Antes de propor o primeiro problema, Ahmes dá uma tabela de decomposição
de n/10, com n=1,....,9, para facilitar os cálculos dos seguintes problemas e
outra em que se expressam todas as fracções de numerador 2 e denominador
ímpar entre 5 e 101 como soma de fracções unitárias. Na primeira coluna
aparecem os denominadores das fracções 2/n e na segunda e quarta coluna
as fracções unitárias cuja soma dá 2/n.
Tabela 2/n
5
3,15
53
30,318,795
7
4,28
55
30,330
9
6,18
57
38,114
11 6,66
59
36,236,531
13 8,52,104
61
40,244,488,610
15 10,30
63
42,126
17 12,51,68
65
39,195
19 12,76,114
67
40,335,536
21 14,42
69
46,138
23 12,276
71
40,568,710
25 15,75
73
60,219,292,365
27 18,54
75
50,150
29 24,58,174,232 77
44,308
31 20,124,155
79
60,237,316,790
33 22,66
81
54,162
35 30,42
83
60,332,415,498
37 24,111,296
85
51,255
39 26,78
87
58,174
41 24,246,328
89
60,356,534,890
43 42,86,129,301 91
70,130
45 30,90
93
62,186
47 30,141,470
95
60,380,570
49 28,196
97
56,679,776
51 34,102
99
66,198
101 101,202,303,606
Tabela n/10
1/ 10
1/10
2/10 1/5
3/10 1/5 + 1/10
4/10 1/3 + 1/5
5/10 1/2
6/10 1/2 + 1/10
7/10 2/3 + 1/30
8/10 2/3 + 1/10 + 1/30
Uma quantidade mais um 1/4 dela dá 15. Qual é a quantidade?
Resolução:
Actualmente o problema resume-se á equação linear de primeira ordem: x + x/4
= 15. Em seguida mostraremos os passos presentes no papiro seguidos de um
comentário.
"Tome-se o 4 e então, se 1/4 dele dá 1 o total é igual a 1". Ahmes começa, neste
caso, por dar uma estimativa para x, atribuindo-lhe o valor 4 de modo a anular a
fracção. Depois obtém 4 + 1 =5.
"Divida-se 15 por 5 e dá 3". Para encontrar o valor real tem que se encontrar o
número N que multiplicado pelo valor estimado dê 15, ou seja, 5*N = 15, N=15/5
= 3.
"Multiplique-se 3 por 4 e obtém-se 12". O resultado pretendido é o produto da
multiplicação de N pela estimativa de x.
Logo a quantidade pretendida é 12.
Problema 27
Uma quantidade e um quinto desta dá 21. Qual é a quantidade?
Resolução:
O problema resume-se a encontrar o valor de x que verifique a condição x + x/5
= 21.
Suponhamos que x é igual a 5. Então 5 +1 = 6. O resultado da divisão de 21 por
6 é 3 1/2, e portanto a quantidade pretendida é 5 ( 3 1/2 ) = 17 1/2.
Problema 28
Uma quantidade e os seus 2/3 são adicionados, e da soma um terço da soma é
subtraído e ficam 10. Que é a quantidade?
Problema 29:
Uma quantidade e os seus 2/3 são adicionados, e da soma um terço da soma é
subtraído e ficam 10. Qual é a quantidade?
Estes problemas são semelhantes aos anteriores mas mais complicados e são
resolvidos pelo método da divisão.
Problema 30:
Qual a quantidade da qual 2/3 + 1/10 fazem 10?
Solução:
Neste problema resolve-se a equação: x + (2/3)x + (1/2)x + (1/7)x = 37 pelo
método de factorização.
Para se resolver factoriza-se o primeiro membro e depois divide-se 37 por ( 1 +
2/3 + 1/2 + 1/7) obtendo-se um valor de x igual a 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.
Problema 31:
Uma quantidade, os seus 2/3, a sua metade e o seu 1/7 adicionados dão 33.
Qual é a quantidade?
Solução:
Este não é um problema difícil, e que provavelmente constitui uma demonstração
do método de divisão. O escriba resolve o problema dividindo 33 por 1 + 2/3 +
1/2 + 1/7 e obtém 14 + 1/4 + 1/56 + 1/97 + 1/194 + 1/388 + 1/679 + 1/776.
Problema 32:
Uma quantidade, a sua terça parte e a sua quarta parte adicionadas dão 2.
Qual é a quantidade?
Solução: 1 + 1/6 + 1/12 + 1/144 + 1/228
Problema 33:
Uma quantidade, os seus 2/3, a sua metade e o seu 1/7 adicionados dão 37.
Qual é a quantidade?
Solução: 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776
Problema 34:
Uma quantidade, a sua metade e o seu quarto dão 10. Qual é a quantidade?
Solução: 5 +1/2 + 1/7 + 1/14
Problema 40:
Divida 100 pães por 5 homens, de modo que a partilha seja feita numa
progressão aritmética e que a soma das duas menores partes seja 1/7 da somas
das três partes maiores. Qual é a diferença entre as partes?
Resolução:
Este problema utiliza simultaneamente séries aritméticas e equações.
Consideremos a diferença 5 1/2.
Então consideremos as partes 1, 6 1/2, 12, 17 1/2, 23 que totalizam 60.
Como temos 100 pães multipliquemos cada parte por 100/60=1 2/3. Obtém-se
assim as partes 1 2/3, 10 2/3 1/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.
Então a diferença entre as partes é 9 1/6.
Uma resolução mais actual seria:
Seja d a diferença e s o termo inicial. Então 20 =100/5 = s + d(5-1)/2 = s+2d. A
soma das dois termos menores é 1/7 da soma dos três maiores, logo 3s +9d =
7x(2s + d) = 14s + 7d. Portanto, 2d = 11s e 20 = s+2d = 12s. Logo s = 1 + 1/2
+ 1/6 e 2d = 11s = 18 + 1/3. Assim, d = 9 + 1/6. Os homens recebem
respectivamente 1 + 1/2 + 1/6, 10 + 1/2 + 1/3, 20, 29 + 1/6, 38 + 1/3. O total
é 100.
Apesar de um auspicioso começo, a geometria egípcia resume-se ao cálculo de
áreas e volumes de algumas figuras geométricas muito básicas.
No papiro de Rhind observa-se que o cálculo de áreas tendia a empregar a
conversão da figura a analisar numa figura de área conhecida que a
aproximasse.
Problema 48:
Compara a área do círculo com a de um quadrado circunscrito.
Resolução:
O escriba considera um diâmetro igual a 9 e calcula a área do círculo (ver
Problema 50). Obtém assim um valor de 64 setat.
Um quadrado com 9 jet de lado tem 81 setat.
Portanto, a área do quadrado é maior que a do círculo.
Problema 49:
Área de um rectângulo de 10 jet de comprimento e 1 jet de largura.
Problema 50:
Um campo circular tem 9 jet de diâmetro. Qual é a sua área?
Resolução:
A mais antiga referência ao problema da quadratura do circulo consta no papiro
de Rhind.
A área de um circulo de diâmetro 9 é dado por: subtrai-se ao diâmetro a sua
nona parte e o resultado é 8. Multiplica-se 8 por 8 que dá 64. Então a área
Problema 50:
Um campo circular tem 9 jet de diâmetro. Qual é a sua área?
Resolução:
A mais antiga referência ao problema da quadratura do circulo consta no papiro
de Rhind.
A área de um circulo de diâmetro 9 é dado por: subtrai-se ao diâmetro a sua
nona parte e o resultado é 8. Multiplica-se 8 por 8 que dá 64. Então a área
pretendida é 64. Aparentemente o escriba egípcio utiliza a formula A=(d d/9)^2 = (64/81)d^2. Isto significa que se toma
/4 = 64/81, ou seja,
=
3,16049...Esta é uma boa aproximação do valor real 3.1415926...
Ao resolver este problema, os egípcios devem ter feito uma analogia entre o
circulo e um octógono inscrito num quadrado, tomando a área do circulo
aproximadamente igual à de um octógono.
Problema 51:
Qual é a área de um triângulo de lado 10 jet e base 4 jet ?
Resolução:
Segundo a resolução apresentada, Ahmes supunha que o triângulo era isósceles
e, dividindo-o em duas partes iguais pela altura, formava uma rectângulo. A
resolução apresentada é a seguinte: Toma-se metade de 4, para formar um
rectângulo, obtendo-se. Multiplica-se 10 por 2 é o resultado de 20 é a área
procurada.
Problema 52:
Qual é a área de um triângulo truncado de 20 jet de lado, 6 jet de base e 4 jet
de linha de secção?
procurada.
Problema 52:
Qual é a área de um triângulo truncado de 20 jet de lado, 6 jet de base e 4 jet
de linha de secção?
Resolução:
Ahmes resolve da seguinte maneira: soma a base do triângulo linha de secção,
obtendo o valor 10. Para obter um rectângulo, divide 10 por 2 obtendo 5. De
seguida multiplica 5 por 20 e obtém a área desejada: 100.
Deduz-se, observando a resolução, que o triângulo truncado é um trapézio
isósceles que se obtém através do corte do triângulo segundo uma linha
paralela à base.
Ainda que não se possa falar da existência de trigonometria (no sentido actual)
no antigo Egipto, podemos dizer que existia uma trigonometria rudimentar que
assentava numa simples teoria de triângulos semelhantes (problema 56). Se
pensarmos
nas
enormes
edificações
construídas
pelo
povo
egípcio,
nomeadamente nas grandes pirâmides, facilmente percebemos que não
poderiam ter sido realizadas sem um conhecimento mínimo de relações
trigonométricas.
Estes problemas dizem, todos, respeito a questões sobre o seqt (medida de
inclinação) de uma pirâmide.
Problema 56:
Qual é o seqt de uma pirâmide de 250 cubit de altura e 360 cubit de lado?
Resolução:
1º Calcula-se metade de 360 que é 180.
2º Descobre-se o número que multiplicado por 250 dá 180. Esse número é
1/2+1/5+1/50.
3º Um cubit são sete palmos. Multiplica-se, agora, 7 por 1/2+1/5+1/50, que dá
5+1/25. Logo, o seqt é 5+1/25 palmos por meth.
Problema 57:
A seqt de uma pirâmide é 5 palmos e 1 dedo, e a base é 140 cúbitos . Qual é a
altura?
Problema 58:
A altura de uma pirâmide é 93 1/3 cúbitos, e a base é 140 cúbitos. Qual é a
seqt?
Problema 59:
A altura de uma pirâmide é 8 cúbitos, e a base é 12 cúbitos. Qual é a seqt?
Problema 60:
Qual é o seqt de uma pirâmide de 15 cubit de base e 30 cubit de altura?
Solução:
Este problema tem uma resolução semelhante à do Problema 56. Devemos, no
pensarmos
nas
enormes
edificações
construídas
pelo
povo
egípcio,
nomeadamente nas grandes pirâmides, facilmente percebemos que não
poderiam ter sido realizadas sem um conhecimento mínimo de relações
trigonométricas.
Estes problemas dizem, todos, respeito a questões sobre o seqt (medida de
inclinação) de uma pirâmide.
Problema 56:
Qual é o seqt de uma pirâmide de 250 cubit de altura e 360 cubit de lado?
Resolução:
1º Calcula-se metade de 360 que é 180.
2º Descobre-se o número que multiplicado por 250 dá 180. Esse número é
1/2+1/5+1/50.
3º Um cubit são sete palmos. Multiplica-se, agora, 7 por 1/2+1/5+1/50, que dá
5+1/25. Logo, o seqt é 5+1/25 palmos por meth.
Problema 57:
A seqt de uma pirâmide é 5 palmos e 1 dedo, e a base é 140 cúbitos . Qual é a
altura?
Problema 58:
A altura de uma pirâmide é 93 1/3 cúbitos, e a base é 140 cúbitos. Qual é a
seqt?
Problema 59:
A altura de uma pirâmide é 8 cúbitos, e a base é 12 cúbitos. Qual é a seqt?
Problema 60:
Qual é o seqt de uma pirâmide de 15 cubit de base e 30 cubit de altura?
Solução:
Este problema tem uma resolução semelhante à do Problema 56. Devemos, no
entanto, salientar que a resolução apresentada no papiro está errada uma vez
que o escriba não efectuou o 3º passo apresentado.
Problema 62:
Uma bolsa contém o mesmo peso de ouro, prata e estanho. O valor total é 84
shaty. Um deben de ouro é 12 shaty, o de prata 6 shaty e o de estanho 3 shaty.
Calcular o valor de cada metal.
Solução:
Valor total = 84 shaty
Valor total para 1 deben de ouro, 1 deben de prata e um deben de estanho =
21 shaty
Peso de cada metal = 84/21 = 4 deben
Valor do ouro = 12x4 = 48 shaty
Valor da prata = 6x4 = 24 shaty
Valor do estanho = 3x4 = 12 shaty
Problema 63:
Divida 700 pães por quatro homens na proporção dos números 2/3, 1/2, 1/3 e
1/4.Qual a parte de cada homem?
Solução:
Primeiro faz-se a seguinte soma 2/3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 7/4. Depois efectuase a divisão de 700 por 7/4 que dá 400. Multiplica-se este número por cada
uma das fracções: 2/3, 1/2, 1/3, 1/4, obtendo-se a respectiva quantidade de pão
a cada homem.
Problema 64:
Divida 10 heqat de cereal por 10 homens de modo que a diferença comum
seja 1/8 de um heqat de cereal.
Solução:
Calculando 10/10 obtemos 1 (a que os egípcios chamavam valor médio).
Portanto, o número total de diferenças é 10-1 = 9. Calcule-se metade da
diferença comum; obtém-se 1/16. Multiplicando 9 por 1/16 encontramos o valor
½+1/16. Adicionando este resultado ao valor médio obtemos a parcela maior:
1+1/2+1/16. Subtraindo a diferença comum, 1/8, nove vezes calculamos a
parcela menor: 1/4+1/8+1/16. Portanto as parcelas serão 1/4+1/8+1/16,
1/2+1/16,
1/2+1/8+1/16,
1/2+1/4+1/16,
1/2+1/4+1/8+1/16,
1+1/16,
1+1/8+1/16, 1+1/4+1/16, 1+1/4+1/8+1/16 e 1+1/2+1/16, que totalizam o
total de 10.
Problema 69:
3+1/2 heqts de farinha são transformados em 80 pães. Descubra a quantidade de farinha em cada
pão e o peso.
Solução:
Multipliquemos 3+1/2 por 320, pois num heqat existem 320 ro e pretende-se saber o número de ro
em 3+1/2 .
1à320
2à640
1/2à160
Logo em 3+1/2 heqats existem 1120 ro.
Agora divide-se 1120 pelos 80 pães:
1à80
10à800
2à160
4à320
logo 1120 = 800+320 à 1120/80 = 10+4=14. Então tem-se 14 ro por cada pão.
Para determinar o peso de cada pão divide-se 80 por 3+1/2.
1à3+1/2
10à35
20à70
2à7
2/3à2+1/3
1/21à1/6
1/7à1/2
Como 70+7+2+1/3+1/6+1/2 = 80, tem-se
22+2/3+1/21+1/7. O peso é 22+2/3+1/21+1/7.
que
80/(3+1/2)
=
20+2+2/3+1/21+1/7
Problema 71:
De uma jarra de cerveja tira-se 1/4 do conteúdo e troca-se por água. Determinar o novo peso da
cerveja, supondo que a cerveja inicial era o produto de meio heqat de cereal.
Problema 72:
=
De 100 pães de peso 10 devem ser trocados por pães de peso 45. Quantos pães deste tipo é que
haverá?
Solução:
Actualmente este problema seria facilmente resolvido por uma regra de três simples. Contudo a
resolução apresentada por Ahmes é bastante mais complicada.
Temos que 100 pães de peso 10 se obteriam a partir de 100/10 = 10 heqat de farinha e 10 heqat de
farinha produziriam 10x45 = 450 pães de peso 45.
Consideremos o excesso 45-10 = 35.
Divide-se 35 por 10 para obter o excesso por pão: 35/10 = 3+1/2.
Multiplica-se este valor por 100 obtendo-se 350, que é o excesso sobre os 100 pães.
Soma-se 100 a 350 e obtém-se 450 que é o resultado.
Problema 73:
100 pães de peso 10 devem ser trocados por pães de peso 15. Quantos pães destes tipo é que
haverá?
Solução:
Valor total = 84 shaty
Valor total para 1 deben de ouro, 1 deben de prata e um deben de estanho = 21 shaty
Peso de cada metal = 84/21 = 4 deben
Valor do ouro = 12x4 = 48 shaty
Valor da prata = 6x4 = 24 shaty
Valor do estanho = 3x4 = 12 shaty
Problema 74:
De 1000 pães de peso 5 devem ser trocados por um número de pães de peso 20 e pelo mesmo
número de pães de peso 30. Quantos pães de cada tipo é que haverá?
Problema 75:
De 155 pães de peso 20 devem ser trocados por um número de pães de peso 30. Quantos pães
deste tipo haverá?
Problema 76:
De 1000 pães de peso 10 devem ser trocados por um número de pães de peso 20 e pelo mesmo
número de pães de peso 30. Quantos pães de cada tipo é que haverá?
Este é o único problema sobre progressões geométricas do Antigo Egipto que é conhecido, sendo ainda
o primeiro exemplo de matemática recreativa. Trata-se de uma progressão geométrica em que o
primeiro termo e a razão são ambos 7. O enunciado do problema está exposto de uma forma estranha
e diz:
7 casas, 49 gatos, 343 ratos, 2401 espigas de trigo, 16807 heqat de trigo.
Supõe-se que Ahmes se referia a um problema, possivelmente já conhecido, em que cada casa há 7
gatos, cada gato comeu 7 ratos, cada rato comeu 7 espigas de trigo, cada espiga produziu 7 heqat de
trigo e se pretende saber a soma de todos as coisas enumeradas. Notemos a familiaridade com a
canção infantil conhecida:
"As I was going to St. Ives,
I met a man with seven wives;
Every wife had seven sacks,
Every sack had seven cats,
Every cat had seven kits.
Kits, cats, sacks, and wives,
How many were going to St. Ives?"
"Ia eu para St. Ives,
Conheci um homem com 7 esposas,
Cada esposa tinha 7 sacos,
Cada saco tem 7 gatos,
cada gato tem 7 gatinhos.
Gatinhos, gatos, sacos, esposas,
Quantos iam para St. Ives?"
Resolução:
Casas
7
Gatos
49
Ratos
343
Espigas de trigo
2401
Heqats de trigo
16807
_________________ ________
total
19607
1
2801
2
5602
4
11204
_____ ________
total
19607
As primeira duas colunas dão a soma (na última linha) dos cinco termos da progressão geométrica de
razão sete a começar em sete: 7+72+73+74+75. As duas últimas colunas dão-nos o método egípcio de
multiplicar 7 por 2801. Para um arqueologista a tabela acima e a relação entre as colunas poderá não
ter sentido. Contudo, para um matemático, a relação entre as duas colunas é óbvia tendo em conta a
fórmula para a soma dos primeiros n termos {1, r, r2, ..., rn} de uma série geométrica de razão n e a
começar em 1, que é dada por 1+r+r2+...+rn = (rn-1)/(r-1). Tem-se 7 vezes este valor com r igual a
sete e n igual a 4. Portanto, 7x(74 - 1)/(7 - 1) = 7x(16807 - 1)/6 = 7x 16806/6 = 7x2801 = 19607.
Portanto, este problema exibe a fórmula da soma de uma série geométrica.