) En los triángulos semejantes los lados son proporcionales.
(iv) El ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos
opuestos interiores.
(4) Noreste :
N
NE
Noreste significa
P
1
igualmente inclinado al
ENE
P2
norte y al este,
45o o
45
sureste significa
22.5o
igualmente inclinado al W
E
O
45o
sur y al este.
ENE significa
igualmente inclinado al
P3
este y al noreste.
S
(5) Rumbo: En la figura, si el observador y el objeto, es
decir, O y P, están al mismo nivel, se define el rumbo.
Para medir la orientación, se toman
N
P
como puntos cardinales las
cuatro direcciones estándar:
Este, Oeste, Norte y Sur.

W
E
O
Se mide el ángulo entre la
línea de observación (OP) y
una
dirección
estándar
cualquiera (este, oeste, norte o
sur).
S
Así, POE =  se denomina rumbo del punto P con
respecto a O medido de este a norte. En otras palabras, el
rumbo de P visto desde O es la dirección en la que se ve P
desde O.
(m + n) cot 
(6) teorema m-n cot de trigonometría :
= m cot  − n cot  = n cot A − m cot B
( a la derecha). Si  está a la
izquierda, entonces el ángulo
en la derecha es  −  y
cot( −  ) = −cot . Entonces
A
en aquí m- n el teorema pasa a ser
−(m + n)cot = mcot  − ncot 
= ncot A − mcot B ( a la izquierda).
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C
 
I
A

II
m D
n
I
II
B
B
Algunas propiedades relacionadas con el círculo
(1) Los ángulos en el mismo segmento de un círculo son
iguales: APB = AQB = ARB . P Q
(3) Si la recta que une dos puntos A y B subtiende el mayor
ángulo  en un punto P entonces el círculo, tocará a la recta XX'
en el punto P.
A
B
R

X
B
A
(2) Los ángulos de los segmentos alternos de una circunferencia son
A
iguales.
A

B
C



O
B
C
X
P
(4) El ángulo subtendido por cualquier cuerda en el centro
es el doble del ángulo subtendido por el mismo en cualquier
punto de la circunferencia P del círculo.
2
O
T
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A
B
Algunos resultados importantes
(1)
(2)
(3)
P
h


a
d
a = h(cot  − cot  ) =
h
H
Q
A
x


h sin( −  )
sin  . sin 

d
a

B
a = h(cot  + cot  ) , donde por
h = a sin  sin  cosec ( −  ) y
h = a sin .sin  .cosec( +  ) y
d = h cot  = a sin .cos  .cosec( − )
H = x cot  tan( +  )
(4)
d = h cot  = a sin . cos  .cosec ( +  )
(5)
(6)
H

H
h


H


a
h
H

H=
h cot 
cot 
h=
(7)
H sin( −  )
h cot 
ó H=
cos  sin 
cot − cot 
H=
(8)
P
h
y

O
D



C
x
P
(9)
OP – Torre
A – Sur
A
a sin( +  )
sin( −  )
d


N
E
W
A
B
O
B
B
 +  
AB = CD .,donde x = y tan

 2 
d
h=
h=
cot 2  + cot 2 
P
(10)
S
(11)
A
AB
cot 2  − cot 2 
P
Q
h


A
h = AP sin 
= a sin . sin  .c osec( −  ) y
Si: AQ = d ,
a

A
Q

B



a
AP = a sin  .cosec( −  ) ,
AQ = a sin  .cosec( −  )
d = AP cos = a cos. sin  . cosec ( − )
aplique, PQ2 = AP 2 + AQ2 − 2AP.AQcos
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B
OI 3 = R 1 + 8 cos

A
B
C
. cos . sin
2
2
2
sin A + sin B + sin C es máximo, donde A = B = C
 cos A + cos B + cosC es máximo, donde A = B = C .
 tan A + tan B + tanC es mínimo, donde A = B = C .

tan
A
B
A
B
s
s−c
tan
=
 cot cot =
s
2
2 s−c
2
2

tan
A
B
c
C
+ tan
= cot
2
2
s
2

tan
A
B a−b
− tan =
(s − c)
2
2
s

A
B
c
C
cot + cot =
cot
2
2 s−c
2

Circuncentro, Centroide y Ortocentro son colineales.
 cot A + cot B + cot C es mínimo, donde A = B = C .


entonces el triángulo es
Si sin A + sin B + sin C =
es
3 3
,
2
entonces el triángulo
equilátero.
 El punto medio de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo equidista de los tres vértices del triángulo.
E
F
G
B
BE =
1
1 2
2c 2 + 2a 2 − b 2 =
c + a 2 + 2ca. cos B
2
2
CF =
1
1
2a 2 + 2b 2 − c 2 =
a 2 + b 2 + 2ab. cos C
2
2
D
entonces el triángulo es
 Si cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 , entonces el triángulo es
rectángulo.
El largo de las medianas AD, BE, CF del ABC son:
A
1
AD =
2b2 + 2c 2 − a 2 ,
2
1
b 2 + c 2 + 2bc cos A
2
 Si tan A + tan B + tanC = 3 3 , entonces el triángulo es
equilátero.
 Si cot A + cot B + cot C = 3 ,
equilátero.
 El punto medio de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es el circuncentro del triángulo.
=
3
,
2
cos A + cos B + cos C =
equilátero.
 En cualquier triángulo rectángulo, el ortocentro coincide
con el vértice que contiene el ángulo recto.

Si
C
 El círculo que circunscribe el triángulo pedal de un
triángulo dado biseca los lados del triángulo dado y también
las líneas que unen los vértices del triángulo dado al
ortocentro del triángulo dado. Esta circunferencia se
denomina "circunferencia de nueve puntos".
 Circuncentro del triángulo pedal de un triángulo dado
biseca la recta que une el circuncentro del triángulo con el
ortocentro.

(p − q) = (p − q) + (q − r) + (r − p) = 0 ,
 La distancia entre el circuncentro O y el centroide G del
ABC viene dado por:
p(q − r) = p(q − r) + q(r − p) + r(p − q) = 0 .
1
1
OH = R 1 − 8 cos A. cos B. cos C , donde H es el
3
3
ortocentro del ABC .
(p + a)(q − r) = p(q − r) + a(q − r) = 0 .
OG =
La distancia entre el ortocentro H y el centroide G del
2
ABC se da por: HG = R 1 − 8 cos A.cos B.cos C .
3


La distancia entre el circuncentro O y el incentro
I del ABC viene de: OI = R 1 − 8 sin

A
B
C
. sin . sin
2
2
2
Si I1 es el centro del círculo escrito opuesto al
ángulo B,
A
B
C
OI1 = R 1 + 8 sin . cos . cos
2
2
2
o también, OI 2 = R 1 + 8 cos
A
B
C
. sin . cos ,
2
2
2
 En la aplicación de la regla del seno, hay que tener en
cuenta lo siguiente. Se nos da un lado a y hay que hallar otro
lado x. Ambos están en triángulos diferentes. A
Elegimos un lado común y
a

de estos triángulos. A
B 
continuación aplicamos la regla
y
 D
del seno para a e y en un

x
triángulo y para x e y en el otro
C
triángulo y eliminamos y.
Así, obtendremos el lado desconocido x en términos de a.
En la figura adjunta a es lado conocido del  ABC y x es
desconocido es lado del triángulo ACD. El lado común de
estos triángulos es AC = y (digamos). Ahora aplica la regla
del seno
a
y
x
y
=
=
.....(i)
y

.....(ii)
sin  sin 
sin  sin 
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Dividiendo (ii) por (i) obtenemos,
a sin  sin 
x sin  sin 
;  x=
=
sin  sin 
a sin 
sin 
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