1.
Calcular la derivada direccional de las siguientes funciones reales de dos
funciones variables en el punto y según la dirección del vector que se indica:
⃗ = (𝟐, −𝟏)
a) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒍𝒐𝒈√𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 , 𝒂(𝟏, 𝟐); 𝒖
‖𝑢
⃗ ‖ = √4 + 1 = √5
𝑢
⃗ =
2
√5
𝑓𝑥 =
𝑓𝑦 =
𝑓𝑥(1,2) =
𝑓𝑦(1,2) =
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 =
𝐷𝑢
𝑖−
2𝑥 2
1
√5
𝑗
2𝑥
+ 3𝑦 2
3𝑦
2𝑥 2 + 3𝑦 2
2(1)
1
=
2
+ 3(2)
7
2(1)2
3(2)
3
=
2
+ 3(2)
7
2(1)2
2 1
1 3
( ) + (−
( )) = −𝟎. 𝟎𝟔 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
√5 7
√5 7
⃗ = (−𝟐, −𝟏)
b) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚; 𝒂 = (𝟏, −𝟑)¸ 𝒖
‖𝑢
⃗ ‖ = √4 + 1 = √5
𝑢
⃗ =
−2
√5
𝑖−
1
√5
𝑗
1
𝑓𝑥 = 4𝑥 3 + 6𝑥 − 4𝑦
𝑓𝑦 = −4𝑥
𝑓𝑥(1, −3) = 4(1)3 + 6(1) − 4(−3) = 22
𝑓𝑥(1, −3) = −4(1) = −4
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 = −
𝐷𝑢
2
√5
∗ 22 + (−
1
√5
∗ −4) = −𝟏𝟕. 𝟖𝟗 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
⃗ = (−𝟑, −𝟐)
c) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟒 + 𝐞𝐱𝐩(𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚) ; 𝒂(𝟐, 𝟑) )¸ 𝒖
‖𝑢
⃗ ‖ = √9 + 4 = √13
𝑢
⃗ =
−3
√13
𝑖−
2
√13
𝑗
𝑓𝑥 = 4𝑥 3 + exp(3𝑥 2 − 4𝑥𝑦) ∗ 6𝑥 − 4𝑦
𝑓𝑦 = exp(3𝑥 2 − 4𝑥𝑦) ∗ −4𝑥
𝑓𝑥(2,3) = 4(2)3 + exp(3(2)2 − 4(2)(3)) ∗ 6(2) − 12 = 32
𝑓𝑦(2,3) = −12𝑒 −12
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝑢𝑓 = −
3
√13
∗ 322 + (−12𝑒 −12 ∗ −
2
) = −𝟐𝟔. 𝟔𝟐 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
√13
2. Calcular la ecuación del plano tangente y de la recta normal a las superficies
siguiente en un punto que se indica
a) 𝒛 = 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 𝑷(𝟏, 𝟎, 𝟒)
2
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Recta del plano tangente.
𝑧 − 𝑧0 =
𝜕𝑧
(𝑥 − 𝑥0 ) + (𝑦 − 𝑦0 )
𝜕𝑥
𝜕𝑧
= 4𝑥 3 + 6𝑥 − 4𝑦
𝜕𝑥
𝑓𝑥(1,0,4) = 10
𝜕𝑧
= −4𝑥
𝜕𝑦
𝑓𝑦(1,0,4) = −4
𝑧 − 4 = 10(𝑥 − 1) − 4(𝑦 − 0)
𝑧 − 4 = 10𝑥 − 10 − 4𝑦
𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒; 10𝑥 − 6 − 4𝑦 − 𝑧 = 0
Recta normal.
𝑥 = 𝑎𝑡 + 𝑥0 ;
𝑦 = 𝑏𝑡 + 𝑦
𝑥 = 10𝑡 + 1
𝑦 = −4𝑡 + 1
𝑥−1
10
𝑦
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡 =
−4
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡 =
𝑧 = 𝑐𝑡 + 𝑧0
𝑧 =4−𝑡
𝑥−1
𝑦
=
=𝑧+4
10
−4
b) 𝒛 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝒙𝒚) 𝒑(𝟏, 𝝅, 𝟎)
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Recta del plano tangente.
3
𝑧 − 𝑧0 =
𝜕𝑧
(𝑥 − 𝑥0 ) + (𝑦 − 𝑦0 )
𝜕𝑥
𝜕𝑧
= 2 cos(𝑥𝑦) 𝑦
𝜕𝑥
𝑓𝑥(1,0,4) = −2𝜋
𝜕𝑧
= 2 cos(𝑥𝑦) 𝑥
𝜕𝑦
𝑓𝑦(1,0,4) = −2
< −2𝜋, −2 > = ⃗∇
𝑧 − 0 = −2𝜋(𝑥 − 1) − 2(𝑦 − 𝜋)
−2𝜋𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 + 4𝜋 = 0
Recta normal
𝑥−1 𝑦−𝜋
=
= −𝑧
−2𝜋
−2
𝒙
c) 𝒛 = 𝟏 + 𝒚 + 𝐥𝐨𝐠 (𝒚) 𝒑(𝟏, 𝟏, 𝟐)
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Recta del plano tangente.
𝑧 − 𝑧0 =
𝜕𝑧
(𝑥 − 𝑥0 ) + (𝑦 − 𝑦0 )
𝜕𝑥
𝜕𝑧
1
1
=
=
𝜕𝑥 ln(10) 𝑥 ln(10)
4
𝜕𝑧
1
1
=1+
=1+
𝜕𝑦
ln(10) 𝑦
ln(10)
<
𝑧−2=
1
1
,1 +
> = ⃗∇
ln(10)
ln(10)
1
1
(𝑥 − 1) − 1 +
(𝑦 − 1)
ln(10)
ln(10)
1
1
2
𝑥+
𝑦−
−𝑧−1=0
ln(10)
ln(10)
ln(10)
Recta normal
ln(10) (𝑥 − 1) =
𝑦 − 1 ∗ ln (10)
=𝑧+2
1 + ln (10)
3. Calcular la derivada de la función 𝒇 (𝒙, 𝒚) = √𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 , en el punto (1,2), a lo largo
de la curva 𝒓(𝒕) = (𝒕, 𝟐𝒕𝟐 )
𝑓 (𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 2𝑦 2
𝜕𝑓
1 ∗ 2𝑥
𝜕𝑓
𝑥
𝜕𝑓
1
1
=
,
=
→ 𝑓 (1,2) =
=
= 𝑓 (1,2) =
𝜕𝑥 2 √𝑥 2 + 2𝑦 2 𝜕𝑥 √𝑥 2 + 2𝑦 2
𝜕𝑥 √12 + 2(2)2
3
𝜕𝑓
1 ∗ 4𝑦
𝜕𝑓
2𝑦
𝜕𝑓
2(2)
4
=
,
=
→ 𝑓 (1,2) =
=
= 𝑓 (1,2) =
𝜕𝑦 2 √𝑥 2 + 2𝑦 2 𝜕𝑦 √𝑥 2 + 2𝑦 2
𝜕𝑦 √12 + 2(2)2
3
1
4
∇𝑓 = 𝑖 + 𝑗
3
3
𝒓(𝒕) = (𝒕, 𝟐𝒕𝟐 ) → 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 + 2𝑡 2𝑗 →
𝑑𝑟
𝑑𝑟
(1) = 1𝑖 + 4𝑗
= 1𝑖 + 4𝑡𝑗 →
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑢
⃗ = √12 + 42 → 𝑢
⃗ = √17
5
𝐷𝑢𝑓 = 𝛻𝑓 ∙ 𝑢
⃗ =
1 4
(3 + 3 )
√17
→ 𝐷𝑢𝑓 =
5
3 √17
→ 𝑫𝒖𝒇 =
𝟓√𝟏𝟕
𝟓𝟏
4. Calcular la ecuación del plano tangente y de la recta normal a las superficies
siguientes en el punto que se indica:
•
𝒇 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝒙𝒛 − 𝟐𝒚𝟑 − 𝟏𝟎 = 𝟎, 𝑷 = (𝟐, 𝟏, 𝟒)
𝑔 = 𝑓 (2,1,4) +
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(2,1,4)(𝑥 − 2) +
(2,1,4)(𝑦 − 1) +
(2,1,4)(𝑧 − 4) = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑓
= 2𝑥𝑦 2 + 𝑧,
𝜕𝑥
𝑓 (2,1,4) = 0,
𝜕𝑓
= 2𝑥 2 𝑦 + 6𝑦 2 ,
𝜕𝑦
𝜕𝑓
(2,1,4) = 8,
𝜕𝑥
𝜕𝑓
=𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑓
(2,1,4) = 14,
𝜕𝑦
𝜕𝑓
(2,1,4) = 2
𝜕𝑧
𝑔 = 0 + 8(𝑥 − 2) + 14(𝑦 − 1) + 2(𝑧 − 4)
𝑔 = 8𝑥 − 16 + 14𝑦 − 14 + 2𝑧 − 8
𝒈 = 𝟖𝒙 + 𝟏𝟒𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟑𝟖
•
𝒇 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟗 = 𝟎, 𝑷 = (𝟐, 𝟏, −𝟐)
𝑔 = 𝑓 (2,1, −2) +
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(2,1, −2)(𝑥 − 2) +
(2,1, −2)(𝑦 − 1) +
(2,1, −2)(𝑧 − (−2)) = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑓
= 2𝑥,
𝜕𝑥
𝑓 (2,1, −2) = 0,
𝜕𝑓
= 2𝑦,
𝜕𝑦
𝜕𝑓
(2,1, −2) = 4,
𝜕𝑥
𝜕𝑓
= 2𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑓
(2,1, −2) = 2,
𝜕𝑦
𝜕𝑓
(2,1, −2) = −4
𝜕𝑧
𝑔 = 0 + 4(𝑥 − 2) + 2(𝑦 − 1) − 4(𝑧 + 4)
6
𝑔 = 4𝑥 − 8 + 2𝑦 − 2 − 4𝑧 − 16
𝒈 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟒𝒛 − 𝟐𝟔
5. Calcular la derivada direccional de los siguientes campos
a. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒆𝒚+𝟐𝒙 en el punto 𝑷𝟎 (𝟏, 𝟏) y en la dirección que forma un
ángulo de 68° con respecto al gradiente.
𝜕𝑓
= 𝑒 𝑦+2𝑥 + 𝑥𝑒 𝑦+2𝑥 ∗ 2 = (2𝑥 + 1)𝑒 𝑦+2𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑓
= 𝑥𝑒 𝑦+2𝑥 ∗ 1 = 𝑥𝑒 𝑦+2𝑥
𝜕𝑦
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = [(2𝑥 + 1)𝑒 𝑦+2𝑥 ]𝑖 + [𝑥𝑒 𝑦+2𝑥 ]𝑗
∇𝑓(1,1) = 60.26𝑖 + 20.08𝑗
𝐷𝑢𝑓 = 𝑢 ∗ ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = ‖𝑢‖ ∗ ‖∇𝑓(𝑥, 𝑦)‖𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐷𝑢𝑓 = 1 ∗ √(60.26)2 + (20.08)2 ∗ 𝑐𝑜𝑠68° = 23.7946
𝑫𝒖𝒇 = 𝟐𝟑. 𝟕𝟗𝟒𝟔
𝟐
𝝅
b. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 𝒚) − 𝐥𝐧 (𝒙−𝒚), en el punto ( 𝟐 , 𝟏) y en la dirección que
va desde el punto 𝑷𝟏 (𝟖, −𝟐) al punto 𝑷𝟐 (𝟓, 𝟏).
𝜕𝑓
𝑥−𝑦
2
1
) = 2𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥 2 𝑦) +
= cos(𝑥 2 𝑦) ∗ 2𝑥𝑦 −
∗ (−
2
(𝑥 − 𝑦)
𝜕𝑥
2
𝑥−𝑦
𝜕𝑓
𝑥−𝑦
2
1
) = 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥 2 𝑦) −
= cos(𝑥 2 𝑦) ∗ 𝑥 2 −
∗(
2
(𝑥 − 𝑦)
𝜕𝑥
2
𝑥−𝑦
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = [2𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥 2 𝑦) +
1
1
] 𝑖 + [𝑥 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥 2 𝑦) −
]𝑗
𝑥−𝑦
𝑥−𝑦
7
𝜋
∇𝑓 ( , 1) = −0.7023𝑖 − 3.6795𝑗
2
𝑃1 𝑃2 = (5 − 8)𝑖 + (1 + 2)𝑗
𝑃1 𝑃2 = −3𝑖 + 3𝑗
𝑢=
𝑃1 𝑃2
−3𝑖 + 3𝑗
−3𝑖 + 3𝑗
1
1
=
=
=−
𝑖+
𝑗
‖𝑃1 𝑃2 ‖ √(−3)2 + (3)2
3√2
√2
√2
𝐷𝑢𝑓 = 𝑢 ∗ ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 0.4966 + (−2.6017) = −2.1051
𝑫𝒖𝒇 = −𝟐. 𝟏𝟎𝟓𝟏
6. Se describe la superficie de una montaña por la ecuación 𝒉(𝒙, 𝒚) = 𝟒𝟎𝟎𝟎 −
𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝒙𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝒚𝟐, si un alpinista está en el punto (𝟓𝟎𝟎, 𝟑𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟗𝟎), en qué
dirección debe moverse el alpinista para ascender lo más rápido posible.
𝜕ℎ
1
= 2(−0.001𝑥) = −
𝑥
𝜕𝑥
500
𝜕ℎ
1
= 2(−0.004𝑦) = −
𝑦
𝜕𝑦
125
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (−
1
1
𝑥) 𝑖 − (
𝑦) 𝑗
500
125
∇𝑓(500,300) = −1𝑖 − 2.4𝑗
𝐷𝑢𝑓𝑚𝑎𝑥 = ‖𝑢‖ ∗ ‖∇𝑓(𝑥, 𝑦)‖cos (0)
𝐷𝑢𝑓𝑚𝑎𝑥 = 1 ∗ √(−1)2 + (−2.4)2 ∗ 1 = 2.6
𝐷𝑢𝑓 = 𝑢 ∗ ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.6
(𝑢1 𝑖 + 𝑢2 𝑗)(−1𝑖 − 2.4𝑗) = 2.6
−𝑢1 − 2.4𝑢2 = 2.6
𝒖𝟏 = −𝟐. 𝟔 − 𝟐. 𝟒𝒖𝟐
𝑢 = √𝑢1 2 + 𝑢2 2 = 1
𝒖𝟏 𝟐 + 𝒖𝟐 𝟐 = 𝟏
(−2.6 − 2.4𝑢2 )2 + 𝑢2 2 = 1
8
6.76𝑢2 2 + 12.48𝑢2 + 5.76 = 0
𝑢2 = −0.9230
𝑢1 = −0.3848
𝒖 = −𝟎. 𝟑𝟖𝟒𝟖𝒊 − 𝟎. 𝟗𝟐𝟑𝟎𝒋
7. Calcula la matriz jacobiana en el punto (𝟑, 𝟎, 𝝅) de la siguiente función:
𝒛
𝒙
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝒆𝟐𝒚 𝐜𝐨𝐬(−𝒛) , (𝒚 − 𝟐)𝟑 𝒔𝒆𝒏 (𝟐) , 𝒆𝟐𝒚 𝐥𝐧 (𝟑)
Funciones componentes:
𝑧
𝑥
1: 𝑥𝑒 2𝑦 cos(−𝑧) ; 2: (𝑦 − 2)3 𝑠𝑒𝑛 (2); 3: 𝑒 2𝑦 ln (3)
∇𝑓1 = (𝑒 2𝑦 cos(𝑧))𝑖 + (2𝑥𝑒 2𝑦 cos(𝑧))𝑗 − (𝑥𝑒 2𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑧))𝑘
∇𝑓1 (3,0, 𝜋) = −1𝑖 − 6𝑗 − 0𝑘
𝑧
1
𝑧
∇𝑓2 = 0𝑖 + (3(𝑦 − 2)2 𝑠𝑒𝑛 ( )) 𝑗 + ( (𝑦 − 2)3 cos ( )) 𝑘
2
2
2
∇𝑓2 (3,0, 𝜋) = 0𝑖 + 12𝑗 + 0𝑘
∇𝑓3 = (𝑒 2𝑦 ∗
3 1
𝑥
∗ ) 𝑖 + (2𝑒 2𝑦 ln ( )) 𝑗 + 0𝑘
𝑥 3
3
1
∇𝑓3 (3,0, 𝜋) = 𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘
3
−𝟏
𝟎
𝑱(𝑫) = [ 𝟏
𝟑
−𝟔 𝟎
𝟏𝟐 𝟎
𝟎
]
𝟎
9