Eletromagnetismo
Solução de Problemas com Condições
de Contorno em Eletrostática
Prof.: G. Fontgalland
Departamento: DEE
UFCG
Campina Grande/2003
Solução de Problemas Eletrostáticos
 A solução de um problema eletrostático é simples quando a
distribuição de carga no sistema a ser analisado é conhecida.
Nesse caso, o potencial e o campo elétrico podem ser obtidos
diretamente de:
1
1
V (r ) 
dq'

4 0 | r  r ' |
1
(r  r ' )
E (r ) 
dq'
3

4 0 | r  r ' |
(1)
 Em problemas práticos a densidade de carga não é conhecida. A
modelagem do campo elétrico E só é possível com o conhecimento
da carga total Q ou do potencial V na região em questão.
V (r )
G. Fontgalland
E (r )
Q(r ' )
2
 Definição da Lei de Gauss para o campo elétrico.
   D  dS  Q   dv (2)
s
D  
v
(3)
LEMBRETE 1 : Teorema da Divergência
   Ddv   D  dS
v

s
Numa região homogênea e isotrópica, onde  é constante, tem-se:

 E 

(4)
Onde foi feito uso da relação constitutiva : D(r )  E (r )
G. Fontgalland
3
 A determinação do potencial a partir do gradiente do campo
elétrico nos permite escrever:

 V 

(5)
2
Onde      2 é definido como Laplaciano de.
 A equação (5) é chamada de Equação de Poisson. Para um meio
onde a densidade de carga é nula, a eq. (5) escrita no sistema de
coordenadas retangulares resulta em:
(6)
 2V   2xV   2yV   2zV  0
LEMBRETE 2 : Notação adotada

x 
x
,
2

 2x  2
x
 A equação (6) é chamada de Equação de Laplace. A equação (5)
independe do sistema de coordenadas.
G. Fontgalland
4
 As eq. (5-6) são equações diferenciais parciais (EDP) de segunda
ordem, que poderão ser resolvidas uma vez conhecidas a dependência
funcional de  e as condições de contorno (fronteira) apropriadas.
LEMBRETE 3 : Laplaciano em coordenadas cilíndricas e esféricas
1
1 2
2
 V    (  V )  2 (V )   zV


2
(7a)
Coordenadas cilíndricas
1
1
1
2
 V  2  r (r  rV )  2
 ( sin V )  2 2 2V (7b)
r
r sin
r sin 
2
Coordenadas esféricas
 A variável  na eq. (7a) representa o raio no sistema cilíndrico.
Ela não deve ser confundida com a densidade volumétrica de carga.
No caso das densidades de carga introduziremos um índice de
identificação (L para linear, S para superficial e V para volumétrica).
G. Fontgalland
5
Solução da Equação de Laplace
 Os métodos comumente utilizados na solução das equações de
Laplace e Poisson são:
 Método Direto ou Método da Integração Direta;
 Método de Separação de Variáveis (Solução Produto);
 Método da Série Infinita (Série de Fourier);
 Método das Imagens;
 Método de Transformação de Coordenadas ou Método
de Transformação Conforme.
G. Fontgalland
6
Equação de Laplace em Coordenadas Retangulares
Problema 1
 Determinação da solução da equação de Laplace utilizando o
método da integração direta. O problema físico é representado por
um capacitor de placas paralelas infinito nas direções y e z.
V (r )  V ( x, y, z )
Solução: 2V (r )  0
Y
V=0
V=V0
0
a
Determina-se a dependência de V com x, y e z.
 yV   zV  0
e
 2xV  d x2V
(8)
Z
X
Integremos agora (8) ao longo de X.
dV
 d V  dx  C1
2
x
G. Fontgalland
dV  C1dx
(9)
7
Y
Integremos a eq. (9) ao longo de x.
V (r )  V ( x)  C1 x  C2
V=0
V=V0
0
a
(10)
Z
X
Apliquemos as condições de contorno ao problema.
CF1
CF2
V 0
V  V0
x0
xa
em
em
Aplicando as condições de contorno acima em (10), temos:
V0
C1 
a
e
C2  0
A expressão final para V(x,y,z) é dada por:
(11)
V0
V ( x)  x
a
0
LEMBRETE 4 :
G. Fontgalland
V    E  dL
a
8
Ex1: Traçar a variação do potencial entre as placas do capacitor.
Ex2: Calcular a capacitância, C. C | Q | / V0
Equação de Laplace em Coordenadas Cilíndricas
Problema 2
 Determinação da solução da equação de Laplace utilizando o
método da integração direta. O problema físico é representado por
um cabo coaxial infinito na direção z e de raio constante.
z
a
Solução: 2V (r )  0
V (r )  V (  ,  , z )

Determina-se a dependência de V com ,  e z.
V   zV  0
G. Fontgalland
e
 2V  d 2V

(12)
b
9
Logo,
V
2
1

d  ( d V )
(13)
z

a
A primeira integração de (13) conduz à:
dV

 C1
d

(14)
( 0 )
b
A segunda integração de (13) conduz à:
1
 dV    C1d
V (  )  C1 ln   C2
(15)
Apliquemos as condições de contorno ao problema.
CF1
CF2
V  V0
V 0
em
em
 a
 b
( b>a )
Aplicando as condições de contorno acima em (15), podemos
determinar os coeficientes Ci .
G. Fontgalland
10
V0
C1 
ln(a / b)
e
V0
C2  
ln(b)
ln(a / b)
A expressão final para V(, ,z) é dada por:
ln(b /  )
V (  )  V0
ln(b / a)
(16)
Ex3: Traçar o gráfico de V() em função .
Ex4: Calcular a capacitância, C.
Equação de Laplace em Coordenadas Esféricas
Problema 3
 Determinação da solução da equação de Laplace utilizando o
método da integração direta. O problema físico é representado por
duas esferas ocas concêntricas e de raio constante.
G. Fontgalland
11
V ( r )  V ( r , ,  )
Solução: 2V (r )  0
Z
Determina-se a dependência de V com r,  e .

b
 V  V  0
Logo,
e
(17)
 2rV  d r2V
1
2
 V  2  r (r 2 rV )
r
(18)
A primeira integração de (18) conduz à:
dV
r
 C1
dr
2
( r 0 )
a
Y
r
X
1
dV  2 C1dr
r

(19)
A segunda integração de (18) conduz à:
C1
V ( r )    C2
r
G. Fontgalland
(20)
12
Apliquemos as condições de contorno ao problema.
CF1
CF2
V  V0
V 0
em
em
ra
r b
( b>a )
Aplicando as condições de contorno acima em (20), podemos
determinar os coeficientes Ci .
1 1
C1  V0   
a b
1
e
1 1 1
C2   V0   
b a b
1
A expressão final para V(r,, ) é dada por:
 1 1  1 1 
V (r )  V0     
 r b  a b 
1
(21)
Ex5: Traçar o gráfico de V(r) em função r.
Ex6: Calcular a capacitância, C.
G. Fontgalland
13
Teorema da Unicidade
 Duas soluções da equação de Laplace (Poisson) que satisfazem
as mesmas condições de Contorno (Fronteira) diferem entre si,
quando muito, por uma constante.
Exercício 7: Suponha o capacitor de placas paralelas do problema 1.
A solução obtida para V, dada pela eq. (11), é re-escrita a seguir:
V0
V ( x)  x
a
Solução do tipo: V=Kx ( K = cte)
Esta solução satisfaz: A equação de Laplace
e as condições de contorno
2V (r )  0
CF1 e CF2
Suponhamos duas novas soluções chamadas de caso 1 e caso 2.
Analisemos agora a solução da equação de Laplace e as condições
de contorno do problema correspondente.
G. Fontgalland
14
V1 ( x)  kx  k1
Caso 1:
Teste de 2V (r )  0
V1 ( x) Satisfaz a eq. de Laplace.
Teste de CF1 e CF2
V1 ( x) Não satisfaz as condições de
contorno.
V2 ( x)  k 2 x 2
Caso 2:
Teste de CF1 e CF2
V2 ( x) Satisfaz as condições de

Teste de  V ( r )  0
contorno.
V2 ( x) Não satisfaz a eq. de Laplace.
2
Conclui-se do caso 1 e caso 2 que a solução para um capacitor de
placas paralelas deve ter a forma dada pela eq. (11). Com os testes
acima o teorema da unicidade fica provado.
G. Fontgalland
15
Solução da Equação de Laplace
 Determinação da solução da equação de Laplace utilizando o
método da separação de variáveis (Solução produto).
 Características: Produto de funções de uma única variável;
Possibilidade de solução produto parcial;
As soluções representam os modos que podem se
propagar.
Tomemos a equação de Laplace em coordenadas retangulares.
 2   2x    2y    2z   0
(22)
Supondo a solução produto de (22), temos:

(r )  f ( x) g ( y)h( z )
  fgh
(23)
Substituindo (23) em (22),
gh 2x f  fh 2y g  fg 2z h  0
G. Fontgalland
( : fgh ) (24)
16
1 2
1 2 1 2
dx f  d y g  dz h  0
f
g
h
independentes (y e z)
(x e z)
(25)
(x e y)
Da eq. (25) pode-se concluir que cada termo deve ser igual a uma
constante para satisfazer a condição acima. Logo,
k x2  k y2  k z2  0
Portanto,
(26)
d f k f 0
2
x
2
x
d g k g 0
2
y
2
y
(27)
d z2 h  k z2 h  0
As soluções das três equações em (27) são obtidas separadamente.
G. Fontgalland
17
A solução da EDP em (27) pode ter a forma de funções exponenciais,
funções trigonométricas e funções hiperbólicas.
Tipos de soluções em coordenadas retangulares:
(r )  (C1e  C2e
kx x
kx x
)(C3e
ky y
 C4 e
k y y
)(C5e k z z  C6e  k z z )
(28)
(r )   A cosh(k x x)  Bsinh(k x x) C cosh(k y y)  Dsinh(k y y) 
 E cosh(k z z )  Fsinh(k z z )  (29)
(r )  1 cos(k x x)  1sin(k x x) 1 cos(k y y)  1sin(k y y) 
 1 cos(k z z )  1sin(k z z )  (30)
 As soluções em (28-30) são chamadas de harmônicos retangulares.
G. Fontgalland
18
 Para satisfazer a condição em (26), pelo menos uma das constantes
deve ser negativa ou imaginária.
 A forma final da solução em (28-30) é ditada pela natureza das
condições de contorno.
 Combinações das funções em (28-30) são também soluções.
LEMBRETE 5 : Se a fronteira, em uma direção, se estende
para o infinito as funções exponenciais devem ser escolhidas,
neste caso.
LEMBRETE 6 : Se o potencial deve ser zero periodicamente
numa direção as funções trigonométricas devem ser usadas e
o valor da constante k imaginário.
G. Fontgalland
19
Equação de Laplace em Coordenadas Retangulares
Problema 4
 Solução da equação de Laplace - método de separação de
variáveis. O problema físico é representado por duas placas
paralelas infinitas na direção z e infinita na direção de x positivo.
Solução:
(r )  ( x, y, z )
 2 ( r )  0
Determina-se a dependência de (x, y, z).
 z  0
(31)
Supondo a solução produto de (31), temos
(32)
  fg
Logo,
(33a)
d x2 f  k x2 f  0
e
 2x    2y   0
d y2 g  k y2 g  0
Onde
G. Fontgalland
k x2  k y2  0
Y
=0
b
=1
0
=0
=0
X
(33b)
k x  k , k y  jk (34)
20
LEMBRETE 7 : A solução de (32) pode ser uma combinação de funções
exponenciais, hiperbólicas e trigonométricas (ver eqs. (28-30)).
Verificação das condições de contorno do problema.
0
CF2
em
( y=b )
( 0x  )
Y
 1
CF3
em
( x=0 )
( 0<y<b )
=0
b
=1
=0
0
=0
CF1
em
G. Fontgalland
CF4
0
em
( x )
( 0y b )
X
0
( y=0 )
( 0x  )
21
Portanto, as soluções de (33a e 33b) podem ser da forma:
d x2 f  k x2 f  0
f ( x)  C1ekx  C2e kx
(35)
d g k g 0
g ( y)  C3e jky  C4e  jky
(36)
2
y
2
y
Conforme (28) a equação (32),=fg, toma a seguinte forma:
( x, y)  Ca e k ( x jy)  Cb e k ( x  jy)  Cc e  k ( x  jy)  Cd e  k ( x  jy) (37a)
Onde
Ca  C1  C3 , Cb  C1  C4 , Cc  C2  C3 , Cd  C2  C4
Numa apresentação mais compacta, temos:
( x, y)  Aek ( x jy)  Be k ( x jy)
G. Fontgalland
(37b)
22
A aplicando das condições de contorno à equação (37) e utilizando
a fórmula de Euler, teremos:
De CF4
(  0 em x = );
A=0
( x, y)  Be kx[cos(ky)  sin(ky)]
De CF1
(  0 em y = 0);
cos(ky) = 0
( x, y)  Be kx sin(ky)
De CF2
(  0 em y = b);
(38)
para
(39)
sin(ky) = 0
k = n/b , (n=1,2,3,...)
n
( x, y )  Be sin(
y)
b
 kx
G. Fontgalland
(40)
23
De CF3
(   1, em x = 0 e 0 y  b);
LEMBRETE 8 : A solução produto satisfaz somente casos particulares
de condições de contorno. Uma solução mais geral pode ser obtida pela
soma de soluções.
LEMBRETE 9 : As séries de Fourier podem ser usadas para representar
funções periódicas, onde a nova função a ser desenvolvida é representada
como a soma de uma constante mais a soma de funções coseno e seno.
Tomemos a função  (onde é a generalização de (40)):
( x, y)  C1e k1x sin(k1 y)  C2e k2 x sin(k2 y) 
 C3e  k3 x sin(k3 y )  
ou ainda,

 ( x, y )   C n e
G. Fontgalland
n 1

n
x
b
n
sin(
y)
b
(41)
n
kn 
b
24
Aplicando as condições de contorno de CF3 em (41), temos
(  1 , em x = 0 e 0 y  b);

2
3
1  C1sin( y)  C2 sin(
y )  C3 sin( y )   (42)
b
b
b
A expansão da série de Fourier em senos para uma função 
periódica qualquer, de uma dimensão, é:
(y)  a1sin(y)  a2 sin(2y)  a3 sin(3y)   (43)
Onde,
an 
2

 (y ) sin(ny )d (y )


0
Supondo (y) = 1;
an 
4
n
0
G. Fontgalland
para n ímpar
para n par
25
Podemos agora reescrever a equação (43) da forma:
4
1
1

1   sin(y )  sin(3y )  sin(5y )  

3
5

(44)
Identificando os termos das equações (42) e (44);

2
3
1  C1sin( y)  C2 sin(
y )  C3 sin( y )  
b
b
b
Logo,
4
(42)
4  k3 x
( x, y)  e sin(k1 y) 
e sin(k3 y) 

3
4  k5 x
4  k7 x

e sin(k5 y ) 
e sin(k7 y )   (45)
5
7
 k1 x
A série infinita em (45) é a expressão final para o potencial.
G. Fontgalland
26
ou ainda,
n
4 bx
n
 ( x, y )  
e
sin(
y)
b
n 1 n

n = 1,3,5, ...
Cada termo desta expressão representa um harmônico do sinal.
A equação (45) representa os harmônicos retangulares. Em
eletromagnetismo estes termos são identificados como modos.
Os modos são a representação do comportamento dos campos
eletromagnéticos no meio de propagação. Neste caso particular,
eles representam o comportamento do potencial no capacitor do
problema 4.
( x, y) 
4

Amplitude
G. Fontgalland
e
 k1 x
4  k3 x
sin(k1 y) 
e sin(k3 y )  
3
Forma
Envoltória
27
Equação de Laplace em Coordenadas Cilíndricas
 Solução da equação de Laplace - método de separação de
variáveis. Este método é bastante apropriado para problemas que
envolvam condutores longos, retos e cilíndricos.
A solução produto da equação de Laplace é do tipo:

(  ,  , z )  V0 C1e  C2e
kz
kz

 C3 cos(n )  C4 sin(n )
 C5 J n (k )  C2 N n (k ) (46)
Onde:
J n (k ) e N n (k ) são as funções de Bessel de primeira e
segunda espécie, e ordem n.
G. Fontgalland
28
Caso particular
 Método de separação de variáveis. Neste caso particular temos
uma independência de  na direção z.
Solução:
(r )  (  ,  )
 ( r )  0
2
Logo,
Isto é,
 2   2   0
(47)
1
1 2
  (   )  2 ( )  0


(48)
 z  0
e
Supondo a solução produto de (47), temos:
  f (  ) g ( )
G. Fontgalland
(49)
29
Substituindo (49) em (48) e dividindo por (49), tem-se:
 d
df
1 d 2g
( )  
k
2
f d d
g d
(50)
Tomemos a equação diferencial em (50) função de :
d 2g
 gk  0
2
d
(51)
A solução de (51) é da forma,
cos(k
) ,
1/ 2
sin( k 1/ 2 ) , cos(k 1/ 2  2 )
Onde,
k 1/ 2  n
G. Fontgalland
30
Tomemos agora a equação diferencial em (50) função de :
d
df
f
( )  k  0
d d 
(52)
A solução de (52) é da forma,

n
C te
,
 n
(n  0)
,
ln 
(n = 0)
 As soluções produto em (46) e (49) são chamadas de
harmônicos circulares.
  f (  ) g ( )
G. Fontgalland
(53)
31
Problema 5
 Solução da equação de Laplace - método de separação de
variáveis. O problema físico é representado por um cabo coaxial
em curto-circuito. O eixo do cabo coincide com a direção z e o
curto encontra-se em z = 0.
Geometria
z
2a

b
0
z
1
Determinar o potencial (,z) utilizando a equação de
Laplace ² =0 e as condições de contorno do problema.
G. Fontgalland
32
 Procedimentos para solução do problema 5: cabo coaxial em
curto-circuito.
Solução:
Da geometria do problema deduz-se a independência de  com
a variável .
Logo,
   0
e
( r )  (  , z )
 2 ( r )  0
Em coordenadas cilíndricas temos:
1
        2z   0

2

(54)
A solução produto para  pode ser escrita como:

 f (  ) g ( z)
V0
G. Fontgalland
(55)
33
Substituindo (55) em (54) e dividindo por (55), tem-se:
2
2
1 d f 1 df 1 d g


0
2
2
f d
f d g dz
(56)
Tomemos a equação diferencial em (56) função de z:
d g k g  0
2
z
2
(57)
Da equação (46) sabe-se que a forma da solução para a E.D.
em (57) é composta por funções exponenciais.
LEMBRETE 8 : O procedimento de utilização das funções de
forma deve estar condicionado as condições de contorno do
problema.
G. Fontgalland
34
Verificação das condições de contorno do problema.
2a

z
b
z
0
0
em
( z=0 )
( a   b )
CF2
0
em
( =b )
( 0z z 1 )
CF3
  V1
em
( z=z1 )
( =a )
CF1
CF4
G. Fontgalland
1
V1
em
 z 
z1
z
( a<  <b )
35
Aplicação das condições de contorno.
De CF4
V1
 z 
z1
Integrando esta condição com respeito a z:
V1
 z
z1
Este resultado mostra que  varia linearmente com z. e
conseqüentemente a função g(z), conforme (55).
Logo,
d g ( z)  0 ,
2
z
k=0
Integrando novamente com respeito a z:
g ( z )  C1 z  C2
G. Fontgalland
(58)
36
Tomemos a equação diferencial em (56) função de :
d 2 f  d  f  0
(59)
Da equação (46) sabe-se que a forma da solução para a E.D.
em (59) é composta pelas funções de Bessel (ordem zero).
Uma solução possível para (59) é:
f (  )  C3 ln( )  C4
(60)
Substituindo (58) e (60) em (55), temos:

 A1 z ln(  )  A2 z  A3 ln(  )  A4
V0
G. Fontgalland
(61)
37
Uma vez obtida a expressão de forma para a condição de contorno
CF4 , podemos verificar as demais condições.
De CF1
(  0 em z = 0 );
0  A3 ln( )  A4
A3  A4  0

 A1 z ln(  )  A2 z
V0
De
CF2
(  0 em  = b );
0  A1 z ln(b)  A2 z
De CF3
G. Fontgalland
(62)
(63)
(  V1 em z = z1 e  = a );
V1
 A1 z1 ln(a )  A2 z1
V0
(64)
38
Devemos resolver o sistema formado pelas equações (63) e (64).
0  A1 z ln(b)  A2 z
V1
 A1 z1 ln(a )  A2 z1
V0
(65)
A solução do sistema em (65) determina os valores das constantes.
V1
A1 
V0 z1 ln(a / b)
,
V1 ln(b)
A2  
V0 z1 ln(a / b)
Logo, a expressão final para o potencial em (55) é dada por:

z ln(b /  )
 (r )  V1
z1 ln(b / a )
G. Fontgalland
(66)
39
Equação de Laplace em Coordenadas Esféricas
 Solução da equação de Laplace - método de separação de
variáveis. Este método é bastante apropriado para problemas
que envolvam simetrias esféricas.
A solução produto da equação de Laplace é do tipo:
(r , ,  )  V0  A1Pn ( )


 B1r  n  B2 r  ( n1) 
 C1 cos(n )  C2 sin(n )  (67)
Onde Pn ( ) são polinômios em teta, denominados Polinômios
de Legendre.
G. Fontgalland
40
Determinação do potencial (r,,) utilizando a equação
de Laplace ² =0.
Geometria

z
z
y
y

r
P
x
x
Esfera
G. Fontgalland
Cone
41
Caso particular
 Método de separação de variáveis. Neste caso particular temos
uma independência de  com a variável .
Solução:
 ( r )   ( r , )
 ( r )  0
2
Logo,
Isto é,
   0
e
 2r   2   0
(68)
1
1
2
 r (r  r )  2
 ( sin )  0 (69)
2
r
r sin
Supondo a solução produto para  é do tipo:
  f (r ) g ( )
G. Fontgalland
(70)
42
Substituindo (70) em (69) e dividindo por (70), tem-se:
1
1
2
 r (r  r f ) 
 ( sin g )  0
f
gsin
(71)
Tomemos a equação diferencial em (71) função de :
1
d ( sind g )  kg  0
sin
(72)
A equação (72) é a equação de Legendre. As únicas soluções
fisicamente aceitáveis, definidas para todo  no intervalo [0,]
corresponde a k = -n(n+1); onde n é um inteiro positivo. A
solução é da forma Pn ( ) (ver tabela a seguir).
Logo,
G. Fontgalland
1
d ( sind g )  n(n  1) g  0
sin
(73)
43
As quatro primeiras funções ordinárias de Legendre são:
Pn ( )
n
1
0
1
2
3
cos 
(3 cos 2   1) / 2
(5 cos3   3 cos ) / 2
Tomemos agora equação diferencial em (71) função de r:
d r (r 2 d r f )  n(n  1) f  0
(74)
Onde, k = n(n+1).
A solução de (74) é da forma,
rn
,
r ( n1)
(n  0)
 As soluções produto em (67) e (70) são chamadas de
harmônicos zonais.
G. Fontgalland
44
Problema 6
 Solução da equação de Laplace - método de separação de
variáveis. O problema físico é representado por uma esfera de
material condutor não carregada colocada num campo
uniforme no espaço livre. O eixo de direção do campo coincide
com a direção z ( = 0).
Geometria:

E0
r
P

a

E0
z
Determinar o potencial ( r,  ) utilizando a equação de
Laplace ² = 0 e as condições de contorno do problema.
G. Fontgalland
45
 Solução do problema 6. Esfera condutora em campo uniforme.
Dados do Problema:
As condições de fronteira devem refletir:
(r=a)
(0 )
CF1
  V0 em
CF2

E  E0 aˆ r em
CF3
A expressão final para  deve representar o
potencial de um condutor descarregado.
CF4
Na superfície da esfera o potencial deve ser
independente do ângulo .
G. Fontgalland
(r)
(0 )
46
A partir de (73) e (74) uma solução para ²  ( r,  ) = 0, é:
(r , )  A1  C1r 1  A2 r cos  C2 r 2 cos 
(75)
1
1
2
2
3
2
A3r (3 cos   1)  C3r (3 cos   1)  
2
2
Aplicando as condições de contorno a (75), temos :

De CF2 ( E  E0 aˆ r em r  );

Lembrando que:    E e fazendo z = r cos, temos;
 |r   A2 z  A1
(76)
Onde,
A2   E0 e Ai  0 ( i  3 )
G. Fontgalland
47
De CF3
( de um condutor descarregado)
Logo em r = a;
(r , )  (a, )   ( )  V0
(77)
LEMBRETE 9 : Potencial de algumas estruturas elétricas.
1
 |dipolo 
r
1
1
 |quadrupolo  2
 |octopolo  3
r
r
C1
C2
(a, )  ( )  A1   E0 a cos  2 cos   (78)
a
a

Para  
2
C1
V0  A1 e C1  0
V0  A1 
a
G. Fontgalland
48
De CF1
(  V0 em r = a)
C2
(a, )  V0  E0 a cos  2 cos  
a

 (a, )  V0
Para  
2
De CF4
(79)
( é independente de  em r = a )
C2
(a, )  (a)  V0  E0 a cos  2 cos 
a
1 C3
2
(80)

(
3
cos


1
)


2 a3
Os termos de potência de cosseno não se cancelam. Logo;
Ci  0 ( i  3 )
G. Fontgalland
49
Logo;
C2
(81)
(a, )  V0  E0 a cos  2 cos
a
De  ( a, )  V0 e de (81), temos:
C2  E0 a 3
Portanto,
(r , )  V0  E0 r cos  E0 a 3r 2 cos (V/m) (82)
Solução:

E0
r
P

E0

V0
G. Fontgalland
z
50
Solução da Equação de Poisson
Equação de Poisson em Coordenadas Retangulares
Problema 7
 Determinação da solução da equação de Poisson utilizando o
método da integração direta. O problema físico é representado por
um capacitor de placas paralelas infinito nas direções y e z.
Solução:
v
2
 V (r )  

Y
V (r )  V ( x, y, z ) (83)
V=0
0
v
Determina-se a dependência de V com x, y e z.
 yV   zV  0
e
Dados do problema temos que:
G. Fontgalland
Z
 V d V
2
x
2
x
  0 x
V=V0
0
a
X
(84)
51
Integremos a eq. (83) ao longo de x.
Y
2
dV
x
2
d
 x V (r )  dx    0 2  C1
V=0
(85)
Integrando novamente com respeito a x.
0
v
Z
x3
V (r )  V ( x)    0  C1 x  C2
6
V=V0
0
a
X
(86)
Aplicando as condições de contorno a (86),
CF1
Temos;
V  0 em x  0
V0
a3
C1    0
a
6
e
e
CF2
V  V0 em x  a
C2  0
A expressão final para V(x,y,z) é dada por:
G. Fontgalland
 0 3  0 a 2 V0
V ( x)   x 
x x
6
6
a
(87)
52
Compare as equações (87) e (11).
Ex8: Repita o exercício anterior para o caso de cilindros
concêntricos infinitos com densidade de carga   0.
Ex9: Resolva a equação de Poisson para o caso de esferas
concêntricas.
Equação de Poisson em Coordenadas Cilíndricas
Equação de Poisson em Coordenadas Esféricas
G. Fontgalland
53
Solução da Equação de Laplace em Coordenadas
Retangulares
 Visualização da geometria do problema. Figura (a) representa a
vista em 3-D, e a figura (b) a vista lateral segundo o eixo dos z.
Y
X
V=0
V=V0
0
a
V=V0
Z
a
Z
V=0
X
0
Y
(a)
G. Fontgalland
(b)
54
Solução da Equação de Laplace em Coordenadas
Retangulares
 Visualização da geometria do problema. Figura (a) representa a
vista em 3-D, e a figura (b) a vista frontal segundo o eixo dos x.
Y
Y
=0
=0
X
a
b
=1
=1
=0
=0
0
0
Z
=0
X
Z
(a)
G. Fontgalland
(b)
55