2.3 Topics: Implicit Differentiation and Logarithmic Differentiation. SOLUTIONS
Find y  by implicit differentiation.
1. x 2  y 2  16
x 2  y 2  16
2 x  2 yy   0
2 yy   2 x
y  
2x
2y
3. xe y  10 x  3 y  0
x 3  xy  y 2  5
xe y  10 x  3 y  0
3 x 2   xy   y 1  2 yy   0
x  e y  y   e y 1  10  3 y   0
3 x 2  xy   y  2 yy   0
e y  10  3 y   xe y y 
2 yy   xy   y  3x 2
 2 y  x  y   y  3x 2
x
y  
y
y 
xy  x2 y  1
4.
2. x3  xy  y 2  5
1
2
3cos x sin y  1
x 2  3ln y  y 2  10
1
3
cos x  cos y  y   sin y   sin x   0
1
2 x  3   y   2 yy   0
y
3
2 x  y   2 yy 
y
cos x sin y 
  xy   y 1  2 x 2 y   2 y  2 x
xy   y 1
xy
cos x  cos y  y   sin x sin y
 2 x2 y  2 y  2 x
y 
xy   y  2 x 2 xy y   4 xy xy
sin x sin y
or  tan x tan y
cos x cos y



x 1  2 x xy y   y 4 x xy  1
y 

x 1  2 x
3

2 x    2 y  y
y

 3  2 y2 
2x  
 y
 y 
xy   2 x 2 xy y   4 xy xy  y

e y  10
3  xe y
6. x 2  3ln y  y 2  10
1
1

 xy  2   xy   y 1  x 2 y   y  2 x  0
2

y 
5. 3cos x sin y  1
xy  x 2 y  1
 xy 
y  3x 2
2y  x
e y  10   3  xe y  y 
y 

xy 
y 4 x xy  1
2 xy
3  2 y2
7. Find the slope of the tangent line to the graph of  x 2  y 2   4 x 2 y at the point  1,1
2
 x  y   4x y
2  x  y   2 x  2 yy    4  x y   y  2 x 
 x  y   x  yy    x y   y  2 x 
2 2
2
2 1
2
2
2
2
2
2
x 3  x 2 yy   xy 2  y 3 y   x 2 y   2 xy
x 2 yy   y 3 y   x 2 y   2 xy  x 3  xy 2
x
2
y  y3  x2  y  x  2 y  x2  y 2 
y 
x  2 y  x2  y2 
x2 y  y3  x2
So to evaluate the slope of the tangent line at  1,1 all we need to do is substitute
1 in for x and 1 in for y into the derivative formula that we came up with implicitly!
m
x  2 y  x2  y 2 
x y y x
2
3
2


1 2 1   1  1
2
2
 1 1  1   1
2
3
0 0
2
1
So apparently the graph of the relation  x 2  y 2   4 x 2 y must have a horizontal tangent line at the point  1,1 .
2
(Go type in (x^2+y^2)^2=(4x^2)*y into wolfram alpha to see the picture of the relation!)
Find y using implicit differentiation.
8. x 2  y 2  9
9. x 2  y 2  25
x 2  y 2  25
2 x  2 yy   0
x2  y 2  9
2 x  2 yy   0
x  yy   0
 yy    x
x  yy   0
yy    x
y  
x
y
y 1  x  y 
y  
y2
x
y  x
y
y  
2
y
x
y  x
y y
y  
2
y
y
y 
x
y
 y 1  x  y  
y    

y2


 x
y  x 
 y
y   
y2
 x
y  x 
 y y
y   
y
y2
y   
y  
y 2  x2
9
  3
y3
y
y  
y 2  x2
y3
  x2  y2 
y
3

25
y3
10. Find the points at which the graph of 25 x  16 y  200 x  160 y  400  0 has a vertical or horizontal tangent line.
2
2
To solve this problem we will take the derivative implicitly and solve for y  . We will then look at the numerator and denominator of
y  . For any value or values of x or y that make the numerator (but not the denominator) equal to zero we will have the location of a
horizontal tangent line (we will need to substitute each value of x or y back into the original equation in order to find it’s
corresponding partner). For any value or values of x or y that make the denominator (but not the numerator) equal to zero we will
have the location of a vertical tangent line. (What would happen if there is a value of x or y that makes both the numerator and
denominator zero at the same time?)
25 x 2  16 y 2  200 x  160 y  400  0
50 x  32 yy   200  160 y   0  0
50 x  200  160 y   32 yy 
25 x  100  80 y   16 yy 
25 x  100   80  16 y  y 
y 
25 x  100
80  16 y
So we can see that if x  4 we will have a horizontal tangent line and if y  5
we will have a vertical tangent line. Now we must find the coordinate partners for
each of these.
x  4
y5
25 x 2  16 y 2  200 x  160 y  400  0
25 x 2  16 y 2  200 x  160 y  400  0
25  4   16 y 2  200  4   160 y  400  0
25 x 2  16  5   200 x  160  5   400  0
400  16 y 2  800  160 y  400  0
25 x 2  400  200 x  800  400  0
16 y 2  160 y  0
25 x 2  200 x  0
y 2  10 y  0
x2  8x  0
y  y  10   0
x  x  8  0
y0
x  0 x  8
2
y  10
So we will have a horizontal tangent line at
 4, 0 
 4,10 
2
So we will have a vertical tangent line at
 0,5   8,5 
Find y  using logarithmic differentiation.
11. y  x x2  1 ,  x  0
y  x x2  1

ln y  ln x x 2  1
12. y 
y

ln y  ln x  ln  x  1
2
1
ln y  ln x  ln  x 2  1
2
1
1 1
1
 y    2
 2x
y
x 2  x  1
2

, x  
3

x 2 3x  2
 x  1
2
1
2


ln y  ln  x 2  3 x  2  2   ln  x  1


1
ln y  ln x 2  ln  3 x  2  2  ln  x  1
2
1
ln y  2 ln x  ln  3 x  2   2 ln  x  1
2
1
1 1
1
1
 y  2   
3 2
1
y
x 2 3x  2
x 1
x 
1
y  y   2 
 x x  1
y 
 x  1
2
 x 2 3x  2 

ln y  ln 
  x  12 


1
2
1  2
x  1  x2
y   x  x 2  1 2 
 x  x 2  1

x 2 3x  2




2
3
2 
y   y   


 x 2  3 x  2   x  1 
2x  1
2
x2  1
x 2  3 x  2  2  2  2  3 x  2  x  1   3  x  x  1   2  2 x  3 x  2   
y 


2

2 x  3 x  2  x  1
 x  1 

1
1
x 2  3 x  2  2  12 x 2  4 x  8  3 x 2  3 x  12 x 2  8 x 
y 


2
2 x  3 x  2  x  1
 x  1 

1
x 2  3 x  2  2  3 x 2  15 x  8 
y 


2
 x  1  2 x  3x  2  x  1 
x  3 x 2  15 x  8 
y 
13. y  x
yx
3
x
,  x  0
3
x
14. y   x  2 
y   x  2
 3
ln y  ln  x x 
 
3
ln y  ln x
x
ln y  3 x 1 ln x
1
1
 y   3 x 1   ln x  3  1 x 2
y
x
 3 3ln x 
y  y  2  2 
x 
x
 3  3ln x 
y  x x 

2
 x

3
3
y   3x x
y   3x
2
1  ln x 
3 2 x
x
1  ln x 
2  x  1
x 1
3
3x  2
,  x  2
x 1

ln y  ln  x  2 
x 1

ln y   x  1 ln  x  2 
1
1
 y    x  1 
1  ln  x  2  1
y
 x  2
 x 1

y  y 
 ln  x  2  
 x2

y   x  2
x 1
 x  1   x  2  ln  x  2  


 x  2


y    x  2   x  1   x  2  ln  x  2  
x