MECÂNICA DOS SÓLIDOS
TORÇÃO
Por
Santiago Maya Johnson
Semestre 01-2020
Universidade Federal de São Carlos
SP - Brasil
1
“Nothing in life is to be feared, it is
only to be understood. Now is the
time to understand more, so that
we may fear less.”
“Nada na vida deve ser temido,
somente compreendido. Agora é
hora de compreender mais para
temer menos.”
Marie Skłodowska Curie
2
Torção
A Figura mostra um exemplo comum de carga de torção e indica as tensões de cisalhamento e o
estresse resultante da torção. Um torque (par) de magnitude 2P*b é aplicado ao eixo AB da
alavanca pela aplicação de forças iguais e opostas de magnitude P nas extremidades do braço CD
(Fig. a, b). Dizemos que o eixo AB é um membro de torção. Como indicado na Fig. c, o eixo AB é
submetido a torques iguais e opostos de magnitude T que torcem uma extremidade em relação à
outra e, como mostrado na Fig. d, o torque T atuando em uma seção transversal entre A e B é o
resultante de tensões de cisalhamento distribuídas.
3
Roy R. Craig - Mechanics of Materials 3rd Ed
Torção
O torque é um momento que tende a torcer um membro em torno
de seu eixo longitudinal.
Hibbeler - Mechanics of Materials - 8th Ed
Quando o torque é aplicado, os círculos e as linhas de grade longitudinais originalmente marcadas no eixo
tendem a se distorcer dentro do padrão mostrado na Fig. b. Observe que a torção faz com que os círculos
permaneçam em círculos, e cada linha de grade longitudinal se deforma em uma hélice que cruza os círculos
em ângulos iguais.
4
Torção
O momento de um par pode ser
representado por um vetor na forma de
uma seta de duas pontas (Fig. b). A seta é
perpendicular ao plano que contém o par e,
portanto, neste caso, ambas as setas são
paralelas ao eixo da barra. A direção (ou
sentido) do momento é indicada pela regra
da mão direita.
James M Gere - Mechanics of Materials 6th Ed
5
Torção
Quando um eixo circular, seja ele sólido ou
tubular, é submetido à torção, cada seção
transversal
permanece
plana
e
simplesmente gira em torno do eixo do
membro.
Por outro lado, como pode ser visto na Fig.
b, seções transversais da barra quadrada
tornam-se deformadas quando a barra é
torcida em torno de seu eixo.
Beer & Johnston - Mechanics of Materials 7th Ed
Por causa da simplicidade matemática da teoria de torção de membros com seção transversal
circular, e por causa da aplicação generalizada de tais membros, nós desenvolveremos a teoria de
torção para membros circulares.
6
Torção
Observe que as linhas circunferenciais, que representam as seções transversais planas antes da
deformação, permanecem em um plano após a deformação, mas que as linhas longitudinais, que
são paralelas ao eixo do membro antes da deformação, tornam-se helicoidais como resultado de
deformação torcional.
7
Roy R. Craig - Mechanics of Materials 3rd Ed
Deformação Torcional de um Eixo Circular
Se o eixo estiver fixado em uma
extremidade (engastado) e um
torque for aplicado à outra
extremidade, o plano sombreado
verde escuro na Fig. se distorcerá
em uma forma inclinada, como
mostrado. Aqui, uma linha radial
localizada na seção transversal a
uma distância x da extremidade fixa
do eixo irá girar através de um
ângulo φ(x). O ângulo φ(x) é
chamado de ângulo de torção.
Depende da posição x e irá variar ao
longo do eixo como mostrado.
Hibbeler - Mechanics of Materials - 8th Ed
8
Deformação Torcional de um Eixo Circular
Para entender como essa distorção deforma o material, vamos agora isolar um pequeno elemento
localizado a uma distância radial ρ(rho) do eixo da barra.
9
Deformação Torcional de um Eixo Circular
Devido à deformação, as faces frontal e traseira do elemento sofrerão uma rotação; a face traseira
φ(x) e a face frontal φ(x) + Δφ. Como resultado, a diferença nessas rotações, Δφ, faz com que o
elemento seja submetido a uma deformação de cisalhamento.
A
D
γ
B
Δx
ρ
γ
Δφ
ângulos em radianos!!!
10
Deformação Torcional de um Eixo Circular
A
D
γ
B
γ
Δx
Δφ
Δφ
ρ
Δx
ρ
ângulos em radianos!!!
ângulos em radianos!!!
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Deformação Torcional de um Eixo Circular
O comprimento do arco BD é:
BD = ρ ⋅ ∆φ
raio
Para ângulos pequenos:
BD
tan(γ ) ≅ γ =
∆x
ângulo central
Portanto, se deixarmos Δx -> dx e Δφ -> dφ;
dφ
γ =ρ
dx
Aqui γ é a deformação de cisalhamento na seção transversal x, a uma distância ρ
do eixo. A derivada dφ / dx é chamada de taxa de torção.
12
Deformação Torcional de um Eixo Circular
Como dx e dφ são os mesmos para todos os elementos localizados em pontos na seção
transversal em x, então (dφ / dx) é constante sobre a seção transversal, e equação anterior
afirma que a magnitude da deformação de cisalhamento para qualquer um desses
elementos varia apenas com sua distância radial ρ do eixo da barra circular. Em outras
palavras, a deformação de cisalhamento dentro do eixo varia linearmente ao longo de
qualquer linha radial, de zero no eixo da barra até um máximo γmax em seu limite externo.
dφ γ γ max
= =
dx ρ
c
ρ
 γ =   ⋅ γ max
c
Onde:
γ = deformação de cisalhamento na seção transversal x, a uma distância ρ do eixo.
ρ = distância desde o centro da barra.
c = raio da barra.
γmax = deformação de cisalhamento máxima.
13
Deformação Torcional de um Eixo Circular
A deformação de cisalhamento, γ, varia linearmente com ρ, a distância do eixo.
Mesmo se um membro de torção circular fosse solido, tubular, ou feito de um
núcleo central de um material ligado a uma manga tubular externa de outro
material.
Roy R. Craig - Mechanics of Materials 3rd Ed
14
A Fórmula de Torção
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, ele cria um torque interno
correspondente dentro do eixo.
τ = G ⋅γ
Se o material for elástico linear, então aplica-se a lei de Hooke, τ = G γ,
conseqüentemente, uma variação linear na deformação de cisalhamento, como
observado na seção anterior, leva a uma variação linear correspondente na tensão de
cisalhamento ao longo de qualquer linha radial na seção transversal.
15
A Fórmula de Torção
τ = G ⋅γ
ρ
; γ =   ⋅ γ max
c
Quando, τ é máximo então γ também é máximo.
τ max = G ⋅ γ max
→
τ max
G
= γ max
Deixando a deformação de cisalhamento em função da tensão cortante máxima :
ρ τ
γ =   ⋅ max
c G
16
A Fórmula de Torção
τ = G ⋅γ
ρ τ
; γ =   ⋅ max
c G
 ρ  τ max
τ = G ⋅ ⋅
c G
0
c
c
ρ = c  τ =   ⋅τ max = τ max
c
ρ = 0  τ =   ⋅τ max = 0
ρ
 τ =   ⋅τ max
c
Assim, τ variará de zero no eixo longitudinal da barra até um valor máximo, τmax ,
na sua superfície externa.
Essa equação expressa a distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal
em termos da posição radial do elemento.
17
A Fórmula de Torção
Agora podemos aplicar a condição que requer que o torque produzido pela distribuição de tensão
sobre toda a seção transversal seja equivalente ao torque interno resultante T na seção, que
mantém o eixo em equilíbrio.
τ
ΔA
C
ρ
18
A Fórmula de Torção
Especificamente, cada elemento da área dA, localizado em ρ é submetido a uma força de dF = τ dA.
O torque produzido por esta força é :
dT = ρ (τ ⋅ dA)
tensão
área
braço
Lembrando que:
força
ρ
τ =   ⋅τ max
momento
c
Temos, portanto, para toda a seção transversal:
 dT =  ρ (τ ⋅ dA) =  ρ
A
A
( )τ
ρ
c
max
⋅ dA
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A Fórmula de Torção
Como τmax , c ; são constantes:
T=
τ max
c

A
ρ 2 ⋅ dA
A integral depende apenas da geometria do eixo. Representa o momento polar de
inércia da área da seção transversal da barra em torno do eixo longitudinal da barra.
J = I P =  ρ 2 ⋅ dA
A
20
Momento Polar de Inércia
dA
r
ρ
dθ
I P =  ρ 2 ⋅ dA
A
=
r

2π
0 0
ρ 2 ⋅ ρ dθ dρ
21
Momento Polar de Inércia
IP = 
r

2π
0 0
=
r

2π
0 0
r
ρ 2 ⋅ ρ dθ dρ
2π
r
ρ dθ dρ =  ρ 3 ⋅ θ 0 dρ
3
0
r
=  ρ ⋅ (2π − 0)dρ = 2π  ρ 3dρ
3
0
0
1 4 r 2π 4
= 2π ⋅ ρ =
r −0
0
4
4
4
π ⋅r4
π ⋅ ( D / 2) 4 π ⋅ D16 π ⋅ D 4
IP =
=
=
=
2
2
2
32
(
)
22
Momento Polar de Inércia
Note que J, IP , é uma propriedade geométrica da área circular e é sempre
positiva. De maneira análoga, para barra tubular de raio interior ri , e raio
exterior re :
IP = 
re
ri

2π
0
ρ 2 ⋅ ρ dθ dρ
re
1
= 2π ⋅ ρ 4
4 ri
=
(
r
2
π
e
4
− ri
4
)
23
A Fórmula de Torção
Voltando a nossa fórmula de torção:
T=
τ max
c
IP
Para uma barra sólida (de raio exterior, c = r ) :
τ max =
T ⋅r
T ⋅r
=
IP
(π / 2)r 4
 τ max =
2T
π ⋅ r3
Para uma distância ρ desde o centro da barra:
T ⋅ρ
τ=
IP
2T
τ=
π ⋅ ρ3
24
Exemplo 1 – Torção
O tubo de raio interno c/2, e raio externo c, é
submetido a um torque de T. Determinar a
quantidade deste torque que é resistido pelo tubo
em comparação com uma barra sólida.
Solução:
τ max
τ max  π

4
c )4 )
c
(
−
(
2

c
c  2

τ max  π  4 c 4  τ max  π  16c 4 − c 4 

=
  c −  =
 
c 2 
c  2  16 
16 
T=
IP =
25
Exemplo 1 – Torção
T=
τ max  π  15c 4  15  π


3
=
τ
⋅
c
 

max

c  2  16  16  2

Vamos calcular como seria o Torque T’ para uma barra sólida de raio c:
T′ =
τ max
c
IP =
τ max  π ⋅ c 4  π

 = τ max ⋅ c
c  2  2
3
Sabemos que o τmax é igual porque é o mesmo material, e o raio exterior “c” é igual também,
substituindo:
T=
15
T ′ = 0.9375 ⋅ T ′
16
Então, aproximadamente 94% do torque é resistido por um tubo de raio interior c/2. O que justifica o uso
de eixos tubulares como um meio eficiente de transmitir torque e, assim, economizar material.
26
Ângulo de torção
Usando a mesma análise da seção anterior:
dφ γ
=
dx ρ
 dφ =
γ
dx
ρ
27
Ângulo de torção
Usando a lei de Hooke, e a formula de torção:
τ = G ⋅γ
; τ=
T ( x) ⋅ ρ
I P ( x)
dφ =
φ=
τ
G
=
T ( x) ⋅ ρ
I P ( x) ⋅ G
T ( x)
1 T ( x) ⋅ ρ
dx =
dx
ρ I P ( x) ⋅ G
I P ( x) ⋅ G
Substituindo:
γ
dφ = dx
ρ
 γ=
L
0
T ( x)
dx
I P ( x) ⋅ G
Onde:
φ = o ângulo de torção de uma extremidade da barra em relação à outra extremidade, medida em radianos.
T(x) = o torque interno na posição arbitrária x, encontrado a partir do método de seções e a equação de
equilíbrio de momento aplicada sobre o eixo da barra.
Ip(x) = o momento polar de inércia da barra expresso em função da posição x.
G = o módulo de elasticidade de cisalhamento do material.
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Ângulo de torção
Torque e Área Transversal Constante :
φ=
T ⋅L
IP ⋅G
As semelhanças entre a equação acima e aquela para uma barra axialmente carregada devem ser notada:
δ=
P⋅L
A⋅ E
Torques Múltiplos. Se a barra for submetida a vários torques diferentes, ou a área da seção
transversal ou o módulo de cisalhamento mudar abruptamente de uma região do eixo para a
próxima, a anterior equação pode ser aplicado a cada segmento do eixo onde essas
quantidades são todas constantes.
φ =
T ⋅L
IP ⋅G
29
30
Convenção de signo
Para aplicar esta equação, devemos desenvolver uma convenção de sinais tanto para o torque
interno quanto para o ângulo de torção de uma extremidade da barra em relação à outra
extremidade. Para isso, usaremos a regra da mão direita, por meio da qual tanto o torque como o
ângulo serão positivos, desde que o polegar esteja direcionado para fora da barra quando os
dedos se enrolarem para dar a tendência de rotação.
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Convenção de signo
Para ilustrar o uso desta convenção de sinais, considere o eixo mostrado na figura:
TAB
80 N m
M
x
= 0 ; TAB − 80 N ⋅ m = 0
TAB = 80 N ⋅ m
32
Convenção de signo
150 N m
M
x
= 0 ; TBC + 150 N ⋅ m − 80 N ⋅ m = 0
TBC = −70 N ⋅ m
TBC
80 N m
M
x
= 0 ; TCD + 10 N ⋅ m = 0
TCD = −10 N ⋅ m
TCD
10 N m
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Exemplo 2 – Torção
Quatro engrenagens são presas a um eixo circular e transmitem os torques mostrados na figura. A
tensão de cisalhamento permitida no eixo é de 69 MPa. (a) Qual é o diâmetro requerido “d” do eixo
se ele tiver uma seção transversal sólida? (b) Qual é o diâmetro externo requerido “dext” se o eixo
for oco com um diâmetro interno de 25.4 mm.?
900 N * m
2100 N * m
400 N * m
800 N * m
34
Exemplo 2 – Torção
Solução (a):
900N*m
M
T1
x
= 0 ; T1 + 900 N ⋅ m = 0
T1 = −900 N ⋅ m
900N*m
2100 N*m
M
T2
x
= 0 ; T2 − 2100 N ⋅ m + 900 N ⋅ m = 0
T2 = 1200 N ⋅ m
900N*m
2100 N*m
400 N*m
M
x
T3
= 0 ; T3 + 400 N ⋅ m − 2100 N ⋅ m + 900 N ⋅ m = 0
T3 = 800 N ⋅ m
35
Exemplo 2 – Torção
T(N*m)
1200
800
-900
τ max =
r=3
T ⋅r
T ⋅r
=
(π / 2)r 4
IP
 r3 =
2T
π ⋅τ
2(1200 N ⋅ m)
≈ 0.0223m = 22.3mm
9 N
π (69 x10 m 2 )
D = 2r = 44.6mm
36
Exemplo 2 – Torção
Solução (b):
τ max =
T ⋅r
T ⋅r
=
4
IP
(π / 2)(r 4 − rint )
(τ max )( π2 )(r 4 − rint ) = T ⋅ r
4
[(τ max )( π2 )]⋅ r 4 − T ⋅ r − [(τ max )( π2 )(rint 4 )] = 0
a ⋅ x 4 + b ⋅ x3 + c ⋅ x 2 + d ⋅ x + e = 0
[108385200 ]⋅ r
N
m
4
2
Solucionando a equação
quadrática são obtidos 4
possíveis valores:
[
]
− (1200 N ⋅ m) ⋅ r − 2.819 N ⋅ m 2 = 0
r1 = 0.023m
r2 = −0.01 + i 0.019
r3 = −0.01 − i 0.019
r4 = −0.002
Desses 4 o único valor
lógico é r1, então o
diâmetro externo seria:
Dext = 46mm
37
38