DINÂMICA
VIBRAÇÕES DE SISTEMAS
COM 1 GRAU DE LIBERDADE
António Araújo Correia
Janeiro de 2007
VIBRAÇÕES DE SISTEMAS
COM 1 GRAU DE LIBERDADE
1. INTRODUÇÃO
Esta publicação destina-se ao apoio das aulas da disciplina semestral de Dinâmica do primeiro
semestre do segundo ano do mestrado integrado em Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico.
O tema abordado é o das vibrações de sistemas discretos em que o movimento pode ser descrito por
apenas um parâmetro, ou seja, de sistemas com 1 grau de liberdade.
1.1. VIBRAÇÕES MECÂNICAS
Uma vibração mecânica é o movimento oscilatório de uma partícula ou de um corpo em torno de
uma posição de equilíbrio. Este movimento oscilatório é geralmente provocado quando o sistema é
deslocado da sua posição de equilíbrio estável devido, por exemplo, à actuação de forças exteriores,
de deslocamentos da sua base ou de choques com outros corpos. As forças actuantes no corpo
quando essa solicitação cessa têm a tendência de restaurar a configuração inicial, sendo
denominadas de forças de restituição (força elástica no caso de uma massa ligada a uma mola ou
força gravítica no caso de um pêndulo). Quando o corpo atinge de novo a sua posição inicial a sua
velocidade não será nula pelo que o movimento se prolongará no tempo como uma oscilação
harmónica.
O intervalo de tempo necessário para o movimento completar um ciclo é o período de vibração (T).
A frequência de vibração (f) é o seu inverso e corresponde ao número de ciclos por unidade de
tempo:
f = 1/ T
(1.1)
Sendo que um ciclo num movimento circular corresponde a um ângulo de 2π radianos, define-se a
frequência angular (ω) como sendo:
ω = 2π f
(1.2)
O deslocamento máximo do sistema medido a partir da sua posição de equilíbrio é a amplitude do
movimento.
Uma vibração pode ser classificada como livre, quando o movimento se mantém apenas devido às
forças de restituição, ou forçada, quando se aplica uma força variável no tempo. Pode ainda ser
amortecida, quando os efeitos do atrito não são desprezáveis, ou não amortecida, quando esses
efeitos podem ser desprezados.
1.2. FENÓMENOS DINÂMICOS E SOLICITAÇÕES
Um fenómeno de origem dinâmica caracteriza-se por uma solicitação variável no tempo, e
porventura também no espaço, no qual as forças de inércia, produto da massa pela aceleração, têm
uma influência significativa na resposta do sistema. Por abuso de linguagem, o termo
“carregamento dinâmico” é frequentemente atribuído de forma errada a fenómenos cuja única
característica é serem variáveis no tempo. De facto, se a velocidade de carregamento for
suficientemente lenta, a aceleração é desprezável e as forças de inércia não têm uma influência
significativa na resposta. Tais fenómenos são classificados de cíclicos, se o sentido do carregamento
é alternado, ou quasi-estáticos monotónicos. A título de exemplo citam-se:
1
- fenómeno quasi-estático monotónico: aplicação de uma carga crescente a uma estrutura
(Figura 1.1a), na qual a carga P(t) varia lentamente; as únicas forças aplicadas à viga além
da carga P(t) são as reacções de apoio R(t), também elas variáveis no tempo;
- fenómeno dinâmico: impacto na estrutura produzindo uma força P(t); as forças aplicadas
são nesse caso a força P(t), as reacções de apoio R(t) e as forças de inércia fi(t) dependentes
da distribuição de massa e das acelerações na estrutura (Figura 1.1b);
- carregamento cíclico: solicitação da estrutura da Figura 1.1a) por uma força lentamente
crescente e de seguida decrescente, como é o caso da acção das ondas sobre as plataformas
off-shore;
- carregamento dinâmico alternado: a força P(t) varia rapidamente de forma crescente e de
seguida decrescente, como é o caso das vibrações de uma máquina colocada sobre a
estrutura da Figura 1.1a). Este tipo de carregamento é igualmente o induzido por uma
solicitação sísmica imposta à estrutura.
Forças de inércia
a)
b)
Figura 1.1: Carregamento de uma viga.
Os tipos de solicitações podem definir-se como sendo determinísticos ou aleatórios consoante a sua
variação temporal e espacial é perfeitamente definida ou não. De entre as solicitações
determinísticas podem distinguir-se as periódicas (harmónicas ou não) e não periódicas (impulsivas
ou de longa duração). As Figuras 1.2 a 1.6 representam os vários tipos de solicitações e a respectiva
variação temporal.
Figura 1.2: Carregamento periódico harmónico – vibração de máquina rotativa.
Figura 1.3: Carregamento periódico não harmónico – propulsor de navio.
2
Figura 1.4: Carregamento impulsivo – onda de choque de uma explosão.
Figura 1.5: Solicitação de longa duração – acção sísmica.
Figura 1.6: Carregamento aleatório – vibração ambiente.
2. FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO
A formulação das equações do movimento de um problema dinâmico é uma das étapas mais
delicadas na análise da resposta de uma estrutura. São apresentadas aqui várias técnicas para as
obter, que estão na base de métodos numéricos que permitem o estudo das situações mais
complexas. As técnicas referidas apresentam como grande diferença a utilização de quantidades
vectoriais ou de grandezas escalares.
2.1. FORMULAÇÃO DIRECTA
Esta formulação consiste em identificar as forças e momentos que se exercem sobre a estrutura em
estudo e a escrever que a sua resultante é igual à variação da quantidade de movimento do sistema,
baseando-se portanto na segunda lei de Newton ou lei fundamental da dinâmica. Em geral o sistema
de forças actuantes é equivalente a uma força resultante e a um momento resultante, com três
componentes cada.
3
Designando por R (t) a força resultante aplicada a uma massa M animada de uma velocidade v , a
quantidade de movimento é igual a M v e o teorema da quantidade de movimento permite escrever:
d
d  du 
d 2u
(2.1)
R = (M v ) =  M
 = M 2 = M u
dt
dt  dt 
dt
A quantidade ( − M u ) representa a força de inércia que actua sobre o sistema. Esta equação pode
ser escrita numa forma alternativa, como indicado na expressão seguinte, que corresponde ao
princípio de D’Alembert: a equação do movimento do sistema satisfaz a equação de equilíbrio
estático do sistema solicitado pelas forças aplicadas e pelas forças de inércia. O comportamento
dinâmico do sistema é então descrito por uma equação análoga a um problema estático:
(2.2)
R − M u = 0
A equação (4) é de facto um sistema de N equações, cada uma associada a um grau de liberdade da
massa M. Em geral para um corpo rígido N=6, correspondendo a três translacções e três rotações.
Consoante o grau de liberdade M designa a massa ou uma inércia de rotação, sendo que nesse caso
a equação do movimento seria ligeiramente diferente mas com termos similares.
O método directo é particularmente útil para a formulação das equações do movimento de sistemas
discretos nos quais as massas estão concentradas em alguns pontos da estrutura, sendo que a
dificuldade reside na correcta determinação das forças e momentos resultantes que resultam das
ligações e das interacções entre as várias massas do sistema.
2.2. PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Quando o sistema estrutural é relativamente complexo e envolve várias massas interligadas ou
corpos rígidos, o método directo pode revelar-se bastante difícil de utilizar. Frequentemente as
várias forças envolvidas podem ser expressas facilmente em função dos graus de liberdade mas as
suas relações de equilíbrio serem complexas. Neste caso o Princípio dos Trabalhos Virtuais pode
ser utilizado para formular as equações do movimento em detrimento do método directo.
O Princípio dos Trabalhos Virtuais exprime que se um sistema em equilíbrio sob a acção de um
conjunto de forças aplicadas for sujeito a deslocamentos virtuais, compatíveis com as ligações do
sistema, o trabalho total realizado por essas forças é nulo. Naturalmente, a anulação do trabalho
realizado durante um deslocamento virtual é equivalente a uma equação de equilíbrio. A resposta
dinâmica de um sistema pode então ser estabelecida identificando primeiro todas as forças actuantes
nas massas do sistema, incluindo as forças de inércia de acordo com o Princípio de D’Alembert. De
seguida as equações do movimento são obtidas introduzindo campos de deslocamentos virtuais
correspondentes a cada um dos N graus de liberdade e igualando o trabalho virtual a zero.
Para um campo de deslocamentos virtual a componente da força generalizada segundo o grau de
liberdade qi é Qi e vem:
N
∑ (Q δ q − m q δ q ) = 0
i
i
i i
i
(2.3)
i =1
Uma das grandes vantagens desta abordagem é que os trabalhos virtuais são grandezas escalares,
podendo ser adicionadas algebricamente, enquanto que as forças actuantes são grandezas vectoriais
e só podem ser sobrepostas vectorialmente.
2.3. MÉTODOS ENERGÉTICOS - PRINCÍPIO DE HAMILTON E EQUAÇÕES DE LAGRANGE
Esta formulação, ao contrário do método directo, baseia-se apenas em grandezas escalares, dando
4
origem à Mecânica Analítica por oposição à Mecânica Vectorial de Newton. Essas grandezas
escalares estão relacionadas com a energia mecânica do sistema e com o trabalho das forças nele
aplicadas.
O Princípio Variacional de Hamilton é uma lei geral da Física que, sendo um princípio, não pode
ser provado. Apesar de não poder ser provado, aliás tal como os princípios de Newton, assumindo a
sua validade pode demonstrar-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais ou as Leis de Newton através
deste princípio e vice-versa.
Introduz-se a função de Lagrange, L (qi , qi , t ), como sendo uma função que contém toda a
informação sobre a evolução mecânica do sistema, conhecidas as posições e velocidades dos
elementos do sistema num determinado instante. Define-se ainda a Acção, S, de um sistema como
sendo o integral da função de Lagrange no período de tempo em estudo:
S=
∫
t2
t1
(2.4)
L (qi , qi , t ) dt
O Princípio Variacional de Hamilton postula então que de todas as trajectórias possíveis para ir de
um ponto a outro, ou de todas as configurações de equilíbrio possíveis, a real corresponde à que
minimiza a Acção, ou seja, aquela à qual corresponde uma variação nula da Acção:
δ S =0
(2.5)
Note-se que a noção de variação consiste numa trajectória diferente mas com os mesmos pontos
extremos, ou numa configuração de equilíbrio diferente mas com as mesmas ligações ao exterior e
entre as componentes do sistema.
Na Mecânica Clássica a função de Lagrange para um sistema conservativo é igual à diferença entre
a energia cinética e potencial (L = T – V). Quando actuam forças não conservativas o seu trabalho é
denominado aqui por τ nc e o Princípio de Hamilton escreve-se:
∫
t2
t1
t2
δ (T − V ) dt + ∫ δ τ nc dt = 0
(2.6)
t1
As Equações de Lagrange constituem uma outra forma de formular as equações do movimento de
um sistema e podem ser deduzidas do Princípio de Hamilton. Na formulação de Lagrange as
energias cinética e potencial e o trabalho das forças não conservativas exprimem-se em função das
coordenadas generalizadas:
N
T = T (qi , qi )
δτ nc = ∑ Qincδ qi
V = V (qi )
(2.7)
i =1
O Princípio de Hamilton escreve-se então:
 ∂T
t2 N
∫ ∑  ∂q
t1
i =1
δqi +
i

∂T
∂V
δqi −
δqi + Qincδqi  dt = 0
∂qi
∂qi

(2.8)
Integrando por partes o segundo termo:
∫
t2
t1
t
 ∂T
2
∂T
δqi dt =  δqi  −
∂qi
 ∂qi
 t1
∫
t2
t1
d  ∂T

dt  ∂qi

δqi dt

(2.9)
e reconhecendo que o primeiro termo do membro da direita nesta expressão é nulo, porque a
variação δqi é nula em t1 e em t2, vem:
5
t2 N

d  ∂T 
∂T
∫ ∑  − dt  ∂q  + ∂q
t1
i =1
i
−
i

∂V
+ Qinc  δqi dt = 0
∂qi

(2.10)
Este resultado deve ser válido qualquer que seja a variação arbitrária δqi, pelo que se obtêm as
Equações de Lagrange do sistema:
Qinc =
d  ∂T

dt  ∂qi
 ∂T ∂V
 −
+
 ∂qi ∂qi
(2.11)
Exemplo de aplicação
Considere-se o pêndulo da Figura 2.1 constituído por 2 massas m1 e m2 ligadas por barras rígidas de
comprimento L1 e L2. A descrição cinemática do sistema é obtida facilmente considerando como
coordenadas generalizadas os ângulos θ1 e θ2 que as barras formam com a vertical.
x
θ1
L1
m1
θ 2 L2
m2
y
Figura 2.1: Pêndulo.
No referencial indicado na figura as coordenadas (xi, yi) das duas massas exprimem-se por:
x1 = L1 sin(θ1 )
y1 = L1 cos(θ1 )
x2 = L1 sin(θ1 ) + L2 sin(θ 2 )
y1 = L1 cos(θ1 ) + L2 cos(θ 2 )
(2.12)
As suas derivadas temporais são:
x1 = L1 θ1 cos(θ1 )
x2 = L1 θ1 cos(θ1 ) + L2 θ2 cos(θ 2 )
y1 = − L1 θ1 sin(θ1 )
y1 = − L1 θ1 sin(θ1 ) − L2 θ2 sin(θ 2 )
(2.13)
As energias cinética e potencial são dadas por:
1
1
2
2
2
2
m1 ( x1 + y1 ) + m2 ( x 2 + y 2 )
2
2
V = ( m1 + m2 ) g ( L1 − y1 ) + m2 g ( L2 − y2 )
T=
(2.14)
Juntando as equações (2.12), (2.13) e (2.14) consegue exprimir-se as energias cinética e potencial
em função das coordenadas generalizadas q1 = θ1 e q2 = θ2.
Após derivação as equações de Lagrange conduzem às duas equações diferenciais que regem o
equilíbrio dinâmico do sistema:
6
2
2
(m1 + m2 ) L1 θ1 + m2 L1 L2 θ2 cos(θ 2 − θ1 ) − m2 L1 L2 θ2 sin(θ 2 − θ1 )
+ ( m1 + m2 ) gL1 sin(θ1 ) = 0
2
2
m2 L2 θ2 + m2 L1 L2 θ1 cos(θ 2 − θ1 ) − m2 L1 L2 θ1 sin(θ 2 − θ1 )
+ m2 gL2 sin(θ 2 ) = 0
(2.15a)
(2.15b)
Este exemplo ilustra a relativa facilidade dos métodos energéticos para obter as equações do
movimento de sistemas complexos. O método directo aplicado ao mesmo sistema é de aplicação
bastante mais difícil.
2.4. CONCLUSÃO
Os vários métodos aqui expostos são equivalentes e conduzem às mesmas equações do movimento.
A escolha do método mais apropriado depende do problema concreto em análise.
O método directo é mais intuitivo mas revela-se de aplicação mais difícil para os sistemas
complexos devido ao facto de utilizar grandezas vectoriais. Os métodos energéticos, visto que
utilizam apenas grandezas escalares, ou os baseados nos trabalhos virtuais são mais robustos e
simples de aplicar. Estes métodos constituem o fundamento dos métodos numéricos de resolução de
problemas complexos.
3. SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE
O oscilador linear com um grau de liberdade constituído por um bloco rígido de massa M ligado a
um apoio e com movimento na horizontal sem atrito é o sistema mecânico mais simples para o
estudo das vibrações de um sistema com um grau de liberdade.
A Figura 3.1 representa um tal oscilador, solicitado por uma força P(t) variável no tempo. O único
movimento possível do oscilador é o deslocamento horizontal, u(t), da massa. O oscilador
encontra-se ligado ao apoio por um elemento que desenvolve uma força F (u , u ) , função do
deslocamento e da velocidade da massa M. A função F (u , u ) caracteriza o comportamento do
oscilador; a força P(t) caracteriza a solicitação.
u
F( u,u )
M
P(t)
Figura 3.1: Oscilador com 1 grau de liberdade.
Alguns esquemas estruturais simples podem ser assimilados a osciladores com 1 grau de liberdade
para efeitos práticos:
7
Figura 3.2: Estruturas assimiláveis a osciladores com 1 grau de liberdade.
Lei de comportamento do oscilador
Esta lei de comportamento depende em geral do deslocamento u(t) da massa e da sua velocidade
u (t ) em relação ao apoio. Se a força de restituição F só depender do deslocamento u(t) e se houver
proporcionalidade entre a força e o deslocamento então o oscilador é elástico linear. Esse é o caso
típico de uma mola, mas representa também o comportamento de qualquer estrutura quando os
deslocamentos são inferiores a um determinado limite do comportamento elástico linear. A relação
entre a força no elemento de ligação e o deslocamento relativo u(t) das duas extremidades desse
elemento escreve-se simplesmente:
Fs = K u
(3.1)
Nesta equação K é a constante de rigidez da mola e o índice s corresponde à denominação
anglo-saxónica para a mola (“spring”). Nestes apontamentos apenas se analisará o caso do oscilador
linear caracterizado por uma lei de comportamento como a dada pela equação 3.1. Nesta equação o
tempo não intervém, sendo a relação válida quer o carregamento se efectue de forma lenta ou rápida.
Desta forma, se for imposto um deslocamento inicial u0 à massa M antes de a libertar, esta oscilará
indefinidamente com uma amplitude do movimento u0.
Na realidade constata-se que a amplitude do movimento decresce ao longo do tempo e que a massa
se imobiliza ao fim de algum tempo na sua posição de equilíbrio estático. De facto, uma parte da
energia elástica armazenada na mola dissipa-se ao longo do tempo, sendo este fenómeno
denominado de amortecimento.
O amortecimento de um movimento pode ser o resultado de diferentes causas. Pode tratar-se de um
amortecedor físico (por exemplo um amortecedor hidráulico) o qual é utilizado em automóveis ou
em problemas de isolamento das vibrações numa estrutura. A dissipação da energia pode também
ser originada por efeitos térmicos relacionados com carregamentos repetidos dos elementos
estruturais, por atrito interno nos materiais ou por deformações plásticas dos materiais e elementos
estruturais.
Em geral, e salvo em casos excepcionais, o amortecimento em construções de Engenharia Civil não
pode ser calculado a partir das propriedades físicas do sistema. Por exemplo, no caso de um edifício
em betão armado submetido a uma solicitação sísmica significativa, as fontes de dissipação de
energia são múltiplas: fissuração do betão, plastificação das armaduras, danos em elementos
secundários (paredes de alvenaria, envidraçados, etc.). Na prática os fenómenos de dissipação de
energia são então caracterizados de forma bastante simplificada considerando que provém de um
amortecedor viscoso linear.
Um amortecedor viscoso linear é caracterizado por uma relação linear entre a força desenvolvida no
amortecedor e a velocidade relativa das suas extremidades:
Fd = C u
(3.2)
8
A constante de proporcionalidade C, característica do amortecedor, tem undiades de massa por
unidade de tempo. O índice d corresponde à denominação anglo-saxónica para o amortecedor
(“damper”). A descrição dos fenómenos de dissipação de energia com base num amortecedor
equivalente é realizada igualando a energia dissipada num ciclo de vibração do sistema à energia
dissipada no amortecedor para um ciclo de vibração com a mesma amplitude de deslocamento.
3.1. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO
De acordo com o exposto no capítulo 2, a equação de equilíbrio dinâmico pode ser obtida a partir de
três métodos: método directo, princípio dos trabalhos virtuais e método energético.
3.1.1. MÉTODO DIRECTO
As forças exercidas sobre o oscilador da Figura 3.3 são:
- a força exterior aplicada P(t);
- a força de ligação exercida pela mola Fs, proporcional ao deslocamento u da massa M;
- a força de ligação exercida pelo amortecedor Fd, proporcional à velocidade u da massa M;
- as forças de inércia Fi exercidas sobre a massa M, iguais ao produto desta pela aceleração da
massa u .
u
C
R(t)
M
Fd = Cu
P(t)
P(t)
Fs=Ku
K
Figura 3.3: Oscilador linear com 1 grau de liberdade.
Escrevendo que a resultante de todas estas forças é nula:
Fi + Fd + Fs = P(t )
(3.3)
Para um sistema viscoelástico linear a equação anterior transforma-se em:
M u + C u + K u = P(t )
(3.4)
3.1.2. PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Considere-se um deslocamento virtual δu para a massa M. A aplicação do princípio dos trabalhos
virtuais ao trabalho virtual de todas as forças aplicadas, incluindo as forças de inércia, fornece:
− Fi δ u − Fd δ u − Fs δ u + P(t ) δ u = 0
(3.5)
Como esta expressão é válida para qualquer deslocamento virtual δu, obtém-se facilmente a
equação do movimento (3.4).
3.1.3. MÉTODO ENERGÉTICO
A energia cinética do sistema é dada por:
9
T=
1
M u 2
2
(3.6)
Vs =
1
K u2
2
(3.7)
A energia potencial da mola corresponde a:
O potencial das forças exteriores é calculado como sendo o simétrico do seu trabalho:
V fe = − P(t ) u
(3.8)
E finalmente, o trabalho virtual das forças não conservativas consiste no trabalho da força de
amortecimento, obtendo-se a força generalizada não conservativa correspondente ao grau de
liberdade u:
δτ nc = Qnc δ u = −C u δ u ⇒ Qnc = −C u
(3.9)
Introduzindo agora estas grandezas nas equações de Lagrange (2.11), obtem-se imediatamente a
equação do movimento (3.4).
3.1.4. EXEMPLO DE UM OSCILADOR COM 1 GRAU DE LIBERDADE
O mecanismo da Figura 3.4 é um oscilador com 1 grau de liberdade composto por duas barras
rígidas AB e BC com uma articulação em B, um apoio fixo em A e um apoio deslizante em C que
permite o movimento na horizontal. A solicitação é constituída pela força distribuída transversal
p(t) aplicada à barra AB. As barras estão apoiadas ainda em molas e amortecedores. A massa do
sistema é constituída por uma massa uniformemente distribuída m(x)=m na barra AB e por uma
massa pontual M. Considera-se que as barras se encontram na posição horizontal na configuração
de equilíbrio estático, pelo que o peso não será considerado, de acordo com o que será discutido no
parágrafo 3.2.
p(t)
u(t)
Figura 3.4: Mecanismo com corpos rígidos.
Sendo as duas barras consideradas como rígidas, o sistema possui apenas 1 grau de liberdade, sendo
utilizado o deslocamento vertical u(t) do ponto B como coordenada generalizada. Devido à
complexidade do sistema, a formulação das equações do movimento é efectuada mais facilmente
utilizando o princípio dos trabalhos virtuais em vez do método directo.
Os trabalhos virtuais associados às forças actuantes são:
10
- forças elásticas nas molas:
3
4
3
4
1
3
1
3
δτ s = − K1 u (t ) × δu − K 2 u (t ) × δu
(3.10a)
- forças de amortecimento:
1
4
1
4
δτ d = − C1 u (t ) × δu − C 2 u (t ) × δu
(3.10b)
- forças de inércia:
2
3
2
3
δτ i = − I AABα AB δθ AB − M u(t ) × δu = −
(4am) (4a ) 2 u(t ) δu 2
2
×
− M u(t ) × δu
3
4a 4a 3
3
(3.10c)
- forças exteriores:
δτ fe =
1
5
p (t ) ( 2a ) × δu
2
12
(3.10d)
O Princípio dos Trabalhos Virtuais escreve-se então:
1
1
4
 9
 − K1 u (t ) − K 2 u (t ) − C1 u (t ) − C 2 u (t ) − a m u(t ) +
16
9
16
3

4
5

− M u(t ) + a p(t )  δu = 0
9
12

(3.11)
Tendo em conta que o deslocamento virtual δu é arbitrário, a equação anterior pode ser escrita sob a
forma da equação (3.4) para o oscilador simples:
M ∗ u + C ∗ u + K ∗ u = P ∗ (t )
(3.12)
Nesta equação M ∗ , C ∗ , K ∗ e P ∗ representam a massa generalizada, o coeficiente de amortecimento generalizado, a rigidez generalizada e a solicitação generalizada do sistema, sendo dados por:
4
4
am+ M
3
9
9
1
K ∗ = K1 − K 2
16
9
M∗ =
1
C1 + C 2
16
5
P ∗ (t ) = a p (t )
12
C∗ =
(3.13)
3.1.5. FORMA REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO
A equação do movimento de um oscilador linear com 1 grau de liberdade ((3.4) ou mais
genericamente (3.12)) pode ser escrita na sua forma reduzida dividindo os dois membros da
equação por M:
2
u + 2ξω n u + ω n u = P(t ) / M
(3.14)
Escrevendo a equação do movimento nesta forma são introduzidas as duas grandezas que
usualmente são utilizadas para caracterizar o comportamento dinâmico de um sistema com 1 grau
de liberdade:
- frequência angular própria ou natural:
11
ωn =
K
M
(3.15)
- factor de amortecimento:
ξ=
C
C
C
=
=
2 Mω n 2 KM C c
(3.16)
Nesta equação Cc é o coeficiente de amortecimento crítico cujo significado físico será explicado no
parágrafo 3.4.2
A solução para a equação diferencial do movimento do oscilador linear com 1 grau de liberdade vai
ser estudada nos parágrafos 3.4 e 3.5.
3.2. INFLUÊNCIA DAS FORÇAS GRAVÍTICAS
A influência das forças gravíticas na equação do movimento, para efeitos do estudo das oscilações
de sistemas, pode separar-se em dois casos, tal como representado na Figura 3.5:
a) a força generalizada associada às forças gravíticas é constante, não dependendo dos graus de
liberdade do sistema;
b) a força generalizada associada às forças gravíticas é variável e dependente dos graus de
liberdade do sistema.
P(t)
M
K
L
θ
M
δest = Fg / K
x
K
u
a)
b)
Figura 3.5: Influência das forças gravíticas.
Força generalizada constante
No caso da força generalizada ser constante o efeito das forças gravíticas é o de impor um
deslocamento estático ao sistema estando o movimento de oscilação centrado nessa posição de
equilíbrio estático. Para o demonstrar analisemos a equação do movimento da Figura 3.5a), em
função do deslocamento absoluto do sistema:
M x + K x = Fg
(3.17)
Podemos também medir o deslocamento a partir da posição de equilíbrio estático através do
deslocamento relativo do sistema ( u = x − δ est ⇒ u = x ). Substitutindo esta relação na equação
(3.17) obtem-se:
12
M u + K u + K δ est = Fg
(3.18)
Visto que o deslocamento estático corresponde ao deslocamento para o qual a força desenvolvida na
mola equilibra o peso do corpo, então a equação (3.18) reduz-se a:
M u + K u = 0
(3.19)
Ou seja, obtem-se a mesma equação do movimento que foi obtida anteriormente para o oscilador
linear com 1 grau de liberdade, isto é, sem considerar o efeito das forças gravíticas, desde que o
movimento seja medido a partir da configuração de equilíbrio estático.
Conclui-se que o efeito de uma força generalizada constante é apenas o de alterar a posição de
equilíbrio estático do sistema, em torno da qual se dá a oscilação.
Força generalizada variável
Quando a força generalizada associada às forças gravíticas é dependente dos graus de liberdade do
sistema a equação do movimento incluirá sempre uma parcela associada às forças gravíticas,
mesmo que seja escrita em relação à posição de equilíbrio estático.
Analisando o pilar esquematicamente representado na Figura 3.5b), as equações do movimento
podem ser obtidas facilmente através do equilíbrio de momentos na sua base. Para fins didácticos
estas equações serão obtidas de seguida utilizando as equações de Lagrange.
A energia potencial (elástica, gravítica e das forças exteriores) é dada por:
V=
1
Kθ 2 + MgL cos θ − P (t ) L sin θ
2
(3.20)
1
ML2θ 2
2
(3.21)
A energia cinética da massa é:
T=
A equação do movimento que se obtem é então:
ML2θ + Kθ − MgL sin θ = P(t ) L cos θ
(3.22)
A equação do movimento (3.22) poderia também ser obtida através do equilíbrio de momentos em
relação à base do pilar na configuração deformada da estrutura. Esta equação diferencial do
movimento é não linear em θ, sendo válida para qualquer valor desse ângulo. No estudo das
vibrações de estruturas em engenharia civil o interesse centra-se sobretudo nas pequenas oscilações
em torno da posição de equilíbrio estático, para as quais θ ≈ 0. Podem então realizar-se dois tipos de
análises aproximadas:
i) Análise geometricamente não linear de 2ª ordem:
Neste caso vão reter-se nas expressões da energia potencial e cinética os termos até ao 2º grau
em θ. Assim:

θ2
cos θ ≈ 1 −

2
sin θ ≈ θ

⇒ ML2θ + (K − MgL )θ = P(t ) L
(3.23)
Verifica-se que o efeito das forças gravíticas na equação do movimento é o de reduzir a rigidez
generalizada da estrutura.
13
A equação do movimento (3.23) poderia mais uma vez ser obtida através do equilíbrio de
momentos em relação à base do pilar na configuração deformada da estrutura, considerando
que para pequenas oscilações o vector deslocamento de um ponto devido a uma rotação é
perpendicular ao vector que une o centro de rotação ao ponto considerado e tem uma amplitude
igual ao valor da rotação multiplicado pela distância entre os dois pontos (Figura 3.6). Esta
aproximação geométrica é equivalente a considerar um movimento devido a uma rotação
infinitesimal não como um arco de circunferência mas como a tangente a essa circunferência.
Rθ
R
θ
Figura 3.6: Rotação infinitesimal.
ii) Análise geometricamente linear:
Neste caso vão reter-se nas expressões da energia potencial e cinética apenas os termos lineares
em θ. Assim:
cos θ ≈ 1
⇒ ML2θ + Kθ = P(t ) L

θ
θ
sin
≈

(3.24)
Verifica-se agora que o efeito das forças gravíticas na equação do movimento desaparece numa
análise geometricamente linear, tal como sucedia quando a força generalizada era constante.
Para obter a equação do movimento (3.24), correspondente a uma análise geometricamente
linear, através do equilíbrio de momentos em relação à base do pilar, essa equação de equilíbrio
é escrita na configuração indeformada da estrutura.
3.3. INFLUÊNCIA DO MOVIMENTO DA BASE
Um movimento oscilatório pode ser forçado não por uma força P(t), aplicada à massa e variável no
tempo, mas por um movimento dos apoios da estrutura. É o caso de solicitações como a vibração
transmitida às estruturas por máquinas ou o movimento sísmico da fundação da estrutura em estudo.
A Figura 3.7 esquematiza o sistema em estudo. A massa M é submetida ao movimento do seu apoio
ao longo do tempo, definido pela função y(t). Denomina-se o movimento absoluto da massa por x(t)
e o movimento relativo entre a massa e o seu apoio por u(t).
14
x(t)
C
M
R(t)
K
y(t)
x – deslocamento absoluto
y – deslocamento da base
u=x-y – deslocamento relativo
Figura 3.7: Oscilador com 1 grau de liberdade sujeito ao movimento da base.
As forças exercidas sobre o oscilador da Figura 3.7 são:
- a força de ligação exercida pela mola Fs, proporcional ao deslocamento relativo u da massa M;
- a força de ligação exercida pelo amortecedor Fd, proporcional à velocidade relativa u da massa M;
- as forças de inércia Fi exercidas sobre a massa M, iguais ao produto desta pela aceleração absoluta
da massa x .
O deslocamento absoluto da massa M corresponde à soma do deslocamento da sua base com o
deslocamento relativo ( x = y + u ⇒ x = y + u ). Escrevendo que a resultante de todas as forças
exercidas sobre o oscilador é nula:
Fi + Fd + Fs = 0 ⇔ M x + C u + K u = 0
(3.25)
Escrevendo esta equação com base no deslocamento relativo e no movimento da base vem:
M u + C u + K u = − M y(t )
(3.26)
Ou seja, o movimento do oscilador solicitado por um movimento do seu apoio é equivalente ao do
mesmo oscilador solicitado por uma força variável no tempo, correspondendo essa força à força de
inércia associada ao movimento do seu apoio.
3.4. VIBRAÇÕES LIVRES
Quando um movimento oscilatório é provocado unicamente por um deslocamento inicial em
relação à posição de equilíbrio estático ou por uma velocidade inicial denomina-se de vibração livre.
As vibrações livres são a solução da seguinte equação do movimento:
2
u + 2ξω n u + ω n u = 0
(3.27)
A resposta do sistema será diferente consoante exista ou não amortecimento. A solução para esta
equação diferencial de 2ª ordem homogénea com coeficientes constantes será estudada nos
parágrafos seguintes.
3.4.1. VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS
Quando o amortecimento é nulo a equação do movimento reduz-se a:
2
u + ω n u = 0
(3.28)
As únicas funções para as quais a soma da segunda derivada com a própria função pode ser nula são
15
funções trigonométricas do tipo seno ou cosseno. Dessa forma a solução geral para esta equação do
movimento é:
u (t ) = A cos(ω n t ) + B sin (ω n t )
(3.29)
Nesta expressão A e B são constantes que dependem das condições iniciais do movimento
(deslocamento inicial u(0) e velocidade inicial u (0)). Para que essas condições iniciais sejam
satisfeitas tem que ser:
u (0) = A

u (0) = Bω n
⇒ u (t ) = u (0) cos(ω n t ) +
u (0)
ωn
sin (ω n t )
(3.30)
A solução da equação do movimento pode também ser escrita com uma única função sinusoidal:
u (t ) = U m sin (ω n t + ϕ )
(3.31)
Nesta solução Um é a amplitude do movimento oscilatório e ϕ é o ângulo de fase da resposta. A
velocidade e aceleração do oscilador são dados por:
u (t ) = Vm cos(ω n t + ϕ ) = ω nU m cos(ω n t + ϕ )
(3.32)
2
2
u(t ) = Am sin (ω n t + ϕ ) = −ω n U m sin (ω n t + ϕ ) = −ω n u (t )
(3.33)
onde Vm e Am correspondem às amplitudes da velocidade e da aceleração. Introduzindo as condições
iniciais obtem-se:
2
 u (0) 
 = U m 2 sin 2 (ϕ ) + cos 2 (ϕ ) = U m 2
u (0) + 
ω
 n 
2
(
)
tg (ϕ ) =
u (0)
u (0) / ω n
 u (0) 

⇒ U m = u (0) + 
 ωn 
2
2
 u ( 0) ω n
⇒ ϕ = arctg 
 u (0)
(3.34)



(3.35)
O movimento correspondente a uma vibração livre não amortecida é então um movimento
harmónico com amplitude constante e período igual a Tn = 2π / ωn (Figura 3.8).
u(t)
u(0)
Um
1
u(0)
t
Tn / 4 − ϕ / ωn
Tn
Figura 3.8: Vibração livre não amortecida.
16
3.4.2. VIBRAÇÕES LIVRES AMORTECIDAS
A solução geral para a equação (3.27) é uma função que somada à sua primeira e segunda derivadas
se anula. Vai procurar-se uma solução do tipo:
u (t ) = e λ t
(3.36)
Introduzindo esta função na equação (3.27) obtem-se:
(λ
2
+ 2ξω n λ + ω n
2
)e
λt
=0
(3.37)
Para que esta expressão se anule para todo e qualquer instante t:
λ = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1
(3.38)
O valor crítico do coeficiente de amortecimento é o que anula a raiz na expressão anterior, ou seja, é
aquele para o qual o factor de amortecimento é unitário. Consoante o valor do factor de
amortecimento distinguem-se três casos distintos:
- sistema com amortecimento sobre-crítico (ξ >1);
- sistema com amortecimento crítico (ξ =1);
- sistema com amortecimento sub-crítico (ξ <1);
Para estruturas de engenharia civil o factor de amortecimento é em geral igual ou inferior a 5%.
Sistema com amortecimento sobre-crítico
Neste caso as duas soluções encontradas são exponenciais negativas, sendo a solução geral dada
por:
u (t ) = Ae λ 1 t + Be λ2 t , λ 1 e λ 2 < 0
(3.39)
Esta solução não é oscilatória e tende para zero a tempo infinito, sendo o regresso à posição de
equilíbrio estático tão mais célere quanto menor for o amortecimento. As constantes A e B
dependem das condições iniciais e podem ser determinadas de forma semelhante ao exposto
anteriormente.
Sistema com amortecimento crítico
Quando o amortecimento é crítico as duas soluções são iguais, demonstrando-se que a solução geral
da equação do movimento é da forma:
u (t ) = ( A + B t ) e − ωn t
(3.40)
Tal como no caso do amortecimento sobre-crítico esta solução não é oscilatória e tende para zero a
tempo infinito. As constantes A e B dependem, mais uma vez, das condições iniciais e podem ser
determinadas de forma semelhante ao exposto anteriormente.
O valor crítico do coeficiente de amortecimento corresponde ao menor valor que este pode
apresentar para que o movimento não seja oscilatório.
17
Sistema com amortecimento sub-crítico
A um valor inferior à unidade do factor de amortecimento correspondem soluções complexas para a
equação (3.38). Definindo a frequência angular amortecida por:
ωd = ωn 1 − ξ 2
(3.41)
As soluções da equação (3.38) são então:
λ 1 = −ξω n + iω d
λ2 = −ξω n − iω d
(3.42)
Tendo em conta as propriedades da exponencial complexa:
e iθ = cos θ + i sin θ
(3.43)
A solução geral da equação do movimento é dada por:
u (t ) = [A cos(ω d t ) + B sin (ω d t )] e − ξ ωn t
(3.44)
Introduzindo as condições iniciais obtem-se:
u (0) = A

u (0) = − Aξω n + Bω d


u (0) + u (0) ξω n
sin (ω d t ) e − ξ ωn t
⇒ u (t ) = u (0) cos(ω d t ) +
ωd


(3.45)
Esta solução pode também escrever-se com uma única função sinusoidal, ficando:
u (t ) = U m e − ξ ωn t sin (ω d t + ϕ )
(3.46)
Nesta equação Um é a amplitude máxima do movimento oscilatório e ϕ é o ângulo de fase da
resposta, sendo dados por:
 u (0) + u (0) ξω n
U m = u (0) 2 + 
ωd


u ( 0) ω d
 u (0) + u (0) ξω n
ϕ = arctg 



2
(3.47)



(3.48)
O movimento correspondente a uma vibração livre amortecida com deslocamento inicial u(0)
encontra-se representado na Figura 3.9. Como pode ver-se nessa figura os valores máximos do
deslocamento estão espaçados de um intervalo de tempo igual a Td = 2π / ωd. A sua amplitude
decresce exponencialmente ao longo do tempo e tende para zero a tempo infinito. O regresso à
posição de equilíbrio estático é tanto mais lento, e com mais ciclos de oscilação, quanto menor for o
amortecimento.
Uma forma simples de estimar o amortecimento em estruturas é através do chamado decremento
logarítmico δ, que relaciona os valores das amplitudes do deslocamento em dois ciclos sucessivos:
U m, i
U m, i +1
= e ξ ω n 2π / ω d
 U m, i 
 = 2π ξ ≈ 2π ξ
⇒ δ = ln
 U m, i +1 
1− ξ 2


(se ξ << 1)
(3.46)
18
u / u(0)
ξ =1
e −ξωn t
ξ >1
t / Td
ξ <1
Figura 3.9: Vibração livre amortecida.
3.5. VIBRAÇÕES FORÇADAS
Neste parágrafo são estudadas as vibrações forçadas devido a uma solicitação aplicada directamente
à massa ou devido a um movimento dos apoios. Será considerado o caso de um sistema com
amortecimento sub-crítico, que é o único caso com interesse prático para estruturas de engenharia
civil.
3.5.1. CARGA HARMÓNICA APLICADA À MASSA
Estudam-se neste parágrafo as vibrações forçadas devido a uma solicitação variável no tempo
correspondente a uma carga harmónica aplicada directamente à massa com amplitude Pm e
frequência ωf:
P(t ) = Pm sin(ω f t )
(3.47)
O interesse de estudar o caso de uma solicitação harmónica prende-se com o facto de qualquer
função poder ser decomposta numa série de funções harmónicas. Assim , o caso que é abordado
neste parágrafo serve de base para a análise de vibrações forçadas devido a solicitações mais
complexas.
A equação do movimento (3.4) passa a ter um termo independente harmónico (parcela do lado
direito da equação, que não depende de u), transformando-se então em:
2
M u + C u + K u = Pm sin(ω f t ) ⇔ u + 2ξω n u + ω n u =
Pm
sin(ω f t )
M
(3.48)
Uma solução particular desta equação diferencial terá que ser também harmónica com frequência ωf,
sendo procurada uma função do tipo:
( )
( )
u p (t ) = C1 cos ω f t + C 2 sin ω f t
(3.49)
Introduzindo esta solução na equação (3.48) e identificando as constantes termo a termo obtem-se:
u p (t ) =
Pm
K 1− ω /ω
f
n
[ (
1
) ] + (2 ξ ω
2 2
f
/ ωn
)
2

 ω
ω
− 2 ξ f cos ω f t + 1 −  f
  ωn

ωn
 

( )




2

 sin ω t
f



( )
(3.50)

Uma solução da equação das vibrações forçadas (3.48) que consista na soma desta solução
particular com as soluções da equação das vibrações livres (3.27), que corresponde à forma
homogénea (com termo independente nulo) da equação (3.48), é também solução para este
19
movimento oscilatório forçado. A solução geral da equação das vibrações forçadas é assim a soma
da solução particular com a solução da equação homogénea:
u (t ) = u h (t ) + u p (t ) = [ A cos(ω d t ) + B sin (ω d t )] e − ξ ωn t +
+
Pm
K 1− ω /ω
f
n
[ (
1
) ] + (2 ξ ω
2 2
f
/ ωn
)
2

 ω
ω
− 2 ξ f cos ω f t + 1 −  f
  ωn

ωn
 

( )




2

 sin ω t
f



( )
(3.51)

O primeiro termo da equação anterior corresponde ao regime livre ou transitório e foi estudado no
parágrafo 3.4.2., enquanto que o segundo termo corresponde ao regime forçado ou permanente.
As constantes A e B da equação (3.51) são determinadas pelas condições iniciais de velocidade e
deslocamento da massa.
O regime transitório tem essa designação porque a sua amplitude decresce ao longo do tempo,
apenas tendo alguma importância na resposta total nos instantes iniciais do movimento. À medida
que esta parcela se desvanece o movimento passa a ser dominado pela resposta em regime
permanente (Figura 3.10), pelo que de seguida se irá aprofundar a análise da solução particular.
u(t) / Um
Resposta total
Regime
permanente
t / Tf
Figura 3.10: Resposta total em vibração forçada.
Estudo da solução particular (regime permanente)
A resposta em regime permanente correspondente à equação (3.50) pode também escrever-se como
uma única função sinusoidal, ficando:
(
u p (t ) = U m sin ω f t − ϕ 1
)
(3.52)
A amplitude Um desta solução particular é dada por:
Um =
1
[1 − (ω
f
/ ωn
) ] + (2 ξ ω
2 2
f
/ ωn
)
2
Pm
P
= β1 m
K
K
(3.53)
onde β 1 é o coeficiente de amplificação dinâmica do deslocamento. De facto, o deslocamento
produzido no sistema se a força P(t) fosse aplicada estaticamente (com frequência nula e com valor
Pm) é:
U estático =
Pm
K
(3.54)
20
pelo que a amplitude do deslocamento dinâmico correspondente à solução particular é:
U m = β 1 U estático
(3.55)
O coeficiente de amplificação dinâmica encontra-se representado na Figura 3.11 em função da
relação entre a frequência de excitação e a frequência própria do sistema. Naturalmente este
coeficiente é unitário para um carregamento estático e tende para zero quando a frequência de
excitação tende para infinito, qualquer que seja o valor de ξ. Para frequências de excitação muito
elevadas as forças de inércia tornam-se preponderantes em relação às forças elástica e de
amortecimento. Essas forças de inércia tendem para infinito e, sendo contrárias ao movimento, a
massa permanece praticamente imóvel.
Figura 3.11: Coeficiente de amplificação dinâmica do deslocamento.
O valor máximo do coeficiente de amplificação dinâmica é dado por:
ωf

2
⇒
= 1 − 2ξ 2
ξ ≤
2
ω
n


ωf
 2
 2 < ξ ≤1 ⇒ ω = 0
n

⇒ β 1,máx =
1
2ξ 1 − ξ 2
(3.56)
⇒ β 1,máx = 1
Para efeitos práticos, em estruturas de engenharia civil, o valor máximo é atingido quando a
frequência de excitação iguala a frequência própria do sistema (situação de ressonância):
ξ ≤ 0,2 ⇒ ω f ≈ ω n
⇒ β 1,máx =
1
2ξ
(3.57)
Em situação de ressonância, quando o amortecimento é nulo o valor máximo do coeficiente de
amplificação dinâmica tende para infinito.
O ângulo de fase indicado na equação (3.52) entre a força aplicada e o deslocamento resultante é
dado por:
21
 2 ξ ω f / ωn
1− ω /ω 2
f
n

ϕ 1 = arctg 
(
)




(3.58)
A Figura 3.12 representa o ângulo de fase em função da relação entre a frequência de excitação e a
frequência própria do sistema. Para frequências baixas o desfasamento é nulo ou desprezável o que
significa que o sistema responde instantaneamente à solicitação. Quando se atinge a ressonância
existe um desfasamento de 90º entre a força aplicada e o deslocamento resultante, sendo o
deslocamento nulo quando a força é máxima e vice-versa. Para altas frequências da excitação a
força aplicada e o deslocamento estão em oposição de fase, sendo ambos máximos em valor
absoluto no mesmo instante mas com sinais contrários. Relembre-se que para altas frequências, no
entanto, a amplitude do deslocamento tende para zero.
ϕ1
ξ=0
ξ=1
ωf / ωn
Figura 3.12: Ângulo de fase da resposta permanente.
O valor da solicitação que é transmitida aos apoios do sistema (a reacção R(t)) é dada pela soma das
forças na mola e no amortecedor:
(
)
(
)
(
R(t ) = K u (t ) + C u (t ) = KU m sin ω f t − ϕ 1 + Cω f U m cos ω f t − ϕ 1 = Rm sin ω f t − ϕ 2
)
(3.59)
A amplitude e a fase desta reacção são calculadas através das seguintes equações:
(
⇒ Cω f U m = Rm sin ϕ 1 − ϕ 2
ω f t − ϕ 1 = 0

ω f t − ϕ 1 = π / 2
)
(
)
(
⇒ KU m = Rm sin π / 2 + ϕ 1 − ϕ 2 = Rm cos ϕ 1 − ϕ 2
)
(3.60)
De seguida calcula-se:
Rm =
(
(KU m )2 + (Cω f U m )2
)
tg ϕ 1 − ϕ 2 =
Cω f
K
(
= β 1 1 + 2 ξ ω f / ωn
= 2 ξ ω f / ωn
)
2
Pm = β 2 Pm
(
⇒ ϕ 2 = ϕ 1 − arctg 2 ξ ω f / ω n
)
(3.61)
O coeficiente de amplificação dinâmica da reacção, β 2, que relaciona a amplitude da força
transmitida ao apoio com a amplitude da força aplicada, encontra-se representado na Figura 3.13 em
função da relação entre a frequência de excitação e a frequência própria do sistema. Este coeficiente
é unitário para um carregamento estático. Para valores da relação entre a frequência de excitação e a
frequência própria do sistema inferiores a 2 , o efeito de amplificação do deslocamento faz com
que a força na mola seja preponderante em relação à força no amortecedor, sendo a reacção tanto
22
menor quanto maior é o amortecimento devido à diminuição da amplitude do deslocamento que este
implica. Quando essa relação é superior a 2 a força no amortecedor passa a ser preponderante
face à força na mola, passando a reacção a ser tanto maior quanto maior é o amortecimento.
Figura 3.13: Coeficiente de amplificação dinâmica da reacção.
Estudo da ressonância
Como foi referido, quando a frequência de excitação coincide com a frequência própria do sistema a
resposta em deslocamento apresenta um valor máximo, que pode ser infinito se o amortecimento for
nulo.
Para um oscilador forçado com condições iniciais nulas em deslocamento e em velocidade a
equação (3.51) indica que a resposta em deslocamento é:

A =


B =


Pm 1


K 2ξ
P 1 
ξ
⇒ u (t ) = m
cos(ω d t ) +
sin (ω d t ) e − ξ ωn t − cos(ω n t )

Pm
1
K 2ξ 

1− ξ 2



2
K 2 1− ξ
(3.62)
Esta expressão pode simplificar-se para valores baixos de ξ e para um instante suficientemente
posterior ao instante inicial:
u (t ) =
Pm 1 − ξ ωn t
e
− 1 cos(ω n t )
K 2ξ
(
)
(3.63)
Quando o sistema não é amortecido, a passagem ao limite da solução (3.59) para ξ → 0 leva à
seguinte resposta em deslocamento:
u (t ) =
Pm
[sin (ω n t ) − ω n t cos(ω n t )]
2K
(3.64)
A Figura 3.14 representa a evolução ao longo do tempo das respostas do sistema descritas pelas
equações (3.60) e (3.61). Para o sistema não amortecido a amplitude da resposta cresce de um factor
23
π em cada ciclo, relativamente ao deslocamento estático, e tende para infinito – o sistema é instável.
Para o sistema amortecido, mesmo que o amortecimento tenha um valor reduzido, a amplitude da
resposta cresce também ao longo do tempo mas o coeficiente de amplificação dinâmico é limitado a
um valor de 1 / 2ξ, que é atingido tão mais rapidamente quanto mais elevado for o amortecimento.
u(t)
Figura 3.14: Evolução da amplitude da resposta de um sistema em ressonância.
3.5.2. MOVIMENTO HARMÓNICO DA BASE
Estudam-se neste parágrafo as vibrações forçadas devido a um movimento do apoio variável no
tempo de forma harmónica com amplitude Ym e frequência ωf:
y (t ) = Ym sin(ω f t )
(3.65)
A equação (3.26) é a equação do movimento deste sistema, escrita com base no deslocamento
relativo e no movimento da base, e transforma-se para esta solicitação em:
M u + C u + K u = − M y(t ) ⇔
2
M u + C u + K u = M ω f Ym sin(ω f t )
(3.66)
Esta equação diferencial do movimento é similar à equação (3.48) das vibrações forçadas devido a
uma carga sinusoidal aplicada directamente à massa do sistema. As duas equações são iguais se se
fizer a equivalência entre a amplitude da força de inércia associada ao movimento da base e a
amplitude de uma força sinusoidal equivalente:
2
Pm = M ω f Ym
(3.67)
Com esta equivalência os resultados obtidos anteriormente são directamente aplicáveis às vibrações
forçadas por movimento da base. Analisando a solução em regime permanente obtem-se:
(
u p (t ) = U m sin ω f t − ϕ 1
)
(3.68)
com:
2
Um = β1
M ω f Ym
ωf
Pm
= β1
= β 1 
K
K
 ωn
2

 Ym = β 3 Ym


(3.69)
O coeficiente de amplificação dinâmica β 3, que relaciona o movimento da base com o deslocamento relativo da massa, encontra-se representado na Figura 3.15 em função da relação entre a
frequência de excitação e a frequência própria do sistema. Quando a frequência de excitação é nula
24
ou quando o oscilador é muito rígido (frequência própria muito elevada), o oscilador acompanha o
movimento da base e o deslocamento relativo é nulo. Quando o oscilador é muito flexível
(frequência própria muito baixa), este permanece imóvel e a amplitude do deslocamento relativo é
igual à do movimento da base, sendo a sua fase oposta.
Figura 3.15: Coeficiente de amplificação dinâmica do deslocamento relativo
face ao movimento da base.
A força transmitida ao apoio neste caso é dada também pela equação (3.59) e a sua amplitude é
igual a:
2
Rm = β 2 Pm = β 2 M ω f Ym
(3.70)
Esta reacção é naturalmente nula quando o movimento da base é aplicado estaticamente (com
frequência nula).
Quanto ao movimento absoluto, a equação (3.25) indica que a força de inércia é igual à força
transmitida pela massa ao apoio:
(
− M x = C u + K u = R(t ) = Rm sin ω f t − ϕ 2
)
(3.71)
Tendo em conta esta equação e a equação (3.70), que define a amplitude da força transmitida ao
apoio, a aceleração absoluta fica:
(
x(t ) = − β 2 ω f 2 Ym sin ω f t − ϕ 2
)
(3.72)
Integrando esta expressão em relação ao tempo duas vezes e sabendo que a massa parte do repouso,
com velocidade e deslocamento absolutos nulos, obtem-se:
(
)
(
x(t ) = β 2 Ym sin ω f t − ϕ 2 = X m sin ω f t − ϕ 2
)
(3.73)
Ou seja, a amplitude do deslocamento absoluto relaciona-se com a amplitude do movimento da base
através do coeficiente de amplificação dinâmica β 2. Assim, quando o oscilador é muito rígido a
amplitude do deslocamento absoluto é igual à do movimento da base e quando o oscilador é muito
flexível o deslocamento absoluto tende para zero tem fase contrária ao movimento da base.
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